数理统计 研究生

X ( n ) max X 1 , X 2 ,, X n
n奇数 n偶数
X n 1 2 中位数 M e X n X n 1 2 2 2
3、经验分布函数 定义：设X1, X2, … Xn总体的样本，
2、简单随机样本：X1, X2, … Xn 满足 （1）用随机原则抽样 （2）相互独立同分布（与总体分布相同）
注:（1）数理统计的样本均为简单随机样本； （2）如何取得简单随机样本。其一是随机 性，传统的做法是总体的所有元素编号，按 随机抽样方法抽取号码。
其二是独立性，抽样时采用有放回抽样则一 定是独立的，但实际情况一般是不放回抽样 ，此时，如果总体元素个数N充分大，而子
=E(X)
（2）总体方差 =D(X) 称为总体标准差 （3）总体 k 阶原点矩 α k =E(X k) （4）总体k 阶中心矩 β k = E[(X-EX) k]
注意：总体的分布及数字特征是客观存在但 往往未知，数理统计的任务之一研究 总体
的分布及数字特征 。所用工具是样本。
二、样本 1、样本：由若干个体构成的集合称为样本。 X1, X2, … Xn 称为容量为 n 的一个样本。
n 2
1 1 n X X1 X 2 X n X i n n i 1
=D(X) ＝ E[(X-EX) 2]
1 S X i X n i 1
2
S 称为样本标准差
例：设 n 个独立的正态分布 X1, X2, … Xn
X i ~ N ( , ) i 1,2 n
2
2、 (n)的密度函数的图形：由于分布是 标准正态分布的平方和，故分布总是非负 的，因此密度函数的图形是在 y 的右方的。
在y的左方为0。
(n)的密度函数的图形
2 ( n) 3、上侧分位数
α
12 ( n)
2 (n) 满足 （1）定义：
α
2 ( n)
X
n i 1
i
X X 2nX nX
n i 1 2 i 2
2
2
X
i
X X nX
n i 1 2 i
2
2
1 1 2 2 故 S X i X X i nX n i 1 n i 1 2 2 利用 E ( X i ) D( X i ) EX i 2 2 1 2 2 2 2 E ( X ) D( X ) EX n 2 n n 2 X i X E X i nE X 2 E i 1 i 1 2 n 1 2 2 2 X i X n( ) n( 2 ) E i 1 n
1 S X i X 的 X i X 的自由度 n i 1 i 1
n n 2
2
2
X
n i 1
X 其项数为n，令 Z i X i X i
2
可得 Z1 Z 2 Z n 故
X
i 1
n
i
nX 0
X
n i 1
X 的自由度为n-1 i
2
1 n k （3）样本k 阶原点矩 Ak X i n i 1 n 1 （4）样本k 阶中心矩 Bk X i X n i 1


k
对样本值， x1, x2, … xn可以计算出
1 x xi n i 1 1 k ak xi n i 1
n
n
1 s xi x n i 1
X (1) , X ( 2) , , X ( n ) 为顺序统计量
0, x X (1) , k Fn ( x) , X ( k ) x X ( k 1) , k 1,2, , n 1 n 1, x X (n) ,
称为总体的经验分布函数
4、几个重要的分布 一， 分布 如果连续型随机变量的密度函数为
n n
2
即有
X ~ N , n
2

X
n i 1
i
X X 2Xi X X
n i 1 2 i 2 n n 2 i
2

2

2
X
n i 1
n i 1
i
X X 2 X i X X
n i 1 i 1 i 1
n 2 n 2

故
E X i X i 1
n
2
即
注意：
n 1 2 ES n

2
(n 1) 2
E (X )
n 2
D( X ) n
n
2
1 1 2 2 S X i X X i nX n i 1 n i 1
2 n
n
2
1 bk xi x n i 1
k
数理统计的基本思路：
总体 样 本
抽样 试验 总体分布F(x ,θ ) 数字特征， x1, x2, … xn
α k ,β k （未知）
推测
样本分布及样 本数字特征
x , s , ak , bk
2
三、统计量
1、统计量的定义：对来自总体 X 的样本 X1, X2, … Xn，如果样本函数 g(X1, X2, … Xn) 不含任何未知参数，则称g(X1, X2, … Xn)为 一个统计量，对样本值 x1, x2, … xn，计算 出g(x1, x2, … xn)为统计值。
u 1 ，故可反查 x 表，则得 u
例：
0.01, 求 u0.01
(u0.01 ) 1 0.01 0.99
插入法求
(2.32) 0.9898 (u0.01 ) 1 0.01 0.99 (2.33) 0.9901
u0.01 2.32 2.33 2.32 u0.01 2.327 0.99 0.9898 0.9901 0.9898
E ( X i ) , D( X i ) 故 n n 1 n 1 E ( X ) E X i E ( X i ) n i 1 n i 1 n
2
1 1 D( X ) D X i 2 D( X i ) n n i 1 n i 1
第一章
主讲人：数学与信息科学学院
李春红
第一章
§1.1
一、总体
抽样分布
总体.样本.统计量
1、总体 是指被研究事物的全体，构成总 体的元素称为个体ห้องสมุดไป่ตู้在数理统计中总体一般 为一些具有相同性质的数据的集合，用随机 变量 X 表示。个体用X1表示，个体也是随 机变量。 例如：某地区人体身高 X ；甲身高为X1
f ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi )
i 1
n
p (1 p)
xi i 1
n
1 x i
9
p (1 p)
nx
nn x
4、样本分布：样本分布为样本的频数分布 总体特征 （将在第三章给出） 5、样本分布的数字特征 （1）样本平均数
=E(X)
（2）样本方差
样容量相对小n （ n/N 0.1），则可视为
独立抽样。
3、样本观察值（样本值）： 样本X1, X2, … Xn在试验前是n维随机变量，而试
验后是一组数值，称为样本值，表示为x1, x2, … xn。例：X为人体身高，计划抽取100人测身高， 此时为随机变量，具体实施为样本值。
例：某工厂生产一批铆钉，其直径为X，某 一铆钉的直径为X1 •研究对象的全体称为总体；组成总体的每个 单元称为个体，从总体中抽出n个个体，组成 总体的一个样本，n称为样本容量。
2
1 1 记 X X1 X 2 X n X i n n i 1 2 n 1 2 S Xi X n i 1
n


证明：X ~ N , n
2
n 1 2 2 , E S n

证： n 个独立的正态分布 X1, X2, … Xn的线性 组合还是正态分布，故 X 是正态分布.而
x 1 x e , f ( x) ( ) 0,
称为服从 分布
x0
, 0, 0 x0
§1.2
抽样分布
一、四个分布 （一）标准正态分布 X ~ N (0,1) 1、标准正态分布的密度函数
( x)
1 e 2
x2 2
2、标准正态分布上侧分位数 u X ~ N (0,1) （1）上侧分位数 u 的定义：u满足
u 1 ，故可反查 x 表，则得 u
例： 0.025, 求 u0.025
(u0.025 ) 1 0.025 0.975 而 (1.96) 0.975 u0.025 1.96
例：
0.05, 求 u0.05
(u0.05 ) 1 0.05 0.95 而 (1.645) 0.95 u0.05 1.645
（二） 分布 1、 分布的定义：设 X1, X2, … Xn 独立同分 布，均服从标准正态分布，即 X i ~ N (0,1)
2 记 Y X i，称Y 服从自由度为n 的 分布 i 1 2 记作 Y ~ (n) n
注：自由度的意义是一个平方和中独立的 变量，其计算可用平方和的项数减变量的 线性关系式的个数。例：样本方差
•例1 灯泡寿命问题 寿命<1000h的为次品 灯泡使用寿命X取值的全体为总体，即X为总体, 它的分布为:
F ( x) P( X x),