将数形结合思想渗透于初中数学教学中
数形结合思想在初中数学课堂教学中的渗透
反 比例 函 数 的 解 析
式 与 图象 ， 反 比例 函
数 的 性 质 与 应 用 二 次 函 数 的 解 析 式
数 与形之间 的一一对 应关 系， 把抽象 的数 学语言 、 数量关 系与直
观 的几何 图形 、 位 置关 系结合起 来 ， 通过 “ 以形助 数” 或“ 以数 解
形” ， 即通 过抽象思维 与形象思维 的结合 ， 使复杂 问题 简单化 ， 抽
七（ 下） ５ 利 用 面 积 法 推 导 乘 ４乘 法公式（ １ ） （ ２ ） 合作 学习 法公式
．
面进 行剖析 ， 使 学生充分认 识到“ 数” 和“ 形” 之 间的 内在联 系， 把 问题化繁 为简、 化难为 易， 使 学生在 学习数 学知识 时， 充分 了解和 掌握数形 结合这种解 决问题 的策略和方法。 关键词 ： 数形结合 ； 必要性 ； 数 学教 学； 数学学 习 中图分类号： Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 文献标识码： Ａ 文章编号： １ ９ ９ ２ — ７ ７ １ １ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ３ — ０ １ １ ８
生 旦 中 学课哥 ｛ 辅哥
数形结合思想在初中数学课堂教学中的渗透
＠ 廖 献 祥
摘要 ： 数形 结合既是 一种 重要 的数 学思想 ， 也是 一种 常用的
数 学方法。本文结合教 学实际和笔者 自身的 实践经验 ， 对数 形结
合 的认 识 进 行 了 阐述 。 从数转化为形 、 形 转化 为数 、 数 形 结 合 三 方
Ｄ Ｅ ＝ ２ ， Ｂ Ｄ ＝ １ ２ ， 设Ｃ Ｄ ＝ ｘ 。
１ ． ４绝 对值
例２
求 绝 对值 等 于 ４的数
１ ． ５有 理 数 的 大小 比较 合作学 习 利 用数 轴 比较 有理 数 的 大 小
初中数学教学数形结合思想的渗透
初中数学教学数形结合思想的渗透
数形结合思想是数学教学中的一种重要的教学理念，是指将数学和几何图形相结合，通过对几何图形的认识和操作，帮助学生理解和掌握数学知识。
数形结合思想的渗透对初中数学教学具有重要的意义，可以提高学生的数学思维能力、操作能力和创新能力。
数形结合思想的渗透可以通过以下几个方面来实现：
第一，通过数学问题引入几何图形。
在初中数学教学中，可以通过提出实际生活中的问题，引导学生将问题转化为几何图形的问题。
在教学圆柱体的表面积时，可以引导学生思考如何计算某个圆柱体的油漆的量，从而引出圆柱体表面积的概念。
通过这种方式，学生能够将数学知识与实际问题相结合，增加学习的兴趣，提高学习的效果。
通过几何图形展示数学知识。
在初中数学教学中，可以通过绘制几何图形的方式，展示数学知识的抽象概念和性质。
在教学平行线的性质时，可以通过绘制几个平行线和相交线的图形，让学生观察图形，发现平行线的特点，从而理解平行线的定义和性质。
通过这种方式，学生能够通过几何图形来感知和理解数学知识，提高对知识的认识和掌握。
第四，通过数学问题与几何图形相结合，培养学生的创新能力。
在初中数学教学中，可以通过提出一些开放性的数学问题，让学生在解决问题的过程中进行几何图形的操作和思考。
在教学平均数时，可以提出一个如何把一个长方形划分成若干个相等的正方形的问题，让学生自行思考和解决。
通过这种方式，学生能够锻炼自己的思维能力和创新能力，培养解决问题的能力。
数形结合思想在初中数学教学中的渗透_1
数形结合思想在初中数学教学中的渗透发布时间：2022-05-17T08:54:28.425Z 来源：《中国教师》2021年11月33期作者：刘宜卫[导读] 初中数学是奠定数学基础的关键时期刘宜卫滨州经济技术开发区第一中学山东省滨州市 256600摘要：初中数学是奠定数学基础的关键时期，与小学数学相比，初中数学难度增大，需要更加有效的解题方式才能够增强数学解题能力。
“数”和“形”是数学中基本的概念，两者是对立统一的，在对空间形式和数量关系进行分析时更能够增强理解效果。
通过数形结合更好地将数字和空间形式灵活的转换，彼此相互联系，相互作用，增强问题解答的效果。
所以，通过进一步了解数形结合思想的应用方法，能够提高数学教学有效性。
关键词：数形结合；初中；数学引言初中数学有其自身的学科特点，为了培养学生独立自主思考能力，增强学生的应用效果，就需要将数形结合思想渗透到当前的教学过程中，更好地培养学生学习能力。
所以，进一步加强数学概念，对数学知识、教学重点和难点之间的综合把控，将当前数形结合的思想渗透到数学教学的各个过程中，从而提高课堂教学效果现学生数学能力。
1数形结合思想在初中数学中作用在初中教学过程中，需要加强“数”和“形”的结合，只有将二者有机结合到一起，才能更好的帮助学生决数学知识。
初中数学的难度突然增大，如果仅以传统的数学解题方式对待不同的题目，这样就无法提高学生的数学思维。
而将“数”和“形”之间得到相互转化，更好的解决不同的数学问题。
所以，近年来数形结合思想是一种重要的解题方式，使初中学生的解题能力得到提升，不断增强综合思维应用效果。
初中数学主要是通过数的计算和形的认识，数形结合更好地实现数量关系和图形性质之间的有机结合，将抽象的数学关系变得更加直观，通过结合不同的图形内容，提高学生的数学学习能力。
例如：八年级在学习《平面几何》的过程中，传统学生只是进行数字的计算，而对于图形很难深刻的进行理解，如果孤立的观看图形，就难以解答当前的抽象数学概念，只有把图形更加形象化、简单化和直观化，才能够解决多种不同的数学问题。
数形结合思想在初中数学教学中的渗透研究王筱婵
数形结合思想在初中数学教学中的渗透研究王筱婵发布时间：2021-04-09T15:15:31.803Z 来源：《文化研究》2021年4月下作者：王筱婵[导读] 数形结合教学思想在初中数学的教学课程当中应用的相当广泛，一方面是由于数学学科自身的内容教学当中，大部分的内容都可以借助图形来帮助学生的理解，同样可以通过这种教学方法的应用，来实现对学生数学逻辑思维的有效锻炼。
数学教师可以通过数形结合教学思想的应用，来帮助学生更加具体地掌握解题思路和方法，在采用有效教学策略的帮助之下，实现教学课程当中数形结合应用思想的优势发挥，在数形结合教学应用的过程，积极探究有效黑龙江省讷河市城南中心学校王筱婵摘要：数形结合教学思想在初中数学的教学课程当中应用的相当广泛，一方面是由于数学学科自身的内容教学当中，大部分的内容都可以借助图形来帮助学生的理解，同样可以通过这种教学方法的应用，来实现对学生数学逻辑思维的有效锻炼。
数学教师可以通过数形结合教学思想的应用，来帮助学生更加具体地掌握解题思路和方法，在采用有效教学策略的帮助之下，实现教学课程当中数形结合应用思想的优势发挥，在数形结合教学应用的过程，积极探究有效的教学实践策略来达到教学效果的优化。
关键词：初中数学；数形结合；教学渗透一、引言新课程改革教学实践的不断深入发展，对初中数学的课堂教学提出了新的培养要求，为了实现课堂教学效率和学生学习效率的同步提高，在初中数学的课堂构建过程当中，不能忽视对学生数形结合思维能力的有效培养，因为只有在学生几何图形思维能力的推动之下，才能够实现学生的课堂学习表现来助推教师的课堂教学活动，共同实现高效课堂的成功构建。
而且对于数学学科当中的数形结合思想培养要求，也是符合新时代教学环境当中对学生学科核心素养的综合培育，在这一要求的指导之下，来推动初中数学的教学课堂能够通过采取有效的教学策略实现自身满足新型教学环境的新任务。
二、提出背景分析（一）新课程实施的新型环境在新课程实施的教学环境之下，初中数学的课堂教学模式在突破传统教学模式的局限性过程，可以得到更加有利的发展空间，同时也可以受益于新课程所更新的教学理念来指导新式数学课堂的设计，从而让初中数学的课堂构建更有利于激发学生的数学思维。
数形结合思想在初中数学教学中的渗透探究
数模型（ 主要是方程、 不等式或函数模型） ２建立几何模 。） （ 型（ 数图象） 或函 解决有关方程和函 数的问 题。（） ３与函数 有关的代数、 几何综合性问题。 ） 象形式呈现信息的 （ 以图 ４
应用性问题。数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终 ，
练运用数学思想和数学方法是检验例题教学成败的一个 重要标准。 其实， 数学课本中的好多例题， 都蕴含了丰富的
需要多阶段 、 多层次地进行。深入分析数学概念中渗透 的 数学思想方法是理解掌握数学思想方法的一个重要手段。 教师通过引导学生 ， 找出事物之间的共 同本质属性并用词 语把它表示 出来 ， 使学生获得概念、 体会数学思想和方法。
２ ． 通过例题分析 ， 示数 学思想方法。例题是展示数 展
关键 词 ： 中数 学 ； 形 结合 ； 学 能 力 初 数 数
中图分类号 ： ３ ． 文献标识码 ： 文章编号 ：０ ９ ０ Ｘ（ ０ ）５ ０ ５ — ３ Ｇ６ ３６ Ａ １０ — １ ２ １ ０ — ０ ３ ０ Ｏ １
推行素质教育， 培养面向新世纪的合格人才， 使学生
具有创新意识 ， 学会学习， 学会创造 ， 教育应更多的关注学
、
在数学实践活动中， 学生理解了“ 、 函数 观察和转化、 试验” 的数学思想和数学方法 ， 深深体会 了数学思想方法
口
１３ ６ ， ，… 。
的价ห้องสมุดไป่ตู้ 。 三、 数学教学中渗透数形结合与学生数学能力的关系
１ 透数形结合的思想 ， 渗 养成用数形结合分析 问题的 如第一个图形有一个小正方形 ， 第二个图形有三个小 正方形 ， 第三个 图形有六个小正方形 ， 那么第四个图形将 有几个小正方形呢？从前三个中寻找规律 ， 第二个比第一 个多两个小正方形，第三个比第二个多三个小正方形 ， 那 么第四个就比第三个多四个小正方形， 四个图形就有十 第 个小正方形， 第五个比第四个多五个小正方形 ， 那么第五 个就有十五个小正方形 ， 依次类推， 第六个图形就有二十
浅谈初中数学教学中数形结合思想的渗透――以勾股定理教学为例
浅谈初中数学教学中数形结合思想的渗透――以勾股定理教学为例摘要：数学是一门较难的课程，很多学生会因为自身的空间形象能力不足，逻辑思维不够而无法掌握其中的知识。
但是在新课改的影响下，在教学中教师越来越注重数学思想的渗透。
数形结合在教学中的应用尤为广泛，尤其在勾股定理教学中。
为此，教师从勾股定理这一部分的内容出发，对如何渗透该思想进行了分析。
关键词：初中数学；数形结合；勾股定理在本文中，笔者以勾股定理的教学为例，探讨数形结合思想在初中数学教学中的渗透途径与应用策略。
勾股定理是初等几何领域的重要定理，是数学家利用代数思想来表述和解决几何问题的伟大尝试。
一、以“课前导入”教学环节为平台渗透数形结合思想好的课前导入不仅活跃课堂氛围，还能引发学生思考。
在勾股定理教学中，教师采用故事导入与问题导入相结合的方式，实现数形结合思想的渗透。
具体教学设计如下：首先，教师在大屏幕上呈现著名的“毕达哥拉斯定理图片”，让学生观察图片中三个正方形的面积关系，以及三个正方形组成的三角形的三边关系。
到目前为止，无论是正方形的面积还是三角形的三边在学生的头脑中都只是直观的印象，学生的思维停留在“图”的阶段；其次，教师大概讲述毕达哥斯拉通过观察朋友家的地砖图案发现了直角三角形三边之间特殊的数量关系的故事。
在故事的启发下，学生的头脑中开始建立“图”与“数”的关系，萌生数形结合的想法；再次，教师要求学生再次观察图形，并尝试利用数量关系，论证三个正方形的面积关系。
于是，学生开始尝试通过“数数法”或者“割补法”来建立两个小正方形与一个大正方形之间的面积关系式，并得出“两个小正方形的面积和等于大正方形面积”的结论。
通过上述教学设计，教师引导学生在“形”中发现“数”的关系，再由“数”的关系判断“形”的类型，从而以课前导入环节为平台，实现数形结合思想的渗透与应用。
二、以“新知呈现”教学环节为平台渗透数形结合思想在勾股定理的新知呈现环节，教师可以进行以下教学设计：首先，在新情境中提出新问题。
在初中数学教学中渗透与应用数形结合的思想方法
数 轴 的 引 入 是 有 理 数 内 容 体 现 数 形 结 合 思 想 的力 角 为 ４ 。 。 ５
量 源 泉 。 由于 对 每 一个 有 理 数 ，数 轴 上 都有 唯 一确 定 的 ４ 重视实践经验在应用题 中的作用 ，变课堂教学 点 与它 对 应 ， 因此 ，两 个 有 理 数大 小 的 比较 ，是通 过 这 为 实 践 活 动 两 个 有 理 数在 数 轴 上 的对 应 点 的位 置 关系 进 行 的 （ 实数
相 映生辉 。 在 教 学 中渗 透 数 形 结 合 思想 时 ，应 让 学 生 了解 ，
所 谓 数 形结 合 就 是找 准 数 与形 的契 合 点 ，根 据对 象 的属
数 形 结合 的思 想 方法 ，不 像 一般 数 学 知识 那 样 ，通 性 ，将数 与 形 巧 妙地 结 合 起来 ，有 效 地相 互 转 化 ，就 成 过 几节 课 的教 学就 可 掌握 。它 根 据 学生 的年龄 特 征 ， 学 为 解 决 问题 的关 键所 在 。数形 结 合 的 结合 思想 主 要体 现 生 在 学 习 的各 阶段 的认 识水 平 和 知 识特 点 ，逐 步 渗 透 ， 在：１ ）用 方 程 、不等 式或 函数解 决有 关 几何 量 的 问题 ； 螺 旋上 升 ，不 断地 丰 富 自身 的 内涵 。教 师 要通 过 对 于 典 ２ ）用几 何 图形或 函数 图象解 决有 关方 程 或 函数 的 问题 ； 型 例题 的选 取 ，有 针 对性 地 进 行 教学 ，使 学生 在 学 习 中 ３ ）解 决一 些 与 函数 有 关 的代 数 、几 何综 合 性 问题 ；４ ） 慢 慢感 受 和体 会 数 形 结合 思 想 对 于解 题 的 帮助 。数 是数 以图象形 式 呈现 信息 的应 用性 问题 。
数形结合思想在初中数学教学中渗透
数形结合的思想在初中数学教学中的渗透摘要：在初中数学教学中，代数知识与几何知识是紧密相连的，因而，教师培养学生数形结合的思想至关重要。
数形结合，其实就是指把抽象的数学语言与直观的图象进行有机结合，使代数问题能与图形相互转化，从而使几何问题代数化或代数问题几何化。
这是研究数学教学的一种极为重要的方法，主要强调将精确刻画的代数知识与形象直观的几何知识统一起来，将抽象思维与形象直观结合起来的一种数学思想方法。
关键词：初中数学；课堂教学；数形结合；抽象思维；形象直观数形结合的思想贯穿于初中数学的整个教学过程，是学生学习数学的重要方法。
数形结合的思想主要体现在以下几方面：（1）建立代数模型，如方程模型、不等式模型、函数模型等。
（2）通过几何模型来解决相关方程或函数问题。
（3）与函数相关的代数和几何的综合性问题。
（4）通过图象的方式来呈现信息的应用问题。
如果教师在教学中善于培养学生的数形结合思想，将数与形进行巧妙的结合，无疑能使数学教学达到事半功倍的效果。
一、有效培养学生利用数形结合的思想分析问题的意识其实数与形的结合在实际生活中随处可见，比如，刻度尺及其刻度，温度计及其显示的温度，每天行走的路线等等。
教师在数学教学中要善于将这些生活中的数形结合迁移到课堂教学中，充分对学生进行数形结合思想的渗透，从而有效培养学生用数形结合的思想来分析问题。
当然，培养学生用数形结合的思想来分析问题，还应在结合生活实际的基础上充分挖掘教材，在课堂教学中对这种思想进行有效渗透。
比如，初中数学教学中第一个数形结合的实例——数轴，它是形（即直线上的点）与实数之间建立的一一对应关系，有效揭示了数与形之间的内在联系。
再如，平面直角坐标系与函数这一知识点，也是初中数学知识中数形结合的典型。
平面直角坐标系是将其中的“点”与“有序实数对”进行对应，从而将数与形有机统一起来，为数学问题的研究开创了新道路。
函数本来就是初中数学的一个教学重点兼难点，同时也是数形结合的思想方法体现得最为典型的一个知识点。
在初中数学教学中渗透数形结合思想
间 的 大 小 关 系
个数为 １ ＝ １ ‘ ； ②前两层的 圆圈个数 总和为１ ＋ ３ ＝ ４ ＝ ２ ‘ ； ③前三层
的圆圈个数总和为１ ＋ ３ ＋ ５ ＝ ９ ＝ ３ ‘ ；④前 四层 的圆圈个数总和为
在 初 中 数 学 教 学 中 渗 透 数 形 结 当 日合 口， 思 想
叶建 平
（ 安 溪 县 参 内 中学 ， 福建 安溪 摘 要 ： 数 形 结 合在 教 学 及 生 产 生 活 实 践 中有 着广 泛 的 应 用 ，通 过 这 一 重要 的 方 法 ，诸 多数 学 问题 成 功 地 得 到 了解 决。 数 形 结合 是 初 中教 学 学 习过 程 中一 个 重要 的数 学思 想 ， 作 为培 养 学 生 数 学 能 力 的 最 重 要 的 一 个 环 节 ， 它贯 穿 于 教 学 的
长 短 的 比较 。
、
２ ． 用有 序实 数 对 表 示 在平 面直 角 坐 标 系 内 的 点 的位 置 。 ３ ． 用 数 式 来 描 述 点 与 圆 的位 置 关 系 ． 直 线 与 圆 的 位 置 关 系， 圆 与 圆 的位 置 关 系 ， 直 线 与 直 线 的位 置 关 系 ［ ３ ］ 。
如 华 东 师 大 版 义 务 教 育 教科 书《 数学》 七年级上册第８ ０ 页 第２ ５ 题， 我 们 从 图（ 中可 看 出 第 一 层 有 １ 个小 圆圈， 第 二 层 有３
个 圆圈 ， 第三层有５ 个圆圈……（ 以此类推 ） 。①第一层 的圆圈
务。 如 图① ： 已知 有 理 数 ａ 、 ｂ 在 数 轴 上 表示 的点 如 图 ， 借 助 数 轴
数形结合思想在初中数学教学中渗透
浅析数形结合思想在初中数学教学中的渗透摘要：数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，数形结合的思想方法贯穿初中数学教学的始终。
在教学中逐步渗透数形结合的思想，“以形助数”“以数辅形”，发展学生思维，培养学生数形结合的意识，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
关键词：数形结合；渗透；分析问题；解决问题基础教育课程标准要求教学活动应帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
随着新课程改革的深入，不仅要注重学生的基础知识、基本技能，更要注重学生能力的培养。
在基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数形结合的思想和方法贯穿初中数学教学的始终。
在教学中逐步渗透数形结合的思想，是培养学生分析和解决数学问题能力的有效途径。
数形结合是“以形助数”和“以数辅形”的一种数学思想方法。
数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。
”数形结合的思想方法把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象思维相结合。
初中数学数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型）解决有关几何问题；（2）建立几何模型（或函数图像）解决有关方程和函数的问题；（3）与函数有关的代数、几何综合性问题；（4）以图像形式呈现信息的应用性问题。
教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，是提高学生数学能力的一个切入点。
一、渗透数形结合的思想，养成用数形结合分析问题的意识日常生活中的图形知识，如学生手中的刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，运动场上的100米跑道，教室里每个学生的坐位；初中教材中的数与数轴；有序实数对与平面直角坐标系；一元一次不等式的解集与一次函数的图像；二元一次方程组的解与一次函数图像之间的关系等都渗透了数形结合思想。
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用数形结合思想是一种把数学问题和几何问题结合在一起的思考方法，它在初中数学教学中具有非常重要的应用价值。
本文将从几何图形的计算和应用、算术与代数的联系和分析证明等方面探讨数形结合思想在初中数学教学中的应用。
一、几何图形的计算和应用数形结合思想最常见的应用就是在几何图形计算中，它能够将一个抽象的数学概念通过几何图形形象化，使学生更加易于理解和记忆。
比如，平面图形的面积、周长和体积就是典型的数形结合题目。
例如，在计算矩形面积时，可以让学生想象一个由两条平行边和两条垂直边组成的图形，并通过单位面积上的方格个数来进行计算，这样可以增强学生的空间感。
另外，在应用层面，数形结合思想也可以帮助学生更好地理解并解决实际问题。
例如，在解决班级容量问题时，可以通过将教室平面图形和学生个数进行相互转化，进而得出容量结论。
二、算术与代数的联系数形结合思想还可以帮助初中学生更好地理解算术与代数之间的联系。
代数式本质上是一个良好的抽象概念，但它对初中学生来说可能过于抽象，难以理解和记忆。
而数形结合思想则可以将代数式与几何图形结合，使它更加形象化，加深学生的记忆和理解。
例如，学生在学习一元二次方程的解法时，可以通过将代数式与抛物线图形相结合，让学生更好地理解函数图像的形态和方程解的特点，使学生更加清晰地理解一元二次方程。
三、分析证明在学习初中数学时，学生需要学会进行基本的分析和证明，通过形式化的证明来加深对数学知识的理解。
数形结合思想同样可以用于这个过程。
例如，在证明一些基本几何公式时，可以先从几何图形出发，通过简单的数学运算和推导得到推论，然后再用代数式进行加强。
这样既可以使证明更加清晰，也可以帮助学生知道什么时候可以用数学公式来代替几何图形，什么时候需要进行证明。
数形结合思想在初中数学教学中的渗透研究
探索篇誗教学研究数形结合思想在初中数学教学中的渗透研究杨登银（甘肃省庆阳市环县木钵初级中学，甘肃庆阳）数形结合是数和形之间的转化过程。
在数学教学中，由于部分内容比较抽象，通过数形结合可以让学生对数学知识有更加深入的理解。
数形结合可以有效帮助学生完成新知识体系构建，对旧知识体系进行迁移，如在函数、有理数、方程等内容教学中应用较为广泛，能有效加强对学生的数学思维培养，让学生可以对数量关系和空间形式之间的关联进行更好的研究，对数学知识学习规律进行探索，养成良好的学习习惯，提升学生数学核心素养[1]。
一、数形结合思想在数学几何图形教学中的渗透在数学几何图形问题解决中，内容相对比较抽象，这也是初中数学教学的重难点问题，学生在解决几何图形问题时相对比较吃力。
为了更好地让学生对数学几何图形相关知识有深层次的理解，教师在实际教学中要尽量避免用纯理论的语言来进行描述，而是要通过数形结合的方式让学生产生具体思维[2]。
如在“等腰三角形的轴对称性”教学中，教师可以让学生先对旧的知识点进行巩固，回忆平分线和中垂线等知识，为了让学生理解等腰三角形的轴对称性，可以让学生先根据旧的知识点画出三角形的角平分线，在沿着角平分线对三角形对折时，可以看到三角形两边的角是重合的，从而理解等腰三角形的轴对称性这个概念。
在教学中很好渗透了数形结合的思想，将抽象的数学知识变得形象具体，在课堂教学中充分实现了数形结合，有利于帮助学生建立直观的数学思维，提高数学教学效率。
二、数形结合思想在数学方程求解教学中的渗透方程在初中数学教学中所占比重较多，也是中考的常考题型，学生在列方程时很难找到数量间的关系。
为了便于学生对方程知识的理解，在教学中教师可以渗透数形结合思想，如在一元一次方程教学中，学生在解方程式时经常会出现无从下手的情况，找不到解题思路，常见的题型如：车队在训练时以每小时40km速度前进，其中一个队员加速以每小时50km速度前进，在前面20km处掉头，以每小时50km速度往回骑行，和其他队员会合，问需要经过多长时间才能汇合？在解这类题型时可以通过数形结合的思想，设时间为x，将队员的运动轨迹用线段图来表示，从图形中看到相等关系，再将x代入列出方程式，进行求解[3]。
数形结合,并蒂花开——数形结合思想在初中数学几何教学中的运用
教法研究数形结合，并蒂花开——数形结合思想在初中数学几何教学中的运用刘亚会摘要：数学作为一门集抽象、复杂的特点于一体的学科，对学生思维方式的要求非常高。
但是小学教育对学生的抽象思维培养并不严格，造成学生进入初中学习几何问题是有一定的困难。
初中教师应该对学生进行正确引导，对学生的抽象思维进行培养，利用树形思维融入日常学习。
本文将数形结合思想渗透入初中教学中，让学生对几何图形有更深入的了解和认识。
关键词：思想；几何；数形结合数学几何的教学一直是初中教学的重难点，因为小学知识体系对抽象思维能力的培养并未重视，所以学生在初中的几何学习并不是很应用自如。
初中教师应该有意将数形结合的思想融入到日常学习中，运用正确的方法，用图形结合习题，帮助学生理解，并培养其抽象思维能力。
以下的一些解题方法可供老师在日常教学中加以运用。
一、“树形结合”在三角函数的应用作为初中知识的重难点之一，三角函数的相关知识点对于初中学生来说无疑是陌生而又有难度的。
理解三角函数的定义，厘清变量之间的关系对于接触函数时间不长的初中生来说是很有难度的。
教师应转变教学方法，以学生不抵触较为有难度的知识点为目标，尽量通过简单的、容易理解的方式为学生讲解。
“数形结合”是有利的方法之一。
例如：只有通过“数形结合”的思想，才能将三角函数问题形象化，体现在图中有助于学生定量分析，将抽象化为具象。
三角函数利用数形结合的思想的难点在于，正确引导学生分析各个变量，以及三角函数在三角形中表达的含义。
学生再解决三角函数相关问题时能够养成画出相应三角形解决问题的习惯，例如在刚开始接触三角函数概念时，需要记忆余切,正切等相关概念，利用三角形辅助，帮助学生理清概念，记忆深刻。
图形的介入会使抽象的函数问题较为具体地呈现出来，例如通过求反比例函数中图形的面积问题，教师可以引导学生从较为简单和方便的方式辅助学生，并且发现反比例函数的性质和变量之间的关系。
二、利用“数形结合”解决几何问题对于初中学生来说，强调抽象思维的几何知识一直是学习中的重难点，要求学生有能力完成“数”与“形”的相互转换。
浅谈数形结合思想在初中数学教学中的渗透
方程组及不 等式 【 例２ 】 用画 函数 图像 的方法解不 等式 ５ ｚ ＋４ ＜２
＋１ ０ ．
［ １ １ ５ ￣ ０ 晓纲 ， 张守波． 数形结合 思想及“ 以形解数 ” 模 式Ｆ Ｊ ］ ． 锦 州师范学院学报 ， ２ ０ ０ ３ （ １ ） ． ［ ２ ３ 张志淼． 数 学 学 习与数 学思 想方 法 ［ Ｍ］ ． 郑 州：
何一种几何图形也必定包含一些数量关系．
“ 以数 解 形” ， 即把 几 何 问 题
｜
初 中阶段开始接触数轴 与直角 坐标 系 ， 而直角 坐标 系的建 立 ， 使 点与 坐标建立 了一一对 应 的关 系 ， 使方 程 与 函数 图像 能够相 互转换 、 相互表示 ， 从而 奠定 了数 与 形相结合解决 问题的基础． 通过对初 中数学知识以及教学 的研 究 ， 我认 为数形
１ ． 数 轴 上 表 示数
它， 则 ， ２ ７ 。 一３ ｚ ＋２ 一Ｏ 解得 ： 函 一１ ， ｚ ２ —２ ；
．
‘
．
。 ． ．
Ａ（ １， ０ ）， Ｂ（ ２， Ｏ） ．
待解决 的问题 中以字母代替数 ， 没有办 法利用数字 的大小来对它们进行 比较 ， 如果把这 些字母按 照大小在 数轴上 表示 出来 ， 根据数轴的特点通 过观察 就能很直 观
【 例１ 】 非零有理数 ａ ． ｂ ， 如果 ａ ＞ｂ ， 且ｌ ａ Ｉ ＜Ｉ ｂ ｌ ， 则你 分析 ： ｎ 、 ｂ 是两个 非零 的有理 数 ， 可 以是 负数 ， 也 可
初 中数学教学 中我 们常遇 到 的数形 结合 思想 就有
能比较 ａ 、 ｂ 、 一。 、 一６ 这四个数的大小吗？说说你的想法． 以是正数． 根据 ａ ＞ｂ ， 且ｌ ａ ｌ ＜ｌ ｂ ｌ 可知 ， ａ为正数 ， ｂ 为 负 数． 在数 轴上表 示 出 ｎ ， ｂ的大概 位置 ， 这 样 就很 容易 看
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究一、数形结合思想是数学中一个重要的思维方式和方法论，在初中数学教学中，将这一思想运用到教学实践中，可以促进学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力。
本文将结合实例，论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。
二、数形结合思想概述数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学知识和几何图形结合起来，通过图形的特征和性质对问题进行分析和解答的思维方式。
数形结合思想可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念和定理，增强数学思维的感性认识和几何直觉。
三、数形结合思想在初中数学教学中的运用（一）代数和几何的结合初中数学中许多知识点都是代数和几何相互联系的，如平面图形的性质与面积公式的推导、速度、时间、距离等量的换算等。
这时，我们可以采用数形结合的方法，通过几何图形的形式引入代数式，让抽象的代数符号通过图形形象化。
例如，面积公式的推导就是典型的数形结合思想的应用，通过画出一个高为h、底为b的梯形，再将它划分成小矩形，用已经知道的面积公式求得所有小矩形的面积，然后将这些小矩形面积加起来，就得到了梯形的面积公式S=(a+b)h/2。
（二）解决几何问题初中数学中，学生需要掌握许多的几何定理，例如，勾股定理、相似的判定法等几何问题。
这些几何定理和知识对于学生来说可能会感到较抽象，难以理解。
但在实际操作时，我们可以通过数形结合思想的方式，将几何图形与代数运算结合起来，用更加直观的方式解决问题。
例如，在教学勾股定理时，可以将其对应于一个单位圆内一条斜率为k的直线与与x轴垂直的直线所围成的三角形，更加具体地理解未知边长所代表的具体数值，帮助学生直接用数值求解勾股数。
（三）提高解题能力通过数形结合思想，可以更加直观地帮助学生理解和掌握数学知识和技能，从而有助于提高学生解决数学问题的能力。
例如，在解决数列求和问题中，可以引入图形表示数列中每个数的大小和位置，从而帮助学生理解数列求和的规律和方法；在解决方程组问题中，也可以通过图形来表示方程组的解，从而帮助学生直观地理解方程组的解法。
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。
问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。
提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。
学生2：能够遇到5辆。
学生3：能够遇到6辆。
学生4：能够遇到7辆。
教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
浅谈数形结合思想在初中数学教学中的渗透
课改前沿KEGAI QIANYAN90数学学习与研究2019.9浅谈数形结合思想在初中数学教学中的渗透◎李昌旸（武夷山市二中，福建南平354300）【摘要】初中数学教学不仅可以培养学生的数学思维，更能全方位提高学生的个人能力，让学生在生活中灵活运用数学知识．数形结合思想是数学教学中一种重要的教学思想，教师可以通过数形结合的授课形式培养学生的创新能力及自主学习能力．本文对数形结合思想做简要概述，并探讨其在初中数学教学中的渗透应用．【关键词】数形结合；初中数学教学；思想；渗透数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，所以数形结合是解决数学问题的重要方法．“形是数的翅膀，数是形的灵魂”，所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化解决问题的一种重要的思想方法．它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一方面是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；另一方面是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的．其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将代数问题与图形相互转化，从而使代数问题几何化、几何问题代数化．谓数形结合，就是将抽象的数字与直观的图形进行一一对应，从而实现“以形助数”或“以数解形”目的的一种数学思想．数字与图形是数学的基础要素，数是对客观世界数量关系的抽象，而形则是对客观世界各种形状的抽象，离开了数字，图形的大小、位置就难以描述，离开了图形，数字之间抽象关系就变得晦涩难懂，因此数与形从本质上来讲，存在着统一性，而将数形结合，就是将数字具象化，将图形具体化的唯一途径．初中生正处于思维发展的初期，其对于抽象化的数字概念的理解以及对具象化的图形解析常常存在误区，而教师为了提高学生知识掌握的深度以及知识运用的灵活度，就应该在教学实践中渗透数形结合思想，让学生从被动地图形解析，变成主动地构建图形，进而逐渐提高自主学习能力．接下来笔者根据初中数学教学实践对数形结合思想在初中数学教学中的渗透策略进行阐述．一、在有理数教学中让学生尽早接触数形结合初中阶段的数字教学相较于小学阶段有了很大的拓展，教材中不仅对有理数、无理数、相反数、实数等集合进行了分析，更是通过引入数轴，让学生将抽象的数字落实到具体的图形中来．教师在初中数学开始阶段，就应该有计划地对学生渗透数形结合思想，同时结合数轴，让学生进一步理解数字的深刻含义，以及数字之间的关系，例如在相反数的教学中，教师可以利用数轴上关于原点对称的两点的关系进行讲解；而绝对值则可以通过测量数轴上数字到原点的距离确定．二、在不等式（组）教学中挖掘数形结合思想有些学生在不等式（组）的学习中，会习惯性地认为，解不等式（组）的过程就是纯粹的数字运算过程，即使不利用数形结合也依然能够得到不等式（组）解的范围．但是这样的学习难免陷入“知其然不知其所以然”的误区，因此，初中数学教师在教学实践中，应该从深挖知识内涵的角度，充分利用图形的绘制，让学生将不等式（组）还原到平面直角坐标系中去，并通过对阴影部分的观察，让学生理解不等式（组）有无数个解的真正含义．三、利用函数教学重点渗透数形结合思想我们在讲解平面直角坐标系的过程中，会强调坐标系中的点与有序实数是一一对应的，而这种对应关系就是函数形成的基础，可以说函数就是数形结合思想一个最典型的应用，我们在分析某两个变量之间的函数关系时，只有通过对图形的描绘，才能够真正地体会到自变量对因变量的影响，基于此，初中数学教师在函数教学中，应该重点渗透数形结合思想，让学生在一次函数、反比例函数以及二次函数的学习中强化数形结合思想，进而拓展解题思路，提升解题效率．四、在几何知识学习中渗透数形结合在初中阶段几何知识的学习已经不再是简单的计算周长或面积，它需要对图像之间的位置关系进行进一步的探讨．虽然图形直观、具体，但是不同图形之间的具体关系并不是通过观察臆想出来的，它需要借助数字关系的逻辑性加以证明，例如在在勾股定理的学习中，我们只有从数量上找到了三角形三边存在“a 2+b 2=c 2（其中a ，b 是直角边，c 是斜边）”的关系，才能够确定它是直角三角形．因此，初中数学教师在几何教学中，应该正确引导学生运用数量关系来分析图形关系，从而提高图形解析能力．五、在统计学知识中挖掘数形结合思想数理统计是初中教学体系中的重点内容，在教学实践中，教师应该善于引导学生利用数据建立统计图形，例如在平均数的教学中，教师可以给出一组数据，然后让学生在坐标系中描点，再将平均数以直线的方式绘制在坐标系中，让学生很直观地观察到这组数据是沿着平均数周围分布的特征，从而进一步明确数据分布的含义．六、结语采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点．如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，得到事半功倍的效果．数形结合的思想方法，不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握．它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵．总之，“有数无形不直观，有形无数难入微”．在数学体系中，数与形从来都是一个统一的整体，对于初中生而言，培养数学思维远比解出几道数学题要重要，因此，教师在教学实践中，应该注重对学生渗透数形结合思想，让学生逐渐理解数与形之间的关系，并通过具体的教学案例，引导学生根据数字关系灵活建立图形，解答问题，进而提升数学综合素养．【参考文献】［1］朱家宏．初中数学教学中数形结合思想的应用［J ］．科技视界，2015（9）：175．［2］鲁彦坤．浅谈数形结合的思想在初中数学教学中的渗透［J ］．黑龙江科技信息，2011（8）：175．［3］杨艳丽．数形结合思想在初中数学教学中的渗透探究［J ］．教育实践与研究（B ），2011（5）：55．。
在初中数学教学中如何渗透数形结合思想
在初中数学教学中如何渗透数形结合思想华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”这说明了学习数学将数与形结合的重要性，而数形结合是把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种数学思想方法。
也是实现“以形助数”和“以数辅形”的重要途径，对提高学生的思维能力、分析数学问题的能力起着特别重要的作用，实践证明数形结合思想在初中数学教学中尤为重要，笔者根据多年的教学经验，认为在初中数学教学中渗透数形结合思想主要可以通过以下有效途径进行：1. 关注新课程特点，在知识迁移中渗透数形结合思想初中数学新课程中处处都蕴涵着数形结合思想，初中代数与几何是相互渗透和推进的。
在数学知识迁移过程中，让学生逐步了解数形结合思想，理解和应用数形结合思想。
如：华东师范大学版七年级第二章《有理数》借助于数轴直接而有效地阐述了“相反数的定义”、“有理数大小的比较法”以及“绝对值的定义”等，加强了数与形之间的联系，突出了知识形成中数形结合的思想。
在教学“二次函数”时，利用一元二次方程求出两根，即得出抛物线与x轴的交点坐标，体现了数形结合思想；用坐标来确定物体的位置以及坐标与图形的运动、利用图像法求二元一次方程组的解等都是典型的数形结合体现。
2. 密切联系生活，在挖掘新课程中寻求数形结合思想每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，我们每天走过的路线可以看作是一条直线，教室里每个学生的坐位等等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数学数形结合思想的渗透，挖掘课程提供的机会，把握渗透的契机。
如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系等，如《函数及其图像》利用图像解方程组，两个一次函数图像的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系，而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以图像交点的坐标就是方程组的解。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指数学中的数学问题和几何问题相互转化、相互运用的一种思维方式。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要体现在以下几个方面：一、用几何图形解决代数问题在学习代数知识时，许多问题可以通过几何图形来直观地展现。
在解一元一次方程时，可以通过画图的方式来帮助学生理解方程的意义。
教师可以选取和学生相关的实际问题，用几何图形的方式来解决，这样不仅可以让学生更好地理解代数问题的本质，还可以培养学生的数学建模能力。
在学习几何知识时，代数方法也可以被应用到许多几何问题的解决中。
比如在计算几何图形的面积或周长时，可以通过代数式的运算来得到结果。
这种方法不仅简单直观，而且可以加深学生对代数知识的理解和运用。
三、将数学问题转化为几何问题有些数学问题在代数形式下可能比较抽象，难以理解，而将这些问题转化成几何问题时，学生可能会更容易理解和解决。
比如在概率问题中，可以用几何图形来表示事件的发生，从而让学生更加直观地理解概率的概念和计算方法。
在初中阶段，学生学习的数学知识往往和实际问题有着密切的联系。
几何方法在解决实际问题时，不仅可以用来求解图形的面积、体积等几何问题，还可以帮助学生理解实际问题的本质和解决方法。
比如在解决日常生活中的测量、建模等问题时，几何方法的应用可以让学生更好地理解问题的背后数学原理。
数形结合思想的应用不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还可以激发学生对数学的兴趣。
但是在教学中，如果不能很好地将数形结合思想融入到教学实践中，可能会达不到理想的效果。
教师在教学中需要灵活地运用数形结合思想，结合具体的教学内容和教学目标，设计出符合学生学习特点的教学方法。
教师需要结合教学内容，合理设计教学活动。
比如在教学一元一次方程时，可以设计一些与生活相关的问题，并通过几何方法来解决，这样可以让学生更好地理解代数方程的实际意义。
教师需要引导学生学会灵活运用数形结合思想。
在解决数学问题的过程中，学生需要通过分析问题，选择合适的数学工具和方法，从而达到数形结合的效果。
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将数形结合思想渗透于初中数学教学中“数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。
数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。
即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。
华罗庚教授曾精彩地诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”由此可见，数形结合的巧与妙，数形结合的思想方法能扬数之长，取形之优，使得数量关系与空间形式珠联壁合，相映生辉。
因此在数学教学中，注意渗透这方面的思想，引导学生要善于将两者巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。
什么样的题目可以用数形结合法，没有一个标准的、硬性的规定，一般而言，在初中数学中涉及以下一些内容时可用数形结合法，而且往往更有直观、更有效。
一、实数与数轴上的点的对应关系是一种最简单的数形结合数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力证明，因为数轴上的点与实数是一一对应关系。
因此两个实数大小的比较，可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断，相反数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划。
例如：实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示， 化简 11a b b a c c +------= 。
利用数轴的直观性，结合实数绝对值的几何意义，结果易得，体现数形结合在解题中的直观与简明。
此外不等式的解集也很好地反映了数形结合思想。
如求不等式 97x +≥ 的非正整数解。
利用数轴将不等式的解集2x ≥-在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到2x ≥-的数有无限多个，但满足条件的非正整数只有-2、-1、0三个，说明数形结合更能深刻地反映不等式解集的几何意义。
二、应用题的解答可借助数形结合思想甲、乙两地相距23千米，A 从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；B 从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地返回到乙地，若A 、B 同时从甲、乙两地出发，经过5小时后，在他们各自返回的路上相遇，如果A 的速度比B 的速度快3千米/小时，求两人的速度。
分析：这是一道已知条件十分复杂的应用题，将数与形结合，借助图形来分析，就直观、清楚多了。
A 、B 所走的路程可用下图表示：从图中可清楚地看到，A 、B 两人从出发到最后相遇正好共走完了甲、乙两地间距离的3倍，即等量关系为：A 走的路程 + B 走的路程 =23×3。
如果设B 每小时走x 千米，则A 每小时走3x +千米，由于两人途中都停留了一段时间，A 实际走153⎛⎫- ⎪⎝⎭小时，B实际走152⎛⎫- ⎪⎝⎭小时，由此就不难列出方程：()1135523332x x ⎛⎫⎛⎫+-+-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1cba得出()6/x =千米小时，()39/x +=千米小时由此可见，数与形的有机结合，确实能为解题带来方便，它能使抽象的问题形象化、直观化，复杂的问题简单化，两者之间的互助与联通能开辟出解题捷径，是一种有效的解题策略。
三、所求式子结构有一定几何意义时，可用数形结合法。
例1：求和：S =1111124816256+++++ 引导学生观察所求式子，发现后一项均为前一项的12，而12又正好是1的一半，由此想到构造一个面积为1的正方形，再将其不断地等分……如图所示，从而得到S=1－1256=255256(04年全国初中数学竞赛海南赛区初赛试题)例2：已知: 0<a<1,0<b<1.求证此题通过化简不等式左边也可得证，但比较繁杂，可引导学生试用简便些的方法去求解，观察所给代数式的结构，含有明显的几何意义，若能结合不等式左边式子的特点，将数的形式与形的特征联系起来构想，你会发现其形式与勾股定理相吻合，从而想到构造直角三角形，利用“形”的特点来帮助解决“数”的问题。
分析：求证的不等式左边的每一项都可以视为一个直角三角形的斜边，所证的四个二次根式之和大于等于1 的正方形的对角线作出来。
证明：如图，作出边长为 1 的正方形ABCD ，设AH=a ，AE=b ，EF ∥AD ，HG ∥AB ，则有22,),)P A P b a =-APC 中，PA+PC ≥---------① 在△BPD 中，PB+PD ≥---------② 由 ①+②，得PA+ PB+ PC+ PD≥ 此题充分挖掘了数形结合的巧妙构想，发挥了逻辑思维和形象思维的互助功能，这种数形结合思维的训练可以开阔学生的思路，打破常规的思维定势，培养学生细心观察、大胆猜想，善于横纵向思考问题的综合解题能力。
四、函数及其图象巧妙凸现数形结合思想“函数及其图象”是初中数学的一个重要内容，同时也是一个难点内容，有关函数的问题让许多学生感到畏惧。
其实函数与方程、不等式之间有着非常密切的联系，在解题时要善于将它们“牵手”，将它们的“形”与对应的“数”结合起来，往往会使很多棘手问题迎刃而解，且解法简捷、独特。
例3、已知一次函数y ＝kx ＋b(k 、b 是常数，k ≠0)，x 与y 的部分对应值如下表所示，那么不等式kx ＋b ＜0的解集是( )A 、x ＜0B 、x ＞0C 、x ＜1D 、x ＞11-bFD ACE1分析：从表中选取两对对应值x ＝0，y ＝1；x ＝1，y ＝0作为点的坐标，在平面直角坐标系内画出y ＝kx ＋b 的图象，不等式kx ＋b ＜0的解集就是直线y ＝kx ＋b 在x 轴下方部分所对应的自变量x 的取值，由图可知，当y ＜0时，x 的取值为x ＞1，所以不等式kx ＋b ＜0的解集为x ＞1，故选D 。
解此题的关键是将它们对应的形与数结合起来，从形的角度看，是求直线在x 轴下方所对应的自变量的取值范围，从数的角度看，是求不等式的解集。
例4、已知方程x 2－2px ＋10＝0有一个根大于1，另 一个根小于1，求p 的取值范围。
分析：由二次函数与一元二次方程的关系知：方程x 2－2px ＋10＝0的两个根是抛物线y ＝x 2－2px ＋10与x 轴的两个交点的横坐标，因为一根大于1，另一根小于1，所以抛物线与x 轴的两个交点一个在1的左边，另一个在的右边，且开口向上，如图可知当x ＝1时，函数值y ＜0，即12－2p ＋10＜0，故p ＞5.5 此解法利用函数图象的直观性，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，化难为易，充分体现了数形结合解题的有效性。
以上两例是有关函数与不等式、方程的问题，解这类题时要善于将问题中的数与形结合起来进行思考，将抽象思维与形象思维融合在一起，通过“以形助数”“以数解形”的思想策略，揭示出隐含在其内部的几何背景，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体、直观化，从而有效地找到解题途径，达到优化解题的目的，同时也能开阔和发展学生的思维。
五、图形或结论中显现着数式思想例5、如图，用8块大小相同的长方形地砖拼成一个 矩形地面，那么这块矩形地面的面积S ＝ 。
(04年全国初中数学竞赛海南赛区初赛试题)注意观察图形中隐含的数量关系，将对应的数与形结合起来，结果便一目了然。
分析：设长方形的长为x cm 宽为y cm ，则有 x ＋y ＝60x ＝3y 解得x ＝45y ＝15∴ S ＝60×2×45＝5400可见，应用数形结合思想，许多问题都会变得清晰易解.例6、在正三角形ABC 外接圆的弧BC 上任取一点P 求证：①PB ＋PC ＝PA ； ②PB ·PC ＋AB 2＝PA 2分析：此题可利用图形的特殊性和旋转变换特征进行求证，但过程较为繁琐。
若将图形与数量关系结合起来，在"形"中觅"数"，问题便可迎刃而解，且简明扼要。
设正三角形ABC 边长为a ，PA ＝x ，PB ＝y ，PC ＝z ， 在△PAB 和△PAC 中利用余弦定理，有：222222x y xy a x z xz a ⎧+-=⎨+-=⎩ 即：222222x y xy a x z xz a ⎧+--=⎨+--=⎩ 这说明y ，z 是关于u 的方程u 2－xu＋x 2－a 2＝0的两个根。
60cma由韦达定理，有：y ＋z ＝x ，y ·z ＝x 2－a 2 即：PB ＋PC ＝PA ，PB ·PC ＋AB 2＝PA 2此题充分展现数形结合的巧与妙，让学生在“山穷水尽疑无路”时，看到“柳暗花明又一村”的美好景象。
在教学中，注意渗透这方面的思想，灵活将两者巧妙地结合起来用于解决问题，往往会收到事半功倍的效果。
六、数据与图表的关系也映射着数与形的联系；例7、某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创的利润如下表所示：根据表中提供的的信息填空:⑴、该公司每人所创年利润的平均数是 万元。
⑵、该公司每人所创年利润的中位数是 万元⑶、你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平。
答。
（ 答：3.2； 2.1； 中位数。
）分析：图表阅读题的解答隐含着数形结合的思想，可以帮助培养设计图纸、处理报表的能力，具有实际意义。
在阅读图表时应注意题中每一个数据的作用，计算平均数时，要先求总人数为15（人）,在计算中位数时，不能简单地把第二行数据直接排列选择，而应考虑排到第8位的那个数据才是中位数。
图表信息是运用二维表提供数据关系信息，让学生通过对表中数据信息的分析、比较、判断和归纳，弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，然后综合这些形与数，利用所学知识解决问题。
七、方案设计问题是数形结合能力的综合体现例8、在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如右图），现找出其中一种，测得∠C=900,AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其它边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（画出图形，并直接写出扇形半径）。
象这类有关图案设计的问题，渗透了对学生的审美观念、联想思维的检测，着意培养学生大胆而严谨的思维，不仅展现了数与形的有序结合所产生的“美”与“妙”，更直接地反映出数形思想的结合能引导学生更好地发现与创造，更能全面地提高学生的整体综合素质。
我国数学教育家傅仲孙先生有一句名言：几何之务不在知其然，而在知其所以然，不在知其所以然，而在知其何由以所以然。
所谓“何由以所以然”就是要知道“如何想到这个结果或方法的”，也就是要引导学生思考“为什么这么想”及“获取知识、结论、方法的途径及思维过程”，教给学生有效的数学思想方法，其实就是提高学生的一种认知能力，使学生的解题思路进入一个理性的广阔天地，同时在这个过程中也是考验我们教师的教科研能力，对我r =42- 4r =2r =4r =22们自身也是一种提高和发展。