【配套K12】八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形第1课时矩形的性质课时作业新版华东师大版
八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形课件 (新版)华东师大版
数学 八年级下册 华东师大版
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩 形
第1课时
创设情景 明确目标
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
如果 D AB∥CD
A
D
B
C AD∥BC
四边形
B
C ABCD
ABCD 边 平行四
平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等.
边形的 对角线 平行四边形的对角线互相平分.
∴AC=BD， ∴BO=
1 2
BD=
1 2
AC.
总结梳理 内化目标 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形的对边平行且相等；
矩形
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条对
称轴．
达标检测 反思目标
性质 逆命题 猜想 （修正）
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB.
已知四边形ABCD是矩形 等腰三角形有：
A
D
O
△OAB △ OBC △OCD △OADB
C
直角三角形有：
Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形，
A
D
求证：AC = BD.
证明：在矩形ABCD中
八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19
知2－讲
正方形边的性质：四条边相等，邻边垂直，对边平行.
知2－讲
例2 如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝3， EC＝1.连结AE，点F在射线AB上，且满足CF＝AE， 则A，F两点间的距离为___1_或__7__．
知2－讲
导引：∵DE＝3，EC＝1，∴正方形ABCD的边长为4. 在Rt△ADE和Rt△CBF中， ∵AE＝CF，AD＝CB，∴Rt△ADE≌Rt△CBF， ∴BF＝DE＝3. ∵点F在射线AB上， ∴分两种情况：①当点F在线段AB上时，AF＝AB －BF＝4－3＝1；②当点F在AB的延长线上时， AF＝AB＋BF＝4＋3＝7.
知1－练
知1－练
2 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，
那么这个条件可以是( C．AD＝BC
D．BC＝CD
知识点 2 正方形边的性质
知2－导
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方 形具有矩形的性质，同时又具有 菱形的性质．
知2－练
1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2 如图，正方形ABCD的面积为2，
则以相邻两边中点连线EF为边
的正方形EFGH的周长为( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
知2－练
3 (中考·毕节)如图，正方形ABCD的边长为9，将正 方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为 GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( ) A．3 B．4 C．5 D．6
知3－讲
解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE. ∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形19.1.2矩形的判定第2课时矩形的判定的应用新版
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形
2. 矩形的判定的运用
第2课时 矩形的判定的运用
学习指南
知识管理
归类探究
当堂测评
分层作业
课件目录
首页
末页
第2课时 矩形的判定的应用
学 习 指 南 [教用专有]
★教学目标★ 会运用矩形的判定定理解决问题． ★情景问题引入★ 一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能 判断该四边形是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换 工具，你还有其他方法吗？
∴△BOE≌△COD，∴OE＝OD，∴四边形 BECD 是平行四边形．
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第2课时 矩形的判定的应用
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形 BECD 是矩形．理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°. ∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC， ∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD， ∴OC＝OD.∵BO＝CO，OD＝OE， ∴DE＝BC.∵四边形 BECD 是平行四边形， ∴四边形 BECD 是矩形．
列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
A．∠BAC＝∠DCA
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠ADB
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第2课时 矩形的判定的应用
2．四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，下列条件不能判定它是矩形的
是( C )
A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90° B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD＋∠ADC＝180° D．∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ABC＝∠ADC＝90°
2019年春八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形19.1.1矩形的性质课件新版华东师大版20190213289
19.1.1
矩形的性质
【归纳总结】 (1)由于矩形的四个角都是直角，所以画出它的 两条对角线后，图中会出现四个直角三角形； (2)矩形中的边长、面积等的计算或证明问题常常转化为直角三 角形问题来解决．
19.1.1
目标三
矩形的性质
如图 19－1－2， 矩形 ABCD 的对角线相交于
掌握矩形的性质定理2
2
19.1.1
讨论． (2)如图．
矩形的性质
解：(1)没有仔细审题，题中没有具体指出分得的两部分分别长为多少，应分类
∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE. ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，
19.1.1
矩形的性质
∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE. ①当 AE＝1 cm 时，AB＝1 cm＝CD，AD＝1＋3＝4(cm)＝BC， 此时矩形的面积是 1×4＝4(cm2)； ②当 AE＝3 cm 时，AB＝3 cm＝CD，AD＝4 cm＝BC， 此时矩形的面积是 3×4＝12(cm2)． 故矩形 ABCD 的面积为 4 cm2 或 12 cm2.
19.1.1
目标二
矩形的性质
掌握矩形的性质定理形 ABCD 中，E 是
BC 边上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为 F.求证：DF＝DC.
图 19－1－1
19.1.1
∵AD＝AE，
矩形的性质
证明：如图，连结 DE.
∴∠AED＝∠ADE. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠ADE＝∠DEC， ∴∠DEC＝∠AED. ∵DF⊥AE， ∴∠DFE＝∠C＝90°. 又∵DE＝DE， ∴△DFE≌△DCE， ∴DF＝DC.
八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形1矩形的性质课件新版华东师大版
5.如图，E，F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点， 且AE=DF.求证：BE=CF.
【证明】∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
AB=CD，∵AE=DF，∴OE=OF.
在△BOE与△COF中，
OB OC， BOE COF， OE OF，
∴△BOE≌△COF，∴BE=CF.
D.24
【解析】选A.因为△ABC的面积为 1 ×8×6=24．
2
又因为E，F是AC上的三等分点．
所以△BEF的面积为 1×24=8．
3
4.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BF∥DE.
若AD=12cm，AB=7cm，且AE∶EB=5∶2.则阴影部分EBFD的面积
为
cm2.
【解析】因为BF∥DE，AB∥CD，所以四边形BEDF是平行四 边形，又AB=7cm，AE∶EB=5∶2，得EB=2cm，所以阴影 部分面积为BE×ADபைடு நூலகம்2×12=24(cm2). 答案：24
(打“√”或“×”) (1)矩形的对角线相等且互相平分. ( √ ) (2)矩形的四个角都是直角. ( √ ) (3)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. ( √ )
知识点 1 矩形的性质 【例1】(2013·宁夏中考)在矩形ABCD中，点E是BC上一点， AE=AD，DF⊥AE，垂足为F. 求证：DF=DC.
A.88mm C.80mm
B.96mm D.84mm
【解析】选B.如图，把主板转化为一个矩形后，还多余2个 4mm的边长，即主板的周长为2×(24+20)+4×2=96(mm).
3.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F是AC上的三等分点， 则△BEF的面积为( )
八年级数学下册 第19章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.1 矩形教学课件 (新版)
第1课时 矩形的性质
(2)连接 OB. ∵BE＝BF，OE＝OF， ∴BO⊥EF. ∵△AOE≌△COF， ∴OA＝OC. ∴在 Rt△ABC 中，OA＝OB＝OC， ∴∠BAC＝∠ABO. 又∵∠BEF＝2∠BAC， 在 Rt△BEO 中，∠BEF＋∠ABO＝90°， ∴2∠BAC＋∠BAC＝90°， 解得∠BAC＝30°.
第1课时 矩形的性质
[归纳总结] 1.直角三角形斜边上中线的性质是矩形性 质的推论，它只适用于直角三角形，对一般的三角 形不适用，同时注意直角边上的中线不具有这个性 质． 2．直角三角形斜边上的中线的性质说明了斜边上的 中线与斜边的数量关系，又得到了两个等腰三角形， 所以该性质可用来证明线段的倍分关系，也是证明 等腰三角形的基础．
第2课时 矩形的判定
[归纳] 矩形的判定方法（定义）：有一个角是直角的 ___平__行__四__边__形__是矩形.
教学课件
数学 八年级下册 沪科版
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形础自主学习 ► 学习目标1 能根据矩形的定义判定四边形是矩形 1．下列说法正确的是( A ) A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有两个角是直角的四边形是矩形
第1课时 矩形的性质
探究问题二 利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半”证明线段的大小关系 例2 如图19－3－3所示，在△ABC中，BE，CF分别是AC， AB边上的高，M，N分别是BC，EF的中点．求证：MN⊥EF.
[解析] 欲证 MN⊥EF，只需证△MFE 中 MF＝ME 即可．利用直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半易得 MF＝ME＝12 BC.
[归纳] 矩形的定义：___有__一__个__角__是__直__角_______的平行四边 形叫做矩形．
八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形教案 (新版)华东师大版.doc
A、两条对角线互相平分B、两条对角线相等
C、两条对角线互相平分且相等D、两条对角线互相垂直
3、已知四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是矩形.
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
一、自主预习（10分钟）
1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．
2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．
3.想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有的？列表进行比较.
平行四边形
矩形
边
角
对角线
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形的两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．
2．（选择题）
（1）下列说法错误的是（ ）．
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形的内角和可知，第四个角一定是直角）
学做思二：以下的判定方法可行吗？
合作解疑（10分钟）
下列各判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
矩形
课题名称
19.1 矩形（1）
教学
目标
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形1矩形19.矩形的判定课件(新版)华东师大版
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
新课讲授
练一练
如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面
条件能判定▱ABCD是矩形的是
（ A）
A．AC=BD C．AD=BC
B．AC=BC D．AB=AD
随堂即练
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形. × （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形. √ （3）有一个角是直角的四边形是矩形. × （4）有三个角都相等的四边形是矩形. × （5）有三个角是直角的四边形是矩形. √ （6）四个角都相等的四边形是矩形. √
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一 种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我 们研究矩形的 性质的逆命题
是否成立.
矩形是特殊 的平行四边
形.
新课讲授
问题2 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是 直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 成立
D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂
足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝
1 2
∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝ 12∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
＝1
2
(∠BAC＋∠CAM)＝90°.
HS八(下) 教学课件
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形
2 矩形的判定
学习目标
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理．（重点）
八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形19.1矩形19.1.1矩形的性质第2课时矩形的性质的性质华东师大版
9．[2018·湘西州]如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连结 DE、 CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE； (2)若 AB＝6，AD＝4，求△CDE 的周长．
解：(1)证明：∵矩形 ABCD，∴AD＝BC，∠A＝∠B.
∵E 是 AB 的中点，∴AE＝BE.在△ADE 和△BCE 中，∠ADA＝＝B∠C，B， AE＝BE，
(2)证明：如答图 2，延长 NO 交 AD 于点 P，连结 PM、MN.
∵四边形 ABCD 是矩形，∴OD＝OB，AD∥BC，
∴∠DPO＝∠BNO，∠PDO＝∠NBO，在△BON 和△DOP 中，
∠∠BNNBOO＝＝∠∠DPDPOO，， OB＝OD，
∴△BON≌△DOP(AAS)，
∴ON＝OP，BN＝PD.∵∠MON＝90°， ∴PM＝MN.∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
14．[2018·繁昌县期末]某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块 直角三角板的直角顶点绕着矩形 ABCD(AB＜BC)的对角线交点 O 旋转(如图 1→图 2→图 3)，图中 M、N 分别为直角三角板的直角边与矩形 ABCD 的边 CD、BC 的 交点．
图1
图2
图3
(1)该学习小组中一名成员意外地发现：在图 1(三角板的一直角边与 OD 重 合)中，BN2＝CD2＋CN2；在图③(三角板的一直角边与 OC 重合)中，CN2＝BN2 ＋CD2.请你对这名成员在图 1 和图 3 中发现的结论选择其一说明理由；
7．[2018·宁夏]将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2 的度
数是( D )
A．40° B．50° C．60° D．70° 8．[2017·葫芦岛]如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 落在 AD
华师大版八年级数学下册数学 第19章-矩形、菱形与正方形19.2.1 第1课时 菱形的性质课件
练一练 1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
5，则△ABD的周长是
A.10 B.12 C.15 D.20
( C )
第1题图 第2题图 2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、 BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段 OE的长为_______.( 提示：三角形中两边中点所连 6c图形是平行四边形， 和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让 我们一起来学习吧.
讲授新课
一 菱形的性质
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩
形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边
形有一个角是直角时,就成为了矩形.
平行 四边形
有一个角是直角
矩形
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大 小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这
思考：菱形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心 是什么？
O
由于菱形是平行四边形，因此 菱形是中心对称图形，对角线的交点是 它的对称中心.
做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折（即作关于 点C ， 点C的像是 直线DB的轴对称），点A的像是______ _____ 点A ， 点D的像是_____ 点B ，点B的像是_____ 点D ，边AD的 边CD，边CD的像是_____ 边AD， 边AB的像是_____ 边CB ， 像是_____
归纳总结 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的 所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 菱形的特殊性质 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角. 平行四边形的性质 角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
典例精析 例1 如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B
新华东师大版八年级数学下册《19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 矩形的判定》教案_0
19.1.2 矩形的判定一、内容和内容解析（一）内容对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．（二）内容解析矩形的判定是平行四边形研究的重要内容，是对一般平行四边形研究的继承与发展，矩形的判定与矩形的性质是互逆命题，其研究方法与平行四边形的判定研究一脉相承，对后面的特殊平行四边形的判定研究起着示范和指导意义．也是以后学习正方形和圆等知识的基础．在矩形的基本性质中，我们知道了矩形的四个角是直角，矩形的对角线相等的性质，矩形又是一种特殊的平行四边形，由此，我们提出具备什么条件的平行四边形是矩形？由定义知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，类比平行四边形判定的研究思路，提出矩形性质定理的逆命题是否成立，再从矩形的定义出发，证明命题成立从而得到矩形的判定定理．基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：定理“对角线相等的平行四边形是矩形”、“有三个角是直角的四边形是矩形”的探究与证明．二、目标和目标解析（一）教学目标1．会探究与证明“对角线相等的平行四边形是矩形”及“有三个角是直角的四边形是矩形”．2．能用上述判定定理解决简单问题．（二）目标解析1．达成目标1的标志是：能够从矩形性质定理的逆命题出发提出矩形的判定方法，能够从定义出发分析判定矩形的条件并进行证明．2．达成目标2的标志是：会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形．三、教学问题诊断分析矩形的判定方法有多种，有的是从四边形的基础上加条件进行强化，有的是从平行四边形的基础上加条件进行强化，应用时需要从具体已知条件出发，选择合适的判定方法，这对学生来说有一定的难度．本节课的教学难点是：选择合适的判定方法证明四边形为矩形．四、教学过程设计（一）情境引入，提出问题问题1 假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框成矩形？师生活动：学生回答先测两组对边是否分别相等，再量其中的一个角是否是直角，来检验窗框是否成矩形．教师点评，并指出由定义可以判定一个平行四边形是否为矩形．设计意图：通过实例引入矩形的判定方法．通过定义可以验证，是否还有其他的验证方法呢？由此引入矩形的判定．（二）类比思考，探究判定由矩形的定义我们很容易知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义是我们目前进行矩形判定唯一的方法．那我们能不能像探究平行四边形判定的简便方法那样，来探究矩形判定的简便方法呢？因此，我们类比平行四边形判定的探究方法来探究矩形的判定．问题2 学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？师生活动：学生回忆平行四边形的判定的探究过程，并回答．教师提炼：设计意图：回顾四边形判定的探究方法，揭示本课的学习方法：类比学习方法．为矩形判定的探究指明了方法．问题3 同样，我们能否通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？追问：矩形性质的性质定理是什么？你能写出它的逆命题吗？师生活动：学生回顾矩形的性质，写出它们的逆命题，并交流讨论．教师板书两个逆命题，并画图1和图2．逆命题1 有四个角是直角的四边形是矩形逆命题2 对角线相等的平行四边形是矩形；．设计意图：由矩形性质的逆命题得出矩形判定猜想．问题4 有四个角是直角的四边形是矩形吗？请结合图2说明理由．追问1：进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？师生活动：学生分析交流，得出矩形的判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形．设计意图：由性质定理的逆命题入手，得出有四个角是直角的四边形是矩形，再通过简化条件，得到矩形的判定．追问2：由“有三个角是直角的四边形是矩形”你能否检验你做的窗框成矩形？如何检验？师生活动：学生思考回答，教师点评，并指出此时不需要测边的长度．设计意图：运用“有三个角是直角的四边形是矩形”解决实际问题．设计意图：让学生完整的掌握本节课的主要知识点，为判定的灵活运用作好铺垫．问题5如何证明“对角线相等的平行四边形是矩形”呢？请结合图1写出已知、求证，并给出证明．师生活动：学生交流讨论，写出已知、求证及证明，并展示．教师做相应的指导．设计意图：通过证明，说明逆命题1的正确性，得出判定定理．追问：由“对角线相等的平行四边形是矩形”你能否检验你做的窗框成矩形？如何检验？师生活动：学生根据判定定理回答，有的学生可能只测量两对角线是否相等，却忽视了平行四边形的检测，之后教师指导．设计意图：运用“对角线相等的平行四边形是矩形”解决问题，强调应用该判定定理时所必需的两个条件：对角线相等，平行四边形．问题6 你能归纳矩形的判定方法吗？师生活动：学生归纳矩形判定的三种方法：（1）定义；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形．（三）例题讲解，运用新知例1、如图，□ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10。
八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 19.1.2 矩形的判定 第1课时 矩
第19章 矩形、菱形与正方形19.1.2.1 矩形的判定1．下列关于矩形的说法，正确的是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分2．[xx·上海]已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC3．在ABCD 中增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是( ) A ．对角线互相平分 B ．AB ＝BCC ．∠A ＋∠C ＝180°D ．AB ＝12AC4．如图，在ABCD 中，请再添加一个条件，使得四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是__________________．5．延长等腰△ABC 的腰BA 到点D ，CA 到点E ，分别使AD ＝AB ，AE ＝AC ，则四边形BCDE 是________，其判别的依据是__________________________．6．[xx·紫阳县期末]如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13.求证：四边形ABCD 是矩形．7．[xx·厦门期末]如图，在ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB ＝45°，证明：四边形ABCD是矩形．8．[xx·宁波模拟]如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE，求证：(1)△ABF≌△DCE；(2)四边形ABCD是矩形．9．[铜山区月考]如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，且AE ＝CF.(1)证明：△ADE≌△CBF；(2)当∠DEB＝90°时，试说明四边形DEBF为矩形．10．如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，四边形EFGH是怎么样的特殊四边形？证明你的结论．11．[日照]如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)只需添加一个条件，即________________，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．12．[xx·通辽]如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连结CF.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．13．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE.(1)求∠CAE的度数；(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．参考答案1． D 2． B 3． C4． AC ＝BD (答案不唯一)5．矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6．证明：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°， ∴∠ADC ＝90°，又∵在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13， 满足132＝52＋122，∴△ABC 是直角三角形，且∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．7．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠EBC .∵BE 平分∠ABC ，∠AEB ＝45°， ∴∠ABE ＝∠EBC ＝45°， ∴∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．8．解：(1)证明：∵BE ＝CF ，BF ＝BE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ， ∴BF ＝CE .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC .在△ABF 和△DCE 中，⎩⎨⎧AB ＝DC ，BF ＝CE ，AF ＝DE ，∴△ABF ≌△DCE (SSS)． (2)∵△ABF ≌△DCE ，∴∠B ＝∠C .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠B ＝∠C ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．9．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝CB ，∠A ＝∠C ， 在△ADE 和△CBF 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，∠A ＝∠C ，AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD . ∵AE ＝CF ，∴BE ＝DF ， ∴四边形DEBF 是平行四边形． 又∵∠DEB ＝90°， ∴四边形DEBF 是矩形．10．解：四边形EFGH 是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.∵BH 、CH 分别平分∠ABC 与∠BCD ， ∴∠HBC ＝12∠ABC ，∠HCB ＝12∠BCD ，∴∠HBC ＋∠HCB ＝12(∠ABC ＋∠BCD )＝12×180°＝90°，∴∠H ＝90°.同理可得∠HEF ＝∠F ＝90°， ∴四边形EFGH 是矩形．11．AD ＝BC (答案不唯一)解： (1)证明：在△DCA 和△EAC 中，⎩⎨⎧DC ＝EA ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC .(2)添加AD ＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形；理由如下： ∵AB ＝DC ，AD ＝BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°， 由(1)得：△DCA ≌△EAC ， ∴∠D ＝∠E ＝90°， ∴四边形ABCD 为矩形．12．解：(1)证明：∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE . 又∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，∠EAF ＝∠EDB ， ∴△AEF ≌△DEB (AAS )． (2)四边形ADCF 是矩形． 证明：∵AF ∥CD ，且AF ＝CD ， ∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵△AEF ≌△DEB ， ∴AF ＝BD ，∴BD ＝CD ，即AD 是△ABC 的中线． ∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°， ∴四边形ADCF 是矩形． 13．解：(1)在等边△ABC 中， ∵点D 是BC 边的中点， ∴∠DAC ＝30°.又∵△ADE 是等边三角形， ∴∠DAE ＝60°，∴∠CAE ＝30°.(2)在等边△ABC中，∵点F是AB边的中点，点D是BC边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90°.又∵AD＝AE，∴AE＝CF.由(1)知∠CAE＝30°，∴∠EAF＝60°＋30°＝90°.∴∠CFA＋∠EAF＝180°，∴CF∥AE.∴四边形AFCE是平行四边形．又∵∠CFA＝90°，∴平行四边形AFCE是矩形．。
八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.2 菱形 19.2.1 菱形的性质 第1课时 菱
第19章矩形、菱形与正方形19.2.1.1 菱形的性质1．如图，在菱形ABCD中，∠ADB与∠ABD的大小关系是( )A．∠ADB＞∠ABDB．∠ADB＜∠ABDC．∠ADB＝∠ABDD．无法确定2．如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线．若∠BAC＝50°，则∠ABC的度数为( )A．40°B．50°C．80°D．100°3．[xx·淮安]如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A．20B．24C．40D．484．如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )A．28°B．52°C．62°D．72°5．[菏泽]在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为____cm2.6．[xx·黔三州]已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为23，则这个菱形的面积是____．7．[xx·柳州]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2.(1)求菱形ABCD的周长；(2)若AC＝2，求BD的长．8．[自贡]如图，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF ＝∠CBE.∴∠ABF＝∠CBE.9．[xx·潮安区期末]如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连结AE、CF，求证：△ADE≌△CDF.10．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CF⊥AD，交AD 的延长线于点F.求证：DF＝BE.11．[xx·昌平区期末]如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，求菱形的面积及线段DH的长．12．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．13．[xx·开福区校级期末]如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，AE⊥BC 于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求∠CHA的度数．参考答案1． C 2． C 3． A 4． C 5． 183 6． 237．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2. ∴菱形ABCD 的周长为8. (2)∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ＝12AC ＝1，OB ＝OD ，且∠AOB ＝90°，∴在Rt △AOB 中，OB ＝AB 2－OA 2＝22－12＝3，∴BD ＝2OB ＝2 3. 8．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠A ＝∠C ，AB ＝CB . 在△AFB 和△CEB 中，⎩⎨⎧AF ＝CE ，∠A ＝∠C ，AB ＝CB ，∴△AFB ≌△CEB ， ∴∠ABF ＝∠CBE .9．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD . ∵点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点， ∴AD ＝2DF ，CD ＝2DE ， ∴DE ＝DF .在△ADE 和△CDF 中，⎩⎨⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，DE ＝DF ，∴△ADE ≌△CDF (SAS )．10．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝BC ，∠ABC ＝∠ADC . ∴∠CBE ＝∠CDF . ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ， ∴∠CFD ＝∠CEB ＝90°. 在△CBE 和△CDF 中，⎩⎨⎧∠CEB ＝∠CFD ，∠CBE ＝∠CDF ，CB ＝CD ，∴△CEB ≌△CFD ， ∴DF ＝BE .11．解：∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝24，BD ＝10， ∴S 菱形ABCD ＝12·AC ·BD ＝120，AO ＝12，OD ＝5，AC ⊥BD ，∴AD ＝AB ＝52＋122＝13. ∵DH ⊥AB ，∴AO ·BD ＝DH ·AB ， ∴12×10＝13×DH ， ∴DH ＝12013.12．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD . 又∵BE ＝AB ， ∴BE ＝CD ，BE ∥CD ， ∴四边形BECD 是平行四边形， ∴BD ＝EC .(2)∵四边形BECD 是平行四边形， ∴BD ∥CE ，∴∠ABO ＝∠E ＝50°.又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， ∴∠BAO ＝90°－∠ABO ＝40°. 13．解：(1)如答图，连结AC ， ∵E 为BC 的中点，AE ⊥BC ， ∴AB ＝AC . 又∵AB ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形， ∴AE ＝32AB ＝32×4＝23，∴S 菱形ABCD ＝BC ·AE ＝4×23＝8 3. (2)在等边三角形ABC 中，∵AE ⊥BC ， ∴∠CAE ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°，同理∠CAF ＝30°，∴∠EAF ＝∠CAE ＋∠CAF ＝30°＋30°＝60°. ∵AE ∥CG ，∴∠CHA＝180°－∠EAF＝180°－60°＝120°.。
八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.3 正方形 第1课时 正方形的性质课件
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19.3 第1课时(kèshí) 正方形的性质
直角三角形；(2)S 正方形 ABCD＝AB2＝12AC·BD；(3)正方形 ABCD 是中心 对称图形，点 O 是对称中心，也是轴对称图形，直线 AC，BD 及两 组对边中点所在的直线是它的对称轴．
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19.3 第1课时(kèshí) 正方形的性质
目标(mùbiāo)二 能用正方形的性质解决相关问题
例 2 教材补充例题 如图 19－3－2 所示，如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE 为边作第 三个正方形 AEGH……如此下去，已知正方形 ABCD 的面积 S1 为 1， 按上述方法所作的正方形的面积依次为 S2，S3，…，Sn(n 为正整数)， 则 S8＝___1_2_8___．
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC 的度数．
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图 19－3－1
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19.3 第1课时(kèshí) 正方形的性质
[解析] (1)只需证明△ABE≌△DCE，根据正方形的边相等，内角都是 90°，等边 三角形的边相等，内角都是 60°，可得 AB＝AE＝CD＝DE，∠BAE＝∠CDE；(2)求 出两全等的等腰三角形△ABE 与△DCE 两底角∠AEB 与∠DEC 的度数，用∠AED－ ∠AEB－∠DEC 即可求出∠BEC 的度数．
第19章 矩形 、菱形与正方形 (jǔxíng)
19.3 第1课时(kèshí) 正方形的性质
八年级数学下册 19 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 1 矩形的性质学案(新版)华东师大版
八年级数学下册 19 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 1 矩形的性质学案（新版）华东师大版19、1矩形（1）矩形的性质课标要求：理解矩形概念，探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等导学目标：1、知识与技能：理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等、2、过程与方法：探索矩形的性质定理。
3、情感态度与价值观：体会用矩形的四个角都是直角，对角线相等解决矩形的计算和证明。
导学核心点：1、导学重点：矩形的定义，矩形的四个角都是直角，对角线相等的性质，以及性质的应用、2、导学难点：运用矩形的性质进行有关的论证和计算3、导学关键：区分不同性质的条件。
4、导学用具：三角板、平行四边形模型导学过程：一、自主预习（10分钟）（1）请用四根木棒拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形形状唯一吗？（2）试着改变平行四边形的形状，你能拼出面积最大的平行四边形吗？这时这个平行四边形的内角是多少度？（3）观察图形特征，得出概念、叫做矩形、矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________、二、合作解疑（25分钟）问题一如图，矩形ABCD，对角线相交于O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？问题二将目光锁定在Rt△ABC中，你能发现它有什么特殊的性质吗？证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、”已知：图形：画在下面求证：证明：三、综合应用拓展例：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线OBCDA相交于点O，且AC=2AB。
求证：△AOB是等边三角形。
(注意表达格式完整性与逻辑性)拓展与延伸：本题若将“AC=2AB”改为“∠BOC=120”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？OBCDA在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于O，∠ACD=30，AB=4、（1）判断△AOD的形状；（2）求对角线AC、BD的长、四、作业：P1001、2、3 P106 习题1板书设计19、1矩形（1）矩形的性质1、自主预习2、合作解疑3、综合应用拓展导学反思本节亮点：待改进处：。
八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形1.矩形的性质
第19章矩形、菱形与正方形19.1 矩形1.矩形的性质1.如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C′处,点B落在点B′处,其中AB=9,BC=6,则FC′的长为( D )(A)(B)4 (C)4.5 (D)52.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6 cm,则AB的长是( A )(A)3 cm (B)6 cm(C)10 cm (D)12 cm3.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,EF∥BC,DE∥CA.若四边形C DEF周长是y,DE是x,DC是10,则y与x之间的函数表达式是( B )(A)y=x+10 (B)y=2x+20(C)y=10x (D)y=4.(整体思想)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )(A)4.8 (B)5(C)6 (D)7.25.如图,在矩形ABCD中,AB>BC,点E,F,G,H分别是边DA,AB,BC,CD的中点,连结EG,F H,则图中矩形共有9 个.6.(2018常德)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知∠DGH=30°,连结BG,则∠AGB= 75°.7.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 3 .8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 22.5 度.9.(2018广东)如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连结DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:△DEF是等腰三角形.证明:(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AD=BC,AB=CD.由折叠的性质得BC=CE,AB=AE.所以AD=CE,AE=CD.因为DE=ED,所以△ADE≌△CED.(2)因为△ADE≌△CED,所以∠DEF=∠EDF.所以EF=DF.所以△DEF是等腰三角形.10.(2018北京东城区期末)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=9,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF.(1)求证:BE=BF;(2)求BE的长.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以AD∥BC.所以∠DEF=∠EFB.根据折叠的性质得∠BEF=∠DEF.所以∠BEF=∠EFB.所以BE=BF.(2)解:因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=90°.由折叠的性质得BE=ED.设BE=x,则AE=9-x.因为AE2+AB2=BE2,所以(9-x)2+32=x2.解得x=5.所以BE=5.11.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动,速度为1 cm/s,点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动,速度为2 cm/s,如果动点E,F同时从A,B两点出发,连结EF,DE,DF,若设运动的时间为t s,解答下列问题:(1)当t为何值时,△BEF为等腰直角三角形?(2)是否存在某一时刻t,使△DCF为等腰直角三角形?解:(1)根据题意,得AE=t cm,BF=2t cm.所以BE=(6-t)cm.因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=90°.因为要使△BEF为等腰直角三角形,应有BE=BF,所以6-t=2t.所以t=2.所以当t=2时,△BEF为等腰直角三角形.(2)根据题意,得BF=2t cm.所以CF=(12-2t)cm.因为四边形ABCD是矩形,所以∠C=90°.因为要使△DCF为等腰直角三角形,应有CF=DC,所以12-2t=6.所以t=3.所以当t=3时,△DCF为等腰直角三角形.12.(方程思想)如图,矩形ABCD中,AB长6 cm,对角线比AD边长2 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.解:设AD=x cm,则对角线长为(x+2) cm,在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD2+AB2=BD2,所以x2+62=(x+2)2,解得x=8.则AD=8 cm,DB=8+2=10(cm).在Rt△ABD中有,=,而DB=10 cm,AD=8 cm,AB=6 cm,所以AE===4.8(cm).。
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矩形的性质
（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.(2013·包头中考)如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )
A.S1>S2
B.S1=S2
C.S1<S2
D.3S1=2S2
2.(2013·南充中考)如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是( )
A.12
B.24
C.12
D.16
3.如图，长方形ABCD中，E为BC中点，作∠AEC的平分线交AD于点F.若AB=6，AD=16，则FD的长度为( )
A.4
B.5
C.6
D.8
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= cm.
5.矩形ABCD中，AB=2，BC=5，MN∥AB交AD于M，交BC于N，在MN上任取两点P，Q，那么图中阴影部分的面积是.
6.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，
那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1
S2(填“>”或“<”或“=”).
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·湘西中考)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，连结AF，CE .
(1)求证：△BEC≌△DFA.
(2)求证：四边形AECF是平行四边形.
8.(8分)已知：如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，
若∠EAO=15°，求∠BOE的度数.
【拓展延伸】
9.(10分)阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩
形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.
(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.
(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小.
(3)若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
答案解析
1.【解析】选B.矩形ABCD的面积S1=2S△ABC，而S△ABC=S2，所以S1=S
2.
2.【解析】选D.由两直线平行，内错角相等，
知∠DEF=∠EFB=60°，
∴∠AEF=∠A′EF=120°，
∴∠A′EB′=60°，A′E=AE=2，
求得A′B′=2，
∴AB=2，矩形ABCD的面积为S=2×8=16.
3.【解析】选C.∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=16，又E为BC的中点，∴BE=BC=×16=8.在Rt△ABE 中，AE2=AB2+BE2=62+82=100，即AE=10.由四边形ABCD是矩形，得AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，又∠AEC的平分线交AD于点F，∴∠AEF=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AF=AE=10，∴FD=AD-AF=16-10=6.
4.【解析】因为按如题图方式折叠后点B与点D重合，
所以DE=BE.设DE=xcm，则AE=AB-BE=AB-DE=(10-x)cm.在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即42+(10-x)2=x2，解得x=5.8cm.
答案：5.8
5.【解析】∵MN∥AB，四边形ABCD是矩形，∴四边形ABNM、四边形MNCD是矩形.∴AB=MN=CD，AM=BN，MD=NC.
即阴影部分的面积为：S矩形ABCD-S△ABP-S△CDQ=5×2-×AB×BC=10-×2×5=5.
答案：5
6.【解析】MN和PQ分别平行于矩形的两边，所以四边形AMKP、四边形MBQK、四边形QCNK、四边形PKND 都是矩形.又矩形的对角线平分矩形的面积，S△MBK=
S△QBK，S△PKD=S△NKD，所以S1=S△ABD-S△MBK-S△PKD，S2=S△CBD-S△QBK-S△NKD，即S1=S2.
答案：=
7.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC.
又∵E，F分别是边AB，CD的中点，
∴BE=DF，
∵在△BEC和△DFA中，
∴△BEC≌△DFA.
(2)由(1)得，CE=AF，又CF=AE，
故可得四边形AECF是平行四边形.
8.【解析】∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE.
∵∠BAD=90°，∠BAE=∠EAD，
∴∠BAE=45°.
∵∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°.
∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，
∴BO=AB.
∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO.
∵∠ABE=90°，∠ABO=60°，∴∠OBE=30°.
在△BOE中，∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°，
∴∠BOE=(180°-∠OBE)=75°.
9.【解析】(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有2个“友好矩形”，
如图，矩形BCAD，矩形ABEF.
易知，矩形BCAD，矩形ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有3个“友好矩形”，如图中矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK，其中矩
形ABHK的周长最小.
证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S.设矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=+2a，L2=+2b，
L3=+2c.
∴L1-L2=-=2(a-b)×，
而ab>S，a>b，∴L1- L2>0，即L1> L2.
同理可得，L2> L3，
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.。