【配套K12]七年级数学下册 2.2 乘法公式 活学活用平方差公式素材 (新版)湘教版
七年级数学下册《平方差公式的8个变化》,收藏给孩子背诵掌握!
七年级数学下册《平方差公式的8个变化》，收藏给孩子背诵掌握！平方差公式的定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差平方差公式字母表现形式：（a+b）（a-b）=a²-b²平方差公式是初中数学最基本、用途最广泛的公式。
学习时不仅记住公式的形式，还要把握住公式的实质，更重要的是弄清其形式的八个变化，以便更好地运用。
1、位置变化：(a+b)(-b+a)=(b+a)(a-b)=(a+b)(a-b)=a²-b²2、符号变化：(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a²-b²)=b²-a²3、系数变化：(k1a+k2b)(k1a-k2b)=(k1a)²-(k2b)²=k1²a²-k2²b² (k1,k2均不为0)4、指数变化：(aⁿ+bⁿ)(aⁿ-bⁿ)=(aⁿ)²-(bⁿ)²=a²ⁿ-b²ⁿ（n为正整数）5增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)²-c²6、数字变化：有的数字乘法，变化后可用平方差公式计算：123456789²-123456788x1234567890解：原式=123456789²-(123456789-1)x(123456789+1)=123456789²-(123456789²-1)=123456789²-123456789²+1=17、连用公式变化：(a-b)(a+b)(a²+b²)(a^4+b^4)...(a^2n+b^2n)=a^2(n+1)+b^2(n+1)（n为正整数）8、逆用公式的变化：a²-b²=(a+b)(a-b)。
乘法公式之平方差公式
乘法公式之平方差公式平方差公式是一种与乘法相关的数学公式，用于计算两个数的平方之差。
它的应用领域非常广泛，例如在代数、几何、物理等方面都有广泛的运用。
在这篇文章中，我们将详细介绍平方差公式，并给出一些实际问题的例子来说明它的应用。
平方差公式的数学表达式如下：(a+b)*(a-b)=a^2-b^2其中，a和b是任意实数。
平方差公式可以通过展开左边的乘法式，然后合并项得到右边的表达式。
这个公式起到了将两个数的平方之差转化为两个数的乘积的作用，方便了计算和运算。
平方差公式的证明可以通过配方法来完成。
我们将上述公式左边的乘法式进行展开：(a+b)*(a-b)=a*a-a*b+b*a-b*b由于乘法满足交换律，所以可以简化为：a*a-a*b+a*b-b*b再次合并相同项，得到：a*a-b*b这正是右边公式的表达式，证明了平方差公式的正确性。
接下来，让我们通过一些实际问题的例子来说明平方差公式的实际应用。
例子1：假设小明家的房子面积为40平方米，房子的长和宽相差5米，问房子的长和宽各是多少米？解：设房子的长为x米，宽为x-5米。
根据题意，可以列出方程：x*(x-5)=40应用平方差公式展开上式：x^2-5x-40=0我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法解这个一元二次方程，求得房子的长和宽分别为10米和5米。
例子2：公司在去年和今年的年度销售额分别为100万和120万。
问今年的销售额比去年增长了多少百分比？解：设去年的销售额为a万，今年的销售额为b万。
根据题意，可以列出方程：(b-a)*(b+a)=20应用平方差公式展开上式：b^2-a^2=20我们可以求解这个二元一次方程，得到b=110万。
今年的销售额比去年增长了10%。
通过以上两个例子，我们可以看到平方差公式在实际问题中的应用。
它可以帮助我们将复杂的运算转化为简单的乘法运算，方便了计算和解题。
除了上述例子，平方差公式在代数中的运用也非常广泛。
例如，在因式分解中可以使用平方差公式将二次多项式进行因式分解。
湘教版七年级数学下册_2.2 乘法公式
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，公
式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方
和，另一项是这两项的乘积的2倍.
2.理解字母a，b的意义：公式中的字母a，b可以表示具体的
数，也可以表示含字母的单项式或多项式.
3. 口诀记忆：
头平方和尾平方，头(乘)尾两倍在中央，中间符号照原样.
1. 移位置 : 有时交换位置，改变运算顺序，可利用
乘法公式简化计算 .
2. 整体 : 有时将其中几项看成一个整体 ，从而构造
出特殊的结构，利 用 乘法公式简化计算 .
3. 转化 : 将较复杂的未知问题，经过变形，转化为
可轻易解决或已解决的问题 .
感悟新知
解题秘方：紧扣多项式之间的特征，运用移位置、 知3－练 整体或转化的方法寻找乘法公式，进 行计算 .
知1－练
感悟新知
知1－练
方法点拨 运用平方差公式计算两数乘积时， 关键是找到这两个
的平均数，再将原数与这个平均 数进行比较， 变成两 数 的和与差的积的形式 .
感悟新知
知识点 2 测量质量
知2－讲
1. 完全平方公式： 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和， 加(或减)它们的积的 2 倍 .
用字母表示为( a+b ) 2=a2+2ab+b2， (a － b) 2=a2 － 2ab+b2.
感悟新知
知3－讲
特别解读 为了体现乘法公式的结构特征，常运用到交换
律和结合律.
感悟新知
例5
计算： (1) ( b － 3 ) ( b2+9 ) ( b+3 ) ；
湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.1平方差公式教学设计
湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.1平方差公式教学设计一. 教材分析湘教版七年级数学下册2.2节主要介绍平方差公式。
平方差公式是基本的乘法公式之一，对于学生理解和掌握整式的乘法运算非常重要。
本节内容通过具体的例子引入平方差公式，并引导学生理解和记忆公式。
教材中包含了平方差公式的推导过程，以及公式的应用实例。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了有理数的乘法、整式的加减法等基础知识。
他们对乘法运算有一定的理解，但可能对于平方差公式的推导和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的理解情况，通过具体的例子和练习，帮助学生理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解平方差公式的含义，掌握公式的推导过程，并能够运用公式进行整式的乘法运算。
2.过程与方法：学生通过观察、思考、交流等过程，培养解决问题的能力和团队合作能力。
3.情感态度与价值观：学生能够对数学产生兴趣，培养积极的学习态度和自信心。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导和应用。
2.难点：理解平方差公式的含义，并能够灵活运用公式进行整式的乘法运算。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的例子和情境，引发学生的思考和兴趣，帮助学生理解平方差公式。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习动力。
3.合作学习法：学生进行小组合作，培养学生的团队合作能力和交流能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括平方差公式的推导过程、例题和练习题。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固学生的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的例子，引出平方差公式的概念。
例如，可以给学生一个矩形的长和宽，让学生计算矩形的面积，然后引导学生思考如何用乘法公式来简化计算。
2.呈现（15分钟）呈现平方差公式的推导过程，用具体的例子解释公式的含义。
可以通过步骤逐步展示公式的推导，让学生跟随老师的思路一起思考。
七年级数学下册 2.2 乘法公式 构造”完全平方公式”解题素材 (新版)湘教版
构造”完全平方公式”解题完全平方公式是初中代数公式中重中之重的公式，在许多数学解题中若能根据题目的结构特点，构造出完全平方公式解题，往往能使求解简捷.现举例说明.一、处理有关比较复杂的有理数的计算问题例1 计算：1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452.简析 1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452＝－1.345(1.3452+0.3452－0.345×2.96)＝－1.345[(1.345－0.345)2+2×1.345×0.345－0.345×2.96]＝－1.345×12＝－1.345. 说明 在有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用完全平方公式的变形式，可简化运算过程，提高运算效率，培养良好的数学素质.本题计算时，先逆用乘法的分配律，将－1.345移到外面，再巧妙地运用完全平方公式.二、处理有关比较复杂的代数式求值问题例2 已知a +b +c ＝0，a 2+b 2+c 2＝4，试求：a 4+b 4+c 4的值.简析 乍看待求式和已知条件毫无关系，但细细琢磨一下，可将c 视为已知数，对a 、b 构造完全平方公式.即由已知条件，得a +b ＝－c ，a 2+b 2＝4－c 2.而ab ＝21[(a +b )2－(a 2+b 2)]＝21[(－c )2－(4－c 2)]＝c 2－2，所以a 4+b 4＝(a 2+b 2)2－2a 2b 2＝(4－c 2)2－2(c 2－2)2＝8－c 4.所以a 4+b 4+ c 4＝8.说明 利用完全平方变形式可以巧妙、灵活的求出较复杂的代数式的值.三、确定最大或最小值问题例3 试求多项式x 2+4y 2－8x +12y +5的最小值.简析 由于x 2+4y 2－8x +12y +5＝x 2－8x +16+4y 2+12y +9－20＝(x －4)2+(2y +3)2－20.而(x －4)2≥0，且(2y +3)2≥0，所以(x －4)2+(2y +3)2－20的最小值为－20，即多项式x 2+4y 2－8x +12y +5的最小值是－20.说明 学习了完全平方公式，配方则灵活运用完全公式行之有效的一种途径，所以同学们应熟练记忆一些有关完全平方公式的一些变形等式.如，（1）a 2+b 2＝(a +b )2－2ab ＝(a －b )2+2ab ； （2）ab ＝21[(a +b )2－(a 2+b 2)]＝41[(a +b )2－(a －b )2]＝2222⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a ； （3）(a +b )2+(a －b )2＝2a 2+2b 2；（4）a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca ＝21[(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2].等等.四、解特殊结构特点的方程2 例4 解方程：x 2+y 2+z 2－21x +6y －10z +31116＝0. 简析 将原方程变形为：x 2－21x +116+y 2+6y +9+z 2－10z +25＝0.所以(x －14)2+( y +3)2+( z －5)2＝0，此时由非负数的性质“若干个非负数的和为零，这几个非负数均为零”，得(x －14)2＝0，( y +3)2＝0，( z －5)2＝0，解得x ＝14，y ＝－3，z ＝5.所以原方程的解是：x ＝14，y ＝－3，z ＝5.说明 一个方程含有几个未知数，要求其解，一般只有通过智取，不能强攻，通常想到利用配方，运用非负数的性质等等知识求解.另外，遇到此类问题，一般一些常数的分解规律：5＝1+4，10＝1+9，13＝4+9，34＝9+25，等等，即一般分解成两个或几个完全平方数即可.。
平方差公式所有公式
平方差公式所有公式1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是最基本的平方差公式，也被称为差平方公式。
它告诉我们，如果要计算一个数的平方与另一个数的平方之差，可以将这两个数的和和差相乘，即可得到平方差的结果。
2. (a + b)² = a² + 2ab + b²这是平方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的平方，可以将这两个数的平方和它们的乘积相加。
3. (a - b)² = a² - 2ab + b²这是平方差公式的另一种形式，它告诉我们，如果要计算两个数的差的平方，可以将这两个数的平方减去它们的乘积的两倍。
4. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的立方与另一个数的立方之差，可以将这两个数的差和它们的平方和乘积相乘。
5. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的立方，可以将这两个数的和和它们的平方差相乘。
6.a⁴-b⁴=(a²-b²)(a²+b²)这是四次方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的四次方与另一个数的四次方之差，可以将这两个数的平方差和它们的平方和相乘。
7.a⁴+b⁴=(a²+b²)(a²-b²)这是四次方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的四次方，可以将这两个数的平方和和它们的平方差相乘。
8. a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)这是五次方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的五次方与另一个数的五次方之差，可以将这两个数的差和它们的四次方和相乘。
平方差公式知识点归纳总结
平方差公式知识点归纳总结平方差公式是数学中常用的公式之一，用于计算两个数的平方之差。
在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将对平方差公式的定义、原理、应用以及相关例题进行全面的总结和归纳。
一、平方差公式的定义和原理平方差公式是指对于任意实数a和b，有：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2这个公式也可以写成：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)平方差公式的原理是基于多项式的乘法公式进行推导，通过展开和合并同类项的方法，可以得到上述等式。
二、平方差公式的应用1. 因式分解平方差公式在因式分解中经常被使用。
对于二次三项式或含有平方项的多项式，可以利用平方差公式将其分解为两个因式的乘积。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其分解为(x + 2)(x - 2)。
2. 数列求和平方差公式在数列求和中也有应用。
考虑一个等差数列：a, a + d, a + 2d, ..., a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。
当我们计算这个数列的平方和时，可以利用平方差公式简化计算。
例如，要求等差数列1, 3, 5, 7的平方和，可以利用平方差公式将其化简为：(1^2 + 7^2) + (3^2 + 5^2) = 503. 平方差法求根平方差公式还可以在求解方程中使用。
特别是在二次方程的解法中，通过巧妙地运用平方差公式，可以简化求解的过程。
例如，对于二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以利用平方差公式将其化简为：(x - 2)(x - 3) = 0从而得到方程的两个根x = 2和x = 3。
三、平方差公式的例题1. 例题一：计算(7 + 3)(7 - 3)的值。
解：根据平方差公式，我们有：(7 + 3)(7 - 3) = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 402. 例题二：分解多项式x^2 - 9y^2。
解：利用平方差公式，我们可以得到：x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y)通过展开乘法，可以验证这个分解是正确的。
七年级数学下册2.2乘法公式平方差公式的运用技巧素材
平方差公式的运用技巧平方差公式（a+b)（a－b）=a2－b2是恒等式,是初中数学中的重要公式,公式中的字母可以表示数字,也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式。
在灵活运用平方差公式解答有关问题时,应注意以下三种技巧：一．正用技巧1.直接运用平方差公式例1 计算:（－3a+2b）（－2b－3a）。
分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用,通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的。
解：原式=(－3a）2－（2b)2=9a2－4b2。
2．连续运用平方差公式例2 计算:（x+2）（x2+4）(x－2) 。
分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式,就可以求到结果。
解：原式=(x2－4) (x2+4）=x4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：（2a+b－c+6)（2a－b+c+6)。
分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项,然后再合并同类项,但是若能把（2a+6)、(b－c）看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算。
解:原式=［（2a+6）+（b－c）][(2a+6）－（b－c）］=（2a+6)2－(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2。
二．逆用技巧灵活正确掌握好平方差公式的逆用,对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算: （a+2）2－（a －2）2。
分析:此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁,若根据题目的特点，直接逆用平方差公式,便可化繁为简,迅速求解。
解:原式=［(a+2）+（a －2)]［ （a+2)－(a －2）］=2a×4=8a 。
例5 计算:（1－221)（1－231）（1－241）…（1－220081)。
平方差公式所有公式
平方差公式所有公式
平方差公式是数学中的重要公式，它用于展开两个数的平方差。
以下是几个常见的平方差公式：
1.(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 这个公式被称为平方差公式的基本
形式，它表示两个数的和与差的乘积等于这两个数的平方
之差。
2.(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 平方差公式的展开形式之一，表
示两个数之和的平方等于这两个数的平方加上两倍的乘积。
3.(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 平方差公式的展开形式之二，表
示两个数之差的平方等于这两个数的平方减去两倍的乘积。
4.a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) 基本形式的逆向形式，表示两个数
的平方之差可以被因式分解为两个数的和与差的乘积。
这些是平方差公式的一些常见形式。
根据需要，还可以根据具体情况将公式进行变形和扩展。
湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.1平方差公式说课稿
湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.1平方差公式说课稿一. 教材分析湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.1平方差公式是本节课的主要内容。
平方差公式是数学中一个重要的乘法公式，它可以帮助我们简化二次方程的求解过程，对于学生后续学习初中数学和高中数学都有很大的帮助。
教材通过引入平方差公式，让学生在理解的基础上掌握公式的推导过程和应用，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了整数的乘法、除法、因式分解等基础知识，对于新的知识有较强的接受能力。
但同时，由于七年级学生的逻辑思维能力和抽象思维能力还在发展中，因此，在教学过程中需要注重引导，让学生在理解的基础上掌握平方差公式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式，能够运用平方差公式进行简单的计算和问题求解。
2.过程与方法目标：通过探究平方差公式的推导过程，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探究的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用，解决实际问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用“引导发现法”进行教学，通过问题引导，让学生自主探究平方差公式的推导过程。
同时，运用多媒体教学手段，展示平方差公式的动画演示，帮助学生形象地理解公式。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习之前学过的知识，引出本节课的主题——平方差公式。
2.自主探究：让学生通过小组合作，共同探究平方差公式的推导过程。
3.公式讲解：教师讲解平方差公式的含义和应用，让学生在理解的基础上掌握公式。
4.例题解析：通过典型例题，讲解平方差公式的运用，让学生学会解决实际问题。
5.练习巩固：让学生进行课堂练习，检验对平方差公式的掌握程度。
6.拓展延伸：引导学生思考平方差公式在实际生活中的应用，提高学生的解决问题的能力。
最新人教部编版七年级下册数学《平方差公式》精品课件
解：（1）(3x＋2)(3x－2)
=(3x)2－22 =9x2－4；
（2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2 =4a2－b2.
例3 计算: (1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4 =9996 （2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152 － （20152－12 )
= 20152 － 20152+12 =1
4.利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
5.化简： (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
= - 4y + 1.
当堂练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）（x+2)(x-2)=x2-2 不对
改正：（1）（x+2)(x-2)=x2-4 （2）（-3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对
改正方法1：（-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2）（3a-2)] =-(9a2-4) =-9a2+4
=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4a2－9；
（4）(－2x2－y)(－2x2+y)；
初中数学要点课件(平方差、完全平方公式)
(a+b)² =(a+b)(a+b)
=a*a+a*b+b*a+b*b
=a²+2ab+b²
平方差、完全平方公式推算
完全平方公式-差平方公式
推算过程
(a-b)²=a²-2ab+b²
(a-b)² =(a-b)(a-b)
=a*a+a*(-b)+(-b)*a+(-b)*(-b)
注意：正负数相乘后符号的变化!
平方差公式
(a+b)(a-b)=a²-b²
推算过程
(a+b)(a-b)
=a*a+a*(-b)+b*a+b*(-b)
注意：正负数相乘后符号的变化!
=a²-ab+ab-b² = a²-b²
平方差、完全平方公式推算
完全平方公式-和平方公式
推算过程
(a+b)²=a²+2ab+b²
七年级数学下册 平方差、完全平方公式
一、平方差、完全平方公式及推算
平方差、完全平方公式
平方差公式
完全平方公式 和平方公式(理解为两数之和的平方)
(a+b)(a-b)=a²-b²
(a+b)²=a²+2ab+b²
差平方公式(理解为两数之差的平方)
(a-b)²=a²-2ab+b²
平方差、完全平方公式推算
=a²-2ab+b²
二、公式应用
平方差应用-例题1
[K12学习]七年级数学下册 2.2 乘法公式 平方差公式、完全平方公式应用例说素材 (新版)湘教版
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平方差公式、完全平方公式应用例说例1 计算（1）)1)(1(+-ab ab ； （2）)32)(32(---x x ； （3）1022； （4）992.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算. （2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(x x --+-,然后运用平方差公式计算.（3）可将1022改写为2)2100(+,利用两数和的平方公式进行简便运算.（4）可将992改写为2)1100(-，利用两数差的平方公式进行简便运算.解：（1）)1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ； （2）)32)(32(---x x = )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--； （3）1022= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+； （4）992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-.例2 计算 （1）)1)(1(-+++b a b a ；（2）2)2(p n m +-.【点拨】（1）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将)(b a +看作是一项. （2）先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算. 解：（1）)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ；（2）2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+- =2224244p np mp n mn m +-++-.【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：222)(b a b a +=+或222)(b a b a -=-这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.例3 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少? 【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22+=+x x 即399622+=++x x x ，解得 x=5. 答:这个正方形的边长是5cm .例4 当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a ---+=-=时，求的值.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果.解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+ =2222228484449b ab a b ab a b a -+=-+--； 当时，1,1=-=b a222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8（-1）81)1(42-⨯-+=-4.例5 求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数. 【点拨】运用完全平方公式将22)12()12(--+n n 化简，看所得的结果是否是8整数倍.证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n =n n n n n 814414422=-+-++， 又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.例6 解不等式 2)2(9)43)(43(->-+x x x .【点拨】将乘法公式与解不等式相联系，用乘法公式将不等式两边化简、整理，转化成一元一次不等式的一般形式.解：去括号，得 3636916922+->-x x x ，移项、合并，得913>x .例7 2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几? 【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过20052天的后一天是星期几，可以想办法先求出20052是7的多少倍数还余几天.解：20052=93)2867(2)2867()32867(22+⨯⨯⨯+⨯=+⨯=277)2866()2867(2++⨯⨯+⨯. 显然2005年12月1日是星期四，再过20052天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日. 例8 观察下列等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，……请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n n n n n 且1(12)1(22≥-=--为整数).例9 已知2294y Mxy x +-是一个完全平方式,求M 的值.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,22y x 与项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2)32(y x ±,由完全平方公式就可以求出M. 解：根据2)32(y x ±=229124y xy x +±得: 12±=-M .∴12±=M 答:M 的值是±12.例10 计算1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 【点拨】若按常规思路从左到右逐个相乘，比较麻烦；如果乘或除以一个数或一个整式，将本来复杂的问题转化成我们已知的、熟悉的，从而找到问题的捷径.解:1584221)211)(211)(211)(211(+++++ =158422121)211)(211)(211)(211)(211(+÷++++- =1584222121)211)(211)(211)(211(+÷+++-=158442121)211)(211)(211(+÷++-=15882121)211)(211(+÷+-=15162121)211(+÷-=2-15152121+=2.例11(泰州市)如下图是由边长为a 和b 的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是 ．【点拨】本题考查借助图形的面积直观认识平方差公式,使学生学习数形结合的思想方 法.答案为:22))((b a b a b a -=-+或 22b a -= ))((b a b a -+.。
七年级数学下册2.2乘法公式活学活用平方差公式素材湘教版(new)
活学活用平方差公式平方差公式是整式乘法中的一个重要公式，掌握好平方差公式并能灵活的使用,可提高计算速度和计算能力．一、活学公式平方差公式：(a+b)（a-b）=a2—b2.文字语言: 两个数和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.理解公式: (1)公式中a、b可以表示具体的正数，负数、字母,也可以是单项式或多项式或一般的代数式．（2)只有符合平方差公式形式或可以转化为平方差公式形式的多项式相乘,才能使用公式.二、活用公式1。
交换位置后用公式例1 计算（xy—5）(—xy—5）。
分析: 本题两个因式中，含—5项的符号相同，含xy项的系数符号相反,所以可以使用公式(a+b）(a-b）=a2-b2进行计算，其中—5相当于公式a，xy相当于公式中的b,为了使用公式,可交换位置，将式子变为公式的形式.解:(xy-5）(-xy-5）=(—5+xy）（—5-xy）=（—5）2—(xy)2=25-x2y2.2.先变系数后用公式例2 计算（2x+4y)(x-2y）.分析：观察式子的特点,(2x+4y）可变成2(x+2y)，通过变形后，就可以利用平方差公式进行计算了。
解： (2x+4y）（x-2y)=2（x+2y)（x—2y)=2(x2-4y2)=2x2-8y2。
3.先结合后用公式例3 计算(x+2y）（x2+4y2)（x-2y）.分析：本题有三个因式,如果从左到右依次计算，计算起来有些麻烦,仔细观察可以发现，第一因式与第三因式正好符合平方差公式的特征.可以先将第一因式与第三项结合,利用平方差公式计算得（x2-4y2），再与(x2+4y2）相乘,又可使用平方差公式。
.解: (x+2y)(x2+4y2）(x—2y)=(x+2y）(x-2y）(x2+4y2）=（x2-4y2)（x2+4y2）=x4-16y4。
4.连续逆向使用公式例4 计算（a8+b8）(a4+b4）(a2+b2)(a+b)(a-b）。
分析:观察所给式子因式比较多，根据式子的特点，可以利用乘法的结合律，从右向左连续使用平方差公式。
七年级数学下册 2.2 乘法公式 例谈“平方差公式”的灵活运用素材 (新版)湘教版
例谈“平方差公式”的灵活运用平方差公式应用十分广泛，且有较强的灵活性和技巧性．若能正确掌握和灵活这个公式，可大大简化运算．下面就平方差公式的几个方面的运用举例予以说明．一、直接运用平方差公式例1 计算（m 32＋n 21）（m 32－n 21）． 解：原式=（m 32）2－（n 21）2=294m －241n ． 二、连续运用平方差公式 例2 计算（a －21）（a ＋21）（2a ＋41）（4a ＋161）． 分析：本题连续应用平方差公式，便使问题获解． 解：原式=（2a －41）（2a ＋41）（4a ＋161）=（4a －161）（4a ＋161）=8a －2561． 三、逆用平方差公式例3 计算（8a ＋6b ）2－（8a －6b ）2． 解：原式=〔（8a ＋6b ）＋（8a －6b ）〕〔（8a ＋6b ）－（8a －6b ）〕=3ab ． 例4 计算2100－299＋298－297＋…＋24－23＋22－21．分析：观察本题特征可知，从左边起，每相邻的两项结合在一起，便可逆用平方差公式． 解：原式=（2100－299）＋（298－297）＋…＋（24－23）＋（22－21）=（100＋99）（100－99）＋（98＋97）（98－97）＋…＋（4＋3）（4－3）＋（2＋1）（2－1） =199＋195＋…＋7＋3 =21（199＋3）×50 =5050．四、构造后用平方差公式例5 计算20042006200520052⨯-． 分析：此题按常规方法计算十分繁杂，考虑到2006×2004=（2005＋1）（2005－1），故可利用平方差公式，简化了计算．2 解：原式=()()1200512005200520052-+-=()120052005200522--=2005． 五、变形后运用平方差公式公式（b a +）（b a -）=22b a -可变形为2a =（b a +）（b a -）＋2b ． 例6 计算9862．解：原式=（986＋14）（986－14）＋142=1000×972＋196=972196．。
【配套K12]七年级数学下册 2.2 乘法公式 例谈“平方差公式”的灵活运用素材 (新版)湘教版
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例谈“平方差公式”的灵活运用平方差公式应用十分广泛，且有较强的灵活性和技巧性．若能正确掌握和灵活这个公式，可大大简化运算．下面就平方差公式的几个方面的运用举例予以说明．一、直接运用平方差公式例1 计算（m 32＋n 21）（m 32－n 21）． 解：原式=（m 32）2－（n 21）2=294m －241n ． 二、连续运用平方差公式 例2 计算（a －21）（a ＋21）（2a ＋41）（4a ＋161）． 分析：本题连续应用平方差公式，便使问题获解． 解：原式=（2a －41）（2a ＋41）（4a ＋161）=（4a －161）（4a ＋161）=8a －2561． 三、逆用平方差公式例3 计算（8a ＋6b ）2－（8a －6b ）2． 解：原式=〔（8a ＋6b ）＋（8a －6b ）〕〔（8a ＋6b ）－（8a －6b ）〕=3ab ． 例4 计算2100－299＋298－297＋…＋24－23＋22－21．分析：观察本题特征可知，从左边起，每相邻的两项结合在一起，便可逆用平方差公式． 解：原式=（2100－299）＋（298－297）＋…＋（24－23）＋（22－21）=（100＋99）（100－99）＋（98＋97）（98－97）＋…＋（4＋3）（4－3）＋（2＋1）（2－1） =199＋195＋…＋7＋3 =21（199＋3）×50 =5050．四、构造后用平方差公式例5 计算20042006200520052⨯-． 分析：此题按常规方法计算十分繁杂，考虑到2006×2004=（2005＋1）（2005－1），故可利用平方差公式，简化了计算．解：原式=()()1200512005200520052-+-=()120052005200522--=2005． 五、变形后运用平方差公式公式（b a +）（b a -）=22b a -可变形为2a =（b a +）（b a -）＋2b ． 例6 计算9862．解：原式=（986＋14）（986－14）＋142=1000×972＋196=972196．。
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活学活用平方差公式
平方差公式是整式乘法中的一个重要公式，掌握好平方差公式并能灵活的使用，可提高计算速度和计算能力．
一、活学公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.
文字语言: 两个数和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
理解公式: (1)公式中a、b可以表示具体的正数,负数、字母，也可以是单项式或多项式或一般的代数式．
(2)只有符合平方差公式形式或可以转化为平方差公式形式的多项式相乘,才能使用公式.
二、活用公式
1.交换位置后用公式
例1 计算(xy-5)(-xy-5).
分析: 本题两个因式中，含-5项的符号相同，含xy项的系数符号相反，所以可以使用公式(a+b)(a-b)=a2-b2进行计算,其中-5相当于公式a，xy相当于公式中的b，为了使用公式，可交换位置，将式子变为公式的形式.
解：(xy-5)(-xy-5)=(-5+xy)(-5-xy)=(-5)2-(xy)2=25-x2y2.
2.先变系数后用公式
例2 计算(2x+4y)(x-2y).
分析:观察式子的特点,(2x+4y)可变成2(x+2y),通过变形后，就可以利用平方差公式进行计算了.
解: (2x+4y)(x-2y)=2(x+2y)(x-2y)=2(x2-4y2)=2x2-8y2.
3.先结合后用公式
例3 计算(x+2y)(x2+4y2)(x-2y).
分析:本题有三个因式,如果从左到右依次计算,计算起来有些麻烦,仔细观察可以发现,第一因式与第三因式正好符合平方差公式的特征.可以先将第一因式与第三项结合,利用平方差公式计算得(x2-4y2),再与(x2+4y2)相乘,又可使用平方差公式..
解: (x+2y)(x2+4y2)(x-2y)=(x+2y)(x-2y)(x2+4y2)=(x2-4y2)(x2+4y2)=x4-16y4.
4.连续逆向使用公式
例4 计算(a8+b8)(a4+b4)(a2+b2)(a+b)(a-b).
分析:观察所给式子因式比较多，根据式子的特点,可以利用乘法的结合律,从右向左连续使用平方差公式.
解: (a8+b8)(a4+b4)(a2+b2)(a+b)(a-b)
=(a8+b8)(a4+b4)(a2+b2)(a2-b2)
=(a8+b8)(a4+b4)(a4-b4)
=(a8+b8)(a8-b8)
=a16-b16.
5.组变形后使用公式
例5 计算(x-y+1)(x+y-1).
分析:本题中的两个因式都是三项,直接去括号计算比较麻烦,观察第一个因式的第一项与第二个因式的第一项都是x,第一个因式的后两项与第二因式的后两项对应项的符号相反,若把后两项结合组合成一项,可以利用平方差公式计算.
解: (x-y+1)(x+y-1)=[x-(y-1)][x+(y-1)]=x2-(y-1)2=x2-y2+2y-1.
6.拆项变形后使用
例6 计算(m-n+1)(m+n-5).
分析:观察式子的特点,可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式.然后利用平分差公式计算.
解: (x-y+1)(x+y-5)=(x-y-2+3)(x-y-2-3)
=[(x-2)-(y-3)][(x-2)+(y-3)]
=(x-2)2-(y-3)2
=x2-4x+4-y2+6y-9
=x2-y2-4x+6y-5.
总结：以上介绍了平方差公式的特征以及应用的一些技巧，在计算的过程中，我们要认真观察式子的特点，探究性地使用公式．。