1.1.3探索勾股定理(3)课件
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探索勾股定理(公开课课件)
数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关， 它可以用于求解三角函数的值， 以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于 求解直线、圆和曲线的方程，以及 解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如 在证明一些数学定理和猜想时，勾 股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角 边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。 通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好 地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发 展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派， 他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理， 即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定 理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版数学八年级上册《勾股定理的验证及应用》课件
+ ，
四边形 = △ + △ = + ( − ) ，
所以 + =
所以 + = .
+ (
− ) .
例2 如图,在铁路 附近有两个村庄 ， ，它们到铁路的距离分
所以 ∠ + ∠ = ∘ .所以 ∠ = ∘ .
因为 梯形 = △ + △ + △ ,
所以 (
+ )( + ) =
整理得 + = .
+ + .
变式 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，“面积法”是常用的方
该树 的一棵大树上，大树高 ，且巢离树顶部 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 / ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = ， = − = ， = .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = − = ， = .
在 △ 中，
= + = + = () .
5. 如图，数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度.
同学们发现系在旗杆顶端的绳子拉直垂到了地面且还多 .
同学们把绳子的末端拉开 后，发现绳子末端刚好接触地
别是 和 ,作 ⊥ , ⊥ ,垂足分别为 ， ，
且 = .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
探索勾股定理(3)
课题：1.1探索勾股定理 (3)
教学目标：1、用拼图的方法验证勾股定理；
2、掌握勾股定理，并能运用它解决一些实际问题；
教学重点：掌握勾股定理，会运用它进行简单的计算及解决一些实际问题； 教学难点：用拼图的方法验证勾股定理；
导入方式：复习引入
一、课前练习：
1、 在Rt ΔABC 中，∠C=900，a=8，b=15，求c 。
2、 如图：Rt ΔABC 中，∠C=900，AC=10，BC=24，求AB 的长。
3、 完成书本P11知识技能#1。
二、知识点一：
1、课外阅读P12～13页， 从“朱青出入图”的拼图方法理解勾股定理的验证。
2、完成书本P26页#7题，动手验证勾股定理。
3、 试与同学交流一下你的体会。
4、 完成书本P14页议一议，
A C B
三、知识二：
1、完成书本P15随堂练习#1
2、求图中直角三角形的未知边长。
3、要修建一个育苗棚，棚高h =1.8 m,棚宽a =2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
5、 完成书本：P15页问题解决#1
4 3。
探索勾股定理(公开课课件)
解：由勾股定理，可得:
AB２+BC２ =AC２
∴ AC= √ AB２+BC２
= √ 62 + 82=10
1、求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 由勾股定理可得： 由勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
推广:一般的直角三角形,上述结论成立吗？
1 a
2b c
3
a2 b2？ c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
转换结论
C Aac
b
B
由正方形的面积公式得： SA=a2 , SB=b2 , SC =c2 SA＋SB=SC
a2+b2=c2
动手做：用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm．
55
考 一 考:
1 求下列图中表示的未知数x、y、z的值.
2X25 81
144
5
3
5
144
169
4z
①
②
③
2 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形
的周长为 30 .
3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6，
那么△ABC的面积是 24 .
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为 (ba)2 4 1 agb
2
c a
b
∵
c2=
(ba)2
4
AB２+BC２ =AC２
∴ AC= √ AB２+BC２
= √ 62 + 82=10
1、求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 由勾股定理可得： 由勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
推广:一般的直角三角形,上述结论成立吗？
1 a
2b c
3
a2 b2？ c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
转换结论
C Aac
b
B
由正方形的面积公式得： SA=a2 , SB=b2 , SC =c2 SA＋SB=SC
a2+b2=c2
动手做：用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm．
55
考 一 考:
1 求下列图中表示的未知数x、y、z的值.
2X25 81
144
5
3
5
144
169
4z
①
②
③
2 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形
的周长为 30 .
3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6，
那么△ABC的面积是 24 .
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为 (ba)2 4 1 agb
2
c a
b
∵
c2=
(ba)2
4
北师大版八年级数学上册《勾股定理3》课件
1
1
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
▪ 1876年4月1日，伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的 这一证法。
▪ 1881年，伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股定 理直观、简捷、易懂、明 了的证明，就把这一证法 称为“总统”证法。
青九
刘
朱章 出算
徽
入术
图
无字证明
④
bc
⑤
③aຫໍສະໝຸດ ①②青无朱字出证入明图
▪ 赵爽：东汉末至三国时 代吴国人
▪ 为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方图 说》。
▪ 赵爽的这个证明可谓别 具匠心，极富创新意识。 他用几何图形的截、割、 拼、补来证明代数式之 间的恒等关系。
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股 定理是公元前500多年 时古希腊数学家毕达哥 拉斯首先发现的。因此 又称此定理为“毕达哥 拉斯定理”。法国和比 利时称它为“驴桥定 理”，埃及称它为“埃 及三角形”等。但他们 发现的时间都比我国要 迟得多。
青出
青方
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出
五巧板的制作 A
④
E
⑤
G
b
Hc
③
北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的墙上(如图)，
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
C
B
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的另一边长.
正方形C的面积应该怎么计算呢？
C A
B
图①
➢ 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=12×2×3×4+1×1=13；
➢ 把C“补”成边长为5的正方形 SC=5×5-12×2×3×4=13.
观察：
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形，即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形，即B的 面积是___9__. 正方形C中含有_1_3__个小正方形，即C的 面积是__1_3__.
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的探 究方法；
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简 单问题.
新知引入
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你 知道它的第三边长吗？
实际上，利用勾股定理我们可以很容易地解决这个问题. 勾股定理是一个古老的定理，人类很早就发现了这个定理.
观察：
A＇
C＇
B＇
图②
正方形A＇中含有__1_6_个小正方形，即 A＇的面积是__1_6__.
正方形B＇中含有__9__个小正方形，即 B＇的面积是__9___.
正方形C＇中含有__2_5_个小正方形，即 C＇的面积是__2_5__.
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第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
情境引入
1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的
数量关系．（重点） 2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点）
（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜 边的长度. （1）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
要点归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平 方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角 边和斜边，那么a2+b2=c2．
名字的由来
我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的直角 边称为股，斜边称为弦，“勾股 定理”因此而得名.
勾 弦 股
在西方又称毕达 哥拉斯定理
练一练
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：
100 225
x
17 15
?
已知直角三角形两边，求第三边.
二 利用勾股定理进行计算
例 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角
形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.由勾股定理得:
152+ x2 =172，x2=172-152=289–225=64， 解得 x=±8（负值舍去）， 所以另一直角边长为8 cm， 故直角三角形的面积是: (cm2).
B的面积
9 9
C的面积
13 25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面
积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
想一想
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长c来表示
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第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
情境引入
1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的
数量关系．（重点） 2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点）
（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜 边的长度. （1）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
要点归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平 方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角 边和斜边，那么a2+b2=c2．
名字的由来
我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的直角 边称为股，斜边称为弦，“勾股 定理”因此而得名.
勾 弦 股
在西方又称毕达 哥拉斯定理
练一练
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：
100 225
x
17 15
?
已知直角三角形两边，求第三边.
二 利用勾股定理进行计算
例 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角
形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.由勾股定理得:
152+ x2 =172，x2=172-152=289–225=64， 解得 x=±8（负值舍去）， 所以另一直角边长为8 cm， 故直角三角形的面积是: (cm2).
B的面积
9 9
C的面积
13 25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面
积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
想一想
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长c来表示
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
北师大版初中八年级数学上册 1.1.1 认识勾股定理 课件(共20张PPT)
( 55 ) 25
30
( 34)
95 61
( 42 ) 18
60
200 ( 350)
150
总结归纳
C A
B
SA+SB=SC
ac b
ac b
a2+b2=c2
a2+b2=c2
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的 两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课
情境引入
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发 现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2005年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现 朋友家的用砖铺成的地面…
毕达哥拉斯就从地面上这十分常见的图形中，发现了令世人震惊的定理：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三 角形和一个小正方 形.
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小 正方形，图中两块红色 （或绿色）可拼成一个小 正方形.
填一填：观察右边两 幅图：完成下表（每 个小
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
怎样计 算正方 形C的面 积呢？
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
C A
B
SA+SB=SC
结论：以直角三角形两 直角边为边长的小正方 形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的 面积.
探索勾股定理优质课ppt
货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这
是为什么吗？
582+462=5480
≠
742=5476
能力拓展：
1、下图中正方形内的数表示这个正方形的面积，求字 母所代表的正方形的面积。
400 225
A=625
81 B
B=144
2、小丽家的电视机的屏幕大约有50厘米长 和40厘米宽，这是一台多少英寸的电视机呢？ （1英寸=2.54厘米）
图1中：
A的面积+B的面积=C的面积
我们将它变小
C
三 个
A
正
方
C
形
B
A
的 面
图1
B
积 关
图2
系
呢
？
图2中： A的面积+B的面积=C的面积
2
ABC
做
一
A
做
（1），并填写下表：
C
B
C
图3
A
B
图4
的（
面） 积三 之个 间正 有方 什形 么
关，
系 ？
，
A的面积+B的面积=C的面积 A的面积 （单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
图3
16
9
25
图4
4
9
13
面积A+面积B=面积C
如果：三角形的边长分别为a、b、c 那么：它们有什么关系呢？
面=积aA2 a
面积C
=c2
c b
面积B
=b2
a2 + b2 = c2
勾股定理
a
通过刚才的讨论： 勾
别称： 毕达哥拉斯定理
《探索勾股定理》第三课时上课课件
家庭作业： 全品第二/三课时
课堂作业：
1.一轮船以16海里/小时的速度离A港向东北 方向航行，另一艘轮船同时以12海里/小时的 速度离A港向西北方向航行，2小时后，两船 相距多少海里？
2.如图在△ABC中，∠ACB=90º， CD⊥AB，
D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.
A D
求① △ABC的面积；
课堂练习： 一、判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=__6__,b=_8__. (2)若a=9,b=40,则c=__4_1___. 2.在 ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC 面积为__2_4__,斜边为上的高为__4_.8___.
1.1 探索勾股定理(3)
复习旧知
我们学过哪些验证“勾股定理”的方法？ 数形结合
拼正方形图 拼正方形图
拼梯形图
新知探究
Ⅰ、将左图是两个正方形分别翻折过来，得到右 边的图形。通过数格子法，你有什么发现？
新知探究
Ⅲ、将图形进行割补，看看会有什么结果？
“青朱出入图”
无字证明
a
青入
朱出
朱方 c
清入
b
朱入
青方 青出
清出
问题解决
例1、如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的 半 圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能通过隧 道吗？
解：过点A作AB⊥OC于点B，
A
∵∠ABO=90°
∴AB2+OB2=OA2 且OA=3.6，OB=1.5
O BC
∴AB2+1.52=3.62
1.1 探索勾股定理 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册
拨
［答案］ B
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
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方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
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例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
［解题思路］设 AC=b，BC=a，AB=c，易得 AB⊥DE，所
考
点
清 以四边形 ACBE 的面积=S△ACB+S△ABE= AB·DG+ AB·EG=
单
解
2
读 AB·（DG+EG）= AB·DE= c ， 四边形 ACBE 的面积
=S
梯形 ACFE
）b+
+S△EFB=
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［答案］ 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
所以∠ADB=∠ADC=90°．
设 BD=x，则 CD=21-x，
在 Rt△ABD 中，AD2=102-x2，
在 Rt△ADC 中，AD2=172-（21-x）2，
解得 x=6，所以 AD2=102-62=64，
所以 AD=8，即 BC 边上的高为 8．
（1）已知∠C=90°，a=6，b=8，求 c；
（2）已知∠B=90°，a=15，b=25，求 c.
1.1 探索勾股定理
考
点
清
探索勾股定理ppt课件
星人联系的信号.
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
初中数学《探索勾股定理》_精品PPT课件-ppt【北师大版】1
初中数学《探索勾股定理》精品ppt北 师大版 1-精品 课件pp t(实用 版)
提高训练
1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
BC的平方为_____2_5_或___7_
.
B
B
4
4
C3 A
A3 C
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解：由折叠的性质知CD=DE， AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运 用勾股定理求DE． 由勾股定理得，AB=10． 由折叠的性质知，AE=AC=6， DE=CD，∠AED=∠C=90°． ∴BE=AB-AE=10-6=4， 在Rt△BDE中，由勾股定理得， DE2+BE2=BD2 即CD2+42=（8-CD）2，
C
B
AB=3km,AC=4km求交汇
点A到大路BC的最近距离是多少？
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答案：2.8
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三、简单应用
例 3 如图所示，一棵大树在一次强烈 台风中于离地面10米处折断倒下，树顶 落在离树根24米处. 大树在折断之前高多 少米？
A的面积 4
B的面积 4
C的面积 8
等于以斜边为边C长的正
方形的面积.
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
SA+SB=SC
C A
B 图甲
图甲 图乙 A的面积 4 9 B的面积 4 16 C的面积 8 25
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第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用
任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便 清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证 明”。
约公元 263 年，三国时代魏国的数学家 刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用 “出入相补法”证明了勾股定理。
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用
1.1
探索勾股定理（3）
授课教师----刘登骏
<一>课前自主探究活动
具体的做法是： 请各个学习小组从网络或书籍上，尽可 能多地寻找和了解验证勾股定理的方法. 探究报告
《勾股定理证明方法汇总》
方法种类及历史背景 验证定理的具体过程 知识运用及思想方法
<二>验证过程的分析与欣赏
第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何 图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒 等关系; 第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运 用欧氏几何的基本定理进行证明; 第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表， “无字证明”.
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何
的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义.
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用
任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便 清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证 明”.
第一种类型：
方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注 解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”， 这是我国对勾股定理最早的证明.
单击图片打开
第三种类型：
方法三:意大利文 艺复兴时代的著名 画家达·芬奇对勾 股定理进行了研究。 B
A
a
F c
b
O
C
D
E
A B a
F O Cb E D
Ⅰ
Ⅱ
A′ B′ C′ D′ F′ E′
Ⅰ
Ⅱ
<三>尝试拼图,验证勾股定理
五巧板的制作
G E ⑤
A ④
③ H
b
C ②
c
B
I
①
F
a
D
利用五巧板拼图验证勾股定理:
b
c a
b
c
b
c
a
这种证明方法从几何图形的面积变化;四>练习提升
1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中 三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边 长度比为3:4，求两直角边的长。
<五>勾股定理的文化价值
(1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。 (2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙 “人”都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与 “外星人”联系的信号。 (3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。 (4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解 题程序树立了一个范式。
问题思考 对某一验证方法
<1> <2> 运用了哪些数学知识？ 体现了哪些数学思想方法？
<3> 这种方法与其他方法比较，有什么 共同点和不同点？
三种类型：
第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、
割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了以形证数、形 数统一、代数和几何的紧密结合 .
方法二:美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总 统证法”.
如图，梯形由三个直角三角形组合而 成，利用面积公式，列出代数关系式, 1 1 1 得 (a b)(b a ) 2 ab c 2 .
2 2 2
a
b
a
c c b
化简,得 a b c .
2 2 2
第一种类型：
方法三 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。 将4个全等的直角三角形拼成边长 为(a＋b)的正方形ABCD，使中间留下 边长c的一个正方形洞．画出正方形
ABCD．移动三角形至图2所示的位臵中，
图1
于是留下了边长分别为a与b的两个正方 形洞．则图1和图2中的白色部分面积必 定相等，所以c2=a2+b2
图2
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何
的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。
第二种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何
<六>小结反思
学生反思：
你最大的收获是什么； 让你感触最深的一种证法是什么； 你表现较好的方面； 你学会了哪些知识； 你还有哪些疑惑……
<七> 课题拓展
（1）写数学日记并发挥你的聪明才智， 去探索勾股定理、去研究勾股定理， 你又有什么新的发现？
（2）尝试利用意大利著名画家达· 芬 奇的方法验证勾股定理？
的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M。通过证 明△BCF≌△BDA，利用三 角形面积与长方形面积的关 系，得到正方形ABFG与矩 形BDLM等积，同理正方形 ACKH与 矩形MLEC也等积， 于是推得 AB2 AC 2 BC 2
任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便 清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证 明”。
④
⑤
b
③
c
a
① ②
无字证明
第三种类型： 在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现
的一种拼图证明
做法是将一条垂直线和一条水 平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图中的颜色,将两 个直角边的正方形填入斜边正方形 之中，便可完成定理的证明。
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正 是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就.
c
1 2 由面积计算,得 c 4 ab (b a) . 2 展开,得 c2 2ab b2 2ab a 2 .
2
化简,得
c 2 a 2 b2 .
第一种类型：