第3章 平面任意力系
3第三章平面任意力系
固定端（插入端）约束
说明: ①认为Fi 这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③FA方向不定可用正交分力FAx, Fay 表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限
制转动。
11
MO
§3-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理 y 简化结果：主矢 F ' R ，主矩 M O 。
∴ 力的直线方程为：
MO
x
FR '
x
O
x
670.1 x 232.9 y 2355 0
2355 当 y 0, x 3.5 m 670 .1
18
FR
§3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F' 0 R MO 0
为力平衡，没有移动效应。 为力偶平衡，没有转动效应。
P
45
0
M A (F i ) 0 :
FC sin45 AC P AB 0
B
FAy
FAx
y
A
C
FAx 20.01kN ,
FAy 10.0kN
FC
x
FC 28.3kN
或： M C ( F i ) 0 : FAy AC P CB 0
22
o
例：求横梁A、Ｂ处的约束力。已知 M Pa, q, 解：1）AB杆 q M B A 2）受力分析
主矩MO 方向：方向规定 +
Fiy tg 方向： tg FRx Fix
1
FRy
1
大小： M O M O ( Fi ) , (与简化中心有关),（因主矩等于各力对简化中心取矩 的代数和）
建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
工程力学-平面任意力系
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
第三章-平面任意力系
第三章 平面任意力系[习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。
设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。
已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。
解：因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。
又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。
一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。
因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。
又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。
即AB 与y 垂直。
由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： αcos ab =[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ⋅=12，m kN M B ⋅=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。
解：由公式（3-5）可知：)(212R O O O F M M M +=)(R B A B F M M M +=)()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++=依题意0=Rx F ，故有：)(Ry B A B F M M M +=)24(1215-⨯+=Ry F 32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1==)(85.112m F M a R A ===故C 点的水平坐标为：m x 6-=。
3平面任意力系
A、B、C 三点不共线。 三点不共线。
运用平衡条件求解未知力的步骤为： 运用平衡条件求解未知力的步骤为： 1、合理确定研究对象并画该研究对象的受 力图； 力图； 2、由平衡条件建立平衡方程； 由平衡条件建立平衡方程； 3、由平衡方程求解未知力。 由平衡方程求解未知力。 实际计算时，通常规定与坐标轴正向一 实际计算时， 致的力为正。即水平力向右为正， 致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向 上为正。 上为正。
合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的 矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的 代数和。 代数和。
mo (F) = ∑mo (F ) i
y
mo (F) = mo (Fx ) + mo (Fy )
mo (Fx ) = −yFx
y
O
Fy
A x
B
F
F x
x
mo (Fy ) = xF y
在长方形平板的O 例题 3-1 在长方形平板的 、A、B、C 点上分别作 用着有四个力： 用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如 ， ， （ 图），试求以上四个力构成的力系对点 的简化结果， ），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果， 试求以上四个力构成的力系对点 以及该力系的最后的合成结果。 以及该力系的最后的合成结果。
§3–2 平面任意力系的平衡方程及其应用
伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重 例题 3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂 P=2200N，吊车 、E 连同吊起重物各重 ，吊车D QD=QE=4000N。有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b 。有关尺寸为： ， ， = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链 对臂 ， ° 试求铰链A 对臂AB 的水 平和垂直反力，以及拉索BF 的拉力。 的拉力。 平和垂直反力，以及拉索 y
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
第三章 平面任意力系和平面平行力系
X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
2
引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
静力学：第三章-平面任意力系(1)详解
合力
合力
3.3 平面任意力系的平衡
平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢和对任
意点的主矩都等于零。
平面任意力系的平衡方程：
一般式
二矩式
三矩式
Fx Fy
0 0
MO 0
F x
0
M A 0
M B 0
M A 0 M B 0 M C 0
两个取矩点连线， 不得与投影轴垂直
三个取矩点， 不得共线
解得: P3max=350kN
P3
P1
P2
75kN P3 350kN A
B
FA
FB
当 P3=180kN 时（平面平行力系）：
M A 0 4 P3 2 P1 14 P2 4 FB 0 P3
P1
P2
Fy 0 FA FB P1 P2 P3 0
解得： FA=210kN FB=870kN
平面任意力系的平衡方程只有三个，只能求三 个未知数。
三个特例：
平面汇交力系： Fx 0, Fy 0 平面力偶系： M o 0
平面平行力系： Fy 0, M o 0 或者 M A 0, M B 0
3.4 物体系统的平衡
静定问题：系统未知量数目等于独立的平衡方程数目。 超静定问题（静不定问题）：系统未知量数目超过独
其中：M B M B (F ) Fd
3.2 平面任意力系向作用面内一点简化
主矢：矢量和 FR Fi 主矩: 代数和 M O M O (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
主矩简化什么情况下与简化位置无关？
平面任意力系应用：平面固定端约束
=
=
平面任意力系的简化结果
(1) FR 0, M O 0
工程力学第3章
1第三章力系的平衡§3–1 平面力系的平衡方程§3–2 空间力系的平衡方程§3–3 物体系统的平衡方程§3–4 静定与静不定的基本概念§3-1 平面力系的平衡方程由于=0 为力平衡M O =0 为力偶也平衡所以平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢F R 和主矩M O 都等于零，即：)()(22=+=∑∑Y X F R 0)(==∑i O O F m M 1、平面任意力系的平衡方程R F=∑X 0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m ②二矩式条件：x 轴不AB连线⊥0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m 0)(=∑i C F m ③三矩式条件：A ,B ,C 不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
=∑X 0=∑Y 0)(=∑i O F m ①一矩式①平面汇交力系=∑xF 0=∑yF2、平面特殊力系的平衡方程②平面力偶系=∑M ③平面平行力系=∑y F 0)(=∑F M O 0)(=∑F MB0)(=∑F M A AB 不x 轴⊥[例] 已知：P , a , 求：A 、B 两点的支座反力？解：①选AB 梁研究②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）)(=∑i A F m 由32 ,032PN a N a P B B =∴=⋅+⋅-0=∑X 0=A X 0=∑Y 3,0PY P N Y A B B =∴=-+解除约束,0==∑A X X 由022;0)(=⋅-+⋅⋅+⋅=∑a P m aa q a R F m B A 0=∑Y 0=--+∴P qa R Y B A )kN (122028.01628.02022=⨯+-⨯-=+--=P a m qa R B )kN (24128.02020=-⨯+=-+=B A R qa P Y [例] 已知：P =20kN, m =16kN·m, q =20kN/m, a =0.8m求：A 、B 的支反力。
第3章 平面任意力系
9．已知作用于刚体上所有力在某一坐标轴上投影的代数和等于零，则这些力的合力为零，刚体处于平衡。(×)
10．平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对任何一点的主矩都等于零。(√)
11．桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力以后几何形状可以发生改变。(×)
圆柱体O：
解得：
板BC：
其中： ，解得
引入 ，下面求 的最大值。由于 ，有
，即 ，此时， 有极大值，而 有极小值，其值为 。
3-6求图3.32所示悬臂梁的固定端的约束反力。已知 。
解：选悬臂梁AB为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程，有
其中 。联立求解，可得：
， ，
3-7如图3.33(a)、(b)所示承重架，不计各杆与滑轮的重量。A、B、C、D处均为铰接。已知AB=BC=AD=250mm，滑轮半径R=100mm，重物重W=1000N。求铰链A、D处的约束反力。
整体：
杆BC：
其中： ， ， ，联立求解，可得：
， ， ， ， ，
3-10构架由ABC、CDE、BD三杆组成，尺寸如图3.36所示。B、C、D、E处均为铰链。各杆重不计，已知均布载荷q，求点E反力和杆BD所受力。
解：分别选整体和AC杆为研究对象，受力分析如图所示。分别列平衡方程，有
整体：
杆BC：
联立求解，可得：
(←)
对于点A之矩的矩为
( )
（b）平行分布力的合力为：
(↓)
对于点A之矩的矩为
( )
3-4静定多跨梁的荷载及尺寸如图3.30(a)、(b)所示，长度单位为m，求支座约束反力。
平面任意力系
P
B
MA A
FAy FAx
P
B
FB
★ 静定和超静定的概念 机 静构 定 不问 定题 问题
思考：指出下列问题属于静定问题还是超静定问题
P
P
(a)
(c)
P
P
(b)
(d)
★ 物体系统的平衡问题
物体系统的独立平衡方程数＝ 各物体独立平衡方程数之和
★ 物体系统的平衡问题
例3-4 已知：P=6kN ,
l
桁架各杆件均为二力杆
★ 桁架内力的计算
1. 节点法 2. 截面法
＊ 以节点为研究对象； ＊ 由平面汇交力系平衡 方程求解。 ＊ 用假想截面将桁架截开； ＊ 研究局部桁架的平衡， 直接求得杆件的内力。
例3-8已知铅垂力F1=4
kN，水平力F2= 2kN 。
求杆EF、CE、CD 内力。A
解：法1 节点法
MA
FAy M
FAAyy
+
FBB
sin
60DD
−
2ql
−
F
cos
30DD
=
0
FAx
A
∑MAA(F ) = 0,
l
q
30D
F
C
B 60D D
FB
l
l
l
MAA − M − 2ql × 2l + FBB sin 60DD ×3l − F cos30DD × 4l = 0
解方程得: FAAxx =32. 89 kN, FAAyy =−2. 32 kN, MAA =10. 37 kN⋅m
★ 静定和超静定的概念 静定问题 (statically determinate problem) —由静力学平衡方程可解出全部未知数。 超静定问题(statically indeterminate problem) — 仅由平衡方程无法求出全部未知数。
第三章平面力系
(3)若FR‘≠0，MO‘≠0，这时根据力的平移定理的 逆过程，可以进一步简化成一个作用于另一点 的合力。
(4) FR‘=0，MO‘=0，则力系是平衡力系 。 综上所述，平面一般力系简化的最后结果 (即合成结果)可能是一个力偶，或者是一个合 力，或者是平衡。 3-1-3合力矩定理 当FR‘=0，MO‘≠0 时，还可进一步简化为一 M o ( FR ) FR d 合力，合力对点的矩是 / / 而 Mo mo ( F ) FR d M o 所以 Mo (FR ) mO (F )
3-1-2简化结果的分析 平面一般力系向一点简化，一般可得到一 个力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。 根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种 情况： (1)若FR‘=0，MO‘≠0，说明原力系与一个力偶等 效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。 (2)若FR‘≠0，MO‘=0 ，则作用于简化中心的主 矢FR'就是原力系FR的合力，作用线通过简化中 心。
228 .9kN m
计算结果为正值表示是逆时针转向。
因为主矢
≠0，主矩 FR
/ Mo ，如图 0 (b)所示，
所以还可进一步合成为一个合力FR。 FR的大小、 方向与FR‘相同，它的作用线与点的距离为
M O 228.9 d 0.375m FR 612.9
因为MO正，故m0(FR)也应为正，即合力FR 应在点O左侧，
X
F F
0
二力矩形式的平衡方程 (简称二矩式)
在力系作用面内任取两点A、B及X轴，平 面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程 和一个投影方程的形式，即
F m m
X
0 0 0
A
B
式中轴不与A、B两点的连线垂直。
第三章：平面任意力系
第三章平面任意力系一、要求1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。
会应用解析法求主矢和主矩。
熟知平面任意力系简化的结果。
2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。
3、能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。
4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。
二、重点、难点1、本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。
平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。
物体及物体系平衡问题的解法。
2、本章难点：主矢与主矩的概念。
物体系的平衡问题。
三、学习指导1、力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。
一个力平移后，它对物体的作用效果发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。
2、平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理，将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。
两个力系合在一起与原力系等效。
这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。
然后，分别求平面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。
于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。
3、主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。
主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。
（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。
平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕点转动的作用效果。
（3）主矢与简化中心的选择无关。
从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。
主矩与简化中心的选择有关。
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
第03章 平面任意力系
第三章平面任意力系3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩3.2 平面任意力系的平衡条件与平衡方程3.3 物体系统的平衡·静定与静不定问题3.4 平面简单桁架的内力计算3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩所谓平面任意力系是指力系中各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系，简称平面力系。
在实际工程中经常会遇到平面任意力系的情形，例如，下图所示的曲柄连杆机构，受力F ，矩为M 1，M 2的力偶以及支座反力F Ax ，F Ay 和F N 的作用，这些力及力偶构成平面任意力系。
3、固定端（或插入端）约束FAxFAyM AA4、平面任意力系的简化结果分析（1）简化为一个力偶当F R = 0，M O ≠0则原力系合成为合力偶，其矩为∑=)(i O O M M F 此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶。
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
即∑=)()(R i O O M M F F 当F R ’= 0，M O = 0则原力系平衡。
（3）平面力系平衡例题3-3考虑一小型砌石坝的1m长坝段，受重力和的静水压力作用。
已知h = 8 m，a= 1.5 m，b= 1 m，P1=600 kN，P2=300 kN，单位体积的水重γ = 9.8 kN/m3。
求（1）将重力和水压力向O点简化的结果，（2）合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。
解：（1）以点O 为简化中心，求主矢∑=′x RxF F ()()kNF F yxR1.95322=+=′∑∑F 329.0cos =′=∑RxF F θ944.0cos −=′=∑RyF F β°±=79.70θ°±°=21.19180β故主矢在第四象限内，与x 轴的夹角为°−79.70F R ’M O θβkN 6.313=22121h qh γ==kN P P F F y Ry 90021−=−−==′∑（2）以点O 为简化中心，求主矩F R ’M O θβ()()()q M P M P M M O O O O ++=21bP a P hh 212321−+×−=γmkN ⋅−= 27.236表明主矩的方向与假设方向相反，及主矩的方向为顺时针。
3平面任意力系
R '( X )2 ( Y )20 MOmO(Fi)0
9
平衡方程：
X0
Y0
mO(Fi)0
X0 mA(Fi)0 mB(Fi)0
mA(Fi)0 mB(Fi)0 mC(Fi)0
①一矩式
②二矩式
③三矩式
条件：x 轴不AB 连线
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f
28
29
3、 特征： 大小：0FFmax（平衡范围）满足 X0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反 定律：Fmaxf N（ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力： 大小： F' f'N
动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反 定律： F' f'N（f '只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
17
例 试求图示静定梁在A、B、C三处的全部约束力。已 知d、q和M。注意比较和讨论图a、b、c三梁的约束力。
解：图中所示的各梁，都 是由两个刚体组成的刚体系 统。只考虑整体平衡，无法 确定全部未知约束力，因而 必须将系统拆开，选择合适 的平衡对象，才能确定全部 未知约束力。
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≥ 未知力数目—为静定 独立方程数 ＜未知力数目—为静不定
五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部
单体
39
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
工程力学第三章：平面任意力系
水平尾翼的约束。
车刀
利用平面任意力系的简化讨论固定端约束（以雨搭为例）：
Fi
A
雨搭
雨搭
简化为一个平面任意力系
MA
A
FA
雨搭
FAy
MA
A
FAx
雨搭
向A处简化，简化结果是 一个主矢加一个主矩
主矢方向待定，用两正交分 量表示
例1：已知F1=150N，F2=200N，F3=300N，F=F ́=200N。求此力 系向原点O简化的结果，并求力系的合力。
2
M=0
FR′≠0
3
M=0
合力
合力
合力作用线通过简化中心
合力作用线距离简化中心距离
4
M≠0
d M O / FR
第三种和第四种结果属于同一种情形。是简化中心选择的不同 引起的。
四、合力矩定理
可以证明，M O ( FR ) M O ( Fi )
i 1
n
由于简化中心可任取，因此上式有普遍意义，可描述为：平 面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各分力 对于同一点之矩的代数和。
4、在列平衡方程时，最好将力矩方程的矩心取为两个未知力的 交点，而对投影方程的投影轴的选取，应尽可能使其与某些未知 力垂直，为什么？ 答：避免解联立方程，使方程尽量简单。
5、在等腰直角三角形上的A、B、C三点分别作用三个力，各力 的大小和方向如图所示。问该力系是否平衡？为什么？
问题引入：平面任意力系研究物体或物系在受到相关力系作用
下的平衡问题。
吊车：工程中吊车的
起重载荷如何进行计
算？
破碎机：鄂式破碎机是矿山机械中常见的机械设备，颚板作用 给矿石的作用力应如何进行计算？
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第3章 平面任意力系一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．某平面力系向两A 、B 点简化，主矩都为零，则此力系一定平衡。
( × ) 2．力沿其作用线移动不改变力对点之矩的效果。
( √ ) 3．力系简化的最后结果为一力偶时，主矩与简化中心无关。
( √ ) 4．用截面法解桁架问题时，只需截断所求部分杆件。
( √ ) 5．判断结构是否静定，其根据是所有的未知量能否只通过列平衡方程全部求出。
( √ ) 6．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R 'F =0，而主矩0O M ≠，则原力系简化的结果为一个合力偶，合力偶矩等于主矩，此时主矩与简化中心位置无关。
( √ ) 7．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R'F ≠0，而主矩O M =0，则原力系简化的结果为一个合力，且合力通过简化中心。
( √ )8．在一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可以得到一个合力和一个合力偶矩。
( × )9．已知作用于刚体上所有力在某一坐标轴上投影的代数和等于零，则这些力的合力为零，刚体处于平衡。
( × )10．平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对任何一点的主矩都等于零。
( √ )11．桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力以后几何形状可以发生改变。
( × ) 二、填空题1．在简化一已知平面任意力系时，选取不同的简化中心，主矢相同主矩不相同。
2．一般情况下，对于由n 个物体所组成的物体系统可以列出 3n 独立平衡方程。
3．主矢与简化中心位置无关，而主矩与简化中心位置有关。
4．在平面任意力系中，合力对任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和，即R ()()O OM M =∑F F ，称之为合力矩定理。
5．若物体系中所有未知量数目不超过独立方程个数，则所有未知量可由平衡方程解出，这类问题称为静定问题；反之则为静不定问题。
6．如果从桁架中任意消除一根杆件，桁架就会活动变形，称这种桁架为静定桁架；反之则为超静定桁架。
7．在平面静定桁架中，杆件的数目m 与节点的数目n 之间的关系是m=2n -3。
8．计算平面静定桁架杆件内力的两种基本方法是节点法和截面法。
三、选择题1．如图3.18所示平面力系向A 点简化得主矢R A 'F 和主矩A M ，向B 点简化得主矢R B 'F 和主矩B M 。
以下四种说法，哪一个是正确的？( D )(A) R R A B ''=F F ，A B M M = (B) R R A B ''≠F F ，A B M M = (C) R R A B ''≠F F ，A B M M ≠ (D) R R A B ''=F F ，A B M M ≠图3.182．如图3.19所示平面内一力系13F F =，24F F =，此力系简化的最后结果为( C )。
(A) 作用线过点B 的合力 (B) 一个力偶(C) 作用线过点O 的合力 (D) 力系平衡3．如图3.20所示刚体在一个平面任意力系作用下处于平衡，以下四组平衡方程中哪一组是不独立的( B )。
(A)0xF =∑，0F ξ=∑，()0AM =∑F(B) ()0O M =∑F ，()0AM =∑F ，()0BM =∑F (C) ()0OM =∑F ，()0CM =∑F ，0yF =∑ (D) 0x F =∑，0y F =∑，()0OM =∑F图3.19 图3.204．如图3.21所示的四种结构中，各杆重忽略不计，其中哪一种结构是静定的( c )。
(b)(c)(a)图3.215．如图3.22所示的四种结构中，梁、直角刚架和T 形刚杆的自重均忽略不计，其中哪一种结构是静不定的。
( b )6．平面任意力系向一点简化得到一个力和一个力偶，这个力作用在( D )。
(A) x 轴上 (B) y 轴上 (C) 坐标系原点 (D) 简化中心(d)(c)(b)(a)图3.227．重量为W 的均匀杆EF 放在光滑的水平面上，在两端沿其轴线方向作用拉力P 和Q 如图3.23所示，且P Q >。
如将杆在A 、B 、C 三个截面处均分四段，则在A 、B 、C 三处截面的张力的关系为( B )。
(A) A B C S S S == (B) C B A S S S <<(C) A B C S S S <<(D) C A B S S S <<图3.238．如图3.24所示三种受力情况，关于对支座A 、B 约束反力大小正确的答案是( B )。
(A) 三种情况相同，4A B F F F ==(B) 三种情况相同，2A B F F F == (C) 三种情况相同，A B F F F == (D) 三种情况不相同(b) (a)(c)图3.249．矩形ABCD 平板受力图如图3.25所示。
(A)、(B)、(C)、(D)为其四组平衡方程，其中只有( B )组是独立的方程。
(A) ()0()00A B x M M F ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑F F(B) ()0()00A D x M M F ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑F F(C) ()0()0()0B E CM M M ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∑∑∑F F F(D) ()0()0()0()0A B CD M M M M ⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩∑∑∑∑F F F F10．某平面平行力系，已知1234510N 4N 8N 10N F F F F F =====，，，，受力情况如图3.26所示，尺寸单位为cm ，试问此力系简化的结果是否与简化中心的位置有关？ ( A )(A) 无关 (B) 有关(C) 若简化中心在Ox 轴上，则与简化中心无关 (D) 若简化中心在Oy 轴上，则与简化中心无关yAB CE DxF FxDDy F A FM图3.25 图3.26四、计算题3-1 重物悬挂如图3.27所示，已知G =1.8kN ，其他重量不计。
求铰链A 的约束反力和杆BC 所受的力。
解：选AB 和滑轮D 组成的系统为研究对象，受力分析如图所示。
列平衡方程，有∑=0xF045cos o =--D B Ax F F F∑=0yF 045sin o=-+G F F BAy∑=0)(F AM 03.01.06.045sin o=⨯-⨯+⨯G F F DB图3.27其中：kN 8.1==G F D 联立求解，可得：N 2400=Ax F ，N 1200=Ay F ，N 5.848=B F3-2 求如图3.28所示平面力系的合成结果，长度单位为m 。
解：平面力系向简化中心O 点简化，有N 054500400'=⨯-==∑xiRx F F N 053500100200'=⨯---==∑yiRyFF主矢为N 02'2''=+=Ry Rx R F F F主矩为m N 2606.25350021008.0400)(⋅=⨯⨯+⨯-⨯-==∑i O O F MM3-3求如图3.29(a)、(b)所示平行分布力的合力和对于点A 之矩。
(b)(a)q图3.29解：（a ）平行分布力的合力为：qa F R =' ( ← )对于点A 之矩的矩为221qa M A =( ) （b ）平行分布力的合力为：ql F R 21'=( ↓ ) 对于点A 之矩的矩为图3.28231ql M A =() 3-4静定多跨梁的荷载及尺寸如图3.30(a)、(b)所示，长度单位为m ，求支座约束反力。
(a)20kN /m(b)图3.3020kN /mC20kN /mC解：(a) 分别选整体和杆BC 为研究对象，受力分析如图所示。
分别列平衡方程，有整体：∑=0xF 030sin o=-CAxF F∑=0y F 062030cos o=⨯-+CAy F F∑=0)(F A M 0662040930cos o=⨯⨯--⨯+CA F M杆BC ： ∑=0)(F B M 03620630cos o=⨯⨯-⨯CF联立求解，可得：kN 320=Ax F ，N 60k F Ay =，m kN 220⋅=A M ，kN 340=C F(b) 分别选整体和杆CD 为研究对象，受力分析如图所示。
分别列平衡方程，有整体：∑=0xF 0=AxF∑=0y F 045.25=⨯--++DyBy Ay F F F∑=0)(F A M 05445.21582=-⨯⨯-⨯-⨯+⨯DyBy F F2.5kN/mDyDy杆CD ： ∑=0)(F C M05125.24=-⨯⨯-⨯Cy F联立求解，可得：0=Ax F ，N 5.2k F Ay -=，kN 15=By F ，kN 5.2=Dy F3-5 均质圆柱体O 重为P ，半径为r ，放在墙与板BC 之间，如图3.31所示，板长BC =L ，其与墙AC 的夹角为α，板的B 端用水平细绳BA 拉住，C 端与墙面间为光滑铰链。
不计板与绳子自重，问α角多大时，绳子AB 的拉力为最小。
解：分别选圆柱体O 和板BC 为研究对象，受力分析如图所示。
分别列平衡方程，有圆柱体O ：∑=0yF0sin 2=-P F N α解得：αsin 2PF N =板BC ：∑=0)(F C M0cos 2tan/'2=⨯+⨯-ααL F r F B N其中：2'2N N F F =-，解得αααααcos )cos 1(Pr2tancos sin -=⨯=L L r P F B引入αααcos )cos 1()(-=f ，下面求)(αf 的最大值。
由于0sin cos 2sin )('=+-=ααααf ，有21cos =α，即o 60=α，此时，)(αf 有极大值，而B F 有极小值，其值为L F B Pr 4min =。
3-6 求图3.32所示悬臂梁的固定端的约束反力。
已知2M qa =。
解：选悬臂梁AB 为研究对象，受力分析如图所示。
列平衡方程，有图3.31 2N图3.32q F M∑=0xF 0=AxF∑=0y F 02=⨯-a q F Ay∑=0)(F A M 02=⨯⨯-+a a q M M A其中2M qa =。
联立求解，可得：0=Ax F ，qa F Ay 2=，2qa M A =3-7 如图3.33(a)、(b)所示承重架，不计各杆与滑轮的重量。
A 、B 、C 、D 处均为铰接。
已知AB =BC =AD =250mm ，滑轮半径R =100mm ，重物重W =1000N 。
求铰链A 、D 处的约束反力。
(b)(a)图3.33解：(a) 分别选整体和BD 杆为研究对象，受力分析如图所示。