概率论与数理统计第二讲
概率论与数理统计(二)
欢迎阅读内容串讲第一章 随机事件及其概率1． 事件的关系与运算必然事件：Ω—随机试验全部结果构成的集合。
不可能事件：φ 一般事件A ：A φ⊂⊂Ω若A 若A 11111,,nnni i i i i i i i A A A A ∞=====等等。
例1 2（1（2（3（4（5）)()()(AB P A P B A P -=-（6）若n A A A ,,21两两互不相容，则∑===ni i ni i A P A P 11)()(（7）若n A A A ,,21相互独立，则例2 设1.0)(,4.0)(,2.0)(===AB P B P A P则5.0)()()(1)(1)(=+--=⋃-=⋃AB P B P A P B A P B A P3．古典概型古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A 的概率为例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A ：取到两个白球；B ：一白一红球，求)(),(B P A P（1）无放回抽样：（2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次［注］：若设X 为两次有放回取球中取到白球数，则X ～)52,2(B ，从而)(=P A P 4（1（2例103 （3，j i j i ,,≠)(i B（4例5 某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有)4,3,2,1(=i i 个次品的概率如下（1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有i 个次品的概率。
)4,3,2,1(=i解：（1）设事件i B 是恰有i 个次品的一批产品)4,3,2,1(=i ，则由题设设事件A 是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有1)(0=B A P由全概率公式，即得8142.0)()()(40≈=∑=i i i B A P B P A P（2）由Bayes 公式，所求概率分别为5．事件的独立性（1）定义：A 、B 相互独立等价于)()()(B P A P B A P ⋅=（2）若n A A A ,,,21 相互独立，则有)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =（3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。
概率论与数理统计课件第2章
第2章 随机变量及其分布为了更深刻地揭示随机现象的统计规律性，有必要将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果及实数对应起来，可以凭借更多的数学工具研究随机试验的结果，因此需要引入随机变量的概念.2.1 随机变量及其分布函数随机变量的概念定义 2.1 设E 是随机试验，Ω是其样本空间. 如果对每个Ω∈e ，总有一个实值函数)(e X X =及之对应，则称Ω上的实值函数)(e X 为E 的一个随机变量.随机变量常用大写字母Z Y X ,,等表示，其取值用小写字母z y x ,,等表示.若一个随机变量仅取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量.若一个随机变量取值充满数轴上的一个区间),(b a ，则称其为连续随机变量，其中a 可以是∞-,b 可以是∞+.通过以下几个例子，可以很好地理解上述随机变量抽象的定义.（1） 掷一颗骰子,出现的点数X . （2） 单位时间内某手机被呼叫的次数Y .（3）某品种杨树的寿命T . （4）测量某物理量的误差ε.（5）若某个试验只有两个结果，例如，播种一颗银杏种子，可以定义随机变量.值得注意的是：（1）对任意实数x ，}{x X ≤表示随机事件；（2）可以求出概率)(x XP ≤.在上面的例子中，,316161)6()5()4(=+==+==>X P X P X P 等；但是不能求得以下概率，如)100(=Y P ,)1500(>T P ,5.1|(|≤εP 等，因此还需要引入随机变量分布函数的概念.随机变量的分布函数定义2.2 设X 是一个随机变量,对任意实数x ,称)()(x X P x F ≤= （）为随机变量X 的分布函数.且称X 服从)(x F ，记为)(~x F X .有时也可用)(x F X （把X 作为F 的下标）以表明是X 的分布函数. 例2.1 向半径为r 的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X 的分布函数)(x F ,并求.解 事件“x X ≤”表示所抛之点落在半径为)0(r x x ≤≤的圆内,故由几何概率知222)()()(r x rx x X P x F ==≤=ππ，从而43)21(1)2(1)2(1)2(2=-=-=≤-=>r F r X p r Xp . 从分布函数的定义可以看出,任一随机变量X （离散的或连续的）都有一个分布函数.有了分布函数,就可据此计算得及随机变量X 有关事件的概率.下面先给出分布函数的3个基本性质.定理 2.1 任一随机变量的分布函数)(x F 都具有如下三条基本性质：（1）单调性 )(x F 是定义在整个实数轴),(∞+-∞上的单调非减函数，即对任意的21x x <，有)()(21x F x F ≤.（2）有界性 对任意的x ，有1)(0≤≤x F ，且 0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ，1)(lim )(==+∞+∞→x F F x . （3）右连续性 )(x F 是x 的右连续函数，即对任意的0x ，有 )()0(00x F x F =+.值得注意，满足这3个性质的函数一定是某个随机变量的分布函数.例2.2 设随机变量X 的分布函数为 +∞<<-∞+=x x B A x F ,arctan )(，试求：⑴待定系数B A ,；⑵随机变量X 落在（-1，1）内的概率.解 ⑴ 由0)(=-∞F ，1)(=+∞F ， 可得 ， 解得 ，于是+∞<<-∞+=x x x F ,arctan 121)(π.⑵ )1()1()11()11(--=≤<-=<<-F F X P X P .利用随机变量X 的分布函数，可以计算有关X 的各种事件的概率.例如，对任意的实数b a ,，有 )()()(a F b F b X a P -=≤<，)0()()(--==a F a F a XP ，)0(1)(--=≥b F b X P ， )(1)(b F b XP -=>， )()0()(a F b F b X a P --=<<， )0()()(--=≤≤a F b F b Xa P ，)0()0()(---=<≤a F b F b X a P . 特别当)(x F 在a 及b 连续时，有 )()0(a F a F =-，)()0(b F b F --. 例2.3 设随机变量X 的分布函数为 ，试求：（1）)31(≤<X P ；（2）)2(>XP ；（3）)5.1(=X P . 解 （1）6.04.01)1()3()31(=-=-=≤<F F X p ； （2）4.06.01)2(1)2(=-=-=>F X p ； （3）04.04.0)05.1()5.1()5.1(=-=--==F F X p .§2.2 离散型随机变量的分布律定义2.3 设X 是一个离散型随机变量，其所有可能的取值是 ,,,,21i x x x ，则称X 取i x 的概率 ,2,1,)(===i x X P p i i（）为X 的概率分布律或简称为分布律，记为}{~i p X ，分布律也可用列表的方法来表示：或记成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ii p p px x x X 2121~ 分布律的基本性质： （1） ,2,1,0=≥i p i ；（2）.由离散型随机变量X 的分布律很容易写出X 的分布函数：∑≤=≤=xx i i p x X P x F )()(.它的图形是有限级（或无穷级）的阶梯函数.在离散场合，常用分布律来描述分布，很少用到分布函数.因为求离散随机变量X 的有关事件的概率时，用分布律比用分布函数来得更方便.例 设离散型随机变量X 的分布律为试求)5.0(≤X P ，)5.25.1(≤<XP 并写出X的分布函数.解 25.0)1()5.0(=-==≤X P XP ，5.0)2()5.25.1(===≤<X P XP ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++<≤=+<≤-<=3,125.05.025.021,75.05.025.010,25.01,0)(x x x x x F .)(x F 的图形如图2—1所示._x特别地,常量c 可看作仅取一个值的随机变量X ，即 1)(==c XP .这个分布常称为单点分布或退化分布，它的分布函数是 . （） 其图形如图2—2.以下例子说明，已知离散型随机变量的分布函数，可以求出它的分布律.例2．5 设随机变量X 的分布函数为 ， 则X 的分布律为2.3 常见离散型随机变量分布1.两点分布_ 图 2 — 2_x若离散型随机变量X 的分布律为则称随机变量X 服从参数为p 的两点分布（或10-分布），记为),1(~p B X .例 播种一颗银杏种子，银杏的发芽率为0.9，定义随机变量,则)9.0,1(~B X . 2.二项分布若离散型随机变量X 的分布律为kn k p p k n k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==)1()(，n k ,,2,1,0 =. （2.4）则称随机变量X 服从参数为p 的二项分布，记为),(~p n B X .两点分布是二项分布中当1=n 时的特例.例2.7 假设银杏移栽的成活率为，现移栽10颗，问至少有8颗成活的概率是多少？解 设移栽银杏的颗数为X ，则)95.0,10(~B X ，而所求概率为)10()9()8()8(=+=+==≥X P X P X P XP9885.005.095.01010010=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 3.泊松分布若离散型随机变量X 的分布律为， ,2,1,0=k ， （2.5）其中参数0>λ，则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λP X.例 已知某种产品表面上的疵点数服从参数5.0=λ的泊松分布，若规定疵点数不超过一个的产品为合格品，疵点数至少为两个的产品为不合格品.试求此产品为不合格品的概率. 解 设X 为此产品表面上的疵点数，则)5.0(~P X,即， ,2,1,0=k .于是有)1()0(1)2(1)2(=-=-=<-=≥X P X P X P X P. 4．几何分布若离散型随机变量X 的分布律为 1)(-==k pq k XP ， ,2,1=k ， （2.6）其中p q p -=<<1,10，则称随机变量X 服从参数为p 的几何分布，记为)(~p G X.设E 为一随机试验，A 为其事件，p A P =)(，q p A P =-=1)(，现作独立重复试验直到A 出现为止. 以X 表示事件A 出现的总次数，则随机变量X 可取值 ,,,2,1k .以k A 表示在第k 重试验中事件A 出现的事件，则 )()(121k k A A A A P k XP -===)()()()()(A P A P A P A P A A A A P = =1-k pq ， ,2,1=k . 5. 超几何分布若离散型随机变量X 的分布律为， （2.7） 其中N n N M ≤≤≤≤0,0，k 是满足不等式 ),min(),0max(M n k m N n ≤≤+-的所有整数，则称随机变量X 服从参数为N M n ,,的超几何分布，记为),,(~N M n H X.例 设一批木工板共N 张，其中有M 张次品（N M ≤≤0），M N -n （N n ≤≤0）张，以X表示所取得的次品数，试求随机变量X 的分布律.解 若M N n -=，则X 可取的最小数显然为0；若M N n ->，则X 可取的最小数为)(M N n --. 这样，X 可取的最小数是 ),0max(m N n +-.若M n ≤，则X 可取的最大数为n ；若M n >，则X 可取的最大数为)(M N n --. 这样，X 可取的最大数是 ),min(M n . 按古典概型计算得 ，其中，N n N M ≤≤≤≤0,0，k 是满足不等式),min(),0max(M n k m N n ≤≤+-的所有整数.2.4 连续型随机变量的概率密度函数定义 2.4 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，如果存在实数轴上的一个非负可积函数)(x f ，使得对任意实数x ，有⎰∞-=xdt t f x F )()(，（2.8）则称X 为连续型随机变量，称)(x f 为X的概率密度函数，简称为密度函数.在)(x F 的可导点处有 ()()F x f x '=.（2.9）密度函数的基本性质： （1）0)(≥x f ； （2）⎰∞+∞-=1)(dx x f .（3）若X 的密度函数为)(x f ，则 ，其中I 为某一区间.（4）若X 为连续型随机变量，则=<<)(b X a P =<≤)(b X a P =≤<)(b X a P )(b X a P ≤≤.注意及离散情形的区别.例 已知随机变量X 的密度函数为，求（1）常数c ；（2）)3/10(<<X p ；（3）分布函数)(x F . 解 （1）由⎰∞+∞-=dx x f )(1，得2=c ； （2）912)3/10(3/1023/10===<<⎰x xdx X p ； （3）根据x 的取值情况来确定积分⎰∞-=x dt t f x F )()(.当0<x 时，00)(==⎰∞-xdt x F ；当10<≤x 时，⎰∞-=00)(dt x F 202x dt t x=+⎰； 当1≥x 时，⎰∞-=00)(dt x F ⎰+102dt t 101=+⎰xdt . 从而得随机变量X 的密度函数为 ，_x)(x F 的图形如图2—3.例2.11 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x x f ，试求随机变量X 的分布函数)(x F .解 当0<x 时，0)()(==⎰∞-xdt t f x F ； 当10<≤x 时，；当21<≤x 时，122)2()(2110-+-=-+=⎰⎰x x dt t dt t x F x；当2≥x 时，1)2()(2110=-+=⎰⎰dt t dt t x F . 综上所述，得X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=2,121,12210,20,0)(22x x x x x x x x F)(x F 的图形如图2—4.2.5 常见连续型随机变量分布1.均匀分布若连续型随机变量X 的密度函数（见图2—5（1））为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,0,1)(b x a ab x f ， （0） 则称X 服从区间],[b a 上的均匀分布，记为),(~b a U X ，其分布函数为（见图2—5（2））._ 图 2 — 4_x0,(),1,x a x aF x a x b b ax b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩.（2.11）例1 设随机变量X 服从区间]1,0[上的均匀分布，现对X 进行4次独立观测，试求至少有3次观测值大于1/2的概率. 解 设Y 是3次独立观测中观测值大于1/2的次数，则),4(~p B Y ，其中.由)1,0(~U X ，知X的密度函数为.所以211)21(121==>=⎰dx X p p ，于是0413)1(44)1(34)4()3()3(p p p p Y P Y P Y P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+==≥ 165)21()21()21(443=+⨯=.2.指数分布若连续型随机变量X 的密度函数为（0>θ）， （2.12）1/(b-a)a图2—7(1)p(x)x图2—7(2)F(x)x则称X 服从参数为θ的指数分布，记为.例2 设某电子产品的使用寿命X （h ）服从参数为500=θ的指数分布，试求该电子产品的使用寿命超过1000h 的概率. 解 由，知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,5001)(500x x e x f x. 于是1353.05001)1000(210005005001000≈===>-∞+--∞+⎰e e dx e X p xx.3.正态分布正态分布是概率论及数理统计中最重要的一个分布，后面还要指出正态分布是一切分布的中心.1）正态分布的密度函数和分布函数 若连续型随机变量X 的密度函数为， +∞<<∞-x ， （2.13）则称X 服从参数为2,σμ的正态分布，记为),(~2σμN X.其中参数+∞<<∞-μ，0>σ.其密度函数)(x f 图形如图2—6（1）所示.)(x f 的图形是一条钟形线，其对称轴为μ=x .)(x f 在μ=x 处取最大值，曲线上对应于图2—8（1）x图2—8（2）σμ±=x 的点为拐点.正态分布),(2σμN 的分布函数为⎰∞---=xt dtex F 222)(21)(σμσπ.（2.14）它是一条光滑上升的S 形曲线，见图2—6（2）.图2—7给出了在μ和σ变化时，相应正态密度曲线的变化情况.(1)从图2—7（1）中可以看出：如果固定σ，改变μ的值，则图形沿x 轴平移，而不改变其形状.也就是说正态密度函数的位置由参数μ所确定，因此也称μ为位置参数.(2)从图2—7（2）中可以看出：如果固定μ，改变σ的值，则σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平.也就是说正态函数的尺度由参数σ所确定，因此也称σ为尺度参数.2）标准正态分布称0=μ，1=σ的正态分布)1,0(N 为标准正态分布. 记标准正态分布的密度函数为)(x ϕ，分布函数为)(x Φ，即，+∞<<∞-x ，图2—9（1）图2—9（2）)(x Φ，+∞<<∞-x .由于标准正态分布的分布函数不含任何未知参数，故其值)()(x X P x ≤=Φ完全可以算出，附表2对0≥x 给出了)(x Φ的值，利用这张表可以算得(1)-=-Φ1)(x )(x Φ. (2))(1)(x x XP Φ-=>. (3))()()(a b x Xa P Φ-Φ=<<.(4)1)(2)|(|-Φ=<c c X P . 例3 设)1,0(~N X，利用附表1，求下列事件的概率：（1）8944.0)25.1()25.1(=Φ=≤X p .（2）1056.08944.01)25.1(1)25.1(=-=Φ-=>X p .（3）1056.08944.01)25.1(1)25.1()25.1(=-=Φ-=-Φ=-<X p . （4）7888.018944.021)25.1(2)25.1(=-⨯=-Φ=≤X p . 3）一般正态分布的标准化为了计算及一般正态变量有关的事件的概率，需要将一般正态分布进行标准化，然后再查标准正态分布函数表. 若),(~2σμN X，则(1). （2.15） (2))()()(σμσμ-Φ--Φ=≤<a b b X a P .（2.16）例4 设)4,86(~N X ，试求 （1）)9282(<<X p ； （2）常数a ，使得95.0)(=<a XP .解 （1）)28682()28692()9282(-Φ--Φ=<<X p1)2()3()2()3(-Φ+Φ=-Φ-Φ= 9759.019772.09987.0=-+=. （2）由95.0)286()(=-Φ=<a a X p ，或，其中1-Φ为Φ的反函数.从附表1由里向外反查得 9495.0)64.1(=Φ，9505.0)65.1(=Φ，再利用线性内插法可得95.0)645.1(=Φ，即645.1)95.0(1=Φ-，故 ， 从中解得29.89=a .2.6 随机变量函数的分布设)(x g y =是定义在直线上的一个函数，X 是一个随机变量，那么)(X g Y=作为X 的一个函数，同样也是一个随机变量. 我们所要研究的问题是：已知X 的分布，如何求)(X g Y=的分布.2.6.1 离散型随机变量函数的分布设X 是一个离散型随机变量，X 的分布律为则)(X g Y =也是一个离散型随机变量，此时Y 的分布律可表示为Y)()()(21i x g x g x gPip p p 21当 ),(,),(),(21i x g x g x g 中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并将对应的概率相加即可.例2.15 已知X 的分布律为（1）求121+=X Y 的分布律；（2）求X X Y -=32的分布律. 解 （1）121+=X Y 的分布律为(2) X X Y -=32的分布律为再将相等的值合并得2.6.2 连续型随机变量函数的分布通过以下几则例子，介绍求连续型随机变量函数的分布的一种方法，称之为分布函数法.例2.16 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f X ， 试求随机变量12+=X Y 的密度函数)(y f Y .解 )12()()(y X P y Y P y F Y ≤+=≤=))1(21(21)()(-='=y p y F y f X Y Y.一般地，还可以利用分布函数法证明以下定理. 定理 设X 是连续型随机变量，其密度函数为)(x f X .)(X g Y=是另一个随机变量.若)(x g y =严格单调，其反函数)(y h 有连续导函数，则)(X g Y=的密度函数为⎩⎨⎧<<'=其他,0,|)(|)]([)(b y a y h y h f y f X Y .（2.17）其中)}(),(min{+∞-∞=g g a ，)}(),(max{+∞-∞=g g b .证明 不妨设)(x g y =是严格单调递增函数，这时它的反函数)(y h 也是严格单调递增函数，且)(>'y h .记)(-∞=g a ，)(+∞=g b ，这就意味着)(x g y =仅在区间),(b a 取值，于是当a y <时，0)()(=≤=y Y P y F Y ； 当b y >时，1)()(=≤=y Y P y F Y ； 当b y a ≤≤时，))(()()(y X g P y Y P y F Y ≤=≤= =dt t f y h X P y h X ⎰∞-=≤)()())((. 由此得Y 的密度函数为⎩⎨⎧<<'=其他,0,)()]([)(by a y h y h f y f X Y .同理可证当)(x g y =是严格单调递减函数时，结论也成立.但此时应注意0)(<'y h ，所以要加绝对值符号，这时，)(+∞=g a ，)(-∞=g b .利用上述定理，可以证明以下一个很有用的结论. 定理2.3 若),(~2σμN X，则.证明 是严格递增函数，仍在),(∞+-∞上取值，其反函数为μσ+==y y h x )(，σ=')(y h ，由定理可得2221)()()]([)(y X X Y e y f y h y h f y f -=+='=πσμσ，所以.定理 设随机变量X 服从正态分布),(~2σμN X ，则当0≠a 时，有~b aX Y +=),(~22σμa b a N X +.证明 当)0(0<>a 时，b ax y +=是严格递增（减）函数，仍在),(∞+-∞上取值，其反函数为a b y y h x /)()(-==，a y h /1)(='，由定理可得|1|)(|)(|)]([)(aa b y f y h y h f y f X X Y -='= }2)]([exp{)|(|21222σμσπa b a y a +--=. 这是正态分布),(22σμa b a N +的密度函数，结论得证.这个定理表明：正态变量的线性函数仍为正态变量.特别地，取σ/1=a ，σμ/-=b ，则~b aX Y +=)1,0(N ，此即定理2.3.定理 若X 的分布函数)(x F X 为连续严格递增的连续函数，则)(X F YX =服从区间)1,0(上均匀分布)1,0(U .证明 由于分布函数)(x F X 仅在区间]1,0[上取值，所以 当0<y 时，0))(()()(=≤=≤=y X F P y Y P y F X Y . 当1≥y 时，1))(()()(=≤=≤=y X F P y Y P y F X Y . 当10<≤y 时，))(()()(y X F P y Y P y F X Y ≤=≤= y y F F y F X P X X X ==≤=--)(()((11.从而⎩⎨⎧<<='=其他,010,1)()(x y F y f Y Y ，所以~Y )1,0(U .前面的例子及定理，都要求)(x g 严格单调，这在有些场合不能满足.以下的两个例子是更一般的情形.例 设随机变量X 服从标准正态分布)1,0(N ，试求2X Y =的分布.解 由于02≥=X Y ，所以当0≤y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y . 当0>y 时，)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤= ， 从而21)()21)((21)()()(-=---='=yy yy yy y F y f Y Y ϕϕϕ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,00,21)(221y y e y y f y Y π.（2.6.2）具有上述密度函数的分布称为自由度为1的卡方分布，记为)1(~2χY .例 设随机变量X 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,00,2)(2ππx x x f X ，求X Y sin =的密度函数)(y f Y .解 由于X 在区间),0(π内取值，所以X Y sin =的可能取值为区间)1,0(.在Y 的可能取值区间外，0)(=y F Y .当10<<y 时，)(sin )()(y X P y Y P y F Y ≤=≤=)arcsin ()arcsin 0(ππ≤≤-+≤≤=X y P y X Pdt t f y X )(arcsin 0⎰=dt t f y X )(arcsin ⎰-+ππ 从而 22222121)arcsin (21arcsin 2)()(y y y y y y F y f Y Y -=--+-='=ππππ.综合得 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,010,12)(2y yy f Y π.。
概率论与数理统计（茆诗松）第二章讲义（PDF）
第二章 随机变量及其分布上一章研究内容： 事件（集合A ）→ 概率（数）．本章将用函数研究概率，函数是数与数的关系，即需要用数反映事件——随机变量．事件（数）→ 概率（数）．§2.1 随机变量及其分布2.1.1.随机变量的概念随机试验的样本点有些是定量的：如掷骰子掷出的点数，电子元件使用寿命的小时数．有些是定性的：如掷硬币正面或反面，检查产品合格或不合格．对于定性的结果也可以规定其数量性质：如掷硬币，正面记为1，反面记为0；检查产品，合格记为1，不合格记为0．随机试验中，可将每一个样本点ω 都对应于一个实数X (ω)，称为随机变量（Random Variable ），常用大写英文字母X , Y , Z 等表示随机变量，而随机变量的具体取值通常记为小写英文字母x , y , z ．对于随机变量首先应掌握它的全部可能取值：如掷硬币，⎩⎨⎧=反面正面,0,1X ，X 的全部可能取值为0, 1；掷两枚骰子，X 表示掷出的点数之和，X 的全部可能取值为2, 3, 4, … , 12 ；观察某商店一小时内的进店人数X ，X 的全部可能取值为0, 1, 2, … ；电子元件使用寿命，用X 表示使用的小时数，X 的全部可能取值为 ),0[∞+； 一场足球比赛（90分钟），用X 表示首次进球时间（分钟），若为0:0，记X = 100，X 的全部可能取值为 (0, 90 )∪{100}；注意：1. 每个样本点都必须对应于一个实数，2．不同样本点可以对应于同一个实数，3．随机变量的每一取值或取值范围都表示一个事件．应掌握将随机变量的取值或取值范围描述为事件，又能将事件用随机变量表达的方法． 例 掷一枚骰子，用X 表示出现的点数，则 X = 1表示出现1点；X > 4表示点数大于4，即出现5点或6点；X ≤ 0为不可能事件．又出现奇数点，即X = 1, 3, 5；点数不超过3，即X ≤ 3． 例 X 表示商店一天中某商品的销售件数（顾客的需求件数）， 则 X = 0表示没有销售；X ≤ 10表示销售不超过10件．又销售5件以上（不含5件）即X > 5；若该商店准备了a 件该商品，事件“能满足顾客需要”，即X ≤ a ． 例 X 表示一只电子元件的使用寿命（小时）， 则 X = 1000表示该元件恰好使用了1000小时，X ≥ 800表示该元件使用寿命在800小时以上． 例 90分钟足球比赛，X 表示首次进球时间（分钟），且0:0时，记X = 100， 则 X = 10表示上半场第10分钟首次进球．又上半场不进球即X > 45；开场1分钟内进球即X ≤ 1．如果随机变量X 的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．（注：可列个即可以排成一列，一个一个往下数，如非负整数0, 1, 2, 3, … ）离散型随机变量的全部可能取值是实数轴上一些离散的点，而连续型随机变量的全部可能取值是实数轴上一个区间或多个区间的并，如电子元件使用寿命X （小时），全部可能取值是),0[∞+．下面按离散型和连续型分别进行讨论．2.1.2. 离散随机变量的概率分布列对于随机变量还应该掌握它的每一取值或取值范围表示事件的概率．定义 如果随机变量X 的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．设离散型随机变量X 的全部可能取值为x 1, x 2, …, x k , …，则X 取值x k 的概率p k = p (x k ) = P {X = x k }, k = 1, 2, …… 称为离散型随机变量的概率分布函数（Probability Distribution Function ，PDF ），简称概率分布或概率函数．直观上，又写为L LLL)()()(2121k kx p x p x p Px x x X 或 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L L L L)()()(~2121k k x p x p x p x x x X ， 称为X 的概率分布列．如掷一枚骰子，X 表示出现的点数，X 的分布列为616161616161654321PX ． 概率函数基本性质：（1）非负性 p (x k ) ≥ 0 , k = 1, 2, ……； （2）正则性1)(1=∑∞=k kxp ．这是因为事件X = x 1 , X = x 2 , … , X = x k , … 是一个完备事件组， 故P {X = x 1} + P {X = x 2} + … + P {X = x k } + … = P (Ω) = 1，即p (x 1) + p (x 2) + … + p (x k ) + … = 1． 例 设盒中有2个红球3个白球，从中任取3球，以X 表示取得的红球数．求X 的分布列． 解：X 的全部可能取值0, 1, 2 ，样本点总数为1035=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，X = 0表示“取到3个白球”，所含样本点个数为1330=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有1.0101)0(==p ， X = 1表示“取到1个红球2个白球”，所含样本点个数为612231=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有6.0106)1(==p ， X = 2表示“取到2个红球1个白球”，所含样本点个数为322132=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，有3.0103)2(==p ． 故X 的分布列为3.06.01.0210P X．求离散型随机变量X 的概率分布步骤： （1）找出X 的全部可能取值，（2）将X 的每一取值表示为事件， （3）求出X 的每一取值的概率．例 现有10件产品，其中有3件不合格．若不放回抽取，每次取一件，直到取得合格品为止．用X 表示抽取次数，求X 的概率分布． 解：X 的全部可能取值1, 2, 3, 4 ，X = 1表示“第1次就取得合格品”，有107)1(=p ， X = 2表示“第2次取得合格品且第1次是不合格品”，有30797103)2(=⋅=p ， X = 3表示“第3次取得合格品且前两次是不合格品”，有12078792103)3(=⋅⋅=p ， X = 4表示“第4次取得合格品且前三次是不合格品”，有1201778192103)4(=⋅⋅⋅=p ， 故X 的分布列为120112073071074321PX ． 例 上例若改为有放回地抽取，又如何？ 解：X 的全部可能取值1 , 2 , … , n , … ，7.0107)1(==p ，21.0107103)2(=⋅=p ，7.03.0)3(2×=p ，…，7.03.0)(1×=−k k p ，…， 故X 的概率函数为L ,2,1,7.03.0)(1=×=−k k p k ；X 的分布列为LL L L 7.03.07.03.021.07.032112××−k PkX ．例 若离散型随机变量的概率函数为kCk p =)(，k = 1, 2, 3, 4，且C 为常数． 求：（1）C 的值，（2）P {X = 3}，（3）P {X < 3}．解：（1）由正则性知：1432)4()3()2()1(=+++=+++CC C C p p p p ，即11225=C ，故2512=C ．（2）254)3(}3{===p X P ， （3）25182562512)2()1(}3{=+=+=<p p X P ． 2.1.3.随机变量的分布函数连续型随机变量在单个点取值概率为零，如电子元件使用寿命恰好为1000小时这个事件的概率就等于零，因此连续型随机变量不能考虑概率函数．为了用单独一个变量表示一个区间，特别地取区间 (−∞, x ]．定义 随机变量X 与任意实数x ，称F (x ) = P {X ≤ x }，−∞ < x < +∞为X 的累积分布函数（Cumulative Distribution Function ，CDF ），简称分布函数．P {a < X ≤ b } = P {X ≤ b } − P {X ≤ a } = F (b ) − F (a )，P {X > a } = 1 − P {X ≤ a } = 1 − F (a )，由概率的连续性知)0()(lim }{lim }{−==≤=<−−→→a F x F x X P a X P ax ax ，且P {X = a } = P {X ≤ a } − P {X < a } = F (a ) − F (a – 0)，可见X 在任一区间上或任一点取值的概率都可用分布函数表示． 例 已知随机变量X 的分布列为3.05.02.0210PX ，求X 的分布函数．解：X 的全部可能取值为0, 1, 2，当x < 0时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0， 当0 ≤ x < 1时，F (x ) = P {X ≤ x } = p (0) = 0.2，当1 ≤ x < 2时，F (x ) = P {X ≤ x } = p (0) + p (1) = 0.7， 当x ≥ 2时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω ) = 1，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.2,1,21,7.0,10,2.0,0,0)(x x x x x F若离散型随机变量的全部可能取值为x 1, x 2, ……，概率函数p (x k ) = p k ，k = 1, 2, ……，则分布函数∑≤=≤=xx kk xp x X P x F )(}{)(．且离散型随机变量的分布函数F (x )是单调不减的阶梯形函数，X 的每一可能取值x k 是F (x )的跳跃点，跳跃高度是相应概率p (x k )．例 已知某离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤−−<=,5,1,52,6.0,20,4.0,01,3.01,0)(x x x x x x F 求X 的分布列． 解：X 的全部可能取值是F (x )的跳跃点，即 −1, 0, 2, 5，跳跃高度依次为：p (−1) = 0.3 − 0 = 0.3； p (0) = 0.4 − 0.3 = 0.1； p (2) = 0.6 − 0.4 = 0.2； p (5) = 1 − 0.6 = 0.4．故X 的分布列为4.02.01.03.05201PX −．分布函数的基本性质：（1）单调性，F (x ) 单调不减，即x 1 < x 2时，F (x 1) ≤ F (x 2)； （2）正则性，F (−∞) = 0，F (+∞) = 1；（3）连续性，F (x ) 右连续，即)()(lim 00x F x F x x =+→． 证：（1）当x 1 < x 2时，{X ≤ x 1} ⊂ {X ≤ x 2}，有F (x 1) ≤ F (x 2)；（2）F (−∞) = P {X < −∞} = P (∅) = 0，F (+∞) = P {X < +∞} = P (Ω ) = 1；（3）任取单调下降且趋于x 0的数列{x n }，有}{}{}{lim 01x X x X x X n n n n ≤=≤=≤∞=∞→I ，根据概率的连续性知}{}{}{lim 01x X P x X P x X P n n n n ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤=≤∞=∞→I ，即)()(lim 00x F x F x x =+→． 但F (x )不一定左连续，任取单调增加且趋于x 0的数列{x n }，有}{}{}{lim 01x X x X x X n n n n <=≤=≤∞=∞→U ，得}{}{}{lim 01x X P x X P x X P n n n n <=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≤=≤∞=∞→U ， 故}{)(}{)(lim 0000x X P x F x X P x F x x =−=<=−→．2.1.4. 连续随机变量的概率密度函数离散型随机变量的全部可能取值是有限或可列个点，连续型随机变量的全部可能取值是实数区间．但连续型随机变量在单独一个点取值的概率为0，其概率函数无实际意义，对于连续随机变量通常考虑其在某个区间上取值的概率，这就需要讨论分布函数．连续型随机变量的分布函数是连续函数． 注意：概率为0的事件不一定是不可能事件．定义 随机变量X 的分布函数F (x )，若存在函数p (x )，使 ∫∞−=xdu u p x F )()(，则称X 为连续型随机变量，p(x )为X 的概率密度函数（可以理解为：p (u )为概率密度，p (u )du 为X 在该小区间内取值的概率，∫∞−x 为从−∞ 到x 无限求和．几何意义：在平面上作出密度函数p (x )的图形，则阴影部分的面积即为F (x )的值．密度函数基本性质：（1）非负性 p (x ) ≥ 0；（2）正则性 1)(=∫∞+∞−dx x p ．因)()(x F du u p x =∫∞−，有1)()(=+∞=∫∞+∞−F dx x p ．连续型随机变量的性质：设连续型随机变量X 的概率密度函数为p (x )，分布函数为F (x )，则有 （1）∫=−=≤<21)()()(}{1221x x dx x p x F x F x X x P ；（2）当p (x ) 连续时，p (x ) = F ′(x )； 因∫∞−=x du u p x F )()(，当p (x ) 连续时，有)(])([)(x p du u p x F x=′=′∫∞−（3）X 在单独一个点取值的概率为0，其分布函数为连续函数；（4）P {x 1 < X ≤ x 2} = P {x 1 ≤ X ≤ x 2} = P {x 1 < X < x 2} = P {x 1 ≤ X < x 2}，即连续型．．．随机变量在某区间内的概率与区间开闭无关，离散型则不成立；（5）只在有限个点上取值不相同的密度函数对应于同一个分布函数，一般，只在概率为0的数集上取值不相同的密度函数都对应于同一个分布函数．例 设F (x ) = A + B arctan x 为某连续型随机变量X 的分布函数． 求：（1）A , B ； （2）}31{≤≤−X P ； （3）密度函数p (x )． 解：（1）由正则性 F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，得：02π)arctan (lim =−=+−∞→B A x B A x ，12π)arctan (lim =+=++∞→B A x B A x ，故21=A ，π1=B ；（2）x x F arctan π121)(+=，得1274ππ1213ππ121)1()3(}31{=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+=−−=≤≤−F F X P ． （3）密度函数)1π(1)()(2x x F x p +=′=．例 已知⎩⎨⎧<<−=,,0,10),()(32其它x x x C x p是某连续型随机变量X 的密度函数，求：（1）C ， （2）}211{<<−X P ， （3）分布函数F (x )．解：（1）由正则性：1)(=∫∞+∞−dx x p ，得1120)4131()43()(10431032==−−=−=−∫C C x x C dx x x C ，故C = 12；（2）165)641241(12)43(12)(12)(}211{2104321032211=−=−=−==<<−∫∫−x x dx x x dx x p X P ；（3）X 的全部可能取值为 [0, 1]，分段点0, 1，当x < 0时，0)()(==∫∞−xdu u p x F ，当0 ≤ x < 1时，4304303234)43(12)(12)()(x x u u du u u du u p x F xxx−=−=−==∫∫∞−，当x ≥ 1时， 1)(12)()(132=−==∫∫∞−du u u du u p x F x，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤−<=.1,1,10,34,0,0)(43x x x x x x F例 已知⎩⎨⎧<<−=,,0,11|,|)(其它x x x p是某连续型随机变量X 的密度函数，求分布函数F (x )．解：分段点−1, 0, 1，当x < −1时，0)()(==∫∞−xdu u p x F ；当−1 ≤ x < 0时， 212122)()()(22121x x u du u du u p x F xxx−=+−=−=−==−−∞−∫∫； 当0 ≤ x < 1时，21221022)()()(220212001x x u u udu du u du u p x F xxx+=++=+−=+−==−−∞−∫∫∫；当x ≥ 1时， 1)()()(101=+−==∫∫∫−∞−udu du u du u p x F x．故⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<≤−−<=.1,1,10,21,01,21,0,0)(22x x x x xx x F§2.2 随机变量的数学期望对于随机变量，还应当掌握反映其平均值、分散程度等的指标，这就需要引入数学期望和方差等概念． 2.2.1.数学期望的概念例 甲、乙两个射击选手，在射击训练中甲射了10次，其中3次10环，1次9环，4次8环，2次7环；乙射了15次，其中2次10环，9次9环，2次8环，2次7环．问谁的表现更好？ 分析：比较他们射中的平均环数甲共射中3 × 10 + 1 × 9 + 4 × 8 + 2 × 7 = 85环，平均每次射中5.81085=环； 乙共射中2 × 10 + 9 × 9 + 2 × 8 + 2 × 7 = 131环，平均每次射中73.815131=&环． 故乙的表现更好．一般地，若在n 次试验中，出现了m 1次x 1，m 2次x 2，…，m k 次x k ，（其中m 1 + m 2 + … + m k = n ），则平均值为∑==+++ki i i k k n mx n x m x m x m 12211L ，即平均值等于取值与频率乘积之和．因n 很大时，频率稳定在概率附近，即平均值将稳定在取值与概率乘积之和附近． 2.2.2.数学期望的定义定义 设离散型随机变量X 的分布列是⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L L L L )()()(~2121k kx p x p x p x x x X ，如果级数∑∞=1)(k k k x p x 绝对收敛，则称之为X 的数学期望（Expectation ），记为E (X )． 数学期望的实际意义是反映随机变量的平均取值，是其全部可能取值以相应概率为权数的加权平均．如X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−2.04.01.03.04102，则E (X) = (−2) × 0.3 + 0 × 0.1 + 1 × 0.4 + 4 × 0.2 = 0.6． 例 某人有4发子弹，现在他向某一目标射击，若命中目标就停止射击，否则直到子弹用完为止．设每发子弹命中率为0.4，以X 表示射击次数，求E (X )． 解：先求X 的分布列，X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4，X = 1，第一枪就命中， p (1) = 0.4；X = 2，第一枪没有命中，第二枪命中，p (2) = 0.6 × 0.4 = 0.24； X = 3，前两枪没有命中，第三枪命中，p (3) = 0.6 2 × 0.4 = 0.144； X = 4，前三枪没有命中， p (4) = 0.6 3 = 0.216．则X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛216.0144.024.04.04321，故E (X ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.24 + 3 × 0.144 + 4 × 0.216 = 2.176．例 若X 的概率函数为L ,2,1,21)2(==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−k kp k k，求E (X )． 解：因∑∑∞=∞=−=⋅−11)1(21)2(k kk k k k k 收敛但不是绝对收敛，故E (X ) 不存在．离散型随机变量的数学期望是取值乘概率求和：∑∞=1)(k k k x p x ，类似可定义连续型随机变量的数学期望是取值乘密度积分：∫+∞∞−dx x xp )(．定义 设连续型随机变量X 的密度函数为p (x )．如果广义积分∫+∞∞−dx x xp )(绝对收敛，则称之为X 的数学期望，记为E (X )．例 已知连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其它x x x p 求E (X )．解：32322)()(1310=⋅=⋅==∫∫∞+∞−x xdx x dx x xp X E ． 例 已知X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=.,0,20,)(其它x bx a x p 且32)(=X E ，求a , b ． 解：由正则性得122)2()()(2220=+=⋅+=+=∫∫∞+∞−b a x b ax dx bx a dx x p ，又32382)32()()()(20322=+=⋅+⋅=+==∫∫∞+∞−b a x b x a dx bx a x dx x xp X E ，故21,1−==b a ． 例 已知X 的密度函数为+∞<<∞−+=x x x p ,)1π(1)(2，求E (X )．解：因+∞∞−+∞∞−+∞∞−+∞∞−+=⋅+=+=∫∫∫)1ln(π21)(21)1π(1)1π()(2222x x d x dx x x dx x xp 发散， 故E (X )不存在． 2.2.3.数学期望的性质设X 为随机变量，g (x ) 为函数，则称Y = g (X ) 为随机变量函数，Y 也是一个随机变量．下面不加证明地给出随机变量函数的数学期望计算公式．定理 设X 为随机变量，Y = g (X ) 为随机变量函数，则（1）若X 为离散型随机变量，概率函数为p(x k ), k = 1, 2, …，则∑∞===1)()()]([)(k k k x p x g X g E Y E ；（2）若X 为连续型随机变量，密度函数为p (x )，则∫+∞∞−==dx x p x g X g E Y E )()()]([)(．数学期望具有以下性质：（1）常数的期望等于其自身，即E (c ) = c ；（2）常数因子可移到期望符号外，即E (aX ) = a E (X )；（3）随机变量和的期望等于期望的和，即E [g 1 (X ) + g 2 (X )] = E [g 1 (X )] + E [g 2 (X )]． 证明：（1）将常数c 看作是单点分布p (c ) = 1，故E (c ) = c p (c ) = c ；（2）以连续型为例加以证明，)()()()(X aE dx x xp a dx x axp aX E ===∫∫+∞∞−+∞∞−；（3）以连续型为例加以证明，∫∫∫+∞∞−+∞∞−+∞∞−+=+=+dx x p x g dx x p x g dx x p x g x g X g X g E )()()()()()]()([)]()([212121= E [g 1 (X )] + E [g 2 (X )]．由性质（2）、（3）知随机变量线性组合的期望等于期望的线性组合，可见数学期望具有线性性质． 例 设X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3.04.01.02.02101， 求E (2X +1)，E (X 2)．解：E (2X +1) = −1 × 0.2 + 1 × 0.1 + 3 × 0.4 + 5 × 0.3 = 2.6；E (X 2) = 1 × 0.2 + 0 × 0.1 + 1 × 0.4 + 4 × 0.3 = 1.8． 例 已知圆的半径X 是一个随机变量，密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,31,21)(其他x x p 求圆面积Y 的数学期望． 解：圆面积Y = π X 2，故3π1332π21π)(π)(3133122=⋅=⋅==∫∫∞+∞−xdx x dx x p x Y E ． 例 设国际市场对我国某种出口商品的需求量X （吨）的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,40002000,20001)(其他x x p 设每售出一吨，可获利3万美元，但若销售不出，每积压一吨将亏损1万美元，问如何计划年出口量，能使国家获利的期望最大．解：设计划年出口量为a 吨，每年获利Y 万美元．当X ≥ a 时，销售a 吨，获利3a 万美元；当X < a 时，销售X 吨，积压a − X 吨，获利3X − (a − X ) = 4X − a 万美元；即⎩⎨⎧<≤−≤≤==.2000,4,4000,3)(a X a X X a a X g Y则4000200024000200020003)2(2000120001320001)4()()()(aa a a x a ax x dx a dx a x dx x p x g Y E +−=⋅+⋅−==∫∫∫+∞∞− 8250)3500(10001400071000122+−−=−+−=a a a ， 故计划年出口量为3500吨时，使国家获利的期望最大．§2.3 随机变量的方差与标准差数学期望反映平均值，方差反映波动程度．如甲、乙两台包装机，要求包装重量为每袋500克，现各取5袋，重量为甲：498，499，500，501，502； 乙：490，495，500，505，510．二者平均值相同都是500克，但显然甲比乙好．此时比较的是它们的偏差（即取值与平均值之差）．偏差：甲：−2，−1，0，1，2；乙：−10，−5，0，5，10． 2.3.1.方差的定义定义 随机变量X 与其数学期望E (X ) 之差X − E (X ) 称为偏差．偏差有大有小，可正可负，比较时需要去掉符号，但绝对值函数进行微积分处理不方便，因此考虑偏差平方的数学期望．定义 随机变量X ，若E [X − E (X )]2存在，则称之为X 的方差（Variance ），记为Var (X ) 或D (X )．即Var (X ) = E [X − E (X )]2．显然方差Var (X ) ≥ 0，称)Var(X 为X 的标准差（Standard Deviation ）．在实际问题中，标准差与随机变量有相同的量纲．方差与标准差反映波动程度．方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中． 例 设X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4.04.02.0321， 求E (X ), Var (X )．解：E (X ) = 1 × 0.2 + 2 × 0.4 + 3 × 0.4 = 2.2；Var (X ) = (−1.2)2 × 0.2 + (−0.2)2 × 0.4 + 0.82 × 0.4 = 0.56． 例 已知X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他x x x p求E (X ), Var (X )．解：32322)()(1310=⋅=⋅==∫∫∞+∞−x xdx x dx x xf X E ； 181949821949842)98382()()32()Var(1023410232=+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+−=−=∫∫∞+∞−x x x dx x x x dx x p x X ．例 已知X 的全部可能取值为0, 1, 2，且E (X ) = 1.3，Var (X ) = 0.81．求X 的分布列．解：设X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛c b a 210，由正则性得：a + b + c = 1，且E (X ) = 0 × a + 1 × b + 2 × c = b + 2c = 1.3，Var (X ) = (−1.3)2 × a + (−0.3)2 × b + 0.72 × c = 1.69a + 0.09b + 0.49c = 0.81， 解得a = 0.3，b = 0.1，c = 0.6，故X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛6.01.03.0210．2.3.2. 方差的性质方差具有以下性质：（1）方差计算公式：Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2； （2）常数的方差等于零，即Var (c ) = 0；（3）设a , b 为常数，则Var (a X + b ) = a 2 Var (X )． 证：（1）Var (X ) = E [X − E (X )]2 = E [X 2 − 2X ⋅ E (X ) + E (X )2] = E (X 2 ) − 2E (X ) ⋅ E (X ) + [E (X )]2．= E (X 2) − [E (X )]2；（2）Var (c ) = E [c − E (c )]2 = E (c − c )2 = E (0) = 0；（3）Var (a X + b ) = E [(a X + b ) − E (a X + b )]2 = E [a X + b − a E (X ) − b ]2 = a 2 E [X − E (X )]2 = a 2 Var (X )． 由性质（1），显然有以下推论：推论 对于随机变量X ，如果E (X 2) 存在，则E (X 2) ≥ [E (X )]2．以后常利用方差计算公式Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2计算随机变量的方差．通常用公式计算比直接用定义计算方差要方便． 例 设X 的分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4.04.02.0321， 求Var (X )．解：前面已求得E (X ) = 2.2，因E (X 2) = 1 2 × 0.2 + 2 2 × 0.4 + 3 2 × 0.4 = 5.4， 故Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2 = 5.4 − 2.22 = 0.56． 例 已知X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他x x x p 求Var (X )．解：前面已求得32)(=X E ， 因21422)(141022=⋅=⋅=∫x xdx x X E ， 故1813221)]([)()Var(222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=X E X E X ． 对于随机变量X ，若方差Var (X ) 存在，且Var (X ) > 0．令)Var()(*X X E X X −=，有0)]()([)Var(1)]([)Var(1)Var()(*)(=−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=X E X E X X E X E X X X E X E X E ； 1)Var()Var(1)](Var[)Var(1)Var()(Var *)Var(==−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=X X X E X X X X E X X ．称X *为X 的标准化随机变量．2.3.3. 切比雪夫不等式方差反映随机变量的分散程度，切比雪夫不等式给出其定量标准．切比雪夫不等式表明大偏差概率的上限与方差成正比．定理 设X 为随机变量，且方差Var (X ) 存在，则对于任何正数ε ，都有2)Var(}|)({|εεX X E X P ≤≥−．证明：以连续型随机变量为例证明，设X 的密度函数为p (x )，有∫≥−=≥−εε|)(|)(}|)({|X E x dx x p X E X P ，且∫∞+∞−−=−=dx x p X E x X E X E X )()]([)]([1)Var(22222εεε，故222|)(|22)Var()()]([)()]([}|)({|εεεεεX dx x p X E x dx x p X E x X E X P X E x =−≤−≤≥−∫∫∞+∞−≥−，得证．注：切比雪夫不等式的等价形式2)Var(1}|)({|εεX X E X P −≥<−．如随机变量X 的数学期望为E (X ) = 10，方差Var (X ) = 1，则由切比雪夫不等式可得43211}2|10{|}128{2=−≥<−=<<X P X P ． 例 设随机变量X 的全部可能取值为),0[∞+，且数学期望E (X ) 存在，试证：对任何正数a ，都有)(1}{X E aa X P ≤≥． 证明：以连续型随机变量为例证明，设X 的密度函数为p (x )，有∫+∞=≥a dx x p a X P )(}{，且∫∫+∞+∞∞−==0)()(1)(1dx x p a x dx x xp a X E a ，故)(1)()(}{0X E adx x p a x dx x p a x a X P a =≤≤≥∫∫+∞+∞，得证．定理 设随机变量X 的方差存在，则Var (X ) = 0的充分必要条件是存在常数b ，使得X 几乎处处收敛于b ，即P {X = b } = 1．证：充分性，设存在常数b ，使得P {X = b } = 1，有P {X ≠ b } = 0，即E (X ) = b P {X = b } = b ，故Var (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X − b )2 = 0 × P {X = b } = 0； 必要性，设X 的方差Var (X ) = 0，因事件U +∞=+∞→⎭⎫⎩⎨⎧≥−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−=>−11|)(|lim 1|)(|}0|)({|n n n X E X n X E X X E X ，则01)Var(lim 1|)(|lim 1|)(|}0|)({|21=⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−=>−+∞→+∞→+∞=n X n X E X P n X E X P X E X P n n n U ， 可得P {| X − E (X )| > 0} = 0，即P {| X − E (X )| = 0} = 1，取b = E (X )，有b 为常数， 故P {X = b } = 1．注：如果P {X = b } = 1，记为X = b , a.e.（或a.s.），称为X = b 几乎处处成立（或几乎必然成立）．这里，a.e.就是almost everywhere 的缩写，a.s.就是almost surely 的缩写．意味着不成立的情况是一个测度（或概率）等于零的集合（或事件）．§2.4 常用离散分布对于一个给定的函数，只要满足概率函数的两条基本性质：非负性、正则性，都可以成为某个离散随机变量的概率函数．但绝大多数在实际工作中并不常见，下面是几种常用的概率函数． 2.4.1.两点分布与二项分布一．两点分布两点分布只可能在两个点取值，通常就是0或1．定义 随机变量的可能取值只有两个：0或1，且概率函数为p (0) = 1 − p ，p (1) = p ， 其中0 < p < 1，称X 服从两点分布（Two-point Distribution ）或0-1分布，记为X ~ (0-1)．分布列为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−p p110． 两点分布实际背景是一次伯努利试验．通常描述为：X 表示一次伯努利试验中事件A 发生的次数．非负性：p (0) = 1 − p > 0，p (1) = p > 0； 正则性：(1 − p ) + p = 1． 两点分布的数学期望为E (X ) = 0 × (1 − p ) + 1 × p = p ．又因E (X 2 ) = 02 × (1 − p ) + 12 × p = p ，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = p − p 2 = p (1 − p )．二．二项分布在n 重伯努利试验中，以X 表示事件A 的发生次数，则X 的全部可能取值为0, 1, 2, …, n ，且kn k p p k n k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==)1(}{． 定义 若离散型随机变量X 的概率函数为kn k p p k n k p −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)1()(， k = 0, 1, 2, …, n ；0 < p < 1， 则称X 服从二项分布（Binomial Distribution ），记为X ~ b (n , p )．二项分布的实际背景是n 重伯努利试验． 当n = 1时，二项分布就是两点分布．非负性：0)1()(>−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−kn k p p k n k p ； 正则性：1)]1([)1()(11=−+=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑=−=nnk k n k nk p p p p k n k p ． 例 掷三枚硬币，X 表示正面朝上的次数，求X 的概率分布．解：X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3 ，将掷每一枚硬币看作一次试验．每次试验两种结果：正面A ，反面A ；每次试验相互独立；每次试验概率5.0)(=A P ． 即n 重伯努利试验，n = 3，5.0=p ，有X ~ b (3, 0.5)，p (0) = 0.5 3 = 0.125，375.05.05.013)1(21=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， 375.05.05.023)2(12=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， p (3) = 0.5 3 = 0.125．例 现有5台机床，每台机床一小时内平均开动18分钟，且是否开动相互独立，以X 表示同一时刻开动的机床数，求X 的概率分布．解：X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5 ，将每台机床是否开动看作一次试验．每次试验两种结果：开动A ，不开动A ；每次试验相互独立；每次试验概率P (A ) = 0.3． 即n 重伯努利试验，n = 5，p = 0.3，有X ~ b (5, 0.3)．p (0) = 0.7 5 = 0.16807，36015.07.03.015)1(41=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， 3087.07.03.025)2(32=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， 1323.07.03.035)3(23=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， 02835.07.03.045)4(14=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=p ， p (5) = 0.3 5 = 0.00243 ．一般地，如果随机变量X 服从二项分布，概率函数值p (k ) 将随着k 的增加，先逐渐增加，达到最大值后，又逐渐减少．通常，一个随机变量X 的概率函数或密度函数的最大值点称为X 的最可能值．二项分布b (n , p )的最可能值为⎩⎨⎧+−++++=.)1(,1)1()1(,)1(],)1[(0是正整数时当或不是正整数时当p n p n p n p n p n k 这里[x ]表示不超过x 的最大整数．如[2.3] = 2，[3.14] = 3，[−1.2] = −2．证：若X ~ b (n , p )，有n k p p k n k n p p k n k p k n k kn k ≤≤−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−0,)1()!(!!)1()(， 则11)1()!1()!1(!)1()!(!!)1()(+−−−−+−−−−−=−−k n k k n k p p k n k n p p k n k n k p k p ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−−⋅−−−=−−11)1()!()!1(!1k n p k pp p k n k n k n k)1()1()1()!()!1(!1+−−+⋅−−−=−−k n k k p n p p k n k n k n k ， 当k < (n + 1) p 时，有p (k ) > p (k − 1)；当k > (n + 1) p 时，有p (k ) < p (k − 1)．如果(n + 1) p 不是正整数，取k 0 = [(n + 1) p ]，有k 0 < (n + 1) p ，即p (k 0) > p (k 0 − 1)；且k 0 + 1 > (n + 1) p ，即p (k 0 + 1) < p (k 0)． 故p (k 0) 为最大值．如果(n + 1) p 是正整数，取k 0 = (n + 1) p ，即p (k 0) = p (k 0 − 1)， 故p (k 0) 和p (k 0 − 1) 都是最大值．如X ~ B (3, 0.5)，有(n + 1) p = 4 × 0.5 = 2是正整数，最可能值k 0 = 2或1；X ~ B (5, 0.3)，有(n + 1) p = 6 × 0.3 = 1.8不是正整数，最可能值k 0 = [1.8] = 1．三．二项分布的数学期望和方差组合数公式⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−⋅−−⋅=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!(!!k n k n k n k n k n k n k n k n ， （n ≥ k > 0）． 二项分布b (n , p )的数学期望为∑∑∑=−−=−=−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅⋅=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=nk k n k n k kn k nk k n k p p k n np p p k n k n k p p k n k X E 1110)1(11)1(11)1()( = np [ p + (1 − p )]n − 1 = np ．又因∑∑∑=−=−=−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=nk k n k n k k n k nk k n k p p k n k p p k n k k p p k n k X E 002022)1()1(11)()1()( )()1(22)1()1()(22X E p p k n k k n n k k nk k n k+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⋅−=∑=− np p p k n pn n nk kn k +−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=∑=−−222)1(22)1( = n (n − 1) p 2 [ p + (1 − p )]n − 2 + np = (n 2 − n ) p 2 + np ，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = (n 2 − n ) p 2 + np − (np )2 = − np 2 + np = np (1 − p )．2.4.2.泊松分布一．泊松分布泊松分布是一种理论推导的极限分布（成立的条件和推导过程见附录）． 定义 若随机变量X 的概率函数为λλ−=e !)(k k p k， k = 0, 1, 2, …… ；λ > 0，则称X 服从参数为 λ 的泊松分布（Poisson’s Distribution ），记为X ~ P (λ)．泊松分布的实际背景是已知平均发生次数为常数λ ，实际发生次数的概率分布．如足球比赛进球数，商店进店人数，电话接听次数等．非负性：λ > 0时，0e !>−λλk k；正则性：1e e e !=⋅=⋅−∞=−∑λλλλk kk ．例 已知一场足球比赛的进球数X 服从参数λ = 2.3的泊松分布，求比分为0:0, 1:0以及总进球数超过5个的概率．解：因X ~ P(2.5)，则3.2e !3.2)(−=k k p k ， k = 0, 1, 2, ……．比分0:0，即X = 0，100.0e e !03.2)0(3.23.20===−−p （查表）；比分1:0，即X = 1，231.0100.0331.0e 3.2e !13.2)1(3.23.21=−===−−p （查表）；总进球数超过5个，即X > 5，030.0970.01e !3.21e!3.2}5{53.263.2=−=−==>∑∑=−∞=−k k k k k k X P （查表）． 例 已知某公用电话每小时内打电话的人数X 服从参数为λ = 8的泊松分布．求某一小时内无人打电话的概率，恰有10人打电话的概率，至少有10人打电话的概率．解：因X ~ P(8)，有8e !8}{−==k k X P k ． 无人打电话的概率0003.0e e !08}0{880====−−X P ，恰有10人打电话的概率099.0717.0816.0e !108}10{810=−===−X P （查表），至少有10人打电话的概率283.0717.01}9{1e !8}10{108=−=≤−==≥∑∞=−X P k X P k k （查表）． 例 已知某商店一天中某种贵重商品的销售件数X 服从泊松分布P (7)，问该商店每天应该准备多少件该商品才能以99.9%以上的概率满足顾客需要？解：设准备了a 件该商品，X ~ P(7)，则7e !7)(−=k k p k ．事件“满足顾客需要”，即X ≤ a ，有P {X ≤ a } ≥ 0.999，故查表可得a = 16． 泊松分布P (λ )的最可能值为⎩⎨⎧−=.,1,],[0是正整数时当或不是正整数时当λλλλλk 证：若X ~ P(λ)，有L ,2,1,0,e !)(==−k k k p kλλ，故k k k k k k k k p k p k k k k−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=−−=−−−−−−−−−λλλλλλλλλλe )!1(1e )!1(e)!1(e !)1()(111，当k < λ 时，有p (k ) > p (k − 1)；当k > λ 时，有p (k ) < p (k − 1)．如果λ 不是正整数，取k 0 = [λ ] ，有k 0 < λ ，即p (k 0) > p (k 0 − 1)；且k 0 + 1 > λ ，即p (k 0 + 1) < p (k 0)． 故p (k 0) 为最大值．如果λ 是正整数，取k 0 = λ ，即p (k 0) = p (k 0 − 1)， 故p (k 0) 和p (k 0 − 1) 都是最大值． 二．泊松分布的数学期望和方差泊松分布P (λ )的数学期望为λλλλλλλλλλλ=⋅=−⋅=−=⋅=−∞=−−∞=−∞=−∑∑∑e e )!1(e e)!1(e!)(111k k k kk kk k k k X E ，即泊松分布的参数 λ 反映平均发生次数．又因)()!2(e e!e!)(e!)(222222X E k k k k k k k k X E k k k kk kk k+−⋅=⋅+⋅−=⋅=∑∑∑∑∞=−−∞=−∞=−∞=−λλλλλλλλλ= λ 2 e −λ ⋅ e λ + λ = λ 2 + λ ，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = λ 2 + λ − (λ )2 = λ ．三．二项分布的泊松近似二项分布与泊松分布的实际背景都是反映发生次数问题．下面的定理说明了二者之间的联系，泊松分布是二项分布的一种极限分布． 定理 （泊松定理）在n 重伯努利试验中，记事件A 在每次试验中发生的概率为与试验次数n 有关的数p n ，如果当n → +∞ 时，有n p n → λ ，则λλ−−+∞→=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛e !)1(lim k p p k n k k n n k n n ． 证：记λ n = n p n ，有λλ=+∞→n n lim ，因nk n n n kn n k n n n n n n p )(11)1(−−⋅−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−λλλλ，且e 1lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−+∞→nnn n n λλ，λλ−=−−+∞→n k n n n )(lim ， 则λλλλ−−−⋅−+∞→−+∞→=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−e 1lim )1(lim )(n k n n n n k n n n n n n p ，又因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n k n k n k k n n n k n k 1111!!)1()1(L L ，且11111lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n k n n L ， 故⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→−+∞→n k n p p k n p p k n k n nk n k n k n n k n n 1111)1(!lim )1(lim L λλ−+∞→−+∞→+∞→=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−⋅=e !1111lim )1(lim !)(lim k n k n p k np k n k n n n k n n L ． 此定理表明对于二项分布b (n , p )，当n 很大，p 很小时，可用泊松分布P (λ ) 近似，其中λ = n p ．例 某地区每年人口意外死亡率为0.0001，现有60000人投保人身意外保险，求一年内因投保人意外死亡恰好赔付8人的概率以及赔付不超过5人的概率．解：设X 表示“一年内因投保人意外死亡而赔付的人数”，X ~ B (60000, 0.0001)．则5999289999.00001.0860000}8{××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，∑=−××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤50600009999.00001.060000}5{k kk k X P ， 但显然计算很繁琐，为便于计算，用泊松分布近似．因n = 60000很大，p = 0.0001很小，λ = np = 6，有)6(~P X &，故103.0744.0847.0e !86}8{68=−=≈=−X P ，446.0e !6}5{506=≈≤∑=−k k k X P ．2.4.3. 超几何分布一．超几何分布在N 件产品中，有M 件次品，从中不放回地取n 件，以X 表示取得的次品数．设X 取值为k ，一方面，显然有k ≤ n 且k ≤ M ，即k ≤ min{n , M }，另一方面，有k ≥ 0且n − k ≤ N − M ，可得k ≥ M + n − N ，即k ≥ max{0, M + n − N }．这样X 的全部可能取值为l , l + 1, …, L ，其中l = max{0, M + n − N }，L = min{n , M }，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n N k n M N k M k X P }{．定义 若随机变量X 的概率函数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n N k n M N k M k p )(，k = l , l + 1, …, L ，l = max(0, n + M − N )，L = min(M , n )，M < N ，n < N ， 则称X 服从超几何分布（Hypergeometric Distribution ），记为X ~ h (n , N , M )．超几何分布的实际背景是古典概型中的不放回抽样检验问题． 注：有放回检验抽样问题对应的是二项分布．非负性：0>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N k n M N k M ；正则性：10=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑∑==n N n N n N k n M N k M n N k n M N k M Ll k L k ．注：比较(1 + x )M(1 + x )N − M与(1 + x )N中x n的系数可以证明⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑=n N k n M N k M Ll k ．例 一袋中有3个红球，2个白球，不放回地取出3个球，X 表示取得的红球数．求X 的概率分布．解：不放回抽样，N = 3，M = 2，n = 3，则X ~ h (3, 5, 3)．故X 的全部可能取值为1, 2, 3， (l = max (0, n + M − N ) = 1，L = min(n , M ) = 3)，3.0352213}1{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，6.0351223}2{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，1.0350233}3{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ． 超几何分布h (n , N , M )的最可能值为⎪⎩⎪⎨⎧+++−++++++++++++=.21)1(,121)1(21)1(,21)1(],21)1[(0是正整数时当或不是正整数时当N M n N M n N M n N M n N M n k证：若X ~ h (n , N , M)，有)!()!()!()!(!!1)(k n M N k n M N k M k M n N n N k n M N k M k p +−−−−⋅−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=， 故p (k ) − p (k − 1))!1()!1()!1()!1()!(!)!()!()!(!)!(!−+−−+−+−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=k n M N k n k M k n N M N M k n M N k n k M k n N M N M)]()1)(1[()!()!1()!1(!)!(!k n M N k k n k M k n M N k n k M k n N M N M +−−−+−+−+−−+−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=)]2()1)(1[()!()!1()!1(!)!(!+−+++−−+−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=N k n M k n M N k n k M k n N M N M ．当21)1(+++<N M n k 时，有p (k ) > p (k − 1)；当21)1(+++>N M n k 时，有p (k ) < p (k − 1)． 如果21)1(+++N M n 不是正整数，取21)1[(0+++=N M n k ，有21)1(0+++<N M n k ，即p (k 0) > p (k 0 − 1)；且21)1(10+++>+N M n k ，即p (k 0 + 1) < p (k 0)．故p (k 0) 为最大值．如果21)1(+++N M n 是正整数，取21)1(0+++=N M n k ，即p (k 0) = p (k 0 − 1)，故p (k 0) 和p (k 0 − 1) 都是最大值． 二．超几何分布的数学期望和方差超几何分布h (n , N , M )的数学期望为N nM n N k n M N k M N nM n N n N k n M N k M k M k n N k n M N k M k X E Ll k L lk L l k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑∑∑===11111111)(， 又因∑∑∑===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=L lk L l k Ll k n N k n M N k M k n N k n M N k M k k n N k n M N k M k X E )()(222 ∑=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⋅−=Llk X E n N n n N N k n M N k M k k M M k k )(22)1()1(22)1()1()(2N nM N N M M n n N nM n N k n M N k M N N M M n n Ll k +−−−=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅−−−=∑=)1()1()1(2222)1()1()1(， 故方差为)1())(()1()1)(1()]([)()Var(222222−−−=−+−−−=−=N N n N M N nM N M n N nM N N M n nM X E X E X ． 为了便于记忆，可将超几何分布与二项分布的数学期望和方差进行比较．二项分布b (n , p )：数学期望E (X ) = np ，方差Var (X ) = np (1 − p )；超几何分布h (n , N , M )：数学期望N M nX E =)(，方差11)Var(−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=N n N N M N M n X ； 可见分布h (n , N , M )中的N M 相当于二项分布b (n , p )中的p ，方差修正因子为1−−N nN ． 三．超几何分布的二项近似直观上，当抽样个数n 远小于M 及N − M 时，不放回抽样问题可近似看作有放回抽样问题，也就是此时超几何分布可用二项分布近似．定理 如果当N → +∞ 时，p NM→， (0 < p < 1)，则k n k N p p k n n N k n M N k M −+∞→−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛)1(lim ． 证：因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛N n N n N n n N N N n N n 1111!!)1()1(L L ， 且⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛M k M k M k M k 1111!L ，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−M N k n M N k n M N k n M N kn 1111)!()(L ， 故⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→+∞→N n N n N M N k n M N k n M N M k M k M n N k n M N k M n k n k N N 1111!1111)!()(1111!lim lim L L L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−⋅−=−+∞→N n N M N k n M N M k M N M N M k n k n nk n k N 111111111111)()!(!!lim L L L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+∞→−+∞→N n N M N k n M N M k M N M N M k n N kn k N 111111111111lim 1lim L L L。
概率论与数理统计--第二章PPT课件
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
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第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
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概率论与数理统计第二章
且
这样，我们就掌握了X这 个随机变量取值的概率 规律。
一、离散型随机变量概率分布的定义
1、定义 设离散型随机变量X的所有可能取值为xk （k=1, 2, …），称X取各个可能值的概率，即事件 ｛X=xk｝的概率， P｛X=xk｝=pk, （k=1, 2, …） 为X的分布律或概率分布（Probability distribution ）。也可以表示为 X x1 x2 … xk … pk p1 p2
② 进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试 验至少成功一次}，G={至多成功3次} X：试验成功的次数
二、引入随机变量的意义
随机变量概念的引入是概率论走向成熟的一个标 志，它弥补了随机试验下的随机事件种类繁多， 不易一一总结它们取值规律的缺陷，因为如果知 道随机变量的分布， 随机试验下任一随机事件 的概率也随之可以得到；另外引入随机变量后， 可以使用高等数学的方法来研究随机试验。
0-1分布 b n, p) 二项分布 B （(n,p) p 泊松分布 P( ) ()
正态分布的概率计算
均匀分布 U(a,b) N (m ,2)2) 正态分布 N(a, ) 指数分布 EE(q) （
§2.1 随机变量
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，有些随机试验的结果本身就是 数值（如班级的平均分数），而许多并不是数 值（掷硬币的结果）。我们对数值的处理比较 得心应手。因此，如果能用数值来表示样本空 间的样本点，就会非常方便。由此就产生了随 机变量的概念。
1, X (e ) 0,
e = H； e = T．
再如：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反
面的情况，则样本空间是S={HHH, HHT, HTH,
THH, HTT, THT, TTH, TTT}。令X表示三次投掷
概率论与数理统计第二讲
定义 设X是S上的随机变量F(x)为其分布函数， 如果存在定义在（-∞，+∞）上的非负实质函数 f(x)，使得
F ( x)
x
f ( t )dt, x
则称X为连续型随机变量，称F(x)为连续型分 布函数，称f(x)为X的概率密度函数（或概率 密度或分布密度）。
设X为连续型随机变量，F(x)与f(x)分别 为其分布函数和概率密度 1）对任意常数a＜b有
即
P(X<0)=P(X－3<-3)=0.1。
当μ=0且σ=1的正态分布N(0,1),称为标准正 态分布。 x2 1 2 概率密度 ( x ) e , x ,
2
在统计用表中给出了 x 0至x 3.49所对应 的( x)值。 当x 3.49时，( x) 1 ；
P(λ)
λ=np=1
0.368 0.368 0.184 0.061 0.015 0.004
例 某物业管理公司负责10000户居民的 房屋维修工作。假定每户居民是否报修 是相互独立的，且报修的概率都是0.04% 另外，一户居民住房的维修只需一名修理 工来处理。易知，在某个时段报修的居民 数X~B(10000,0.0004).试问 1）该物业管理公司至少需要配备多少名 维修工人，才能使居民报修后能得到及时 修理的概率不低于99%。
P (a X b) f ( x )dx
a
b
2）F(x)是连续函数，且当f(x)在x=x0处连续时
F ( x0 ) f ( x0 )
3）对任意常数c,P(X=c)=0,从而对任何a＜b，有
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P (a X b)
概率论与数理统计-第4章-第2讲-随机变量函数的数学期望
02 典型例题
应用 设市场上对某种产品每年需求量为X 吨 ，其中X ~ U [200,400],
每出售一吨可赚300元 , 售不出去，则每吨需保管费100元，问应
该组织多少货源, 才能使平均利润最大？
f
X
(
x)
1 200
,
0,
200 x 400, 其它
解 设组织n吨货源, 利润为 Y，
Y
因此只要掌握了期望的计算，所有的数字特征计算都解决了！
概率论与数理统计
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01 随机变量函数的数学期望
(1) Y = g(X) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1, 2,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则 i 1 E(Y ) g(xi ) pi i 1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
若广义积分 g(x) f (x)dx 绝对收敛, 则
例 设风速V是一个随机变量，它服从（0，a）上的均匀分布，而飞 机某部位受到的压力F是风速V 的函数：
F kV 2
（常数k > 0），求F 的数学期望.
01 随机变量函数的数学期望
如何计算随机变量函数的数学期望?
一种方法是: 因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它 的分布可以由X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就 可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
xf (x, y)dxdy
0
0
dx
2xdy 1
1 x1
3
E(3X 2Y )
(3x 2 y) f (x, y)dxdy
0
0
第2讲随机事件的概率
A与B是相等集合
A与B无相同元素
A与B的并集
A与B的交集
A与B的差集
A的余(补)集
§1.2 随机事件的概率
• 1.直观定义 • 2.统计定义 • 3.古典定义； • 4.公理化定义； • 5.几何定义.
1.2.1 概率的统计定义
概率的直 在一次试验中事件A发生的可能性大小的 观定义： 量度称为事件A的概率。
B { 取到的两只球都是黑球}
C { 取到的两只球中至少有一只是白球 }
D { 取到的两只球颜色相同 }
显然C B, D A B
(1)
P( A)
P42 P62
12 30
2 5
（2）类似于（1），可求得
P(B)
P22 P62
1 15
由于AB ，Leabharlann 由概率的有限可加性，所求概率为：
P(D) P( A B) P( A) P(B) 2 1 7 5 15 15
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种 方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方 法，则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
率的稳定值p,记做P(A)。概率是不变的
我们称这一定义为概率的统计定义 。
4 概率是事件的自然属性，有事件就一定有 概率。频率是概率的表现，频率的本质是概率
概率的公理化定义
• 非负性公理： P(A)0; • 正则性公理： P(Ω)=1; • 可列可加性公理：若A1, A2, ……,
概率论与数理统计第2章
而p1
Hale Waihona Puke m 1 mpn1 2
1
m2 m
n
当n
时，pn
1 2
贝叶斯公式
定理 设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
(2) P(Bi)>0 i=1,2,…，n；
则 对任一具有正概率的事件A，有
PBk
A
PBk PA Bk
n
P Bj P ABj
j 1
0.25 0.90 0.50 0.80 0.25 0.70 0.80
例3 设甲袋中有m-1只白球和1只黑球，乙袋中有m只白
球，每次从甲、乙两袋中分别取出一只球，经交换后放回袋
中，求经n次交换后，黑球在甲袋中的概率，并讨论n
时的情形.
解 设经 n次交换后，黑球在甲袋的概率为 pn 。
经过n-1次交换后，黑球在甲袋中，再交换一次，
一般地：
对任意n个事件A1，A2， An，且P( A1A2 An1) 0
则PA1A2 An
P( A1)P( A2 A1)P( A3 A2 A1)P( An A1A2 An1)
证明；
A1 A1A2 A1A2 An1
PA1 PA1A2 PA1A2 An1 0
由条件概率的定义，有
事件B发生 P（B）
事件A发生 P（A|B）
事件AB发生 P（AB）
思考：利用条件概率的定义，推出P(A︱B)与P(A)
的大小关系。
1. A B P( A B) P( A)
AB A
P(A B) P( AB) P( A) P( A) P(B) P(B)
2. B A P(A B) P(A)
概率论与数理统计第2讲
记(1),(2),(3)中三个事件分别为A,B,C, 则 1 (1) = ( A0 ) , P ( A) P = 16 5 15 (2) P ( B ) = 1 − P ( A0 ) = , P Ai = 16 i =1
3 (3) P (C ) = P Ai i =0 7 = P ( A0 ) + P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) = 16
3
根据上述定义, 频率反映了一个随机事件 在大量重复试验中发生的频繁程度. 例如, 抛掷一枚均匀硬币时, 在一次试验中虽然 不能肯定是否会出现正面, 但大量重复试 验时, 发生出现正面和反面的次数大致相 等, 即各占总试验次数的比例大致为0.5, 并且随着试验次数的增加, 这一比例更加 稳定地趋于0.5. 这似乎表明频率的稳定值与事件发生的 可能性大小(概率)之间有着内在的联系.
特别地, 若A1,A2,,An,为完备组, 则
∑ P( A ) = 1.
i i
23
例 4 已知 = P ( A) 0.5, = P ( AB ) 0.2, = P ( B ) 0.4, 求(1) P ( AB ) (2) P ( A − B ); (3) P ( A B ) (4) P ( AB ). 解 (1) 因为 AB + AB = B, 且 AB 与 AB 是互不 相容的, 故有 P ( AB ) + P ( AB ) = P( B) 于是 P ( AB ) = P ( B ) − P ( AB ) = 0.4 − 0.2 = 0.2
28
例6 某城市中发行2种报纸A,B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, 订阅A报的有45%, 订阅B报的有35%, 同时订阅2种报纸A,B 的有10%. 求只订一种报纸的概率α.
概率论与数理统计-第3章-第2讲-二维离散型随机变量及其分布
求分布律方法：先定值再求概率
Y
X
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
0
取4只球 P{X 0,Y 0} P{X 0,Y 1} P{X 1,Y 0} P{X 3,Y 2} 0
14
03 二维离散型随机变量的边缘分布律
例 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以 X 表示取 到黑球的只数, 以 Y 表示取到红球的只数, 求(X, Y)的联合分布律.
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18
由此得 X , Y 的联合分布律为
X Y
0
1
0
0
0
6
1
0
35
1
6
2
35
35
2
3
3
2
35
35
12
2
35
35
3 0
35
16
第2讲 二维离散型随机变量及其分布
本节我们认识了二维离散型随机变量, 以及联合分布律和边 缘分布律, 要求理解它们概念和性质, 并且会求相应的概率.
17
概率论与数理统计
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3
本讲内容
01 二维离散型随机变量 02 联合分布律 03 二维离散型随机变量的边缘分布律
4
02 联合分布律
2.联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为
(xi , y j ), i, j 1,2,
则称
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布, 简称概率分布或分布律.
7
02 联合分布律 已知联合分布律可以求概率
概率论与数理统计第二章_OK
2021/9/5
35
(一)、离散型随机变量的函数
设 X 是离散型随机变量，其分布律为
P X xn pn n 1, 2,
X
x1
x2 ， xn
或
P
p1 p2 ， pn
Y 是 X 的函数： Y g X ，则Y 也是离散型随机变
量，它的取值为
y1， y2 ， ， yn ，
所不具备的．
⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．
2021/9/5
34
§2.4 随机变量的函数的分布
随机变量的函数
设 X 是一随机变量， Y 是 X 的函数， Y g X ,则Y
也是一个随机变量． 当 X 取值 x时，Y 取值 y gx
本节的任务：
已知随机变量 X 的分布，并且已知 Y gX ，
35
70
126
252
252
252
252
252
252
例2 从一批次品率为p的产品中，放回抽样，直到抽到次 品为止。求抽到次品时，已抽取产品的次数X的分布律。
分析：若记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且
{ X=k }对应着事件 A1 A2 Ak1 Ak
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
X
o
F (x2 ) F (x1).
x1
x2 x
2021/9/5
12
2. 分 布 函 数 的 性 质
分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以看出， 分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
10 F (x) 是一个不减的函数．
概率论与数理统计第二章课件PPT
例2 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .
X ~ B (3, 0.8)，
P( X k)C (0.8) (0.2) , k 0,1,2,3
k 3 k
3k
P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} =(0.2)3+3(0.8)(0.2)2
X
p
1
0
1
2
3 0.1
a b 0.2 0.3
求a,b满足什么条件。
a b 0.4, a 0, b 0
一旦知道一个离散型随机变量X的分布律后，我们便可求得X
所生成的任何事件的概率。特别地，对任意 a ，有 b
P a X b P X x P X x i i a x b a x b 1 1 pk
解
用泊松定理 取 =np＝(400)(0.02)＝8, 故 近似地有 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1}
＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.
泊松分布(Poisson distribution)
定义2 设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,…，而X 的分布律为
pk P X k
路口1
路口2
路口3
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口1
路口2
路口3
1 1 1 P(X=3)= P( A1 A2 A3 ) =1/8 2 2 2
即
X
p
0
1
2
3
1 2
1 4
概率论与数理统计第二章_PPT课件
3，4，5
1.随机变量的定义
设E是一个随机试验,S是其样本空间.我们称样本空
间上的函数 X X e e S
为一个随机变量,如果对于任意的实数 x,集合
e ： X e x X x
X (e)
e
都是随机事件．
随机变量的特点:
R
S
1). X的全部可能取值是互斥且完备的
2). X的部分可能取值描述随机事件
实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命 中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:
1 , 2 , 3 , . 实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”,则 X 的所有可能取值为:
0 ,1 ,2 ,3 , ,3 . 0
( 5 ) 对 于 随 机 变 量 ， 我 们 常 常 关 心 的 是 它 的 取 值 ．
( 6 )我 们 设 立 随 机 变 量 ,是 要 用 随 机 变 量 的 取 值 来 描 述 随 机 事 件 ．
实例2 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 结果: e1(反面朝 ), 上
e2 (正面朝 ), 上 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
1 ,2 ,3 , . 注意 X(e) 的取值是可列无穷个！
实例7 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通 过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则
X(e) 此人的等车,时间
是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可 能取值为: [0,5].
实例8 设某射手对目标进行射击，如果我们以目标 中心为坐标原点，考查射击点的平面位置（坐标）， 为了便于研究，我们引入两个变量X,Y，其中
若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有
概率论与数理统计 第二章随机变量及其分布剖析PPT课件
射手射击击中目标.
这种对应关系在数学上表现为一种实值函数.
w.
X(w) R
对于试验的每一个样本点w,都对应着一个实数 X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一个 变量。
机
随机变量的定义
设 随 机 实 验 E的 样 本 空 间 ， 若 对 每 一 个 样 本 点
， 都 有 唯 一 的 实 数 X()与 之 对 应 ,则 称 X()为 随 机 变 量 ， 简 记 为 X.
P (X k ) ( 1 p )k 1 p , (k 1 ,2 , )
则称随机变量X服从以p为参数的几何分布，
记作
X ~G(p) 。
超几何分布
设N个元素分为两类，有M个属于第一类，N-M
个属于第二类。现在从中不重复抽取n个，其 中包含的第一类元素的个数X的分布律为
P(Xk)CM kC C N n N n kM, (k0,1, ,l) 其中l=min{M,n}, 则称随机变量X服从参数为 的超几何分布，记作 X~H(N,M,n)
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
例5. 某车间有5台车床,由于种种原因(由 于装、卸工作等),时常需要停车.设各 台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的 概率是1/3,求车间中恰有一台车床处 于停车状态的概率。
解：X:处于停车状态的车床数
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映 X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在 某点密度曲线的高度反映了概率集中在该 点附近的程度.
f (x)
o
x
例1 :某型号电子管的寿命X(小时）的概率密度为
概率论与数理统计 第2章课件
第一种维护方式,4人各自负责的20台车床 同时发生故障的台数X均服从相同的分布 B(20,0.01),4人能及时维修的概率为
p1=(P{X≤1})4={∑k1=0P{X=k} }4
=
=0.9343
20 {∑k =0 0.01k· 20-k}4 0.99 k
1
第二种维护方式，80台车床同时发生故 障的台数X ~ B (80,0.01) ，3人能及时维修的 概率为
显然P{X=k}= λk/k! · –λ>0,k=0,1,…,且 e
n limn→∞ pnkqnn-k= k
λk/k! · –λ. e
P{X=k}=∑k∞=0 λk/k! · –λ e
= e –λ ∑k∞=0 λk/k! = e –λ · λ=1 e 所以二项分布的极限情形 P{X=k}= λk/k! · –λ,k=0,1, …(λ>0) e 称为参数为λ的泊松分布，X则称为泊松变 量。 泊松分布是二项分布的极限情形，因此可
通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则 X(s)=此人的等车时间， 是一个随机变量.
且 X(s) 的所有可
能取值为:[0,5].
2.1.2 随机变量的基本分类
1. 离散型随机变量：试验结果的可能取值
为可列个。
如前面提到的废品数、骰子点数和顾客人 数等。
2. 连续型随机变量： 所有可能的取值是
§ 2.1 随机变量的概念
2.1.1 随机变量的概念
每一个试验结果（样本点）s都对应着 一个实数X(s),即在样本空间S上定义了一个 实值函数X=X(s)。反过来，一个实数X即是 对具有“属性X‖的随机事件的标识，随机事 件发生的概率即是标识随机事件的实数X发 生的概率，因而X又具有随机性。这种取值 是随机的变量就称为随机变量。
概率论与数理统计第2讲
15 ! /( 5 ! 5 ! 5 ! )
种等可能的装法。 故，基本事件总数为
15 ! /( 5 ! 5 ! 5 ! )
把三件次品分别装入三个箱中，共有3!种 装法。这样的每一种装法取定以后，把其余12 件正品再平均装入3个箱中，每箱装4件，有
12 !/( 4 ! 4 ! 4 !) 种装法 ,
再由乘法原理，可知装箱总方法数有
考虑在相同条件下进行的 k 组试验
事件A在各组试验中的频率形成一个数列
m m 1 m 2 ， ， ，k. n n n 1 2 k
下面我们来说明频率稳定性的含义。 频率稳定性是指：各组试验次数 n1,n2…, nk 充分大时，在各组试验中事件 A 出现的频率 间、或频率与某定值相差很小 。
稳定在概率 p 附近
当试验次数 n充分大时，事件的频率总在 一个定值附近摆动，而且，试验次数越多， 一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率 的稳定性。
频率在一定程度上反映了事件在一次试 验中发生的可能性大小。尽管每进行一连 n次 试验，所得到的频率可能各不相同 , 但只要 n 足当大，频率就会非常接近一个固定值 —— 概率。 因此, 概率可以通过频率来“度量”, 频率 是概率的近似 , 概率是频率某种意义下的极限。
(2).由于第一次抽测后不放回,所以第一次 从6只中取一只, 共有6种可能的取法；第二次 是从剩余的5只中取一只，有5种可能的取法。 由乘法原理，知取两只三极管共有n= 65=30 种可能的取法。 由乘法原理，得 kA=43=12。从而 P(A)=12/30=2/5； 类似地,得kE=21=2，P(E)=2/30=1/15； 由C是E的对立事件,得 P(C)=1-P(E)=14/15; 由B=A∪E, 且A与E互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15； 由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15.
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P ( A)
A 的几何度量 的 几 何 度 量
S ( A) S ( )
几何度量--------指长度、面积或体积
几何概型的计算：会面问题
例7 甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会 面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。 求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6： 30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。 解 设甲乙二人到达预定地点的 y 时刻分别为 x 及 y（分钟）, 则
互不相容，则 P ( B ) 2.设
.
P ( A ) 0 . 6 P ( A B ) 0 .3 ,则 ,
P ( A B ) _________
3.概率为0的事件一定是不可能事件。
.
（
）
4.不可能事件的概率一定为0。 5.设事件 A , B 相互独立，且
（
）
P ( A ) 0 .4 , P ( B ) 0 .7 , 则 P ( A B ) _______ .
有限性
1 , 2 , , n
等可能性
每次试验中，每个基本事件的出现是等可能，即 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) n i 1, 2, , n . 其中 Ai i ,
——— 古典概率模型
二、古典概率的计算：
P( A 1 A 2 A n ) P( A 1 ) P( A 2 ) P( A n )
3、 A B 4、 P(A ) 1
P(B A ) P(B ) P( A )
P(B ) P( A )
5、 P( A ) 1 P( A )
6、 P( A B ) P( A ) P(B ) P( AB )
ab
抽签问题
例2 10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，
抽取10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求
A={第五个抽签的学生抽到入场券}的概率。
第五个学生抽 到入场券 另外9个学生抽 取剩下9张
P ( A)
C 9!
1 3
10 !
3 10
二、古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法
C 2C 8
1 1
P(A )
C C
1 10
1 10
0.16
P (B )
C 10 C 8 C C
1 10 1 10
1
1
0.8
第一次抽取后，产品不放回去(不放回抽样)
P(A )
C C
C C
1 2 1 10
1 8 8 1 45 9
P(B )
C C C C
1 2 1 8 1 8
可以解得
P ( A)
2l
a
（此方法称为随机模拟法或叫蒙特卡洛方法）
显然随机事件是 的子事件，则构成一个域， 称为事件域，记作,满足下列要求:
(1)
F
(2) 若
(3) 若
n
A F
,则
A F
,则
Ai F , i 1, 2 , , n
i 1
Ai F
，称作布尔代数 。
五、概率的公理化定义
定义 设随机试验E的样本空间为
，若对每一事件A，都有唯一的实数P(A)与之对应， 且实值集函数 P ( ) 并满足下列性质：
1 非负性 对每个事件
A ，有
P ( A)，有 P ( ) 1 ;
3 完全可加性 对任意一列两两互斥的事件
1 7
C C
1 10
1 9
0.8
一般的，从a个白球和b个黑球中依次取k个球,
(k a b )
设Ai＝｛第i次取得白球｝
有放回抽样，则第i次取得白球的概率？
P(A i )
a ab
无放回抽样，则第i次取得白球的概率？ k 1 a Pa b 1 a P(A i ) k ab P
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机
抽取k 次，每次取一个，记录其结果
后放回，将记录结果排成一列，
n n n
n
共有nk种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，
样本点总数为
n C
3 10
事件A所含样本点数为
k C C
2 4
1 6
P ( A)
k n
C C C
3 10
2 4
1 6
0 .3
三、几类常见的概率问题
例1 设在10 件产品中，有2件次品，8件正品． A={第一次抽取次品，第二次抽取正品}， B={第二次抽到的产品是正品}
第一次抽取后，产品放回去(有放回抽样)
P(A i A j A k )
( 1)
P(A 1 A 2 A n )
例5 分房问题：有个 n 人，每个人都等可能地被分 配到个 N 房间中的任何一间，试求下列事件的概率： (1)A=“某指定的 n 间房各有一人” （2）B=“恰有n间房各有一人” 解：基本事件总数为
N
n
事件A包含的事件数为
P ( A) n! N
n
P n
n
事件B包含的事件数为
事件B包含的事件数为 C
n N
P
n n
P(B)
C P
n N
n n
N P (C ) P (C ) 1 C
n 365
n
N ( N 1 ) ( N n 1 ) N
n
n个人生日互不相同的概率为
P
n
n n
365 ( 365 1 ) ( 365 n 1 ) 365
每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，
n n-1 n-2
n-k+1
共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有
k n
C
n A n! k k! k ! ( n k )!
k n
种取法.
抽球问题
例3 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中 任抽2个球，求取到一红一白两球的概率。 解:设事件A为取到一红一白两球
维
尼
4040 12000 24000 30000
1061 2048
6019
0.518 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
12012 14994
古典概型
古典概型中事件的概率
概率的性质
一、
1.3 古典概型(有限等可能概 型) 古典概率模型的定义
随机试验E中只含有有限个可知的基本事件：
n
365 C
n 365
P
n
n n
1
365 ( 365 1 ) ( 365 n 1 ) 365
n
365
n P
10 0.12
20 0.41
23 0.51
30 0.71
40 0.89
50 0.97
1.设
P ( A B ) 0 . 8, P ( A ) 0 . 5, 且 A 与 B
k3=[200/24]=8
(1),(2),(3)的概率分别为 :33/200,1/8,1/25
古典概型
概率的定义及性质
随机取球 问题
随机分球 问题
随机取数 问题
四. 几何概型 Geometric Probability
将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概型。
特点 有一个可度量的几何图形Ω 试验E看成在Ω中等可能地任意投点 事件A就是所投掷的点落在Ω中的可度量图形A中
={BB,BG,GB,GG}
A ={BB,BG,GB}
即
n4
k 3 m 3 P ( A) n 4
例:在一场数学智力竞赛中，试题袋中共有10道
密封题，其中有4道题为打*号，参赛者从袋中任 抽3题当场回答，求恰好抽到2道打*号题的概率? 解:设参赛者从袋中任抽3题，恰好抽到2道打* 号题的事件为A,则
0 x 30
二人会面
2
0 y 30
30
10 0 10 30 x
x y 10
2
p
30 (30 10)
2
5 9
30
例8（蒲丰投针问题）平面上画有等距离的平行线， 平行线间的距离为 a ( a 0 ) ，向平面任意投掷一枚长为
l (l a )
的针，试求针与平行线相交的概率。
在古典概型中，如果随机试验E的基本事件总数n，而
随机事件A含有其中k个基本事件，则事件A的概率为
P ( A)
即
k n
k n
P ( A)
事 A中 含 基 事 数 件 所 的 本 件 中 本 件 数 基 事 总
P ( ) 1
特别地
P ( ) 0
例:有两个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设事件A表示至少有一个男孩,以B表示某个孩子 是男孩，G表示某个孩子是女孩，所以
（2）空一盒的概率是多少？ 解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒
n3
3
k 3!
P ( A)
2 9
P ( B ) 1 P {空两合 } P { 全有球 }