正弦定理、余弦定理(1)
第二十二讲正弦定理和余弦定理1
4.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若 等于( )
a B=45°,则角A 3, b 2,
A.30° B.30°或105°
C.60° D.60°或120°
a b 解析 :由正弦定理得 , sinA sinB asinB 3 sinA . b 2 2 又 A ( , ), A 或A .故选D. 4 3 3
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水
平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
解斜三角形应用题的一般步骤是: ①准确理解题意,分清已知与所求;
②依题意画出示意图;
③分析与问题有关的三角形; ④运用正､余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的 答案; ⑤注意方程思想的运用; ⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.
③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA; ④a:b:c=sinA:sinB:sinC.
2.余弦定理 (1)余弦定理的内容
c2=b2+a2-2bacosC,
b2=a2+c2-2accosB, a2=b2+c2-2bccosA.
(2)余弦定理的变形
b2 c2 a 2 cosA ; 2bc a 2 c 2 b2 cosB ; 2ac a 2 b2 c2 cosC . 2 ab
[探究]如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处 ( 3 1) 海里 的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的
C处的我方缉私船奉命以
海里/小时的速度追截走私船, 10 3
此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30° 方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
正弦定理和余弦定理1
（R为 ABC 的外接圆半径）
温故知新
余弦定理及推论
a b c 2bc cos A b a c 2ac cos C
2 2 2
2 2 2
c a b 2ab cos C
2 2 2
b c a cos A 2bc
2 2
2
c2 a 2 b2 cos B 2ca
A bc cos 2 2c
2
,试判断
小结：利用正弦定理将等式转化为教的三角函数关 系，进而判断三角形形状，或者通过余弦定理将已 知灯饰转化为边之间的关系，从而判断三角形的形 状。
试一试
在 ABC 中，若 (a c cos B)sin B (b c cos A)sin A ,试 判断 ABC 的形状。
课后作业
（1）在 ABC 中，若 a2 tan B b2 tan A ABC 的形状。 ,试判断
（2）在 ABC 中，若 a cos A b cos B ,试判断 ABC 的形状。
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正弦定理和余弦定理（一）
铜仁八中 龙华恩
温故知新
正弦定理及常见变形
a b c 2R sin A sin B sin C
(1)a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C a b c (2)sin A ,sin B ,sin C 2R 2R 2R
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试一试
cos A b 4 （1）在 ABC 中，若 ABC 的形状。 cos B a 3
,试判断
sin A cos B cos C （2）在 ABC 中，若 ,试判断 a b c ABC 的形状。
正弦定理和余弦定理
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[研一题] [例 2] B、b. π 在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A、
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[自主解答] π 3 ∴A＝4或4π.
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
π 又∵c>a，∴C>A.∴A＝4. 5π 6· sin 1n C ＝ π ＝ 3＋1. sin 3
第四章
三角函数
四
正弦定理和余弦定理
• 1、正、余弦定理
定理 正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ a2＋c2－2accos B b2＝a2＋b2－2abcosC c2 ＝
b2＋c2－2bccos A
内
； ； .
容
定理
变 形 形 式
正弦定理 余弦定理 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ； b2＋c2－a2 cosB= a b 2bc ②sin A＝2R，sin B＝2R， 2 a ＋c2－b2 c 2ac sin C＝2R； cos B＝ ； 2 2 2 a ＋ b － c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C＝ 2ab . ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A.
(2)由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确，即
(2)正确．
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2．在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是 否成立？
提示：∵A>B，∴a>b. a b 又∵sin A＝sin B，∴sin A>sin B. 反之，若 sin A>sin B， 则 a>b，即 A>B. 故 A>B⇔sin A>sin B.
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 常见变形a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．3．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数 一解两解一解一解| 微 点 提 醒 |1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .(√)(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(√) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .(×)(4)在△ABC 中，“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．(√) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．(×)‖自主测评‖1．(教材改编题)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．(教材改编题)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由正弦定理得b sin A ＝a sin B ， 所以2a sin B ＝3a ，即sin B ＝32，又B 为非钝角，所以B ＝π3，故选C. 3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解C ．有一解D ．解的个数不确定解析：选B 因为a sin A ＝b sin B，所以sin B ＝b a ·sin A ＝2418×sin45°＝223.又因为a <b ，所以B 有两解.4．(教材改编题)已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则最大角为( ) A.2π3 B.3π4C.5π6D.7π12解析：选A 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3k 2)＋(5k )2－(7k )22×3k ×5k＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：由cos2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：12………………考点一 利用正、余弦定理解三角形……|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的边长【例1】 (2018届贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)(一题多解)求AB 边上的高CD 的长． [解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，∴a ＝3或a ＝－2(舍去)，∴a ＝3.(2)解法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，∴CD ＝ab sin ∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 解法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.角度二 求三角形的角或角的三角函数值【例2】 (1)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2018届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则A ＝________.[解析] (1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010，故选C.(2)在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A 可得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝4sin A cos A ，∴cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0，即cos A ＝0或sin B ＝2sin A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当sin B ＝2sin A 时，根据正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，结合c ＝2，C ＝π3，得a 2＋b 2－ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2，∴A ＝π6.综上可得，A ＝π2或π6.[答案] (1)C (2)π2或π6『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa 或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化；如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．|变式训练|1．(2018届福建莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B .∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．(2019届黄冈模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若23cos 2A ＋cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值； (2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)∵23cos 2A ＋cos2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， ∴cos 2A ＝125，又A 为锐角，∴cos A ＝15，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0， 得b ＝5(负值舍去)，∴b ＝5.(2)解法一：由正弦定理可得b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， 又0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴b ＋c ∈(3，23]． 解法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ， ∴(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈ (3，23]．………………考点二 判断三角形的形状…………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 (一题多解)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[解] 解法一：利用边的关系来判断 由正弦定理得sin C sin B ＝cb，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 解法二：利用角的关系来判断 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°， 所以C ＝60°，所以△ABC 为等边三角形.『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．|变式训练|在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，所以b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， 所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .解法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B .所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 解法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， 所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.………………考点三 三角形面积的计算………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求三角形的面积【例1】 (2018届武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c . (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积． [解] (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ， 化简，得2sin B cos C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ， 即2cos B sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3.(2)由余弦正理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34.角度二 已知三角形的面积解三角形【例2】 (2018届沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b . (1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c . [解] (1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ， 又sin A ＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，∴2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ， ∴2sin B cos C ＋sin B ＝0， ∵sin B ≠0，∴cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28， ∴c ＝27.角度三 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题【例3】 (2018届沈阳市教学质量检测(一)) 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________． [解析] 由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，所以π4<A ＋π4<5π4，所以A ＋π4＝3π4，所以A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，所以bc ≤16，所以S 的最大值为8. [答案] 8『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．|变式训练|1．(2018年全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.。
正弦定理和余弦定理
第3讲 正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥ba ＞ba ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°考向一 利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且sin Acos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210. 答案255210 考向二 利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． [审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解． 解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0， 即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ， 又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断． 解 由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ， 得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]， 即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ， 由于A ，B 是三角形的内角． 故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 【训练3】 在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题． 【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B 两点的距离为()．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°∴AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()．A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β. 答案 B3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )． A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°解析 如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里D ．103海里解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°).解得BC ＝56(海里)．答案 5 6考向一 测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长． [审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】 如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ， 所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)， 同理，BD ＝32＋620(km)． 故B 、D 的距离为32＋620km. 考向二 测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系．解如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD ， ∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m)． 在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ， 所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β). 考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．[审题视点] 由于AB ＝5，∠ADB ＝45°，因此要求BD ，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin ∠ABC ，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定sin ∠BAD 即可． 解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910， ∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BD sin ∠BAD， 解得BD ＝922.故BD 的长为922. 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．【训练3】 如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.。
正弦余弦定理公式
正弦余弦定理公式
正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。
余弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，则称关系式，a^2=b^2+c^2-2bc*cosa。
正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。
余弦定理：设立三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，则表示关系式
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
c^2=a^2+b^2-2ab*cosc。
证明：
任意三角形abc，作abc的外接圆o。
并作直径bd交⊙o于d，相连接da.
因为直径所对的圆周角是直角，所以∠dab=90度，
因为同弧所对的圆周角成正比，所以∠d等同于∠c。
所以c/sinc=c/sind=bd=2r。
相似可以证其余两个等式。
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________
⇔
2sinB
＝
____________
⇔
2sin
B 2
＝
cos
A－C 2
解：由正弦定理得ab＝ssiinnAB，所以
sinB＝
2× 7
sinπ3＝
721，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，所以 7＝ 4＋c2－2c，所
以 c＝3(负值舍去)．故填 721；3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2
－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解：根据题意，结合正弦定理
可得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即 sinA＝12， 结合余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA＝8，
所以 A 为锐角，且 cosA＝ 23，从而求得 bc＝8 3 3，
所以△ABC 的面积为 S＝12bcsinA＝12×8 3 3×
所 以 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2 － 2BC·AC·cosC ＝ 1 ＋ 25 －
2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)
＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
正弦定理
正弦定理、余弦定理（一）教学过程Ⅰ．课题导入在初中，我们已经会解直角三角形．就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则有c ＝A a sin ，c ＝B b sin ，c ＝C c sin ，∴ A a sin ＝B b sin ＝C csin那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？这也是我们这一节课将要研究的问题．［师］对于A a sin ＝B b sin ＝C csin 这一关系的证明，我们一起来看下面的证法．如图，在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，作△ABC 的外接圆，O 为圆心，连接BO 并延长交圆于B ′，设BB ′＝2R ．则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB ′＝90°，∠C ＝∠B ′ ∴ sin C ＝sin B ′＝R c2∴ C c sin ＝2R 同理可得A a sin ＝2R ，B bsin ＝2R∴ A a sin ＝B b sin ＝C csin ＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立．因此，我们得到下面的定理． 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即Aa s i n ＝Bb sin ＝C csin 说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解．既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫．我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理．从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢？ a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为两向量的夹角．sin θ＝cos(90°-θ)进行转化．这一转化产生了新角90°-θ，这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j ，而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了 90°-θ这一形式，这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因．在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC ＋CB ＝AB ．而添加垂直于的单位向量j 是关键，为了产生j 与、、的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，也就在情理之中了．下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点．说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用． (2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用．向量法证明过程：(1)△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC ，则j 与AB 的夹角为90°-A ，j 与CB 的夹角为90°-C ． 由向量的加法原则可得 AC ＋CB ＝AB为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到j ·(AC ＋CB )＝j ·AB由分配律可得j ·AC ＋j ·CB ＝j ·AB∴ ｜j ｜｜AC ｜cos90°＋｜j ｜｜CB ｜co s(90°-C )＝｜j ｜｜AB ｜cos(90°-A ) ∴ a sin C ＝c sin A∴ A a sin ＝C csin另外，过点C 作与CB 垂直的单位向量j ，则j 与AC 的夹角为90°＋C ，j 与AB 的夹角为90°＋B ，可得C c sin ＝B bsin ．(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j 与AC 的夹角为90°-C ，j 与AB的夹角为90°-B ) ∴ A a sin ＝B b sin ＝C csin ．(2)△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°过点A 作与垂直的单位向量j ，则j 与AB 的夹角为A -90°，j 与的夹角为90°-C ．由AC ＋CB ＝AB 得 j ·AC ＋j ·CB ＝j ·AB即a ·cos(90°-C )＝c ·cos(A -90°) ∴ a sin C ＝c sin A ∴ A a sin ＝C csin另外，过点C 作与垂直的单位向量j ，则j 与夹角为90°＋C ，j 与夹角为90°＋B ，同理可得B b sin ＝C c sin ∴ A a sin ＝B b sin ＝C csin综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立．在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易，课本P 130的例1就属于此类问题．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．［例1］在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求b (保留两个有效数字)．评述：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理． (2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果为准确数时，或者为不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；保留的有效数字不少于四个时，使用约等号．［例2］在△ABC 中，已知a ＝20，b ＝28，A ＝40°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字)．评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是不都符合题意，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形．当然对于不符题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会．［例3］在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字)．分析：结合幻灯片§5．9．1 C ，此例题属于a ≥b 这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形．解：已知b ＜a ，所以B ＜A ，因此B 也是锐角．∵ sin B ＝6038sin 50sin ︒=a A b ＝0.5131， ∴ B ＝31°∴ C ＝180°-(A ＋B )＝180°-(38°＋31°)＝111° ∴ c ＝︒︒=38sin 111sin 60sin sin A C a ≈91． 评述：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵活性．对于例3，如果没有考虑到角B 所受限制而求出角B 的两个解，进而求出边c 两解，也可利用三角形内两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符题意的解．小结：在△ABC 中，已知a 、b 和A 时解三角形的各种情况(1)A 为锐角(2)A 为直角或钝角Ⅲ．课堂练习1．在△ABC 中(结果保留两个有效数字)． (1)已知c ＝3，A ＝45°，B ＝60°，求b ；(2)已知b ＝12，A ＝30°，B ＝120°，求a ．2．根据下列条件解三角形(角度精确到1°，边长精确到1)：(1)b ＝11，a ＝20，B ＝30° （2）c ＝54，b ＝39，C ＝115°评述：此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理，同时加强解斜三角形的能力，既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能，又要结合题目的具体情况进行正确取舍．Ⅳ．课时小结通过本节学习，我们一起研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量的工具性作用，并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边；已知两边和其中一边的对角．●资料1．判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、二解和无解三种情况．一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析．设已知a 、b 、A ，则利用正弦定理sin B ＝a Ab sin 如果sin B ＞1，则问题无解； 如果sin B ＝1，则问题有一解；如果求出的sin B ＜1，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2．利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C或sin A ＝R c C R b B Ra 2sin ,2sin ,2==． 正弦定理、余弦定理（二）课题导入1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．形式一：a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2-2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2-2ab cos C ．形式二：cos A ＝bc a c b 2222-+ cos B ＝ca b a c 2222-+ cos C ＝ab c b a 2222-+在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广．另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用．2．向量法证明余弦定理(1)证明思路分析向量数量积的定义式：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为a 、b 的夹角．在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加辅助向量的麻烦．当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，比如证明形式中含有角C ，则构造·这一数量积以使出现cos C ．同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提．(2)向量法证明余弦定理过程：如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b ．由向量加法的三角形法则可得AC ＝＋BC ，∴ AC ·AC ＝(＋BC )·(＋BC )＝2＋2·＋2＝｜｜2＋2｜｜｜｜cos(180°-B )＋｜｜2＝c 2-2ac cos B ＋a 2 即b 2＝c 2＋a 2-2ac cos B 由向量减法的三角形法则可得： ＝-∴ ·＝(-)·(-)＝2-2·＋2＝｜｜2-2｜｜｜｜cos A ＋｜｜2＝b 2-2bc cos A ＋c 2即a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A 由向量加法的三角形法则可得 AB ＝＋＝-∴ ·＝(-)·(-)＝2-2·＋2＝｜｜2-2｜｜｜｜cos C ＋｜｜2＝b 2-2ba cos C ＋a 2． 即c 2＝a 2＋b 2-2ab cos C ．评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则． (2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，与AB 属于同起点向量，则夹角为A ；AB 与是首尾相接，则夹角为角B 的补角180°-B ；与是同终点，则夹角仍是角C ．在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用通过余弦定理的两种表示形式我们可以得到，利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角．这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一，课本P 132例4属这类情况；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题．接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结．3．例题评析［例1］在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C ．(精确到1°)评述：(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为180°，可用余弦定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出． (2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算．［例2］在△ABC 中，已知a ＝2.730，b ＝3.696，C ＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′)．分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边．在第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但根据斜三角形求解经验，若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而在0°～180°之间，余弦有唯一解，故用余弦定理较好．评述：通过例2，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用，那么求边两个定理均可，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦．［例3］已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c 及S △ABC ．分析：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ，再结合三角形内角和定理求出角C ，再利用正弦定理求出边c ，而三角形面积由公式S △ABC ＝21ac sin B 可以求出．若用余弦定理求c ，表面上缺少C ，但可利用余弦定理b 2＝c 2＋a 2-2ca cos B 建立关于c 的方程，亦能达到求c 的目的．下面给出两种解法．解法一：由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A∴ A 1＝81.8°，A 2＝98.2° ∴ C 1＝38.2°，C 2＝21.8°，由C c sin 60sin 7=︒，得c 1＝3，c 2＝5 ∴S △ABC ＝21ac 1sin B ＝63，或S △ABC ＝21ac 2sin B ＝103．解法二：由余弦定理得b 2＝c 2＋a 2-2ca cos B ∴ 72＝c 2＋82-2×8×c cos60°整理得：c 2-8c ＋15＝0 解之得：c 1＝3，c 2＝5， ∴ S △ABC ＝21ac 1sin B ＝63， 或S △ABC ＝21ac 2sin B ＝103．评述：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决．故解法二应引起学生的注意．综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围：已知三边求任意角或已知两边夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法．课时小结通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法，同时又进一步了解了向量的工具性作用，并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边及夹角解三角形．正弦定理、余弦定理（三）讲授新课［例1］已知△ABC ，BD 为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝AD ∶DC［例1］分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBC DC BDC BC ABD AD ADB AB sin sin ,sin sin ==，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论．证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：ABD AD ADB AB sin sin =，即ABD ADB AD AB sin sin =在△BCD 内，利用正弦定理得：DBC DC BDC BC sin sin =，即DBC BDC DC BC sin sin =． ∵ BD 是B 的平分线． ∴ ∠ABD ＝∠DBC ， ∴ sin ABD ＝sin DBC ．∵ ∠ADB ＋∠BDC ＝180° ∴ sin ADB ＝sin(180°-∠BDC )＝sin BDC∴ CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB ===sin sin sin sin ∴DC AD BC AB =． 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用．［例2］在△ABC 中，求证：a 2sin2B ＋b 2sin2A ＝2ab sin C分析：此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理．另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B ＝2sin B ·cos B 等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形．证明一：(化为三角函数)a 2sin2B ＋b 2sin2A＝(2R sin A )2·2sin B ·cos B ＋(2R sin B )2·2sin A ·cos A＝8R 2sin A ·sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C＝2ab sin C 所以原式得证．证明二：(化为边的式子)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A ·cos A＝a 2·R b 22·ac b c a 2222-+＋b 2·R a 22·bc a c b 2222-+＝Rc ab 2(a 2＋c 2-b 2＋b 2＋c 2-a 2)＝Rc ab2·2c 2＝2ab ·R c 2＝2ab sin C评述：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A ＝2sin A ·cos A ，正弦两角和公式sin(A ＋B )＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ；由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二．三角形的有关证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题．［例3］已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B )2-sin 2C ＝3sin A sin B 求证：A ＋B ＝120°分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边．下面，我们从这两个角度进行分析．解法一：利用余弦定理将角化为边．∵ b cos A ＝a cos B ∴ b ·bc a c b 2222-+＝a ·ac b c a 2222-+∴ b 2＋c 2-a 2＝a 2＋c 2-b 2 ∴ a 2＝b 2∴ a ＝b 故此三角形是等腰三角形．解法二：利用正弦定理将边转化为角．∵ b cos A ＝a cos B 又b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A∴ 2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ∴ sin A cos B -cos A sin B ＝0∴ sin(A -B )＝0 ∵ 0＜A ，B ＜ ，∴ - ＜A -B ＜∴ A -B ＝0，即A ＝B 故此三角形是等腰三角形．评述：(1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理．要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围．另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sin B ·cos A ＝sin A cos B 两端同除以sin A sin B 得cot A ＝cot B ，再由0＜A ，B ＜ ，而得A ＝B ．Ⅲ．课堂练习1．在△ABC 中，证明下列各式：(1)(a 2-b 2-c 2)tan A ＋(a 2-b 2＋c 2)tan B ＝0 (2)2222112cos 2cos b a b B aA -=-． 证明：(1)左边＝(a 2-b 2-c 2)A A cos sin ＋(a 2-b 2＋c 2)B Bcos sin＝(a 2-b 2-c 2)·R a 2·2222a c b bc -+＋(a 2-b 2＋c 2)·R b 2·2222b c a ac-+＝])([22222222222222b c a b c a a c b a c b Rabc -+-++-+-+-R abc =(-1＋1)＝0＝右边 故原命题得证． (2)左边＝B R B A R A b a b B a A 222222222222sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21+--=---22222211)2(2)2(211b a R R b a -=+--=＝右边 故原命题得证．评述：(1)在(1)题证明时应注意两点：一是切化弦的思路，二是结合正、余弦定理将角的关系转化为边的关系； (2)题证明过程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三种形式cos2A ＝cos 2A -sin 2A ＝2cos 2A -1＝1-2sin 2A ，由于考虑到等式右端为边的关系，故选用第三种形式，在转化为边的关系时较为简便． 2．在△ABC 中，已知sin B ·sin C ＝cos 22A，试判断此三角形的类型．解：∵ sin B ·sin C ＝cos 22A∴ sin B ·sin C ＝2cos 1A +∴ 2sin B ·sin C ＝1＋cos ［180°-(B ＋C )］将cos(B ＋C )＝cos B cos C -sin B sin C 代入上式得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1∴ cos(B -C )＝1 又0＜B ，C ＜ ，∴ - ＜B -C ＜ ∴ B -C ＝0，∴ B ＝C 故此三角形是等腰三角形．评述：(1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cos A ＝2cos 22A-1的逆用，要求学生注意； (2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形．课时小结：通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断．其中，要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能．。
第一节正弦定理和余弦定理(知识梳理)
第一节正弦定理和余弦定理一、正弦定理正弦定理内容: a = b = c =2R（R为△ ABC外接圆半径）. sinA sinB sinC 变形形式: ①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.②sin A= a ,sin B= b ,sin C= c .2R 2R 2R③a∶b∶c=sin A ∶sin B ∶sin C.④a=a b=a b c.sinA sin A sinB sin A sin B sinC1. 概念理解(1) 正弦定理主要解决两类三角形问题: ①知两角和一边; ②知两边和其中一边所对应的角. 在第②类中要注意会出现两组解的特殊情况.(2) 正弦定理中边角互化公式:a=2Rsin A和sin A= a是表达式变形中2R常用公式, 在统一角度或统一长度上发挥作用.2. 与正弦定理有关的结论(1) 三角形中:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C.(2) 在△ABC中, 已知a,b 和A时, 解的情况如下:、余弦定理222余弦定理内容:a 2=b2+c2-2bc ·cos A,222b =a +c -2ac · cos B,222c =a +b -2ab · cos C.2 2 2 cos C=a b c 2ab 1. 概念理解(1) 余弦定理解决两类三角形问题 : 一是知两边及其夹角的三角形 是知三边的三角形 .(2) 利用余弦定理来解决三角形问题时 , 要注意角的取值范围 . 通常求 解三角形的内角度数时 ,不是解该角的正弦 , 而是解该角的余弦 .2. 与余弦定理有关的结论2 2 2由 cos A= b 2 2c b 2c a 2( 设 A 为最大内角 ) 若 b 2+c 2>a 2, 则该三角形为锐角三角形 .b 2+c 2=a 2, 则该三角形为直角三角形 .b 2+c 2<a 2, 则该三角形为钝角三角形 .即 sin B= 1 ,2 所以 B=π或5π.66 又因为 a>b,所以 A>B, 所以 B=π. 故选 A.62. 在△ABC 中, 已知 b=40,c=20,C=60°, 则此三角形的解的情况是 ( C )(A) 有一解(B) 有两解变形形式 :cos A=2 2 2 bca 2bc ,cos B= 222 acb 2ac(C) 无解(D) 有解但解的个数不确定解析: 由正弦定理得b = c ,sinB sinC340所以sin B= bsinC = 2 = 3 >1.c 20所以角B不存在, 即满足条件的三角形不存在. 故选 C. 3. 在△ ABC中,A=60°,AC=4,BC=2 3, 则△ ABC的面积等于. 解析: 因为si2n630o =sin4B ,sin60 sin B所以sin B=1,所以B=90°,所以AB=2,所以 S △ ABC = 1 ×2×2 3 =2 3 .2答案 :2 34. (2019 ·临海高三检测 ) 设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c. 若 b+c=2a,3sin A=5sin B, 则角 C= .解析: 由 3sin A=5sin B, 得 3a=5b.又因为 b+c=2a,所以 a=53 b,c= 37 b,33因为 C ∈(0, π ),所以 C=2π.3 答案 : 2π3考点一利用正弦定理解三角形[ 例 1] (1) 在△ ABC 中,a= 3 ,b= 2 ,B=45°, 求角 A,C 和边 c;(2) 已 知 a,b,c 分 别是 △ ABC 的 三个 内 角 A,B,C 所 对的边, 若a=1,b= 3 ,A+C=2B,求角 A 的大小 .解 :(1) 由正弦定理 a = bsinA sinB得 sin A= asinB = 3 ,b2所以 A=60°或 120°.①当 A=60°时 ,C=75°,= 6 2 . 2②当 A=120°时,C=15° ,c=2·sin 15 °= 6 2 2 解 :(2) 由 A+C=2B,A+C+B=18°0得 B=60° 所以 cos C= 22 bc 2ab (53b)2 2 7 2 b 2(73b)2 5b b3由 a= c , 得 c=a sinC =2·sin 75 sinA sinC sinA所以由正弦定理得3 = 1sin60 sinA所以sin A= 1 .2所以A=30°或150°.又因为b>a, 所以B>A.所以A=30°.利用正弦定理解三角形(1) 注重条件和图形的结合;(2) 知两边及一边对应的角时, 要区分三角形解的情况,通常情况下先利用正弦定理求角, 再利用“大边对大角”的条件排除;(3) 正弦定理的变形公式.1.(2019 ·浙江卷) 在△ ABC中, ∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC 上.若∠ BDC=4°5 , 则BD= ,cos ∠ABD= .解析:如图, 易知sin C= 4,5cos C= 3 .5在△ BDC中, 由正弦定理可得BD=BC,sinC sin BDC所以BD=BC sinC=35 =12 2.sin BDC 2 52由∠ ABC=∠ABD+∠CBD=9°0 ,可得cos∠ABD=cos(90°- ∠CBD)=sin∠CBD=sin[ π-( ∠ C+∠BDC)] =sin( ∠C+∠ BDC) =sin C ·cos ∠BDC+cos C · sin ∠BDC=4 × 2 +3×25 2 5 2 72 = 10. 2. 在△ ABC 中,B=60°,AC= 3, 则 AB+2BC 的最大值为解析: 在△ ABC 中, 由正弦定理得 AB = BC = 3 =2,sinC sin A sin 60所以 AB+2BC=2sin C+4sin A =2sin(120 ° -A)+4sin A=2 7 sin(A+ ),又因为 A ∈(0°,120 °), 所以最大值为 2 7 .答案 :2 7 考点二利用余弦定理解三角形 [ 例 2] 若△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b) 2-c 2=4,且 C=60°, 则 ab 的值为()(A) 34 (B)8-4 3(C)1 (D) 23 解析: 由已知得 a 2+b 2-c 2+2ab=4, 222 由于 C=60°, 所以 cos C= a b c =1 , 2ab 2 即 a+b-c =ab, 因此 ab+2ab=4,ab= 4 , 故选 A.3 利用余弦定理解三角形 : 一般地, 如果式子中含有角的余弦 或边的二次关系时 , 考虑使用余弦定理 .答案 : 12 2572 10其中,tan5△ABC中, 角A,B,C 的对边分别是a,b,c, 已知b=c,a 2=2b2(1-sin A), 则 A 等于( C )(A) 34π(B) 3π(C) 4π(D) 6π 解析: 在△ ABC中, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 因为b=c, 所以a2=2b2(1-cos A), 又因为a2=2b2(1-sin A), 所以cos A=sin A, 所以tan A=1, 因为A∈(0, π ), 所以A=4π, 故选 C. 考点三正、余弦定理的综合应用[ 例3] 设△ ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c, 已知 a b = a c .sin A B sinA sinB(1) 求角B;(2) 若b=3,cos A= 6 , 求△ ABC的面积.3解:(1) 因为 a b = a c ,sin A B sinA sinB所以 a b =a c , c a b所以 a 2-b 2=ac-c 2,222 所以 cos B= a c b= ac =1 ,2ac 2ac 2 又因为 0<B<π, 所以 B=π.3解 :(2) 由 cos A= 6 可得 sin A= 3 , 33由 a = b 可得 a=2, sinA sinB而 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 3 3 2 , =6,所以△ ABC 的面积 S=1 absin C= 3 3 2 . 22(1) 利用正、余弦定理解三角形的关键是根据已知条件及所 求结论确定三角形及所需应用的定理 .(2) 对于面积公式 S=1 absin C= 1 acsin B= 1 bcsin A, 一般是已知哪一 222个角就选用哪一个公式 .（2017·全国Ⅰ卷 ） △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知△2ABC 的面积为 a 2 .3sin A故 sin Bsin C= 2 .3解 :(2) 由题设及 (1) 得 cos Bcos C-sin Bsin C=- 即 cos(B+C)=- 1 . 所以 B+C=2π, 故 A=π.1 求 sin Bsin C; (2) 若 6cos Bcos C=1,a=3, 求△ABC 的周长.解 :(1) 由题设得 1 acsinB= 2 即 1 csin B= a .2 3sinA由正弦定理得 1 sin Csin 2 a 3sin Asin A 3sin A332由题设得1 bcsin A= a , 即bc=8,2 3sin A 由余弦定理得b2+c2-bc=9, 即(b+c) 2-3bc=9, 得b+c= 33 . 故△ ABC的周长为3+ 33 .类型一利用正弦定理解三角形1. 在△ABC中, 角A,B,C 所对的边分别是已知8b=5c,C=2B,则a,b,c. cos C 等于( A )(A) 275 (B)- 275 (C) ± 275 (D) 2245解析: 因为8b=5c, 所以由正弦定理, 得8sin B=5sin C.又因为C=2B,所以8sin B=5sin 2B,所以8sin B=10sin Bcos B.因为sin B ≠0, 所以cos B= 4 ,5所以cos C=cos 2B=2cos 2B-1= 7 . 故选 A.252. 在△ABC中,a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边, 向量p=(1,-3 ),q=(cos B,sin B),p ∥ q, 且bcos C+ccos B=2asin A, 则C等于( A )(A)30 ° (B)60 ° (C)120 ° (D)150 °解析: 因为p∥q,所以- 3 cos B=sin B,即得tan B=- 3 , 所以B=120°.又因为bcos C+ccos B=2asin A,2所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin 2A, 即sinA=sin(B+C)=2sin 2A, 又由sin A ≠0, 得sin A= 1 ,2所以A=30°,C=180°-A-B=30 °. 故选 A.类型二利用余弦定理解三角形3. 已知锐角△ ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+ cos 2A=0,a=7,c=6, 则 b 等于( D )(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析: 由23cos2A+cos 2A=0, 得25cos2A=1, 因为A为锐角, 所以cos A= 1.5又由a2=b2+c2-2bccos A, 得49=b2+36- 12 b,5整理得5b2-12b-65=0,解得b=- 13(舍) 或b=5.5即b=5. 故选 D.4. 若锐角△ ABC的面积为10 3 , 且AB=5,AC=8,则BC等于.解析: 设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及1 bcsin A=10 3 得sin A= 3 ,22 因为A为锐角,所以A=60°,cos A= 12 . 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A =64+25-2×40× 12=49,故a=7,即BC=7.答案:7类型三正弦定理和余弦定理的综合应用5. 在△ ABC中, ∠B=120°,AB= 2, ∠BAC的平分线AD= 3, 则AC等于( D )(A) 2 (B) 3 (C)2 (D) 623 解析: 如图, 在△ ABD中, 由正弦定理, 得sin ∠ADB=ABsin B = 2 2 = 2 . AD 3 2 由题意知0°<∠ADB<60° ,所以∠ ADB=45°,则∠ BAD=180°- ∠B-∠ADB=15°,所以∠ BAC=2∠BAD=30°,所以∠ C=180°- ∠BAC-∠B=30°, 所以BC=AB=2 , 于是由余弦定理,得AC= AB 2 3 BC2 2AB BC cos1201. 在△ ABC中, 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c. 若asin Bcos C+csinBcos A= 1 b, 且a>b, 则∠B等于( A )(A) 6π(B) 3π(C) 23π(D) 56π6 3 3 6解析: 由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= 1 sin B,2所以sin Bsin(A+C)= 1 sin B.因为sin B ≠0,所以sin(A+C)= 12 ,2 213 2 2 2 2 = 6. 故选 D.。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式.教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形知识点清单一.正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R（其中R是三角形外接圆的半径）sin A sin B si2.变形：1) a b c a b csin sin si nC sin sin si nC2）化边为角：a :b: c sin A: sin B :s in C -a si nA.b sin B a sin AJb sin Bc sin C c sin C '3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC4）化角为边：sin A a ;J sin B b ; si nA aJ7sin B b sin C c sin C c5）化角为边：sin A a sin B b si nC c2R‘2R'2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn^; b sin B c sin C a sin A;求出b与cc sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正b sin B弦定理旦泄求出c边c sin C4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U①a bsin A时，B无解；②a bsinA或a b时，B有一个解;③ bsin A a b 时，B 有两个解。
如：①已知A 60 ,a 2,b2, 3 ,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a23,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦
一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b c RABC===2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-变形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2cR ;③a:b:c=sinA: sinB: sinC;④sin sin sin sin a b c aA B C A ++=++222222222cos ;2cos ;2cos .2b c a A bc a c b B ca a b c C ab +-=+-=+-=解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。
已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。
（∵sinA>sinB ⇔22a b R R >⇔a>b ⇔A>B ）2、在在ΔABC 中，已知a,b 和A 时，解的情况如下：3、三角形中的一些常用结论在⊿ABC 中，设角A 、B 、C 的对边长度分别为（1）三角形内角和定理 A+B+C=π（2）三角形中的诱导公式Sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,（3）三角形中的边角关系三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
（4）三个重要结论①A＞B＞C⇔sinA＞sinB＞sinC;②sinA:sinB:sinC=a:b:c.③二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
01正弦定理和余弦定理
01正弦定理和余弦定理1.正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即（其中R为△ABC的外接圆半径）。
即详解：正弦定理给出了任意三角形中，三条边及其对应角的正弦之间的对应关系正弦定理的特点：1分式连等形式，各边对应各角，分子均为边长，分母均为角的正弦值；2正弦定理对任意三角形都成立；3正弦定理体现了三角形中三条边和三个内角之间的密切联系，是边和角的和谐统一。
2.正弦定理的应用利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：1已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；2已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。
详解：对于第（1）类，其解是唯一确定的，一般先有三角形的内角和为180°求得第三个角，再利用正弦定理求其余两边；对于第（2）类，其解不一定唯一，由于三角形的形状不能唯一确定，因而会出现两解、一解或无解三种情况。
解三角形一般地，把三角形的三个角A、B、C和它的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.详解：解三角形基本思路①已知三边，先用余弦定理求角；②已知两边夹角，先用余弦定理求第三边，再用正弦定理其较小角；③已知两边及一边的对角，先用正弦定理求角，注意有解、无解、多解的分析；④已知一边及两角，用正弦定理求边。
4.余弦定理余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍所得的差。
；；应用余弦定理，我们就可以从已知的两边和夹角计算出三角形的的第三条边也可以变形写成：；；从上面可知，余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式。
详解：理解、应用余弦定理应注意以下四点：1余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具；2余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；3在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一；4运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的。
余弦正弦定理
余弦正弦定理在数学中，余弦正弦定理是三角形中常用的定理之一。
它可以用来计算三角形中的各个角度和边长。
余弦正弦定理的公式如下：余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cos C正弦定理：a/sin A = b/sin B = c/sin C其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 分别表示三角形的三个角度。
余弦定理可以用来计算三角形中的任意一个角度，只需要已知另外两个角度和两条边的长度即可。
例如，如果已知三角形的两条边分别为 3 和 4，夹角为 60 度，那么可以使用余弦定理来计算第三条边的长度：c² = a² + b² - 2ab cos Cc² = 3² + 4² - 2×3×4×cos 60°c² = 9 + 16 - 12c² = 13c = √13因此，第三条边的长度为√13。
正弦定理可以用来计算三角形中的任意一个角度或边长，只需要已知另外两个角度或边长即可。
例如，如果已知三角形的两条边分别为 3 和 4，夹角为 60 度，那么可以使用正弦定理来计算第三个角度的大小：a/sin A = b/sin B = c/sin C3/sin 60° = 4/sin B = c/sin Csin B = 4sin 60°/3sin B = √3/2B = 60°因此，第三个角度的大小为 60 度。
余弦正弦定理是解决三角形问题的重要工具，可以帮助我们计算三角形中的各个角度和边长。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择使用哪种定理来解决问题。
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理
§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C分别等于什么？答案a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 还成立吗？答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立．梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝csin C.(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)类型一 正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知，CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：asin A＝2R .考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ， 则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二 已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 30°＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°sin 30°＝20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？ 解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·226＝33.∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为33，这样的角A 只有一个． 反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边． 跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 105°或15°解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a sin B ＝b sin A ，故选C.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 B解析 由sin A ＝sin C 及正弦定理，知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．4考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 C解析 易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A＝8×3222＝4 6. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 π3或2π3解析 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝3×222＝32， 又A ∈(0，π)，a >b ，∴A >B ，∴A ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 2 5解析 由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1. 正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 A解析 根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由正弦定理知sin A a ＝sin Cc ，∴sin C c ＝cos Cc，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 D解析 由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6. 故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点 用正弦定理解三角形 题点 正弦定理解三角形综合 答案 D解析 如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1.又AD ＝13BC ＝BD ，∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010.8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 (1,2)解析 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立． 函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立． 在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ， 同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析 因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103，∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32， 又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理1
定理
正弦定理
余弦定理
①已知两角和任一边，求另 ①已知三边，求各角；
解决
一角和其他两条边； 的问 ②已知两边和其中一边的对 角，求第三边和其他两 ②已知两边和它们的夹
题
角，求另一边和其他两角. 个角.
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二、三角形常用面积公式 1 (1)S＝2a·a(ha表示边a上的高)； h 1 1 1 (2)S＝2absin C＝ acsin B ＝ bcsin A ； 2 2 1 (3)S＝2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
b＝ 6， 所以 c＝4. b＝2 或 c＝4.
6，
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[冲关锦囊]
1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有
时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个 定理更方便、简捷． 2.已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的； 已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通 常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
答案：C
Hale Waihona Puke 返回7．(2011· 北京西城区一模)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a， 4 b，c，且 cos B＝ ，b＝2. 5 (1)当 A＝30° 时，求 a 的值； (2)当△ABC 的面积为 3 时，求 a＋c 的值．
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4 3 解：(1)因为cos B＝5，所以sin B＝5. a b a 10 5 由正弦定理sin A＝sin B，可得sin 30° 3 ，所以a＝3. ＝
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[精析考题] [例2] (2010· 辽宁高考)在△ABC中a，b，c分别为内角A，
B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
第4章 第6讲 第1课时 正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理必备知识自主学习1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝□1b2＋c2－2bc cos A；b2＝□2a2＋c2－2ac cos B；c2＝□3a2＋b2－2ab cos Casin A＝□4bsin B＝□5csin C＝2R常见变形cos A＝□6b2＋c2－a22bc；cos B＝□7c2＋a2－b22ac；cos C＝□8a2＋b2－c22ab(1)a＝2R sin A，b＝□92R sin B，c＝□102R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝□11b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝□12sin A∶sin B∶sin C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A2A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<ba≥b a>b a≤b解的个数□13一解□14两解□15一解□16一解□17无解3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·h a(h a表示a边上的高).(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A＝abc4R(R为外接圆的半径).(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆的半径).常用结论►(1)三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π，变形：A＋B2＝π2－C2.(2)三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sin C．②cos(A＋B)＝－cos C．③sin A＋B2＝cos C2.④cos A＋B2＝sin C2.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B．()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()2．(教材改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A．π6B．π3C．2π3D．5π63．(教材改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝．4．(教材改编)在△ABC中，已知B＝30°，b＝2，c＝2，则C＝．关键能力互动探究命题点1利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)(2024·山西太原质检)在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝2，则B等于() A．30°B．60°C．150°D．30°或150°(2)(2023·北京卷T7)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝()A．π6B．π3C．2π3D．5π6命题点睛►1．利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).2．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．针对训练(2023·天津卷T16)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a39，b＝2，A＝120°.(1)求sin B的值；(2)求c的值；(3)求sin(B－C)的值．命题点2 判断三角形的形状例2 (1)在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2B2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形(2)在△ABC 中，sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为等边三角形． 命题点睛►判断三角形形状的两种思路(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．针对训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb ＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形2．(2024·河南商丘质检)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为直角三角形．命题点3 三角形的面积问题例3 (2023·全国乙卷理T18)在△ABC 中，已知∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1. (1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD ＝90°，求△ADC 的面积．命题点睛►三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．针对训练(2023·新课标Ⅱ卷T17)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC 面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tan B；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.拓展培优10三角形中的射影定理设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A．以“a＝b cos C＋c cos B”为例，b，c在a上的射影分别为b cos C，c cos B，故名射影定理．其证明如下：[证明] 如图，在△ABC中，AD⊥BC，则b cos C＝CD，c cos B＝BD，故b cos C＋c cos B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝b cos C＋c cos B，同理可证b＝c cos A＋a cos C，c＝a cos B＋b cos A．例(1)(2023·全国乙卷文T4)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B－b cosA＝c，且C＝π5，则B＝()A．π10B．π5C．3π10D．2π5(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若c cos B＋b cos C＝a sin A，S＝312(b2＋a2－c2)，则B＝()A．90°B．60°C．45°D．30°体验练1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos B＋b cos A＝3，且sin2A＋B2＝34，b＝3，则a＝()A．34B．32C．3D．3 32．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝a cos B＋2cos A，2b＝c，若cos C＝－14，则△ABC的面积为．课时作业[基础巩固练]1．(2023·辽宁丹东二模)△ABC中，AC＝2，BC＝3，A＝60°，则cos B＝()A．±22B．±12C．12D．22 2．(2023·四川成都二模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a tan B＝203，b sinA＝4，则a的值为()A．6B．5 C．4D．33．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin A＋b sin B－c sin C＝62a sin B，则cos C＝()A．68B．66C ．64D ．634．(2023·山东济宁二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB 边上的高为2c ，A ＝π4，则cos C ＝( )A ．1010B ．31010C ．3510D ．555．已知△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 内角B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形6．(2024·广东广州质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，△ABC 的面积S ＝a 2＋b 2－c 24，且c ＝6，则△ABC 的外接圆的半径为( ) A ．63 B ．62 C ．33D ．3 27．(2023·北京西城二模)在△ABC 中，若a ＝2，tan A ＝－43，cos B ＝45，则b ＝ ．8．(2023·陕西宝鸡三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c ＝4，且满足cos C ＝sin C ，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝c －23cos A ，则a 等于．9．(2024·江西九江质检)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＝(c －b )sin C ＋b sin B ，bc ＝6，则△ABC 的面积为 ．10．(2023·山东青岛三模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c sin B ＝(2a －c )tan C ．(1)求角B ；(2)若c ＝3a ，D 为AC 的中点，BD ＝13，求△ABC 的周长．11．(2023·全国甲卷文T17)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＋c 2－a 2cos A ＝2. (1)求bc ； (2)若a cos B －b cos A a cos B ＋b cos A －bc＝1，求△ABC 面积．[能力提升练]12．(2024·山西运城质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2b 2＝sin A cos Bsin B cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形13．(2023·山东淄博一模)已知△ABO 中，OA ＝1，OB ＝2，OA →·OB →＝－1，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，则( )A ．OD →＝57OA →＋27OB →B ．OD →＝37OA →＋47OB →C ．OD →＝27OA →＋57OB →D ．OD →＝47OA →＋37OB →14．(2023·广东东莞三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求sin (2A －B )的值．。
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§1 正弦定理、余弦定理（1）
教学目的：⑴使学生掌握正弦定理 ⑵能应用解斜三角形，解决实际问题 教学重点：正弦定理
教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用 教学过程：
设置情境 引出正弦定理
师：已知ABC ∆为直角三角形，你能得到哪些边角关系？
生1：在以AB 为斜边的直角三角形中，有2
22c b a =+，A c a sin =
B c b s i n
= A b a
t a n = 090=+B A 生2：还有C c
B b A a c sin sin sin === 师：好！那么
C c
B b A a sin sin sin ==这个优美的关系式对等边三角形成立吗？对一般三角形还成立吗？
这节课我们就来研究这一问题
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即
A a sin =
B b sin =C
c
sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=
c a ，sinB=c
b
， sinC=1 即 c=
A a sin ， c=
B b sin ， c=
C c sin ． ∴A a sin =B b sin =C
c
sin 2．斜三角形中 证明一：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴
R CD D
a
A a 2sin sin === 同理
B b sin =2R ，C
c
sin ＝2R
证明二：（向量法）
过A 作单位向量j
垂直于AC 由AC +CB =AB 两边同乘以单位向量j 得 j •(AC
+CB )=j •AB
则j •AC +j •CB =j •AB
∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB
|cos(90︒-
A)
∴A c C a sin sin = ∴
A a sin =C
c
sin 同理，若过C 作j
垂直于CB 得：
C c sin =B
b
sin ∴
A a sin =
B b sin =C
c
sin 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角
讲解范例：
例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损，现测得如下数据：
cm BC 57.2=，cm BD 38.4=，045=B 0120=C 。
为了复原，请计算原玉佩两边的长
（结果精确到cm 01.0）
分析：将CE BD ,分别延长相交于一点A ，在
A B C ∆中，已知BC 的长度和角B 与C ，可
以通过正弦定理求AC AB ,的长
解：将CE BD ,分别延长交于一点A ，在
ABC ∆中，cm BC 57.2=，045=B ，
0120=C ，0
015)(180=+-=C B A
因为B AC A BC sin sin =，所以cm A B BC AC 02.715sin 45sin 57.2sin sin 0
≈==，cm AB 60.8≈ 答：原玉佩两边的长分别约为cm cm 60.8,02.7
例2：台风中心位于某市正东方向300km 处，正以h km /40的速度向西北方向移动，距离台风中心km 250范围内将会受其影响。
如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到h 1.0）？
分析：台风沿着BD 运动时，由于km km AB 250300||>=，所以开始台风影响不了城 市A ，由点A 到台风移动路径BD 的最小距离
A
C
E
D
B
km km AB AE 2505.2112
2
30045sin ||||0<≈⨯
==所以台风在运动过程中肯定要影响城市A ，这就要在
BD 上求影响A 的始点1C 和终点2C ，然后根据台风
的速度计算台风从1C 到2C 持续的时间
解：设台风中心从点B 向西北方向沿射线BD 移动，该市位于点B 的正西方向km 300处的点A ，假设经过th ，台风中心到达点C ，则在A B C ∆中，
045,40,250,300====B tkm BC km AC km AB
由正弦定理得A BC C AB B AC sin sin sin ==知8485.05
2
325045sin 300sin sin 0≈===AC B AB C 利用计算器得角020105.58,95.121≈≈C C
当0195.121≈C 时，00001005.13)95.12145(180)(180=+-≈+-=C B A
所以)(83.7945
sin 05.13sin 250sin sin 0
11km B A AC BC ≈==，h BC t 0.24083.794011≈== 同理：当0205.58≈C 时，h t km BC 6.8,4.34422≈≈，)(6.60.26.812h t t =-≈- 答：约h 2后将要遭受台风影响，持续约h 6.6
思考：通过这个问题的解决我们发现，如果已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况，还会出现其他情况吗？为什么有两个解？你还能用其他方法解决这个问题吗？ 已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA
a
sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a
a
b
C B
A
a
b
C
B
A
已知边a,b 和∠A
有两个解
仅有一个解无解
CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA
⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨
⎧>≤一解
无解 b a b a
b a ≤ 无解 b a >一解
课堂小结： （1）正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === （2）正弦定理的证明 （3）正弦定理的应用范围
①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边和角
②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角 （4）解三角形时根的个数数问题 课堂练习：
1、已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100
===∆ 解：0
30,45,10===C A c ∴0
105)(180=+-=C A B
由C c A a sin sin = 得 21030sin 45sin 10sin sin 0
0=⨯==C A c a 由C c
B b sin sin =得
25654262075sin 2030
sin 105sin 10sin sin 00
0+=+⨯==⨯==C B c b 2、在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆
解：∵213
60sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b
00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角， ∴222=+=c b a
3、C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆
解：2
3245sin 6sin sin ,sin sin 0=
⨯==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c
1360sin 75sin 6sin sin ,75600
+=====∴C B c b B C 时，当，
1360
sin 15sin 6sin sin ,151200
-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b
课后作业：
课后记：。