2-3高阶导数的概念
高等数学：高阶导数的概念
高阶导数一、 高阶导数的概念定义1 如果函数)(x f 的导数)(x f '在点x 处可导, 即xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim))((0存在, 则称))((''x f 为函数)(x f 在点x 处的二阶导数, 记为2222)(,),(dxx f d dx yd y x f 或'''' 类似地，二阶导数的导数称为)(x f 的三阶导数, 三阶导数的导数称为)(x f 的四阶导数，…，一般地, )(x f 的（1-n ）阶导数的导数称为)(x f 的n 阶导数，分别记为)(x f '''，)()4(x f，…，)()(x f n ；或y '''，)4(y，…，)(n y；33dx y d ，44dx y d ，…，n n dx y d ；33)(dx x f d ，44)(dx x f d ，…，nn dx x f d )(。
注:函数)(x f 具有n 阶导数，也常说成函数)(x f n 阶可导。
若函数)(x f 在点x 处具有n 阶导数，那么函数)(x f 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数。
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，)(x f 称为零阶导数，)(x f '称为)(x f 的一阶导数。
二、求高阶导数的方法由高阶导数的定义可以知道，求高阶导数就是多次接连地求导数，故仍可应用前面求一阶导数的方法。
【例1】求下列函数的n 阶导数：（1）nx y =，（n 为正整数）； （2）xy 1=； （3）x a y =，（0>a 且1≠a ）； （4）x y sin =。
解：（1）1-='n nxy ，2)1(--=''n xn n y ，3)2)(1(---='''n xn n n y ，…，一般地，可得k n k x k n n n n y -+---=)1()2)(1()( （n k <<0）即 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<+---=-n k n k n n k x k n n n n x k n k n 0!0,)1()2)(1()()( （2）21)1()(---='='xx y ， 323!2)1()2)(1(---=--=''x xy ，434!3)1()3)(2)(1(---=---='''x x y ，545)4(!4)1()4)(3)(2)(1(---=----=x x y ，…，一般地，可得1)1()1()(!)1(!)1())](1([)3)(2)(1(++-+--=-=------=n nn n n n x n x n x n n y 即 1)(!)1()1(+-=n nn xn x（3）a a y xln ='，a a y x2ln =''，a a y x3ln ='''，a a yx 4)4(ln =…，一般地，可得a a yn x n ln )(=， 即 a a a n x n x ln )()(=当e a =时，有xn x e e =)()(（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛+==2sin cos d d πx x x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 2cos d d 22ππx x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=23sin 22cos d d 33ππx x x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=24sin 23cos d d 44ππx x x y ，…， 一般地，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin d d πn x x y n n ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin )(sin )(πn x x n类似地，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos )(cos )(πn x x n上例各题我们得到了几个常见函数的高阶导数公式，此外高阶导数也有运算法则，这里我们来看几个常用的法则。
2-3 高阶导数(高等数学)
§2.3 高阶导数教学内容： 一．高阶导数二阶导数的定义：0(+)()()limx f x x f x f x x∆→''∆-''=∆.高阶导数：(1)(1)()0(+)()()lim n n n x f x x f x f x x--∆→∆-=∆二．高阶导数的运算法则（1）若函数(),()==u u x v v x 在x 点处具有n 阶导数，则()()±u x v x 、()(Cu x C 为常数)在点x 点处具有n 阶导数，且()()()()±=±n n n u v u v ，()()()=n n Cu Cu .（2）函数(),()==u u x v v x 在x 点处具有n 阶导数, ()()()()1C nn k n k k n k uv u v -==∑，此公式称为莱布尼茨公式.三．例题讲解例1.设3π()4cos 3sin sin 2f x x x x =-+-，求()f x '，(0)f '．例2.设2e sin x y x x +，求y '．例3.设x y tan =，求y '．同理可推得 ()x x 2csc cot -='．例4.设x y sec =，求y '．同理可推得 ()x x x cot csc csc -='．例5.证明(arcsin )'x =．例6.证明 ()ln x xa a a '=．特别地，当e a =时， (e )e x x'=．例7.求下列函数的导数．（1）3cos y x =； （2）1e xy =； （3）y =； （4）arcsin y =.例8.求下列双曲函数的导数．（1）双曲正弦 e e sh 2x x x -- =；（2）双曲余弦 e e ch 2x x x -+ =； （3）双曲正切 e e th e +e x xx xx --- = ．例9.求下列函数的导数． （1）3sin ln x y =； （2）1tan2xy =； （3）2sin (34)y x =-.例10.求下列函数的导数．（1）221cos sin y x x=⋅； （2）ln(y x =．例11.已知()f u 可导，求下列函数的导数．（1）3f y =； （2）(ln )ln ()y f x f x =+．例14.设324e 5ln xy x x =-+，求y ''．例15.求下列函数的n 阶导数．（1）xa y =； （2）x y sin =.例16.求函数11=+y x的n 阶导数.例17.已知214=-y x ，求(100)y .例18.已知2sin 3=y x x ，求(20)y .。
高等数学2-3高阶导数隐函数求导讲解
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
( 1)( n 1)xn ( n)
2
4
即
求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, y是x的函数, 于是y的函数便是x的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 y 的方程. 从中解出即可.
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 一般来说,隐函数
求导, 允许在 y的表达式中含有变量y.
练习 设sin y xe y 0, 求 dy . dx
解 利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得
cos y y 1 e y x e y y 0
解出 y, 得
y
ey cos y
xey
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
方 法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
若 n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
( 1)( n 1)xn ( n)
( x )(n)
n!
( n)
0
( n)
例如： ( x5 )(6) 0
( x3 6 x2 5 x 1)(3) 3! 6
高等数学D2_3高阶导数
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例7.
(k )
求
u = e2x , v = x2 , 则 解: 设
( k =1, 2 ,L, 20 ) u =2 e v′ = 2x , v′′ = 2 ,
k 2x
v(k) = 0 (k = 3 ,L, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y
(20)
2019 18 2x = 2 e x + 20 2 e 2x + 2 e 2 2!
20 2x 2 19 2x
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例8. 设
求
1 2 , 即 (1+ x ) y′ =1 解: y′ = 1+ x2 用莱布尼兹公式求 n 阶导数
(1+ x2 )
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求使 f (n) (0) 存在的最高 例6. 设 f (x) = 3x + x x , 2 阶数 3 4x , x ≥ 0 f (x) = 3 分析: 分析 2x , x < 0 2x3 0 ′ Q f (0) = lim 2 =0 12x , x ≥ 0 x x→0 ∴ f ′(x) = 2 6x , 4x3 0 x<0 6x ′ (0) = lim f+ =0 + x x→0 6x2 ′ 又 f′(0) = lim =0 24x, x ≥ 0 x x→0 ∴ f ′′(x) = 12x, x < 0 12x2 ′ =0 f+′(0) = lim + x x→0 ′( 但是 f′′ 0) =12 , f+′′ 0) = 24 , ∴ f ′′′(0) 不存在 . ′(
高等数学2-3
v
(k )
【注】
莱布尼兹公式
例10 设 y = x2e2 x , 求y( 20) . 解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
2x 2
y
( 20 )
= (e ) ⋅ x + 20(e ) ⋅ ( x )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 + 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e ⋅ x + 20 ⋅ 2 e ⋅ 2 x
2x ( 20 ) 2 2x ( 19 ) 2
20 ⋅ 19 18 2 x 2 e ⋅2 + 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
例11 设f ( x) = arctan x，求 f (0) 1 2 解 由 f ′( x ) = 得 (1 + x ) f ′( x ) = 1 2 1+ x
( 3) ( u ⋅ v )
(n)
= u v + nu
(n)
( n −1 )
n(n − 1) ( n− 2 ) (n u v ′′ v′ + 2!
n( n − 1) L ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) u v + L + uv ( n ) + k! = ∑C u
k =0 k n n ( n− k )
∴y(20) = 1[( 1 )(20) −( 1 )(20)] 2 x −1 x +1
= 1[ 20! − 20! ] 2 (x −1)21 (x +1)21
高阶导数运算法则
= 20!⋅[ 1 21 − 1 21] 2 (x −1) (x +1)
高阶导数及其计算方法
高阶导数及其计算方法高阶导数是微积分中的重要概念，它描述了一个函数变化的速度随着自变量改变的趋势。
本文将介绍高阶导数的概念、性质以及几种常见的计算方法。
一、高阶导数的概念高阶导数指的是对一个函数进行多次求导得到的导数。
设函数f(x)在某一区间内可导，则f(x)的n阶导数可以记为f^{(n)}(x)。
其中，f^{(n)}(x)表示对f(x)进行n次求导后得到的导数。
二、高阶导数的性质1. 若函数f(x)的各阶导数存在，那么其高阶导数也存在。
2. 高阶导数的计算公式可以通过对原函数的导数逐次求导得到。
3. 高阶导数具有运算法则，如导数的和、差、乘积、商的法则，可以方便地计算。
三、高阶导数的计算方法1. 基本法则根据基本导数法则，可以通过对函数进行逐次求导来计算高阶导数。
例如，对于函数f(x)，其二阶导数可表示为f''(x)或d^2f(x)/dx^2，可以通过对f'(x)进行求导得到。
2. 递推关系对于一些特定的函数，可以通过递推关系来计算其高阶导数。
例如，函数f(x)=x^n的n阶导数可表示为f^{(n)}(x)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)x^{n-k}，其中k为小于等于n的正整数。
3. 泰勒级数展开泰勒级数是一种将一个函数表示为无穷项多项式求和的表达形式。
通过对函数进行泰勒级数展开，可以计算出其各阶导数。
这种方法在数值计算中常被使用，特别是对于复杂函数而言。
四、实际应用高阶导数在科学、工程和经济等领域具有广泛的应用。
在物理学中，高阶导数可以描述物体的加速度、速度和位移之间的关系。
在工程学中，高阶导数可以用于求解最优控制问题。
在金融学中，高阶导数可以应用于期权定价和风险管理等领域。
总结：高阶导数是描述函数变化速度的重要工具，它具有计算简单、适用广泛的特点。
通过基本法则、递推关系和泰勒级数展开等方法，可以计算高阶导数。
高阶导数在许多领域具有广泛的实际应用。
常见高阶导数公式
常见高阶导数公式高阶导数是微积分中的重要概念，它可以描述函数在其中一点处的变化率。
在求解微分方程、极值、弧长等问题时，高阶导数的求解是不可或缺的。
下面将介绍一些常见的高阶导数公式。
一、一阶导数的求导法则1.常数的导数为零：(c)'=0，其中c为常数。
2. 幂函数的一阶导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为实数。
3.指数函数的一阶导数：(e^x)'=e^x。
4.反函数的一阶导数：如果y=f(x)在一点x处可导，且f'(x)≠0，则它的反函数在相应点y处也可导，且有(f^(-1))'(y)=1/f'(x)。
二、二阶导数的求导法则1.一阶导数的导数：如果函数y=f(x)的一阶导数f'(x)在特定点处存在，则函数f(x)的二阶导数f''(x)为f'(x)的导数。
(f')'(x)=f''(x)。
2.幂函数的二阶导数：(x^n)''=n(n-1)x^(n-2)。
3.指数函数的二阶导数：(e^x)''=e^x。
4.链式法则的应用：如果y=f(g(x))是由函数f(u)和g(x)复合而成的函数，且f(u)和g(x)都可导，则y的二阶导数为：(f(g(x)))''=f"(g(x))(g'(x))^2+f'(g(x))g''(x)。
三、高阶导数的求导法则1.可递推公式：如果函数y=f(x)的n阶导数f^n(x)在特定点处存在，则函数f(x)的（n+1）阶导数f^(n+1)(x)为f^n(x)的导数。
即(f^n(x))'=f^(n+1)(x)。
2.同时满足和、差、积、商的函数的高阶导数的求导法则可以类似地应用。
3.幂函数的n阶导数：(x^n)^(n)=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)x^(n-k)，其中k为非负整数，且k≤n。
同济版高等数学第二章导数与微分_3高阶导数课件
阶数 2
分析:
f
(
x)
4x3 2x3
, ,
x0 x0
f
(0)
lim
x 0
2x3 x
0
0
f (0)
lim
x0
4x3 0 x
0
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)
lim
x0
6x2 x
0
f
(0)
lim
x0
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
高数(上)第二章第三节高阶导数
f '"( x ) 2 3[ f ( x )]2 f '( x ) 3![ f ( x )]4 ,
故 f ( n) ( x ) n![ f ( x )]n1
已知 f ( x ) 存在，且 f ( x ) 0, y ln[ f ( x )],
d2 y 求 . 2 dx
v ' 2 x , v '' 2 , v ( n) 0(n 3)
由莱布尼兹公式
0 (10) (0) 1 (9) ' 2 (8) '' y (10) C10 u v C10 u v C10 u v 10 9 2 x sin( x 10 ) 10 2 x sin( x 9 ) 2 sin( x 8 ) 2 2 2 2
同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为
y, f ( x ), d3 y , 3 dx d3 f dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数.记为
y
(4)
,
f
(4)
( x ),
d4 y , 4 dx
d4 f dx 4
f ( x x ) f ( x ) 即 f ( x ) lim x 0 x
( n)
= (-1)
n-1
( n 1)! xn
1 ( n) n n! ( ) = (-1) n1 x x
( n 1)! (6) (ln （ 1 x ） ) (-1) n （ 1 x ）
( n) n-1
1 ( n) n! n ( ) = (-1) n1 1 x （1 x）
1 ( n) n! ( ) = n 1 1 x （1 x）
微积分中的二阶及高阶导数的概念及计算
03
二阶导数的几何意义可以用于判断函数的单调性、极值点 和拐点等性质。
二阶导数的物理意义
在物理问题中，二阶导数常常用来描述物体的振动、波动和曲率等物理量。
二阶导数的物理意义与一阶导数不同，一阶导数描述的是物体的速度和加 速度，而二阶导数描述的是物体的加速度的变化率。
在弹性力学中，二阶导数可以用来描述物体的应力分布和应变状态。
二阶导数的求导法则
链式法则
对于复合函数f(g(x))，其二阶导数为f'[g(x)]*g'(x)'。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其二阶导数为(uv)'=u'v+uv'，其中u'和v'分别为u和v的一阶导数。
商的导数法则
对于两个函数的商，其二阶导数为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
高阶导数法则
02
(f(x) = e^x) 的二阶导数： (f''(x) = e^x)
03
(f(x) = sin x) 的二阶导数： (f''(x) = cos x)
05
二阶及高阶导数的应用
在函数极值问题中的应用
判断极值点
通过求函数的二阶导数，可以判断一阶导数等于零的点是否为极值点。如果二阶导数大 于零，则一阶导数等于零的点是极小值点；如果二阶导数小于零，则一阶导数等于零的
高阶导数的物理意义
速度和加速度
在物理中，一阶导数通常用来描述速 度，二阶导数描述加速度。例如，一 个物体在直线运动中的速度和加速度 可以通过其位置函数的导数来描述。
振动和波动
在振动和波动的研究中，高阶导数也 有重要的应用。例如，弹簧振动的频 率和振幅可以通过其振动函数的导数 来描述。
南邮高数 2-3高阶导数及相关变化率
x(3) y
2x 1 x2 x
2
解 (1) y(n) ( x2 sin 3x)(n) (sin 3x x2 )(n)
vu
莱布尼兹公式
(sin 3x)(n) x2 n(sin 3x)(n1) ( x2 )
n(n 1) (sin 3x)(n2) ( x2 ) 2!
3n sin(3x n ) x2 n3n1(sin 3x (n 1) ) 2x
3)分段函数、隐函数以及参数方程表达的函数的 高阶导数
例5
设f
(
x)
ex ax 2
bx
c
x 0,问a, b, c为 x0
何值时f ( x)在x 0处具有二阶导数.
解 ex , ax2 bx c处处均连续且有各阶导数
要使f (x)在x 0处有二阶导数,必须且只需
f (0 0) f (0 0) ( f (x)在x 0处连续)
解：方程两边对x求导， 注意到 y是 x函数， 有
1 y 1 cos y y 0
(1)
2
y
1
1 1 cos
y
2
2 cos
y
( 2)
2
(2) 式继续对x求导, 得
y
2 sin y y (2 cos y)2
4sin (2 cos
y y)3
或者 (1) 式继续对x求导, 得
y 1 sin y ( y)2 1 cos y y 0
即
ex x lim
x0
0 (2ax b) x0
ex 1 lim 2ax
x
x0
b x
b
1c
1
b
1 2a
当a 1 , b 1, c 1时, f ( x)在x 0处有二阶导数. 2
高三导数都学什么知识点
高三导数都学什么知识点导数是高中数学课程中的重要内容之一，它是微积分学的基础知识，具有广泛的应用领域。
在高三阶段，学生需要掌握并深入理解导数的各种概念、性质和应用。
本文将介绍高三阶段学习导数所需的主要知识点。
一、导数的定义导数的定义是理解导数概念的重要起点。
导数可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率，它表示函数曲线在该点的切线斜率。
导数的定义主要分为几何定义和极限定义，学生需要熟练掌握两种定义的形式及其间的相互转换。
二、导数的基本性质1. 导数的可导性：学生需要掌握函数在某一点可导的条件，以及可导函数的充要条件。
2. 导数的四则运算法则：学生需要了解导数的四则运算规则，包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则，能够应用这些法则求解导数。
3. 复合函数的导数：学生需要掌握复合函数导数的链式法则，即复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。
4. 反函数的导数：学生需要了解反函数导数与原函数导数的关系，能够通过已知原函数导数求解反函数导数。
三、高阶导数与导数的应用1. 高阶导数：学生需要了解高阶导数的概念，即对函数的导数再求导数。
对于常见的函数，如多项式函数、三角函数和指数函数，学生需要能够计算其高阶导数。
2. 极值问题：学生需要掌握极值问题的解法，包括利用导数判定函数的极值和求解极值点的方法。
同时，还要学会应用拉格朗日乘数法解决含有约束条件的极值问题。
3. 函数的图像与导数：学生需要了解函数的导数与函数图像的关系，通过导数的符号表述，判断函数在不同区间的单调性、凹凸性以及极值情况。
4. 应用问题：学生需要学会将导数应用于实际问题的解决。
例如，利用导数求解最优化问题、求曲线的切线和法线、求解最大最小值等。
四、其他导数的知识点除了上述主要知识点外，高三阶段还需要学习和掌握导数的其他相关知识，如导数的应用于函数的增减性、导函数与导数的关系、不定积分与原函数等。
总结起来，高三导数的学习内容主要包括导数的定义、导数的基本性质、高阶导数与导数的应用以及其他导数的知识点。
2_3隐函数及参数方程及高阶导数
2_3隐函数及参数方程及高阶导数隐函数的概念是在一些函数表达式难以直接给出的情况下，通过关联的多个变量之间的关系来隐式表示函数。
参数方程是一种用参数表示的函数表达方式，其中每个参数的取值都有助于确定函数的输出值。
高阶导数则是指函数的导数的导数，即对函数进行多次求导。
一、隐函数在一些情况下，给定的函数表达式无法直接通过解析方式表示出来，这时就需要使用隐函数来描述函数关系。
隐函数是通过关联的多个变量之间的关系来隐式表示函数。
在二元函数中，如f(x,y)=0，我们可以将y 表达为关于x的函数y(x)。
这里的y(x)即为隐函数。
当无法直接通过解析方式给出函数表达式时，可以通过求导来求解隐函数。
假设有一个同时关联了x和y的函数表达式，可以通过求导来推导出其中一个变量关于另一个变量的导函数，然后进行求解，得到隐函数的解析表达式。
二、参数方程参数方程是一种将函数表示为参数的函数表达方式，其中每个参数的取值决定了函数的输出值。
通常使用参数t来表示，参数t的取值范围以及对应的输出值可以描述出函数的图像。
以平面曲线为例，当我们使用参数方程来表示曲线时，我们可以将x 和y分别表示为关于参数t的函数。
例如，对于一条简单的曲线，可以表示为x=f(t)，y=g(t)。
这里的函数f(t)和g(t)分别给出了参数t取值时的x和y值。
参数方程的优势在于可以方便地描述出相对复杂的曲线，例如圆形、椭圆形等。
通过在参数方程中引入额外的参数，可以进行轨迹的变换与变形。
同时，参数方程还可以描述出三维空间中的曲面。
三、高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数，即对函数进行多次求导。
一阶导数表示函数的变化速率，而高阶导数则表示函数变化速率的变化速率。
对于一个实值函数f(x)来说，其n阶导数可以表示为f⁽ⁿ⁾(x)，其中n是一个非负整数。
一阶导数表示函数的变化趋势，二阶导数可以表示函数的凸凹性，三阶导数可以表示函数的图像特征以及曲线的弯曲情况。
高阶导数在数学和科学工程领域中有广泛的应用。
高阶导数
f ( n ) ( x),
n n d f ( x ) d y (n) y , , . n n dx dx
f
( n)
( x) ( f
( n1)
( x)),
y ( n) ( y ( n1) ),
d n y d d n1 y , n n 1 dx dxdx
d f ( x) d d f ( x) , n n 1 dx dx dx
综上所述：
(x )
n (k )
n(n 1)(n k 1) x
nk
(1 k n ) ( k n 1)
( x n )( k ) 0
例2
求 y (ax b) 的高阶导数
n
解
当 1 k n 时,
y
(k )
((ax b) )
n (k )
n k
(k )
( x) k ! f
k 1
( x), 则有
( k 1)1
f ( k 1) ( x) k ! (k 1) f k ( x) f ( x) (k 1) ! f
k 2
( x) (k 1) !( f ( x))
,
由数学归纳法得
f ( n) ( x) n ! f n1 ( x)
( x 2 ) 2 x, ( x 2 ) 2, ( x 2 ) ( n ) 0 (n 3)
例15
证明 f ( x) arcsin x 满足下式
2 ( n 2)
(1 x ) f
( x) (2n 1) x f
1 1 x
2
( n1)
( x) n f
高阶导数
记号 C(n)(I): 在I上具有n阶连续导数的函数全体
C()(I): 在I上具有任意阶导数的函数全体.
例1 设 y
f
1 x
,
其中
f
具有二阶导数,
求
d2 y dx2
.
2 隐函数的二阶导数 设方程F(x,y) = 0确定隐函数y = y(x), 则y"的求法有:
方法一 由隐函数求导法求出y', 再用求导法则对y' 关于x求导, 仍视y为隐函数y(x).
Chap3 ― 6
高阶导数
3.6.1 高阶导数的概念
1 定义 设y = f (x)在U(x0)可导, 则f (x)在点x0处的
二阶导数
def
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
➢ 二阶导数也可记为
y(x0 ),
d2 y dx2
d2 f ,
dx2
.
x x0
x x0
➢ 二阶导(函)数 f "(x) = (f '(x))'
例7 求下列函数的n阶导数
(1) y ln(1 x)
(2) y 1 , (a 0) ax b
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
y(n)
(1)n
a n n! (ax b)n1
.
3.6.2 Leibniz法则——高阶导数求法之二 定理 设函数u, v有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) = u(n) v(n)； (cu)(n) =cu(n), 其中c为常数
(2) (uv)(n) C0nu(n)v C1nu(n1)v Cnn1uv(n1) Cnnuv(n)
高阶导数的认识
高阶导数的认识
高阶导数是数学中的一个重要概念，它的推导可帮助我们更加精确的描述物理世界中的现象，它也是复杂函数的表示和研究的重要工具。
本文将讨论高阶导数，包括它的定义、计算方法和应用。
一、定义
高阶导数指的是将函数中的变量多次求导得到的导数，其公式可以用形式表示为：
f^(n)(x):=frac{d^nf(x)}{dx^n}
表示的是函数f(x)的n阶导数，其中f(x)指的是在x处得到的函数值。
这个式子同时也表示了高阶导数的特殊性，n表示了求导的次数，一般来说次数越大，得到的函数值就越小，也就是表明其函数值越来越接近于零。
二、计算方法
当我们需要计算高阶导数时，只需要利用求导过程中每步求出的导数乘以相应的多项式系数，就可以根据上面提到的公式计算出指定的高阶导数。
例如：
计算f(x)=3x^4一阶导数：f^′(x)=(4x^3)(3)=12x^3
计算f(x)=3x^4二阶导数：f′′(x)=(12x^2)(4)=48x^2
三、应用
高阶导数在物理和数学研究中有着广泛的应用，从新物理的研究开始，到化学、天文、计算机科学等研究领域都可以看到它的身影，由此可见其使用的程度。
例如：
1.在物理学中，高阶导数可以用来研究时间和空间变换，描述它们彼此之间的关系。
2.在化学中，高阶导数可以用来研究分子之间的反应，描述它们发生变化时的力学参数。
3.在计算机科学中，高阶导数可以用来研究数据之间的变化，描述它们发生变化时的变换关系。
综上所述，高阶导数在物理、数学和计算机科学等研究中都有广泛的应用，它的研究可以帮助我们更加精确的描述物理世界中的现象，也是复杂函数的表示和研究的重要工具。
高阶导数的符号
高阶导数的符号
高阶导数是求解微积分的非常重要的概念。
它的符号比较有规律，下面将对各种高阶导数的符号做一个详细的介绍：
1、一阶导数：
一阶导数的符号是由变量x的一阶导数的符号组成的，通常被表示为f′(x)，它描述了随着变量x的变化，函数f的变化率。
2、二阶导数：
二阶导数也称为二次派生数，是函数f的变化率的变化率，其符号通常是f″(x)，描述了随着变量x的变化，函数f的变化速率。
3、三阶导数：
三阶导数符号也是f′′′(x)，它描述了函数f的三阶变化率，是关于变量x的变化率的变化率的变化率。
4、四阶导数：
四阶导数的符号是f⁴(x)，它是一个关于x的函数的变化速率的变化速率的变化速率的变化速率，即把函数f的x变量的变化率进行四次对数求导所得到的值。
5、五阶导数：
五阶导数符号是f⁵(x)，它是进行五次对数求导后得到的结果，代表函数f在x变量上的变化率的变化率的变化率的变化率的变化率。
6、六阶导数：
六阶导数的符号是f⁶(x)，它是进行六次对数求导得到的，象征着函数f在x变量上的变化率的变化率的变化率的变化率的变化率的变化率。
7、更高阶导数：
更高阶的导数的符号都可以用f⁷(x)、f⁸(x)、f⁹(x)、f⁰(x)等等表示，依次类推，表示函数f在x变量上的变化率增加到一定程度之后，又开始重新变化。
以上就是关于高阶导数的符号的一介绍，从中可以看到，用越高阶的导数去表示函数的变化率，表达的意义会越深入。
希望能帮助大家对高阶导数有更深刻的理解。
高阶导数的应用
高阶导数的应用导数是微积分中非常重要的概念之一，在很多实际问题中都有广泛的应用。
而高阶导数则是导数的进一步延伸，它们在物理学、工程学、经济学等领域中都有着重要的应用。
本文将介绍高阶导数的概念、性质和一些具体应用。
一、高阶导数的概念和性质高阶导数指的是对函数的导数再次进行求导的过程。
我们知道，函数的导数表示了函数在某一点的斜率，而高阶导数可以理解为斜率的斜率，即函数曲线的曲率。
具体地，对于函数f(x)，它的n阶导数表示为f^(n)(x)，读作「f的n阶导数」。
高阶导数具有一些重要的性质。
首先是线性性质，即对于可导函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有如下等式成立：(f(x) + g(x))^(n) = f^(n)(x) + g^(n)(x)(a*f(x))^(n) = a*f^(n)(x)其次是链式法则的扩展。
链式法则是一阶导数的重要性质，它表示了复合函数的导数与内外函数导数的乘积的关系。
同样地，链式法则可以推广到高阶导数。
对于复合函数y = f(g(x))，它的n阶导数可以表示为：(dy/dx)^(n) = (d^n*y)/(dx^n) = (d^n*f(g))/(d(g)^n)通过这些性质，我们可以在实际问题中应用高阶导数。
二、高阶导数的应用举例1. 高精度近似计算在一些科学计算中，我们经常需要对函数进行近似计算，例如在物理模拟和模型优化中。
高阶导数可以帮助我们设计更加精确的数值计算方法。
例如，在牛顿法求根算法中，我们利用一阶导数的信息来不断逼近函数的根。
而在使用牛顿法之外的方法时，我们可以通过使用高阶导数提供的额外信息来改进计算效率和求解稳定度。
2. 最优控制问题在控制论中，最优控制是一个重要的研究领域，它涉及如何在给定约束下寻找使某种性能指标最优化的算法和方法。
高阶导数在最优控制问题中有着广泛的应用。
以优化路径规划为例，我们希望找到一条路径，使得机器人、车辆或其他运动物体在给定起始点和终止点之间达到目标且满足自定义约束。
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§2·3 高阶导数
引例（导数的导数） 函数x y sin =的导数的导数是多少？ 分析 函数x y sin =的导数是
x y cos ='，
它仍然是x 的函数，并且在点x 处可导. 我们对它再求导数，得
x x y sin )(cos )(-='=''.
上述结果就是函数x y sin =的导数的导数，通常称为x y sin =的二阶导数.
定义 若函数)(x f y =的导函数)(x f y '='仍然可导，则我们把)(x f y '='的
导数叫做函数)(x f y =的二阶导数，记作22)(,dx
y
d x f y 或''''，即
⎪⎭
⎫
⎝⎛=''=''''=''dx dy dx d dx y d x f x f y y 22,
])([)(,)(. 相应地，把)(x f y '='叫做函数)(x f y =的一阶导数. 通常对一阶导数不指明它的阶数.
类似地，函数)(x f y =的二阶导数的导数叫做)(x f y =的三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般地，)(x f y =的（1-n ）阶导数的导数叫做
)(x f y =的n 阶导数，分别记作
.
,,,);(,),(),(;
,,,4433)()4()()4(n n n n dx
y d dx y d dx y d x f x f x f y y y 或或
''''''
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
由高阶导数的定义知，求函数)(x f y =的高阶导数，只需多次连接地求导数即可，因此仍可应用前面的求导方法进行计算.
例1 求函数),,(2为常数c b a c bx ax y ++=的二阶导数.
解 对c bx ax y ++=2依次求导，得
,2b ax y +='
a y 2=''.
例2 设ln(1)y x =+，求0
,x x y y ==''
'''
.
解 对ln(1)y x =+依次求导，得
23
112
,,1(1)(1)y y y x x x ''''''=
=-=
+++. 将0x =代入以上各式，得
1,2x x y y ==''
'''
=-=.
例3 设)1,0(≠>=a a a y x ，求)(n y ． 解 ()ln ,x x y a a a ''==
2()''(ln )'ln ,
ln .
x x n x n y a a a a y a a ==
=
即
特别地，e a =时，得
例4 求x y sin =的n 阶导数. 解 )2
sin(cos π
+
=='x x y ，
2
3sin(22cos(),
2
2sin()22
sin()2
cos(π
ππ
π
π
π
⋅+=⋅+='''⋅+=+
+
=+
=''x x y x x x y
一般地，可得
类似地，可求得cos y x =的n 阶导数为
案例1（汽车运行的加速度） 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车行驶的距离s （单位：m ）与时间t (单位：s)满足关系式
319.20.4s t t =-.
求汽车在4t =s 时的速度和加速度.
解 汽车刹车后的速度为
32d (19.20.4)19.2 1.2d s
v t t t t
'=
=-=-. 于是，汽车在4t =s 时的速度为
224
(4)(19.2 1.2)
19.2 1.240t v t ==-=-⨯=（m/s ）.
在物理学中，把物体运动的速度的变化率叫做物体运动的加速度，记作a . 即物体运动的加速度a 是速度v 对时间t 的一阶导数，是路程s 对时间t 的二阶导数，即
22d ()d s
a s t t
''==.
因此，汽车刹车后的加速度为
222d d (19.2 1.2) 2.4d d s v a t t t t
'===-=-.
于是，汽车在4t =s 时的加速度为
4
(4) 2.49.6t a t
==-=-（m/s 2
）.
案例2（利润增长率的变化率） 某工程建设公司承包了一段公路的建设任务，建设周期至少要3年. 如果这一公路的建设有以下两个可供选择的方案模型：
模型1 13()1
t
L t t =
+，
模型2 2
2()21
t L t t =
++， 其中12,L L 是利润（单位：百万元），t 是时间（单位：年）. 问：哪种方案的模型最优？
解 将1t =，2t =依次代入两个模型中，得
1233
(1),(1)22
L L =
=； 127
(2)2,(1)3
L L ==.
即，1年后两个模型的利润额是相等的，2年后第2个模型的利润额大于第1个模型. 这是什么原因呢？下面我们来比较两个模型的利润增长率. 对两个模型分别求导，得
123(1)L t '=+，2
222(1)
t t L t +'=+. 将1t =分别代入上式，得
1233
(1),(1)44
L L ''=
=. 即这时两个模型的利润增长率仍然相等. 因此，需要考察这两个模型利润增长率的变化情况. 对两个模型分别求二阶导数，得
1233
62,(1)(1)
L L t t ''''=-
=++. 将1t =分别代入上式，得
1231(1),(1)44
L L ''''=-=.
以上结果表明，对第一个模型来说，在1t =处，利润增长率1(1)0L '>，但利润增长率的变化率1(1)0L ''<，即利润增长率在减速；对第二个模型来说，因为
2(1)0L '>，2(1)0L ''>，所以利润的增长率在加速.
由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择第二个模型.
1．填空：设2x y =，则
（1）y '= ；（2）y ''= ；（3）y '''= . 2．求下列函数的二阶导数：
4242(1)34 5.(2)(3)
4.
(4)
cos ln .
x y x x y y x y x x =-+==-=
3．求下列函数在指定点的二阶导数：
.
2,11)()
4(.
2
,cos )()
3(.
0,)()2(.2,)2()()1(25-=+-==
====+=x x
x
x f x x x x f x e x f x x x f x π
4．验证：x e y x sin =满足关系式：022=+'-''y y y . 5．设6()(10),(0),(2)f x x f f '''''=+求. 6．求下列函数的n 阶导数：
（1）),,,(2112211都是常数n n n n n n a a a a x a x a x a x y +++++=---. （2）x y 2sin =. （3）x
x
y +-=11. 7. 设质点作直线运动,其运动方程为cos 3
t
s A π= (A 为常数),求该质点在
时刻1=t 时的速度和加速度.
8．质点按规律)(2
1t t
e e s --=
作直线运动,试证它的加速度a 等于s . 9．一子弹射向正上方，子弹离地面的距离s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为2670 4.9s t t =-，求子弹的加速度.
10．1985年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和参议院削减了国防预算. 但是他的对手却反驳道，国会只是削减了国防预算增长的变化率. 即预算仍然在增加，只是预算的增长变缓了. 若用()f x 表示预算关于时间的函数，试判断()f x 的一阶导数和二阶导数的符号.。