辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导暑假专题—二元一次方程组综合提高讲学案苏科版
辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 因式分解讲学案 苏科版
因式分解【本讲教育信息】一. 教学内容：因式分解因式分解是中学代数课程的一种重要的恒等变形，不仅在后面的分式通分、约分时有着直接的应用，而且在解方程以及将三角函数式变形时，也经常用到它，也正是因为因式分解以其广泛的应用性在初中数学中占有特殊重要地位，所以学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
二. 重、难点：1. 理解因式分解的意义2. 掌握因式分解的方法——提公因式法、公式法。
三. 知识要点：1. 因式分解的意义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式。
1）因式分解是一种恒等变形，其是否正确，可以用整式乘法检验，看乘得的结果是否等于原多项式。
2）因式分解强调的结果是整式的积的形式，是一种形式上的恒等变形。
3）因式分解的结果要求，是必须进行到每个因式都不能再分解为止，要注意要求在何种数集内进行因式分解。
4）并不是所有多项式在任何数集内都能因式分解。
2. 因式分解的基本方法1）提公因式法。
形如)(c b a m mc mb ma ++=++2）运用公式法： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±3. 因式分解中的四大注意1）首项有负常提负；2）各项有“公”先提“公”；如：把4222++--ab b a 分解因式。
解：原式=)42(22-+--b ab a =]4)[(2---b a =)2)(2(--+--b a b a这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
防止学生出现诸如2222)2()3(49y x y x --=+-)23)(23(y x y x --+-=)23)(23(y x y x +-=的错误（错在哪里？）；这里的“公”指“公因式”。
如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。
辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 幂的运算
幂的运算【本讲教育信息】 一. 教学内容：幂的运算——同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方［目标］1. 掌握同底数幂的乘、除法，幂的乘方法则与积的乘方法则。
2. 会双向应用幂的乘方公式与积的乘方公式。
3. 会区分积的乘方，幂的乘方和同底数幂乘法、除法。
4. 明确零指数幂、负整数指数幂的意义，并能与幂的运算法则一起进行运算，并能解决一些实际问题。
二. 重、难点：1. 掌握同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，知道它们的联系和区别，并能运用它们熟练进行有关计算。
2. 同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方运算法则的推导过程。
3. 理解零指数幂、负整数指数幂的意义。
4. 培养我们的归纳能力、化归思想和创新意识，并能养成“以理驭算”的良好运算习惯。
三. 知识要点（1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅ （2）幂的乘方：底数不变，指数相乘，即()mn nma a =（3）积的乘方：等于每个因式分别乘方，即()n n nb a ab = 法则的推广：当n 是正整数时，nnnnc b a abc ⋅⋅=)( ［注意］①幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式. ②幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同③多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则：mnp p mn p n m a a a ==)(])[(④幂的乘方公式可逆用：m n n m mna a a)()(==（4）同底数幂相除：底数不变，指数相减，即 nm nma a a -=÷（a ≠0）［注意］幂运算最后结果中幂的形式应是最简的： ①幂的指数、底数都应是最简的； ②底数中系数不能为负；③幂的底数是积的形式时，要再用一次nnnb a ab =)(（5）零指数和负指数：规定10=a ，p paa 1=-（其中a ≠0，p 为正整数）法则的推广：p pp nm m n =-)(（其中，m 、n 均为整数）（6）科学计数法：na 10⨯ 的形式（其中1≤a<10,n 取小数点移动位数，向右移动取负，向左移动取正） ［说明］①微米：μm 表示微米 1μm=310-mm=610-m ②纳米：nm 表示纳米，是长度单位，1纳米为十亿分之一米。
辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算讲学案 苏科版-苏
有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算【本讲教育信息】 一. 教学内容：有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算二. 重点、难点：1. 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。
2. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
三. 知识要点 1. 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：a ） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
b ） 任何数同0相乘，都得0。
［注意］：①对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：a ）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
即确定符号后把绝对值相乘。
b ） 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
② 在含有加减乘除的算式中，没有括号指明运算顺序时，要先算乘除，后算加减。
③ 乘号的三种形式“×”，“·”，“省略不写”。
对“·”和“省略不写”只能在适当的时候用。
如：“5×4”可以写成“5·4”但不能写为“54”；“1×”不能写成“1”。
（2） 有理数乘法运算律 a ） 交换律：a b b a ⨯=⨯ b ） 结合律：)c b (a c )b a (⨯⨯=⨯⨯ c ） 分配律：c a b a )c b (a ⨯+⨯=+⨯ ［注意］：在使用分配律时，乘时一定要带着符号乘。
如：4621221126112)2161(-=-=⨯-⨯=⨯- 2. 有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。
即a ÷b=a ×b1（b ≠0）。
有理数的除法可以化成有理数的乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则： a ） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
b ） 0除以任何一个不等于0的数，都得0。
［注意］：除法是乘法的逆运算，在a ×b=c 中，如果已知乘数c 和一个因数b 求另一个因数a ，或已知乘数c 和一个因数a 求另一个因数b 的运算都是除法。
辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导二元一次方程组的应用讲学案苏科版
二元一次方程组的应用【本讲教育信息】一. 教学内容：二元一次方程组的应用［目标］1. 熟悉掌握列二元一次方程组解应用题的一般步骤。
2. 能清楚的表达解决实际问题的过程，并解释解的合理性。
3. 让学生体会设间接未知数的好处，做到一题多解，学会从多角度思考问题。
4. 培养学生从图表获取信息的能力。
二. 重、难点：1. 灵活掌握运用方程组解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力。
2. 探究如何根据实际问题的条件建立二元一次方程组的模型三. 知识要点1. 列方程解应用题的基本步骤与要求（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量间的关系。
（2）设；设未知数，一般求什么设什么，设未知数要带好单位名称。
（3）列：找出两个相等关系，列出方程组。
（4）解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值。
（5）检：检验所得结果的合理性。
（6）答：答要带单位。
归纳为6个字：审、设、列、解、检、答2. 列方程组解应用题的常见类型主要有：（1）行程问题：包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；（2）工程问题：一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题。
基本等量关系为：工作量＝工作效率× 工作时间；（3）和差倍分问题：基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；（4）航速问题：此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速（5）几何问题、年龄问题和商品销售问题等【典型例题】一. 根据图表解题：例1. 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）分析：设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意列出表格：解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.说明：我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来。
辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 暑假专题
暑假专题——操作型试题（一）【本讲教育信息】一. 教学内容：暑假专题——操作型试题（一）操作型试题是指给出操作规则，在操作过程中发现新结论，自主探索知识的发展过程；它为解题者创设了动手实践，操作设计的空间，考查了数学实践能力和创新设计才能．是近几年全国各地中考命题的热点．二、知识要点：1、画图与拼图它直接考查实际操作能力．这类题大多联系生活实际，内容开放．需要考生进行多方面、多角度、多层次的探索，能检验考生思维的灵活性、发散性和创新性．2、折叠与变换图形的折叠实际上就是全等变换，实质就是轴对称．解题关键：分清折叠前后哪些量变了、哪些量没有变，折叠后又有哪些条件可以利用．载体：1）以三角形为载体2）以矩形为载体3）以梯形为载体4）以圆为载体3、旋转与展开【典型例题】例1、在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其它边相切．请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）分析：扇形的剪法并不唯一，但只要抓住圆心和半径两点就可以确定下来．一般来说圆心定位，半径定形，所以我们可以先确定圆心的位置．解：略说明：注意一些特殊的扇形——半圆例2、已知P是Rt△ABC的斜边AB上异于A、B的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条分析：过点P作直线截得的三角形必须也是直角三角形，所以我们是找垂线：在斜边上的一点作垂线有且只有两种——分别垂直于两条直角边．答：选B说明：三角形相似是指三个角对应相等．例3、在正六边形的地砖上设计图案，把它分成面积相等的六部分．分析：易想到的是取正六边形的对角线，把它平均分成六个小三角形．不过，此题需要注意的是分成面积相等的六部分，形状不一定相同，所以我们只要每个部分的面积与“小三角形”的面积相同即可．解：略说明：善于分析题意，分解图形．相信你一定能设计出美丽的图案．例4、将等边三角形纸片折叠（折痕不与边平行），使其一个顶点落在该顶点的对边上，你能得出哪些结论？分析：等边三角形原来的∠B和∠C未发生变化，发生变化的是：∠DA’E=∠A，AD=A’D，AE=A’E 解：如图：ΔAD E≌ΔA’DE∠BDA’=∠EA’C，∠BA’D=∠CEA’ΔABC的周长=ΔBA’D的周长+ΔCEA’的周长等例5、已知：如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O ．写出一组相等的线段（不包括AB ＝CD 和AD ＝BC ）分析：抓住未变化与发生变化之间的联系 解：AB=CD=ED ，BC=AD=BE AO=EO ，BO=DO （ΔAOB ≌ΔEOD ）说明：要善于从已知条件中总结一些结论用于推导下一步．例6、取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图（1）；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B’，得Rt △AB’E，如图（2）；第三步：沿EB’线折叠得折痕EF ，如图（3）． 利用展开图（4）探究： （1）△AEF 是什么三角形？（2）若把任一矩形改为正方形，按照上述方法是否能折出这种三角形？（3）若矩形的边长为a 和b （a<b ），则a 和b 满足什么关系时上述折叠能折出等边三角形？解：（1）△AEF 是等边三角形 （2）不能 （3）a b 23例7、已知：Rt △ABC 的斜边AB ＝5cm ，直角边AC ＝4cm ，BC ＝3cm ．以直线AB 为轴旋转一周，得到的几何体的表面积为（ ）（A ）22.56πcm 2（B ）16.8πcm 2（C ）9.6πcm 2（D ）7.2πcm 2分析：旋转得到的几何体我们可以把它切割成两个圆锥，那么求几何体的表面积就相当于求两个圆锥的侧面积的和了．2218.164)5432(213)5432(21cm S S S πππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=侧侧表面积 答：选B例8、下面的图形都是由6个大小一样的正方形拼接而成的，这些图形中可折成正方体的是（ ）AB CD答：选C说明：拼正方形的11种方法：中间四个面，上、下各一面；中间三个面，一、二隔河见；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三、三连一线．【模拟试题】（答题时间：40分钟）1.（2005年内江市）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C ＇处，BC ＇交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A. AD ＝BC ＇B. ∠EBD ＝∠EDBC. △ABE ∽△CBD2. （2006年天门）将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是3. （2006年盐城）在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成三角形，又能拼成平行四边形和梯形的可能是（ ）4. （2006年舟山）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC 可将其固定，这里所运用的几何原理是．5. （2006年临安）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝ 度．6. （2006年永州）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB 的高为 0.3米，踏板DE 长为1.6米，支撑点A 到踏脚D 的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E 上升了_________米．7. 在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4=_________．l321S 4S 3S 2S 18. （2006年南昌市）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出1 个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．9. （2006年浙江）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折者第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图甲（虚线表示折痕）．除图甲外，请你再给出三种不同的．．．操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和图甲是相同的操作）．甲乙①②③10. （2006年伊春）如图，在网格中有一个四边形图案．（1）请你画出此图案绕点O顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；（2）若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形AA1A2A3的面积；（3）这个美丽的图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．附加题：11. （2006年天津）如图，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：__________（用“能”或“不能”填空）．若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【试题答案】1. C2. C3. C4. 三角形的稳定性5. 366. 0.87. 48. 本题答案不惟一，只要符合要求都给满分，以下答案供参考9.10. （1）如图，正确画出图案（2）如图，123AA A A S 四边形=123AB B B S 四边形－34BAA S=（3+5）2－4×12×3×5=34 故四边形AA 1A 2A 3的面积为34．（3）结论：AB 2+BC 2=AC 2或勾股定理的文字叙述．11. 如图，取四边形ABCD 各边的中点E 、F 、G 、H ，连结EF 、GH ，则EF 、GH 为裁剪线，EF 、GH 将四边形ABCD 分成1、2、3、4个部分，拼接时，图中的标号1不动，将标号2、4分别绕点G 、F 各旋转180°，标号3平移，拼成的四边形满足条件．。
辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 二元一次
二元一次方程组的解法—代入消元法、加减消元法【本讲教育信息】一. 教学内容：二元一次方程组的解法——代入消元法、加减消元法［目标］1. 熟练掌握用代入（消元）法、加减（消元）法解二元一次方程组．2. 理解三元一次方程组并掌握其解法．3. 会求二元一次方程的整数解二. 重、难点：1. 了解解二元一次方程组的基本思想，能选用合理、简捷的方法解二元一次方程组．2. 了解三元一次方程组及其解的概念，解三元一次方程组的基本思想和方法．3. 通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程组转化(化归)的思想．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想．4. 掌握简单的二元一次方程的整数解的求法．三. 知识要点1. 解二元一次方程组的方法：解二元一次方程组的基本思路是“消元”．“消元”－－－－－－把“二元”变为“一元”．（1）代入消元法将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．适用范围：最好是某个未知数的前面的系数的绝对值为1或一个方程的常数项为0，否则尽量避免使用这种方法．（2）加减消元法把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．注意：注意变形的等价性，代入要细心，计算后要检验．把求出的解代入原方程组，可以检验解题过程是否正确．一般步骤：第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简．2. 三元一次方程组及其解：（1）解三元一次方程组的基本思路：化三“元”为二“元”，再化二“元”为一“元”，即利用代入法和加减法消“元”逐步求解．说明：解三元一次方程组，除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之外，关键的一步是由三“元”化为二“元”，特别注意两次消元过程中，方程组中每个方程至少要用到1次，并且(1)，(2)，(3)3个方程中先由哪两个方程消某一个未知数，再由哪两个方程（一个是用过的）仍然消这个未知数，防止第一次消去y，第二次消去z或x，仍然得到三元一次方程组，没有达到消“元”的目的．3. 二元一次方程整数解（1）二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by＝c中，若a，b的最大公约数能整除c，则方程有整数解．即如果（a，b）|c 则方程ax+by＝c有整数解．显然a，b互质时一定有整数解．例如：方程3x+5y＝1， 5x－2y＝7， 9x+3y＝6都有整数解．（2）二元一次方程整数解的求法：1）关于整数解的通解：若方程ax+by＝c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）．k 叫做参变数．①整除法：求方程5x+11y＝1的整数解解：x ＝5111y -＝y yy y 2515101--=-- (1) ， 设k k y(51=-是整数），则y ＝1－5k (2) ， 把（2）代入（1）得x ＝k －2(1－5k)＝11k －2 ∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=ky k x 51211（k 是整数）②公式法：设ax+by ＝c 有整数解 ⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00（x 0，y 0可用观察法）2）求二元一次方程的正整数解：①写出整数解的通解，再解x ，y 的不等式组，确定k 值 ②用观察法直接写出．【典型例题】例1. 用代入法解方程组：（1）⎩⎨⎧=--=+)2(83)1(1125y x y x分析：通常，当某个未知数的系数的绝对值为1时，将它所在的方程变形 解：由（2）得)3(83+=y x代入（1）得：112)83(5-=++y y 解得：3-=y 代入（3）得：1-=x∴⎩⎨⎧-=-=31y x（2）⎩⎨⎧-=--=-)2(345)1(1132y x y x分析：代入法消元通常是，把方程组中的某个方程的一个未知数（系数最为简单的）用另一个未知数的代数式来表示 解：由（1）得)3(21123-=y x代入（2）得：34)21123(5-=--y y 解得：7=y 代入（3）得：5=x∴⎩⎨⎧==75y x（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+)2(334)1(1323yx yx分析：应先把分数系数化为整数系数，即把原方程组化简． 解：原方程组可化为：⎩⎨⎧-=-=+)4(3643)3(7832y x y x由（3）得)5(3923+-=y x 代入（4）得：364)3923(3-=-+-y y解得：18=y 代入（5）得：12=x∴⎩⎨⎧==1812y x（4）⎩⎨⎧=--=+)2(1394)1(132y x y x分析：想消去哪个未知数？告诉你一个令人振奋的方法：由第一个方程得y x 312--=，把它代入第二个方程，你试过这种方法吗？这叫整体代入法 解：由（1）得)3(312yx --=代入（2）得：139)31(2=---y y 解得：1-=y 代入（3）得：1=x∴⎩⎨⎧-==11y x例2. 用代入法解关于x 、y 方程组⎩⎨⎧-=-+=+)2(23)1(23ab y x b a y x分析：解字母系数的二元一次方程组与上述解问题的方法是一致的 解：由（2）得)3(23ab y x -+=代入（1）得：b a y a b y +=+-+2)23(3 解得：)(21b a y -=代入（3）得：)(21b a x += ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(21)(21b a y b a x例3. 用加减法解方程组 （1）⎩⎨⎧=-=+)2(523)1(1323y x y x分析：此方程组的两个方程中y 的系数互为相反数，所以可把两个方程相加，消去y ，解出x 的值；又发现两个方程中x 的系数相等，所以可把两个方程相减，消去x ，解出y 的值． 解法一：(1)+(2)，得186=x ， ∴3=x 把3=x 代入(2)，得529=-y ，∴2=y∴⎩⎨⎧==23y x 解法二：(1)－(2)，得84=y ， ∴2=y 把2=y 代入(2)，得5223=⨯-x ， ∴3=x∴⎩⎨⎧==23y x（2）⎩⎨⎧=+=+)2(1534)1(2553y x y x分析：此方程组中两个未知数的系数均不成整数倍，所以选择系数较简单的未知数消元．将(1)×4， (2)×3，使得x 的系数相等，再相减消去x ．解：(1)×4－(2)×3，得5511=y ∴5=y 把5=y 代入(2)，得15534=⨯+x ，∴0=x∴⎩⎨⎧==5y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+⋅=25.1%15%2532y x y x分析：应先把分数系数（百分数系数）化为整数系数，即把原方程组化简． 解：化简方程组，得⎩⎨⎧=+=-)2(2535)1(023y x y x（1）×3+（2）×2得：5019=x ∴1950=x 代入（1）得：0219503=-⨯y ∴1975=y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==19751950y x（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=---=-)2(2322)1(2622y x x y x x y分析：此题中的方程组比较复杂，应先化简，然后再观察系数的特点，利用加减消元求解． 解：化简方程组，得⎩⎨⎧=-=+)4(625)3(1032y x y x(3)×2+(4)×3，得3819=x ，∴2=x 把2=x 代入(4)，得2=y∴⎩⎨⎧==22y x例4. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++=+-)3(323)2(1032)1(92z y x z y x z y x 分析：观察到方程(1)中x 的系数为1，所以可用代入法消去x ，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，求出它的解，即得到y 和z 的值，再求x 的值，也可先消去z ，得到x ，y 的二元一次方程组．解：由(1)得 x ＝9+2y －z （4）把(4)代入(2)，得2×(9+2y －z)+y+3z ＝10， 即 5y+z ＝－8 (5)把(4)代入(3)，得3×(9+2y－z)+2y －4z ＝－3， 即 8y －7z ＝－30 (6)(5)和(6)组成方程组⎩⎨⎧-=--=+307885z y z y解这个方程组，得⎩⎨⎧=-=22z y把y ＝－2， z ＝2代入(4)，得x ＝9+2×(－2)－2＝3∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==223z y x例5. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++)3(9494)2(67153)1(6362z y x z y x z y x 分析：此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单的未知数x ，由(1)和(2)，(1)和(3)两次消元，得到关于y ，z 的二元一次方程组，最后求x ．解：(1)×3，得 6x+18y+9z ＝18 (4) (2)×2，得 6x+30y+14z ＝12 (5) (5)－(4)，得12y+5z ＝－6 (6) (1)×2，得4x+12y+6z ＝12 (7) (7)－(3)，得21y+2z ＝3 (8)由(6)和(8)组成方程组⎩⎨⎧=+-=+32216512z y z y解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-==231z y把31=y ，2-=z 代入(1)，得2x+6×31+3×(－2)＝6， ∴ x＝5∴⎪⎩⎪⎨⎧-===2315z y x说明：用加减法解三元一次方程组时，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数例6. 解方程组⎩⎨⎧=-+=)2(1532)1(3:2:1::z y x z y x分析：此方程组中的一个方程是用等比的形式给出的，可设1份为k ，即x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k ，将其代入(2)，可解出k 的值，从而求出x ，y ，z 的值．另外，也可以将这个等比形式写成两个比例式，从而原方程组可化为常见形式的三元一次方程组． 解法一：设x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k把x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k 代入(2)，得 2k+2k －3×3k＝15 ∴ k＝－3∴ x＝－3， y ＝－6，z ＝－9∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=963z y x解法二：原方程组可化为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==15323121z y x z x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+==)5(1532)4(3)3(2z y x z x y x 把(3)和(4)代入(5)，得2x+2x －9x ＝15， ∴ x ＝－3 把x ＝－3代入(3)和(4)，得y ＝－6， z ＝－9∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=963z y x例7. 求方程5x －9y ＝18整数解的通解 解：x ＝53235310155918yy y y y -++=-++=+ 设k y=-53（k 为整数），y ＝3－5k ， 代入得x ＝9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=ky kx 5399 （k 为整数）又解：当x ＝0时，y ＝－2，∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y y x 5290（k 为整数）说明：从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的．例8. 求方程5x+6y ＝100的正整数解 解：x ＝52056100yy y --=-(1)， 设k y=5(k 为整数)，则y ＝5k ，(2) 把（2）代入（1）得x ＝20－6k ，∵⎩⎨⎧>>00y x 解不等式组⎩⎨⎧>>-050620k k得0＜k<620，k 的整数解是1，2，3， ∴正整数解是⎩⎨⎧==514y x ⎩⎨⎧==108y x ⎩⎨⎧==152y x例9. 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x+5y ＝38 （x ，y 都是正整数）∵x ＝1时，y ＝7，∴⎩⎨⎧==71y x 是一个整数解∴通解是⎩⎨⎧-=+=k y kx 3751（k 为整数）解不等式组⎩⎨⎧>->+037051k k 得解集是3751<<-k ∴整数k ＝0，1，2把k ＝0，1，2代入通解，得原方程所有的正整数解⎩⎨⎧==71y x ⎩⎨⎧==46y x ⎩⎨⎧==111y x 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本．【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 方程2x+y ＝9在正整数范围内的解有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 用加减法解方程组⎩⎨⎧=-=+11y 2x 33y 3x 2时，有下列四种变形，其中正确的是（ ）A. ⎩⎨⎧=-=+11y 6x 93y 6x 4B. ⎩⎨⎧=-=+22y 2x 69y 3x 6C. ⎩⎨⎧=-=+33y 6x 96y 6x 4D. ⎩⎨⎧=-=+11y 4x 63y 9x 63. 已知a ，b 满足方程组 ⎩⎨⎧=+=+7b a 28b 2a ， 则 a －b 的值为（ ）A. －1B. 0C. 1D. 24. 若方程组⎩⎨⎧=-+=+3y )1a (ax 1y 3x 4的解x 与y 相等，则a 的值等于（ ）A. 4B. 10C. 11D. 125. 关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ky x 95 的解也是二元一次方程 632=+y x 的解，则k 的值是（ ） A. 43-B.43 C.34D. 34-6. 方程组⎩⎨⎧=-=+28y x y x 的解是________7. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：________________（填编号）①4x ＋2y ＝11 ②10x －5y ＝70③9x+3y ＝111 ④18x －9y ＝98⑤91x －13y ＝169 ⑥120x+121y ＝324.8. 用代入法解方程组： （1）⎩⎨⎧=+=-23462y x y x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+236244y x y x （3）x －3y ＝2x ＋y －15＝19. 用加减法解方程组 ：（1）⎩⎨⎧=+=-42651043y x y x（2）⎩⎨⎧⨯=+=+70%10%60%3070y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-+=-16)2(4)(3143)(2y x y x y x y x 10. 解三元一次方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=-5223473z x z y y x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++0865115239342z y x z y x z y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧=++==664:5:2:3:z y x z y y x11. 已知两个方程组⎩⎨⎧-=-=+452by ax y x 和⎩⎨⎧=+=-232645by ax y x 有公共解，求a ，b 的值． 12. 求方程的正整数解：5x+7y ＝8713. 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数和．14. 解方程组327,2114.x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解：设11,m nx y==，则原方程组可变形为关于m、n的方程组__________________．解这个方程组得到它的解为________________，由________________得原方程组的解为________________．由此可见，一个较为复杂的二元二次方程组，通过换元法可转化为简单的二元一次方程组．【课外阅读】百鸡问题中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，而3只小鸡值1文钱．现在用100文钱买100只鸡，问：这100只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题．解法如下：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只，由题意得：x+y+z＝100①有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解．②×3－①得：7x+4y＝100，因此由于y表示母鸡的只数，它一定是自然数，而4与7互质，因此x必须是4的倍数．我们把它写成：x＝4k（k是自然数），于是y＝25－7k，代入原方程组，可得：z＝75+3k．把它们写在一起有：一般情况下，当k取不同数值时，可得到x、y、z的许多组值．但针对本题的具体问题，由于x、y、z都是100以内的自然数，故k只能取1、2、3三个值，这样方程组只有以下三组解：【试题答案】1. D2. C3. A4. C5. B6. ⎩⎨⎧==35y x 7. ①④ 8. 解：（1）⎩⎨⎧-==22y x（2）⎩⎨⎧==44y x （3）由x －3y ＝1，得x ＝3y ＋1，代入2x ＋y －15＝1中，得7y ＝14，得y ＝2， 则x ＝7．原方程组的解是⎩⎨⎧==27y x 9. （1）⎩⎨⎧==26y x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==31403350y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1523y x 10. （1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=2112z y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-==855142z y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧===162030z y x11. a ＝－1，b ＝212. 正整数解是⎩⎨⎧==116y x ⎩⎨⎧==69y x ⎩⎨⎧==112y x 13. 解：设老二年龄与老三年龄分别为x 岁，y 岁，则2x+5y ＝97（其中y<x<20）求其正整数解得：⎩⎨⎧==146y x ⎩⎨⎧==341y x ⎩⎨⎧==536y x ⎩⎨⎧==731y x ⎩⎨⎧==926y x ⎩⎨⎧==1121y x ⎩⎨⎧==1316y x ⎩⎨⎧==1511y x ⎩⎨⎧==176y x ⎩⎨⎧==191y x又y<x<20，∴⎩⎨⎧==1316y x∴20+16+13＝49答：兄弟三人的岁数和为49．14. 解：⎩⎨⎧=-=+142723n m n m ，⎩⎨⎧-==45n m ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4151y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4151y x。
七年级下学期数学 暑假专题讲座2二元一次方程组
专题讲座（二） 二元一次方程组 姓名： 知识点精讲1.二元一次方程:含有 个未知数，并且未知数的指数都是 ，的方程叫做二元一次方程.下列方程中,是二元一次方程的是 .(填番号) ⑴114x y+=⑵123x y +=⑶223x y x y +=⑷236x y -=⑸259x x -= 2．二元一次方程组：每个方程都是一次方程，整个方程组是只含有两个未知数的整式方程组.3.判断一组数是否为二元一次方程(组)的解:把这一组数代入二元一次方程中,若等式成立,则为二元一次方程的一个解, 二元一次方程的解具有不定性,一般有 个解.把这一组数分别代入原方程组中的每个方程中,若使每个方程都成立,则这一组数为原方程组的解.4.解二元一次方程组的基本思想:消元. 方法:代入法、 .一元一次方程二元一次方程组转化消元基本方法:代入法、 .整体处理法:根据方程组的特点,将方程中的若干项看作一个整体,从而达到简化方程组便于消元.设辅助元法:有的方程是以等比的方式给出的,设比值为新元, 从而将方程借助新元转化成方程组解之.例如: 解下列方程组:⑴41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩ ⑵()()41312223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩ ⑶2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩ 典型例题分析1. 解下列方程组: ⑴()()9185232032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ ⑵7231x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩⑶199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩ ⑷323231112x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩⑸23427x y y z z x x y z +++⎧==⎪⎨⎪++=⎩2.如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a c 与的关系是( )A.49a c +=B. 29a c +=C. 49a c -=D. 29a c -=3.关于x y 、的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解,则k 的值是 .4. 若已知方程()()()221153a x a x a y a -+++-=+,则当a = 时,方程为一元一次方程; 当a = 时,方程为二元一次方程.5. 已知方程组 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩;乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩,若按正确的a b 、计算,求原方程组的解.6若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222222522310x y z x y z+---的值. 7.求二元一次方程3220x y +=的:⑴所有正整数解;⑵一组分数解;⑶一组负数解.8.已知关于x y 、的方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解,即x y 、都是整数,m 是正整数,求m 的值. 强化训练a 515 42x y x by +=⎧⎨-=-⎩① ②一、选择题：1. 二元一次方程组225x y x y +=⎧⎨-+=⎩的解是( ) A.16x y =⎧⎨=⎩ B. 14x y =-⎧⎨=⎩ C. 32x y =-⎧⎨=⎩ D. 32x y =⎧⎨=⎩ 2.已知代数式1312a x y -与23b a b x y -+-是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ） A.21a b =⎧⎨=-⎩B.21a b =⎧⎨=⎩C.21a b =-⎧⎨=-⎩ 3. 若92x y =⎧⎨=⎩是方程组473x y a b x y a b -=+⎧⎨-=-⎩解, 则a b 、的值是( ) A.81214a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ B. 317a b =⎧⎨=-⎩ C. 47232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ D.519a b =⎧⎨=-⎩4. 如果方程组()43713x y kx k y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解x y 、的值相等,则k 的值是( ) A.1 B.0 C.2 D. 2-二、填空题：1.方程组()1602111x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解是 . 2.如果()25x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = .3. 若23x y =-⎧⎨=⎩是方程33x y m -=和5x y n +=的公共解,则23m n -= . 4. 已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解,则()()a b a b +-的值是 .三、解下列方程组:⑴()1232111x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩⑵361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩ 四、已知关于x y 、的方程组2647x ay x y -=⎧⎨+=⎩有整数解,即x y 、都是整数,a 是正整数, 求a 的值.五、先阅读,再做题:1.一元一次方程axb =的解由a b 、的值决定:⑴若0a ≠,则方程ax b =有唯一解b x a =; ⑵若0a b ==,方程变形为00x ⋅=,则方程ax b =有无数多个解;⑶若0,0a b =≠,方程变为0xb ⋅=,则方程无解. 2.关于x y 、的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的讨论可以按以下规律进行: ⑴若1122a b a b ≠,则方程组有唯一解; ⑵若111222a b c a b c ==,则方程组有无数多个解; ⑶若111222a b c a b c ≠=,则方程组无解.请解答:已知关于x y 、的方程组()312y kx b y k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩分别求出a b 、为何值时, 方程组的解为:⑴有唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解?。
辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 有理数的运算(加减运算)讲学案 苏科版
有理数的运算（加减运算）【本讲教育信息】 一. 教学内容：有理数的加减及加减混合运算由于负数的引入，使数的范围扩大到了有理数，这样对有理数运算的研究就成为我们要进行的主要课题。
下面我们将逐一进行研究。
二. 重点、难点：1. 掌握有理数的加、减及加减混合运算。
2. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
三. 知识要点 1. 有理数的加法 （1）有理数加法法则：a ）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
b ）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
c ）一个数同0相加，仍得这个数。
（2）有理数加法运算律： a ）交换律：a b b a +=+b ）结合律：)()(c b a c b a ++=++ [注意]：①对三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以把其中的几个数相加。
②利用加法的运算律可以简便运算，除了小学已经知道的凑整、同分母先算外，还可以正、负数分别先算，互为相反数结合在一起后再相加等。
如：2. 有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即a－b＝a+（－b）， a－（－b）＝a+b。
[注意]：①减法是加法的逆运算。
如：a－b＝c就是已知两个数的和a与一个加数b，求另一个加数c的运算。
②“－”号在小学时已经知道它是运算符号“减”，学习了正负数的概念后，“－”号又是性质符号“负”。
根据减法法则，对（－8）－（－7）+（－2）－（+1）可以转化为（－8）+（+7）+（－2）+（－1），象这种把加减统一写成加法的式子叫做有理数的代数和。
上面（－8）+（+7）+（－2）+（－1）又可以写为－8+7－2－1叫做省略加号的代数和，即各个加号省略不写，每个数的括号也可以省略，读作“负8、正7、负2、负1的和”或“负8加7减2减1”。
③运用加法交换律交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。
七年级数学下册 课后补习班辅导 二元一次方程、二元一次方程组及其解讲学案 苏科版(2021学年)
辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导二元一次方程、二元一次方程组及其解讲学案苏科版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导二元一次方程、二元一次方程组及其解讲学案苏科版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二元一次方程、二元一次方程组及其解【本讲教育信息】一。
教学内容：二元一次方程、二元一次方程组及其解[目标]:2. 学会求出某二元一次方1。
了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念。
ﻫ程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程（组)的解。
3。
学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示。
ﻫ４. 学会根据给定的解求出方程中所含字母的值。
二. 重、难点:1。
二元一次方程、二元一次方程组的意义及其的解的概念。
2。
二元一次方程的解的不定性和相关性。
即二元一次方程的解有无数个,但又不是任意两个数是它的解.３。
判断一组数是不是某个二元一次方程组的解,培养学生良好的数学应用意识。
三. 知识要点1。
二元一次方程1)定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是１的方程叫做二元一次方程．说明:一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件：①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数;③未知项的次数是1。
２)二元一次方程的一般形式:ax＋ｂｙ=c(a≠０,b≠0）3）二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制,方程的解可能只有有限个。
辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 余角、补角、对顶角讲学案 苏科版
余角、补角、对顶角【本讲教育信息】一. 教学内容：余角、补角、对顶角本周主要内容是学习互为余角和互为补角的概念及其性质，对顶角的概念及其特征。
并要求在经历观察、操作、推理、交流等过程中，进一步发展空间概念，培养推理能力、有条理的表达能力，并要求能解决一些实际问题。
［目标］1. 在现实背景下了解余角、补角、对顶角的概念。
2. 知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等；能利用对顶角相等的性质进行计算。
二. 重、难点：本周的重点是互为余角和互为补角的概念及其性质，以及利用学习过的知识解决一些实际问题。
三. 知识要点1. 余角、补角。
（1）如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角。
（2）如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角。
（3）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
说明：①互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置改变。
②“互为余角”和“互为补角”是指具有特殊关系的两个角. 如同代数中的“互为倒数”和“互为相反数”一样，是指具有特殊关系的两个数，而且只能是两个角之间的特殊关系。
如果三个角的和是180°，我们不能说这三个角互为补角2. 对顶角（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
如：两条直线相交形成∠1，∠2，∠3，∠4四个角，如图：∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角。
（2）定理：对顶角相等。
【典型例题】例1. 如图，直线m 和l 交于O 点，已知∠1的余角与它的补角的比为1：3，求∠2的度数。
分析：本题可以利用题目中所给的条件列方程（设∠1为x°），求出∠1的度数，而∠1和∠2是对顶角，利用对顶角的性质可以求出∠2的度数。
解：设∠1的度数为x°，则它的余角为(90－x) °，它的补角为(180－x) °，根据题意： （90－x ）：（180－x ）＝1：3 解之得x ＝45又因为∠1和∠2是对顶角， 所以∠1＝∠2 （对顶角相等） 答：这个角的度数为45 °。
七年级数学下册 课后补习班辅导 暑假专题—操作型试题(二)讲学案 苏科版(2021学年)
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暑假专题——操作型试题(二）【本讲教育信息】一. 教学内容:暑假专题——操作型试题(二)４、方案设计例1、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,学校数学应用实践小组做了如下的探索： 实践一：根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树(AB ）8。
7米的点E 处，然后沿着直线ＢE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得ＤＥ＝２。
７米，观察者目高ＣＤ=１。
６米，请你计算树(ＡB)的高度(精确到0。
1米).解:∵ DE BE CD AB =∴≈⨯=7.26.17.8AB 5.２米 说明:相似三角形对应边成比例.实践二：提供选用的测量工具有①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为２。
５米的标杆一根；④高度为1。
５米的测角仪(能测量仰角、俯角的仪器)一架.请根据你所设计的测量方案，回答下列问题:(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具的序号填写） ；(2）在下图中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测得示意图中哪些数据，并分别用ａ、b 、ｃ,α、β等表示测得的数据 ;（4）写出求树高的算式:ＡＢ= .（提示：在Rt ΔABC 中，A ba tan )解：（1)①④（2)略（3)测角仪与树之间的距离a ，测角器测得的仰角α（4)AB=１.5+atan α说明:方法并不唯一，只要能巧妙地运用到我们学过的知识构造数学模型即可．5、操作探索是指利用手中的工具在给定的图形中操作.通过操作创设某一规则的动态情境,让学生观察、分析、猜想、论证,在运动的过程中探索结论，寻找规律.重点考查动手操作能力、对图形变化的理解能力和空间想象能力，从中感悟探索事物本质规律的思路和方法．例２、已知正方形A ＢC Ｄ和正方形ＡEF Ｇ有一个公共点A ，点Ｇ、Ｅ分别在线段AD 、AB 上．（１)如图1,连结DF 、B Ｆ,若将正方形A ＥFG 绕点A 按顺时针方向旋转,判断“在旋转的过程中线段DF 与BF 的长始终相等。
七年级数学下册 课后补习班辅导 暑假专题—整式及整式乘法的运算讲学案 苏科版(2021学年)
辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导暑假专题—整式及整式乘法的运算讲学案苏科版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导暑假专题—整式及整式乘法的运算讲学案苏科版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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暑假专题——整式及整式乘法的运算【本讲教育信息】一. 教学内容:暑假专题－—整式及整式乘法的运算[目的]:1。
复习巩固整式运算的概念、法则、公式.2。
熟练并灵活运用乘法公式二. 重点与难点:1. 进一步提高整式运算中对换元思想方法的理解和掌握.2．灵活掌握乘法公式的变形应用三、复习要点：1.整式定义单项式多项式运算加减——合并同类项乘除基本运算：幂的运算性质法则乘法除法公式乘法公式零指数幂负整数指数幂⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2。
乘法公式【典型例题】例1． 计算下列各题。
(1）()()()()[]23521122123203a b a b a b ab a b n n n n +---÷-÷--··（2)()3339333332112n n n n n+++++⨯+⨯⨯÷（3)若A x x B x x x C x x x =-+-=--+=+-3214243322332，，，求A B C -+的值． 解:(1）原式=----235821121366a b a b a b a n n n ···=-+8032106a b n（2）原式=⨯⨯=++-33333322n n n（3)原式()=-+----+++-3214243322332x x x x x x x x =-752x例2。
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暑假专题——二元一次方程组综合提高【本讲教育信息】 一. 教学内容：二元一次方程组综合提高通过解一些较为复杂的二元一次方程组，提高解题能力。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 解可以换元的二元一次方程组。
2. 解字母系数的二元一次方程组。
3. 列二元一次方程组解应用题。
【解题方法指导】例1. 已知a b a b +=+=1231，。
求关于x y ，的方程组()()a b x by ax a b y +-=+-=⎧⎨⎩2626的解。
分析：先解a b a b +=+=⎧⎨⎩1231的解，代入另一方程组，求x y 、。
解：a b a b +=+=⎧⎨⎩1231①②②①×-2，得b =-1 代入①，得a =2将a b 、代入到()()a b x by ax a b y +-=+-=⎧⎨⎩2626中，得y x y =+=⎧⎨⎩6256∴x y =-=⎧⎨⎩126评析：此题是两个方程组形成阶梯式形式，第一个方程组是为第二个方程组作准备的。
例2. 解方程组：32116513()()()()x y x y x y x y ++-=+--=⎧⎨⎩分析：此题可有两种解法，一种是把方程组加以整理，化为关于x y 、的二元一次方程组；另一种是将x y +看作m ，x y -看作n ，求出m n 、后再求x y 、，这是一种换元法。
解法一：原方程化为：5111113x y x y +=+=⎧⎨⎩解得x y ==⎧⎨⎩21解法二：设x y m +=，x y n -=，得32116513m n m n +=-=⎧⎨⎩解得m n ==⎧⎨⎩31∴x y x y +=-=⎧⎨⎩31解得x y ==⎧⎨⎩21评析：换元法是一种重要的数学方法，通过换元，使方程或方程组转化为较为简单的形式，从而化难为易，化繁为简。
※例3. 解方程组：4310975x y x y+=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪分析：若采用去分母的方法去解，将会出现二次项()xy ，从而加大解题难度。
我们把方程组看成41311091715××××x y x y +=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，如果用1x m =，1y n =换元，将化为整式方程组去解。
解：设11x m yn ==，，原方程组变为： 4310975m n m n +=-=-⎧⎨⎩解得m n ==⎧⎨⎩12即1112xy ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴x y ==⎧⎨⎪⎩⎪112评析：此方程组称为分式方程组，以后还要进一步学习，通过换元，可以使它转化为二元一次方程组。
这里只是为了使同学们见一见换元法解其他方程组的方法，开阔一下眼界，如果有困难，可在以后继续学习。
【考点突破】 【考点指要】二元一次方程组在数学中是很重要的基础知识，无论是求函数解析式，还是解决实际问题都经常用到。
正因为如此，在中考试题中出现的频率很高，但大多是基础的题目。
对于技巧性较强的题目，考的机会不是太高。
通过列二元一次方程组解应用题的题目却大量出现，不但考查了二元一次方程组的解法，而且考查了列方程组解应用题的能力。
【典型例题分析】例1. 设y kx b =+，当x =1时，y =1；当x =2时，y =4。
求k b 、的值。
分析：此题从形式上看还不是二元一次方程组，但把x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩1124，代入到y kx b =+中，便得到一个二元一次方程组。
解：∵当x =1时，y kx b =+=1；当x =2时，y kx b =+=4，∴可得方程组：k b k b +=+=⎧⎨⎩124解关于k b 、的方程组，得k b ==-⎧⎨⎩32评析：此题的实质还是二元一次方程组，不要受形式所蒙蔽。
例2. 用两种方程解二元一次方程组：x y x yx y x y --+=-+=-+⎧⎨⎪⎩⎪2343327()()分析：第一种方法是把方程组整理为关于x y ，的二元一次方程组； 第二种方法是通过换元，转化为新的二元一次方程组。
解法一：原方程整理为：x y x y -=-+=⎧⎨⎩5857解得x y =-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1232解法二：设x y a +=，x y b -=，则原方程化为-+=-=+⎧⎨⎪⎩⎪a b a b 3243327即-+=--=⎧⎨⎩238327a b a b解得a b ==-⎧⎨⎩12代回所设，即：x y x y +=-=-⎧⎨⎩12解得x y =-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1232评析：两种方法都是为了将方程组转化为比较简单的形式，从而使解法较为简单，减少失误。
例3. 某幼儿园小班共有儿童若干人，有一筐桔子要分给这些儿童。
如果每人分6个，则还差6个桔子；如果每人分5个，则多出了5个桔子，问有多少个儿童，多少个桔子？分析：可以设幼儿园有儿童x 人，桔子y 个，据题意，可列出二元一次方程组6655x y x y =+=-⎧⎨⎩，解这个方程组即可。
解：设该幼儿园小班共有儿童x 人，筐中的桔子有y 个。
据题意，得6655x y x y =+=-⎧⎨⎩即6655x y x y -=-=-⎧⎨⎩①②①－②，得x =11代回①，得y =60∴x y ==⎧⎨⎩1160答：共有儿童11人，桔子60个。
评析：在列方程中，仔细思考题意，比如为什么6655x y x y =+=-，，不要搞错。
例4. （2005年呼和浩特市）《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。
”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？分析：此题可设树上有x 只鸽子，树下有y 只鸽子，由条件可得y x y x y -=+-=+⎧⎨⎪⎩⎪11311()，要注意x y +是整个鸽群的数目，解方程组求解。
解：设树上有x 只鸽子，树下有y 只鸽子根据题意，得y x y x y -=+-=+⎧⎨⎪⎩⎪11311()整理，得-+=-+=-⎧⎨⎩x yx y232①②解得xy==⎧⎨⎩75答：树上有7只鸽子，树下有5只鸽子。
例5. 为了促销，甲、乙两种商品降价出售，甲种商品七折优惠，乙种商品九折优惠，共卖出386元；这两种商品促销前售价之和为500元。
问这两种商品原售价分别为多少元？分析：七折即按原价的70%，九折即按原价的90%，弄清这一概念后，可列方程组去解。
解：设甲、乙两种商品原售价分别为x元，y元根据题意，得x yx y+=+=⎧⎨⎩50070%90%386整理得x yx y+=+=⎧⎨⎪⎩⎪500710910386即x yx y+=+=⎧⎨⎩500 793860解得xy==⎧⎨⎩320180答：甲种商品原价为320元，乙种商品原价为180元。
评析：打折问题在现实问题中经常出现，但在解题过程中，要能将70%转换为710，90%转换为910，计算起来比较容易。
【模拟试题】1. 若方程组ax bay a+=-=⎧⎨⎩51的解是xy==⎧⎨⎩12，求a、b的值。
2. 若一个两位数的十位上的数字与个位上的数字的和是5，则符合条件的两位数的个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知4362414x y zx y z-=+=⎧⎨⎩，计算x yxy222+的值。
4. 方程组32453327x y x y x y+=--=++的解为（）A.xy==-⎧⎨⎩21B.xy=-=⎧⎨⎩21C.xy=-=⎧⎨⎩12D.xy==-⎧⎨⎩125. 根据下图给出的信息，求每件T恤衫和每瓶矿泉水的价值。
6. 某人从甲地去乙地，去时每小时走12千米，回来时每小时走8千米，则往返一次的平均速度为（）A. 10千米/时B. 9.8千米/时C. 9.6千米/时D. 9.4千米/时7. 一个两位数数字的和为8，若每个数字都加上1，则得到的数比原数的2倍小6，求这个两位数。
8. 一项工程，甲队做40天可完成，乙队做50天可完成，现由甲队先做，后甲队有事撤出，由乙队接替，共做了46天完成，问甲、乙二队各做了多少天？【试题答案】 1. a b ==14，简解：将x y ==⎧⎨⎩12代入，得a b a a +=-=⎧⎨⎩521求得a b ==⎧⎨⎩142. C简解：设个位上的数字为x ，则十位上的数字为5-x 当x =0时，505-=，两位数为50； 当x =1时，514-=，两位数为41； 当x =2时，523-=，两位数为32； 当x =3时，532-=，两位数为23； 当x =4时，541-=，两位数为14； 当x =5时，550-=，组不成5位数， ∴共有5个两位数。
3.1312解：由4362414x y z x y z -=+=⎧⎨⎩，解得x zy z ==⎧⎨⎩32∴x y xy z z z z z z 22222223223213121312+=+==()()×× 4. A解：将原式改换成32453324327x y x yx y x y +=--+=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪整理，得132609108x y x y +=+=⎧⎨⎩即x y x y +=+=⎧⎨⎩209108解得x y ==-⎧⎨⎩21故选A 。
5. 202元元⎧⎨⎩解：设每件T 恤衫x 元，每瓶矿泉水y 元2244326x y x y +=+=⎧⎨⎩解得x y ==⎧⎨⎩202()()元元6. C解：设甲、乙两地的距离为a 千米，甲去时所用时间为x 小时，回来所用时间为y 小时，则128x a y a ==⎧⎨⎩则x a y a ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪128往返一次的平均速度为2212848596a x y a a a +=+==.（千米/时） 故选C 。
7. 17解：设原数个位数字为x ，十位数字为y则x y y x y x +=+++=+-⎧⎨⎩810112106()()()整理，得x y x y +=+=⎧⎨⎩81017解得x y ==⎧⎨⎩718. 甲16天，乙30天解：设甲队工作了x 天，乙队工作了y 天x y x y+=+=⎧⎨⎪⎩⎪4640501 即x y x y +=+=⎧⎨⎩4650402000x y x y +=+=⎧⎨⎩4654200解得x y ==⎧⎨⎩1630。