FXQ-2航天器的轨道与轨道力学

第谷．布拉赫
约翰．开普勒
2.1.1 开普勒定律 1．第一定律——椭圆律
每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的 一个焦点上。
因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离 太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点， 如图2．1所示。
2．第二定律——面积律 由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的 面积。 在图所示中，S1,S2,S3,S4,S5,S6,分别表示行星运行到 t1,t2,t3,t4,t5,t6, 时刻的位置。如果从S1到S2的时间间 隔和S3到S4 ， S5到S6的时间间隔相等，则矢径扫过的面 积S1OS2, S3OS4, S5OS6也都相等，可表示为 dA/dt=常量
表2.1
2.2.2 二体问题和运动方程 首先，作两个简化假设： (1)物体为球对称的，这样就可以把物体看作质量集 中在其中心。 (2)除了沿两物体中心连线作用的引力外，没有其他 外力和内力作用。 其次，确定一个惯性坐标系(无加速度的和无转动的 坐标系)以便测量物体的运动状态。牛顿描述惯性坐标系 时说：此坐标系固定在绝对空间内，“按其本质来说， 它与外界无任何关系，永远保持那样并且不动”。
rni
(2.5) (2.6)
式中
作用在第i个物体上的所有引力的矢量和 Fg 为
rni ri rn
n Fg Gmi
j 1 j i
mj rji
(rji )
(2.7)
图2.4中所示的其他外力 F其他，包括阻力、推力、太阳辐 射压力、由于非球形造成的摄动力等。作用在第i个物体 上的合力称为 F总 ，其表达式为
2.2.3 轨道运动常数 1．机械能守恒 用 r 与式(2．21)作点乘，且 v r ,v ,得到 r
r r 因为由矢量运算法则 a a a a ，故 vv
并且注意到
r r r 3 r v v 3 r r 0
牛顿
2.1
航天器轨道的基本定律
如果说1642年的圣诞节迎来了理性的时代, 那么完 全是由于有两个人为大约50年后牛顿最伟大的发现奠定 了基础。一个是第谷· 布拉赫, 他几十年如一日,极为细 致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是 约翰· 开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭 示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用 肩膀托起牛顿的“巨人”。
于是，可以将式(2．26)改写为
两边积分得
d d r (r h) ( ) dt dt r
r B r h
r
这里B是积分常矢量。用r点乘该式就得到标量方程
r rB r r h r
r
显然，轨道的几何方程是一个圆锥曲线的极坐标方 程，中心引力体质心即为极坐标的原点，位于一焦点上， 极角v为r与圆锥曲线上离焦点最近的一点与焦点连线间 的夹角，常数p称为“半正焦弦”，常数e称为“偏心 率”，它确定了方程式(2．28)表示的圆锥曲线的类型， 如图2．7所示。
称为比机械能。
于是，可以得出结论：当卫星沿着轨道运行时，卫 星的比机械能 (即单位质量的动能和单位质量的势能 之和)既不增加，也不减少，而是保持常值。 的表达式 为
v 2 r
2
(2．23)
2．角动量守恒 用 叉乘式(2．21)，得到
r
r r 3 r 0 r
(2.14)
r j1
对i=2的情况，方程式(2.13)变成
n m j G 3 (rj 2 ) r2 j 1 j 2
(2.15)
rj 2
根据式(2.6)，有
r21 r1 r2
r21 r1 r2
(2.16)
于是有
(2.17)
至此，可以把航天器的轨道运动总结如下： (1)圆锥曲线族(圆、椭圆、抛物线、双曲线)为二体问 题中的航天器惟一可能的运动轨道。 (2)中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。 (3)当航天器沿着圆锥曲线轨道运动时，其比机械能(单 位质量的动能和势能之和)保持不变。 (4)航天器绕中心引力体运动，当r和v沿轨道变化时， 比角动量h保持不变。 (5)轨道运动总是处在一个固定于惯性空间的平面内。
2.2
二体轨道力学和运动方程
2.2.1 N体问题
为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系， 在该坐标系内，n个质量的位置分别为 r1 , r2 ,, rn .此系 统如图2.4所示。
m 由牛顿万有引力定律得出， n作用在 mi 上的力 Fgn
为
Gmi mn Fgn 3 (rni )
考虑质量分别为M和m的两个物体构成的系统，如图 2．5所示。设 O ' X 'Y ' Z ' 为惯性坐标系，OXYZ为原点在 质量为M的物体质心上的不转动的，且与O ' X 'Y ' Z ' 平行 的坐标系。物体M和m在坐标系内的位置矢量分别为 rM 和 rm，并定义 r rm rM 现在，在惯性坐标系 O ' X 'Y ' Z 内可以应用牛顿定律， '
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.1航天器轨道的基本定律 2.2二体轨道力学和运动方程 2.3航天器轨道的几何特性 2.4航天器的轨道描述 2.5航天器的轨道摄动
第二章
航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄 园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来 告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱 的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的 头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘伊 萨克和汉纳· 牛顿之子伊萨克 ’。虽然没有什么贤人哲 士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界 的思想和习惯。”
r21
j 3
rj 2
rj1
(2.19)
为了进一步简化这一方程，需要确定摄动影响与航 天器和地球间的引力相比有多大。表2．1 列出了一个高 度为370 km的航天器的各相对加速度(不是摄动加速度)，
同时还列出了地球的非球形(偏状)造成的影响，以供比
较。
分析表2．1中的数据容易 看出，围绕地球运行的航天器 受到地球的引力占有主导地位， 因此进一步简化运动方程式 (2．19)，简化N体问题是可能 和合理的。
得到
GMm r m rm r2 r
即
M rM
GMm r r2 r
GM r rm 3
r
得
Gm r rM 3
r
r rm rM
G(M m) r 3 r
（2.20）
方程式(2．20)为二体问题相对运动的矢量微分方程。 考虑到实际情况有
G( M m) GM
为了方便和具有一般性，称M为中心引力体，定义引力参 数 GM 。 于是式(2．20)变为
3 r r
r

0
(2．21)
此即为二体运动方程。对不同的中心引力体， 的值不 同。对于地球， 3.986 012 103 km3 / s 2 ； 对于太阳，
1.327 154 1011 km3 / s 2
r v
h r v
因为
(2．24)
v 的矢量叉积，因此，它必定与包含 r 和 v 的平面正交。但 h 为一恒定矢量，所以 r 和 v必定
h为 r
和 总在同一平面内。由此可以证明航天器的运动必定限制 于一个在空间固定的平面内，称为轨道平面。轨道平面 具有定向性。
2.3 航天器轨道的几何特性
2.3.1 轨道的几何方程 将方程式(2．21)两边同时与h叉乘，有
r
因为 a a 0 总是成立，故上式左边第二项为零，得

注意到
d (r r ) r r r r dt
r 0 r
所以有
d (r r ) 0 或 dt
d ( r v) 0 dt
矢量 必定为一运动常数，简记为 h ，称作比角动 量。至此已经证明了航天器的比角动量 h 沿着其轨道为 一常数， h 的表达式为
n m G 3j (rji ) ri j 1 j i
rji
(2.13)
m 不失一般性，假定 m2为一个绕地球运行的航天器， 1为地 球，而余下的 m3 , m4 , mn 可以是月球、太阳和其他行 星。于是对i=1的情况，写出方程式(2.13)的具体形式， 得到
n m j G 3 (rj1 ) r1 j 2
F总 Fg F其他
(2.8) (2.9) (2.10)
F其他 F阻力 F推力 F太阳压力 F干扰
现在应用牛顿第二运动定律
d (mi vi ) F总 dt

把对时间的导数展开，得到 (2.11) dt dt 如前所述，物体可能不断排出某些质量以产生推力。在 这种情况下，式(2.11)中的第二项就不等于零。某些与 相对论有关的效应也会导致质量 mi 随时间变化。式 mi (2.11)各项除以 mi ，就得出第 i个物体的一般运动方 程为
h 3 r h 3 h r r
r r


(2．26)
考虑到h守恒和矢量运算规则 (a b) c b(a c) a(b c) 及 r r rr , 所以
d r (r h) h r h h r dt

r
3


rr 0
d v ( ) vv dt 2
2
和
d ( ) 2 r dt r r
故
d v2 ( )0 dt 2 r
更具一般性地，上式可以写为 d v2