河北大学微积分试题

大一微积分期末试题

大一微积分期末试题题目一：函数的极限与连续性1.计算极限 $\\lim\\limits_{x \\to 2} \\frac{x^2 - 4}{x - 2}$，并证明你的答案。

2.已知函数 $f(x) = \\begin{cases} 2x -1, & \\text{若} x < 1 \\\\ 3x^2, &\\text{若} x \\geq 1 \\end{cases}$，求函数f(x)在x=1处的极限，并判断f(x)在x=1处是否连续。

题目二：函数的导数与应用1.求函数f(x)=3x2−2x的导数。

2.已知函数y=f(x)的导数为$f'(x) = \\frac{1}{3x^2}$，且f(1)=4，求函数f(x)的解析式。

3.某物体的位移与时间之间的关系为s(t)=3t2−4t+1，求物体在t=2时的瞬时速度。

题目三：定积分计算1.计算定积分 $\\int_0^1 (3x^2 - 2x) dx$。

2.已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，求证必存在 $\\xi \\in (a,b)$，使得 $\\int_a^b f(x) dx = f(\\xi)(b-a)$。

题目四：不定积分计算1.计算不定积分 $\\int (x^3 - 2x^2 + 3x - 4) dx$。

2.计算不定积分 $\\int \\frac{2x^3 - 5x^2 - 4}{x^2} dx$。

题目五：微分方程求解1.求微分方程 $\\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2$ 的通解。

2.已知微分方程 $\\frac{dy}{dx} + 2xy = 0$ 的通解为y=ce−x2，其中c是常数，求满足初始条件y(0)=2的特解。

以上是一份大一微积分期末试题，包含了函数的极限与连续性、函数的导数与应用、定积分计算、不定积分计算和微分方程求解等方面的内容。

这些题目旨在考察同学们对微积分基本概念和定理的理解和运用能力。

大一微积分期末试卷及答案

大一微积分期末试卷及答案Final revision by standardization team on December 10, 2020.微积分期末试卷选择题（6×２）1~6 DDBDBD一、填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1x y R x=-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m limlim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（）3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT三、计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e → 解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解： 3 24lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求四、证明题。

1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。

证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（）五、应用题1、描绘下列函数的图形 3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222--- 50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。

微积分各章习题及详细答案(供参考)

微积分各章习题及详细答案(供参考)第一章函数极限与连续一、填空题1、已知 f (sin x) 1cos x ，则 f (cos x)。

2(4 3x)22、 lim2)。

xx(1 x3、 x 0 时， tan x sin x 是 x 的阶无量小。

4、 lim xksin10 建立的 k 为。

xx5、 lim e x arctan xx6、 f ( x)ex1, xb,7、 limln( 3x1)x 06x。

x 0在 x 0处连续，则 b 。

x 0。

8、设 f (x) 的定义域是 [ 0,1] ，则 f (ln x) 的定义域是 __________ 。

9、函数 y 1 ln( x 2) 的反函数为 _________。

10、设 a 是非零常数，则 lim (xa) x ________ 。

xx a111、已知当 x 0时， (1 ax 2 ) 3 1与 cosx 1 是等价无量小，则常数 a ________。

12、函数 f ( x)arcsin3x的定义域是 __________ 。

1 x13、 lim ( x 22x 2 2)____________ 。

x14、设 lim (x2a ) x 8 ，则 a________。

xx a15、 lim ( n n 1)( n 2n) =____________ 。

n二、选择题1、设 f ( x), g(x) 是 [ l , l ] 上的偶函数， h( x) 是 [ l , l ] 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ） f ( x) g( x) ；（Ｂ） f ( x) h( x) ；（ C ） f (x)[ g(x) h( x)] ；（ D ） f ( x) g( x) h(x) 。

2、1 x3x( x)，( x)1x ，则当时有。

1 x1（Ａ）是比高阶的无量小；（Ｂ）是比低阶的无量小；（ C ）与是同阶无量小；（ D ）~。

3、函数 f (x)1 x 1 ,x 0( x1) 在 x0处连续，则 k3 1 x 1 。

河北大学微积分期末考试试卷

河北大学课程考核试卷2007—2008学年第一学期 2007 级经济、管理专业（类）考核科目微积分课程类别必修考核类型考试考核方式闭卷卷别 A（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、单项选择题：选择一个正确答案写在答题纸上（共16分，每题2分）1、下列函数中为偶函数的有（）A ． x x x f sin )(3=B ． 1)(3+=x x fC ． x x a a x f --=)(D ． x x x f sin )(2=2、下列函数中，当x →0时与无穷小量x 相比是高阶无穷小的是（）A ．sin xB ．1- cos xC ．xD ．x + x 23、已知0()2f x '=-, 则=--→)()2(lim 000x f x x f xx （）．A ．41B ．41- C ．1 D ．-14、极限x x x sin lim ∞→（）．A ．是无穷大B ．不存在，但不是无穷大C ．为0D ．为15、设函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)(>'x f 且0)(<''x f ，则函数在此区间内是（）．A ．单调减少且凹的B ．单调减少且凸的C ．单调增加且凹的D ．单调增加且凸的6、若)(x f 为二次可微的偶函数，且0)(≠''x f ，则0=x 为)(x f 的（）．A ．极大值点B ．极小值点C ．极值点D ．非极值点7、已知⎰x x xf d )(=sin x +c ，则 f （x ）为（）．A ． x xsin B ． x sin x C ． x xcos D ． x cos x8、下列命题正确的是（）．A ．单调函数的原函数是单调函数B ．周期函数的原函数是周期函数C ．奇函数的原函数是偶函数D ．偶函数的原函数是奇函数二、填空题：将答案写在答题纸上（共14分，每题2分）1、0ln sin 5lim ln sin 3x x x+→= ． 2、()x x x f 1cos sin ⋅=在0=x 处无定义，要使它在0=x 处连续，应补充定义()=0f ． 3、()='⎰dx x f ．4、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的条件，是()f x 在点0x 连续的条件．5、设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，由中值定理可知至少存在一点),(b a ∈ξ，使得________________________成立．6、设函数)(x f y =的导数为)(x f '（)(x f '0≠），则其反函数的导数为___________．7、设函数)(x f 在点0x x =的某一个邻域内有定义，若满足___________________则称函数)(x f 在0x 点连续．三、判断题：正确的划“√”，错误的划“×”，写在答题纸上（共10分，每题2分）1、若0lim ()x x f x →不存在，则02lim ()x x f x →也不存在． 2、若()f x 在0x 处左、右导数存在，则()f x 在0x 处可导．3、若)(x f 在],[b a 上可积，则)()(x f dx x f dx d=⎰．4、若)(x f 在0x 连续，g (x )在0x 不连续，则f (x ) g (x )在0x 必不连续．5、在闭区间上有间断点的函数不一定有最大值．四、计算题（共40分，每题8分）1、求极限011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦ 2、计算不定积分⎰+dx e x 13、设x x y 22e 2cos -+=，求y d 4、求不定积分dx x x ⎰cos 25、2lnsin y x =，求dy dx五、解答、综合应用题（共20分，第1、2题6分，第3题8分）1、直线x a y aa -=+)1(2 )0(>a 与x 轴，y 轴围成一个三角形，当a 为何值时，三角形面积最大．2、求cos 2y x =的n 阶导数．3、设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()().0==b f a f 试证：在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()20f f ξξ'-=．。

微积分考试试卷及答案6套

微积分考试试卷及答案6套微积分试题 (A 卷)⼀. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│?(x )─A│< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β是等价⽆穷⼩量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='?))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最⼤时产量Q 是。

⼆. 单项选择题 (每⼩题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε邻域（a -ε,a +ε）内有⽆穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不⼀定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且⼀定等于a(C) 数列{x n }的极限不⼀定存在 (D) 数列{x n }的极限⼀定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) ⽆穷型间断点→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度⼩于价格提⾼的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，⼜a 是常数，则下列结论正确的是（）。

河北大学08-09微积分考试试卷

河北大学课程考核试卷2008—2009学年第二学期 2008级经管专业（类）考核科目微积分2 课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别 A（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、选择题：（共20分，每小题2分）1、已知)(x f 连续，dt t f x F xx ⎰=ln 2)()(，则=)1('F （）)1(2)0(.f f A - )1()0(.f f B - )1(2)0(.f f C + )1()0(.f f D +2、下列广义积分收敛的是（） A ⎰+∞∞-xdx sin B dx x ⎰-111 C ⎰--0121x dx D dx e x ⎰∞--0 3、设⎰-=xdt t x f 0)1()(，则)(x f 有（）. A 极小值21 B 极小值21- C 极大值21 D 极大值21- 4、下列论断正确的是（）A 当1>α时，dx x ⎰+∞11α 发散 B 当10<<α时，dx x⎰+∞11α 收敛 C 当1>α时，dx x ⎰101α 收敛 D 当10<<α时，dx x ⎰101α 收敛 5、当（）时，)0( )1(1>-∑∞=n n n n u u 一定收敛.A 0lim =∞→n n uB 1lim 1<+∞→nn n u u C n n u u ≤+1 D n n u u ≤+1，0lim =∞→n n u 6、 1∑∞=n n u 收敛是0lim =∞→n n u 的（）条件.A. 必要B. 充分C. 充要D. 无关7、函数x y x y x z 9332233-++-=的极小值点为（）A （1，0）B （1，2）C （－3，0）D （－3，2）A —3—18、级数∑∞=-+1212)(n n n u u 是收敛的，则（）A ∑∞=1n n u 必收敛B ∑∞=1n n u 未必收敛C 0lim =∞→n n uD ∑∞=1n n u 发散 9、下列方程中，（）是二阶线性齐次微分方程.A y y dxy d ='+22 B y x y '+=''2)( C y y x y '⋅+=''2 D x y y y +'=''2)(10、下列方程为二阶差分方程的是（）.A x x x x y y y 23412=++++B x y y x x =-++123C 343=-+x x y yD 1223--=++x x x y y y二、填空题：（共14分，每空2分）1、若平面区域{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D ，则=⎰⎰D dxdy ___________.2、=ΓΓΓ)4()3()2(________________. 3、设)sin(xy z =，则=∂∂∂yx z 2 . 4、⎰-2 2 2sin ππxdx x ＝__________.5、设⎰⎰-=x dy y x f dx I 1010),(,则改变其积分次序后为6、已知函数xy y x y x xy f ++=+22),(，则x y x f ∂∂),(＝______,y y x f ∂∂),(＝_______.A —3—2三、计算题（共54分，每题6分）1、求定积分dx x e x ⎰20sin π2、求广义积分dx x x ⎰+∞∞-++5412 3、设),(y x z z =是由方程1)sin(=-+xy z e xyz 所确定的隐函数，求yz x z ∂∂∂∂,. 4、计算二重积分⎰⎰=Ddxdy xy x I )cos(2，其中D 是由直线x y x ==,1及x 轴围成的平面区域.5、判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性. 6、设))ln(,(sin y x xy f z +=，求z 的全微分.7、求解微分方程x x ny y x n sin )1(')1(1++=-+.8、设)(x f 连续，且dt t f x f ⎰+=10)(21)(，求)(x f . 9、已知2x e -为)(x f 的一个原函数，求⎰'10)(dx x f x 的值. 四、应用题（共12分，第1小题4分，第2小题8分）1、求曲线22x x y -=与x 轴所围成图形绕x 轴旋转所成立体的体积。

微积分练习100题及其解答

x 0 t x
2
1
x2
．
1
解： lim x e
x 0
2
1
lim
x2
et ． t t
17．求极限： lim sin x ln x ．
x 0
解： lim sin x ln x lim
x 0 x 0
1 ln x tan x sin x x lim lim 0． x 0 csc x x 0 csc x cot x x 1 x 2 1 x ． 1 x2 lim x 1 1 x tan 2 1 x x
cos 2x 1 2 sin 2x lim 2 x 0 sin x 2 x sin 2 x x cos 2 x 2 sin 2x 6x cos 2x 2x2 sin 2x ； 2 sin 2x 1 2 x lim x 0 2 sin 2x 3 4 cos 2 x x sin 2 x 2x lim

2．求极限： lim
e x e sin x ． x 0 x sin x
( x 0) ，∴ lim
解：∵ e x 1 ~ x
e x e sin x e x sin x 1 lim e sin x 1． x 0 x sin x x0 x sin x
x 0
2
13．求极限： lim
x1
1 1 ． 1 x ln x
1 1 1 1 ln x 1 x x lim lim lim x 1 1 x x 1 x 1 1 x ln x (1 x) ln x ln x ；解： x 1 x 1 1 lim lim x 1 1 x x ln x x 1 1 ln x 1 2

大一微积分练习题及答案

《微积分(1)》练习题一．单项选择题1.设()0x f '存在,则下列等式成立的有( ) A. ()()()0000limx f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B.()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆C.()()()00002limx f h x f h x f h '=-+→ D.()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→2.下列极限不存在的有( )A.201sin lim xx x → B.12lim 2+-+∞→x x x xC. xx e1lim → D.()xx xx +-∞→632213lim3.设)(x f 的一个原函数就是x e 2-,则=)(x f ( )A.x e 22--B.x e 2-C.x e 24-D. x xe 22--4.函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。

A.跳跃间断点;B.无穷间断点;C.可去间断点;D.振荡间断点5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A ．当()()0<b f a f 时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0=ξf ; B ．对任何()b a ,∈ξ,有()()[]0lim =-→ξξf x f x ;C ．当()()b f a f =时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0='ξf ; D.至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()a b f a f b f -'=-ξ; 6. 已知()x f 的导数在a x =处连续,若()1lim-=-'→ax x f ax ,则下列结论成立的有( )A.a x =就是()x f 的极小值点;B.a x =就是()x f 的极大值点;C.()()a f a ,就是曲线()x f y =的拐点;D.a x =不就是()x f 的极值点,()()a f a ,也不就是曲线()x f y =的拐点; 二．填空: 1.设⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1arcsin,f 可微,则()='x y 2.若32325-+-=x x x y ,则()=6y3.过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线,则切线方程为4.曲线()2142-+=xx y 的水平渐近线方程为铅垂渐近线方程为 5.设x x f +='1)(ln ,则()='x f ()=x f三．计算题:(1)321lim 221-+-→x x x x (2)32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x(3)xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ (4)()[]221ln x y -= 求dy (5)053=-+x y exy求=x dxdy四．试确定a ,b ,使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax在0=x 处连续且可导。

河北大学微积分考试试卷2B

河北大学课程考核试卷2008—2009 学年第二学期 2008 级经管专业（类）考核科目微积分2 课程类别必修考核类型考试考核方式闭卷卷别 B（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一．选择题（共20分，每小题2分） 1．下列等式正确的是.A ()()f x dx f x '=⎰ .B()()df x dx f x c dx =+⎰.C()()b a d f x dx f x dx =⎰ .D ()0bad f x dx dx =⎰ 2．下列积分不是广义积分的是 .A 1ln edx x x ⎰.B 12dx x --⎰ .C 101x dx e -⎰ .D 20cos dx xπ⎰ 3.若级数1n n u ∞=∑收敛，那么下列级数中发散的是。

.A 1100n n u ∞=∑ .B 1(100)n n u ∞=+∑ .C 1100n n u ∞=+∑ .D 1001n n u ∞+=∑4．二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点是。

.A (1,0) .B ()1,2 .C ()3,0- .D ()3,2- 5. 1211dx x -=⎰。

.A 2- .B 2 .C 0 .D 前三个答案都不对6. 对于级数11nn na n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑()0a >,下列结论中正确的是。

.A 1a >时，级数收敛 .B 1a <时，级数发散，.C 1a =时，级数收敛 .D 1a =时, 级数发散7. 已知函数22(,)f x y x y x y +-=-,则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ 。

.A 22x y - .B x y + .C 22x y + .D x y -8.点00(,)x y 使()(),0,,0x y f x y f x y ''==成立,则。

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。

大学积分考试题及答案

大学积分考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪项不是积分的基本性质？A. 线性性质B. 微积分基本定理C. 区间可加性D. 反演性质答案：D2. 定积分∫[a,b] f(x) dx的几何意义表示什么？A. 曲线下的面积B. 曲线上的点C. 曲线的斜率D. 曲线的切线答案：A3. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么∫[a,b] f(x) dx等于：A. 0B. f(a)C. f(b)D. f(a) + f(b)答案：A4. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：C5. 根据牛顿-莱布尼茨公式，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b] f(x) dx等于：A. F(a) - F(b)B. F(b) - F(a)C. F(a) + F(b)D. 2F(b) - F(a)答案：B6. 以下哪个选项是正确的积分公式？A. ∫sin(nx) dx = cos(nx) / n + CB. ∫cos(nx) dx = sin(nx) / n + CC. ∫tan(nx) dx = -1/n cos(nx) + CD. ∫csc^2(nx) dx = -1/n cot(nx) + C答案：D7. 以下哪个积分是收敛的？A. ∫[1,∞) (1/x) dxB. ∫[1,∞) (x^2) dxC. ∫[1,∞) (1/x^2) dxD. ∫[1,∞) (sin(x)/x) dx答案：C8. 函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的平均值为：A. (e - 1)/2B. e/2C. (1 + e)/2D. 1/e答案：A9. 如果f(x)在区间[a,b]上可积，那么以下哪个选项是正确的？A. f(x)在[a,b]上必定连续B. f(x)在[a,b]上必定有界C. f(x)在[a,b]上必定单调递增D. f(x)在[a,b]上必定有一个原函数答案：B10. 以下哪个积分可以通过换元积分法求解？A. ∫x^2 dxB. ∫1/x dxC. ∫sin(x)/x dxD. ∫x * e^x dx答案：D二、填空题（每题3分，共15分）11. 定积分∫[0,1] x dx的值为_________。

河北大学2007—2008(一)微积分试题A卷及答案

河北大学课程考核试卷2007—2008学年第一学期 2007 级经济、管理专业（类）考核科目微积分课程类别必修考核类型考试考核方式闭卷卷别 A（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、单项选择题：选择一个正确答案写在答题纸上（共16分，每题2分） 1、下列函数中为偶函数的有（）A ． x x x f sin )(3=B ． 1)(3+=x x fC ． x x a a x f --=)(D ． x x x f sin )(2=2、下列函数中，当x →0时与无穷小量x 相比是高阶无穷小的是（） A ．sin x B ．1- cos x C ．x D ．x + x 23、已知0()2f x '=-, 则=--→)()2(lim000x f x x f xx （）． A ．41 B ．41- C ．1 D ．-14、极限x x x sin lim ∞→（）．A ．是无穷大B ．不存在，但不是无穷大C ．为0D ．为15、设函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)(>'x f 且0)(<''x f ，则函数在此区间内是（）．A ．单调减少且凹的B ．单调减少且凸的C ．单调增加且凹的D ．单调增加且凸的6、若)(x f 为二次可微的偶函数，且0)(≠''x f ，则0=x 为)(x f 的（）． A ．极大值点 B ．极小值点 C ．极值点 D ．非极值点7、已知⎰x x xf d )(=sin x +c ，则 f （x ）为（）．A ．xx sin B ． x sin x C ． x xcos D ． x cos x8、下列命题正确的是（）．A ．单调函数的原函数是单调函数B ．周期函数的原函数是周期函数C ．奇函数的原函数是偶函数D ．偶函数的原函数是奇函数二、填空题：将答案写在答题纸上（共14分，每题2分）1、0ln sin 5lim ln sin 3x xx+→= ．2、()xx x f 1cos sin ⋅=在0=x 处无定义，要使它在0=x 处连续，应补充定义()=0f ．3、()='⎰dx x f ．4、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的条件，是()f x 在点0x 连续的条件．5、设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，由中值定理可知至少存在一点),(b a ∈ξ，使得________________________成立．6、设函数)(x f y =的导数为)(x f '（)(x f '0≠），则其反函数的导数为___________．7、设函数)(x f 在点0x x =的某一个邻域内有定义，若满足___________________则称函数)(x f 在0x 点连续．三、判断题：正确的划“√”，错误的划“×”，写在答题纸上（共10分，每题2分）1、若0lim ()x x f x →不存在，则02lim ()x x f x →也不存在．2、若()f x 在0x 处左、右导数存在，则()f x 在0x 处可导．3、若)(x f 在],[b a 上可积，则)()(x f dx x f dxd=⎰．4、若)(x f 在0x 连续，g (x )在0x 不连续，则f (x ) g (x )在0x 必不连续．5、在闭区间上有间断点的函数不一定有最大值．四、计算题（共40分，每题8分）1、求极限011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦ 2、计算不定积分⎰+dx e x 13、设x x y 22e 2cos -+=，求y d4、求不定积分dx x x ⎰cos 25、2lnsin y x =，求dy dx五、解答、综合应用题（共20分，第1、2题6分，第3题8分） 1、直线x a y a a -=+)1(2)0(>a 与x 轴，y 轴围成一个三角形，当a 为何值时，三角形面积最大． 2、求cos 2y x =的n 阶导数．3、设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()().0==b f a f 试证：在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()20f f ξξ'-=．河北大学课程考核参考答案及评分标准（2007—2008学年第一学期）考核科目微积分课程类别必修考核方式闭卷卷别 A一、单项选择题：选择一个正确答案写在答题纸上（共16分，每题2分） 1、A 2、B 3、A 4、B 5、D 6、C 7、C 8、C二、填空题：将答案写在答题纸上（共14分，每题2分）1、12、03、()f x C +(其中C 为常数)4、充分必要、充分5、a b a f b f f --=')()()(ξ6、)(1x f ' 7、)()(lim 00x f x f x x =→三、判断题：正确的划“√”，错误的划“×”，写在答题纸上（共10分，每题2分）1、×2、×3、√4、×5、√四、计算题（共40分，每题8分）8、解: 011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦ （∞-∞型） =0ln(1)lim ln(1)x x x x x →+-+ （00型） 20ln(1)lim x x x x →+-= = 0111lim 2x x x→-+ = 12-9、解:设t =221tdx dt t =- ⎰+dx e x1222112111t dt t dt t t t ⎛⎫==+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰112ln 1t t C t -=+++)2ln1C =+10、解:因为 x x x y 222e 2)2(2sin --'-='x x x 22e 22sin ---=所以 y d x x x x d )e 22sin (22---= 11、解:x d x dx x x sin cos 22⎰⎰=Cx x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x ++-=-+=+=-=⎰⎰⎰cos 2sin )2(cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin 222212、解:221(sin )sin dy x dx x'= 222cos ()sin x x x '= 22cot x x =················································ 2分············································ 2+2分················································ 2分················································ 2分················································ 2分················································ 2分················································ 4分················································ 2分················································ 2分················································ 2分 ················································ 2分················································ 2分 ················································ 2分················································ 3分 ················································ 2分················································ 3分················································ 2分五、解答、综合应用题（共20分，第1、2题6分，第3题8分） 1、解:由直线方程 x a y aa -=+)1(2令0=x 得y 轴截距 11~2+=a y 令0=y 得x 轴截距 a x =~所围成三角形面积为S)1(2~.~212+==a ax y S 2222222)1(121)1(221+-⋅=+-+=a a a a a da ds 令0=dads ,有 012=-a ,得唯一驻点 1=a （因0>a ）当 10<<a 时，0>dads当1>a 时，0<da ds 所以当1=a 为极大值点，同时也是最大值点，最大值为 41)11(21max =+=S2、解:12sin 22cos(2)2y x x π'=-=+22122sin(2)2cos(2)22y x x ππ''=-+=+33232sin(2)2cos(2)22y x x ππ''=-+=+()2cos(2)2n n ny x π=+3、证明：将待证结论两端同乘以2e ξ-，于是得： ()()2220e f e f ξξξξ--'-=，再将其改写为：()20xx e f x ξ-='⎡⎤=⎣⎦构造辅助函数()()2x F x e f x -=，················································ 2分················································ 1分················································ 1分 ················································ 2分 ················································ 2分················································ 2分················································ 2分················································ 2分················································ 2分则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，又因为()()0f a f b ==，故()()F a F b =，于是()F x 在[],a b 上满足罗尔定理的全部条件，因此至少存在一点(),a b ξ∈使得()0F ξ'=，即()()2220e f e f ξξξξ--'-=，即()()220e f f ξξξ-'-=⎡⎤⎣⎦，因为20e ξ-≠，于是有：()()20.f f ξξ'-=证毕················································ 2分················································ 2分。

大一微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题一．单项选择题1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（） A ． ()()()0000limx f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆C ．()()()00002limx f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→2．下列极限不存在的有（）A ．201sin lim xx x → B ．12lim 2+-+∞→x x x xC ． xx e1lim → D ．()xx xx +-∞→632213lim3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （）A ．x e 22--B ．x e 2-C ．x e 24-D ． x xe 22--4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（）间断点。

A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5．设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（） A ．当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ； B ．对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ；C ．当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ； 6．已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim-=-'→ax x f ax ，则下列结论成立的有（）A ．a x =是()x f 的极小值点；B ．a x =是()x f 的极大值点；C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点；二．填空： 1．设⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1arcsin，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为4．曲线()2142-+=x x y 的水平渐近线方程为铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f三．计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x（3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy（5）053=-+x y exy求=x dxdy四．试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax在0=x 处连续且可导。

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题（6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（　）。

Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线1~6 DDBDBD一、填空题1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。

这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-31 In 1x + ;2 322y x x =-;3 2log ,(0,1),1x y R x=-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m limlim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、 0sin lim x x x→-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（）5、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT三、计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e → 解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e xx--→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解： 33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 240lim(cos )xx x →求极限4I cos 2204I cos lim 022000002lim 1(sin )4cos tan cos lim cos lim lim lim lim 22224n x x x n x x x x x x x x e e x In x x x x In x x x x xx e →→→→→→→-=---=====-∴=解：原式=原式4 (3y x =-求 511I 31123221531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅---⎤=-+-⎥---⎦解：5 3tan xdx ⎰ 2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1tan tan cos cos 1tan cos 2x xdx x xdxx xdx xdxx xd x dx xxd x d x xx In x c =----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：原式=（ = = = =6arctan x xdx ⎰求22222222211arctan ()(arctan arctan )22111(arctan )2111arctan (1)211arctan 22xd x x x x d x x x x dx xx x dx x x x x c =-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦+-+⎰⎰⎰⎰解：原式= = = =四、证明题。

大学微积分考试题及答案

大学微积分考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2的导数是：A. 2xB. x^2C. 1D. 2答案：A2. 曲线y=x^3在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 2答案：C3. 定积分∫(0到1) x dx的值是：A. 0B. 0.5C. 1D. 2答案：B4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是：A. cos(x)B. -cos(x)C. xD. -x答案：B5. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B6. 曲线y=e^x与直线x=1所围成的面积是：A. e-1B. 1-eC. 1D. e答案：A7. 函数f(x)=ln(x)的反函数是：A. e^xB. x^eC. 10^xD. x^2答案：A8. 函数f(x)=x^3-3x+2的极值点是：A. 1B. -1C. 2D. 0答案：A9. 函数f(x)=x^2-4x+3的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)答案：A10. 曲线y=x^2与x轴的交点坐标是：A. (0, 0)B. (2, 0)C. (-2, 0)D. (0, 2)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点是______。

答案：(2, -2)2. 曲线y=x^2-4x+3与y轴的交点坐标是______。

答案：(0, 3)3. 函数f(x)=x/(x^2+1)的不定积分是______。

答案：(1/2)*ln(x^2+1)+C4. 函数f(x)=cos(x)的泰勒展开式（仅考虑x=0处的前三项）是______。

答案：1 - (x^2)/2! + (x^4)/4!5. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线方程是______。

答案：y=1/e*x-1/e三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。

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微积分试题及答案pdf一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $ 的导数是：A. $ 3x^2 - 12x + 11 $B. $ 3x^2 - 12x + 6 $C. $ x^2 - 12x + 11 $D. $ x^2 - 6x + 11 $答案：A2. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ \frac{1}{4} $D. $ \frac{1}{6} $答案：B3. 函数 $ y = \ln(x) $ 的不定积分是：A. $ x\ln(x) + C $B. $ \frac{x}{\ln(x)} + C $C. $ x\ln(x) - x + C $D. $ x + C $答案：A4. 曲线 $ y = x^2 $ 与直线 $ y = 2x $ 在第一象限的交点坐标是：A. $ (1, 2) $B. $ (2, 4) $C. $ (-1, -2) $D. $ (-2, -4) $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 $ f(x) = \sin(x) $ 的二阶导数是 $ \_\_\_\_\_ $。

答案：$ -\sin(x) $2. 曲线 $ y = e^x $ 在 $ x = 0 $ 处的切线斜率是$ \_\_\_\_\_ $。

答案：13. 函数 $ y = \ln(x) $ 的不定积分是 $ \_\_\_\_\_ $。

答案：$ x\ln(x) - x + C $4. 定积分 $ \int_{0}^{1} e^x dx $ 的值是 $ \_\_\_\_\_ $。

答案：$ e - 1 $三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 $ 在 $ x = 2 $ 处的导数值。

微积分试卷含答案

微积分考试试题一、填空题（每题3分，共10题）1，=++++∞→nn n n n n 1)8642(lim 。

2、函数)(x f 的定义域为实区间 (0 , 1) , 则)1(-x f 的定义域是。

3，曲线3)(x e x f =中的凸曲线所对应的开区间是。

4，),31ln(2)(x xx f +=设为使其在0=x 处连续，需补充定义=)0(f 。

5，已知2)0(='f ，则 =-→xx f x f x )()5(lim 0 。

6，)(x f 任意阶可导，且)4()3()2()1(f f f f ===，则0)(=''x f 至少有个实根。

7，设,sin x y = 则 =)2011(y 。

8，函数22+=-x e y x 的单调递增开区间是。

9，=+⎰dx x x 21arctan 。

10，若x x f +='1)(ln ，且,0)0(=f 则=)(x f 。

二、选择题（每题3分，共5题）1，下列各式中，正确的是（）。

)()(,22x f dx x f dxd A =⎰ )()(,x f dx x f dx d B ='⎰ )()(,x df dx x f d C =⎰ dx x f d x df D ⎰⎰=)()(, 2，当0→x 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量（）。

2.x A x B cos 1.- 11.2--x C x x D sin .-3，)(x f 定义域为),(+∞-∞，且,1)(lim =∞→x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10),1()(x x x f x g 。

则0=x 是)(x g 的（）。

A. 可去间断点 B. 无穷间断点 C. 连续点 D. 不一定，要看)(x f 公式 4，连续函数)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（）。

0)(.0≠'x f A 0)(.0=x f B 0)(0)(.00<''='x f x f C 且 0)(.0='x f D 或不存在 5，下列说法仅有一个正确，它是（）。

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