2017-2018学年湖南师范大学附属中学高一上学期第二次阶段性检测数学试题(解析版)

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湖南师大附中2017-2018学年高一下学期末考试 数学 含答案

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湖南师大附中2017-2018学年度高一第二学期期末考试数学试题-(这是边文,请据需要手工删加)湖南师大附中2017-2018学年度高一第二学期期末考试数 学命题:湖南师大附中高一数学备课组 时量:120分钟 满分:150分得分:____________第Ⅰ卷(必考部分:100分)一、选择题:本大题共11小题,每小题5分,共55分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a>b>0,c>d>0,则A .a d <b cB .a d ≤b cC .a d>b cD .a d≥b c2.已知cos (π+A)=-12,那么sin ⎝⎛⎭⎫π2+A 的值是A .-12B .12C .-32D .323.已知a =(5,-2),b =(-4,-3),c =(x ,y ),若a -2b +3c =0,则c = A.⎝⎛⎭⎫1,83B.⎝⎛⎭⎫133,83 C.⎝⎛⎭⎫133,43D.⎝⎛⎭⎫-133,-43 4.已知数列{n 2n 2+1},则0.98是它的A .第7项B .第8项C .第9项D .第10项5.△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c, 若cb <cos A, 则△ABC 为A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .等边三角形6.若将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为A .x =k π2-π6(k ∈Z )B .x =k π2+π6(k ∈Z )C .x =k π2-π12(k ∈Z )D .x =k π2+π12(k ∈Z )7.如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从M 点测得A 点的俯角∠NMA =30°,C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC =75°;从C 点测得∠MCA =60°;已知山高BC =200m ,则山高MN =A .300mB .2002mC .2003mD .3002m8.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≥0,x +2y -4≤0,x +3y -2≥0表示的平面区域的面积为A .2B .4C .6D .89.已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin A =35,cos C =513,a=1,则b =A.1321B.2113 C.1113D.131110.已知函数f (x )=(ax -1)(x +b ),如果不等式f (x )>0的解集是(-1,3),则不等式f (-x )<0的解集是A .(-∞,-1)∪(3,+∞)B .(-3,1)C .(-∞,-3)∪(1,+∞)D .(-1,3)11.正项数列{}a n 满足:a 1=2,a 2=1,且a n -1-a n a n a n -1=a n -a n +1a n a n +1(n ≥2),则此数列的第2016项为A.122015B.122016C.12016D.11008答题卡12.若定义在()0,+∞上的函数f (x )=2x +ax 在x =3时取得最小值,则a =________.13.已知a >0,实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x +y ≤3y ≥a (x -3),若z =2x +y 的最小值为1,则a =______.三、解答题:本大题共3小题,共35分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 14.(本小题满分11分)已知向量m =(sin A ,cos A ),n =()1,-3,m ⊥n ,且A 为锐角. (1)求角A 的大小;(2)求函数f (x )=3(cos 2x -sin 2x )+4cos A sin x cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2的值域.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且有a2+b2-c2=4S△ABC.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求a-22b的取值范围.已知等比数列{a n }满足a 2+a 3=43,a 1a 4=13,公比q <1.(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项和;(2)设b n =12-log 3a n,数列{b n b n +2}的前n 项和为T n ,若对于任意的正整数,都有T n <m 2-m +34成立,求实数m 的取值范围.第Ⅱ卷(选考部分:50分)一、选择题:本大题共1小题,每小题1分,共5分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.17.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2015+a 2016>0,a 2015·a 2016<0,则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是A .1007B .1008C .2015D .2016答题卡二、填空题:本大题共2把答案填在对应题号的横线上. 18.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4-α=35,sin ⎝⎛⎭⎫5π4+β=-1213,α∈⎝⎛⎭⎫π4,3π4,β∈⎝⎛⎭⎫0,π4,则sin(α+β)=________.19.设O (0,0),A (1,0),B (0,1),点P 是线段AB 上的一个动点,AP →=λAB →,若OP →·AB →≥P A →·PB →,则实数λ的取值范围是______.三、解答题:本大题共3小题,共35分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.20.(本小题满分11分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,⎭⎫|φ|<π2的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式; (2)设112π<x <1112π,且方程f (x )=m 有两个不同的实数根,求实数m 的取值范围和这两个根的和.某生产旅游纪念品的工厂,拟在2017年度进行系列促销活动.经市场调查和测算,该纪念品的年销售量x(单位:万件)与年促销费用t(单位:万元)之间满足3-x与t+1成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件.已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元,每生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用)(1)请把该工厂2017年的年利润y(单位:万元)表示成促销费t(单位:万元)的函数;(2)试问:当2017年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?设T n 是数列{a n }(a n ≠1)的前n 项之积,满足T n =1-a n ,n ∈N *.(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11-a n 是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)设S n =T 21+T 22+…+T 2n ,求证:a n +1-12<S n <a n +1-13.湖南师大附中2017-2018学年度高一第二学期期末考试数学参考答案-(这是边文,请据需要手工删加)湖南师大附中2017-2018学年度高一第二学期期末考试数学参考答案第Ⅰ卷(必考部分:100分)5.A 【解析】依题意得sin Csin B <cos A ,sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sin B cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,B 为钝角,△ABC 是钝角三角形.6.C 【解析】由题意,将函数y =cos2x 的图象向左平移π12个单位得y =cos2⎝⎛⎭⎫x +π12=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6,则平移后函数的对称轴为2x +π6=k π,k ∈Z, 即x =k π2-π12,k ∈Z, 故选C.7.A 【解析】在△ABC 中,∵∠BAC =45°,∠ABC =90°,BC =200m , ∴AC =200sin45°=2002m ,在△AMC 中,∵∠MAC =75°,∠MCA =60°,∴∠AMC =45°,由正弦定理可得AM sin ∠ACM =ACsin ∠AMC ,即AM sin60°=2002sin45°,解得AM =2003m ,在Rt △AMN 中,MN =AM ·sin ∠MAN =2003× sin60°=300(m).8.B 【解析】画出不等式组表示的平面区域如下:易求得面积为4.9.B 【解析】因为△ABC 为锐角三角形,sin A =35,cos C =513,所以cos A =45,sin C=1213,于是:sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365. 又由a sin A =b sin B ,知b =a sin B sin A =2113.选B.10.C 【解析】由题意,不等式f (x )>0的解集是(-1,3), 所以f (x )<0的解是:x >3或x <-1, 于是由f (-x )<0得:-x >3或-x <-1,∴x <-3或x >1.选C.11.D 【解析】由a n -1-a n a n a n -1=a n -a n +1a n a n +1知,1a n -1a n -1=1a n +1-1a n ,故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列,于是1a n =12+(n -1)×12=n 2,所以a n =2n ,于是a 2016=11008,选D.二、填空题12.18 【解析】易知a >0,所以f (x )=2x +a x=2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +a 2x ≥4a2,当x =a2时取最小值,所以a2=3⇒a =18.13.12 【解析】画出可行域如图,由于z =2x +y 与x 、y 均正相关,因此直线2x +y =z 在x 轴上截距最小时,z 取得最小值为1,此时,直线2x +y =1应经过x =1与y =a (x -3)的公共点A ,该点坐标为A (1,-1),故a =12.三、解答题 14.【解析】(1)由m ⊥n 可得,m ·n =0, 即sin A -3cos A =0, 从而有 tan A = 3.又因为A 为锐角,所以∠A =60°.(5分) (2)f (x )=3cos2x +2sin x cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3,因为0≤x ≤π2,所以π3≤2x +π3≤4π3,于是-32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3≤1,从而-3≤f (x )≤2,故函数f (x )的值域为[]-3,2.(11分)15.【解析】(1)由a 2+b 2-c 2=4S △ABC 得:a 2+b 2-c 2=4×12ab sin C =2ab sin C .即a 2+b 2-c 22ab =sin C, 从而有:tan C =1, 又因为角C 为△ABC 的内角,所以∠C =45°.(6分)(2)由正弦定理得:a sin A =b sin B =c sin C =222=2, 所以a -22b =2sin A -2sin B =2sin A -2sin ⎝⎛⎭⎫34π-A =sin A -cos A =2sin ⎝⎛⎭⎫A -π4,又因为0<A <34π,所以-π4<A -π4<π2,所以-1<2sin ⎝⎛⎭⎫A -π4<2,故a -22b 的取值范围是()-1,2.(12分)16.【解析】(1)由题设知,a 2a 3=a 1a 4=13,又因为a 2+a 3=43,q <1, 解得:a 2=1,a 3=13,故a n =3⎝⎛⎭⎫13n -1=32-n,前n 项和S n =92-12·3n -2.(6分)(2)因为b n =12-log 3a n =12-(2-n )=1n ,所以b n b n +2=1n (n +2)=12⎝⎛⎭⎫1n -1n +2,所以T n =b 1b 3+b 2b 4+b 3b 5+…+b n b n +2=12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1-13+⎝⎛⎭⎫12-14+⎝⎛⎭⎫13-15+…+⎝⎛⎭⎫1n -1-1n +1 +⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n -1n +2=12⎝⎛⎭⎫1+12-1n +1-1n +2<34,故要使T n <m 2-m +34恒成立,只需34≤m 2-m +34,解得m ≤0或m ≥1.(12分)第Ⅱ卷(选考部分:50分)一、选择题17.C 二、填空题 18.5665 19.1-22≤λ≤1 三、解答题 20.【解析】 (1) 显然A =2, 又图象过(0, 1)点,∴f (0)=1, ∴sin φ=12,∵|φ|<π2,∴φ=π6;由图象结合“五点法”可知,⎝⎛⎭⎫11π12,0对应函数y =sin x 图象的点(2π,0),∴ω·11π12+π6=2π,得ω=2.所以所求的函数的解析式为:f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6.(5分)(2)如图所示,在同一坐标系中画出y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6和y =m (m ∈R )的图象, 由图可知,当-2<m <0或3<m <2时,直线y =m 与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根.∴m 的取值范围为:-2<m <0或3<m <2;当-2<m <0时,两根和为4π3;当3<m <2时,两根和为π3.(11分) 21.【解析】(1)设反比例系数为k (k ≠0).由题意有3-x =k t +1. 又t =0时,x =1, 所以3-1=k 0+1,k =2, 则x 与t 的关系是x =3-2t +1(t ≥0), 依据题意,可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为(3+32x )万元,促销费用为t 万元, 则每件纪念品的定价为⎝⎛⎭⎫3+32x x×1.5+t 2x 元/件, 于是y =x ·⎝⎛⎭⎫3+32x x×1.5+t 2x -(3+32x )-t, 进一步化简,得 y =992-32t +1-t 2(t ≥0). 因此工厂2018年的年利润为y =992-32t +1-t 2(t ≥0). (6分) (2)由(1)知,y =992-32t +1-t 2 (t ≥0)=50-⎝ ⎛⎭⎪⎫32t +1+t +12≤50- 232t +1·t +12=42, 当且仅当32t +1=t +12,即t =7时取等号, 所以当2018年的促销费用投入7万元时,工厂的年利润最大,最大利润为42万元.(12分)22.【解析】(1)易知T 1=a 1=12,T n ≠0,a n ≠1, 且由T n +1=1-a n +1,T n =1-a n ,得: a n +1=T n +1T n =1-a n +11-a n ,即a n +11-a n +1=11-a n ,即11-a n +1-11-a n=1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11-a n 是首项为2,公差为1的等差数列.(4分) (2)由(1)得:11-a n =11-a 1+n -1=11-12+n -1=n +1,故a n =1-1n +1=n n +1.(8分) (3)由(2)得T n =a 1a 2…a n =1n +1. 一方面,S n =122+132+…+1(n +1)2>12·3+13·4+…+1(n +1)(n +2)=12-1n +2=a n +1-12; 另一方面,S n <122-14+132-14+…+1(n +1)2-14=132·52+152·72+…+1(n +12)(n +32)=23-1n +32. 又23-1n +32<23-1n +2=n +1n +2-13=a n +1-13. 所以a n +1-12<S n <a n +1-13.(12分)。

2017-2018学年湖南省长沙一中高一上学期第二次阶段性检测数学试卷

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长沙市第一中学2017-2018学年度高一第一学期第二次阶段性检测 数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1A x x =∈≤Z ,且集合,A B 满足A B A =U ,则符合条件的集合B 共有( )A .4个B .8个C .9个D .16个 2.函数()=23xf x x +的零点0x 所在的区间是( )A .()2,1--B .()1,0-C .()0,1D .()1,23.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到图(2)所示的几何体,则该几何体的侧视图为( )A .B .C .D . 4.设1323a ⎛⎫=⎪⎝⎭,2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()f x 的大小关系是( )A .b c a >>B .a b c >>C .c a b >>D .a c b >> 5.半径为R 的半圆卷成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的体积为( )A.324R B.38R C.324R D.38R 6.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为h =( )A.. 7.若长方体1111ABCD A BC D -中,1AB =,11,B C C D 分别与底面ABCD 所成的角45°,60°,则长方体1111ABCD A BC D -的外接球的体积为( )A.6 B.3 C.3 D.68.定义在R 上的奇函数()f x 满足:()10f =,且在区间()0,+∞上单调递减,则不等式()0xf x >的解集是( )A .{}1,1x x x <->或 B .{}01,10x x x <<-<<或 C .{}01,1x x x <<<-或 D .{}10,1x x x -<<>或9.已知,m n 表示两条不同的直线,α表示一个平面,给出下列四个命题: ①m m n n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩∥;②m n m nαα⊥⎧⇒⎨⊥⎩∥;③m m n n αα⎧⇒⎨⎩∥∥∥;④m m n n αα⊥⎧⇒⊥⎨⎩∥.其中正确命题的序号是( )A .①②B .②③C .②④D .①④10.已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A .16 B.6 C .13 D.311.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a ,经过t 天后体积与天数的t 的关系式为:ktV a -=⋅e ,已知新丸经过50天后,体积变为49a ;若一个新丸体积变为827a ,则需经过的天数为( ) A .75天 B .100天 C .125天 D .150天12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()21,01,1, 1.x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩偶函数()g x 的定义域为{}0x x ≠,且当0x >时,()2log g x x =.若存在实数a ,使得()()f a g b =成立,则实数b 的取值范围是( )A .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C .[]2,2- D .112,,222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知幂函数()223222m m y m m x --=--在区间()0,+∞是减函数,则实数m 的值是 .14.轴截面为正方形的圆柱的侧面积为8π,则此圆柱的体积为 .15.如图,在三棱锥P ABC -中,ABC ∆与PBC ∆是边长为2的正三角形,3PA =,D 为PA 的中点,则二面角D BC A --的大小为 .16.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径,若平面SCA ⊥平面SCB ,SA AC =,SB BC =,三棱锥S ABC -的体积为83,则球O 的表面积为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知集合{}225120A x x x =--≥,(){}2log 2B x y x ==-.(1)求集合A B I ,()A B R U ð.(2)若集合{}22C x m x m =-≤≤且()A C C =R I ð,求m 的取值范围.18.如图,已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,侧棱PC ⊥底面ABCD ,且2PC =,E 是侧棱PC 上的动点.(1)求四棱锥P ABCD -的表面积;(2)是否在棱PC 上存在一点E ,使得AP ∥平面BDE ;若存在,指出点E 的位置,并证明;若不存在,请说明理由.19.如图,AB 是O e 直径,PA O ⊥e 所在的平面,C 是圆周上不同于,A B 的动点. (1)证明:平面PBC ⊥平面PAC ;(2)若2P A A B ==,且当二面角P BC A --求直线AB 与平面PBC所成的角的正弦值.20.在如图所示的几何体中,平面ACE ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为平行四边形,90ACB ∠=︒,EF BC ∥,AC BC ==1AE EC ==.(1)求证:AE ⊥平面BCEF ; (2)求F 到平面ABCD 的距离; (3)求三棱锥B ACF -的体积.21.已知函数()()()2log 41xf x kx k =++∈R 是偶函数.(1)求k 的值;(2)若函数()y f x x a =--没有零点,求a 得取值范围; (3)若函数()()221f x xx h x m +=+⋅-,[]20,log 3x ∈的最小值为0,求实数m 的值.22.已知函数()()222f x x m x m =-+-+-,x ∈R .(1)若函数()y f x =在[]1,0-上是减函数,求实数m 的取值范围;(2)是否存在整数,a b ,使得()a f x b ≤≤的解集恰好是[],a b ,若存在,求出,a b 的值;若不存在,说明理由.长沙市第一中学2017-2018学年度高一第一学期第二次阶段性检测数学参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:BABDB 11、12:AD二、填空题13.3 14. 15.60° 16.16π三、解答题17.解:(1)()22512023x x x --≥⇒+()404x x -≥⇒≥或32x ≤-, ∴342A x x x ⎧⎫=≥≤-⎨⎬⎩⎭或,{}2B x x =>,∴{}4A B x x =≥I ,()32A B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭R U ð.(2)∵()A C C =R I ð,∴()C A ⊆R ð,342A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭R ð. ①当C =∅时,22m m ->,即2m <-时满足()C A ⊆R ð,∴2m <-; ②当C ≠∅时,要使()C A ⊆R ð,则2232224m mm m -≤⎧⎪⎪->-⇒⎨⎪<⎪⎩2112222m m m m ≥-⎧⎪⎪>⇒<<⎨⎪<⎪⎩ 综上所述,()1,2,22m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭U .18.解:(1)四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形,侧棱PC ⊥底面ABCD ,且2PC =,∴PB PD ===.∵AB CB ⊥,AB PC ⊥, ∴AB ⊥平面PCB ,∴AB PB ⊥.∴122PAB S AB PB ∆=⋅=,同理2PAD S ∆=.∴PAB PAD PCD PCB P ABCD ABCD S S S S S S ∆∆∆∆-=++++表正方形. (2)当E 时PC 的中点时,AP ∥平面BDE . 证明:连接AC 交BD 于点O ,连接OE ,则在三角形ACP 中,O E 、分别为AC PC 、的中点, ∴OE AP ∥,又∵OE ⊂平面BDE ,AP ⊄平面BDE , ∴AP ∥平面BDE .19.解:(1)∵C 在圆O 上,AB 为圆O 的直径, ∴BC AC ⊥,又∵PA O ⊥e 所在的平面,∴BC PA ⊥, 而PA AC A =I ,∴BC ⊥平面PAC ,由于BC ⊂平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面PAC . (2)如图,过A 作AH PC ⊥于H ,连结BH , ∵BC ⊥平面PAC ,∴BC AH ⊥,∴AH ⊥平面PBC ,则ABH ∠即为所求的角, ∵BC ⊥平面PAC ,∴PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.又tan PAPCA AC∠==2PA =,∴AC 在Rt PAC ∆中,PA ACAH PC⋅===在Rt ABH ∆中,3sin 23AH ABH AB ∠===, 即直线AB与平面PBC.20.解:(1)∵平面ACE ⊥平面ABCD ,且平面ACE I 平面ABCD AC =, 又BC ⊂平面ABCD ,BC AC ⊥, ∴BC ⊥平面AEC .而AE ⊂平面AEC ,∴BC AE ⊥, ∵AC =,1AE EC ==.∴222AC AE CE =+,∴AE EC ⊥,又BC EC C =I ,∴AE ⊥平面BCEF . (2)设AC 的中点为G ,连接EG , ∵AE CE =,∴EG AC ⊥.∵平面ACE ⊥平面ABCD ,且平面ACE I 平面ABCD AC =, ∴EG ⊥平面ABCD ,∵EF BC ∥,EF ⊄平面ABCD ,所以点F 到平面ABCD 的距离就等于点E 到平面ABCD 的距离, 即点F到平面ABCD 的距离为EG =.(3)∴13B ACF F ACB ACB V V S EG --∆==⋅.∵11122ACB S AC BC ∆=⋅==.∴11326B ACF V -=⨯⨯=,即三棱锥B ACF -的体积为6. 21.解:(1)∵()f x 是偶函数,∴()()f x f x -=,即()()22log 41log 41x xkx kx -+-=++对任意x ∈R 恒成立.∴()()222log 41log 41xxkx -=+-+=2241log log 4241x x xx --+==-+, ∴1k =-.(2)函数()y f x x a =--没有零点,即方程()2log 412xx a +-=无实数根. 令()()2log 412xg x x =+-,则函数()y g x =的图象与直线y a =无交点, ∵()()()222log 412log 41log 4x x xg x x =+-=+-22411log log 144x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,又1114x +>,∴()21log 104x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭, ∴a 的取值范围是(],0-∞.(3)由题意()42xxh x m =+⋅,[]20,log 3x ∈,令[]21,3xt =∈,()2t t mt ϕ=+,[]1,3t ∈,①当12m-≤,即2m ≥-时, ()()min 110t m ϕϕ==+=,1m =-;②当132m<-<,即62m -<<-时, ()2min024m m t ϕϕ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,0m =(舍去); ③当32m-≥,即6m ≤-时, ()()min 3930t m ϕϕ==+=,3m =-(舍去).综上可知,实数1m =-.22.解:(1)令()0f x =,则()()()()224226m m m m ∆=---=--.当0∆≤,即26m ≤≤时,()()2220f x x m x m =-+-+-≤恒成立, 所以()()222f x x m x m =--+-.因为()y f x =在[]1,0-上是减函数, 所以202m -≥,解得0m ≥, 所以26m ≤≤.由0∆>,解得2m <或6m >. 当6m >时,()y f x =的图象对称轴222m x -=>, 且方程()0f x =的两根均为正,此时()y f x =在[]1,0-为减函数,所以6m >符合条件. 当2m <时,()y f x =的图象对称轴202m x -=<, 且方程()0f x =的根为一正一负, 要使()y f x =在[]1,0-单调递减,则212m -≤-,解得0m ≤. 综上可知,实数m 的取值范围为(][),02,-∞+∞U .(2)假设存在整数a b 、,使()a f x b ≤≤的解集恰好是[],a b ,则 ①若函数()y f x =在[],a b 上单调递增,则()f a a =,()f b b =且22m b -≥, 即()()2222,22,a m a m ab m b m b ⎧-+-+-=⎪⎨-+-+-=⎪⎩作差得到21m a b -=++,代回得到:1ab a b --=,即()()112a b --=,由于a b 、均为整数,故1a =-,0b =,2m =或2a =,3b =,8m =,经检验均不满足要求; ②若函数()y f x =在[],a b 上单调递减,则()f a b =,()f b a =且22m a -≤, 即()()2222,22,a m a m b b m b m a ⎧-+-+-=⎪⎨-+-+-=⎪⎩ 作差得到21m a b -=++,代回得到:221ab a b --=-,即()()223a b --=,由于a b、均为整数, 故1a =-,1b =,1m =或3a =,5b =,9m =,经检验均不满足要求;③若函数()y f x =在[],a b 上不单调,则22m f b -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,()()f a f b a ==且22m a b -<<, 即()()2222,22,a m a m ab m b m a ⎧-+-+-=⎪⎨-+-+-=⎪⎩作差得到2m a b -=+,代回得到:20ab a b --=,即()()122a b --=,由于a b 、均为整数,故2a =,4b =,8m =或1a =-,1b =,2m =,,经检验均满足要求;综上,符合要求的整数a b 、是1,1,2,a b m =-⎧⎪=⎨⎪=⎩或2,4,8,a b m =⎧⎪=⎨⎪=⎩。

湖南师大附中2017-2018学年度高一第二学期期末数学试卷及答案

湖南师大附中2017-2018学年度高一第二学期期末数学试卷及答案

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湖南省师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期第二

湖南省师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期第二

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期第二次阶段性检测化学试题1. 下列叙述正确的是A. 1molN2的质量为28g/molB. 标准状况下,1mol任何物质的体积均为22.4 LC. Cl2的摩尔质量为71gD. 3.01×1023个SO2 分子的质量为32 g【答案】D【解析】A、质量的单位是g,1molN2的质量为28g,N2的摩尔质量为28g/mol,故A错误;B、标况下,1mol任何气体的体积约是22.4L,不是气体则不一定,故B错误;C、摩尔质量的单位为g/mol,故C错误;D、n(SO2)==0.5mol,m(SO2)=nM=0.5mol×64g/mol=32g,故D正确。

故选D。

点睛:B选项为易错点,注意气体摩尔体积只适用于气体,而固体、液体不能利用气体摩尔体积计算其物质的量。

气体的摩尔体积与温度和压强有关,标况下,气体摩尔体积为22.4L/mol.2. 下列物质为纯净物的是A. 泥B. 青铜C. 浓硫酸D. 液氯【答案】D【解析】纯净物由一种物质组成,混合物由多种物质组成。

A、“泥”中含水、土,是由多种物质组成的混合物;B、青铜为铜的合金,属于混合物,故B错误;C、浓硫酸是硫酸与水的混合物,故C错误;D、液氯是液态的Cl2,是纯净物,故D正确。

故选D。

3. 下列与颜色有关的描述中不正确的是A. 铜在氯气中燃烧产生棕黄色烟B. FeCl3溶液中加入KSCN溶液产生血红色沉淀C. 将Cl2通人石蕊溶液,石蕊溶液先变红后褪色D. 氢气在氯气中燃烧,产生苍白色火焰【答案】B【解析】A、铜在氯气中燃烧生成氯化铜,有大量棕黄色的烟产生,故A正确;B、Fe3+与SCN -发生络合反应,生成血红色的络合物“硫氰化铁”,溶液变血红色,并没有产生沉淀,故B 错误;C、氯气与水反应生成HCl、HClO,溶液具有酸性和漂白性,则紫色石蕊溶液先变红后褪色,故C正确;D、氢气在氯气中燃烧,火焰为苍白色,故D正确。

湖南省师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试物理试题 Word版含解析

湖南省师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试物理试题 Word版含解析

湖南省师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试物理试题一、单项选择题1. 在物理学发展的过程中,许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程.在对以下几位物理学家所做科学贡献或者研究方法的叙述中,正确的说法是A. 在对自由落体运动的研究中,伽利略猜想运动速度与下落时间成正比,并直接用实验进行了验证B. 伽利略是伟大的物理学家,他最先建立了速度、加速度等概念,并创造了一套科学研究方法C. 在推导匀变速直线运动的位移公式时,把整个运动过程划分成很多小段,每一小段近似看做匀速直线运动,然后把各小段的位移相加,物理学中把这种研究方法叫做“理想模型法”D. 亚里士多德认为两个物体从同一高度自由落下,重物体与轻物体下落一样快【答案】B【解析】伽利略猜想自由落体的运动速度与下落时间成正比,并未直接进行验证,而是验证了位移与时间的平方成正比,故A错误;伽利略是伟大的物理学家,他最先建立了速度、加速度等概念,并创造了一套科学研究方法,故选项B正确;在推导匀变速直线运动的位移公式时,把整个运动过程划分成很多小段,每一小段近似看做匀速直线运动,然后把各小段的位移相加,物理学中把这种研究方法叫做“微元法”,选项C错误;伽利略认为两个物体从同一高度自由落下,重物体与轻物体下落一样快,选项D错误;故选B.2. 金丽温高铁开通后,从铁路售票网查询到G7330次列车从缙云西到杭州东的信息如图甲所示,如图乙是用电子地图测距工具测得缙云西站到杭州东站的直线距离约为179.8 km,下列说法正确的是A. 在研究动车过一桥梁所花的时间与动车从缙云西站到杭州东站所花的时间时,动车均可看成质点B. 图甲中07:31表示一段时间C. 动车高速行驶时,可以取1 m位移的平均速度近似看作这1 m起点位置的瞬时速度D. 结合图甲、乙,可知G7330列车行驶时的最高速度约为128 km/h【答案】C【解析】在研究动车过一桥梁所花的时间与动车从缙云西站到杭州东站所花的时间时动车的长度不能忽略,不能看成质点,故A错误;07:31指的是列车出发的时刻,故B错误;高速行驶时速度很快,通过1m的时间很短,可以取1m位移的平均速度近似看作这1m起点位置的瞬时速度,故C正确;由于不明确具体的运动过程,所以无法求出最高速度,故D错误;故选C.3. 体育课上一学生将足球踢向斜台,如图所示.下列关于斜台给足球的弹力方向的说法正确的是A. 沿v1的方向B. 先沿v1的方向后沿v2的方向C. 沿v2的方向D. 沿垂直于斜台斜向左上方的方向【答案】D【解析】支持力是弹力,方向总是垂直于接触面,并指向被支持物,所以斜台给篮球的弹力的方向为垂直斜台向左上方方向.故D正确,ABC错误;故选D。

湖南师范大学附属中学2017届高三数学上学期月考试题(四)理

湖南师范大学附属中学2017届高三数学上学期月考试题(四)理

湖南师大附中2017届高三月考试卷(四)数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数4-2i(1+i )2=(D)(A)1-2i (B)1+2i (C)-1+2i (D)-1-2i(2)执行如图所示的程序框图,则输出的i 值为(B)(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(3)设向量a ,b 均为单位向量,且|a +b|=1,则a 与b 夹角为(C) (A)π3 (B)π2 (C)2π3 (D)3π4(4)设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若m ⊥α,n ∥α,则m ⊥n ;②若m ∥n ,n ∥α,则m ∥α;③若m ∥n ,n ⊥β,m ∥α,则α⊥β;④若m ∩n =A ,m ∥α,m ∥β,n ∥α,n ∥β,则α∥β.其中真命题的个数是(C) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)已知函数y =a x,y =x b,y =log c x 的图象如图所示,则(C) (A)a >b >c (B)a >c >b (C)c >a >b (D)c >b >a(6)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等,侧视图中的两条半径互相垂直,若该几何体的体积是π,则它的表面积是(D)(A) π (B) 4π3(C) 3π (D) 4π(7)已知数列{a n },{b n }满足a 1=1,且a n ,a n +1方程x 2-b n x +2n=0的两根,则b 10等于(D) (A)24 (B)32 (C)48 (D)64(8)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有(B)(A)40种 (B)60种 (C)100种 (D)120种(9)已知F 1、F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点,若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心,|OF 1|为半径的圆上(O 为原点),则双曲线C 的离心率为(D)(A) 3 (B)3 (C) 2 (D)2(10)如果对于任意实数x ,[x ]表示不超过x 的最大整数. 例如[3.27]=3,[0.6]=0.那么“[x ]=[y ]”是“|x -y |<1”的(A)(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(11)设直线l :3x +4y +a =0,圆C :(x -2)2+y 2=2,若在圆C 上存在两点P ,Q ,在直线l 上存在一点M ,使得∠PMQ =90°,则a 的取值范围是(C)(A)[-18,6] (B)[6-52,6+52] (C)[-16,4] (D)[-6-52,-6+52](12)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧kx +1,x ≤0,ln x ,x >0,则当k >0时,函数y =f [f (x )]+1的零点个数为(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】结合图象分析.当k >0时,f [f (x )]=-1,则f (x )=t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1k 或f (x )=t 2∈(0,1).对于f (x )=t 1,存在两个零点x 1、x 2;对于f (x )=t 2,存在两个零点x 3、x 4,共存在4个零点,故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.(13)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2-2x 5的展开式中,x 的一次项系数为__-80__.(用数字作答) (14)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堢瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堢瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堢瑽(圆柱体)的体积V =112×(底面的圆周长的平方×高),则该问题中圆周率π的取值为__3__. 【解析】由题意,圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺,高11尺,体积为2 112(立方)尺,设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r ,则⎩⎪⎨⎪⎧2πr =48πr 2×11=2 112,解得π=3, r =8,故答案为:3.(15)若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x -y )(x +y -1)≥0,0≤x ≤1 ,则2x +y 的取值范围是__[0,3]__.(16)函数f (x )=sin (ωx +φ)的导函数y =f ′(x )的部分图象如图所示,其中,A ,C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为__π4__.【解析】由f ′(x )=ωcos(ωx +φ)知|AC |=πω,|y B |=ω,所以S △ABC =12·|AC |·|y B |=π2 ,设A (x 0,0) ,则ωx 0+φ=π2,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+πω,0, 设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ,则S =|∫x 0+πωx 0f ′(x )d x |=-∫x 0+πωx 0f ′(x )d x =-f (x )|x 0+πωx 0=f (x 0)-f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0+πω=sin (ωx 0+φ)-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+πω+φ=sin π2-sin 3π2=2. 所以该点在△ABC 内的概率P =S △ABC S =π22=π4.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,函数f(x)=2sin (x -A)cos x +sin (B +C)(x∈R ),f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6,0对称.(Ⅰ)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2时,求f (x )的值域;(Ⅱ)若a =7且sin B +sin C =13314,求△ABC 的面积.【解析】(Ⅰ)f (x )=2sin(x -A )cos x +sin(B +C ) =2(sin x cos A -cos x sin A )cos x +sin A=2sin x cos x cos A -2cos 2x sin A +sin A =sin 2x cos A -cos2x sin A =sin(2x -A ),由函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0对称,知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0, 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-A =0,又0<A <π,故A =π3,所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2时,2x -π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3,2π3,所以-32 <sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3≤1.即f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤-32,1;(Ⅱ)由正弦定理得a sin A =b sin B =c sin C =143,则sin B =314b ,sin C =314c ,所以sin B +sin C =314(b +c )=13314,即b +c =13, 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得49=b 2+c 2-bc =(b +c )2-3bc ,从而bc =40, 则△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×40×32=10 3.(18)(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如表):若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2.(Ⅰ)试确定x ,y ,p ,q 的值,并补全频率分布直方图(如图).(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查.设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数,求ξ的分布列和数学期望.【解析】(Ⅰ)根据题意,有⎩⎪⎨⎪⎧3+x +9+15+18+y =6018+y 3+x +9+15=23, 解得⎩⎪⎨⎪⎧x =9y =6.∴p =0.15,q =0.10.补全频率分布直方图如图所示.(Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取10人, 则其中“网购达人”有10×25=4人,“非网购达人”有10×35=6人.故ξ的可能取值为0,1,2,3;P (ξ=0)=C 40C 63C 103=16,P (ξ=1)=C 41C 62C 103=12,P (ξ=2)=C 42C 61C 103=310,P (ξ=3)=C 43C 60C 103=130.所以ξ的分布列为:∴E (ξ)=0×16+1×12+2×310+3×130=65.(19)(本小题满分12分)如图,正方形ABCD 的边长为4,E ,F 分别为BC ,DA 的中点.将正方形ABCD 沿着线段EF 折起,使得∠DFA =60°. 设G 为AF 的中点.(Ⅰ)求证:DG ⊥EF ;(Ⅱ)求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值;(Ⅲ)设P ,Q 分别为线段DG ,CF 上一点,且PQ ∥平面ABEF ,求线段PQ 长度的最小值.【解析】(Ⅰ)因为正方形ABCD 中,E ,F 分别为BC ,DA 的中点,所以EF ⊥FD ,EF ⊥FA ,将正方形ABCD 沿着线段EF 折起后,仍有EF ⊥FD ,EF ⊥FA ,而FD ∩FA =F ,所以EF ⊥平面DFA .又因为DG平面DFA ,所以DG ⊥EF .(Ⅱ)因为∠DFA =60°,DF =FA ,所以△DFA 为等边三角形,又AG =GF ,故DG ⊥FA . 由(Ⅰ),DG ⊥EF ,又EF ∩FA =F ,所以DG ⊥平面ABEF .设BE 的中点为H ,连接GH ,则GA ,GH ,GD 两两垂直,故以GA ,GH ,GD 分别为x 轴、y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系如图,则G (0,0,0),A (1,0,0),B (1,4,0),C (0,4,3),F (-1,0,0), 所以GA →=(1,0,0),BC →=(-1,0,3),BF →=(-2,-4,0). 设平面BCF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),由m ·BC →=0,m ·BF →=0,得⎩⎨⎧-x +3z =0,-2x -4y =0,令z =2,得m =(23,-3,2). 设直线GA 与平面BCF 所成角为α,则sin α=|cos 〈m ,GA →〉|=|m ·GA →||m ||GA →|=25719.即直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值为25719.(Ⅲ)由题意,可设P (0,0,k )(0≤k ≤3),FQ →=λFC →(0≤λ≤1), 由FC →=(1,4,3),得FQ →=(λ,4λ,3λ),所以Q (λ-1,4λ,3λ),PQ →=(λ-1,4λ,3λ-k ). 由(Ⅱ),得GD →=(0,0,3)为平面ABEF 的法向量. 因为PQ ∥平面ABEF ,所以PQ →·GD →=0,即3λ-k =0. 所以|PQ →|=(λ-1)2+(4λ)2+(3λ-k )2=(λ-1)2+(4λ)2=17λ2-2λ+1,又因为17λ2-2λ+1=17⎝⎛⎭⎪⎫λ-1172+1617,所以当λ=117时,|PQ →|min =41717. 所以当λ=117,k =317时,线段PQ 长度有最小值41717.(20)(本小题满分12分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设A ,B 分别为椭圆E 的左、右顶点,P 是直线x =4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP , BP 分别与椭圆相交于异于A ,B 的点M 、N ,试探究,点B 是否在以MN 为直径的圆内?证明你的结论.【解析】(Ⅰ)依题意得c a =12,12·2a ·2b =43,又a 2=b 2+c 2,由此解得a =2,b = 3.所以椭圆E 的方程为 x 24+y 23=1.(Ⅱ)点B 在以MN 为直径的圆内.证明如下:方法1:由(Ⅰ)得A (-2,0),B (2,0).设M (x 0,y 0). ∵M 点在椭圆上,∴y 02=34(4-x 02). ①又点M 异于顶点A 、B ,∴-2<x 0<2. 由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎪⎫4,6y 0x 0+2. 从而BM →=(x 0-2,y 0), BP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫2,6y 0x 0+2.∴BM →·BP →=2x 0-4+6y 02x 0+2=2x 0+2(x 02-4+3y 02). ②将①代入②,化简得BM →·BP →=52(2-x 0).∵2-x 0>0,∴BM →·BP →>0,于是∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点B 在以MN 为直径的圆内.方法2:由(Ⅰ)得A (-2,0),B (2,0).设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则-2<x 1<2,-2<x 2<2,又MN 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22,y 1+y 22,依题意,计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差|BQ |2-14|MN |2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22-22+⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1+y 222-14[(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2] =(x 1-2) (x 2-2)+y 1y 2 ③ 直线AP 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),直线BP 的方程为y =y 2x 2-2(x -2), 而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x =4上, ∴6y 1x 1+2=2y 2x 2-2,即y 2=3(x 2-2)y 1x 1+2④ 又点M 在椭圆上,则x 124+y 123=1,即y 12=34(4-x 12) ⑤ 于是将④、⑤代入③,化简后可得|BQ |2-14|MN |2=54(2-x 1)(x 2-2)<0.从而点B 在以MN 为直径的圆内. (21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )=e ax-x .(Ⅰ)若对一切x ∈R ,f (x )≥1恒成立,求a 的取值集合;(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且存在x 0>0,使(x 0-k )f ′(x 0)+x 0+1<0,求k 的最小值. 【解析】(Ⅰ) 若a ≤0,则对一切x >0,f (x )=e ax-x <1,这与题设矛盾, 故a >0.而f ′(x )=a e ax-1,令f ′(x )=0,得x =1a ln 1a.当x <1a ln 1a 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x >1a ln 1a时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,故当x =1a ln 1a时,f (x )取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a =1a -1a ln 1a.于是对一切x ∈R ,f (x )≥1恒成立,当且仅当1a -1a ln 1a≥1. ①令g (t )=t -t ln t ,则g ′(t )=-ln t .当0<t <1时,g ′(t )>0,g (t )单调递增;当t >1时,g ′(t )<0,g (t )单调递减. 故当t =1时,g (t )取最大值g (1)=1.因此,当且仅当1a=1即a =1时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{1}.(Ⅱ)a =1时,f ′(x )=e x-1, 所以(x -k )f ′(x )+x +1=(x -k )(e x-1)+x +1,故当x >0时, (x -k )f ′(x )+x +1<0等价于k >x +1e x -1+x , ②令h (x )=x +1e x -1+x (x >0),则h ′(x )=-x e x -1(e x -1)2+1=e x (e x-x -2)(e x -1)2, 令φ(x )=e x-x -2(x >0),则φ′(x )=e x-1 >0,φ(x )在(0, +∞)上单调递增,而φ(1)<0,φ(2)>0,所以φ(x )在(0, +∞)上存在唯一的零点,亦即h ′(x )在(0, +∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则α∈(1,2),e α=α+2,当x ∈(0,α)时, h ′(x )<0;当x ∈(α,+∞)时, h ′(x )>0,所以h (x )在(0,+∞)上的最小值为h (α) ,而h (α)=α+1e α-1+α=α+1∈(2,3), 而由②知,存在x 0>0,使(x 0-k )f ′(x 0)+x 0+1<0等价于k >h (α),所以整数k 的最小值为3. 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一题计分,作答时请写清题号.(22)(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos αy =2+2sin α(α为参数),M 为C 1上的动点,P点满足OP →=2OM →,点P 的轨迹为曲线C 2.(Ⅰ)求C 2的普通方程;(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求|AB |.【解析】(Ⅰ)设P (x ,y ),则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,y 2. 由于M 点在C 1上,所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2=2cos α,y 2=2+2sin α,即 ⎩⎪⎨⎪⎧x =4cos α,y =4+4sin α ,消去参数α得x 2+(y -4)2=16, 即C 2的普通方程为x 2+(y -4)2=16.(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为ρ1=4sin π3, 射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为ρ2=8sin π3. 所以|AB |=|ρ2-ρ1|=2 3.(23)(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R ,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].(Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)若a ,b ,c ∈R +,且1a +12b +13c=m ,求证:a +2b +3c ≥9. 【解析】(Ⅰ)因为f (x )=m -|x -2|,所以f (x +2)≥0等价于|x |≤m ,由|x |≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x |-m ≤x ≤m },又f (x +2)≥0的解集为[-1,1],故m =1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a +12b +13c=1,a ,b ,c ∈R +, 方法1:由基本不等式得: a +2b +3c =(a +2b +3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +12b +13c =3+⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a +a 2b +⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b +2b 3c +⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c +3c a ≥3+2+2+2=9.方法2:由柯西不等式得a +2b +3c =(a +2b +3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +12b +13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a +2b ·12b +3c ·13c 2=9.。

湖南师大附中2017-2018学年高二上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析

湖南师大附中2017-2018学年高二上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年湖南师大附中高二(上)第二次段考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2﹣x<0},B={x|log2x≤0},则A∪B=()A.(0,1)B.(﹣∞,1]C.(0,1]D.[0,1)2.下列说法正确的是()A.“若,则”的否命题是“若,则”B.命题“对∀x∈R,恒有x2+1>0”的否定是“∃x0∈R,使得”C.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数D.设p,q是简单命题,若p∨q是真命题,则p∧q也是真命题3.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.54.“x>a”是“x>﹣1”成立的充分不必要条件()A.a的值可以是﹣8 B.a的值可以是C.a的值可以是﹣1 D.a的值可以是﹣35.函数是()A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数6.已知等比数列{a n}的前10项的积为32,则以下命题为真命题的是()A.数列{a n}的各项均为正数B.数列{a n}中必有小于的项C.数列{a n}的公比必是正数D.数列{a n}中的首项和公比中必有一个大于17.已知函数y=a x﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点,若点在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则+的最小值为()A .4B .C .2D .18.已知椭圆C :+=1(a >b >0)的离心率为,双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为( )A .+=1 B .+=1 C .+=1 D .+=19.设等差数列{a n }满足3a 10=5a 17,且a 1>0,S n 为其前n 项和,则数列{S n }的最大项是( ) A .S 24 B .S 23 C .S 26 D .S 2710.若对于任意的x ∈[﹣1,0],关于x 的不等式3x 2+2ax +b ≤0恒成立,则a 2+b 2﹣1的最小值为( )A .B .C .D .11.在平面上⊥,||=||=1,=+,||<,则的取值范围是( )A .B .C .D .12.给出以下命题:①若a >b >0,d <c <0,;②如果p 1•p 2≥4,则关于x 的实系数二次方程x 2+p 1x +q 1=0,x 2+p 2x +q 2=0中至少有一个方程有实根;③若x ≠k π,k ∈Z ,则sinx +≥2;④当x ∈(0,2]时,f (x )=x ﹣无最大值. 其中真命题的序号是( )A .①②B .②③C .①②③D .①③④二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若数列{a n }的前n 项和为S n =a n +,则数列{a n }的通项公式是a n = .14.设x ,y 满足约束条件,向量=(y ﹣2x ,m ),=(1,﹣1),且∥,则m的最小值为 .15.抛物线y 2=2px (p >0)上一点M (1,m ) (m >0)到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行,则实数a 等于 .16.已知f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,当x∈(0,2]时,f(x)=2x﹣1,函数g(x)=x2﹣2x+m.如果对于∀x1∈[﹣2,2],∃x2∈[﹣2,2],使得g(x2)=f(x1),则实数m的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列.(Ⅰ)若,a=3,求c的值;(Ⅱ)设t=sinAsinC,求t的最大值.18.在如图所示的几何体中,AE⊥平面ABC,CD∥AE,F是BE的中点,AC=BC=1,∠ACB=90°,AE=2CD=2.(Ⅰ)证明DF⊥平面ABE;(Ⅱ)求二面角A﹣BD﹣E的余弦值.19.已知点A,B的坐标分别是,,直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是﹣1.(1)过点M的轨迹C的方程;(2)过原点作两条互相垂直的直线l1、l2分别交曲线C于点A,C和B,D,求四边形ABCD 面积的最小值.20.已知数列{a n}是递增的等比数列,满足a1=4,且是a2、a4的等差中项,数列{b n}满=b n+1,其前n项和为S n,且S2+S4=a4.足b n+1(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)数列{a n}的前n项和为T n,若不等式nlog2(T n+4)﹣λb n+7≥3n对一切n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围.21.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2,P是椭圆上异于A1、A2的任意一点,直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M,若直线OT与过点M、N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值.22.已知函数f(x),如果存在给定的实数对(a,b),使得f(a+x)•f(a﹣x)=b恒成立,则称f(x)为“Γ﹣函数”.(1)判断函数f1(x)=x,是否是“Γ﹣函数”;(2)若f3(x)=tanx是一个“Γ﹣函数”,求出所有满足条件的有序实数对(a,b);(3)若定义域为R的函数f(x)是“Γ﹣函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[1,2],求当x∈[﹣2016,2016]时函数f(x)的值域.2015-2016学年湖南师大附中高二(上)第二次段考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2﹣x<0},B={x|log2x≤0},则A∪B=()A.(0,1)B.(﹣∞,1]C.(0,1]D.[0,1)【考点】并集及其运算.【分析】求出A中不等式的解集,确定出A,求出B中不等式的解集确定出B,找出两集合的并集即可.【解答】解:A={x|x2﹣x<0}=(0,1),由B中不等式变形得:log2x≤0=log21,即0<x≤1,∴B=(0,1],则A∪B=(0,1],故选:C.2.下列说法正确的是()A.“若,则”的否命题是“若,则”B.命题“对∀x∈R,恒有x2+1>0”的否定是“∃x0∈R,使得”C.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数D.设p,q是简单命题,若p∨q是真命题,则p∧q也是真命题【考点】命题的真假判断与应用;四种命题;复合命题的真假;全称命题;特称命题.【分析】逐项分析各项正误即可判断.【解答】解:A、命题的否命题应把条件和结论同时否定,故A错误;B、根据全称命题的否定形式可知B项正确;C、因为函数f(x)=x2+mx是一二次函数,其图象不可能关于原点对称,故不论m取何值函数都不可能为奇函数,故C错误;D、当p∨q为真时,p,q中至少一个为真,即有可能一真一假,此时p∧q为假,故D错误.综上可知,只有B正确.故选:B.3.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A .2+B .4+C .2+2D .5【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图可判断直观图为:OA ⊥面ABC ,AC=AB ,E 为BC 中点,EA=2,EA=EB=1,OA=1,:BC ⊥面AEO ,AC=,OE=判断几何体的各个面的特点,计算边长,求解面积. 【解答】解:根据三视图可判断直观图为: OA ⊥面ABC ,AC=AB ,E 为BC 中点, EA=2,EC=EB=1,OA=1, ∴可得AE ⊥BC ,BC ⊥OA ,运用直线平面的垂直得出:BC ⊥面AEO ,AC=,OE=∴S △ABC =2×2=2,S △OAC =S △OAB =×1=.S △BCO =2×=.故该三棱锥的表面积是2,故选:C .4.“x >a ”是“x >﹣1”成立的充分不必要条件( )A .a 的值可以是﹣8B .a 的值可以是C .a 的值可以是﹣1D .a 的值可以是﹣3 【考点】充要条件.【分析】“x>a”是“成立的充分不必要条件:即x>a推出x>﹣1,x>﹣1不能推出x>a,从而得到a的范围为a>﹣1,对照选择支即可求解【解答】解:∵“x>a”是“x>﹣1”成立的充分不必要条件∴x>a推出x>﹣1,x>﹣1不能推出x>a∴a>﹣1∵{﹣8,﹣,﹣1,﹣3}中只有﹣>﹣1∴a的值可以是故选B5.函数是()A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法;二倍角的正弦;二倍角的余弦.【分析】先根据二倍角公式和诱导公式进行化简,最后结合最小正周期T=和正弦函数的奇偶性可求得答案.【解答】解:=sin2x,所以,故选A.6.已知等比数列{a n}的前10项的积为32,则以下命题为真命题的是()A.数列{a n}的各项均为正数B.数列{a n}中必有小于的项C.数列{a n}的公比必是正数D.数列{a n}中的首项和公比中必有一个大于1【考点】命题的真假判断与应用;等比数列的性质.【分析】由等比数列的性质可知,故q必是正数,故选项C为真命题;由可知a5可以为负数,故A为假命题;对于选项B,由于a5a6=2可以前10项全为,故B为假命题;对于选项D,由可得,可取q=1、均不大于1,故D为假命题.【解答】解:由等比数列的性质,a1a2a3…a10==32.∴a5a6=2,设公比为q,则,故q必是正数,故选项C为真命题.对于选项A,由可知a5可以为负数,故A为假命题;对于选项B,由a5a6=2可以前10项全为,故B为假命题;对于选项D,由可得,可取q=1、均不大于1,故D为假命题.故选C.7.已知函数y=a x﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点,若点在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则+的最小值为()A.4 B.C.2 D.1【考点】基本不等式.【分析】根据指数函数的性质,可以求出定点,把定点坐标代入一次函数y=mx+n,得出m+n=1,然后利用不等式的性质进行求解.【解答】解:∵函数y=a x﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点,可得定点坐标(1,1),∵定点在一次函数y=mx+n的图象上,∴m+n=1,∵m,n>0,∴m+n=1≥2,∴mn≤,∴+==≥4(当且仅当n=m=时等号成立),∴+的最小值为4,故选A;8.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为()A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1【考点】椭圆的简单性质.【分析】由题意,双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,可得(2,2)在椭圆C: +=1(a>b>0),利用e=,即可求得椭圆方程.【解答】解:由题意,双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,故边长为4,∴(2,2)在椭圆C: +=1(a>b>0)上∴,∵e=,∴,∴a2=4b2∴a2=20,b2=5∴椭圆方程为+=1.故选D.9.设等差数列{a n}满足3a10=5a17,且a1>0,S n为其前n项和,则数列{S n}的最大项是()A.S24B.S23C.S26D.S27【考点】等差数列的前n项和.【分析】由题意易得数列的公差,可得等差数列{a n}前27项为正数,从第28项起为负数,可得答案.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,由3a10=5a17可得3(a1+9d)=5(a1+16d),解得d=﹣a1<0,∴a n=a1+(n﹣1)d=a1,令a n=a1≤0可得≤0,解得n≥,∴递减的等差数列{a n}前27项为正数,从第28项起为负数,∴数列{S n}的最大项为S27,故选:D.10.若对于任意的x∈[﹣1,0],关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立,则a2+b2﹣1的最小值为()A.B.C.D.【考点】函数恒成立问题.【分析】根据题意,结合二次函数f(x)=3x2+2ax+b的图象得出不等式组,画出该不等式所表示的平面区域,设z=a2+b2﹣1,结合图形求圆a2+b2=1+z的半径的范围即可.【解答】解:设f(a)=3x2+2ax+b,根据已知条件知:;该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示,设z=a2+b2﹣1,a2+b2=1+z;∴该方程表示以原点为圆心,半径为r=的圆;原点到直线﹣2a+b+3=0的距离为d=;∴该圆的半径r=;解得z≥;∴a2+b2﹣1的最小值是.故选:A.11.在平面上⊥,||=||=1,=+,||<,则的取值范围是()A.B.C.D.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由已知作出图形,设出点O(x,y),|AB1|=a,|AB2|=b,则点P(a,b),结合求出x2+y2的范围得答案.【解答】解:根据条件知A,B1,P,B2构成一个矩形AB1PB2,以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系,设点O(x,y),|AB1|=a,|AB2|=b,则点P(a,b),由,得,则,∵,∴,∴,得,∵(x﹣a)2+y2=1,∴y2=1﹣(x﹣a)2≤1.同理x2≤1,∴x2+y2≤2.综上可知,,则.故选:B.12.给出以下命题:①若a>b>0,d<c<0,;②如果p1•p2≥4,则关于x的实系数二次方程x2+p1x+q1=0,x2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实根;③若x≠kπ,k∈Z,则sinx+≥2;④当x∈(0,2]时,f(x)=x﹣无最大值.其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①②③ D.①③④【考点】命题的真假判断与应用;不等式比较大小;基本不等式.【分析】逐项判断4个命题的正误.①利用不等式的基本性质即可求解;②正确理解“至少一个”.可从反面来求,易得;③注意基本不等式的前提,即可判断;④由已知函数的单调性易得.【解答】解:①∵a>b>0,∴,又d<c<0,∴且,∴,∴,∴,故①正确;②命题的逆否命题为:若两个方程都无实根,则,若两个方程都无实根,则有,∴,,∴,∴,故其逆命题正确,所以原命题正确,即②正确;③取≠kπ,此时,故③错误;④∵函数在(0,2]上是增函数,所以函数在(0,2]上有最大值f(2)=,故④错误.综上可知,①②正确故选A.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若数列{a n}的前n项和为S n=a n+,则数列{a n}的通项公式是a n=(﹣2)n﹣1.【考点】等比数列的通项公式.,可得数列为等比数【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项,由n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1列,且公比为﹣2,代入等比数列的通项公式分段可得答案.【解答】解:当n=1时,a1=S1=,解得a1=1=()﹣()=,当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1整理可得,即=﹣2,故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项,﹣2为公比的等比数列,故当n≥2时,a n=(﹣2)n﹣1=(﹣2)n﹣1经验证当n=1时,上式也适合,故答案为:(﹣2)n﹣114.设x,y满足约束条件,向量=(y﹣2x,m),=(1,﹣1),且∥,则m的最小值为﹣6.【考点】简单线性规划.【分析】由向量共线的坐标表示得到m=2x﹣y,再由约束条件作出可行域,数形结合求得m 的值.【解答】解:∵=(y﹣2x,m),=(1,﹣1),且∥,∴﹣1×(y﹣2x)﹣1×m=0,即m=2x﹣y.由约束条件作可行域如图,联立,解得C(1,8).由m=2x﹣y,得y=2x﹣m,∴当直线y=2x﹣m在y轴上的截距最大时,m最小,即当直线y=2x﹣m过点C(1,8)时,m的最小值为2×1﹣8=﹣6.故答案为:﹣6.15.抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a等于.【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.【分析】由题意可求抛物线线y2=2px的准线,从而可求p,,进而可求M,由双曲线方程可求A,根据双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则由斜率相等可求a【解答】解:由题意可知:抛物线线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣4∴p=8则点M(1,4),双曲线的左顶点为A(﹣,0),所以直线AM的斜率为k=,由题意可知:∴故答案为:16.已知f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,当x∈(0,2]时,f(x)=2x﹣1,函数g(x)=x2﹣2x+m.如果对于∀x1∈[﹣2,2],∃x2∈[﹣2,2],使得g(x2)=f(x1),则实数m的取值范围是[﹣5,﹣2] .【考点】指数函数综合题;特称命题.【分析】求出函数f(x)的值域,根据条件,确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论.【解答】解:∵f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,∴f(0)=0,当x∈(0,2]时,f(x)=2x﹣1∈(0,3],则当x∈[﹣2,2]时,f(x)∈[﹣3,3],若对于∀x1∈[﹣2,2],∃x2∈[﹣2,2],使得g(x2)=f(x1),则等价为g(x)max≥3且g(x)min≤﹣3,∵g(x)=x2﹣2x+m=(x﹣1)2+m﹣1,x∈[﹣2,2],∴g(x)max=g(﹣2)=8+m,g(x)min=g(1)=m﹣1,则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3,解得m≥﹣5且m≤﹣2,故﹣5≤m≤﹣2,故答案为:[﹣5,﹣2]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列.(Ⅰ)若,a=3,求c的值;(Ⅱ)设t=sinAsinC,求t的最大值.【考点】余弦定理;等差数列的通项公式;两角和与差的正弦函数.【分析】(Ⅰ)由A,B,C成等差数列求得B的值,再由余弦定理求得c的值.(Ⅱ)因为,利用两角和差的正弦公式化简函数t的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得t的最大值.【解答】解:(Ⅰ)因为A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.因为A+B+C=π,所以.因为,a=3,b2=a2+c2﹣2accosB,所以c2﹣3c﹣4=0,解得c=4,或c=﹣1(舍去).(Ⅱ)因为,所以,===.因为,所以,.所以当,即时,t有最大值.18.在如图所示的几何体中,AE⊥平面ABC,CD∥AE,F是BE的中点,AC=BC=1,∠ACB=90°,AE=2CD=2.(Ⅰ)证明DF⊥平面ABE;(Ⅱ)求二面角A﹣BD﹣E的余弦值.【考点】平面与平面之间的位置关系;直线与平面垂直的判定.【分析】(1)将DF平移到CG的位置,欲证DF⊥平面ABE,即证CG⊥平面ABE,根据线面垂直的判定定理可知,只需证CG与平面ABE内的两相交直线垂直即可;(2)过点A作AM⊥BE于M,过点M作MN⊥BD于N,连接AN,∠ANM是二面角A﹣BD﹣E的平面角,在Rt△AMN中利用余弦定理求出此角.【解答】解:(Ⅰ)取AB的中点G,连接CG、FG.因为CD∥AE,GF∥AE,所以CD∥GF.又因为CD=1,,所以CD=GF.所以四边形CDFG是平行四边形,DF∥CG.在等腰Rt△ACB中,G是AB的中点,所以CG⊥AB.因为EA⊥平面ABC,CG⊂平面ABC,所以EA⊥CG.而AB∩EA=A,所以CG⊥平面ABE.又因为DF∥CG,所以DF⊥平面ABE.(Ⅱ)因为DF⊥平面ABE,DF⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABE.过点A作AM⊥BE于M,则AM⊥平面BDE,所以AM⊥BD.过点M作MN⊥BD于N,连接AN,则BD⊥平面AMN,所以BD⊥AN.所以∠ANM是二面角A﹣BD﹣E的平面角.在Rt△ABE中,.因为,所以△ABD是等边三角形.又AN⊥BD,所以,NM=.在Rt△AMN中,.所以二面角A﹣BD﹣E的余弦值是.19.已知点A,B的坐标分别是,,直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是﹣1.(1)过点M的轨迹C的方程;(2)过原点作两条互相垂直的直线l1、l2分别交曲线C于点A,C和B,D,求四边形ABCD 面积的最小值.【考点】轨迹方程.【分析】(1)利用直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是﹣1,建立方程,化简可得点M的轨迹C的方程;(2)先求出四边形ABCD的面积,再利用基本不等式求解即可.(1)令M点坐标为(x,y),直线AM的斜率,直线BM的斜率,【解答】解:因为直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是﹣1,所以有,化简得到点M的轨迹C方程为…(2)由题意知,直线l1,l2的斜率存在且不为零,设直线l1的斜率为k1,则直线l1的方程为y=k1x.由得,设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=k1,,则,又直线l2的斜率为,可得…所以,当且仅当即k1=±1,四边形ABCD的面积有最小值为2…20.已知数列{a n}是递增的等比数列,满足a1=4,且是a2、a4的等差中项,数列{b n}满=b n+1,其前n项和为S n,且S2+S4=a4.足b n+1(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)数列{a n}的前n项和为T n,若不等式nlog2(T n+4)﹣λb n+7≥3n对一切n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围.【考点】数列与不等式的综合;等比数列的通项公式.【分析】(1)由已知得,由等差中项性质得2q2﹣5q+2=0,由此能求出数列{a n}的通项公式;由题意,数列{b n}为等差数列,公差d=1,再由S2+S4=32,得b1=2,由此能求出数列{b n}的通项公式.(2)由已知,从而对一切n∈N+恒成立,由此能求出结果.【解答】解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,则q>1,,∵是a2和a4的等差中项,∴,即2q2﹣5q+2=0.∵q>1,∴q=2,∴…依题意,数列{b n}为等差数列,公差d=1,又S2+S4=32,∴,∴b1=2,∴b n=n+1.…(2)∵,∴.不等式nlog2(T n+4)﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ(n+1)…∵n∈N+,∴对一切n∈N+恒成立.而,当且仅当即n=2时等式成立.∴λ≤3…21.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2,P是椭圆上异于A1、A2的任意一点,直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M,若直线OT与过点M、N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值.【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.【分析】(1)利用椭圆的标准方程及其性质即可得出;(2)利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出.【解答】解:(1)由题意可得,解得.∴椭圆E 的方程为.(2)有(1)可知:A 1(0,1),A 2(0,﹣1),设P (x 0,y 0),则.则直线PA 1的方程为,令y=0,得x N =;直线PA 2的方程为,令y=0,得.由切割线定理可得:|OT |2=|OM ||ON |===4,∴|OT |=2,即线段OT 的长为定值2.22.已知函数f (x ),如果存在给定的实数对(a ,b ),使得f (a +x )•f (a ﹣x )=b 恒成立,则称f (x )为“Γ﹣函数”.(1)判断函数f 1(x )=x ,是否是“Γ﹣函数”;(2)若f 3(x )=tanx 是一个“Γ﹣函数”,求出所有满足条件的有序实数对(a ,b );(3)若定义域为R 的函数f (x )是“Γ﹣函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),当x ∈[0,1]时,f (x )的值域为[1,2],求当x ∈[﹣2016,2016]时函数f (x )的值域. 【考点】抽象函数及其应用;函数恒成立问题. 【分析】(1)假设f 1(x ),f 2(x )为Γ﹣函数,根据新定义得出恒等式,判断恒等式是否成立即可得出结论;(2)假设f 3(x )为Γ﹣函数,列出恒等式,根据和角的正切公式计算,得出关于x 的恒等式解出a ,b ;(3)根据定义列出恒等式,根据所给条件归纳得出当x ∈[2k ,2k +2]时,f (x )∈[22k ,22k +2],从而求的f (x )的值域.【解答】解:(1)若f 1(x )=x 是“Γ﹣函数”,则存在实数对(a ,b ),使得(a +x )(a ﹣x )=b .即x 2=a 2﹣b 对x ∈R 恒成立,而关于x 的方程x 2=a 2﹣b 最多有两个解,不符合题意. 因此f 1(x )=x 不是“Γ﹣函数”. 若是“Γ﹣函数”,则存在实数对(a ,b ),使得3a +x •3a ﹣x =32a =b ,即存在常数对(a ,32a )满足条件,因此是“Γ﹣函数”.(2)∵f3(x)=tanx是一个“Γ﹣函数”,∴存在序实数对(a,b)满足tan(a+x)•tan(a﹣x)=b恒成立,当时,tan(a+x)•tan(a﹣x)=﹣cot2x,不是常数.∴.当时,有恒成立,即(btan2a﹣1)tan2x+(tan2a﹣b)=0恒成立.则,当,时,tan(a+x)•tan(a﹣x)=cot2a=1成立.因此满足f3(x)=tanx是一个“Γ﹣函数”时,实数对.(3)函数f(x)是“Γ﹣函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),∴f(x)•f(﹣x)=1,f(1+x)•f(1﹣x)=4,∵f(1+x)•f(1﹣x)=4⇔f(x)•f(2﹣x)=4,x∈[1,2]时,2﹣x∈[0,1],f(2﹣x)∈[1,2],,∴x∈[0,2]时,f(x)∈[1,4],,∴x∈[2,4]时,f(x)∈[4,16],x∈[4,6]时,f(x)∈[16,64],…以此类推可知:x∈[2k,2k+2]时,f(x)∈[22k,22k+2],∴当x∈[2014,2016]时,f(x)∈[22014,22016],因此x∈[0,2016]时,f(x)∈[1,22016],x∈[﹣2016,0]时,,综上可知当x∈[﹣2016,2016]时函数f(x)对的值域为[2﹣2016,22016].2016年11月17日。

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题及解析

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题及解析

2017-2018学年湖南师大附中高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.若直线过点(1,2),(2,2+),则此直线的倾斜角是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用斜率公式计算出斜率,又由,可求出倾斜角【详解】直线过点直线的斜率则直线的倾斜角满足,故选【点睛】本题给出两点的坐标,求经过两点直线的倾斜角.着重考查了直线的斜率与倾斜角的概念,属于基础题2.已知两条直线,,若,则().A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:由及两条直线方程,可得,解此方程可得。

详解:因为所以,即解得故选D。

点睛:两直线,若,则。

本题考查两直线之间的位置关系及学生的运算能力。

3.若a、b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的个数为()①a⊥α,b∥α⇒a⊥b;②a⊥α,a⊥b⇒b∥α;③a∥α,a⊥b⇒b⊥α.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用空间内线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系逐一分析三个选项即可求解【详解】①,则与相交垂直或者异面垂直,故,故①正确②,则或,故②错误③,则与相交,平行或者,故③错误综上,则正确的个数为1故选【点睛】本题主要考查命题真假的判断,解题时要认真审题,运用所学知识来判断,属于基础题4.在空间直角坐标系中,点B是A(1,2,3)在xOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出点在xOz坐标平面内的射影为,由此求得答案【详解】点B是A(1,2,3)在xOz坐标平面内的射影,可得点又O为坐标原点,,故选【点睛】本题主要考查了空间两点之间的距离,考查空间直角坐标系等基础知识,属于基础题5.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离【答案】B【解析】【分析】由知两圆的方程,先求出圆心坐标及半径,进而求出圆心距,比较与及的大小,即可得到两个圆之间的位置关系【详解】圆表示以点为圆心,以为半径的圆圆表示以点为圆心,以为半径的圆,,则则圆与圆相交故选【点睛】本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定,建立圆心距与半径之和以及半径之差之间的数量关系,即可得到圆与圆的位置关系,较为基础6.如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为.则该几何体的俯视图可以是()【答案】C【解析】试题分析:由已知条件该几何体是一个棱长为的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱,底面为直角边长为的直角三角形.故选C.考点:空间几何体的三视图、直观图.【此处有视频,请去附件查看】7.已知圆C:,则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )A. B. C. D. .【答案】D【解析】【分析】由题可知,当直线l与直线垂直时,所截得弦长最短,再由点斜式确定直线l的方程.【详解】由题可知,当直线l与直线垂直时,所截得弦长最短,P(1,2),圆C:x2+y2-4x-5=0,标准方程为,,;;由点斜式得直线l方程为:,即.故选D.【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法,考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律,以及互相垂直的两直线斜率关系,考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力.8.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】延长到,使得,根据异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成的角,而三角形为等边三角形,可求得此角【详解】延长到,使得,则为平行四边形就是异面直线与所成的角又则三角形为等边三角形,故选【点睛】本题考查了求异面直线所成的角,要先构造出异面直线所成的角,然后解三角形,属于基础题9.从直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线上的点为,已知圆的圆心和半径分别为,则切线长为,故当时,,应选答案B。

湖南师大附中1718学年度高一上学期期末考试——数学数学高一期末考数学—答案

湖南师大附中1718学年度高一上学期期末考试——数学数学高一期末考数学—答案

湖南师大附中2017-2018学年度高一第一学期期末考试数学参考答案-(这是边文,请据需要手工删加)湖南师大附中2017-2018学年度高一第一学期期末考试数学参考答案一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】利用斜率公式k =3=tan θ,可求倾斜角为60°. 2.D 【解析】由题知(a +2)a +1=0a 2+2a +1=(a +1)2=0,∴a =-1.也可以代入检验. 3.A 【解析】①正确.4.D 【解析】点A (1,2,3)在xOz 坐标平面内的射影为B (1,0,3), ∴|OB |=12+02+32=10.5.B 【解析】将两圆化成标准方程分别为x 2+y 2=1,(x -2)2+(y +1)2=9,可知圆心距d =5,由于2<d <4,所以两圆相交.6.C 【解析】当俯视图为A 中正方形时,几何体为边长为1的正方体,体积为1;当俯视图为B 中圆时,几何体为底面半径为12,高为1的圆柱,体积为π4;当俯视图为C 中三角形时,几何体为三棱柱,且底面为直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,体积为12;当俯视图为D 中扇形时,几何体为圆柱的14,且体积为π4.7.D 【解析】化成标准方程(x -2)2+y 2=9,过点P (1,2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直,故有k l ·k PC =-1,由k PC =-2得k l =12,进而得直线l 的方程为x -2y +3=0.8.C 【解析】将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1补形为正方体ABDC -A 1B 1D 1C 1, 则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于BA 1与BD 1所成的角,为60°.9.B 【解析】当圆心到直线距离最短时,可得此时切线长最短.d =322,切线长=⎝⎛⎭⎫3222-12)=142.10.B 【解析】对A 来说,DE ⊥平面A ′GF ,∴DE ⊥A ′F ;对B 来说,∵E 、F 为线段AC 、BC 的中点,∴EF ∥AB ,∴∠A ′EF 就是异面直线A ′E 与BD 所成的角,当(A ′E )2+EF 2=(A ′F )2时,直线A ′E 与BD 垂直,故B 不正确;对C 来说,因为DE ⊥平面A ′GF ,DE 平面BCDE ,∴平面A ′GF ⊥平面BCDE ,故C正确;对D 来说,∵A ′D =A ′E ,∴DE ⊥A ′G ,∵△ABC 是正三角形,∴DE ⊥AG ,又A ′G ∩AG =G ,∴DE ⊥平面A ′GF ,从而平面ABC ⊥平面A ′AF ,且两平面的交线为AF ,∴A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上,正确.二、填空题11.12 【解析】△OAB 为直角三角形,两直角边分别为4和6,S =12.12.50π 【解析】三棱锥A -BCD 的外接球就是长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球,所以外接球的半径R 满足:2R =32+42+52=5 2.所以三棱锥A -BCD 的外接球的表面积S =4 πR 2=50 π.13. a >6 【解析】由P A ⊥平面AC ,PE ⊥DE ,得AE ⊥DE .问题转化为以AD 为直径的圆与BC 有两个交点,所以a2>3,解得a >6.三、解答题14.【解析】(Ⅰ)3x +4y -14=0 (Ⅱ)(x -5)2+(y -6)2=25 15.【解析】(Ⅰ)由题意,得|MA ||MB |=5. (x -26)2+(y -1)2(x -2)2+(y -1)2=5,化简,得x 2+y 2-2x -2y -23=0.即(x -1)2+(y -1)2=25.∴点M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -1)2=25, 轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆. (Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,l :x =-2, 此时所截得的线段的长为252-32=8,∴l :x =-2符合题意.当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为 y -3=k (x +2),即kx -y +2k +3=0, 圆心到l 的距离d =|3k +2|k 2+1,由题意,得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3k +2|k 2+12+42=52,解得k =512.∴直线l 的方程为512x -y +236=0.即5x -12y +46=0. 综上,直线l 的方程为 x =-2,或5x -12y +46=0.16.【解析】(Ⅰ)证明:连接OE ,如图所示. ∵O 、E 分别为AC 、PC 中点, ∴OE ∥P A .∵OE 面BDE ,P A 平面BDE ,∴P A ∥平面BDE .(Ⅱ)证明:∵PO ⊥平面ABCD ,∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中,BD ⊥AC , 又∵PO ∩AC =O ,∴BD ⊥平面P AC . 又∵BD平面BDE ,∴平面P AC ⊥平面BDE .(Ⅲ)取OC 中点F ,连接EF . ∵E 为PC 中点,∴EF 为△POC 的中位线,∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD , ∴EF ⊥平面ABCD , ∵OF ⊥BD ,∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角, ∴∠EOF =30°. 在Rt △OEF 中, OF =12OC =14AC =24a ,∴EF =OF ·tan 30°=612a ,∴OP =2EF =66a . ∴V P -ABCD =13×a 2×66a =618a 3.17.C18.C 【解析】因为AD ⊥平面P AB ,BC ⊥平面P AB ,所以AD ∥BC ,且∠DAP =∠CBP =90°.又∠APD =∠CPB ,AD =4,BC =8,可得tan ∠APD =AD P A =CB PB =tan ∠CPB ,即得PB P A =CBAD =2,在平面P AB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 中点O 为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A (-3,0)、B (3,0).设点P (x ,y ),则有|PB ||P A |=(x -3)2+y 2(x +3)2+y 2=2,整理得x 2+y 2+10x+9=0.由于点P 不在直线AB 上,故此轨迹为一个圆,但要去掉二个点,选C. 19.【解析】∵当x ≥0时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x +1),x ∈[0,1);1-|x -3|,x ∈[1,+∞);即x ∈[0,1)时,f (x )=log 12(x +1)∈(-1,0];x ∈[1,3]时,f (x )=x -2∈[-1,1]; x ∈(3,+∞)时,f (x )=4-x ∈(-∞,-1); 画出x ≥0时f (x )的图象,再利用奇函数的对称性,画出x <0时f (x )的图象,如图所示;则直线y =20172018,与y =f (x )的图象有5个交点,则方程f (x )-20172018=0共五个实根,最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,∵x ∈(-1,0)时,-x ∈(0,1),∴f (-x )=log 12(-x +1),又f (-x )=-f (x ),∴f (x )=-log 12(-x +1)=log 12(1-x )-1=log 2(1-x ),∴中间的一个根满足log 2(1-x )=20172018,即1-x =220172018,解得x =1-220172018,∴所有根的和为1-220172018.20.【解析】(Ⅰ)证明:如图,连结BD.∵正方体ABCD-A1B1C1D1,∴D1D⊥平面ABCD.∵AC平面ABCD,∴D 1D⊥AC.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.∵BD∩D1D=D,∴AC⊥平面BDD1.∵BD 1平面BDD1,∴AC⊥BD1.(5分) (Ⅱ)存在.答案不唯一,作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中,且过BD1的中点并与直线A1A,C1C相交.下面给出答案中的两种情况,其他答案只要合理就可以给满分.(10分)21.【解析】(Ⅰ)设圆Γ的圆心为O 1,显然圆Γ上距A 距离最小的点在AO 1上,于是依题意知AO 1的长度等于A 到l 1的距离.显然A 不能在l 1的下方,若不然A 到l 1的距离小于AO 1的长度, 故有(y -1)2+x 2=y -(-1),即y =14x 2 (x ≠0).(5分)(Ⅱ)若存在这样的点B ,设其坐标为(0,t ),以AB 为直径的圆的圆心为C ,过C 作l 2的垂线,垂足为D .则C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2,y +t 2,于是CD =|y +t -4|2,AB =x 2+(y -t )2=4y +(y -t )2设所截弦长为l ,则l 24=⎝⎛⎭⎫AB 22-CD 2=4y +(y -t )24-(y +t )2-8(y +t )+164, 于是l 2=(12-4t )y +8t -16,(10分) 弦长不变即l 不随y 的变化而变化, 故12-4t =0,即t =3.即存在点B (0,3),满足以AB 为直径的圆截直线l 2所得的弦长不变.(12分)22.【解析】(Ⅰ)由f (x )+f (x -1)>0得log 2(x +1)+log 2x >0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x >1x >0x +1>0,解得x >5-12,所以x 的取值范围是x ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >5-12(5分); (Ⅱ)当-3≤x ≤-2时,g (x )=-g (x +2)=g (-x -2)=f (-x -2)=log 2(-x -2+1)=log 2(-x -1), 当-2<x ≤-1时,g (x )=-g (x +2)=-f (x +2)=-log 2(x +3),综上可得g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(-1-x ),(-3≤x ≤-2)-log 2(3+x ),(-2<x ≤-1),g (x )在[-3,-1]和[1,3]上递减;g (x )在[-1,1]上递增;(9分) (Ⅲ)因为g ⎝⎛⎭⎫-12=-g ⎝⎛⎭⎫12=-f ⎝⎛⎫12=-log 232, 由(Ⅱ)知,若g (x )=-log 232,得x =-32或x =52,由函数g (x )的图象可知若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t -2x 8+2x +3≥g ⎝⎛⎭⎫-12在R 上恒成立. 设u =t -2x8+2x +3=-18+t +18(1+2x ),当t +1≥0时,u =-18+t +18(1+2x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-18,-18+t +18, 则u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-18,-18+t +18⎝⎛⎭⎫-12,52,则-18+t +18≤52, 解得-1≤t ≤20.当t +1<0时,u =18+t +18(1+2x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-18+t +18,-18, 则u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-18+t +18,-18⎝⎛⎭⎫-12,52,则-18+t +18≥-12, 解得-4≤t <-1.综上,故-4≤t ≤20.(13分)。

湖南师大附中2017-2018学年高二上学期第二次段考数学试卷(文科) Word版含解析

湖南师大附中2017-2018学年高二上学期第二次段考数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年湖南师大附中高二(上)第二次段考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p:∀x∈R,2x=5,则¬p为()A.∀x∉R,2x=5 B.∀x∈R,2x≠5C.∃x0∈R,2=5 D.∃x0∈R,2≠52.“x>a”是“x>﹣1”成立的充分不必要条件()A.a的值可以是﹣8 B.a的值可以是C.a的值可以是﹣1 D.a的值可以是﹣33.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2c,焦点到双曲线C的渐近线的距离为,则双曲线C的离心率为()A.2 B.C.D.4.若a<b<c,则函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)+(x﹣b)(x﹣c)+(x﹣c)(x﹣a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(﹣∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(﹣∞,a)和(c,+∞)内5.已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则a1+a10=()A.7 B.5 C.﹣5 D.﹣76.过椭圆内一点R(1,0)作动弦MN,则弦MN中点P的轨迹是()A.圆B.椭圆 C.双曲线D.抛物线7.已知函数y=a x﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点,若点在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则+的最小值为()A.4 B.C.2 D.18.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为()A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=19.已知下列三个命题:①棱长为2的正方体外接球的体积为4π;②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数,那么这组数据的平均数和方差都改变;③直线x﹣y+1=0被圆(x﹣1)2+y2=4截得的弦长为2.其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①③D.①②③10.设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15>0,S16<0则中最大的项为()A.B.C.D.11.已知函数f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若∀x1∈[﹣1,2],∃x2∈[﹣1,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()A. B. C.(0,3]D.[3,+∞)12.在平面上,,,,若,则的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.不等式的解是.14.已知向量,若⊥,则16x+4y的最小值为.15.设x,y满足约束条件,向量=(y﹣2x,m),=(1,﹣1),且∥,则m的最小值为.16.椭圆的离心率,右焦点F(c,0),方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)与圆x2+y2=2的位置关系是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在△ABC中,角A,B,C所对变分别为a,b,c,且满足.(1)求△ABC的面积;(2)若b+c=5,求a的值.18.已知抛物线y2=2px(p>0)上有一点Q(4,m)到焦点F的距离为5,(1)求p及m的值.(2)过焦点F的直线L交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,求直线L的方程.19.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)﹣x的两个零点为m,n(m<n).(1)若m=﹣1,n=2,求不等式F(x)>0的解集.(2)若a>0,且0<x<m<n<,比较f(x)与m的大小.20.已知数列{a n}是递增的等比数列,满足a1=4,且是a2、a4的等差中项,数列{b n}=b n+1,其前n项和为S n,且S2+S4=a4.满足b n+1(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)数列{a n}的前n项和为T n,若不等式nlog2(T n+4)﹣λb n+7≥3n对一切n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围.21.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴是短轴的两倍,点A(,)在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2,且k1、k、k2恰好构成等比数列.(Ⅰ)求椭圆C的方程.(Ⅱ)试探究|OA|2+|OB|2是否为定值?若是,求出这个值;否则求出它的取值范围.22.如图,A,B是双曲线﹣y2=1的左右顶点,C,D是双曲线上关于x轴对称的两点,直线AC与BD的交点为E.(1)求点E的轨迹W的方程;(2)若W与x轴的正半轴,y轴的正半轴的交点分别为M,N,直线y=kx(k>0)与W 的两个交点分别是P,Q(其中P是第一象限),求四边形MPNQ面积的最大值.2015-2016学年湖南师大附中高二(上)第二次段考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p:∀x∈R,2x=5,则¬p为()A.∀x∉R,2x=5 B.∀x∈R,2x≠5C.∃x0∈R,2=5 D.∃x0∈R,2≠5【考点】全称命题;命题的否定.【分析】根据全称命题的否定是特称命题,即可得到结论.【解答】解:∵命题是全称命题,∴根据全称命题的否定是特称命题得:¬p为∃x0∈R,2≠5,故选:D.2.“x>a”是“x>﹣1”成立的充分不必要条件()A.a的值可以是﹣8 B.a的值可以是C.a的值可以是﹣1 D.a的值可以是﹣3【考点】充要条件.【分析】“x>a”是“成立的充分不必要条件:即x>a推出x>﹣1,x>﹣1不能推出x>a,从而得到a的范围为a>﹣1,对照选择支即可求解【解答】解:∵“x>a”是“x>﹣1”成立的充分不必要条件∴x>a推出x>﹣1,x>﹣1不能推出x>a∴a>﹣1∵{﹣8,﹣,﹣1,﹣3}中只有﹣>﹣1∴a的值可以是故选B3.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2c,焦点到双曲线C的渐近线的距离为,则双曲线C的离心率为()A.2 B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】由题意,双曲线焦点到渐近线的距离为,又b2=c2﹣a2,代入得4a2=3c2,即可求得双曲线C的离心率.【解答】解:由题意,双曲线焦点到渐近线的距离为,又b2=c2﹣a2,代入得4a2=3c2,解得,即,故选D.4.若a<b<c,则函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)+(x﹣b)(x﹣c)+(x﹣c)(x﹣a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(﹣∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(﹣∞,a)和(c,+∞)内【考点】函数零点的判定定理.【分析】由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在一个零点;又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,即可判断出.【解答】解:∵a<b<c,∴f(a)=(a﹣b)(a﹣c)>0,f(b)=(b﹣c)(b﹣a)<0,f (c)=(c﹣a)(c﹣b)>0,由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在一个零点;又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.故选A.5.已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则a1+a10=()A.7 B.5 C.﹣5 D.﹣7【考点】等比数列的性质;等比数列的通项公式.【分析】由a4+a7=2,及a5a6=a4a7=﹣8可求a4,a7,进而可求公比q,代入等比数列的通项可求a1,a10,即可【解答】解:∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4,a7=﹣2或a4=﹣2,a7=4当a4=4,a7=﹣2时,,∴a1=﹣8,a10=1,∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2,a7=4时,q3=﹣2,则a10=﹣8,a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得,a1+a10=﹣7故选D6.过椭圆内一点R(1,0)作动弦MN,则弦MN中点P的轨迹是()A.圆B.椭圆 C.双曲线D.抛物线【考点】椭圆的简单性质.【分析】设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),代入椭圆方程可得:,,两式相减并将代入化简即可得出.【解答】解:设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),代入椭圆方程可得:,,两式相减得4(x1+x2)(x1﹣x2)+9(y1+y2)(y1﹣y2)=0,将代入可得: +=1.其轨迹为椭圆,故选:B.7.已知函数y=a x﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点,若点在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则+的最小值为()A.4 B.C.2 D.1【考点】基本不等式.【分析】根据指数函数的性质,可以求出定点,把定点坐标代入一次函数y=mx+n,得出m+n=1,然后利用不等式的性质进行求解.【解答】解:∵函数y=a x﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点,可得定点坐标(1,1),∵定点在一次函数y=mx+n的图象上,∴m+n=1,∵m,n>0,∴m+n=1≥2,∴mn≤,∴+==≥4(当且仅当n=m=时等号成立),∴+的最小值为4,故选A;8.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为()A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1【考点】椭圆的简单性质.【分析】由题意,双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,可得(2,2)在椭圆C: +=1(a>b>0),利用e=,即可求得椭圆方程.【解答】解:由题意,双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,故边长为4,∴(2,2)在椭圆C: +=1(a>b>0)上∴,∵e=,∴,∴a2=4b2∴a2=20,b2=5∴椭圆方程为+=1.故选D.9.已知下列三个命题:①棱长为2的正方体外接球的体积为4π;②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数,那么这组数据的平均数和方差都改变;③直线x﹣y+1=0被圆(x﹣1)2+y2=4截得的弦长为2.其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①③D.①②③【考点】命题的真假判断与应用.【分析】根据正方体与外接球的关系:正方体的对角线长即为球的直径,再由球的体积公式即可判断①;根据平均数和方差的公式即可判断②;根据直线与圆相交的弦长公式:a=2,先求出圆心到直线的距离d,应用公式即可判断③.【解答】解:①设正方体的外接球的半径为r,则2r=2,r=,则球的体积为==4,故①正确;②设一组数据为x1,x2,…,x n,它的平均数为a,方差为b,则另一组数据x1+c,x2+c,…,x n+c(c≠0),运用公式即可得,其平均数为a+c,方差为b,故②错;③圆(x﹣1)2+y2=4的圆心为(1,0),半径为2,直线x﹣y+1=0到圆的距离为=1,则直线被圆截得的弦长为2,故③正确.故正确的序号为①③.故选C.10.设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15>0,S16<0则中最大的项为()A.B.C.D.【考点】等差数列的性质.【分析】利用等差数列的求和公式即等差数列的性质可得a8>0,a9<0,d<0,即a n递减,前8项中S n递增,即当S n最大且a n取最小正值时,有最大值,从而可得答案.【解答】解:∵等差数列前n项和S n=•n2+(a1﹣)n,由S15=15a8>0,S16=16×<0可得:a8>0,a9<0,d<0;故Sn最大值为S8.又d<0,a n递减,前8项中S n递增,故S n最大且a n取最小正值时,有最大值,即最大.故选:C.11.已知函数f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若∀x1∈[﹣1,2],∃x2∈[﹣1,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()A. B. C.(0,3]D.[3,+∞)【考点】函数的值域.【分析】根据二次函数的图象求出f(x)在[﹣1,2]时的值域为[﹣1,3],再根据一次g (x)=ax+2(a>0)为增函数,求出g(x2)∈[2﹣a,2a+2],由题意得f(x)值域是g(x)值域的子集,从而得到实数a的取值范围.【解答】解:∵函数f(x)=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线,且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为f(1)=﹣1,最大值为f(﹣1)=3,可得f(x1)值域为[﹣1,3]又∵g(x)=ax+2(a>0),x2∈[﹣1,2],∴g(x)为单调增函数,g(x2)值域为[g(﹣1),g(2)]即g(x2)∈[2﹣a,2a+2]∵∀x1∈[﹣1,2],∃x2∈[﹣1,2],使得f(x1)=g(x2),∴⇒a≥3故选D12.在平面上,,,,若,则的取值范围是()A.B.C.D.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由已知作出图形,设出点O(x,y),|AB1|=a,|AB2|=b,则点P(a,b),结合求出x2+y2的范围得答案.【解答】解:根据条件知A,B1,P,B2构成一个矩形AB1PB2,以AB1,AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系,设点O(x,y),|AB1|=a,|AB2|=b,则点P(a,b),由,得,则,∵,∴,∴,得,∵(x﹣a)2+y2=1,∴y2=1﹣(x﹣a)2≤1.同理x2≤1,∴x2+y2≤2.综上可知,,则.故选:B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.不等式的解是0<x<1(或(0,1)).【考点】其他不等式的解法.【分析】解分式不等式,一般是“移项,通分”,将分式不等式转化为各个因式的正负问题,建立关系,解之即可.【解答】解:∵,∴或,解得0<x<1,∴不等式的解是0<x<1(或(0,1)).故答案为:0<x<1(或(0,1)).14.已知向量,若⊥,则16x+4y的最小值为8.【考点】基本不等式;数量积判断两个平面向量的垂直关系.【分析】利用向量垂直的充要条件:数量积为0,得到x,y满足的等式;利用幂的运算法则将待求的式子变形;利用基本不等式求出式子的最小值,注意检验等号何时取得.【解答】解:∵∴4(x﹣1)+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为815.设x,y满足约束条件,向量=(y﹣2x,m),=(1,﹣1),且∥,则m的最小值为﹣6.【考点】简单线性规划.【分析】由向量共线的坐标表示得到m=2x﹣y,再由约束条件作出可行域,数形结合求得m 的值.【解答】解:∵=(y﹣2x,m),=(1,﹣1),且∥,∴﹣1×(y﹣2x)﹣1×m=0,即m=2x﹣y.由约束条件作可行域如图,联立,解得C(1,8).由m=2x﹣y,得y=2x﹣m,∴当直线y=2x﹣m在y轴上的截距最大时,m最小,即当直线y=2x﹣m过点C(1,8)时,m的最小值为2×1﹣8=﹣6.故答案为:﹣6.16.椭圆的离心率,右焦点F(c,0),方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)与圆x2+y2=2的位置关系是点在圆内.【考点】圆与圆锥曲线的综合.【分析】由题设知,,x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2==.由此可知点P(x1,x2)与圆x2+y2=2的位置关系.【解答】解:∵离心率,∴a=2c.∵方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1,x2,∴,,∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2===<2.∴点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.故答案为:点在圆内.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在△ABC中,角A,B,C所对变分别为a,b,c,且满足.(1)求△ABC的面积;(2)若b+c=5,求a的值.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)由cosA的值及A为三角形的内角,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值,再利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左边,将cosA的值代入求出bc的值,由bc及sinA的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积;(2)由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA,利用完全平方公式变形后,将b+c,bc及cosA 的值代入,开方即可求出a的值.【解答】解:(1)∵cosA=,且A为三角形的内角,∴sinA==,…又•=bccosA=2,∴bc=6,…则S△ABC=bcsinA=×6×=2;…(2)∵b+c=5,bc=6,cosA=,∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA=25﹣12﹣4=9,…则a=3.…18.已知抛物线y2=2px(p>0)上有一点Q(4,m)到焦点F的距离为5,(1)求p及m的值.(2)过焦点F的直线L交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,求直线L的方程.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(1)由抛物线y2=2px(p>0)上的点到焦点的距离公式d=x+,可求得p,从而求得m的值;(2)直线L斜率存在,可设为k,L的方程为y=k(x﹣1),代入抛物线方程y2=4x,得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0;设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2,x1x2;再由弦长公式|AB|=|x1﹣x2|=8,可求得k的值,从而求得直线L的方程.【解答】解:(1)由题意知,∴p=2.∵m2=2×2×4,∴m=±4(2)由题意知直线L的斜率存在,设为k,则直线L的方程为:y=k(x﹣1),代入抛物线方程:y2=4x,得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),∴;又∵|AB|=|x1﹣x2|=8,;∴所求直线方程为:x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0.19.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)﹣x的两个零点为m,n(m<n).(1)若m=﹣1,n=2,求不等式F(x)>0的解集.(2)若a>0,且0<x<m<n<,比较f(x)与m的大小.【考点】二次函数的性质;一元二次方程的根的分布与系数的关系.【分析】根据函数F(x)=f(x)﹣x的两个零点为m,n,因此该函数解析式可表示为F(x)=a(x﹣m)(x﹣n),(1)m=﹣1,n=2时,对a>0,或a<0.进行讨论,写出不等式的解集即可;(2)要比较f(x)与m的大小,做差,即有f(x)﹣m=a(x﹣m)(x﹣n)+x﹣m=(x﹣m)(ax﹣an+1),根据a>0且0<x<m<n<,分析各因式的符号,即可得到结论.【解答】解:(1)由题意知,F(x)=f(x)﹣x=a(x﹣m)(x﹣n)当m=﹣1,n=2时,不等式F(x)>0即为a(x+1)(x﹣2)>0.当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<﹣1,或x>2};当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|﹣1<x<2}.(2)f(x)﹣m=a(x﹣m)(x﹣n)+x﹣m=(x﹣m)(ax﹣an+1)∵a>0,且0<x<m<n<,即0<ax<am<an<1;∴x﹣m<0,an<1,∴1﹣an+ax>0∴f(x)﹣m<0,即f(x)<m.20.已知数列{a n}是递增的等比数列,满足a1=4,且是a2、a4的等差中项,数列{b n}=b n+1,其前n项和为S n,且S2+S4=a4.满足b n+1(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)数列{a n}的前n项和为T n,若不等式nlog2(T n+4)﹣λb n+7≥3n对一切n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围.【考点】数列与不等式的综合;等比数列的通项公式.【分析】(1)由已知得,由等差中项性质得2q2﹣5q+2=0,由此能求出数列{a n}的通项公式;由题意,数列{b n}为等差数列,公差d=1,再由S2+S4=32,得b1=2,由此能求出数列{b n}的通项公式.(2)由已知,从而对一切n∈N+恒成立,由此能求出结果.【解答】解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,则q>1,,∵是a2和a4的等差中项,∴,即2q2﹣5q+2=0.∵q>1,∴q=2,∴…依题意,数列{b n}为等差数列,公差d=1,又S2+S4=32,∴,∴b1=2,∴b n=n+1.…(2)∵,∴.不等式nlog2(T n+4)﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ(n+1)…∵n∈N+,∴对一切n∈N+恒成立.而,当且仅当即n=2时等式成立.∴λ≤3…21.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的长轴是短轴的两倍,点A(,)在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2,且k1、k、k2恰好构成等比数列.(Ⅰ)求椭圆C的方程.(Ⅱ)试探究|OA|2+|OB|2是否为定值?若是,求出这个值;否则求出它的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.【分析】(Ⅰ)通过将点A(,)代入椭圆方程可知+=1,结合a=2b计算即得结论;(Ⅱ)记A(x1,y1)、B(x2,y2),通过设直线l的方程为y=kx+m,并与椭圆方程联立可知x1+x2=﹣、x1x2=,通过k2=k1k2计算可知k=±,进而化简可知x1+x2=±2m、x1x2=2m2﹣2,利用完全平方公式化简计算即得结论.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知a=2b,且+=1,解得:b2=1,a=2,所以椭圆的方程为: +y2=1;(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,消去y整理得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,则△=16(1+4k2﹣m2)>0,x1+x2=﹣,x1x2=,∵k1、k、k2恰好构成等比数列,∴k2=k1k2==,即k2=k2++,化简得:﹣4k2m2+m2=0,∵m≠0,∴k2=,k=±,此时△=16(2﹣m2)>0,即m∈(﹣,),∴x1+x2=±2m,x1x2=2m2﹣2,故|OA|2+|OB|2=+++=(+)+2= [﹣2x1x2]+2=5,于是|OA|2+|OB|2是定值为5.22.如图,A,B是双曲线﹣y2=1的左右顶点,C,D是双曲线上关于x轴对称的两点,直线AC与BD的交点为E.(1)求点E的轨迹W的方程;(2)若W与x轴的正半轴,y轴的正半轴的交点分别为M,N,直线y=kx(k>0)与W 的两个交点分别是P,Q(其中P是第一象限),求四边形MPNQ面积的最大值.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(1)由已知A(﹣2,0),B(2,0),设C(x0,y0),D(x0,﹣y0),则,由两点式分别得直线AC,BD的方程为直线AC:,直线BD:,由此能求出点E的轨迹W的方程.(2)由(1)及已知得M(2,0),N(0,1),联立,得(4k2+1)x2=4,由此利用弦长公式结合已知条件能求出四边形MPNQ的面积取最大值.【解答】解:(1)由已知A(﹣2,0),B(2,0),设C(x0,y0),D(x0,﹣y0),则,①由两点式分别得直线AC,BD的方程为:直线AC:,直线BD:,两式相乘,得,②由①,得﹣=,代入②,得:,整理,得﹣4y2=x2﹣4,∴点E的轨迹W的方程(x≠±2、0).(2)由(1)及已知得M(2,0),N(0,1),联立,得(4k 2+1)x 2=4,∴P (),Q (﹣),四边形MPNQ 的面积S=S △QOM +S △DMP +S △NOP +S △NOQ=2(S △QMP +S △QNP ),∴S==2y P +x P==2=2==2,∵k >0,∴4k +≥4,故当且仅当,即k=时,四边形MPNQ 的面积取最大值为2.2016年11月14日。

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精品解析版) - 副本

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2017-2018学年湖南师大附中高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.若直线过点(1,2),(2,2+),则此直线的倾斜角是( )3A. B. C. D. 30∘45∘60∘90∘2.已知直线l 1:ax -y -2=0和直线l 2:(a +2)x -y +1=0,若l 1⊥l 2,则a 的值为( )A. 2B. 1C. 0D. ‒13.若a 、b 表示直线,α表示平面,下列命题中正确的个数为( )①a ⊥α,b ∥α⇒a ⊥b ;②a ⊥α,a ⊥b ⇒b ∥α;③a ∥α,a ⊥b ⇒b ⊥α.A. 0B. 1C. 2D. 34.在空间直角坐标系中,点B 是A (1,2,3)在xOz 坐标平面内的射影,O 为坐标原点,则|OB |等于( )A. B. C. D. 14135105.两圆x 2+y 2-1=0和x 2+y 2-4x +2y -4=0的位置关系是( )A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离6.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为.则该几何体的俯视图可以是( 12)A. B. C. D.第2页,共20页7.已知圆x 2+y 2-4x -5=0,则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( )A. B. C. D. 3x +2y ‒7=02x +y ‒4=0x ‒2y ‒3=0x ‒2y +3=08.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若∠BAC =90°,AB =AC =AA 1,则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘9.从直线x -y +3=0上的点向圆x 2+y 2-4x -4y +7=0引切线,则切线长的最小值为( )A. B. C. D. 322142324322‒110.如图,等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ,已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是( )A. 恒有DE ⊥A'FB. 异面直线与BD 不可能垂直A'E C. 恒有平面平面BCDEA'GF ⊥D. 动点在平面ABC 上的射影在线段AF 上A'11.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为N =n (modm ),例如11=2(mod 3).现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的n 等于( )A. 21B. 22C. 23D. 2412.四棱锥P -ABCD 中,AD ⊥面PAB ,BC ⊥面PAB ,底面ABCD 为梯形,AD =4,BC =8,AB =6,∠APD =∠CPB ,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 球的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.如图,△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图,O ′A ′=3,O ′B ′=4,则△AOB 的面积是______.14.在三棱锥A -BCD 中,AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,AC ⊥AD ,若AB =3,AC =4,AD =5,则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为______.15.已知矩形ABCD 中AB =3,BC =a ,若PA ⊥平面AC ,在BC 边上取点E ,使PE ⊥DE ,则满足条件的E 点有两个时,a 的取值范围是______.16.定义在R 上的奇函数f (x ),当x ≥0时,f (x )=,则关于x 的函数F (x ){log 1(x +1),x ∈[0,1)1‒|x ‒3|,x ∈[1,+∞)=f (x )-的所有零点之和为______.20172018三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)第4页,共20页17.已知直线l 经过点P (-2,5),且斜率为-.34(Ⅰ)求直线l 的方程;(Ⅱ)求与直线l 切于点(2,2),圆心在直线x +y -11=0上的圆的方程.18.已知坐标平面上点M (x ,y )与两个定点M 1(26,1),M 2(2,1)的距离比等于5.(Ⅰ)求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C ,过点A (-2,3)的直线l 被C 所截得弦长为8,求直线l 的方程.19.如图所示,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥底面ABCD ,底面边长为a ,E 是PC 的中点.(Ⅰ)求证:PA ∥平面BDE ;(Ⅱ)平面PAC ⊥平面BDE ;(Ⅲ)若二面角E -BD -C 为30°,求四棱锥P -ABCD的体积.20.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中.(I )求证:AC ⊥BD 1;(Ⅱ)是否存在直线与直线 AA 1,CC 1,BD 1都相交?若存在,请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由);若不存在,请说明理由.21.平面直角坐标系中,在x 轴的上方作半径为1的圆Γ,与x 轴相切于坐标原点O .平行于x 轴的直线l 1与y 轴交点的纵坐标为-1,A (x ,y )是圆Γ外一动点,A 与圆Γ上的点的最小距离比A 到l 1的距离小1.(Ⅰ)求动点A 的轨迹方程;(Ⅱ)设l 2是圆Γ平行于x 轴的切线,试探究在y 轴上是否存在一定点B ,使得以AB 为直径的圆截直线l 2所得的弦长不变.22.已知函数f (x )=log 2(x +a ).(Ⅰ)当a =1时,若f (x )+f (x -1)>0成立,求x 的取值范围;(Ⅱ)若定义在R 上奇函数g (x )满足g (x +2)=-g (x ),且当0≤x ≤1时,g (x )=f (x ),求g (x )在[-3,-1]上的解析式,并写出g (x )在[-3,3]上的单调区间(不必证明);(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的g (x ),若关于x 的不等式g ()≥g (-)在R 上恒成立,求实数t 的取值范t ‒2x8+2x +312围.第6页,共20页答案和解析1.【答案】C【解析】解:∵点(1,2),(2,2+),∴直线的斜率k=因此,直线的倾斜角α满足tanα=,∵0°≤α<180°,∴α=60°故选:C.利用斜率公式k==tan θ,可求倾斜角为60°.本题给出两点的坐标,求经过两点直线的倾斜角.着重考查了直线的斜率与倾斜角的概念,属于基础题.2.【答案】D【解析】解:由题知(a+2)a+1=0<a2+2a+1=(a+1)2=0,∴a=-1.也可以代入检验.故选:D.利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出本题考查了两条直线相互垂直的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于基础题3.【答案】B【解析】解:①a⊥α,b∥α,则a与b相交垂直或异面垂直,故a⊥b,故①正确;②a⊥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α,故②错误;③a∥α,a⊥b,则b与α相交、平行或b⊂α,故③错误.故选:B.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.4.【答案】D【解析】解:点A(1,2,3)在xOz坐标平面内的射影为B(1,0,3),∴|OB|==.故选:D.点A(1,2,3)在xOz坐标平面内的射影为B(1,0,3),由此求出|OB|.本题考查线段的求法,考查空间直角坐标系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.【答案】B【解析】解:圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆;圆x2+y2-4x+2y-4=0表示以O2(2,-1)点为圆心,以R2=3为半径的圆;∵|O1O2|=∴R2-R1<|O1O2|<R2+R1,∴圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0相交故选B.由已知中两圆的方程:x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0,我们可以求出他们的圆心坐标及半径,进而求出圆心距|O1O2|,比较|O1O2|与R2-R1及R2+R1的大小,即可得到两个圆之间的位置关系.本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定,若圆O1的半径为R1,圆O2的半径为R2,(R2≤R1),则当|O1O2|>R2+R1时,两圆外离,当|O1O2|=R2+R1时,两圆外切,当R2-R1<|O1O2|<R2+R1时,两相交,当|O1O2|=R2-R1时,两圆内切,当|O1O2|<R2-R1时,两圆内含.第8页,共20页6.【答案】C【解析】解:解法1:由题意可知当俯视图是A时,即每个视图是变边长为1的正方形,那么此几何体是立方体,显然体积是1,注意到题目体积是,知其是立方体的一半,可知选C.解法2:当俯视图是A时,正方体的体积是1;当俯视图是B时,该几何体是圆柱,底面积是,高为1,则体积是;当俯视是C时,该几何是直三棱柱,故体积是,当俯视图是D时,该几何是圆柱切割而成,其体积是.故选:C.解法1:结合选项,正方体的体积否定A,推出正确选项C即可.解法2:对四个选项A求出体积判断正误;B求出体积判断正误;C求出几何体的体积判断正误;同理判断D的正误即可.本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,依据数据计算能力;注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视宽相等.7.【答案】D【解析】解:根据题意:弦最短时,则圆心与点P的连线与直线l垂直∴圆心为:O(2,0)∴由点斜式整理得直线方程为:x-2y+3=0故选:D.由圆心与点P的连线与直线l垂直时,所截的弦长最短求解.本题主要考查直线与圆的位置关系,弦长问题及直线的斜率及方程形式,考查数学用几何法解决直线与圆的能力.8.【答案】C【解析】解:延长CA到D,使得AD=AC,则ADA1C1为平行四边形,∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,又A1D=A1B=DB=AB,则三角形A1DB为等边三角形,∴∠DA1B=60°故选:C.延长CA到D,根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,而三角形A1DB为等边三角形,可求得此角.本小题主要考查直三棱柱ABC-A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法,考查转化思想,属于基础题.9.【答案】B【解析】解:圆x2+y2-4x-4y+7=0化为(x-2)2+(y-2)2=1,圆心为C(2,2),半径为1,如图,第10页,共20页直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线,要使切线长的最小,则直线上的点与圆心的距离最小,由点到直线的距离公式可得,|PC|=.∴切线长的最小值为.故选:B.由题意画出图形,求出圆心到直线x-y+3=0的距离,再由勾股定理求得切线长的最小值.本题考查圆的切线方程,考查了直线与圆位置关系的应用,是基础题.10.【答案】B【解析】解:在A中,∵A′D=A′E,∴DE⊥A′G,∵△ABC是正三角形,∴DE⊥AG,又A′G∩AG=G,∴DE⊥平面A′GF,又A′F⊂平面A′GF,∴恒有DE⊥A′F,故A正确;在B中,∵E、F为线段AC、BC的中点,∴EF∥AB,∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角,当(A'E)2+EF2=(A'F)2时,直线A'E与BD垂直,故B不正确;在C中,由A知,平面A'GF一定过平面BCED的垂线,∴恒有平面A'GF⊥平面BCED,故C正确;在D中∵A′D=A′E,∴DE⊥A′G,∵△ABC是正三角形,∴DE⊥AG,又A′G∩AG=G,∴DE⊥平面A′GF,从而平面ABC⊥平面A′AF,且两平面的交线为AF,∴A'在平面ABC上的射影在线段AF上,故D正确.故选:B.先推导出DE⊥平面A′GF,从而恒有DE⊥A′F,从而判断A正确;由异面直线所成的角的概念可判断B不正确;由面面垂直的判定定理,可判断C正确;由斜线的射影定理可判断D正确.第12页,共20页本题平面图形的旋转为载体,综合考查线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用,考查空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念,考查空间想象能力,属中档题.11.【答案】C【解析】解:该程序框图的作用是求被3除后的余数为2,被5除后的余数为3的数,在所给的选项中,满足被3除后的余数为2,被5除后的余数为3的数只有23,故选:C .该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数,根据所给的选项,得出结论.本题主要考查程序框图的应用,属于基础题.12.【答案】A【解析】解:在平面PAB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系.设点P (x ,y ),则由题意可得 A (-3,0),B (3,0).∵AD ⊥α,BC ⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB ,∴Rt △APD ∽Rt △CPB ,∴.即BP 2=4AP 2,故有(x-3)2+y 2=4[(x+3)2+y 2],整理得:(x+5)2+y 2=16,表示一个圆.由于点P 不能在直线AB 上(否则,不能构成四棱锥),故点P 的轨迹是圆的一部分,故选:A .以AB 所在直线为x 轴,AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系,写出点A ,B 的坐标,根据条件得出Rt △APD ∽Rt △CPB,进而得出.,设出点P的坐标,利用两点间的距离公式,代入上式化简,根据轨迹方程,即可得到结论.本题考查点轨迹方程的求法,以立体几何为载体考查轨迹问题,综合性强,考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力,同时考查了运算能力,属于难题.13.【答案】12【解析】解:根据平面图形的斜二测画法知,原△OAB为直角三角形,且两直角边分别为OB=4,OA=3×2=6,∴△AOB的面积为S=12.故答案为:12.根据平面图形的斜二测画法,得出△OAB为直角三角形,求出两直角边,计算三角形的面积.本题考查了三角形的斜二测画法与应用问题,是基础题.14.【答案】50π【解析】解:由题意AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD,将三棱锥A-BCD中放到长方体中,可得长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球;所以外接球的半径R满足:2R==5.所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4 πR2=50 π.故答案为:50 π.由题意AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD,将三棱锥A-BCD中放到长方体中,可得长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球.即可求解球的半径,可得表面积.本题考查球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养15.【答案】a>6【解析】解:以A点为原点,AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴,如图所示.设P(0,0,b),D(0,a,0),E(3,x,0)PE=(3,x,-b),DE=(3,x-a,0)∵PE⊥DE,∴PE•DE=0,∴9+x(x-a)=0,即x2-ax+9=0.由题意可知方程有两个不同根,∵△>0,即a2-4×9>0,∴a>6.故答案为a>6以A点为原点,AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出与的坐标,根据向量垂直数量积为零建立等量关系,使方程有两个不同的根即可求出a的值.本题主要考查了直线与平面垂直的性质,以及空间向量,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.16.【答案】1-22017 2018【解析】解:∵当x≥0时,f(x)=;即x∈[0,1)时,f(x)=log(x+1)∈(-1,0];x∈[1,3]时,f(x)=x-2∈[-1,1];x∈(3,+∞)时,f(x)=4-x∈(-∞,-1);画出x≥0时f(x)的图象,再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;第14页,共20页则直线y=,与y=f (x )的图象有5个交点,则方程f (x )-=0共五个实根,最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,∵x ∈(-1,0)时,-x ∈(0,1),∴f (-x )=log (-x+1),又f (-x )=-f (x ),∴f (x )=-log (-x+1)=log (1-x )-1=log 2(1-x ),∴中间的一个根满足log 2(1-x )=,即1-x=,解得x=1-,∴所有根的和为1-.故答案为:1-.根据分段函数的解析式和奇函数的对称性作出函数f (x )在R 上的图象和y=的图象,利用数形结合的方法求解即可.本题综合考察了函数的性质,图象的运用,函数的零点与函数交点问题,考查了数形结合的能力,属于中档题.17.【答案】解:(Ⅰ)由直线方程的点斜式,可得方程为y -5=-(x +2),34化为一般式即得所求直线方程为:3x +4y -14=0;(Ⅱ)过点(2,2)与l 垂直的直线方程为4x -3y -2=0,由,得圆心为(5,6),{x +y ‒11=04x ‒3y ‒2=0∴半径r =.(5‒2)2+(6‒2)2=5故所求圆的方程为(x -5)2+(y -6)2=25.【解析】第16页,共20页(Ⅰ)由直线方程的点斜式,可得直线方程,化为一般式即可;(Ⅱ)同(Ⅰ)可得过点(2,2)与l 垂直的直线方程,联立方程解方程组可得圆心为(5,6),求出半径,可得圆的标准方程.本题考查圆的切线方程,涉及直线的点斜式和圆的标准方程,属中档题.18.【答案】解:(Ⅰ)由题意坐标平面上点M (x ,y )与两个定点M 1(26,1),M 2(2,1)的距离之比等于5,得=5,|M 1M||M 2M|即=5,化简得x 2+y 2-2x -2y -23=0.(x ‒26)2+(y ‒1)2(x ‒2)2+(y ‒1)2即(x -1)2+(y -1)2=25.∴点M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -1)2=25,所求轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,过点A (-2,3)的直线l :x =-2,此时过点A (-2,3)的直线l 被圆所截得的线段的长为:2=8,52‒32∴l :x =-2符合题意.当直线l 的斜率存在时,设过点A (-2,3)的直线l 的方程为y -3=k (x +2),即kx -y +2k +3=0,圆心到l 的距离d =,|3k +2|k 2+1由题意,得()2+42=52,解得k =.3k +2k 2+1512∴直线l 的方程为x -y +=0.即5x -12y +46=0.512236综上,直线l 的方程为x =-2,或5x -12y +46=0.【解析】(Ⅰ)直接利用距离的比,列出方程即可求点M 的轨迹方程,然后说明轨迹是什么图形;(Ⅱ)设出直线方程,利用圆心到直线的距离,半径与半弦长满足的勾股定理,求出直线l 的方程.本题考查曲线轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力,属于中档题.19.【答案】解:(Ⅰ)证明:连接OE ,如图所示.∵O 、E 分别为AC 、PC 中点,∴OE ∥PA .∵OE 面BDE ,PA α平面BDE ,∴PA ∥平面BDE .(Ⅱ)证明:∵PO ⊥平面ABCD ,∴PO ⊥BD .在正方形ABCD 中,BD ⊥AC ,又∵PO ∩AC =O ,∴BD ⊥平面PAC .又∵BD ⊂平面BDE ,∴平面PAC ⊥平面BDE .(Ⅲ)取OC 中点F ,连接EF .∵E 为PC 中点,∴EF 为△POC 的中位线,∴EF ∥PO .又∵PO ⊥平面ABCD ,∴EF ⊥平面ABCD ,∵OF ⊥BD ,∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角,∴∠EOF =30°.在Rt △OEF 中,OF =OC =AC =a ,121424∴EF =OF •tan 30°=a ,∴OP =2EF =a .61266∴V P -ABCD =×a 2×a =a 3.1366618【解析】(Ⅰ)连接OE ,证明OE ∥PA .然后证明PA ∥平面BDE .(Ⅱ)证明PO ⊥BD .BD ⊥AC ,推出BD ⊥平面PAC .然后证明平面PAC ⊥平面BDE .(Ⅲ)取OC 中点F ,连接EF .说明∠EOF 为二面角E-BD-C 的平面角,求出OF ,EF ,OP=2EF=a .然后求解几何体的体积.本题考查平面与平面垂直,直线与平面平行的判定定理的应用,几何体的体积的求法,考查计算能力.20.【答案】(本题满分9分)(Ⅰ)证明:如图,连结BD .∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,∴D 1D ⊥平面ABCD .第18页,共20页∵AC ⊂平面ABCD ,∴D 1D ⊥AC .∵四边形ABCD 是正方形,∴AC ⊥BD .∵BD ∩D 1D =D ,∴AC ⊥平面BDD 1.∵BD 1⊂平面BDD 1,∴AC ⊥BD 1.…(5分)(Ⅱ)存在.答案不唯一,作出满足条件的直线一定在平面ACC 1A 1中,且过BD 1的中点并与直线A 1A ,C 1C 相交.下面给出答案中的两种情况,其他答案只要合理就可以给满分.(9分)【解析】(Ⅰ)连结BD ,推导出D 1D ⊥AC ,AC ⊥BD .由此能证明AC ⊥BD 1.(Ⅱ)作出满足条件的直线一定在平面ACC 1A 1中,且过BD 1的中点并与直线A 1A ,C 1C 相交.本题考查线线垂直的证明,考查满足条件的直线的作法,是中档题,解题时要认真题、注意空间思维能力的培养.21.【答案】解:(Ⅰ)设圆Γ的圆心为O 1,显然圆Γ上距A 距离最小的点在AO 1上,于是依题意知AO 1的长度等于A 到l 1的距离.显然A 不能在l 1的下方,若不然A 到l 1的距离小于AO 1的长度,故有,(y ‒1)2+x 2=y ‒(‒1)即y =x 2 (x ≠0).14(Ⅱ)若存在这样的点B ,设其坐标为(0,t ),以AB 为直径的圆的圆心为C ,过C 作l 2的垂线,垂足为D .则C 点坐标为(),于是CD =,x 2,t +y 2|y +t ‒4|2AB =x 2+(y ‒t )2=4y +(y ‒t )2设所截弦长为l ,则=CD 2=l 24(AB 2)2‒4y +(y ‒t )24‒(y +t )2‒8(y +t)+164于是l 2=(12-4t )y +8t -16,弦长不变即l 不随y 的变化而变化,故12-4t =0,即t =3.即存在点B (0,3),满足以AB 为直径的圆截直线l2所得的弦长不变.【解析】(Ⅰ)由题意,圆Γ上距A 距离最小的点在AO 1上,于是依题意知AO 1的长度等于A 到l 1的距离.即可求解;(Ⅱ)假设存在这样的点B ,设其坐标为(0,t ),以AB 为直径的圆的圆心为C ,过C 作l 2的垂线,垂足为D .则C 点坐标为(),于是CD=,AB=,根据弦长公式建立关系,待定系数法,即可求解t 的值,可得其坐标.本题考查了轨迹方程的求法和待定系数法的应用,是中档题.22.【答案】解:(Ⅰ)当a =1时,f (x )=log 2(x +1).∴f (x -1)=log 2x ,∴f (x )+f (x -1)=log 2(x +1)+log 2x =log 2[x (x +1)],若f (x )+f (x -1)>0,则,{x >0x +1>0x(x +1)>1解得:x ∈(,+∞),5‒12即x 的取值范围为(,+∞);5‒12(Ⅱ)∵函数g (x )是定义在R 上奇函数,故g (0)=0,又∵当0≤x ≤1时,g (x )=f (x )=log 2(x +a ).故a =1,当x ∈[-2,-1]时,x +2∈[0,1],∴g (x )=-g (x +2)=-log 2(x +3).当x ∈[-3,-2]时,x +2∈[-1,0],-(x +2)∈[0,1],∴g (x )=-g (x +2)=g [-(x +2)]=log 2[-(x +2)+1]=log 2(-x -1).故g (x )=,{log 2(‒x ‒1),x ∈[‒3,‒2]‒log 2(x +3),x ∈[‒2,‒1]g (x )在[-3,-1]和[1,3]上递减,在[-1,1]上递增;(III )记u ==-+,t ‒2x8+2x +318t +18+2x +3当t +1≥0时,u ∈(-,-+)=(-,),1818t +1818t8由g ()≥g (-)在R 上恒成立可得:(-,)[,],t ‒2x 8+2x +31218t8⊂‒1252解得:t ∈[-1,20].当t +1<0时,u ∈(-+,-)=(,-),18t +1818t 818第20页,共20页由g ()≥g (-)在R 上恒成立可得:(,-)[.],t ‒2x8+2x +312t 818⊂‒1252解得:t ∈[-4,-1).综上所述实数t 的取值范围为[-4,20].【解析】(Ⅰ)当a=1时,f (x )+f (x-1)>0可化为,解不等式组可得答案.(II )根据已知可得a=1,进而根据当x ∈[-2,-1]时,x+2∈[0,1],当x ∈[-3,-2]时,x+2∈[-1,0],-(x+2)∈[0,1],当0≤x≤1时,g (x )=f (x ),可得g (x )在[-3,-1]上的解析式,进而分析出g (x )在[-3,3]上的单调区间;(III )关于x 的不等式g ()≥g (-)在R 上恒成立,即u=∈[.],分类讨论后,综合讨论结果,可得答案.本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,对数不等式的解法,求函数的解析式,恒成立问题,是函数图象和性质的综合应用,难度较大,属于难题.。

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析

2017-2018学年湖南师大附中高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1. 若直线过点(1,2),(2,2+命),则此直线的倾斜角是()A. -B. ■C.D.【答案】C【解析】【分析】利用斜率公式计算出斜率,又由「,可求出倾斜角【详解】{直线过点.I:厂:.二则直线的倾斜角满足、=■. :■■-? ■菟巳:.-壬严,故选【点睛】本题给出两点的坐标,求经过两点直线的倾斜角.着重考查了直线的斜率与倾斜角的概念,属于基础题2. 已知两条直线八 ' =“,若L上4,贝U ().A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:由•及两条直线方程|::監 m,—::;可得' I ■ I ■ 1解此方程可得。

详解:因为-所以•-111丨「「,即,.广-.■: | I解得故选D。

点睛:两直线I …|;-< 二',若L丄4,则本题考查两直线之间的位置关系及学生的运算能力。

3. 若a、b表示直线,a表示平面,下列命题中正确的个数为( )①a丄a , b 〃a ? a X b;②a 丄a, a 丄b? b 〃a;③a H a , a 丄b?b丄a.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】利用空间内线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系逐一分析三个选项即可求解【详解】①.J - II ■,则与I•相交垂直或者异面垂直,故,丄I、,故①正确② 1 1 I-,则I::或〔;:「;,故②错误③.II “.,.丄' 则I•与相交,平行或者I】:-’;,故③错误综上,则正确的个数为1故选【点睛】本题主要考查命题真假的判断,解题时要认真审题,运用所学知识来判断,属于基础题4. 在空间直角坐标系中,点B是A (1, 2, 3)在xOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则I OEB等于( )A.[正B. J"C. ..D.【答案】D【解析】【分析】先求出点.•〔•在xOz坐标平面内的射影为..、,由此求得答案【详解】■点B是A (1, 2, 3)在xOz坐标平面内的射影,可得点小•「曲又O为坐标原点,故选【点睛】本题主要考查了空间两点之间的距离,考查空间直角坐标系等基础知识,属于基础题5. 两圆x2+y2-1=0 和x2+y2-4 x+2y-4=0 的位置关系是()A.内切B. 相交C. 外切D. 外离【答案】B【解析】【分析】由知两圆的方程,先求出圆心坐标及半径,进而求出圆心距,比较与及二+的大小,即可得到两个圆之间的位置关系【详解】圆十.,丨〜表示以•点为圆心,以为半径的圆圆■! = :■表示以匚点为圆心,以为半径的圆则■■:- I' • I' |则圆二与圆上 J八\ - 4 : 相交故选【点睛】本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定,建立圆心距与半径之和以及半径之差之间的数量关系,即可得到圆与圆的位置关系,较为基础6. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为•则该几何体的俯2视图可以是()【答案】C【解析】试题分析:由已知条件该几何体是一个棱长为为直角边长为的直角三角形.故选C.考点:空间几何体的三视图、直观图.【此处有视频,请去附件查看】7. 已知圆C:厂f ;「:=,则过点P(1,2)的最短弦所在直线I的方程是()A. :-3 ,- -1B. ' :. - ■■■ 4 ')C. :•:."•'.、:;D. 二、| .【答案】D【解析】【分析】由题可知,当直线I与直线.垂直时,所截得弦长最短,再由点斜式确定直线I的方程.【详解】由题可知,当直线I与直线.垂直时,所截得弦长最短,■ P(1,2),圆C: x2+ y2-4x—5= 0,标准方程为二八「2-0:' 陀0), 2;由点斜式得直线I方程为一I :,即一故选D.【点睛】本题考查求解直线方程的点斜式法,考查直线与圆的位置关系和圆的弦长变化规律,以及互相垂直的两直线斜率关系,考查用几何法解决直线与圆的综合问题的能力8.直三棱柱ABCABC中,若/ BAC90° AE=ACAA,则异面直线BA与AC所成的角等于( )I的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱,底面A. -B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】延长 到,使得兰二-占匸:,根据异面直线所成角的定义可知 <-■-,?就是异面直线 与 所成的角,而三角形 为等边三角形,可求得此角【详解】延长到,使得.<,■- A/?,则为平行四边形就是异面直线与所成的角又 '、「; \ -1 ■■■ I 1 ■::二 W J则三角形八二匸为等边三角形■■-心日-抄,故选【点睛】本题考查了求异面直线所成的角,要先构造出异面直线所成的角,然后解三角形, 属于基础题9.从直线 上的点向圆.? / !; - - :!引切线,则切线长的最小值为()【解析】 设直线上的点为 ',已知圆的圆心和半径分别为 ,则切线长为1- .?■:;')':小I : •丨厂「二丁 二;,故当.时•二一,应选2 寸 4 2 2答案B 。

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期第二次阶段性检测化学试题

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期第二次阶段性检测化学试题

可能用到的相对原子质量:H-1 N-14 O-16 Na-23 Al-27 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Cu-64第I卷选择题(共48 分)一、选择题(本题包括16 个小题,每小题3 分,共48 分。

每小题只有一个选项符合题月要求)1.下列叙述正确的是A.1molN2的质量为28g/molB.标准状况下,1mol任何物质的体积均为22.4 LC.Cl2的摩尔质量为71gD.3.01×1023个SO2 分子的质量为32 g2.下列物质为纯净物的是A水泥 B.青铜 C.浓硫酸 D.液氯3.下列与颜色有关的描述中不正确的是A.铜在氯气中燃烧产生棕黄色烟B.FeCl3溶液中加入KSCN溶液产生血红色沉淀C.将Cl2通人石蕊溶液,石蕊溶液先变红后褪色D.氢气在氯气中燃烧,产生苍白色火焰4.下列反应的离子方程式正确的是A过量CO2通人氢氧化钠溶液中:CO2+2OH-=CO32-+H2OB.用小苏打治疗胃酸过多:HCO3- +H+==CO2↑+H2OC将Cl2通入水中:Cl2+H2O=Cl-+2H+ +ClO-D.用FeCl3 溶液腐蚀印刷电路板:Fe3++Cu=Fe2++Cu2+5.要除去氯化亚铁容液中少量的氯化铁,可行的办法是A滴入KSCN溶液 B.通人氯气 C.滴入NaOH 溶液 D.加入铁粉6.二氧化硫能使溴水褪色,说明二氧化硫具有A.还原性B.氧化性C.漂白性D酸性7.某些粒子在化学反应中既能体现氧化性又能体现还原性,下列不属于此类粒子的是A Fe2+ B.H2O2 C.Al D.N28.下列物质可由对应元素的单质在一定条件下直接化合而成的是A.FeCl2B.CuSC.SiO2D.NO29.下列实验能达到实验目的且符合操作要求的是A I可用于制备并检验氢气的可燃性B.II可用于除去CO2中的HClC.用Ⅲ来配制一定物质的量浓度的NaOH 溶液D.用IV中操作制备氢氧化亚铁并观察其颜色10.下列试剂能够区别SO2和CO2 气体的是①BaCl2溶液②酸性KMnO4溶液③氯水④品红溶液⑤澄清石灰水⑥Na2S溶液A. ②③④⑤⑥B. ①②③④⑥C. ②③④⑥D.全部11.按如图所示装置进行实验,将液体A逐滴加入到固体B中,下列叙述不正确的是A.若A为浓盐酸,B为KMnO4,C中盛品红溶液,则C中溶液褪色B.若A为醋酸,B为贝壳,C中盛Na2SiO3溶液,则C中溶液变浑浊C.若A为浓氨水,B为生石灰,两者混合后产生NH3,C中盛AlCl3溶液,则C中先产生自色沉淀后沉淀溶解D实验仪器D可以起到防止溶液倒吸的作用12.下列各组物质中,不满足组内任意两种物质在一定条件下均能发生反应的是13.在溶液中加入适量Na2O2后仍能大量共存的离子组是A.MnO4-、Ba2+、Cl-、NO3- B Na+、Cl-、CO32-、SO32-C.Ca2+、Mg2+、NO3-、HCO3-D.K+、AlO2-、C1-、SO42-14.一定条件下,一种反应物过量,另一种反应物可以完全反应的是A 过量的氧气与二氧化硫 B.过量的氢氧化钠与二氧化硅C.过量的二氧化锰与浓盐酸D.过量的铜与浓硫酸15.标准状况下,将NO和O2 等体积混合置于试管中,并将试管倒立于盛水的水槽中,发现水槽中的水被吸入试管,反应完成后迅速将试管用橡胶塞塞好,此时,试管中溶液的物质的量浓度为A.0.045 mol/LB.0.0255 mol/LC.0.0875mol/LD.无法确定16.某集气瓶内装的混合气体是红棕色,加入足量蒸馏水,盖上玻璃片振荡得橙黄色溶液,气体颜色消失,再打开玻璃片后,瓶中气体又变为红棕色,该混合气体可能是A.N2、O2、Br2B.NO2、.NO、N2C.NO2、NO、O2D.N2、NO2、Br2第II卷非选择题(共52 分)二、非选择题(本题包括6 个小题,共52 分)17.(4 分)有下列物质①过氧化钠、②氧化铝、③硅、④二氧化硅。

【全国百强校】湖南省师范大学附属中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(PDF版)答案

【全国百强校】湖南省师范大学附属中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(PDF版)答案
湖南师大附中 学年度高一第二学期期中考试 数学参考答案
一 选择题 本大题共# 每小题'分 共' 在每小题给出的四 #个小题 '分 只有一项是符合题目要求的! 个选项中 题号 # 答案 , ! ( . ) ' , * / $ / & / + # " # # . . /
! # $ 的方差% 0
# ! ! ! ! 3 # # # 3 ! 3 # # # 3 3 ! 3 # # # #% !% $% $
0
# ! ! ! 故选 .1 # + 3 # + 3 3 # + 0 ! ! #% !% $% $
解析 样本中编号最小的两个编号分别为 "" 则样本间 ) ! -! # & "" * & 隔为* 则共抽取#' 则最大的编号为 # & % # & 0 ' " " " 5' " 0( " & 3' " 6 故选 -1 ! + 0 #) * & ! ' 3 # 解析 根据样本的条形图和中位数的定义可知中位数为" ' ! ,! 0 ! 故选 ,1 " ! $ ' 解析 由频率分布直方图可得 的频率相同 频数为 * ! / " ' ' # " ! 的频率相同 频数为( 故选 / # ! ' ( " ( " ( ' ! 1 * 3 & 3 # " 3 # ! 解 析 $ ! / 2#0 0+ 4&0 %" ! $6+3# " ! (0) ! ! ) * 3'3 ( 3 ! 故选 / 4 0 ) 解得 '0 ' ! 1 ) 解析 设正方形边长为( 则由几何概型概率的计算公式得 此点取 & ! / !

湖南师大附中2017-2018学年高三上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析

湖南师大附中2017-2018学年高三上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析

湖南师大附中2017-2018学年高三上学期第二次月考数学试卷(文科)一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分)1.设集合M={x|x2﹣2x﹣3<0},N={x|2x<2},则M∩∁R N等于( )A. B.(﹣1,0)C.故选:A.点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.已知p:“∀x∈R,2x<3”;q:“∂x0∈R,sinx0+cosx0=2”,则( )A.p假,q真B.“p∧q”真C.“p∨q”真D.“p∧q”假考点:复合的真假.专题:推理和证明.分析:举例说明两个都是吧正确的即可.解答:解:p:“∀x∈R,2x<3”是假,当x=2时就不成立.q:“∂x0∈R,sinx0+cosx0=2是假,对任意的x∈R,sinx+cosx=sin(x+),∴“p∧q”为假.故选:D点评:本题考查了的判断属于基础题.4.我校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样方法,抽取4个班进行调查,若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为( )A.2 B.3 C.4 D.5考点:系统抽样方法.专题:计算题;概率与统计.分析:求出系统抽样的抽取间隔,设抽到的最小编号x,根据编号的和为48,求x即可.解答:解:系统抽样的抽取间隔为=6.设抽到的最小编号x,则x+(6+x)+(12+x)+(18+x)=48,所以x=3.故选:B.点评:本题考查了系统抽样方法,熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键.5.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( )A.54 B.27 C.18 D.9考点:由三视图求面积、体积.分析:由几何体的三视图可知,这是一个四棱锥,由体积公式可求.解答:解:由几何体的三视图可知,这是一个四棱锥,且底面为矩形,长6,宽3;体高为3.则=18.故选:C.点评:做三视图相关的题时,先要形成直观图,后要注意量的关系.属于基础题.6.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( )A. B.C.D.考点:函数的图象.专题:函数的性质及应用.分析:∵x2+1≥1,又y=lnx在(0,+∞)单调递增,∴y=ln(x2+1)≥ln1=0,函数的图象应在x轴的上方,在令x取特殊值,选出答案.解答:解:∵x2+1≥1,又y=lnx在(0,+∞)单调递增,∴y=ln(x2+1)≥ln1=0,∴函数的图象应在x轴的上方,又f(0)=ln(0+1)=ln1=0,∴图象过原点,综上只有A符合.故选:A点评:对于函数的选择题,从特殊值、函数的性质入手,往往事半功倍,本题属于低档题.7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为9,则输出的值为( )A.1064 B.1065 C.1067 D.1068考点:程序框图.专题:算法和程序框图.分析:执行程序框图,写出每次循环得到的S,k的值,当k=9时满足条件k≤n,S=1067,k=10时不满足条件k≤n,输出S的值为1067.解答:解:执行程序框图,有n=9k=1,S=0满足条件k≤n,S=3,k=2满足条件k≤n,S=9,k=3满足条件k≤n,S=20,k=4满足条件k≤n,S=40,k=5满足条件k≤n,S=77,k=6满足条件k≤n,S=147,k=7满足条件k≤n,S=282,k=8满足条件k≤n,S=546,k=9满足条件k≤n,S=1067,k=10不满足条件k≤n,输出S的值为1067.故选:C.点评:本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.8.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f()的值为( )A.﹣B.﹣C.D.考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.专题:计算题.分析:通过函数的图象,利用KL以及∠KML=90°求出求出A,然后函数的周期,确定ω,利用函数是偶函数求出ϕ,即可求解f()的值.解答:解:因为f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,所以A=,T=2,因为T=,所以ω=π,函数是偶函数,0<ϕ<π,所以ϕ=,∴函数的解析式为:f(x)=sin(πx+),所以f()=sin(+)=cos=.故选:D.点评:本题考查函数的解析式的求法,函数奇偶性的应用,考查学生识图能力、计算能力.9.以双曲线﹣=1(a>0,b>0)中心O(坐标原点)为圆心,焦矩为直径的圆与双曲线交于M点(第一象限),F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,过点M作x轴垂线,垂足恰为OF2的中点,则双曲线的离心率为( )A.﹣1 B.C.+1 D.2考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由题意M的坐标为M(),代入椭圆方程可得e的方程,即可求出双曲线的离心率.解答:解:由题意M的坐标为M(),代入椭圆方程可得∴e4﹣8e2+4=0,∴e2=4+2∴e=+1.故选:C.点评:本题考查双曲线与圆的性质,考查学生的计算能力,比较基础.10.已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣kx有零点,则实数k的取值范围是( )A.(﹣∞,+∞)B.D.(﹣∞,1)考点:函数零点的判定定理.专题:计算题;数形结合;函数的性质及应用.分析:画出f(x)的图象,函数g(x)=f(x)﹣kx有零点,即为y=f(x)的图象和直线y=kx 有交点,作出直线y=kx,由图象观察k≤0,直线和曲线有交点,设直线y=kx与曲线y=log2x 相切的切点为p(m,n),运用导数,求出切线的斜率,再由图象观察即可得到k的取值范围.解答:解:函数f(x)=,画出f(x)的图象,函数g(x)=f(x)﹣kx有零点,即为y=f(x)的图象和直线y=kx有交点,作出直线y=kx,由图象观察k≤0,直线和曲线有交点,设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p(m,n),由于(log2x)′=,即切线的斜率为=k,又n=km,n=log2m,解得m=e,k=,则k>0时,直线与曲线有交点,则0<k,综上,可得实数k的取值范围是:(﹣∞,].故选C.点评:本题考查分段函数及运用,考查分段函数的图象和运用,考查数形结合的思想方法,考查运用导数求切线的斜率,属于中档题.二、填空题(本题共5小题,每题5分,共25分)11.在极坐标系中,点(2,)到直线ρcos(x﹣)=0的距离是.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:把极坐标方程化为直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式即可得出.解答:解:点P(2,)化为,即.直线ρcos(x﹣)=0化为,化为+y=0.∴点(2,)到直线ρcos(x﹣)=0的距离d==.故答案为:.点评:本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,属于基础题.12.在区间内随即取一个数记为x,则使得sinx≥的概率为.考点:几何概型.专题:概率与统计.分析:由于在区间内随机取一个数,故基本事件是无限的,而且是等可能的,属于几何概型,求出满足sinx≥的区间长度,即可求得概率.解答:解:本题考查几何概型,其测度为长度∵sinx≥,x∈,∴x∈∴在区间上随机取一个数x,满足sinx≥的概率P=;故答案为:.点评:本题考查了几何概型的运用;关键是找到sinx≥,x∈,的x的范围,利用区间长度的比,得到所求概率.13.若点P(x,y)满足则点P(x,y)到坐标原点O的距离的最大值为.考点:简单线性规划.专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用.分析:由题意作出其平面区域,由图可知,P(x,y)与B重合时,取得最大值.解答:解:由题意作出其平面区域,则P(x,y)与B重合时,取得最大值,则P(2,1),则点P(x,y)到坐标原点O的距离的最大值为=,故答案为:.点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.14.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,∠DAB=60°,=3,则•的值是3.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:由,可得=+,=,进而由AB=8,AD=5,∠DAB=60°,利用向量数量积运算进而可得答案.解答:解:∵,∴=+,=,又∵AB=8,AD=5,∴•=(+)•()=﹣﹣=25﹣×8×5cos60°﹣=25﹣10﹣12=3.故答案为3.点评:本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据,可得=+,=,是解答的关键,属于中档题.15.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意m,n∈N*都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1)则(1)f(5,6)=26,(2)f(m,n)=2m﹣1+2(n﹣1).考点:进行简单的合情推理.专题:等差数列与等比数列;推理和证明.分析:根据条件可知{f(m,n)}是以1为首项,2为公差的等差数列,求出f(1,n),以及{f(m,1)}是以1为首项2为公比的等比数列,求出f(n,1)和f(m,n+1),从而求出所求.解答:解:∵f(m,n+1)=f(m,n)+2∴{f(m,n)}是以1为首项,2为公差的等差数列∴f(1,n)=2n﹣1又∵f(m+1,1)=2f(m,1)∴{f(m,1)}是以1为首项2为公比的等比数列,∴f(n,1)=2n﹣1∴f(m,n)=2m﹣1+2(n﹣1),但m=5,n=6时,f(5,6)=24+2×(6﹣1)=26,故答案为:26,2m﹣1+2(n﹣1)点评:本题主要考查了抽象函数及其应用,推出f(n,1)=2n﹣1,f(n,1)=2n﹣1,f(m,n+1)=2m﹣1+2n,是解答本题的关键,属中档题.三、解答题(本题共6小题,75分)16.已知△ABC的周长为+1,且sinA+sinB=sinC(I)求边AB的长;(Ⅱ)若△ABC的面积为sinC,求角C的度数.考点:正弦定理;余弦定理.专题:计算题.分析:(I)先由正弦定理把sinA+sinB=sinC转化成边的关系,进而根据三角形的周长两式相减即可求得AB.(2)由△ABC的面积根据面积公式求得BC•AC的值,进而求得AC2+BC2,代入余弦定理即可求得cosC的值,进而求得C.解答:解:(I)由题意及正弦定理,得AB+BC+AC=+1.BC+AC=AB,两式相减,得:AB=1.(Ⅱ)由△ABC的面积=BC•ACsinC=sinC,得BC•AC=,∴AC2+BC2=(AC+BC)2﹣2AC•BC=2﹣=,由余弦定理,得,所以C=60°.点评:本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识.此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握,并能运用它们灵活地进行边与角的转化,解三角形问题也是每年2015届高考的一个重点,但难度一般不大,是2015届高考的一个重要的得分点.17.某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名,25周岁以下的工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,并将两组工人的日平均生产件数分成5组:加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名,求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率.(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件作出2×2列联表,并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”?附表及公示P(K2≥k)0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=.考点:独立性检验的应用.专题:应用题;概率与统计.分析:(1)由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数,再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上、下组工人的人数分别为3,2,由古典概型的概率公式可得答案;(2)由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数,以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数,据此可得2×2列联表,可得k2≈1.79,由1.79<2.706,可得结论.解答:解:(1)由已知可得,样本中有25周岁以上组工人100×=60名,25周岁以下组工人100×=40名,所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3(人),25周岁以下组工人有40×0.05=2(人),故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种,其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种,故所求的概率为:;(2)由频率分布直方图可知:在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:生产能手非生产能手合计25周岁以上组15 45 6025周岁以下组15 25 40合计30 70 100所以可得K2=≈1.79,因为1.79<2.706,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.点评:本题考查独立性检验,涉及频率分布直方图,以及古典概型的概率公式,属中档题.18.如图,直三棱柱ABC﹣A C 1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D为AB的中点.(1)求证:BC1∥面A1DC;(2)若AA1=,求二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小.考点:与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)连接AC1,与AC1交于点E,连接ED,由已知得DE∥BC1,由此能证明BC1∥面A1DC.(2)由已知得∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角,由此能求出二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小.解答:(1)证明:连接AC1,与AC1交于点E,连接ED,则E为AC1的中点,又点D是AB中点,则DE∥BC1,而DE⊂平面A1DC,BC1不包含于面A1DC,∴BC1∥面A1DC.(2)解:∵二面角A1﹣CD﹣B的平面角与二面角A1﹣CD﹣A的平面角互补,又∵CD⊥AB,CD⊥AA1,∴CD⊥面ADA1,∴CD⊥A1D,∴∠A1DA为二面角A1﹣CD﹣A的平面角,在Rt△A1AD中,∵AA1==AD,∴∠A1DA=45°,∴二面角A1﹣CD﹣A的平面角的大小为45°,∴二面角A1﹣CD﹣B的平面角的大小为135°.点评:本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的平面角的大小的求法,解题时要注意空间思维能力的培养.19.已知数列.(1)若存在一个实数λ,使得数列为等差数列,请求出λ的值;(2)在(1)的条件下,求出数列{a n}的前n项和S n.考点:数列的求和;等差关系的确定.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)根据等差数列的定义建立条件关系即可求出λ的值;(2)根据等差数列的前n项和S n.即可求解.解答:解:(1)假设存在实数λ符合题意.则必为与n无关的常数,∵=,要使是与n无关的常数,则.故存在实数λ=﹣1.使得数列为等差数列.(2)由(1)可得,∴,∴,∴a n=(n+1)2n+1令b n=(n+1)2n且前n项和为T n,∴…①2T n=2×23+3×23+…+(n+1)×2n+1…②,①﹣②得﹣T n=4+22+23+…﹣(n+1)×2n+1=4+﹣2n+1(n+1)=4×2n﹣1﹣2n+1(n+1)=2n+1﹣(n+1)2n+1=﹣n•2n+1,∴T n=n2n+1.∴S n=n2n+1+n.点评:本题主要考查数列的递推公式,以及等差数列数,要求熟练掌握相应的通项公式和前n 项和公式,以及利用错位相减法求熟练的和,考查学生的计算能力.20.已知函数f(x)=x2+x+alnx(a∈R).(1)对a讨论f(x)的单调性;(2)若x=x0是f(x)的极值点,求证:f(x0)≤.考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.专题:导数的综合应用.分析:(1)对函数求导,利用导函数与函数单调性的关系即可求解.(2)利用条件x0是函数f(x)的极值点,确定a的数值,然后证明f(x0)≤.解答:解:(1)∵f(x)=x2+x+alnx,∴x>0,f′(x)=x+1+=.∴当a≥时,f'(x)≥0在定义域恒成立,∴f(x)在(0,+∞)单调递增;当a<时,f'(x)=0时,x=,≤0⇔a≥0,∴0≤a<时,f(x)在(0,+∞)单调递增;>0⇔a<0,∴a<0时,f(x)在(0,)单调递减,在(,+∞)单调递增.综上所述:当a≥0时,f(x)在(0,+∞)单调递增;当a<0时,f(x)在(0,)单调递减,在(,+∞)单调递增.(2)由(1)可知当a<0时,f(x)在(0,)单调递减,在(,+∞)单调递增.∴当x=时,函数f(x)有极小值,∴x0=>0,∴⇒a=﹣﹣x0,∴f(x0)=+x0+aln x0=+x0﹣(+x0)lnx0,记g(x)=x2+x﹣(x2+x)lnx,则g′(x)=﹣(2x+1)lnx,列表分析如下:x (0,1) 1 (1,+∞)g′(x)+ 0 ﹣g(x)增极大值减∴g(x)max=g(x)极大值=g(1)=,∴f(x0)≤.点评:本题的考点是利用导数研究函数的单调性,以及函数的极值问题.对于参数问题要注意进行分类讨论.21.已知椭圆=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b﹣c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于(a﹣c).(1)证明:椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c;(2)求椭圆的离心率e的取值范围;(3)设椭圆的短半轴长为1,圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆相交于A、B两点,若OA⊥OB,求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值.考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质;椭圆的应用.专题:计算题;证明题;压轴题.分析:(1)设椭圆上任一点Q的坐标为(x0,y0),根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义,求得x0的范围,进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离(2)可先表示出|PT|,进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,根据≥(a﹣c)求得e的范围.(3)设直线的方程为y=k(x﹣1),与抛物线方程联立方程组消去y得,根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2,代入直线方程求得y1y2,根据OA⊥OB,可知=0,∴k=a,直线的方程为ax﹣y﹣a=0根据圆心F2(c,0)到直线l的距离,进而求得答案.解答:解:(1)设椭圆上任一点Q的坐标为(x0,y0),Q点到右准线的距离为d=﹣x0,则由椭圆的第二定义知:=,∴|QF2|=a﹣,又﹣a≤x0≤a,∴当x0=a时,∴|QF2|min=a﹣c.(2)依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,∴≥(a﹣c),∴0<≤,从而解得≤e<,故离心率e的取值范围是解得≤e<,(3)依题意Q点的坐标为(1,0),则直线的方程为y=k(x﹣1),与抛物线方程联立方程组消去y得(a2k2+1)x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得,设A(x1,y1)(x2,y2),则有x1+x2=,x1x2=,代入直线方程得y1y2=,x1x2=+y1y2=,又OA⊥OB,∴=0,∴k=a,直线的方程为ax﹣y﹣a=0,圆心F2(c,0)到直线l的距离d=,∴≤e<•,∴≤c<1,≤2c+1<3,∴s∈(0,),所以弦长s的最大值为.点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.。

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题(含精品解析)

湖南师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题(含精品解析)

湖南师大附中2017—2018学年度高一第一学期第一次阶段性检测数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,集合,则集合( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】,所以,故选A.考点:集合的运算.2.在下列由M 到N 的对应中构成映射的是 ( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】选项A,集合M 中的元素3没有对应的项,不符合映射的定义;选项B,集合M 中的元素3,在集合N 中对应了两个值,不合题意; 选项C,集合M 中的元素,在集合N 中都有唯一确定的象,,符合题意; 选项D,集合M 中的元素a,在集合N 中对应了两个值,不合题意;故选C.3.下列各组函数中,表示相等函数的是( )A. 与B. 与C.与D.与【答案】C【解析】逐一考查所给的函数:A.的定义域为R,的定义域为,不是同一个函数;B.的定义域为R,的定义域为,不是同一个函数;C.与的定义域都是全体实数,对应法则一致,是同一个函数;D.的定义域为R,的定义域为,不是同一个函数;本题选择C选项.4.已知是上的奇函数,且当时,,则当时,的解析式是()A. B.C. D.【答案】D【解析】设,则,结合题意和奇函数的性质有:.本题选择D选项.5.已知函数则等于()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】结合分段函数的解析式可得:,则.本题选择A选项.点睛:(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.6.设集合,,如果,则的值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得直线与直线平行,则:,据此解方程有:.本题选择C选项.7.若函数(且)的图象不经过第一象限,则有()A.且 B. 且C.且 D. 且【答案】C【解析】函数图象不经过第一象限,则指数函数单调递减,即,且当时,,求解不等式可得:,综上可得:且.本题选择C选项.8.已知函数在上是增函数,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】当时,函数单调递增,则:,解得,指数函数单调递增,则,且当时,应该有,解得,则a的值范围是.本题选择D选项.点睛:对于分段函数的单调性,有两种基本的判断方法:一保证各段上同增(减)时,要注意上、下段间端点值间的大小关系;二是画出这个分段函数的图象,结合函数图象、性质进行直观的判断.研究函数问题离不开函数图象,函数图象反映了函数的所有性质,在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象,学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法.9.如图,在中,点,,点在射线上自开始移动,设,过作的垂线,记在直线左边部分的面积为,则函数的图象是()A. B.C. D.【答案】D【解析】当0⩽x⩽2时,△OEF的高,∴;当2<x⩽3时,△BEF的高EF=3−x,∴;当x>3时,.则:,结合函数的解析式可得函数图形如D选项所示.本题选择D选项.10.设是偶函数且在上是减函数,,则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】C【解析】原不等式等价于:或结合函数的性质可知函数在上是增函数,,绘制函数的大致图象如图所示,观察可得,不等式的解集为:.本题选择C选项.11.给定全集,非空集合满足,,且集合中的最大元素小于集合中的最小元素,则称为的一个有序子集对,若,则的有序子集对的个数为()A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】B【解析】时,的个数是时,B的个数是时,的个数是1,时,的个数是时,的个数是1,时,的个数是1,时,的个数是1,的有序子集对的个数为:17个,12.设函数的定义域为,若所有点构成一个正方形区域,则的值为( )A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】因为解:由题意可知:|x1-x2|=f max(x),,得到∴|a|=2,∴a=-4.故选B.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.函数的定义域为__________.【答案】【解析】函数有意义,则:,求解关于实数的不等式组可得:,则不等式的解集为:.14.下列关系正确的有__________.①;②;③;④.【答案】②④【详解】逐一考试所给的关系:①;②;③表示的集合为点集,所表示的集合是数集,题中的结论错误;④.综上可得:关系正确的有②④.15.已知集合,,且,求实数的取值范围.【答案】或.【解析】试题分析:由已知条件可知,,集合,若,则可知集合或或或,当时,方程无实根,则,解得,当或时,分别满足或,可知实数不存在,当时有,解得,综上所述,或.试题解析:∵,得,而,对于方程,∴当时,,解得当时,则,则当时,则,则当时,则,解得综上所述,或.考点:1、集合间的关系;2、一元二次方程根与系数关系.16.已知函数,若存在实数,(),使的定义域为时,值域为,则实数的取值范围是__________.【答案】由反比例函数的性质可知,函数单调递减,则原问题等价于函数在区间上存在实数满足:,则函数与函数有两个不相等的正实数根,即在区间上有两个零点,整理可得:,令,原问题转化为:,与二次函数在区间上有两个交点,绘制二次函数图象如图所示,观察可得,实数的取值范围是.点睛:二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题,解决的主要思路是等价转化,多用到数形结合思想与分类讨论思想.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.设全集为,集合,.(1)分别求,;(2)已知,若,求实数的取值范围构成的集合.【答案】(1),;(2).【解析】试题分析:(1)由两集合的相同元素构成两集合的交集,两集合所有的元素构成两集合的并集,由补集的概念知,的补集为全集中不在集合的元素构成的集合,可先求补集再求并集;(2)由,根据数轴,数形结合可得的边界与的边界值的大小关系,得到关于的不等式,解得的范围.试题解析:(1)(2)由题意集合,∴,∴,∴.考点:1.集合间的基本关系;2.集合间的基本运算.18.计算:(1);(2)已知,其中,求的值.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)根据分数指数幂的定义,及指数的运算性质,代入计算可得答案;(2)由可得,结,可得,代入可得答案.试题解析:(1)原式(2)∵,∴,∴,则,∵,∴,∴,又,∴,∴,19.已知.判断函数的奇偶性,并进行证明:解关于的不等式.【答案】(1)奇函数(2)【解析】试题分析:(1)函数的解析式满足,则为奇函数.(2)首先结合函数的解析式确定在上单调递增,据此脱去符号得到关于实数t 的不等式,求解不等式可得.试题解析:(1)函数为奇函数,以下为证明:,,∴为奇函数.(2),∵在上单调递增且恒大于0,∴在上单调递减,∴在上单调递增.∴,即,∴.点睛:对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).20.(2011•湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x•v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).【答案】(1)(2)3333辆/小时【解析】(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;当20<x≤200时,设v(x)=ax+b再由已知得,解得故函数v(x)的表达式为(2)依题并由(1)可得当0≤x<20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时,当且仅当x=200﹣x,即x=100时,等号成立.所以,当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值.综上所述,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值为,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为3333辆/小时.答:(1)函数v(x)的表达式(2)当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为3333辆/小时.21.已知(,).(1)请用定义证明,函数在上单调递减,在上单调递增;(2)(),对任意,,总有成立,求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)利用函数单调性的定义任取,,且,计算可得,则,即在上单调递增.(2)换元令,则原命题等价于对于恒成立.分类讨论,,,三种情况可得实数的取值范围为.试题解析:(1)任取,,且,则,当,时,,∴,即在上单调递增.(2)令,则,.令,,原命题等价于对于恒成立.①时,在上单调递增,在上单调递增,或为常数函数.∴此时在上单调递增,,,,解得(舍去).②时,由①可得在上单调递增,此时,解得,∴.③时,由①可得在上单调递减,在上单调递增.∵,∴,,,解得,∴.综上,的取值范围为.22.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件:(1)对任意的,总有;(2);(3)若,,且,则有成立,则称为“友谊函数”,请解答下列各题:(1)若已知为“友谊函数”,求的值;(2)函数在区间上是否为“友谊函数”?并给出理由.(3)已知为“友谊函数”,假定存在,使得且,求证:.【答案】(1)(2)是友谊函数(3)见解析.【解析】试题分析:(1)利用赋值法由得,再由得,所以(2)分别验证(1)由指数函数的性质在区间上的最小值为0,(2)直接带入验证易得(3)利用做差法直接比较(3)先利用单调性的定义证明抽象函数的单调性,然后再证明取得,又由,得(2)显然在上满足(1);(2).(3)若,,且,则有故满足条件(1)、(2)、(3),所以为友谊函数.(3)由(3)知任给其中,且有,不妨设所以:.下面证明:(i)若,则有或若,则,这与矛盾;(2)若,则,这与矛盾;综上所述:考点:函数的概念与性质.。

2018-2019学年湖南师范大学附属中学高一下学期第二次阶段性检测数学试题(含答案解析)

2018-2019学年湖南师范大学附属中学高一下学期第二次阶段性检测数学试题(含答案解析)

2018-2019学年湖南师范大学附属中学高一下学期第二次阶段性检测数学试题一、单选题1.若点()cos ,sin P θθ在直线20x y -=上,则tan 2θ=( ) A .45-B .43C .43-D .45【答案】C【解析】先由点在直线上,得到2cos sin 0θθ-=,根据弦化切,以及二倍角的正切公式,即可求出结果. 【详解】因为点()cos ,sin P θθ在直线20x y -=上, 所以2cos sin 0θθ-=,所以tan 2θ=, 因此22tan 44tan 21tan 143θθθ===---. 故选:C. 【点睛】本题主要考查求三角函数值,熟记二倍角公式,以及同角三角函数基本关系即可,属于基础题型.2.已知α是第二象限角,1sin cos 5αα=-,则cos sin αα-=( )A 35B .35C .355-35 D .75【答案】B【解析】先由题意,得到cos 0α<,sin 0α>,再由同角三角函数基本关系,即可求出结果. 【详解】因为α是第二象限角,所以cos 0α<,sin 0α>, 又1sin cos 5αα=-,所以()2235cos sin cos sin 12sin cos 15αααααα-=-=-=+=. 故选:B. 【点睛】本题主要考查三角函数化简求值的问题,熟记同角三角函数基本关系即可,属于基础题型.3.已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a A .100 B .99C .98D .97【答案】C【解析】试题分析:由已知,1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4.函数22cos sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为( )A .2πB .πC .2πD .4π 【答案】C【解析】先由二倍角公式将原式化简,得到sin 2y x =,再由sin 2y x =的最小正周期,即可得出结果. 【详解】因为22cos sin cos 2sin 2442y x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又sin 2y x =的最小正周期为22T ππ==,函数sin 2y x =的图像是将sin 2y x =图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方, 因此函数sin 2y x =的最小正周期为:2π.【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期,熟记二倍角的余弦公式,正弦型函数的周期,以及函数的翻折变换即可,属于基础题型.5.在△ABC 中,若AB u u u r 2BC -u u ur 2=AB AC ⋅u u u r u u u r ,则△ABC 是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形【答案】B【解析】由已知利用平面向量数量积的运算,余弦定理可求c 2=a 2+b 2,利用勾股定理即可判断得解. 【详解】解: 22C AB B AB AC -=⋅u u u v u u u v u u u v Q u u u v22cos c a bc A ∴-=,化简可得:222c a b =+,∴△ABC 是直角三角形. 故选B . 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算,余弦定理,勾股定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想.6.已知12,e e r r是两个单位向量,且夹角为3π,则12e te +r r 与12te e +r r 数量积的最小值为( )A .32-B .36-C .12D .33【答案】A【解析】通过数量积运算律,可将数量积化为211222t t ++,根据二次函数可求得最小值. 【详解】由题意:()()()222112122211te e te t e e t t e e e ⋅=++++⋅+r r r rrr r r()22221122111cos 2322t e t e e t e t t π=+++=++r r r r∴当2t =-时,最小值为:11344222⨯-+=-本题正确选项:A本题考查向量数量积的运算律,结合二次函数求得最值,关键是能通过运算律将问题转化为模长和夹角运算的问题,难度不大.7.如图,已知OAB V ,若点C 满足3AC CB =u u u r u u u r ,(),OC xOA yOB x y R =+∈u u ur u u u r u u u r ,则11x y+=( )A .14B .34C .316D .163【答案】D【解析】先由题意,根据平面向量的线性运算,得到1344OC OA OB =+uuu r uu r uu u r,结合题中条件,求出13,44x y ==,即可得出结果.【详解】因为3AC CB =u u u r u u u r,所以()333OC OA OB OC OB OC -=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 即1344OC OA OB =+uuu r uu r uu u r ,又(),OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ,所以13,44x y ==,所以11416433x y +=+=. 故选:D. 【点睛】本题主要考查利用平面向量基本定理求参数,熟记平面向量基本定理即可,属于常考题型.8.将函数cos()3y x π=-的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图象的一条对称轴是( ) A .4x π=B .6x π=C .x π=D .2x π=【解析】将函数3y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的解析式为:123y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,再向左平移6π个单位得到函数为11cos 26324y cos x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令124x k ππ-=,解得22x k ππ=+ 故函数的对称轴为22x k k Z ππ=+∈,结合选项可得函数图象的一条对称轴为2x π=故选D点睛:这是一道关于三角函数对称轴以及三角函数平移的题目, 解答本题的关键是掌握三角函数的平移规律.由函数3y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得123y cos x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,向左平移6π个单位可得1cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,再由余弦函数的对称性即可解答.9.已知3sin 2252πααπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭,()1tan 2αβ-=-,则()tan αβ+等于( )A .-2B .-1C .211-D .211【答案】C【解析】先由同角三角函数基本关系求出tan2α,再由两角差的正切公式,根据()()tan tan 2αβααβ+=--⎡⎤⎣⎦,即可求出结果.【详解】因为3sin 2252πααπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭,所以234cos 2155α⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,因此3tan 24α=-,又()1tan 2αβ-=-,所以()()()()31tan 2tan 242tan tan 2311tan 2tan 11142ααβαβααβααβ-+--+=--===-⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅. 故选:C. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题,熟记两角差的正切公式,以及同角三角函数基本关系即可,属于常考题型.10.已知{}n a 为无穷等比数列,且公比1q >,记n S 为{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .21a a > B .120a a +> C .{}2na 是递增数列D .n S 存在最小值【答案】C【解析】根据题意,由等比数列的首项正负不确定,结合等比数列的求和公式与通项公式,逐项判断,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为无穷等比数列,且公比1q >,但首项的正负不确定, 所以21a a q =与1a 的大小关系不能确定,()1211a a a q +=+也不一定大于0, 故A 、B 选项错误; C 选项,()12221n n a a q -=,所以数列{}2na 是首项为210a>,公比为2q 的等比数列,所以()()()()11222222222111110nn n n n a a a q a q a q q--+-=-=->,因此数列{}2n a 是递增数列;故C 正确;D 选项,因为n S 为{}n a 的前n 项和,所以111n n nn S a S a q ++-==,因为首项的正负不确定,所以n S 的增减性不确定,故n S 不一定存在最小值;即D 选项错误. 故选:C. 【点睛】本题主要考查等比数列的相关判断,熟记等比数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型.11.已知ABC V 中,a 、b 分别是角A 、B 所对的边,且()0a x x =>,4b =,60A =︒,若三角形有两解,则x 的取值范围是( )A .23x >B .234x ≤≤C .34x <<D .234x <≤【答案】C【解析】根据题中条件,先由正弦定理,得到3sin B x=,为使三角形有两解,只需3sin sin 1A B x<=<且a b <,即可求出结果. 【详解】因为ABC V 中,a 、b 分别是角A 、B 所对的边,且()0a x x =>,4b =,60A =︒,由正弦定理可得:sin sin a b A B =4sin 3B =,所以3sin B x=, 又三角形有两解, 所以23sin sin 1A B x<=<且a b <, 因此234x <<. 故选:C. 【点睛】本题主要考查由三角形解的个数求参数的问题,熟记正弦定理即可,属于常考题型.12.已知O 为ABC V 的外心,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若CO AB BO CA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则222a b c +的值是( ) A .13B .12C .1D .2【答案】B【解析】分别取AB ,AC ,BC 中点为D ,E ,F ,连接OD ,OE ,OF ,根据向量数量积的几何意义,得到221122CO CA CA b ⋅==u u u r u u u r u u u r ,221122CO CB CB a ⋅==u u u r u u u r u u u r ,221122BO BA BA c ⋅==u u u r u u u r u u u r ,221122BO BC BC a ⋅==u u u r u u u r u u u r ,再由CO AB BO CA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 推出2221122a b c =+,即可得出结果.【详解】分别取AB ,AC ,BC 中点为D ,E ,F ,连接OD ,OE ,OF , 则⊥OD AB ,OE AC ⊥,OF BC ⊥,所以221122CO CA CA b ⋅==u u u r u u u r u u u r ,221122CO CB CB a ⋅==u u u r u u u r u u u r ,221122BO BA BA c ⋅==u u u r u u u r u u u r ,221122BO BC BC a ⋅==u u u r u u u r u u u r ,又CO AB BO CA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以()()CO CB CA BO BA BC ⋅-=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,即CO CB CO CA BO BA BO BC ⋅-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,因此222211112222a b c a -=-,即2221122a b c =+, 所以22212a b c =+. 故选:B.【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用,熟记平面向量数量积的几何意义即可,属于常考题型.二、填空题13.化简()()12sin 6cos 6ππ-++______. 【答案】cos6sin 6-【解析】根据诱导公式与同角三角函数基本关系,直接化简,即可得出结果. 【详解】()()212sin 6cos 612sin 6cos6(sin 6cos6)cos6sin 6ππ-++=-=-=-.因为3622ππ<<,所以cos60>,sin60<,因此cos6sin60->; 所以原式等于cos6sin 6-. 故答案为:cos6sin 6-.本题主要考查三角函数的化简问题,熟记诱导公式与同角三角函数基本关系即可,属于基础题型.14.函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的解析式为______.【答案】()2sin 2g x x =【解析】先由函数图像,确定A 和周期,得到()()2sin 2f x x ϕ=+,再由23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ,确定()f x 的解析式,最后根据函数的平移,即可得出结果. 【详解】由图像可得:2A =,2236T ππππω⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭,则2ω=, 所以()()2sin 2f x x ϕ=+,又23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即22sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,所以22,32k k Z ππϕπ+=+∈, 即2,6k k Z πϕπ=-+∈,因为2πϕ<,所以6πϕ=-,故()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 因为将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象,所以()2sin 22sin 2126g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为:()2sin 2g x x =.本题主要考查由三角函数的图像确定函数的解析式,以及求平移后的函数解析式,熟记正弦型三角函数的性质,以及三角函数的平移原则即可,属于常考题型. 15.已知函数()1f x x x=+,则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+11134201912f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭______. 【答案】40372【解析】先由()1f x xx=+得()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,进而可求出结果. 【详解】因为()1f x x x =+,所以111111x f x xx⎛⎫== ⎪+⎝⎭+,因此()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭; 所以()()()()111341123201201992f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+++⋅⋅⋅+++⎝⎝⎭⎭⎪ ()()()()1111232019232019f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+++++⋅⋅⋅++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎦⎣⎦⎣⎝⎭⎝⎦⎭ ()11140372018220182222f f ⎡⎤⎛⎫=+⨯+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为:40372. 【点睛】本题主要考查求函数值的和,熟记函数的概念,灵活运用分组求和的方法即可,属于常考题型.16.对于数列{}n a ,定义1123242n nn a a a a T n-+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“好数”,已知某数列{}n a 的“好数”为12n n T +=,记数列{}n a pn -的前n 项和为n S ,若8n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立,则实数p 的取值范围为______.【答案】20994p ≤≤ 【解析】先由题意,得到111232422n n n a a a n a +-+++⋅⋅⋅+=⋅,求出n a ,再由等差数列的性质,得到关于p 的不等式,求解,即可得出结果. 【详解】由题意,111232422n n nn a a a a T n -++++⋅⋅⋅+==,即111232422n n n a a a n a +-+++⋅⋅⋅+=⋅①,当1n =时,14a =;当2n ≥时,21231(142)22n n na a n a a --+++=-⋅⋅⋅⋅+②,①-②得112(1)21)22(n n n n n n n n a +-=⋅--⋅=+⋅,所以22(2)n n a n =+≥,显然14a =也满足22n a n =+,所以*22()n n n N a =+∈,因此()22n a pn p n -=-+,即数列{}n a pn -是以4p -为首项,以2p -为公差的等差数列,又8n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立, 所以8900a a ≥⎧⎨≤⎩ ,即18802090p p -≥⎧⎨-≤⎩,解得:20994p ≤≤. 故答案为:20994p ≤≤. 【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用,熟记等差数列的通项公式,以及等差数列的性质即可,属于常考题型.三、解答题17.已知在ABC V 中,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若2228a b c +=+,3C π=.(1)求ABC V 的面积;(2)若23c =,求sin sin A B +的值. 【答案】(1)23(2)32. 【解析】(1)根据余弦定理,由题中条件,得到8ab =;再由三角形面积公式,即可得出结果;(2)先由正弦定理,得到sin 4a A =,sin 4bB =,再由题中条件,求出6a b +=,即可得出结果. 【详解】(1)因为在ABC V 中,2228a b c +=+,3C π=,所以由余弦定理可得:22222cos 82cos3ab C ab c a b c π=-=++-,所以8ab =;因此ABC V 的面积为113sin 82322ABC S ab C V ==创= (2)因为23c =,所以由正弦定理可得:234sin sin sin 3a b c A B C ====, 所以sin 4a A =,sin 4b B =, 由2228208a b c ab ⎧+=+=⎨=⎩得()222236a b a b ab +=++=, 所以6a b +=,因此3sin sin 42a b A B ++==. 【点睛】本题主要考查解三角形,熟记正弦定理与余弦定理即可,属于常考题型.18.在数列{}n a 中,12a =,1122n n n a a ++=+,设2nn na b =. (1)证明:数列{}n b 是等差数列并求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和.【答案】(1)证明过程见详解;2n n a n =⋅;(2)1(1)22n n ++⋅-.【解析】(1)根据题意,计算11n n b b +-=,根据等差数列的定义,即可得出结论成立;进而可求出n b n =,从而得出{}n a 的通项公式;(2)先记数列{}n a 的前n 项和为n T ,根据错位相减法,即可求出结果. 【详解】(1)因为1122n n n a a ++=+,2nn na b =, 所以111112212222n n nn n n n n n n n a a a a b b +++++-=-=-=+,所以数列{}n b 是公差为1的等差数列; 又12a =,所以11112a b ==,因此n b n =,即2n n a n =⋅; (2)记数列{}n a 的前n 项和为n T ,则21212222nn n T a a a n =++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅①所以231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅②①-②得2112(12)2222212n n nn n n n T ++-=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅--1112222(1)2n n n n n +++=--⋅=-+⋅所以1(1)22n n T n +=+⋅-.【点睛】本题主要考查由递推关系证明等差数列,以及求数列的通项与数列的求和问题,熟记等差数列概念,通项公式,等比数列的求和公式,以及错位相减法求数列的和即可,属于常考题型.19.ABC V 中,记角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ,已知a 、b 、c 依次成等比数列且2a 、2b 、2c 依次成等差数列. (1)求B 的大小;(2)若a c b λ+=,求λ的取值范围. 【答案】(1)3π;(2)2. 【解析】(1)根据题中条件,由余弦定理,得到1cos 2B =,即可得出结果; (2)根据题中条件,得到22(4)a c b =+,求得2a c b +=,即可得出结果.【详解】(1)因为在ABC V 中,a 、b 、c 依次成等比数列且2a 、2b 、2c 依次成等差数列,所以22222b ac b a c ⎧=⎨=+⎩, 由余弦定理可得,222221cos 222a b b B ac b c =-=+=,所以3B π=;(2)由(1)知22222b ac b a c⎧=⎨=+⎩,所以22224c ac a b ++=, 因此22(4)a c b =+,所以2a c b +=, 又a c b λ+=,所以2λ=. 【点睛】本题主要考查解三角形,熟记余弦定理即可,属于常考题型.20.已知函数()22sin 3214x f x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,x ∈R .(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)在ABC V 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且满足()2cos cos a c B b C -=,若方程()1f A m +=恰有两个不同的解,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;(2)13m <<. 【解析】(1)先将函数解析式化简整理,得到()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,根据222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求解,即可得出结果;(2)先由题意,根据正弦定理,得到3B π=,求出2,33A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,令2,33t A πππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭,画出()2sin f t t =在,3t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的大致图像,将方程()1f A m +=恰有两个不同的解,转化为()y f t =与1y m =-有两不同交点,结合函数图像,即可得出结果. 【详解】(1)因为()22sin 32132co 2s 24x x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2322sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;(2)因为()2cos cos a c B b C -=,所以()2sin sin cos sin cos A C B B C -=, 即2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A =+=+=,所以1cos 2B =, 故3B π=,所以20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因此2,33A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以3sin 2,13A π⎛⎤⎛⎫-∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,令2,33t A πππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭,则()2sin f t t =, 作出函数()2sin f t t =在,3t ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的大致图像如下, 因为方程()1f A m +=恰有两个不同的解,则()y f A =与1y m =-有两不同交点, 即()y f t =与1y m =-有两不同交点, 由图像可得,只需012m <-<,即13m <<.【点睛】本题主要考查求正弦型三角函数的单调区间,以及根据方程根的个数求参数的问题,熟记辅助角公式,正弦函数的单调区间,正弦定理等,灵活运用数形结合的方法求解即可,属于常考题型.21.如图所示,在xOy 平面上,点()1,0A ,点B 在单位圆上且()0AOB ααπ∠=<<.(1)若点34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求tan 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (2)若OA OB OC +=u u u r u u u ru u u r,四边形OACB 的面积用S 表示,求S OA OC +⋅u u u r u u u r的最大值. 【答案】(1)1731;(2)12+【解析】(1)先由三角函数的定义,得到4tan 3α=-,根据二倍角公式,以及两角差的正切公式,即可求出结果;(2)先由三角形面积公式,得到2sin AOB S S α==V ,再由向量数量积的运算,得到1cos OA OC α⋅=+u u u r u u u r ,进而得到124S OA OC πα⎛⎫+⋅=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,根据正弦函数的性质,即可得出结果. 【详解】(1)因为34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,由三角函数的定义可得:445tan 335α==--,所以282tan 243tan 2161tan 719ααα-===--, 因此241tan 2tan1774tan 2244311tan 2tan 147παπαπα--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭+⋅+; (2)由题意,2sin sin AOB S S OA OB AOB α==⋅∠=V ,()21cos 1cos OA OC OA OA OB OA OA OB OA OB αα⋅=⋅+=+⋅=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,因此sin 1cos 124S OA OC πααα⎛⎫++=+⎪⎝⎭+⋅ =u u u r u u u r ,因为0απ<<,所以5444ππαπ<+<, 因此当42ππα+=,即4πα=时,sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1,即124S OA OC πα⎛⎫++⋅=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 的最大值为12+【点睛】本题主要考查由两角差的正切公式求三角函数值,以及三角函数性质的应用,熟记两角差的正切公式,二倍角的正切公式,三角函数的定义,正弦函数的性质等即可,属于常考题型.22.已知数列{}n a 满足2112n n n a a a +=+,*n N ∈. (1)若120a -<<,证明:10n n a a +<<;(2)若10a >,记12111222n n S a a a =++⋅⋅⋅++++,问:是否存在常数M ,使得n S M <对*n N ∈均成立.【答案】(1)证明过程见详解;(2)存在常数11M a ≥,使得n S M <对*n N ∈均成立. 【解析】(1)根据数学归纳法证明20n a -<<,即可得出结论成立;(2)先由(1)的方法,得到0n a >恒成立;根据题中条件,用裂项的方法得到11112n n n a a a +=-+,求出1111n n S a a +=-,即可得出结果.【详解】(1)先用数学归纳法证明20n a -<<如下: 当1n =时,因为120a -<<显然成立;假设()2n k k =≥时,20n a -<<成立;则022k a <+<,1102k a -<<, 所以()()211122,022k k k k k a a a a a +=+=+∈-也成立; 即1n k =+时,也满足20n a -<<成立; 综上,20n a -<<对任意*n N ∈恒成立; 所以()21112022n n n n n a a a a a +=+=+<显然成立; 21102n n n a a a +-=>也成立,即1n n a a +>,因此10n n a a +<<;(2)由10a >,同(1)可得:0n a >恒成立; 因为()2111222n n n n n a a a a a +=+=+, 所以()1121122n n n n n a a a a a +==-++,即11112n n n a a a +=-+, 所以1212123111111111222nn n n S a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭⎭111111n a a a +=<-, 为使n S M <对*n N ∈均成立,只需11M a ≥即可. 即存在常数11M a ≥,使得n S M <对*n N ∈均成立. 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用,以及数列的求和,熟记数学归纳法的一般步骤,以及裂项相消法求数列的和即可,属于常考题型.。

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2017-2018学年湖南师范大学附属中学高一上学期第二次阶段性检测数学试题一、单选题1.已知直线的倾斜角为45︒,在y 轴上的截距为2,则此直线方程为( ) A. 2y x =-+ B. 2y x =- C. 2y x =+ D. 2y x =-- 【答案】C【解析】直线的倾斜角为45︒,所以直线的斜率为1,又在y 轴上的截距为2,即过点()0,2所以直线方程为2y x =+故选C 2.利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,得到下列结论,其中正确的是( ) A .正三角形的直观图仍然是正三角形 B .平行四边形的直观图一定是平行四边形 C .正方形的直观图是正方形 D .圆的直观图是圆 【答案】B【解析】试题分析:用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,平行关系不变,所以平行四边形的直观图一定是平行四边形,故选B. 【考点】斜二测画法. 3.设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】C 【解析】若,,则或,即选项A 错误;若,则或,即选项B 错误;若,则平行或垂直或相交,即选项D 错误;故选C.4.已知函数()()3log (0){ 210x x x f x x ->=+≤,则()21(1log 3f f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是( )A. 6B. 5C. 72D. 53【答案】A【解析】()()2(1log 1f f f ==()21log 03210212log 213143f f -⎛⎫=+==+=+= ⎪⎝⎭,,则()21(1?log 3f f f⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是6故选A5.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是 ( )A.16π B.8π C.16πD.8π【答案】D【解析】解:根据三视图可知该几何体是半个圆锥躺放在平面上,可知底面半径为2,高为6,这样可以得到该几何体的表面积为8π6.若直线:l y kx =30x y +-=相交,且交点在第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A. ()0,60︒︒B. ()30,60︒︒C. ()30,90︒︒D. ()60,90︒︒ 【答案】C【解析】联立两直线方程得:{30y kx x y =+-= 解得:,所以两直线的交点坐标为⎝⎭因为两直线的交点在第一象限,所以得到301 0k >+>解得k >所以直线l 的倾斜角的取值范围是()30,90︒︒ 故选C7.若实数,x y 满足1ln0x y-=,则y 关于x 的函数的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】把1ln 0x y -= 变形得()()01{ 0xx xe x y e x e -≥⎛⎫== ⎪<⎝⎭选B 故8.已知某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为( )A. 12πB. 4πC. 3πD. π 【答案】C【解析】因为正视图,侧视图和俯视图都是边长为1的正方形,将三棱锥A BCD -按如图所示放在正方体中,则其外接球的直径等于正方体的对角线长,因为正方体的棱长为1,则其对角线长为所以表面积243S ππ==⎝⎭故选C9.已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足:对任意正实数,a b ,都有()()()2f a b f a f b =+-,且当1x >时恒有()2f x <,则下列结论正确的是( )A. ()f x 在()0,+∞上是减函数B. ()f x 在()0,+∞上是增函数C. ()f x 在()0,1上是减函数,在()1,+∞上是增函数D. ()f x 在()0,1上是增函数,在()1,+∞上是减函数 【答案】A 【解析】设120,x x >> 则121,x x > 从而()()()1112222220,x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()12f x f x < 所以()f x 在()0,+∞上是减函数故选A点睛:本题考查抽象函数及运用,考查函数的单调性的定义,注意条件的运用和理解,属于中档题.10.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A , B , C , D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( ). A. 90︒ B. 60︒ C. 45︒ D. 30︒ 【答案】C【解析】如图,当平面BAC ⊥平面DAC 时,三棱锥体积最大 取AC 的中点E ,则BE ⊥平面DAC , 故直线BD 和平面ABC 所成的角为∠DBEBE cos DBE BD ∠==, ∴∠DBE =45. 故选C.11.如下图,动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上.过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于M N 、.设,BP x MN y ==,则函数()y f x =的图象大致是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方体的棱长为1 ,显然,当P 移动到对角线1BD 的中点O 时,=y MN AC = 取得唯一最大值,所以排除,A C ;当P 在BO 上时,分别过,,M N P 作底面的垂线,垂足分别为111,,M N P ,则111122?cos y MN M N BP x D BD ====∠= ,故选B. 12.若函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象和直线y x =无交点,给出下列结论: ①方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根;②若0a <,则必存在实数0x ,使()00f f x x ⎡⎤>⎣⎦;③若0a b c ++=,则不等式()f f x x ⎡⎤<⎣⎦对一切实数x 都成立; ④函数()2g x ax bx c =-+的图象与直线y x =-也一定没有交点.其中正确的结论个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C【解析】因为函数f (x )的图象与直线y=x 没有交点,所以f (x )>x (a >0)或f (x )<x (a <0)恒成立.因为f[f (x )]>f (x )>x 或f[f (x )]<f (x )<x 恒成立,所以f[f (x )]=x 没有实数根;故①正确;若a <0,则不等式f[f (x )]<x 对一切实数x 都成立,所以不存在x 0,使f[f (x 0)]>x 0;故②错误;若a+b+c=0,则f (1)=0<1,可得a <0,因此不等式f[f (x )]<x 对一切实数x 都成立;故③正确;易见函数g (x )=f (-x ),与f (x )的图象关于y 轴对称,所以g (x )和直线y=-x 也一定没有交点. 故④正确;故选C .点睛:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,其中根据已知得到f (x )>x (a >0)或f (x )<x (a <0)恒成立是解答本题的关键.二、填空题13.无论m 为何值,直线():1740l m x y m +---=恒过一定点P ,则点P 的坐标为__________. 【答案】()7,3 【解析】直线():1740l m x y m +---=即()70740{7,340x m x x y x y x y -=-+--=∴∴==--=故点P 的坐标为()7,314.如图,长方体1111ABCD A B C D -中, 12AA AB ==, 1AD =,点E , F ,G 分别是1DD , AB , 1CC 的中点,则异面直线1A E 与GF 所成的角是________________.【答案】90【解析】连接11,B G B F ,由于11//A E B G ,所以1B GF ∠即为所求,11B F BG GF ==190B GF ∠=. 15.已知函数()·,0{ ,0x a e x f x lnx x ≤=->,其中e 为自然对数的底数,若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根,则实数a 的取值范围是__________.【答案】()(),00,1-∞⋃ 【解析】当a=0时,f (x )=0,0{ ,0x lnx x ≤->此时对任意x≤0,都是方程f (f (x ))=0的实数根, 故不成立;当a <0时,函数f (x )=,0{ ,0x a e x lnx x ⋅≤->的图象如下,由f (f (x ))=0得,f (x )=1; f (x )=1有且只有一个解, 故成立;当a >0时,函数f (x )=,0{ ,0x a e x lnx x ⋅≤->的图象如下,根据函数的图象可判断f (x )的零点为:1. 由f (f (x ))=0得,f (x )=1;若使f (x )=1有且只有一个实数解, 根据图象可判断:0<a <1, 故答案为(-∞,0)∪(0,1).16.对定义在区间D 上的函数()f x ,若存在常数0k >,使对任意的x D ∈,都有()()f x k f x +>成立,则称()f x 为区间D 上的“k 阶增函数”.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥ , ()22f x x a a =--.若()f x 为R 上的“4阶增函数”,则实数a 的取值范围是__________.【答案】()1,1-【解析】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,则当x <0时,f (x )=-f (-x )=-|x+a 2|+a 2所以函数的最大零点为2a 2,最小零点为-2a 2,函数y=f (x+4)的最大零点为2a 2-4,因为f (x )=|x-a 2|-a 2.若f (x )为R 上的“4阶增函数”,所以对任意x ∈R 恒成立,即函数y=f (x+4)图象在函数y=f (x )的图象的上方,即有2a 2-4<-2a 2,所以a 取值范围为(-1,1). 故答案为()1,1-点睛:本题属于信息给予题,准确理解“k 阶增函数”概念是解题关键,考查了利用奇偶性求解析式,考查了转化思想,属于中档题.三、解答题 17.已知直线.(1)若,求实数的值;(2)当时,求直线与之间的距离.【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)由两直线垂直可知两直线斜率之积为-1,或一条斜率为0,另一条斜率不存在;(2)由两直线平行可知斜率相等,由此求得a 值,通过两直线的系数可求得直线间的距离试题解析:(1)由知,解得; (4)(2)当时,有解得, (8),即,距离为. (10)【考点】两直线平行垂直的判定及直线间的距离18.一只小船以10/m s 的速度由南向北匀速驶过湖面,在离湖面高20米的桥上,一辆汽车由西向东以20/m s 的速度前进(如图),现在小船在水平面上的P 点以南的40米处,汽车在桥上Q 点以西的30米处(其中PQ ⊥水平面),请画出合适的空间图形并求小船与汽车间的最短距离.(不考虑汽车与小船本身的大小).【答案】2t =时AB 最短,最短距离为30m .【解析】试题分析:设经过时间t 汽车在A 点,船在B 点(如图),则3020AQ t =-, 4010BP t =-, 20PQ =,且有AQ BP ⊥, PQ AQ ⊥,PQ PB ⊥.设小船所在平面为,,AQ QP α确定的平面为β,记l αβ⋂=,由//,A Q A Q αβ⊂得//AQ l .又PQ ⊥水平面,即PQ α⊥.作//AC PQ ,则AC α⊥.连接CB ,则A C C B ⊥.再由AQ BP ⊥, //CP AQ 得CP BP ⊥,利用勾股定理得出222AB AC BC =+()2222100529PQ PB PC t ⎡⎤=++=-+⎣⎦,即可得出AB 最短距离.试题解析:设经过时间t 汽车在A 点,船在B 点(如图),则3020AQ t =-, 4010BP t =-, 20PQ =, 且有AQ BP ⊥, PQ AQ ⊥, PQ PB ⊥.设小船所在平面为,,AQ QP α确定的平面为β,记l αβ⋂=, 由//,AQ AQ αβ⊂得//AQ l . 又PQ ⊥水平面,即PQ α⊥.作//AC PQ ,则AC α⊥.连接CB ,则AC CB ⊥. 再由AQ BP ⊥, //CP AQ 得CP BP ⊥,所以222A B A C B C =+222PQ PB PC =++ ()()2222040103020t t =+-+- ()2100529t ⎡⎤=-+⎣⎦,所以2t =时AB 最短,最短距离为30m .19.如图,已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等,且侧棱垂直于底面,由B 沿棱柱侧面经过棱1CC 到点1A 的最短路线长为1CC 的交点为D .(1)求三棱柱111ABC A B C -的体积; (2)证明:平面1A BD ⊥平面11A ABB .【答案】(1)(2)详见解析【解析】试题分析:(1)由题意求出棱长,再求出三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面面积,再求出高AA 1,即可求出棱柱的体积.(2)连接AD ,B 1D ,平面A 1BD 内的直线OD 垂直平面A 1ABB 1内的两条相交直线A 1B ,AB 1,即可证明平面A 1BD ⊥平面A 1ABB 1. 试题解析:(1)如图,将侧面11BB C C 绕棱1CC 旋转120使其与侧面11AAC C 在同一平面上,点B 运动到点2B 的位置,连接12A B ,则12A B 就是由点B 沿棱柱侧面经过棱1CC 到点1A 的最短路线.设棱柱的棱长为a ,则21B C AC AA a ===, ∵1//CD AA ,∴D 为1CC 的中点,在12Rt A AB ∆中,由勾股定理得2221212A A AB A B +=,即(2224a a +=解得2a =,∵22ABC S ∆==∴1111ABC A B C ABC V S AA -∆=⋅=(2)设1A B 与1AB 的交点为O ,连结1OD AD B D 、、, ∵11Rt AC D Rt BCD Rt ACD ∆∆∆≌≌,∴11A D BD B D AD ===,∴11,OD A B OD AB ⊥⊥, ∵11A B AB O ⋂=,∴OD ⊥平面11A ABB .又∵OD ⊂平面1A BD ,∴平面1A BD ⊥平面11A ABB .20.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时, ()2f x x =.(1)求()f x 的函数解析式;(2)若对任意的[]1,2x a a ∈-+,不等式()()3f x f x a ≤+恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)()22,0{ ,0x x f x x x ≥=-<(2))2,⎡+∞⎣ 【解析】试题分析:(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以当0x <时, 0x ->, ()()2f x f x x =--=-,又()00f =,所以可得()f x 的函数解析式(2)当0x >时,()2f x x =,()f x 在()0,+∞上是增函数,因为()f x 是定义在R 上的奇函数, ()f x在R 上是增函数,所以()())()3f x f x a f f x a ≤+⇔≤+ x a ⇔≤+恒成立, )1a x ≥恒成立,求函数)1y x =在[]1,2a a -+上的最大值即可得实数a 的取值范围. 试题解析:(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以当0x <时, 0x ->,()()2f x f x x =--=-,又()00f =,所以()f x 的函数解析式为()22,0{ ,0x x f x x x ≥=-<.(2)当0x >时, ()2f x x =, ()f x 在()0,+∞上是增函数,因为()f x 是定义在R上的奇函数,()f x 在R 上是增函数,所以()()3f x f x a ≤+)()ff x a ⇔≤+ x a ⇔≤+恒成立, )1a x ≥恒成立,由于函数)1y x =在[]1,2a a -+上单调递增,所以)()12a a ≥+,即2a ≥,即)2,a ⎡∈+∞⎣21.如图(甲),在直角梯形ABED 中, //AB DE , AB BE ⊥, AB CD ⊥,且BC CD =, 2AB =, F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点,现将ACD ∆沿CD 折起,使平面ACD ⊥平面CBED ,如图(乙).(1)求证:平面//FHG 平面ABE ; (2)若43BC =,求二面角D AB C --的余弦值.【答案】(1)详见解析(2)【解析】试题分析:(1)欲证平面FHG ∥平面ABE ,只需证明线面平行,故只需要在平面FHG中寻找两条相交直线与平面平行;(2)43BC=这时23AC=,从而3AB==,过点C作CM AB⊥于M,连结MD.因为,,CD AC CD BC AC BC C⊥⊥⋂=,所以CD⊥面ABC.因为CM⊂面ABC,所以CM CD⊥,所以AB⊥面MCD,因为MD⊂面MCD,所以AB MD⊥,所以CMD∠是二面角D AB C--的平面角,由AB CM AC BC⋅=⋅得CM,得MD=所以在Rt MCD∆中cosMCCMDMD∠=即可得解.试题解析:(1)证明:由图(甲)结合已知条件知四边形CBED为正方形,如图(乙),∵F H G、、分别为AC AD DE、、的中点,∴//,//FH CD HG AE.∵//CD BE,∴//FH BE.∵BE⊂面ABE,FH⊄面ABE.∴//FH面ABE.同理可得//HG面ABE,又∵FH HG H⋂=,∴平面//FHG平面ABE.(2)43BC=这时23AC=,从而3AB==,过点C作CM AB⊥于M,连结MD.∵,,CD AC CD BC AC BC C⊥⊥⋂=,∴CD⊥面ABC.∵CM⊂面ABC,∴CM CD⊥,∴AB⊥面MCD,∵MD⊂面MCD,∴AB MD⊥,∴CMD∠是二面角D AB C--的平面角,由AB CM AC BC⋅=⋅得2415AC BCCMAB⨯⋅===,∴MD==,在Rt MCD∆中cos6MCCMDMD∠===.点睛:本题考查面面平行的判定定理,考查用定义求二面角,考查了线面垂直的判定定理,注意证明过程的严谨性,计算的准确性,属于中档题. 22.已知函数()1log 1af x x =-, ()log a g x x = (0a >且1)a ≠. (1)当2a =时,设集合(){|0}A x f x =≥,求集合A ;(2)在(1)的条件下,若()()(){}2B x g x b g bx g =++,且满足A B ⊆,求实数b 的取值范围;(3)若对任意的[]13,5x ∈,存在[]2,1x a a ∈+,使不等式()()12f x g x >恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1) {|12}A x x =<≤ (2) 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭(3) 实数a 的取值范围为()0,1. 【解析】试题分析:(1)由2a =时,由()0f x ≥得21log 01x ≥-,解对数不等式即得A (2)由()()()2g x b g b x g+>+得()()222log log log 2x b bx +>+,所以()()22log log 2x b bx +>, A B ⊆可转化为: 2{0 20x b bxx b bx +>+>>在(]1,2x ∈上恒成立,解得实数b 的取值范围(3)对任意的[]13,5x ∈,存在[]2,1x a a ∈+,使不等式()()12f x g x >恒成立,等价于[]13,5x ∈, []2,1x a a ∈+时, ()()min min f t g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦,分情况进行讨论即可得解.试题解析:(1)由2a =时,由()0f x ≥得21log 01x ≥-,即111x ≥-,解得12x <≤,所以{|12}A x x =<≤.(2)由()()()2g x b g b x g +>+得()()222log log log 2x b bx +>+,所以()()22log log 2x b bx +>, A B ⊆可转化为: 2{0 20x b bxx b bx +>+>>在(]1,2x ∈上恒成立,解得实数b 的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.(3)对任意的[]13,5x ∈,存在[]2,1x a a ∈+,使不等式()()12f x g x >恒成立,等价于[]13,5x ∈, []2,1x a a ∈+时, ()()min min f t g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦.当1a >时,由复合函数的单调性可知()1log 1af x x =-为[]3,5上的减函数, ()log a g x x =为[],1a a +上的增函数, ()()min min f t g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦等价于()()5f g a >,即1log log 4aa a >,解得a ∈∅; 当01a <<时, ()1log 1a f x x =-为[]3,5上的增函数, ()log a g x x =为[],1a a +上的减函数, ()()min minf tg x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦等价于()()31f g a >+,即()1l o g l o g 12a a a >+,解得01a <<.综上,实数a 的取值范围为()0,1.点睛:本题考查了对数函数的运算性质,对数函数单调性的应用,考查了分类讨论的思想,考查了双变量不等式恒成立问题的转化,属于中档题.。

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