2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十二)文科数学试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十三)数学(文科)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十三）文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，P＝A∩B，则P的子集共有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】A【解析】【分析】进行交集的运算即可求出P＝{2}，然后即可得出P的子集的个数.【详解】∵A＝{1,2},B＝{2,3}，∴P＝A∩B＝{2}，∴P的子集共有21＝2个.故选：A【点睛】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.2.i是虚数单位，复平面内表示i（1+2i）的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】直接由已知求得对应复数，得到其在复平面内对应点的坐标得答案.【详解】因为i（1+2i）=-2+i其在复平面内对应的点为（-2,1）故在第二象限；故选：B【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.3.学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为（）A. 12B.13C.14D.16【答案】B【解析】【分析】基本事件总数n＝3×3＝9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m＝3，由此能求出这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率.【详解】学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，基本事件总数n＝3×3＝9.这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数m＝3，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率p3193 mn===.故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.4.数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，∀n∈N+，a n+2＝a n+1﹣a n，则a2020＝（）A. 1B. 5C. ﹣2D. ﹣3【答案】C【解析】【分析】根据递推关系求出其是以6为周期交替出现的数列，进而表示结论，并求得答案.【详解】因为数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，∀n∈N+，a n+2＝a n+1-a n，∴a3＝a2-a1＝1；a4＝a3-a2＝-2；a5＝a4-a3＝-3；a6＝a5-a4＝-1；a7＝a6-a5＝2＝a1；a8＝a7-a6＝3＝a2；∴数列{a n}是周期为6的数列；∵2020＝6×336+4；∴a2020＝a4＝-2；故选：C【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，解决本题的关键在于求出周期为6，属于简单题.5.执行如图的程序框图，如果输出的y的值是1，则输入的x的值是（）A. 23B. 2C.23或2 D. 以上都不是【答案】C【解析】【分析】根据结果，倒着推，进行判断.【详解】若x＜1，则3x-1＝1，解之得x23 ；若x≥1，则x2-4x+5＝1，解之得x＝2；故选：C【点睛】本题考查程序框图、分段函数的性质，属于基础题.6.若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =-上，则cos(2)2πα+的值等于（ ） A. 45- B. 45 C. 35 D. 35【答案】B 【解析】点()cos ,P sin αα在直线2y x =-上，2cos ,tan 2sin ααα∴=-∴=-，22tan 4cos 2221tan 5sin παααα⎛⎫∴+=-=-= ⎪+⎝⎭，故选B. 7.已知a ＝ln 3，b ＝sin 3，13c e -=，则（ ） A. a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜c ＜a 【答案】D【解析】【分析】 利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出.【详解】∵a ＝ln 3＞lne =1，b ＝sin 3＜sin 2132π=，11312c e -==＞， ∴b ＜c ＜a .故选：D .【点睛】本题考查指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8.ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱，若AB ＝1，AB 1⊥BC 1，则AA 1＝（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA 1＝a ，再由110AB BC ⋅=列式求解a 值，则答案可求.【详解】如图，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a，则A（12-,0,0）,B1（12,0,a）,B（12,0,0）,C1（0,32,a）,则()11131,0,,,,2AB a BC a⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭.由AB1⊥BC1，得21112AB BC a⋅=-+=，即a22=.∴AA12=.故选：B【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离的求法，训练了向量垂直与数量积关系的应用，属于中档题.9.经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A、B两点，若|AB|＝1，则p＝（）A. 1B.12C.13D.14【答案】D【解析】【分析】由题意可得直线AB的方程为：y＝x2p-，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得4p＝1，从而求出p的值.【详解】由题意可知，抛物线焦点坐标为（2p,0），∴直线AB的方程为：y＝x2p-，联立方程222py xy px⎧=-⎪⎨⎪=⎩.消去y得：22304px px-+=，∴x A +x B ＝3p ，由抛物线的定义可知：|AB |＝x A +x B +p ，∴4p ＝1，∴p 14=， 故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.10.给出下列结论：（1）某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862．（2）甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲．（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1．（4）对A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30．则正确的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 【答案】C【解析】【分析】运用抽样、方差、线性相关等知识来判定结论是否正确【详解】（1）中相邻的两个编号为053，098，则样本组距985345-=∴样本容量为9002045= 则对应号码数为()53452n +-当20n =时，最大编号为534518863+⨯=，不是862，故（1）错误（2）甲组数据方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5， 则56910575x ++++==乙 乙组数据的方差为()()()()()22222157679710757 4.455⎡⎤-+-+-+-+-=<⎣⎦ 那么这两组数据中较稳定的是乙，故（2）错误（3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故错误（4）按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为31530312÷=++，故正确 综上，故正确的个数为1故选C【点睛】本题主要考查了系统抽样、分层抽样、线性相关、方差相关知识，熟练运用各知识来进行判定，较为基础11.直角坐标系xOy 中，双曲线221412x y -=的左焦点为F ，A （1，4），P 是右支上的动点，则|PF |+|P A |的最小值是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 12 【答案】B【解析】【分析】设双曲线的右焦点为G ，由双曲线方程求得F 与G 的坐标，再由双曲线的定义可得|PF |+|P A |＝2a +|PG |+|P A |，利用|PG |+|P A |≥|AG |求出最小值.【详解】由题意得a ＝2，b =，c ＝4，则F （-4,0），设右焦点G （4,0）.由双曲线的定义可知位于右支的点P 有|PF |﹣|PG |＝4，∴|PF |+|P A |＝4+|PG |+|P A |≥4+|AG |＝4=4+5＝9.故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|PF |+|P A |化为2a +|PG |+|P A |是解题的关键，属于中档题.12.已知函数()|ln |f x x =，若0a b <<.且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A. )+∞B. )⎡+∞⎣C. (3,)+∞D. [)3,+∞ 【答案】B【解析】【分析】画出()|ln |f x x =的图象，数形结合可得01,1a b <<>，1ab =，然后利用基本不等式即可求出答案【详解】()|ln |f x x =的图象如下：因为0a b <<.且()()f a f b = 所以ln ln a b =且01,1a b <<>所以ln ln a b -=，所以1ab = 所以22222a b ab +≥=当且仅当2a b =，即222a b ==时等号成立 故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用，用到了数形结合的思想，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.{a n }是等比数列，若a 1＝2，a 2＝1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝_____.【答案】242n --【解析】【分析】由等比数列定义可求得公比，再由等比数列求和公式计算得答案.【详解】由等比数列的前两项可求得公比，再代入前n 项和公式可求出结果.∵{a n }是等比数列，若a 1＝2，a 2＝1，∴公比q 2112a a ==. 又n S =()1212[1)12421112n n n a qq -⎛⎤- ⎥-⎝⎦==---. 故答案为：242n --【点睛】本题考查等比数列的基本量的求法与前n 项和公式，属于基础题.14.ABCD 是边长为1的正方形，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=_____.【答案】1【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再求AE•AF的值. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示；则A（0,0）,B（1,0）,C（1,1）,D（0,1）；因为E、F分别是BC、CD的中点，则E（1,12）,F（12,1）；所以AE=（1,12）,AF=（12,1）；故AE AF⋅=11122⨯+⨯1＝1.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示及数量积计算问题，属于基础题.15.设x，y满足22510.x yxy⎧+≤⎪≥⎨⎪≥⎩，，则z＝2x+y的取值范围是_____.（用区间表示）【答案】[]2,5【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A时，z最小，从而得出目标函数z＝2x+y的取值范围.【详解】画x，y满足22510.x yxy⎧+≤⎪≥⎨⎪≥⎩，，表示的平面区域，如图：将目标函数变形为2y x z=-+，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大作出目标函数对应的直线L ：y ＝﹣2x由10x y =⎧⎨=⎩可得A （1，0） 直线z ＝2x +y 过A 时，直线的纵截距最小，z 最小，z 的最小值为：2.直线﹣2x +z ＝y 与圆相切于B 时，z 取得最大值： 55z-=，解得z ＝±5， 则目标函数z ＝2x +y 的取值范围是[]2,5.故答案为：[]2,5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，属于中档题.16.函数()()2221x sinx cosx f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝_____. 【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出f （-x ）的表达式，分析可得f （x ）+f （-x ）＝2，即可得函数f （x ）的图象关于点（0,1）对称，据此分析可得答案.【详解】根据题意，()()222221211x sinx cosx x sinxcosx f x x x ++++===++1221sinxcosx x ++， 则f （-x ）＝1221sinxcosx x -+， 则有f （x ）+f （-x ）＝2，即函数f （x ）的图象关于点（0,1）对称，若函数f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，必有M +m ＝2； 故答案为：2【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）.（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（0，0.5]，（0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3].如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？超过2万元 不超过2万元 总计 平原地区 山区 5 总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ P （K 2≥k 0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 0 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）45户（2）0.45（3）填表见解析；有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”. 【解析】【分析】（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，然后求解应收集户山区家庭的户数.（2）由直方图直接求解该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率.（3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为（0.300+0.100）×0.5×150＝30户.而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，完成列联表，求出k2，即可判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.【详解】（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机450×0.1＝45户山区家庭的样本数据. （2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为（0.500+0.300+0.100）×0.5＝0.45. （3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为（0.300+0.100）×0.5×150＝30户.而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以()2215025405802003.175 2.706301201054563K⨯-⨯==≈⨯⨯⨯＞，∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，属于简单题.18.△ABC的角A、B、C的对边为a、b、c，已知a、b、c成等差数列，78 cosA=.（1）若a＝1，求c；（2）若△ABC的周长为18，求△ABC的面积S.【答案】（1）c＝2（2）【解析】（1）由已知结合余弦定理可求；（2）结合已知a，b，c的关系及余弦定理可求c，然后结合同角平方关系及三角形的面积公式可求；【详解】（1）依题意，12cb+ =，由余弦定理得，()()2222214472418c cb c acosAbc c c++-+-===+，即c2-c-2＝0，解得c＝2或c＝-1，舍去负值得，c＝2，（2）依题意，a+c＝2b，a+b+c＝18，所以b＝6，a＝12-c，由余弦定理得，()22222261272128c cb c acosAbc c+--+-===，解得c＝8，由78cosA=且0＜A＜π得，158sinA=，△ABC的面积13152S bcsinA==，【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角基本关系及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.19.如图，四棱锥O﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，OA＝2，∠ABC＝60°，OA⊥平面ABCD，M、N分别是OA、BC的中点.（1）求证：直线MN∥平面OCD；（2）求点M到平面OCD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）57 19【分析】（1）取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN ∥PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN ∥平面OCD ；（2）连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离.【详解】（1）证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ， ∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM ∥AD ，且12PM AD =，NC ∥AD ，且12NC AD =， ∴PM ∥NC ，且PM ＝NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN ∥PC ， ∵PC ⊂平面OCD ，MN ⊄平面OCD ， ∴直线MN ∥平面OCD ；（2）解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由（1）得，点N 到平面OCD 的距离为d ， 设三棱锥O ﹣CDN 的体积为V ，则1133CDNOCDV S OA S d =⨯⨯=⨯⨯，依题意，132CDNSCD CN sin BCD ∠=⨯⨯⨯=， ∵AC ＝AD ＝CD ＝1，∴5OC OD ==，则11195244OCDSCD =⨯⨯-=. 由1311923834d ⨯⨯=⨯⨯，得点M 到平面OCD 的距离5719d =.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属于中档题.20.直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的短轴长为2，离心率为63.（1）求椭圆的方程；（2）斜率为1且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于P 1、P 2两点，P 是椭圆上任意一点，若12OP OP OP λμ=+（λ，μ∈R ），证明：λ2+μ2为定值.【答案】（1）22162x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用已知条件解得b =a =.（2）直线P 1P 2的方程为y ＝x ﹣2，由221622x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2x 2﹣6x +3＝0， 设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）、P （x 0，y 0），结合韦达定理，以及向量关系，通过P 、P 1、P 2都在椭圆上，转化求解即可.【详解】（1）依题意，2b =c e a===解得b =a =22162x y +=，（2）证明：2c =，直线P 1P 2的方程为y ＝x ﹣2，由221622x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2x 2﹣6x +3＝0， 设P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）、P （x 0，y 0），则x 1+x 2＝3，1232x x =， 由12OP OP OP λμ=+得x 0＝λx 1+μx 2，y 0＝λy 1+μy 2， 因为P 、P 1、P 2都在椭圆上，所以22360i i x y +-=，i ＝0，1，2，()()()()()2222222222001212112212126333323x y x x y y x y x y x x y y λμλμλμλμ=+=+++=+++++＝6λ2+6μ2+3λμ（1+2y 1y 2），()()()121212123122246422y y x x x x x x =--=-++=-+=-， 所以，6λ2+6μ2＝6，λ2+μ2＝1是定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力，属于较难题. 21.已知函数f （x ）＝lnx ﹣e x ﹣2，x ＞0.（1）求函数y ＝f （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程； （2）求证：f （x ）＜0. 【答案】（1）122y x ln =-+（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求出()21'x f x e x-=-，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程. （2）（方法一）作函数()1g x lnx x e =-，求出()11'g x x e =-，判断函数的单调性，构造函数()21x e h x x e e=-，()21'x e h x e e=-，求出函数的最小值，然后推出结果.（方法二）()21'x f x e x-=-在定义域区间（0，+∞）单调递减，求解函数的极大值，导函数的零点，然后转化求解即可.【详解】（1）()2xe f x lnx e =-，()21'x f x e x -=-，f （2）＝ln 2﹣1，1'22f =-（）， 所求切线方程为()()12122y ln x --=--，即122y x ln =-+，（2）（方法一）作函数()1g x lnx x e=-，（其他适宜函数如()6758g x lnx x ln e⎛⎫=-+⎪⎝⎭、()26758x e h x x ln e e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭也可）()11'g x x e =-， g ′（e ）＝0；当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0；当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 所以g （x ）≤g （e ）＝0，即1lnx x e≤，等号当且仅当x ＝e 时成立. 作函数()21x e h x x e e =-，()21'x e h x e e=-，h ′（1）＝0；当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0；当x ＞1时，g ′（x ）＞0，所以h （x ）≥h （1）＝0，即21x e x e e≥，等号当且仅当x ＝1时成立.因为e ≠1，综上所述，∀x ＞0，lnx ＜e x ﹣2，即f （x ）＜0.（方法二）()21'x f x e x-=-在定义域区间（0，+∞）单调递减， 11'1'2102f f e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（）（）＜，所以，f ′（x ）有唯一零点x 0，且x 0是极大值点， ()0200x f x lnx e-=-，由02010x e x --=得，0201x e x -=，lnx 0＝2﹣x 0， 代入得，()00012f x x x =--， 因为1＜x 0＜2，所以0012x x +＞，f （x ）≤f （x 0）＜0. 【点睛】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，构造法的应用，函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力，属于难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C 1的参数方程为112.x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝16cosθ. （1）把曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求C 1与C 2交点的直角坐标.【答案】（1）x 2+y 2＝16x （2）(4±，【解析】 【分析】（1）首先利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用曲线间的位置关系式的应用求出交点的坐标. 【详解】（1）由ρ＝16cosθ得，ρ2＝16ρcosθ. 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝16x .（2）由112.x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即111.2t x tt y t ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得，1122t x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11122x y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.相乘得，曲线C 1的直角坐标方程为4x 2﹣y 2＝16.由222216416.x y x x y ⎧+=⎨-=⎩，得，5x 2﹣16x ﹣16＝0. 解得x ＝4或45x =-. x ＝4时，y 2＝48，y =±；45x =-时，233625y =-无实数解. 所以，C 1与C 2交点的直角坐标为(4,±.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，曲线间的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题. 23.已知函数()2f x x x a a=++-，a 是非零常数. （1）若a ＝1，求不等式f （x ）≤5的解集； （2）若a ＜0，求证：()f x ≥【答案】（1）[﹣3，2]（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）a ＝1时，f （x ）＝|x +2|+|x ﹣1|，通过x ＜﹣2时，﹣2≤x ≤1时，x ＞1时，化简函数的解析式取得绝对值符号，求解不等式即可. （2）()()22f x x x a a a a⎛⎫≥+--=+ ⎪⎝⎭，通过基本不等式求解表达式的最小值即可. 【详解】（1）a ＝1时，f （x ）＝|x +2|+|x ﹣1|，x ＜-2时，f （x ）＝-1-2x ，解2125x x -⎧⎨--≤⎩＜得-3≤x ＜-2，-2≤x ≤1时，f （x ）＝3＜5， x ＞1时，f （x ）＝2x +1，解1215x x ⎧⎨+≤⎩＞得1＜x ≤2，不等式f （x ）≤5的解集为[-3,-2）∪[-2,1]∪（1,2]＝[-3,2]. （2）()()22f x x x a a a a⎛⎫≥+--=+ ⎪⎝⎭，因为a ＜0，-a ＞0，20a-＞，()2a a ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭所以，()()22f x a a a a ⎛⎫≥+=-+-≥ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的最值的求法，绝对值不等式的解法,考查计算能力，属于中档题.。
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷(十二)文科数学
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷（十二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24410U x x x =-+≥，{}20B x x =-≥，则UB =（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合U 和B ，进而可求出UB .【详解】由()22441210x x x -+=-≥恒成立，所以U =R . 又因为{}{}202B x x x x =-≥=≥，所以{}2UB x x =<.故选：A.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的补集，属于基础题. 2.已知32a ib i i-=+（,a b ∈R ），其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算，结合复数相等，求得参数,a b ，写出复数在复平面内对应点的坐标即可判断. 【详解】因为32a ib i i-=+，故可得32a i bi -=-+， 故可得2,3a b =-=-，则复数23a bi i -=-+在复平面内对应的点为()2,3-， 其位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数相等求参数，以及复数在复平面内对应点的考查，属综合基础题.3.在正项等比数列{}n a 中，若2124a a =，则72a （ ） A. 2- B. 2C. 4D. 16【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的性质可得，27212a a a =，即可求出7a ，从而可求出()72a-. 【详解】在正项等比数列{}n a 中，由题意得272124a a a ==，72a ∴=，()()72224a -=-=∴.故选：C.【点睛】本题考查等比中项的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4.假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有50尾，第二次打捞的草鱼总数为50尾，其中有标记的为7尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（ ） A. 250 B. 350C. 450D. 550【答案】B 【解析】 【分析】根据池塘中带有标记的草鱼数量与草鱼总数的比值等于样本中带有标记的草鱼数量与样本容量的比值.【详解】设池塘中草鱼的数量大约为x ，可得50750x =， 所以357x ≈，所以池塘中草鱼大约有350条.故选：B.【点睛】本题考查用样本估计总体，难度较易.总体中某一类个体所占的比例等于样本中该类个体所占的比例.5.若cos()2πα+=cos2=α（ ）A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】C 【解析】 【分析】本道题化简式子,计算出sin α,结合2cos 212sin αα=-,即可.【详解】cos sin 3ααπ⎛⎫+=-= ⎪2⎝⎭,得到sin α=,所以 211cos 212sin 1233αα=-=-⋅=,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.6.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为135，180，则输出的a =（ ）A. 0B. 5C. 15D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，列出算法循环的每一步，结合判断条件，可得输出的a 值. 【详解】运行该程序，输入135a =，180b =， 则a b ，且a b <，可得135a =，18013545b =-=； 则a b ，且a b >，可得1354590a =-=，45b =； 则ab ，且a b >，可得904545a =-=，45b =；则a b =，退出循环，输出45a =. 故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，直线9x =与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，O 为坐标原点.若OPQ △为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2 23C.432【答案】B 【解析】 【分析】由OPQ △为正三角形，可得π6QOx ∠=，从而可知双曲线C 的渐近线为3y x =±，即可求出b a 的值，再结合离心率21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭可求出答案. 【详解】依题意得OPQ △为正三角形，所以π3POQ ∠=，结合对称性可知，π6QOx ∠=， 所以双曲线C 的渐近线为33y x =±，即33b a =， 所以离心率22323113c b e a a ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线，考查学生的计算求解能力，属于中档题.8.已知直三棱柱111ABC A B C -玉石，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，14cm AA =，若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（ ）2cm .A.8π3B.32π3C. 16πD.64π3【答案】C 【解析】 【分析】由222AB AC BC =+，可知ABC 为直角三角形，可求得Rt ABC △的内切圆的半径r ，可知12AA r =，从而将此玉石加工成一个球，此球是该三棱锥的内切球时，球的表面积最大，且内切球半径R r =，求出该球的表面积即可.【详解】在ABC 中，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，则222AB AC BC =+，所以ABC 为直角三角形，在Rt ABC △中，设内切圆的半径为r ，则()1168681022r ⨯⨯=++，即2cm r =， 因为12AA r =，所以将此玉石加工成一个球，要求此球的最大表面积，此球应是直三棱的内切球，球的半径R 等于底面直角三角形内切圆的半径，即2cm R =， 所以该球的最大表面积为24π16πS R ==. 故选：C.【点睛】本题考查几何体的结构特征、内切球的表面积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A. 335π11π2π,2πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈ZB. 335π11π4π,4πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈ZC. 33π5π2π,2πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z D. 33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知函数()f x 的周期7ππ233T ⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，结合2πT ω=，可求出ω，再结合函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫⎪⎝⎭，可求出,A ϕ，即可得到函数()f x 的表达式，进而利用平移变换，可得到()g x 的表达式，然后求出单调递增区间即可.【详解】由图象可知，函数()f x 的周期7ππ2π24π33T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，12ω∴=. 又函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， ππsin 036f A ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π2π6n ϕ+=∴()n ∈Z ，π2π6n ϕ=-∴，π2ϕ<，π6ϕ∴=-，又()π30sin sin 62f A A ϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，3A ∴=，()1π3sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.∴()π1π3sin 323g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π1ππ2π2π2232k x k -+≤-≤+()k ∈Z ，得π5π4π4π33k x k -+≤≤+， 故()g x 的单调递增区间为33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z . 选择：D.【点睛】本题考查三角函数的解析式、图象的平移变换及单调递增区间，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.定义在R 上的奇函数()f x 在,0上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. c a b <<D.a b c <<【答案】A【解析】 【分析】易知()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可判断出0.822log 5log 4.122>>>，结合函数的单调性可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】由()f x 是定义域为R 的奇函数，且在(),0-∞上是增函数， 则()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()2log 4.1b f =，()0.82c f =，易知222log5log 4.1log 42>>=，而10.822<，所以0.822log 5log 4.12>>.所以()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即c b a <<.故选：A.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，下列说法中：①PQ 可能与平面11CDD C 平行； ②PQ 与BC 所成的角的最大值为3π； ③1CD 与PQ 一定垂直；④PQ ≥.其中正确个数（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，①中，当Q 为11B C 的中点时，1PQ C D ∥，由线面平行的判定定理判断.②中，当Q 为11B C 的中点时，由垂直平行线中的一条则垂直另一条判断.③中，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，由线面垂直的判定定理判断.④中，当Q 为11B C 的中点时，由勾股定理判断.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，知：在①中，当Q 为11B C 的中点时，1PQ C D ∥，由线面平行的判定定理可得PQ 与平面11CDD C 平行，故①正确；在②中，当Q 为11B C 的中点时， 1PQ C D ∥，111B C C D ⊥，11BC B C ，可得PQ BC ⊥，故②错误；在③中，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，可得1CD ⊥平面11ADC B ，即有1CD PQ ⊥，故③正确；在④中，当Q 为11B C 的中点时，PQ ，故④正确. 所以正确的个数为3. 故选：C.【点睛】本题主要考查线线，线面关系，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题. 12.已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ）A. ln 212-B. ln 212+C. 2【答案】D【解析】 【分析】易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+，且e 1x x ≥+恒成立，2C 在点()1,0B 处的切线方程为1y x =-，且()ln 10xx x x-≥>恒成立，由AB 等于平行线1y x =+与1y x =-间的距离，从知min PQ AB =.【详解】曲线1C ：e x y =，求导得e x y '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1x f x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-.下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==且平行线1y x =+与1y x =-=，所以PQ. 故选：D.【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,3a =，()3,b m =，且0a b ⋅=，则向量a 在向量()a b -上的投影为__________.【解析】 【分析】由0a b ⋅=，可求出m ，进而由向量a 在()a b -上的投影为()a a b a b⋅--，求解即可.【详解】因为630a b m ⋅=+=，解得2m =-，所以()3,2b =-，()1,5a b -=-， 所以向量a 在()a b -上的投影为()21a a b a b⋅-==+-. 故答案为：2. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14.某省级示范校新校区计划今年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名.若a ，b 满足不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，若设该校今年计划招聘数学科教师最多z 名，则z =__________. 【答案】13 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可求出+a b 的最大值.【详解】如图所示，画出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当6a =，7b =时，+a b 取得最大值. 故()max 6713a b +=+=，即13z =. 故答案为：13.【点睛】本题考查利用线性规划解决实际问题，考查数形结合的思想在解题中的应用，属于基础题.15.过已知抛物线216y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为__________. 【答案】1282+ 【解析】 【分析】设直线方程为4x my =+，与抛物线联立得216640y my --=，，根据124,4AF x BF x =+=+，得到1114AF BF +=，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】抛物线216y x =的焦点()4,0F ，设直线方程为4x my =+，与抛物线联立得216640y my --=，由韦达定理得：21212121216,64,168,16y y m y y x x m x x +=⋅=-+=+⋅=，因为124,4AF x BF x =+=+，1114AF BF ∴+=， ()211242431282BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2AF 时，等号成立.故答案为：12+【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.已知数列{}n a 满足14a =，144n na a +=-，且()()()()()12232222f n a a a a =--+--+()()()()3412222n n a a a a +--++--，若对()3n n *∀≥∈N ，都有()22f n mm ≥-恒成立，则实数m 的最小值为__________.【答案】1- 【解析】 【分析】 易知124422n n n n a a a a +--=-=，可得111122422n n n n a a a a +==+---，从而可得数列22n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，进而可求出22n a -及2n a -的表达式，从而可求出()f n 的表达式，然后求出()f n 的最小值，令()2min 2f n m m ≥-，即可求出实数m 的范围，从而可求出实数m 最小值.【详解】14a =，144n na a +=-， ∴124422n n n na a a a +--=-=， 若存在()2,n n n *≥∈N，使得12n a+=，则2n a =，即112n n a a a -====，显然与14a =矛盾，12n a +∴≠，2n a ≠.111122422n n n n a a a a +∴==+---，122122n n a a +∴-=--，1221242a ==--，22n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列；2112n n n a ∴=+-=-，22n a n-=， ()()1221122411n n a a n n n n +⎛⎫∴--=⋅=- ⎪++⎝⎭， ()()()()()()()()()122334122222222n n f n a a a a a a a a +∴=--+--+--++--1111144122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭. 对()*3n n ∀≥∈N，都有()22f n mm ≥-恒成立，所以()2min 2f n m m ≥-，因为()*3n n ∀≥∈N时，()44141n f n n n ==-++，易知()f n 在[)3,+∞上是增函数，所以()()min 33f n f ==，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤，所以实数m 的最小值为1-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的证明及通项公式的求法，考查裂项相消求和法的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，7a =，8c =..（1）若sin C =A ；（2）若ABC 的面积为，求ABC 周长.【答案】（1）π3A =；（2）周长为20或15+【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a c A C =，可求出sin A ，易知π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可求出角A ；（2）由1sin 2ABC S ac B =△，可求出sin B ，进而可求出cos B ，结合余弦定理，可求出b ，即可求出ABC 的周长.【详解】（1）由已知条件可知，7a =，8c =，sin C =根据正弦定理可得sin sin a cA C=，si 7sin n 8a A c C =∴==， a c <，A C ∴<，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴=.（2）因为ABC 的面积为7a =，8c =.1sin 28sin 2ABC S ac B B ∴===△sin B ∴=.11s 14co B =±∴=. ①若11cos 14B =，由余弦定理得，22222112cos 782782514b ac ac B ⨯=+-⨯⨯-=+=， 5b ∴=，ABC ∴的周长为78520a b c ++=++=；②若1os 14c 1B =-，由余弦定理得，22222112cos 7827820114b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪⎝⎭⨯⨯，b ∴=ABC ∴的周长为1578a bc ++=++=.综上，ABC 周长为20或15+【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”，“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓，深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元.经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示.小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x （单位：吨）表示下一个月内市场的需求量，y （单位：元）表示下一个月内经销西凤脐橙的销售利润.（1）将y 表示为x 的函数；（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y 不少于67000元的概率； 【答案】（1）130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（2）0.7【解析】 【分析】（1）根据小王购进了100吨和频率分布直方图，分需求量大于等于70小于100和需求量大于等于100小于等于120，两种情况讨论求解.（2）根据销售利润y 不少于67000元由（1）的模型，求得需求量的范围，再根据频率分布直方图求解概率.【详解】（1）依题意得，x 表示一个月内的市场需求量，y 表示一个月内经销西凤脐橙的利润， 当[)70,100x ∈时，()800500100130050000y x x x =--=-. 当[]100,120x ∈时，80010080000y =⨯=.所以130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩. （2）由（1）知下一个月网店利润y 不少于67000元，所以67000y ≥， 当[)70,100x ∈时，由13005000067000x -≥，得90x ≥，所以90100x ≤<. 由直方图知西凤脐橙需求量[]90,120x ∈的频率为()0.030.0250.015100.7++⨯=， 所以下一个月内的利润y 不少于67000元的概率的估计值为0.7.【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用以及频率直方图样本估计总体，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且60BAD ∠=，11124CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点.（1）求证：1AA BD ⊥； （2）求三棱锥111B A C E -的体积.【答案】（1）详见解析；（2）23. 【解析】 【分析】(1) 推导出CC 1⊥BD ．BD ⊥AC ．从而BD ⊥平面ACC 1，由此能证明BD ⊥AA 1； (2)利用等积法即可得到三棱锥111B A C E -的体积. 【详解】（1）证明：因为底面，所以.因为底面是菱形，所以. 又，所以平面.又由四棱台知，四点共面. 所以.（2）由已知，得，又因为，所以.【点睛】等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．20.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点22,P ⎭.（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625 【解析】 【分析】（1）设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F△是正三角形，可得2b a =，进而将22,2⎭代入椭圆方程，可求出,a b 的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线l 的方程为x ky m =+，与椭圆方程联立，并消去x 得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，可得0CA CB ⋅=，将其展开并结合韦达定理，可求得65m =，即直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭，进而1212ABCSDC y y =-，结合韦达定理，求出最大值即可. 【详解】（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，所以2b a =，则椭圆方程为222214x yb b+=.将2⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=，解得2a =，1b =. 故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线l 的方程为x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=， 将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式并整理得()()()()2212121220ky y k m y y m ++-++-=，则()()()()22222214222044km k m m m k k +---++-=++，化简得()()5620m m --=， 解得65m =或2m =， 因为直线x ky m =+不过点()2,0C ，所以2m ≠，故65m =. 所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故121162225ABCSDC y y ⎛=-=⨯- ⎝==，设211044t t k ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭，则ABCS =10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，当14t =时，1625ABCS ==， 所以ABC 面积的最大值为1625. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查三角形的面积的计算，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于难题. 21.已知函数1()ln af x a x x x-=-++. （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()23xg x e mx =+-，当21a e =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使212()2()f x e g x +≥，证明：2m e e ≤-.【答案】(1)见解析；(2)见证明 【解析】 【分析】（1）求导221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x'----=-++=，讨论1x =与1x a =-的大小关系得单调区间；(2)当21a e =+时，由（1）得()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--，由题 212()2()f x e g x +≥转化为21min2g xf x e ，得22x mx e e +≤，分离m 得22x e e m x -≤，构造函数22()xe e h x x-=求其最大值即可证明 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-； 当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是0,，没有单调减区间；（2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增. 从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--.对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证【点睛】本题考查函数的单调区间，不等式有解及恒成立问题，分离参数求最值问题，转化化归能力，是中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22.已知在平面直角坐标系xoy中，曲线112:12x C y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,1M ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离.【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()2224x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）消去参数得到20x y +-=，再利用极坐标公式化简得到答案. （2）根据直线过圆心得到()2,0，计算得到答案.【详解】（1）曲线1:C 1212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得20x y +-=， 其极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4cos ρθ=，24cos ρρθ=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）由题意及（1）知直线1C 过圆2C 的圆心()2,0，则点N 的坐标为()2,0， 又()1,1M，所以MN ==.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力. 【选修4—5：不等式选讲】 23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在[1,1]-上有解，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) {}23x x -≤≤ (2) 24a -≤≤ 【解析】 【分析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题x a 2x +≤-在[]1,1-上有解，去绝对值分离变量a 即可.【详解】（1）不等式()()f x 5f x 3≤--，即x 1x 25++-≤等价于1,125,x x x <-⎧⎨---+≤⎩ 或12,125,x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或2,125,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得 2x 3-≤≤，所以原不等式的解集为{}x 2x 3-≤≤；（2）当[]x 1,1∈-时，不等式()2f x x a x 4++≤+，即x a 2x +≤-， 所以x a 2x +≤-在[]1,1-上有解 即2a 22x -≤≤-在[]1,1-上有解， 所以，2a 4-≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.。
2021年高三第二次模拟考试 文科数学 含解析
2021年高三第二次模拟考试文科数学含解析本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p∨q是假命题，则A. p∧q是假命题B. p∨q是假命题C. p是假命题D. ﹁q是假命题【答案】A【解析】若﹁p∨q是假命题，则，都为为假命题，所以为真命题，为为假命题，所以p∧q是假命题，选A.2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A. B. C. D.【答案】D【解析】A,为非奇非偶函数.BC,在定义域上不单调。
选D.3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上A. 所有点向右平移个单位长度B.所有点向下平移个单位长度C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D.所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）【答案】B【解析】因为，所以只需把函数的图象上所有点向下平移个单位长度，所以选B.4.设平面向量，若//，则等于A. B. C. D.4.设平面向量，若//，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为//，所以，解得。
所以，即。
所以，选D.5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点A.都在函数的图象上B.都在函数的图象上C.都在函数的图象上D.都在函数的图象上【答案】C【解析】开始：x=1，y=2，进行循环：输出（1，2），x=2，y=4，输出（2，4），x=3，y=8，输出（3，8），x=4，y=16，输出（4，16），x=5，y=32，因为x=5＞4，退出循环，则输出的所有点（1，2），（2，4），（3，8），（4，16）都在函数的图象上,所以选C.6.已知是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的最大值是A. B. C. D.【答案】 B【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），,D（1，2），因为M、N是区域内的两个不同的点，所以运动点M、N，可得当M、N 分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远，因此|MN|的最大值是|,选 B.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为336俯视图侧（左）视图正（主视图）A． B. C. D.【答案】A【解析】视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长分别为，其中斜侧面的高为。
2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)
2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列｛如｝中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列｛Qn ｝的前〃项和，则S 15=（在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为（A 1B 丄 A- 3b∙ 2）,则CRqrIB=（）2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=（D- 2若它们的中位数相同，平均数也相同, 复数 Z= （sinθ - 2cosθ） + （sinθ+2cosθ） Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为（）a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几 侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（)饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中，正确的有（② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是：“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件；④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相 应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1：MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限)，且7B =4AF,直线/与圆M 相切，则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点，则αD. 3,焦点为化圆M ：10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中，ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点，则^-AF= __________ .15.若数列｛如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列｛ττ—｝的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为''赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为寺，若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列｛如｝中，a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列｛/｝的通项公式；TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示，A ( - 1,⑷)，B (3,・山)为图象上的两点，HZAOB=Q i其中O为坐标原点，0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于X的线性回归方程，=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式：回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起，使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证：DC丄平而ABC；■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点，且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼，且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程；(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C ： x 2+y 2=4相交于A, B 两点，沁NAB 的面积最大时，求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；(Il )当GE (0, 2)时，求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间［0, 3］上的最 小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作 答时请写清题号•［选修4«4:坐标系与参数方程］坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴 正半轴为极轴)中，圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离；(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.［选修4・5:不等式选讲］23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈［1, 2］, Λ-k-rtl≤ 1恒成立，求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中，直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数)，在极一、选择题1. 解：因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选：B.2. 解：T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选：C.3・解：根据茎叶图知，乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9；故选：A.4. 解：在等差数列｛如｝中， T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列｛伽｝的前H 项和，故选：B.5. 解：∙.∙d>0, b>0,两直线人：3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人 丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时，等号成立. 故选：C.6. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「 兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的 值，OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选：C.7. 解：根据题意，设圆柱的高为九 圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍，即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心，半径为,•的球内，其体积W = 4：T ,故选：C.8.解：对于①：相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强；越趋近于0,相关性越弱，故①错误；对于②：命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是："对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④：f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时，f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立，此时f (%)没有极值点，故不符合条件；故选：A.x+y-3≤09.解：作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示，k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时，1+片严一-3=1,当1 +/=3 时，l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选：C.10. 解：根据题意，函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数，排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时，/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选：D.He 解：如图，设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3，则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・ 故选：B.12. 解：函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根，而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根，lns-2x ,一 .、， / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点，y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知，d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选：A. 二、填空题13. 解：由三视图还原原几何体如图，P：.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心，・：这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解：根据题意，作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得，AF=yAB+yAC ， =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为：于.15. 解：数列仙｝的前"项和为S“，对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时，自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 （SH-SH .1） + {a n - 6∕π 1） =O tQ 1所以数列{a n ］是以号为首项，才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。
2021届全国学海大联考新高考模拟考试(四)数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟考试（四）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{}|42M x x =-<<，{}2|60N x x x =--<，则M N ⋃=（ ） A. {}|43x x -<<B. {}|42x x -<<-C. {}|22x x -<<D. {}|23x x <<【答案】A【解析】【分析】化简集合N ，进而求并集即可. 【详解】由题意可得{}|42M x x =-<<，{}|23N x x =-<<，所以{}|43MN x x =-<<， 故选A .【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知31i z i -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. 2i D. i【答案】B【解析】【分析】先化简得2z i =+，即得z 的虚部. 【详解】由题得3(3)(1)4221(1)(1)2i i i i z i i i i --++====+--+. 所以z 的虚部为1.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的虚部，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3.已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a << 【答案】A【解析】【分析】 利用指对函数的单调性，借助中间量比较大小.【详解】0.2log 20a =<，()20.20,1b =∈，0.231c =>， 所以a b c <<，故选A .【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．4.若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞） 【答案】D【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x +2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D ．5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（ ）A. 9B. 7C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】 根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论． 【详解】解：班学生成绩的平均分是85，79788080859296857x ∴+++++++=⨯，即5x =．乙班学生成绩的中位数是83，∴若1y ，则中位数为81，不成立．若1y >，则中位数为8083y +=，解得3y =．538x y ∴+=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，属于基础题．6.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A .B. C.D.【答案】A【解析】【分析】 判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln x f x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ，故选A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键 7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )A. 215πB. 320πC. 2115π-D. 3120π- 【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】 2251213+=，设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r. 所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误．8.在ABC ∆中，若cos 1cos 2cos 1cos 2b C C c B B +=+，则ABC ∆的形状是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】 由已知22221cos 22cos cos cos 1cos 22cos cos cos C C C b C B B B c B+===+，cos cos C b B c ∴=或cos 0cos C B =，即90C =或cos cos C b B c =，由正弦定理，得cos cos ,cos cos b B C sinB c C B sinC=∴=，即sin cos sin cos C C B B =，即22sin C sin B =，,B C 均为ABC ∆的内角，22C B ∴=或22180,C B B C ==∴=或90B C +=，ABC ∆∴为等腰三角形或直角三角形，故选D.9.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A. 关于点(,0)16π-对称 B. 关于点(,0)16π对称C. 关于直线16x π=对称 D. 关于直线4πx =-对称 【答案】B【解析】 分析：利用函数()y f x =的图象与性质求出,T ω和ϕ，写出函数()y f x =的解析式，再求()f x 的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以函数的周期为2π，24Tπω∴==，()()4f x sin x ϕ∴=+， 将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后， 得到函数3416y sin x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象， 图象关于y 轴对称，34,162k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，即,4k k Z πϕπ=-∈， 又,24ππϕϕ<∴=-，()44f x sin x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 令4,4x k k Z ππ-=∈， 解得,216k x k Z ππ=+∈， 0k =，得()f x 的图象关于点,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故选B. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.10.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 为1AA ，AB 的中点，M 点是正方形11ABB A 内的动点，若1//C M 平面1CD E ，则M 点的轨迹长度为（ ）A. 2B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】如图所示，取AB 中点F ，11A B 的中点H ，1B B 的中点G ，连接EF ，FC ，GH ，1C H ，1C G ，EG ，HF ．可得：四边形11EGC D 是平行四边形，可得11//C D D E ．同理可得：1//C H CF ．可得面面平行，进而得出M 点轨迹．【详解】解：如图所示，取AB 中点F ，11A B 的中点H ，1B B 的中点G ，连接EF ，FC ，GH ，1C H ，1C G ，EG ，HF ．可得：四边形11EGC D 是平行四边形，11//C G D E ∴．又1D E ⊂平面1CD E ，1C G ⊄平面1CD E ，所以1//C G 平面1CD E同理可得：1//C H CF ．又CF ⊂平面1CD E ，1C H ⊄平面1CD E ，所以1//C H 平面1CD E111C H C G C ⋂=．∴平面1//C GH 平面1CD E ， M 点是正方形11ABB A 内的动点，若1//C M 平面1CD E ．∴点M 在线段GH 上．M ∴点的轨迹长度22112GH =+=故选：C ．【点睛】本题考查了面面平行的判定定理与性质定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数()213ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A. 111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 111,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】先求导21232()x a x f x x '⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=，令21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，由函数21()3ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有最大值，则21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有零点，则必需(1)0(3)0g g >⎧⎨<⎩，解出即可得出. 【详解】解：2123312()22x a x f x x a x x'⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=-+-=. 令21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭， 由韦达定理可得若函数()g x 有零点，则必有一个负零点和一个正零点， 又由函数21()3ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有最大值， 则21()232g x x a x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭在区间（1，3）上有零点，由零点存在性定理可得1(1)23023(3)183302g ag a⎧=-+-+>⎪⎪⎨⎪=-+-+<⎪⎩，解得11122a-<<.∴实数a的取值范围是111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，关键是零点存在性定理的应用，属于中档题.12.已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C 的右支于M，N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N，则C的离心率为（）A. 2B.43C. 5D. 3【答案】B【解析】【分析】设双曲线的左焦点为1F，NH是线段AM的垂直平分线，则点F在NH上，可得AMN是等边三角形，60AMN∠=，故120AFN∠=.1AFF中，12FF c=，NF AF a c==+，由双曲线的定义可得13NF a c=+，余弦定理可求得43a c=，故可求离心率.【详解】设双曲线的左焦点为1F，连接1NF.点H是线段AM的中点，NH是线段AM的垂直平分线，则点F在NH上.如图所示则NA NM=.又双曲线C 和以F 为圆心的圆都关于x 轴对称，∴点,M N 关于x 轴对称， ,,AM AN AM AN MN AMN ∴=∴==∴是等边三角形，60,120AMN AFN ∴∠=∴∠=.由题意()(),0,,0A a F c -，,AF a c NF AF a c ∴=+∴==+.又点N 在双曲线的右支上，112,23NF NF a NF NF a a c ∴-=∴=+=+. 1AFF 中，12FF c =，由余弦定理得22211112cos NF FF NF FF NF F FN =+-⋅∠，即()()()()2223222cos120a c c a c c a c +=++-⨯⨯+⨯，整理得22430a ac c +-=，即()()430,43a c a c a c -+=∴=或0a c +=（舍）， 43c e a ∴==. 故选：B .【点睛】本题考查双曲线的定义、几何性质，考查圆的几何性质，属于中档题.二、填空题13.已知()tan 2πα+=，则cos sin cos sin αααα+=-______. 【答案】3-【解析】【分析】由诱导公式可得tan 2α=，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为()tan 2πα+=所以tan 2α=， 所以cos sin 1tan 123cos sin 1tan 12αααααα+++===---- 故答案为：3-【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.14.已知向量()1,2m =，()2,0n =，则m 在n 方向上的投影为______.【答案】1【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示，得到cos ,m n <>，再由投影的定义，即可得出结果.【详解】因为向量()1,2m =，()2,0n =，所以cos ,552m n m n m n ⋅<>===⨯，因此，m 在n 方向上的投影为cos ,51m m n <>=⨯=. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量夹角公式，以及投影的定义即可，属于基础题型. 15.设函数()()2ln 1f x x =+，则使()()21f x f x >+成立的x 的取值范围是______. 【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 根据复合函数的单调性、奇偶性的定义得出函数()f x 的奇偶性、单调性，根据单调性解不等式()()21f x f x >+，即可得出答案.【详解】211x +≥，∴函数()f x 的定义域为R()()2ln 1f x x =+可看作ln y u =和21u x =+复合而成的21u x =+在[)0,+∞上单调递增，且函数ln y u =递增∴函数()f x 在[)0,+∞上单调递增()22()ln ()1ln 1()f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，则函数()f x 为偶函数 (2)(1)f x f x >+等价于()()21f x f x >+即|2||1|x x >+，即224(1)x x >+，整理得23210x x --> 解得13x <-或1x > 故答案为：()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了利用单调性以及奇偶性解抽象不等式，属于中档题.16.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】【分析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则2233AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得23OP =，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，由6AB =，得2233AO BO CO CF ====， PAB ∆是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥，2223OP OF PF +=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径23R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(242348ππ⨯=，故答案为48π. 【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题17.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【答案】（1）213（2）413（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 【解析】【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式求解；（2）事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，再利用古典概型的概率得解；（3）由图观察得从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.【详解】解：（1）在3月1日至3月13日这13天中，5日、8日共2天的空气重试污染，所以此人到达当日空气重度污染的概率为213. （2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. （3）由图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查方差的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1102n n n n S S S S n ---+=≥. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1,32,n n n S n C n n -⎧⎪=+⎨⎪⎩奇偶为数为数，设数列{}n C 的前n 项和为n T ，求2n T .【答案】（1）证明见解析；（2）2125131244n n +--+ 【解析】【分析】（1）由已知变形为1111n n S S --=，可证得等差数列； （2）由（1）求得n S ，从而得n c ，对2n T 按奇数项和偶数项分别分组求和，奇数项的和用裂项相消法求和，偶数项用等比数列前n 项和公式求和．【详解】解：（1）证明：因为112a =，()1102n n n n S S S S n +-+-=≥，所以216a =-，所以10n n S S -≠， 所以1111n n S S --=. 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112S =为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）可得()1211n n n S =+-=+，所以11n S n =+. ∴()()()()11132n n n n n c n -⎧⎪++=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ∴()132121111111...22...222446222n n T n n -⎛⎫=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭ 2121111222512222331244n n n n ++-⎛⎫=-+=-- ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式，前n 项和公式，等比数列前n 项和公式，考查分组求和法，裂项相消法求和．抓住数列的特征选用不同的求和方法计算是解题关键．19.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥底面ABCD ，过AB 的平面与侧面PCD 的交线为EF ，且满足:13PEF CDEF S S ∆=四边形：（PEF S ∆表示PEF ∆的面积）.（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）当22PA AD ==时，求点F 到平面ACE 的距离.【答案】(1)见解析(2) 13【解析】【详解】（Ⅰ）证明：由题知四边形ABCD 为正方形∴AB//CD ，又CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ∴AB//平面PCD又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面PCD=EF∴EF // AB ，又AB//CD∴EF //CD ，由S △PEF ：S 四边形CDEF=1:3知E 、F 分别为PC 、PD 的中点连接BD 交AC 与G ，则G 为BD 中点，在△PBD 中FG 为中位线，∴ EG//PB∵ EG//PB ，EG ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE∴PB//平面ACE.（Ⅱ）∵PA=2，AD=AB=1， ∴2AC =, 1522AE PD == ∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，AD∩PA=A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD在Rt △CDE中，32CE == 在△ACE中由余弦定理知222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠==⋅∴sin 5AEC ∠=，∴S △ACE=13sin 24AE CE AEC ⋅⋅⋅∠= 设点F 到平面ACE 的距离为h ，则131344F ACE V h h -=⋅⋅= 由DG ⊥AC ，DG ⊥PA ，AC∩PA=A ，得DG ⊥平面PAC，且2DG =∵E 为PD 中点，∴E 到平面ACF的距离为124DG = 又F 为PC 中点，∴S △ACF 12=S △ACP 2=，∴1132412E ACF V -=⋅⋅= 由F ACE E ACF V V --=知13h = ∴点F 到平面ACE 的距离为13. 20.已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)3(3,]e e .【解析】 试题分析：（1）先求导数，再根据a 讨论导函数零点，根据导函数零点情况讨论导函数符号，根据导函数符号确定函数单调性，（2）先分离3ln x a x=，再利用导数研究函数()3ln x g x x =单调性，最后根据图像确定存在两个不同零点的条件，解对应不等式得实数a 的取值范围. 试题解析：（1）∵()323'3(0)a x a f x x x x x -=-=> ①若0a ≤时，()'0f x >，此时函数在()0,+∞上单调递增；②若0a >时，又()33'0x a f x x -==得：x =x ⎛∈ ⎝时()'0f x <，此时函数在⎛ ⎝上单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时()'0f x >，此时函数在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增； （2）由题意知：3ln x a x=在区间(]1,e 上有两个不同实数解， 即函数y a =图像与函数()3ln x g x x=图像有两个不同的交点， 因为()()()223ln 1'ln x x g x x -=，令()'0g x =得：x =所以当(x ∈时，()'0g x <，函数在(上单调递减当x e ⎤∈⎦时，()'0g x >，函数在e ⎤⎦上单调递增；则()min 3g x g e ==，而311272791272727ln e g e e e ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且()327g e e =<， 要使函数y a =图像与函数()3ln x g x x=图像有两个不同的交点， 所以a 的取值范围为(33,e e ⎤⎦. 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21.已知椭圆的焦点坐标为()11,0F -，21,0F ，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且3PQ =.（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；内切圆面积的最大值为916π，直线的方程为1x = 【解析】【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得1c =，由||3PQ =，可得223b a=，又221a b -=，由此可求椭圆方程； （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，不妨10y >，20y <，设△1F MN 的内切圆的径R ，则△1F MN 的周长48a ==，1111(||||||)42F MN S MN F M F N R R =++=，因此1MN F S 最大，R 就最大．设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，从而可表示△1F MN 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【详解】解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由焦点坐标可得1c =. 由3PQ =，可得223b a=.又221a b -=，得2a =，3b =故椭圆方程为22143x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨令10y >，20y <，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△，因此要使1F MN △内切圆的面积最大，则R 最大，此时1MN F S 也最大.112121212F MN S F F y y y y =-=-， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2234690m y my ++-=，得1y =，2y =，则112F MN S y y =-=△，令t 1t ≥，则1212121313F MN t S t t t===++△令()13f t t t =+，则()213f t t '=-， 当1t ≥时，()0f t '>，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增，有()()14f t f ≥=，11234F MN S ≤=△， 当1t =，0m =时，13F MN S =△，又14F MN S R =△，∴max 34R =这时所求内切圆面积的最大值为916π，此时直线的方程为1x = 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出1MN F S 最大，R 就最大是关键，属于中档题．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为1x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），现以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设,P Q 是圆C 上的两个动点，且3POQ π∠=，求OP OQ +的最大值.【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先由参数方程写出直角坐标方程，再由cos ,sin x y ρθρθ== 代入化简即可得到圆的极坐标方程； （Ⅱ）先根据3POQ π∠=设出P,Q 的极坐标，再对OP OQ + 化一，求出θ 的范围进而求出OP OQ+的最大值．【详解】（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，所以圆C 的极坐标方程为22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=. (Ⅱ)设P 的极坐标为1ρθ（，），2+3Q πρθ（，），则12|OP|==2cos |OQ|=2cos +3，πρθρθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则|OP|+|OQ|=2cos +2cos +=3cos 36ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又22232ππθπππθ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<+<⎪⎩，所以26ππθ-<<， 所以当6πθ=-时，OP OQ +取最大值【点睛】本题考查参数方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标的应用，注意θ的范围，侧重计算能力的考查．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈.（Ⅰ）若2a =-，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.【答案】(Ⅰ) 4{|2}3x x -≤≤ (Ⅱ) 4a =-【解析】【分析】（Ⅰ）a=-2时，()f =|2+2||1|x x x +- ，f(x)的两个零点分别为-1和1，通过零点分段法分别讨论1,11,1x x x ≤--<<≥ ，去绝对值解不等式，最后取并集即可；（Ⅱ）法一：2a < 时，12a < ，化简f(x)为分段函数，根据函数的单调性求出f(x)在2a x = 处取最小值3，进而求出a 值．法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f(x)最小值，进而求a ．【详解】(Ⅰ) 2a =-时，不等式为|2+2||1|5x x +-≤①当1x ≤- 时，不等式化为22+15x x ---≤，2x ≥-，此时 21x -≤≤-②当11x -<< 时，不等式化为2+2+15x x -≤，2,11x x 此时：≤-≤< ③当1x ≥ 时，不等式化为2+2+15x x -≤，4x 3≤，此时41x 3≤≤ 综上所述，不等式的解集为4{|2}3x x -≤≤（Ⅱ）法一：函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a ＜2，即12a <时， ()31()211231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪⎛⎫=-+≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-->⎪⎩所以f (x )min ＝f （2a ）＝－2a ＋1＝3，得a ＝－4＜2(符合题意)，故a ＝－4. 法二： ()()21112221122a a a f x x a x x x x x x a a x x =-+-=-+-+-≥-+-⎛⎫≥---=- ⎪⎝⎭ 所以()min 132a f x =-=，又2a <，所以4a =-. 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，体现了分类讨论的数学思想．。
2021届全国学海大联考新高三原创预测试卷(四)文科数学
2021届全国学海大联考新高三原创预测试卷（四）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,1,2,3,4,5}A =-，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则A B =（ ）A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-2．不等式22530x x --≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．0x ≥B ．0x <或2x >C ．2x <-D ．12x ≤-或3x ≥3．设13,3()log (2),3x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则()11f f ⎡⎤⎣⎦的值是（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．1e -4．已知12.5222,log 3,2a b c -===，则这三个数由小到大的顺序为（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．若变量x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．2-C ．5-D ．7-6．要得到函数πsin 212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图象经过下列两次变换，则下面结论正确的是（ ）A ．先将函数sin y x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再将所得图象向右平移π6个单位长度B ．先将函数sin y x =的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移π24个单位长度C ．先将函数sin y x =的图象向右平移π12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍D ．先将函数sin y x =的图象向右平移π12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍 7．若π3sin()45α+=且(,)4ππ4α∈-，则cos α的值为（ ） A ．210 B ．3210C ．52D ．72108．已知向量()3,1=a ，(),2m m =+b ，(),3m =c ，若//a b ，则⋅=b c （ ） A ．12-B ．6-C ．6D ．39．函数2()ln(1)f x x x =+-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点()2,25，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=11．已知在三棱锥C ABD -中，ABD △是等边三角形，BC CD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ， 若该三棱锥的外接球表面积为4π，则AC =（ ）A ．3B ．62C ．3D ．3212．已知函数()cos sin f x x x x =-，(|π)|g x x =-，则函数()()()h x f x g x =-在区间[2020π,2020π]-内有（ ）个零点．A ．4038B ．4039C ．4040D ．4041第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()()2ln f x x x =-．则函数()f x 在1x =处的切线方程为___________． 14．如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的两个三等分点，若,,BC mAD nAE m n =+∈R ， 则m n -=_______．15．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =，34527a a a ++=，则10S =______．16．已知函数21,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩在函数[]()1y f f x =+的零点个数________．17．（10分）已知2:7100p x x -+≤，22:430q x mx m -+≤，其中0m >．（1）若4m =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知函数22()222f x x ax a =-++．（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）求函数()f x 在区间33[,]22-的最小值．19．（12分）设函数2π()cos sin()3f x x x x =⋅+-+．（1）求()f x 的最小正周期和对称中心；（2）当[0,]3πx ∈时，求函数()f x 的最值． 20．（12分）已知各项都不相等的等差数列{}66n a a =，，又124a a a ，，构成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n an b n =+，求数列{}n b 的前n 项和为n S ．在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H．（1）求证：PA GH∥；（2）已知PAD△是边长为4的等边三角形，4AB=，60DAB∠=︒且平面PAD⊥平面ABCD，1GH=，求四棱锥D PAHG-的体积．22．（12分）已知函数()ln1xf x ae x=--，a∈R．（2）若函数()f x在1,ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a的取值范围．文 科 数 学答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}AB =-，故选D ．2．【答案】C【解析】解不等式22530x x --≥，得3x ≥或12x ≤-， 结合四个选项，D 是其充要条件，AB 是其既不充分也不必要条件，C 选项2x <-是其充分不必要条件， 故选C ． 3．【答案】B【解析】由分段函数解析式可得233(11)log (112)log 32f =-==，则[(11)](2)f f f e ==，故选B ． 4．【答案】A【解析】因为132.5222222.51321,2log 2log log 322a cb -==<====<=， 所以这三个数由小到大的顺序为ac b <<，故选A ． 5．【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y -=到可行域边界()3,4A 的位置， 由此求得目标函数的最小值为3245z =-⨯=-，故选C ．6．【答案】D【解析】得函数πsin 212y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，有两种方法， 方法一：先将sin y x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数sin 2y x =的图象，再将所得图象向右平移π24个单位长度，可得函数πsin(2)12y x =-的图象； 方法二：先将sin y x =的图象向右平移π12个单位长度，得到函数πsin()12y x =-的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，可得函数πsin(2)12y x =-的图象， 故选D ． 7．【答案】D 【解析】因为(,)4ππ4α∈-，所以ππ0,42α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则4cos 5π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππππ7cos cos cos cos sin si 12n 0αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪444444⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ． 8．【答案】C【解析】因为//a b ，所以360m m +-=，解得3m =-，()3,1=--b ， 又()3,3=-c ，所以936⋅=-=b c ，故选C ． 9．【答案】A【解析】令2()ln(1)g x x x =+，则22()()ln(1)ln(1)ln10g x g x x x x x +-=+-+++==，()g x 为奇函数， 又因为cos y x =为偶函数，2()ln(1)f x x x =+-的定义域为0x ≠，故2()ln(1)f x x x =+-为奇函数，排除B ，C ；因为π3π()()022f f ==， 2211(π)0(π)(π)ln(π1π)ln(π1π)f g g ====>--+-++，排除D ，故选A ． 10．【答案】B【解析】对于A 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意； 对于B 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，且过点()2,25，符合题意； 对于C 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，但不过点()2,25，不符合题意； 对于D 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意， 综上所述，本小题选B ． 11．【答案】C【解析】根据题意，画出图形，设且外接球球心为O ，半径为R ， 根据题意，有24π4πR =，解得1R =，根据题意，有球心O 为正三角形ABD △的中心，因为1OD =，所以1AO =，12OF =，所以正三角形ABD △的边长为3， BC CD ⊥，所以132CF BD ==， 因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以π2AFC ∠=， 所以2239344AC CF AF =+=+=，故选C ． 12．【答案】B【解析】()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 令()0f x '=，得πx k =，k ∈Z ，∴()f x 在[0,]π上单调递减，在[π,2π]上单调递增，在[2π,3π]上单调递减，在[3π,4π]上单调递增，……且()f x 是R 上的奇函数且(0)0f =，(π)πf =-，(2π)2πf =，(3π)3πf =-，……，如图所示在同一坐标系下作出()f x 与()g x 的图象可知：()f x 与()g x 的图象在[0,2020π]上有2020个交点，在[2020π,0)-上有2019个交点，∴函数()()()h x f x g x =-有4039个交点， 故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】10x y +-=【解析】()()2ln f x x x =-，2()ln x f x x x-'∴=+， ()11f '∴=-，()10f =，故切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=， 故答案为10x y +-=． 14．【答案】6-【解析】已知D E ，是BC 的两个三等分点， 则33()33BC DE AE AD AD AE ==-=-⋅+⋅，已知BC mAD nAE =+，则33m n =-=，，6m n -=-， 故答案为6-． 15．【答案】120【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得()141331533327a d a a d +=⎧⎨=+=⎩，解得13a =，2d =，所以10110910910122200213S a d ⨯⨯=+=⨯+=⨯， 故答案为120． 16．【答案】4【解析】当[]()10y f f x =+=时，[]()1f f x =-，所以()2f x =-或1()2f x =， 本题转化为上述方程有几解，当()2f x =-时，3x =-或14x =， 当1()2f x =时，12x =-或x = 所以共有四个解，因此零点个数为4个，故填4．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）[4,5]x ∈；（2）5[,2]3m ∈．【解析】（1）由27100x x -+≤，解得25x ≤≤，所以:25p x ≤≤， 又22430x mx m -+≤，因为0m >，解得3m x m ≤≤，所以:3q m x m ≤≤． 当4m =时，:412q x ≤≤，又p q ∧为真，p ，q 都为真，所以45x ≤≤，即[4,5]x ∈． （2）由p 是q 的充分不必要条件，即p q ⇒，q p ，所以pq ，所以235m m ≤⎧⎨≥⎩，解得523m ≤≤，即5[,2]3m ∈．18．【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为[1,)+∞，单调递减区间为(,1]-∞；（2）见解析． 【解析】（1）由题可知：2()24f x x x =-+，对称轴为1x =，开口向上， 所以函数()f x 的单调递增区间为[1,)+∞，单调递减区间为(,1]-∞．（2）由题可知：222)22(x ax f a x =-++，33[,]22x ∈-，对称轴为x a =，开口向上，当32a ≤-时，函数在33[,]22-单调递增，所以2min 317()()2324f x f a a =-=++； 当3322a -<<时，函数在3(,)2a -单调递减，在3(,)2a 单调递增，所以2min ()()2f x f a a ==+；当32a ≥时，函数在33[,]22-单调递减，所以2min 317()()2324f x f a a ==-+， 则函数在区间33[,]22-的最小值为22min 217323,4233()2,2217323,42a a a f x a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩． 19．【答案】（1）πT =，对称中心是ππ(,0)62k +，k ∈Z ；（2）()f x的最小值为【解析】（1）()21cos (sin cos )224f x x x x x =+-+21sin 21πsin(2)1sin co 23s 2244os 24x x x x x x =-+=-=-， ∴()f x 的最小正周期是2ππ2T ==， 由2π3πx k -=，得ππ26k x =+，k ∈Z ，对称中心是ππ(,0)62k +，k ∈Z ． （2）π[0,]3x ∈时，πππ2[,]333x -∈-，此时()[f x ∈． ()f x最大值为4，此时ππ233x -=，π3x =； ()f x最小值为4-ππ233x -=-，0x =， 综上，()f x的最小值为4-． 20．【答案】（1）n a n =；（2）1(22)(1)n n S n n +=-++．【解析】（1）∵各项都不相等的等差数列{}n a ，66a =，又124a a a ，，成等比数列，∴()61211156()30a a d a d a a d d =+=⎧⎪+=+⎨⎪≠⎩，解得11a =，1d =，∴数列{}n a 的通项公式()111n a n n =+-⨯=．（2）∵2222n an n b n n =+=+， ∴数列{}n b 的前n 项和2322222123n n S n =+++++++++（）（）()()122121222122n n n n n n +-+=-=+⨯++-．21．【答案】（1）证明见解析；（2）52． 【解析】（1）证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴PA OM ∥，又OM ⊂平面BMD ，PA ⊄平面BMD ，所以PA ∥平面BMD ，又平面PAHG 平面BMD GH =，所以PA GH ∥． （2）由（1）知PA OM GH ∥∥，且114222OM PA ==⨯=，112GH OM ==， 所以G 为DM 的中点，H 为OD 的中点， 延长PG 与AH 交于F ，则F 在DC 上，如图：因为H 为OD 的中点，所以13DF DH AB HB ==，所以1433DF AB ==，114DH DB ==， 取AD 的中点E ，则PE AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，所以G 到平面ABCD 的距离为113344422PE =⨯=， ∴111334D PAHG D PAF D GHF P DAF G DHF DAF DHF V V V V V PE S PE S -----⎛⎫=-=-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭△△1141148154sin1201sin60323323362⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22．【答案】（1）()1y e x=-；（2）21,ee e⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）当1a=时，()ln1xf x e x=--，()1xf x ex'=-，()11f e=-，()11f e'=-．切线方程为()()()111y e e x--=--，化简得()e1y x=-．曲线()f x在点()()1,1f处的切线方程为()1y e x=-．（2）()ln1xf x ae x=--，定义域为()0,∞+，函数()f x在1,ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，即方程ln10xae x--=在1,ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个正根，即y a=与()ln1xxg xe+=的图象在1,ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，()1ln1xxxg xe--'=，令()1ln1x xxϕ=--，()2110xx xϕ'=--<，所以()xϕ在1,ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()10ϕ=．所以当1,1xe⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，中()0xϕ>，即()0g x'>，()g x单调递增；当(]1,x e∈时，()0xϕ<，即()0g x'<，()g x单调递减，所以()()max11g x ge==，又知1ge⎛⎫=⎪⎝⎭，()2eg ee=，结合y a=与()ln1xxg xe+=图象可知，若有两个交点只需21eae e≤<，综上可知满足题意的a范围为21,ee e⎡⎫⎪⎢⎣⎭．。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(二)数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（二）数学文科试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：共12小题，满分60分，每小题5分.1.设z ii z+=,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先由已知条件求得11122i z i i -==--，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】解：由题意知()1,z i i -=-, 即11122i z i i -==--， 故z 在复平面内对应的点位于第四象限， 故选D.【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题. 2.命题“在ABC ∆中，若1sin 2A =，则30A =︒”的否命题是（ ） A. 在ABC ∆中，若1sin 2A =，则30A ≠︒ B. 在ABC ∆中，若1sin 2A ≠，则30A =︒ C. 在ABC ∆中，若1sin 2A ≠，则30A ≠︒D. 在ABC ∆中，若30A ≠︒，则1sin 2A ≠【答案】C 【解析】 【分析】命题“若p 则q ”的否命题为“若p ⌝则q ⌝”【详解】因为命题“若p 则q ”的否命题为“若p ⌝则q ⌝” 所以命题“在ABC ∆中，若1sin 2A =，则30A =︒”的否命题是 “在ABC ∆中，若1sin 2A ≠，则30A ≠︒” 故选：C【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单. 3..设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A. a c b >> B. c a b >> C. b a c >>D. a b c >>【答案】C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.4.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出C 选项错误．【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.812096⨯=人，女性人数为0.68048⨯=人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C ．【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题.5.在梯形ABCD 中，已知AB CD ∥,2AB DC =,点P 在线段BC 上，且2BP PC =,则（ ）A. 2132AP AB AD =+ B. 1223AP AB AD =+ C. 32AD AP AB =-D. 23AD AP AB =-【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求解.【详解】因为1122BC AB AD DC AB AD AB AD AB =-++=-++=-， 221333BP BC AD AB ==-， 所以2122++3333AP AB BP AB AD AB AB AD =-=+=，所以32ADAP AB =-.故选C.【点睛】本题考查向量加法的三角形法则.6.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A.n -B.n -C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q 所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.7.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若m n ⊥，//n α，则m α⊥B. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥C. 若//m n ，//n β，则//m βD. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβ【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的性质及判定定理一一判断即可.【详解】解：对于A ：若m n ⊥，//n α，则直线m 与平面α，可能平行，相交，或m α⊂，故A 错误； 对于B ：若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m 与n 一定不平行，否则//αβ，与已知αβ⊥矛盾，通过平移使得m 与n 相交，且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为αβ⊥，所以m 与n 所成的角为90︒，即m n ⊥，故B 正确；对于C ：若//m n ，//n β，则直线m 与平面β，可能平行或m β⊂，故C 错误；对于D ：若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，无法得到//αβ，还需一个条件m 、n 相交于一点，故D 错误；故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题． 8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,0A ωϕπ>><<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心；③函数1y =与35()1212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π． 其中所有正确的判断是（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ②【答案】C 【解析】【分析】先根据图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭,分别代入求解计算出()f x 的解析式,再根据三角函数的图像性质逐个判断即可. 【详解】因为()sin()f x A x ωϕ=+的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故3,A =且2543124T πππ=-=,故T π=.所以22ππωω=⇒=. 故()()3sin 2f x x ϕ=+.又图像最低点为2,33N π⎛⎫-⎪⎝⎭,故2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈. 即2,6k k Z πϕπ=+∈.又0ϕπ<<,故6π=ϕ.故()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对①,当2x π=时72266πππ⨯+=,不是正弦函数的对称轴.故①错误. 对②,当12x π=-时,3sin 20261ππ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎝-⎪⎝⎭⎭,故点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心,故②正确. 对③,因为351212x ππ-≤≤,故0266x ππ≤+≤,所以函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与1y =有6个交点.设交的横坐标分别为126,...x x x ,根据图像以及五点作图法的方法可知,当5262x ππ+=时解得76x π=为6个横坐标126,...x x x 的对称轴. 故1267 (676)x x x ππ++=⨯=.故③正确.综上,②③正确. 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数图像的运用,需要根据题意确定三角函数的周期,代入最值点求解参数进而得到三角函数的解析式.同时也考查了判断三角函数的对称轴,对称点以及数形结合求解零点的问题.属于中档题.9.函数y ＝ln |x |·cos (2π－2x )的图像可能是( ) A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，和特殊值，可判断。
2021届全国学海大联考新高考模拟考试(十二)数学(文科)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟考试（十二）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1.已知集合{}|(2)0A x x x =-≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ）A. {}1,3-B. {}0,1,2C. {}1,2D. {}0,1,2,3【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得AB .【详解】由()20x x -≤解得02x ≤≤，所以[]0,2A =，所以{}0,1,2A B =.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =a =（ ）A. 0或2B. 0C. 1或2D. 1【答案】A【解析】 【分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==0a =或2a =.故选：A【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题. 3.下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A. 2log 2xy =B. 21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. 21log y x=D. 14y x =【答案】C 【解析】【分析】 分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.4.已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A. 1a B. 3aC. 8aD. 10a【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，由此确定数列为0的项. 【详解】由于等差数列{}n a 中5732a a =，所以()()113426a d a d +=+，化简得10a=，所以1a 为0.故选：A【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题. 5.若单位向量1e 、2e 夹角60，122a e e =-，则a =（ ）A. 4B. 2C.3 D. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用平面数量积的定义和运算性质计算出2a 的值，进而可得出a 的值. 【详解】由于位向量1e 、2e 夹角为60，则12121cos602e e e e ⋅=⋅=， ()2222121122124444132a e e e e e e ∴=-=-⋅+=-⨯+=，因此，3a =.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.6.《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误.对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.7.命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()()p q ⌝∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D. ()p q ⌝∧【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.8.已知函数ln ,0()2(2),0x x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩，则函数()3y f x =-的零点个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对x 分0,0x x >≤两种情况求方程()3=0f x -的根的个数即得解.【详解】当0x >时，3|ln |30,ln 3,x x x e -=∴=±∴=或3e -，都满足0x >； 当0x ≤时，222430,2430,20,164230x x x x ---=∴++=>∆=-⨯⨯<，所以方程没有实数根.综合得函数()3y f x =-的零点个数是2. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点的个数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知α为锐角，且sin 3tan 3sin 3παπαπα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，则角α=（ ） A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】C 【解析】 【分析】对sin 3tan 3sin 3παπαπα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭先化切为弦，再利用和角差角的正余弦公式化简即得解. 【详解】由题得sin sin 33,cos()sin 33ππαααππαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭为锐角，∴sin cos()33ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭∴11sin cos cos ,sin cos ,tan 12222ααααααα-=-∴=∴=. 因为α为锐角，∴=4πα. 故选：C【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和和角差角的正余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2240x y y +-=截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.3D.【答案】D 【解析】 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求的离心率．【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，由题得圆22(2)4x y +-=的圆心为(0,2)，半径2r ，可得圆心到渐近线的距离为d =则2=223a b ，所以221,3b a =c e a ====， 故选：D ．【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n S =（ ） A. 121n -+ B. 2n n ⋅C. 31n -D. 123n n -⋅【答案】B 【解析】 【分析】 由题得122,1n n a n a n ++=⨯+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+⋅，即得n S .【详解】由题得111(1)(1),,,2121n n n nn n n na n a na n a S S a n n n n ++---=∴=∴=-++++（2n ≥） 所以122,1n n a n a n ++=⨯+（2n ≥） 由题得22166,32a a a =∴==，所以122,1n n a n a n ++=⨯+（1n ≥）. 所以324123134512,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n -+=⨯=⨯=⨯=⨯， 所以11112,(1)22n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222n n n nS n n n =⨯+⋅=⋅+. 故选：B【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2A C G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--，不存在实数λ使GC ED λ=，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=，设EF 和1BB 成角为θ，则1122cos 222EF BB EF BB θ⋅-===⨯⋅，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若,x y 满足约束条件222022x y y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为__________．【答案】4 【解析】【详解】作出可行域如图所示：由222x y y -=⎧⎨=⎩，解得()2,2A .目标函数z x y =+，即为y x z =-+，平移斜率为-1的直线，经过点()2,2A 时，224max z =+=. 14.曲线()2sin f x x =在3x π=处的切线与直线10ax y +-=垂直，则a =________.【答案】1 【解析】 【分析】先求出切线的斜率()1,3k f π'==解方程1()1a ⨯-=-即得解.【详解】由题得()2cos ,() 1.3f x x k f π''=∴==所以1()1,1a a ⨯-=-∴=. 故答案为：1【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查两直线垂直的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.在半径为2的圆上有A ，B 两点，且2AB =，在该圆上任取一点P ，则使得PAB ∆为锐角三角形的概率为________. 【答案】16【解析】 【分析】如图，当点P 在劣弧CD 上运动时，PAB ∆为锐角三角形.求出劣弧CD 的长，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】如图，四边形ABCD 是矩形，当点P 在劣弧CD 上运动时，PAB ∆为锐角三角形.由于OD=OC=CD=2，所以3COD π∠=,所以劣弧CD 的长为22=33ππ⨯，由几何概型的概率公式得213=226P ππ=⋅. 故答案为：16【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O，且BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为________. 【答案】(1). 3(2). 43π【解析】 【分析】由于BD 是球的直径，故当,OC BD OA BD ⊥⊥时，三棱锥A BCD -体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥A BCD -体积最大时，等边三角形ABC 的外接圆半径，由此求得等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即求得平面ABC 截球所得的截面圆的面积.【详解】依题意可知，BD 是球的直径，所以当,OC BD OA BD ⊥⊥，即OC OA ==时，三棱锥A BCD -体积取得最大值为111332BCD S OA ∆⨯⨯=⨯⨯=此时2BC AC AB ===，即三角形ABC 是等边三角形，设其外接圆半径为r，由正弦定理得22sin3r r π=⇒=形ABC 的外接圆的面积，也即平面ABC截球所得的截面圆的面积为224443r πππ=⨯=.故答案为：(1).3(2). 43π【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.17.已知在ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，2sin sin 2B A A =，1cos 3B =. （1）求A 的大小； （2）若2AC =，求AB 长. 【答案】（1）3A π=（261+ 【解析】 【分析】（1）由题得22sin 3B =，再解方程()221cos 3cos A A -=即得解；（2）求出322sin 6C +=，再利用正弦定理得解.详解】（1）由题得22sin 3B =， 所以22sin 3cos A A =，所以()221cos 3cos A A -=， 解得1cos 2A =，(0,)A π∈，∴3A π=.（2）sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+3112232223236=+⋅=由正弦定理sin sin AB AC C B =得6sin 1sin 4AC AB C B =⋅=+. 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求m 的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计100()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）0.025m =（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程，解方程求得m 的值.（2）根据表格数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】（1）由题意()0.00520.0150.020.03101m ⨯++++⨯=，解得0.025m =. （2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为()0.025+0.0031010030⨯⨯=. 完善列联表如下： 擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 307010022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(800300) 4.76250503070⨯-=≈⨯⨯⨯，对照表格可知，4.762 6.635<，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查22⨯列联表独立性检验，属于基础题.19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，且1A B NG ⊥.（1）求证1A B GM ⊥； （2）求点1A 到平面MNG 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）655【解析】 【分析】（1）先证明1A B ⊥平面MNG , 1A B ⊥MG 即得证；（2）设1A B 与GN 交于点E ，先求出455BE =，再求出165A E =即得解. 【详解】（1）由题意平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，因为1MN BB ⊥, 所以MN ⊥平面11ABB A ,因为1A B ⊂平面11ABB A , 所以1MN A B ⊥,因为1GN A B ⊥,,MN GN ⊂平面MNG ,MN GN N =,所以1A B ⊥平面MNG , 因为MG ⊂平面MNG , 所以1A B ⊥MG .（2）设1A B 与GN 交于点E ，在直角△11A BB 中，112cos 5525A BB ∠==, 在直角BNE ∆中，112cos 552BE BE A BB BN ∠===,所以55BE =， 则155555A E ==因为1A B ⊥平面MNG ,所以1A E 就是1A 到平面MNG 的距离，可知1A 到平面MNG的距离为5. 【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-. （1）求C 的方程；（2）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试证明2||||||AP AQ OM ⋅为定值，并求出该定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析；该定值为2【解析】 【分析】（1）由已知得2234b a =，且1c =，即得椭圆的标准方程；（2）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，求出226834p k x k -=+，221234M x k =+，再计算2||||||AP AQ OM ⋅得其值为定值. 【详解】（1）已知点P 在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上，可设()00,P x y ，即2200221x y a b+=，又2200022200034AP BPy y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-=-+--， 且22c =，可得椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，则直线OM 的方程为y kx =. 联立直线AP 与椭圆C 的方程可得：()2222341616120kxk x k +++-=，由2A x =-，可得226834p k x k -=+，联立直线OM 与椭圆C 的方程可得：()2234120kx+-=，即221234Mx k =+，即2222|02|||||2||p A Q P M MA x x x x x AP AQ OM x x -⋅-+⋅+⋅===. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知函数321()3f x x x mx m =+++. （1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值. （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点. 【答案】（1）1223x x +=-（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题得22112212+++3+3+30x x x x x x m =，2113630x x m ++=，对两式消元因式分解即得122x x +的值；（2）由题得321(1)3x x m x +=-+，再分析321()3h x x x =+和(1)y m x =-+的图象即得当0m >时，()f x 有唯一的零点.【详解】（1）由题得2()2f x x x m '=++， 由题可知()()12f x f x =，所以32321112221133x x mx m x x mx m +++=+++， 所以22112212+++3+3+30x x x x x x m =（i ）因为()10f x '=，所以21120x x m ++=.即2113630x x m ++=（ii ）（ii ）-（i ）得221122121212122330,(2)()3()0x x x x x x x x x x x x --+-=∴+-+-=， 所以12121212(23)()0,,23x x x x x x x x ++-=≠∴+=-.（2）令321()03f x x x mx m =+++=，则321(1)3x x m x +=-+， 令321()3h x x x =+，2()2h x x x '=+， 可知()h x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在[]2,0-上单调递减，又4(2)3h -=，(0)0h =； (1)y m x =-+为过(1,0)-点的直线，又0m >，则0m -<，因此321(1)3x x m x +=-+有且只有一个交点， 即321()3f x x x mx m =+++有唯一的零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.选修 4-4 坐标系与参数方程22.已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C 和2C 的普通方程；（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=（2）1) 【解析】 【分析】（1）消去曲线12,C C 参数方程中的参数，求得1C 和2C 的普通方程.（2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||||ON OM 的最小值.【详解】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=.（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫=≤<≠∈ ⎪⎝⎭； 由22(2)4x y -+=得2240x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=在曲线1C 中，4|o |c s OM β=.由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以 而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON ββ=+，因此28||24sin cos ||4cos sin cos cos 214ON OM ββπβββββ+===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即||||ON OM1)=. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题. 23.已知函数()|1||1|f x ax x =++-.（1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞ 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧⎪+>⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩()f x 的最小值为1f a ⎛⎫-⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，(1)11f a =+>.所以()1f x >恒成立.当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意. 当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意； 若2a <-，则11f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
2021届全国学海大联考新高考模拟考试数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟考试数学（文）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的）.1.等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故本题答案选．2.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】B【解析】函数的图象向左平移个单位长度,有,故选B.3.设集合A={1，2}，则满足的集合B的个数是A. 1B. 3C. 4D. 8【答案】C【解析】试题分析：因为，，所以,,,,故选C.考点：并集及其运算；集合的包含关系判断及应用点评：此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．4.设向量，则（）A. B. 与同向 C. 与反向 D. 是单位向量【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算计算可得；【详解】解：因为所以，因为，所以A错误；因为所以，所以D错误；因为，所以B错误，C正确.故选：C【点睛】本题考查平面向量的平行与垂直的判定以及单位向量的概念，考查推理论证能力，属于基础题.5.“”是“”（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】因为，所以．又因，所以，因此“”是“”的充分不必要条件．故选A．考点：充分性、必要性问题．6. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y 的取值范围是A. (1－，2)B. (0，2)C. (－1，2)D. (0，1+)【答案】A【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（，2），作出直线：，平移直线，由图知，直线过C时，=1－，过B（0,2）时，=3-1=2，故z的取值范围为（1－，2），故选C.考点：简单线性规划解法，数形结合思想7. 若a＞b＞0，0＜c＜1，则A. log a c＜log b cB. log c a＜log c bC. a c＜b cD. c a＞c b【答案】B【解析】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8.等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值为（）.A. 15B. 20C. 25D. 40【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得, ，代入中，可得选项.【详解】因为等差数列的公差不为零，其前项和为，又,所以,故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式与等差数列性质的综合应用,是高考重点考查的内容，属于基础题.9.设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】为等腰直角三角形，，即得，解得．10.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是A.B.C. 三棱锥的体积为定值D.【答案】D【解析】可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误．选D．11.已知函数，下列结论中错误的是（）A. 的图像关于点中心对称B. 的图像关于直线对称C. 的最大值为D. 既是奇函数，又是周期函数【答案】C【解析】试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确；对于选项，只需考虑是否成立即可，而，故正确；对于选项，，故是奇函数，有，故周期是，故正确；对于选项，，令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C错误.考点：1.三角函数的对称性、周期性、奇偶性；2.函数的最值求解.12.已知函数若关于的方程恰有3个不同的实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解二次方程，即可求得的结果，根据的图像，数形结合，即可容易求得参数的范围，属中档题. 【详解】由，得或，作出的图象，如图所示，由图可知，方程有1个实根，故方程有2个实根，故的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查方程和函数之间的相互转化，涉及指数函数的图像，属综合中档题.二、填空题13.木星的表面积约是地球表面积的120倍，则它的体积约是地球体积的_________倍.【答案】【解析】【分析】设木星的半径为，地球的半径为，由题意结合球的表面积公式可得，再利用球的体积公式即可得解.【详解】设木星的半径为，地球的半径为，由题意可得，化简可得，所以木星与火星的体积比为.故答案为：.【点睛】本题考查了球的表面积和体积公式的应用，考查了运算求解能力，关键是对于球的体积和表面积公式的识记，属于基础题.14.设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=_____________.【答案】【解析】【分析】由题意转化条件得数列的连续四项在集合中，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】，且数列有连续四项在集合中，，数列的连续四项在集合中，又是公比为的等比数列，，数列的连续四项为，，，，.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，关键是对题目条件的转化，属于基础题. 15.偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=_____．【答案】3【解析】试题分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=3，故答案为3．考点：函数奇偶性的性质．16.P为双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN 的最大值为________．【答案】9【解析】设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝9三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某央企在一个社区随机采访男性和女性用户各50名，统计他（她）们一天（）使用手机的时间，其中每天使用手机超过6小时（含6小时）的用户称为“手机迷”，否则称其为“非手机迷”，调查结果如下：男性用户的频数分布表男性用户日用时间分组（）频数20 12 8 6 4女性用户的频数分布表女性用户日用时间分组（）频数25 10 6 8 1（1）分别估计男性用户，女性用户“手机迷”的频率；（2）求男性用户每天使用手机所花时间的中位数；（3）求女性用户每天使用手机所花时间的平均数与标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 【答案】（1））男性；女性；（2）；（3），【解析】【分析】（1）由频数分布表找出手机超过6小时的人数，即可计算求解；（2）设男性用户每天使用手机所花时间的中位数为，利用中位数两边所占频率各为0.5求解即可；（3）根据平均值、方差公式计算即可.【详解】（1）男性用户“手机迷”的频率为；女性用户“手机迷”的频率为.（2）设男性用户每天使用手机所花时间的中位数为，则.解得（3）设女性用户每天使用手机所花时间的平均数为，标准差为，【点睛】本题主要考查了频数分布表，频率、均值、方差、中位数的求法，考查了数据处理能力，属于中档题.18.在中，角所对的边分别为.已知.（1）证明：；（2）若，，求的周长.【答案】（1）详见解析；（2）28.【解析】【分析】（1）由结合正弦定理可得，进一步可得，得到答案；（2）由正弦定理结合条件有，可求出，再结合余弦定理可求出边或，经检验时不满足条件，得出答案.【详解】（1）证明：因，所以，即，所以，即，则.所以或（舍去），所以；（2）由（1）得，由正弦定理有,即所以由余弦定理得，所以，即，所以，解得或.当时，的周长为；当时，因为，所以，所以，所以，与为锐角三角形矛盾，故不符合题意.综上，的周长为28.【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.19.如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．（Ⅰ）当平面平面时，求；（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）见解析【解析】【详解】（Ⅰ）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以．当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知由已知可得，在中，．（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．证明：（ⅰ）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即．（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．又因，所以．又为相交直线，所以平面，由平面，得．综上所述，总有．20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图所示）．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则（1）…1分∵OA⊥OB ∴,即，(2)…………3分又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得…4分∴所以重心为G的轨迹方程为……………………………………6分（II）由（I）得……11分当且仅当即时，等号成立．………………………12分所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；…………………13分【解析】试题分析：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则（1）∵OA⊥OB ∴,即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得∴所以重心为G的轨迹方程为（2）由（I）得当且仅当即时，等号成立．所以△AOB的面积存在最小值，最小值是1．考点：本题主要考查了轨迹方程的求法、重心定理的应用及基本不等式的应用．点评：本题综合性强既考查了学生的计算能力，又兼顾了知识的综合应用．（1）中给的是A、B的条件，要求重心G的轨迹方程，先化简A、B的关系式，再利用重心定理找到G点坐标与AB坐标的关系，化简出G 的轨迹方程；（2）在求最值时．常用求导和基本不等式来求，本题中具备为定值这一条件，所以选择用基本不等式求解，注意等号成立的条件的应用．21.设函数.（1）求的单调区间；（2）若对于任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)【解析】【分析】（1）对函数求导，由导函数的正负得到原函数的单调区间；（2）由第一问确定出函数在给定区间上的单调性，之后将任意的，恒成立转化为，即，再构造新函数，求导得到其单调性，结合其性质，求得最后的结果.【详解】（1）因为，所以，所以当时，；当时，．所以的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值，且．所以对于任意的，的充要条件为，即①设函数，则．当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以当时，，即①式成立，综上所述，的取值范围是．【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，应用导数研究恒成立问题对应的参数的取值范围，在解题的过程中，需要正确理解题意，对问题正确转化，构造相应的新函数来解决问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）求曲线与交点的极坐标.【答案】（1）；（2），，，【解析】【分析】（1）由曲线的参数方程通过将两个式子两边分别平方再相减可消去参数，得到曲线的普通方程，再由公式化为极坐标方程即可.对于曲线利用公式直接化为直角坐标方程即可. （2）把曲线的极坐标方程和曲线的极坐标联立即可求得交点的极坐标.【详解】（1）由题意，将与-两式平方相减可得.因为所以，即曲线的极坐标方程为.将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为.（2）由题意得，故，所以或或或，即或或或.所以两曲线交点的极坐标为，，，.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查两曲线交点的极坐标的求法.．极坐标与直角坐标之间由关系式相互转化．23.已知函数，.（1）若，解不等式；（2）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，将不等式变为分段不等式来求得解集；（2）作出函数的图象和函数的图象,通过数形结合与分类讨论的数学思想方法求得的取值范围.【详解】（1）若，则不等式+化为2−．当x≥1时，2−≥3，即−，因为不等式对应的一元二次方程，故不等式无解；当时，，即，解得．综上，不等式+≥3的解集为．（2）作出的图象如图所示，当时，的图象如折线①所示，由，得，若相切，则，得，数形结合知，当时，不等式无负数解，则−．当时，满足>至少有一个负数解．当时，的图象如折线②所示，此时当时恰好无负数解，数形结合知，当时，不等式无负数解，则．综上所述，若不等式>至少有一个负数解，则实数的取值范围是(−，2)．【点睛】本题考查含参绝对值不等式的求解，以及考查学生数形结合的能力，属中档题.。
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷(二)文科数学
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}ln 0A x x =>，311B xx ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ）A ．()1+∞， B ．()-12， C ．()2,+∞D ．()1,22．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．13．设变量,x y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最小值（ ）A ．5B ．4C ．9D ．24．已知等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，若810S S =，则18a =（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美。
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第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|33}M x N x =∈-<<，{4,2,0,2,4}N =--，则M N =（ ）A ．{2,0,2}-B ．{0,2}C ．{0}D ．{2}2．若复数z 满足(2i)i z -=，则||z =（ ）A ．15B ．5 C ．5 D ．53．埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约240米．因年久风化，顶端剥落15米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A ．141.8米B ．132.8米C ．137.8米D ．138.8米4．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A ．15B ．25C ．12D ．455．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：第x 天1 2 3 4 5 被感染的计算机数量y （台）12244995190则下列函数模型中能较好地反映在第x 天被感染的数量y 与x 之间的关系的是 （ ） A ．12y x =B ．26612y x x =-+C ．62x y =⋅D ．212log 12y x =+6．已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A ．12-B ．1C ．2D ．127．函数ππ()sin()(0,)22f x A x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π38．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，若(ln 2.1)a f =， 1.1(1.1)b f =，(3)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<9．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值等于（ ）A ．201712 B ．201812 C ．201912 D ．20201210．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3a -，2a ，4a 成等差数列，则2020S 与2020a 的关系是（ ） A ．2020202021S a =- B ．2020202021S a =+ C ．2020202043S a =-D ．2020202041S a =+11．已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221(0)x y a a-=>交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB △为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．3C ．5D ．612．在体积为43的三棱锥S ABC -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，SA SC =，且平面SAC ⊥平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ） A ．82π3B ．9π2C ．27π2D ．12π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足3402030x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-+的最大值为________．14．已知平面向量(2,3)=-m ，(6,)λ=n ，若⊥m n ，则||n __________．32切线方程为__________．16．若数列{}n a 满足211()()lg(1)n n n n a a a n n n+-=+++，且11a =，则100a =__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3w =时，估计该市居民该月的人均水费．18．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知42c =25sin 2C =（1）若1a =，求sin A ；（2）求ABC △的面积S 的最大值．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒．（1）求证：1BA A C ⊥；（2）求三棱锥11A BB C -的体积．20．（12分）已知函数()xf x e x =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若方程2()f x ax x =-有唯一的实数根，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2,1)A ．（1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3x ty t=⎧⎨=-⎩(t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 相交于A 、B 两点，求OAB △的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|||21|f x x m x =-+-，m ∈R ． （1）当1m =时，解不等式()2f x <；（2）若不等式()3f x x <-对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．文 科 数 学答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意，{|33}{0,1,2}M x N x =∈-<<=，故{0,2}M N =，故选B ．2．【答案】B【解析】由(2i)i z -=，得22i i(2i)2i i 12i 2i (2i)(2i)4i 55z ++====-+--+-，所以5||z =． 3．【答案】C【解析】设金字塔风化前的形状如图，∵240AB =，∴其底面周长为2404960⨯=， 由题意可得9603.141592PO=，∴152.788874PO ≈， ∴胡夫金字塔现高大约为152.78887415137.788874-=米， 结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为137.8米，故选C ．4．【答案】A【解析】五个点任取三个有(,,)O A B ，(,,)O A C ，(,,)O A D ，(,,)O B C ，(,,)O B D ，(,,)O C D ，(,,)A B C ，(,,)A B D ，(,,)A C D ，(,,)B C D 共种情况，其中三点共线的情况有(,,)O B D ，(,,)O A C 共2种， 故3点共线的概率为15，故选A ． 5．【答案】C【解析】由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约都是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数增长，故选C ． 6．【答案】C【解析】因为点(2,2)P 满足圆22(1)5x y -+=的方程，所以P 在圆上， 又过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直， 所以切点与圆心连线与直线10ax y -+=平行， 所以直线10ax y -+=的斜率为20221a -==-． 7．【答案】D【解析】由题可知函数()f x 的最小正周期ππ2[()]π36T =--=，从而2ππ||ω=， 又0ω>，解得2ω=，从而()sin(2)f x A x ϕ=+．由π3x =为函数()f x 的单调递减区间上的零点可知2ππ2π3k ϕ+=+，k ∈Z ， 即π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，又π||2ϕ<，所以π3ϕ=．8．【答案】B【解析】∵()f x 是偶函数，所以(3)(3)c f f =-=， ∵0ln1ln 2.1ln 1e =<<=，0 1.121 1.1 1.1 1.1 1.21=<<=， ∴ 1.13 1.1ln 2.1>>，∵函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，∴ 1.1(3)(1.1)(ln 2.1)f f f <<，即c b a <<．9．【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得第1次运行，12S =，2a =；第2次运行，212S =，3a =；第3次运行，312S =，4a =；；第2019次运行，201912S =，2020a =，刚好满足条件2019a >，则退出循环，输出S 的值为201912．10．【答案】A【解析】设等比数列的公比为(0)q q >，由3a -，2a ，4a 成等差数列，得2342a a a =-+，又11a =，所以232q q q =-+，即220q q --=，所以(2)(1)0q q -+=，又0q >，所以2q =，所以201920202a =，02020202020122112S 2-==--，所以2020202021S a =-，故选A ． 11．【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-，联立双曲线2221x y a -=，解得21||a y -=．由题意得212a -=，所以215a =，所以221156b e a=+=+=，故选D ．12．【答案】B【解析】如图，设球心为O ，半径为R ，取AC 中点为M ，连接SM ， 依据图形的对称性，点O 必在SM 上， 由题设可知11422323SM ⨯⨯⨯⨯=，解之得2SM =， 连接OC ，则在OMC Rt △中，22(2)2R R =-+，解之得32R =， 则2439π()π322V =⨯=，故应选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】9【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线z x y =-+过点A 时，z 有最大值，联立2030x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得36x y =-⎧⎨=⎩，故z 的最大值为9．14．【答案】213【解析】依题意，0⋅=m n ，则1230λ-=，解得4λ=，则(6,4)=n ， 故||3616213=+=n ．15．【答案】y x =-【解析】函数32()(1)f x x ax a x =++-，若()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=，可得0a =， 所以3()f x x x =-，则2()31f x x '=-，曲线()y f x =图象在点(0,0)处的切线斜率为(0)1f '=-， 所以切线方程为0(0)y x -=--，整理得y x =-． 16．【答案】300【解析】由题意211(1)()lgn n n n a n a n n n++⋅=+++， 等式两边同时除以2n n +，得11lg 1n n a a n n n n++=++，设lg nna b n n=-，则有1n n b b +=， ∴11n b b ==，(1lg )n a n n =+，100100(1lg100)300a =+=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）3；（2）10.5元．【解析】（1）由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%， 依题意，w 至少定为3．（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为40.160.1580.2100.25⨯+⨯+⨯+⨯ 120.15170.05220.0522270.0510.5+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（元）．18．【答案】（1）sin 10A =；（2）4． 【解析】（1）∵23cos 12sin25C C =-=-，∴4sin 5C =，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin 10a C A c ==． （2）由（1）知，3cos 5=-， 所以2222266162cos 2555c b a b a C b a ba ab ba ba =+-⋅⋅=++≥+=， 所以16325ba ≥，10ba ≥，114sin 104225S ba C =≤⨯⨯=， 当且仅当a b =时，ABC △的面积S 有最大值4． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）43． 【解析】（1）∵在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒， ∴1A A ⊥平面ABC ，∵AB ⊂平面ABC ，∴1BA AA ⊥， 又∵90BAC ∠=︒，∴BA AC ⊥，1A AAC A =，∴BA ⊥平面11ACC A ，∵1AC ⊂平面11ACC A ，∴1BA A C ⊥． （2）∵AC AB ⊥，1AC AA ⊥，1ABAA A =，∴AC ⊥平面11ABB A ，∴1C 到平面11ABB A 的距离为2AC =，∵在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒， ∴112222ABB S =⨯⨯=△， ∴三棱锥11A BB C -的体积1111111422333A BBC C ABB ABB V V S AC --==⨯⨯=⨯⨯=△．20．【答案】（1）()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x 在(,0)-∞单调递减；（2）2(0,)4e ．【解析】（1）函数()f x 定义域为R ，()1xf x e '=-，令()0f x '>，得(0,)x ∈+∞，故()f x 在(0,)+∞单调递增；()f x 在(,0)-∞单调递减．（2）方程2()f x ax x =-，即为2x e ax =，显然0x =不为方程的解，故原方程等价于2xea x=， 设2()x e g x x =，则24(2)()x e x x g x x -'=，令()0g x '<，得02x <<；令()0g x '>，得0x <或2x >， 故()g x 在(0,2)上单调递减，在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增，所以，当(0,)x ∈+∞，2min()(2)4e g x g ==，又因为2()0x e g x x =>恒成立，故若方程2()f x ax x =-有唯一解时，204e a <<， 即实数a 的取值范围为2(0,)4e ． 21．【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题可知:222224112a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得26a =，23b =， ∴椭圆方程为22163x y +=． （2）①若直线MN 斜率存在，设其方程为y kx b =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则有11y kx b =+，22y kx b =+，22163x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得222(12)4260k x kbx b +++-=， 由韦达定理可知122412kb x x k +=-+，21222612b x x k -=+， 由AM AN ⊥，得1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，∴221212(1)(2)()250k x x kb k x x b b ++--++-+=， 即22222264(1)(2)2501212b kb k kb k b b k k --+⋅+--⋅+-+=++， 即(21)(231)0k b k b +-++=，若210k b +-=，即(2)1y k x =-+，即MN 过定点(2,1)，即为A 点，舍去； 若2310k b ++=，即21()33y k x =--，即MN 过定点21(,)33E -．②若MN 斜率不存在，同上述方法可得MN 过定点21(,)33E -，于是可得到AED △为直角三角形，∴D 在以AE 为直径的圆上， ∴存在定点41(,)33Q ，即Q 为圆心，使得||DQ． 22．【答案】（1）1:30C x y +-=，222:40C x y x +-=；（2）2． 【解析】（1）消去参数可得1C 的普通方程为30x y +-=，由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=． （2）2C 标准方程为22(2)4x y -+=，表示圆心为2(2,0)C ，半径2r =的圆， 2C 到直线30x y +-=的距离22d =，故||AB == 原点O 到直线30x y +-=的距离d =，所以11||22OAB S AB d ===△ 综上，OAB △的面积为2． 23．【答案】（1）4{|0}3x x <<；（2）02m <<． 【解析】（1）当1m =时，()|1||21|f x x x =-+-，∴123,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩， ()2f x <即求不同区间对应解集，∴()2f x <的解集为4{|0}3x x <<． （2）由题意，()3f x x <-对任意的[0,1]x ∈恒成立，即||3|21|x m x x -<---对任意的[0,1]x ∈恒成立， 令12,02()3|21|143,12x x g x x x x x ⎧+≤<⎪⎪=---=⎨⎪-≤≤⎪⎩， ∴函数||y x m =-的图象应该恒在()g x 的下方，数形结合可得02m <<．。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设集合{}|12A x x =<<， {}|B x x a =<，若A B A =，则a 的取值范围是（ ）A. {}|2a a ≤B. {}|1a a ≤C. {}|1a a ≥D. {}|2a a ≥【答案】D 【解析】因为A B A ⋂=，所以A B ⊆，因为集合{}|12A x x =<<， {}|B x x a =<， 所以2a ≥.故选D.2.已知复数z 满足z i=2+i ，i 是虚数单位，则|z |=( )C. 2【答案】D【解析】 由题意得2i12i iz +==-，所以|z |5=．选D ． 3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6：S 3=1：2，则S 9：S 3=（ ） A. 1：2 B. 2：3C. 3：4D. 1：3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是性质，即若{a n }等比数列，则S m ，S 2m-m ，S 3m-2m ，…也成等比数列，则由S 6：S 3=1：2，则S 6-S 3：S 3=-1：2，则S 9-S 6：S 6-S 3=-1：2，由此不难求出S 9：S 3的值． 【详解】解：∵{a n }为等比数列 则S 3，S 6-S 3，S 9-S 6也成等比数列 由S 6：S 3=1：2 令S 3=x ，则S 6=12x, 6312S S x -=-, 则S 3：S 6-S 3=S 6-S 3：S 9-S 6=-1：2 则S 9-S 6=14x 则S 9=34x 则S 9：S 3=34x ：x=3：4 故选C ．【点睛】本题主要考察等差数列与等比数列的重要性质， 若{a n }等差数列，则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m ，…也成等差数列；若{a n }等比数列，则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m ，…也成等比数列（其中S m 不为零）；4.已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.5. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且=2.347x ﹣6.423； ②y 与x 负相关且=﹣3.476x+5.648； ③y 与x 正相关且=5.437x+8.493； ④y 与x 正相关且=﹣4.326x ﹣4.578． 其中一定不正确的结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③C. ③④D. ①④【答案】D 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：由题意得，当回归系数ˆ0b>时，y 与x 正相关；当回归系数ˆ0b <时，y 与x 负相关，所以只有①④是不正确的，故选D. 考点：回归系数的意义.6.已知l ，m ，n 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. l m ⊥，l n ⊥，且,m n α⊂，则l α⊥B. 若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβC. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m n ，n α⊥，则m α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理判断A 是否正确；根据三点是否在平面的同侧来判断选项B 是否正确；根据直线与平面位置关系，来判断C 是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，来判断D 是否正确.【详解】对于选项A ，若//m n 时，l 与α不一定垂直，所以A 错误；对于选项B ，若三点不在平面的同侧，则α与β相交， 所以B 错误；对于选项C ，,m m n α⊥⊥，有可能n ⊂α， 所以C 错误；对于选项D ，根据平行线中的一条垂直于一个平面， 另一条也垂直于这个平面，所以D 正确. 故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查线面平行垂直、面面平行的判定，属于基础题.7.在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（ ） A.29B.C.13D.3【答案】D 【解析】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆心到直线()2y k x =-的距离为，要使直线()2y k x =-与圆221x y +=相交，则1<，解得k <<∴在区间[]1,1-上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=有公共点的概率为()11P ⎛- ⎝⎭==--故选D. 8.已知()f x a b =⋅其中()2cos ,2a x x =，()cos ,1b x =，x ∈R .则()f x 的单调递减区间是（ ） A. (),123k k Z k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B. (),123k k Z k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C. (),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. (),63k Z k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算和三角恒等变换，得到()f x 的解析式，再利用余弦函数的性质求解. 【详解】因为()2cos ,3sin 2a x x =-，()cos ,1b x =，x ∈R ，所以()22cos 3sin 2cos 23sin 212cos 213πf x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=-=-+=++ ⎪⎝⎭， 令2223k x k ππππ≤+≤+， 解得63k xk ππππ，所以()f x 的单调递减区间是(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角函数的化简与性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.函数(01)xxa y a x=<<的图像的大致形状是（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】分x ＞0与x ＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状． 【详解】,0,0x x x a x xa y x a x ⎧>==⎨-<⎩且10a >>，根据指数函数的图象和性质，()0,x ∈+∞时，函数为减函数，(),0x ∈-∞时，函数为增函数，故选D ．【点睛】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．10.抛物线24y x =的焦点到双曲线2221y x b -=的一条渐近线的距离是32，则双曲线的虚轴长是（ ）A. 3B. 23C. 3D. 6【答案】B 【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为y bx =，因此231b =+，3b =，虚轴为223b =，故选B ．11.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，3PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：分析可知球心在PB 的中点．因为AC BC ⊥，1AC BC ==，所以2AB =．所以225PB PA AB =+=5R =245S R ππ==．故A 正确． 考点：三棱锥的外接球．12.已知函数log ,0()2,30a x x f x x x >⎧=⎨+-≤≤⎩（0a >且1a ≠），若函数()f x 的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是（ ） A. (0,1) B. (1,3)C. (0,1)(3,)+∞ D. (0,1)(1,3)⋃【答案】D 【解析】log a y x =关于y 轴对称函数为()log a y x =-，01a <<时，()log a y x =-与y 2,30x x =+-≤≤的图象有且仅有一个交点，函数()f x 的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，01a <<符合题意，当1a >时，要使()log a y x =-与y 2,30x x =+-≤≤的图象有且仅有一个交点，则log 31,13a a >∴<<，综上所述，a 的取值范围是,()()0,11,3，故选D.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质及数学的转化与划归思想. 属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，将函数对称问题转化为函数交点问题是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在梯形ABCD 中，2A π∠=，2AB =，2BC =，32AD =，点E 为AB 的中点，则CE BD ⋅=___________.【答案】2- 【解析】 【分析】根据题意以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立平面直角坐标系，求得,CE BD 的坐标，然后利用数量积定义求解.【详解】以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系：则()()32,0,0,,0,0,22C E B D ⎛⎛ ⎝⎝⎭，232,,,22CE BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭， 312CE BD ⋅=-+=-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14.曲线()()31f x x x x=->上一动点()()00,P x f x 处的切线斜率的最小值为________. 【答案】【解析】 【分析】根据曲线()()310f x x x x=->，求导得到()2213f x x x +'=，再利用基本不等式求得导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值. 【详解】因为曲线()()310f x x x x=-> 所以()2213f x x x+'= ()2002013k f x xx +'==≥=202013x x =，即20x =.所以在点()()00,P x f x 处的切线斜率的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15.已知两圆2210x y +=和()()22120x y a -+-=相交于A ，B 两个不同的点，且直线AB 与直线310x y -+=垂直，则实数a =__________．【答案】3 【解析】由题意直线AB 与连心线平行，即310a -=-，3a =． 16.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.【答案】4 【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a 1=,设操作n 次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ,则a n+1=a n ·, ∴a n =a 1q n-1=()n ,∴()n <,得n≥4. 【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.在ABC 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）210. 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理可求AB 的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cos A ，再利用同角三角函数的关系求出sin A ，由二倍角公式求出sin 2A ，cos2A ，根据两角差的正弦公式可求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 【详解】（Ⅰ）在中，根据正弦定理，sin sin AB BCC A=， 于是sin 225sin BCAB CBC A=== （Ⅱ）在ABC ∆中，根据余弦定理，得222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅于是25sin 1cos A A =-=从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55A A A A A A ===-=2sin 2sin 2cos cos 2sin 44410A A A πππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18.去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A ,B,C ,D 四个等级，等级评定标准如下表所示. 评估得分 [60,70)[70,80)[80,90)[90,100)评定等级 D C B A（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率. 【答案】（1）众数是75，平均数是75.4；（2）35． 【解析】 【分析】（1）由最高小矩形的底边中点估计众数，利用中位数将小矩形面积分为左右两侧均为0.5求解中位数即可； （2）列出所有可能的事件，然后找到满足题意的事件的个数，最后利用古典概型计算公式求解概率值即可. 【详解】（1）最高小矩形的底边中点为75，估计得分的众数为75分．直方图中从左至第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28,0.16,0.08，则第二个小矩形的面积为 1-0.28-0.16-0.08=0.48.所以650.28750.48+850.16950.0875.4x =⨯+⨯⨯+⨯=， 故估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4.（2）A 等级的频数为250.082⨯=，记这两家分别为,;a b B 等级的频数为250.164⨯=，记这四家分别为,,,c d e f ，从这6家连锁店中任选2家，共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,b d b e b f c d c e c f d e d f e f ，共有15种选法.其中至少选1家A 等级的选法有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c ()()(),,,,,b d b e b f 共9种，则93155P ==， 故至少选一家A 等级的概率为35. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，ABC ∆为边长为2的正三角形，//AE CD ，且AE ⊥平面,2 2.ABC AE CD ==，（1）求证：平面BDE ⊥平面BCD ；（2）求三棱锥D BCE -的高.【答案】(1)见解析;(2) 3h =【解析】试题分析：（1）取BD 边的中点F ，BC 的中点为G ，四边形AEFG 为平行四边形，由AG ⊥平面BCD 可知，EF ⊥平面BCD ，可证．（2）由D BCE V -=三棱锥 B ACDE V 四棱锥-- E ABC V -三棱锥和等体积法可求角． 试题解析：(1)如下图所示：取BD 边的中点F ，BC 的中点为G ，连接AG ，FG ，EF ，由题意可知，FG 是ΔBCD 的中位线所以FG AE 且FG AE =，即四边形AEFG 为平行四边形，所以AG EF由AG ⊥平面BCD 可知，EF ⊥平面BCD ，又EF ⊂面BDE ，故平面BDE ⊥平面BCD（2）过B 做BK AC ⊥，垂足为K ，因为AE ⊥平面ABC ，所以BK ⊥平面ACDE，且BK 22=⨯=所以B ACDE V -=四棱锥 111232⨯+（）2⨯=E ABC V 三棱锥-= 11232⨯⨯⨯13= 所以D BCE V -=三棱锥 B ACDE V 四棱锥-- E ABC V 三棱锥-=33= 因为AB AC 2==，AE 1=，所以BE CE ==BC 2= 所以ECB 1S 22=⨯⨯2= 设所求的高为h ，则由等体积法得12h 3⨯⨯3=所以h =【点睛】 面面垂直普通一般通过证明线面垂直来证明，求点到面的距离，常用的方法有①等面积、等体积法②距离转化，常用平行转化和相似转化．本题是利用了等体积法求点到面的距离．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1M 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 平行于OM ，且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点.若AOB ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距m 的取位范围.【答案】（1）22182x y +=；（2）()(⋃. 【解析】试题分析：（1）根据题意得22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩解方程即可得椭圆方程； （2）由直线l 平行于OM ，得直线l 的斜率12OM k k ==，AOB ∠为钝角等价于12120OA OB x x y y ⋅=+<，直线l 与椭圆C 联立，利用韦达定理即可求范围.试题解析：（1）依题意有22411,a b =⎨⎪+=⎪⎩解得228,2.a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的方程为22182x y +=. （2）由直线l 平行于OM ，得直线l 的斜率12OM k k ==， 又l 在y 轴上的截距为m ，所以l 的方程为12y x m =+. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222240x mx m ++-=. 因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，所以()()2224240m m ∆=-->， 解得22m -<<.设()()1122,,,A x y B x y ，又AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<且0m ≠， 则121212121122OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212125042m x x x x m =+++<， 将212122,24x x m x x m +=-=-代入上式，化简整理得22m <，即m <<故m的取值范围是()(⋃.。
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷(十二)理科数学
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷（十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题。
1.已知集合{}2|40A x x =-<，{}|21xB x =<，则A B =（ ）．A. {|02}x x <<B. {|2}x x <C. {|20}x x -<<D. {|2}x x >-【答案】B 【解析】 【分析】先解出集合A ，B ，然后求并集即可.【详解】解：解不等式240x -<得22x -<<，所以集合{}|22A x x =-<< 解不等式21x <得0x <，所以集合{}|0B x x =<所以{}|2A B x x ⋃=< 故选B.【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题. 2.若复数z 满足(12)2i z i -=--，则1z i +-=（ ）．A. 1【答案】D 【解析】 【分析】先解出复数z ，求得1z i +-，然后计算其模长即可. 【详解】解：因为()122i z i -=--，所以()()()()2122121212i i i z i i i i --+--===---+所以112z i i +-=-所以1z i +-==故选D.【点睛】本题考查了复数的综合运算，复数的模长，属于基础题. 3.若直线52y x =与曲线ln(21)y mx x =-+相切于点(0,0)O ，则m =（ ）． A. 0 B.52C.72D.92【答案】D 【解析】 【分析】先对曲线求导，由切点处的导数等于切线斜率列方程，解出m 即可. 【详解】解：由()ln 21y mx x =-+，得2'21y m x =-+ 因为直线52y x =与曲线()ln 21y mx x =-+相切于点()0,0O 所以522m =-，解得92m =故选D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.4.如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的阴影部分是三个半径为3的扇形，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为A.316πB.3116π-C.38πD.318π-【答案】A【解析】【分析】先求出三角形总面积，空白面积，然后得阴影部分面积，由几何概型的面积型概率公式求出答案.【详解】解：三角形总面积168242S=⨯⨯=因为三个扇形半径相等，且圆心角之和为180°，所以219322Sππ=⨯=阴影所以向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率932P2416SSππ===阴影故选A.【点睛】本题考查了几何概型的面积型，属于基础题.5.已知双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>5Γ的渐近线方程为（）．A. 3y x=± B. 13y x=± C. 2y x=± D.12y x=±【答案】C【解析】【分析】由双曲线的离心率ce a==，得到c 与a 的关系，再由b =b 与a 的关系，然后可求出渐近线方程.【详解】解：因为离心率为e ca==，所以c =， 2b a == 所以Γ的渐近线方程y 2x bx a=±=± 故选C.【点睛】本题考查了双曲线的离心率与渐近线方程，属于基础题.6.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4a =，b =c (2)cosB a b cosC =-，则ABC 的面积为（ ）．A. B. C. 6D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先由()2c cosB a b cosC ⋅=-边化角，化简整理可求出角C ，然后计算面积即可. 【详解】解：由()2c cosB a b cosC ⋅=-，得()2sinCcosB sinA sinB cosC =- 所以2sinCcosB sinBcosC sinAcosC +=，即()sin 2B C sinAcosC += 所以sin 2A sinAcosC =，sin 0A ≠得cosC 12=，所以3C π=所以1146222ABCSabsinC ==⨯⨯= 故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理进行边角转化，三角形面积公式，属于基础题. 7.从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有（ ）． A. 810种 B. 840种 C. 1620种 D. 1680种【答案】A 【解析】 【分析】先由排列数分别求出不考虑性别，与全部是男生和全部是女生的选法总数，然后用总数减掉全部是男生和全部是女生的即为男女生都有的选法.【详解】解：不考虑男女生共有311990A=种全部是男生的有3560A=种全部是女生的有36120A=种所以男、女学生都有的共有99060120810--=种故选A.【点睛】本题考查了排列数，对于需要分类讨论的问题可考虑用间接法解题.8.刘微（225-295），3世纪杰出的数学家，撞长利用切割的方法求几何体的体积，因些他定义了四种基本几何体，其中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）．A. 2232+ B.223+ C. 222+ D. 22+【答案】A【解析】【分析】先结合题中信息和三视图，得出直三棱柱和四棱锥的底面和高，然后分别计算体积并相加即可.【详解】解：由三视图分析可知，直三棱柱的底面是侧视图中右边的直角三角形，且高为1所以直三棱柱的体积11112V=⨯=四棱锥的底面是正视图中的正方形，且高为2所以四棱锥的体积21211233V=⨯⨯⨯=所以整个几何体的体积12223V V V=+=+故选A.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，空间几何体的体积，由三视图还原出原图是解题关键.9.已知(1,1)A-，(4,0)B，(2,2)C，平面区域E是由所有满足AD AB ACλμ=+(12,13)λμ≤≤≤≤的点(,)D x y组成的区域，则区域E的面积是（）．A. 8 B. 12 C. 16 D. 20【答案】C【解析】【分析】先由AD AB ACλμ=+，方程组，解出,λμ，代入得到,x y满足的不等式组，画出可行域，求出面积即可.【详解】解：由()1,1A-，()4,0B，()2,2C，(),D x y得()1,1AD x y=-+，()3,1AB=，()1,3AC=因为AD AB ACλμ=+所以1313xyλμλμ-=+⎧⎨+=+⎩，解得348348x yy xλμ--⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩又因为12,13λμ≤≤≤≤代入化简得123204320x yy x≤-≤⎧⎨≤-≤⎩画出不等式组代表的平面区域如图中阴影部分，且阴影部分为平行四边形由直线方程解出点()A 5,3，()B 8,4，()C 10,10，()D 7,9 点()D 7,9到直线AB:340x y -+=的距离()2273941013d -⨯+==+-，AB 10= 所以阴影部分面积为S 101610=⨯= 故选C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，线性规划中可行域的面积，属于中档题. 10.已知()621x mx -+展开式中4x的系数小于90，则m 的取值范围为（ ）．A. (,5)(1,)-∞-+∞B. (5,1)-C. 121211,,22⎛⎫⎛⎫+-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. (,5)5,)-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】先将1x -当做一项，写出()621x mx-+的展开通项，结合题意分析，要想得到展开式中的4x项，只能是0k =，1k =和2k =，然后分别讨论三种情况产生的4x 的系数，将三种情况的系数相加即为原展开式中4x 的系数，列出不等式，解出m 即可.【详解】解：因为()621x mx -+展开式为()()62161kkkk TC x mx -+=-要想得到展开式中的4x 项，只能是0k =，1k =和2k =当0k =时，()()()066216611T C x mx C x =-=-二项式()61x -的展开通项()()61661x 1r rr r rr r T C C x -+=-=- 要想得到4x 项，只能4r =，此时4x 的系数为()40466115C C -= 当1k =时，()()()155121226611T C x mx C mx x =-=-二项式()51x -的展开通项()()51551x 1r rr r rr r T C C x -+=-=-要想得到4x 项，只能2r，此时4x 的系数为()21265160C mC m -= 当2k =时，()()()2442222436611T C x mx C m x x =-=-二项式()41x -的展开通项()()41441x 1r rr r rr r T C C x -+=-=-要想得到4x 项，只能0r =，此时4x 的系数为()0220264115C m C m -=所以()621x mx-+展开式中4x的系数为2156015m m ++所以215601590m m ++<，解得51m -<< 故选B.【点睛】本题考查了三项式展开式中的系数问题，三项式展开需要将其中两项合并当做一项进行处理.11.在三棱锥P ABC -中，3PA PB ==，BC =8AC =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为（ ）． C.2D.2【答案】A 【解析】 【分析】取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED ，得E 为△ABC 外接圆的圆心，且OE ∥平面PAB ，然后求出△PAB 的外接圆半径r 和球心O 到平面PAB 的距离等于d ，由勾股定理得R =.【详解】解：取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED 因为AB BC ⊥，所以E 为△ABC 外接圆的圆心因为OE ∥PD ，OE 不包含于平面PAB ，所以OE ∥平面PAB 因为平面PAB ⊥平面ABC ，3PA PB ==，得PD ⊥AB ，ED ⊥AB 所以PD ⊥平面ABC ，ED ⊥平面PAB且AB ==PD 1=所以球心O 到平面PAB 的距离等于ED d ==在△PAB 中，3PA PB ==，AB =1sin 3PAB ∠=， 所以△PAB 得外接圆半径2r 9sin PB PAB ∠==，即9r 2=由勾股定理可得球O 的半径2R ==故选A.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，经常用球中勾股定理R =其中R 是外接球半径，d 是球心到截面距离，r 是截面外接圆半径. 12.己知函数()sin(),0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像关于点1(,0)O n 中心对称，关于直线:l x m =对称（直线l 是与点1O 距离最近的一条对称轴），过函数()y f x =的图像上的任意一点()00,A x y 作点1O 、直线l 的对称点分别为()111,A x y 、()222,A x y ，且212x x π-=，当06x π=时，012y =，记函数()f x 的导函数为'()f x ，则当2()()2'f αα=时，2cos a =（ ）． A. -2 B. -1C. 12- D. 14-【答案】C 【解析】 【分析】由点()00,A x y 作点()1,0O n 、直线:l x m =的对称点分别为()111,A x y 、()222,A x y ，且212x x π-=，可得4m n π-=，又直线l 是与点1O 距离最近的一条对称轴，所以44T π=，即πT =，2ω=，然后代入06x π=，012y =，解出ϕ，得到()f x 解析式，求导，由()()2'2f αα=，化简可得2cos a 的值.【详解】解：由点()00,A x y 作点()1,0O n 、直线:l x m =的对称点分别为()111,A x y 、()222,A x y ，且212x x π-=，得4m n π-=，又直线l 是与点1O 距离最近的一条对称轴，所以44T π=，即πT =，2ω= 又因为当06x π=时，012y =所以1sin 2662f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，解得6πϕ=- 所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()'2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为()()2'2fαα=所以2sin 22266ππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 2263ππα⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 所以1sin 222πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即122cos a =- 故选C.【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，三角丰登变换，诱导公式，导数的运算，属于中档题. 二、填空题。
2021年全国高考数学模拟试卷(文科)(二)(5月份)
2021年全国高考数学模拟试卷（文科）（二）（5月份）一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={y|y=x2+1}，B={x|3−x>0}，则A∩B=()A. [1,+∞)B. (3,+∞)C. [1,3)D. [1,3]2.设z=(1+i)(3i−1)，则z−=()A. 4+2iB. −4+2iC. 4−2iD. −4−2i3.已知a=4−13，b=log215，c=log310，则()A. a<c<bB. b<a<cC. a<b<cD. c<a<b4.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中B层人数是()A. 12B. 24C. 32D. 365.若等差数列{a n}的前21项和S21=63，则a6+a15−a10=()A. 2B. 3C. 4D. 56.“m>2”是“∀x>0，x+16x≥5−m”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼⋅春官⋅大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、土、丝、匏、竹”任取“两音”，则“两音”同为吹奏乐器的概率为()A. 110B. 15C. 310D. 258.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 10B. 5C. −1D. −89. 借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得y =lnx 在x =1处的切线方程为y =x −1，再把x =1.01代入切线方程，即得ln1.01≈0.01，类比上述方式，则√e 4000≈( )A. 1.00025B. 1.00005C. 1.0025D. 1.000510. 已知函数f(x)=2cos(ωx +φ)+1(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x =π12对称，且对任意x ∈R ，都有f(x)≥f(7π12)，则当ω取最小值时，下列结论正确的是( )A. 函数f(x)图象的一个对称中心为点(−π3,1) B. 函数f(x)图象的一条对称轴方程为x =−π12C. 将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)=−2sin2x +1的图象 D. 函数f(x)在[13π12,19π12]上单调递减11. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交双曲线于点P ，F 2为双曲线的右焦点，已知以M(2,1)为中点的弦交双曲线的右支于A ，B 两点，当∠F 1PF 2=60°时，直线AB 的方程为( )A. 2x −y −3=0B. 4x +y −9=0C. x −4y +2=0D. 4x −y −7=012. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 作该正方体的截面α，α与DA 的延长线交于点K ，与DC 的延长线交于点L ，则三棱锥D 1−DKL 外接球的表面积为( )A. 32πB. 20πC. 22πD. 18π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=3x +a ⋅3−x 为奇函数，则a =______．14. 已知抛物线C ：y 2=ax 的准线方程为x =−1，则a =______，若抛物线C 的焦点为F ，点A 为C.上位于第一象限的一点，|AF|=6，则直线AF 的斜率为______．15. 在平行四边形ABCD 中，AB =3AD =3，∠DAB =60°，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若√3bcosC =√3a +csinB ，则cos A cos C 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 17. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=3a n −6．(1)记b n =a n −3，证明：{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和T n ．18. 某5G 科技公司对某款5G 产品在2020年1月至6月的月销售量及月销售单价进行了调查，月销售单价x 和月销售量y 之间的一组数据如表所示： 月份123456 月销售单价x(百元)98.88.68.48.28 月销售量y(万件) 687580 83 84 90(1)由散点图可知变量y 与x 具有线性相关关系，根据1月至6月的数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ^=b ^x +a ^；(2)预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种产品的成本是350元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？(注：利润=销售收入−成本) 附参考公式和数据：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −，∑(6i=1x i −x −)(y i −y −)=−14．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AD =CD =12AB =2√3，∠BAD =60°，PD =PB ． (1)求证：BD ⊥PC ；(2)若PC=√7，平面PBD⊥平面ABCD，M是棱AP上一点，DM//平面PBC，求三棱锥D−ABM的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当直线l与x轴垂直时，|MN|=3．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的上顶点为B，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，O为坐标原点，求△OBD面积的取值范围．21.已知函数f(x)=e x−ax．(1)求函数f(x)在[0,1]上的最小值；(2)当a=1时，证明：当x<0时，f(x)<x24+2．)=2，以极点O为22.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π3原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C的直角坐标方程，并判断直线l与圆C的位置关系；(ρ≥0)与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，圆C的圆心为C，求△ABC的(2)射线OM：θ=π3面积．23.已知函数f(x)=|x+1|−|2x−4|．(1)画出函数y=f(x)的图象；(2)若关于x的不等式f(x)≥x+m有解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={y|y=x2+1}=[1,+∞)，B={x|3−x>0}=(−∞,3)，∴A∩B=[1,3)．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z=(1+i)(3i−1)=3i+3i2−1−i=−4+2i，∴z−=−4−2i．故选：D．利用复数的运算法则先求出z，再由共轭复数的定义能求出z−．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、共轭复数的定义基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵0<4−13<40=1，log215<log21=0，log310>log33=1，∴b<a<c．故选：B．可得出0<4−13<1,log215<0,log310>1，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：样本中，女生人数为9+24+15+9+3=60，男生人数为100−60=40，故样本中B层人数占的比例为24+40×30100=36，故选：D．由题意利用分层抽样，求出B层中的女生和男生人数，可得B层人数占的比例．本题主要考查分层抽样，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}的前21项和S21=63，∴21(a1+a21)2=21a11=63，解得a11=3，∵a6+a15=a10+a11，∴a6+a15−a10=a11=3．故选：B．由等差数列{a n}的前21项和S21=63，求出a11=3，再由a6+a15=a10+a11，能求出a6+a15−a10的值．本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵∀x>0时，x+16x ≥2√16=8，当且仅当x=16x，即x=4时取等号，∴x+16x的最小值为8，∴5−m≤8，即m≥−3，∵(2,+∞)⫋[−3，+∞)，∴m>2是x+16x≥5−m的充分不必要条件．故选：A．首先找出对∀x>0时，x+16x≥5−m恒成立的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题考查恒成立的充要条件，考查知识的应用能力，是基础题．7.【答案】C【解析】解：从“金、土、丝、匏、竹”任取“两音”，基本事件有10种，分别为：(金，土)，(金，丝)，(金，匏)，(金，竹)，(土，丝)，(土，匏)，(土，竹)，(丝，匏)，(丝，竹)，(匏，竹)，其中“两音”同为吹奏乐器包含的基本事件有3个，分别为：(土，匏)，(土，竹)，(匏，竹)，∴“两音”同为吹奏乐器的概率为P=3．10故选：C．从“金、土、丝、匏、竹”任取“两音”，利用列举法能求出基本事件总数和“两音”同为吹奏乐器包含的基本事件个数，由此能求出“两音”同为吹奏乐器的概率．本题考查概率的求法，涉及到古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．8.【答案】C【解析】解：i=1，执行循环体i=2；T=1，P=20−1=19，否；i=3；T=2，P=19−2=17，否；i=4；T=3，P=17−3=14，否；i=5；T=4，P=14−4=10，否；i=6；T=5，P=10−5=5，否；i=7；T=6，P=5−6=−1，是；输出P；故输出S值为−1，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】A【解析】解：设函数f(x)=e x ，可得导数f′(x)=e x ，f(0)=1，f′(0)=1， 可得曲线y =e x 在(0,1)处的切线的方程为y =g(x)=x +1． 由于14000与0之间的距离比较小，“以直代曲”， 在切点附近用切线代替曲线进行近似计算， 可得√e 4000=e14000=f(14000)≈g(14000)=1+14000=1.00025．故选：A ．设函数f(x)=e x ，求得导数，可得切线的斜率和方程，由“以直代曲”思想，令x =14000，代入切线的方程，可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及近似值的计算，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：对任意x ∈R ，都有f(x)≥f(7π12)， 当x =7π12时，函数为极小值，也为对称轴，所以kT2=7π12−π12；由于T =2πω，所以ω=2k ，(k ∈Z)， 故ω的最小值为2． 当x =7π12时，函数f(x)取得最小值为−1，所以ω7π12+φ=7π6+φ=π+2mπ，由于|φ|<π2，故m =0时，φ=−π6， 所以f(x)=2cos(2x −π6)+1． 对于A ：当x =−π3时，f(−π3)=2cos(−5π6)+1=−√3+1，故A 错误；对于B ：f(−π12)=2≠−1或3，故B 错误；对于C：函数f(x)=2cos(2x−π6)+1的图象向右平移π6个单位，得到g(x)=2cos(2x−π3−π6)+1=2sin2x+1的图象，故C错误；对于D：由于13π12≤x≤19π12，故2π≤2x−π6≤3π，故函数在该区间内单调，故D正确；故选：D．直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意可得|PF1||F1F2|=b22ac=√33，即b2=2√33ac，即有c2−a2=2√33ac，解得ca =√3，所以b2a2=c2a2−1=2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12a2−y12b2=1，x22a2−y22b2=1，两式相减可得(x1−x2)(x1+x2)a2=(y1+y2)(y1−y2)b2，由x1+x2=4，y1+y2=2，可得k AB=y1−y2x1−x2=b2a2⋅x1+x2y1+y2=4，所以直线AB的方程为y−1=4(x−2)，即4x−y−7=0．故选：D．由直角三角形的正切函数的定义，求得a，b的关系式，再由点差法和中点坐标公式、直线的斜率公式，求得直线AB的方程．本题考查双曲线的方程和性质，以及中点坐标公式和直线的斜率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：如图所示：延长EF，分别与DA的延长线交于点K，与DC的延长线交于点L，连接D1K交AA1于点M，连接D1L交CC1于点N．则截面D1MEFN为平面α，由于正方体的棱长为2，故DK=DL=3，设三棱锥D1−DKL的外接球的半径为R，所以4R2=22+32+32=22，故三棱锥D1−DKL的外接球的表面积为4⋅π⋅R2=22π．故选：C．首先根据三棱锥体和球的关系求出球的半径，进一步利用球的表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三棱锥体和球的关系，球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】−1【解析】解：根据题意，函数f(x)=3x+a⋅3−x为奇函数，则f(−x)+f(x)=0，即(3x+a⋅3−x)+(3−x+a⋅3x)=(1+a)(3x+3−x)=0，必有a=−1，故答案为：−1．根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)+f(x)=0，即(3x+a⋅3−x)+(3−x+a⋅3x)=(1+a)(3x+3−x)=0，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式，属于基础题．14.【答案】4 √52【解析】解：抛物线C ：y 2=ax 的准线方程为x =−1，可得−a4=−1，解得a =4，所以抛物线的焦点坐标(1,0)，设A(m,n)，可知|AF|=m +1=6，所以m =5，则n =2√5， 所以k AF =2√5−05−1=√52． 故答案为：4；√52．利用抛物线的直线方程，求解a ，求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的性质求解A 的坐标，然后求解AF 的斜率．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.【答案】−3【解析】解：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1−23×3×2×12−13×9=−3． 故答案为：−3．画出图形，利用向量的数量积的运算法则化简求解即可． 本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题．16.【答案】34【解析】解：因为√3bcosC =√3a +csinB ， 所以√3bcosC −√3a =csinB ，由正弦定理可得√3sinBcosC −√3sinA =sinCsinB ，所以√3sinBcosC−√3sin(B+C)=sinCsinB，可得−√3cosBsinC=sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB=−√3，又B∈(0.π)，所以B=2π3，所以cos A cos C=cosAcos(π3−A)=cosA(cosπ3cosA+sinπ3sinA)=12cos2A+√32sinAcosA=14(1+cos2A)+√34sin2A=14+12sin(2A+π6)≤34，当且仅当2A+π6=π2，即A=π6时取等号，所以cosAcosC=12+sinAsinC≤34．故答案为：34．由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanB=−√3，结合范围B∈(0.π)，可得B=2π3，利用三角函数恒等变换的应用可得cosAcosC=14+12sin(2A+π6)，根据正弦函数的性质即可求解其最大值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)证明：由a1=2，a n+1=3a n−6，可得a n+1−3=3(a n−3)，由b n=a n−3，可得b n+1=3b n，则{b n}是首项为−1，公比为3的等比数列．所以b n=a n−3=(−1)⋅3n−1；(2)由(1)可得a n=3−3n−1，T n=3+3+...+3−(1+3+32+...+3n−1)=3n−1−3n1−3=3n+1−3n2．【解析】(1)将已知数列的递推式两边减去3，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求； (2)求得a n =3−3n−1，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)x −=16(9+8.8+8.6+8.4+8.2+8)=8.5，y −=16(68+75+80+83+84+90)=80．∑(6i=1x i −x −)2=(9−8.5)2+(8.8−8.5)2+(8.6−8.5)2+(8.4−8.5)2+(8.2−8.5)2+(8−8.5)2=0.7，∑(6i=1x i −x −)(y i −y −)=−14， 则b ̂=∑(6i=1x i −x −)(y i −y −)∑(6i=1x i −x −)2=−140.7=−20，a ̂=y −−b ̂x −=80+20×8.5=250． ∴y 关于x 的回归直线方程为y ̂=−20x +250； (2)设月利润为z 百万元，则由z =(x −3.5)y ，得z =(x −3.5)(250−20x)=−20x 2+320x −875=−20(x −8)2+405， ∴当x =8时，z max =405(百万元)．故该产品的月销售单价定为800元时，获得最大约利润．【解析】(1)由已知数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求；(2)设月利润为z 百万元，由z =(x −3.5)y ，得z =(x −3.5)(250−20x)，展开后利用配方法求最值． 本题考查线性回归方程的求法，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】(1)证明：取BD 的中点O ，连接PO ，OC ，∵PD =PB ，∴PO ⊥BD ， ∵CD =BC ，∴CO ⊥BD ，∵CO ∩PO =O ，∴BD ⊥平面POC ， 而PC ⊂平面POC ，∴BD ⊥PC ；(2)解：∵平面PBD ⊥平面ABCD ，且平面PBD ∩平面ABCD =BD ， PO ⊥BD ，PO ⊂平面PBD ，∴PO ⊥平面ABCD ． ∵AD =CD =12AB =2√3，∠BAD =60°，∴BD=√(2√3)2+(4√3)2−2×2√3×4√3×cos60°=6，∴OC=√3，又∵PC=√7，∴PO=2，取AB的中点N，连接DM、DN、MN，则DN//BC，∵DN⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DN//平面PBC，又DM//平面PBC，DM∩DN=D，DM、DN⊂平面DMN，∴平面DMN//平面PBC，则MN//平面PBC，可得MN//PB．又N为AB的中点，∴M为PA的中点，∵PO=2，∴M到底面ABCD的距离d=12PO=1，又∵S△ABD=12×2√3×4√3×sin60°=6√3，∴V D−ABM=V M−DAB=13×6√3×1=2√3．【解析】(1)取BD的中点O，可得PO⊥BD，CO⊥BD，再由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面POC，从而得到BD⊥PC；(2)由已知结合平面与平面垂直的性质可得PO⊥平面ABCD，求解三角形可得PO=2，然后证明MN//PB，得到M到底面ABCD的距离d=12PO=1，求出三角形ABD的面积，再由等体积法求三棱锥D−ABM的体积．本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(1)设F(c,0)，则|MN|=2b2a=3，又由离心率e=ca =12得，a=2c，又因为a2=b2+c2，则4b2=3a2，由上可得，a=2，b=√3，即得椭圆C的方程为：x24+y23=1．(2)根据题意可得，直线l的斜率存在且不为0，右焦点为F(1,0)，则设直线l的方程为x=my+1(m≠0)，点M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立椭圆方程得{x =my +1x 24+y 23=1，化简可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，则△>0， 且有y 1+y 2=−6m3m 2+4，设线段MN 的中点坐标为G(x 0,y 0)，则y 0=−3m3m 2+4，x 0=my 0+1=43m 2+4， 所以可得线段MN 的中垂线的方程即为：y +3m3m 2+4=−m(x −43m 2+4)， 即得点D(13m 2+4,0)，所以S △OBD =12⋅|OD|⋅|OB|=√32⋅x D =√32⋅13m 2+4，∵0<13m 2+4<14，∴△OBD 的面积的取值范围为(0,√38).【解析】(1)根据椭圆的基本性质，结合题意，可表示得出离心率，及|MN|的大小，求解得出结论；(2)根据题意设出直线l 的方程，并联立化简方程组进而表示得出MN 的中垂线方程，求出交点坐标并表示△OBD 的面积，使用函数性质即可得到面积的取值范围．本题主要考查椭圆的基本性质，及学生联立方程组求解问题的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=e x −ax ，∴f′(x)=e x −a ，①当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在[0,1]上单调递增， ∴f(x)的最小值是f(0)=1；②当a >0时，令f′(x)=0，解得：x =lna ，若lna ≤0即0<a ≤1时，f′(x)>0，f(x)在[0,1]上单调递增， 故f(x)的最小值是f(0)=1，若lna ≥1即a ≥e 时，f′(x)<0，f(x)在[0,1]上单调递减， 故f(x)的最小值是f(1)=e −a ， 若0<lna <1即1<a <e 时，x ∈[0,lna)时，f′(x)<0，x ∈(lna,1]时，f′(x)>0， 故f(x)在[0,lna)递减，在(lna,1]递增， 故f(x)的最小值是f(lna)=a −alna ；综上：当a ≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值是1，当1<a <e 时，f(x)在[0,1]上的最小值是a −alna ， 当a ≥e 时，f(x)在[0,1]上的最小值是e −a ． (2)证明：当a =1时，f(x)=e x−x ，f(x)<x 24+2即e x−2<x 24+x ，∵x <0，∴0<e x <1，∴−2<e x −2<−1， 令g(x)=x 24+x ，则g′(x)=x2+1，令g′(x)>0，解得：x >−2，令g′(x)<0，解得：x <−2， 故g(x)在(−∞,−2)递减，在(−2,0)递增， 故g(x)min =g(−2)=1−2=−1， 故g(x)>e x −2，故e x −2<x 24+x ，原命题成立．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可； (2)代入a 的值，问题转化为e x −2<x 24+x ，令g(x)=x 24+x ，根据函数的单调性证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．22.【答案】解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为：x 2+(y −1)2=1直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为√3x +y −4=0．利用圆心(0,1)到直线√3x +y −4=0的距离d =√(√3)2+12=32>1，所以直线与圆相离；(2)由于射线OM ：θ=π3(ρ≥0)， 所以，设A(ρ1,π3)，B(ρ2,π3)， 由于圆C 满足ρ1=2sin π3=√3， 直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=2， 所以ρ2=4√33，所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√33，圆心(0,1)到直线的距离ℎ=1×sin(π2−π3)=12．故S△=12×√33×12=√312．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式的应用，极径的应用，三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，极径的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)函数f(x)=|x+1|−|2x−4|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，函数f(x)的图象如下：(2)由(1)的图象可知，当直线y=x+m经过点(2,3)时，m=1，所以当f(x)≥x+m有解时，m≤1，故实数m的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数f(x)转化为分段函数，作出分段函数的图象即可；(2)利用(1)中的图象进行分析求解即可．本题考查了含有绝对值的函数的应用，对于含有绝对值的函数，常见的解法是利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．。
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题
2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）1.设i(1i)z =-，则z =（ ） A. 1i - B. 1i +C. 1i --D. 1i -+【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算，求得z ，再求其共轭复数即可. 【详解】因为i(1i)z =-1i =+， 故可得z =1i -. 故选：A.【点睛】本题考查集合的乘法运算，以及共轭复数的求解，属基础题. 2.已知集合{}2|230A x x x =--≤，{|24}B x x =≥，则A B =（ ）A. [1,3]-B. [2,)+∞C. [2,3]D. [1,2]-【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式求出集合A 、B ，然后再根据集合的交运算即可求解. 【详解】由{}{}[]2|230131,3A x x x x x =--≤=-≤≤=-，{}[){|24}22,B x x x x =≥=≥=+∞，所以A B =[2,3].故选：C【点睛】本题考查了集合的交运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题. 3.已知向量(1,2)a b +=，(3,0)a b -=-，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 1-C. 3D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加减的坐标运算求出()1,1a =-，()2,1b =，再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由(1,2)a b +=，(3,0)a b -=-， 两式联立，可得()1,1a =-，()2,1b =， 所以1211a b ⋅=-⨯+=-. 故选：B【点睛】本题主要考查了向量加减、数量积坐标运算，考查了学生的基本运算能力，属于基础题. 4.已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∨【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>, 或=12a b =-，时，则22a b > 不成立. 则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假. 故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.5.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 278-B. 18-C.18D.278【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知函数是以2为周期的函数，从而可得5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据函数为奇函数可得1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将12x =代入表达式即可求解.【详解】由()f x 满足(2)()f x f x +=， 所以函数的周期2T =，又因为函数()f x 为奇函数，且当01x ≤≤时，3()f x x =，所以51112228f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题. 6.已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A. 4B. 2C. 1D. 8点A 到抛物线的准线：14x =-的距离为：014d x =+，利用抛物线的定义可得：001544x x +=， 求解关于实数0x 的方程可得：01x =. 本题选择C 选项.7.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin21cos2αα-=,则cos α（ ）A.15B.C.3D.【答案】D 【解析】 【分析】由2sin 22sin cos ,cos22cos 1ααααα==-,代入已知式子中,可求出2sin cos αα=,再结合22sin cos 1αα+=即可求解.【详解】解:2sin21cos2αα-=,24sin cos 1cos22cos αααα∴=+=即2sin cos αα=.又22sin cos 1αα+= cos 5α∴=±0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0α∴> cos 5α∴=故选:D.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 10B. 5C. 20D. 30【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图画出几何体的直观图：三棱柱截去一个三棱锥，利用棱柱与棱柱的体积公式即可求解. 【详解】由几何体的三视图可得几何体的直观图： 三棱柱111ACD AC D -截去一个三棱锥1D ACD -，如图：该几何体的体积：111111143543520232ACD A C D D ACD V V V --=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、棱柱的体积公式、棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.9.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，若双曲线上存在一点A 使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A.5B.10 C.15 D.5【答案】B 【解析】因为123AF AF =，根据双曲线的几何定义可得，12222a AF AF AF =-=，所以21,3AF a AF a ==．在12Rt F AF ∆中，因为2112,3,2AF a AF a F F c ===，所以222(3)(2)a a c +=，即2252a c =，所以c a =，则c e a ==，故选B ． 10.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ） A.320πB.310π C.4π D.25π 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=（a ，b 为直角边，c 为斜边），求出圆的面积，再利用几何概型-面积比即可求解.【详解】由题意两直角边为8,15a b ==，斜边17c ==， 所以内切圆半径81517322a b c r +-+-===， 所以落在其内切圆内的概率：2331208152P ππ⨯==⨯⨯，故选：A【点睛】本题考查了几何概型的概率计算公式-面积型，属于基础题.11.函数()cos (0)f x x ωω=>在区间π[0,]2上是单调函数，且()f x 的图像关于点3()4π,0M 对称，则ω=（ ） A.23或103B.23或2 C.143或2 D.103或143【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调区间，解得ω的取值范围，结合对称中心，即可求得结果. 【详解】因为()cos (0)f x x ωω=>在区间π[0,]2上是单调函数，则由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得0,2x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则2πωπ≤，解得(]0,2ω∈.又因为()f x 的图像关于点3()4π,0M 对称，故可得3cos 04πω=，即3,42k k Z πωππ=+∈， 解得42,33k k Z ω=+∈. 结合ω的取值范围，即可得23ω=或2.故选：B .【点睛】本题考查由余弦型函数的单调区间以及对称中心，求参数范围的问题，属基础题. 12.函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A. ()0,2 B. ()2,+∞C. 3360,6e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解. 【详解】()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数()()23xf x x e=-图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_______.【答案】甲. 【解析】 【分析】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方， 而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方． 从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高． 故答案为甲【点睛】画茎叶图时的注意事项（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶； （2）将茎上的数字按大小次序排成一列．（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧． （4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较． 14.已知2()2(2)f x x xf '=+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为________. 【答案】610x y ++= 【解析】 【分析】求出导函数()22(2)f x x f ''=+，令2x =，求出()2f '，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出()1f 以及()1f '，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】由2()2(2)f x x xf '=+，则()22(2)f x x f ''=+，当2x =时，(2)42(2)f f ''=+，解得()24f '=-，所以2()8f x x x =-，()28f x x '=-，即()17f =-，(1)2186f '=⨯-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()761y x +=--， 即为610x y ++=.故答案为：610x y ++=【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45，与观测站A距离B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北(045)θθ<<的C 处，且4cos 5θ=，已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．【答案】85【解析】 由已知，03sin ,45,5BAC θθ=∠=- 所以，0272cos cos(45=cos 210BAC sin θθθ∠=-+=）（）， 由余弦定理得，2222cos(45BC AB AC AB AC θ=+-⋅⋅-）72=800+100-22021034010⨯⨯=,故285BC =， 该货船的船速为485/小时．考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．16.已知三棱锥O ABC -中，,,A B C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ︒∠=，且三棱锥O ABC -3O 的表面积为________. 【答案】52π 【解析】 【分析】利用面积公式求出ABC 的面积，再利用余弦定理求出AC 的长度，利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，根据勾股定理求出球的半径，由球的表面积公式即可求解. 【详解】ABC 的面积122sin12032ABCS=⨯⨯= 设球心O 到平面ABC 的距离为h ， 则113333O ABC ABCV S h h -===3h =， 在ABC 中，由余弦定理2222cos1208412AC AB BC AB BC =+-⋅=+=，∴=AC设ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理 则2sin120AC r =，解得2r ，设球的半径为R ，则22213R r h =+=，所以球O 的表面积为2452S R ππ==.故答案为：52π【点睛】本题考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式、三角形的面积公式以及余弦定理解三角形，正弦定理解三角形的外接圆半径，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3718a a +=，636S =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ；（Ⅱ）设n T 为数列1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项的和，求证：1n T <. 【答案】（Ⅰ）21n a n =-，2n S n = （Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案. （Ⅱ）211111n S n n n n n ==-+++，根据裂项求和法计算得到111n T n =-+得到证明. 【详解】（Ⅰ）等差数列{}n a 的公差为d ，由3718a a +=，636S =得59a =，1612a a +=， 即149a d +=，12512a d +=，解得11a =，2d =.∴21n a n =-，2135(21)n S n n =++++-=. （Ⅱ）2n S n =，∴211111(1)1n S n n n n n n n ===-++++， ∴11111111122311n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<++，即1n T <.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18.某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：乙教师分数频数分布表分数区间频数[40,50) 3[50,60) 3[60,70)15[70,80)19[80,90)35[90,100]25（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；（2）从对乙教师的评分在[40,60)范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在[50,60)范围内的概率； （3）如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）【答案】(1)32人；（2）15；（3）乙可评为年度该校优秀教师 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出70分以上的频率，总频率之和为1可得70分以下的频率，由频率100⨯即可求解.（2）根据频数分布表[)40,50有3人，[50,60)有3人，分别进行标记，利用列举法求出随机选出2人的基本事件个数，然后再求出评分均在[50,60)范围内的基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.（3）利用平均数=小矩形的面积⨯小矩形底边中点横坐标之和，求出甲的平均分，再利用平均数的公式求出乙的平均分即可得出结果.【详解】（1）由频率分布直方图可知，70分以上的频率为()0.0280.0220.018100.68++⨯=， 70分以下的频率为10.680.32-=，所以对甲教师的评分低于70分的人数：0.3210032⨯=.（2）由频数分布表[)40,50有3人，[50,60)有3人，记[)40,50的3人为A 、B 、C ，[50,60)的3人为1、2、3，随机选出2人：(),A B ，(),A C ，(),1A ，(),2A ，(),3A ，(),B C ， (),1B ， (),2B ，(),3B ，(),1C ， (),2C ，(),3C ，()1,2，()1,3，()2,3，共15种；评分均在[50,60)的抽取方法：()1,2， ()1,3，()2,3，共3种；所以2人评分均在[50,60)范围内的概率31155P ==. （3）由频率分布直方图可得[50,60)的频率为：()10.0040.0220.0280.0220.018100.06-++++⨯=甲教师的平均数为：=0.0445+0.0655+0.2265+0.2875+0.2285+0.1895x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯甲76.2=，乙教师的平均数为：0.03450.03550.15650.19750.35850.259580.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙，由于乙教师的平均数大于80分，故乙可评为年度该校优秀教师.【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、频数分布表、古典概型的概率计算公式，考查了学生的数据分析处理能力，属于基础题.19.如图1，在Rt ABC ∆中, 90,,C D E ∠=分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2.（1）求证：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由.【答案】（1）见解析（2）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ .【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可证DE ⊥平面A 1DC ，从而有DE ⊥A 1F ，又A 1F ⊥CD ，可证A 1F ⊥平面BCDE ，问题解决；（2）取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ ∥BC ，平面DEQ 即为平面DEP ，由DE ⊥平面1A DC ，P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，可证A 1C ⊥平面DEP ，从而A 1C ⊥平面DEQ ．试题解析：（1）证明：由已知得AC BC ⊥且//,DE BC DE AC ∴⊥，1DE A D ∴⊥，又1,DE CD A D CD D ⊥⋂=，DE ∴⊥平面1A DC ，面1A F ⊂平面1A DC ，1DE A F ∴⊥，又11,A F CD DE CD D A F ⊥⋂=∴⊥平面BCDE ，1A F BE ∴⊥.（2）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ .理由如下：如图，分别取11,A C A B 的中点,P Q ，则//PQ BC .//,//.DE BC DE PQ ∴∴平面DEQ 即为平面DEP .由（1）知DE ⊥平面11,A DC DE AC ∴⊥，又P 是等腰三角形1DA C 底边1A C 的中点1A C DP ∴⊥，1DE DP D AC ⋂=∴⊥平面DEP ，从而1A C ⊥平面DEQ ， 故线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ .点睛：证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论(),a b a b αα⊥⇒⊥；（3）利用面面平行的性质(),a a ααββ⊥⇒⊥；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.如图,椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上一点P 与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为12，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点2F 的直线l 交椭圆22221x y a b+=于,A B 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PA PB ⋅为定值？证明你的结论.【答案】（1）22143x y +=（2）存在定点11(,0)8P ,使得PA PB ⋅为定值. 【解析】【分析】 （Ⅰ）根据点P 与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为12，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（Ⅱ）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去y 可得关于x 的一元二次方程，PA PB ⋅表示为1212x x y y +，利用韦达定理化简可得()222581243n k n k ++++，令581243n +=可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴. 故椭圆的方程为.（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,,则,,可得.设点,那么,若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,此时,, 当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得, 此时,,,, 综上,在轴上存在定点,使得为定值. 【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数21()2f x lnx ax x =--． （1）若函数()f x 在[1，)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，是否存在整数k ，使不等式[()1](2)x f x x k x +->-在1x >时恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a 14≤-；（2）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）对原函数求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出a 的取值范围；（2）问题转化为即(1)20xlnx k x k -++>在1x >时恒成立，令()(1)2g x xlnx k x k =-++，1x >求导后分0k 和0k >求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【详解】解：（1）函数()f x 在[1，)+∞上单调递增， 1()10f x ax x ∴'=-- 在[1，)+∞ 上恒成立， 2211111()24a x x x ∴-=--， ∴当2x =时，()211124x --有最小值14-， 14a ∴-； （2）1()1f x ax x'=--，f ∴'（1）11a a =--=-，函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，0a ∴=，()f x lnx x ∴=-，不等式[()1](2)x f x x k x +->-在1x >时恒成立，(2)xlnx x k x ∴->-在1x >时恒成立，即(1)20xlnx k x k -++>在1x >时恒成立，令()(1)2g x xlnx k x k =-++，1x >，()g x lnx k ∴'=-，当0k 时，()0g x '>在(1,)+∞上恒成立，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，()g x g >（1）10k =->，则1k >，矛盾，当0k >时，令()0g x '=，解得k x e =，令()0g x '>，解得：k x e >，令()0g x '<，解得：1k x e <<，()g x ∴在(1,)k e 单调递减，在(k e ，)+∞单调递增，()()(1)220k k k k min g x g e ke k e k k e ∴==-++=->，令()2k h k k e =-，0k >，()2k h k e ∴'=-，当2k ln <时，()0h k '>，函数()h k 单调递增，当2k ln >时，()0h k '<，函数()h k 单调递减，()(2)2222(21)0max h k h ln ln ln ∴==-=-<，∴不存在整数k 使得20k k e ->恒成立，综上所述不存在满足条件的整数k ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，导数的几何意义，还运用分离参数法和函数构造法解决恒成立问题，同时考查了数学转化思想方法以及推理能力和运算能力，属难题．选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）22.已知直线l的参数方程为122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=（m 为常数，且0m ＞），直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）若2AB =，求实数m 的值；（2）若点P 的直角坐标为(1,2)-，且4PA PB ⋅＞，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =； （2）9(,)4+∞.【解析】【分析】（1）将直线的参数方程化为为普通方程，曲线C 的极坐标方程化为普通方程，再利用直线与圆的弦长公式求解.（2）直线的参数方程与圆的普通方程联立，根据参数的几何意义，则有12||||||PA PB t t ⋅=求解.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=，化为直角坐标系下的普通方程为：222x y my +=，即222()x y m m +-=.直线l 的普通方程为：10x y +-=，而点(0,)m 到直线l的距离为d =所以||2AB =，即2230m m +-=，又因为0m >，所以1m =.（2）显然点P 在直线l上，把1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3450t m m +--+=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t .则22(3)4(45)0m m ∆=---+>，解得1m <-1m >. 则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>，解得94m >或14m <.而0m >，∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长，参数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.23.已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=.（1）求2a b c ++的取值范围；（2）求证：14918a b c ++≥. 【答案】（1）7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由条件等式将b c +用a 表示，再从0,0,0a b c ＞＞＞，进一步求出a 的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明149()36a b c a b c ++++≥，利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）依题意，20a b c -=+＞，故02a ＜＜. 所以()22217224a b c a a a ⎛⎫++=+-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()22722244a b c +++-=≤＜，即2a b c ++的取值范围为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （2）因为0,0,0a b c ＞＞＞，所以()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭14+≥ 1436+==当且仅当12,,133a b c ===时，等号成立， 又因为2a b c ++=，所以14918a b c++≥. 【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.。
2021届全国学海大联考新高考模拟考试(十三)数学(文科)
2021届全国学海大联考新高考模拟考试（十三）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}0,1,2,3,4A =--，{}212B x x =<，则AB =（ ）A. {}4B. {}1,2,3--C. {}0,1,2,3--D. {}3,2,1,0,1,2,3---【答案】C 【解析】【详解】∵集合{}0,1,2,3,4A =--，集合{}{2|12|B x x x x =<=-<<∴{}0,1,2,3A B ⋂=-- 故选C2.复数z 1＝2+i ，若复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 1z 2＝（ ） A. ﹣5 B. 5C. ﹣3+4iD. 3﹣4i【答案】A 【解析】【分析】由题意可知22z i =-+，再利用复数的运算法则即可得出.【详解】由题意可知22z i =-+，所以()()1222415z z i i =+-+=--=-. 故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于容易题.3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ）A. y x =±B. 2y x =±C. 12y x =±D. 14y x =±【答案】B 【解析】 【分析】直接由双曲线的渐近线的定义，即可求出渐近线方程.【详解】由双曲线的方程可得24a =，21b =，焦点在y 轴上， 所以渐近线的方程为：2ay x x b=±=±， 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.已知双曲线的标准方程，求双曲线的渐近线时，要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程. 4.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间[300500),的频率为0.45； ②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元. 其中正确结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据直方图求出0.0025a =，求出[300500),的频率，可判断①；求出[200500),的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为0.5的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③. 【详解】由(0.0010.00150,0020.00052)1001a ++++⨯=，0.0025a =， [300500),的频率为(0.0020.0025)1000.45+⨯=，①正确；[200500),的频率为(0.00150.0020.0025)1000.55++⨯=，②正确； [20000),4的频率为0.3，[200500),的频率为0.55，中位数在[400,500)且占该组的45， 故中位数为0.50.34001004800.25-+⨯=，③正确.故选:D.【点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题 5.已知2=a ，向量a 在向量b 上的投影为1，则a 与b 的夹角为（ ） A.3π B.6π C.2π D.23π 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可得出2cos ,1a b <>=，从而得出1cos ,2a b <>=，这样根据向量夹角的范围即可求出夹角． 【详解】解：a 在b 上的投影为：cos ,2cos ,1a a b a b <>=<>=， ∴1cos ,2a b <>=， 又0,a b π<>，∴,3a b π<>=．故选：A ．【点睛】考查投影的计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角的方法，属于基础题．6.已知sin(3)||2y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭一条对称轴为34x π=，则ϕ=（ ） A.4π B. 4π-C.3π D.6π 【答案】A 【解析】 【分析】 根据34x π=是sin(3)y x ϕ=+的一条对称轴，求得4k πϕπ=+，再根据ϕ的范围，即可求出ϕ值.【详解】34x π=是sin(3)||2y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴，∴3342k ππϕπ⨯+=+()k Z ∈，∴4k πϕπ=+()k Z ∈，||2ϕπ<，∴4πϕ=， 故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查运算求解能力，熟练掌握正弦型函数的对称轴是解答本题的关键，属于基础题.求解正弦型函数()sin y x ωϕ=+的对称轴，只需令2x k πωϕπ+=+()k Z ∈，即可解出正弦型函数的对称轴为2k x πϕπωωω=-+()k Z ∈. 7.疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（ ） A.34B.712C.23D.56【答案】C 【解析】 【分析】用列举法列出所有基本事件以及满足条件的基本事件，用古典概型概率公式即可求得概率. 【详解】将数学、语文、政治、地理分别记为,,,A B C D ，将英语，历史，体育分别记为,,a b c ， 在上午下午的课程中各任选一节，所有的可能为：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ， (),D a ，(),D b ，(),D c 共12种情况.选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的情况有(),A b ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c 共8种情况.所以，所求概率为82123P ==， 故选：C.【点睛】本题考查了古典概型，属于基础题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本事件的探求方法有两种，（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求. 8.已知257log 2,log 2,0.5a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. a b c <<C. c b a <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图像以及性质，即可容易判断,a b 大小，根据指数函数的性质，即可判断c 的范围，据此即可得到结果.【详解】画出57log ,log y x y x ==的图象如下所示：由图可知a b >，又因为5550log 1log 2log 51=<<=77701log 2log 71log =<<=故可得20a -<，则20.51a ->. 综上所述：b a c <<. 故选：A.【点睛】本题考查利用对数函数的图像以及指数函数的单调性比较大小，属基础题.9.已知函数2,01()log ,1a x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为( ) A. (1,)+∞ B. (1,2)C. (1.2]D. (0,2]【答案】C 【解析】 【分析】要使分段函数在()0,+∞上是增函数，必须每一段都是增函数，且整体也是增函数，故1a >且2log 10a a -≤=，解得a 的取值范围即可．【详解】要使得函数()2,01,1ax f x log x x ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩在()0,+∞上为增函数，则满足120a a >⎧⎨-≤⎩，故12a <≤；则a 的取值范围为(]1,2． 故选：C ．【点睛】本题考查了分段函数为增函数的条件，正确理解增函数的定义是关键，属于基础题．10.已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( )A.13B.23C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，可得连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+，两三棱锥高的和的最大值为2SA =，再求出三角形OBC 面积的最大值得答案． 【详解】如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =．要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC 面积1sin 2OB OC BOC ⨯⨯⨯∠，取最大值1111122⨯⨯⨯=时， ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查球内接多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．11.若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ．【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．12.已知函数2()ln x f x xe t a =+-，若对任意的1,,()t e f x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦在区间[1,1]-上总存在唯一的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 221,e e ⎛⎤-⎥⎝⎦B. 2211,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦C. 21,12e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D. 2211,1e e ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为()f x 与0y =在[]1,1-仅有一个交点，利用导数可确定()f x 的单调性，进而得到a 的大致范围，根据恒成立的思想，可根据t 的范围最终确定a 的范围. 【详解】()()222221x x x f x e xe x e '=+=+，∴当11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<；当1,12x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x ∴在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，()f x 在[]1,1-上总存在唯一的零点，即()f x 与0y =在[]1,1-仅有一个交点，()()101f f ∴-<≤，即221ln 0ln t a e t a e -+-<≤+-，221ln ln t a e t e∴-+<≤+， 1,t e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]ln 1,1t ∴∈-，22111a e e ∴-<≤-，即a 的取值范围为2211,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦.故选：B .【点睛】本题考查根据函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题，涉及到恒成立思想的应用；关键是能够根据导数求得函数的单调性，进而确定a 与t 的关系.第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线(sin )e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为________. 【答案】2y x = 【解析】 【分析】求导，求出切线的斜率0|x y =' ，用直线方程的点斜式，即可求解.【详解】0(sin cos 1)e ,|2xx y x x x y =''=+++=,所以切线方程为2y x =. 故答案为:2y x =.【点睛】本题考查切线的几何意义，属于基础题. 14.已知tan 3α=-，则cos2=α_____________. 【答案】45- 【解析】 【分析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值． 【详解】3tan α=-，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 15.已知等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a +=+，则1a =________.【答案】-2 【解析】 【分析】根据前n 项和与通项关系，求出2n ≥时数列的公比，结合{}n a 是等比数列，此公比也满足12,a a 关系，再由1n =时，122a a =+，即可求出结论.【详解】解：1122n n n nS a S a +-=+⎧⎨=+⎩12(2)n n a a n +⇒=≥， 故212a a =，在原式中令1n =有122a a =+，1122a a ∴=+，即12a =-.故答案:-2.【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系，属于基础题. 16.已知函数()2ln x f x x x=-，有下列四个命题：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 在()(),00,-∞⋃+∞是单调函数； ③当0x >时，函数()0f x >恒成立； ④当0x <时，函数()f x 有一个零点， 其中正确的是____________ 【答案】③④ 【解析】 【分析】①根据()f x -与()f x 的关系即可判断；②当0x >时,()2ln xf x x x=-,对()f x 求导可得()3221ln 21ln 2x x x f x x x x--+'=-=,设()321ln h x x x =-+,显然()h x 连续,利用零点存在性定理可得存在1301,12x ⎛⎫⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得()00h x =,即可判断0x >时()f x 的单调性,进而判断②；由②可知当0x >时,()0f x 为()f x 的最小值,判断()00f x >是否成立即可判断③；利用零点存在性定理即可判断④.【详解】由题,()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞,①()()22ln ln x x f x x x x x-=--=+-,且()()220f x f x x +-=≠,所以()f x 不是奇函数,故①错误； ②()()22ln ,0ln ,0xx x x f x x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪-<⎪⎩,当0x >时,()2ln x f x x x =-,则()3221ln 21ln 2x x xf x x x x--+'=-=, 令()321ln h x x x =-+,则()110h =>,13111ln 0232h ⎛⎫⎛⎫ ⎪=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以存在1301,12x ⎛⎫⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得()00h x =,所以当()00,x x ∈时,0f x ,()f x 是单调减函数； 当()0,x x ∈+∞时,0f x,()f x 是单调增函数,所以②错误；③由②可知,当0x x =时,()f x 在0,上有最小值,且3002ln 10x x +-=,所以20000ln 12x x x x =-, 因为()2222000000000ln 1123x f x x x x x x x x ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭, 由130112x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则30112x <<,即303332x <<, 所以3200031130x x x x --=>, 所以当0x >时,()0f x >恒成立,故③正确； ④当0x <时,()()2ln x f x x x-=-,且()110f -=>,2110f e e e⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭,所以()f x 在11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有一个零点,故④正确. 故答案为:③④【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数处理不等式恒成立问题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某省确定从2021年开始，高考采用“312++”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行调查. （1）已知抽取的n 名学生中含男生110人，求n 的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调杳（假定每名学生在这两个科目中必须洗择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的22⨯列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）200n=，女生人数为90；（2）列联表见解析，有99.5%的把握认为选择科目与性别有关，理由见解析；（3）3 5【解析】【分析】（1）利用公式：每层抽取数=总人数⨯抽样比计算；（2）利用2K公式计算即可；（3）采用枚举法，枚举出基本事件总数以及事件“2人中至少有1名女生”所包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】（1）因为11020001100n=，所以200n=，女生人数为20011090-=.（2）列联表为：2K的观测值()2200606050308.9997.8791109090110k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，这6名学生中有4名男生，记为a，b，c，d；2名女生记为A，B.抽取2人所有的情况为(),a b、(),a c、(),a d、(),a A、(),a B、(),b c、(),b d、(),b A、(),b B、(),c d、(),c A、(),c B、(),d A、(),d B、(),A B，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有(),a A、(),a B、(),b A、(),b B、(),c A、(),c B、(),d A、(),d B、(),A B，共9种，故所求概率为93155P ==. 【点睛】本题考查简单随机抽样、独立性检验以及古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，第三问在枚举情况的时候要注意细心，不要漏掉任意一种情况，本题属于基础题.18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知36,a =2,n S n n λ=+R λ∈.（1）求λ的值及{}n a 的通项公式； （2）设1n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）1λ=；2n a n =，*n N ∈， （2）n T =213232232n n n +⎛⎫- ⎪++⎝⎭【解析】 【分析】（1）由n S 与n a 的关系，当2n ≥时，1n n n a S S -=-求出n a ，将36a =代入，求出λ，再由11a S =，即可求出n a ；（2）由（1）得22,n n a n S n n ==+，1(2)n b n n =+11122n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，裂项相消求和，即可求得结论.【详解】解：（1）当2n ≥时，221(1)(1)n n S n nS n n λλ-⎧=+⎨=-+-⎩ (21)1n a n λ⇒=-+，故3516a λ=+=1λ⇒=， 即2n a n =，又1112a S λ==+=， 故对任意*n N ∈，2n a n =. （2）由题知2112(2)n b n n n n ==++11122n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则前n 项和1111111112324112n T n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-++⎝⎭213232232n n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系，考查裂项相消法求数列和，属于基础题. 19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==.（1）证明：AP BD ⊥；（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）163【解析】 【分析】()1取AP 中点M ，连接DM ，BM ，由等腰三角形的性质可得PA DM ⊥，PA BM ⊥，再由线面垂直的判定可得PA ⊥平面.DMB 进一步得到PA BD ⊥；()2由()1知，PA ⊥平面BDM ，求出三角形BDM 的面积，得到三棱锥P ABD -的体积，进一步求得四棱锥P ABCD -的体积．【详解】()1证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M ⋂=，PA ∴⊥平面DMB ．又BD ⊂平面DMB ，PA BD ∴⊥()2由()1知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形P AB 中，由边长为4，得BM ==在等腰三角形ADP 中，由AD DP ==2AM =，得2DM =， 又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．122DBMS∴=⨯⨯=．则11433P ABD BDMV S PA -=⨯⨯=⨯=2P ABCD P ABD V V --∴==【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过F 与抛物线交于,A B 两点.,A B 到准线的距离之和最小为8.（1）求抛物线方程；（2）若抛物线上一点P 纵坐标为2p ，直线,PA PB 分别交准线于,M N .求证：以MN 为直径的圆过焦点F .【答案】（1）28y x =（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意及抛物线定义，可知28p =，从而可求出抛物线方程； （2）当直线l 与x 轴垂直时，求出M ，N坐标，进而证得以MN 为直径的圆过焦点F ；当直线l 与x 轴不垂直时，设出直线方程，A 点和B 点坐标，并与抛物线方程联立，借助根与系数的关系以及向量数量积的坐标表示，证得0MF NF ⋅=，从而证出以MN 为直径的圆过焦点F .【详解】（1）,A B 到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为||AB ，||AB 最小为通径，所以28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =.（2）抛物线焦点()2,0F ，准线方程：2x =-， 由P 点纵坐标为2p ，得(8,8)P ， 当直线l 与x 轴垂直时，直线方程为2x =，此时，()2,4A ，()2,4B - ， 直线PA ：2833y x =+，直线PB ：28y x =-， 所以，42,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,12N --， 所以，圆心坐标为162,3⎛⎫--⎪⎝⎭，半径203r =， 焦点到圆心的距离203d r ===， 此时，以MN 为直径的圆过焦点F . 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:2l x my =+，设()()1122,,A x y B x y ，228x my y x=+⎧⎨=⎩，得28(2)y my =+，1216y y =-，128y y m +=， PA 直线为111888(8)(8)88y y x x x y --=-=--+代入准线2x =-得： 11180816888M y y y y --=+=++同理可得228168N y y y -=+ ()()()12121212642244,4,168864M N y y y y MF NF y y y y y y --+⋅=⋅=++++()()121212121212161281664642248864y y y y y y y y y y y y +++⋅+--+=+++12121280166446408864y y y y y y +⋅+⋅==+++，所以2MFN π∠=，所以焦点F 在以MN 为直径的圆上.综上，以MN 为直径的圆过焦点F .【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系以及向量数量积的坐标表示，属于中档题.解决直线与圆锥曲线的位置关系的题型时，要注意韦达定理的应用. 21.已知函数2()ln 1()f x ax x x ax a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点． （1）求实数a 的取值范围；（2）设两个极值点分别为1x ，2x ，12x x <证明：221212()()2f x f x x x +<-+.【答案】（1）2a e >（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出()ln 2f x a x x '=-，令()()ln 20g x a x x x =->，则()2a xg x x-'=，分0a ≤和0a >两种情况讨论（2）由（1）可知，1122ln 2,ln 2a x x a x x ==，所以()21212ln x x a x x -=，要证：()()2212122f x f x x x +<-+，即证22211ln 1x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，然后构造函数()()2ln 11h t t t t =-+>即可.【详解】（1）由题意可知，()f x 的定义域为()0∞，+ 且()ln 2f x a x x '=- 令()()ln 20g x a x x x =->则函数()f x 在定义域内有两个不同的极值点等价于()g x 在区间()0∞，+内至少有两个不同的零点由()2a xg x x-'=可知， 当0a ≤时，0g x 恒成立，即函数()g x 在()0∞，+上单调，不符合题意，舍去. 当0a >时，由0g x得，02a x <<，即函数()g x 在区间02a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增； 由0g x 得，2a x >，即函数()g x 在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；故要满足题意，必有ln 022a a g a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭解得：2a e > （2）证明：由（1）可知，1122ln 2,ln 2a x x a x x ==，所以()21212ln x x a x x -=故要证：()()2212122f x f x x x +<-+即证：()21122ax x x <+ 即证：22221121ln x x x x x -<不妨设120x x <<，即证22211ln 1x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ 构造函数：()()2ln 11h t t t t =-+> ，其中21x t x =由()2120t h t t-'=<，所以函数()h t 在区间()1+∞，内单调递减， 所以()()10h t h <=，原式得证.【点睛】本题考查了由极值点个数求参数的范围及利用导数证明不等式，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PM PN +的值.【答案】（1）1C20y +-=,2C :23x y =（2）90 【解析】 【分析】（1）消去t 得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）将直线的参数方程代入23x y =，化简得到2180t --=，利用韦达定理计算得到答案.【详解】（1）直线1C的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t20y +-=； 由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为23x y =.（2）将直线1C的参数方程323x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入23x y =，得2180t --=，设,M N 对应的参数分别为12,t t，则121218t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩()2221212290PM PN t t t t +=+-=.【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.23.已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1){}|01x x ≤≤；(2)15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）对x 分类讨论，将不等式转化为代数不等式，求解即可；（2）分别求出函数的最值，利用最值建立不等式，即可得到实数m 的取值范围．．【详解】解：（1）不等式等价于1,32,x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11,222,x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或1,232,x x x ⎧>⎪⎨⎪≤+⎩解得x ∅∈或102x ≤≤或112x <≤，所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}|01x x ≤≤．（2）由()3,1,12,1,213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； ()()()323121g x x m x m ≥---=-，当且仅当()()32310x m x --≤时取等号， 所以3212m -≤， 解得1544m -≤≤． 故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．。
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷(三)文科数学
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.若i 为虚数单位，复数z 满足()11z i i i +=-+，则z 的虚部为（ ）A.212B. 212i -C.12221【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，即可求解。
【详解】)()2i 1212122i iz -++-===，故z 的虚部为12-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算，考查计算能力，属于基础题. 2.设非空集合P Q ，满足P Q P ⋂=，则（ ） A. x Q ∀∈，有x P ∈ B. x Q ∀∉，有x P ∉ C. 0x Q ∃∉，使得0x P ∈ D. 0x P ∃∈，使得0x P ∉【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn 图判断元素与集合的关系即可． 【详解】解：∵P Q P ⋂=，∴P Q ⊆ ∴A 错误；B 正确；C 错误；D 错误．故选B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系，属于基础题型. 3.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.4.若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且1a =，2b =，则向量a 在b 方向上的投影为（） 3 B. 12-C. -1D.33【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件求得1a b ⋅=-，再由向量a 在b 方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-， 则向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=-,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.已知数列{}n a 是首项为3，公差为d(d∈N *)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d 不可能是( ) A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由题设得到()31n a n d =+-，再根据2019是该数列的一项得到20161n d=+，由*d N ∈求出结果【详解】由题设，()31n a n d =+-，2019是该数列的一项， 即2019＝3＋(n －1)d ， 所以20161n d=+， 因为*d N ∈，所以d 是2016的约数， 故d 不可能是5. 故选D .【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，推出不属于的情况，需要熟练运用公式，较为基础．6.已知tan 3α=，则2212sin cos sin cos αααα+-的值是（ ） A.12B. 12- C. 2D. 5【答案】C 【解析】【分析】将221sin cos αα=+代入所求代数式，化为sin ,cos αα的齐次式，再转化为tan α，即可求解.【详解】原式2222sin cos 2sin cos sin cos αααααα++=- ()()()2sin cos sin c cos os sin αααααα=+-+ sin cos tan 1312sin cos tan 131αααααα+++====---.故选：C .【点睛】本题考查三角函数化简求值，化弦为切是解题的关键，属于基础题.7.若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (22)-，B. (2)(2)-∞-⋃+∞，，C. (22]-，D. (2]-∞，【答案】C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ．8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为( )A.12πB. 112π-C.6π D. 16π-【答案】B 【解析】本题考查几何概型，空间几何体的体积，空间想象能力.到点O 的距离不大于1的点在以点O 为球心，1为半径的半球内；其体积为31421;233ππ⨯⨯=正方体体积为328;=则在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为2831.812ππ-=-故选B9.已知实数x ，y 满足1x y +≤，则2z x y =-的最大值为（ ） A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】换元，转化为线性规划求最值问题，做出可行域，即可求解.【详解】令x a =，y b =，则100a b a b +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，且2z a b =-.作可行域如图所示，平移直线l ：2b a z =-， 当直线l 过点(1,0)A 时，直线l 的纵截距最小， 从而z 为最大，且max 2102z =⨯-=. 故选：D .【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及求线性目标函数最值，解题的关键是换元转化，属于中档题.10.若直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点A 、B ，则实数k 的取值范围是（ ）A. 2k -<<B. 22k -<<C. k <<D. 20k -<<【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线右支有两交点，转化为方程有两个正根，运用根的判别式结合韦达定理，即可求解. 【详解】将直线1y kx =+代入双曲线方程， 并整理得()222220k x kx -++=.依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故()()22222222028204220220202k k k k k k k k k k k ⎧-≠⎪⎧≠∆=-->⎪⎪⎪<⎪⎪⇒⇒-<<⎨⎨->>⎪⎪-⎪⎪<⎩⎪>⎪-⎩， 故选：A .【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，用代数方法确定交点的位置，考查计算能力，属于中档题.11.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 3sin B C Ab c C+=，cos 2B B +=，则a c +的取值范围是（ ）A. 2⎛ ⎝B. 32⎛ ⎝C. 2⎣D. 32⎡⎢⎣【答案】B 【解析】 【分析】根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简cos cos B C b c +=求出b ，由cos 2B B +=结合22sin cos 1B B +=，求得sin ,cos B B ，从而求出B 的值，再由正弦定理将,a c 结合,A C 关系，转化为C （或A ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围.【详解】由cos cos B C b c +=cos cos sin cos sin cos sin c B b C C B B Cbc b C ++=()sin sin B C b C +==，∴b =.1cos 2cos 2B B B B ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2663B πππ<+<∴62B ππ+=，3B π=，1sin bB=，∴23A C π+=，又2032C A ππ<=-<， 02A π<<，∴62A ππ<<，2sin sin sin sin 3a c A C A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭3sin 26A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∵62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴326A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故选B .【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题.12.将函数f(x)＝ln(x ＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为( )A. πB.π2C.π3D.π4【答案】D 【解析】 【分析】因为0x ≥时，()11f x x '=+在[)0∞，＋是减函数且()0'1f x <≤，当且仅当0x =时等号成立，故函数()()()10f x ln x x =+≥的图像的切线中，在0x =处切线的倾斜角最大，其值为4π，由此可以求得答案【详解】函数()()()10f x ln x x =+≥的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时， 当且仅当其任意切线都不经过y 轴时，其图像都仍然是一个函数的图像. 因为()11f x x '=+在[)0∞，＋是减函数且()0'1f x <≤，当且仅当0x =时等号成立， 故函数()()()10f x ln x x =+≥的图像的切线中， 在0x =处切线的倾斜角最大，其值为π4. 由此可知π2max α=－ππ44=. 故选D .【点睛】本题主要考查了函数的概念和导数的几何意义，只需按照题意来求解，较为基础． 二、填空题13.已知直线经过点()2,0A -，()5,3B -，则该直线的倾斜角为______. 【答案】135︒ 【解析】 【分析】根据斜率公式，即可求解.【详解】由()2,0A -，()5,3B -，可得直线AB 的斜率03125k -==--+.设直线AB 的倾斜角为()0180αα︒≤<︒， 则tan 1α=-，135α=︒. 故答案为：135︒.【点睛】本题考查斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题.14.已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为260cm π，则此圆锥的体积为 3cm . 【答案】96π 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，根据题意计算出r 的值，并计算出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可得出所求圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为10l =，侧面积为1060lr r πππ==，得6r =，圆锥的高为8h ==，因此圆锥的体积为2211689633r h πππ=⋅⋅=， 故答案为96π.【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是求出圆锥的母线长与半径长，考查运算能力，属于基础题.15.在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是__________． 【答案】甲 【解析】如果甲说的是真话，则乙、丙、丁都是假话，此时丙与丁是矛盾的，所以不成立； 如果乙说的是真话，则甲、丙、定都是假话，此时甲与丁是矛盾的，所以不成； 如果丙说的是真话，则甲、乙、丁都是假话，此时甲与丙是矛盾的，所以不成立； 所以只有丁说的是真话，此时甲、乙、并都是假话，可推得甲得了满分， 故考满分的同学是甲.点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下). 16.已知数列{}n a 与{}n b 满足*12()3n n a b n N =+∈，若{}n b 的前n 项和为3(21)n n T =-且8(3)2n n a b n λλ-≥-+对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是_________.【答案】[4,)+∞ 【解析】依题设，当1n =时，113b T ==；当2n ≥时，1113(21)3(21)32n n n n n n b T T ---=-=---=⨯， 又∵当1n =时，111332b -==⨯， ∴132n n b -=⨯. ∴122n n a -=+.∴8(3)2n n a b n λλ-≥-+等价于11(22)328(3)2n n n λλ--+-⨯≥-+，即1(3)28(3)n n λ--⋅≥-，∴33162nn λ--≥对一切*n N ∈恒成立， 令3()2n n f n -=，则123(1)()22n n n n f n f n +--+-=-11(2)2(3)422n n n n n ++----==，∴当4n ≤时，(1)()f n f n +≥， 当5n >时，(1)()f n f n +<，∴当4n =或5时，()f n 取得最大值， ∴max 1()(4)16f n f ==， ∴311616λ-≥， ∴4λ≥. 三、解答题17.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的毎周平均体育运动时间与性别有关”.附：()()()()()22n ad bc Ka b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）90位；（2）0.75；（3）联表见解析，有 【解析】 【分析】（1）按照女生占学生数的比例，即可求解； （2）根据直方图得出频率，即可求解；（3）算出列联表数据，利用独立性检验求解即可. 【详解】（1）45003009015000⨯=，∴应收集90位女生的样本数据.（2）由频率分布直方图可得()20.1500.1250.0750.0250.75⨯+++=， ∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.（3）由（2）知，300位学生中有3000.75225⨯=人每周平均体育运动时间超过4小时，75人每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：∴()22300456016530 4.762 3.8412109075225K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 【点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，属于基础题.18.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且21nn S n =+-，其中*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）112n n a -=+；（2）()1122n n T n +=-⋅+【解析】 分析】（1）根据数列的前n 项与通项n a 的关系，即可求解；（2）由（1）结论，求出{}n b 通项，根据通项特征采用错位相减法，求前n 项和.【详解】（1）当1n =时，112112S =+-=，故12a =. 当2n ≥时，1112n n n n a S S --=-=+，且12a =符合上式， 故数列{}n a 的通项公式为112n n a -=+.（2）由题可知，()()12121212n n n n b n a n n -=-=+-=⋅，则212222nn T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ①，231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ②，①－②得：212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅，整理得：()1122n n T n +-=--，则()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项，以及错位相减法求数列的前n 项和，考查计算能力，属于中档题.19.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A BCD -.（1）求证：平面AOC ⊥平面BCD ； （2）若三棱锥A BCD -6，且AOC ∠是钝角，求AC 的长. 【答案】（1）证明见解析；（26 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得BD AO ⊥，BD CO ⊥，根据线面垂直的判定定理，可得BD ⊥平面AOC ，进而得到结论；（2）根据（1）中的垂直关系，求出AOC S ∆的面积，进而求出AOC ∠，再由余弦定理，即可求解.【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD AO ⊥，BD CO ⊥.折起后仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥，AO CO O =，,AO CO ⊂平面AOC ，∴BD ⊥平面AOC . ∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面AOC ⊥平面BCD . （2）由（1）知BD ⊥平面AOC ， ∴13A BCD AOC V S BD -∆=⋅，∴11sin 32OA OC AOC BD ⨯⋅⋅∠⋅=，即11sin 323AOC ⨯∠⨯=，∴sin 2AOC ∠=.又∵AOC ∠是钝角， ∴120AOC ∠=︒. 在AOC ∆中，由余弦定理，得2222cos AC OA OC OA OC AOC =+-⋅⋅⋅∠222cos1206=+-︒=，∴AC =【点睛】本题考查面面垂直的证明，要注意空间垂直之间的转化，考查体积以及解三角形，属于中档题.20.已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 重合，且点F 到E 的准线的距离为2.（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,M N 两点，与E 交于,A B 两点，且4OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），求MNF ∆面积的最大值.【答案】(1) 22143x y +=(2) max ()MNF S =△ 【解析】 【分析】(1)先求P,再列a,b,c 的方程组求解即可（2）设l 的方程为x my n =+ ，与抛物线联立将4OA OB坐标化代入韦达定理解得n=2，利用31||||22MNF S MF y =△≤即可求解； 【详解】（1）因为点x 到E 的准线的距离为2，所以2p =，(1,0)F ，由2221,1,2,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为22143x y +=（2）解法一.由（1）知抛物线E的方程为24y x =.要使直线l 与抛物线E 交于两点，则直线l 的斜率不为0，可设l 的方程为x my n =+， 由2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得2440y my n --= 所以2(4)160m n ∆=-+>，得20m n +>. 设()()1122,,,A x y B x y 则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=-⎩所以22222121212()16441616y y y y n x x n =⋅===，因4OA OB，所以12124x x y y +=-，所以244n n -=-，所以2n =， 所以直线l 的方程为2x my =+，所以直线l 过椭圆C 的右顶点(2,0)，不妨设(2,0)M 33(,)N x y，3y ，且3y ≠0，所以31||||2MNF S MF y =△当且仅当3y =max ()2MNF S =△. 【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线过定点问题，考查面积问题，考查基本不等式求最值，注意计算的准确，是中档题21.已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性； （2）当1a =时，证明：()21f x x x ≤+-；（3）求证：对任意正整数n ，都有222211*********e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中2.7183e ≈，为自然对数的底数）.【答案】（1）讨论见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，按()0f x '≥在定义域是否恒成立分类讨论，不恒成立，求出()0f x '>，()0f x '<的解，即可求出结论；（2）要证()21f x x x ≤+-，只需证ln 10x x -+≤，令()ln 1h x x x =-+，只要证max ()0,(0,)h x x ≤∈+∞，求导，求出极值最值，即可得证；（3）由（2）得ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），令211x n =+，则2211ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，结合*211(2,)(1)n n N n n n <≥∈-，累加再利用裂项相消法，对数运算，即可得出结论. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22'2a a x x f xx x +=+=，①当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()'0f x =，解得：x =当0x <<时，()'0f x <，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，当x >()'0f x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.（2）当1a =时，()2ln f x x x =+，要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即ln 10x x -+≤，设()ln 1g x x x =-+，则()1'xg x x-=，令()'0g x =得，1x =. 当()0,1x ∈时，()'0g x >，当()1,x ∈+∞时，()'0g x <， 所以1x =为极大值点，也为最大值点， 所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤， 故()21f x x x ≤+-.（3）由（2）得ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立）， 令211x n =+，则2211ln 1n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以22221111ln 1ln 1ln 1ln 1234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2221111112312231n n n <++⋅⋅⋅+<+++⨯⨯-111111111ln 12231e n n n=-+-+⋅⋅⋅+-=-<=-， 即22221111ln 1111ln 234e n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以222211*********e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数的单调性，极值最值，恒成立问题，以及不等式的证明，运用了等价转化、分类讨论、化归思想，是导数中的综合题，属于较难题. 22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为33x t y t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点()3,0P ，求PA PB +的值.【答案】（1）24,333y x y x ==-； （2）8103. 【解析】 【分析】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 的极坐标方程，即可求出普通方程，消去直线l 的参数方程中的未知量t ，即可得到直线的普通方程；（2）因为直线和曲线C 有两个交点，所以根据直线的参数方程，建立一元二次方程根与系数，得出结果． 【详解】（1）由2sin 4cos ρθθ=得曲线的直角坐标方程为24y x =，直线的普通方程为333y x =-.(2)直线l 的参数方程的标准形式为32()3t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 代入24y x =，整理得：238480t t --=, 设,A B 所对应的参数为12,t t ，则12128,163t t t t +==-, 所以128103t P B t A P -=+=. 【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线与曲线有两个交点时的距离问题，是常考题型．23.已知函数f （x ）＝|x+2|﹣2|x ﹣1|． （1）解不等式f （x ）≤1；（2）若关于x 的不等式f （x ）＞ax 只有一个正整数解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 不等式的解集为{3x x ≥或13x ≤};(2) 13a ≤<. 【解析】试题分析：（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）作出函数()()()()42,321,41.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩与y ax =的图象，由图象可知当13a ≤<时，不等式只有一个正整数解1x =.试题解析：（1）当2x ≤-时，41x -≤，解得5x ≤，∴2x ≤-； 当21x -<≤时，31x ≤，解得13x ≤，∴123x -<≤； 当1x >时，41x -+≤，解得3x ≥，∴3x ≥. 综上，不等式的解集为{|3x x ≥或13x ⎫≤⎬⎭.（2）作出函数()()()()42,321,41.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩与y ax =的图象，由图象可知当13a ≤<时，不等式只有一个正整数解1x =，∴13a ≤<.- 21 -。
2021届全国学海大联考新高三原创预测试卷(十二)文科数学
2021届全国学海大联考新高三原创预测试卷（十二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题（每题5分） 1．设集合21{|2},{|1}2A x xB x x =-<<=≤，则A∪B=" " （ ） A ．{|12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x <D ．{|12}x x ≤<2．“不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()()13,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为（ ）A ．()1,2B ．4(,)3-∞C ．4(1,)3D ．[)2,+∞4.函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A.4π B.2πC. πD. 2π 5．函数()sin(2)13f x x π=-+，下列结论正确的是（ ）A ．向右平移6π个单位，可得到函数sin 2y x =的图像 B ．()y f x =的图像关于(0,1)中心对称 C ．()y f x =的图像关于直线512x π=对称D ．()y f x =在2(,)63ππ上为增函数6．在ABC 中，,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()28cos 2cos 2702AB C -+-=，2a =，则ABC 面积的最大值为（ ）AB1C．12D7．如果函数y ∪3cos(2x ∪φ)的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．6πB ． 4πC ．3π D ．2π 8．已知0x 是函数()121xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,x x x x ∈∈+∞，则（ ） A ．()10<f x ,()20f x < B ．()10<f x ,()20f x > C ．()10f x >,()20f x <D ．()10f x >,()20f x >9．若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数()f x 的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++)A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.2711．设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线-=y x 对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )A ．1-B ．1C ．2D ．412．已知函数()12,1ln 2,1x a e x f x x x x a x -⎧-≤=⎨-+>⎩，若函数()y f x =与()()y f f x =相同的值域，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．1a ≤C ．2a e ≤D ．3a e ≤二、填空题（每题5分）13．命题“∀x ＞0，x 2+x ＞1”的否定是_____． 14.已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．15．在ABC 中，6AB =，4AC =，BC边上的中线AD =ABC 的面积为_________．16．集合{}(,),0A x y x y a a =+=>，{}(,)1B x y xy x y =+=+，若A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①a 的值可以为2； ②a； ③a的值可以为2三、解答题（17题10分,18-22每题12分）17．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．18．设a R ∈，命题p ：∀x []1,2∈，满足()110a x -->，命题q ：∀x R ∈，210x ax ++>. （1）若命题∨p q 是真命题，求a 的范围；（2）()∧p q ￢为假，() p q ∨￢为真，求a 的取值范围． 19．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ∪3455--，∪∪∪Ⅰ）求sin∪α+π∪的值∪ ∪∪∪若角β满足sin∪α+β∪=513，求cos β的值∪ 20．已知()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =()0x π<<的单调递增区间；（2）设ABC 的内角A 满足()0f A =，若3AB AC ⋅=，求BC 边上的高AD 长的最大值.21．已知点1(,2)2D -，过点D 作抛物线21:C x y =的两切线，切点为,A B . （1）求两切点,A B 所在的直线方程；（2）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>（1）中直线AB 与椭圆交于点P ，Q ，直线,,PQ OP OQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k k +=，求椭圆的方程.22．已知函数．（1）若在上只有一个零点，求的取值范围；（2）设为的极小值点，证明：()1xf x ae x =-+()f x (0,3)a 0x ()f x 02123()4f x a a >-++数学（文）答案一、选择题（每题5分）1-5AAACC 6-10DABDC 11.C 12．C 12.解：12x y a e-=-在(,1]-∞上是减函数，1x >时，()ln 2f x x x x a =-+，()ln 1f x x '=-，(1,]x e ∈时，()0f x '≤，(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，可知()f x 在[1,]e 递减，[),e +∞递增，又函数()f x 是连续的． ∴()f x 在(,]e -∞递减，[),e +∞递增，所以()f x 值域为[),a e -+∞，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的值域，即需满足a e e -≤即可，则2a e ≤， 故选：C.二、填空题（每题5分） 13．20000,1∃>+x x x 14.2- 15．16．②③如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，集合B ：1xy x y +=+，故()()110x y --=，即1x =或1y =， 集合A ：x y a +=，AB 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，故AC 所在的直线的倾斜角为22.5︒，tan 22.521AC k =︒=-，故AC ：()21y x =-，解得()1,21A -，此时2a =，()21,1C+，此时22a =+.故答案为：②③.三、解答题（17题10分,18-22题每题12分） 17．试题解析：根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B 是A 的子集， 且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集， 分4种情况讨论：①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0， 则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，③B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4， 则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，④B={0、﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个的实根0或﹣4， 则有a+1=2且a 2﹣1=0，解可得a=1， 综合可得：a=1或a≤﹣1．18.略19．详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭得4sin 5α=-∪所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭得3cos 5α=-∪由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++∪所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 20．（1）由题意，得()14cos sin 14cos cos 12cos 22622f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 226x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.所以在0πx <<时，函数()y f x =的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭； （2）由()0f A =，即2sin 2206A π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得3A π=. 由3AB AC ⋅=，即cos33bc π=，得6bc =.由余弦定理，得22222cos 6a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥=.由面积公式，知11sin 22ABCSbc A a AD ==⋅，即131622a AD ⋅⋅=⋅. 所以333226AD ≤=. 所以BC 边上的高AD 长的最大值为322. 21．解：（1）设切点11(,)A x y 22(,)B x y ，则221122,x y x y == 切线的斜率为2y x '=，所以抛物线上过11(,)A x y 点的切线的斜率为12x ，切线方程为()2111112,2y y x x x y x x x -=-=-，1(,2)2D -在切线上，所以21120x x --=，12x =或11x =-， 当12x =时，2114y x ==；当11x =-，2111y x ==，不妨设()(2,4),1,1A B -，1AB k =，所以两切点,A B 所在的直线方程2y x =+.（2）由3e =，得2234c a =，又222c a b =-，所以224a b =.222244y x x y b =+⎧⎨+=⎩，得225161640x x b ++-=，21651645P Q P Q x x bx x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 21,Q PP Qk k y y x x ==， 1k =，又因为123k k k +=，()()3,3,223P Q P Q Q P Q Q P P P Q P Q P Qx x x x y y x y x y x x x x x x ++++===+， ()2P Q P Q x x x x +=，22161642,1255b b --⨯==，248a =，所以椭圆的方程2214812x y +=.22.（1）因为在上只有一个零点，所以方程在上只有一个解，设函数，则，当时，；当时，，所以，又，， 故的取值范围为． （2）证明：，当时，恒成立，无极值，故，令，得，当时，；当时，，故的极小值为，故要证，只需证：， 设函数，， 当时，；当时，，故，而， 于是，从而． ()f x (0,3)1x x a e -=(0,3)1()x x h x e -=2()x x h x e-'=02x <<()0h x '>23x <<()0h x '<max 21()(2)h x h e ==(0)1h =-32(3)h e=a 3221(1,]{}e e -()1x f x ae '=-0a ≤()0f x '<()f x 0a >()10x f x ae '=-=ln x a =-ln x a <-()0f x '<ln x a >-()0f x '>()f x (ln )2ln f a a -=+02123()4f x a a >-++2125ln 04a a a +-+>1()ln 1g x x x =+-21()(0)x g x x x -'=>01x <<()0g x '<1x >()0g x '>min ()(1)0g x g ==2213913()042a a a -+=-≥221251139ln ln 1044a a a a a a a +-+=+-+-+>02123()4f x a a >-++。
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2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十二）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,2,2,4,6A =--，()(){}|250B x x x =+->，则A B =（ ）A. {}2,4B. {}2,2,4-C. {}2,2-D. {}3,2,2--【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB .【详解】因为()(){}{}|250|25B x x x x x =+->=-<<，所以{}2,4A B =.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()2313i z i -=，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，由此求得z 对应的坐标，进而求得z 在复平面内对应的点所在象限. 【详解】因为()()()13231332232323i i i z i i i i ⨯+===-+--⨯+，对应点为()3,2-，所以z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题. 3.数列{}n a 为递增的等比数列，且3513a a +=，2636a a =，则公比q =（ ） A.43或34- B.32或32- C.32D.43【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，由已知条件求得35,a a 的值，由此求得q 的值.【详解】因为263536a a a a ==，3513a a +=，且数列{}n a 为递增教列，所以34a =，59a =，而253a a q =⋅，294q =，从而32q =.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 4.已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A .-2B. 2C. 1D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由题意cos3a b a bπ⋅=，代入解方程即可得解.【详解】由题意21cos322a b abx π⋅===， 所以0x >，且2x =2x =.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.5.为培养学生分组合作能力，现将某班分成、、A B C 三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在A 组中的那位的成绩比丙低，在B 组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是 A. 甲、丙、乙 B. 乙、甲、丙C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲 【答案】C 【解析】因为在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在B 组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B 组，所以丙在B 组. 假设甲在A 组，乙在C 组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C 组，乙在A 组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.6.若双曲线221(0,0)mx nym n -=>>的一条渐近线方程为2y x =，则其离心率为（ ）D.2【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线221mx ny -=的一条渐近线方程为2y x =，求得2ba=，再结合离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，双曲线221(0,0)mx ny m n -=>>的一条渐近线方程为2y x =，即2b a=，所以双曲线的离心率为c e a ====故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质和双曲线的离心率的定义是解答的关键，着重考查了计算能力.7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A. 3?i ≤B. 4?i ≤C. 5?i ≤D. 6?i ≤【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ） A. 33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. 33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-，作出函数图象如图所示，从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.9.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（ ） A. 1人 B. 2人C. 5人D. 6人【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的25人中应该抽取的人数. 【详解】由题意知两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人， 仅立定跳远合格的有5人，仅100米跑合格的有10人. 从45人中抽取9人进行复测，则抽样比为91455=， 故两项都合格的25人中应该抽取25155⨯=人. 故选：C.【点睛】本题考查分层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ）A.14B.154C.265D.15【答案】D 【解析】 【分析】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出3cos 5EG BEG BE ∠==，在利用二倍角公式，求出cos BED ∠，即可得出答案.【详解】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，则5BE DE ==，22BD =，在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ， 则523EG =-=，3cos 5EG BEG BE ∠==， 所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-， 即：31cos 2155BED ∠=⨯-=， 所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为15. 故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.11.将函数()3sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则（ ） A. ()g x 是奇函数B. ()g x 是偶函数C. ()g x 的图象的一条对称轴方程为18x π=-D. ()g x 的图象的一个对称中心为5,018π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，得到函数()3sin(3)3g x x π=-，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()3sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度， 得到函数()3sin[3()]3sin(3)663g x x x πππ=-+=-， 由三角函数的性质，可得()g x 为非奇非偶函数，所以A 、B 不正确； 令18x π=-，则31832πππ-⨯-=-，所以18x π=-是函数()g x 的一条对称轴，所以C 正确. 由当518x π=时，531832πππ⨯-=，此时5()3sin()3182g ππ==，所以D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力.12.已知函数()e x f x a =（0a >）与2()2g x x m =-（0m >）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为（ ） A. 24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 28,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩通过代入法将m 用0x 表示，再构造函数进行求值域，即可得答案.【详解】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理得200042,0,0,x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩由200240m x x =->，解得02x >.由上可知04ex x a =， 令4()e x x h x =，则4(1)()xx h x e -'=. 因为2x >，所以4(1)()0e x x h x -'=<，4()exxh x =在(2,)+∞上单调递减， 所以280()e h x <<，即280,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在等差数列{}n a 中，21a =-，3716a a +=，则{}n a 的公差d =________.【答案】3 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据21a =-，3716a a +=，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因21a =-，3716a a +=，可得1112816a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得14,3a d =-=. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，其中解答中根据等差数列的通项公式和题设条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.小林手中有六颗不同的糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分三种口味的糖果的概率为________. 【答案】25【解析】先求得糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人共有20种分法，再求得这两个孩子都分到三种口味的糖果分法的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，价格牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味的六颗不同的糖果，将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人，共有3620C =种分法， 其中这两个孩子都分到三种口味的糖果共有1112228C C C =种分法，所以这两个孩子都分三种口味的糖果的概率为82205P ==, 故答案为：25. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理利用排列、组合的知识求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.已知M 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，F 是C 的焦点，过M 作C 的准线的垂线，垂足为N ，若120MFO ∠=︒（O 为坐标原点），MNF 的周长为12，则NF =________. 【答案】4 【解析】 【分析】由120MFO ∠=︒，得到60FMN ∠=，进而得到FMN ∆为等边三角形，即可求解. 【详解】如图所示，因为120MFO ∠=︒，所以60FMN ∠=，又由M 是抛物线C 上的一点，可得FM MN =，所以FMN ∆为等边三角形， 因为FMN ∆的周长为12，所以4NF =. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于16.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且3AB CD ==，2BC =，利用张衡的结论可得球O 的体积为________. 【答案】503【解析】 【分析】将此三棱锥放置在一个长方体中，结合长方体的性质，求得半径，进而结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，将此三棱锥放置在一个长方体中，可得长方体的长、宽、高分别为：3,2,3，所以球的直径为2222(3)2(3)10R =++=，即102R =， 又由题意，可得10π=，所以球的体积为3344105010()3323V R π==⨯⨯=. 故答案为：503.【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的几何结构特征的应用，其中把三棱锥放置在一个长方体中，结合长方体的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且252cos a B b C =+. （1）求cos B ；（2）若点D 是线段AC 的中点，BD =c =，求ABC 的面积.【答案】（1 （2【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的公式及题设条件，化简得到2i os n c B B =，进而利用三角函数的基本关系式，即可求解cos B 的值； （2）由（1）得2sin 3B =，在结合余弦定理和向量的运算，列出方程，求得23a =，根据三角形的面积，即可求解.【详解】由题意，因为22cos a B b C =+，根据正弦定理，可得2sin sin 2sin cos A C B B C =+， 由A B C π++=，则sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，可得2si c sin n os C B B C =，又由(0,)C π∈，则sin 0C >，所以2i os n c B B =， 因为(0,)B π∈，则sin 0B >，所以cos 0B >，又由22sin cos 1B B +=，可得224cos cos 15B B +=，解得cos 3B =.（2）由（1）知，cos 3B =，所以2sin 3B =因为D 为线段AC 的中点，所以2BA BC BD +=， 所以2222cos 4BA BC BA BC B BD ++=，即2252283a a a ++⨯⨯=，解得23a =，所以三角形的面积为21sin 2ABC S B ∆==【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表： 考试分数 [)85,95[)95,105[)105,115[)115,125[)125,135[]135,145频数 5 10 15 5 10 5 赞成人数 469364（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.100 0.050 0.025 0.0100k2.7063.841 5.024 6.635【答案】（1）125分（2）列联表见解析；没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系【解析】 【分析】（1）根据题意，测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为5030%15⨯=，即可得答案； （2）完成列联表，再代入卡方系数计算公式，即可得答案.【详解】（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为5030%15⨯=， 所以优秀分数线应定为125分.（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有500.315⨯=人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有501535-=人，其中“赞成的”有22人. 2×2列联表如下： 赞成 不赞成 合计 优秀 10 5 15 不优秀 22 13 35 合计 3218502250(1013522)250.066 2.70632181535378K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.【点睛】本题考查独立性检验、卡方系数计算，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，四棱锥E ﹣ABCD 的侧棱DE 与四棱锥F ﹣ABCD 的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝3，AD ＝4，AE ＝5，32AF =．（1）证明：DF ∥平面BCE ．（2）求A 到平面BEDF 的距离，并求四棱锥A ﹣BEDF 的体积．【答案】（1）见解析（2）12 【解析】 【分析】（1）由DE ⊥平面ABCD 推出DE ⊥AD ，勾股定理求出DE ，同理由BF ⊥平面ABCD 求出BF ，利用线面垂直的性质推出DE ∥BF ，结合DE BF =推出//DF BE ，即可证明线面平行；（2）等体积法列出E ADB A BDE V V ﹣﹣＝，即可求得A 到平面BEDF 的距离，四棱锥A ﹣BEDF 的体积V E ABD F ABD V V --=+，代入相应值求解即可.【详解】（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AD ， ∵AD ＝4，AE ＝5，∴DE 22AE AD =-=3，∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF ⊥AB ， ∵AB ＝3，AF 32=，可得BF 22AF AB =-=3，又DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，∴DE ∥BF ， 又BF ＝DE ，∴四边形BEDF 为平行四边形，故DF ∥BE ， ∵BE ⊂平面BCE ，DF ⊄平面BCE ， ∴DF ∥平面BCE ；（2）设A 到平面BEDF 的距离为h ，由已知可得，△DAB 是以∠DAB 为直角的直角三角形，且AB ＝3，AD ＝4， 则BD ＝5，又DE ⊥平面ABCD ，且DE ＝3，由V E ﹣ADB ＝V A ﹣BDE ，得1111343533232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 得h 125=，即A 到平面BEDF 的距离为125；四棱锥A ﹣BEDF 的体积V 11234332E ABDF ABD V V --=+=⨯⨯⨯⨯⨯=12．【点睛】本题考查线面平行的判定，线面垂直的性质，点到平面的距离的求法，多面体体积，属于中档题.20.已知函数()32427x ax f x =-+. （1）若()f x 在()1,3a a -+上存在极大值，求a 的取值范围；（2）若x 轴是曲线()y f x =的一条切线，证明：当1x ≥-时，()2327f x x ≥-. 【答案】（1）()()9,00,1-；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得()f x 的导函数()'fx ，对a 分成0,0,0a a a =>>三种情况，结合()f x 在()1,3a a -+上存在极大值，求得a 的取值范围.（2）首先根据x 轴是曲线()y f x =的一条切线求得a 的值，构造函数()()2327g x x x f =⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用导数求得()g x 在区间[)1,-+∞上的最小值为0，由此证得()0g x ≥，从而证得不等式成立.【详解】（1）解：()()2'3232f x x ax x x a =-=-，令()'0f x =，得10x =，223a x =. 当0a =时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，()f x 无极值，不合题意； 当0a >时，()f x 在23ax =处取得极小值，在0x =处取得极大值， 则103a a -<<+，又0a >，所以01a <<； 当0a <时，()f x 在23ax =处取得极大值，在0x =处取得极小值， 则2133aa a -<<+，又0a <，所以90a -<<. 综上，a 的取值范围为()()9,00,1-.（2）证明：由题意得()00f =，或203a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即4027=（不成立），或34402727a -+=， 解得1a =.设函数()()3223127g x f x x x x x ⎛⎫--=--+ ⎪⎝⎭=，()()()'311g x x x =+-， 当113x -≤<-或1x >时，()'0g x >；当113-<<x 时，()'0g x <. 所以()g x 在1x =处取得极小值，且极小值为()10g =. 又()10g -=，所以当1x ≥-时，()0g x ≥，故当1x ≥-时，()2327f x x ≥-. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.21.已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-.记点G 的轨迹为曲线C . （1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE .（2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点.试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在定点(T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T . 【解析】 【分析】（1）设点()G x y ,，根据34GA GBk k ⋅=-，求得点G 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±，联立方程组，解答,D E 坐标，结合斜率公式，即可求解. （2）设00(,)M x y ，则00(,)N x y --，解得0022P y y x =+,022Q y y x =-，假设顶点T ，使得PQ 为直径的圆恒过点T ，则2OP OQ OT ⋅=，求得22020434Ty x x ==-，即可得到结论. 【详解】（1）设点()G x y ,，因为34GA GB k k ⋅=-，即3224y y x x ⋅=-+-， 整理得点G 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±，联立方程组221430)x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得D且E ，所以OD AE k k ==//OD AE . （2）设00(,)M x y ，则00(,)N x y --，所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++，令0x =，解得0022P y y x =+,同理可得022Q y y x =-, 假设定点T ，使得PQ 为直径的圆恒过点T ，则2OP OQ OT ⋅=,即2T P Q x y y =-，又由2200143x y +=，可得22020434T y x x ==-，所以(T ， 即在x轴上存在定点(T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，已知点M ⎛ ⎝⎭，1C的参数方程为12x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2232cos θρ=+.（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）设曲线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值. 【答案】（1）y =；22213y x +=（2）4【解析】 【分析】（1）消去1C 参数方程中的参数t ，求得1C 的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得2C 的直角坐标方程.（2）求得曲线1C 的标准参数方程，代入2C 的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直线参数中参数的几何意义，求得11MA MB+的值. 【详解】（1）由1C的参数方程12x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），消去参数可得2y =-，由曲线2C 的极坐标方程为232cos θρ=+，得2222cos 3ρρθ+=，所以2C 的直角坐方程为22323x y +=，即22213y x +=.（2）因为1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在曲线1C 上， 故可设曲线1C的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22323x y +=化简可得23820t t ++=. 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1283t t +=-，1223t t =， 所以12121214111t t t t t MA t MB +=+==+. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题. 23.设函数1()1|1|2f x x x =++-（x ∈R ）的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 为正实数，且1112233ma mb mc ++=，证明：21993a b c++≥. 【答案】（1）32m =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论，去绝对值求出函数()f x 的解析式，根据一次函数的性质，得出()f x 的单调性，得出()f x 取最小值，即可求m 的值；（2）由（1）得出111123a b c ++=，利用“乘1法”，令11123(23)23a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式求出239a b c ++≥的最小值，即可证出21993a b c++≥. 【详解】（1）解：1()1|1|2f x x x =++-3,2,212,21,23,1,2x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当(,1)x ∈-∞时，()f x 单调递减；当[)1,x ∈+∞时，()f x 单调递增.所以当1x =时，()f x 取最小值32m =. （2）证明：由（1）可知111123a b c++=. 要证明：21993a b c ++≥，即证232319999a b c a b c++++=≥， 因为a ，b ，c 为正实数，所以11123(23)23a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++⎪⎝⎭223332332a a b b c c b c a c a b=++++++ 232332332a b a c b c b a c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32229≥+++=.当且仅当23a b c ==，即3a =，32b =，1c =时取等号， 所以21993a b c ++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.。