山西省长治市2021届高三数学上学期9月第二次联考试题 理(含解析)
山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学(理)试题
山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ）A ．1B ．–1C ．2D ．–22．已知集合(){}lg 2|3A x y x ==-，{}2|4B x x =≤，则=A B （ ） A ．322x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭ B ．{}2x x < C ．322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}2x x ≤ 3．某圆锥的三视图如图，ABC 是边长为2的等边三角形，P 为AB 的中点，三视图中的点,C P 分别对应圆锥中的点,M N ，则在圆锥侧面展开图中,M N 之间的距离为（ ）A B ．3 C D ．54．若点P 为抛物线24y x =上的动点，F 为该抛物线的焦点，则PF 的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．18 D ．1165．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角12πα=，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是( )A ．58B ．12C ．34D ．786．已知点1,0A，，,()2C m --，向量AC ，AB 的夹角为56π，则实数m = （ ）A．BC ．0 D．7．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足2589a a a =﹐则3334353637log log log log log a a a a a ++++的值为（ ）A ．73B ．83C ．3D ．103 8．函数()()22sin cos 2cos f x x x x =++的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在[]0,π上的单调递减区间为（ ）A ．37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．80- B ．40- C ．40 D ．12010．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，满足c =sin sin2C c A a =，则ABC 面积的最大值为（ ） ABCD11．在菱形ABCD 中，3A π=，AB =ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C --的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ） A． B．C ．72πD ．112π 12．定义函数348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间12n ⎡⎤⎣⎦，（*n N ∈）内所有零点的和为（ ）A ．nB ．2nC ．()3214n -D ．()3212n -二、填空题 13．已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．14．已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，则a b +=_______．15．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，AB 是右支上过2F 的一条弦，234AF AB =且1212A AF AB F +=，则C 的离心率为________． 16．在一个棱长为12的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥），且能使该正四面体在铁盒内任意转动，该正四面体的体积的最大值是________．三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =，525S =，数列{}n b 满足113b =，113n n n b b n++=． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，四棱锥S ﹣ABCD 中，SD ＝CD ＝SC ＝2AB ＝2BC ，平面ABCD ⊥底面SDC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，E 是SD 中点．（1）证明：直线AE //平面SBC ；（2）点F 为线段AS 的中点，求二面角F ﹣CD ﹣S 的大小．19．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）20．已知点()0,1N ，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2F 是椭圆E 的右焦点，直线NF 的斜率为 （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作直线l ，交椭圆E 于异于点N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，证明12k k +为定值．21．已知函数()x f x e mx =-．（1）讨论()f x 的单调区间与极值；（2）已知函数()f x 的图象与直线y m =-相交于11(,)M x y ，22(,)N x y 两点（12x x <），证明：124x x +>．22．已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程2cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：cos 2sin ρθρθ+=距离的最小值.23．设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x 的解集；（2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c++=，求证：2343a b c ++.参考答案1．C【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选：C【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2．D【分析】根据集合,A B 描述求集合，应用集合的并运算求并集即可.【详解】由(){}3lg 32{2||}A x y x x x ==-=<，{}2|4{|22}B x x x x =≤=-≤≤， ∴={|2}A B x x ≤故选：D【点睛】本题考查了集合的基本运算，综合考察了对数的定义域，求不等式的解集，集合的并运算求并集，属于基础题.3．C【分析】先求出圆锥侧面展开图的圆心角的大小，再利用勾股定理求解.【详解】由三视图可知几何体是一个圆锥，如图所示，如图所示，圆锥的侧面展开图的圆心角的大小为21=2ππ⨯， 所以2BAM π∠=,所以MN =.故选：C【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体原图，考查圆锥的侧面两点间距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．D【分析】由抛物线的性质：焦半径最小时，抛物线上的点必为顶点；结合抛物线方程，即可知PF 的最小值.【详解】 由抛物线的性质知：焦点到抛物线上点，距离最小的点为抛物线顶点，而224y x py ==，有18p =， ∴PF 的最小值为1216p =， 故选：D【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，根据抛物线的解析式求焦半径的最小值，属于简单题. 5．A由解三角形得：直角三角形中较小的直角边长为1，由12πα=，得此直角三角形另外两直角边长为长度，进而得小正方形的边长和大正方形的边长，由几何概型中的面积型得解．【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，则由直角三角形中较小的锐角12πα=，得此直角三角形另外直角边长为2则小正方形的边长为1+设“飞镖落在阴影部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得： ()(21(11258P A ++⨯⨯+==， 故选A ．【点睛】本题考查几何概型中的面积型，解三角形、正方形面积公式属中档题．6．B【分析】先利用已知条件得到()3,AC m =--，(1,AB =，再利用向量的数量积的坐标公式求解得3A A B C ⋅=-，又5cos 6AB A AC B C A π⋅=，利用求向量的模的坐标表示代入求解即可得出结果.【详解】由1,0A ，，,()2C m --，得()3,AC m =--，(1,AB =， 则3A A B C ⋅=-，又5cos 36AC AC AB AB π⎛⋅===- ⎝⎭， 得m =.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标公式以及模的坐标表示.属于较易题. 7．D【分析】 利用等比中项的性质可得出2353a =，再利用对数的运算性质和等比数列的性质可求得所求代数式的值.【详解】已知各项为正数的等比数列{}n a 满足2589a a a =，由等比中项的性质可得3253a =，2353a ∴=，由对数的运算性质可得()3334353637334567log log log log log log a a a a a a a a a a ++++=5210333310log 3log 33⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用等比中项的性质和对数的运算性质求值，考查计算能力，属于基础题. 8．A【分析】首先利用二倍角公式求出()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的平移变换求得()224g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由正弦函数的单调区间即可求解. 【详解】()()22sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=++，即()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()224g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，72,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当32,422x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即37,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 单调递减． 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数的平移变换、正弦函数的性质，属于基础题. 9．C 【分析】利用二项式定理得到()512x -的通项，结合31x +确定3x 项的系数即可. 【详解】针对()512x -部分，通项为155(2)(2)r r r r rr T C x C x +=-=-，∴()()51231x x -+中3x项为2?33?335512840C x C x x -=，故选：C 【点睛】本题考查了二项式定理，根据指定项确定r 值，进而求系数，属于基础题. 10．B 【分析】由正弦定理结合二倍角公式可得1cos 22C =，进而可得23C π=，再由余弦定理结合基本不等式可得19ab ≤，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】由正弦定理得sin sin sin sin 2C C A A =，所以2sin cos sin sin sin 222C C C A A =， 因为()0,A π∈，0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 02C≠，sin 0A ≠， 所以1cos22C =，所以23C π=，23C π=， 由余弦定理得222222cos 3c a b ab C a b ab ab =+-=++≥，又c =133ab ≤即19ab ≤，当且仅当13a b ==时，等号成立，所以ABC 面积111sin 229S ab C =≤⨯=故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理边角互化的应用，考查了余弦定理结合基本不等式求三角形面积的最值，属于中档题. 11．D 【分析】由题意作示意图，找到底面等边△BDC 的外接圆圆心O ，以及三棱锥P BCD -的外接球的球心O '，过P 作PF AC ⊥于F ，则面'PFOO 为球体最大截面，进而根据已知条件即可求外接球半径，即可求外接球表面积. 【详解】由题意可得如下示意图，设,AC BD 交于E ， 则AC BD ⊥，即,CE BD PE BD ⊥⊥所以PEC ∠为二面角P BD C --的平面角，即23PEC π∠=， 又PECE E =，所以BD ⊥平面PCE ，过P 作PF AC ⊥于F ，,BD PF BD AC E ⊥=，所以PF ⊥平面ABCD ，若,'O O 分别是面BDC 的外接圆圆心、三棱锥P BCD -的外接球的球心， 则OO '⊥平面ABCD ，所以//OO PF '，所以,,,'P F O O 必共面且该面为球体的最大截面，连接,,,OO O D OD O P '''，有O D O P R ''==为外接球半径，OD r =为面BDC 的外接圆半径，若设OO x '=，则：222x r R +=，222()OF PF x R +-=，∵菱形ABCD 中，3A π=，23P AB EC π∠==，∴PD DC PB BC ====，6PE EC ==，BD =且2BD ED ==23EC OE ==，sin 3PF PE π=⋅=，2cos53OF OE EF PE π=+=+⋅=，∴222216r OD OE ED ==+=，即221625)x x +=+，解得x =228R =， 所以三棱锥P BCD -的外接球的表面积2112R 4π=π， 故选：D 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，应用了三棱锥的一个顶点与其在底面上的垂足，该底面外接圆圆心，三棱锥外接球球心四点共面且为球体最大截面求球体半径，进而求球体表面积，属于较难题. 12．D 【分析】由()()60g x xf x =-=得()6=f x x，将()()6g x xf x =-在区间12n ⎡⎤⎣⎦，（*n N ∈）内的零点，转化为函数()y f x =和函数6y x=图象交点的横坐标，然后由()122x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到函数()y f x =的图象，在同一坐标系中作出两函数的图象求解. 【详解】由()()60g x xf x =-=得()6=f x x，故函数()g x 的零点即为函数()y f x =和函数6y x=图象交点的横坐标. 由()122x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得，函数()y f x =是以区间()122n n -，为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的12. 先作出函数()y f x =在区间[]12，上的图象，再依次作出在][][1244822n n -⎡⎤⎣⎦，，，，...，，上的图象，然后再作出函数6y x=的图象，如图所示：由图象可得知：两图象的交点在函数()y f x =的极大值的位置，由此可得函数()g x 在区间()122n n-，上的零点为1223224n n nn x -+==⋅，故所有零点之和为()()21232134122n n nS --=⋅=-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查函数的零点以及等比数列求和，还考查了转化化归的思想，数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 13．1 【详解】∵z x ay =+，则11=-+y x z a a，z a 为直线1zy x a a=-+在y 轴上的截距， 要使目标函数的最优解有无穷多个， 则截距最小时的最优解有无数个， ∵0a >，把x ay z +=平移， 使之与可行域的边界AC 重合即可， ∴1a -=-，1a =. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z 的几何意义，属于中档题. 14．3 【分析】求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得,a b ． 【详解】 由题意()2af x bx x'=-， ∵函数图象在点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，∴432ln 2462ln 22ab a b ⎧-=-⎪⎨⎪-=-++⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，∴3a b +=． 故答案为：3． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，15【分析】先结合双曲线定义和已知条件得到各个线段长度，得到290ABF ︒∠=，再利用焦距列关系计算离心率即可. 【详解】如图，双曲线中122AF AF a -=，1212A AF AB F +=，4AB a ∴=又234AF AB =，故223,a a A BF F ==，又因为双曲线定义知115,3a BF AF a ==， 故1AF B △中，115,3a BF AF a ==，4AB a =，290ABF ︒∴∠=，在12BF F △中，12123,,2BF BF F a a F c ===，故()()22232a a c +=22252c e a ∴==，e ∴=故答案为：2. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质，属于基础题.16．【分析】将问题进行等价转化即正面体内接于半径为6的球时，其体积最大，通过体积计算，即可得答案；【详解】由题意得：正面体内接于半径为6的球时，其体积最大，如图，OA为三棱锥的高，设球心为正四面体的外接球球心为O，棱长为x，6,32OA OA OE OE==⇒=，∴8AE=，∴22222()64963x BE AE x x=+=+⇒=，∴211(8322V x=⋅⋅⋅=故答案为：【点睛】本题考查正面四体与球、正方体与球的切接问题，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意画图分析问题.17．（1）21na n=-(*n N∈)；3n nnb=(*n N∈)；（2）3231443nnnT+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭(*n N∈). 【分析】（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合已知条件求1a、d即可得通项公式，由{}n b数列的递推式得113nnb nb n++=及113b=，即可得{}n b的通项公式；（2）根据（1）所得{}n b 通项公式，应用错位相减法求其前n 项和n T . 【详解】（1）数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意: 41513751025a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，*n N ∈，又111133n n n n b n n b b n b n++++=⇒=，所以1211211213(1)3(2)3133n n n n n n b b b n n nb b b b b n n ----=⋅⋅=⋅⋅=--⨯，*n N ∈； （2）由（1）知：13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ 12n n T b b b =++1211112333nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2311111123333n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1212111133333nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111133111111323313n n nn n n ++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⋅=--⋅⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 13131323114323443nn nn n T n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--⋅=-⋅⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， n T ∴的表达式为3231443nn n T +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了数列，根据等差数列的公式、累乘法求数列通项公式，并应用错位相减法求数列前n 项和，属于基础题.18．（1）详见解析；（2）30°．【分析】（1）取SC中点G，连接BG，EG，推导出四边形AEGB为平行四边形，从而AE∥BG，进而AE∥平面SBC；（2）取CD中点O，连接OS，OA ，推导出四边形ABCD为矩形，AO⊥CO，AO⊥CD，以O为原点，OS所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣CD﹣S的大小．【详解】（1）证：如图，取SC中点G，连接BG，EG，∵EG为△SDC的中位线，∴EG∥CD，且EG12CD =，∵AB∥CD，且AB12CD=，∴EG∥CD，且EG＝AB，∴四边形AEGB为平行四边形，∴AE∥BG，∵BG⊂平面SBC，AE⊄平面SBC，∴AE∥平面SBC；（2）解：设AB＝1，则BC＝1，CD＝2，取CD中点O，连接OS，OA ，∴CO12CD AB ==，∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形ABCO为矩形，∴AO⊥CO，AO⊥CD，平面ABCD∩平面SDC＝CD，∴AO⊥平面SDC，AO⊥SO，∵△SDC为正三角形，∴SO⊥CD，以O为原点，OS所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，1），S0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），F（2，0，12），FC =（，1，12-），FD =（，﹣1，12-），设平面FCD的一个法向量m =（a，b，c），则312312FC m x y zFD m x y z⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=---=⎪⎩，取x＝1，得m=（1，0，，由题意取平面SDC的一个法向量n OA==（0，0，1），设二面角F﹣CD﹣S的大小为θ，则3cosm nm nθ-⋅===，由图可知，θ为锐角，∴θ＝30°，∴二面角F﹣CD﹣S的大小为30°．【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．19．（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望12；方差4.8【分析】（1）完成列联表，代入数据即可判断；（2）利用分层抽样可得X的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知(20,0.6)Y B，计算出期望与方差. 【详解】 （1）2245(1516104)7.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取209445⨯=人， X 的可能取值为0，1，2，3，4，44420(0)C P X C ==，31416420(1)C C P X C ==，22416420(2)C C P X C ==13416420(3)C C P X C ==，416420(4)C P X C ==，所以，X 的分布列：②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.625=，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)YB ，故()200.612E Y =⨯=，()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-=.【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.20．（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两点求斜率可得c =c a =2a =，即求出椭圆的方程.（2）讨论直线l 的斜率不存在时，不满足题意；直线l 的斜率存在时，设其方程为1(2)y k x +=-，将直线与椭圆方程联立，消去y ，整理出关于x 的一元二次方程，利用韦达定理即可求解. 【详解】解：（1）设(c,0)F，由条件知，1c =-得c =又2c a =，所以2a =，2221b a c =-=． 故E 的方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆只有一个交点，不满足题意. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为11221(2),(,),(,)y k x A x y B x y +=-，将直线l 方程代入椭圆2214x y +=，整理得222:(41)8(21)16160k x k k x k k +-+++=，则1228(21)41k k x x k ++=+，2122161641k kx x k +=+， 由题知12,x x 不为零，从而121212121212112(22)()y y kx x k x x k k x x x x ---+++=+=28(22)(21)22(21) 1.1616k k k k k k k k++=-=-+=-+综上，恒有121k k +=-． 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，考查了考生的计算求解能力，属于中档题.21．（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出导函数()'f x ，利用()0f x '>确定增区间，()0f x '<确定减区间，从而可得极值；（2）由（1）知只有在0m >且(ln )0f m <即m e >时，函数()f x 的图象与直线y m =-才有两个交点，由12()()f x f x m ==-得1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，可得120111x x <-<<-，同时由1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩消去参数m ，并设21111x t x -=>-，12,x x 都可用t 表示，要证不等式124x x +>，只要证ln ln 211t t t t t +>--，即(1)ln 21t t t +>-，只要证4ln 201t t +->+，引入新函数4()ln 21h t t t =+-+．利用导数的知识可证． 【详解】 解：（1）'()x f x e m =-，①当0m ≤时，'()0f x >，此时()f x 在R 上单调递增，无极值； ②当0m >时，由'()0f x =，得ln x m =.所以(,ln )x m ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；(ln ,)x m ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增.此时函数有极小值为(ln )ln f m m m m =-，无极大值.（2）由题设可得12()()f x f x m ==-，所以1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，且由（1）可知1ln x m <，2ln x m >，m e >.1x e m <，1(1)m x m -<，∴111x -<，同理211x ->，由11(1)x em x =-，可知110x ，所以120111x x <-<<-.由1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，得1122ln ln(1)ln ln(1)x m x x m x =+-⎧⎨=+-⎩，作差得22111ln1x x x x -=-- 设211(1)x t x -=-（1t >），由22111ln 1x x x x -=--，得1ln (1)(1)t t x =--， 所以1ln 11t x t -=-，即1ln 11tx t =+-， 所以2ln 11t tx t =+-， 要证124x x +>，只要证ln ln 211t t t t t +>--，即(1)ln 21t t t +>-，只要证4ln 201t t +->+. 设4()ln 21h t t t =+-+（1t >）， 则22(1)'()0(1)t h t t t -=>+. 所以()h t 在(0,)+∞单调递增，()(1)0220h t h >=+-=. 所以124x x +>. 【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间和极值，证明与方程根有关的不等式．考查转化与化归思想．对于与方程的解12,x x 有关的不等式问题，关键是引入新参数t ，如12x t x =，21t x x =-，象本题2111x t x -=-，此时t 的范围是确定的，如(0,1)、(0,)+∞、(1,)+∞等等，接着关键是把12,x x 用t 表示（可用消参法建立12,x x 关系），要证的不等式就变为关于t 的不等式，引入新函数后应用导数知识证明．22．（1）32⎛ ⎝⎭；221122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）0. 【分析】（1）由P 的极坐标为3,3π⎛⎫⎪⎝⎭,利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得P 点的直角坐标,利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩以及222x y ρ=+可得出直角坐标方程；（2）直线l的直角坐标方程为02x y +-=,设Q cos si 12n θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭,则cos sin 122M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,利用点到直线的距离公式与三角函数的值域即可得出. 【详解】（1）由P 的极坐标为3,3π⎛⎫⎪⎝⎭,利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得点P的直角坐标为3,22⎛ ⎝⎭； 由s 32co πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭得2co s sin ρρθθ=+ ① 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①，可得曲线C的直角坐标方程为221122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）直线:lcos 2sin ρθρθ+=02x y +-=， 设点Q的直角坐标为cos si 12n θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则cos sin 122M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 那么M 到直线l 的距离：d ===当2)0,sin()θφθφ+=+=时，0d =， 所以M 到直线:cos 2sin l ρθρθ+=的距离的最小值为0. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标化普通方程、点到直线的距离及求最值. 23．（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）详见解析【分析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后由()4f x ，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3min f x =，从而得到3m =，再根据1113(234)(234)()234a b c a b c a b c++=++++，利用基本不等式求出3(234)a b c ++的最小值即可证明2343a b c ++． 【详解】（1）12,1()123,1221,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩．()4f x ，∴1241x x -⎧⎨<-⎩或2142x x -⎧⎨>⎩，∴32x -或52x ，∴不等式的解集为35(,][,)22-∞-⋃+∞；（2）证明：由（1）知()3min f x =，3m ∴=，∴1113234m a b c++==， 1113(234)(234)()234a b c a b c a b c∴++=++++ 2324433324234a b a c c b b a c a b c=++++++23293a b +=， 2343a b c ∴++，当且仅当2341a b c ===，即12a =，13b =，14c =时取等号， 2343a b c ∴++．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2021届高三数学第二次模拟试题 理(含解析)
2021届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解.【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =（ ）A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =，(1,3)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】 【分析】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，230a b t =-+<，得23t <. 向量()2,a t =，()1,3b =-共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b =-. 所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（ ）25B.45C.2545【答案】A 【解析】 【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214x y -=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12y x =±.双曲线221 4xy-=的顶点到渐近线的距离等于255114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象最新直线3x π=对称的函数是（ ）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x yC. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,2,3，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ． 考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（ ） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】 【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上， 即应有222(14)x y r r +=， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥ ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确.故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C. (,)2e-∞ D. (,]2e -∞ 【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x-=， 当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 32sin a c A =，7c =ABC ∆33，a b +的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由32sin a c A=，结合正弦定理可得332sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=. 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1333sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =SC 与AB 所成角的余弦值为__________．17【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()()130,17,0,0,0,23,2,,01717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,,231717SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝,()0,17,0AB =.于是,所求夹角的余弦值为1717SC AB SC AB⋅=. 故答案为：1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n -1， 故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】 【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； （i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=） 【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】 【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭.由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i iiP Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ； （2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点，∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ， 又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ， ∴()2,0,2PB t =-，()0,1,1MN =. ∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010， ∴由1010PB MN PB MN⋅=得2t =. 设(),,m x y z =为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-，()0,1,1MN =.由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()1,1,1m =-，3m =，∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角， 则3cos 3AP m AP mθ⋅==，∴sin θ=【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y 2222(22)(22)6x y x y -+++=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知(22,0)D ，直线l ：22y kx k =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）7k >7k <【解析】 【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解. 【详解】（1）解：M 点的轨迹是以()22,0，()22,0-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由2y kx k =-得22y kx k+=代入2219x y +=整理()22219420k yky k ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立， 由根与系数的关系得1224219ky y k+=-+……③12219y y k =-+……④ 由①③得()142119k y k λλ=-+，()242119ky k λ=-+()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k 的取值范围是7k >7k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<， （i ）求参数m 的取值范围； （ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-.【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间； （2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+，若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意， 此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数， 所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减； 当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增 （2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0x f x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022ef e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-..所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->， 所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可； （2）设3C 极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=--2cos 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ； （2）已知+∈Rc b a ,,，且1abc111a b c a b c≤++.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由111a b c a b c a b ca b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可； （2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为精品 Word 可修改 欢迎下载 111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111b c a c a b a a b b c c =++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥， 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立. （2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭11112222ab ac bc ⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 又因为1abc ，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111c b a a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。
第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)
专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若ABC 的面积为,ABC S OBC 的面积为,OBC S PBC 的面积为PBC S ，满足2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，当,,PAB PBC PAC 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π 【来源】山西省晋中市2022届高三上学期1月适应性调研数学（理）试题【举一反三】在四边形ABCD 中（如图1所示），AB AD =，45ABD ∠=，2BC BD CD ===，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '（如图2所示），使得90A BC ∠='，E ，F ，G 分别为棱BC ，A D '，A B '的中点，连接EF ，CG ，则下列结论错误的是（ ）．A ．A C BD '⊥B ．直线EF 与CG 45C ．C ，E ，F ，G 四点不共面D ．四面体A BCD '外接球的表面积为8π【来源】陕西省2022届高三上学期元月联考理科数学试题类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底边长为a ，高为h ，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．482 B ．242 C ．962 D ．122【来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题【举一反三】在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，12BB π=，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P 在三棱柱内部或表面上运动，且2PA PM =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【来源】贵州省贵阳市2021届高三适应性考试数学（理）试题（一）类型三 四棱锥的外接球问题典例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，PB ⊥底面ABCD .若1PB AB CD AD ====， 2BC =，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三下学期入学考试文科数学试题【举一反三】已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -82π，则该四棱锥的表面积为（ ） A ．3B ．63C ．83D ．103【来源】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题类型四 几何体的内切球问题典例4．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．3B 153C 153D 153【来源】江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科数学试题【举一反三】由棱长都为1的4个正四面体和1个正八面体，组合成一个正四面体，再将此正四面体削切、打磨成最大的球，则该球体积为（ ）A 6B 6C ．354D 646 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期5月质量检测文科数学试题【精选名校模拟】1．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ）A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π【来源】湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题2．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（ ）A ．8πB ．24310πC ．8110πD ．6π【来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题3．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．343aB ．23a πC ．332a πD ．212a【来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题4．在三棱锥P ABC -中，22AB AC ==，120BAC ∠=，26PB PC ==，25PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题5．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，23AB =，D 是侧面11BCC B 的中心，球O 与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD 被球O 截得的弦长为（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．31056．如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且22CB =，6AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A 510B ．10πC ．9πD ．(423π+7．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OB PBC C S S S ⋅=，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．18D ．22【来源】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（理）试题8．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为233，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ）A ．5πB ．8πC ．16πD ．20π【来源】河南省河南大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学文科试题9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B 455πC ．30πD ．45π【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（文）期末试题10．在菱形ABCD 中，3A π=，3AB =△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C--的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23πB ．27πC ．72πD ．112π 【来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（文）试题多选题11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào ）.如图，三棱锥D ABC -为一个鳖臑，其中DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2DA AB BC ===，AM DC ⊥，M 为垂足，则（ ）A ．AM ⊥平面BCDB ．DC 为三棱锥D ABC -的外接球的直径C ．三棱锥M ABD -的外接球体积为43πD ．三棱锥M ABC -的外接球体积与三棱锥M ABD -的外接球体积相等【来源】河北省张家口市2022届高三上学期期末数学试题12．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38a C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(1483)a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '3 【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题。
2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}， 则A∩（）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π）， 若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（ ） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。
山西省长治市2024-2025学年高三上学期9月质量监测试题 物理 (含解析)
2024-2025学年度高三年级九月份质量监测物理试题【注意事项】1．本试卷全卷满分100分，考试时间75分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。
3．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，填空题和解答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如图为氢原子的能级示意图，至能级跃迁到基态放出的光子分别设为abcd 。
若用b 照射某金属表面时能发生光电效应，则（ ）A. a 的能量大于c 的能量B. b 的频率小于d 的频率C. a 的波长小于b 的波长D. a 光照射该金属一定能发生光电效应2. 光纤通讯中信号传播的主要载体是光纤，它的结构如图甲所示。
一束激光由光导纤维左端的点O 以的入射角射入一直线光导纤维内，恰好在光导纤维的侧面（侧面与过O 的法线平行）发生全反射，如图乙所示。
下列说法中正确的是（ ）A. 光纤内芯的折射率比外套的小B. 频率越大的光在光纤中传播的速度越小C. 光从左端空气中进入光纤内芯后，其频率变大D. 3. 位于坐标原点处的波源发出一列沿x 轴正方向传播的简谐横波。
t = 0时波源开始振动，其位移y 随时间t 变化的关系式为，则时的波形图为（）2n =5n =45α=︒45θ=︒2sin()y A t Tπ=32T t =A. B. .C. D.4. 如图所示，水平固定倾角为30°的光滑斜面上有两个小球A 和B ，质量分别为m 和2m 。
它们用细线连接，现对B 施加一水平向左的推力F ，使A 、B 均静止在斜面上，重力加速度大小为g 。
下列说法正确的是（ ）A. 细线对小球B 的作用力大小为B. 推力FC. 斜面对整体的作用力大小为D. 斜面对A 的作用力大小为5. 2024年6月2日，嫦娥六号成功登录月球背面。
2022届山西省长治市高三上学期9月质量监测 数学理
秘密★启用前长治市2021－2022学年度高三年级九月份质量监测试题理科数学[注意事项]1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试题满分150分，考试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.设复数z ＝1＋bi(是虚数单位，b ∈R)，且z 2＝－3＋4i ，则z 的虚部为A.2iB.－2iC.2D.－2 2.集合M ＝{x ∈N|y ＝x 1+ln(3－x)}，集合P ＝{x|2x <4}，则M ∩P ＝ A.{0，1，2} B.{1，2} C.{0，1} D.{1}3.已知命题P ：∀x ∈R ，x 2＋x －1>0；q ：∃x 0∈R ，00x x 23>，则真命题是A.P ∧qB.p ∨(¬q)C.(¬p)∨qD.(¬p)∧(¬q)4.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.23B.43C.2D.4 5.已知a ＝(1，－2)，则与a 反方向的单位向量是A.(－55，255) B.(－15，25) C.(15，－25) D.(55，－255)6.往正方体的外接球内随机放入n个点，恰有m个点落入该正方体内，则π的近似值为A.23mnB.233mnC.23nmD.233nm7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上为单调函数，则满足f(x)＝f(x2x3++)的所有实数x的和为A.－6B.6C.8D.－88.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图所示，则该函数的单调递减区间为A.[－38π＋2kπ，8π＋2kπ](k∈Z) B.[－38π＋kπ，8π＋kπ](k∈Z)C.[8π＋2kπ，58π＋2kπ](k∈Z) D.[8π＋kπ，58π＋kπ](k∈Z)9.已知(2x2＋1)(2ax－1)5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式中常数项是A.－10B.－7C.9D.1010.己知{a n}是首项为2的等比数列，S n是其前n项和，且63S65S64=，则数列{log2a n}前20项和为A.－360B.－380C.360D.38011.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆。
山西省长治市大有中学2021年高三数学理联考试题含解析
山西省长治市大有中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）A．2 B．3 C．5 D．8参考答案：D【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】画出函数f（x）=的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【解答】解：函数f（x）=，如图所示，①当b=0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f（3）=﹣9+6=﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8，则8≥a＞3，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△=a2+4b2＞0，解得：＜f（x）＜，只考虑a＞0，则＜0＜，由于f（x）=0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，2），舍去．综上可得：a的最大值为8．故选：D．2. 给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量。
其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案：D3. 已知△ABC三条边上的高分别为3，4，6，则△ABC最小内角的余弦值为( )A. B. C. D.参考答案：A4. 已知函数对任意，都有的图象关于对称，且则A.0B.C.D.参考答案：B试题分析：函数对任意，都有,,因此函数的周期，把的图象向左平移1个单位的的图象关于对称，因此函数为奇函数，，因此答案为B.考点：1、函数的周期性；2、函数图象平移；3、函数奇偶性的应用.5. 已知，都是定义在上的函数，且满足以下条件：①=·（）；②；③；若，则等于( )A． B．2 C． D．2或参考答案：A6. 已知非零向量的夹角为60°，且，则A. B. 1 C. D.2参考答案：A7. 下列命题中错误的是( )A．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C．如果平面平面，平面平面，，那么直线平面D．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面参考答案：D8. （5分）（2015?临潼区校级模拟）对定义域内的任意两个不相等实数x1，x2下列满足（x1﹣x2）＜0的函数是（）A． f（x）=x2 B． f（x）= C． f（x）=lnx D． f（x）=0.5x参考答案：B【考点】：函数单调性的判断与证明．【分析】：判断选项中的函数的单调性，只有在定义域上单调递减的函数方符合题意．解：∵A项中f（x）=x2，函数对称轴为x=0，在（﹣∞，0]上单调减；在＜0同理假设x1＜x2，亦可得出结论∴B项正确．∵C，D项中的函数均为增函数，假设x1＞x2∴f（x1）＜f（x2）∴有（x1﹣x2）＞0同理假设x1＜x2，亦可得出此结论．∴C，D两项均不对故答案选B【点评】：本题主要考查函数单调性的判断与应用．属基础题．9. 直线的倾斜角等于（）参考答案：A10. 若x，y满足则的最大值是（）A．－2 B．－1 C．1 D．2参考答案：D画出不等式组的可行域如图所示：可变形为：斜率为，，平移该直线，当直线经过点时，最小，最大.此时.故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知________.参考答案：略12. 如右图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则A、D两点间的球面距离。
山西省长治市职中学2021年高三数学理联考试卷含解析
山西省长治市职中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则向量与的夹角为(A)(B) (C)(D)参考答案：A2. 设集合，，则的子集的个数是（）A．4 B．3 C ．2D．1参考答案：A略3. 过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为A. B. C. D.参考答案：【知识点】圆的切线方程．H4A解析：圆的圆心为C（2，0），半径为1，以（3，1）、C（2，0）为直径的圆的方程为（x﹣2.5）2+（y﹣0.5）2=0.5，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程，故选：A．【思路点拨】求出以（3，1）、C（2，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．4. 已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，若是上两点且，则直线与轴的交点的纵坐标为（） A. B. C. D.参考答案：D5. 已知函数的图象关于对称，则函数的图象的一条对称轴是（）A. B. C. D.参考答案：A6. 计算：（）A． B．- C. 2 D. -2参考答案：D7. 美不胜收的“双勾函数” 是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是轴和直线，其离心率e=( )A．B．C．D．参考答案：D略8. 已知集合，，则M∪N（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】化简集合，进而求并集即可.【详解】由题意可得，，所以，故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.9. 已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A．B．C．﹣2 D．2参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得 a=﹣2，故选C．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．10. 某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，根据古典概型概率计算公式可得结果．【详解】所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：，，，，共有5种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率，故选B.【点睛】本题考查适合古典概型的概率求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若a>0,b>0,且函数在x=1处有极值，则ab 的最大值 .参考答案：18略12. 已知函数，则方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有．参考答案：7个【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求解方程f2（x）﹣f（x）=0，可得f（x）=0或f（x）=1．画出函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：由f2（x）﹣f（x）=0，得f（x）=0或f（x）=1．画出函数的图象如图，由图可知，f（x）=0可得x有3个不同实根；f（x）=1可得x有4个不同实根．∴方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有7个．故答案为：7个．13. 已知双曲线C：的一条渐近线l 的倾斜角为，且C 的一个焦点到l 的距离为，则C 的方程为_______．参考答案：2，【知识点】双曲线【试题解析】由题知：所以，所以因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=2，所以所以的方程为：故答案为： 2，14. 如果执行如图所示的程序框图，输入，，则输出的数S＝_______．参考答案：略15. （5分）（2014秋?衡阳县校级月考）已知函数f（x）=2+，则f（x）dx= ．参考答案：π+4【考点】：定积分的简单应用．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：f（x）dx的几何意义是以（1，2）为圆心，1为半径的圆的面积，可得结论．解：∵y=2+，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=1（y≥2），∴f（x）dx的几何意义是以（1，2）为圆心，1为半径的圆的面积的一半加正方形面积，即π+4．故答案为：π+4．【点评】：本题考查定积分求面积，考查学生的计算能力，比较基础．16. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【考点】函数的单调性与导数的关系；奇函数．【分析】首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．【解答】解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．属于中档题．17. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：6π+4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱和三棱锥组成的组合体，分别求出两者的体积，相加可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆柱和三棱锥组成的组合体，半圆柱底面半径R=2，高h=3，故半圆柱的体积为：=6π，三棱锥的底面是两直角边长为2和4的直角三角形，高为3，故三棱锥的体积为：=4，故组合体的体积V=6π+4，故答案为：6π+4．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021年山西省长治市城关镇第二中学高三数学理联考试题含解析
2021年山西省长治市城关镇第二中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，其中，是虚数单位，则（）A．0 B．2 C．D．5参考答案：D略2. 不等式组所表示的平面区域的面积等于A. B.C. D.参考答案：C解析：由可得，故阴=，选C。
3. 已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为P，则线段AB的长为（）A．11 B．10 C．9 D．8参考答案：B略4. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A．B．C．D．8参考答案：C5. 函数y=的值域是（）A．[0,+∞） B．（0,4] C．[0,4） D．（0,4）参考答案：C略6. 已知是定义在上的奇函数，当时，那么不等式的解集是A． B．C． D．参考答案：B略7. 设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则（）A． B． C． D．参考答案：A8. 已知全集,集合,则为A ．B ．C ．D ．参考答案：C,所以，选C.9. 若复数是纯虚数，则的值为（）A ． B．C． D．参考答案：C试题分析：因为是纯虚数，所以，可得，所以，故选C.考点：1、复数的概念；2、同角三角函数之间的关系.10. 在区间内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分，面积为2+=∴满足y≥x2﹣1的概率是=．故选：D．【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平行四边形ABCD中，，边AB、 AD的长分别为2,1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_______.参考答案：[2,5]12. 设向量、满足：||=1，||=2，?（）=0，则与的夹角是．参考答案：60°【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小． 【解答】解：由||=1，||=2，?（）=0，∴﹣?=0，即12﹣1×2×cosθ=0， 解得cosθ=；又θ∈， ∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．13. 若，则直线与轴、轴围成的三角形的面积小于的概率为．参考答案：14.已知实数满足若当，时，取得最小值，则的取值范围是________.参考答案：试题分析：直线和的交点坐标为，直线和的交点坐标为，直线和的交点坐标为，将分别代入可得，，，，由于当，时，取得最小值，则，，故答案为.考点：简单的线性规划.15. 如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若AA 1=4，AB=2，则四棱锥B ﹣ACC 1D 的体积为 ．参考答案：2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】取AC 的中点O ，连接BO ，则BO⊥AC，BO⊥平面ACC 1D ，求出S ACC1D ==6，即可求出四棱锥B ﹣ACC 1D 的体积．【解答】解：取AC 的中点O ，连接BO ，则BO⊥AC， ∴BO⊥平面ACC 1D ， ∵AB=2，∴BO=，∵D 为棱AA 1的中点，AA 1=4， ∴S ACC1D ==6，∴四棱锥B ﹣ACC 1D 的体积为2．故答案为：2．16. 已知函数在区间（-1，1）上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是 。
2021年山西省长治市英杰中学高三数学理联考试题含解析
2021年山西省长治市英杰中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题中，真命题是（）A． B．C．的充要条件是 D．是的充分条件参考答案：D2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数参考答案：B3. 计算（log54）?（log1625）=( )A．2 B．1 C．D．参考答案：B【考点】换底公式的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】可通过换底公式全部换成10为底的对数，即可对此对数式进行化简，得到计算结果．【解答】解：（log54）?（log1625）=×=×=1．故选B．【点评】本题考查对数的运算性质，解答本题，熟练掌握对数的运算性质及对数的换底公式是关键，本题中选择底数很重要，一般换底时都选择常用对数．4. 设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若mβ，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若mα，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中真命题为（）（A）①②（B）①②③（C）①②③④（D）③④参考答案：A略5. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )(A) (B) (C) (D)参考答案：A考点：简单几何体的三视图6. 已知，则等于（）A.B.C.D.参考答案：A略7. 若实数满足，则的最小值为0 1 9参考答案：8.设a，b，c是空间三条直线，，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥时，若c⊥，则∥B．当时，若b⊥，则C．当，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当，且时，若c∥，则b∥c参考答案：答案：B9. 如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”．给出下列函数：①；②；③；④，其中“函数”的个数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个参考答案：A考点：1.新定义问题；2.导数与函数的单调性.10. 如果函数的图象关于点A（1，2）对称，那么( )A．p＝－2，n＝4 B．p＝2，n＝－4C．p＝－2，n＝－4 D．p＝2，n＝4参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则()6的展开式中常数项为.参考答案：24012. 已知直线l：y=k（x+1）+与圆x2+y2=4交于A、B两点，过A、B分别做l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|= ．参考答案：8【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相交，圆x2+y2=4可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明直线l过圆心O所以可以得到直线AB的倾斜角，求出|OC|，即可得到|CD|的长度．【解答】解：由圆的方程x2+y2=4可知：圆心为（0，0），半径r=2．∵弦长为|AB|=4=2r ，∴可以得知直线l 经过圆心O ． ∴0=k（0+1）+，解得k=﹣，∴直线AB 的方程为：y=﹣x ，设直线AB 的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，∴θ=120°，∴在Rt△AOC 中：|CO|==4，那么：|CD|=2|OC|=8， 故答案为：8． 13. 若复数在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a = ． 参考答案：1 复数, 在复平面内所对应的点在虚轴上，所以，解得.答案为： 1. 14. 已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是____________参考答案：1＜＜2 略15. 在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则 ① 到坐标原点的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________; ② 坐标原点与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________. 参考答案：①根据定义可知,如图：则图象的面积为。
2021-2022学年山西省长治市高三(上)质检数学试卷(理科)(9月份)(附答案详解)
2021-2022学年山西省长治市高三（上）质检数学试卷（理科）（9月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z=1+bi(是虚数单位，b∈R)，且z2=−3+4i，则z−的虚部为()A. 2iB. −2iC. 2D. −22.集合M={x∈N|y=√x+1ln(3−x)}，集合P={x|2x<4}，则M∩P=()A. {0,1,2}B. {1,2}C. {0,1}D. {1}3.已知：p：∀x∈R，x2+x−1=0；q：∃x∈R，2x>3x，则真命题是()A. p∧qB. p∨(￢q)C. (￢p)∨qD. (￢p)∧(￢q)4.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 23B. 43C. 2D. 45.已知a⃗=(1,−2)，则与a⃗反方向的单位向量是()A. (−√55,2√55) B. (−15,25) C. (15,−25) D. (√55,−2√55)6.往正方体的外接球内随机放入n个点，恰有m个点落入该正方体内，则π的近似值为()A. 2√3mn B. 2√3m3nC. 2√3nmD. 2√3n3m7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)上为单调函数，则满足f(x)=f(x+2x+3)的所有实数x的和为()A. −6B. 6C. 8D. −88.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为()A. [−3π8+2kπ,π8+2kπ](k ∈Z)B. [−3π8+kπ,π8+kπ](k ∈Z)C. [π8+2kπ,5π8+2kπ](k ∈Z)D. [π8+kπ,5π8+kπ](k ∈Z)9. 已知(2x 2+1)(ax 2−1)5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是( )A. −10B. −7C. 9D. 1010. 已知{a n }是首项为2的等比数列，S n 是其前n 项和，且S6S 3=6564，则数列{log 2a n }前20项和为( )A. −360B. −380C. 360D. 38011. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用周长为72的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切，椭圆τ的离心率为0.6，若点M ，N 为椭圆τ长轴的两个端点，P 为椭圆上除去长轴端点外的任意一点，则△PMN 面积的取值范围是( )A. (0,80)B. (0,80]C. (0,160)D. (0,160]12. 已知函数f(x)={e x ,x >01ax,x <0，若函数g(x)=f(x)−f(−x)有四个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (−e,+∞)B. (−1e ,0)C. (−∞,−e)D. (−∞,−1e )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√52，则C 的渐近线方程为______． 14. 若实数x ，y 满足约束条件{y −2x −1<02y −x +1>0x +y −1<0，则z =2x +y 的取值范围是______．15. 已知三棱锥A −BCD 中，BC =CD =2，BD =2√2，AC =2√2，△ABD 是等边三角形，则三棱锥A −BCD 的外接球的表面积为______．16. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosC −12c =b ，且a =1，则△ABC 的周长的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查．结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用．为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：无疲乏症状有疲乏症状总计未使用新药15025t使用新药x y100总计225m275(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，并确定能否有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关；(2)从有疲乏症状的接受调查的人当中随机抽取3人进行进一步了解，记X为抽到使用新药的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．，n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63518.平行四边形ABCD中(图1)，∠A=60°，AB=2AD，将△ABD以BD为折痕折起，使得平面A′BD⊥平面BCD，如图2．(1)证明：平面A′BC⊥平面A′BD；(2)M为线段A′C上靠近A′的三等分点，求二面角M−BD−C的余弦值．19.在数列{a n}，{b n}中，已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n b n−1(n∈N∗)．}是常数列，并求数列{a n}的通项公式；(1)若b n=n+2，求证：数列{a nn+1(2)若a n=2n，求数列{b n}的前n项和T n．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，且点F与圆M：(x+4)2+y2=1上点的距离的最小值为4．(1)求C的方程；(2)设点T(1,t)(−2<t<2)，过点T且斜率存在的两条直线分别交曲线C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．21.已知函数f(x)=12x2−4ax+4lnx+1，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2(x1>x2)，求证：f(x1)−f(x2)<−2(a−1)(x1−x2).22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系下取相同的长度单位，建立极坐标系．点P的极坐标为(2,π4)，直线l经过点P，且与极轴所成角为3π4．(1)写出曲线C的普通方程和直线l的以P为定点的标准参数方程；(2)设点M为曲线C上的动点，求点M到直线l的距离d的最大值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x+2|．(1)求不等式f(x)≤7的解集；(2)若不等式f(x)≥x2+mx−1的解集包含区间[−1,1]，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z =1+bi ，∴z 2=(1+bi)2=1+2bi −b 2=−3+4i ， ∴{1−b 2=−32b =4，解得b =2， ∴z −=1−2i ， ∴z −的虚部为−2． 故选：D ．根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解． 本题主要考查复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由{x +1≥03−x >0x ∈N ，解得x =0或1或2．∴M ={x ∈N|y =√x +1ln(3−x)}={0,1,2}， 又P ={x|2x <4}={x|x <2}， ∴M ∩P ={0,1,2}∩{x|x <2}={0,1}． 故选：C ．求解函数定义域化简M ，求解指数不等式化简P ，再由交集运算得答案． 本题考查交集及其运算，考查函数定义域及指数不等式的解法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，对于p ：∀x ∈R ，x 2+x −1=0， 当x =0时，x 2+x −1=−1≠0，p 为假命题；对于q ，∃x ∈R ，2x >3x ，当x =−1时，2x >3x 成立，则q 为真命题； 则(￢p)∨q 为真命题，p ∧q 、p ∨(￢q)、(￢p)∧(￢q)为假命题； 故选：C ．根据题意，分析命题p 、q 的真假，由复合命题真假的判断方法分析可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及复合命题真假的判断，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意可知几何体是三棱锥，底面是等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直，几何体的体积为：13×12×√2×√2×2=23．故选：A．利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．5.【答案】A【解析】解：已知a⃗=(1,−2)，则a⃗的单位向量为(√55,−2√55)．则与a⃗反方向的单位向量为(−√55,2√55)．故选：A．直接利用单位向量和相反向量的应用求出结果．本题考查的知识要点：单位向量，相反向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3，体对角线的长为√a2+a2+a2=√3a，设正方体的外接球的半径为R，则2R=√3a，即R=√32a，故正方体的外接球的体积为43πR3=√32πa3，∵正方体的外接球内随机放入n个点，恰有m个点落入该正方体内，∴√32πa3a3=nm，∴π=2√3n3m．故选：D．根据已知条件，结合外接球的体积公式和几何概型的概率公式，即可求解．本题主要考查几何概型的概率公式，掌握外接球的体积公式是解本题的关键，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数， 所以f(x)=f(−x)=f(|x|)，又函数的图象是连续不断的，且在(0,+∞)上为单调递增函数， 则f(x)=f(x+2x+3)等价于f(|x|)=f(|x+2x+3|)， 所以x =−x+2x+3或x =x+2x+3，即x 2+4x +2=0(x ≠−3)或x 2+2x −2=0(x ≠−3)， 设x 2+4x +2=0(x ≠−3)的两个根为m ，n ，则m +n =−4， 设x 2+2x −2=0(x ≠−3)的两个根为a ，b ，则a +b =−2， 所以满足f(x)=f(x+2x+3)的所有实数x 的和为−4−2=−6． 故选：A ．利用偶函数的性质，将方程转化为f(|x|)=f(|x+2x+3|)，再利用f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数，从而得到x =−x+2x+3或x =x+2x+3，然后化简变形，然后由韦达定理求解即可． 本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的应用，主要考查了函数奇偶性的应用以及单调性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由函数f(x)=Acos(ωx +φ)的部分图象知， A =2，T4=π8−(−π8)=π4，解得T =π，所以ω=2πT =2，又f(π8)=2cos(2×π8+φ)=2，cos(π4+φ)=1，π4+φ=2kπ，k ∈Z ， φ=2kπ−π4，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ=−π4，所以f(x)=2cos(2x −π4)，令2kπ≤2x −π4≤2kπ+π，k ∈Z ； 解得kπ+π8≤x ≤kπ+5π8，k ∈Z ；所以函数f(x)的单调递减区间为[π8+kπ,5π8+kπ]，k ∈Z ．故选：C ．由函数f(x)的部分图象求出A 、T 、ω和φ的值，写出函数的解析式，再求函数的单调递减区间．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：(2x 2+1)(ax 2−1)5开式中各数和为3(a −1)5=0，∴a =1，则(ax 2−1)5，即(1x 2−1)5，它的展开式的通项公式为T r+1=C 5r⋅(−1)r ⋅x 2r−10，令2r −10=−2，求得r =4；令2r −10=0，求得r =5，故(2x 2+1)(ax 2−1)5=(2x 2+1)(1x 2−1)5 的展开式中常数项是2C 54−C 55=9，故选：C ．先求得a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由S6S 3=S 3+q 3⋅S 3S 3=1+q 3=6564，得q 3=6564−1=164，解得q =14． 又a 1=2，所以a n =2×(14)n−1=2×2−2n+2=2−2n+3，所以log 2a n =log 22−2n+3=−2n +3．所以数列{log 2a n }前20项和为1+(−1)+(−3)+⋯+(3−2×20)=202(1+3−2×20)=−360． 故选：A ． 根据S6S 3=S 3+q 3⋅S 3S 3=1+q 3=6564可解得q 值，结合a 1=2可得a n ，进一步又可得log 2a n 的表达式所以可求出数列 {log 2a n }前20项和．本题主要考查等比数列的性质，考查理解与运算求解能力，涉及逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，属于简单题．11.【答案】B【解析】解：以MN 所在的直线为x 轴，以MN 的中点为坐标原点O ，建立如图所示平面直角坐标系，则椭圆τ的方程为x 2a 2+y 2b 2=1， 由题意可得，{4a +4b =72e =ca =0.6b 2+c 2=a 2，解得{a =10b =8c =6，故椭圆τ的方程为x 2100+y 264=1，∵点M ，N 为椭圆τ长轴的两个端点， ∴MN =20，∵点P 到x 轴的距离为△PMN 的高，则△PMN 的高ℎ∈(0,80]， ∴△PMN 面积的S =12MN ⋅ℎ=10ℎ∈(0,80]． 故选：B ．以MN 所在的直线为x 轴，以MN 的中点为坐标原点O ，建立如图所示平面直角坐标系，根据已知条件，求出椭圆的方程，数形结合求出点P 到x 轴的距离为△PMN 的高，再结合三角形面积公式，即可求解．本题主要考查椭圆的性质，考查数形结合能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：因为g(x)=f(x)−f(−x)， 因为g(−x)=f(−x)−f(x)=−g(x)， 所以g(x)为奇函数，因为函数g(x)=f(x)−f(−x)有4个零点，所以g(x)在(−∞,0)和(0,+∞)分别有2个零点，当x>0时，g(x)=f(x)−f(−x)=e x+1ax=0，即a=−xe x ，−a=xe x，令ℎ(x)=xe x ，ℎ′(x)=ex−xe xe2x=e x(1−x)e2x，所以在(0,1)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，在(1,+∞)上，ℎ′(x)<0，单调递减，又x→+∞时，xe x →0；x→0时，xe x→0，所以ℎ(x)max=ℎ(1)=1e，所以ℎ(x)∈(0,1e)，所以a∈(−1e,0)．故选：B．由函数的奇偶性可得g(x)为奇函数，由函数g(x)=f(x)−f(−x)有4个零点，则g(x)在(−∞,0)和(0,+∞)分别有2个零点，当x>0时，g(x)=f(x)−f(−x)=e x+1ax=0，即a=−xe x有两个根，即可得出答案．本题考查函数的性质，导数的综合应用，属于中档题．13.【答案】y=±12x【解析】解：∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，∴e=ca =√c2a2=√1+b2a2=√52，∴1+b2a2=54，∴b2a2=14，解得ba=12，∴C的渐近线方程为y=±ba x=±12x．故答案为：y=±12x．由双曲线的离心率，利用题设条件，结合离心率的变形公式能求出ba的值，由此能求出双曲线的渐近线的方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．14.【答案】(−3,2)【解析】解：画出实数x ，y 满足约束条件{y −2x −1<02y −x +1>0x +y −1<0表示的平面区域： 目标函数变形为−2x +z =y ，则z 表示直线在y 轴上截距， 截距越大，z 越大作出目标函数对应的直线L ：y =−2x 联立{2y −x +1=0 x +y −1=0，解得A(1,0)，联立{y −2x −1=02y −x +1=0，解得B(−1,−1)，作出直线2x +y =0，由图可知，平移直线2x +y =0至A 时，z =2x +y 有最大值为：2；平移直线2x +y =0至B 时，z =2x +y 有最大值为：−3． ∴z =2x +y 的取值范围是(−3,2)． 故答案为：(−3,2)．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A 时，z 最小、没有最大值，即可得到目标函数z =2x +y 的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是中档题．15.【答案】32π3【解析】解：如图，取BD中点E，连接AE，CE，可得AE⊥BD，∵三棱锥A−BCD中，BC=CD=2，BD=2√2，AC=2√2，△ABD是等边三角形，AE=√6，EC=√2，所以AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，三角形ABD的外心G，三角形BCD是等腰直角三角形，E是外心，所以G为外接球的球心，可得GE=13AE=13×√32×2√2=√63，GB=R=2×√63=2√63，∴该三棱锥的外接球表面积为4π×R2=32π3．故答案为：32π3．取BD中点E，连接AE，由已知证得AE⊥底面BCD，三角形ABD的外心G，说明G为三棱锥A−BCD的外接球的球心，求解三角形得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本小题多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】(2,2√33+1]【解析】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosC−12c=b，利用正弦定理：sinB=sinAcosC−12sinC=sin(A+C)，所以12sinC=−cosAsinC，由于：0<C、A<π，故A=2π3；利用正弦定理：b=asinBsinA =√3，c=√3；故l=a+b+c=1√3+sinC)=1√3+sin(A+B)]=1√3+π3)，由于B∈(0,π3)，故B+π3∈(π3,2π3)，所以sin(B+π3)∈(√32,1],故周长的取值范围为(2,,2√33+1].故答案为：(2,2√33+1].首先利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出A的值，进一步利用正弦定理和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)t=150+25=175，x=225−150=75，y=100−75=25，m=25+25=50，∵K2=275×(150×25−75×25)2225×50×100×175≈4.911>3.841，∴有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关．(2)由题意可得，X的所有可能值为0，1，2，3，P(X=0)=C253C503=23196，P(X=1)=C251C252C503=75196，P(X=2)=C252C251C503=75196，P(X=3)=C253C503=23196，故X的分布列为：故E(X)=0×23196+1×75196+2×75196+3×23196=32．【解析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．(2)由题意可得，X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题考查离散型随机变量分布列，以及期望和独立性检验公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：在△ABD中，设AD=a，则AB=2a，由余弦定理得，BD=√AB2+AD2−2AB⋅ADcosA=√3a，∴AD2+BD2=AB2，得AD⊥DB，翻折后有A′D⊥DB，又∵平面A′BD⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD=DB，根据平面与平面垂直的性质定理可得，A′D ⊥平面BCD ， 又∵BC ⊂平面BCD ，∴A′D ⊥BC ．在平行四边形ABCD 中，AD ⊥DB ，BC//AD ，∴BC ⊥DB ， ∵A′D ∩DB =D ，∴BC ⊥平面A′DB ． ∵BC ⊂平面A′BC ，∴平面A′BC ⊥平面A′BD ；(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DA′为z 轴，建立空间直角坐标系，可设AD =1， A′D =1,AB =2,BD =√3，则B(0,√3,0)，C(−1,√3,0)，A′(0,0,1)，∵A′M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√33,−13)，∴M(−13,√33,23)，∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√33,23)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，可取平面DC 的法向量为n⃗ =(0,0,1)， 设平面MDB 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13x +√33y +23z =0m⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y =0，可取m⃗⃗⃗ =(2,0,1)， cos m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√55， ∴二面角M −BD −C 的余弦值为√55．【解析】(1)在△ABD 中，设AD =a ，则AB =2a ，求解三角形证明A′D ⊥DB ，结合平面A′BD ⊥平面BCD ，可得A′D ⊥平面BCD ，得到A′D ⊥BC ，再证明BC ⊥DB ，即可得到BC ⊥平面A′DB ，进一步得到平面A′BC ⊥平面A′BD ；(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DA′为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了二面角的求解，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：(1)∵b n=n+2，2S n=a n b n−1，∴2S n=(n+2)a n−1，当n=1时，2a1=(1+2)a1−1，解得a1=1，当n≥2时，2S n−1=(n+1)a n−1−1，两式相减可得2a n=(n+2)a n−(n+1)a n−1，∴na n=(n+1)a n−1，即a nn+1=a n−1n，∴数列{a nn+1}是常数列，首项a11+1=12，即a nn+1=12，∴a n=n+12．解：(2)a n=2n，则{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2，∴2(2n+1−2)=2n b n−1，∴b n=4−32n，∴T n=4n−3(12+122+⋯+12n)=4n−3×12(1−12n)1−12=4n+32n−3．【解析】(1)根据数列的递推公式可得na n=(n+1)a n−1，即a nn+1=a n−1n，问题得以证明，即可求出通项公式，(2)先根据等比数列的求和公式求出S n，即可求出b n=4−32n，分组求和即可．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知F(p2,0)，M(−4,0)，∴|FM|−1=4，∴p2+4−1=4，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．(2)由题意可知，直线AB和直线PQ的斜率存在且不为0，分别设为k1，k2，则直线AB的方程为y=k1(x−1)+t，直线PQ的方程为y=k2(x−1)+t，联立方程{y =k 1(x −1)+t y 2=4x ，消去y 得：k 12x 2+(2k 1t −4−2k 12)x +k 12+t 2−2k 1t =0，由题意知△>0恒成立， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=2k 12+4−2k 1t k 12，x 1x 2=k 12+t 2−2k 1t k 12，∴|TA|⋅|TB|=√1+k 12|x 1−1|√1+k 12|x 2−1|=(1+k 12)|x 1x 2−(x 1+x 2)+1|=(1+k 12)|t 2−4k 12|，同理可得|TP|⋅|TQ|=(1+k 22)|t 2−4k 22|，由|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|得，(1+k 12)|t 2−4k 12|=(1+k 22)|t 2−4k 22|，∵k 1≠k 2，∴k 1+k 2=0．【解析】(1)先求出点F ，M 的坐标，再利用|FM|−1=4，即可求出p 的值，从而得到抛物线C 的方程．(2)由题意可知，直线AB 和直线PQ 的斜率存在且不为0，分别设为k 1，k 2，则直线AB 的方程为y =k 1(x −1)+t ，直线PQ 的方程为y =k 2(x −1)+t ，联立直线AB 由抛物线方程，利用导数弦长公式分别求出|TA|，|TB|，同理可得|TP|，|TQ|，代入|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|，即可求出直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．本题主要考查了抛物线方程，考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.【答案】(1)解：由题意，函数f(x)=12x 2−4ax +4lnx +1的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x −4a +4x =x 2−4ax+4x(x >0)，①当a ≤1时，f′(x)≥0，当且仅当a =1，x =2时，f′(x)=0， 则f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a >1时，令f′(x)=0，解得x =2a −2√a 2−1>0或x =2a +2√a 2−1>0， 当x ∈(0,2a −2√a 2−1)，x ∈(2a +√a 2−1,+∞)时，f′(x)>0， 当x ∈(2a −2√a 2−1,2a +√a 2−1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,2a −2√a 2−1)，(2a +√a 2−1,+∞)上单调递增，在(2a −2√a 2−1,2a +√a 2−1)上单调递减．综上所述，当a ≤1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(0,2a−2√a2−1)，(2a+√a2−1,+∞)上单调递增，在(2a−2√a2−1,2a+√a2−1)上单调递减．(2)证明：f′(x)=x−4a+4x =x2−4ax+4x(x>0)，由(1)可知，当a>1时，f(x)有两个极值点x1，x2，且x1+x2=4a，x1x2=4(x1>x2)，所以0<x2<2<x1，要证明f(x1)−f(x2)<−2(a−1)(x1−x2)，即证明f(x1)−f(x2)x1−x2<2−2a，又f(x1)−f(x2)x1−x2=12x12−4ax1+4lnx1+1−12x22+4ax2−4lnx2−1x1−x2=12(x1−x2)(x1+x2)−4a(x1−x2)+4(lnx1−lnx2)x1−x2=−2a+4(lnx1−lnx2)x1−x2=−2a+4ln x1x2 x1−x2=−2a+4ln x12 4x1−4x1，故所证明的不等式等价于−2a+4ln x12 4x1−4x1<−2a+2，即证明2ln x12 4x1−4x1<1，令g(x)=4ln x2−x+4x(x>2)，则g′(x)=4x−4−x2x2=−(x−2)2x2<0，故函数f(x)在(2,+∞)上单调递减，所以g(x)<g(2)=0，即4ln x2−x+4x<0，故2ln x12 4x1−4x1<1，所以f(x1)−f(x2)<−2(a−1)(x1−x2).【解析】(1)先求出函数的定义域，求出f′(x)，然后分a≤1、a>1两种情况，分别利用导数的正负研究函数的单调性即可；(2)利用极值点的含义，得到0<x2<2<x1，x1+x2=4a，x1x2=4(x1>x2)，将问题转化为证明f(x1)−f(x2)x1−x2<2−2a，即证明2lnx124x1−4x1<1，构造函数g(x)=4ln x2−x+4x(x>2)，利用导数研究函数的单调性以及取值情况，即可证明不等式．本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数与不等式的综合应用，在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x23+y2=1；点P的极坐标为(2,π4)，根据{x=ρcosθy=ρsinθ，转换为极坐标为(√2,√2)；直线l经过点P，且与极轴所成角为3π4，转换为参数方程为{x=√2−√22ty=√2+√22t(t为参数)．(2)点P的极坐标为(2,π4)，直线l经过点P，且与极轴所成角为3π4，整理得直角坐标方程为x+y−2√2=0；设点M(√3cosα,sinα)，则点M到直线的距离d=√3cosα+sinα−2√2|√2=|2sin(α+π3)−2√2|√2≤2+√2．当且仅当α=2kπ−5π6(k∈Z)时，最大距离为2+√2．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当x≤−2时，f(x)=−2x−1，所以f(x)等价于−2x−1≤7，解得−4≤x≤−2，当−2<x≤1时，f(x)=3，此时f(x)≤7恒成立，所以−2<x≤1，当x>1时，f(x)=2x+1，所以f(x)≤7等价于2x+1≤7，解得1<x≤3，综上所述，不等式f(x)≤7的解集为[−4,3]．第21页，共21页 (2)∵不等式f(x)≥x 2+mx −1的解集包含区间[−1,1]，∴不等式f(x)≥x 2+mx −1在x ∈[−1,1]上恒成立，∵当−1≤x ≤1时，f(x)=3，∴x 2+mx −4≤0 在x ∈[−1,1]上恒成立，令g(x)=x 2+mx −4，则{g(−1)≤0g(1)≤0，即{1−m −4≤01+m −4≤0，解得−3≤m ≤3， 故实数m 的取值范围为[−3,3]．【解析】(1)分x ≤−2，−2<x ≤1，x >1三种情况讨论，并取其结果的并集，即可求解．(2)将原问题转化为不等式f(x)≥x 2+mx −1在x ∈[−1,1]上恒成立，结合当−1≤x ≤1时，f(x)=3，即x 2+mx −4≤0 在x ∈[−1,1]上恒成立，再根据二次函数的性质，即可求解． 本题主要考查绝对值不等式的求解，以及函数恒成立问题，属于中档题．。
2020-2021学年山西省长治市集店中学高三数学理联考试题含解析
2020-2021学年山西省长治市集店中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．8参考答案：【知识点】循环结构 . L1【答案解析】B 解析：由题意循环中x，y的对应关系如图：当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．故选B．【思路点拨】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．2. 已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是（）参考答案：B 因为函数是增函数，所以，函数，所以选B.3. 函数的图象大致是参考答案：C4. 若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为( )A．B．C．或D．或参考答案：D【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D【点评】本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．5. 设为虚数单位，则复数=A．B．C． D．参考答案：A6. 函数的值域是（）A．[-1,1] B．C．D．参考答案：B7. 样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝（）A、B、C、D、2参考答案：D 8. 一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积关于时间的函数为，则下列图中与函数图像最近似的是参考答案：B9. 已知集合，则M∪N=（）A. [2,3)B.(3,5]C. (－∞,5]D. [2,+∞)参考答案：D【分析】求出N集合中不等式的解集确定出M与N，根据M与N的并集运算求出答案即可．【详解】已知，求解不等式，得；，即，所以M∪N=即故选：D．10. 已知数列满足：，为求使不等式的最大正整数，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（）A． B． C. D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 右图程序运行结果是▲．；参考答案：12. 已知正四棱锥O- ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________。
山西省长治市第二中学校2021届高三9月质量调研考试数学(理科)试卷含答案
投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
1
1
5
3
7
A．
B．
C．
D．
2
6．已知点 A1, 0 ， B(2,
8 3) ， C(2, m) ，向量
4 AC ， AB
的夹角为 5
8 ，则实数 m
（
）
6
A． 2 3
B． 3
C． 0
D． 3
7．已知各项为正数的等比数列 an 满足 a2a5a8 9 ﹐则 log3 a3 log3 a4 log3 a5 log3 a6 log3 a7 的
值为（ ）
A． 7 3
B． 8 3
C． 3
D． 10 3
8．已知函数 f (x) (sinx cos x)2 2cos2x 的图像向右平移 个单位长度后得到函数 g x 的图像，则函
学生，设抽到不足120 分且每周线上学习时间不足 5 小时的人数是 X ，求 X 的分布列（概率用组合数算式
表示）；
（ii）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120 分的学生中随机抽取 20 人，求这些人
中每周线上学习时间不少于 5 小时的人数的期望和方差。
（下面的临界值表供参考）
P K 2 k
13
联表：
分数不少于120 分
分数不足120 分
合计
线上学习时间不少于 5 小时
4
19
线上学习时间不足 5 小时
合计
45
（1）请完成上面列联表；并判断是否有 99% 的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
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山西省长治市2021届高三数学上学期9月第二次联考试题 理（含解析）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. {|0}A B x x =< B. A B R = C. {|1}AB x x =>D. AB =∅【答案】A 【解析】∵集合{|31}xB x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A2.已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A. 1C.2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果.【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.121()22b a ==故答案为：C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。
【详解】551log 2log 2a =<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.20.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<。
故选A 。
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。
4.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.5.设函数2()log f x x =，在区间(0,5)上随机取一个数x ，则()2f x 的概率为（ ）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】由()2f x <,得2log 2x <,即04x <<,根据几何概型的概率公式可得从区间()0,5内随机选取一个实数x ,()2f x <的概率为404505-=-,故选D.6.已知向量,a b 满足1,3a b ==，a 与b 的夹角为6π，则()()2a b a b +⋅-=（ ）A.12B. 32-C. 12-D.32【答案】A 【解析】 【分析】将待计算的数量积式子展开，然后逐项计算.【详解】因为()()222231222113322a b a b a a b b ⋅-=+⋅-=⨯+⨯+⨯-=， 所以()()122a b a b ⋅-+=， 故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积计算，难度较易.对于复杂形式的向量数量积计算可采用先展开后计算的方法来求解.7.定义运算*a b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则1(lg9lg 2)3294100*(log 8?log 3)-的值为（ ）A.1316B.92C. 4D. 6【答案】B 【解析】由对数恒等式得()13lg9lg 22lglg3lg 2229100100104⎛⎫- ⎪-⎝⎭===,由换底公式得941lg33lg213log8?log·2lg32lg24===,由题意得:(1lg9lg2291?00*log8?log⎛⎫-⎪⎝⎭的值为919919*444442⎛⎫=-=⎪⎝⎭,故选B.点睛:本题考查的是指对的运算和程序框图的综合应用,属于中档题目.判断程序框图的输出结果,是算法初步的热点问题,此类问题以循环结构的程序框图居多,要求仔细阅读程序框图,推演程序的功能,找到运算规律.本题在计算时结合了对数恒等式与换底公式进行化解.8.双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A.4B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【详解】由2,,,a b c==．,PPO PF x=∴=，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在2y x=上，112224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．9.定义在[)0,∞+上的函数()f x 满足：当02x ≤<时，()22f x x x =-；当2x ≥时，()()32f x f x =-.记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,,,,,n a a a 并记相应的极大值为12,,,,,n b b b 则11222020a b a b a b +++的值为（ ）A. 201931⨯+B. 191931⨯+C. 192031⨯+D.202031⨯+【答案】A 【解析】 【分析】确定函数极大值点及极大值求得21n a n =-.1,3n n b -=，再求和即可【详解】由题当当0x 2≤<时，()()22f x 2x x 11,x =-=--+极大值点1，极大值为1当x 2≥时，()()f x 3f x 2=-.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列故21n a n =-.1,3n n b -=,故()1213n n n a b n -=-设S=121911222020113353393a b a b a b +++=++++3S=12201333393+++两式相减得-2S=1+2(1219333+++)-()19202020313312393238313-=+⨯-=---∴S=201931⨯+故选：A【点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定n a 及n b 的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题10.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提岀的一种多项式简化算法。
秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法。
其大大简化了计算过程，即便在现代，利用计算机解决多项式的求值问題时，秦九韶算法依然是最优的算法。
用秦九韶算法计算当0.6x =时函数432()234f x x x x =+++的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分别为（ ） A. 3，5.6426 B. 4，5.6426 C. 3，5.6416 D. 4，5.6416【答案】C 【解析】 【分析】根据秦九韶算法的原理，将432()234f x x x x =+++变形，然后计算出加法次数和函数值. 【详解】因为()()()432322()234234234f x x x x x x x x xx x x =+++=+++=+++()()()234x x x x =+++，所以加法运算次数为：3，且12342.6, 4.56, 2.736. 5.6416v v v v ====， 故选：C.【点睛】本题考查利用秦九韶算法计算加法运算次数以及函数值，难度较易.11.已知函数()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩，()22g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()2g b f a +=成立，则b 的取值范围为 A. []1,2-B. 37,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 3,42⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】先由211,0()2,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩，求出函数()f x 的值域，再由存在实数a ，使得()()2g b f a +=成立，只需min ()2()g b f a ≤-即可，进而可求出结果.【详解】因为211,0()2,0xxxf x xx+⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩，当0x≥时，1()2xf x+=单调递增，故1()22xf x+=≥；当0x<时，2111()[()()]2()xx xx xf xx+-=-+=-+-≥=，当且仅当1xx-=-，即1x=-时，取等号；综上可得，()[2,)∈+∞f x；又因存在实数a，使得()()2g b f a+=成立，所以只需min()2()g b f a≤-，即2()20g b b b=--≤，解得12b-≤≤.故选A【点睛】本题主要考查分段函数的值域，存在实数a，使得()()2g b f a+=成立，转化为min()2()g b f a≤-是解题的关键，属于常考题型.12.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A. 11πB. 12πC. 13πD. 14π【答案】A【解析】根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC 如图，其中1PH HA AB BC ====，090HAB ABC ∠=∠= ，PH ⊥ 平面AHBC ，计算可得2,3PA AC PB ===5PC =放在外接球中，把直角三角形ABC 恢复为正方形ABCD ，恰好在一个球小圆中，AC 为球小圆的直径，分别过AD 和BC 做圆ABCD 的垂面，得出矩形ADGH 和矩形BCEF ，两矩形对角线交点分别为M N 、，连接MN 并取其中点为O ，则O 为球心，从图中可以看出点A P H G D 、、、、共面且都在APD ∆的外接圆上，在APD ∆中，0135PAD ∠=2,1,AP AD == 222012)2125PD =+-⨯= ，5PD =可以求出APD ∆的外接圆半径522sin13522PDR ND =='=10= ，10ND =，11,22MN MN ON === ，MN ⊥平面PAD ，则MN ND ⊥，则球的半径222211011()()222R OD CN ND ==+=+= ，外接球的表面积为2114112S ππ==，选A. 【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面PAD ⊥平面ABCD ，和我们做的平面ADGH 是同一个平面，另外作平面ADGH 和平面BCEF 的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点M N 、所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决.二．填空题。