非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
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第13章 非正弦
u = U 0 + u1 = U 0 + U1m sinω t
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t
此时电路中的电流也是非正弦周期量。 此时电路中的电流也是非正弦周期量。 即：
u U 0 U 1m i= = sinω t + R R R
三、非正弦周期电流电路的分析方法 谐波分析法 既然不同频率的正弦量和直流分量可以叠加成一 个周期性的非正弦量， 个周期性的非正弦量，那么反过来一个非正弦的周期 量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？ 量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？数学上已 有了肯定的答案，一切满足狄里赫利条件的周期函数 有了肯定的答案， 都可以分解为傅里叶级数。 都可以分解为傅里叶级数。 这样就可将非正弦周期量分解为若干个正弦交流 电路来求解。 电路来求解。 分解合成法
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bK =
π∫
Im
1
2π
0
iS (ω t )sinkω td(ω t)
0 K为偶数 2I = m kπ K为奇数
1 π (− cos kω t ) 0 = π k
2 K 2 K
2Im AK = b + a = bK = 为奇数） （K为奇数） kπ − bK o ψK = arctan = −90 aK
1 T 2 I= ∫0 i dt i = I0 + i1 + i2 +K T 2 2 2 2 i = I0 + i1 + i2 +K
) ) + 2I0(i1 + i2 +K + 2(i1i2 + i1i3 +K +K
1 T 2 2 2 ∫0 Adt = I0 + I1 + I2 +K T 1 T 1 T 正交性 ∫0 Bdt = 0 T ∫0 Cdt = 0 得证 T
非正弦周期函数的有效值和平均功率
iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
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直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
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（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱.
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里 赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。 ∞
2019年4月2日星期二
Lectured By 1 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
基本要求
正确理解非正弦周期电流电路中的有效值、平均功率的 概念， 掌握非正弦周期电流电路的分析方法。
Lectured By 4 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.1 非正弦周期信号
i o
尖顶波
T 2
T
非正弦信号有周期性和非周期性之分。 周期信号满足 f(t) = f(t+kT) 当 f(t) 不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。
2019年4月2日星期二
Lectured By 3 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
非正弦周期信号有效值、平均值、功率
非正弦周期信号有效值、平均值、功率
1 ．有效值：
（1 ）周期量有效值的定义：
留意：对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无关系。
（2 ）非正弦周期量：
函数
则有效值为：
利用三角函数的正交性得：
同理非正弦周期电流的有效值为：
结论：周期函数的有效值为直流重量及各次谐波重量有效值平方和的方根。
2 ．平均值：
非正弦周期性函数的平均值为直流重量：
明显正弦周期性函数的平均值为0
3 ．功率：
如图所示，所示一端口N 的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 的关联参考方向下，一端口电路汲取的瞬时功率和平均功率为
一端口电路的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 均为非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为
在图示关联参考方向下，一端口电路汲取的平均功率
将上式进行积分，并利用三角函数的正交性，得
上式表明，不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成平均功率，只有同频率的电压与电流才能构成平均功率；电路的平均功率等于直流重量和各次谐波重量各自产生的平均功率之和，即平均功率守恒。
即：平均功率＝直流重量的功率＋各次谐波的平均功率。
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
T /2
0
ak
2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk
Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1
km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
电路 第五版邱关源 第十三章
bk 0
－T/2 o
f (t)
T/2
T/2
t
f (t ) f ( t )
③奇谐波函数
ak 0
-T/2
o f (t)
t
T f (t ) f (t ) 2
k 1
a2 k b2 k 0 o
T/2
T
t
9
f 2013-12-8 a0 [ak cos k1 t bk sin k1t ] (t )
4.166 89.53 mV U5 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 ) 4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
2013-12-8
34
例
解 C1中只有基波电流， 说明L和C2对三次谐波 发生并联谐振。即：
第13章 非正弦周期电流电路 和信号的频谱
13.1 非正弦周期信号
13.2 周期信号分解为傅里叶级数 13.3 有效值、平均值和平均功率 13.4 非正弦周期电流电路的计算
13.5 对称三相电路中的谐波
2013-12-8
1
13.1 非正弦周期信号
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压 周期性锯齿波
IS0
R
I S 0 78.5μA
电容断路，电感短路
Uo
U0 RIS 0 20 78.5 10 1.57mV
6
2013-12-8
30
（b)基波作用
is1 100 sin 10 t μA
6
1 1 j1kΩ 6 12 j1C j10 1000 10 j1 L j10 10 j1kΩ
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
k
)
其中:
A
0
： 恒定分量 (直流分量)
： 一次谐波。
A 1 m cos( t 1 )
也称为基波分量。
A km cos( k 1 t k )
k 2 ,3 , 4 ,
称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等）。
二、 频谱(图):
(1) 幅度频谱： (2) 相位频谱：
A km k 1
(sin t
1 3
sin 3 t )
f(t) A
O
t
O
t
f1 ( t )
f 1 (t) 4 A /
4A
sin t
f 3 ( t) A
f3 (t )
4A
(sin t
1 3
sin 3 t
1 5
sin 5 t )
O
t
O
t
f (t ) f3 (t )
电容对低频电流有抑制作用, 电感对低频电流起分流作用。
12-6
付里叶级数的指数形式
一、 付里叶级数的指数形式：
付里叶级数的指数形式：
f (t )
其中：
ck 1 T
k
cke
jk 1 t
T
f (t )e
jk 1 t
dt
0
二、 说明：
因为： 且：
A km cos( k 1 t k ) 1 2 A km e
P
k 1
U k I k cos k Leabharlann pk ok
p
k o
k
非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(
k1t)
令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k
ak Akm
，sin
k
bk Akm
k
arctan
bk ak
f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1
2
2
0 iS (t) cos ktd (t)
2Im
1 k
sin
kt
0
0
11
bk
1
2
0 iS (t) sin ktd(t)
Im
(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk
2Im
k
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
U0 20 78 .5106 1.57 mV
78.5A R U0
26
基波分量单独作用：
IS1
100 2
90
70.7
90
A
IS1
R jXC(1)
U1
jXL(1)
X C (1)
1
C
1k
X L(1) L 1k
Z1
(R jX L(1) ) jX C(1) R jX L(1) jX C(1)
第13章 非正弦
周期函数f(t)的恒定分量(或直流分量)
A1m cos( t 1 )
称为1次谐波(或基波分量)
周期(或频率)与原函数f(t)相同
统称为高次谐波，即2次、3次、…谐波。 二、傅里叶级数中系数的求解
1. 表达式
其他各项
1 T a 0 f ( t ) dt T 0 2 T ak f ( t )coskω t dt T 0 2 T bk f ( t )si nkω t dt T 0
2
2 sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2
sin ktd (t )
2
0
3 三角函数的正交性
2
0 2
cos kt sin ptd (t ) 0 cos kt cos ptd (t ) 0
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0
2
0
sin kt sin ptd (t ) 0
按周期规律变化
f ( t ) f ( t kT )
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如
0
i
T
u
t
脉冲波形
0
T 方波电压
t
u t
锯齿波
0
T
2T
二、非正弦周期交流信号的产生原因
1 电路中有非线性元件
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如：半波整流电路的输出信号
ui
O
+
+
t ui
-
u0 -
u0
O
t
0 0
下半轴有波形
－T/2
T/2
下半轴无波形
t
f ( t ) a0 ak cos kt
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
帕斯瓦尔定理 P = U 0 I 0 + ∑ Pk
k =1
∞
功率叠加原理（只限于非正弦） 功率叠加原理（只限于非正弦） 同频率电压电流作用的平均功率和 因为不同频率电压电流乘积积分为0 正交）， 因为不同频率电压电流乘积积分为0（正交）， 不产生平均功率
12－ §12－4 非正弦周期电流电路 的计算
(2)利用叠加定理计算单个谐波（正弦） (2)利用叠加定理计算单个谐波（正弦）作用下的 利用叠加定理计算单个谐波 响应（相量法）； 响应（相量法）； (3)求和 求和。 (3)求和。
§12－2周期函数分解 12－ 为傅里叶级数
1 、任何周期信号f (t) = f (t + kT )可分解为一组 正交基的线性组和。 正交基的线性组和。
测 u 的直流分量 u 的平均值 刻度×1.11即可测正弦有效值 刻度×1.11即可测正弦有效值 故万用表只能测正弦波有效值，非正弦波不可用 故万用表只能测正弦波有效值，非正弦波不可用。
4、平均功率
∞ 1 T 1 T P = ∫ pdt = ∫ uidt = U 0 I 0 + ∑ I kU k cos k T 0 T 0 k =1
由时域可得到的信号信息： 由时域可得到的信号信息： 波形形状：平缓、陡峭、突变等； ① 波形形状：平缓、陡峭、突变等； 变化快慢：周期（基频率），持续时间； ），持续时间 ② 变化快慢：周期（基频率），持续时间； 对称关系： 偶等。 ③ 对称关系：奇、偶等。
）：每个频率点是一个 ) 频域表示）： c 频谱 Akm ( kω 1 （频域表示）：每个频率点是一个
另外还有峰值(最大值),峰峰值 另外还有峰值(最大值),峰峰值V p p (波峰和波谷的差) ), 波峰和波谷的差)
周期性非正弦电流、函数的谐波分析和傅里叶级数、电流的有效值、电路的平均功率相关知识讲解
的功率和各次谐波各自产生的平均功率之和。（同频率 电压电流相乘才形成平均功率）。
例 已知：u 2 10sint 5sin2t 2sin3t i 1 2sin(t 30 ) sin(2t 60 )
+
i
u
求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。-
P P0 P1 P2 P3
21 10 2 cos 30 1 5 cos60 0
a0 [ak cos k t bk sink t] k 1
将同频率 cos与 sin 合并， f (t) 还可表示成下式
f (t) c0 c1 sin( t 1 ) c2 sin(2 t 2 ) ck sin(k t k )
c0 ck sin(k t k ) k 1
设 i I0 Imk sin(k t k ) k 1
根据周期函数有效值定义
I
1 T i 2dt
T0
将 i 代入，得
I
1 T
T 0
I0
k 1
Imk
sin(k
t
k
2 ) dt
上式积分号中 i2项展开后有四种类型：
（1） I02
直流分量平方
1
T
T 0
I02.dt
I
2 0
（2）
I
2 mk
E
)
cos
kt
d(t
)
1
E k
s in kt
0
E k
s in kt
2
E
sink sin0 (sin2k sink )
k
0
bk
1
2
0
f (t ) sinkt d(t )
1
E sinkt d( t)
例 已知：u 2 10sint 5sin2t 2sin3t i 1 2sin(t 30 ) sin(2t 60 )
+
i
u
求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。-
P P0 P1 P2 P3
21 10 2 cos 30 1 5 cos60 0
a0 [ak cos k t bk sink t] k 1
将同频率 cos与 sin 合并， f (t) 还可表示成下式
f (t) c0 c1 sin( t 1 ) c2 sin(2 t 2 ) ck sin(k t k )
c0 ck sin(k t k ) k 1
设 i I0 Imk sin(k t k ) k 1
根据周期函数有效值定义
I
1 T i 2dt
T0
将 i 代入，得
I
1 T
T 0
I0
k 1
Imk
sin(k
t
k
2 ) dt
上式积分号中 i2项展开后有四种类型：
（1） I02
直流分量平方
1
T
T 0
I02.dt
I
2 0
（2）
I
2 mk
E
)
cos
kt
d(t
)
1
E k
s in kt
0
E k
s in kt
2
E
sink sin0 (sin2k sink )
k
0
bk
1
2
0
f (t ) sinkt d(t )
1
E sinkt d( t)
周期性非正弦电流电路中的有效值、平均值、平均功率
求该电路的平均功率、无功功率和视在功率。
解：平均功率为 P 10 3 20 6 cos(60) 60W
22
无功功率为 Q 20 6 sin(60) 52var
22
视在功率为
S UI
102
( 20 )2
8
2
32
(
6
)2
2
2
98.1VA
2 2
2 2
电工基础
的有效值；等效正 弦量的频率为非正
S UI
U
2 0
U
2 k
I02
I
2 k
k 1
k 1
弦波的基波频率； 电路的平均功率不 变。由此可得
cos P P
UI S
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
例7.3 已知某电路的电压、电流分别为
u(t) [10 20sint 8sin(3t 60)]V i(t) [3 6sin(t 60) 2sin 5t)]A
电工基础
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
1.1 有效值
任何周期量(电流、电压或电动势)的有效值都等于它的方均根 值。这一定义同样适用于周期性非正弦量。以周期电流 为i(t) 例，其有效值 为I
I 1 T i2 (t)dt T0
设周期性非正弦电流 i(t)分解为傅里叶级数为 i(t) I0 Ikm sin(kt k ) k 1 将 i(t) 代入有效值定义式，得
例 试求周期电压
u(t) [100 282sint 141sin 3t] V的有效值。
解： u(t)的有效值为
U 100 2 282 2 141 2 244 .9 2 2
V
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
解：平均功率为 P 10 3 20 6 cos(60) 60W
22
无功功率为 Q 20 6 sin(60) 52var
22
视在功率为
S UI
102
( 20 )2
8
2
32
(
6
)2
2
2
98.1VA
2 2
2 2
电工基础
的有效值；等效正 弦量的频率为非正
S UI
U
2 0
U
2 k
I02
I
2 k
k 1
k 1
弦波的基波频率； 电路的平均功率不 变。由此可得
cos P P
UI S
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
例7.3 已知某电路的电压、电流分别为
u(t) [10 20sint 8sin(3t 60)]V i(t) [3 6sin(t 60) 2sin 5t)]A
电工基础
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
1.1 有效值
任何周期量(电流、电压或电动势)的有效值都等于它的方均根 值。这一定义同样适用于周期性非正弦量。以周期电流 为i(t) 例，其有效值 为I
I 1 T i2 (t)dt T0
设周期性非正弦电流 i(t)分解为傅里叶级数为 i(t) I0 Ikm sin(kt k ) k 1 将 i(t) 代入有效值定义式，得
例 试求周期电压
u(t) [100 282sint 141sin 3t] V的有效值。
解： u(t)的有效值为
U 100 2 282 2 141 2 244 .9 2 2
V
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
第10章 非正弦周期电流电路
P0 P1 P2 ......
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
平均功率只取决于电阻，与电容和电感无关，又有
P I 2R I02R I12R I22R Ik2R
注意
1. 只有同频率的电压谐波和电流谐波才能构成平均功率。 非同频率的平均功率为零。
10.3 有效值、平均值和平均功率
非正弦周期函数的有效值
若 i(t ) I0 Ikmcos(kω1t ψk )
则有效值:
k 1
I 1 T i2dt
T0
1 T
T
2
0
I0
Ikmcos kω1t
k 1
ψk
dt
I
I
2 0
1 2
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
非正弦周期函数的频谱
由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定一个函数
的傅里叶级数。在电路中为了直观地表示，常用频谱图表示。 频谱——描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为
频谱图或频谱。
1. 幅度频谱：f(t)展开式中Akm与 (=k 1)的关系。反映了各频率成份
2. 电路中产生非 正弦周期波的原 因是什么？试举 例说明。
3. 有人说：“只要 电源是正弦的，电 路中各部分的响应 也一定是正弦波” ，这种说法对吗？ 为什么？
4. 试述谐波分析法 的应用范围和应用 步骤。
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
周期函数 f(t) = f(t+kT) (k = 1, 2, 3, …) 若满足狄里赫利条件
非正弦 周期量 (激励)
不同频率 正弦量的和
电工基础第八章 非正弦周期电流电路
3.视在功率
非正弦电流电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即
S UI U02 U12 ... Uk2 ... I02 I12 ... Ik2 ...
注意:视在功率不等于各次谐波视在功率之和。
第四节 非正弦周期电流电路的分析
非正弦周期电路稳态电路的分析计算采用谐波分析法。 其理论依据是线性电路的叠加定理。
交流量的平均值，也称绝对平均值或整流平均值。即
Irect
1 T
T
i dt
0Leabharlann 1T Urect T
u dt
0
第三节 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值、平均功率
三、非正弦电流电路的功率
1.平均功率（有功功率） 根据平均功率的定义式:
P 1
T
p(t)dt
T0
可得非正弦电流电路的平均功率为
f (t) a0 (a1 cost b1 sin t) (a2 cos 2t b2 sin 2t) ...
(ak cos kt bk sin kt)
a0 (ak cos kt bk sin kt) k 1
a0
,
a k
,
bk
为傅里叶系数，可按下面各式求得
第四节 非正弦周期电流电路的分析
例８－3 已知图中u（t）=［１0+100 2 sint+50 2 sin（3t+30）］V，
L=2，1/C=15，
R1=5， R2=10 。
求:各支路电流及它们
的有效值；
电路的有功功率。
图8-4 例8-3图
第四节 非正弦周期电流电路的分析
解：因为电源电压已分解为傅里叶级数，可直接计算各次谐波作用下的
非正弦电流电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即
S UI U02 U12 ... Uk2 ... I02 I12 ... Ik2 ...
注意:视在功率不等于各次谐波视在功率之和。
第四节 非正弦周期电流电路的分析
非正弦周期电路稳态电路的分析计算采用谐波分析法。 其理论依据是线性电路的叠加定理。
交流量的平均值，也称绝对平均值或整流平均值。即
Irect
1 T
T
i dt
0Leabharlann 1T Urect T
u dt
0
第三节 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值、平均功率
三、非正弦电流电路的功率
1.平均功率（有功功率） 根据平均功率的定义式:
P 1
T
p(t)dt
T0
可得非正弦电流电路的平均功率为
f (t) a0 (a1 cost b1 sin t) (a2 cos 2t b2 sin 2t) ...
(ak cos kt bk sin kt)
a0 (ak cos kt bk sin kt) k 1
a0
,
a k
,
bk
为傅里叶系数，可按下面各式求得
第四节 非正弦周期电流电路的分析
例８－3 已知图中u（t）=［１0+100 2 sint+50 2 sin（3t+30）］V，
L=2，1/C=15，
R1=5， R2=10 。
求:各支路电流及它们
的有效值；
电路的有功功率。
图8-4 例8-3图
第四节 非正弦周期电流电路的分析
解：因为电源电压已分解为傅里叶级数，可直接计算各次谐波作用下的
有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算
最后按时域形式迭加为：
i 13.47cos(1t 81.70o ) 14.47cos(31t 62.30o )
15.41cos(51t 34.41) ...
P P(1) P(3) P(5) P(9) 1337 .63W
２、举例：例１３－３
例13-3 图示电路中L=5H，C=10µF，负载电阻R=2KΩ，电源us
p ui [U0 Ukm cos(k1t uk )][I0 Ikm cos(k1t ik )]
k 0
k 0
式中u、i取关联参考方向。
平均功率为：
不同频率的正弦电压和电流
P
1 T
T
0
pdt
乘积的积分为零（即不产生平均 功率）；同频的正弦电压、电流 乘积的积分不为零。
P U0 I0 U1I1 cos 1 U2 I2 cos 2 Uk Ik cos k
uL _ c LuC_ C
d
40.03cos(71t) 31.12cos(91t) V
求电流 i 和电阻吸收的平均功率P 。
解：电路中的非正弦周期电压已分解为傅立叶级数形式。
电流相量一般表达式为：
•
•
•
I m(k)
U sm(k )
Z k1
U sm( k )
R jk1L j
根据迭加定理，按k=1，2，…的顺序，依次求解如下：
（３）、函数的对称性
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算讲义
5
Um V
10
2）谐波性：各频率均为基
波频率的整数倍，等间隔分
o
10 10 10 10 2 3 4 5
2 3 4 5
布
3）收敛性：幅度谱随频率 增加而减小，表明信号能量 集中在低频谐波中。
k
锯齿波电压的幅度谱
16
§13-3 有效值、平均值和平均功率
1.三角函数的性质 1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2 k 2 k
令：
2 A0 a0，Akm ak bk2
ak bk cos k ，sin k Akm Akm bk k arctan ak
f (t ) A0 Akm cos k cos( k1t ) sin k sin( k1t )
2
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
+
uS(t)
-
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i (t )
u ( t)
t
o
T
t 方波电压
脉冲电流
5
2. 非正弦周期电路的分析
把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数
§13-3 有效值、平均值和平均功率
§13-4 非正弦周期电流电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号
在生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。
在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方
Um V
10
2）谐波性：各频率均为基
波频率的整数倍，等间隔分
o
10 10 10 10 2 3 4 5
2 3 4 5
布
3）收敛性：幅度谱随频率 增加而减小，表明信号能量 集中在低频谐波中。
k
锯齿波电压的幅度谱
16
§13-3 有效值、平均值和平均功率
1.三角函数的性质 1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2 k 2 k
令：
2 A0 a0，Akm ak bk2
ak bk cos k ，sin k Akm Akm bk k arctan ak
f (t ) A0 Akm cos k cos( k1t ) sin k sin( k1t )
2
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
+
uS(t)
-
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i (t )
u ( t)
t
o
T
t 方波电压
脉冲电流
5
2. 非正弦周期电路的分析
把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数
§13-3 有效值、平均值和平均功率
§13-4 非正弦周期电流电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号
在生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。
在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方
12.非正弦周期电流电路和信号的频谱
（2）分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分量 单独作用时的响应。 对恒定分量（ω=0），求解时把电容（C）看作开路，
即：1/ωC = ；电感（L）看作短路，即：ωL=0。
对各次谐波分量可以用相量法求解，但要注意感抗、容 抗与频率的关系，即：
X Lk
k1 L，X Ck
1
k 1C
(3)并把计算结果转换为时域形式;
一．有效值 任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
i I0 Ikm cos(k1t k )
k 1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I
1 T
T
0
[
I0
Ikm
k 1
cos(k1t
k
)]2 dt
上式中 i 的展开式平方后将含有下列各项：
(4)应用叠加定理，把步骤（3）计算出的结果进 行叠加，求得所需响应。
注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量 直接相加是没有意义的。
二．举例
i
R
+
例12-2 图示电路中,
us
C
R 3, 1 9.45,输 入 电 源 为: 1C
us 10 141.40cos(1 t ) 47.13cos(31t ) 28.28cos(51t ) 20.20cos(71t) 15.71cos(91t) V
k 1
还可以写成另一种形式:
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 21 )
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k )
k 1
即：1/ωC = ；电感（L）看作短路，即：ωL=0。
对各次谐波分量可以用相量法求解，但要注意感抗、容 抗与频率的关系，即：
X Lk
k1 L，X Ck
1
k 1C
(3)并把计算结果转换为时域形式;
一．有效值 任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
i I0 Ikm cos(k1t k )
k 1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I
1 T
T
0
[
I0
Ikm
k 1
cos(k1t
k
)]2 dt
上式中 i 的展开式平方后将含有下列各项：
(4)应用叠加定理，把步骤（3）计算出的结果进 行叠加，求得所需响应。
注意：将表示不同频率正弦电流相量或电压相量 直接相加是没有意义的。
二．举例
i
R
+
例12-2 图示电路中,
us
C
R 3, 1 9.45,输 入 电 源 为: 1C
us 10 141.40cos(1 t ) 47.13cos(31t ) 28.28cos(51t ) 20.20cos(71t) 15.71cos(91t) V
k 1
还可以写成另一种形式:
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 21 )
Akm cos(k1t k )
A0 Akm cos(k1t k )
k 1
非正弦周期信号的傅里叶级数分解
非正弦周期信号的傅里叶级数分解当电路的激励源为直流或正弦交流电源时，可用所述方法对电路进行分析计算。
但是在实际电气系统中，却经常会遇到非正弦的激励源问题，例如电力系统的交流发电机所产生的电动势，其波形并非理想的正弦曲线，而是接近正弦波的周期性波形。
即使是正弦激励源电路，若电路中存在非线性器件时，也会产生非正弦的响应。
在电子通信工程中，遇到的电信号大都为非正弦量，如常见的方波、三角波、脉冲波等，有些电信号甚至是非周期性的。
对于线性电路，周期性非正弦信号可以利用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦分量，然后用正弦交流电路相量分析方法，分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算，再由线性电路的叠加定理，把各分量叠加，得到非正弦周期信号激励下的响应。
这种将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法称为谐波分析法。
设周期函数的周期为T，则有：（k为任意整数）如果函数满足狄里赫利条件，那么它就可以分解成为傅里叶级数。
一般电工技术中所涉及的周期函数通常都能满足狄里赫利条件，能展开为傅里叶级数，在后面讨论中均忽略这一问题。
对于上述周期函数，可表示成傅里叶级数：（1）或（2）式中，称为基波角频率；二式中系数之间有关系式：或（3）展开式中除第一项外,每一项都是不同频率的正弦量，称为周期函数的直流分量（恒定分量），第二项称为基波分量，基波角频率，其变化周期与原函数周期相同，其余各项（的项）统称为高次谐波。
高次谐波分量的频率是基波频率的整数倍。
当时称为二次谐波，时称为三次谐波等等。
是第n次谐波的初相角。
当已知时，傅里叶级数表达式中各谐波分量的系数可由下面公式求得：（4）下面用一个具体例子来进行傅里叶分解。
例1 图1所示为对称方波电压，其表达式可写为：求此信号的傅里叶级数展开式。
图1解：根据傅里叶级数的系数推导公式，可得由此可得所求信号的傅里叶级数展开式为在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因此要根据级数展开后的收敛情况，电路频率特性及精度要求，来确定所取的项数。
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2
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
+
uS(t) -
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i(t)
u(t)
o
T
t
t
脉冲电流
方波电压
5
2. 非正弦周期电路的分析 把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。 然后根据线性电路的叠加定理，求出各谐波单独
基波分量单独作用：
jXC(1)
U S(1) 10 00V
+
XC(1)100 1 20 10 650 0
US( _
1
)
+
R Uo(1) _
U o(1)RR jXC (1)U S(1)8.4 9 5 2.5 67 V
24
三次谐波单独作用：
jXC(3)
US(3) 300V
+
X C (3)30 1 2 0 10 6 0 1.6 6 6 7U_S( 3 )
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 §13-3 有效值、平均值和平均功率 §13-4 非正弦周期电流电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号
在生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。 在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面， 电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 例 半波整流电路的输出信号
u 3 1.4 2c7o 3 1 s6t(0 1.7 1 )9 mV 1.4 2s7i3 n 1(6t0 8.1 9 )9mV
u U 0 u 1 u 3 1 .5 5 70 s1 i0 6 n t0 0 1 .( 1 ) 5 1.4 2 s7 3 i n 16 t( 0 8.1 9 )9 m
U1
1
XC(1) C1k
XL(1) L1k
Z1(R R jjX X L L (1 (1 )) )jjX X C C ((1 1 ))5 01.15 k U 1Z 1I S1252 0 0 9.1 15 mV u 1 50 c0 o 16 0 s t0 ( 9.1 1 )5 mV 50s0i1 0 n60 t(1.1 5 )mV
f(t) a 0
k 1
a k 2 b k 2 a k 2 a kb k 2co k1 ts ) (a k 2 b k b k 2sikn 1 t) (
8
f(t) a 0
k 1
a k 2 b k 2 a k 2 a kb k 2co k1 ts ) (a k 2 b k b k 2sikn 1 t) (
I L22 jU ω 2 1 L 26 j2 040 53 4 5 A
32
4)叠加 i=I0+ i1 + i2 =1A iC1= IC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A
iL2=IL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) A
16
§13-3 有效值、平均值和平均功率
1.三角函数的性质
1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2 sk itn ( d t) 02 ck ot( s d t) 0k为整数
0
0
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 s2 ikn t( d t) 2 c2 k ots ( d t)
d
利用三角函数的正交性得：
I
I02
k1
Ik2m 2
I I02I12I22
周期信号的有效值为直流分量及各次谐波分量 有效值平方和的平方根。
19
例 i1
i2
i3
已知 i1 6A
i
i24 2costA
i35.6c 6ots(6 0 )A
i4
i442co3 st (4)5 A
求i 的有效值。
解 ii1i2i3i4 先求i2 i3的有效值
I2 I3 4 04-6 06.933 0A
I626.923421A 0
20
3. 非正弦周期信号的平均值
设 i(t)I0 Ik m cok s1t(k) k1
则其平均值定义为：
Iav
1 T
T
i dt
0
(I0
1 T
T
i(t)dt
直流分) 量
0
例： i(t)Imcost
IavT1 0TImcostdt2Im 0.637Im
1
I0T
0TImcostdt0
I
1 2Im
0.707Im
21
4. 非正弦周期电路的平均功率
u(t)U 0 U km cok s1t(u)k k1
i(t)I0 Ik m cok s1t(ik) k1
P1
T p dt 1
T
uidt
T0
T0
Im
T/2 T
t
a 0T 10 TiS(t)d tT 10 T /2Im d tI2 m
ak20 2iS(t)cokstd(t)
2Im1sinkt k
0
0
11
bk102iS(t)sikntd(t)
Im(1kcokst)0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk
2Im
k
iS I2 m 2 Im (sti n 1 3 s3 in t 1 5 s5 in t )
28
例3 已 知 :u 3 0 1c 21 o 00 s t 6 0 c0 0 o 2s 0 t ( π 0 )V 0
4
求图示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。
A1 + a
L1
C140mH A2
25F VV11
L2 V2 30d 10mH
A3
c
C2 25F
u
_
b
29
解 1)直流分量单独作用
12
iS I2 m 2 Im (sti n 1 3 s3 in t 1 5 s5 in t )
展开的傅里叶级数是收敛的，即Ak随k增加而减 小，因而工程上根据精度要求取前几项即可。
13
2. 波形对称性 偶函数： f(t)f(t)
bk 0
奇函数： f(t)f(t)
ak 0
f(t)
－T/2
L1 IC1(0)
30 cd
L2 IL2(0)
I1(0)
C1
C2
_
a+
U(0)
b
I0= IL20 = U0/R =1A, IC10=0,
Uad0= Ucb0 =U0 =30V
30
2)基波分量单独作用
j40
j10
IC 11
30 cd
IL 21
I1
j40
a+
U1
j40 _ b
U 1120V L1、C1 发生并联谐振。
作用下电路的分响应。 最后在时域叠加，得到电路的响应。
谐波分析法
6
§13-2 周期函数分解为傅里叶级数
周期信号可以用周期函数（周期为T）f(t)表示： f(t)=f(t+kT) k=0,1,2,…
1. 傅里叶级数 若周期函数f(t)满足狄里赫利条件，则f(t)可分解为
傅里叶级数：
f( t) a 0 [ a 1 co 1 t) s b 1 s (i1 t) n ] [ a ( 2 c2 o 1 t) s b 2 ( s2 i1 n t)] [ a kck o 1 t) s b k ( sk i1 n t) ] (
1）输出信号中无直流分量；
2）若R>>1/C，则输入信号无衰减地传输到输出端
25
例2 已知： R2 0,L1mH,
C 10 p,Im 0 F 1 0 μ 5 A ,T 7 6 .2 μ 8Si S 求电压u（计算到3次谐波）。
R
Cu
L
解
iS
iSI2 m2 Im(s itn 1 3si3 n t ) I m
27
三次谐波分量单独作用： I S3 32 .3902.5 390 A
XC(3) 3 1C0.3k 3XL(3) 3L3k
Z 3(R R jjX X L L ((3 3 )) )jjX X C C ((3 3 ))3.7 5 4 8.1 9 k 9
U 3Z 3I S36 .23 2 5 1.7 19 9 mV
利用三角函数的正交性，得：
PU0I0 UkIkcoks(kukik) k1
P0P1P2......
平均功率=直流分量的功率+各次谐波的平均功率
22
§13-4 非正弦周期电流电路的计算
1. 计算步骤 1）将非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数； 2）求直流分量和各谐波分量单独作用下的响应；
直流分量：C→开路，L→短路
0
0
3）三角函数的正交性
0 2co kstsip n td (t)0,0 2co kstcop std (t)0 0 2sik ntsip n td(t)0k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值
设 i(t)I0 Ik m cok s1t(k) k1
则有效值:
I 1 Ti2dt
T0
1 T
T
I 1I L21 0,U cb 10 U a1 dU 112 00 V
I C11 jω C 1U 112 j 40 0 03 9 0 A
31
3)二次谐波单独作用
j80
j20
IC 12
30 cd
IL 22
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
+
uS(t) -
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i(t)
u(t)
o
T
t
t
脉冲电流
方波电压
5
2. 非正弦周期电路的分析 把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。 然后根据线性电路的叠加定理，求出各谐波单独
基波分量单独作用：
jXC(1)
U S(1) 10 00V
+
XC(1)100 1 20 10 650 0
US( _
1
)
+
R Uo(1) _
U o(1)RR jXC (1)U S(1)8.4 9 5 2.5 67 V
24
三次谐波单独作用：
jXC(3)
US(3) 300V
+
X C (3)30 1 2 0 10 6 0 1.6 6 6 7U_S( 3 )
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 §13-3 有效值、平均值和平均功率 §13-4 非正弦周期电流电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号
在生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。 在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面， 电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 例 半波整流电路的输出信号
u 3 1.4 2c7o 3 1 s6t(0 1.7 1 )9 mV 1.4 2s7i3 n 1(6t0 8.1 9 )9mV
u U 0 u 1 u 3 1 .5 5 70 s1 i0 6 n t0 0 1 .( 1 ) 5 1.4 2 s7 3 i n 16 t( 0 8.1 9 )9 m
U1
1
XC(1) C1k
XL(1) L1k
Z1(R R jjX X L L (1 (1 )) )jjX X C C ((1 1 ))5 01.15 k U 1Z 1I S1252 0 0 9.1 15 mV u 1 50 c0 o 16 0 s t0 ( 9.1 1 )5 mV 50s0i1 0 n60 t(1.1 5 )mV
f(t) a 0
k 1
a k 2 b k 2 a k 2 a kb k 2co k1 ts ) (a k 2 b k b k 2sikn 1 t) (
8
f(t) a 0
k 1
a k 2 b k 2 a k 2 a kb k 2co k1 ts ) (a k 2 b k b k 2sikn 1 t) (
I L22 jU ω 2 1 L 26 j2 040 53 4 5 A
32
4)叠加 i=I0+ i1 + i2 =1A iC1= IC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A
iL2=IL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) A
16
§13-3 有效值、平均值和平均功率
1.三角函数的性质
1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2 sk itn ( d t) 02 ck ot( s d t) 0k为整数
0
0
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 s2 ikn t( d t) 2 c2 k ots ( d t)
d
利用三角函数的正交性得：
I
I02
k1
Ik2m 2
I I02I12I22
周期信号的有效值为直流分量及各次谐波分量 有效值平方和的平方根。
19
例 i1
i2
i3
已知 i1 6A
i
i24 2costA
i35.6c 6ots(6 0 )A
i4
i442co3 st (4)5 A
求i 的有效值。
解 ii1i2i3i4 先求i2 i3的有效值
I2 I3 4 04-6 06.933 0A
I626.923421A 0
20
3. 非正弦周期信号的平均值
设 i(t)I0 Ik m cok s1t(k) k1
则其平均值定义为：
Iav
1 T
T
i dt
0
(I0
1 T
T
i(t)dt
直流分) 量
0
例： i(t)Imcost
IavT1 0TImcostdt2Im 0.637Im
1
I0T
0TImcostdt0
I
1 2Im
0.707Im
21
4. 非正弦周期电路的平均功率
u(t)U 0 U km cok s1t(u)k k1
i(t)I0 Ik m cok s1t(ik) k1
P1
T p dt 1
T
uidt
T0
T0
Im
T/2 T
t
a 0T 10 TiS(t)d tT 10 T /2Im d tI2 m
ak20 2iS(t)cokstd(t)
2Im1sinkt k
0
0
11
bk102iS(t)sikntd(t)
Im(1kcokst)0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk
2Im
k
iS I2 m 2 Im (sti n 1 3 s3 in t 1 5 s5 in t )
28
例3 已 知 :u 3 0 1c 21 o 00 s t 6 0 c0 0 o 2s 0 t ( π 0 )V 0
4
求图示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。
A1 + a
L1
C140mH A2
25F VV11
L2 V2 30d 10mH
A3
c
C2 25F
u
_
b
29
解 1)直流分量单独作用
12
iS I2 m 2 Im (sti n 1 3 s3 in t 1 5 s5 in t )
展开的傅里叶级数是收敛的，即Ak随k增加而减 小，因而工程上根据精度要求取前几项即可。
13
2. 波形对称性 偶函数： f(t)f(t)
bk 0
奇函数： f(t)f(t)
ak 0
f(t)
－T/2
L1 IC1(0)
30 cd
L2 IL2(0)
I1(0)
C1
C2
_
a+
U(0)
b
I0= IL20 = U0/R =1A, IC10=0,
Uad0= Ucb0 =U0 =30V
30
2)基波分量单独作用
j40
j10
IC 11
30 cd
IL 21
I1
j40
a+
U1
j40 _ b
U 1120V L1、C1 发生并联谐振。
作用下电路的分响应。 最后在时域叠加，得到电路的响应。
谐波分析法
6
§13-2 周期函数分解为傅里叶级数
周期信号可以用周期函数（周期为T）f(t)表示： f(t)=f(t+kT) k=0,1,2,…
1. 傅里叶级数 若周期函数f(t)满足狄里赫利条件，则f(t)可分解为
傅里叶级数：
f( t) a 0 [ a 1 co 1 t) s b 1 s (i1 t) n ] [ a ( 2 c2 o 1 t) s b 2 ( s2 i1 n t)] [ a kck o 1 t) s b k ( sk i1 n t) ] (
1）输出信号中无直流分量；
2）若R>>1/C，则输入信号无衰减地传输到输出端
25
例2 已知： R2 0,L1mH,
C 10 p,Im 0 F 1 0 μ 5 A ,T 7 6 .2 μ 8Si S 求电压u（计算到3次谐波）。
R
Cu
L
解
iS
iSI2 m2 Im(s itn 1 3si3 n t ) I m
27
三次谐波分量单独作用： I S3 32 .3902.5 390 A
XC(3) 3 1C0.3k 3XL(3) 3L3k
Z 3(R R jjX X L L ((3 3 )) )jjX X C C ((3 3 ))3.7 5 4 8.1 9 k 9
U 3Z 3I S36 .23 2 5 1.7 19 9 mV
利用三角函数的正交性，得：
PU0I0 UkIkcoks(kukik) k1
P0P1P2......
平均功率=直流分量的功率+各次谐波的平均功率
22
§13-4 非正弦周期电流电路的计算
1. 计算步骤 1）将非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数； 2）求直流分量和各谐波分量单独作用下的响应；
直流分量：C→开路，L→短路
0
0
3）三角函数的正交性
0 2co kstsip n td (t)0,0 2co kstcop std (t)0 0 2sik ntsip n td(t)0k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值
设 i(t)I0 Ik m cok s1t(k) k1
则有效值:
I 1 Ti2dt
T0
1 T
T
I 1I L21 0,U cb 10 U a1 dU 112 00 V
I C11 jω C 1U 112 j 40 0 03 9 0 A
31
3)二次谐波单独作用
j80
j20
IC 12
30 cd
IL 22