高等数学下C
高等数学c教材大纲
高等数学c教材大纲一、引言高等数学C是高校数学系相关专业的重要课程之一，本教材旨在全面、系统地介绍高等数学C的基本概念、理论和应用。
通过学习本教材，学生将能够掌握高等数学C的核心知识和解题方法，为进一步深入学习数学及相关学科打下坚实的基础。
二、课程目标1. 理解和掌握高等数学C的基本概念和理论，包括导数、积分、级数等内容；2. 掌握利用高等数学C解决实际问题的方法和技巧；3. 培养学生的逻辑思维、分析和解决问题的能力；4. 培养学生对数学的兴趣和学习的积极性。
三、教学内容1. 函数的导数与微分1.1 导数的概念与性质1.2 常见函数的导数计算法则1.3 高阶导数与高阶微分1.4 隐函数与参数方程的导数计算2. 微分中值定理与导数的应用2.1 Rolle定理与介值定理2.2 函数的单调性、极值与最值2.3 拉格朗日中值定理及其应用2.4 泰勒公式与函数的近似计算3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 常见函数的不定积分计算法则3.3 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的概念3.4 定积分的性质与计算方法4. 定积分的应用4.1 曲线长度的计算4.2 平面曲线的面积计算4.3 旋转体的体积计算4.4 物理学中的应用：质量、质心、转动惯量5. 级数与幂级数5.1 数列与数列极限的概念5.2 级数与级数收敛的判别法5.3 幂级数及其收敛半径5.4 幂级数的性质及其应用四、教学方法1. 理论与实践相结合，注重基本概念的理解与应用。
2. 数学思维与实际问题相结合，培养学生的解决实际问题的能力。
3. 引导学生进行课堂讨论、小组合作和个人探究，激发学生的学习兴趣。
4. 提供充足的例题和练习题，以巩固所学知识。
五、教学评价与考核1. 平时成绩：包括课堂表现、小组讨论、作业完成情况等。
2. 期中考试：检测学生对基本概念、理论和解题方法的掌握程度。
3. 期末考试：综合测试学生对整个教材内容的理解和应用能力。
高等数学c知识点总结
高等数学C知识点总结1. 极限与连续1.1 极限在数学中，极限是用于描述变量趋近于某个确定值的概念。
对于一个函数f(x)，当x趋近于某个值a时，如果f(x)的值趋近于一个确定值L，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。
极限的定义可以用数学符号表示为：$$\\lim_{x \\to a} f(x) = L$$其中，$x \\to a$ 表示x趋近于a的过程，L是f(x)在x=a处的极限值。
1.2 连续如果函数f(x)在某个点x=a处的极限存在，并且等于函数在该点处的函数值，则称函数f(x)在x=a处连续。
数学上，连续可以用极限的概念来描述。
函数f(x)在x=a处连续的条件是：$$\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)$$如果一个函数在定义域内的每个点都连续，则称该函数在整个定义域内连续。
2. 导数与微分2.1 导数导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，它在某一点x=a处的导数可以表示为：$$f'(a) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(a+\\Delta x)-f(a)}{\\Delta x}$$其中，f′(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，$\\Delta x$ 表示变量x的增量。
导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线斜率。
导数可以用来求函数的极值、判断函数的增减性等。
2.2 微分微分是导数的一种应用。
微分表示函数的局部线性近似。
对于函数f(x)，它在某一点x=a处的微分可以表示为：$$df(a) = f'(a) \\cdot dx$$其中，df(a)表示函数f(x)在x=a处的微分，dx表示变量x的增量。
微分与导数的关系是微分是导数的自然形式，微分可以看做是导数乘以自变量增量的近似值。
3. 积分积分是导数的逆运算，它用于计算曲线下的面积或曲线的长度。
对于函数f(x)，它在区间[a,b]上的定积分可以表示为：$$\\int_{a}^{b} f(x) dx$$其中，$\\int$ 是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
高等数学(下)课后习题答案
高等数学（下）习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s=(4) s==.5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.s==故s==xs==ys==.5z6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则222222-++-=++--(4)1(7)35(2)z z解得149z=即所求点为M（0，0，149）.7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8. 验证：()()++=++a b c a b c.证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2,3.u v=-+=-+-a b c a b c 试用a, b, c表示23.u v-解：232(2)3(3)2243935117u v-=-+--+-=-++-+=-+a b c a b ca b c a b ca b c10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A 连接，试以AB=c，BC=a表示向量1D A,2D A,3D A和4D A.解：1115D A BA BD=-=--c a2225D A BA BD=-=--c a3335D A BA BD=-=--c a444.5D A BA BD=-=--c a11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M的投影为M'，则1Pr j cos604 2.2uOM OM=︒=⨯=12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12(7PP == (3) 12cos 14xa PP α== 12cos 14ya PP β==12cos 14za PP γ==(4) 12012{14PPPP ===-e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcos coscos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .解：||==a||==b||3==c, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e r .解：因αβγ==,故23cos 1 α=,cos αα==则{cos ,cos ,cos })r αβγ===++e i j k . 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）,2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒== 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4a b ==，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2||-a b解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b(2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b 222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b 36238499=-⨯+=22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影.解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 设重量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线移动到点M 2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m ）.解：取重力方向为z 轴负方向，依题意有f ={0,0, -100×9.8}s = 12M M ={-2, 3,-6}故W = f ·s ={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880 (J)24. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b )=227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ② 由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==. 25. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x +3y-4z-1=0即为动点M 的轨迹方程.26. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且a +b ={2,4, -2}a-b ={-6,10,14}又(a +b )·(a-b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a +b )⊥(a-b ).27. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求：(1) a ×b ;(2) 2a ×7b ;(3) 7b ×2a ; (4) a ×a .解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a .28. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算：(1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin 242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin 842=⨯⨯⨯= 29. 求垂直于向量3i-4j-k 和2i-j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin ||||θ⨯===⨯a b a b . 30. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l . 即为所求对角线间夹角的正弦.31. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P -- {2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =- {4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =- 22222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k 故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 32. 求同时垂直于向量a =(2,3,4)和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b =(x ,0,0)则同时垂直于a ，b 的向量为3442230000x x ⨯=++a b i j k =4x j －3x k故同时垂直于a ，b 的单位向量为1(43)||5⨯=±=±-⨯a b e j k a b . 33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|222S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S =+. 34. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.36. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0即x +7y -3z -59=037. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++= 得b =2. 故所求平面方程为1424x y z ++= 38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121*********x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：(1) y =0; (2) 3x -1=0;(3) 2x -3y -6=0; (4) x –y =0;(5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2）(2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x–y=0表示过z轴的平面（如图7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-6 40. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n={A,B,C}已知平面法向量为n1={1,1,-1}过已知两点的向量l={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A BA B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.41. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角. 解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且122123π2cos cos||||42514kkθ⋅-====+⋅n nn n解得2k =±42. 确定下列方程中的l 和m :(1) 平面2x +ly +3z -5=0和平面mx -6y -z +2=0平行; (2) 平面3x -5y +lz -3=0和平面x +3y +2z +5=0垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613l m l m ⇒==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n43. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x -y +z -1=0和2x +y +z +1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0 其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A C A B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n 又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++= 即2x -y -3z =044. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 45. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）. 解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 46. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩47. 求下列直线与平面的交点：(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：（1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；（2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行； （3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为s ={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z ==-和3x -2y +7z =8;（3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解：直线的方向向量为12123111-=++-i j ki j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+= 解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0 得23t =-于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333- 54. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离. 55. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k 故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d ==56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为22213(2)14.R =++-=设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M (x ,y ,z )，由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=; （3）22194x z +=; （4）20y z -=; （5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-12 59. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=; （3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=; （5）22220x y z -+=; （6）22209z x y +-=. 解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y 轴，如图7-17. (6) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-18.图7-17 图7-1860. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-19，7-20，7-21，7-22所示.图7-19 图7-20图7-21 图7-22 61. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.63. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线.解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程. (1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.66. 求单叶双曲面22211645x y z +-=与平面x -2z +3=0的交线在xOy 平面，yOz 平面及xOz 平面上的投影曲线. 解：以32x z +=代入曲面方程得 x 2+20y 2-24x -116=0.故交线在xOy 平面上的投影为2220241160x y x z ⎧+--=⎨=⎩ 以x =2z -3代入曲面方程，得 20y 2+4z 2-60z -35=0.故交线在yOz 平面上的投影为2220460350y z z x ⎧+--=⎨=⎩ 交线在xOz 平面上的投影为230,0.x z y -+=⎧⎨=⎩习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1) {(x ,y )|x ≠0};(2) {(x ,y )|1≤x 2+y 2<4};(3) {(x ,y )|y <x 2};(4) {(x ,y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2≤1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x ,y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：{(x ,y )|1≤x 2+y 2≤4}，边界：{(x ,y )|x 2+y 2=1}∪{(x ,y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集，聚点集：{(x ,y )|y ≤x 2}，边界：{(x ,y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x ,y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2=1}. 2. 已知f (x ,y )=x 2+y 2-xy tanxy,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u vf u v w u w+=+,试求(,,).f x y x y xy +-解：f (x +y , x -y , xy ) =(x +y )xy+(xy )x +y +x -y=(x +y )xy +(xy )2x.4. 求下列各函数的定义域：2(1)ln(21);z y x =-+(2)z=+(3)z =(4)u =+(5)z =(6)ln()z y x =-+(7)u =解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥5. 求下列各极限：10y x y →→22001(2)lim;x y x y →→+00x y →→0x y →→00sin (5)lim ;x y xyx →→222222001cos()(6)lim .()e x y x y x y x y +→→-++ 解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=001.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续：33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x ,y )=233x y x y -+;(2) f (x ,y )=2222y xy x +-;(3) f (x ,y )=ln(1－x 2－y 2);(4)f (x ,y )=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数：(1)z =x 2y +2xy;(2)s =22u v uv+;(3)z =x(4)z =lntan x y; (5)z =(1+xy )y; (6)u =z xy;(7)u =arctan(x -y )z; (8)y zu x =.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂ 222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y y y x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+[]ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z z u z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z z zz z u z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)1.yzu y x x z-∂=∂ 2211ln ln .ln ln .y yzzyy z zu x x x x y z zu y y x x x x z z z ∂=⋅=∂∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂⎝⎭9.已知22x y u x y=+，求证：3u u x y u x y ∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1121ex y z y y⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11.设f (x ,y )=x +(yf x (x ,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数： (1)z =x 4+ y 4-4x 2y 2; (2)z=arctan y x; (3)z =y x ;(4)z =2ex y+.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，， 由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x y x y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂14.设f (x ,y ,z )=xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f -解：2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===15.设z =x ln(xy )，求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解：ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分： (1)22ex y z +=;(2)z =(3)zy u x =; (4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y xy xy z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量，近似计算： (1) (1.02)3·(0.97)2;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f (x ,y )=x 3·y 2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d0.05d0.07(4.05,2.93)(4,3)d(4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998xyf f f==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f(x,y)=x y,则d f(x,y)=yx y-1d x+x y ln x d y，取x=2,y=1,d x=-0.03,d y=0.05,则1.05d0.03d0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d(2,1)20.0393 2.0393.xyf f f=-==≈+=+=19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm,当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则d d).l l x x y y==+当x=10,y=24,d x=0.4,d y=-0.1时，d0.4240.1)0.062l=⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20. 1mol理想气体在温度0℃和1个大气压的标准状态下，体积是22.4L，从这标准状态下将温度升高3℃，压强升高0.015个大气压，问体积大约改变多少？解：由PV=RT得V=RTP，且在标准状态下，R=8.20568×10-2,ΔV≈d v=-2d dRT Rp TP P+=d dV RP TP P-+222.48.20568100.01530.0911-⨯=-⨯+⨯≈-故体积改变量大约为0.09.21. 测得一物体的体积V=4.45cm3,其绝对误差限是0.01cm3，质量m=30.80g，其绝对误差限是0.01g，求由公式mvρ=算出密度ρ的绝对误差与相对误差.解：当V=4.45，m=30.80,d v=0.01,d m=0.01时,22130.801d d d0.010.014.45 4.450.01330.0133mv mv vρ==-+-⨯+⨯≈=-当v=4.45, m=30.80时30.806.92134.45ρ=≈d 0.00192160.19216%ρρ≈=.22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v∂∂； （2） z ＝arc tanx y ,x ＝u ＋v ,y ＝u －v ,求z u ∂∂,z v∂∂； （3） ln(e e )xyu =+,y ＝x 3,求d d ux; （4） u ＝x 2＋y 2＋z 2,x ＝e cos tt ,y ＝e sin tt ,z ＝e t,求d d ut. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x yx x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数： (1)22(,e );xyu f x y =-(2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xyz xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+ 25. 设22()yz f x y =-，其中f (u )为可导函数，验证：211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f ''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f ''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z zx x y y ∂∂∂∂∂∂∂ 解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,z f x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 是c 2类函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,。
高等数学c教材课后答案详解
高等数学c教材课后答案详解1. 一元函数、多元函数与极限在高等数学C教材中的第一章中，我们学习了一元函数、多元函数与极限的概念和性质。
以下是课后习题的答案详解：1.1 一元函数1.1.1 定义域和值域对于一元函数f(x)，定域是指使函数f(x)有意义的x的取值范围。
而值域是指函数f(x)在定域上所能取到的所有值。
例如，对于函数f(x) = √(x-2)，我们需要满足x-2≥0，即x≥2。
因此，定域为[2, +∞)。
而在这个定域上，函数f(x)能够取到的值域为[0, +∞)。
1.1.2 奇偶性与周期性对于一元函数f(x)，奇偶性指的是函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
周期性指的是函数图像在一定区间内重复出现的性质。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，它是奇函数，因为f(-x) = -f(x)；而它是周期函数，因为f(x+2π) = f(x)。
1.2 多元函数1.2.1 偏导数和全微分对于多元函数z = f(x, y)，它的偏导数指的是在变量x或y固定时，函数z对于x或y的变化率。
例如，对于函数z = x^2 + 2y^2，其关于x的偏导数为∂z/∂x = 2x，关于y的偏导数为∂z/∂y = 4y。
1.2.2 隐函数与显函数对于多元函数z = f(x, y)，如果可以通过一个显式的等式z = g(x, y)来表示，则称为显函数。
如果无法通过显式等式表示，而是通过一条方程F(x, y, z) = 0来定义，则称为隐函数。
例如，对于方程x^2 + y^2 - z^2 = 1，可以解出z = √(x^2 + y^2 - 1)，因此可以表示为显函数。
1.3 极限1.3.1 定义和性质在一元函数中，我们讨论了函数在某点的左极限、右极限以及极限存在的条件。
同时，我们也介绍了无穷大极限和无穷小极限的概念。
在多元函数中，我们引入了二重极限的概念，即函数在二元变量(x, y)逼近某一点时，同时有两个变量趋于该点的极限存在。
高等数学c教材同济
高等数学c教材同济高等数学C教材——同济高等数学C是大学本科数学专业的一门重要课程，涵盖了微积分、线性代数和概率统计等内容。
同济大学的高等数学C教材是广大学生学习这门课程的主要参考资料之一。
本文将介绍同济高等数学C教材的特点、内容概述以及学习方法与技巧。
一、同济高等数学C教材的特点同济高等数学C教材以理论与实践相结合的方式进行教学，旨在培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
教材内容丰富全面，注重数学与实际问题的联系，能够帮助学生将理论应用于实际，并提升他们的问题意识和解决问题的能力。
教材的编写风格简明扼要，重点突出，条理清晰。
每个章节都以简短的引言和例题开篇，然后逐步深入探讨相关概念和定理，最后通过习题来帮助学生巩固所学内容。
教材还提供了详细的解答和习题答案，方便学生自我学习和检验。
二、同济高等数学C教材的内容概述同济高等数学C教材共分为十章，具体内容如下：第一章引入与导数1.1 函数的极限与连续性1.2 导数与微分1.3 高阶导数与函数的图像1.4 泰勒公式第二章微分学应用2.1 函数的极值与最值2.2 函数的均值定理2.3 函数的凹凸性与拐点2.4 曲线的单调性与曲率第三章定积分与反常积分3.1 定积分概念与性质3.2 罗尔中值定理与柯西中值定理 3.3 反常积分第四章定积分应用4.1 物理应用题4.2 几何应用题4.3 统计应用题第五章微分方程5.1 微分方程与一阶微分方程5.2 可分离变量与线性微分方程 5.3 齐次与一致变量微分方程5.4 二阶线性微分方程第六章多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性6.2 方向导数与梯度6.3 多元函数的偏导数6.4 隐函数与参数方程第七章重积分7.1 二重积分概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分概念与性质7.4 三重积分的计算方法第八章空间解析几何与曲面积分 8.1 点、直线、面的方程8.2 空间曲线与曲线积分8.3 曲面与曲面积分第九章矢量场与线积分9.1 矢量场的概念与性质9.2 线积分9.3 延伸的格林公式与斯托克斯公式第十章微分方程应用10.1 包络与微分方程10.2 微分方程的模型与应用10.3 系数问题与振动问题10.4 相空间与稳定性三、学习方法与技巧学习高等数学C教材时，有几个重要的方法和技巧可以帮助我们更好地掌握知识：1. 系统学习：按照教材的章节顺序进行学习，逐步扎实地掌握每个知识点，不要跳跃学习或断章取义。
高等数学c教材全解
高等数学c教材全解一、导数和微分高等数学C教材中，导数和微分是其中一个重要的章节。
导数是函数的变化率，微分则是导数的一个应用。
通过导数和微分的学习，可以了解函数的变化趋势，求解极值问题以及优化问题等。
导数的定义是函数在某一点的变化率，可以使用极限来表示。
如果函数f(x)在点x0处有导数，则表示函数在该点可导。
导数的求解可以使用导数的四则运算法则，例如求和法则、乘积法则、商法则和复合函数求导法则等。
此外，还可以使用链式法则和隐函数求导等方法。
微分则是导数的一个应用，其可以用来近似计算函数值的变化，求解函数的极值和凸凹性等问题。
微分的定义是函数在某一点处的变化量与自变量的变化量的比值，并且是线性逼近函数的一个重要工具。
二、定积分和反常积分定积分和反常积分也是高等数学C教材中的关键章节。
定积分是函数曲线下面的面积，表示函数在一段区间上的累积。
定积分的计算可以通过求和法或者定积分的性质进行计算，例如区间可加性、线性性、积分换元法和分部积分法等。
反常积分是当积分的上下限无穷大或者积分函数在某一点不连续时，所得到的积分。
其中，无界函数的反常积分可以通过极限的方式进行计算，而函数不连续点的反常积分则需要分段计算。
三、级数和幂级数在高等数学C教材中，级数和幂级数也是一个重要的主题。
级数是无穷多个项相加所得到的和，而幂级数则是幂函数的和。
级数的收敛性可以通过数列极限的性质进行判断，收敛的级数可以进行求和计算。
幂级数是一个特殊的级数，其中的项含有未知数x，并且每一项都是x的幂次方。
通过幂级数的求和可以得到幂函数的展开式，例如泰勒级数和麦克劳林级数等。
幂级数的收敛半径用来判断幂级数在哪些点上收敛。
四、多元函数及其微分学多元函数及其微分学是高等数学C教材中较为复杂的部分之一。
多元函数是含有多个自变量的函数，例如二元函数和三元函数等。
多元函数的导数和微分可以通过偏导数和全微分来求解。
偏导数是多元函数的导数在某一变量上的偏导数值，而全微分则是多元函数在某一点处的线性逼近。
复旦大学《高等数学C(下)》2017-2018学年第二学期期末试卷A卷
复旦大学数学科学学院2017～2018学年第二学期期末考试试卷A 卷课程名称：___高等数学C （下） _ ___ 课程代码：_ MATH120006开课院系：__数学科学学院__________ 考试形式：闭卷题号 1 2 3 4 5 6 7 总分得分一、（本题满分48分，每小题8分）计算下列各题：1、计算2(,)(0,0)sin()(1)lim 11y x y xy x e xy . 2、设sin x x z e y ，求x xy z z 1,(2,). 姓名：学号：专业：：我已知悉学校对于考试纪律的严肃规定，将秉持诚实守信宗旨，严守考试纪律，不作弊，不剽窃；若有违反学校考试纪律的行为，自愿接受学校严肃处理。
签名:年月日）3、计算二重积分D x dxdy ysin()，其中D 是由直线y x ，y 2和曲线x y 3所围成的闭区域。
4、判别级数n n n n211ln 1的敛散性。
5、设函数()f x ，()g x 满足()()f x g x ，()2()x g x e f x ，且f g (0)0,(0)2，求()f x .6、将信息分别编码为X 和Y 后传递出去，接收站接收时，X 被误收为Y 的概率0.02，而Y 被误收为X 的概率0.01，信息X 与信息Y 传递的频率程度之比为2:1. 若接收站收到的信息是X ，问(1) 接收站收到的信息是X 的概率是多少？(2) 原发信息也是X 的概率是多少？二、（6分）设z z x y (,)是由方程xy z e z e 20所确定的二元函数，求dz .三、（8分）求两直线21y xz x 与3y x z x 之间的最短距离。
四、（8分）计算22[1]Dx y x y dxdy ，其中D x y x y x y22{(,)2,0,0}，22[1]x y 表示不超过221x y 的最大整数。
五、（10分）设函数1()arctan1xf xx，(1)将()f x展开成x的幂级数，并求收敛域；(2) 利用展开式求(101)(0)f.六、（10分）已知()n f x 满足1()()n x n n f x f x x e （n 为正整数），且(1)n e f n ，求函数项级数n n f x 1()的和。
高等数学c类教材
高等数学c类教材高等数学是大学数学教学中的一门重要课程，C类教材是其中一种类型的教材。
它是为那些数学基础较弱，或者对高等数学课程要求不高的学生而设计的。
本文将从C类教材的特点、教学内容和学习方法等方面进行分析。
一、C类教材的特点C类教材是针对数学基础较弱的学生而编写的。
相比于A类教材或者B类教材，C类教材更注重基础知识的巩固和概念的讲解。
它在教学内容和难度上相对简单，但并不意味着它不重要或者不需要认真对待。
二、C类教材的教学内容C类教材的教学内容主要包括以下几个方面：1. 函数与极限：这是高等数学中最基础也是最重要的概念之一。
C 类教材会详细介绍函数的定义、性质、图像和常用函数的特点，以及极限的概念和计算方法。
2. 导数与微分：导数是高等数学的核心内容之一，C类教材会讲解导数的定义、基本公式和求导法则，以及微分的概念和应用。
3. 积分与不定积分：积分也是高等数学的重要内容，C类教材会介绍积分的定义、基本公式和常用积分法，以及不定积分的计算方法。
4. 微分方程：微分方程是高等数学中的一门应用数学学科，C类教材会简要介绍微分方程的基本概念、分类和解法。
以上只是C类教材中的一部分内容，每个教材可能会有所差异，但总体来说，C类教材侧重于基本概念的介绍和计算方法的讲解。
三、C类教材的学习方法对于学习高等数学C类教材的学生来说，以下几个学习方法是相对重要的：1. 基础知识的巩固：C类教材是为数学基础较弱的学生设计的，因此在学习过程中要注重对基础知识的巩固。
对于不熟悉的知识点，可以通过查阅参考书籍或者请教老师来加深理解。
2. 多做习题：高等数学是一门理论性较强的学科，但光看理论不足以掌握知识。
C类教材通常会提供大量的习题供学生练习，所以要多做习题来加深对知识的理解和应用能力的培养。
3. 注重思维的培养：C类教材虽然相对简单，但仍然需要培养学生的数学思维能力。
在解题过程中，要注重思考、分析和推理，增强自己的问题解决能力。
同济大学 高等数学C 教材
同济大学高等数学C 教材高等数学C教材是同济大学为理工科相关专业学生编写的一本重要教材。
它涵盖了许多数学的重要概念、定理和方法，帮助学生建立起扎实的数学基础，为他们未来的学习和研究打下坚实的基础。
第一章导数与微分高等数学C教材的第一章主要讲述了导数与微分的概念与性质。
在这一章中，学生将学习如何计算函数的导数，以及导数在几何和物理问题中的应用。
通过学习导数的性质，学生将掌握函数的极值、凹凸性以及函数图像的性质等重要概念。
第二章不定积分第二章主要介绍了不定积分的基本概念和计算方法。
学生将学习如何求出函数的不定积分，并了解积分的线性性质和曲线下面积的计算方法。
此外，该章还会讨论反常积分以及更高级的积分方法，如分部积分和换元积分等。
第三章定积分与其应用第三章主要讲述了定积分的概念与性质。
学生将学习如何计算函数在给定区间上的定积分，并了解定积分的几何和物理应用。
在该章中，学生将遇到求曲线长度、曲线面积和旋转体体积等问题，并学会通过定积分解决这些实际问题。
第四章微分方程第四章介绍了微分方程的基本理论和解法。
学生将学习如何求解一阶和二阶常微分方程，并了解微分方程在自然科学和工程科学中的广泛应用。
此外，该章还涵盖了一些重要的高阶微分方程及其特殊解法。
第五章无穷级数第五章着重讲述了无穷级数的定义和性质。
学生将学习如何判断级数的敛散性，以及如何计算常见级数的和。
此外，该章还讨论了幂级数的性质以及如何利用幂级数求解常微分方程的解。
第六章空间解析几何与向量代数第六章主要介绍了三维空间解析几何和向量代数的基本概念和方法。
学生将学习如何计算向量的模、方向和数量积，并了解向量在平面和空间几何问题中的应用。
此外，该章还会介绍向量的叉乘、混合积以及直线和平面的方程和性质等内容。
第七章多元函数微分学第七章讲述了多元函数的导数和微分。
学生将学习如何计算多元函数的偏导数以及全微分，并了解多元函数的极值和条件极值的判定方法。
此外，该章还讨论了多元函数的隐函数和参数方程，以及二重积分的计算方法。
高等数学c教材目录
高等数学c教材目录1. 高等数学C教材目录本教材旨在为大学高等数学C课程提供全面、系统的教学内容。
通过深入浅出的讲解和丰富的例题，帮助学生建立起扎实的高等数学基础，提高数学分析和推理的能力。
以下是本教材的目录：第一章：数列与极限1.1 数列的概念与性质1.1.1 数列的定义1.1.2 数列的收敛性1.1.3 数列极限的性质1.2 函数极限与极限运算1.2.1 函数极限的定义1.2.2 函数极限的运算法则1.2.3 极限存在准则1.3 极限存在性的证明方法1.3.1 夹逼定理1.3.2 单调有界原理1.3.3 无穷小量的性质与运算第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的性质与运算法则 2.1.3 高阶导数2.2 导数的几何意义与应用2.2.1 切线与法线方程2.2.2 凹凸与拐点2.2.3 最值与最优化问题2.3 微分与高阶导数2.3.1 微分的概念与性质2.3.2 高阶导数的计算方法2.3.3 泰勒级数与近似计算第三章：一元函数积分学3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质与运算法则3.1.3 牛顿—莱布尼兹公式 3.2 不定积分与基本积分公式 3.2.1 不定积分的定义与性质 3.2.2 基本积分公式及其应用 3.2.3 分部积分与换元积分法 3.3 定积分的应用3.3.1 曲线长度与曲面面积 3.3.2 弧长与弓高问题3.3.3 物理应用案例分析第四章：常微分方程4.1 常微分方程的基本概念4.1.1 常微分方程的定义4.1.2 解的存在唯一性定理 4.1.3 初值问题与通解4.2 一阶常微分方程4.2.1 可分离变量方程4.2.2 一阶线性微分方程4.2.3 齐次方程与非齐次方程4.3 解的方法与特解形式4.3.1 可降阶的二阶微分方程4.3.2 常系数二阶线性微分方程 4.3.3 模拟解法与特解形式第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的导数与偏导数5.1.1 多元函数的导数定义5.1.2 偏导数的概念与性质5.1.3 方向导数与梯度5.2 高阶偏导数与复合函数求导5.2.1 高阶偏导数的计算5.2.2 链式法则与隐函数求导5.2.3 多元函数极值的判定5.3 多元函数微分学的几何应用5.3.1 驻点与极值问题5.3.2 条件极值与拉格朗日乘数法5.3.3 二重积分的几何应用第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.1.1 二重积分的定义6.1.2 二重积分的计算与性质6.1.3 二重积分的应用6.2 三重积分与曲线、曲面积分6.2.1 三重积分的定义与计算6.2.2 三重积分的性质与应用6.2.3 曲线积分与曲面积分的概念 6.3 向量场与曲线、曲面积分6.3.1 向量场的定义与性质6.3.2 曲线积分的计算与应用6.3.3 曲面积分的计算与应用第七章：无穷级数7.1 收敛级数的概念与性质7.1.1 数项级数的定义7.1.2 正项级数的收敛性7.1.3 收敛级数的性质与判别法7.2 幂级数与泰勒级数7.2.1 幂级数的定义与性质7.2.2 幂级数的收敛域7.2.3 泰勒级数与函数展开7.3 函数项级数7.3.1 函数项级数的收敛性7.3.2 傅里叶级数与函数逼近通过本教材的学习，相信学生们能够系统地掌握高等数学C的核心概念和重要知识点，提高数学思维和解决实际问题的能力。
复旦大学高等数学C(下)方法技巧归纳
高等数学C 基本方法技巧总结一、多元函数求极限的方法：1、直接代入法（有限次不改变连续性，函数值=极限值）2、整体法 如：4112lim,0=-+→→xy xy y x3、不等式放缩，使得原式绝对值小于等于一个有极限的式子，则存在极限（如果极限为0，则就为0）；原式绝对值大于等于一个没极限的式子（如：22)0,0(,limyx xy y x +→，一种证明方法即设kx y =，发现不同方向，极限值不同，但不可以用它来证明极限存在）4、利用以前的，如幂指函数（换底、用基本极限），等价无穷小5、不等式放缩，然后夹逼 如：1)(lim 22222)0,0(,=+→yxy x y x （22222)(2y x y x +≤）6、极坐标代换（适合于分式结构，分母有22y x +） 如：)(lim22)0,0(,=+-→yx x x y y x（设0)0,0(),(sin ,cos →→==ρθρθρ时，，且y x y x ）0)(lim22)0,0(),(=++→yx y x y x αα的范围，使得确定（2>α）7、分子（母）有理化 如：211lim)0,0(,=-+→xy xy y x8、一些常用的等价无穷小3221~sin tan ~1)1(~)1ln(~121~cos 1xx x x x x x x e xx x--++--αα如：)21(11lim)0,0(),(y x y x y x +-++→)2(1)12tan(lim22)21,21(),(-+-++→y x y xy x y x9、一些能拆的就拆掉 如：0)()cos(1lim222222)0,0(,=++-→yx y x ey x y x10、对于有界量的处理：如：()0lim1sin 1sin lim )0,0(,)0,0(,=+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→→y x x y y x y x y x11、利用积分中值定理解题：如：求极限dxdyy x etty x yx t )cos(1lim222222+⎰⎰≤++→（先说明连续，则可以用定理，答案：π）12、利用导数定义方法（下题中，没说函数连续，只说在一点处可微，而用定义法求导！！！）))0(32()(lim 0)0('3220222f tdxdyy x f f f ty x t π⎰⎰≤+→+=+求。
高等数学C的教材是什么
高等数学C的教材是什么高等数学C是大学中数学专业学生必修的一门课程，它主要涉及到微积分、数理方程、线性代数等内容。
而针对这门课程，教材的选择对于学习的效果起着至关重要的作用。
那么，高等数学C的教材有哪些呢？一、《高等数学》(C版)《高等数学》(C版)是高校普遍采用的教材之一，它是由中国人民大学数学科学学院编写，主要面向大学本科数学专业的学生。
该教材分为上、下两册，内容全面、系统，且符合高等数学C课程的教学要求。
教材涵盖了微积分的基本理论、应用问题、线性代数等内容，并配有大量的习题和例题供学生练习和巩固知识。
二、《数学分析》《数学分析》是另一本在高等数学C教学中常见使用的教材，它由教育部推荐并由多所高校编写。
该教材内容详实、严谨，以数学推理和证明为核心，特别适合有数学兴趣、追求深入理解的学生。
《数学分析》教材以解析几何、微分学和积分学为主要内容，每个章节都有较多的例题和习题供学生练习，并提供了多种不同难度的习题，有助于学生强化知识应用能力。
三、其他教材除了上述两本比较常见的教材外，还有一些高等数学C教材也广泛应用于不同高校的教学中，例如《高等数学分册》、《数学分析与解析几何》等。
这些教材多由高校数学系编写，内容设计与高等数学C 的教学目标紧密结合，灵活性较高，适合不同教学机构和教学方法的需求。
综上所述，高等数学C的教材选择应该根据学校的具体要求和教学目标来确定。
无论是采用《高等数学》(C版)、《数学分析》还是其他教材，最重要的是教材内容全面、系统，符合课程要求，并能够帮助学生深入理解和掌握高等数学C的相关知识和应用技巧。
因此，学生在选用教材时应该结合自身情况，综合考虑教材的难度、内容覆盖范围以及与教师的配套教学资源等因素，以求达到更好的学习效果。
高等数学c教材是什么专业的
高等数学c教材是什么专业的高等数学C教材是一门专注于高等数学知识的教材。
在理工类专业中，高等数学是一门基础课程，几乎涵盖了所有理工领域所需的数学知识和方法。
因此，高等数学C教材主要针对理工专业的学生。
在高等数学C教材中，学生将学习一系列数学概念和方法，包括但不限于微积分、极限理论、数列与级数、多元函数及其偏导数、重积分与曲线积分、曲面积分与体积积分、常微分方程等。
这些内容对于理工专业的学生来说至关重要，它们是分析、建模和解决实际问题的重要工具。
高等数学C教材以理论与实践相结合的方式进行教学。
教材内通常包含大量的例题和习题，以帮助学生加深对数学概念和方法的理解，并培养其解决实际问题的能力。
此外，教材还可能包括一些数学推导和证明，以及数学在实际应用中的案例分析。
通过这种方式，学生能够更好地学习和应用高等数学知识。
高等数学C教材的编写者通常是数学专业的教师和研究人员。
他们具备深厚的数学知识和丰富的教学经验，能够把复杂的数学理论和方法以简洁明晰的方式呈现给学生。
教材的编写过程通常需要经过反复论证和修订，以确保内容的准确性和科学性。
除了培养学生对高等数学理论的理解和掌握外，高等数学C教材还注重培养学生的数学思维和问题解决能力。
通过解决一系列的应用问题和实践案例，学生能够培养出抽象思维、逻辑思维和创新思维，在实际问题中灵活运用数学知识解决难题。
综上所述，高等数学C教材是一门基础性的数学教材，主要面向理工专业的学生。
通过学习高等数学C教材，学生将掌握高等数学的核心概念和方法，培养数学思维和问题解决能力，为日后的学习和实践打下坚实的数学基础。
高等数学c教材书
高等数学c教材书高等数学C教材是大学数学专业的核心教材之一。
全书内容包括了微积分、线性代数与解析几何等数学分支的基础知识和应用。
本教材以系统性、科学性和实用性为特点，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
第一章微积分微积分是高等数学的重要组成部分，本章主要介绍了微分学的基本概念和基础知识。
其中包括函数的极限与连续性、导数与微分、函数的应用等内容。
通过学习微积分，学生可以理解函数的变化规律，研究曲线的切线和曲率，掌握求解实际问题的方法。
第二章线性代数与解析几何线性代数与解析几何是高等数学C教材的另一大模块。
本章从向量、矩阵和行列式等基本概念出发，介绍了线性方程组的解法、向量空间与子空间、特征值与特征向量等内容。
通过学习线性代数与解析几何，学生可以掌握矩阵的运算规则，理解向量的线性组合和投影，解决平面与直线的位置关系问题。
第三章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学C教材的重要部分。
本章主要介绍了多元函数的概念、偏导数与全微分、多元函数的极值以及隐函数与参数方程等内容。
通过学习多元函数微分学，学生可以理解多元函数的变化规律，掌握多元函数的导数计算方法，研究函数的极值和曲面的切平面。
第四章重积分与曲线积分重积分与曲线积分是高等数学C教材专注的领域。
本章介绍了重积分的概念与性质、定积分的计算方法、曲线积分与曲面积分等内容。
通过学习重积分与曲线积分，学生可以掌握多重积分的计算，了解曲线对物体质量、工作等的影响，计算曲面积分求解电场、磁场等物理问题。
第五章幂级数与傅里叶级数幂级数与傅里叶级数是高等数学C教材的高级内容。
本章介绍了幂级数的收敛性与展开、幂级数的运算法则、傅里叶级数的概念与性质等内容。
通过学习幂级数与傅里叶级数，学生可以用幂级数来表示函数，理解傅里叶级数的频谱分析和信号处理的应用。
总结高等数学C教材是大学数学专业必备的教材之一。
通过学习该教材，学生可以掌握微积分、线性代数与解析几何等数学分支的基本知识和应用。
大一高数c知识点总结
大一高数c知识点总结高等数学是大学数学的重要组成部分，对于工科、理科等相关专业的学生来说尤为重要。
在大一学习高数C的过程中，我们会接触到许多重要的知识点。
本文将对大一高数C的知识点进行总结和梳理，以帮助同学们更好地掌握和理解相关知识。
一、数列与函数1. 数列的概念与性质：数列的定义、通项公式、数列的前n项和等。
2. 数列的分类：等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 函数与映射的关系：定义域、值域、图像、反函数等基本概念。
4. 基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
5. 函数的性质与运算：奇偶性、周期性、复合函数、反函数等。
二、极限与连续1. 极限的概念与性质：数列极限、函数极限、极限存在准则等。
2. 函数的连续性：连续函数的定义、间断点与间断性、闭区间上连续函数的性质等。
3. 中值定理与导数：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
三、微分学1. 导数的定义与求导法则：导数的定义、函数导数的计算、基本导数法则、高阶导数等。
2. 函数的微分与链式法则：微分的定义、微分与导数的关系、链式法则等。
3. 函数的凹凸性与极值：凹凸性的定义、拐点的判定、极值的判定与求解等。
4. 泰勒公式：泰勒公式的表述及应用。
四、积分学1. 不定积分的概念与性质：不定积分的定义、基本积分表、不定积分的基本性质等。
2. 定积分与反常积分：定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式、反常积分的定义与收敛性等。
3. 积分应用：定积分的几何应用、定积分的物理应用等。
五、微分方程1. 微分方程的基本概念与解法：微分方程的定义、一阶微分方程的解法、高阶线性微分方程的解法等。
2. 可降阶线性微分方程：一阶可降阶线性微分方程、高阶可降阶线性微分方程等。
3. 非齐次线性微分方程：一阶非齐次线性微分方程、高阶非齐次线性微分方程等。
以上是大一高数C的主要知识点总结，通过对这些知识点的学习与掌握，我们可以建立起一个坚实的数学基础，为之后的学习打下良好的基础。
高等数学c农科类教材
高等数学c农科类教材高等数学C-农科类教材高等数学是大学农科类专业的一门重要课程，它为学生提供了一系列的数学工具和方法来解决农业领域中的问题。
本文将介绍高等数学C-农科类教材的主要内容和重要性。
一、教材概述高等数学C-农科类教材是为农科类专业学生量身定制的一本教材。
它以农业领域中常见的问题为背景，结合数学理论和技巧，探讨了农业生产、资源利用和决策等方面的数学应用。
教材内容包括微积分、线性代数和概率统计等主题，它们在解决农业问题中起到了重要作用。
二、微积分微积分是高等数学C-农科类教材中的重要内容。
它涉及了函数、极限、导数、积分等概念和技巧。
通过学习微积分，学生可以深入理解农业生产中的变化规律和量化分析方法。
比如，通过对农田产量的关于时间的变化进行微积分建模，可以预测未来产量的趋势，帮助农民做出合理的决策。
三、线性代数线性代数也是高等数学C-农科类教材中的一部分。
它研究了向量空间、矩阵变换和特征值等概念和方法。
在农业领域中，线性代数可以应用于土壤养分的分析、农产品质量的评估和种植方案的优化等问题。
通过线性代数的工具，学生能够将复杂的农业问题转化为线性方程组或线性规划模型，从而得到解决方案。
四、概率统计概率统计在高等数学C-农科类教材中也是不可或缺的一部分。
它包括了概率、随机变量、样本调查和假设检验等内容。
农业领域中的许多问题都与随机性和不确定性有关，比如天气预测、病虫害发生概率的估计等。
通过学习概率统计，学生可以运用统计方法和技巧来分析和解决这些问题，提高决策的准确性。
五、教材重要性高等数学C-农科类教材对农科类专业学生的培养具有重要意义。
农业领域中的问题往往具有复杂性和多样性，需要运用数学的工具和方法进行精确分析。
高等数学C教材通过选取农业领域的案例，帮助学生将抽象的数学理论与实际问题相结合，培养其解决实际问题的能力和创新思维。
六、总结高等数学C-农科类教材是为农科类专业学生设计的一本重要教材。
高等数学c
高等数学c
高等数学C是研究数学理论和实际应用的必修课程。
它是数学方面的基础理论知识，主要研究理论分析、空间几何、离散数学、常微分方程及其应用等内容，是数学和其他学科之间相互交叉和协作的重要内容。
高等数学C可以说是数学的一个入门。
它的具体内容包括几何空间、向量空间、多项式理论、偏微分方程等。
它被应用于其他学科，如工程学、物理学、生物学、医学等，可以说是多学科合作的基础理论。
高等数学C不仅是数学和其他学科的桥梁，同时也逐渐成为发展数学研究的基础。
它可以增强人们的数学理解能力，可以更好地看清数学的大的结构框架，并找出一些新的数学研究方向。
高等数学C的学习涵盖了实际应用和理论分析的各个领域，学习过程中，学生需要熟悉和掌握高等数学的定义、定理、模型以及解题技巧。
掌握理论知识以及实际应用能力是高等数学C课程的关键，学习这门课程要认真、踏实，主动把基础知识掌握扎实，才能更好地掌握数学研究的重要概念，并能更熟练地运用高等数学的知识来解决现实生活中的问题。
综上所述，高等数学C是一门重要的学科，不仅是数学和其它学科之间的桥梁，也是发展数学研究的基础，具有重要且广泛的应用价值。
所以，高等数学C课程要求学生认真踏实、认真学习、练习，才能更好地掌握和运用高等数学知识，为社会发展做出贡献。
大一高等数学c级知识点
大一高等数学c级知识点一、导数与微分在大一高等数学C级课程中，导数与微分是重要的知识点。
导数表示函数变化率的概念，微分则是导数的几何意义。
导数与微分的理论与应用贯穿于整个高等数学学习过程中。
1.1 定义与性质导数的定义是函数在某一点处的极限值，记作f'(x)。
导数具有以下性质：- 导数存在的充分条件是函数在该点连续。
- 导数表示函数在该点的切线斜率。
- 导数可以表示函数的增减性和极值点。
- 导数的运算规则包括求和、差、常数倍、乘积和商的法则。
- 高阶导数指的是对导数再求导数。
1.2 微分的应用微分在实际中有广泛的应用，例如：- 切线与法线：微分可以用来求函数曲线在某一点的切线和法线。
- 极值问题：通过求导数，可以判断函数的极大值和极小值。
- 最优化问题：微分可以用来求解最大值和最小值的问题。
二、函数与极限函数与极限是大一高等数学C级课程中的重要概念。
函数是自变量与因变量之间的关系，而极限则是函数趋近于某一值的特性。
2.1 函数的性质函数具有以下常见性质：- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
- 奇函数与偶函数：函数关于原点对称的称为奇函数，关于y轴对称的称为偶函数。
- 周期函数：函数中存在一个正常数T使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)。
- 反函数：如果f(x)在某一点处有反函数，则反函数与原函数互为镜像。
2.2 极限的定义和性质极限是函数在无穷接近于某一值时的特性，具有以下性质：- 极限的定义：函数f(x)在x趋近于a时的极限记为lim(x→a)f(x)或f(x)→a，表示f(x)在x接近a时的趋势。
- 左极限和右极限：函数f(x)在x=a左侧和右侧的极限分别称为左极限和右极限。
- 无穷极限：当x趋向正无穷大或负无穷大时的极限。
- 极限运算：极限具有一些运算规则，包括和差、乘积、商规则。
- L'Hospital法则：用于解决0/0或∞/∞型的极限问题。
高等数学教材C版
高等数学教材C版高等数学是大学本科课程中的一门重要学科，对于培养学生的抽象思维能力和数学分析能力具有重要作用。
C版高等数学教材是在前几版教材的基础上进行了更新和改进的版本，本文将对该教材进行介绍。
一、教材目录及结构C版高等数学教材的目录分为数列与极限、微分学、积分学、级数与数学分析基本概念等几个主要部分。
每个部分都按照理论知识和例题进行组织，其中理论知识包括定义、性质、定理等内容，例题则用来帮助学生更好地理解和应用这些知识。
二、教材特点1. 系统全面：C版高等数学教材将各个章节和内容进行了合理的组织和编排，保证了学习的系统性和全面性。
从数列与极限的基本概念开始，逐渐引入微分和积分，并最后介绍了级数和数学分析的基本概念，让学生能够系统地学习和掌握数学的基本知识和方法。
2. 突出应用：该教材在每个章节中都注重将数学的概念和方法与实际问题相结合，突出数学在科学、工程和经济等领域的应用。
通过丰富的例题和习题，学生能够更好地理解和掌握数学的应用能力。
3. 清晰易懂：C版高等数学教材在文字表达和图表呈现上都力求清晰易懂。
教材中使用简洁明了的语言解释概念和定理，并通过适当的图表和图示来辅助说明，帮助学生更好地理解和记忆。
4. 注重思考与拓展：为了培养学生的思维能力和创新能力，C版高等数学教材在每个章节结尾都设置了思考题和拓展阅读，引导学生对知识进行更深层次的思考和拓展应用。
三、教材评价C版高等数学教材是一本内容全面、易于理解和应用的教材。
它不仅满足了大学高等数学课程的教学要求，同时也为教师和学生提供了一种便捷和可靠的学习工具。
教材中的例题和习题设计合理，能够循序渐进地帮助学生巩固和应用所学知识。
此外，教材还提供了一些拓展阅读材料，帮助学生进一步拓宽数学知识的领域。
总之，C版高等数学教材是一本值得推荐的教材，它能够帮助学生系统地学习和掌握高等数学的基本理论和应用方法，培养学生的数学思维和分析能力。
对于大学本科教育和相关专业的学生来说，该教材是一本不可或缺的学习资料。
大一(下)高等数学(C)差分方程
大一（下）高等数学（C ）差分方程基本知识点：一、基本概念。
1、差分。
设函数 ,,,2,1,0)(n x x f y x ±±±==，，则称)()1(1x f x f y y y x x x -+=-=∆+为函数x y 的一阶差分。
称xx x x x x x xx x x x x y y y y y y y y y y y y y +-=---=∆-∆=-∆=∆∆=∆+++++++121121122)()()()(为函数x y 二阶差分。
称)(23x x y y ∆∆=∆为三阶差分。
2、差分方程。
①含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程，称为差分方程。
例如：0),,,,(0),,,(1=∆∆=++n n x x n x x x y y y x G y y y x F ；②差分方程中含有未知函数的下标最大值与最小值之差，称为差分方程的阶。
差分方程不同形式之间可以相互转化。
③如果一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，称这函数为差分方程的解。
满足初始条件的解称为特解。
如果差分方程中含有任意相互独立的常数的个数等于差分方程的阶，则称此为差分方程的通解。
3、差分的性质。
设c b a ,,是常数，x x z y ,是函数，则有以下结论：①;0)(=∆c ②)()(x x y c cy ∆=∆；③)()()(x x x x z b y a bz ay ∆±∆=±∆。
二、一阶差分方程。
1、形如)()(1x f y x P y x x =-+为一阶差分方程；2、形如)0()(1≠=-+a x f ay y x x ，称为一阶常系数非齐次线性差分方程，若0)(=x f 则称为一阶常系数齐次线性差分方程。
3、一阶常系数齐次线性差分方程的解。
设)0(01≠=-+a ay y x x ，，此方程的特征方程为a a x x =⇒=-+λλλ01，a =λ称为特征方程的根，齐次方程的通解为为任意常数），C Ca y x x (=。
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2009-2010年高等数学（下）试题及解答一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设),(y x f z =由方程)(z y x e z y x ++-=++确定，则x z∂∂=1-。
2．函数xyz z xy u -+=32在点)2,1,0(0-P 沿方向)1 ,2 ,1(=l 的方向导数0P lu ∂∂=152。
3．L 为圆周122=+y x ，计算对弧长的曲线积分ds eL y x ⎰+22=2e π。
4．已知曲面221y x z --=上点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是(1,1,1)-。
5．设)(x f 是周期为2的周期函数，它在区间]1 ,1(-的定义为⎩⎨⎧≤<≤<-=10012)(2x xx x f ，则)(x f 的傅里叶级数在2=x 收敛于 1 。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）1．设) ,(y x f 在积分区域上连续，交换二次积分⎰⎰---=y ydxy x f dy I 311102),(的积分顺序。
解：130112133012(,)(,)(,)(,)yxI dy f x y dxdx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy--==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周122=+y x 所围成的在第一象限内的区域。
解：22()Dx y dxdy +⎰⎰13200d r drπθ=⎰⎰8π= 3．设Ω是由球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成，求三重积分⎰⎰⎰Ω++=dxdydzz y x f I )(222在柱坐标系下的三次积分表达式。
解：2()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰222222()x y dxdy f x y z dz+≤=++⎰⎰22200()rd f r z dzπθ=+⎰4．设对任意0>x，曲线)(xfy=上点))(,(xfx处的切线在y轴上的截距等于⎰x dttfx0)(1，求)(xf的一般表达式。
解：曲线)(xfy=上点))(,(xfx处的切线为()()()Y f x f x X x'-=-切线在y轴上的截距等于()()f x xf x'-。
故01()()()xf t dt f x xf xx'=-⎰。
则2()()()xf t d t x f x x f x'=-⎰于是()()0xf x f x'''-=，即1()()0f x f xx'''+=。
解方程得12()lnf x C x C=+ 5．求解微分方程xeyy x+=-'2。
解：222()x x x xy Ce e e x e dx-=++⎰21124x xCe e x=---三、(10分)计算曲面积分⎰⎰∑+++dxdyzxydzdxxdydz)(，其中∑是平面222=++zyx在第一挂限部分的下侧。
解：()xdydz ydzdx x z dxdy+++∑⎰⎰0(0(0(3()()()V z yxdV xdydz ydzdx x z dxdy xdydz ydzdx x z dxdyxdydz ydzdx x z dxdy====--+++-+++-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰下）左）后）110010076xdx xdy-=----=-⎰⎰四、(10分)应用三重积分计算由平面,0,0===zyx及22z x y=++所围成的四面体的体积。
解：00221220x yxV dx dz dz++---=⎰⎰⎰23=五、(10分)求函数22442yxyxyxz---+=的极值。
解：解3342204220xyz x x yz y x y⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩，得()(,)(1,1),0,0x y=±。
而22122,2,122xx xy yyz x z z y=-=-=-对(,)(1,1)x y=±，2212210,2,12210xx xy yyz x z z y=-==-=-=，知(,)(1,1)x y=±为极小值点。
且极小值为-2。
六、(10分)设L 是圆域x y x D 2:22-≤+的正向边界，计算曲线积分⎰-+-L dy y x dx y x )()(33。
解：33()()L x y dx x y dy-+-⎰22:22D x y xdxdy+≤-=⎰⎰2π=七、(10分)求幂级数∑∞+=-1)1(n nn x 的收敛区间与和函数。
解：1R =，收敛区间为[0,2)设1()nn t s t n +∞==∑，则111(),()l n (1)1n n s t ts t t t∞-='===---∑。
故∑∞+=-1)1(n n n x 的和函数为()ln(2)s x x =--。
2008—2009学年解答一选择题（12分，每题4分）1．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=.00,0),(222222y x y x y x xy y x f （ A ）。
（A ）处处连续 （B ）处处有极限，但不连续 （C ）仅在（0，0）点连续 （D ）除（0，0）点外处处连续2．设∑为平面1432=++z y x 在第一卦限的部分，则=++⎰⎰∑ds y x z )342(（ B ）（A ）⎰⎰-20)21(304xdy dx （B ）⎰⎰-⋅20)21(304361xdy dx（C ）⎰⎰-⋅)13(20304361ydy dx （D ）⎰⎰⋅20304361dy dx1．1．若122),(,2),(221342+-='++=x x x x f x x x x x f ，则).(),(22A x x f ='（A ）1222++x x （B ）x x x 21322++（C ）1222+-x x （D ）1322++x x一、二、填空题（25分，每题5分）1．1．设函数),(y x z z =由方程ze z y x =-+2sin 所确定，则=∂∂x z ze x +1cos2．2．设C 为正向圆周222a y x =+，则=-⎰ydx x dy xy C221/2 πa 43．3．设)(x f 在[]π,0内连续，为使它在区间[]ππ,-上的傅里叶展开式具有∑∞=1cos k kkxa形式，须将作何种延拓？偶式延拓 ，=k a⎰ππ)(cos 2dxx f kx4．4．设x y x D 2:22≤+，由二重积分的几何意义知π32222=--⎰⎰dxdy y x x D5．5．设y xy x y x f tan)1(),(22-+=，求=)1,(x f x 2x二、三、解答下列各题（每小题6分）1．1．求函数2222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐标原点。
解：Gradu={2x,2y,4z} ;方向导数为：{}3831,31,314,2,2-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---⋅2．2．在椭圆抛物面222y x z +=上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线⎩⎨⎧=+=+0302z y y x解：切平面法向量：n={2x,4y ，－1}直线方向向量：s={3,-6,2} n//s ， 所求切点：（-3/4,3/4,27/16） 三、四、解答下列各题（8分）设),(y x f 为连续函数，交换下列积分的积分次序，并写出该积分在极坐标系中先积r 后积ϑ的二次积分。
⎰⎰⎰⎰----+011101112),(),(xx dyy x f dx dy y x f dx解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=---θππθπθθs 1434s i204)1(11)s ,c ()s ,c(),(2rx r x r f d r x r x r f d dx y x f dy y y四、五、解答下列各题（8分）设空间Ω区域由曲面222y x a z --=和平面0=z 所围，∑为Ω的表面外侧，求：dxdyxyz z dzdx z xy dydz yz x)1(2222++-⎰⎰∑解：原积分＝2)sin cos 21()21(42000222πθθθπa dz z r rdr d dv xyz ar a v =+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰-五、六、解答下列各题（8分）求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解。
解：特征方程：2,1023212===+-r r r r 齐次的通解：x x e c e c Y 2210+=设非齐次的特解形式为xe B Ax x y 2)(+=*由待定系数法确定A ＝1/2,B ＝－1于是微分方程通解为xx x e x x e c e c Y 2221121⎪⎭⎫⎝⎛-++= 其中C 1 C 2为任意常数。
六、七、解答下列各题（10分）在圆122=+y x 的0,0≥≥y x 部分上找点P ，使其到点M (2,1)的距离为最小。
解：设所求点 ()22200)1()2(,-+-=y x d y x P 满足： 最小，条件极值由拉格朗日乘数法设：102)1(202)2(2)1()1()2(222222=+=+-==+-=-++-+-=y x y y F x x F y x y x F y x λλλ解出：55552,1500==-=y x λ七、八、解答下列各题（8分）试求幂函数∑∞-+--1121)12(2)1(n nx n n 的收敛域及和函数。
解：1)()(lim 21<==+∞→x x u x u nn n ρ收敛x=1与x=-1时数项级数一般项不趋于0，故皆发散，收敛区间为(-1,1)。
设和函数S(x)=∑∞-+--1121)12(2)1(n nx n n()()111210121121121)(S x n xx n x dx x S n n xn n ∑⎰∑∞-+∞+=--=--=()()∑∑∞∞-+-+=+=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='11122211211arctan ,111121xS x x n x S n n n n()201arctan arctan )()(x x x x x dx x S x S x ++='='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ 八、九、解答下列各题（9分）1．1．设)1()1)((222222≠+++++=⎰⎰⎰Ωp dv z y x z y x xI RpR ，其中Ω是第一卦限满足222221R z y x R ≤++≤的有界闭区域)1(>R 。
试讨论当+∞→R 时R I 的极限及当极限存在时的极限值。
解：()()⎪⎩⎪⎨⎧<>-=+-=+=-⎰⎰⎰11)1(81)1(8sin 1sin cos 1122201222p p p r p dr r rr r d d I RRp RRpR 不存在ππφφθφθππ2.若数列{}n nu 收敛，级数∑∞=--11)(n n n u u n 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛。