马井堂-高考数学椭圆的综合问题
高考椭圆题型总结有答案
高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之2. 和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段4. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( B )A.椭圆B.圆C.直线D.点 5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。
6. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。
解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。
（略）2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( C )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是椭圆的右半部分 .5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；114416922=+x y （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；137148,113522222=+=+y x x y 或（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 13922=+y x2. 简单几何性质1．求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ；（2）过（3，0）点，离心率为36=e 。
近三年高考椭网重点题型总结
,
特殊位置、极 限 位 置,先 猜 出 定 点 (或 定 值 )
然后再进行理论上的证明。
例 4
(
2
0
2
3届河南名校联盟高三摸
底联考)
在直 角 坐 标 系 xOy 中,椭 圆 C 的 中
。
心在 原 点,焦 点 在 x 轴 上,且 过 点 (
2,3)
假设椭圆 C 的 两 焦 点 与 其 中 一 个 顶 点 能 构
总分
第 15 题(
5 分)
椭圆
第 10 题(
5 分)
从表格中看出近三年 的 高 考 试 卷 中 的 圆
锥曲线分值在 2
2~2
7 分,椭 圆 部 分 分 值 5~
1
2 分,主 要 考 查 了 四 部 分 内 容:一 是 椭 圆 基
本定义、
性 质;
二 是 最 值、
范 围 问 题;
三是面积
问题;
四是定点、
椭圆中的 面 积 问 题 多 以 三 角 形、四 边 形
的面积为主,
面积的计算 思 维 强 度 大,
对运算
分析:
本题表面上是 求 离 心 率 的 范 围,
实
能力要求高。它要求同学 们 掌 握 多 种 面 积 公
质上是先利用距离型目标 函 数 的 最 值 求 解 过
式,
以便针 对 不 同 的 要 求 选 择 不 同 的 面 积 公
③ 两 直 线 垂 直 时,不 妨 设 直 线l1 为 y=
1
直线l2 为 y=- x+c;
kx+b,
k
④ 两直线关 于 x 轴 (或 y 轴 )对 称 时,可
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三压轴解答题第二关椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第(1) 问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第( 2)问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等•这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.【考点方向标】方向一中点问题典例 1 . (2020 •山东高三期末)已知椭圆2 _- 1a \ 2的右焦点为F , P是椭圆C上一点, 2PF x轴, PF(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线I与椭圆C交于A、B两点, 线段AB的中点为M , O为坐标原点，且OM2，求AOB 面积的最大值•【举一反三】(2020•河南南阳中学高三月考) 已知椭圆2 _b21(a b 0)的一个焦点与抛物线y243x的焦点重合，且椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线I交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为M (1,t)，直线m是线段AB的垂直平分线，求证: 直线m过定点，并求出该定点的坐标.方向二垂直问题（2）如图，过椭圆 C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线uuuv 1 uuv uuuv 1 uuvAM —AB ，DN —DE ，求 MNF 面积的最大值.2 2【举一反三】2 2（2020 吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C :务占1（ a b 0）的左焦点为F , P 是C 上一a b1点，且PF 与x 轴垂直，A , B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且 AB POP ，且 POB 的面积是-，其2中0是坐标原点• （1） 求椭圆C 的方程•（2） 若过点F 的直线h , 12互相垂直，且分别与椭圆 C 交于点M , N , S , T 四点，求四边形 MSNT 的 面积S 的最小值•方向三面积问题线与椭圆相交于 M , N 两点，点P 为线段MN 的中点，点0为坐标原点•当直线MN 的斜率为1时，直线1 0P 的斜率为2（1）求椭圆C 的标准方程；典例2. （2020 •安徽期末）已知椭圆2x ~2 a2721(b 0）的离心率e 2，且过点（丄2,上3） •2 2 2AB, DE 交椭圆分别于A, B,D, E ，且满足典例3. （2020 •安徽高三月考）已知椭圆 2 2E:十 1 a b 0的左焦点为Fa b1,0，经过点F 的直（1）求椭圆C 的方程;(ii )直线I 与y 轴交于点G ,记△ PFG 的面积为S 1,△ PDM 的面积为S ，求S1S 2的最大值及取得最大2 2(2020 •重庆高三月考)已知椭圆C :^- -y - 1 (aa b0)的离心率e—，且圆x 22y 1经过椭圆C(2)若点A 为椭圆的左顶点，点 B 为椭圆的右顶点，过 F 的动直线交该椭圆于 C , D 两点，记 ACD 的2 2r —C ：a b2 ia b 0的离心率e二，且椭圆过点习(1) 求椭圆C 的标准方程；(2)设直线|与C 交于 M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM 1 ON COD ，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由【举一反三】面积为S i ,BCD 的面积为S 2，求S 2 S i 的最大值.典例4. (2020河南高三月考)已知椭圆 (2020 •全国高三专题练习)平面直角坐标系2 2xOy 中，椭圆C :与笃 a b1 a > b >0 的离心率是-11，抛物2 线E : x 2 2y 的焦点F 是C 的一个顶点. (I)求椭圆C 的方程；(I)设P 是E 上的动点，且位于第一象限,E 在点P 处的切线|与C 交与不同的两点 A , B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点 M .(i )求证：点M 在定直线上 值时点P 的坐标.的上、下顶点 (1)求椭圆C 的方程;值(O 为坐标原点)方向四范围与定值问题过椭圆C 的上，下顶点 (1)求椭圆C 的方程.1(2)若直线|的斜率为1，且直线I 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为 E ,点A 2,1是椭2圆C 上一点，判断直线 AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.2典例6. (2020全国高三专题练习)已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆 岂 x 2 1的上焦点重合,a 2且过点(2「2,1). (1)求椭圆的标准方程;1(2)若抛物线上不同两点 A , B 作抛物线的切线，两切线的斜率k 1,若记AB 的中点的横坐标为 m ,k 2AB 的弦长g(m)，并求g(m)的取值范围【举一反三】2 2(2020全国高三专题练习(理))已知椭圆C :笃占 1 a b 0的长轴长是离心率的两倍，直线l :a 2b 214x 4y 30 交C 于A , B 两点，且AB 的中点横坐标为 一.2(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线I 与椭圆C 相切，且与椭圆C 14a 24b 21相交于M , N 两点，证明: VOMN 的面积为定典例5. (2020 内蒙古高三期末)已知椭圆C :b21a b 0的离心率e于，且圆x2 y2平方之积是定值.为互2(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设不过原点O 的直线I 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列, 求I OMN 面积的取值范围•【压轴选编】2 21. (2020全国高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C : A 占 1 ( a b 0)的离心a b率e . 2且椭圆C 上的点到点Q 0,2的距离的最大值为 3. (I)求椭圆C 的方程；(I)在椭圆C 上，是否存在点 M m,n ，使得直线I : mx ny 1与圆O : x 2 y 2 1相交于不同的两 点A 、B ，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的 OAB 的面积；若不存在，请说明 理由.?? ??2.【福建省龙岩市 2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆 +歹=1(??> ??> 0)的左、右焦 点分别为??,??,过点？?的直线与椭圆？交于？?,??两点，？?？???的周长为8,直线？?= ?被椭圆？截得的线段长*4用为〒(1 )求椭圆?的方程;(2)设？???是椭圆上两动点，线段???的中点为?????????的斜率分别为？？,？？(？?为坐标原点)，且4???? = -3 , 求|???的取值范围(2)若M , N 是椭圆C 上的点,O 为坐标原点，且满足 2OM2ON-，求证：OM , ON 斜率的4(2020 •四川石室中学高三月考(文)2 2)已知椭圆C:%厶 1(aa 2b 2b 0)的长轴长是短轴长的两倍，焦距2(1) 求椭圆方程；(2) 过点P 0,2的直线与椭圆交于 M 、N 两个不同的点，求线段 MN 的垂直平分线在 x 轴截距的范围.?? ??4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点??(^3,0)是椭圆？?钩+羽=1(??> ??> 0)的一1个焦点，点？？( V 3,2)在椭圆？上. (1) 求椭圆？?勺方程；1(2) 若直线？与椭圆？交于不同的？？？?两点，且?????+ ?????= - - ( ?为坐标原点)，求直线？斜率的取值范围椭圆？?交于不同的两点???? (I )求椭圆？?的离心率；(i )当？?= 2时，求？????的面积；(I )设直线???与椭圆？?的另一个交点为？？当？为???中点时，求？的值?? ?? ,36.【宁夏六盘山高级中学 2019届高三上学期期末考试】 已知椭圆???2 + ?? = 1(??> 0,??> 0)的离心率为三,长轴长为4，直线？?= ??????与椭圆？交于？??两点且/????为直角，？为坐标原点. (I)求椭圆？？勺方程； (I)求？??长度的最大值.7. ( 2020河南鹤壁高中高三月考)2 2已知椭圆E:笃占1(a b 0)的左右焦点分别为F 1,F 2 , P 是椭圆a b短轴的一个顶点，并且 PF 1F 2是面积为1的等腰直角三角形.(1) 求椭圆E 的方程；3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆2 2 xy 2,2ab1(a b 0)的离心率e 2，且经过点25.【北京市海淀区 2019届高三上学期期末考试】已知点?? ????(0,-2)和椭圆？？二 + y = 1.直线？???= ???? 1 与3(2)设直线11 : x my 1与椭圆E相交于M,N两点，过M作与y轴垂直的直线12，已知点H(—,0)，问2(2)求VPF 1M 面积的最大值直线NH 与12的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由2x8. ( 2020江西高三)已知椭圆 C : -Tab 21(a b 0)过点( .3, 1)，且它的焦距是短轴长的 (1)求椭圆C 的方程.(2)若A , B 是椭圆C 上的两个动点 A , B 两点不关于x 轴对称)，O 为坐标原点，OA , OB 的斜率分别为k i , k 2，问是否存在非零常数 ，使当kk时，AOB 的面积S 为定值？若存在，求的值;若不存在，请说明理由x 29.(2020甘肃省岷县第一中学期末) 已知椭圆C :二a0(0,0) , OAB 的面积为1. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：| AN | |BM |为 定值•古(a b 0)的离心率为于，A(a,0),B(0,b),2 210. (2020江苏高三期末)已知椭圆 C :务每 1(a b 0)的左右焦点分别为F i,F2，焦距为4,且椭 a b5圆过点(2,—)，过点F 2且不平行于坐标轴的直线I 交椭圆与P,Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线3PR 交x 轴于点M •(1 )求VPFQ 的周长;直的射线与椭圆 C 分别交于M ，N 两点. (2)若椭圆C 的焦距为2,是否存在定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明 理由.椭圆上异于A, B 的任意-一点，直线TA,TB 的斜率之积为 (1)求椭圆C 的方程；2 2 _14. (2020河北高三期末)设椭圆 C:% % 1 (a b 0)的一个焦点为 C'2,0)，四条直线x a , a by b 所围成的区域面积为(1 )求C 的方程；_ _ 1(2)设过D(0,3)的直线l 与C 交于不同的两点 代B ,设弦AB 的中点为M ，且|OM I ? I AB I ( O 为原11. (2020河南高三期末)已知椭圆x y a 2 b 23b 0过点1,-，过坐标原点O 作两条互相垂(1)证明：当a 2 9b 2取得最小值时，椭圆C 的离心率为2x12. (2020四川高三月考)已知椭圆 C:-rab 0的短轴顶点分别为 AB ,且短轴长为2,T 为2⑵设O 为坐标原点，圆O : x3的切线I 与椭圆 4C 相交于P,Q 两点，求△ POQ 面积的最大值.13. (2020内蒙古高三)已知椭圆b 0的离心率为丄6,以原点O 为圆心，椭圆C 的3长半轴长为半径的圆与直线 2x J2y0相切.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知点A , B 为动直线y0与椭圆C 的两个交点，问：在 x 轴上是否存在定点 E ,使得 Euu 2 E A A B 为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由点分别为A .(1)求椭圆E 的标准方程;1 )为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB , AC点),求直线I 的方程•15. (2020山东高三期末)已知椭圆1 ( a b 0)的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为F i 、满足:2a •已知直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;ujur (2)若直线I 过点F 2，且AF 2 unn2F 2B ，求直线I 的方程;(3)若直线I 与曲线y In x 相切于点T t,l nt (t 0)，且AB 中点的横坐标等于2―，证明：符合题意3的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标1(a b 0)过点M (1,1)离心率为求菱形ABCD 面积的最小值•17. (2020福建省福州第一中学高三开学考试)已知2 2O 为坐标原点，椭圆E :卑占 1 a a bb 0的焦距为2.3，直线y x 截圆O : x 2y 22a 与椭圆E 所得的弦长之比为-10，椭圆E 与y 轴正半轴的交2(2)设点 B x 0,y 0 ( y ° 0 且 y °QF i2 2(2)如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆 ，分别交x 轴于点M , N •试判断OM ON 是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由23 1b21（a b 0）过点P1,2，且离心率为2（1）求椭圆C 的方程;3（2）已知点Q 1, 2是椭圆上的点，A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A,B 运动时，满足APQBPQ ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由 •弦长为2 2 •（1） 求椭圆C 的方程；（2） 已知点M （1,「2），斜率为 2的直线I 与椭圆C 交于不同的两点 A , B ，当△ MAB 的面积最大时,求直线I 的方程•2 2C : X y 与 1(a b 0) , F 为椭圆C 的右焦点， a b（1） 求椭圆C 的标准方程；| PF |（2） 斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于M , N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究是| MN |18. （2020江西高三期末）已知椭圆19. （2020甘肃高三期末）设椭圆0）的离心率是—2，直线x21被椭圆C 截得的D 1,丄6为椭圆220. （2020江西高三期末）已知椭圆否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由离为2，(1 )试求椭圆M 的方程；1 3 (2)若斜率为一的直线|与椭圆M 交于C 、D 两点，点P(1, —)为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为K ，22直线PD 的斜率为k 2，试问：k 1 k 2是否为定值？请证明你的结论22. (2020四川高三期末)在平面直角坐标系中，已知点A( 2,0) , B(2,0)，动点P(x,y)满足直线AP 与BP 的斜率之积为3.记点P 的轨迹为曲线C .4(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；1⑵若M , N 是曲线C 上的动点，且直线 MN 过点D 0,，问在y 轴上是否存在定点 Q ，使得MQO NQO ?若存在，请求出定点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由2 22,0 ,F 2 2,0是椭圆 C ：a b1a b椭圆C 上一点，当MF 1 F 1F 2时，有MF 2 3MF 1 . (1)求椭圆C 的标准方程;使得 ATF 2 BTF 2恒成立？若存在，求出定点 T 的坐标，若不存在，请说明理由专题三压轴解答题21. (2020青海高三期末)已知椭圆a 2b 21(a b 0)的离心率为短轴的一个端点到右焦点的距23. (2020山西高三期末)已知 F 10的两个焦点,(2 )设过椭圆右焦点 F 2的动直线I 与椭圆交于A,B 两点，试问在x 铀上是否存在与 F 2不重合的定点T ,第二关椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、 导数相交汇，每个题一般设置了两个问， 第（1） 问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（ 2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等•这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知 识的密切联系.【考点方向标】 方向一中点问题面积的最大值【答案】 2(1)x82y1；(2)22.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为 2c c 0，由题知，点P c,2，b 2，则有c 2豆22 2c, ~1a3「 22 2 2，又 a b c 2 c , 42a 8 , c 26 ,2a22 2因此，椭圆C 的标准方程为 —1 ；8 2（2）当AB x 轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ,典例1. （2020 •山东高三期末）已知椭圆1 a .2的右焦点为F , P 是椭圆C 上一点,PF x 轴, PF(1) 求椭圆 C 的标准方程;(2) 若直线 I 与椭圆C 交于A 、 B 两点, 线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点，且OM J 2，求AOBOM 屉可得AB 逅，此时S AOB OM AB 灵;AB不垂直x轴时, 设直线AB 的方程为kx t，与椭圆交于 A x i,y i ,B X2, y2 ,x2 2y2kx 1，得 1 4k2 28ktx 4t 0.X i X28kt2，1 4k2x1x24t28，从而1 4k24 kt4k2'1t4k2已知OM .2，可得t22 1 4k2 21 16k2Q AB k2 2 4x1x2k28kt4k24t284k216 8k2t2 2224k2设O到直线AB的距离为d，则d2t2 1 k2S2AOB 16 8k2t221 4k2 2t2k2.将t22 1 4k216k2 16k2当且仅当P22—代入化简得S2AOB P，则S2AOB3时取等号,综上：AOB的面积最大,【举一反三】192k24k2 116k2 22 2192k 4k 12 21 16k12 p 1 P4-2P4.此时AOB的面积最大,最大值为2.(2020 •河南南阳中学高三月考) 已知椭圆2XC： Ta最大值为2.2& 1(a b 0)的一个焦点与抛物线 4.3x的焦点重合，且椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线|交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为M (1,t)，直线m是线段AB的垂直平分线，求证:直线m 过定点，并求出该定点的坐标.3综上所述，直线 m 过定点 ,0 .4方法二：显然点 M(1,t)在椭圆C 内部，故—3 t2当直线l 的斜率存在且不为0时，设A(X 1,yJ ， B(X 2,y 2)，2 2则有 M y 121，x2 y 21，44两式相减得―一空 (y 1 y 2)( y 1 y 2) 0.42【答案】(1)1 y 241 ；( 2)直线m 过定点3,0，详见解析•4【解析】(1)抛物线y4、,3X 的焦点为c.3,0)，则ca%2 ,3.椭圆C 的离心率eCa3，则 a 2,b 2a 22c 21.故椭圆C 的标准方程为 2x 2彳xr y1.(2)方法一：显然点 M (1,t)在椭圆C 内部，故■J 2 t 3，且直线 2I 的斜率不为0.当直线I 的斜率存在且不为 0时，易知t 0，设直线I 的方程为y k(x 1) t ，代入椭圆方程并化简得(12 2 2 2 24k 2 )x 2 (8 kt 8k 2)x 4k 28 kt 4t 20.设 Ag%)，B(X 2,y 2)，2nt[8kt 8k则 x 1 x 21 4k 22，解得k丄4t因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线 m: y t4t(x 1)，即 y t(4x 3).3令4x 3 0，此时x ,y40,于是直线m 过定点当直线I 的斜率不存在时，易知t 0，此时直线m:3，故直线m过定点訐.3，且直线l 的斜率不为0 .2由线段AB 的中点为M(1,t)，则x , x 22,y y 2 2t ,因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线 m: y t3 ,y 0，于是直线m 过定点43，故直线m 过定点 ,0 .4综上所述，直线 m 过定点 ,0 .4方向二垂直问题【答案】(1)且直线AB, DE 斜率均存在且不为0,现设点A x-], y 1 , B x 2, y 2 ,故直线l 的斜率k 生丄x 1 x 24t 4t(x 1)，即 y t(4x 3).令4x 30 ,此时x当直线l 的斜率不存在时, 易知 t 0，此时直线m : y2書1(abb 0)的离心率e 辽，且过点2f)-(2)如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线 AB, DE 交椭圆分别于 代B,D, E ,且满足uuuv 1 uuv AM -AB ,2uuu v DN1 uuu/ -DE , 2MNF 面积的最大值.【解析】(1) 根据条件有uuuu 1 uuu (2)根据 AM AB ,2a 21 2a 2uur CN 2b 2 32 4b，解得a 211 uuuCD 可知, 2 22x 2,b1，所以椭圆C ：—M ,N 分别为AB,DE 的中点, y 2 1 •典例2. (2020 安徽期末)已知椭圆(1)求椭圆C 的方程;直线AB 的方程为x my 1，不妨设m 0 ,联立椭圆C 有m 2 2 2my 1 0,根据韦达定理得：y 1 y 22m齐，为x 2 m…2 m m 2 2,m 2 2MF竺m 一1，同理可得NF2所以 MNF 面积SMNF!|MF 2NF1 m -m, 1 ' m - m一，现令2那么 SMNF t 4F4t 1 ~~2 t 所以当t 2, m1时, MNF 的面积取得最大值 【举一反三】 (2020 •吉林东北师大附中高三月考)已知椭圆 C : 2 x _2 a点，且PF 与x 轴垂直, A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且中0是坐标原点• (1)求椭圆C 的方程. (2)若过点F 的直线l 1, 12互相垂直，且分别与椭圆 C 交于点M面积S 的最小值. 2 I 答案】(1) f y2 1; (2)垃 9 b 2【解析】(1)依题意画出下图可设 P( c, —) , A(a,0) , B(0,b),a211 m 22AB POP 的左焦点为F ，P 是C 上一一1，且 POB 的面积是丄，其2T 四点，求四边形MSNT 的k ABb 2 ac则有: SPOBb 2c 2 1bc22abaa 、2，解得 b 1c 1 2 i 椭圆c 的标准方程为x 2 y 2 1； (2) i 当 11 x , J//X 时, S MSNT 2g2ag2^ 2b2 2； i 当11 ,I 2斜率存在时，设l i : x ky I 2: x 1y 1，分别联立椭圆方程 k y 2 1,联立 x 2 x2ky 1 得k 21 2 y 2 2ky i y 1y 2 2k 2，y 』21 ~2~ k2 21 MN ■■ k2 1 \ y 1 2y 24 y 1 y 22k k 2 24 k 2 22 2 k 2 k 2同理ST 2-2 丄 1 ___ k 2 丄 7 2.2 1 k 1 2k 2i S 1MNgST 2 28 k 21 2 1 2g k 2 2 2k 2 1 224 k 21 k2 2 2k 2 1212 2k 2 2k1)224 k 22 2 24(k 1) 9 k 2 1 2当且仅当k 2 2 2k 2 1 即 k 21 即 k 1时等号成立,故四边形MSNT 的面积S 的最小值S min16 912方向三面积问题2典例3. (2020 •安徽高三月考)已知椭圆 E ：仔aa b 0的左焦点为F 1,0，经过点F 的直线与椭圆相交于 M , N 两点，点p 为线段MN 的中点, 点0为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线1OP 的斜率为2(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点A 为椭圆的左顶点，点 B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于 C ，D 两点，记 ACD 的面积为3 , BCD 的面积为S 2，求S 23的最大值.2 所以椭圆E 的标准方程为—22【答案】(1)- 2y 21 (2)2【解析】(1 )设M x,y i , NX 2,y 2，则点PX , X 2 2宁，由条件知直线MN 的斜率为y i y 2 , 1,XX直线OP 的斜率为y , y 2X X 22X而a2 22X Lb 2y b 2，两式作差得，2 Xi2a2 X22 y 2b 2b 2所以二a 2X L 2 Xi2 y2 2 X2y 1 y 2 X-i X 2 又左焦点为1,0， 所以c 2y 1 y 2 X i-，即22b 2,b 2 2 22b b b 2(2)设直线CD 的方程为xmy 1 ，记C ， D 过标为 X 1,y 1 ， X 2,y 2 ，则 S , L |AF2y 1 y 2 y 1 y 2，y 1 y 2y i y 2，所以S 2 Sy 1 y 2.2 2【答案】（1） — — 1 ； （ 2）是定值，其定值为•' 6 •42ca22c c 0，由题意可得2 a2 a22 1 -2 1 ,解得 a 24，b 2 2，b b 2c 22 2因此，椭圆C 的标准方程为— 1 ；42（2）当直线|的斜率不存在时，直线 MN 的方程为x 1或x 1.联立方程,x 2 2y 22，消去x ，得 m 2 所以 y iy 2y iy 28 m 2 12所以 S 2 S 1典例 (1) (2) my2m m 2 28t t 1 2y 1 y 2y”24y i y 22 y 22my 1 0,1 m2 2 8 m 2122、、2，即 S4. （2020河南高三月考）已知椭圆求椭圆C 的标准方程;设直线I 与C 交于M 、N 两点,，令t2，当且仅当t2x c r a点D 在椭圆 C 上, 形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值; 1，则t i ，且1时等号成立,b 0的离心率O 是坐标原点，若 如果不是， 请说明理由e 2，且椭圆过点2,12uuu vOMONV ODV ，判定四边【解析】（1）设椭圆C 的焦距为12x 1x 1若直线I的方程为x1，联立x2y2，可得V6，一—1y4 22此时，MN晶，四边形OMDN的面积为丄苗2恵，2同理，当直线I 的方程为x 1时，可求得四边形 OMDN 的面积也为,6 ;当直线 I 的斜率存在时，设直线I 方程是y kx m , 代人到 2k 2 x 2 4kmx 2m 2 4 X i X 24 km 2， 1 2k x 1x 2 2m 2 4 1 2k 2 ' 2 8 4k 2 2y i y 2 k x i x 2 加半, 1 k 2 MN .i k 2 X i X 2 、i k 2 、 x i2x 24x 1x 22、〔2 一 4k 2 2 m 21 2k 2'点O 到直线MN 的距离d .1 k 2 ' 丄 uuun umr由 OM 0C OD ，得 XD X i X 2 4 km2k 2 1 y D y i y 22 ?2k Q 点D 在椭圆 C 上，所以有 4 km 1 2k 2 4 2m 1 2k 2，整理得2k 2c 22m ,由题意知，四边形 OMDN 为平行四边形, 平行四边形OMDN的面积为 S OMDN 2S OMN 2丄|MN2d 、i k 22.2 4k 2 2 m 2i 2k 2,i k 22 2 2 8k 4 2m 2 2k 2 1 8k 2 4 2k 21i 2k 2 2k 2 i 2k 2 1 -2 6 . 2k 1故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为 【举一反三】 （2020 •全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :£ i a > b >。
高考椭圆题型总结有答案
高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题一)定义:命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0，常数)。
命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的充要条件。
已知F1、F2是两个定点，且F1F2=4，若动点P满足PF1+PF2=4，则动点P的轨迹是椭圆。
已知1、2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长1到P，使得PQ=PF2，那么动点的轨迹是圆。
x^2+y^2=1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，椭圆则ON的值是4.O是椭圆的中心，(1,0)是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）。
选做：已知F1是椭圆，求|PA|+|PF1|的最小值。
二)标准方程求参数范围试讨论k的取值范围，使方程(5-k)x^2+ky^2-3=0表示圆、椭圆、双曲线。
m>n>0”是“方程mx+ny=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件。
若方程xsinα+ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，α所在的象限是第二象限。
方程x=1-3y所表示的曲线是椭圆的右半部分。
已知方程x+ky=2表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1.1.根据下列条件求椭圆的标准方程：1) 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2,-6)；3) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2)。
二、简单几何性质椭圆的离心率为e=√(1-b^2/a^2)，其中a、b分别为长轴和短轴的一半。
椭圆的周长为C=4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
椭圆的面积为S=πab。
点M(x,y)满足x2/25+(y+3)2/16=1，求点M的轨迹方程。
2.已知动点P(x,y)过定点A(-3,0)，并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动点P的轨迹方程。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为. （4分）(2) 由(1)可知，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，（6分）所以.因为，所以，.由与相似，所以. （10分）令，则，从而，即的取值范围是. （12分）【考点】椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题.3.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明详见解析，.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和左焦点到点P 的距离列出方程组，解出基本量a，b，c，从而得到椭圆的标准方程；第二问，用直线与椭圆联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理得到和，由于AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0) ，所以，利用向量的数量积的运算公式，将前面的式子都代入，得到或 m = －2k，经验证都符合题意，则分别求出定点坐标，再验证，最终得到结论.试题解析：（1）由题：①左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：② 2分由①②可解得c =" 1" ， a =" 2" ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分∴所求椭圆 C 的方程为． 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y =" kx" + m代入椭圆方程得(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．∴，， 6分且y1 = kx1+ m，y2= kx2+ m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以． 7分所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2= (x1－2) (x2－2) + (kx1+ m) (kx2+ m)= (k 2 + 1) x1x2+ (km－2) (x1+ x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 =" 0" ． 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴或 m = －2k 都满足△ > 0． 12分若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k =" k" (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 13分若时，直线 l 为，恒过定点． 14分【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题.4.已知△ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，C为动点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．【答案】（1）＋＝1(x≠±4)（2）16【解析】(1)由题意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的轨迹E为椭圆的一部分．由a＝4，c＝2，可得b2＝12．故曲线E的方程为＋＝1(x≠±4)．(2)设两直线的方程为y＝kx与y＝－kx(k>0)．记y＝kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0，y)，由，可得x2＝．结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积S＝2x0·2y＝4kx2＝．因为k>0，所以S＝≤＝16 (当且仅当k＝时取等号)．故四边形面积的最大值为16．5.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）＋y2＝1 （2）见解析【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．6.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0(m>0且m≠2)上任意一点，点N的坐标为(2，0)，线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为；（2）定点，定值为6.【解析】（1）利用线段的垂直平分线交直线于点，当时，根据椭圆的定义，即可求出轨迹的方程；当时，根据双曲线的定义，即可求出轨迹的方程；（2）当时，轨迹必为椭圆方程，设，分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD，，根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明．存在性问题，先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程，代入椭圆方程，消去，设，，利用一元二次方程的根与系数的关系，求得为定值6.（1）由题意，，所以，所以轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆，当m>2，，轨迹是以、为焦点的椭圆，其方程为；当m<2，轨迹是以、为焦点的双曲线，其方程为（4分）（2）由（1）当时，曲线C为，设，分别过E取两垂直于坐标轴的两条弦CD，，则，即解得，∴E若存在必为定值为6.（6分）下证满足题意.设过点E的直线方程为，代入C中得:，设、，则，，（8分）.同理可得E也满足题意.综上得定点为E，定值为（13分）【考点】直线和圆的方程的应用，圆锥曲线的定义、性质与方程，轨迹方程的问题.7.已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点， .（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据已知分析可得点横坐标为1，纵坐标为,，即点。
马井堂-高三数学椭圆的几何性质1
《椭圆的几何性质》说课稿苏教版《普通高中课程标准实验用书》选修2－1 第二章第2节教学设计依据★奥苏贝尔认知学习理论：能否有效地学习，取决于学生认知结构中已有的观念，其关键是要能在新信息与学习者原有认知结构相关观念之间建立起非人为的实质性联系。
数学学习的过程，就是个体数学认知结构不断完善的过程，建构良好的数学认知结构是以良好的知识结构为前提的。
施教者应向学生呈现一种与个体已有观念有广泛联系的知识。
★《数学课程标准》指出：数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点。
下面我从四个方面对这节课的设计做一个说明。
教学内容地位和作用研究椭圆的几何性质是解析几何基本思想的具体体现，也是对用代数方法研究直线的某些性质的一种平行发展，当然也是为即将研究双曲线、抛物线的几何性质奠定基础。
课时设计考虑到对椭圆的性质有较多的拓展，本节内容我把它分成两课时完成，第一课时主要解决范围、对称性、顶点等问题，第二课时完成椭圆的离心率和椭圆性质的简单综合运用教学，将难点分散，学生更容易掌握所学的知识和方法。
教学重点知识点的学习自然是教学重点，但为了向学生呈现一种与他们的已有观念有广泛联系的知识结构，向学生提供有价值的数学知识，还要着眼于椭圆几何性质知识结构的建立，进一步加深对解析几何基本思想的理解。
教学目标★知识与技能：初步理解椭圆的几何性质。
★过程与方法：利用类比、联想等方法，让学生迅速获得椭圆的几何性质的意义。
★情感、态度与价值观：培养学生思维品质，激发学生学习数学的热情。
教学难点椭圆几何性质在整个平面解析几何中的地位以及它的知识构成成分，是本节课的第一个难点。
突破这个难点，学生将获得良好的数学知识结构，有利于后继的双曲线、抛物线的学习。
具体的研究方法，如不等式法（反解法）、三角代换法、对称性、顶点的研究方法等，这些方法的引入及合理运用，是本节课的第二个难点，需要设计相关的问题，调动学生已有的知识，与新知识建立非人为的实质性联系，迅速激活学生的思维，从而达到突破难点和解决问题的目的。
椭圆难题(包括答案)
关于焦点三角形与焦点弦之马矢奏春创作1F 1F212PF PF b ⋅≤）经过焦点1F 或2F 的椭圆的弦112,),(,x y B x 则弦长2AB a e =±（左焦点取“+”，右焦点取“AB x ⊥轴时，AB 关于直线与椭圆的位置关系问题经常使用处理方法0>，以及在涉及弦长，中点，对称，面积2)y 代入椭圆方程，并将两，在涉及斜率、中点、范围典例剖析1 求椭圆的尺度方程【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =（1）求椭圆的离心率。
（2）若过,,A F Q三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。
85AP PB =可得：32。
即 22a c ac -）由（1）得：(3,Q c 于是有：322c c +=【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=，求直线l 的方程 （4）求OPQ 的最大面积从而求得：1x +0OP OQ ⋅=得所以l 的方程为：）由（1）得：∆>112OPQSOA y =2k -OPQS=6时，取“2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=（1）求椭圆离心率e的取值范围（2）当离心率e取最小值时，PF F的面积为16，设12,A B是椭圆上两动点，若线段AB的垂直平分线恒过定点(0,Q。
①求椭圆的方程；②求直线AB的斜率k的取值范围。
求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0∆>；（4）椭圆内部的点()00,x y 满足2200221x y a b+<；【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F 与椭圆交于,A B 两点，OA OB +与向量()3,1a =-共线。
高中数学选择性必修一课件：椭圆的综合问题
又|PM|－|PF1|＝－(|PF1|－|PM|)，则求|PM|－|PF1|的最小值，即求|PF1|－|PM| 的最大值，延长 F1M 交椭圆于点 P2，则 P2 是使|PF1|－|PM|取得最大值的点，即 使|PM|－|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|－|PF1|)min＝－|MF1|＝－ 34.
【解析】 (1)由 e＝ac＝ 36及 a2＝b2＋c2，得 a2＝3b2. 又2ca2＝3 2，所以 a2＝3，b2＝1. 所以椭圆方程为x32＋y2＝1.
(2)由 e＝ac＝ 36及 a2＝b2＋c2，得 a2＝3b2，则椭圆的方程为3xb22＋by22＝1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，则设 l 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，
(2)如图，连接 PF2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则|PF1|＝10－|PF2|， 所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)，连接 MF2 并延长交椭圆于 点 P3，则 P3 是使|PM|＋|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|＋|PF1|)max＝10＋|MF2| ＝10＋ （2－3）2＋（3－0）2＝10＋ 10.又|PM|＋|PF1|＝10－(|PF2|－|PM|)，延 长 F2M 交椭圆于点 P4，则 P4 是使|PF2|－|PM|取得最大值的点，即使|PM|＋|PF1| 取得最小值的点，于是(|PM|＋|PF1|)min＝10－|MF2|＝10－ 10.
探究 2 求椭圆离心率(或取值范围)的基本方法：
(1)当题中出现焦点三角形的三边关系时，可以直接利用定义 e＝ac求解．另
外，易求 b，c 时，可利用 e＝ b2c＋c2求解；易求 a，b 时，可利用 e＝
(完整word版)椭圆高考典型题型整理(word文档良心出品)
椭圆高考典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；例2. 方程2x =+所表示的曲线是 练习：1.6=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆2.10=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆3.10=成立的充要条件是（ ）A.2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 221925x y +=4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线例1.方程2211625x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆22221x y a b+=共焦点的椭圆可设其方程为222221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2214x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题例1. 已知椭圆2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；例2.题型四.椭圆的几何性质例 1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为例 2.椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例3.若椭圆22114x y k +=+的离心率为12，则k = ； 例 4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且01215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为题型五.求范围例1.方程22221(1)x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；题型六.椭圆的第二定义的应用例1. 方程2x y =++所表示的曲线是 例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例3.椭圆221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52，那么P 到右焦点的距离为例4．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
1马井堂-人教版高中数学选修2-1椭圆及其标准方程(2)教案
椭圆及其标准方程1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．4142，文P34~ P36找出疑惑之处）复习1：椭圆上221259x y+=一点P到椭圆的左焦点1F的距离为3，则P到椭圆右焦点2F的距离是．复习2：在椭圆的标准方程中,6a=,b=则椭圆的标准方程是．二、新课导学※学习探究问题：圆22650x y x+++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆上．※典型例题例1在圆224x y+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※ 动手试试练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．三、总结提升※ 学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．※ 知识拓展椭圆的第二定义：到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点；定直线l 是椭圆的准线；常数e 是椭圆的离心率．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠ D ．221259x y +=(0)y ≠ 3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．。
高考数学一轮复习配餐作业55椭圆的综合问题含解析理
配餐作业(五十五) 椭圆的综合问题(时间：40分钟)一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析 ∵直线方程可化为y －1＝k (x －1)，恒过(1,1)定点，而(1,1)在椭圆内部，故选A 。
答案 A2．(2016·安庆六校联考)已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于( )A.12B.22C.34D.32解析 k AB ＝－12，k OP ＝12，由点差法得k AB ·k OP ＝－b 2a 2，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b 2a 2。
∴b 2a 2＝14，∴e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32。
故选D 。
答案 D3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( ) A.2－22 B.22－12 C.3－1 D.2－1解析 依题意有P (c,2c )，点P 在椭圆上，所以有c 2a 2＋4c 2b2＝1，整理得b 2c 2＋4a 2c 2＝a 2b 2， 又因为b 2＝a 2－c 2，代入得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22(3＋22舍去)，从而e ＝2－1。
故选D 。
答案 D4．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(0<m <n )， 联立方程组：⎩⎨⎧ mx 2＋ny 2＝1，x ＋3y ＋4＝0，消去x 得：(3m ＋n )y 2＋83my ＋16m －1＝0，Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0，整理得：3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m＝16。
马井堂-椭圆课后同步练习
11692522=+y x 1.椭圆的焦点坐标是 , 离心率是________，准线方程是_________. 191622=+y x 2.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为( )A ．8 B ．16 C ．25 D ．32192522=+y x 3.椭圆上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.101112022=+y x 4.已知椭圆方程为,那么它的焦距是 （ ） 3131A.6 B.3 C.3 D.222=+ky x y 5.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是A.（0，+∞）B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)21,F F 21F F 6||||21=+MF MF 6．设为定点，||=6，动点M 满足，则动点M 的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.圆D.线段12-m x 7.已知方程+=1，表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为 . 23,25-8.已知椭圆的两个焦点坐标是F 1（-2，0），F 2（2，0），并且经过点P （），则椭圆标准方程是__ ___19622=+y x 9.过点A （-1，-2）且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是__ __3310.过点P （，-2），Q （-2，1）两点的椭圆标准方程是_ __ ___19822=++y k x 2111.若椭圆的离心率是，则k 的值等于 . 12.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 .22a x 22by 313.F 1、F 2分别为椭圆+=1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为的正三角形，则b 2的值是1162522=+y x 621π=∠MF F =∆21F MF S 14.设M 是椭圆上一点，F 1、F 2为焦点，，则 215.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为2222142(A) (B) (C) (D)11229(,),(4,),(,)5A x y B C x y F 221259x y +=16.设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则my -22,,AF BF CF 128x x +=“成等差数列”是“”的（ ）（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要2212516x y +=AB 8x 17.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上1234567,,,,,,P P P P P P P F 半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=。
马井堂-经典-2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1、函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ▲2、设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲3、双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ 4、集合}1,0,1{-共有 ▲ 个子集5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ （流程图暂缺）6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定（方程较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲7、现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取， 则n m ，都取到奇数的概率为 ▲8、如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，， 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体 积为2V ，则=21:V V ▲9、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ 10、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ▲11、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ， 若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ▲ABC1ADE F1B1C13、在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ 14、在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
三年高考(近年-近年)高考数学试题分项版解析专题14椭圆及其相关的综合问题文(new)
专题14 椭圆及其相关的综合问题1。
【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A ．13B ．5 C ．23D ．59【答案】B【考点】 椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉得到c a ,的关系式，建立关于c b a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．2。
【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．3][9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．3][4,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：当03m <<，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab ≥=33m≥，得01m <≤;当3m >，焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603ab ≥=33m ≥，得9m ≥,故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞,选A．【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件 120=∠AMB 转化为360tan =≥ ba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论． 3。
【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a 〉b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ) A ．6 B ．3 C ．2D ．13【答案】A【考点】椭圆离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4.【2016高考新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的错误!,则该椭圆的离心率为（ ） （A)错误! （B ）错误! (C)错误! （D ）错误! 【答案】B 【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯=在Rt OFB ∆中,|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯,且222a b c =+，代入解得22a4c=,所以椭圆得离心率得1e2=，故选B。
马井堂-数学-高考专题训练十九特例检验型、逆向思维型、综合型
马井堂-数学-高考专题训练十九特例检验型、逆向思维型、综合型班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______1．(全国高考题)函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M解析：此题单纯从“数”的角度去分析，具有相当的难度．若在同一直角坐标系中作出函数y ＝M sin(ωx ＋φ)和y ＝M cos(ωx ＋φ)的大致图形(如下图)，再观察在区间[a ，b ]上函数y ＝M cos(ωx ＋φ)图象的特征，则易知正确答案是C.答案：C2．(全国高考题)如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 解析：由题设，直线l 平分圆，显然直线l 应过圆心M (1,2)．设过M的直线l的斜率为k，当k＝0时，l不过第四象限，当l过原点即k＝2时，l亦不过第四象限，由下图不难看出，0≤k≤2时均符合题意，故选A.这是“以形助数”．答案：A3．(全国高考题)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)的图象重合．设a>b>0，给出下列不等式：①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)，②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)，③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)，④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)．其中成立的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析：依题意画出f(x)在[0，＋∞)上的示意图(如下图)从图中易得：由f (x )奇，g (x )偶有， f (a )＝g (a )＝g (－a )＝－f (－a )， f (b )＝g (b )＝g (－b )＝－f (－b )，f (b )－f (－a )＝f (b )＋f (a )＝g (b )＋g (a )>g (a )－g (－b )， f (a )－f (－b )＝f (a )＋f (b )＝g (a )＋g (b )>g (b )－g (－a )． 故选C. 答案：C4．如果函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．1D ．－1分析：函数f (x )在x ＝－π8时取得最值；或考虑有f ⎝⎛⎭⎪⎫－π8＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π8－x 对一切x ∈R 恒成立． 解析：解法一：设f (x )＝sin2x ＋a cos2x ，因为函数的图象关于直线x ＝－π8对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－x 对一切实数x 都成立，即sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋x ＋a cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋x ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－x ＋a cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－x 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π4＋2x ， ∴2sin2x ·cos π4＝－2a sin2x ·sin π4，即(a ＋1)·sin2x ＝0对一切实数x 恒成立，而sin2x 不能恒为0， ∴a ＋1＝0，即a ＝－1，故选D.解法二：∵f (x )＝sin2x ＋a cos2x 关于直线x ＝－π8对称．∴有f ⎝⎛⎭⎪⎫－π8＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π8－x 对一切x ∈R 恒成立．特别，对于x ＝π8应该成立．将x ＝π8代入上式，得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，∴sin0＋a cos0＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＋a cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π2∴0＋a ＝－1＋a ×0. ∴a ＝－1.故选D.解法三：y ＝sin2x ＋a cos2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a )．其图象的对称轴方程为2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π2＋π4－φ2(k ∈Z)．令k π2＋π4－φ2＝－π8(k ∈Z)．得φ＝k π＋3π4(k ∈Z)．但角φ的终边经过点(1，a )，故k 为奇数，角φ的终边与－π2角的终边相同，∴a ＝－1.故选D.解法四：y ＝sin2x ＋a cos2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)，其中角φ满足tan φ＝a .因为f (x )的对称轴为y ＝－π8，∴当x ＝－π8时函数y ＝f (x )有最大值或最小值，所以1＋a 2＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π8或－1＋a 2＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π8，即1＋a 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π4＋a cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π4，或－1＋a 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.解之得a ＝－1.故选D. 答案：D评析：本题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f (m ＋x )＝f (m －x )的图象关于直线x ＝m 对称的性质，取特殊值来求出待定系数a 的值．解法三利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴是方程ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)的解x ＝k π＋π2－φω(k ∈Z)，然后将x ＝－π8代入求出相应的φ值，再求a 的值．解法四利用对称轴的特殊性质，在此处函数f (x )取最大值或最小值．于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝[f (x )]max 或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝[f (x )]min .从而转化为解方程问题，体现了方程思想．由此可见，本题体现了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其实质东西．5．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D.22解析：当△ABC 为等腰直角三角形时，O 为AC 的中点，AB 、BC 边上高的交点H 与B 重合(如图)，OA →＋OB →＋OC →＝OB →＝OH →，所以m ＝1.答案：B6．设f (x )是定义在实数集R 上的任意一个增函数，且F (x )＝f (x )－f (－x )，那么F (x )应为( )A ．增函数且是奇函数B ．增函数且为偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且为偶函数解析：因为f (x )是定义在R 上的任意一个增函数，可取f (x )＝x ，知F (x )＝x －(－x )＝2x ，故选A.答案：A7．若sin α＋sin β＝13(cos β－cos α)，α、β∈(0，π)．则α－β的值为( )A ．－2π3B ．－π3C.π3D.2π3解析：由sin α＋sin β＝13(cos β－cos α)及α、β的范围，可直接推α－β的值，但运算量较大．令β＝π6代入，得sin α＝－13cos α，即tan α＝－33，α∈(0，π)，∴α＝5π6.∴α－β＝5π6－π6＝2π3，故选D.答案：D8．(全国高考题)若a >b >1，P ＝lg a · lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．P <Q <R C ．Q <P <RD ．P <R <Q解析：取a ＝100，b ＝10，则P ＝2，Q ＝1.5，R ＝lg 1102>lg 1002＝2－lg2>Q ，故应选B.答案：B9．若0<|α|<π4，则( )A ．sin2α>sin αB ．cos2α<cos αC ．tan2α>tan αD ．cot2α>cot α解析：取α＝±π6，可否定A 、C 、D ，因此选B.答案：B10．命题甲：x ≠2或y ≠3；命题乙：x ＋y ≠5，则( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3⇒x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以选B.答案：B11．定义：离心率e ＝5－12的椭圆为“黄金椭圆”．对于椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如果a ，b ，c 不是等比数列，那么椭圆E ( ) A ．一定是“黄金椭圆” B ．一定不是“黄金椭圆” C ．可能是“黄金椭圆” D ．可能不是“黄金椭圆” 解析：假设E 为黄金椭圆，则有 e ＝ca ＝5－12，即c ＝5－12a .所以b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12a 2＝5－12a 2＝ac ，这说明a ，b ，c 成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E 一定不是“黄金椭圆”．故选B.答案：B12．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝( )A. 3B.32C.83D.23解析：假设m ＝32，则c 2＝2－32＝12，c ＝22，e ＝c a ＝12.故选B.答案：B13．若圆x 2＋y 2＝r 2上恰有相异两点到直线4x －3y ＋25＝0的距离等于1，则r 的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[4,6)C ．(4,6]D ．(4,6)解析：因为圆心O (0,0)到直线4x －3y ＋25＝0的距离d ＝5，若r ＝4，则圆上只有一点到直线的距离等于1，故r ≠4.又若r ＝6，则圆上有三点到直线的距离等于1，故r ≠6.所以选D.答案：D14．对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．sin(α＋β)>cos α＋cos β C ．cos(α＋β)<sin α＋sin β D ．cos(α＋β)<cos α＋cos β解析：当α＝β＝30°时，可排除A 、B 选项，当α＝β＝15°时，代入C 选项中，即0<cos30°<2sin15°，两边平方，34＝0.75<4sin 215°＝4×1－cos30°2＝2－3≈0.268矛盾．故选D.答案：D15．在△ABC 中，有命题：①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．上述命题正确的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④解析：∵AB →－AC →＝CB →易知①错，②、③都正确．而AC →·AB →>0⇒|AC →||AB →|cos A >0⇒∠A 为锐角，不能断言△ABC 为锐角三角形，即④错．答案：C16．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，a <0)对于一切实数x ，f (1－x )＝f (1＋x )均成立，且f (－1)<0，f (0)>0.则有( )A ．a ＋b ＋c <0B ．b <a ＋cC ．c <2bD ．abc >0解析：(排除法)由题设可知抛物线的对称轴为x ＝1，即 －b2a ＝1，b ＝－2a >0.f (－1)＝a －b ＋c <0⇒a ＋c <b ，排除 B.f (1)＝a ＋b ＋c >0，排除A.a <0，f (0)＝c >0，b >0，排除D.另外选项C 的正确性可如下证明： a ＋c <b ⇒c <b －a <b －2a ＝2b . 答案：C17．对于函数①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝(x －2)2；③f (x )＝cos(x －2)． 判断如下两个命题的真假：命题甲：f (x ＋2)是偶函数；命题乙：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②D ．③解析：命题甲f (x ＋2)是偶函数，可知②③满足条件，排除①；作出②③函数的图象，可知③不满足命题乙的条件，所以选C.答案：C18．已知四边形ABCD 为菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →等于( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22 C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22 解析：λ(AB →＋AD →)＝λAC →，当λ∈(0,1)时，|λAC →|＝λ|AC →|∈(0，|AC →|)，而选项B 中λ(AB →＋BC →)∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22|AC →|，不满足条件，选项C 、D 则显然不正确，故选A.答案：A19．(2011·陕西模拟)如图所示，O ，A ，B 是平面上三点，向量OA →＝a ，OB →＝b .在平面AOB 上，P 是线段AB 垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p ，且|a |＝3，|b |＝2，则p ·(a －b )的值是( )A ．5B.52 C ．3 D.32解析：因为P 是线段AB 垂直平分线上任意一点，不妨设P 为AB 的中点，则有OP →＝p ＝12(a ＋b )． ∴p ·(a －b )＝12(|a |2－|b |2)． ∵|a |＝3，|b |＝2，∴p ·(a －b )＝52. 答案：B20．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.23B.13 C ．－13D ．－23解析：取△ABC 为等腰三角形，如图所示，则有CD →＝CE →＋CF →，此时CE→＝13CA →，CF →＝23CB →，而CD →＝13CA →＋λCB →，故λ＝23. 答案：A。
马井堂-经典-高考数学经典复习--专题训练五综合测试题
马井堂-经典-高考数学经典复习--专题五综合测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有( ) A.a 4a 6<a 6a 8 B.a 4a 6≤a 6a 8 C.a 4a 6>a 6a 8D.a 4a 6≥a 6a 8解析：a 4a 8＝(a 1＋3d )(a 1＋7d )＝a 21＋10a 1d ＋21d 2，a 26＝(a 1＋5d )2＝a 21＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8.答案：B2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由题意知，数列{a n }为等差数列，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<2k －10<8，k ∈N *，得到k ＝8.答案：B3．对于非零实数a 、b ，“b (b －a )≤0”是“ab ≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵a ≠0，b ≠0，故有b (b －a )≤0⇔b －a b ≤0⇔1－a b ≤0⇔ab ≥1.故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥04x －x 2， x <0)，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由题知f (x )在R 上是增函数，可得2－a 2>a ，解得－2<a <1，故选C.答案：C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为0的实数)，那么{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，也可能是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 答案：C6．(2011·保定)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝ －2008，S 20072007－S 20052005＝2，则S 2008的值为( ) A ．－2006 B ．2006 C ．－2008 D ．2008解析：由已知S 20072007－S 20052005＝2的结构，可联想到等差数列{a n }的前n 项和S n 的变式，S n n ＝a 1＋d 2(n －1)，故由S 20072007－S 20052005＝2，得d2＝1，S 20082008＝－2008＋(2008－1)·1＝－1，∴S 2008＝－2008.7．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≤3D ．a 2＋b 2≥2解析：∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥2.答案：D8．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：∵等比数列{a n }中，a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q .当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2 q ·1q ＝3，当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2 (－q )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：D9．(2011·广东广州模拟)p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc · b m ＋d n(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析：q ＝ab ＋mad n ＋nbcm ＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p ，故选B. 答案：B10．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *，则函数f (n )＝S n(n ＋32)S n ＋1的最大值为( )A.120B.130C.140D.150解析：由S n ＝n (n ＋1)2得f (n )＝n (n ＋32)(n ＋2)＝n n 2＋34n ＋64＝1n ＋64n ＋34≤1264＋34＝150，当且仅当n ＝64n ，即n ＝8时取等号，即f (n )max ＝f (8)＝150. 答案：D11．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤1x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝5x＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：如图，由图可知目标函数z ＝5x ＋y 过点A(1,0)时z 取得最大值，z max ＝5.答案：B12．{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，则公差小于零．又a 11a 10<－1，则有a 11<0，a 10>0，a 10＋a 11<0，即S 19>0，S 20<0，则当S n 取得最小正值时，n ＝19.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d .类比上述结论，在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项之积，则有____________________________．答案：T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 100 14．(2011·陕西省高三诊断)观察下列等式： 12＋22＝2(2＋1)(2×2＋1)6，12＋22＋32＝3(3＋1)(2×3＋1)6，12＋22＋32＋42＝4(4＋1)(4×2＋1)6，…，根据上述规律可得12＋22＋32＋…＋n 2＝________.解析：通过观察前三个等式可得12＋22＋32＋…＋n 2＝n(n＋1)(2n＋1)6.答案：n(n＋1)(2n＋1)615．已知数列{a n}为等差数列，则有等式a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2＋6a3－4a4＋a5＝0，(1)若数列{a n}为等比数列，通过类比，则有等式_______ _________．(2)通过归纳，试写出等差数列{a n}的前n＋1项a1，a2，……，a n，a n＋1之间的关系为____________________．解析：因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．答案：(1)a1a－22a3＝1，a1a－32a33a－14＝1，a1a－42a63a－44a5＝1(2)C0n a1－C1n a2＋C2n a3－……＋(－1)n C n n a n＋1＝016．若不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则a的取值范围为________．解析：由题得a≤4x－2x＋1在[1,2]上恒成立，即a≤(4x－2x＋1)min ＝[(2x－1)2－1]min＝0.答案：(－∞，0]三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(a·b≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立．(1)求函数f (x )的解析式；(2)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f (a n )2，求证：数列{a n }是等差数列．解：(1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，得f (x )(ax －1)＝b ，若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1.由f (1)＝2＝ba －1，得2a －2＝b ， ①由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立，得ba (x ＋2)－1＝－ba (2－x )－1，由此解得a ＝12， ②把②代入①，可得b ＝－1， ∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：∵f (a n )＝22－a n ，S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f (a n )2， ∴S n ＝14(a n ＋1)2，a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是等差数列．18．(本小题满分12分)(2011·山东青岛十九中模拟)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2S 2＝64，{ba n }是公比为64的等比数列．(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)设{a n }的公差为d ，d 为正数，{b n }的公比为q ，则 a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b a n ＋1b a n ＝q 3＋nd －1q3＋(n －1)d －1＝q d ＝64＝26S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，由(6＋d )q ＝64知q 为正有理数，又由q ＝2 6d知，d 为6的因数1,2,3,6之一，解之得d ＝2，q ＝8.故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝n (n ＋2)， 1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝11·3＋12·4＋13·5＋…＋1n (n ＋2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<34. 19．(本小题满分12分)(2011·山东青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2·3n ＋k (k ∈R ，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式和k 的值； (2)设数列{b n }满足a n ＝4(5＋k )a nb n，T n 为数列{b n }的前n 项和，试比较3－16T n 与4(n ＋1)b n ＋1的大小，并证明你的结论．解：(1)由S n ＝2·3n ＋k (k ∈R ，n ∈N *)，得当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4·3n －1.∵{a n }是等比数列，∴a 1＝S 1＝6＋k ＝4，∴k ＝－2， 故a n ＝4·3n －1(n ∈N *)．(2)由a n ＝4(5＋k )a n b n ，a n ＝4·3n －1和k ＝－2，得b n ＝n －14·3n －1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝14·3＋24·32＋…＋n －24·3n －2＋n －14·3n －1① 3T n ＝14＋24·3＋34·32＋…＋n －24·3n －3＋n －14·3n －2 ②由②－①得，2T n ＝14＋14·3＋14·32＋…＋14·3n －3＋14·3n －2－n －14·3n －1，∴T n ＝18＋18·3＋18·32＋…＋18·3n －3＋18·3n －2－n －18·3n －1＝316－2n ＋116·3n －1.4(n ＋1)b n ＋1－(3－16T n )＝n (n ＋1)3n －2n ＋13n －1＝n (n ＋1)－3(2n ＋1)3n ，∵n (n ＋1)－3(2n ＋1)＝n 2－5n －3，∴当n >5＋372或n <5－372<0时，有n (n ＋1)>3(2n ＋1)，∴当n >5(n ∈N *)时，有3－16T n <4(n ＋1)b n ＋1.同理可得，当5－372<n <5＋372时，有n (n ＋1)<3(2n ＋1)，∴当1≤n ≤5(n ∈N *)时，有3－16T n >4(n ＋1)b n ＋1.综上，当n >5(n ∈N *)时，有3－16T n <4(n ＋1)b n ＋1； 当1≤n ≤5(n ∈N *)时，有3－16T n >4(n ＋1)b n ＋1. 20．(本小题满分12分)某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中．市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润a n ＝⎩⎨⎧1， 1≤n ≤20110n ， 21≤n ≤60(单位：万元，n ∈N *)．记第n 天的利润率b n ＝第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 381＋a 1＋a 2.(1)求b 1，b 2的值； (2)求第n 天的利润率b n ；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．解：(1)当n ＝1时，b 1＝181；当n ＝2时，b 2＝182.(2)当1≤n ≤20时，a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n －1＝a n ＝1. ∴b n ＝a n81＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝181＋n －1＝1n ＋80.当21≤n ≤60时，b n ＝a n81＋a 1＋…＋a 20＋a 21＋…＋a n －1＝110n 81＋20＋a 21＋…＋a n －1＝110n 101＋(n －21)(n ＋20)20＝2n n 2－n ＋1600， ∴第n 天的利润率b n＝⎩⎨⎧1n ＋80， 1≤n ≤20(n ∈N *)， 2n n 2－n ＋1600， 21≤n ≤60(n ∈N *).(3)当1≤n ≤20时，b n ＝1n ＋80是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝181； 当21≤n ≤60时，b n ＝2n n 2－n ＋1600＝2n ＋1600n －1≤221600－1＝279(当且仅当n ＝1600n ，即n ＝40时，“＝”成立)． 又∵279>181，∴当n ＝40时，(b n )max ＝279. ∴该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为279. 21．(本小题满分12分)(2011·广东潮州模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n∈N *，都有a n >0，S n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n .(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)证明：a n 2n ＋1≥a n 2n ＋a n 2n －1.解：(1)当n ＝1时，有a 1＝S 1＝a 31，由于a n >0，所以a 1＝1.当n ＝2时，有S 2＝a 31＋a 32，即a 1＋a 2＝a 31＋a 32，将a 1＝1代入上式，由于a n >0，所以a 2＝2.(2)由S n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n ，得a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2， ① 则有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＋a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2. ② ②－①得a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2－(a 1＋a 2＋…＋a n )2.由于a n >0，所以a 2n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )＋a n ＋1. ③同样有a 2n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋a n (n ≥2)， ④③－④，得a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋1＋a n .所以a n ＋1－a n ＝1.由于a 2－a 1＝1，即当n ≥1时都有a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．故a n ＝n .(3)证明：要证a n 2n ＋1≥a n 2n ＋a n 2n －1，只需证(2n ＋1)n ≥(2n )n ＋(2n －1)n ，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n n ≥1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n n. 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 0n ＋C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＋C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 3＋…－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 0n －C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2－C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 3＋… ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 3＋C 5n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 5＋… ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 3＋C 5n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 5＋ (1)因此原不等式成立．22．(本小题满分14分)已知命题：“若数列{a n}是等比数列，且a n>0，令b n＝na1a2…a n，则数列{b n}(n∈N*)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：由题意，得等差数列的一个性质是：若数列{a n}是等差数列，令b n＝a1＋a2＋…＋a nn，则数列{b n}(n∈N*)也是等差数列．证明这个结论：设等差数列{a n}的公差为d，则b n＝a1＋a2＋…＋a nn＝na1＋n(n－1)2dn＝a1＋d2(n－1)，所以数列{b n}是以a1为首项，d2为公差的等差数列，故所得命题成立．。
马井堂-经典-2019上海市十校(高三)数学测试(理科)
2019上海市十校（高三）数学测试（理科）一、填空题（本大题满分为56分）本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.已知椭圆方程为22321x y +=，则该椭圆的长轴长为___________.2.已知)1,(),1,2(λ=--=b a，若a与b夹角为钝角，则实数λ取值范围是__________________. 3.设{}{}1),(,0)(),(===-=y y x B x y x y x A ，则B A 用列举法可表示为_________________.4.复数z 满足333z i +-=，设n z m z ==min max ，，则m n ⋅=__________.5.在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且72=+B A ,则展开式中常数项的值为__________.6.已知函数)0,0(1)(cos )(2>>++=ωϕωA x A x f 的最大值为3,)(x f 的图像与y 轴的交点坐标为)2,0(,其相邻两条对称轴间的距离为2,则++)2()1(f f (2010)f +=____________.７．已知a b ≠，a b c ≠+，则关于x 的方程0xb c a b c xaa b c a b a ca b++-+-=---的解集为________. 8. 函数253x y x -=-（x ∈Ａ）的值域是(][),04,-∞+∞，则集合Ａ＝___________.9.在ABC ∆中，已知2,22==a b ，如果三角形有解，则A ∠的取值范围是___________________. 10.甲、乙两队比赛，每局甲胜的概率为21，乙胜的概率也是21，则在一次五局三胜制的比 赛中，甲队以3:1获胜的概率是_______. 11.设函数1()2f x x =+，点A 表示原点，点(,())n A n f n （n N *∈），n θ是向量a 与向量(1,0)i =的夹角，0112231n n n a A A A A A A A A -=++++，设123tan tan tan n S θθθ=++tan n θ++，则lim _________n n S →∞=.12.已知)13(log 21)(3+-=x abx x f 为偶函数，xxb a x g 22)(++=为奇函数，其中b a ,为复数，则20101()k k k a b =+∑的值是_________.13.已知实数x 、y 满足方程()()22111x a y -++-=，当0y b ≤≤（b R ∈）时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为__________________.14.有下列四个命题：（1）一定存在直线l ，使函数1()lg lg 2f x x =+的图像与函数2)lg()(+-=x xg 的图像关于直线l 对称； （2）不等式：arcsin arccos x x ≤的解集为2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）已知数列{}n a 的前n 项和为1(1)n n S =--，n N *∈，则数列{}n a 一定是等比数列；（4）过抛物线22(0)y px p =>上的任意一点(,)M x y 的切线方程一定可以表示为00()y y p x x =+．则正确命题的序号为_________________． 二、选择题：（本大题满分20分）15.方程22201020101sin(19)cos(19)x y +=所表示的曲线是（ ）. (A ) 双曲线 (B ) 焦点在x 轴上的椭圆 (C ) 焦点在y 轴上的椭圆 (D ) 以上答案都不正确16.长度分别为2x x x x x 、、、、、的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（ ）. (A ) 233x >(B ) 323x << (C ) 32333x << (D ) 1>x17.给定正数,,,,a b c p q ，其中p q ≠，若,,p a q 成等比数列，,,,p b c q 成等差数列，则关于x 的一元二次方程220bx ax c -+=（ ）.(A ) 有两个相等实根 (B ) 有两个相异实根(C ) 有一个实根和一个虚根 (D ) 有两个共轭虚根18.有n 个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（ ）.(A ) !n (B ) ()12n n - (C ) ()12n n + (D ) nn三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解题时要写出必要的解题过程.19.（本题满分12分）如图，AB 是圆柱体OO '的一条母线，BC 过底面圆的圆心 O ，D 是圆O 上不与点B 、C 重合的任意一点，已知棱5AB =，5BC =，3CD =。
(福建专用)高考数学总复习 第七章第6课时 椭圆课时闯关(含解析)
（福建专用）2023年高考数学总复习 第七章第6课时 椭圆课时闯关（含解析）一、选择题1．(2023·厦门调研)椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选B.右焦点F (1,0)，∴d ＝32.选B. 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，那么椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)解析：选D.∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1， ∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3，又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的左顶点为(－5,0)．3．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，那么点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3解析：选C.设M (x ，y )，由MF 1→·MF 2→＝0，∴x 2＋y 2＝c 2＝3，又x 24＋y 2＝1，解得y 2＝13，应选C.4．在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，那么此椭圆的离心率e 等于( )A.12B.22C.32 D.52解析：选B.∵以椭圆焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，∴椭圆满足b ＝c ，∴e ＝c a ＝c b 2＋c 2，将b ＝c 代入可得e ＝22.5．(2023·南平质检)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，假设M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，那么满足条件的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，故半径为32，所以△MF 1F 2面积为12(2a ＋2c )r ＝12＝12·2c |y M |.y M ＝±4.应选C. 二、填空题6．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且△F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，那么此椭圆的离心率为________．解析：由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos30°＝c a ，从而e ＝32.答案：327．已知平面内两定点A (0,1)，B (0，－1)，动点M 到两定点A 、B 的距离之和为4，那么动点M 的轨迹方程是________．解析：由椭圆的定义知，动点M 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆，且c ＝1,2a ＝4，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 3.∴椭圆方程为x 23＋y 24＝1.答案：x 23＋y 24＝18．(2023·福州质检)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，那么P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：|OM |＝3，|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4. 答案：4 三、解答题9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，满足F 1M →·F 2M →＝0.求离心率e 的取值范围．解：设点M 的坐标为(x ，y )，那么F 1M →＝(x ＋c ，y )，F 2M →＝(x －c ，y )．由F 1M →·F 2M →＝0，得x 2－c 2＋y 2＝0，即y 2＝c 2－x 2.① 又由点M 在椭圆上得y 2＝b 2(1－x 2a2)，代入①得b 2(1－x 2a 2)＝c 2－x 2，所以x 2＝a 2(2－a 2c2)，∵0≤x 2≤a 2，∴0≤a 2(2－a 2c2)≤a 2，即0≤2－a 2c 2≤1,0≤2－1e2≤1，解得22≤e ≤1，又∵0<e <1，∴22≤e <1. 10．(2023·济南质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 假设直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y2＝1上，求m 的值.解：(1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m消y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜2 3.∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m 3.∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.一、选择题1．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，12]C ．(0，22) D ．[22，1) 解析：选C.设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a 、b 、c ， ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆． 又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2＜b 2＝a 2－c 2.∴e 2＝c 2a 2＜12，∴0＜e ＜22.选C.2.(2023·三明调研)如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点与焦点，假设∠ABC ＝90°，那么该椭圆的离心率为( )A.－1＋52B ．1－22C.2－1D.22解析：选A.|AB |2＝a 2＋b 2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋c )2.∵∠ABC ＝90°，∴|AC |2＝|AB |2＋|BC |2，即(a ＋c )2＝a 2＋2b 2＋c 2，∴2ac ＝2b 2，即b 2＝ac .∴a 2－c 2＝ac .∴a c －c a＝1.即1e －e ＝1，解之得e ＝－1±52. 又∵e ＞0，∴e ＝－1＋52.选A.二、填空题3.如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且这个椭圆过A 、B 两点，那么这个椭圆的焦距长为________．解析：设另一焦点为D ，那么由定义可知AC ＋AD ＝2a ，AC ＋AB ＋BC ＝4a .又∵AC ＝1，∴BC ＝2，∴a ＝12＋24.∴AD ＝22.在Rt △ACD 中焦距CD ＝62.答案：624．(2023·高考江西卷)假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12作圆x 2＋y2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，那么椭圆方程是________．解析：AM 垂直OA, BM 垂直OB ，所以AB 在以OM 为直径圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －142＝516又A 、B 在已知圆x 2＋y 2＝1上，所以直线AB 方程2x ＋y ＝2，依题意，c ＝1，b ＝2，那么椭圆方程是x 25＋y 24＝1答案：x 25＋y 24＝1三、解答题5．已知椭圆x 2m ＋y 2n＝1(常数m 、n ∈R ＋，且m ＞n )的左右焦点分别为F 1，F 2，M 、N 为短轴的两个端点，且四边形F 1MF 2N 是边长为2的正方形．(1)求椭圆方程；(2)过原点且斜率分别为k 和－k (k ≥2)的两条直线与椭圆x 2m ＋y 2n＝1的交点为A 、B 、C 、D (按逆时针顺序排列，且点A 位于第一象限内)，求四边形ABCD 的面积S 的最大值．解：(1)依题意：⎩⎨⎧m －n ＝n 2n ＝22，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝2，所求椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 24＋y22＝1得A ⎝⎛⎭⎪⎫21＋2k2，2k 1＋2k 2.根据题设直线图象与椭圆的对称性，知S ＝4×21＋2k 2×2k 1＋2k 2＝16k1＋2k 2(k ≥2)． ∴S ＝161k＋2k(k ≥2)．设M (k )＝2k ＋1k ，那么M ′(k )＝2－1k2，当k ≥2时，M ′(k )＝2－1k2＞0，∴M (k )在k ∈(2，＋∞)是时单调递增，∴[M (k )]min ＝M (2)＝92，∴当k ≥2时，S max ＝169＝329.6．(2023·厦门质检)已知B (－1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且点B 到椭圆的两个焦点距离之和为4.(1)求椭圆方程；(2)设A 为椭圆的左顶点，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作直线l 交椭圆于D 、E 两点，问：是否存在直线l ，使得△CBD 与△CAE 的面积之比为1∶7.假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，说明理由．解：(1)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋1b2＝12a ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝23，即椭圆方程为x 24＋3y 24＝1.(2)由A (－2,0)、B (－1,1)有l AB ：y ＝x ＋2，∴C (0,2)．设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，因为x 1＝x 2不合题意，故可设l ：y ＝kx ＋2，代入x 2＋3y 2＝4得：(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋8＝0(*) ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12k3k 2＋1 1x 1·x 2＝83k 2＋12.又S △CBD S △CAE ＝12CB ·CD ·sin∠ACE12CA ·CE ·sin∠ACE ＝17. 而CB CA ＝12，∴CD CE ＝27， 从而x 1＝27x 2 (3)．结合(1)(2)(3)三式，得k ＝±3，均满足(*)式的Δ＞0. 即：l ：y ＝±3x ＋2.。
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椭圆的综合问题
班级 学号 姓名
一、课堂目标：会解决与椭圆有关的最值、定值以及综合问题 二、目标训练：
1、已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为
（ ）
(A )
5
9
(B )3 (C )
7
79 (D )
4
9 2、P 是长轴在x 轴上的椭圆22
221x y a b
+=上的点，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半
焦距为c ，则12PF PF ⋅的最大值与最小值之差一定是 （ ） （A ）1 （B ）2
a （C ）2
b （D ）2
c
3、椭圆22
221x y a b
+=内接矩形的最大面积为 。
4、定点)0,1(),1,1(B A -，点P 在椭圆13
42
2=+y x 上运动，则|PA|+2|PB|的最小值为 ，此时点P 的坐标为 。
5、如图，已知椭圆中心O 是坐标原点，F 是 它的左焦点，A 是它的左顶点，1l 、2l 分别为 左、右准线，1l 交x 轴于点B ，P 、Q 两点在 椭圆上，且1PM l ⊥于M ，2PN l ⊥于N ，
QF AO ⊥，下列5个比值中：①
PM PF ，②PF PN ，③AO BO ，④AF BA ，⑤QF
BF
，其中等于该椭圆离心率的编号有___________.
6、已知点),(y x P 是椭圆14
2
2=+y x 上的动点，)20)(0,(≤<m m A ，求|PA|的最小值。
7、在椭圆14
92
2=+y x 上求一点P ，使它到直线0102=+-y x 的距离最小，并求出最
小值。
8、设椭圆中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，已知)2
3
,0(P 到椭圆上点的最远距离是7，求这个椭圆的方程。
9、AB 是椭圆22
a x ＋22b
y ＝1（a>b>0）中不平行对称轴的一条弦，M 是AB 的中点，O
是椭圆的中心，求证：k AB ·k OM ＝－22
a
b 。
10、已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线1+=x y 与该椭圆相交于P 、Q 两点，且2
10
||,=
⊥PQ OQ OP ，求椭圆方程。
11、椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
（1）求椭圆方程及离心率；（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程。