函数预习

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八升九暑期预习——函数小结

第一讲函数第一部分平面直角坐标系与函数的认识1. (2019，河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C 的距离相等，则C，D间的距离为km.2. (2013，河北)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止．设运动时间为t s，y＝S△EPF，则y关于t的函数图象大致是()A B C D3. (2011，河北)如图，在矩形中截取两个相同的圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y关于x的函数图象大致是(A)第3题图A B C D4. (2010，河北)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s 关于t的函数图象大致是()A BC D平面直角坐标系与点的坐标特征例1 在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B 关于x轴的对称点B′的坐标为()A. (－3，－2)B. (2，2)C. (－2，2)D. (2，－2)针对训练1 (2019，邢台模拟)经过点M(4，－2)与点N(x，y)的直线平行于x轴，且点N 到y轴的距离等于5，则点N的坐标是)A. (5，2)或(－5，－2)B. (5，－2)或(－5，－2)C. (5，－2)或(－5，2)D. (5，－2)或(－2，－2)函数图象的判断与分析例2 (2019，唐山路南区三模)甲、乙两车间同时开始加工一批服装，从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9 h，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)，甲车间加工的时间为x(h)，y与x之间的函数图象如图所示，则下列结论错误的是()A. 甲车间每小时加工服装80件B. 这批服装的总件数为1 140件C. 乙车间每小时加工服装60件D. 乙车间维修设备用了4 h针对训练 2 (2019，北京模拟)如图①所示的为某立交桥示意图(道路宽度忽略不计)，A －F－G－J为高架，以O为圆心的圆盘B－C－D－E位于高架下方，其中AB，AF，CH，DI，EJ，GJ为直行道，且AB＝CH＝DI＝EJ，AF＝GJ，弯道FG是以点O为圆心的圆上的一段弧(立交桥的上下高度差忽略不计)，点B，C，D，E是圆盘O的四等分点．某日凌晨，甲、乙、丙、丁四辆车均以10 m/s的速度由A口驶入立交桥，并从出口驶出．若各车到圆心O的距离y(m)与从A口进入立交桥后的时间x(s)的对应关系如图②所示，则下列说法错误的是()训练2题图A. 甲车在立交桥上共行驶10 sB. 从I口出立交桥的车比从H口出立交桥的车多行驶30 mC. 丙、丁两车均从J口出立交桥D. 从J口出立交桥的两辆车在立交桥行驶的路程相差60 m函数自变量的取值范围例3 (2019，内江)在函数y＝1x＋3＋4－x中，自变量x的取值范围是()A. x＜4B. x≥4C. x＞4D. x≤4且x≠－3针对训练3 (2019，哈尔滨)在函数y＝3x2x－3中，自变量x的取值范围是（）.一、选择题1. (2019，东莞模拟)在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是()A. 3B. 4C. 5D. ±52. (2019，上海模拟)在平面直角坐标系中，若点A(－m，n)在第四象限，则点B(1－n，m)在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若点A(a＋1，a－2)在第二、四象限的角平分线上，则点B(－a，1－a)在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 课间操时，小华、小军、小刚的位置如图所示，小军对小华说，如果我的位置用(0，－2)表示，小刚的位置用(2，0)表示，那么你的位置可以表示为()A. (－2，－3)B. (－3，－2)C. (－3，－4)D. (－4，－3)5. 已知点P(m－2，6－2m)在坐标轴上，则点P的坐标为()A. (2，0)B. (0，3)C. (0，2)或(1，0)D. (2，0)或(0，3)6. 若点M(3，－2)与点N(x，y)在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝1，则点N的坐标为()A. (4，－2)B. (3，－1)C. (3，－1)或(3，－3)D. (4，－2)或(2，－2)7. (2019，包头)在函数y＝3x－2－x＋1中，自变量x的取值范围是()A. x＞－1B. x≥－1C. x＞－1且x≠2D. x≥－1且x≠28. (2019，重庆B)根据如图所示的程序计算函数y的值．若输入x的值是7，则输出y 的值是－2；若输入x的值是－8，则输出y的值是()A. 5B. 10C. 19D. 219. (2019，邯郸模拟)弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间有下面的关系：x/kg012345y/cm1010.51111.51212.5下列说法不正确的是()A. x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数B. 弹簧不挂重物时的长度为0 cmC. 所挂物体质量每增加1 kg，弹簧长度增加0.5 cmD. 所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm二、填空题10. 在平面直角坐标系中，点(－7，2m＋1)在第三象限，则m的取值范围是（）.11. 已知平面直角坐标系内不同的两点A(3a＋2，4)和B(3，2a＋2)到x轴的距离相等，则a的值为.三、解答题12. 如图，在正方形网格中，点A的坐标是(1，1)，点B的坐标是(2，0)．(1)依题意，在图中建立平面直角坐标系；(2)图中点C的坐标是(－1，－2)，点C关于x轴对称的点C′的坐标是；(3)若点D的坐标为(3，－1)，在图中标出点D的位置；(4)将点B向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的点B′的坐标是，△AB′C的面积为.13. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示．(1)家与图书馆之间的路程为m，小玲步行的速度为m/min；(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(3)求两人相遇的时间．14. (2019，石家庄43中模拟)已知O为原点，点A(8，0)及在第一象限的动点P(x，y)，且x＋y＝8，设△OP A的面积为S.(1)求S关于x的函数解析式；(2)求x的取值范围；(3)当S＝12时，求点P的坐标；(4)画出函数S的图象．1. (2019，娄底)如图，在单位长度为1 m 的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2 m ，圆心角为120°的AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从点A (A 为坐标原点)出发，以每秒2π3m 的速度沿曲线向右运动，则在第2 019 s 时点P 的纵坐标为( )A. －2B. －1C. 0D. 12. (2019，郴州)若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数解析式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x （x ≤－1），|x －1|（x ＞－1）的图象与性质．x … －3 －52 －2 －32 －1 －120 12 1 32 2 52 3 … y…2345143232112121322…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．第2题图(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A (－5，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫－72，y 2，C ⎝⎛⎭⎫x 1，52，D (x 2，6)在函数图象上，则y 1 y 2， x 1 x 2；(填“＞”“＜”或“＝”)②当函数值y ＝2时，求自变量x 的值；③在直线x ＝－1的右侧的函数图象上有两个不同的点P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，且y 3＝y 4，求x 3＋x 4的值；④若直线y ＝a 与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．第二部分一次函数的图象和性质1. (2016，河北)若k ≠0，b ＜0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是( )A B C D2. (2015，河北)如图，直线l ：y ＝－23x －3与直线y ＝a (a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在( )A. 1<a <2B. －2<a <0C. －3≤a ≤－2D. －10<a <－43. (2014，河北)如图，直线l 经过第二、三、四象限，直线l 的解析式是y ＝(m －2)x ＋n ，则m 的取值范围在数轴上的表示为( )A BC D4. (2011，河北)一次函数y ＝6x ＋1的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限一次函数的图象例1 (2019，辽阳)若ab＜0，且a＞b，则函数y＝ax＋b的图象可能是()A B C D针对训练1 (2019，承德模拟)一次函数y＝kx＋k的图象可能是()A B C D针对训练2 (2019，潍坊)当直线y＝(2－2k)x＋k－3经过第二、三、四象限时，k的取值范围是.一次函数的性质例2 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为.针对训练3 已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是()A. k＜2，m＞0B. k＜2，m＜0C. k＞2，m＞0D. k＜0，m＜0一次函数解析式的确定例3 (2019，石家庄模拟)如图，已知点A，B，C，D的坐标分别为(－2，2)，(－2，1)，(3，1)，(3，2)．线段AD，AB，BC组成的图形为图形G，点P沿D→A→B→C移动，设点P移动的距离为s，直线l：y＝－x＋b过点P，且在点P移动过程中，直线l随P运动而运动．(1)若直线l过点D，求直线l的解析式；(2)当直线l 过点C 时，求s 的值；(3)①若直线l 与图形G 有一个交点，直接写出b 的取值范围； ②若直线l 与图形G 有两个交点，直接写出b 的取值范围．针对训练4 已知函数y ＝(2m ＋1)x ＋m －3. (1)若函数图象经过原点，求m 的值；(2)若函数的图象平行于直线y ＝3x －3，求m 的值；(3)若这个函数是一次函数，y 随x 的增大而增大，且图象不经过第二象限，求m 的取值范围．一次函数图象的平移例4 (2019，陕西)在平面直角坐标系中，将函数y ＝3x 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为( )A. (2，0)B. (－2，0)C. (6，0)D. (－6，0)针对训练5 (2019，哈尔滨道外区三模)将直线y ＝2x ＋1沿x 轴向左平移1个单位长度，再沿y 轴向下平移1个单位长度后得到的直线的解析式为( )A. y ＝2x ＋2B. y ＝2x －2C. y ＝2x ＋1D. y ＝2x －1一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系例5 如图，一次函数y ＝－x －2与y ＝2x ＋m 的图象相交于点P (n ，－4)，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m ＜－x －2，－x －2＜0的解集为 .针对训练6 如图，直线y ＝kx 与y ＝ax ＋4相交于点A (1，k )，则不等式kx －6＜ax ＋4＜kx 的解集为( )A. 1＜x ＜52B. 1＜x ＜3C. －52＜x ＜1D. 52＜x ＜3一、选择题1. (2019，石家庄28中模拟)在函数y ＝－3x ＋4，y ＝74x ，y ＝1＋2x ，y ＝x 2＋2中，一次函数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. (2019，石家庄桥西区模拟)下列各点在直线y ＝2x ＋6上的是( ) A. (－5，4) B. (－7，20) C. (－5，－4) D. (7，－20)3. (2019，保定曲阳县模拟)已知直线l 经过点A (4，0)，B (0，3)，则直线l 的解析式为( )A. y ＝－34x ＋3 B. y ＝3x ＋4 C. y ＝4x ＋3 D. y ＝－3x ＋34. (2019，石家庄43中模拟)已知y 与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝－2，则当x ＝3时，y 的值为( )A. 2B. －2C. 3D. －35. (2019，杭州)已知一次函数y 1＝ax ＋b 和y 2＝bx ＋a (a ≠b )，函数y 1和y 2的图象可能是( )A B C D6. 下列关于一次函数y ＝kx ＋b (k ＜0，b ＞0)的说法，错误的是( ) A. 图象经过第一、二、四象限 B. y 随x 的增大而减小 C. 图象与y 轴相交于点(0，b ) D. 当x ＞－bk 时，y ＞07. (2019，北京丰台区一模)函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，那么当y ＞0时，x 的取值范围是( )A. x ＞1B. x ＞2C. x ＜1D. x ＜28. (2019，唐山路南区模拟)已知一次函数y ＝－0.5x ＋2，当1≤x ≤4时，y 的最大值是( )A. 1.5B. 2C. 2.5D. －69. (2019，河北模拟)若一次函数y ＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)图象上的点满足下表，则方程ax ＋b ＝0的解是( )x －2 －1 0 1 2 3 y642－2－4A. x ＝1B. x ＝－1C. x ＝2D. x ＝3二、填空题10. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点．若x 1＜x 2，则y 1 y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)11. (2019，上海模拟)如果关于x 的一次函数y ＝mx ＋(4m －2)的图象不经过第二象限，那么m 的取值范围是（）.12. 一次函数y ＝－32x ＋3的图象如图所示，当－3＜y ＜3时，x 的取值范围是13. 如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴相交于点(2，0)，与y 轴相交于点(0，4)．结合图象可知，关于x 的方程ax ＋b ＝0的解是 .14. (2019，葫芦岛模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(2，0)，直线y＝3x＋b与线段AB有公共点，则b的取值范围为.三、解答题15. (2019，石家庄43中模拟)已知一次函数y＝－2x－6.(1)画出函数的图象；(2)求图象与x轴、y轴的交点A，B的坐标；(3)求A，B两点间的距离；(4)求△AOB的面积；(5)利用图象求当x为何值时，y＞0.1. (2019，盐城)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－1的图象分别交x轴、y 轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的解析式是（）.2. (2019，唐山路南区一模)如图，直线l1：y＝2x＋1分别与x轴、y轴相交于点D，A，直线l2：y＝mx＋4分别与x轴、y轴相交于点C，B，两直线相交于点P(1，b)．(1)求b，m的值；(2)求S△PDC－S△P AB的值；(3)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别相交于点M，N.若线段MN的长为2，求a 的值．第三部分一次函数与几何图形1. (2018，河北)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x ，y 轴相交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1相交于点C(m ，4)．(1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数y ＝kx ＋1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．2. (2017，河北)如图，在直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E.点B ，E 关于x 轴对称，连接AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉淇有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．3. (2008，河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，且l 1与x 轴相交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2相交于点C.(1)求点D 的坐标； (2)求直线l 2的解析式； (3)求△ADC 的面积；(4)在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．求b 的取值范围(平移)例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y ＝12x ＋b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是(B )A. －1≤b ≤1B. －12≤b ≤1C. －12≤b ≤12 D. －1≤b ≤12针对训练1 如图，正方形ABCD 的边长为2，BC 边在x 轴上，BC 的中点与原点O 重合，过定点M (－2，0)与动点P (0，t )的直线MP 记作l .(1)若l 的解析式为y ＝2x ＋4，判断此时点A 是否在直线l 上，并说明理由； (2)当直线l 与AD 边有公共点时，求t 的取值范围．求k 的取值范围(旋转)例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，4)，B (3，0)，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线l ：y ＝kx ＋3.(1)当直线l 经过点D 时，求点D 的坐标及k 的值； (2)当直线l 与正方形有两个交点时，求k 的取值范围．针对训练2 如图，已知一次函数y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)，A (－2，1)，C (－2，－3)，B (1，－3)．(1)求证：点M (2，3)在直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)上；(2)当直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)经过点C 时，P 是直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)上一点．若S △CBP ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；(3)当直线y ＝kx ＋3－2k (k ≠0)与△ABC 有公共点时，求k 的取值范围．一次函数与图形面积的问题例3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A (－2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.(1)求k ，b 的值；(2)若点D 在y 轴的负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．针对训练3 如图，在平面直角坐标系中，已知点A (5，3)，点B (－3，3)，过点A 的直线y ＝12x ＋m (m 为常数)与直线x ＝1相交于点P ，与x 轴相交于点C ，直线BP 与x 轴相交于点D .(1) 求点P 的坐标；(2) 求直线BP 的解析式，并直接写出△PCD 与△P AB 的面积比；(3)若反比例函数y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)的图象与线段BD 有公共点时，请直接写出k的最大值和最小值．一、选择题 1. (2019，石家庄27中模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，2)，△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′在直线y ＝23x 上，则点B 与其对应点B ′间的距离为( )A. 94B. 3C. 4D. 52. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，2)，对角线AC ⊥x 轴，点A 在第二象限，直线y ＝－12x ＋5与x 轴、y 轴分别相交于点N ，M .将菱形ABCD 沿x 轴向右平移m 个单位长度，当点A 落在MN 上时，m 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l .若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则满足条件的直线l 的条数是( )A. 5B. 4C. 3D. 24.如图，直线l 的解析式为y ＝3x ＋3.若直线y ＝a 与直线l 的交点在第二象限，则a 的取值范围是( )A. 1＜a ＜2B. 3＜a ＜4C. －1＜a ＜0D. 0＜a ＜3 5. (2019，深圳福田区模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝－24x ＋1与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，直线l 2：y ＝kx (k ≠0)与直线l 1在第一象限相交于点C .若∠BOC ＝∠BCO ，则k 的值为( )A.23 B. 22C. 2D. 2 2 6. 如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，P 为OA 上一动点．当PC ＋PD 的值最小时，点P 的坐标为( )A. (－3，0)B. (－6，0)C. ⎝⎛⎭⎫－32，0D. ⎝⎛⎭⎫－52，07. (2019，廊坊安次区二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(0，1)，点C 的坐标为(2，2)．若直线y ＝kx ＋5＋2k (k ≠0)与菱形ABCD 有交点，则k 的取值范围是( )A. －23≤k ≤－14B. －2≤k ≤－23C. －2≤k ≤34 D. －2≤k ≤2且k ≠0二、填空题8. (2019，营口一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，点B 的坐标为(4，4)，直线y ＝mx －2恰好把正方形ABCO 的面积分成相等的两部分，则m ＝ .9. (2019，青岛模拟)有一种动画设计，屏幕上的长方形ABCD 是灰色区域(含长方形的边界)，如图所示，其中A (－1，1)，B (2，1)，C (2，2)，D (－1，2)．用信号枪沿直线y ＝kx －2发射信号，当信号遇到灰色区域时，区域便由灰变白，则能够使灰色区域变白的k 的取值范围是（）.10. (2019，长春模拟)如图，在平面直角坐标系中，点P (a ，1)在直线y ＝－2x ＋2与直线 y ＝－2x ＋4之间，则a 的取值范围是( ).11. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，⊙O 经过A ，B 两点．已知AB ＝2，则kb的值为( ).三、解答题12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，0)的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴相交于点D，C.(1)若OB＝4，求直线AB的解析式；(2)连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B(m，4)．(1) 求直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴相交于点M，求△AOM的面积；(3)过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C在点D 上方时，直接写出n的取值范围．1. (2019，包头一模)如图，已知点A 的坐标为(3，0)，直线y ＝kx ＋b (b ＞0)与直线y ＝x 平行，且与x 轴、y 轴分别交于点C ，B ，连接AB .若α＝75°，则直线y ＝kx ＋b 的解析式为.2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝12x 与直线l 2的交点A 的横坐标为2，将直线l 1沿y 轴向下平移4个单位长度，得到直线l 3 ，直线l 3与y 轴相交于点B ，与直线l 2相交于点C ，点C 的纵坐标为－2，直线l 2与y 轴相交于点D .求：(1)直线l 2的解析式；(2)△BDC 的面积．第四部分一次函数的实际应用1. (2019，河北)长为300 m的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进，如图①和图②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v(m/s)，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头与O的距离为s头(m)．①②第1题图(1)当v＝2时，解答：①求s头与t之间的函数关系式；(不写t的取值范围)②当甲赶到排头位置时，求s头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为s甲(m)，求s甲与t之间的函数关系式；(不写t的取值范围)(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v之间的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程．2. (2015，河北)如图，水平放置的容器内原有210 mm高的水，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4 mm，每放入一个小球水面就上升3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm.(1)只放入大球，且个数为x大，求y关于x大的函数解析式；(不必写出x大的取值范围)(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球的个数为x小．①求y关于x小的函数解析式；(不必写出x小的取值范围)②限定水面高不超过260 mm，最多能放入几个小球？3. (2011，河北)已知A，B两地之间的路程为240 km.某经销商每天都要用汽车或火车将x t保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(km)与行驶时间t(h)的函数图象(如图①)、上周货运量折线统计图(如图②)等信息如下：货运收费项目及收费标准表运输工具运输费单价/[元/(t·km)]冷藏费单价/[元/(t·h)]固定费用/(元/次)汽车25200火车 1.65 2 280(1)汽车的速度为km/h，火车的速度为km/h；(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽(元)和y火(元)，分别求y汽，y火关于x 的函数解析式(不必写出x的取值范围)，及x为何值时y汽＞y火；(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)(3)请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下一周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省．图象型一次函数应用题例1 (2019，长春)已知A，B两地之间有一条270 km 长的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60 km/h 的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y(km)与甲车的行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示．(1)乙车的速度为km/h，a＝，b＝；(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；(3)当甲车到达距B地70 km处时，求甲、乙两车之间的路程．针对训练1 (2019，大连)甲、乙两人沿同一条直路行走，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行．图①是甲离开A处后行走的路程y(单位：m)与行走的时间x(单位：min)之间的函数图象，图②是甲、乙两人之间的距离(单位：m)与甲行走时间x(单位：min)之间的函数图象，则a－b＝( ).表格型一次函数应用题例2 (2019，邯郸一模)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为20元/件，第x 天销售量为p 件，销售单价为q 元．经跟踪调查发现，这40天中p 与x 的关系保持不变，前20天(包含第20天)，q 与x 的关系满足关系式q ＝30＋ax ；从第21天到第40天中，q 是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与x 第x 天 10 21 35 q /(元/件)354535(1)a 的值为；(2)求从第21天到第40天中，q 与x 满足的关系式； (3)若该网店第x 天获得的利润为y 元，并且已知这40天里前20天中y 与x 的函数关系式为y ＝－12x 2＋15x ＋500.①这40天中p 与x 的关系式为； ②求这40天里该网店第几天获得的利润最大．针对训练2 (2019，威海)甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380 m 的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度制作而成的.施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工量/m3570105140160215270325380下列说法错误的是( ) A. 甲队每天修路20 m B. 乙队第一天修路15 mC. 乙队技术改进后每天修路35 mD. 前七天，甲、乙两队修路长度相等文字型一次函数应用题例3某公司在甲、乙两个仓库共存放某种原料450 t ．如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30 t.(1)求甲、乙两个仓库各存放原料多少吨；(2)现公司需将300 t原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/t和100元/t.经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/t(10≤a≤30)，从乙仓库到工厂的运价不变．设从甲仓库运m t原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式；(不要求写出m的取值范围)(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．针对训练3 实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15 cm，底面的长是30 cm，宽是20 cm，容器内的水深为x cm.现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面)，过顶点A的三条棱的长分别10 cm，10 cm，y cm(y≤15)，当铁块的顶部高出水面2 cm时，x，y满足的关系式是( )．一、选择题1. 2017年某省财政收入比2016年增长8.9%，2018年比2017年增长9.5%.若2016年和2018年该省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a，b之间满足的关系式为()A. b＝a(1＋8.9%＋9.5%)B. b＝a(1＋8.9%×9.5%)C. b＝a(1＋8.9%)(1＋9.5%)D. b＝a(1＋8.9%)2(1＋9.5%)2. 等腰三角形的周长为20 cm，底边长y cm与腰长x cm 之间的函数关系式是()A. y＝20－2xB. y＝20－2x(5＜x＜10)C. y＝10－0.5xD. y＝10－0.5x(10＜x＜20)3. (2019，聊城)某快递公司每天上午9：00—10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(min)之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为()A. 9：15B. 9：20C. 9：25D. 9：304. 某工厂加工一批零件，为了提高工人工作的积极性，工厂规定每名工人每天薪金如下：生产的零件不超过a 件，则每件3元；超过a 件，超过部分每件b 元．如图所示的是一名工人一天获得薪金y (元)与其生产的零件数量x (件)之间的函数关系，则下列结论错误的是( )A. a ＝20B. b ＝4C. 若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产零件50件D. 若工人乙一天生产零件m 件，则他获得薪金4m 元5. (2019，宜宾模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，P 为BC 上的一点．设BP ＝x (0＜x ＜2)，则△APC 的面积S 与x 之间的函数关系式是( )A. S ＝12x 2 B. S ＝2x C. S ＝2(x －2) D. S ＝2(2－x )6. (2019，辽阳)一条公路旁依次有A ，B ，C 三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲、乙之间的距离s (km)与骑行时间t (h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A ，B 两村相距10 km ； ②出发1.25 h 后两人相遇； ③甲每小时比乙多骑行8 km ；④相遇后，乙又骑行了15 min 或65 min 两人相距2 km. 其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题7. 某商户购进一批苹果到农贸市场零售．已知卖出的苹果数量x (kg)与收入y (元)的关系如下表：数量x /kg 1 2 3 4 5 … 收入y /元2＋0.14＋0.26＋0.38＋0.410＋0.5…则收入y (元)与卖出苹果数量x (kg)之间的函数关系式是y ＝ .8. (2019，重庆B)一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的54快步赶往学校，并在从家出发后23 min 到学校(小明被爸爸追上时交流时间忽略不计)．两人之间相距的路程y (m)与小明从家出发到学校的步行时间x (min)之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 .三、解答题9. 某新建小区要修一条1 050 m 长的路，甲、乙两个工程队都想承建这项工程．经了工程队每天修路的长度/m单独完成所需天数每天所需费用/元甲队 30 n 600 乙队mn －141 160(1)甲队单独完成这项工程所需天数n ＝，乙队每天修路的长度m ＝ m ； (2)甲队先修了x m 之后，甲、乙两队一起修路，又用了y 天完成这项工程(其中x ，y 为正整数)．①当x ＝90时，求出乙队修路的天数；②求y 关于x 的函数解析式；(不用写出x 的取值范围)③若总费用不超过22 800元，求甲队至少要先修多少米．10. 小明放学后从学校回家，出发5 min 后，同桌小强发现小明的数学作业忘记拿了，他立即拿着数学作业按照同样的路线去追赶小明．小强出发10 min 后，小明才想起没拿数学作业，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y (m)与小强所用时。

c1[预习]三角函数预习资料

高一年班数学学科学案编写人：学科带头人签字：课题三角函数课型预习课一、任意角的概念与弧度制一，角的概念1、角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。

按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。

习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。

射线旋转停止时对应的边叫角的终边。

2、角的分类：(1)正角，负角，零角(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ终边在y 轴上的角的集合： {}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ (4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+与α终边反向的角： (21)x k απ=++终边在y=x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180注：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.3、题型：1.表示终边位于指定区间的角.例1:写出在720-︒到720︒之间与1050-︒的终边相同的角.例2:若α是第二象限的角,则2,2αα是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.例3:①写出终边在y 轴上的集合.②.α在第二象限角,试确定2,,23ααα所在的象限.二，弧度制1、弧度制的定义：l Rα=2、角度与弧度的换算公式：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用.3、题型（1）角度与弧度的互化例:74315,330,,63ππ︒︒（2）L R α=，211,22l r s lr r αα===的应用问题例1:已知扇形周长10cm ,面积24cm ,求中心角.例2:已知扇形弧度数为72︒,半径等于20cm ,求扇形的面积.例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大.例4:121237570,750,,53ααβπβπ=-︒=︒==-①.求出12,αα弧度,象限.②.12,ββ用角度表示出,并在720~0-︒︒之间找出，它们有相同终边的所有角.三任意角三角函数1、任意角的三角函数定义sin ,cos ,tan ,cot y x y x r r x yαααα====正弦余弦正切余切2、三角函数的定义域：三角函数定义域 =)(x f sin x{}R x x ∈| =)(x f cos x{}R x x ∈| =)(x f tan x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且2、单位圆的三角函数线定义如图(1)PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线。

3.1.1函数的概念(共53张PPT)

其中表示同一个函数的是________．(填上所有同一个函数的序号)
【解析】 (1)①错误．函数 f(x)＝x0 的定义域为{x|x≠0}，函数 g(x)＝1 的定义域是 R，不是同一个函数； ②正确．y＝f(x)，x∈R 与 y＝f(x＋1)，x∈R 两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数有 2 个．
(3)要使此函数有意义，则 xx＋＋32≥ ≠00，⇒xx≥ ≠－－32，⇒x≥－3 且 x≠－2. 所以 f(x)的定义域为{x|x≥－3 且 x≠－2}．
探究点 3 同一个函数
(1)给出下列三个说法：
①f(x)＝x0 与 g(x)＝1 是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R 与 y＝f(x＋1)，x∈R
1．下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以 N＝{y|0≤y≤1}为
值域的函数的图象是
()
解析：选 C.由函数的定义知选 C.
2．(多选)下列两个集合间的对应中，是 A 到 B 的函数的有 A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A 中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A 中的数的 2 倍
③函数就是两个集合之间的对应关系．
其中正确说法的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
(3)已知集合 A＝[0，8]，集合 B＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是
从 A 到 B 的函数关系的是
()
A．f：x→y＝18x

《二次函数》预习提纲

《二次函数》预习提纲一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数，)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

几种特殊的二次函数的图像特征如下：例：二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（） A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点：二次函数的图象；一次函数的性质。

解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m ＞0，n ＜0，∴m＜0，∴一次函数y mx n =+的图象经过二、三、四象限，故选C ．二、二次函数的解析式（1）二次函数有四种表达形式①二次一项式型：形如y=ax 2（a 是常数，且a ≠0），x 取任意实数。

②二次二项式型：形如y=ax 2+bx （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0），x 取任意实数。

③二次二项式型：形如y=ax 2+c （a 是常数，且a ≠0，c 是常数，c ≠0），x 取任意实数。

④二次三项式型：形如y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0），x 取任意实数。

（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a ≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。

（3）二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）交点式：12()()y a x x x x =--（a ≠0）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=（a ≠0）。

22.2 二次函数与一元二次方程课前预习

22．2二次函数与一元二次方程【课前预习】1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0；反过来，解方程ax2＋bx＋c＝0又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为________，求________的值．2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式的关系：当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴________交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有________交点；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有________交点．3．利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值的一般步骤：(1)作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，根据________确定ax2＋bx＋c＝0的根的个数；(2)方法①：观察图象与x轴交点的________，直接得出ax2＋bx＋c＝0的近似解；方法②：先观察图象，确定图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间，即确定交点的________的取值范围，然后通过________的方法不断缩小根所在的取值范围，求得一元二次方程根的近似值．4．抛物线y＝x2－3x＋1与x轴有________个交点．【当堂演练】1.二次函数y＝x2－4x＋3的图象与x轴的一个交点坐标为()A．(1，0) B．(－3，0) C．(2，0) D．(0，3)2．(2016·永州)抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是()A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜－23．(2015·柳州)如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是()A．x＜－2 B．－2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4第3题图第5题图4．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个根的范围是()x 2.23 2.24 2.25 2.26ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09A.2＜x＜2.23 B．2.23＜x＜2.24C．2.24＜x＜2.25 D．2.25＜x＜2.26 5．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为____________．6．利用二次函数的图象填空．(1)方程ax2＋bx＋c＝0的根为____________；(2)方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；(3)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________；(4)abc________0；(5)b2－4ac________0;(6)2a＋b________0；(7)4a－2b＋c________0.7．利用二次函数的图象求一元二次方程2x2＋x－15＝0的根．【课后巩固】一、选择题1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0() A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个实数根，且一根为正，一根为负D．有两个实数根，且一根小于1，一根大于2第1题图第2题图2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根3．(2016·宿迁)若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的根为()A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝14．(2015·潍坊)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1，0)，下列结论：①abc<0；②b2－4ac＝0；③a>2；④4a－2b＋c>0.其中正确结论的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4第4题图第7题图二、填空题5．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为________________．6．若抛物线y＝kx2＋2x－1与x轴有交点，则k的取值范围是______________．7．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为______________．三、解答题8．当m取何值时，抛物线y＝x2与直线y＝x＋m有公共点．9．(2016·黔南州)已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点C(0，－6)，与x 轴的一个交点坐标是A(－2，0)．(1)求二次函数的解析式，并写出顶点D 的坐标；(2)将二次函数的图象沿x 轴向左平移52个单位长度，当 y ＜0时，求x 的取值范围．10．(2015·福建)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m.(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；(2)如图所示，二次函数的图象过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.2函数的表示方法优化训练苏教版必修1

函数表示方法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.函数f(x)=，求解:〔1〕点〔3,14〕在f(x)图象上吗？〔2〕当x ＝4时，求f(x)值；〔3〕当f(x)＝2时，求x 值.解:〔1〕因为≠14,所以点〔3,14〕不在函数f(x)图象上.〔2〕f(x)＝=-3.〔3〕由=2，解得x=14.2.画出以下函数图象：〔1〕f(x)=〔2〕g(x)=3n+1,n∈{1,2,3}.思路解析:画函数图象一般采用描点法，要注意定义域限制.解:〔1〕函数f(x)图象如以下图所示:〔2〕函数g(x)图象如以下图所示:100 cm 2等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长3倍，那么把它高y 表示成x 函数为( )A ．y ＝50x(x ＞0) B.y ＝100x(x ＞0)C.y ＝x 50 (x ＞0)D.y ＝x100 (x ＞0) 思路解析:由·y＝100,得2xy ＝100. ∴y＝x50 (x ＞0). 答案:C10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.以下图形是函数y ＝-|x|(x∈［-2，2］)图象是( )思路解析：y=-|x|=其中y=-x(0≤x≤2)是直线y=-x 上满足0≤x≤2一条线段(包括端点)，y=x 是直线y=x 上满足-2≤x＜0一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x 轴下方.答案：B 2.f(x1)=11+x ，那么f(x)解析式为( ) A. 11+x B.x x +1 C.1+x x D.1＋x思路解析:令u=x1，用换元法，同时应注意函数定义域.∵x≠0且x≠-1，那么x=u 1，u≠0，u≠-1.∴f(u)=(u≠0，且u≠-1),即f(x)＝1+x x (x≠0且x≠-1). 答案:C3.求实系数一次函数y=f(x)，使f ［f(x)］=4x+3.思路解析:设f(x)=ax+b 〔a≠0〕，用待定系数法.解:设f(x)=ax+b(a≠0),∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b.∴a 2x+ab+b=4x+3.∴∴或∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.4.在学校洗衣店中每洗一次衣服〔4.5 kg 以内〕需要付费4元，如果在这家店洗衣10次以后可以免费洗一次.〔1〕根据题意填写下表：〔2〕“费用c 是次数n 函数〞还是“次数n 是费用c 函数〞〔3〕写出函数解析式,并画出图象.思路解析:此题考察阅读理解能力,当 n≤10时,c=4n ；当10<n≤21时,c=4〔n-1〕.解:〔1〕〔2〕费用c 是次数n 函数，因为对于次数集合中每一个元素〔次数〕，在费用集合中都有唯一元素〔费用〕与它对应.但对于费用集合中每一个元素〔费用〕，在次数集合中并不都是只有唯一一个元素与它对应.如40元就有10次与11次与它对应.〔3〕函数解析式为c=,,11,,10),1(4,4**N n n N n n n n ∈≥∈≤⎩⎨⎧-且且其图象如图:5.用长为l 铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，假设矩形底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 函数关系式，并指出其定义域. 思路解析：求函数定义域，如果是实际问题除应考虑解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义，如此题注意到矩形长2x 、宽a 必须满足2x ＞0与a ＞0，即l-πx -2x>0.解：由题意知此框架围成面积是由一个矩形与一个半圆组成图形面积，而矩形长AB=2x ，宽为a.所以有2x ＋2a ＋πx=l，即a=2l -2πx-x ，半圆直径为2x ，半径为x.所以y=22x π＋(2l -2πx-x)·2x=-(2＋2π)x 2＋lx. 根据实际意义知2l -2πx-x ＞0，又∵x＞0，解得0＜x ＜，即函数y=-(2＋2π)x 2＋lx 定义域是{x|0＜x ＜}.6.如右图，某灌溉渠横断面是等腰梯形，底宽2 m ，渠深1.8 m ，边坡倾角是45°.〔1〕试用解析表达式将横断面中水面积A m 2表示成水深h m 函数；〔2〕画出函数图象;〔3〕确定函数定义域与值域.思路解析:利用等腰梯形性质解决问题.解:〔1〕由，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为〔2+2h 〕 m ，高为h m ，∴水横断面面积A==h 2+2h .〔2〕函数图象如下确定:由于A=〔h+1〕2-1，对称轴为直线h=-1，顶点坐标为〔-1，-1〕，且图象过〔0，0〕与〔-2，0〕，又考虑到0＜h ＜1.8，∴函数A=h 2+2h 图象仅是抛物线一局部，如下图.〔3〕定义域为{h |0＜h ＜1.8},值域由函数A=h 2+2h=〔h+1〕2-1图象可知，在区间〔0，1.8〕上函数为增函数，所以0＜A ＜6.84. 故值域为{A|0＜A ＜6.84}.快乐时光得不偿失一条狗跑进一家肉店，从柜台上叼起一块肉就跑.肉店老板认出那是邻居一只狗，那个邻居是一名律师.肉店老板向邻居打去了问：“嘿，如果你狗从我肉店里偷去了一块肉，你愿意赔我肉钱吗？〞律师答复说：“当然可以，那你说多少钱？〞“7.98元.〞肉店老板答复说.几天后，肉店老板收到了一张7.98元支票，随那张支票寄来还有一张发票，上面写道：律师咨询费150美元.30分钟训练(稳固类训练，可用于课后)1.设f(x)=那么f ［f(21)］( ) A.21 B.13459 D.4125 思路解析:f ［f(21)］=f(-23)=. 答案:B2.由于水污染日益严重，水资源变得日益短缺.为了节约用水，某市政府拟自2007年始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过局部每吨增收3元.那么某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间函数关系式为…( )A.y=6xB.y=C.y=D.y=9x-12思路解析:当用水量0≤x≤4时，水费y=6x；当用水量x>4时，水费y=24+9×〔x-4〕=9x-12.应选B.答案:B3.甲、乙两厂年产值曲线如右图所示，那么以下结论中，错误是……( )思路解析:由图象可知，在1993年、1996年、2002年两厂产值一样，而在1993年以前，甲厂产值明显低于乙厂，而在1995年至2000年时，乙厂年产值增长那么要比甲厂快，所以B选项错.答案:B4.函数f(x)图象如右图所示，那么f(x)解析式是____________.思路解析:∵f(x)图象由两条线段组成，要重点注意是端点值是否可以取到.答案:f(x)＝5.(2006安徽高考，理)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(1)=-5,那么f(f(5))=___________.思路解析:由f(x+2)=,得f(x+4)= =f(x),所以f(5)=f(1)=-5,那么f(f(5))=f(-5)=f(-1)==-51.答案:- 51 6.f(1-x )=x ，求f(x).思路解析:设1-x =t ，用换元法，同时应注意函数定义域. 解:设1-x=t ，那么x=(1-t)2.∵x≥0，∴t≤1.∴f(t)=(1-t)2(t≤1).∴f(x)=(x -1)2(x≤1).7.设函数f(x)满足f(x)+2f(x 1)=x 〔x≠0〕，求f(x).思路解析:以x 1代换x ，解关于x 1、x 方程组，消去x 1.解:∵f(x)+2f(x 1)=x ， ① 以x 1代换x 得f(x 1)+2f(x)= x 1. ②解①②组成方程组得f(x)=.8.某家庭今年一月份、二月份与三月份煤气用量与支付费用如下表所示：该市煤气收费方法是：煤气费＝根本费＋超额费＋保险费.假设每月用量不超过最低限度A 米3，只付根本费3元与每户每月定额保险C 元，假设用气量超过A 米3，超过局部每立方米付B 元，又知保险费C 不超过5元，根据上面表格求A 、B 、C.思路解析：此题支付费用为每月用气量分段函数，先写出函数解析式，再求A 、B 、C.解：设每月用气量为x 米3，支付费用为y 元，那么得y=,,0,)(3,3A x A x C A x B C >≤≤⎩⎨⎧+-++ 由0＜C≤5有3＋C≤8.由第二、第三月份费用都大于8，即用气量25米3，35米3都大于最低限度A 米3，那么⎩⎨⎧=+-+=+-+.19)35(3,14)25(3C A B C A B 两式相减，得B=0.5.∴A=2C＋3.再分析一月份用气量是否超过最低限度，不妨设A ＜4，将x=4代入3＋B(x-A)＋C,得3＋0.5［4-(3＋2C)］＋C=4.由此推出3.5=4，矛盾.∴A≥4.一月份付款方式选3＋C,∴3＋C=4，即C=1.将C=1代入A=2C ＋3，得A=5.∴A=5，B=0.5，C=1.9.设二次函数f(x)满足f(2+x)＝f(2-x)，且f(x)＝0两个实根平方与为10，f(x)图象过点(0，3)，求f(x)解析式.思路解析:要求二次函数解析式，一般用待定系数法先设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)，然后根据条件列出关于a、b、c方程组，求解即可.解:∵f(2+x)＝f(2-x)，代入f(x)＝ax2+bx+c化简可得b＝-4a.∵f(x)图象过点(0，3)，∴f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2-4ax+3.∵ax2-4ax+3＝0两实根平方与为10，6.∴a=1.∴f(x)＝x2-4x+3.∴10＝x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-a10.如右图，动点P从边长为4正方形ABCD顶点B开场，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P行程，y表示△APB面积，求函数y=f〔x〕解析式.思路解析:由P点运动方向知当P运动到BC、CD、DA上时，分别对应解析式不同，因此这是个分段函数.解:由，得y=11.某小型自来水厂蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注入自来水60吨，假设蓄水池向居民小区不连续供水，且t小时内供水总量为1206t吨〔0≤t≤24〕.〔1〕供水开场几小时后，蓄水量最少最少蓄水量是多少吨〔2〕假设蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，试问一天24小时内有多少小时会出现供水紧张现象并说明理由.解:〔1〕设t小时蓄水量y吨，所以y=400+60t-120t6〔0≤t≤24〕.令t=m〔0≤m≤26〕，y=60m2-1206m+400=60〔m-6〕2+40.∴t=6小时时，蓄水量最少为40吨.〔2〕由y ＜80，得60t-120t 6 +400＜80.故一天中有8小时会出现供水紧张现象.12.如右图，动点P 从边长为1正方形ABCD 顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点运动路程，y 表示PA 长，求y 关于x 函数解析式.思路解析:P 在A 、B 间运动，即0≤x≤1时，y=x.P 在B 、C 间运动，即1<x≤2时，y=221)1(22+-=+-x x x . P 在C 、D 间运动时，同理,得y=1061)3(22+-=+-x x x ，2<x≤3. P 在D 、A 间运动时，y=4-x ，3<x≤4.综上，得y 关于x 函数为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x。

【优化指导】高中数学(基础预习课堂探究达标训练)341 三角函数的周期性以及函数y=Asinx,

3.4.1 三角函数的周期性以及函数y ＝Asin x ，y ＝sin ωx 的图象与性质学习目标重点难点1．知道什么是周期函数，什么是函数的周期以及最小正周期；2．能说出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的最小正周期；3．能分析y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的图象与y ＝sin x 图象的关系； 4．会解决函数y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的性质问题.重点：周期函数的定义以及正弦函数、余弦函数、正切函数的周期．分析函数y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的图象与性质；难点：周期函数的定义；疑点：函数y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的图象与函数y ＝sin x 图象的关系.1．三角函数的周期性(1)一般地，对于函数y ＝f (x )，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内每一个值时，x ±T 都有定义，并且f (x ±T )＝f (x )，则这个函数y ＝f (x )称为周期函数，T 称为这个函数的一个周期．如果周期函数y ＝f (x )的所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数就称为这个函数的最小正周期，我们也常常将“最小正周期”简称为“周期”．(2)y ＝sin x 是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (3)y ＝cos x 是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (4)y ＝tan x 是周期函数，k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它的周期，最小正周期是π. 预习交流1能否由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝sin π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋5π4＝sin 5π4等说明π2是y ＝sin x 的周期？提示：不能，周期函数中的定义中应要求对定义域中的每一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，如果只有个别x 的值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说f (x )的周期为T .预习交流2所有的周期函数都具有最小正周期吗？提示：并不是所有周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f (x )＝C (C 为常数)，x ∈R ，当x 为定义域内的任何值时，函数值都是C ，即对于函数f (x )的定义域内的每一个值x ，都有f (x ＋T )＝C ，因此f (x )是周期函数，由于T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f (x )没有最小正周期．2．函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)的图象与性质(1)一般地，对任意A ＞0，A ≠1，函数y ＝A sin x 的图象可以由y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标乘以A 得到．(2)函数y ＝A sin x 的周期是2π，值域是[－A ，A ]，最大值和最小值分别为A 和－A ．预习交流3函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)的奇偶性、单调区间是怎样的？提示：函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)仍然是奇函数，它的单调区间与y ＝sin x 的单调区间也完全相同．3．函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的图象与性质(1)函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的图象可以由y ＝sin x 的图象上每一点(x ，sin x )的纵坐标不变，横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω得到．(2)函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的周期是T ＝2πω，值域为[－1,1]．预习交流4你能由周期函数的定义说明y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的周期为什么是2πω吗？提示：由于sin(ωx ＋2π)＝sin ωx ，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝sin ωx ，因此y ＝sin ωx 的周期为2πω.预习交流5若对于函数f (x )定义域中的每个值x ，都有f (2x ＋T )＝f (2x )，能否说f (x )的周期为T? 提示：不能．从周期函数的定义式f (x ＋T )＝f (x )可知，自变量x 本身增加的常数才是周期．当f (2x ＋T )＝f (2x )时，有f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，所以f (x )的周期不是T ，而是T2.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、求三角函数的周期求下列函数的周期：(1)y ＝－3sin x ；(2)y ＝cos 5x ；(3)y ＝3tan 3x .思路分析：利用三角函数的周期以及周期的定义求解．解：(1)由于－3sin x ＝－3sin(x ＋2π)，所以y ＝－3sin x 的周期T ＝2π；(2)由于cos 5x ＝cos(5x ＋2π)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π5，所以y ＝cos 5x 的周期T ＝2π5； (3)由于3tan 3x ＝3tan(3x ＋π)＝3tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以y ＝3tan 3x 的周期T ＝π3.1．函数y ＝cos(－4x )的最小正周期为__________．答案：π2解析：y ＝cos(－4x )＝cos 4x ，而cos 4x ＝cos(4x ＋2π)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以函数的最小正周期为π2.2．已知y ＝2sin ωx (ω＞0)的周期为4π，则ω＝__________.答案：12解析：依题意应有2πω＝4π，所以ω＝12.一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)的周期为2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|.二、三角函数的图象变换画出函数y ＝2sin 12x 的图象，并说明由这个函数的图象怎样得到函数y ＝sin x 的图象？思路分析：利用五点作图法画函数y ＝2sin 12x 的图象，然后通过横、纵坐标的变换得到函数y ＝sin x 的图象．解：令12x 分别取0，π，π，3π，2π，列表如下：x 0 π 2π 3π 4π 12x 0 π2 π 3π22πy ＝2sin 12x 02 0 －2 0 描点、连线即得函数y =2sin 2x 在一个周期上的图象，然后根据周期性，将其向左、右扩展，即得y =2sin 12x ，x ∈R 的图象．将y =2sin 12x 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，可以得到函数y =sin 12x的图象，然后再将y =sin 12x 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，即可得到函数y =sin x 的图象．1．(2012浙江高考，文6)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．答案：A解析：y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应图象为A ．2．为了得到函数y ＝sin x 的图象，应将函数y ＝13sin x 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的( )倍即可．A ．3B ．13C ．1D ．32答案：A1．画函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的图象时，仍然可以用“五点法”，但应先作变量代换，令ωx ＝0，π2，π，3π2，2π，求得x 相应的值，然后根据x ，y 的值描点，连线画出函数的图象．2．进行图象变换时，一是要牢记横坐标与纵坐标的变化规则，二是要分清哪是变换前的函数，哪是变换后的函数．三、函数y ＝A sin ωx 的性质已知函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)，其中0＜φ＜π，若f (x )是奇函数． (1)求φ的值；(2)求f (x )的单调区间．思路分析：结合诱导公式求φ的值，根据φ的值，将f (x )解析式化简，然后求其单调区间．解：(1)由于cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x . 而y ＝－sin 2x 是奇函数，从而y ＝－3sin 2x 也是奇函数，故当φ＝π2时，f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－3sin 2x 是奇函数，即φ的值为π2. (2)由(1)知f (x )＝－3sin 2x .令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2解得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )；令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2解得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )．若函数f (x )＝14sin ωx (ω＞0)的周期为3π，则其递减区间为__________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋3π4，3k π＋9π4(k ∈Z ) 解析：由于f (x )的周期为3π，所以2πω＝3π，ω＝23.于是f (x )＝14sin 23x .令2k π＋π2≤23x ≤2k π＋3π2，解得3k π＋3π4≤x ≤3k π＋94π，k ∈Z .故f (x )的减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋3π4，3k π＋9π4(k ∈Z )．求y ＝A sin ωx 的单调区间，可以把ωx 看作一个整体(保证ω＞0)放入y ＝sin x 的单调区间内，解不等式求得．1．函数y ＝－sin x 的周期为( )A ．π B．2π C．4π D．π2答案：B2．函数y ＝－3cos 2x 的最大值是( ) A ．－1 B ．－3 C ．1 D ．3 答案：D3．要得到函数y ＝sin 4x 的图象，只须将函数y ＝sin x 的图象上每一点的( ) A ．横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍 B ．纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍C ．横坐标不变，纵坐标变为原来的14倍D ．纵坐标不变，横坐标变为原来的14倍答案：D4．函数y ＝sin 3x 的图象，可以由函数y ＝12sin 3x 的图象上每一点( )得到．A ．横坐标变为原来的3倍B ．纵坐标变为原来的12倍C ．横坐标变为原来的13倍D ．纵坐标变为原来的2倍答案：D5．若函数y ＝－5cos ωx (ω＞0)的周期为4，则其递增区间是__________．答案：[4k,4k ＋2](k ∈Z )解析：依题意有2πω＝4，所以ω＝π2，即y ＝－5cos π2x .令2k π≤π2x ≤2k π＋π，解得4k ≤x ≤4k ＋2，k ∈Z ，因此函数的递增区间是[4k,4k ＋2](k ∈Z )．。

第一讲一次函数的概念与图象-【寒假预习】八年级数学核心考点+重难点讲练与测试(沪教版)(原卷版)

第01讲一次函数的概念与图象目录考点一：识别一次函数考点二：一次函数图象考点三：一次函数图象与系数关系考点四：一次函数图象上的点的坐标特征考点五：一次函数图象与几何变换【基础知识】一、一次函数的概念（1）一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数；（2）一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3）当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠），这时y 是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4）一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．二、一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．三、一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标(0)b ，．直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．四、一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）【考点剖析】一．一次函数的定义（共3小题）1．（2022春•杨浦区校级期中）以下函数中，属于一次函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝c（c为常数）D．y＝kx+b（k、b为常数）2．（2022春•静安区校级期中）根据变量x、y的关系式，属于y是x的一次函数的是（）①y＝k（x﹣1）（k≠0）②y＝1﹣（k≠0）③x﹣y＝2（k≠0）④y＝kx+（k≠0）．A．①B．①②③C．①③D．全部都是．3．（2022春•闵行区校级月考）已知函数y＝（m﹣3）x+3是一次函数，则m＝．二．一次函数的图象（共6小题）4．（2022春•静安区校级期中）如图，若k•b＞0，且b+k＞0，则一次函数y＝kx+b的大致图象是（）A．B．C．D．5．（2021春•徐汇区期中）如图所示，一次函数y＝mx+m的图象中可能是（）A．B．C．D．6．（2021春•徐汇区校级月考）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象，当y＞﹣2时，x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞1C．x＜0D．x＞07．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＞3时，x的取值范围是（）A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2．8．（2022春•闵行区校级期中）在直角坐标平面内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y＞﹣2B．当x＜1时，y＞0C．当x＜0时，﹣2＜y＜0D．当x≥1时，y≤09．（2022春•嘉定区期中）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当x时，函数图象在x轴的上方．三．一次函数图象与系数的关系（共7小题）10．（2022春•杨浦区校级期末）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（）A．B．C．D．11．（2022春•闵行区校级期中）如果一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象过第一、二、四象限，那么m的取值范围是．12．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝（k+1）x﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，那么k 的取值范围是．13．（2022春•静安区校级期中）已知直线y＝（1﹣3m）x+（2m﹣1）经过第二、三、四象限，则m的取值范围为．14．（2022春•嘉定区期中）一次函数y＝（4﹣k）x+3，y随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．（2022春•黄浦区校级期中）已知一次函数y＝（2k﹣1）x+k的函数值y随x的值增大而增大，那么k 的取值范围是．16．（2022春•杨浦区校级期中）已知一次函数y＝kx+k﹣1（其中k为常数且k≠0）的图象不经过第二象限，则k的取值范围是．四．一次函数图象上点的坐标特征（共8小题）17．（2022春•徐汇区期末）一次函数y＝3（x﹣1）在y轴上的截距是（）A．﹣1B．1C．﹣3D．318．（2022春•嘉定区校级期中）下列各点在直线y＝﹣2x+1上的是（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，）19．（2021秋•金山区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣2），则y的值随着x的值增大而（填“增大”、“减小”、或“不变”）．20．（2022春•杨浦区校级期中）一次函数y＝3x+b的图象过坐标点（﹣2，4），则该函数的截距为．21．（2022春•普陀区校级期中）一次函数y＝﹣4x﹣2的图象与x轴的交点坐标是．22．（2022春•浦东新区校级期中）已知一次函数y＝x﹣1的图象上有点A（2，a）和点P，且PO＝P A，则点P的坐标为．23．（2022春•普陀区校级期中）已知一次函数y＝2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，在直线x＝4上有一点C，连接AC、BC，三角形ABC是等腰三角形，则点C的坐标为．24．（2022春•静安区校级期中）直线y＝kx+b经过A（﹣20，5）、B（10，20）两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是．五．一次函数图象与几何变换（共8小题）25．（2022春•闵行区校级期末）将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移6个单位后，所得直线的解析式是．26．（2022春•奉贤区校级期末）如果将函数y＝2x﹣2的图象平移，且经过（0，3），那么所得图象的函数解析式是．27．（2022春•静安区期中）将直线y＝﹣2x﹣4向上平移5个单位，所得直线的表达式是．28．（2022春•黄浦区校级期中）将直线y＝3x+2沿y轴向下平移个单位，那么平移后直线就经过点（0，﹣1）．29．（2022春•杨浦区校级期中）将直线y＝﹣3x向上平移1个单位，则平移后的新直线一定不经过第象限．30．（2022春•浦东新区校级期中）将直线y＝﹣x﹣1向上平移4个单位所得的直线表达式为．31．（2022春•静安区校级期中）已知：如图所示，直线y＝﹣x+4的与x轴、y轴分别交于点B和点A，将这条直线平移后与x轴、y轴分别交于点C和点D，且BA＝CB．（1）求点C的坐标；（2）求CD所在直线的函数解析式．32．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•徐汇区校级期中）以下函数中，属于一次函数的是（）A．y＝x2+2B．y＝kx+b（k、b是常数）C．y＝D．y＝2．（2022春•徐汇区期末）一次函数y＝3（x﹣1）在y轴上的截距是（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．（2022春•静安区校级期中）如图，若k•b＞0，且b+k＞0，则一次函数y＝kx+b的大致图象是（）A．B．C．D．4．（2022春•嘉定区校级期中）下列各点在直线y＝﹣2x+1上的是（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，）5．（2022春•徐汇区校级期中）函数y＝x﹣3的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2022春•嘉定区校级期中）已知一次函数y＝kx+b，k＜0，b＞0，那么下列判断中，正确的是（）A．图象不经过第一象限B．图象不经过第二象限C．图象不经过第三象限D．图象不经过第四象限7．（2022春•普陀区校级期中）一次函数y＝kx+k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）8．若y＝kx+4﹣x是一次函数，则k的取值范围是．9．（2021秋•金山区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣2），则y的值随着x的值增大而（填“增大”、“减小”、或“不变”）．10．（2022春•青浦区校级期末）一次函数y＝kx+2x+k2，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是．11．（2022春•上海期中）一次函数y＝2（x﹣1）+3的图象在y轴上的截距是．12．（2022春•嘉定区期中）若直线y＝﹣x﹣1的图象过点A（4，m），则m＝．13．（2022春•黄浦区校级期中）若直线y＝mx﹣2经过点（4，2），则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为．14．（2022春•奉贤区校级月考）已知经过点（1，﹣2）的直线y＝kx+b是由y＝3x+1向下平移后得到的，那么这条直线的解析式是．15．（2022春•徐汇区校级期中）已知一次函数y＝（2m+1）x﹣1，且y的值随着x的值增大而减小，则m 的取值范围是．16．（2022春•静安区期中）把函数y＝2x的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的函数图象解析式为．17．（2022春•浦东新区校级期中）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，则k＝．18．（2022春•徐汇区校级期中）直线y＝kx+2经过点A（2，4），且交x轴于点B，在x轴上有一点C，若△ABC的面积为12，则C点坐标为．19．（2022春•徐汇区校级期中）一次函数y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕A 点逆时针旋转90°，使B点落在M点处，则M的坐标为．20．（2022春•浦东新区校级期中）点（a，b）在直线y＝﹣2x+3上，则4a+2b﹣1＝．21．（2022春•杨浦区校级期中）若函数y＝4x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b＝．22．（2022春•普陀区校级期中）一次函数y＝﹣3x﹣6的图象与x轴的交点坐标是．23．（2022春•闵行区校级期中）如果关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+m的图象不经过第三象限，那么m 的取值范围．24．（2022春•虹口区期中）点A（1，3）（填“在”或“不在”）直线y＝﹣x+2上．25．（2022春•闵行区校级月考）如果点A（﹣1，a），B（1，b）在直线y＝﹣2x+m上，那么a b （填“＞”、“＜”或“＝”）．26．（2022春•奉贤区校级期末）当x＝2时，不论k取任何实数，函数y＝k（x﹣2）+3的值为3，所以直线y＝k（x﹣2）+3一定经过定点（2，3）；同样，直线y＝（k﹣2）x+4k一定经过的定点为．27．（2015春•闸北区期中）已知：如图所示，直线y＝﹣x+交x轴于点A，交y轴于点B，若点P 从点A出发，沿射线AB做匀速运动，点Q从点B出发，沿射线BO做匀速直线运动，两点同时出发，运动速度也相同，当△BPQ为直角三角形时，则点Q的坐标为．三．解答题（共7小题）28．（2022春•奉贤区校级月考）如图，一次函数y＝x+3的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若点P（﹣2，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由．（2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是6，求m的值．29．（2021春•嘉定区校级期中）如图，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．30．（2021春•浦东新区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2021春•嘉定区校级期中）若直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P是该直线上的一点，PC⊥x轴，C为垂足．（1）求△AOB的面积．（2）如果四边形PCOB的面积等△AOB的面积的一半，求出此时点P的坐标．32．（2021春•徐汇区校级月考）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）向上平移2个单位后与直线y＝x重合，且直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）写出点B的坐标，求直线AB的表达式；（2）求△AOB的面积．33．（2021春•松江区月考）已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣k2+4．（1）k为何值时，y随x的增大而减小？（2）k为何值时，它的图象经过原点？34．（2021春•徐汇区期中）已知把直线y＝kx+b（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位后，得到直线y＝﹣2x+5．（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的解析式；（2）求直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形的周长．。

人教版数学八年级下册19.1《函数》预习导学

《函数》预习导学学习目标1. 知道在一些特定问题中，两个变量的值有着对应关系．2．明确自变量、函数、函数值的概念.3．能列出实际问题中函数的解析式．●重点：列函数解析式．●难点：变量的对应关系.预习导学激趣导入同学们，我们生活在一个不断变化的世界中，正是因为斗转星移，才有寒来暑往，岁月更新．你看，小树慢慢地长高了，你也渐渐地长大了，还有随着时间的改变，温度也在悄悄地发生变化，一个量往往随着其他量的变化而变化.本章我们将学习刻画两个变量之间关系的常用数学模型——函数.知识点一函数的概念阅读课本本课时“例1”之前的所有内容，回答下列问题．1．讨论：(1)由于路程=速度时间，且速度为60km/h，当时间t取定一个值时，就有唯一确定的值与其对应.(2)“问题2”中，三个量的关系是怎样的？(3)“问题3”中，三个量的关系是怎样的？(4)“问题4”中，三个量的关系是怎样的？2．揭示概念：上面的每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量有的值与其对应.3．思考：在课本第二个“思考”中的图象与表格中，两个变量之间的值是否也有类似的对应关系？若是，试分别列举一组x与y对应的值．归纳总结在一个变化过程中的两个变量x、y，若对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则是自变量，y是x的．知识点二列解析式阅读课本本课时“例1”至“练习”的内容，回答下列问题.1．思考：(1)耗油量＝路程；油箱中的剩余油量＝油箱中原有汽油- ．(2)用“例1”中给出的常量与变量符号表达上面的关系应为y= ，其中自变量x代表的是行驶路程，因此；y代表的是，为了使得y 的值符合实际意义，x应满足．2．揭示概念：用关于自变量的数学式子表示与之间的关系，这种式子叫做函数的．。

八年级下册数学函数知识点

八年级下册数学函数知识点八年级下册数学函数知识点大全只有真正勤奋的人才能克服困难，持之以恒，不断开拓知识的领域，武装自己的头脑，成为自己的主宰，让我们勤奋学习，持之以恒，成就自己的人生，以下是我为大家带来的八年级下册数学函数知识点大全，欢迎参阅呀!八年级下册数学函数知识点大全知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量)，特别地，当b=0时，称y 是x的正比例函数.知识点2 函数的图象由于两点确定一条直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点，直线与x轴的交点。

.不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点(0，0)，(1，k)即可.知识点3一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的性质(1)k的正负决定直线的倾斜方向;①k0时，y的值随x值的增大而增大;②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小.(2)|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大①当b0时，直线与y轴交于正半轴上;②当b0时，直线与y轴交于负半轴上;③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数.(4)由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同;①如图所示，当k0，b0时，直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);②如图所示，当k0，b③如图所示，当k﹤O，b0时，直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);④如图所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的.另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.知识点4 正比例函数y=kx(k≠0)的性质(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;(2)当k0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;(3)当k0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.知识点5 点P(x0，y0)与直线y=kx+b的图象的关系(1)如果点P(x0，y0)在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;(2)如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P(1，2)必在函数的图象上.例如：点P(1，2)满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P(1，2)在直线y=x+l的图象上;点P′(2，1)不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′(2，1)不在直线y=x+l的图象上.知识点6 确定正比例函数及一次函数表达式的条件(1)由于正比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k，故只需一个条件(如一对x，y的值或一个点)就可求得k的值.(2)由于一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值.知识点7 待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程(或方程组)，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数.知识点8 用待定系数法确定一次函数表达式一般步骤(1)设函数表达式为y=kx+b;(2)将已知点的坐标代入函数表达式，解方程(组);(3)求出k与b的值，得到函数表达式.思想方法小结 (1)函数方法.(2)数形结合法.知识规律小结 (1)常数k，b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响.①当b0时，直线与y轴的正半轴相交;当b=0时，直线经过原点;当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交.②当k，b异号时，直线与x轴正半轴相交;当b=0时，直线经过原点;当k，b同号时，直线与x轴负半轴相交.③当kO，bO时，图象经过第一、二、三象限;当k0，b=0时，图象经过第一、三象限;初二下册数学知识点总结苏科版1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B 叫做分式。

高一数学预习培基习题(全)第二章一元二次函数、方程、不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式巩固初中知识】一、一元二次方程1．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解法（1）配方法：将方程整理成q p x =+2)(，方程的根是．注：2x 系数是1和不是1时配方注意事项；2x 系数是负数时配方注意事项．（2）公式法： )04(2>-=∆ac b ．（3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x ⇒ ． 2．一元二次方程根的判别（24b ac ∆=-）（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根，方程无解． 3．韦达定理（根与系数关系）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 和2x ，则1x +2x ＝； 1x .2x ＝．二、一元二次函数1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

2．二次函数2y ax bx c =++的性质当0a >时，抛物线开口，当0a <时，抛物线开口，对称轴为，顶点坐标为．3．二次函数解析式求法（1）一般式：（a ，b ，c 为常数，0a ≠），需要三个坐标点；（2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），顶点坐标和其他任一点的坐标；（3）零点式：（a 为常数，且0a ≠），二次函数的零点为1x ，2x ．衔接高中知识】（1）一元二次不等式的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式，形如02>++c bx ax （或0<，或0≤，或0≥），其中0≠a ．（2）一元二次不等式的解法步骤：第1步：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式： c bx ax ++2＞0或 c bx ax ++2＜0(a ＞0) 第2步：求出相应的一元二次方程的根．第3步：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．三个“二次”的关系考点分类精讲】考点1 解简单的一元二次不等式【考题1】解下列不等式（1）3x 2－x －4＞0；（2）x 2－x －12≤0；（3）)3)(1(x x --＜x 25-；（4）2)1(3)11(+≥+x x x（5）03422<+-x x（6）042<-+x x【举一反三】1．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为（） A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1,2) 2．不等式2620x x --+≤的解集是（） A ．21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．12|23x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或 C ．21|32x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或D ．12{|}23x x -≤≤考点2 解一元二次不等式组【考题2】求使2223132xx x x -++-+有意义的x 的取值范围．【举一反三】求使0562086122>-+-+>+-x x x x 有意义的x 的取值范围．考点3 已知一元二次不等式的解集求参数的取值范围【考题3】设关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求不等式012>++ax bx 的解集．【举一反三】1．关于x 的不等式2282a ax x --＜0(a ＞0)的解集为(1x ,2x )，且1521=-x x ，则=a （） A ．25B ．27 C ．415 D ．215 2．已知不等式220ax x c ++<的解集是11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a ++≤的解集是（） A ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-2，3]D ．[-3，2]考题4 一元二次不等式的恒成立问题【考题4】已知关于x 的不等式049)1(220822<+++++-m x m mx x x 恒成立，求实数m 的取值范围【举一反三】1．已知不等式042<++ax x 的解集为空集，则a 的取值范围是（） A ．44>-<a a 或 B ．44<<-aC ．44≥-≤a a 或 D ．44≤≤-a2．设关于x 的不等式1)1()1(22----x a x a ＜0的解集是R ，则实数a 的取值范围是（） A ．a ＜53-或a ＞1B ．53-＜a ＜1C ．53-＜a ≤1 D ．53-＜a ≤1或1-=a 3．定义运算：，若使得成立，则实数a 的取值范围是） A ．B ．C ．D ．难点突破】含参数一元二次不等式的解法【考题5】解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．举一反三：1．关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（） A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]2．若10<<a ，则不等式01)1(2<++-x aa x 的解集是（） A ．}1|{ax a x <<B ．}1|{a x ax << C ．a x x >|{或}1ax <D ．ax x 1|{>或}a x < 3．解关于x 的不等式012<--+ax x ax ，其中（a 为常数）．【题型优化测训】1．不等式0232<+-x x 的解集为（） A ．(1，2 B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)2．若不等式22-+bx ax ＜0的解集为(2-,41)，则ab 等于（） A ．－28B ．－26C ．28D ．263．定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )>0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝（） A ．1B ．2C ．4D ．84．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2]5．已知不等式20ax bx c ++>的解集为（-4,1），则不等式2(1)(3)0b x a x c +-++>的解集为（） A ．4(1,)3-B ．4(,1)(,)3-∞-⋃+∞ C ．4(,1)3-D ．4(,)(1,)3-∞-⋃+∞6．关于x 的不等式()()224210a x a x -++-≥的解集是R ，则实数a 的取值范围为（）A ． )56,2(-B ．)56,2[-C ．}2{-D ．∅7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. （1）解关于a 的不等式f (1)>0；（2）若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值．（选做题）不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，则x 的范围为______________．。

反比例函数全章预习提纲

反比例函数全章预习提纲1. 定义：一般地，形如（k 为常数，）的函数称为反比例函数。

xk y =还可以写成kxy =1- ； y= ； xy=2. 反比例函数解析式xk y =的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值范围为。

⑷函数y 的取值范围是。

3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）② 描点（从小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是线，它是否经过原点？是否与坐标轴相交？⑶反比例函数的图像是轴对称图形吗？你能找出它的对称轴吗反比例函数的图像是中心对称图形吗？找出它的对称中心 ⑷反比例函数xk y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xk y =（0≠k ）上任意引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为。

对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）反比例函数常见题型1. 概念应用（牢牢把握住概念）（1）下列函数：①31-=xy ； ②x y -=5； ③xy 52-=； ④)0(2≠=a a xa y 为常数且；其中是反比例函数（2）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）． A ．1)1(=-y x B ．11+=x y C ．21xy =D ．xy 31=（3）若y=（a-1）2a x -是反比例函数，则a=（）A ．a=1B ．a=-1C ．a=0D ．任意实数（4）已知y =y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x=2与x=3时，y 的值都等于19，写出y 与x 的函数关系式______（5）已知y=y 1-y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x 2成正比例，且当x=-1时y=-5，当x=1时，y=1，求y 与x 之间的函数关系式．（6）当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（） A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 以上均不正确（7）写出下列两个变量的关系式，看是否成比例？如果成比例，是成正比例，还是成反比例？①圆的面积S （cm 2）与它的半径R(cm)的关系；_______________ ②等腰三角形的顶角y 与底角x 的关系；______________________ ③人每分钟走200米，则她从家到学校用的时间t(分)与她行走的速度v （米／分）的关系．_______________________________ 2.反比例函数的性质应用 (1)已知反比例函数xk y 2-=，其图象在第一、三象限内，则k 的取值范围为________________ (2) 反比例函数xm y =的图像两支分布在第二、四象限，则点（m ，m －2）在第_____象限。

第一课时函数的性质和应用(Ⅰ)(预习案)

第一课时函数的性质及应用(Ⅰ) (预习案)一、复习目标 1填空题仍然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用的相关温习，难度不一. 2在解答题中，函数模型的实际运用仍然会是考查热点，函数综合性质的温习仍然是温习的难点，数形结合思想和分类讨论思想是温习的重点.二、课前自我检测1．(2020·江苏高考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，假设实数m ，n 知足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．2．(2020·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，那么实数a 的值为________．3．(2020·江苏高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，那么知足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．4．(2020·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．5．(2021·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，假设关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，那么实数c 的值为________．我思我疑：第一课时函数的性质及应用(Ⅰ) (教学简案)一、学生课前预习情形分析1．预习情形抽测 2．典型错误剖析二、典型例题探讨例1. (2021·如皋测试)已知函数f (x )＝a －1|x |. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)假设函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ](m ≠n )，求实数a 的取值范围．例2. (2021·苏州调研)已知函数f (x )＝|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋m 2－7m .(1)假设方程f (x )＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2)假设对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．例3. 已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)．(1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；(3)设h (x )＝f (x )x，假设函数h (x )在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．三、当堂训练四、课堂小结五、课后作业布置一中高三数学2013春学期第1周第1次当堂训练1(2021·南通学科基地)函数f (x )的概念域为D ，假设知足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，求k 的取值范围．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0，其中b >0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)假设方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合3．(2021·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．一中高三数学2013春学期第1周第2次当堂训练一、关于概念在D 上的函数y ＝f (x )，假设同时知足(1)存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得任取x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c (c 是常数)；(2)关于D 内任意x 2，当x 2∉[a ，b ]时总有f (x 2)>c .称f (x )为“平底型”函数．判定f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，f 2(x )＝x ＋|x －2|是不是是“平底型”函数？简要说明理由．二、(2021·金陵中学期末)已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上持续不断，概念：f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])，f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])．其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最大值．假设存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，那么称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．(1)若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，试写出f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)已知函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]，试判定f (x )是不是为[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，若是是，求出相应的k ；若是不是，请说明理由；(3)已知b >0，函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．3、(2021·无锡期中)已知二次函数g (x )对任意实数x 都知足g (x －1)＋g (1－x )＝x 2－2x －1，且g (1)＝－1.令f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98(m ∈R ，x >0)． (1)求g (x )的表达式；(2)若∃x >0使f (x )≤0成立，求实数m 的取值范围；(3)设1＜m ≤e ，H (x )＝f (x )－(m ＋1)x一中高三数学2013春学期第1周第1次课后作业1．已知函数f (x )＝2x2x ＋1，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝________. 2．假设函数y ＝3＋x 2ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12的最大值与最小值别离为M ，m ，则M ＋m ＝________.3．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．4．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (x 1)＋f (2x 2)＝1(其中x 1，x 2均大于2)，则f (x 1x 2)的最小值为________．5．已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，那么最大的正整数m 为________．6．已知以T ＝4为周期的函数f (x )，当x ∈(－1,3]时f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m >0.假设方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________．7．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．8．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (x 1)＋f (2x 2)＝1(其中x 1，x 2均大于2)，则f (x 1x 2)的最小值为________．9．已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，那么最大的正整数m 为________．10．已知以T ＝4为周期的函数f (x )，当x ∈(－1,3]时f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m >0.假设方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________．11．设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)．(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(2)设a >2，求函数f (x )的最小值．12．函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，而且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.第二课时函数的性质及应用(Ⅱ) (预习案)一、复习目标(1)高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中显现.在二轮温习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.(2)函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是最近几年来新增的一个考点，也要引发足够的重视.二、课前自我检测1．已知函数F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，那么数列{a n }的通项a n ＝________.2．(2021·徐州期末)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出以下四个命题①当c ＝0，y ＝f (x )是奇函数；②当b ＝0，c <0时，方程f (x )＝0只有一个实数根；③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称；④方程f (x )＝0最多有两个实数根．3．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )．给出以下命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象必关于直线x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2－b |.其中正确的序号是________．4．(2021·淮阴联考)给出以下四个结论：①函数y ＝k ·3x (k 为非零常数)的图象可由函数y ＝3x 的图象通过平移取得；②不等式⎪⎪⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞； ③概念域为R 的函数f (x )知足f (x ＋1)·f (x )＝－1，则f (x )是周期函数；④已知f (x )知足对x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7. 其中正确结论的序号是________．(把你以为正确命题的序号都填上)我思我疑：第二课时函数的性质及应用(Ⅱ) (教学简案)一、学生课前预习情形分析1．预习情形抽测 2．典型错误剖析二、典型例题探讨例 1. (2021·泰兴中学调研)设n 为正整数，规定：f n (x )＝f {f […f (x )]}n 个f ，已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1， 1＜x ≤2.(1)解不等式f (x )≤x ； (2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ；(3)探求f 2 012⎝⎛⎭⎫89；(4)假设集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0,2]}，证明：B 中至少包括有8个元素例2. (2021·南京一模)关于函数f (x )，假设存在实数对(a ，b )，使得等式f (a ＋x )·f (a －x )＝b 对概念域中的每一个x 都成立，那么称函数f (x )是“(a ，b )型函数”．(1)判定函数f (x )＝4x 是不是为“(a ，b )型函数”，并说明理由；(2)已知函数g (x )是“(1,4)型函数”，当x ∈[0,2]时，都有1≤g (x )≤3成立，且当x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2－m (x －1)＋1(m >0)，试求m 的取值范围．例3. (2021·栟茶模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)．(1)当a >1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)假设函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；(3)假设存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围三、当堂训练四、课堂小结五、课后作业布置一中高三数学2013春学期第1周第2次课后作业1．概念域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x －2||，x ≠2，1， x ＝2，那么关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，求f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝________.2．假设函数f (x )知足：f (x ＋3)＝f (5－x )且方程f (x )＝0恰有5个不同实根，求这些实根之和为________．3．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值是________．4．某同窗在研究函数f (x )＝x 1＋|x |(x ∈R )时，别离给出下面几个结论： ①等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立；②函数f (x )的值域为(－1,1)；③若x 1≠x 2，那么必然有f (x 1)≠f (x 2)；④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有________(请将你以为正确的结论的序号都填上)5．假设关于x 的方程x 2＝2－|x －t |至少有一个负数解，那么实数t 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2，假设关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是________．7．关于实数a 和b ，概念运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程为f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．8．概念在R 上的函数f (x )知足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝________.9．(2021·南师附中)设f (x )是概念在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2，关于任意x∈[t －2，t ]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，那么实数t 的取值范围是________．10．(2021·北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.假设同时知足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0.则m 的取值范围是________．第三课时导数(预习案)一、复习目标(1)导数的几何意义；(2)利用导数研究函数的单调性或极值、最值.二、课前自我检测1．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，那么点P 的坐标为________．2．(2020·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.3．假设函数f (x )＝e x －2x －a 在R 上有两个零点，那么实数a 的取值范围是________．4．(2020·江苏高考)将边长为1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是________．5．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．我思我疑：第三课时导数(教学简案)一、学生课前预习情形分析1．预习情形抽测2．典型错误剖析二、典型例题探讨例1. (2021·扬州调研)已知函数f(x)＝e x＋ax，g(x)＝e x ln x(e是自然对数的底数)．(1)假设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线也是抛物线y2＝4(x－1)的切线，求a的值；(2)假设关于任意x∈R，f(x)>0恒成立，试确信实数a的取值范围；(3)当a＝－1时，是不是存在x0∈(0，＋∞)，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在点x＝x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等？假设存在，求符合条件的x0的个数；假设不存在，请说明理由、例2. (2021·苏锡常镇一调)假设斜率为k的两条平行直线l，m通过曲线C的端点或与曲线C 相切，且曲线C上的所有点都在l，m之间(也可在直线l，m上)，那么把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d(k)．(1)假设曲线C：y＝2x2－1(－1≤x≤2)，求d(－1)；(2)已知k>2，假设曲线C：y＝x3－x(－1≤x≤2)，求关于k的函数关系式d(k)．例3. (2021·泰州中学期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)假设关于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值；(3)假设过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．当堂训练四、课堂小结五、课后作业布置一中高三数学2013春学期第1周第3次当堂训练一、已知抛物线C 1：y ＝x 2＋2x 和C 2：y ＝－x 2＋a .若是直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．(1)a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段相互平分．二、设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f (x )的解析式； (2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．3、(2021·南京一模)已知函数f (x )＝x －1－ln x .(1)求函数f (x )的最小值；(2)求证：当n ∈N *时，e1＋12＋13＋ (1)>n ＋1； (3)关于函数h (x )和g (x )概念域上的任意实数x ，假设存在常数k ，b ，使得不等式h (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b 都成立，那么称直线y ＝kx ＋b 是函数h (x )与g (x )的“分界限”．设函数h (x )＝12x 2，g (x )＝e[x －1－f (x )]，试问函数h (x )与g (x )是不是存在“分界限”？假设存在，求出常数k ，b 的值；假设不存在，说明理由．一中高三数学2013春学期第1周第4次当堂训练一、(2021·泰州期末)已知函数f (x )＝12x 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＋12a ln x －2ax . (1)当a ＝－12时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )在f ′(x )的单调区间上也是单调的，求实数a 的范围．二、设a ≥0，f (x )＝x －1－ln 2 x ＋2a ln x (x >0)．(1)令F (x )＝xf ′(x )，讨论F (x )在(0，＋∞)内的单调性并求极值；(2)求证：当x >1时，恒有x >ln 2 x －2a ln x ＋1.3、假设不等式|ax 3－ln x |≥1对任意x ∈(0,1]都成立，那么实数a 取值范围是________．一中高三数学2013春学期第1周第3次课后作业 1．(2021·南通调研)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．2．假设方程ln x －2x －a ＝0有两个不等的实数根，那么实数a 的取值范围是________．3．假设函数f (x )＝3x＋ln x 在区间(m ，m ＋2)上单调递减，那么实数m 的范围是________． 4．f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________，b ＝________.5．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与y 轴的交点的纵坐标为y n ，令b n ＝2y n ，则b 1·b 2·…·b 2 010的值为________．6．已知函数y ＝f (x )在概念域⎝⎛⎭⎫－32，3上可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )，那么不等式xf ′(x )≤0的解集是________．7．曲边梯形由曲线y ＝e x ，y ＝0，x ＝1，x ＝5所围成，过曲线y ＝e x ，x∈[1,5]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的一般梯形，这时点P 的坐标是________．8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不是单调函数，则t 的取值范围是________．9．给出概念：假设函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，那么称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.假设f ″(x )<0在D 上恒成立，那么称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数的是________．(把你以为正确的序号都填上)①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x . 10．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．11．已知函数f (x )＝a ＋sin x 2＋cos x－bx (a ，b ∈R )． (1)若f (x )在R 上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2 680，试求a 和b的值；(2)若f (x )为奇函数，12．(2021·无锡一中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R .(1)若a <0时，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4；(3)若是关于一切 x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围．第四课时导数(Ⅱ)(预习案)一、复习目标|解答题中显现导数的概率超级大，导数的考查思路比较清楚，把导数作为工具仅限于理论上的分析和实践中的应用，考查导数有时会跟分类讨论、数形结合、函数与方程联系一路综合考查，专门是利用导数解决函数最值问题的实际操作，更是层出不穷，因此在平常的学习当中，注重函数模型化的识别.二、课前自我检测1．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，那么实数b 的值是________． 2．函数y ＝4x 2＋1x单调递增区间是________． 3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则f (x )的图象最有可能的是________．(填图象序号)4．函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递增，那么实数a 的最大值为________．5．(2021·南通模拟)各项均为正数的等比数列{}a n 知足a 1a 7＝4，a 6＝8，假设函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则f ′⎝⎛⎭⎫12＝________.我思我疑：第四课时导数(Ⅱ)(教学简案)一、学生课前预习情形分析1．预习情形抽测 2．典型错误剖析二、典型例题探讨例1. (2021·江苏高考)假设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，那么称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点；(3)设h (x )＝f (f (x ))－c ，其中c ∈[－2,2]，求函数y ＝h (x )的零点个数．例2. (2021·徐州最后一卷)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．例3. (2021·泰州中学期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．当堂训练四、课堂小结五、课后作业布置一中高三数学2013春学期第1周第4次课后作业1．(2021·启东期末)假设函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)·x ＋1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是________．2．(2021·通州中学期末)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，那么实数a 的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．假设函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，那么实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值为________．5．已知函数f (x )知足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，则f (x )的解析式为________． 6．(2021·南通高中联考)设函数f (x )＝ax ，x ∈[0，π]，且f (x )≤1＋sin x ，则a 的取值范围________．7．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a .假设存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0与g (x 0)<0同时成立，那么实数a 的取值范围是________．8．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，假设关于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，那么实数a 的值为________．9．(2021·南通学科基地)已知函数f (x )＝12ax 2－2x sin 2α和函数g (x )＝ln x ，记F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)当α＝π3时，若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2)，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝1时，判定F (x )在其概念域内是不是有极值，并予以证明；(3)对任意的α∈⎝⎛⎭⎫π6，23π，若F (x )在其概念域内既有极大值又有极小值，试求实数a 的取值范围．10．(2021·苏中五市联考)如图，实线部份的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2 km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块极点都在圆P 上的多边形活动场地．(1)如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；(2)如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．。

高一必修4第一章三角函数(预习)讲解

§1.1.1 任意角※ 学习探究1．角的定义：一条射线绕着＿＿＿＿＿＿，从＿＿位置OA 旋转到＿＿位置OB ，形成一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的＿＿＿＿＿＿。

说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：按＿＿＿方向旋转形成的角叫做正角；负角：按＿＿＿＿方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线＿＿＿＿＿旋转，我们称它为零角。

说明：零角的始边和终边重合。

3．象限角：在直角坐标系中，使角的＿＿＿与坐标原点重合，角的＿＿＿与x 轴的非负轴重合，则；（1）象限角：若角的＿＿＿（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例如：30,390,330-都是第＿＿象限角；300,60-是第＿＿象限角。

（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如果角的终边在＿＿＿上，就认为这个角不属于任何象限。

例如：90,180,270等等。

4.终边相同的角所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成＿＿＿＿＿＿的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的＿＿相同。

从而得出一般规律：。

新知：终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，小结：1、任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

2、终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

※ 典型例题例1．在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120- （2）640 （3）95012'-变式：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角. （1）120°；（2）－270°；（3）1020°. 例 2. 写出终边在下列位置上的角的集合：（1）y 轴；（2）直线y=x.变式：（1）终边落在x 轴正半轴上的角的集合如何表示？如终边落在x 轴上呢？（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？小结：0°～360°是指；注意区分终边相同的角、象限角、区间角的表示.例3．若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限。

函数单调性预习

§第3课时函数的单调性(预习案)学习目标：：理解函数单调性、最大（小）值及其几何意义。

一，教材回顾：（一、）单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有，则称f (x )在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个；②都有，则称f (x )在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间，则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法，若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导，①若，则f (x )在这个区间上是增函数；②若，则f (x )在这个区间上是减函数.（二、）单调性的相关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数；2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为；3．互为反函数的两个函数有的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 .二,基础自测:1.下列函数中，在区间（0 ,2）上递增的函数是① |1|-=x y ;②122++=x x y ;③ x y -=; ④ xy 1-= 2 已知函数)(x f y =满足)4()(x f x f -= (x ∈R ) ，且)(x f 在2>x 时为增函数，则)53(f , )56(f , )4(f 按从大到小的顺序排列出来是； 3.函数||x x y =的单调递增区间为4. 二次函数满足)2()2(x f x f -=+，又3)0(=f ，1)2(=f ，若在[0 , m]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是5. 已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围。

高一数学必修4《-正弦函数-余弦函数的图像》预习指南

《B4-1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像》预习指南
【预习目标】
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦函数的方法.
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法.能用“五点法”做
出简单的正、余弦曲线，理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
3.会利用正弦与余弦函数的图像解简单的三角不等式和研究一些简单方程
根的个数
【重点、难点】
重点：能用“五点法”做出简单的正、余弦曲线.
难点：利用正弦与余弦函数的图像解简单的三角不等式.
【预习指导】
一预习课本第30页到第33页
二．梳理知识要点:
1.正弦曲线、余弦曲线
2、“五点法”画图：
画正弦函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是________，__________，___________，_____________，__________.
画余弦函数y=cosx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是_______，_______，__________，_______，_________.
3、正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cosx=sin(x+π
)，要得到y=cosx的图象，只需把y=sinx的图象向平移
2
π
个单位的长度即可.
2。

大学高数函数预习方法有哪些_大学高数预习

大学高数函数预习方法有哪些_大学高数预习大学高等数学比起初中高中数学难多了，想要学好大学高等数学必须要良好的学习习惯以及学习方法，预习是学习方法中必不可少的一步，下面是小编分享给大家的大学高等数学预习方法的资料，希望大家喜欢!大学高等数学预习方法1、课本推荐使用高等教育出版社同济7版高等数学(上册)，如学校已发其它版本的数学课本，可以使用，无须额外购买。

2、暑假前要求预习前3章①函数与极限②导数与微分③微分中值定理与导数的应用3、预习要点：背诵前3章节的公式与定理。

4、课后习题选做2-3题。

5、历年高数考试试题低于大纲规定难度，同学们不要有太大的压力!学好大学高数函数的注意事项首先，听中国教师上课。

教师的讲解总是重要的，特别是对于低年级的入门性课程。

上大学交学费，却不用教师的资源，显然不是明智的选择。

与中学听课更侧重解题方法不同，大学的数学课程更应该听教师的分析思路和概念解释。

为有更好的听课效果，课前应简单预习，了解要讲的大致内容;课后要复习。

特别注意理论的完整性。

多数数学课程在具有不同尺度上的理论体系。

全部数学课程是个体系，每门课程又是个子体系，课程中每章又自成体系，而教师组成材料时往往让每次课也有一定的完整性。

其次，做俄国习题集的题目。

想要学好数学，必须多做练习。

完成教师布置作业后仍有余力，应该把教材上比作业难的题目也都做了。

在此基础上，我建议从俄国的习题集中找题目做。

这出于两方面的考虑。

其一，俄国的数学教学体系与中国的很接近，更准确地讲现在中国的教学体现主要是因袭俄国的，因此比较便于与课堂教学同步练习。

其二，俄国很多教材没有习题或仅有很少的练习，因此必须配套专门的习题集;往往是一本习题集要配不同的教材，所以习题集的内容很丰富。

当然，俄国习题集的缺点是题目太大有些是比较机械的重复性练习。

最好有内行指点使用。

第三，阅读英文教材。

真正的数学概念是超越语言的，因此用不同的语言思考数学问题，有助于理解的深入。

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第十九章函数知识点1 常量与变量学习目标：1.了解常量与变量的概念，掌握常量与变量之间的联系与区别.2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.重点：能够区分同一个问题中的常量与变量.难点：用式子表示变量间的关系.一、知识链接1.人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性），如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”：、、 .同时用“数”来表明“量”的大小.2.写出路程（s）、速度（v）、时间（t）之间的关系： .二、新知预习1.小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0．2元／支，总价y元随铅笔支数x的变化而变化，在这个问题中，变量是________，常量是________.2.圆的面积S随着半径r的变化而变化，已知它们的关系为:错误！未找到引用源。

2r=,Sπ在这个问题中，常量是，变量是 .3.自主归纳：变量：在一个变化过程中，数值________的量为变量.常量：在一个变化过程中，数值________的量为常量.三、自学自测1.指出下列关系式中的常量和变量.（1）长方形的长为2，长方形面积S与宽x之间的关系S=2x；（2）一批香蕉每千克6元，则总金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为y=6x.2.一名运动员以8米/秒的速度奔跑，写出他奔跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的关系式，并指出其中的变量和常量.四、要点探究探究点1：常量与变量例1：你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?（1）填空：当圆的半径为10cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为20cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为30cm时，圆的面积为 cm2；当圆的半径为r时，圆的面积S= ；（2）在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．探究点2：确定两个变量之间的关系例2.弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 L(cm)?要点归纳：在一个变化过程中，数值发生变化的量为，数值始终不变的量为 .方法总结:区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.知识点2 函数学习目标：1.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系．2.能根据简单的实际问题写出函数解析式，会根据函数解析式求函数值.3.会确定自变量的取值范围．重点：掌握函数的概念，能根据简单的实际问题写出函数解析式．难点：会确定自变量的取值范围．一、知识链接1.什么叫常量、变量？二、新知预习1.汽车离开A站5千米以后，以40千米/时的平均速度行驶了t小时,汽车离开A站所走的路程为s千米,请先填写下表:观察填出的表格,会发现:每当行驶时间t取定一个值,汽车离开A站所走的路程s就________________.2.李老师用100元购买7元/件的某种商品，观察他剩余的钱y(元)与购买这种商品的数量x(x ≤14)之间的关系: 当x=5时,y=____；当x=12时,y=____。

从中可以看出：每当李老师购买这种商品数量x(x≤14)取定一个值时，他剩余的钱y(元)就_________________.3.自主归纳：（1）函数的概念：在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有与它对应，那么我们就说是自变量，是的函数.（2）函数值：如果当x=a时y=b，那么叫做当自变量的值为时的函数值.三、自学自测1.下列变量间具有函数关系的是： .（填序号）①正方形的周长与边长；②等腰三角形的底边长与面积；③电费单价一定，居民某天的电费与用电量；④北京某天的气温与时间。

2.右列式子中：y是x的函数的有 .（填序号）①y=|x|；②x+1=|y|；③y=x2-2；④y=四、要点探究探究点1：函数的概念例1.下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3y =x2+3y =2|x|；④y=⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是．例2.已知函数421x y x -=+. (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x 取什么值时，函数的值为0.探究点2：自变量的取值范围例3.下列函数中自变量x 的取值范围是什么？（1）y=3x+1；（2）12y x =+；（3）y =4）y =.方法总结:①判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应。

②求函数值，直接把自变量的值带入函数关系式中计算即可；求自变量的值，需把函数值带入函数关系式中，得到关于自变量的方程，然后解方程.③确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.知识点3 函数的图象学习目标：1.理解函数的图象的概念；2.掌握画函数图象的一般步骤，能画出一些简单的函数图象；3.能根据所给函数图象读出一些有用的信息。

重点：函数图像的意义及画法。

难点：能根据所给函数图象读出一些有用的信息。

一、知识链接在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对来表示.即坐标平面内的与有序数对是一一的。

二、新知预习1.(1)正方形的面积S 与边长x 的函数解析式为，其中自变量x 的取值范围是。

（3）根据S 与x 的每组对应值在平面坐标系中描出点（x,S ），并用光滑的曲线将这些点连起来.知识要点：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的．三、自学自测试画出函数y=2x 的图象，并判断点（2,1、（1,2）、（-2,4）、（-3.5,-7）是否在该函数图象上.方法总结：判断点是否在函数上，通常的方法是把点的横坐标（即自变量x ）的取值代入解析式求出相应的函数值y 值，看是否等于该点的纵坐标，如果等于，则该点在函数图象上；如不在，则该点不在函数图象上。

四、要点探究探究点1：函数的图象例1：画出下列函数的图象：（1）y=2x+1；（2）6yx .探究点2：实际问题中的函数图象例2：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化。

你从图象中得到了哪些信息？（1）从这个函数图象可知：这一天中气温最低（）, 时气温最高（）；（2）从至气温呈下降状态，从4时至 14时气温呈上升状态，从至气温又呈下降状态.（3）从图象中可以看出这一天中任一时刻的气温。

要点归纳：画函数图象的一般步骤：第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其；第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为，相应的函数值为，描出表格中数值对应的各点；第三步：连线——按照横坐标的顺序，把所描出的各点用连接起来。

方法总结：解答图象信息题主要运用数形结合思想,化图象信息为数字信息.主要步骤如下:(1)了解横、纵轴的意义；(2)从__________上判定函数与自变量的关系；(3)抓住图象中端点，拐点等特殊点的实际意义。

知识点4 函数的表示方法学习目标：1.了解函数的三种表示方法及其优点；2.能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系；3能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论。

重点：会表示简单实际问题中的变量之间的函数关系。

难点：能对函数关系进行分析。

一、知识链接1.什么是函数、自变量？画一个函数的图象一般有哪些步骤？二、新知预习1.购买一些铅笔，单价为1.5元/支，总价y元随铅笔支数x变化.（2）写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）在平面直角坐标系中画出函数图象；2.自主归纳：函数的表示方法有、、。

三、自学自测1.一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（）.2.据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是。

探究点：函数的表示方法问题1：右图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，气温T是不是时间t 的函数？这里是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？问题2：正方形的面积S与边长x的取值如下表，面积S是不是边长x的函数？这里是怎样表示正方形面积S问题3：某城市居民用的天然气，１m3收费2.88元，使用x（m3）天然气应缴纳的费用y（元）为y = ____________． y是不是x 的函数？问题4：以上三种表示函数的方法各有什么优点？要点归纳：1.____________法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系。

2.____________法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系。

3.____________法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律。

知识点5 正比例函数学习目标：1.理解正比例函数的概念；2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题。

重点：正比例函数的概念及其简单应用；难点：会求正比例函数的解析式。

一、知识链接1.若香蕉的单价为5元/千克，则其销售额m （元）与销售量n （千克）成比例，其比例系数为 .2.举例说明什么是函数及自变量。

二、新知预习1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式： 1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化。

2）铁的密度为7.8g/cm 3,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm 3）的变化而变化。

3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化。

4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体问题T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化。

5）以上出现的四个函数解析式都是常数与自变量的形式。

2.自主归纳：一般地，形如（k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。

三、自学自测1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？2(1)3;(2)21;(3);(4);(5)π ;(6).2x y x y x y y y x y x ==+=-===2. 回答下列问题：(1)若y=(m-1)x 是正比例函数，m 取值范围是； (2)当n 时，y=2x n 是正比例函数；(3)当k 时，y=3x+k 是正比例函数.四、要点探究探究点1：正比例函数的概念问题1：正比例函数的定义是什么？需要注意哪些问题？例1：已知函数 y=(m-1)2m x是正比例函数，求m的值。