初三数学竞赛初试试题

2013年全国初中数学联赛（初三组）初试解答一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1. 已知10x -<<，则2x -，x ，1x的大小关系是（ ）A ．21x x x -<<B ．21x x x <-<C ．21x x x<-<D ．21x x x<<-解：由10x -<<，得10x +>，从而2(1)0x x x x +=+<，所以2x x <-，又211(1)(1)0x x x x x x x--+-==<，所以1x x <．故选D ．2. 如图，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连接BP ， 过P 作PQ ⊥BP ，PQ 交CD 于Q ，若AP ＝CQ ＝2，则正方形ABCD 的面积为A ．6+B ．16C ．12+D ．32解：如图，过P 分别作PE 、PF 、PG 垂直于AB 、CD 、AD ，垂足分别为E 、F 、G ．易证Rt △EPB ≌Rt △FQP ≌Rt △FDP ，所以FQ ＝FD ＝EP因此正方形ABCD的边长为2+2(212+=+故选C ．3. 若实数a ，b 满足2220b a b +-+=，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ?B ．1a ?C ．1a £D ．1a ³解：将原式看作为关于b 的一元二次方程，则其判别式2(2)41(2)0a D =--创+?， 解得1a ?．故选A ．4. 如图，在四边形ABCD 中，∠B=135°，∠C=120°，BC=3-，CD=6，则AD 边的长为（ ）A． B ．C．D ．解：过A 和D点向BC 作垂线，垂足为M 和N ， 那么CN=3，DN=6MN BM BC CN =++=，所以222()ADMN DN AM =+-=48，所以AD =． 故选B ．5. 方程1137x y +=的正整数解(,)x y 的组数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5解：不妨设0x y?，则11x y £，所以327y£，解得4y £．又显然3y ³，即34y ＃．经验证：3,4y y ==均不符合条件．所以，符合条件的解的组数为0组．故答案选A ． 6. 已知实数,,x y z 满足1x y z y z z x x y ++=+++，则222x y z y z z x x y+++++的值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2解：显然0x y z ++?，否则3x y zy z z x x y++=-+++由已知得()()x y zx y z x y z y z z x x y++++=+++++ 即222x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以222x y z y z z x x y+++++0=． 故选B ．二、 填空题（本大题满分28分,每小题7分）1. x 是正整数，○x 表示x 的正约数个数，则③×④÷⑥等于 ． 解：③2=，④3=，⑥4=，所以③×④÷⑥32=．故填32．2. 草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 ．解：设草原上原有草量为a ，每天长出量为b ，并设20头牛在x 天内可以吃完这片青草． 因为一头牛一天的吃草量相等，根据题意可得方程组24607024306020a b a b a bxx+++==创． 由246070243060a b a b++=创得480a b =． 代入60306020a b a bx x ++=´中，得34801020xb b x+=，解得96x =． 故填96．3. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、DC的中点，AM=4，AN=3，且60MAN ??，则AB 的长是 ． 解：延长AM 交DC 的延长线于F ，则△AMB ≌△FMC ．则CF=AB ，则NF=32AB ，过N 作NH 垂直AF 于H ，则AH=1322AN =，NH =3132422HF =?=，7NF =．所以21433AB NF ==． 故填143． 4. 小明将1，2，3，…，n 这n 个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入(1)n -个数，且平均值为30.75，假设这(1)n -个数输入无误，则漏输入的一个数是 ． 解：依题意得1230.75(1)23n n n +++??++ ，所以230.7522n n +＃，即59.561.5n ＃，所以n=60或61．因为30.75(1)n -是整数，所以n=61．所以漏输入的数为616230.7560462´-?．故填46． 三、（本大题满分20分）解方程2|21|20x x ---=．解：当12x ³时，原方程可化为2(21)20x x ---=，解得11x =+21x =-又因为2112x =-，故应舍去． ······················································ 10分 当12x <时，原方程可化为2(21)20x x --+-=， 解得33x =-，41x =．又因为4112x =>，故应舍去．所以原方程的解为1x =+和3x =-．················································ 20分 四、（本大题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD 中，CB =CD ，求证：22CA CB AB AD -=?； 证明：连结BD 、AC 交于点E ，则BAE CAD ??，ABE ACD ??，所以△ABE ∽△ACD ， ····································································· 5分 所以AB ACAE AD=， 所以AB AD AC AE ??． ···································································· 10分 又CBE CAB ??，BCE ACB ??， 所以△CBE ∽△CAB ， ······································································ 15分 所以CB CACE CB=， 所以2CB CA CE =?， ·········································································· 20分 所以22CB AB AD CA CE CA AE CA +???， 所以22CA CB AB AD -=?． ································································· 25分 五、（本大题满分25分）已知二次函数2y ax bx c =++和一次函数y bx =-，其中a 、b 、c 满足a b c >>，0a b c ++=．(,,a b c ÎR )．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A 、B ；（2）过（1）中的两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为A 1、B 1．求线段A 1B 1的长的取值范围． （1）证明：由2y ax bx c y bxìï=++ïíï=-ïî消去y 得220ax bx c ++=，2222223444()44()4[()]24c b ac a c ac a ac c a c D =-=---=++=++． ········ 5分 ∵0a b c ++=，a b c >>，∴0a >，0c <． ∴2304c >， ∴0D >，即两函数的图象有两个不同的交点． ······································· 10分 （2）解：设方程220ax bx c ++=的两根为1x 和2x ，则x 1+x 22b a =-，x 1x 2c a=． ································································· 15分22211121212||()()4A B x x x x x x =-=+-2222224444()4()b c b ac a c ac a a a a ----=--== 22134[()1]4[()]24c c c a a a =++=++． 20分∵0a b c ++=，a b c >>，∴0a >，0c < ∴a a c c >-->，解得122c a -<<-．∴3<211||A B 12<11||A B <． ············································ 25分。