LDPC编译码的实现

LDPC 码编解码算法及其 在AMC 中的应用研究摘要： Abstract ：通信系统的模型通信系统的模型最早是由香农建立起来的，对于一个点到点的通信系统，其结框图如图1.1所示，信源信道编码器译码器信宿噪声消息信号信号和噪声消息信源的直接功能就是产生可能包含信息的消息。

信源按输出符号的取值分为连续信源和离散信源。

按输出符号之间的依赖关系，可以分为无记忆信源和有记忆信源。

如果信源输出符号的概率与以前输出的符号无关，就称为无记忆信源。

信源研究的核心问题是信源消息所包含信息的量度。

编码器的功能是将消息编程适合与信道传输的信号，在通信系统中称为发信机，编码器包括信源编码器、信道编码器、调制器。

信道编码器给信源编码符号增加冗余符号，目的是提高传输可靠性。

这些增加的冗余符号和信息符号之间具有一定的数学关系，如果在传输中收到噪声的影响，并且破坏了这种数学关系，在接收端就能够被检测出来，可见所添加的冗余符号具有检错和纠错的能力。

信道是信息传输的媒介。

信道中可能会引入加性噪声和乘性噪声，一般来说，背景噪声是加性噪声，而由信号传输衰落造成的噪声为乘性噪声。

信道也分为有记忆信道和无记忆信道。

译码器实现与编码相反的功能，即从信号中恢复消息。

译码器包括解调器、信道译码器、信源译码器。

信道译码器的功能是去掉解调器输出符号中的冗余符号，提高信息符号的可靠性。

信道模型2.1 二进制可抹信道 (Binary Erasure Channel,简称BEC)在二进制可抹信道中，当接收端无法判别某个码字的值时，可以暂时先不判决，而是输出一个待定的或未知的符号x ，符号x 常被称为删除符号。

如图 2.1所示。

11x11x图2.1 二元可抹信道转移概率模型 图2.2 简化的二元可抹信道转移概率模型p 称为删除概率，q 为转移概率，通常很小，可以忽略不计，在高斯噪声的影响下，其也是对称信道，因此可以进一步简化成如图2.2所示。

这就是二进制可抹信道。

当某个码字做删除操作时，其在码字序列中的位置应该是确定的，只是无法判定其值是0还是1。

2.2 二进制对称信道 (Binary Symmetric Channel,简称BSC)二进制对称信道是指输入端输入二元信号0或1，而在接收端被判决成0或1，发送端发送符号0而在接收端被判成1的概率和发送端发送符号1而在接受端被判为0的概率相等。

或者说误判的概率相等。

BSC 信道是数字通信中最常使用的信道。

假设误判概率为p ，则BSC 信道的转移概率模型如图2.3所示。

1图2.3 二元对称信道的转移概率模型2.3 加性高斯白噪声信道（Additive White Gaussian Noise ，简称A WGN ） 加性高斯白噪声信道是一种理想的信道模型，主要是因为一下两个原因：（1）根据中心极限定理，无数独立随机变量的和的分布趋于高斯分布，显然高斯分布是普遍存在的。

（2）在限平均功率条件下产生最大熵的信源分布为高斯分布，而最大熵分布是最容易被观察到的分布。

在比较不同纠错编码的性能时常采用此信道模型。

图2.4 加性高斯白噪声信道模型信道的输入为x ，输出为y ，n 是均值为0，方差为2o N 的高斯随机变量。

y x n =+。

以BPSK 信号为例，设u 是码字，采用21x u =-的格式进行BPSK调制，即将0映射为-1，将1映射为1，因此条件概率密度函数为(|1)o p y u ==(|0)o p y u ==当采用归一化能量信号时，2(1)(|1)}s o E y p y u N -==-2(1)(|0)}s o E y p y u N +==-在信道的接收端计算发送信号的对数后验概率(1|)()log(0|)p u y L u p u y ∧===(1)(|1)log log(0)(|0)p u p y u p u p y u ===+==22(1)exp{}(1)log log (1)(0)exp{}s os oE y p u N E y p u N --==++=- ()4soE L u y N =+⋅()c L u L y =+⋅()L u 被称为比特u 的先验概率信息对数似然比，比例系数4sc oE L N =称为信道的可靠性量度。

2.4 瑞利衰落信道（Rayleigh Fading channel ）瑞利衰落信道是无线通信中常用的信道模型。

信号在此信道中传输会引入乘性噪声和加性噪声，信道模型如图 2.5所示，在信道接收端得到的信号可以表示为()()()()y t A t x t n t =+图2.5 瑞利衰落信道模型()()j A t a t e θ=为乘性干扰，()n t 为加性干扰，()a t 是服从瑞利分布的高斯随机变量，2()2exp()A f a a a =-。

1948年C.E.Shannon 发表的著名的《通信的数学理论》[1]一文，指明了信道编码技术的发展方向。

香农信息论内容可以概括为“一个概念三个定理”，一个概念就是信息熵的概念，三个定理是三个编码定理，无失真信源编码定理、有噪信道编码定理和限失真信源编码定理。

Shannon 在著名的有噪信道编码定理中，给出了在数字通信系统中实现可靠通信的方法以及在特定信道上实现可靠通信的信息传输速率的上限。

Shannon 在他的证明中引用了三个基本条件：（1） 采用随机的编译码方法；（2） 构造码长的渐进好码或Shannon 码； （3） 译码采用最佳的最大似然译码算法； 信道容量与香农限信道容量表示一个信道的传输能力，他与信道的噪声大小和分布、传输信号的功率以及传输带宽有关。

信道容量的定义：对于所有信道都有一个最大的信息传输率，称为信道容量。

它是信息可靠传输的最大信息传输速率。

香农对信道容量C 进行了定义：()()max (;)max[()(|)](;)(;)i j i j p x p x ijC I x y H y H y x p x y I x y ==-=∑∑(|)()(|)log()j i i j i ijj p y x p x p y x p y =∑∑x 和y 代表信道的输入和输出，()p x 是输入变量x 的概率密度函数；(;)I x y 为变量x 和y 的互信息；()H x 为信源的熵，(|)H y x 为信道的条件熵，实际上就是因为信道噪声存在造成的损失熵。

香农限：是指在一定的误码条件下，单位时间、单位带宽上传输1bit 所需的最小的信噪比min ()b o E N 。

当没有误码时，就是所说的狭义的香农限。

编码通信系统的性能指标衡量：误码率1.码字率WER （或BLER 误分组率）定义为译码器输出的码字有错误的概率。

2.误比特率（BER ）定义为译码器输出的信息比特有错误的概率。

在诸如功率、带宽、译码复杂度等特定系统限制条件下，编码通信系统应设计为使这两种误码率尽可能的低。

在一个码率为/R k n =的编码通信系统中，为传输每个信息比特需要传输符号（或信号）的数目为1/R 。

若每个传输符号的能量为s E ，则每个信息比特对应的能量为/b s E E R =。

一个编码通信系统的误码率通常用单位信息比特的能量b E 与信道噪声的单边功率谱密度0N 的比值形式来表示，即为0/b E N 。

编码增益：阈值现象：在0/b E N 为足够低的值时，编码增益的值为负值，这个阈值现象对所有的编码方案都存在，总存在一个0/b E N 的值，当信噪比低于它时，编码将毫无效果，而且使情况变得更糟。

这个SNR 称为编码阈值（coding threshold ）。

使这个阈值足够低以及使编码通信系统的SNR 远高于这个阈值非常重要。

线性分组码线性分组码的生成矩阵和校验矩阵表示定义：一个长度为n 的分组码，有2k个码字，当且仅当其2k个码字构成(2)GF 上所有n 维向量组成的向量空间的一个k 维子空间的时候，这个码字才被称为线性的分组码，用(,)n k 表示。

由于一个(,)C n k 线性分组的是所有n 维向量组成向量空间n V 的一个k 维子空间，则一定存在k 个线性无关的码向量0,11,...,k g g g -，使得C 可以由这k 个线性无关的码向量的线性组合来表示出来。

010110110011111(,,...,)(,,...,)n k k k k g g v v v v u G u u u u g u g u g g -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⋅=⋅=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦0,00,10,11,01,11,11,01,11,1......n n k k k n g g g g g g G g g g ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦G 的行0,11,...,k g g g -张成(,)n k 码C ，G 称为码C 的生成矩阵。

00,11,11,01j j j k j k k k j ku j k v u p u p u p k j n-----≤≤-⎧=⎨+++≤<⎩系统码：对于一个线性分组码C ，可将其码字分成消息比特部分和校验比特部分，当消息部分是k 个未经改变的原始消息位组成，n-k 个校验部分是消息部分的线性组合时，具有这种结构的码字被称为系统码。

如图所示消息部分（k 位）校验部分（n-k ）于是，系统码的生成矩阵可以写成0,00,10,101,01,11,112,02,12,111,01,11,11000001000001000000001n k n k n k k k k k n k p p p g p p p g p p p G g p p p ------------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦用k I 表示k k ⨯的单位矩阵，则[,]k G I p =对于任何一个由k 个线性独立的行向量组成的k n ⨯矩阵G ，均存在一个由n k -个线性独立的行向量组成的()n k n -⨯矩阵H ，使G 的行与H 的行正交，并且任意一个与H 的行正交的向量都在G 的行向量中。

线性分组码的校验矩阵：对于由G 生成的码字C ，假定一个n 维向量V 是G 生成的码字之一，当且仅当0T v H ⋅=时，该码被称为H 的零空间，矩阵H 被称为线性分组码C 的奇偶校验矩阵。

同时，也可以将H 写成0,01,01,00,11,11,10,21,21,20,11,11,1100000100000100[,]0000001k k T k n k n k n k k n k p p p p p p p p p H p I p p p -----------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦容易验证，G 的第i 行与H 的第j 行内积为0i j ij ij g h p p ⋅=+=(0,0)i k j n k ≤<≤≤- 同时表明了0T G H ⋅= 循环码LDPC 码的Tanner 图表示 图论的基础知识定义1：所谓的图D ，是一个三元数组，记作(),(),()D V D E D D ϕ=〈〉,其中 （1） ()V D φ≠，称为图D 的节点集合（2） (){1,2,...,}m E D e e e =，是图D 的边集合，其中i e 为{,}j i v v 或,j i v v 〈〉。