2012复变函数试题A

深圳大学期末考试试卷
开/闭卷 闭
A/B 卷 A
课程编号 2213991301 -2213991307
课程名称
场论与复变函数
学分 3
命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 基本题总分
附加题
得分
评卷人
一、 判断题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

对的打√，错的打╳。

）
1. 0=z 是函数z
e z
f 2
)(=的可去奇点. （ ） 2. 若0lim =∞
→n n z ，则复数项级数∑∞
=1
n n z 收敛。

（ ）
3. 复函数)(z f 在简单闭曲线C 所围的闭区域D 内解析，则)()
(00
z f dz z z z f C =-⎰。

（ ） 4.b z 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的. （ ）
5. 如果恒有rot 0
=A ，则称此矢量场为无源场。

（ ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. )1()(2
2-=z e z z f 以0=z 为 级零点。

2. ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+0,Re 1n z z e s = ____。

3. 数量场z y z x 2322+=u 在点)1,0,2(-M 处沿k j i l 432z xy x +-=方向的方向导数 。

4. ∑∞
+=⎪⎭
⎫
⎝⎛14n n
z 的收敛半径为 。

5. 函数z
z z e z f z )
cos()sin()(2
+
=，计算=)('z f 。

三、计算题（本大题共5小题，每小题5分，共15分） （1）i
i )1(+
_____________ ________
学院 专业 姓名 学号 座号
( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线………………………………
（2）的值试确定为解析函数设 , , , )( 2323n m l lxy x i y nx my +++。

（3）设z
z
z f cos )(=，求留数。

四、计算积分⎰+C z
dz z z e 3
)
1(，其中C 是不经过0和-1的简单光滑闭曲线（注意分4种情况讨论）。

（16分）
五、将函数 )
(1
)(2i z z z f -=
在以i 为中心的圆环域内展开为洛朗级数（注意分成两个圆
域，即10<-<i z 以及+∞<-<i z 1展开）。

（14分）
六、利用留数定理计算dz z z C .)
1)(3(1
5
⎰--,其中C 为以i 2,2±±为顶点的正方形。

（12分）
七、已知k xz j xy i y
-+=2α，y x z u 232-=试在点M （-1，-1，1）处计算
（1）gradu ⋅α ；（2）gradu ⨯α 。

（13分）。

附加题 （30分）
1. 求级数z e z z z z f +⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
1cos 1)(22在区域+∞<<||0z 内的洛朗展式。

（18分）
2. 如果级数
∑∞
=0
n n n
z C
在它的收敛圆圆周上的一点0z 处绝对收敛.证明它在收敛圆所围的
闭区域上绝对收敛。

（12分）。