8-7-1方向导数与梯度

（ 其中 ( x )2 ( y )2 ( z )2 ）
设方向 L 的方向角为 , ,
x cos ,
y cos ,
z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任 意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f f f cos cos cos . l x y z
例如, 函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点 P 的等高线 f ( x , y ) c 在这点的法线的一个方 向相同，且从数值较低 的等高线指向数值较高 的等高线，而梯度的模 等于函数在 这个法线方向的方向导 数．
设 e cos i sin j 是方向 l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f f f f cos sin { , } {cos , sin } l x y x y gradf ( x, y ) e | gradf ( x, y ) | cos ,
两边同除以 , 得到
f ( x x , y y ) f ( x , y )

故有方向导数
f x f y o( ) x y
cos
sin
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) f lim cos sin . l 0 x y
设函数 z f ( x , y )在平面区域 D 内具有一阶连续偏导 f f 数， 则对于每一点 P ( x, y ) D ， 都可定出一个向量 i j， x y 这向量称为函数 z f ( x , y )在点 P ( x, y ) 的梯度，记为 f f j. gradf ( x , y ) i x y 定义
解 由方向导数的计算公式知 f f x (1,1) cos f y (1,1) sin l (1,1) ( 2 x y ) (1,1) cos ( 2 y x ) (1,1) sin ,
cos sin 2 sin( ), 4 故 （1）当 时， 方向导数达到最大值 2 ; 4 5 （2）当 时， 方向导数达到最小值 2 ; 4
P
o
x
设 x 轴正向到射线 l 的转角 为 , 并设 P ( x x , y y ) 为 l 上的另一点且 P U ( p ).
（如图）
y
l
P
P x


y
o
x
| PP | ( x )2 ( y )2 ,
且 z f ( x x, y y ) f ( x, y ),
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得 最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.
类似地,设曲面 f ( x, y, z ) c 为函数 u f ( x, y, z ) 的等量面，此函 数在点 P ( x , y , z )的梯度的方向与过点 P 的等量面 f ( x, y, z ) c 在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值 较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 u f ( x, y, z ) 在空间区域 G 内具有一阶连续偏 导数，则对于每一点 P ( x , y, z ) G ，都可定义一个向量(梯度)
f f f gradf ( x , y , z ) i j k. x y z
例 3 设 n 是曲面 2 x 2 3 y 2 z 2 6 在点 P (1,1,1) 处的指
1 向外侧的法向量，求函数 u ( 6 x 2 z n的方向导数. 解 令 F ( x , y , z ) 2 x 2 3 y 2 z 2 6,
Fx
P
1 8 y 2 ) 2 在此处沿方向
依定义，对可导函数 f ( x, y )，在点 P 沿着 x 轴正向 e1 {1,0}、y 轴正向 e2 {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着 x 轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
反之，如果 z f ( x , y ) 沿任意方向的方向导数都存在， 则沿 x 轴正向、 y 轴正向的方向导数分别为 f , f ； x y

3 7 （3）当 和 时， 方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u f ( x, y, z )，它在空间一点 P ( x , y, z ) 沿着方向 L 的方向导数 ，可定义为
f f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z ) lim , l 0
偏导数存在
梯度在方向 l 上的投影.
思考题
讨论函数 z f ( x , y ) x 2 y 2 在 (0,0) 点处的偏导 数是否存在？方向导数是否在？
思考题解答
z x
( 0,0 )
f ( x ,0) f (0,0) | x | lim lim . x 0 x 0 x x
二、梯度的概念
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)， (5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属 板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成 反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行 才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度 方向）爬行．
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第八章
一、方向导数的定义
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点P沿某一方向的变化率问题．
设函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域 U ( P ) 内有定义，自点 P 引射线 l．
y
l
P



x
y
当 P 沿着 l 趋于 P 时，
0
z 考虑 ,
lim
f ( x x , y y ) f ( x , y )

是否存在？
定义 函数的增量 f ( x x , y y ) f ( x , y ) 与PP 两点 间的距离 ( x )2 ( y )2 之比值，当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存 在，则称这极限为函数 在点 P 沿 方向 l 的方向导数． f f ( x x , y y ) f ( x , y ) 记为 lim . l 0
其中 ( gradf ( x , y ), e ) 当 cos( grad f ( x, y ), e ) 1时，
f 有最大值. l
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最 大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度 的模为
f f | gradf ( x , y ) | . x y
例 1 求函数 z xe 2 y 在点 P (1,0)处沿从点 P (1,0) 到 点 Q( 2,1) 的方向的方向导数. 解 这里方向 l 即为 PQ {1,1}, 故 x 轴到方向 l 的转角 . 4
z e2 y 1; ( 1, 0 ) x ( 1, 0 )
| y | ( 0 , 0 ) lim y 0 y
z 同理： y
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向 l { x , y , z }的方向导数,
z l
( 0,0 )
lim
f ( x , y ) f (0,0)
0

lim
( x ) 2 ( y ) 2 ( x ) ( y )
2 2
0
2
2
在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面
zc
z f ( x, y) 所截得 , z c y f ( x , y ) c2
所得曲线在xoy面上投影如图
P
f ( x , y ) c1
等高线
f ( x, y ) c
o
x
等高线的画法
播放
4 x P 4,
Fy
P
6 y P 6,
Fz P 2 z P 2,
故
n Fx , F y , Fz 4, 6, 2,
方向余弦为


n 4 2 6 2 2 2 2 14 ,
2 cos , 14
u 6x x P z 6 x 2 8 y 2
定理
如果函数 z f ( x , y )在点 P ( x, y ) 是可微分的，那末函数
在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f f cos sin ， 其中 为 x 轴到方向 L 的转角． l x y
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) x y o( ) x y
3 cos , 14
6 ; 14
1 cos . 14
P
u 8y 8 ; y P z 6 x 2 8 y 2 14 P
u 6 x2 8 y2 14. 2 z P z P
故
u u u u 11 ( cos cos cos ) . n P x y z 7 P
z 2 xe 2 y 2, (1,0 ) y (1,0)
所求方向导数
2 z cos( ) 2 sin( ) . 2 4 4 l