网格内的旋转作图
北师大版八年级下册数学 第三章 图形的平移与旋转 简单的图案设计
探究新知
方法总结 图案形成过程的分析方法
解这类题首先要仔细观察图形,找出构成该图形的基本 图案,这些基本图案一般都会重复多次出现,然后结合几 种图形变换的概念和性质看这些基本图案通过怎样的 变换才能最终得到所给图形.
巩固练习
变式训练
如图,甲、乙、丙、丁四个图中的图2是由图1经过轴对称、平移、 旋转这三种运动变换而得到的,请分别分析出它们是如何运动变 换的.图中每个方格的单位长度为1.
探究新知
方法总结
设计图案时要注意两点: 一是要把设计的图案当作一个整体,即整体构思; 二是作图的过程中可以把图案中几个相邻的基本图案当作 一个新的基本图案,要明确图案设计及作图的要求,图案作 完后,一定要检验图形是否符合题意.
巩固练习
变式训练
下列四个图形中,若以其中一部分作为基本图案,无论用旋转
还是平移都不能得到的图形是(
)
C
探究新知
知识点 4
图案设计欣赏
运动美
探究新知
运动美
探究新知
探究新知
★★★
★★★
★★★★★ ★★★★★
★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★
★★★★★★★
★★★★★
★★★
组合美
★
连接中考
（2020·枣庄）如图的四个三角形中，不能 由△ABC经过旋转或平移得到的是 ( B )
正方形组成.
课堂检测
能力提升题
1.为了美化环境,需在一块正方形的空地上分别种植四种不同的 花草.现要将这块空地分割成4块全等图形,且分割后整个图形成 中心对称图形.现给出一种画法(如图①),请按上述要求,再画出3 种不同的画法.
课堂检测 解:答案不唯一.如图所示:
初中数学辅助线添加技巧：旋转
初中数学辅助线添加技巧：旋转方法总结1．旋转是中考压轴题中常见题型，在解这类题目时，什么时候需要构造旋转，怎么构造旋转．下面，就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法：遇中点，旋转180°，构造中心对称； 遇90°，旋90°，造垂直； 遇60°，旋60°，造等边； 遇等腰，旋等腰．综上四点得到旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转．2．图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点实际上是倒角．下面给出旋转常用倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角之一．如图1，若AOB COD ∠=∠，必有AOC BOD ∠=∠，反之亦然． 如图2，若A D ∠=∠，必有B C ∠=∠．图2图1OABCDDCB AO倒角是在初中数学学习中常用的名词，其意思是通过角之间的等量关系，得到我们所需要的角度的关系的过程．典例精析例1．（1）如图1，边长为1的正方形ABCD ，绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中我们阴影部分的面积是（ ）A．1-BC．1 D ．12（2）正方形ABCD 在坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°后，B 点的坐标为 ．图2图1D'C'BA解：（1）A ；（2）（4，0）．点拨：本例第2小问是在平面直角坐标系中考查旋转变换的作图，是数形结合的完美体现．首先要确定旋转中心是点D 而不是坐标原点O ，此处易出现错误，然后利用平面直角坐标系的特征确定正方形ABCD 绕点D 旋转90°后B'的位置，这类题型常见于正方形网格中的旋转作图．例2．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、DC 上的点，且∠EAF =45°，求证：EF =BE ＋DF ．FED CBA证明：延长CB 到点G ，使得BG =DF ，连接AG ．GF ED CBA∵四边形ABCD 是正方形， ∴90,D ABG AB AD ∠=∠=︒=． ∴ADF ABG △≌△． ∴,AF AG DAF BAG =∠=∠． ∵45EAF ∠=︒， ∴45DAF BAE ∠+∠=︒．∴45DAG BAE ∠+∠=︒，即45EAG ∠=︒． ∵AE AE =， ∴AFE AGE △≌△．∴EF EG EB BG BE DF ==+=+．点拨：旋转图形可将分散的条件集中到一个图形中，从而可充分利用已知条件，找到有效的解题方法．这种方法在正方形、正三角形以及其它正多边形中都有着广泛的应用．本题是旋转一个经典模型（半角模型），其中结论较多．例3．如图，以ABC △的边AC 、AB 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接EC 交AB 于点H ，连接BG 交CE 于点M ，求证：BG ⊥CE ．MH GFEDCBA证明：∵四边ABDE 、ACFG 是正方形， ∴,,90AE AB AC AG EAB GAC ==∠=∠=︒． ∴EAB BAC GAC BAC ∠+∠=∠+∠． ∴EAC GAB ∠=∠． ∴EAC GAB =△△． ∴AEC ABG ∠=∠．∵90,AEC AHE AHE BHM ∠+∠=︒∠=∠， ∴90ABG BHM ∠+∠=︒． ∴90EMB ∠=︒． ∴BG CE ⊥．点拨：本题旋转的基本模型，充分体现了利用旋转全等解题，本题是以ABC △为基本，以其两边分别向外构造正方形，构成旋转全等（其中用到了8字倒角），和其类似的还可以构造正三角形以及正五边形．例4．如图，在等腰ABC △中，,AB AC ABC α=∠=，在四边形BDEC 中，DB =DE ，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM 、DM ．M EDCB A（1）在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； （2）求证：AM DM ⊥；（3）当α= 时，AM DM =． 解：（1）M FEDCB A（2）在（1）中连接AD 、AF ．M FEDCB A由（1）中的中心对称可知，DEM FCM △≌△， ∴,,DE FC BD DM FM DEM FCM ===∠=∠， ∵2BDE α∠=，∴ABD ABC CBD ∠=∠+∠360BDE DEM BCE α=+︒-∠-∠-∠360DEM BCE α=︒--∠-∠．∵360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠． ∵AB AC =， ∴ABD ACF =△△． ∴AD AF =． ∵DM FM =， ∴AM DM ⊥． （3）45α=︒．∵,,AB AC AD AF BAC DAF ==∠=∠， ∴ADF ABC α∠=∠=．若AM DM =，则ADM △为等腰直角三角形，即45ADM ∠=︒， ∴45α=︒点拨：本题中第（1）问已经作出了中心对称图形，所以利用中心对称证全等的思路很清晰．本题的难点是利用周角和四边形的内角和为的有关知识倒角．初中几何常用的倒角是平行线的三线八角、对顶角、等边对等角等．例5．已知:在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，以AB 为边作等边三角形ABD . 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a =b =3，且∠ACB =60°，则CD = ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a =b =6，且∠ACB =90°，则CD = ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.D CBAA B CDABCD图1 图2 图3（1）（2）（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD.当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE<AE＋AC=a＋b；当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a＋b；此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a＋b．例6．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB＋AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC＋∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．ABCDMN AB CD M NN M 图3图2图1D CBA解：（1）=证明：∵AC 平分∠MAN ，∠MAN =120°， ∴∠CAB =∠CAD =60°， ∵∠ABC =∠ADC =90°， ∴∠ACB =∠ACD =30°， ∴12AB AD AC ==， ∴AB ＋AD =A C ． （2）成立．证法一：如图，过点C 分别作AM ，AN 的垂线，垂足分别为E ，F ，ABCD M N F E∵AC 平分∠MAN ， ∴CE =CF ，∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ADC ＋∠CDE =180°， ∴∠CDE =∠ABC ， ∵∠CED =∠CFB =90°， ∴△CED ≌△CFB ， ∴ED =FB ，∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE ，由（1）知AF ＋AE =AC ， ∴AB ＋AD =AC ，证法二：如图，在AN 上截取AG =AC ，连接CG ，AB CD M NG∵∠CAB =60°，AG =AC ，∴∠AGC =60°，CG =AC =AG ， ∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ABC ＋∠CBG =180°， ∴∠CBG =∠ADC ， ∴△CBG ≌△CDA ， ∴BG =AD ，∴AB ＋AD =AB ＋BG =AG =AC ；（3）①证明：由（2）知，ED =BF ，AE =AF ，ABC D M N FE在Rt △AFC 中，cos AFCAF AC∠=， 即cos2AFACα=， ∴cos2AF AC α=，∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE =2AF 2cos 2AC α=．把α=60°，代入得AB AD +=． ②2cos2α点拨：在第（2）小题中，由题意可知，60BCD ∠=︒，有60°角就可把有关图形旋转60°，所以我们作,CE AM CF AN ⊥⊥的实质，就是将CBF △以顶点C 为旋转中心顺时针旋转了60°，从而构造了全等三角形，使此题有了解题思路．例7．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1(如图2)．（1）探究AE 1与BF 1的数量关系，并给予证明； （2）当α＝30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．AB CDE 1F 1O FE 图2图1O DC BA解：（1）AE 1=BF 1．证明：∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OA =OD ，∵OF =2OA ，OE =2OD ， ∴OE =OF ，∵将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1 ∴OE 1=OF 1，∵∠F 1OB =∠E 1OA ，OA =OB ， ∴△E 1AO ≌△F 1BO ， ∴AE 1=BF 1；（2）证明：取OE 1中点G ，连接AG ，ABCDE 1F 1O G∵∠AOD =90°，α=30°， ∴∠E 1OA =90°－α=60°， ∵OE 1=2OA ， ∴OA =OG ，∴∠E 1OA =∠AGO =∠OAG =60°，∴AG =GE 1，∴∠GAE 1=∠GE 1A =30°， ∴∠E 1AO =90°，∴△AOE 1为直角三角形．例8．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =CD =2，∠C =60°，M 是BC 的中点．D'C'MFE DCBA（1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD')与AB 交于一点E ，MC 即MC')同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．解：（1）证明：过点D 作DP ⊥BC ,于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，PQ D'C'M FE DCBA∵∠C =∠B =60°∴12CP BQ AB ==，CP +BQ =AB 又∵ADPQ 是矩形，AD =PQ ，故BC =2AD ， 由已知，点M 是BC 的中点， BM =CM =AD =AB =CD ，即△MDC 中，CM =CD ，∠C =60°，故△MDC 是等边三角形． （2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接AM ，由（1）平行四边形ABMD 是菱形，△MAB ，△MAD 和△MC'D'是等边三角形，∠BMA =∠BME +∠AME =60°，∠EMF =∠AMF +∠AME =60°， ∴∠BME =∠AMF ）．在△BME 与△AMF 中，BM =AM , ∠EBM =∠FAM =60°， ∴△BME ≌△AMF (ASA )．∴BE =AF , ME =MF ,AE +AF =AE +BE =AB ，∵∠EMF =∠DMC =60°，故△EMF 是等边三角形，EF =MF ． ∵MF 的最小值为点M 到ADEFAEF 的周长=AE +AF +EF =AB +EF ， △AEF的周长的最小值为2． 跟踪训练1．如图，在△ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上的任意一点，探究：22BD CD +与2AD 的关系，并证明你的结论．CBA2．如图，P 是等边△ABC 内一点，若AP =3，PB =4，PC =5，求APB ∠的度数．PCBA3．如图1，在ABCD □中，AE BC ⊥于点E ，E 恰为BC 的中点，tan 2B =．（1）求证：AD AE =；（2）如图2，点P 在线段BE 上，作EF DP ⊥于点F ，连结AF ．求证：DF EF -=；（3）请你在图3中画图探究：当P 为线段EC 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF 垂直直线DP ，垂足为点F ，连结AF ．线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．图1EDCBA图2PF ABCDE图3ABCDE4．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE =30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．图3图2图1CE ADBCE AD BEDCBA5．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．6．在Rt △ABC 中，AB =BC ，在Rt △ADE 中，AD =DE ，连接EC ，取EC 的中点M ，连接DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，探索BM 、DM 的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．DCG PAB EF图2DAB EF CPG图1图2图1AEBMD CMEDB CA7．已知正方形ABCD 和等腰Rt △BEF ，EF =BE ，∠BEF =90°，按图1旋转，使点F 在BC 上，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．（1）探索EG 、CG 的关系，并说明理由；（2）将图1中△BEF 绕点B 顺时针旋转45°得图2，连接DF ，取DF 的中点G ．问（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）将图1中△BEF 绕点B 转动任意度数（旋转角在0到90°之间）得图3，连接DF ，取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由．图3BF DC GEABFDCGE AG F图2图1E DBCA中考前瞻将正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转角α得到正方形1111A B C D ，如图1所示． （1）当45α=︒时，如图2，若线段OA 与边11A D 的交点为E ，线段1OA 与AB 的交点为F ，可得下列结论成立①EOP FOP △≌△，②1PA PA =，试选择一个证明；（2）当090α︒<<︒时，第（1）小题的结论1PA PA =还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）在旋转过程，记正方形1111A B C D 与AB 边交于P 、Q 两点，探究POQ ∠的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与α之间的关系；如果不变，请直接写出POQ 的度数．PQ PD 1AA 1BB 1CC 1DD 1C 1B 1A 1F E F图2图1EDBCA。
人教版九年级数学旋转知识点总结与练习
人教版九年级数学旋转知识点总结与练习旋转知识点总结与练知识点1：旋转的定义旋转是指将平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换，其中点O称为旋转中心，旋转角为旋转的角度。
旋转的三个要素是旋转中心、旋转方向和旋转角度。
1.如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）。
2.如图2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）。
知识点1：旋转的性质旋转具有以下性质：1)对应点到旋转中心的距离不变；2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角度；3)旋转前后的两个图形全等。
图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转。
3.如图，将△XXX绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）。
4.如图，直线y=-4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO' B'，则点B'的坐标是（）。
知识点1：旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形。
5.在下图4×4的正方形网格中，△XXX绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）。
知识点2：中心对称中心对称是指将一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的两个图形能够完全重合，即形状大小都相同，位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合。
6.如图所示，在下列四组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的有（）。
中心对称的性质是，中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心所平分。
九年级数学上册第二十三章旋转23.1图形的旋转第2课时旋转作图课件人教版
(2)如答图，画出对称点 D，连接 AD，AD 可以看作是由 AB 绕着点 A 逆时针 旋转 90°得到的．
【点悟】 解答此题时应熟练掌握平移、轴对称、旋转的特征．
当堂测评
1．[2018 春·巴州区期末]如图 23-1-16，把以∠ACB 为直角的△ABC 绕点 C 按 顺时针方向旋转 85°，使点 B 转到点 E，点 A 转到点 F，得到△CEF，则下列结论 错误的是( D )
归类探究
类型之一 非网格中的旋转作图 如图 23-1-14，已知将四边形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，使
点 A 落在点 A′处，试作出旋转后的图形．
图 23-1-14
解：图略． 作法：(1)连接 OA，OA′； (2)连接 OB，OC，OD，分别以 OB，OC，OD 为始边，点 O 为顶点，顺时针 作∠BOB′，∠COC′，∠DOD′，并使∠BOB′＝∠COC′＝∠DOD′＝∠ AOA′，OB′＝OB，OC′＝OC，OD′＝OD； (3)顺次连接 A′，B′，C′，D′四点． 故四边形 A′B′C′D′就是所要求作的图形．
出了格点三角形 ABC(顶点是网格线的交点)和点 A1. (1)画出一个格点三角形 A1B1C1，并使它与△ABC 全等且点 A 与 A1 是对应点； (2)画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D，并指出 AD 可以看作是由 AB 绕点 A
经过怎样的旋转而得到的．
图 23-1-15
解：(1)(答案不唯一)如答图，利用△ABC≌△A1B1C1，图形平移，可得出△ A1B1C1.
图 23-1-19
3．[2018 春·金牛区期末]在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图 23-1-20.(每 个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形)．
人教版九年级数学上册作业课件 第二十三章 旋转 图形的旋转 第2课时 旋转作图
8．如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为 A(－6，12)，B(－6，0)，C(0，6)，D(－6，6).以点B为旋转中心，在平面 直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°.
(1)画出旋转后的小旗A′C′D′B； (2)写出点A′，C′，D′的坐标； (3)求出线段BA旋转到BA′时所扫过的扇形的面积．
2．旋转作图的步骤： (1)首先确定___旋__转__中__心________、旋转方向和____旋__转__角_______； (2)其次确定图形的关键点； (3)将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度； (4)连接____对__应___点_______，形成相应的图形．
练习2：如图，△ABC在网格中，画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后 的图形△A1B1C.
(3)∵∠AOB＝110°，∠DOC＝60°，∴∠AOD＝360°－∠AOB－ ∠BOC－∠DOC＝360°－110°－α－60°＝190°－α.∵∠ADO＝ ∠ADC－∠ODC＝α－60°，∴∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝ 50°.①若使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴190°－α＝α－60°，∴α ＝125°；②若使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴α－60°＝50°， ∴α＝110°；③若使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，∴190°－α＝50°， ∴α＝140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是 等腰三角形
解：(1)图略 (2)点 A′(6，0)，C′(0，－6)，D′(0，0) (3)∵点 A 的 坐标为(－6，12)，点 B 的坐标为(－6，0)，∴AB＝12，∴线段 BA 旋
转到 BA′时所扫过的扇形的面积＝14 π×122＝36π
九年级数学上册第二十三章旋转第2课时旋转作图练习新版新人教版
第2课时旋转作图基础题知识点1 旋转作图1．如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1.则其旋转中心一定是________．2．如图所示,在边长为1的小正方形组成的方格纸上,将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后的△AB′C′.3．已知△ABC,请画出以C为旋转中心,顺时针旋转90°后的△A′B′C.4．如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位置以及旋转后的三角形．5．(荆门中考)如图1,正方形ABCD的边AB,AD分别在等腰直角△AEF的腰AE,AF上,点C在△AEF内,则有DF＝BE(不必证明)．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后,连接BE,DF.请在图2中用实线补全图形,这时DF＝BE还成立吗？请说明理由．知识点2 在平面直角坐标系中的图形旋转6．(烟台中考)如图,将△ABC 绕点P 顺时针旋转90°得到△A′B′C′,则点P 的坐标是( )A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(1,4) 7．(邵阳中考)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(3,4),将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转90°到OA′,则点A′的坐标是________．8．(青岛中考)如图,△ABC 的顶点都在方格线的交点(格点)上,如果将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转90°,那么点B 的对应点B′的坐标是________．中档题9．如图,该图形围绕点O 按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是( )A ．72°B ．108°C ．144°D ．216°10．(巴中中考)如图,已知直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,把△AOB 绕点A 按顺时针方向旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是________．11.(潜江、天门、仙桃中考)如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(－1,2)点C 的坐标为(－3,0),将点C 绕点A 逆时针旋转90°,再向下平移3个单位,此时点C 对应点的坐标为________．12．如图,四边形ABCD 绕点O 旋转后,顶点A 的对应点为点E,试确定B,C,D 的对应点的位置以及旋转后的四边形．13．(眉山中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3,2),B(－1,4),C(0,2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC,若A的对应点A2的坐标为(－5,－2),画出平移后的△A2B2C2；(3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C,请直接写出旋转中心的坐标．综合题14．(永州中考)在同一平面内,△ABC和△ABD如图1放置,其中AB＝BD.小明做了如下操作：将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA,将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA,如图2.请完成下列问题：(1)试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形,并说明理由；(2)连接EF,CD,如图3,求证：四边形CDFE是平行四边形．参考答案基础题1.点B2.图略所示,△AB′C′为所求三角形．3.如图所示．4.图略,顶点B对应点的位置在点E处,△DEC为△ABC绕点C旋转后得到的三角形．5.补全图形图略．DF＝BE成立．理由：∵四边形ABCD是正方形,△AEF是等腰直角三角形,∴AD＝AB,AF＝AE,∠FAE＝∠DAB＝90°.∴∠FAD ＝∠EAB.在△ADF 和△ABE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠FAD ＝∠EAB，AF ＝AE.∴△ADF ≌△ABE(SAS)．∴DF＝BE.6.B7.(－4,3)8.(1,0)中档题9.B 10.(7,3) 11.(1,－3) 12.略．13．(1)图略．(2)图略．(3)旋转中心的坐标为(－1,0)． 综合题14．(1)四边形ABDF 是菱形．理由如下：∵△DFA 是由△ABD 绕AD 的中点旋转180°所得,∴AB ＝DF,BD ＝FA.∴四边形ABDF 是平行四边形．又∵AB＝BD,∴四边形ABDF 是菱形．(2)证明：由(1)知四边形ABDF 是平行四边形,∴AB ∥DF 且AB ＝DF.由旋转易知四边形ABCE 是平行四边形,∴AB ∥CE 且AB ＝CE.∴DF∥CE 且DF ＝CE,∴四边形CDFE 是平行四边形．。
人教版九年级数学上册图形旋转的性质-老师版
1．根据旋转的性质找相等的线段或角【例1】如图，若把△ABC绕点A旋转一定角度就得到△ADE，那么AB=______，BC=______，∠CAB=______，∠B=_______．总结：1. 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等，所以对应边相等，对应角相等。
2. 图形的旋转不改变图形的大小和形状。
练1如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB绕点O旋转180°，可以与△____重合，这说明△AOB≌△_____.这两个三角形的对应边是AO与_____，OB与_____，BA与____；对应角是∠AOB与_______，∠OBA与________，∠BAO与________．2．根据旋转的性质求角的度数【例2】（2015•天津）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130° B．150° C．160° D．170°总结：1.当图形中出现图形旋转时，要利用旋转的性质解题.2.注意：（1）旋转前后图形全等，所以对应边相等，对应角相等；（2）旋转角都相等；（3）对应点到旋转中心的距离相等.练2（2010春•姜堰市校级期中）如图，已知△ABC和△AEF中，∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∠EAB=25°，∠F=57°.（1）请说明∠EAB=∠FAC的理由；（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；（3）求∠AMB的度数．3．已知一个图形和旋转中心，画旋转图形【例3】在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′．总结：旋转作图的基本步骤:（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接各关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到这些关键点的对应点，并标上相应的字母；（4）按原图形依次连接这些对应点，得到旋转后的图形。
图形的旋转(基础)
图形的旋转【要点梳理】 要点一、旋转的概念把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA ′),如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 要点二、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等(OA = OA ′)； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前、后的图形全等(△ABC ≌△A B C ''').要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 要点三、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点.B 'AA 'C 'CBO【典型例题】类型一、旋转的概念与性质【例1】 如图，把四边形AOBC 绕点O 旋转得到四边形DOEF . 在这个旋转过程中： (1)旋转中心是谁? (2)旋转方向如何?(3)经过旋转,点A 、B 的对应点分别是谁？ (4)图中哪个角是旋转角？(5)四边形AOBC 与四边形DOEF 的形状、大小有何关系？ (6) AO 与DO 的长度有什么关系？ BO 与EO 呢？ (7)∠AOD 与∠BOE 的大小有什么关系？【变式】 如图所示：O 为正三角形ABC 的中心．你能用旋转的方法将△ABC 分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．OBDFECAA BCO【例2】如图，将图(1)中的正方形图案绕中心旋转180°后，得到的图案是( )A .B .C .D .类型二、旋转的作图【例3】如图，已知△ABC 与△DEF 关于某一点对称，作出对称中心.【例4】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将ABC ∆向下平移4个单位，得到C B A '''∆，再把C B A '''∆绕点顺时针旋转90°，得到C B A '''''∆，请你画出C B A '''∆和C B A '''''∆(不要求写画法)．【变式】如图，画出ABC ∆绕点O 逆时针旋转100︒所得到的图形．ABCDFE中心对称与中心对称图形【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点P(x，y)关于原点的对称点P'坐标为P'(－x，－y)，反之也成立.【典型例题】类型一、中心对称和中心对称图形【例1】下列图形不是中心对称图形的是()A．①③B．②④C．②③D．①④【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是()A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【例2】我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.类型二、作图【例3】已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分(至少三种方法).【变式】如图①， 1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明【例4】如图所示，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是__________.1o 2o 3o 4oCB DA图① 图②1o2o3o4o 5oABCED【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为．旋转【要点梳理】 要点一、旋转1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A ′),如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等(OA = OA ′)； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前、后的图形全等(△ABC ≌△A B C ''').要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点.B 'AA 'C 'CBO要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.【典型例题】类型一、旋转【例1】数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答中，错误的是().A．甲B. 乙C. 丙D. 丁【变式】以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是().A B C D类型二、中心对称【例2】如图，C B A '''∆是△ABC 旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ).A ．B ．C ．D ．类型三、平移、轴对称、旋转【例3】如图，设P 是等边三角形ABC 内一点，PB =3，P A =4，PC =5，求∠APB 的度数.B 'AA 'C 'CB APBC【变式】已知D是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.【例4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.AC BDADB C【例5】正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上(1)如图连结DF、BF，试问：当正方形AEFG绕点A旋转时，DF、BF的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.(2)若将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连结DG，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG的长度相等，并画图加以说明.【变式】如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于_________．【例6】如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =900，E 、F 是BC 边上点且∠EAF =45°.求证：222EF CF BE =+．ACF EB。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十三章 旋转 图形的旋转 第2课时 旋转作图及应用
12．(梧州中考)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱 形 ABCD 绕点 A 逆时针方向旋转，对应得到菱形 AEFG，点 E 在 AC 上，EF 与 CD 交于点 P，则 DP 的长是___3__－__1______________．
13．(南宁中考)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐 标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3). (1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； (2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； (3)判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．(无需说明理由)
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求
(2)如图所示，△A2B2C2 即为所求 (3)三角形的形状为等腰直角三角形， OB＝OA1＝ 16＋1 ＝ 17 ，A1B＝ 25＋9 ＝ 34 ，即 OB2＋OA12＝ A1B2，因此以 O，A1，B 为顶点的三角形的形状为等腰直角三角形
14．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目 的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图①，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝ 45°，连接EF，则EF＝BE＋DF，试说明理由．
人教版
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
第2课时 旋转作图及应用
知识点1：旋转作图 1．(教材P63习题7变式)观察下列图形，其中可以看成是由“基本图案” 通过旋转形成的有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是( D )
(1)思路梳理 ∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD 重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F，D，G共线． 根据___S_A__S_____，易证△AFG≌___△__A__F_E________，得EF＝BE＋DF； (2)类比引申 如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在 边BC，CD上，∠EAF＝45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D 满足等量关系____∠__B__＋__∠__D_＝__1_8_0_°_______时，仍有EF＝BE＋DF；
网格内的旋转平移作图
网格中的平移与旋转作图练习1.如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，O 为AD 边的中点，若把四边形ABCD 绕着点O 顺时针旋转，试解决下列问题： （1）画出四边形ABCD 旋转后的图形；（2）求点C 旋转过程事所经过的路径长；2. 如图所示，在边长为1的网格中作出 △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90º，再向下平移2格后的图形△A ¹B ¹C ¹．第1题图 第2题图3.在图中，选取其中的三条线段，通过平移使其构成一个等腰直角三角形，并证明你的结论。
4. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上：（1）以直线BC 为对称轴作△ABC 的轴对称图形，得到△A 1BC ，再将△A 1BC 绕着点B 逆时针旋转90°，得到△A 2BC 1，请依此画出△A 1BC 、△A 2BC 1；（2）求线段BC 旋转到BC 1过程中所扫过的面积（计算结果用π表示）.第3题图 第4题图A BC5．画△ABC绕O点顺时针方向旋转90°后得到△'''CBA6．把四边形ABCD绕O点逆时针方向旋转90°后得四边形''''DCBA第5题图第6题图7.如图，在1010⨯正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将ABC△向下平移4个单位，得到A B C'''△，再把A B C'''△绕点C'顺时针旋转90，得到A B C'''''△，请你画出A B C'''△和A B C'''''△．8.图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样变换得到的？AB C。
中考复习专题：网格中的数学问题
情况三：点P与点O为对称点
P 不在格点上
分类讨论
5. 作轴对称图形
例6. 棋盘中建立了如图的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们
分别是(-1，1)，(0，0)和(1，0)．若在其他格点位置添加一颗棋子P，使
A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P所有可能
的位置的坐标．
网格中的数学问题
目录
CONTENTS
1
网格的有关常识
2
网格中的作图
网格的有关常识
1.正方形网格
格点△ABC
每个小正方形的边长均为1个单位长度
2. 以格点为顶点的图形称为格点图形
考考你：①你能快速说出这个三角形AC边的长度吗？
②若将线段AC绕点C顺时针旋转90°，你能画出旋转后的线段A’C’吗？
例5. 已知∠AOB在网格中的位置如图，O在格点上，试作出∠AOB的角平分线.
OM=ON
作MM’⊥OA
作NN’⊥OB
△OMH≌△ONH（HL）
∠AOH=∠BOH
角平分线OH
4. 作角的平分线
SSS
HL
等腰△：三线合一
全
等
三
角
形
组合
图形
全等
变换
四边形
三角形
平行线＋等腰三
角形→角平分线
菱形
正方形
对角线平分一组对角
其他
……
4. 作角的平分线
问题4：在网格中，你能做一个角的角平分线吗？
例5. 已知∠AOB在网格中的位置如图，O在格点上，试作出∠AOB的角平分线.
OM=ON
5. 作轴对称图形
例6. 棋盘中建立了如图的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们
人教版数学九年级上学期课时练习-图形的旋转(知识讲解)(人教版)
专题23.1 图形的旋转（知识讲解）【学习目标】1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.【要点梳理】把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A ′),如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.要点二、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA ′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC ≌△A B C ''').特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 要点三、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．特别说明：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.【典型例题】类型一、旋转中心、旋转角、对应点1．在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点坐标分别是()2,2A -，()3,2B --，()1,0C -．(1)按要求画出图形：①将ABC 向右平移6个单位得到111A B C △；①再将111A B C △绕点1A 顺时针旋转90°得到22A B C 1△；(2)如果将（1）中得到的22A B C 1△看成是由ABC 经过以某一点M 为旋转中心旋转一次得到的，请写出M 的坐标．【答案】(1)①见分析；①见分析；(2)M （1，-1）【分析】（1）①根据平移的性质得出1A 、1B 、1C 的位置，顺次连接即可；①根据旋转的性质得出2B 、2C 的位置，顺次连接即可；（2）连接CC 2，AA 1，线段CC 2，AA 1的垂直平分线的交点即为M 点的位置，作出M 点写出坐标即可．(1)解：①如图，111A B C △即为所求；①如图，22A B C 1△即为所求；(2)解：连接CC 2，AA 1，线段CC 2，AA 1的垂直平分线的交点即为M 点的位置，由图可知，M 的坐标为（1，-1）．【点拨】本题考查了作图—平移和旋转，熟练掌握平移和旋转的性质找出对应点的位置是解题的关键．举一反三：【变式1】在如图的网格中建立平面直角坐标系，ABC的顶点坐标分别为A（1，7）、B（8，6）、C（6，2），D是AB与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给顶点的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：(1)直接写出ABC的形状；(2)画出点D关于AC的对称点E；(3)在AB上画点F，使①BCF12=①BAC．(4)线段AB绕某个点旋转一个角度得到线段CA（A与C对应，B与A对应），直接写出这个旋转中心的坐标．【答案】(1)ABC是等腰三角形，理由见分析；(2)见分析(3)见分析(4)1316,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，AC ，可得结论．（2）取格点Q ，使得ACQ ACB ≌△△，线段AQ 与格线的交点E ，即为所求作． （3）取格点W ，连接CW 交AB 于点F ，点F 即为所求作．（4）线段AC ，AB 的中垂线的交点J ，即为所求作，构建一次函数，利用方程组确定交点解：（1）①=AB =AC①AB AC =，①ABC 是等腰三角形．（2）如图所示，取格点Q ，则AQ ==CQ ==BC ==①AQ =AC =AB ，CQ =CB ，①AQC ABC SSS ≌（），①线段AQ 与格线的交点E ，即为所求作；（3）如图所示，如图，点F 即为所求作．（4）如图所示，取格点H （11，7）①()1,7A ， ()6,2C ，①AC 中点的坐标为79,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AC 的解析式为：y =-x +8，AH 的中点坐标为（6，7）设线段AC 的中垂线为b y kx =+，①792267k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，①11k b =⎧⎨=⎩①线段AC 的中垂线为1y x =+，同理可得：线段AB 的中垂线y =7x -25，由1725y x y x =+⎧⎨=-⎩， 解得133163x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ①旋转中心J 的坐标为1316,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【点拨】本题考查了两点距离公式，找旋转中心，一次函数与几何综合，等腰三角形的判定，全等三角形的判定，轴对称作图等等，熟知相关知识是解题的关键．【变式2】如图，ABC ∆和ADC ∆都是等边三角形.（1）ABC ∆沿着______所在的直线翻折能与ADC ∆重合；（2）如果ABC ∆旋转后能与ADC ∆重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.【答案】（1）AC ；（2）.点A 、点C 或者线段AC 的中点；（3）60︒【分析】(1) 因为ABC ∆和ADC ∆有公共边AC ，翻折后重合，所以沿着直线AC 翻折即可；（2）将①ABC 旋转后与ADC ∆重合，可以以点A 、点C 或AC 的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C 为旋转中心时都旋转60︒，以AC 中点旋转时旋转180︒.解：(1)①ABC ∆和ADC ∆都是等边三角形，①ABC ∆和ADC ∆是全等三角形，①①ABC 沿着AC 所在的直线翻折能与①ADC 重合.故填AC;(2)将①ABC 旋转后与ADC ∆重合，则可以以点A 为旋转中心逆时针旋转60︒或以点C 为旋转中心顺时针旋转60︒，或以AC 的中点为旋转中心旋转180︒即可；（3）以点A 、点C 为旋转中心时都旋转60︒，以AC 中点旋转时旋转180︒.【点拨】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.类型二、根据旋转的性质求解3、P 为正方形ABCD 内一点，且2AP =，将APB △绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到'AP D ．(1)作出旋转后的图形；(2)试求'APP 的周长和面积．【答案】(1)见分析(2)周长为：4+2【分析】（1）根据题意可直接进行作图；（2）利用等腰直角三角形的性质求出周长和面积即可．(1)解：如图所示：'AP D 即为所求；(2)解：①2AP =，将APB △绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到'AP D ，①'2AP AP ==，'90PAP ∠=︒，①'PP =，故'APP 的周长为：224+++'APP 的面积为：12222⨯⨯=． 【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出对应点位置是解题关键．举一反三：【变式1】在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转一定的角度α得到DEC ，点A 、B 的对应点分别是D 、E ．(1)当点E 恰好在AC 上时，如图1，求ADE ∠的大小；(2)若60α=︒时，点F 是边AC 中点，如图2，求证：四边形BEDF 是平行四边形（请用两组对边分别相等的四边形是平行四边形）【答案】(1)15ADE ∠=︒(2)见分析【分析】（1）根据旋转的性质可得CA ＝CD ，①ECD ＝①BCA ＝30°，①DEC ＝①ABC ＝90°，根据等边对等角即可求出①CAD ＝①CDA ＝75°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF ＝12AC ，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB ＝12AC ，从而得出 BF ＝AB ，然后证出①ACD 和①BCE 为等边三角形，再利用HL 证出①CFD ①①ABC ，证出DF ＝BE ，即可证出结论．(1)解：①①ABC 绕点C 顺时针旋转α得到①DEC ，点E 恰好在AC 上，①CA ＝CD ，①ECD ＝①BCA ＝30°，①DEC ＝①ABC ＝90°，①①CAD ＝①CDA ＝12（180°﹣30°）＝75°， ①①ADE ＝90°﹣①CAD ＝15°．(2) 证明：如图2，连接AD ，①点F 是边AC 中点，①BF ＝AF =CF ＝12AC ， ①①ACB ＝30°，①AB ＝12AC ， ①BF =CF ＝AB ，①①ABC 绕点C 顺时针旋转60°得到①DEC ，①①BCE ＝①ACD ＝60°，CB ＝CE ，DE ＝AB ，DC=AC ，①DE ＝BF ，①ACD 和①BCE 为等边三角形，①BE ＝CB ，①点F 为①ACD 的边AC 的中点，①DF ①AC ，在Rt①CFD 和Rt①ABC 中 DC CA CF AB =⎧⎨⎩＝，①Rt①CFD ①Rt①ABC ，①DF ＝BC ，①DF ＝BE ，而BF ＝DE ，①四边形BEDF 是平行四边形．【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定是解决此题的关键．【变式2】如图点O 是等边ABC 内一点，110,AOB BOC α︒∠=∠=，①ACD=①BCO ，OC=CD ，（1）试说明：COD 是等边三角形；（2）当150α︒=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）当BOC ∠为多少度时，AOD △是等腰三角形【答案】(1)见分析；(2)①AOD 是直角三角形，理由见分析；(3) 110°或125°或140°时，①AOD 是等腰三角形.【分析】（1）根据CO=CD ，①OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到①COD 是等边三角形；（2）先求得①ADC=①BOC=α=150°，再利用①COD 是等边三角形得①CDO=60°，于是可计算出①ADO=90°，由此可判断①AOD 是直角三角形；（3）先利用α表示出①ADO=α-60°，①AOD=190°-α，再进行分类讨论：当①AOD=①ADO时，①AOD 是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当①AOD=①DAO 时，①AOD 是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当①ADO=①DAO 时，①AOD 是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．解：(1)①①ACD=①BCO①①ACD+①ACO=①BCO+①ACO=60°又①CO=CD①①COD是等边三角形；(2)①①COD是等边三角形①CO=CD又①①ACD=①BCO，AC=BC①①ACD①①BCO（SAS）①①ADC=①BOC=α=150°，①①COD是等边三角形，①①ADC=①BOC=α=150°，①①COD是等边三角形，①①CDO=60°，①①ADO=①ADC−①CDO=90°，①①AOD是直角三角形；(3)①①COD是等边三角形，①①CDO=①COD=60°，①①ADO=α−60°,①AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，当①AOD=①ADO时,①AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；当①AOD=①DAO时,①AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得α=140°；当①ADO=①DAO时,①AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得α=110°，综上所述,①BOC的度数为110°或125°或140°时，①AOD是等腰三角形.【点拨】此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.类型三、根据旋转的性质证明线段、角相等3、如图，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如图1，求a，b的值；(2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB①BD，且①COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，若P 为x 轴正半轴上异于原点O 和点A 的一个动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°至PE ，直线AE 交y 轴于点Q ，当P 点在x 轴上移动时，线段BE 和线段BQ 中哪一条线段长为定值，并求出该定值．【答案】(1)2(2)CD =BD +AC ．理由见分析(3)BQ 是定值，4BQ =【分析】（1）根据非负数的性质得到a -2=0，4b -8=0，求得a =2，b =2，得到OA =2，OB =2，于是得到结果；（2）证明：将①AOC 绕点O 逆时针旋转90°得到①OBF 根据已知条件得到①DBF =180°，由①DOC =45°，①AOB =90°，同时代的①BOD +①AOC =45°，求出①FOD =①BOF +①BOD =①BOD +①AOC =45°，推出①ODF ①①ODC ，根据全等三角形的性质得到DC =DF =DB +BF =DB +DC ；（3）BQ 是定值，作EF ①OA 于F ，在FE 上截取PF =FD ，由①BAO =①PDF =45°，得到①P AB =①PDE =135°，根据余角的性质得到①BP A =①PED ，推出①PBA ①EPD ，根据全等三角形的性质得到AP =ED ，于是得到FD +ED =PF +AP ．即：FE =F A ，根据等腰直角三角形的性质得到结论．(1)解：①（a ﹣2）2+|4b ﹣8|＝0，①a -2=0，4b -8=0，①a =2，b =2，①A （2，0）、B （0，2），①OA =2，OB =2，①①AOB 的面积=122=22⨯⨯； (2)证明：如图2，将①AOC 绕点O 逆时针旋转90°得到①OBF ，而2,OA OB ==①①OAC=①OBF=①OBA=45°，①DBA=90°，①①DBF=180°，①①DOC=45°，①AOB=90°，①①BOD+①AOC=45°，①①FOD=①BOF+①BOD=①BOD+①AOC=45°，在①ODF与①ODC中，OF OCFOD COD OD OD，①：①ODF①①ODC，①DC=DF，DF=BD+BF，①CD=BD+AC．(3)BQ是定值，BE明显不是定值，理由如下：作EF①OA于F，在FE上截取FD=PF，①①BAO=①PDF=45°，①①P AB=①PDE=135°，①①BP A+①EPF=90°，①EPF+①PED=90°，①①BP A=①PED，在①PBA与①EPD中，BPAPED PABPDE PB PE ，①①PBA ①EPD （AAS ），①AP =ED ，①FD +ED =PF +AP ， 即：FE =F A ，①①FEA =①F AE =45°，①①QAO =①EAF =①OQA =45°，①OA =OQ =2，①BQ =4．BQ ∴为定值．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形面积的计算，非负数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，且45MAN ∠=︒，把ADN △绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE △．（1）求证：AEM △①ANM ．（2）若3BM =，2DN =，求正方形ABCD 的边长．【答案】（1）证明见分析；（2）正方形ABCD 的边长为6．【分析】（1）先根据旋转的性质可得,AE AN BAE DAN =∠=∠，再根据正方形的性质、角的和差可得45∠=︒MAE ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，从而可得3,2CM x CN x =-=-，再根据旋转的性质可得2BE DN ==，从而可得5ME =，然后根据三角形全等的性质可得5MN ME ==，最后在Rt CMN 中，利用勾股定理即可得．解：（1）由旋转的性质得：,AE AN BAE DAN =∠=∠四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，即90BAN DAN ∠+∠=︒90BAN BAE ∴∠+∠=︒，即90EAN ∠=︒45MAN ∠=︒904545MAE EAN MAN ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒在AEM △和ANM 中，45AE AN MAE MAN AM AM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ANM A S S EM A ≅∴；（2）设正方形ABCD 的边长为x ，则BC CD x ==3,2BM DN ==3,2CM BC BM x CN CD DN x ∴=-=-=-=-由旋转的性质得：2BE DN ==235ME BE BM ∴=+=+=由（1）已证：AEM ANM ≅5MN ME ∴== 又四边形ABCD 是正方形90C ∴∠=︒则在Rt CMN 中，222CM CN MN +=，即222(3)(2)5x x -+-=解得6x =或1x =-（不符题意，舍去）故正方形ABCD 的边长为6．【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．【变式2】如图，等腰三角形ABC 中，BA BC =，ABC α∠=．作AD BC ⊥于点D ，将线段BD 绕着点B 顺时针旋转角α后得到线段BE ，连接CE ．（1）求证：BE CE ⊥；（2）延长线段AD ，交线段CE 于点F ．求CFA ∠的度数（用含有α的式子表示） ．【答案】（1）见分析；（2）CFA α∠=【分析】（1）根据“边角边”证ADB CEB ∆∆≌，得到90ADB CEB ∠=∠=︒即可；（2）由（1）得，DAB ECB ∠=∠，再根据三角形内角和证明CFA α∠=即可． 解：证明： 线段BD 绕点B 顺时针旋转角α得到线段BE ，,.BD BE DBE α∴=∠=ABC α∠=，ABC DBE ∴∠=∠．AD BC ⊥，90ADB ∴∠=︒．在ABD ∆与CBE ∆中，,,,AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADB CEB ∴∆∆≌90.ADB CEB ∴∠=∠=︒BE CE ∴⊥．（2）解：ADB CEB ∆∆≌ ，DAB ECB ∴∠=∠，又ADB CDF ∠=∠，CFA CBA α∴∠=∠=，【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，解题关键是熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．类型四、旋转图形中的旋转角4、已知：如图，ABC ∆绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C ∆，点A ，B ，C 分别对应点A 1，B 1，C 1 .(1)根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点______________．(2)请在图中画出111A B C ∆;(3)请具体描述一下这个旋转：________________________________．【答案】(1)1O ；(2)详见分析.(3)解析解析. 【分析】（1）连接1AA 和1BB ,分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心;(2) 通过（1）作图发现旋转规律，然后点C 旋转后的对应点；（3）①ABC 绕1O 顺（逆）旋转多少°得到111A B C ∆即可.解：()1 如图：可以发现旋转中心为1O ；()2如图：由（1）作图发现是将①ABC 顺时针旋转90°，连接CO 1，绕O 1旋转90°，确定C 1，最后顺次连接A 1，B 1，C 1即可.()3ABC 绕点1O 按顺时针方向旋转后得到111A B C △【点拨】本题考查了图形的旋转，确定旋转中心和旋转方式是解答本题的关键. 举一反三：【变式1】如图，把一副三角板如图甲放置，其中904530ACB DEC A D ︒︒︒∠=∠=∠=∠=，，，斜边67AB cm DC cm ==，，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15︒得到D CE ''∆（如图乙）.这时AB 与CD '相交于点O ，D E ''与AB 相交于点F ，则OFE '∠的度数为________________.【答案】120【分析】根据题意①3=15°，①E′=90°，①1=①2=75°，所以可得①OFE′=①B+①1=45°+75°=120°.解：如图,由题意可知①3=15°,①E′=90°，因为①1=①2，所以①1=75°.又因为①B=45°，所以①OFE′=①B+①1=45°+75°=120°.【点拨】本题考查图形的旋转，解题的关键是知道旋转的性质.【变式2】如图，在平面直角坐标系中，有一Rt①ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知①A1AC1是由①ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以(1)中的旋转中心为中心，分别画出①A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；（3）设Rt①ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．【答案】（1）O(0，0)；90度（2）见分析（3）见分析解：（1）图象的旋转可以利用某点的旋转来找到旋转的角度和旋转中心；（2）根据旋转角度为依次90°、180°，旋转方向为顺时针，旋转中心为点O，从而可分、找出各点的对应点，然后顺次连接即可分别得出旋转后的三角形．（3）利用正方形的面积的不同计算方法进行验证勾股定理．解：(1)旋转中心坐标是O(0，0)，旋转角是90度；…2分(2)画出的图形如图所示；…6分(3)有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．①S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC，①(a＋b)2＝c2＋4×ab，即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，①a2＋b2＝c2．类型五、旋转图形中的坐标5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）．(1)求直线AB的表达式；(2)将①OAB绕点O逆时针旋转90°后，点A落到点C处，点B落到点D处，线段AB上横坐标为34的点E在线段CD上对应点为点F，求点F的坐标．【答案】(1)y＝﹣2x＋2(2)（﹣12，34）【分析】（1）把点A和点B点坐标代入y＝kx＋b得关于k、b的方程组，然后解方程组求出k 和b的值，从而得到直线AB的解析式；（2）先利用一次函数图象上点的坐标特征求出E点坐标，作EH①x轴于H，如图，然后旋转变换求E点的对应点F的坐标．(1)解：把点A（1，0）和点B（0，2）代入y＝kx＋b得2k bb+=⎧⎨=⎩，解得22kb=-⎧⎨=⎩，所以直线AB的解析式为y＝﹣2x＋2；(2)解：当x＝34时，y＝﹣2•34＋2＝12，则E点坐标为（34，12），作EH①x轴于H，如图，①①OAB绕点O逆时针旋转90°后得到①OCD，①把①OEH绕点O逆时针旋转90°后得到①OFQ，①①OHE＝①OQF＝90°，①QOH＝90°，OQ＝OH＝34，FQ＝EH＝12，①F点的坐标为（﹣12，34）．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y ＝kx ＋b ；再将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了旋转的性质．举一反三：【变式1】如图，344y x =-+直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把①ABC 绕点A 顺时针旋转90º后得到AO B ''△，求点B '的坐标？【答案】2816(,)33【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出A 点和B 点坐标，得到163OA =，3OB =，再利用旋转的性质得90O AO ∠'=︒，AO B AOB ∠''=∠，16'3AO AO ==，4O B OB ''==，则可判断//O B x ''轴，然后根据点的坐标的表示方法写出点B ′的坐标．解：当0y =时，344y x =-+，解得163x =，则16(,0)3A ， 当0x =时，4443y x =-+=，则(0,4)B ， 所以163OA =，4OB =， 因为把△0A B 绕点A 顺时针旋转90︒后得到△AO B ''，所以90O AO ∠'=︒，AO B AOB ∠''=∠，163AO AO '==，4O B OB ''==，则//O B x ''轴，所以B ′点的横坐标为16284=33，纵坐标为163． 所以B ′点的坐标为2816(,)33． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30，45︒，60︒，90︒，180︒．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．【变式2】如图，已知线段OA 在平面直角坐标系中，O 是原点．(1)将OA 绕点O 顺时针旋转60°得到OA '，过点A '作A B x '⊥轴，垂足为B ．请在图中用不含刻度的直尺和圆规分别作出OA '、A B '；(2)若()2,6A -，则OA B '的面积是______．【答案】(1)见详解 (2)3【分析】（1）利用等边三角形的性质的性质作OA ′，利用垂直平分线的作法求B 点；（2）设A ′（a ，b ），如图过A 作AC 垂直x 轴于C ，过A ′作A ′①AC 于D ，连接AA ′；在Rt ①ADA ′和Rt ①OBA ′中利用勾股定理建立方程组，解方程即可解答；(1)解：分别以O 、A 为圆心，以AO 为半径作弧，两弧交于点A ′，连接OA ′即为所求线段；以A ′为圆心，适当长度为半径作弧交x 轴于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，以EA ′、F A ′为圆心作弧，两弧交于点C ，连接CA ′交x 轴于点B ，A ′B 即为所求线段；(2)解：设A′（a，b），如图过A作AC垂直x轴于C，过A′作A′D①AC于D，连接AA′，则四边形DCBA′是矩形；由（1）作图可得，OA=OA′=AA①A（-2，6），A′（a，b），①Rt①ADA′中，AD=6-b，DA′=a+2，AA′2=（6-b）2+（a+2）2=40，①Rt①OBA′中，OB=a，BA′=b，OA′2=a2+b2=40，①①（6-b）2+（a+2）2= a2+b2，解得：a=3b-10，代入①，（3b-10）2+b2=40，b2-6b+6=0解得：b=3，b=3a=1，符合题意；b=3a=1-，不符合题意；①A′（1，3，×（1）×（3=3；OA B'的面积=12【点拨】本题考查了旋转作图，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的作法，勾股定理，矩形的判定和性质，一元二次方程的解法；利用勾股定理构建方程是解题关键．类型六、旋转综合题6、阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且①EAF＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且①EAF ＝45°，AG①EF于点G，求①EFC的周长．【答案】(1)EF=BE+DF(2)过程见分析【分析】对于（1），先将①DAF绕点A顺时针旋转90°，得到①BAH，可得①ADF①①ABH，再根据全等三角形的性质得AF=AH，①EAF=①EAH，然后根据“SAS”证明①F AE①①HAE，根据全等三角形的对应边相等得出答案；对于（2），先根据（1），得①F AE①①HAE，可得AG=AB=AD，再根据“HL”证明Rt①AEG①Rt①ABE，得EG=BE，同理GF=DF，可得答案．解：(1)EF=BE+DF．理由如下：如图，将①DAF绕点A顺时针旋转90°，得到①BAH，①①ADF①①ABH，①①DAF=①BAH，AF=AH，①①EAF=①EAH=45°．①AE=AE ，①①F AE ①①HAE ，①EF=HE=BE+HB ，①EF=BE+DF ；(2)由（1），得①F AE ①①HAE ，AG ，AB 分别是①F AE 和①HAE 的高，①AG=AB=AD=8．在Rt ①AEG 和Rt ①ABE 中，AE AE AG AB =⎧⎨=⎩， ①Rt ①AEG ①Rt ①ABE （HL ），①EG=BE ，同理GF=DF ，①①EFG 的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=16．【点拨】这是一道关于正方形和旋转的综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD 是正方形，①ECF 为等腰直角三角形，①ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，P 为EF 中点，连接AF ，G 为AF 中点，连接PG ，DG ，将Rt①ECF 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG 与PG 的关系为 ；(2)如图2，当α＝90°时①求证：①AGD①①FGM；①（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DG＝PG(2)①见分析；①成立，理由见分析【分析】（1）先判断出①ABE①①ADF，得出AE＝AF，再用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形中位线定理，即可得出结论；（2）①先判断出①DAG＝①MFG，再判断出AG＝FG，即可得出结论；①由①知，①AGD①①FGM，得出DG＝MG，AD＝FM＝BC，进而得出CM＝CF，由（1）知，DE＝CF，得出CM＝DE，进而判断出①ADE①①DCM，得出AE＝DM，最后同①的方法即可得出结论．(1)解：①四边形ABCD是正方形，①①B＝①ADC＝90°，AB＝BC＝AD＝CD，①①ECF为等腰直角三角形，①CE＝CF，①BE＝DF，①①ABE①①ADF（SAS），①AE＝AF，①点G是AF的中点，①12DG AF=，①12DG AE=，①P为EF中点，G为AF中点，①PG是①AEF的中位线，①12PG AE =， ①DG ＝PG ，故答案为：DG ＝PG ；(2)①证明：①四边形ABCD 是正方形，①AD ①BC ，①①DAG ＝①MFG ，①点G 是AF 的中点，①AG ＝FG ，在①AGD 和①FGM 中，DAG MFG AG FG AGD FGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①AGD ①①FGM （ASA ）；解：①（1）中的结论DG ＝PG 成立，证明：由①知，①AGD ①①FGM ，①DG ＝MG ，AD ＝FM ＝BC ， ①12BM CF BC ==, ①CM ＝CF ，由（1）知，DE ＝CF ，①CM ＝DE ，①AD ＝CD ，①ADE ＝①DCM ＝90°，①①ADE ①①DCM （SAS ），①AE ＝DM ，①点G 是DM 的中点， ①1122MG DM AE ==， ①P 为EF 中点，G 为AF 中点，①PG 是①AEF 的中位线， ①12PG AE =， ①DG ＝PG ．【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，判断出AE ＝DM 是解（2）①的关键．【变式2】如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1)旋转角为_____度；(2)求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC ∠的度数；(4)求ABC 的面积ABC S ．【答案】(1) 60 ( 2) 4 (3)150° (4)9． 【分析】 （1）根据①QCB 是①P AB 绕点B 逆时针旋转得到，可知①ABC 为旋转角即可得出答案， （2）连接PQ ，根据等边三角形得性质得①ABC ＝60°，BA ＝BC ，由旋转的性质得BP ＝BQ ，①PBQ ＝①ABC ＝60°，CQ ＝AP ＝5，BP ＝BQ ＝4，①PBQ ＝60°，于是可判断①PBQ 是等边三角形，所以PQ ＝PB ＝4；（3）先利用勾股定理的逆定理证明①PCQ 是直角三角形，且①QPC ＝90°，再加上①BPQ ＝60°，然后计算①BPQ +①QPC 即可．（4）由直角三角形的性质可求CH ，PH 的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．解：(1)①①ABC 是等边三角形，①①ABC ＝60°，①①QCB 是①P AB 绕点B 逆时针旋转得到的，①旋转角为60°故答案为：60；(2)连接PQ ，如图1，①①ABC 是等边三角形，①①ABC ＝60°，BA ＝BC ，①①QCB 是①P AB 绕点B 逆时针旋转得到的，①①QCB ①①P AB ，①BP ＝BQ ，①PBQ ＝①ABC ＝60°，CQ ＝AP ＝5，①BP ＝BQ ＝4，①PBQ ＝60°，①①PBQ 是等边三角形，①PQ ＝PB ＝4；(3)①QC ＝5，PC ＝3，PQ ＝4，而32+42＝52，①PC 2+PQ 2＝CQ 2，①①PCQ 是直角三角形，且①QPC ＝90°，①①PBQ 是等边三角形，①①BPQ ＝60°，①①BPC ＝①BPQ +①QPC ＝60°+90°＝150°；(4)如图2，过点C 作CH ①BP ，交BP 的延长线于H ，①①BPC ＝150°，①①CPH ＝30°，①CH 12=PC 32=，PH=， ①BH ＝4 ①BC 2＝BH 2+CH 2232⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2425⎛+ ⎝⎭＝①S△ABC=2，①S△ABC25=+=9．【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．。
初中数学旋转作图专题训练含答案
初中数学旋转作图专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、作图题（共20题）1、如图，在一个10×10的正方形DEFG网格中有一个△ABC。
①在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1。
②在网格中画出△ABC绕C点逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C。
③若以EF所在的直线为x轴，ED所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出A1、A2两点的坐标。
2、如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（2，3），C（5，2）。
如果将△ABC 绕C点顺时针旋转90°，得到△A1B1 C。
（1）请在图中画出△A1B1 C；（2）请作出△A1B1C的外接圆(尺规作图,要求保留作图痕迹,不必写出作法)；（3）在图中已画好的格点上，是否存在点D，使得=，请写出符合条件的所有D 点的坐标（C点除外）。
(原创)3、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ΔABO 的三个顶点A，B，O都在格点上．（1）画出ΔABO绕点O逆时针旋转900后得到的三角形Δ；（2）根据所画的图找出点和点的坐标.4、 ,如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即和．请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将重合到上；5、已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。
⑴分别写出图中点A和点C的坐标；⑵画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；⑶在⑵的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长（结果保留π）6、如右图，在网格图中建立平面直角坐标系，的顶点坐标为、、．（1）若将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；顺时针方（2）画出绕C１向旋转900后得到的；（3）与是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：；并计算的面积： .（4）在坐标轴上是否存在P点，使得△PAB与△CAB的面积相等，若有，则求出点P的坐标.7、在网格纸上按以下要求作图,不用写作法:(1)作出“小旗子”向右平移6格后的图案.(2)作出“小旗子”绕O 点按逆时针方向旋转90°后的图案.8、 如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点， △ABC 的顶点均在格点上.（1）画出将△ABC 向右平移2个单位后得到的△A 1B 1C 1，再画出将△A 1B 1C 1绕点B 1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A 2B 1C 2；（2）求线段B 1C 1旋转到B 1C 2的过程中，点C 1所经过的路径长．9、 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个△ABC 和一点O ，△ABC 的顶点与点O 均与小正方形的顶点重合．（1）在方格纸中，将△ABC 向下平移6个单位长度得到△A 1B 1C 1，请画△A 1B 1C 1． （2）在方格纸中，将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 2B 2C 2，请画△A 2B 2C 2．10、每个小方格都是边长为1个单位长度，正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示．（1）画出正方形ABCD关于原点中心对称的图形；（2）画出正方形ABCD绕点D点顺时针方向旋转90°后的图形；（3）求出正方形ABCD的点B绕点D点顺时针方向旋转90°后经过的路线．11、如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上．（1）在图中作出将△ABC向右平移5个单位后的图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2 C．12、已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出图中点A和点C的坐标；（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．13、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）画出向下平移4个单位后的，并直接写出在平移过程中扫过的面积；（2）画出绕点顺时针旋转后的，并直接写出点旋转到所经过的路线长．14、如图，在平面直角坐标系中，和关于点成中心对称。
第23章旋转第2课时 旋转作图-人教版九年级数学上册讲义（机构专用）
人教版九年级数学上册讲义第二十三章旋转第2课时旋转作图旋转作图的一般步骤步 骤：(1)明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；(2)确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；(3)顺次连接对应点．网格中旋转90°的画法1．确定关键点与旋转中心所在的矩形．2．搞清楚是顺时针还是逆时针，旋转矩形，确定对应点．3．确定旋转后的图形．确定旋转中心的步骤1．连接两组对应点．2．作对应点连线的垂直平分线．3．交点就是旋转中心．旋转过程边所扫过区域的面积旋转过程边所扫过区域的面积为扇形面积面积公式为：lR R n S 213602==π扇（其中n 是旋转度数，R 是旋转的那条线也是扇形的半径）计算公式为180r n l π=（其中n 是旋转度数，r 是旋转中心到哪个点的距离也是扇形的半径） 对应练习1.画出将线段 AB 绕点 O 按顺时针方向旋转 90° 后的图形．2.画出将ΔABC 绕点C 按逆时针方向旋转150°后的对应三角形．3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1）、B （﹣1，1）、C （0，﹣2）．（1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为 ；（2）将△ABC 绕着点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C ；（3）在（2）中，求边CA 所扫过区域的面积是多少？（结果保留π）．（4）若A 、B 、C 三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形△ABC 的位置发生怎样的变化？4．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．(1)写出点A，C的坐标；(2)求点A和点C之间的距离．5．如图，在平面直角坐标系中有△ABC，其中A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1）.把△ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1.再把△A1B1C1向左平移2个单位，向下平移5个单位得到△A2B2C2.（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2.（2）直接写出点B1、B2坐标.（3）P（a，b）是△ABC的AC边上任意一点，△ABC经旋转平移后P对应的点分别为P1、P2，请直接写出点P1、P2的坐标.6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，求点的坐标．7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（0，1）.（1）画出△ABC向右平移3个单位长度所得的△A1B1C1；写出C1点的坐标；（2）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；写出C2点的坐标；（3）在（2）的条件下求点A所经过路径的长度.8．如图，Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3，2)，B(0，4)，C(0，2)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC以点C为旋转中心旋转180°后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，-4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．课后作业1．在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）（1）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A1B1C1；（2）求点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径长.2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）.（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状. （无须说明理由）3．如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣1，1），C（﹣1，4）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．（3）求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留π）4．如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；（3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．5．如图，把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，使得A、B、D三点在一直线上．(1)旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？(2)AC与DE的位置关系怎样？请说明理由．6．线段AB，CD在正方形网格中的位置如图所示，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转一定角度α，可以得到线段CD．（1）请在下图中画出点O；（2）若点A、B、C、D的坐标分别为A(-5,5)、B(1,1)、C(5,1)、D(1,-5)，则点O的坐标为；（3）α=．对应练习答案1.2.3．解答：解：（1）∵B（﹣1，1），∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为（1，﹣1）．故答案为（1，﹣1）；（2）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；（3）∵CA＝＝，∠ACA1＝90°，∴S扇形CAA1＝＝；（4）∵A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，∴图形△ABC的位置是向右平移了3个单位．4．解答：解：(1)点A的坐标是(-2，0)，点C的坐标是(1，2)．(2)连接AC，在Rt△ACD中，AD＝OA+OD＝3，CD＝2，∴AC2＝CD2+AD2＝22+32＝13，∴AC＝．5．解答：（1）解：如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求：（2）解：点B1坐标为（2，4）、B2坐标为（0，﹣1）（3）解：由题意知点P1坐标为（b，﹣a），点P2的坐标为（b﹣2，﹣a﹣5）6．解答：解：轴于，轴于，如图，，，绕原点顺时针旋转得到可看作是绕原点顺时针旋转得到，则，，所以点的坐标为．7．解答：解：（1）如图所示.由图可知，C1（2，3）；（2）如图所示，由图可知，C2（﹣2，0）；（3）∵AB＝＝，∴点A所经过路径的长度＝＝.8．解答：解：(1)延长AC至A1，点B1与点O重合，连接A1C、B1C、A1B1，则△A1CB1就是所求三角形；(2)取B2(3，-2)，C2(4，-3)，连成△A2B2C2；(3)连接A1A2、B1B2，交于点E，则点E就是旋转中心，E(1.5，-1)．课后作业答案1．解答：解：（1）如图所示：（2）点A在（1）的图形变换过程中所经过的路径是一段圆弧，其半径为2，圆心角为90°，所以长度为.2．解答：解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝，A1B＝，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形.3．解答：解：（1）如图，△AlB1C1为所作；（2）如图，△A2BC2为所作；（3）AB＝＝3，所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝π．4．解答：解：（1）旋转中心坐标是O（0，0），旋转角是90度；（2）画出的图形如图所示；（3）有旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B+4S△ABC，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．5．解答：解：(1)直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，∴旋转中心是点B，旋转角是90°；(2)AC⊥DE，理由：延长DE交AC于F，∵把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，∴∠C＝∠D，∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠C+∠A＝∠D+∠A＝90°，∴∠DFA＝90°，∴AC⊥DE．6．解答：解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）观察图象可知，O(-2,-2)．故答案为(-2,-2)．（3）观察图象可知α=90°．故答案为90°．。
中考数学复习过关题旋转作图试题
卜人入州八九几市潮王学校复习过关题旋转作图1、〔2021•〕如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为A〔﹣2，3〕、B〔﹣3，1〕．〔1〕画出坐标轴，画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；〔2〕点A1的坐标为___；〔3〕四边形AOA1B1的面积为_____．2、〔2021•〕如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A〔﹣7，0〕、B 〔﹣4，4〕、C〔﹣1，0〕．〔1〕做出点B关于x轴的对称点D；〔2〕将以点A、B、C、D为顶点的四边形绕点C顺时针旋转90°作出旋转后的图A1B1C1D1，并直接写出点B、D的对应点B1，D1的坐标．3、〔2021•〕在如下列图的直角坐标系中，解答以下问题：〔1〕分别写出A、B两点的坐标；〔2〕将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；〔3〕求出线段B1A所在直线l的函数解析式，并写出在直线l上从B1到A的自变量x的取值范围．4、〔2021•〕△ABC在平面直角坐标系中的位置如下列图，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．〔1〕将△ABC向右移平2个单位长度，作出平移后的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；〔2〕假设将△ABC绕点〔﹣1，0〕顺时针旋转180°后得到△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；〔3〕观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某点成中心对称？假设是，请写出对称中心的坐标；假设不是，说明理由．5、〔2021•〕△ABC在如下列图的平面直角坐标系中．〔1〕画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1〔2〕画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2〔3〕请直接写出△AB2A1的形状．6、〔2021•〕如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答以下问题：〔1〕将△ABC向右平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；〔2〕画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；〔3〕将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；〔4〕在△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3中，△与△成轴对称；△______与△_____成中心对称．7、〔2021•〕如下列图，把△ABC置于平面直角坐标系中，请你按以下要求分别画图：〔1〕画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1；〔2〕画出△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2；〔3〕画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3．8、〔2021•〕〔1〕如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：△ABC≌△DEF．〔2〕如图，在矩形OABC中，点B的坐标为〔﹣2，3〕．画出矩形OABC绕点O顺时针旋转90°后的矩形OA1B1C1，并直接写出的坐标A1、B1、C1的坐标．9、〔2021•州〕△ABC在平面直角坐标系中的位置如下列图．〔1〕作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；〔2〕作出将△ABC绕点O顺时针方向旋转180°后的△A2B2C2．10、〔2021•〕△ABC在平面直角坐标系中的位置如下列图，将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°得到△A2B2C2．请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2．11、〔2021•〕△ABC在平面直角坐标系中的位置如下列图，A、B、C三点在格点上．〔1〕作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；〔2〕作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．12、〔2021•〕如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形．在建立直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为〔﹣1，1〕．〔1〕写出点B的坐标；〔2〕画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，并写出点B′的坐标；〔3〕画出△ABC绕点O旋转180°后得到的图形△A″B″C″，并写出点B″的坐标？13、〔2021•〕在小正方形组成的15×15的网络中，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的位置如下列图．〔1〕现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1C1D1，〔2〕假设四边形ABCD平移后，与四边形A′B′C′D′成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A2B2C2D2．14、〔2021•〕如图，在所给网格中完成以下各题：〔1〕画出图1关于直线MN对称的图2；〔2〕从平移的角度看，图2是由图1向_________平移_________个单位得到的；〔3〕画出图1绕点P逆时针方向旋转90°后的图3．15、〔2021•〕在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为〔﹣1，0〕，请按要求画图与答题．〔1〕把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C′．〔2〕把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．〔3〕△A′B′C′与△A″B″C″是否成中心对称，假设是，找出对称中心P′，并写出其坐标．16、〔2021•〕如下列图，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系．〔1〕画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是_________；〔2〕画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2，并求出点C旋转到点C2经过的途径的长度．17、〔2021•〕如下列图的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答以下问题：〔1〕分别写出点A、B两点的坐标；〔2〕作出△ABC关于坐标原点成中心对称的△A1B1C1；〔3〕作出点C关于是x轴的对称点P．假设点P向右平移x个单位长度后落在△A1B1C1的内部，请直接写出x的取值范围．18、〔2021•〕如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个△ABC和一点O，△ABC 的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．〔1〕在方格纸中，将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；〔2〕在方格纸中，将△ABC绕点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．19、〔2021•〕如图，在下面的方格图中，将△ABC先向右平移四个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°得到△A1B2C2，请依次作出△A1B1C1和△A1B2C2．20、〔2021•永春县〕在边长为1的方格纸中建立直角坐标系xoy，O、A、B三点均为格点．〔1〕直接写出线段OB的长；〔2〕将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中，点B所经过的途径的长度．21、〔2021•〕如图，△AOB中，顶点A，B，O均在格点上，画出△AOB绕点O旋转180°后的三角形．〔不要求写做法，证明，但要注明结果〕22、〔2021•〕如图，菱形ABCD〔图1〕与菱形EFGH〔图2〕的形状、大小完全一样．〔1〕请从以下序号中选择正确选项的序号填写上；①点E，F，G，H；②点G，F，E，H；③点E，H，G，F；④点G，H，E，F．假设图1经过一次平移后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别是_________；假设图1经过一次轴对称后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别是_____；假设图1经过一次旋转后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别是_________；（2）①图1，图2关于点O成中心对称，请画出对称中心〔保存画图痕迹，不写画法〕；②写出两个图形成中心对称的一条性质：_________．〔2021•〕如图，方格纸中△ABC的三个顶点均在格点上，将△ABC向右平移5格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1 23、绕点A1逆时针旋转180°，得到△A1B2C2．〔1〕在方格纸中画出△A1B1C1和△A1B2C2；〔2〕设B点坐标为〔﹣3，﹣2〕，B2点坐标为〔4，2〕，△ABC与△A1B2C2是否成中心对称？假设成中心对称，请画出对称中心，并写出对称中心的坐标；假设不成中心对称，请说明理由．24、〔2021•〕如下列图，在网格中建立了平面直角坐标系，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将四边形ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180°后得到四边形A1B1C1D1．〔1〕直接写出D1点的坐标；〔2〕将四边形A1B1C1D1平移，得到四边形A2B2C2D2，假设D2〔4，5〕，画出平移后的图形．〔友谊提示：画图时请不要涂错阴影的位置哦！〕25、〔2021•〕如图，△ABC关于直线MN的对称图形是△A1B1C1，将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°得到△A1B2C2．请在图中分别画出△A1B1C1和△A1B2C2，并正确标出对应顶点的字母．〔不要求写出画法〕26、〔2021•〕在如下列图出方格纸中，每个小正方形的边长都为1．〔1〕画出将铅笔图形ABCDE向上平移9格得到的铅笔图形A1B1C1D1E1；〔2〕将铅笔图形A1B1C1D1E1，绕点A1，逆时针旋转90°，画出转后的铅笔图形A1B2C2D2E2．27、〔2021•〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．〔1〕画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；〔2〕P〔a，b〕是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2〔a+6，b+2〕，请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；〔3〕判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．〔直接写出结果〕28、〔2021•〕△ABC在平面直角坐标系中的位置如下列图．〔1〕将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点C1的坐标；〔2〕将△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．29、〔2021•〕：如图，在8×12的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在格点上．〔1〕在所给网格中按以下要求画图：①在网格中建立平面直角坐标系〔坐标原点为O〕，使四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A〔﹣5，0〕、B 〔﹣4，0〕、C〔﹣1，3〕、D〔﹣5，1〕；②将四边形ABCD沿坐标横轴翻折180°，得到四边形A′B′C′D′，再把四边形A′B′C′D′绕原点O 旋转180°，得到四边形A″B″C″D″；〔2〕写出点C″、D″的坐标；〔3〕请判断四边形A″B″C″D″与四边形ABCD成何种对称？假设成中心对称，请写出对称中心；假设成轴对称，请写出对称轴．30、如图，网格中每个小正方形的边长都是1个单位．折线段ABC的位置如下列图．〔1〕现把折线段ABC 向右平移4个单位，画出相应的图形A B C '''；〔2〕把折线段A B C '''绕线段AA '的中点D 顺时针旋转90°，画出相应的图形A B C ''''''；〔3〕在上述两次变换中，点CC C '''→→的途径的长度比点A A A '''→→的途径的长度大个单位． 31、△ABC 在平面直角坐标系中的位置如下列图．〔1〕分别写出图中点A 和点C 的坐标；〔2〕画出△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后的△A'B'C'；〔3〕求点A 旋转到点A'所经过的道路长。
人教版九年级数学上册23.1： 旋转作图(无答案)
教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T同步( 旋转作图) C专题( 旋转计算)授课日期及时段教学内容（热个身先~~~）1、ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180°后得到四边形A1B1C1D1．（1）直接写出D1点的坐标；（2）将四边形A1B1C1D1平移，得到四边形A2B2C2D2，若D2（4，5），画出平移后的图形．（友情提示：画图时请不要涂错阴影的位置哦！）同步题型分析T同步——旋转作图2、画图题：（1）如图①，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．请作出△ABC 关于点P 的对称图形△A ′B ′C ′；再把△A ′B ′C 绕点C ″逆时针90°，得到△A ″B ″C ″，请画出△A ′B ′C 和△A ″B ″C ″．（2）如图②，四边形A ′B ′C ′D ′是由四边形ABCD 绕某一点得到的，请通过确定这个点，并把它命名为点O ，再把四边形ABCD 关于点O 中心对称图形A ″B ″C ″D ″画出来．3.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点B 的坐标为（1,0）。
⑴ 画出△ABC 关于轴对称的111C B A ∆；⑵ 画出将△ABC 绕原点O 按逆方向旋转90°所得的222C B A ∆；⑶ 111C B A ∆与222C B A ∆成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的轴对称；⑷ 111C B A ∆与222C B A ∆成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标。
4．△ABC在如图的平面直角坐标系中（1）按要求画图：将△ABC向右平移3个单位长度后得△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2．（2）直接写出三角形A1A2B的面积．5．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．6、如图所示，网格中有一个四边形和两个三角形．（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数；这个整体图形至少旋转多少度与自身重合．7、在如图的方格中，每个小正方形的边长都是1．（1）△ABC与△A1B1C1是否构成中心对称图形？若是，请在图中画出对称中心O；（2）在图中画出将△A1B1C1沿直线DE向上平移5格得到的△A2B2C2；（3）要使△A2B2C2与△CC1C2重合，需将△A2B2C2绕点C2顺时针，则至少要旋转多少度；（4）请出△ABC的周长和面积．C专题——旋转计算知识典例（画竹必先成竹于胸！）1、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．2、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上．建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（-4，1），点B的坐标为（-1，1）．（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O逆时针90°后得到△A2B2C2，试在图中画出图形△A2B2C2，并点C到点C2所经过的路径长．（结果保留π）3、如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．将△ABC绕坐标原点O逆时针90°，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′．并点A经过的路径长度4、如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．（2）将△ABC绕点O顺时针90°得△A2B2C2，在图中作出△A2B2C2，并点A到点A2所经过的路径长．5、△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-2，-4），B（0，-4），C（1，-1）．（1）在图中画出将△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的△A1B1C1；（2）在图中画出△ABC绕原点O顺时针90°后得到的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，点A所经过的路径的长度．6、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）以直线BC为对称轴作△ABC的轴对称图形，得到△A1BC，再将△A1BC绕着点B逆时针90°，得到△A2BC2，请在下面网格中画出△A1BC、△A2BC2；（2）求线段BC到BC1过程中，C点所经过的路线长度（结果用含有π的式子表示）．7、如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将 ABC沿一确定方向平移得到111C B A ∆，点B 的对应点1B 的坐标是（1，2），再将111C B A ∆绕原点O 顺时针旋转90°得到222C B A ∆，点1A 的对应点为点2A ．（1）画出111C B A ∆；（2）画出222C B A ∆；（3）求出在旋转过程中，点1A 到达2A 的路径长．8.△ABC 在直角坐标系内的位置如图所示.(1)分别写出A 、B 、C 的坐标;(2)请在这个坐标系内画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC 关于y 轴对称,并写出B1的坐标;(3)请在这个坐标系内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC 关于原点对称,并写出A2的坐标;(4)求△ABC 的面积.9.如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC 与△A1B1C1呈中心对称．（1）若将△ABC 绕某一点O180°可得到△A1B1C1，请直接在图上标出此点O ；（2）作出将△A1B1C1沿直线DE 方向向上平移5个单位长度得到的△A2B2C2；（3）要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向度，并出△A2B2C2扫过的面积．10.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A、B、C 都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向90°得到△AB'C'．（1）在正方形网格中，画出△AB'C'；（2）线段AB在过程中所扫过的面积．11.如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A(-6，12)，B(-6，0)，C(0，6)，D(-6，6)．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．(1)画出旋转后的小旗A′C′D′B′；(2)写出点A′，C′，D′的坐标；(3)求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．。
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网格中的作图练习
1.如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，O 为AD 边的中点，若把四边形ABCD 绕着点O 顺时针90º，试解决下列问题： （1）画出四边形ABCD 旋转后的图形；（2）求点C 旋转过程事所经过的路径长；
2. 如图所示，在边长为1的网格中作出 △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90º．
第1题图 第2题图 3. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， △ABC 的顶点均在格点上：
（1）以直线BC 为对称轴作△ABC 的轴对称 图形，得到△A 1BC ，再将△A 1BC 绕着点B 逆时针 旋转90°得到△A 2BC 1，请依此画出△A 1BC 、△A 2BC 1； （2）求线段BC 旋转到BC 1过程中所扫过
的面积（计算结果用π表示）.
5.画△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°后得到△'
'
'C B A
6．把四边形ABCD 绕O 点逆时针方向旋转90°后得四边形''''D C B A
A
B
C
1.画出四边形ABCD 关于点O 的对称图形.
2. 在网格中作出 △ABC 关于点A 的对称图形
第1题图 第2题图.
3.画出△ABC 关于点O 的对称图形△'
'
'C B A
4．画出四边形ABCD 关于点O 的对称图形四边形''''D C B A。