圆锥曲线二
圆锥曲线中第二定义的三类用法(共10张PPT)
第二定义
第二定义：椭圆或双曲线中的一点P，满足条件
PF2 PD
e
（式右x 准线a2对应右焦点），其中PF2 称作焦半径，准线公
c
第二定义
例：在平面直角坐标系
xoy
中双曲线
x2 3
y2
1
的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，
其中 焦点是 ，F1, F2 ，则四边形 的面积是_______.
x2 a2
y2 b2
1 的左焦点 ，交椭圆于A,B 两点，且有 | AF | 3 | B F | ，求椭圆的离心率.
解析：AF, B F 为左焦点上的焦半径，所以过A,B 两点
分别作垂直于准线的直线且和准线交于D,E 两点，
从B 点作 BH AD .
因为| AF | 3 | B F | ，设 BF m ，则 AF 3m
是右 ，根
据第二定义
PF2 PD
e
，解得
PF2
5 4
PD
5
所以
|
PM
|
4 5
|
PF2
|
PM
PD
因此当P,M,D三点共线时 PM PD 取得最小值，最小
值为从 M到右准线的距离 MH, MH 6 16 14 55
第二定义
本次课重点需要注意三点 ：
（1）是第二定义的用法； （2）是注意例2这个题目的常规做法，此外下次课会给出这种例题的常用结论； （3）需要注意焦半径的取值范围，这个范围是求离心率取值范围题目中常用的
在 RT PF1F2 中，满足 PF12 所以在 RT PF1F2 中，SPF1F
1
第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式(解析版)
第2讲圆锥曲线第二定义与焦半径公式参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为()A．B ．2CD【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即P 在顶点处取得最大值，不妨取顶点，0)，则12||||||PF PF OP +=，故选：D ．2．已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是()A．)+∞B ．[2，25)2C．252D ．[2，【解答】解：由双曲线的第二定义可知10||PF ex a =+，20||PF ex a =-， 右支上的点0(P x ，0)y 满足12||3||PF PF =，0003()2ex a ex a ex a ∴+=-⇒=，由c e a=，解得202a x c=，P 在右支上，可得202a x a c= ，可得12ca< ，即12e < ，则22220022201164(1)422x c c y e x a a e+=+-=+-，令2e t =，14t < ，可得2202011611613244()4222c y e t t x e t t+=+-=+-=+-而132()()2f t t t=+在(1，4]递减，132()[62t t +∈，332，2002522c y x ∴+<，故选：B ．3．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的动点，1F ，2F 分别是其左、右焦点，O 为坐标原点，若12||||||PF PF OP +的最大值是，则此双曲线的离心率是()AB．2C ．32D ．2【解答】解：不妨设P 为右支上的一点，(,)P x y 其中x a ，1||PF ex a =+，2||PF ex a =-，||OP ==∴12||||)||PF PF x a OP +==∴当x a =时，取得最大值，∴=，∴e =故选：B ．4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则当||||AB DE +取得最小值时，四边形ADBE 的面积为()A ．32B ．16C ．24D ．8【解答】解：因为AB DE ⊥，要使||||AB DE +最小，而||||AB DE + 由抛物线的对称性可得A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，所以可得直线DE 的斜率为1，又过抛物线的焦点(1,0)，所以直线DE 的方程为：1y x =-，214y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得2440y y --=，124y y +=，124y y =-，所以可得||8DE ===，所以11883222ABCD S DE AB =⋅=⨯⨯=四边形．故选：A ．5．过椭圆22143x y +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为()A ．18B ．16C ．1D ．712【解答】解：由椭圆22143x y +=，得椭圆的右焦点为(1,0)F ，当直线AB 的斜率不存在时，:1AB x =，则:0CD y =．此时||3AB =，||4CD =，则11117||||3412AB CD +=+=；当直线AB 的斜率存在时，设:(1)(0)AB y k x k =-≠，则1:(1)CD y x k=--．又设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，2212(1)||34k AB k +∴=+，由题知，直线CD 的斜率为1k-，同理可得2212(1)||43k CD k +=+．∴22117(1)7||||12(1)12k AB CD k ++==+为定值．故选：D ．二．填空题（共3小题）6．已知P 是椭圆22:184x y C +=上的动点，1F ，2F 分别是其左右焦点，O 是坐标原点，则12||||||PF PF PO - 的取值范围是[．【解答】解：设P 的坐标为(,)m n 椭圆22:184x y C +=中，28a =，24b =，2c ∴==，得椭圆的准线方程为2a x c=±，即4x =±作出椭圆的右准线，设P 在右准线上的射影为Q ，连结PQ ，根据圆锥曲线的统一定义，得2||||PF e PQ =，2||||)22PF e PQ m ∴==-=，同理可得1||2PF=，||PO =，∴12))||||22||m PF PF PO +--= 点(,)P m n 在椭圆22184x y +=上，得22184m n +=，∴2224(1482m m n =-=-，由此可得12||||||PF PF PO -= ，得22122||||4()8||PF PF m m PO -=+ ，2[0m ∈ ，2]a 即2[0m ∈，8]，得224[08m m ∈+，2]，∴12||||[||PF PF PO -∈，．故答案为：[7．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则11||||AB DE +的值为14．【解答】解：根据题意可得，抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为1x =-，设直线1:(1)(0)l y k x k =-≠， 直线1l ，2l 互相垂直，∴直线2l 的斜率为1k -，即得21:(1)l y x k=--，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(E x ，4)y ，则分别将直线1l ，2l 的方程与抛物线方程联立组成方程组可得，22222(1)(24)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩；21(1)4y x k y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩⇒2222121(4)0x x k k k -++=由韦达定理可得，212224k x x k ++=，2342241k x x k ++=，由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，∴2212222444||112k k AB x x k k ++=+++=+=，2234224||112441k DE x x k k +=+++=+=+，∴2221111||||44444k AB DE k k +=+=++．故答案为：14．8．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||4||AB DE +的最小值为36．【解答】解：抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设直线1l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，联立方程组24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，则2222(42)0k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12242x x k+=+，由抛物线的定义可得1224||24AB x x k=++=+，由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k-，可得2||44DE k =+，则221||4||204(4)2036AB DE k k +=+++= ．当且仅当2k =±时，上式取得等号，则||4||AB DE +的最小值为36．故答案为：36．三．解答题（共6小题）9．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．【解答】解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 线段AB 的中点为(1,)M m ，122x x ∴+=，122y y m+=将A ，B 代入椭圆22:143x y C +=中，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得，121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12126()8()0x x m y y -+-=，12126384y y k x x m m-∴==-=--点(1,)M m 在椭圆内，即211,(0)43m m +<>，解得302m <<∴3142k m =-<-．①（2）由题意得(1,0)F ，设3(P x ，3)y ，则1231110x x x -+-+-=，1230y y y ++=，由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP = ．于是1||22x FA =- ．同理2||22xFB =- ．所以121||||4()32FA FB x x +=-+= ，故||||2||FA FB FP += ，即||FA ，||FP ，||FB成等差数列．设改数列的公差为d ，则1212||||||||||2d FB FA x x =-=-= ②将34m =代入①得1k =-．所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=．故122x x +=，12128x x =，代入②解得||28d =．所以该数列的公差为28或28-．10．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:198x y C +=交于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)t t >．（Ⅰ）证明：13k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，Q 为C 上的一点，且0FQ FA FB ++= ，证明：||FA ，||FQ，||FB成等差数列．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有221122221(1)981(2)98x y x y ⎧+=⋯⋯⎪⎪⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎪+=⋯⋯⎪⎩（2分）（1）-（2）得12121212()()()()098x x x x y y y y +-+-+=．122x x += ，122y y t +=．∴12122()2()098x x t y y --+=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）∴121289y y k x x t-==--．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）由题设可知点(1,)M t 在椭圆内，∴21198t +<，解得803t <<，∴818319983k t =-<-=- ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（Ⅱ） 0FQ FA FB ++=，M 为AB 的中点，∴2FQ FM =-，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）(1,)M t ，(1,2)Q t ∴-．点(1,2)Q t -在椭圆上，∴214198t +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）又403t t >∴=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）由（Ⅰ）知89k t =-，所以23k =-．∴直线l 的方程为42(1)33y x -=--，即223y x =-+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由直线l 的方程与椭圆方程联立，得22223198y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 化简得2230x x --=，解得11x =-，23x =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）从而得8(1,)3A -，(3,0)B ，又8(1,0),(1,)3F Q -，∴10||3FA ==，8||3FQ = ，||2FB = ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）∴||FA ，||FQ ，||FB成等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）11．已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，△12PF F 的内切圆面积的最大值为43π．（1）求椭圆的方程；（2）若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1F C 共线，1F B 与1F D共线，且0AC BD =，求||||AC BD + 的取值范围．【解答】解：（1）由几何性质可知，当，△12PF F 的内切圆面积的最大值时，即，12PF F S 取最大值，且121()22PF F max S c b bc == ，由243r ππ=，解得3r =，又由△12PF F 的周长为22a c +定值，∴223bc a c =+，又12c e a ==，可得2a c =，即b =，2c ∴=，b =4a =，故椭圆方程为2211612x y +=，（2）①当直线AC 和BD 中有一条垂直x 轴时，||||6814AC BD +=+=，②当直线AC 的斜率存在但不为0时，设AC 的方程为：(2)y k x =+，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616480k x k x k +++-=，代入弦长公式得，2224(1)||34k AC k +=+ ，同理由221(2)11612y x kx y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，代入弦长公式得2224(1)||34k BD k +=+ ，2222222168(1)168||||11(34)(43)121(1)k AC BD k k k k +∴+==+++-++，令21(0,1)1t k =∈+，则212(12t t -++∈，49]4，由①②可知||||AC BD + 的取值范围是96[7，14]．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点)2-，且椭圆的离心率12e =，过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A 、B 及C 、D ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：11||||AB CD +为定值；（Ⅲ）求9||||16AB CD +的最小值．【解答】解：()I 由12c e a ==，得2214c a =，222244()a c a b ∴==-，2234a b ∴=．（1），⋯（1分）由椭圆过点知，223314a b+=．（2）⋯（2分）联立（1）、（2）式解得24a =，23b =．⋯（3分）故椭圆的方程是22143x y +=．⋯（4分）11()||||II AB CD +为定值712⋯（5分）证明：椭圆的右焦点为(1,0)F '，分两种情况．1︒当直线AB 的斜率不存在时，:1AB x =，则:0CD y =．此时||3AB =，||4CD =，117||||12AB CD +=；⋯（6分）2︒当直线AB 的斜率存在时，设:(1)(0)AB y k x k =-≠，则1:(1)CD y x k=--．又设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．联立方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 并化简得2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=⋯+ （7分）∴12|||AB x x ==-==2212(1)43k k +=+，⋯（8分）由题知，直线CD 的斜率为1k-，同理可得2212(1)||43k CD k +=⋯+（9分）所以2211777||||12(1)12k AB CD k ++==+为定值．⋯（10分）（Ⅲ）解：由()II 知117||||12AB CD +=，∴912911||||(||||)()16716||||AB CD AB CD AB CD +=++⋯（11分）9||1225||16()716||||CD AB AB CD =++122521(7164+= ，⋯（12分）当且仅当9||||16||||CD AB AB CD =，即3||||4AB CD =，即||3AB =，||4CD =时取等号⋯（13分）∴9||||16AB CD +的最小值为214．⋯（14分）13．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为12，一动圆2C 过椭圆1C 右焦点F ，且与直线1x =-相切．（1）求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹2C 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆1C 于P ，Q 两点，交曲线2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．【解答】解：（1）由已知可得2222423112a a b a c c c e a =⎧=⎧⎪⇒⇒=-=⎨⎨===⎩⎪⎩，则所求椭圆方程221:143x y C +=．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为(1,0)，准线方程为1x =-，则动圆圆心轨迹方程为22:4C y x =．（2）当直线MN 的斜率不存在时，||4MN =，此时PQ 的长即为椭圆长轴长，||4PQ =，从而11||||44822PMQN S MN PQ =⋅=⨯⨯=．设直线MN 的斜率为k ，则0k ≠，直线MN 的方程为：(1)y k x =-，直线PQ 的方程为1(1)y x k=--，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(P x ，3)y ，4(Q x ，4)y ，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 可得2222(24)0k x k x k -++=，由抛物线定义可知：2221222244||||||1124k MN MF NF x x k k +=+=+++=+=+，由221(1)143y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得222(34)84120k x x k +-+-=，从而234212(1)|||34k PQ x x k +=-=+，∴222224211412(1)(1)||||(4)24223434PMQN k k S MN PQ k k k k ++=⋅=+=++，令21k t +=，0k > ，则1t >，则22222221242424211||||34(1)(0,3)2123(1)4(1)3213PMQN t t S MN PQ t t t t t t t t t =⋅===--+∈-+-----，所以2248213PMQN S t t =>--，所以四边形PMQN 面积的最小值为8．14．平面直角坐标系xOy 中，已知F 为椭圆22221x y a b+=的右焦点，且24a b +=，过F 作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A 、B 与C 、D ．以F 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与1||AB 的代数表达式；（Ⅱ）求11||||AB CD +的取值范围．【解答】解：由已知24b a =-，（Ⅰ）设(,0)F c，2222a a c b p c c c c -=-===c e a a==，以右焦点F 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为1cos ep e ρθ=+，即22cos ab ac c ρθ=+，其中c =设(A A ρ，)θ，则(B B ρ，)θπ+，222||1cos 1cos()1cos 1cos 1A B ep ep ep ep ep AB e e e e e cos ρρθπθθθθ∴=+=+=+=++++--，2211||2e cos AB ep θ-=，即22221||2a c cos AB ab θ-=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22222222(112||||22a c cos a c cos AB CD ab ab πθθ-+-+=+2222222222222222422222(4)a c cos a c sin a c a b a a ab ab ab ab a a θθ---+-+=+===-．24a b += ，222240c a b a a ∴=-=+->，且4a <，4a <<．记f （a ）242(4)a a a a -+=-，则f '（a ）22(4)(34)2(4)a a a a +-=-，当142a -<<时，f '（a ）0>，f （a ）为增函数，则f （a）1(8+∈，)+∞，即11||||AB CD +∈，)+∞．。
圆锥曲线专题二：双曲线(含详细答案)
基础知识：一 双曲线的定义：在平面内，到两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数a 2（a 大于0且212F F a <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点21F F 、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数a 2应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：21212F F a PF PF <=-)0(>a ，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122F F a PF PF <=-（)0(>a ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；3. 若常数满足约束条件：21212F F a PF PF ==-，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：21212F F a PF PF >=-，则动点轨迹不存在； 5．若常数0=a ，则动点轨迹为线段21F F 的垂直平分线。
二 双曲线的标准方程：1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其中222b a c +=；2．当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a bx a y ，其中222b a c +=；3.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x ；如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x ；4. 共焦点的双曲线系方程12222=--+k b y k a x 或 12222=--+kb x k a y三 双曲线的几何性质：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的几何性质1.对称性：对于双曲线标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
圆锥曲线常见问题及基本方法(二)
圆锥曲线常见问题及基本方法（二）【一】利用韦达定理，结合设而不求的方法，使原问题转化为参数（k 参）的函数问题，例如题目中出现过定点的直线，或出现向量数量积，或者面积等能够利用韦达定理将原问题都转化为参数的问题 例1：已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W.（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0），B （x 0，），OA OB ⋅＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--∙--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k|>1， 又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2，综上可知OA OB ⋅的最小值为2 【二】利用韦达定理将两点坐标统一为单点坐标（适用点参）例1：给定抛物线C ：24,y x =F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. （Ⅰ）设l 的斜率为1，求OA OB 与夹角的余弦（Ⅱ）设,[4,9]FB AF λλ=∈若，求l 在y 轴上截距的变化范围.解：（Ⅰ）C 的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为.1-=x y将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .1,62121==+x x x x.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x OB OA.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x.41143||||),cos(-=⋅=OB OA OB OA（Ⅱ）由题设λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ即⎩⎨⎧-=-=-.1212),1(1y y x x λλ由②得21222y y λ=， ∵ ,4,4222121x y x y == ∴.122x x λ=③联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F （1，0），得直线l 方程为 ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或由 ,121212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴ ,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ直线l 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃--【三】最值：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：【1】结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；例1：（2009四川卷理）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ A ） A.2 B.3 C.115 D.3716解析2：如下图，由题意可知2d ==【2】不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；例1：（2009重庆卷文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为)1,1 ．解法1：因为在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =则由已知，得1211a cPF PF =，即12aPF cPF = 设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF a ex =+=-则00()()a a ex c a ex +=- 记得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==-+由椭圆的几何性质知0(1)(1)a e x a a e e ->->-+则，整理得 ① ②2210,e e +->解得11(0,1)e e e <∈或，又，故椭圆的离心率1,1)e ∈解法2 由解析1知12cPF PF a=由椭圆的定义知 212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a+=+==+则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,a PF a c a c c c a c a<+<++->+则既所以2210,e e +->以下同解析1.【3】函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
高中数学圆锥曲线复习(二)——双曲线
圆锥曲线复习（二)---—双曲线一.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y图形性质 焦点F 1（-)0,c ，F 2()0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 ｜ F 1F 2|=2c222c b a =+范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称 顶点 (-a ，0）。
（a ，0） （0，—a ）（0，a ） 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率)1(>=e ac e 准线 c a x 2±=ca y 2±= 渐近线0=±bya x 0=±ayb x 到焦点的,c a =-最近距最远距无b Rt ∆焦渐距，第二个二、常见的结论：（1）与双曲线22221x y a b -=共同的焦点的双曲线22221x y a k b k-=-+(2）与双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0),有共同渐近线的双曲线系方程为λ=-2222by a x (a 〉0，b>0，λ≠0）, 当 λ>0 时，所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ〈0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 (3）等轴双曲线的性质：离心率为2，渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠0（4）双曲线形状与e 的关系：b k a ===，e 越大,即渐开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
三、求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或定义法(强调取一支还是两支）。
圆锥曲线与二次曲线的方程与性质分析总结
离心率的计算公式：对于椭圆，离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到椭圆中心的距离，a为长轴 半径；对于双曲线，离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到双曲线中心的距离，a为实轴半径。
曲线的导数与切线斜率
圆锥曲线的导数表示切线的斜率 二次曲线的导数可以求出切线的斜率 导数的几何意义是曲线在某点的切线的斜率 导数在研究圆锥曲线和二次曲线的性质中具有重要作用
曲线的交点与公共点个数问题
公共点的个数也是解析性质 的一个重要方面
圆锥曲线与二次曲线的交点 个数取决于它们的方程和几 何性质
二次曲线在几何图形中的应用：二次曲线常用于描述平面几何中的一些形状和结构，例 如椭圆、抛物线、双曲线等。
圆锥曲线与二次曲线的组合应用：在一些复杂的几何图形中，可能需要同时利用圆锥曲 线和二次曲线的性质来解决相关问题。
实际应用中的注意事项：在利用圆锥曲线和二次曲线的性质解决实际问题时，需要注意 一些细节和限制条件，以确保结果的准确性和可靠性。
圆锥曲线与二次曲线的解析性 质
曲线的渐近线与水平截距
圆锥曲线的渐近线：根据圆锥曲线的标准方程，求出其渐近线的方程。 二次曲线的水平截距：根据二次曲的标准方程，求出其与x轴交点的横坐标。 曲线的渐近线与水平截距的关系：分析渐近线与水平截距在曲线性质中的作用和相互影响。 解析性质的应用：举例说明解析性质在解决实际问题中的应用。
解析性质决定了曲线在平面 上的位置关系和相互交点的
个数
解析性质对于研究圆锥曲线 与二次曲线的几何性质具有
重要意义
曲线的参数方程与极坐标方程
解圆锥曲线问题常用方法(二)
解圆锥曲线问题常用方法（二）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……5、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。
如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。
除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1） （2）斜率为参数当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
6、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。
不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。
【典型例题】例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。
分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S=22)3()2(-++b a 设Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离∴S min5535|1322|=-⨯+- 点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数）例2：已知点P(x,y)是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上一动点，求xy的最值。
期末专题复习：圆锥曲线(二)—抛物线
期末专题复习：圆锥曲线（二）—抛物线1．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．122．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．0n =B ．1n =C ．2n =D ．3n ≥3．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．如果直线AF的斜率为||PF =( )A． B ．8 C． D ．16 4．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．485．设抛物线22y x =的焦点为F，过点M 的直线与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，||2BF =，则△BCF 与△ACF 的面积之比BCF ACFS S ∆∆=( ) A ．45 B ．23 C ．47D ．12 5．已知点M 是抛物线22(0)y px p =>上的一点，F 为抛物线的焦点，若以||MF 为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能6．已知直线()2)0(y k x k =+>与抛物线C ：28y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若2||||FA FB =，则k =( )A ．13 B．3 C ．23D．3 7．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________．8．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是______米．9．设P 是抛物线2y x =上的点，若P 点到直线240x y --=的距离最小，则P 点的坐标为________．10．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为(1,0)F ，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点(1,2)A -．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于5？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．12．设(1,0)F ，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且2MN MP = ，PM PF ⊥ ．(1)当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程； (2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y 是曲线C 上的三点，且||AF 、||BF 、||DF 成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E 时，求B 点的坐标．。
圆锥曲线常用的二次结论专题练习
圆锥曲线常用的二次结论专题练习圆锥曲线常用结论专题练一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>b>0.1.通径：过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦的长为a，称为通径。
2.离心率：椭圆离心率e=a/sqrt(a^2-b^2)。
3.焦点弦：设过焦点F的直线的倾斜角为α，则焦点弦AB=2b^2/(a-cosα)。
4.垂径定理：对于弦AB的中点M，过M作弦的垂线，垂足为K，则MK^2=b^2-a^2cos^2θ。
5.焦三角形：设椭圆的焦点为F1和F2，点P为椭圆上一点，则焦三角形面积S=b^2tanθ/2，其中θ为角F1PF2的大小。
二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a>0，b>0.1.离心率：双曲线离心率e=c/a，其中c=sqrt(a^2+b^2)。
2.焦点到渐近线的距离：焦点到渐近线的距离为b/sqrt(c^2-a^2)。
3.垂径定理：对于弦AB的中点M，过M作弦的垂线，垂足为K，则MK^2=b^2+a^2cos^2θ。
三、抛物线的标准方程抛物线的标准方程为y^2=2px，其中p>0.1.焦点坐标：抛物线的焦点为F(p,0)。
2.弦长公式：设抛物线上两点为P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，则弦P1P2的长度为|P1P2|=sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]。
3.垂足坐标公式：设抛物线上一点为P(x,y)，则过点P作抛物线的准线垂线的垂足坐标为(x,y/2)。
四、点F是圆锥曲线一个焦点设焦点为F，离心率为e，焦点在x轴上，过F的弦AB与x轴夹角为θ，F分AB所成的比为λ，则有ecosθ=λ-1/λ+1，或者e^2=1+k^2/λ^2，其中k=AF。
练题：1.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为3.2.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为2，E的右焦点与抛物线C：y^2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=9.3.已知椭圆x^2/4+y^2/3=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF1|的最大值为5，则椭圆的长半轴为3.4.已知椭圆E:x^2/45+y^2/36=1，过点F的直线交E于A，B两点。
圆锥曲线中的第二定义应用
F 1F 2P 圆锥曲线第二定义的应用解析几何，把坐标系引入几何图形中，将几何的基本元素—点，与代数的基本研究对象—数对应起来，从而将几何问题转化为代数问题，将曲线或曲面转化为方程、函数进行解决。
在高中数学中利用解析几何的方法来研究几何图像的主要有：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
在学习这些内容的时候，椭圆、双曲线、双曲线除了有它们的定义外，还有一个第二定义。
第二定义在解决问题方面的应用是有着很重要的地位。
下面我们就结合题目来看一下第二定义在解决问题的应用。
例题：已知，221243x y P F F 是椭圆上一点，分别是椭圆+=1上的左右焦点，12k PF PF =∙那么k 的最大值与最小值的差为 解法一：根据椭圆的定义知识可知122PF PF a +=，设1PF m =则24PF m =-，因此212k (4)4PF PF m m m m =∙=∙-=- (0,4)m ∈，此为关于m 的一元二次方程，且开口方向向下，故而有最大值 对称轴为2m =，将2m =代入可得k 的最大值为4。
(0,4)m ∈关于2m =对称则04m m ==或取到最小值，可是问题在于04m m ≠≠且因为1PF 不可能为零。
因此，m 的取值范围就有了问题，m 最小可以取到的不是无限的向零逼近。
可是m 最小可以取到多少呢？如果m 的精确地取值范围无法确定，这个问题就解决不了。
BA F 2F 1P 解法二：过点P 向两条准线做垂线，交两垂线为A 、B 两点。
由双曲线的第二定义可知，1PF PA e =且2PF PB e =则212k PF PF e PA PB =∙= 设PB x =则8PA x =-，12c e a == 那么1(8)4k x x =- []2,6x ∈此为关于m 的一元二次方程，且开口方向向下，对称轴为4x =，因此4k x =时取到最大值4，x=2或6时取到最小值3这样一来最大值与最小值的差为1.对于第一种解法里面的m 的最小值与最大值我们也可以确定下来了[]1,3m ∈。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
2020年高考数学圆锥曲线中第二定义的三类用法(共10张PPT)
1
2
PF22
PF1
F1F22 ，即
PF2
1 2
(e2 x02
e2 4)
x02 1
6
注意：此题有更简单的做法， 上述方法只是为了巩固焦半
径的知识
第二定义
（2）离心率问题
例2：倾斜角为
6
的直线过椭圆
x2 y2 a2 b2
1 的左焦点 ，交椭圆于A,B 两点，且有 | AF | 3 | B F | ，求椭圆的离心率.
，解得
PF2
5 4
PD
5
所以
|
PM
|
4 5
|
PF2
|
PM
PD
因此当P,M,D三点共线时 PM PD 取得最小值，最小
值为从 M到右准线的距离 MH, MH 6 16 14 55
第二定义
本次课重点需要注意三点 ：
（1）是第二定义的用法； （2）是注意例2这个题目的常规做法，此外下次课会给出这种例题的常用结论； （3）需要注意焦半径的取值范围，这个范围是求离心率取值范围题目中常用的
解析：AF, B F 为左焦点上的焦半径，所以过A,B 两点
分别作垂直于准线的直线且和准线交于D,E 两点，
从B 点作 BH AD .
因为| AF | 3| B F | ，设 BF m ，则 AF 3m
又因为 AF
AD
所以 AH
BF BE
2m
e
，则
BE
BF e
m e
,
AD
AF ,
e
3m e
为双曲线的左右焦点，
求
|
PM
|
4 5
|
PF2
圆锥曲线技巧二---角度
圆锥曲线技巧二4. 椭圆中两个最大张角【结论一】 设12,F F 椭圆222210)x y a b a b+=>>（的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，则当P 为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠最大【结论二】 设,A B 椭圆222210)x y a b a b+=>>（长轴上两个顶点，Q 为椭圆上任意一点，则当Q 为椭圆短轴的端点时，AQB ∠最大例1. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左、右焦点是12,F F ，若椭圆上存在一点P 使得足12F P PF ⊥，求该椭圆离心率取值范围例2. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，设长轴两个端点是,A B ，若椭圆上存在一点Q ，且满足0120AQB ∠=， 求该椭圆离心率取值范围例3. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左、右焦点是12,F F ，点P ，12,F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12||||PF PF >,求12||||PF PF 的值【练习】2．已知椭圆22142x y+=上有一点P，12,F F是椭圆的左、右焦点，若12PF F∆是直角三角形,这样的P点有几（）个A、3B、4C、6D、85. 圆锥曲线原点张直角模型（1） 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两个动点，且 OP OQ ⊥，则22221111||||OP OQ a b+=+ （2） 双曲线22221(0)x y b a a b-=>>，O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两个动点，且OP OQ ⊥，则22221111||||OP OQ a b +=-例1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>两个焦点分别是12,F F ,离心率为12，过1F 的直线l 交椭圆于点M ，N ，且2MNF ∆的周长为8（1） 求椭圆的方程（2） 过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于A 、B 两点，证明:点O 到AB 距离为定值，并求出这个定值例2. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(1,1),(22两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MA MB =(1)求椭圆的方程(2)求证：222112||||||OA OB OM ++为定值例3.已知点A 和点B 是双曲线2212y x -=上两点，O 为坐标原点，且满足0OA OB •=，则点O 到直线AB 的距离______.【练习】1. 已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，且满足OP OQ ⊥，求椭圆离心率取值范围___ __2.已知椭圆中点在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与椭圆交于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆经过原点，且||2PQ =，求椭圆方程___ __6. 椭圆原点张直角模型应用【结论一】椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两个动点，且OP OQ⊥|| PQ ≤≤【结论二】椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两个动点，且OP OQ⊥，则222212POQa bS ab a b∆≤≤+例1. （2009年山东）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点两点， (1)求椭圆的方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在，求出该圆的方程，并求|AB|的取值范围？若不存在，请说明理由。
巧用圆锥曲线第二定义解题
（ ）求圆锥 曲线的轨迹 方程 一
例 １ 经 过 点 Ｍ （ １ ２ ， 以ｙ 为 准 线 ，离 心 ． 求 一 ，） 轴
率ｅ 专的点 Ｐ ｘ ｙ的轨迹方程。 ： （， ）
解 ：依 题 意 ，所 求 的 点 Ｐ的 轨 迹 方 程 是 以 ｙ 轴 为 右 准 线 的 椭 圆 方 程 ，设 椭 圆 的 右 焦 点Ｆ （ 。ｙ）因 ｘ，。 为Ｐ 在 椭 圆 上 且 过 椭 圆 的 右 顶 点 ， 由第 二 定 义 知 点 即 Ｘ ４ 工， 。 ｙ ｏ ＿ － ＸＩ＝ Ｘ Ｏ Ｙ ＝ ，所 以 椭 圆 右 焦 点
ＩＩ 君 Ｉ
ｌ
圆 锥 曲 线 第 二 定 义 ：平 面 内动 点 Ｍ （ ， ） 定 ＸＹ 到 点Ｆ 的距 离 与 它 到 定 直 线 １ 距 离 的 比是 常 数 ｅ（ ＞ 的 ｅ ０ ）的 点 的 轨 迹 ， 当０ ｅ １ 是 椭 圆 ； 当ｅ １ 是 抛 ＜ ＜时 ＝时 物 线 ； 当ｅ １ 是 双 曲线 。ｅ 离 心 率 ，Ｆ 焦 点 。 ＞ 时 是 是
＼、
／
～
义 知：
苦
ｉ
即 ！± ± ： 三至 三工至夏 ； 一 ； 化简得
所 求 曲 线 的 轨 迹 方 程 为 ：ｙ＝ １ｘ ２。 ６ 一 由 以 上 几 例 可 知 ，在 求 圆 锥 曲 线 的 轨 迹 方 程
、＿
将① 、②代入条 件。 ＝
程 为ｘ －３ ， ＝－ ｃ
即 ，椭 圆的离心率 为ｅ ＝
１（ ６ｘ＋ｊ） ＋９） ） （－２ ＝１ ， 例２求 以 Ｆ（， ） 右焦点 ，Ｘ 为 右准线 ，离 ． ５０ 为 ＝２
心率 ｅ 的圆锥 曲线 的轨迹方程 。 ＝２
解 ：依 题 意 ，所 求 曲线 的 轨 迹 方 程 为 双 曲线 ， 设 Ｍ （， ） 曲 线 上 任 一 点 ， 由 圆 锥 曲 线 第 二 定 ｘＹ为
高考数学专题07 圆锥曲线第二定义与焦点弦(原卷版)-2021高考数学满分突破之解析几何篇
专题07 圆锥曲线的第二定义与焦点弦【突破总分值数学之秒杀技巧与答题模板】：焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点A 、B ，弦AB 叫做曲线的焦点弦。
秒杀题型一：椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式：①焦点弦长公式：θ222cos 12e a b -(θ为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：22b a (最短焦点弦)； ②焦点弦被焦点分成两局部,m n ，那么2112am n b+=(定值)(取通径即可)。
③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
秒杀题型二：抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式：①过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，那么:2p y y B A -=,42p x x B A =。
(焦点在y 轴上的性质比照给出。
)引伸:M (,0)a (0)a >在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上，过M 的直线交抛物线于两点。
1122(,),(,)A x y B x y ,12.y y =2pa -(定值)。
②α2sin 2||pAB =(α是直线AB 与焦点所在轴的夹角)=12x x p ++(焦点在x 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为2p )最短。
③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθ，θcos 1-=p AF ，θcos 1+=p BF (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
④面积:θsin 22p S AOB=∆，θ32sin 2p S AMNB =(θ是直线AB 与焦点所在轴的夹角)。
⑤以AB 为直径的圆与准线MN 相切，切点为MN 中点Q ，BQ AQ ,分别是抛物线的切线，并且分别是NBA MAB ∠∠,的角平分线。
⑥以MN 为直径的圆与AB 相切，切点为焦点F 。
⑦以焦半径为直径的圆与y 轴相切。
⑧N O A ,,三点共线,M O B ,,三点共线。
圆锥曲线第二定义的应用 ppt课件
点M在左支上
y
x
F1
F2
抛物线的焦半径公式：
点 P ( x 0 , y 0 )在对应抛物线上
,
y 2 2 px ( p 0 ) :| PF
|
x0
p; 2
y 2 2 px ( p 0 ) :| PF
| x 0
p; 2
x 2 2 py ( p 0 ) :| PF
|
y0
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。
且d 4025 15 41
y
4252 41
dm maixn
4025 42 52
65 41
41
x o
思考：最大的距离是多少？
例 变 形3： 已 知 椭 圆 2 x5 2y921， 直 线 l： 4x-5y400.椭 圆 上
是 否 存 在 一 点 ， 它 到 直 线 l的 距 离 最 小 大？ y 最 小 大距 离 是 多 少 ？
例 3： 已 知 椭 圆 x2y21， 直 线 l： 4x-5y400.椭 圆 上 25 9
是 否 存 在 一 点 ， 它 到 直 线 l的 距 离 最 小 ？ y 最 小 距 离 是 多 少 ？
解 ： 设 直 线 m 平 行 于 l，
则 l可 写 成 ： 4 x 5 y k 0
x o
4x5y k 0
M
A
F1
O
F2
X
（1） 求 MA MF2的范围
解：椭圆的方程为
x2 y2 1
a3,b 5,c2
95
e 2 3
F1(2,0)
F2 (2, 0)
l1
:
x
p 2
l2 : x
p 2
圆锥曲线二次曲线系法
圆锥曲线二次曲线系法是一种数学方法，用于解决与圆锥曲线相关的问题。
它通过引入二次曲线系，将复杂的几何关系简化为易于处理的形式，从而简化问题的求解过程。
具体来说，二次曲线系是由一组二次曲线组成的集合，这些曲线的形状和大小都由一个二次方程来描述。
通过选择适当的二次曲线系，可以将问题中的几何关系转化为代数方程，进而通过代数运算求解问题。
圆锥曲线二次曲线系法的应用范围很广，可以用于解决各种与圆锥曲线相关的问题，例如轨迹问题、交点问题、最值问题等。
这种方法具有直观、简便、易于掌握等优点，因此在数学、物理、工程等领域得到了广泛应用。
总之，圆锥曲线二次曲线系法是一种非常有用的数学方法，通过引入二次曲线系，将复杂的几何关系转化为代数方程，简化了问题的求解过程。
这种方法具有广泛的应用范围，是解决与圆锥曲线相关问题的一种有效工具。
【圆锥曲线】二次曲线方程与形状的关系
【圆锥曲线】二次曲线方程与形状的关系锐腾君又来啦，这周双更是不是很意外很惊喜呀？锐腾君的闲话群已经创好了，以及锐腾君的个人专栏也创好了。
（文末有小彩蛋不要错过哦）引言：锐腾君一贯的作风是尽量地在初等范围内解释地通俗。
但是有些地方好像不得不绕出来一下。
所以这篇文章的一部分可能会涉及到一些高中范围之外的知识和之前芮腾骏提到的一些知识。
我们默认读者已经知道：1.二阶、三阶行列式及其计算方法2.矩阵乘法的计算方法3.矩阵乘法的性质： |AB|=|A|\cdot|B| ，即\det AB=\det A \cdot \det B4.分块矩阵及其运算5.过四点的二次曲线系6.旋转变换及其矩阵表示（即转轴公式）另有一些阅读建议：对于没有高等代数基础且暂时不愿意接触的读者跳过“二次曲线的矩阵表示”、“正交变换与正交矩阵”、“特征值与特征向量”部分；建议了解不变量 I_1,I_2 （在“二次曲线的不变量之一 AC-B^2 ”部分）在旋转和平移变换下是不发生改变的。
对于基础较为薄弱的普通初高中生，建议只阅读“二次曲线方程的化简”、“二次曲线形状的判定”和文末“二次型的线性规划”部分。
二次曲线方程的化简在本文，我们要对一文中的二次曲线方程略作修改。
二次曲线我们也可以表示为(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)=\lambda为了使系数具有更好的对称性，我们将二次曲线的方程修改为Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0\ \ \ \ \ (*)我们期望能够将(*)化为标准方程，从而可以判定（*）代表的二次曲线的形状我们知道一次项影响的只是该曲线的中心所在的位置。
所以我们忽略一次项，先考虑二次项的问题。
对于曲线 Ax^2+2Bxy+Cy^2+F=0我们希望能够通过旋转来获得它的形状。
将坐标轴顺时针旋转角度 \theta则 \begin{cases} x=x_*\cos\theta-y_*\sin\theta\\y=x_*\sin\theta+y_*\cos\theta\end{cases}代入，得 x_*^2 的系数是(A\cos^2\theta+2B\sin\theta\cos\theta+C\sin^2\theta)x_*y_* 的系数是 (2C\sin\theta\cos\theta-2A\sin\theta\cos\theta+2B(\cos^2\theta-\sin^2\theta))y_*^2 的系数是 (A\sin^2\theta-2B\sin\theta\cos\theta+C\cos^2\theta)我们期望交叉项的系数2C\sin\theta\cos\theta-2A\sin\theta\cos\theta+2B(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=0也就是(C-A)\sin 2\theta+2B\cos2\theta=0即 \tan 2\theta=\frac{2B}{A-C}化简以后，即\tan^2\theta+\frac{A-C}{B}\tan \theta-1=0到这里，我们发现有两个不同的旋转角可以使我们消去交叉项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
① ，焦点三角形 的周长为 ，椭圆上一点 到焦点的最短距离为 ，最长距离为 .
②当 即 为短轴端点时， 最大；
学生的接受程度：□完全能接受□部分能接受
□不能接受，原因___________________________________________
学生的课堂表现：□很积极□比较积极□一般
□不积极，原因_____________________________________________
学生上次作业完成情况：完成数量____%已完成部分的质量____分（5分制）
（2011北京）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，斜率为1的直线 与椭圆 交于 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 。
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的面积。
（2011四川）过点 的椭圆 的离心率为 ，椭圆与 轴交于两点 ，过点 的直线 与椭圆交于另一点 ，并与 轴交于点 ，直线 与直线 交于点 。
例如果直线 相切，那么 的取值范围分别是（）
A B.
C. D.
（2006辽宁卷）直线 与曲线 的公共点的个数为（）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3、弦长问题
例已知椭圆 ，直线 被椭圆 截得的弦长为 ，过椭圆 的右焦点且斜率为 的直线 被椭圆 截得的弦长为其长轴的 ，求椭圆 的方程。
例已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在坐标轴上，直线 与该椭圆相交于 两点，且 求椭圆的方程。
（1）当直线 过椭圆右焦点时，求线段 的长；
（2）当点 异于点 时，求证线段 为定值。
（山东文）如图，椭圆 的离心率为 ，直线 和 所围成的矩形ABCD的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ)设直线 与椭圆M有两个不同的交点 与矩形ABCD有两个不同的交点 .求 的最大值及取得最大值时m的值.
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
课堂练习
课后记
本节课教学计划完成情况：□照常完成□提前完成
□延后完成，原因___________________________________
教研组长审批
教研主任审批
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
（2008广东）设b＞0，椭圆方程为 ，抛物线方程为x2=8（y﹣b）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G的切 线经过椭圆的右焦点F1．
③ ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为bc；
例已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若 的面积为9，则 =____________.
7.圆锥曲线三角形
（广东理）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (a＞b＞0)的离心率 ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
主要考点：弦长公式；相切、相交公式；焦点三角形或弦三角形；线段之和最小、差最大
知识点归纳
ⅰ）直线与圆的位置关系
联立 ，消去其中一个未知数，得
则
ⅱ）直线与椭圆相交形成的弦长问题
设直线与椭圆相交于 两点，直线的斜率为
ⅲ）弦中点问题
设直线 与椭圆 ，相交于 两点，直线 的中点为 ，则 ，得
ⅳ）三角形问题利用三角形性质来解（）求椭圆 的焦点坐标和离心率；
（2）求 表示为 的函数，并求 的最大值.
例 的一个焦点是 为坐标原点，
（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆方程；
（2）设过点 的直线 交椭圆于 两点，当直线 绕点 任意转动时，恒有 求 的取值范围。
6.焦点三角形
焦点三角形：椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形，
例已知椭圆 ，过点 引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程。
5、取值范围问题
（2011上海）已知椭圆 是曲线 上的动点， 是曲线 上的右顶点，定点 的坐标为
（1）若 与 重合，求曲线 的焦点坐标；
（2）若 ，求 的最大值与最小值；
（3）若 的最小值为 ，求实数 的取值范围.
（2011北京）已知椭圆 ，过点 作圆 的切线 ，交椭圆 于 两点.
（2010•广东）已知双曲线 的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，﹣y1）是双曲线上不同的两个动点．
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．
4、弦中点问题
例已知椭圆 和椭圆外一点 ，过这点任意引直线与椭圆交于 两点，求弦 的中点 的轨迹方程。
ⅴ）弦长之和最小、之差最大问题
题型讲解
1、直线与椭圆位置关系问题
例若椭圆 和线段 恒有公共点，其中 ,则 的取值范围是
例过点 作直线 与椭圆 ：（1）相切；（2）相交；（3）相离.求直线 的斜率 的取值范围.
变式：求椭圆上的点到直线 距离的最大值和最小值.
2、椭圆的切线问题
例已知椭圆 的右焦点 作与 轴垂直的直线与椭圆相交于点 ，过点 的椭圆的切线 与 轴相交于点 ，则点 的坐标为
存在问题_______________________________________
配合需求：家长________________________________________________
学管师________________________________________________
提交时间
个性化教学设计教案
授课时间：2013年12月29日（09:30 -- 11:00）
备课时间：2013年12月28日
年级：高三学科：数学课时：2
学生姓名：何星蓉
课题名称
圆锥曲线二
授课教师：刘合武
教学目标
掌握圆锥曲线的六种常见题型的解法
教学重难点
弦长公式、相切、角三角形等
设计意图
巩固基础，熟悉各种题型
教学过程