【数学】2011年北京市各区一模试题分类解析(6)：数列

(C) 3
(D) 1
8(2011 海淀一模理 2)．已知数列 a n 为等差数列， S n 是它的前 n 项和.若 a1 2 ， S3 12 ， 则 S4 A．10 C B．16 C．20 D．24
9(2011 门头沟一模理 2)．等差数列 {a n } 中， a4 2 ，则 S7 等于 （A）7 （B）3.5 （C）14 （D）28 10（2011 石景山一模理 3） ．已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，若 a4 18 a5 ，则 S8 （ A． 72 ） B． 68 C． 54 D． 90
综上， 当 q 1 时， 若 n 14 ， 若 n 14 ， Tn bn (n 2) .当 q 时， Tn bn ； Tn bn ； 若 2 n 14 ， Tn bn . 2（2011 朝阳一模理 20） ． （本小题满分 14 分） 有 n 个 首 项 都 是 1 的 等 差 数 列 ， 设 第 m 个 数 列 的 第 k 项 为
ann a( n 1) n (n 1)( d n d n 1 ) ．
又因为 a1n , a2 n , a3 n , , ann 成等差数列，所以 a2 n a1n a3 n a2 n ann a( n 1) n . 故 d 2 d1 d3 d 2 d n d n 1 ，即 {d n } 是公差为 d 2 d1 的等差数列． 所以， d m d1 ( m 1)( d 2 d1 ) (2 m) d1 ( m 1) d 2 ． 令 p1 2 m, p2 m 1 ，则 d m p1d1 p2 d 2 ，此时 p1 p2 1 ． …………4 分 （Ⅱ）当 d1 1, d 2 3 时， d m 2m 1 ( m N ) ． 数列 {d m } 分组如下： ( d1 ), ( d 2 , d3 , d 4 ), ( d5 , d 6 , d 7 , d8 , d9 ), ． 按分组规律，第 m 组中有 2m 1 个奇数， 所以第 1 组到第 m 组共有1 3 5 (2m 1) m 2 个奇数． 注意到前 k 个奇数的和为1 3 5 (2k 1) k 2 ，
*
所以前 m 2 个奇数的和为 ( m 2 )2 m 4 . 即前 m 组中所有数之和为 m 4 ，所以 (cm ) m ．
4 4 m * 因为 cm 0 ，所以 cm m ，从而 2 m d m (2m 1) 2 ( m N ) ． 2 3 4 n 1 n 所以 S n 1 2 3 2 5 2 7 2 (2n 3) 2 (2n 1) 2 . c
a2 a3 13 ， 3 （2011 东城一模理 2） 已知数列 an 为等差数列， 且 a1 2 ， 那么则 a4 a5 a6
等于（B） （A） 40 （C） 43 （B） 42 （D） 45
4（2011 东城一模理 14）已知数列 {an } 满足： a1 1 ， a2 2 ， a3 3 ， a4 4 ， a5 5 ，且当 n ≥ 5 时 ， an 1 a1a2 an 1 ， 若 数 列 {bn } 满 足 对 任 意 n N* ， 有
(d1 ), (d 2 , d3 , d 4 ), (d5 , d 6 , d 7 , d8 , d9 ), (每组数的个数构成等差数列)．
4 设前 m 组中所有数之和为 (cm ) (cm 0) ，求数列 {2 m d m } 的前 n 项和 S n ． c
（Ⅲ）设 N 是不超过 20 的正整数，当 n N 时，对于（Ⅱ）中的 S n ，求使得不等式
2S n 1 22 3 23 5 24 (2n 3) 2 n (2n 1) 2 n 1 .
2 3 4 n n 1 故 S n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2n 1) 2
2(2 22 23 2n ) 2 (2n 1) 2n 1
5
，数列 an 的通项
25 n
．
解答 1（2011 西城一模文 17）. （本小题满分 13 分） 已知 {an } 是公比为 q 的等比数列，且 a1 2a2 3a3 . （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ）设 {bn } 是首项为 2 ，公差为 q 的等差数列，其前 n 项和为 Tn . 当 n 2 时，试比较
a1 3 ， a2 a4 144 ，则 S5 的值是（C）
（A）
69 2
（B） 69
（C）93
（D）189
13(2011 丰台文 10)．已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn，若 a2=1，S5=10，则 S7= 21 ． 14(2011 门头沟一模文 3).等差数列 {a n } 中， a4 2 ，则 S7 等于 A. 7 B. 14 C. 28 D. 3.5
a1 3 ， a2 a4 144 ，则 S10 的值是 （D）
（A）511 （B） 1023 （C）1533 （D）3069
7（2011 丰台一模理 4） ．设等差数列 an 的公差 d ≠0， a1 4d ．若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中 项，则 k (C) (A) 3 或-1 (B) 3 或 1
2
……………………2
1 . 3
……………………5
n 2 3n ， 2
……………………7
n2 n 2 0. 2
……………………8
即当 q 1 时， Tn bn ( n 2) . 分 ②当 q 时， bn 2 ( n 1)( ) 分
1 3
3
7n ， 3
n 1, 2,3, ，有
3an 5, an为奇数， ， an 1 an , an 为偶数.其中k为使an 1为奇数的正整数 k 2
当 a3 5 时， a1 的最小值为___ 5 ___； 当 a1 1 时， S1 S2 S 20 ___ 910 ___.
bn 与 Tn 的大小.
解： （Ⅰ）由已知可得 a1 2a1q 3a1q ， 分 因为 {an } 是等比数列，所以 3q 2 2q 1 0 . 分 解得 q 1 或 q 分 （Ⅱ）①当 q 1 时， bn n 1 ， Tn 分 所以，当 n 2 时， Tn bn ……………………3
1 ( S n 6) d n 成立． 50
…………………………14 分
六、数列 1（2011 西城一模理 14）.已知数列 {an } 的各项均为正整数，对于 n 1, 2, 3, ，有
3an 5, an为奇数， an 1 an , an 为偶数.其中k为使an 1为奇数的正整数 2k
当 a1 11 时， a100 __ 62 ____； 若存在 m N* ，当 n m 且 an 为奇数时， an 恒为常数 p ，则 p 的值为__1 或 5 ____. 2(2011 西城一模文 14). 已知数列 {an } 的各项均为正整数， S n 为其前 n 项和，对于
15(2011 石景山一模文 3)．已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，若 a4 18 a5 ，则 S8 （ ） C．90 D．72
2
A．54 B． 68
16(2011 石景山一模文 14)． 函数 y x 2 ( x 0) 的图象在点 ( an , an ) 处的切线与 x 轴交点的横 坐标为 an 1 ， n N ，若 a1 16 ，则 a3 a 5 公式为
1 3
amk (m, k 1, 2,3, , n, n ≥ 3) ，公差为 d m ，并且 a1n , a2 n , a3 n , , ann 成等差数列．
，并求 p1 p2 的值； （Ⅰ）证明 d m p1d1 p2 d 2 （ 3 ≤ m ≤ n ， p1 , p2 是 m 的多项式） （Ⅱ）当 d1 1, d 2 3 时，将数列 {d m } 分组如下：
2 2 bn a1a2 an a12 a2 an ，则 b5=
65
；当 n ≥5 时， bn
70 n
．
5 （2011 东城一模文 10 ）在等差数列 an 中，若 a1 2, a2 a3 13 ，则 a4 a5 a6
42
．
6（2011 朝阳一模理 4）已知 {an } 是由正数组成的等比数列， S n 表示 {an } 的前2n 1) 2n 1 (3 2n)2n 1 6 . 2 1
…………………………………9 分
n 1 所以 S n (2n 3)2 6 ．
* n 1 （Ⅲ）由（Ⅱ）得 d n 2n 1 ( n N ) ， S n (2n 3)2 6 ( n N* ) .
1 ( S n 6) d n 成立的所有 N 的值． 50
解： （Ⅰ）由题意知 amn 1 ( n 1) d m ．
a2 n a1n [1 (n 1)d 2 ] [1 (n 1)d1 ] (n 1)( d 2 d1 ) ，
同理， a3n a2 n ( n 1)( d 3 d 2 ) ， a4 n a3 n ( n 1)( d 4 d 3 ) ，…，
……………………9
n 13n n 2 Tn 2n (n 1)( ) ， 2 3 6
分
……………………10
Tn bn
分
(n 1)(n 14) ， 6
……………………12
所以，当 n 14 时， Tn bn ；当 n 14 时， Tn bn ； 当 2 n 14 时， Tn bn . 分 ……………………13