(优选)2019年八年级数学下册23微专题规律探究问题习题(新版)冀教版

微专题：规律探究问题【河北热点】
◆类型一正多边形中的规律问题
1．(2017·唐山玉田县二模)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图像上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．
第1题图第2题图
2．(2017·南宁中考)如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为________．
3．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫正多边形．如图就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：
(1)
(2)n的值，若不存在，请说明理由．
◆类型二 特殊四边形中的规律问题
4．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3、…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥…，则正方形A 2017B 2017C 2017D 2017的边长是( )
A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫122016
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫122017
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫332016
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫332017 5.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，且∠D 1AC ＝60°，连接AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，且∠D 2AC 1＝60°，……按此规律所作的第六个菱形的边长为( )
A ．9
B ．9 3
C ．27
D ．27 3
第5题图 第6题图
6．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝2，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接AF ，FG ，AE 三边的中点，得到三角形①；连接矩形GMCH 对边的中点，又得到四个矩形，顺次连接
GQ ，QP ，GN 三边的中点，得到三角形②……如此操作下去，得到三角形
，则三角形①的面
积为________，三角形
的面积为________．
参考答案与解析
1．8 2n －1
解析：∵直线y ＝x 与x 轴的夹角为45°，∴直线y ＝x 与正方形的边围成的三角形都是等腰直角三角形．∵A (8，4)，∴第4个正方形的边长为8，第3个正方形的边长为
4，第2个正方形的边长为2，第1个正方形的边长为1.∴第n 个正方形的边长为2n －1
.
2．(6053，2) 解析：∵3＋2＝5，∴第一次旋转P 1(5，2)，6＋2＝8，第二次旋转P 2(8，1)，9＋1＝10，第三次旋转P 3(10，1)，12＋1＝13，第四次旋转P 4(13，2)，15＋2＝17，第五次旋转P 5(17，2)……发现点P 的位置4次一个循环，横坐标每个循环增加12，∵2017÷4＝504……1，∴P 2017的纵坐标与P 1的纵坐标相同为2，横坐标为5＋12×504＝6053，∴P 2017(6053，2)．
3．解：(1)36° 30° ⎝ ⎛⎭
⎪⎫180n ° (2)不存在，理由如下：假设存在正n 边形使得∠α＝21°，则∠α＝21°＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫180n °，解得
n ＝847
.∵n 是正整数，∴n ＝847
(不符合题意要舍去)，故不存在正n 边形使得∠α＝21°.
4．C 解析：∵四边形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3是正方形，∠B 1C 1O ＝60°，
B 1
C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，∴∠
D 1C 1
E 1＝∠C 2B 2E 2＝∠C 3B 3E 4＝30°，D 1E 1＝B 2E 2，D 2E 3＝B 3E 4，∴D 1E 1＝1
2C 1D 1＝12
，
C 2E 2＝12C 2B 2.在Rt△B 2E 2C 2中，(B 2E 2)2＋(E 2C 2)2＝(B 2C 2)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12B 2C 22＝(B 2C 2)2
，解得B 2C 2＝33.
同理可得：B 3C 3＝13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ，……故正方形A n B n C n D n 的边长是⎝ ⎛⎭
⎪⎫33n －1，∴正方形A 2017B 2017C 2017D 2017
的边长为⎝ ⎛⎭
⎪⎫332016
.故选C.
5．B 解析：连接BD 交AC 于O ，连接CD 1交AC 1于E .∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴AC ⊥BD ，∠BAO ＝12∠DAB ＝30°，OA ＝12AC ，BO ＝12AB ，∴OA ＝AB 2－BO 2
＝32AB ＝32，∴AC ＝
2OA ＝ 3.同理AE ＝
32AC ＝32·3＝3
2
，AC 1＝2AE ＝3＝(3)2，……第六个菱形的边长为(3)5＝93，故选B.
6.12 122n －1 解析：由题意得AF ＝2，AE ＝1，GQ ＝1，GN ＝12，则S 三角形①＝12×2×12＝1
2
；S 三角
形②
＝12×1×14＝123；S 三角形③
＝12×12×18＝1
2
5；……∴S 三角形
＝
12
2n －1
.。