等腰三角形典型例题

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等腰三角形典型例题练习(含答案)

等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ，则点D 到AB 的距离为（）2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（）二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于_________ ．三．解答题（共15小题）4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ．5．在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．请说明DE=BD+EC ．6．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB ，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 至E ，使CE=CD ．连接DE ．（1）∠E 等于多少度？（2）△DBE 是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ．9．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于点F ．求证：DF=EF ．A ． 5cmB ． 3cmC ． 2cmD ．不能确定 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 310．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．（1）求证PE+PF=CH．（2）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（3）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．（4）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2,求CD的长（请你直接写出结果）．12．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．13．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．14．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．15．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=5cm ，BD=3cm ，则点D 到AB 的距离为（）A ． 5cmB ． 3cmC ．2cm D ．不能确定考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于D 到AC 的距离即CD 的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D∴D 到AB 的距离即为CD 长CD=5﹣3=2故选C ．2．如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N ．给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN ∥AB 其中正确结论的个数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD 和△BCE 是等边三角形，根据SAS 易证得△ACE ≌△DCB ，即可得①正确；由△ACE ≌△DCB ，可得∠EAC=∠NDC ，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA ，可证得△ACM ≌△DCN ，即可得②正确；又可证得△CMN 是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ACD 和△BCE 是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC ，EC=BC ， ∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB ，即∠ACE=∠DCB ，∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=BD ，故①正确； ∴∠EAC=∠NDC ，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°， ∵AC=DC ，∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴CM=CN ，故②正确；又∠MCN=180°﹣∠MCA ﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN 是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN ∥AB ，故③正确．故选D ．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于 1：3 ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答：解：∵△ABC 是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=6∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠AFE=∠C∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FE∴△DEF 是正三角形，∴BD ：DF=1：①，①÷②，=，∴DF ：AB=1：，∴△DE故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF ．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．分析：过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N ，根据角理和平角定义求出∠AED=∠CFD ，根据全等三解答：证明：过D 作DM ⊥AB ，于M ，DN ⊥AC 于N即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为A∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠C（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出A解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF ．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=A∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH ．∵S △ABC =AB •CH ，AB=AC ，∴×2CH •CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH ，∴PE=CH ﹣PF=7﹣3=4； ②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH ，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果）．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，求出等边三角形AEF ，证△DEB 和△ECF 全等，求出BD=EF 即可；（3）当D 在CB 的延长线上，E 在AB 的延长线D 在BC 的延长线上时，求出CD=1．解答：解：（1）故答案为：=．（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于F ， ∵等边三角形ABC ，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∴△AEF 是等边三角形，∴AE=EF=AF ，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EF ∵DE=EC ，∴∠D=∠ECD ，∴∠BED=∠ECF ，在△DEB 和△ECF 中，∴△DEB ≌△ECF ，∴BD=E（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A 作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE ，∵AM ∥EN ，∴△AMB ∽△ENB ，∴=，∴∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 则AM ∥EM ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1， ∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE ，。

专题17 等腰(等边)三角形问题(学生版)

备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）专题17 等腰（等边）三角形问题考点扫描☆聚焦中考等腰（等边）三角形问题近几年各地中考主要以填空题或选择题考查，也有解答题出现，难度系数小，较简单，属于低档题；考查的知识点主要有：等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质；考查热点主要有：等腰三角形性质与判定、等边三角形性质与判定、线段垂直平分线的性质.考点剖析☆典型例题（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°2020•青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x ﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为三角形．2023•益阳）如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE ＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数．例4（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（）A．B．6C．8D．例5（2021•宁夏）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（）A．2B．3C．4D．5考点过关☆专项突破类型一等腰三角形的性质与判定1．（2023•南京）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（）A．5B．10C．15D．202．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．140°3．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32°B．58°C．74°D．75°4．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形5．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2B．3C．2D．46．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为．7．（2023•西宁）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是．8．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为．9．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．10．（2023•烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．类型二等边三角形的性质与判定1．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC 的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°2．（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合3．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°4．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．14°B．16°C．24°D．26°5．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（）A．B．C．D．6．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB 与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．7．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．8．（2023•雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为．9．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．10．（2023•武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF 相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是．类型三线段垂直平分线的性质1．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．4．（2021•淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．2B．4C．6D．85．（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．186．（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0B．5C．6D．78．（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．。

等腰三角形典型例题

本次课课堂教学内容知识梳理：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

等腰三角形性质：等腰三角形底角相等等腰三角形两腰相等等腰三角形“三线合一”垂直平分线的性质与判定1.如图，在△ABC中，直线DE垂直平分线段AB，垂足为点E，交BC于点D，连接AD. 已知∠B=60°，∠C=50°，∠CAD的度数为.2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E. 求证：DE=EC.3.如图，在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线.（1）若BC=13，求△AEG的周长；（2）若∠BAC=120°，求∠EAG的度数.4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15 cm，△BCE的周长等于25 cm.（1）求BC的长；（2）若∠A=36°，并且AB=AC.求证：BE=BC.5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，BD=BC，连接CD，过点D作AB 的垂线，交AC于点E，连接BE,交CD于点F．求证：BE垂直平分CD．6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的延长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE 交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上.7.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O. 已知∠ACB=45°，DE=3，BD=CE+1.（1）求边BC的长；（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为28 cm，求OA的长.8. 如图，已知锐角三角形ABC中，AB，AC边的中垂线交于点O，∠A=α（0°＜α＜90°）. （1）求∠BOC的度数；（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.9．如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，过D点分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE=DF．探究发现：如图2，在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E，F分别在AB和AC上”．若∠AED+∠AFD=180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请证明之；若不相等，请举反例说明．10.如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．11．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE=CF；②若AF=6，BC=7，求△ABC的周长．12.如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E，求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．等腰三角形的分类讨论方法指导：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．应用1：当顶角或底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为( )A．40° B．100°C．40°或70° D．40°或100°2．如果等腰三角形的两个内角的度数之比为1:4，那么这个三角形三个内角各是多少度？应用2：当底和腰不确定时，分类讨论3．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( )A．8或10 B．8C．10 D．6或124．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．5．若x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．应用3：当高的位置不确定时，分类讨论6．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．应用4：由腰的垂直平分线引起的分类讨论7．在△AB C中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．应用5：由腰上的中线引起的分类讨论8．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分，求腰长．本次课课后练习1.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC，交AC于点E，AD交BE于点F，若已知AD=AB．（1）求证：∠CAD=∠ABE；（2）求证：AF=DF．2．数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题；（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．3．【定义】数学课上，陈老师对我们说：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这条线段就称为这个三角形的“好线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】（1）如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数；（2）如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（3）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形中最大内角的所有可能值为____________________________________________；（4）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在边BC上，点E 在边AB上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．。

专题04 等腰(直角)三角形共点综合探究问题(老师版)

专题4等腰(直角)三角形共点综合探究问题【典型例题】1．（2021·福建·龙岩二中八年级期中）问题发现：(1)如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE，①求证：△ACD ≌△BCE ；②求∠AEB 的度数．(2)拓展探究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高交AE 于M ，连接BE ．请求∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②∠AEB ＝60°(2)∠AEB ＝90°，AE ＝BE +2CM ．理由见解析【解析】【分析】（1）①先证明,ACD BCE ∠=∠SAS 证明△ACD ≌△BCE 即可；②先求解120,ADC ∠=︒由△ACD ≌△BCE 可得∠ADC ＝∠BEC ，再利用角的和差关系可得答案；（2）先证明,135,ACD BCE ADC Ð=°V V ≌再结合全等三角形的性质与等腰直角三角形的性质可得90,AEB ∠=︒由,CM DE ^结合等腰直角三角形的性质，可得,CM DM EM ==结合全等三角形的性质可得2.AE BE CM =+(1)证明：①∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD ＝60°﹣∠DCB ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．解：②∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝60°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC ＝120°，∴∠BEC ＝120°．∴∠AEB ＝∠BEC ﹣∠CED ＝60°．(2)解：∠AEB ＝90°，AE ＝BE +2CM ．理由如下：如图2所示：由题意得：,CM DE ^∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°．∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，CA CB ACD BCE CD CEì=ïïÐ=Ðíï=ïî，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC ．∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝45°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC ＝135°，∴∠BEC ＝135°．∴∠AEB ＝∠BEC ﹣∠CED ＝90°．∵CD ＝CE ，CM ⊥DE ，∴DM ＝ME ．∵∠DCE ＝90°，∴DM ＝ME ＝CM ．∴AE ＝AD +DE ＝BE +2CM ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，确定每一问中的两个全等三角形是解本题的关键.【专题训练】一、解答题1．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期末）ABC ，CDE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点E 在AB 上；(1)求证：CDA CEB △△≌；(2)若4BC =，2AD =，求DCE 的面积．【答案】(1)见详解；(2)5．【解析】【分析】（1）利用SAS 证明CDA CEB △△≌即可；（2）过点E 作EF ⊥BC 于点F ，在Rt F C E ∆中求出EC ，再根据三角形面积公式求出即可．(1)证明：ABC ∆，CDE △均为等腰直角三角形，∴AC =BC ，EC =DC ，∠ACB =∠ECD =90︒，∴∠ACB －∠ACE =∠ECD -∠ACE ，即：∠BCE ＝∠ACD ，∴CDA CEB △△≌（SAS ）(2)解：由（小问1）知，BE =AD 2过点E 作EF ⊥BC 于点F ，B 45∠=︒，222BF EF BE +=BF EF ∴=，222=2BF EF +，1EF ∴=413FC BC BF ∴=-=-=，22221310EC EF FC ∴=+=+=Δ11·1010522ECD S EC DC ∴===．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质及求三角形的面积，过点E 作EF ⊥BC 是解决本题的关键．2．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）如图，在等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为线段AD 上一点，以BE 为一边且在BE 下方作等边△BEF ，连接CF ．(1)求证：△ABE≌△CBF；(2)直接写出∠ACF的度数=_______．【答案】(1)见解析(2)90°【解析】【分析】（1）根据△ABC和△BEF是等边三角形，可得AB=BC，EB=BF，∠ABE=∠CBF，即可求证；（2）根据等边三角形的性质可得∠BAE=30°，∠ACB=60°，再有△ABE≌△CBF，可得∠BCF=∠BAE=30°，即可求解．(1)证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，∵△BEF是等边三角形，∴EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，∴∠ABE=∠CBF，在△ABE和△CBF，∵AB=BC，∠ABE=∠CBF，EB=BF，∴△ABE≌△CBF(SAS)；(2)解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=30°，∠ACB=60°，∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF=∠BAE=30°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．3．（2021·上海金山·七年级期末）如图，已知△ACM是等边三角形，点E在边CM上，以CE为边作等边△CEF，联结AE并延长交CF的延长线于点N，联结MF并延长交AC的延长线于点B，联结BN．(1)说明△ACE≌△MCF的理由；(2)说明△CNB为等边三角形的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）由△ACM 和△CEF 是等边三角形，得CA =CM ，CE =CF ，∠ACM =∠ECF =60°，再利用SAS 即可证出△ACE ≌△MCF ；（2）由△ACE ≌△MCF ，得∠CAE =∠CMF ，由∠ACN =∠ACM +∠ECF =120°，∠MCB =180°-∠ACM =120°，可得∠ACN =∠MCB ，再利用ASA 证出△ACN ≌△MCB ，得到CN =CB ，再由∠BCN =180°-∠ACM -∠ECF =60°，即可证明△CNB 是等边三角形．(1)证明：△ACM 和△CEF 是等边三角形，∴CA =CM ，CE =CF ，∠ACM =∠ECF =60°，在△ACE 和△MCF 中，CA CM ACE MCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△MCF （SAS ）；(2)解：∵△ACE ≌△MCF （SAS ），∴∠CAE =∠CMF ，∵∠ACN =∠ACM +∠ECF =120°，∠MCB =180°-∠ACM =120°，∴∠ACN =∠MCB ，在△ACN 与△MCB 中，CAM CMB CA CM ACN MCB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACN ≌△MCB （ASA ），∴CN =CB ，∵∠BCN =180°-∠ACM -∠ECF =60°，∴△CNB 是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．4．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE 、CD ，点M 、N 、P 分别是BE 、CD 、BC 的中点，连接DE 、PM 、PN 、MN．（1）观察猜想：图①中PMN ∆是三角形（填“等腰”或“等边”）；（2）探究证明：如图②，ADE ∆绕点A 按逆时针方向旋转，其他条件不变，则PMN ∆的形状是否发生改变？并说明理由．【答案】（1）等边；（2）PMN ∆的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由见解析．【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线定理证明PM ＝PN ，再证明∠MPN ＝60°即可解决问题；（2）△PMN 的形状不发生改变，仍为等边三角形．如图2中，连接BD ，CE ．证明△ABD ≌△ACE （SAS ），即可解决问题．【详解】（1）结论：PMN ∆是等边三角形．理由：如图1中，ABC ∆是等边三角形，AB AC ∴=，60ABC ACB ∠=∠=︒，AD AE =，BD EC ∴=，PB PC =，CN ND =，BM EM =，//PN BD ∴，//PM EC ，12PN BD =，12PM EC =，PM PN ∴=，60NPC ABC ∠=∠=︒，60MPB ACB ∠=∠=︒，60MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等边三角形，故答案为等边．（2）PMN ∆的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD ，CE ．由旋转可得BAD CAE ∠=∠，ABC ∆是等边三角形，AB AC ∴=，60ACB ABC ∠=∠=︒又AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，BD CE ∴=，ABD ACE ∠=∠，M 是BE 的中点，P 是BC 的中点，PM ∴是BCE ∆的中位线，12PM CE ∴=，且//PM CE ．同理可证12PN BD =且//PN BD ，PM PN ∴=，MPB ECB ∠=∠，NPC DBC ∠=∠，()()120MPB NPC ECB DBC ACB ACE ABC ABD ACB ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒，60MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等边三角形．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．5．（2021·河南·泌阳县第一初级中学八年级期中）△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边在AD 右侧作等腰直角三角形ADF ，使∠DAF ＝90°，连接CF ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时；证明：①BC ⊥CF②BC ＝CD ＋CF(2)如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论（1）中的①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)①BC ⊥CF 成立；②BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：BC ＝DC ﹣CF ．【解析】【分析】（1）①只要证明△ADB ≌△AFC （SAS ），利用全等三角形的性质即可解决问题；②利用全等三角形的性质可得,BD CF =再利用线段的和差可得答案；（2）结论（1）中的①成立．②不成立．结论为：BC ＝CD ﹣DF ．同（1）证明△ABD ≌△ACF （SAS ）即可解决问题．(1)证明：①△ABC 与△ADF 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝DF ，45,45,ABC ACB ADF AFD ∠=∠=︒∠=∠=︒∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，∴△ADB ≌△AFC （SAS ），∴∠ACF ＝∠B ＝45°，∵∠ACB ＝45°，∴∠DCF ＝90°，∴BC ⊥CF ，②∵△ABD ≌△ACF ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD CD CF =+．(2)解：结论①成立．理由：∵△ABC 与△ADF 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠DAB ＝∠FAC ，∴△ABD ≌△ACF （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ，∠ABD ＝∠BAC +∠ACB ，∠ACF ＝∠ACB +∠DCF ，∴∠DCF ＝∠BAC ＝90°，.BC CF \^②不成立，结论的：BC ＝CD ﹣CF∵△ABD ≌△ACF ，∴CF ＝BD ，∴BC ＝DC ﹣BD ＝DC ﹣CF ．【点睛】本题考查考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．6．（2021·江苏兴化·八年级期中）如图1，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =90°，连接BD 、CE ．(1)求证：△ABD ≌△ACE ．(2)如图2，连接CD ，若BD =13，CD =5，DE =12，求∠ADC 的度数．(3)如图3，取BD ，CE 的中点M ，N ，连接AM ，AN ，MN ，判断△AMN 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)45°(3)等腰直角三角形【解析】【分析】（1）根据SAS 证明ABD ACE ∆∆≌即可；（2）通过全等三角形的性质证得BD =CE ，再根据勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质即可求解；（3）根据全等三角形的性质可证得AM =AN ，MAD NAE ∠=∠，由此不难判断△AMN 的形状．(1)证明：90BAC DAE ∠=∠=︒，BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，AB AC AD AE ==，，()ABD ACE SAS ∆∆∴≌(2)解：由（1）知ABD ACE ∆∆≌，BD CE ∴=，13BD =，13CE ∴=，512CD DE ==，，222CD DE CE ∴+=，90CDE \Ð=°，在R t A D E ∆中，AD AE =，45ADE AED ∴∠=∠=︒，’904545ADC CDE ADE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒(3)解：△AMN 是等腰直角三角形，理由如下：由（1）知，ABD ACE ∆∆≌，BD CE ∴=，点M ，N 是BD ，CE 的中点，AM AN ∴=，MD NE=()AMD ANE SSS ∴∆∆≌，MAD NAE ∴∠=∠，90DAE DAN NAE ∠=∠+∠=︒，90DAN MAD ∴∠+∠=︒，90MAN ∴∠=︒，MAN ∴∆是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，根据图形灵活运用图形的性质是解题的关键．7．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），以线段OA 为边在第四象限内作等边△AOB ，点C 为x 轴正半轴上一动点（OC ＞1），连接BC ，以线段BC 为边在第四象限内作等边△CBD ，连接DA 并延长交y 轴于点E ．（1）求证：△OBC≌△ABD．（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）见解析；（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，∠CAD=60°；（3）当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；（2）由△AOB是等边三角形知∠BOA=∠OAB=60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD=∠BOC=60°，根据∠CAD=180°-∠OAB-∠BAD可得结论；（3）由（2）易求得∠EAC=120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，据此得到OC=1+2=3，即可得出点C的位置．【详解】解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，∴∠OBC=∠ABD，在△OBC和△ABD中，∵OB ABOBC ABDCB DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBC≌△ABD（SAS）；（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：∵△AOB是等边三角形，∴∠BOA=∠OAB=60°，∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD=∠BOC=60°，∴∠CAD=180°-∠OAB-∠BAD=60°；（3）由（2）得∠CAD=60°，∴∠EAC=180°-∠CAD=120°，∴∠OEA=∠EAC-90°=30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，∴AE=2，∴AC=AE=2，∴OC=1+2=3，∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．8．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD 在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE AEQ PDA AQ AP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE∴AE =PD ；AD =QE ∴DE =BP又∵AD =BD ∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDFEFQ DFB EQ DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF ∴BP =2DF 当点P 在DB的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD=∴DF=27 AD∴PB=2×27BD=47BD∴PB BD=47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．。

等腰三角形典型题解析

B
E
∴△ABC≌△AED（SAD） ∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）
C FD
又∵△ACD 中 AF 是 CD 边的中线（已知）
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∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）
三、练习
（一）、选择题
1．等腰三角形的对称轴是（）
A．顶角的平分线
B．底边上的高
C．底柱 BD、DE 要多长？
B D
以发现在 Rt△AED 与 Rt△ACB 中，由于∠A=30°， A E C
1
1
AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= AB．
2
4
[例]等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a，求腰上的高．
分析：观察图形可
1
所以 DE= AD， BC=
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A D
E
B
C
答案： 10．60°或 120° 11．∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°， ∴在 Rt△ADC 中 CD=2AD， ∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，
⊥CD.
分析：要证明 AF⊥CD，而点 F 是 CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接 AC、
AD，证明 AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．
在△ABC 和△AED 中
证明：连接 AC、 AD A
AB AE(三三 ) ABC AED(三三 ) BC ED(三三 )
等边三角形
一、复习知识要点
1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

易错05 等腰三角形中分类讨论漏解从而产生易错(解析版)-2021学年八上期末提优训练

12020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）易错05 等腰三角形中分类讨论漏解从而产生易错【典型例题】1．（2020·信阳市商城思源实验学校八年级月考）（1）发现：如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =______，BC =_______．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（-1，-4），点B 为平面内一点．若△AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标【答案】（1）AC ＝DE ，BC ＝AE ；（2）35，22⎛⎫ ⎪⎝⎭或53,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （1）∵△ABC ≌△DAE ，∴AC ＝DE ，BC ＝AE ；（2）分两种情况：①过点A 作AC ⊥y 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ，如图3所示：则∠C ＝90°∵点A 坐标为（﹣1，﹣4）∴AD ＝1，OD ＝CE ＝4，∵∠OBA＝90°∴∠OBE＋∠ABC＝90°∵∠ABC＋∠BAC＝90°∴∠BAC＝∠OBE在△ABC和△BOE中，90C BEOBAC OBE AB BO⎧⎪⎨⎪∠=⎩∠=︒∠∠＝＝∴△ABC≌△BOE（AAS）∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x∴AC＝BE＝x＋1，∴CE＝BE＋BC＝x＋1＋x＝OD＝4，∴35,122 x x=+=∴点B坐标35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，②过点A作AC⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，如下图所示：则∠C＝90°2同理可得：点B坐标53,22⎛⎫--⎪⎝⎭综上所述，点B坐标35,22⎛⎫⎪⎝⎭或53,22⎛⎫--⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是综合运用所学知识，题（2）要分情况讨论．【专题训练】一、填空题1．（2020·长沙市北雅中学八年级月考）若等腰三角形的一个角为80°，则顶角为_________．【答案】80°或20°①当80°的角为等腰三角形的顶角时，其顶角为80°，②当80°的角为等腰三角形的底角时，顶角的度数=180280︒-⨯︒=20°；故它的底角的度数是80°或20°．故答案为：80°或20°．【点睛】34此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，正确解题的关键是分80°的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况讨论．2．（2020·莆田砺志学校八年级月考）如果一个等腰三角形的周长为17，一边长为5，那么腰长为_____．【答案】5或6解：当5是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17-5）÷2=6，能够组成三角形；当5是等腰三角形的腰时，则其底边是17-5×2=7，能够组成三角形．所以，该等腰三角形的腰长为：5或6．故答案为：5或6．【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2020·河南漯河市·八年级月考）在ABC 中，50B ∠=︒，当C ∠=______度时，ABC 是等腰三角形．【答案】65、80、50当∠B 是顶角时，∠C =12（180-∠B ）=65，当∠C 是顶角时，∠C =180-2∠B =80，当∠B 与∠C 都是底角时，∠C =50B ∠=︒，故答案为：65、80、50.【点睛】此题考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和定理.4．（2020·兴化市乐吾实验学校八年级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角的度数为_________．【答案】50°或130°5（1）当三角形是锐角三角形时，如下图．根据题意可知=40CBD ∠︒，∵三角形内角和是180︒，∴在BCD △中，=1809040=50BCD ∠︒-︒-︒︒（2）当三角形是锐角三角形时，如下图．根据题意可知=40CBD ∠︒,同理，在BCD △中，=1809040=50BCD ∠︒-︒-︒︒∵BCD ∠是ABC 的外角，∴=180********ACB BCD ∠︒-∠=︒-︒=︒故答案为50︒或130︒【点睛】本题考察了等腰三角形性质和三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用，分类讨论该等腰三角形是等腰锐角三角形或等腰钝角三角形是本题的关键．5．（2020·江苏扬州市·八年级月考）在平面直角坐标系中，等腰三角形AOB的顶点A的坐标为（2，2），底为OA，且B在坐标轴上，则B的坐标为___．【答案】（2，0），（0，2）如图，作AO的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点B、B′，则点B、B′就是符合条件的点，连接AB、AB′，∵A的坐标为（2，2），∵OA平分∵BOB′，∵∵BOE=∵B′OE=45°，∵BB′垂直平分OA，∴OB=AB，∠OEB=∠AEB=90°，OE=AE，∵∵OBE=90°-∵BOE=45°，∵∵OEB≌∵AEB，∵∵ABE=∵OBE=45°，∴∠OBA=90°，∵∵AOB是等腰直角三角形，∵OB=AB=2，∵B（2，0），同理，B'（0，2），67故答案为：（2，0），（0，2）．【点睛】本题考查了的等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；熟练掌握等腰三角形的顶角顶点一定在底边的垂直平分线上是比较关键的．6．（2020·哈尔滨市虹桥初级中学校八年级月考）已知在ABC 中，AB AC =，BD 为AC 边上的高，50ABD ∠=︒，则ACB =∠________．【答案】20︒或70︒解：①当AC 边上的高BD 在ABC 外部时，如图：∵BD 为AC 边上的高∴90ADB ∠=︒∵50ABD ∠=︒8∴9040BAD ABD ∠=︒-∠=︒∴40ABC ACB BAD ∠+∠=∠=︒∵AB AC = ∴()1202ACBABC ABC ACB ∠=∠==∠+∠=︒； ②当AC 边上的高BD 在ABC 内部时，如图：∵BD 为AC 边上的高∴90ADB ∠=︒∵50ABD ∠=︒∴9040BAD ABD ∠=︒-∠=︒∴180140ABC ACB BAD ∠+∠=︒-∠=︒∵AB AC = ∴()1702ACBABC ABC ACB ∠=∠==∠+∠=︒．故答案是：20︒或70︒【点睛】9本题考查了三角形高的定义、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角定理，能根据高的位置进行分类讨论是解决问题的关键．7．（2020·厦门五缘第二实验学校八年级期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数为_____°．【答案】15或75（1）当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，BD 为等腰三角形ABC 腰AC 上的高，并且BD ＝12AB ，根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30°，此时底角为75°；（2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，BD 为等腰三角形ABC 腰AC 上的高，并且BD ＝12AB ，根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，底角为15°．故答案为：15°或75°．【点睛】10此题主要考查等腰三角形的性质；正确的分类讨论是解答本题的关键．8．（2020·阳泉市第三中学校八年级期中）在∵ABC 中，AH 是BC 边上的高，若CH -BH =AB ，∵ABH =78°，则∵BAC =____【答案】63°或39°．解：如图1，当∠ABC 为锐角时，过点A 作AD =AB ，交BC 于点D ，∴∠ADB =∠ABH =78°，BH =DH .∵AB +BH =CH ，CH =CD +DH ，∴CD =AB =AD ，∴∠C =12∠ADB =39°， ∴∠BAC =180°-∠ABH -∠C =63°.如图2：当∠ABC 为钝角时，作AH ⊥BC 于H∵CH -BH =AB ，∴AB +BH =CH ，∴AB =BC ，∴∠BAC =∠ACB =12∠ABH =39°．故答案为：63°或39°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，由于题干没图，分∠ABC为锐角及∠ABC为钝角两种情况成为解答本题的关键．9．（2020·湖北黄冈市·思源实验学校八年级月考）在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为__________【答案】7或11①当15是腰长与腰长一半时，1152AC AC+=，解得10AC=，∴底边长1121072=-⨯=；三边长为：10，10，7；②当12是腰长与腰长一半时，1122AC AC+=，解得8AC=，∴底边长1158112=-⨯=，三边长为：8，8，11；经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长等于7或11．故答案为：7或11．1112【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验是否符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键．10．（2020·成都金苹果锦城第一中学八年级期中）如图，A 、B 两点的坐标分别为()2,4，()6,0，点P 是x 轴上一点，且ABP △为等腰三角形，则点P 的坐标为_________．【答案】(2,0)或(2,0)-或(6+或(6-∵ABP △为等腰三角形，∵当AB BP =时，如图∵，∵AB ==∵BP =∵(6,0)B ，∵(6P +或(6P -；∵当AB AP =时，如图∵13作AC BP ⊥于C 点，则(2,0)C ，∵AB AP =，∵BC CP =， ∵624BC =-=，∵4CP =，∵(2,0)P -．∵当AP BP =时，如图∵，作AP BP ⊥，∵4AP BP ==，∵(2,0)P ．综上所述：点P 的坐标为(2,0)或(2,0)-或(6+或(6-，故答案为：(2,0)或(2,0)-或(6+或(6-．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键．。

专题04 等腰(直角)三角形共点综合探究问题(学生版)

《等腰三角形的判定》练习

《等腰三角形的判定》练习第一篇范文：等腰三角形经典练习题等腰三角形练习知识梳理说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。

知识点4：等腰三角形的推论1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

知识点5：等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

一、知识点回顾等腰三角形的性质：△ABC中，AB=AC．点D在BC边上（1）∵AB=AC，∴∠_____=∠______；（即性质1）（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2）（3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）（4）∵AB=A C，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2）等腰三角形的判定：△ABC中，∵∠B=∠C ∴_____=_____．二、基础题第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．第2题. 在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（）A．2B．3C．4D．5第3题. 如图1，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）B知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

等腰三角形典型例题

等腰三角形典型例题【例1】如图所示，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数。

ACB D思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。

解：∵AB=CD（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）同理：∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA设∠B为X0，则∠C=X0，∠BAD=X0∴∠ADC=2X0，∠CAD=2X0在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800∴X+2X+2X=180∴X=36答：∠B的度数为360注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。

练习1：如图所示，在△ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=290，则∠A=__＿练习2：如图在△ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求△ABC 各角的度数？【例2】如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC 。

求证：AO ⊥BC思路点拨：要证AO ⊥BC ，即证AO是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO 是顶角的平分线即可。

B证明：延长AO 交BC 于DAB=AC （已知）在△ABO 和△ACO 中 OB=OC （已知） AO=AO（公共边） ∴△ABO ≌△ACO （SSS ） ∴∠BAO=∠CAO即∠BAD=∠CAD （全等三角形的对应角相等）∴AD ⊥BC ，即AO ⊥BC （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）评注：本题用两次全等也可达到目的.。

练习：如图所示，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE 求证：BD=CE【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上C的高。

思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。

解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线压轴题三种模型全攻略(解析版)

解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】1如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，过D 作直线DE 交直线AB 与E ，过D 作直线DF ⊥DE ，并交直线AC 与F ．(1)若E点在线段AB 上(非端点)，则线段DE 与DF 的数量关系是；(2)若E 点在线段AB 的延长线上，请你作图(用黑色水笔)，此时线段DE 与DF 的数量关系是，请说明理由．【答案】(1)DE =DF(2)图见解析，DE =DF ，理由见解析【分析】(1)连接AD ，先根据等腰直角三角形的性质可得AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°，AD ⊥BC ，再根据垂直的定义、等量代换可得∠BDE =∠ADF ，然后根据三角形全等的判定证出△BDE ≅△ADF ，根据全等三角形的性质即可得出结论；(2)分①当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，②当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时两种情况，参考(1)的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．【详解】(1)解：如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°,AD ⊥BC ，∴∠BDE +∠ADE =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠ADF+∠ADE =90°，∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠B =∠DAFBD =AD ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≅△ADF ASA ，∴DE =DF ，故答案为：DE =DF ．(2)解：DE =DF ，理由如下：①如图，当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =BD ,∠ABD =∠DAC =45°,AD ⊥BC ，∴∠DBE =∠DAF =135°,∠ADF +∠BDF =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠BDE +∠BDF =90°，∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠DBE =∠DAFBD =AD ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≅△ADF ASA ，∴DE =DF ；②如图，当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时，如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =CD ,∠ACD =∠DAB =45°,AD ⊥BC ，∴∠DCF =∠DAE =135°,∠ADE +∠CDE =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠CDF +∠CDE =90°，∴∠ADE =∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，∠DAE =∠DCFAD =CD ∠ADE =∠CDF，∴△ADE ≅△CDF ASA ，∴DE =DF ；综上，线段DE 与DF 的数量关系是DE =DF ，故答案为：DE =DF ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．【变式训练】1如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =a ，点E 为边AC 上任意一点，点D 为AB 的中点，过点D 作DF ⊥DE 交BC 于点F ．求证：CE +CF为定值．【答案】证明见解析【分析】连接CD ，证明△CDE ≌△BDF ，得CE =BF ，进一步证明CE +CF =BC =AC =a ，从而得到结论．【详解】证明：连接CD ，如图，∵△ABC 是等腰直角三角形，且D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，CD 平分∠ACB ，AD =BD =CD∴∠DCA =∠DCB =∠DBC =45°又DE ⊥DF∴∠EDC +∠FDC =90°而∠FDC +∠FDB =90°∴∠EDC =∠FDB在△CDE 和△BDF 中，∠DCE =∠DBFCD =CD∠EDC =∠BDF∴△CDE ≌△BDF∴CE =BF∵BC =AC =a ∴CE +CF =BE +CF =BC =AC =a ，故：CE +CF 为定值．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE =BF 是解答此题的关键．2如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点P 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在边AC ,BC 上，连接PD ,PE ，若PD ⊥PE．(1)求证：PD =PE ；(2)若点D ，E 分别在边AC ,CB 的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证明；(3)在(1)或(2)的条件下，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出∠PEB 的度数(不用说理)；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时∠PEB 的度数为22.5°或67.5°或90°或45°【分析】(1)连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得∠DCP =45°=∠B ，从而得到CP =BP ，再由PD ⊥PE ，可得∠DPC =∠EPB ，可证得△DPC ≌△EPB ，即可求证；(2)连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得∠ECP =45°=∠ABC =∠A =∠ACP ，从而得到CP =AP ，再由∵PD ⊥PE ,CP ⊥AB ，可得∠APD =∠CPE ，可证得△APD ≌△CPE ，即可；(3)根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】(1)明∶连接PC，∵∠ACB =90°,AC =BC ，∴∠A =∠B =45°，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∴∠DCP =45°=∠B ，∴CP =BP ，∵PD ⊥PE ，∴∠DPC +∠CPE =∠CPE +∠EPB =90°，∴∠DPC =∠EPB ，在△DPC 和△EPB 中，∠DCP =∠BPC =PB ∠DPC =∠EPB，∴△DPC ≌△EPB ASA ，∴PD =PE ；(2)解：PD =PE 仍成立，理由如下：连接CP，∵∠C =90°,AC =BC ，∴∠A =∠ABC =45°，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∴∠ECP =45°=∠ABC =∠A =∠ACP ，∴CP =AP ，又∵PD ⊥PE ,CP ⊥AB ，∴∠DPE =∠CPA =90°，∴∠DPE +∠CPD =∠CPA +∠CPD ，∴∠APD =∠CPE ，在△APD 和△CPE 中，∠PAD =∠PCEPC =PA ∠APD =∠CPE，∴△APD ≌△CPE ASA ，∴PD =PE ；(3)解：△PBE 能成为等腰三角形，①当BE =BP ，点E 在CB 的延长线上时，则∠E =∠BPE ，又∵∠E +∠BPE =∠ABC =45°，∴∠PEB =22.5°；②当BE =BP ，点E 在CB 上时，则∠PEB =∠BPE =12180°-45° =67.5°；③当EP =EB 时，则∠B =∠BPE =45°，∴∠PEB =180°-∠B -∠BPE =90°；④当EP =PB ，点E 和C 重合，∴∠PEB =∠B =45°；综上所述，△PBE 能成为等腰三角形，∠PEB 的度数为22.5°或67.5°或90°或45°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点．(1)若∠EOF=90°，两边分别交AC,BC于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边AC和BC上时，求证：OE=OF；②如图2，当点E，F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF，若OE=6，则S△EOF=．(2)如图3，若∠EOF=45°，两边分别交边AC于E，交BC的延长线于F，连接EF，若CF=3,EF=5，试求AE的长．【答案】(1)①见解析；②18(2)2【分析】(1)①由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE=OF；②由“ASA”可证△COE≌△BOF，可得OE=OF=6，即可求解；(2)由“ASA”可证△COF≌△AOH，可得CF=AH=3，OF=OH，由“SAS”可证△EOF≌△EOH.，可得EF=EH=5，即可求解．【详解】(1)①证明：如图1，连接OC，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠=∠B=45°.∵点O为AB的中点，∴∠AOC=∠EOF=90°，∴△AOC和△BOC是等腰直角三角形，∴AO=CO=BO，∴∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF；②解：如图2，连接OC，同理可证：AO=CO=BO，∠ABC=∠ACO=45°，∴∠OCE=∠OBF=135°，∵∠AOC=∠EOF=90°，∴∠COE=∠BOF，∴△COE≌△BOF(ASA)，∴OE=OF=6，×OE⋅OF=18，∴SΔEOF=12故答案为：18；(2)解：如图3，连接CO，过点O作HO⊥FO，交CA的延长线于点H，∵AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点，∴AO=CO=B0,∠AOC=∠FOH=90°,∠BAC=∠BCO=45°，∴.∠COF=∠AOH,∠OCF=∠OAH=135°，∴△COF≌△AOH(ASA)，∴CF=AH=3,OF=OH，∵∠EOF=45°,∠FOH=90°，∴∠EOF=∠EOH=45°，又∵OF=OH,EO=EO，∴△EOF≌△EOH(SAS)，∴EF=EH=5，∴.AE=EH-AH=2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】1如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．(1)如图1，求证：BD=CE；(2)如图2，当AD=CD时，过点C作CM⊥AD于点M，如果DM=2，求CD-BD的值．【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)过A作AH⊥BC于点H，根据三线合一可得：BH=CH，DH=EH，即可证明；(2)过A作AH⊥BC于点H，易证△AHD≌△CMD，可得MD=DH，即可求解．【详解】(1)证明：如图过A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AE，∴DH=EH，∴BD=CE；(2)解：过A作AH⊥BC于点H，在△AHD 和△CMD 中，∠CDM =∠ADH∠CMD =∠AHD =90°CD =AD∴△AHD ≌△CMD AAS ，∴DH =MD ，∴CD -BD =CH +DH -BH -DH =2DH =2MD =4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1如图，△ADB 与△BCA 均为等腰三角形，AD =AB =CB ，且∠ABC =90°，E 为DB 延长线上一点，∠DAB =2∠EAC．(1)若∠EAC =20°，求∠CBE 的度数；(2)求证：AE ⊥EC ；(3)若BE =a ，AE =b ，CE =c ，求△ABC 的面积(用含a ，b ，c 的式子表示)．【答案】(1)20°(2)见解析(3)12a 2+12bc 【分析】(1)先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出∠D =∠DBA =70°，即可由∠CBE =180°-∠DBA -∠ABC 求解；(2)过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，证明△BAF ≌△CBG AAS ，得出AF =BG ，BF =CG ，进而求得∠AEF =∠ACB =45°，∠CEG =∠AEF =45°，即可得出∠AEC =90°，从而得出结论；(3)由(2)可知CG =BF ，AF =EF ，从而有CG =BF =EF -BE =AF -BE ，再根据S △ABC =S △AEB +S △AEC -S △BEC ，则有S △ABC =12BE ⋅AF +12AE ⋅EC -12BE ⋅CG =12BE AF -CG +12AE ⋅EC =12BE ⋅BE +12AE ⋅EC ，即可求解．【详解】(1)解：∵∠EAC =20°，∠DAB =2∠EAC ，∴∠BAD =40°，∵AD =AB ，∴∠D =∠DBA =12180°-∠BAD =12180°-40° =70°，又∵∠ABC =90°，∴∠CBE =180°-70°-90°=20°．(2)证明：过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，∴∠AFB =∠ABC =∠CGB =90°，又∵AD =AB =CB ，∴∠BAC =∠ACB =45°，∠FAB =12∠DAB =∠CAE ，∵∠FAB +∠FBA =∠FBA +∠CBG =90°，∴∠FAB =∠CBG =∠CAE ，∴在△BAF 和△CBG 中，∠BAF =∠CBG∠AFB =∠CGB AB =BC，∴△BAF ≌△CBG AAS ，∴AF =BG ，BF =CG ，∵∠CBG =∠CAE ，设AE 、BC 交于点O ，则∠AEF =180°-∠CBG -∠BOE∠ACB =180°-∠CAE -∠AOC又∠BOE =∠AOC ，∴∠AEF =∠ACB =45°，∴AF =EF =BG ，BF =CG ，∴BF =EG =CG ，∴∠CEG =∠AEF =45°，∴∠AEC =90°，∴AE ⊥EC ．(3)解：由(2)可知CG =BF ，AF =EF ，∴CG =BF =EF -BE =AF -BE ，∵S △ABC =S △AEB +S △AEC -S △BEC ，∴S △ABC =12BE ⋅AF +12AE ⋅EC -12BE ⋅CG ．=12BE AF -CG +12AE ⋅EC =12BE ⋅BE +12AE ⋅EC =12a 2+12bc ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．2已知OP 平分∠MON ，如图1所示，点B 在射线OP 上，过点B 作BA ⊥OM 于点A ，在射线ON 上取一点C ，使得BC =BO ．(1)若线段OA =3cm ，求线段OC 的长；(2)如图2，点D 是线段OA 上一点，作∠DBE ，使得∠DBE =∠ABO ，∠DBE 的另一边交ON 于点E ，连接DE ．①∠OBC =2∠DBE 是否成立，请说明理由；②请判断三条线段CE ，OD ，DE 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)6cm(2)①∠OBC =2∠DBE 成立，理由见解析；②CE =OD +DE ，理由见解析【分析】(1)如图所示，过点B作BH⊥OC于H，由三线合一定理得到OC=2OH，由角平分线的定义得到∠BOA=∠BOH，进一步证明△BAO≌△BHO，得到OH=OA=3cm，则OC=2OH=6cm；(2)①如图所示，过点B作BH⊥OC于H，由三线合一定理得到∠OBC=2∠OBH，同(1)可得△BAO≌△BHO，则∠OBH=∠OBA，由∠DBE=∠ABO，即可推出∠OBC=2∠OBH=2∠DBE；②如图所示，在CE上截取CQ=OD，连接BQ，先证明∠BOD=∠BCQ，进而证明△BOD≌△BCQ，得到BD=BQ，∠OBD=∠CBQ，进一步证明∠EBQ=∠EBD，从而证明△EBD≌△EBQ，得到DE=QE，由CE=CQ+QE可证明CE=OD+DE．【详解】(1)解：如图所示，过点B作BH⊥OC于H，∵BC=OB，BH⊥OC，∴OH=CH，即OC=2OH，∵OP平分∠MON，∴∠BOA=∠BOH，∵BA⊥OM，BH⊥OC，∴∠BAO=∠BHO=90°，又∵OB=OB，∴△BAO≌△BHO AAS，∴OH=OA=3cm，∴OC=2OH=6cm(2)解：①∠OBC=2∠DBE成立，理由如下：如图所示，过点B作BH⊥OC于H，∵BC=OB，BH⊥OC，∴∠OBH=∠CBH，即∠OBC=2∠OBH，同(1)可得△BAO≌△BHO，∴∠OBH=∠OBA，∵∠DBE=∠ABO，∴∠DBE=∠OBH，∴∠OBC=2∠OBH=2∠DBE；②CE=OD+DE，理由如下：如图所示，在CE上截取CQ=OD，连接BQ，∵OB=BC，∴∠BOC=∠BCO，∵△BAO≌△BHO，∴∠BOA=∠BOH，∴∠BOD=∠BCQ，∴△BOD≌△BCQ SAS，∴BD=BQ，∠OBD=∠CBQ，∠OBC，∵∠DBE=12∠OBC，∴∠OBD+∠ODE=12∴∠CBQ+∠ODE=1∠OBC，∴∠EBQ =12∠OBC ，∴∠EBQ =∠EBD ，又∵EB =EB ，∴△EBD ≌△EBQ SAS ，∴DE =QE ，∵CE =CQ +QE ，∴CE =OD +DE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】1如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 的中点，过点E 作FG ⊥AD 交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF =AG ；(2)BF =CG ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据ASA 证明△AHF ≌△AHG ，即可得出AF =AG ；(2)过点C 作CM ∥AB 交FG 于点M ，由△AHF ≌△AHG 可得∠AFH =∠G ，根据平行线的性质得出∠CMG =∠AFH ，可得∠CMG =∠G ，进而得出CM =CG ，再根据据ASA 证明△BEF ≌△CEM ，得出BF =CM ，等量代换即可得到BF =CG ．【详解】(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAH =∠GAH ，∵FG ⊥AH ，∴∠AHF =∠AHG =90°，在△AHF 和△AHG 中，∠FAH =∠GAHAH =AH ∠AHF =∠AHG，∴△AHF ≌△AHG ASA，∴AF =AG ；(2)证明：过点C 作CM ∥AB 交FG 于点M ，∵△AHF ≌△AHG ，∴∠AFH =∠G ，∵CM ∥AB ，∴∠CMG =∠AFH ，∴∠CMG =∠G ，∴CM =CG ，∵E 是BC 的中点，∴BE =CE ，∵CM ∥AB ，∴∠B =∠ECM ，在△BEF 和△CEM 中，∠B =∠ECMBE =CE ∠BEF =∠CEM，∴△BEF ≌△CEM ASA ，∴BF =CM ，∴BF =CG ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1如图所示，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A =∠ABD ，若BD =1，BC =3，求：线段AC的长．【答案】5【分析】延长BD 交AC 于点E ，由题意可推出BE =AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC =CE ，AE =BE =2BD ，根据BD =1，BC =3，即可求出AC 的长度．【详解】解∶延长BD 交AC 于点E ，∵∠A =∠ABD ，∴BE =AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∴∠BDC =∠EDC =90°，∴∠BCD +∠EBC =∠ECD +∠BEC =90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD =∠ECD ，∴∠EBC =∠BEC ，∴BC =CE，∵BE ⊥CD ，∴BE =2BD ，∵BD =1，BC =3，∴BE =2，CE =3，∴AE =BE =2，∴AC =AE +EC =2+3=5．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．2如图，AD 为△ABC的角平分线．(1)如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB =8，AC =5．则BE =．(2)如图2，若∠C =2∠B ，点E 在AB 上，且AE =AC ，AB =a ，AC =b ，求CD 的长；(用含a 、b 的式子表示)(3)如图3，BG ⊥AD ，点G 在AD 的延长线上，连接CG ，若△ACG 的面积是7，求△ABC 的面积．【答案】(1)3(2)a -b(3)14【分析】(1)利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得出AE =AC =5，再利用BE =AB -AE 即可求得答案；(2)利用SAS 证明△AED ≌△ACD ，得出∠AED =∠C ，ED =CD ，由题意可得出BE =AB -AE =a -b ，再利用等角对等边证得DE =BE ，即可得出答案；(3)延长AC 、BG 交于H ，先证明△ABG ≌△AHG ，得出：BG =GH ，S △ABG =S △AHG ，利用等底等高的两个三角形面积相等可得S △CBG =S △CGH ，设S △CBG =S △CGH =x ，即可得出答案．【详解】(1)解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAF =∠CAF ，∵CE ⊥AD ，∴∠AFE =∠AFC =90°，在△AEF 和△ACF 中，∠EAF =∠CAFAF =AF ∠AFE =∠AFC，∴△AEF ≌△ACF ASA ∴AE =AC =5，∵AB =8，∴BE =AB -AE =8-5=3；故答案为：3．(2)解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD =∠CAD ，在△AED 和△ACD 中，AE =AC∠EAD =∠CAD AD =AD，∴△AED ≌△ACD SAS ，∴∠AED =∠C ，ED =CD ，∵AE =AC ，AB =a ，AC =b ，∴BE =AB -AE =a -b ，在△BDE 中，∠AED =∠B +∠BDE ，∴∠C =∠B +∠BDE ，∵∠C =2∠B ，∴∠B =∠BDE ，∴DE =BE =a -b ，∴CD =a -b ；(3)解：如图，延长AC 、BG 交于H ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAG =∠HAG ，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB =∠AGH =90°，在△ABG 和△AHG 中，∠BAG =∠HAGAG =AG ∠AGB =∠AGH，∴△ABG ≌△AHG ASA ,∴BG =GH ，S △ABG =S △AHG ，∴S △CBG =S △CGH ，设S △CBG =S △CGH =x ，∵S △ACG =7，∴S △AGH =S △ACG +S △CGH =7+x ，∴S △ABG =S △AHG =7+x ，∴S △ABH =27+x =14+2x ，∴S △ABC =S △ABH -S △CBG +S △CGH =14+2x -x +x =14．【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 是BC 边上的一个动点，连接AD 并延长，过点B 作BF ⊥AD 交AD 延长线于点F．(1)如图1，若AD 平分∠BAC ，AD =6，求BF 的值；(2)如图2，M 是FB 延长线上一点，连接AM ，当AD 平分∠MAC 时，试探究AC 、CD 、AM 之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，连接CF ，①求证：∠AFC =45°；②S △BCF =354，S △ACF =21，求AF 的值．【答案】(1)3(2)AC +CD =AM ，理由见解析(3)①证明见解析；②12【分析】(1)如图，分别延长AC ，BF 交于点E ．证明△ADC ≌△BEC ASA ，得到BE =AD =6，再证明△ABF ≌△AEF ，即可得到BF =EF =12BE =3；(2)如图，分别延长BF ，AC 交于点E ，由(1)可得△ACD ≌△BCE ，得CD =CE ，再证△AFM ≌△AFE 得到AM =AE ，由此可得结论；(3)如图所示，在AD 上截取AH =BF ，证明△ACH ≌△BCF ，得到CH =CF ，∠ACH =∠BCF ，进一步证明∠HCF =90°，则∠CFH =∠CHF =180°-∠HCF 2=45°；②如图所示，过点C 作CG ⊥HF 于G ，则△CGH 、△CGF 都是等腰直角三角形，可得GH =GF =GC ，由全等三角形的性质得到S △ACH =S △BCF =354则S △CHF =S △ACF -S △ACH =494，据此求出HF =7，则CG =3.5，进一步求出AH =5则AF =AH +HF =12．【详解】(1)解：如图，分别延长AC ，BF 交于点E ．∵BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠ACB=90°，又∵∠ADC =∠BDF ，∴∠DAC =∠EBC ．在△ADC 和△BEC 中，∠DAC =∠EBCAC =BC∠ACD =∠BCE =90°∴△ADC ≌△BEC ASA ．∴BE =AD =6；∵BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠AFE =90°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAF =∠EAF ．在△ABF 和△AEF 中，∠BAF =∠EAFAF =AF∠AFB =∠AFE∴△ABF ≌△AEF ASA ．∴BF =EF =12BE =3；(2)解：AC +CD =AM ，理由如下：如图所示，延长MF ，AC 交于点E ．由(1)可得，△ADC ≌△BCE ，∴CD =CE ．∵BF ⊥AD ，∴∠AFM =∠AFE =90°，∵AF 平分∠MAE ，∴∠MAF =∠EAF ．在△AMF 和△AEF 中，∠MAF =∠EAFAF =AF∠AFM =∠AFE∴△AFM ≌△AFE ASA ．∴AM =AE ．∵AE =AC +CE =AC +CD ．∴AC +CD =AM ．(3)解：①如图所示，在AD 上截取AH =BF ，在△ACH 和△BCF 中，AH =BF∠CAH =∠CBF AC =BC，∴△ACH ≌△BCF SAS ，∴CH =CF ，∠ACH =∠BCF ，∵∠ACH +∠BCH =90°，∴∠BCF +∠BCH =90°，即∠HCF =90°，∴∠CFH =∠CHF =180°-∠HCF 2=45°；②如图所示，过点C 作CG ⊥HF 于G ，∴∠GCH =GCF =45°，∴△CGH 、△CGF 都是等腰直角三角形，∴GH =GF =GC ，∵△ACH ≌△BCF ，∴S △ACH =S △BCF =354∴S △CHF=S △ACF -S △ACH =494，∴12HF ⋅CG =494，即12HF ⋅12HF =494，∴HF =7，∴CG=3.5，∴1 2AH×3.5=354，∴AH=5，∴AF=AH+HF=12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4(2022春·河北石家庄·八年级校考期中)(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据证明△AOC≌△BOC，则AO=BO，AC= BC(即点C为AB的中点)．(2)【类比解答】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE=．(3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取∠ACB的角平分线CD；②过点A作AD⊥CD于D．已知BC=13，AC=10，△ABC面积为20，则划出的△ACD的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26°(3)BE=12CD，证明见解析(4)△ACD的面积是10013【分析】(1)证△AOC≌△BOC(ASA)，得AO=BO，AC=BC即可；(2)延长AE交BC于点F，由问题情境可知，AC=FC，再由等腰三角形的性质得∠EFC=∠EAC=63°，然后由三角形的外角性质即可得出结论；(3)拓展延伸延长BE、CA交于点F，证△ABF≌△ACD(ASA)，得BF=CD，再由问题情境可知，BE=FE =12BF ，即可得出结论；(4)实际应用延长AD 交BC 于E ，由问题情境可知，AD =ED ，EC =AC =10，则S △ACD =S △ECD ，再由三角形面积关系得S △ACE =1013S △ABC =20013，即可得出结论．【详解】(1)解：∵OP 平分∠MON ，∴∠AOC =∠BOC ，∵AC ⊥OP ，∴∠ACO =∠BCO ，∵OC =OC ，∴△AOC ≌△BOC (ASA )，∴AO =BO ，AC =BC ，故答案为：ASA ；(2)解：如图2，延长AE 交BC 于点F ，由可知，AC =FC ，∴∠EFC =∠EAC =63°，∵∠EFC =∠B +∠DAE ，∴∠DAE =∠EFC -∠B =63°-37°=26°，故答案为：26°；(3)解：BE =12CD ，证明如下：如图3，延长BE 、CA 交于点F ，则∠BAF =180°-∠BAC =90°，∵BE ⊥CD ，∴∠BED =90°=∠BAC ，∵∠BDC =∠ABF +∠BED =∠ACD +∠BAC ，∴∠ABF =∠ACD ，又∵AB =AC ，∴△ABF ≌△ACD (ASA )，∴BF =CD ，由问题情境可知，BE =FE =12BF ，∴BE =12CD ；(4)解：如图4，延长AD 交BC 于E ，由问题情境可知，AD =ED ，EC =AC =10，∴S △ACD =S △ECD ，∵S △ABC =20，∴S △ACE =1013S △ABC =20013，∴S △ACD =12S △ACE =10013，答：△ACD 的面积是10013．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．。

《等腰三角形的判定》练习

《等腰三角形的判定》练习篇一：等腰三角形经典练习题[1] 等腰三角形练习知识梳理说明： ①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。

知识点 4：等腰三角形的推论 1. 推论：推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论 2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。

推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

知识点 5：等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

一、知识点回顾等腰三角形的性质： △ ABC 中，AB=AC．点 D 在 BC 边上（1）∵AB=AC， ∴∠_____=∠______；（即性质 1）（2）∵AB=AC，AD 平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质 2）（3）∵AB=AC，AD 是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质 2）（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质 2）等腰三角形的判定：△ ABC 中，∵∠B=∠C∴_____=_____．二、基础题第 1 题. 已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另两角为________________．第 2 题. 在△ ABC 中， ∠ABC=∠C=2∠A，BD 是∠ABC 的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 第 3 题. 如图 1，△ MNP 中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为 Q，延长 MN 至 G，取 NG=NQ，若△ MNP 的周长为 12，MQ=a，则△ MGQ 周长是（） B 知识点 1：等腰三角形的性质定理 1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ ABC 中，因为 AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取 BC 的中点 D，连接 AD 在△ ABD 1 / 11和△ ACD 中 ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

等腰三角形典型例题练习(含答案)

等腰三角形典型例题练习
1．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，
求证DE=DF．
2．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．
3．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：
DF=EF．
4．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．
（1）∠E等于多少度？
（2）△DBE是什么三角形？为什么？
5、如图，已知△ABC、△DCE都是等边三角形，B、C、E三点在同一直线上.
求证：（1）BD=AE （2）连接FG，说明△FCG是等边三角形.
6、已知：如图，△ABC中，AB=BC=CA，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP=2PQ
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．
P
A
B C
D
E
Q
G
F
B E
A
D
C。

等腰三角形典型例题练习含答案

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性质：两腰相等，底边与两腰之间的比例为固定值
应用：在几何问题和实际问题中，利用等腰三角形的边长比例解决问题
等腰三角形的边长计算
等腰三角形的两腰相等，底边与两腰之间的夹角相等。
等腰三角形的边长关系可以根据勾股定理进行计算。
等腰三角形的高、中线和角平分线等性质可用于计算边长。
等腰三角形的角度关系
第四章
等腰三角形的角度性质
等腰三角形的顶角与底角互补，即它们的角度之和为 180度。
等腰三角形的两个底角相等，即两个角大小相等。
等腰三角形的一个角为顶角，其余两个角为底角，且三个角度之和为180度。
等腰三角形的一个角为底角，其余两个角为顶角，且三个角度之和为180度。
等腰三角形的角度计算
等腰三角形两底角相等，角度和为180度顶角与底角的角度关系：顶角 = 180度 - 2 × 底角度数等腰三角形的高、中线和角平分线重合等腰三角形中的角度计算可以通过三角函数或勾股定理进行求解
等腰三角形的角度证明
等腰三角形两底角相等，证明方法为取等腰三角形ABC，作底边BC的中点D，连接AD，则 ∠BAD=∠CAD。
自然界：蜂巢、蜘蛛网等自然现象中经常出现等腰三角形的形状。
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建筑学：等腰三角形在建筑设计中有广泛的应用，如金字塔、塔楼等。
艺术创作：等腰三角形在绘画、雕塑和图案设计中常被用作基本构图元素。
等腰三角形在实际问题中的应用
桥梁设计：利用等腰三角形的性质，实现桥梁的稳定和平衡建筑结构：等腰三角形在建筑设计中用于增强结构的稳定性机械零件：等腰三角形的特殊性质使其在某些机械零件中具有特殊用途自然界中的等腰三角形：例如蜂巢、蜘蛛网等自然现象中存在等腰三角形的实际应用

等腰三角形知识点+经典例题

第一讲等腰三角形【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.~作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；.(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.(（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质…等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

等腰三角形三线合一典型题型1

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解题思路：首先，由于AB=AC，所以∠B=∠C。再根据等腰三角形的性质，∠B+∠C=∠BAC。由于AD是BC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°。最后，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明。
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解题过程：第一步，由题目已知，AB=AC，所以∠B=∠C。第二步，根据等腰三角形的性质，∠B+∠C=∠BAC。第三步，由于AD是BC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°。第四步，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明。
证明方法：利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理进行证明
典型例题：通过具体例题展示如何运用三线合一的性质解题
注意事项：强调解题时需要注意的细节和易错点
02
等腰三角形三线合一的典型例题解析
题目1解析
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题目描述：一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，D是BC的中点，AD垂直于BC，E是AD上的一点。
等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形高、中线、角平分线三线合一
等腰三角形两底角相等
三线合一的定义
等腰三角形的高、中线、角平分线重合
等腰三角形顶角的角平分线与底边的垂直平分线重合
等腰三角形底边的垂直平分线与顶角平分线重合
三线合一的证明方法
定义：等腰三角形三线合一是指等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线重合
结合题目给出的条件，利用三线合一的性质求解
总结解题思路，强调等腰三角形三线合一的重要性和应用
解题思路三
确定等腰三角形三线合一的条件
利用等腰三角形的性质，将问题转化为求证线段相等或垂直
结合已知条件，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明
总结解题思路，强调等腰三角形三线合一在解题中的应用

等腰三角形典型例题

等腰三角形典型例题
哎呀呀，啥是等腰三角形啊？让我来给你好好讲讲！
我们在数学课上，老师经常提到等腰三角形。

就好像我们班的同学一样，有的高，有的矮，有的胖，有的瘦，可等腰三角形就特别有特点。

比如说，有这么一道题：一个等腰三角形的两条边分别是5 厘米和10 厘米，那它的周长是多少呢？
这可难不倒我！我就想啊，如果5 厘米是腰长，那另一条腰也是5 厘米，可两条腰加起来才10 厘米，这怎么能围成三角形呢？这就好像用两根短木棍和一根长木棍，根本拼不成三角形嘛！所以啊，腰长只能是10 厘米，那周长不就是10 + 10 + 5 = 25 厘米嘛！
还有一道题，一个等腰三角形顶角是80 度，那底角是多少度呢？我马上就想到，等腰三角形两个底角相等，三角形内角和是180 度，那不就是（180 - 80）÷ 2 = 50 度嘛！这多简单！
我同桌还跟我争论，说他觉得不是这样算的。

我就跟他说：“你好好想想，三角形内角和是不变的呀，这不是明摆着的嘛！”
还有一次，老师在黑板上画了一个大大的等腰三角形，问我们：“如果这个等腰三角形的底边长是12 厘米，高是8 厘米，面积是多少？”我马上举手回答：“面积就是12×8÷2 = 48 平方厘米呀！”老师还表扬我了呢！
你说，这等腰三角形是不是很有趣？它就像一个神秘的小宝藏，等着我们去挖掘里面的秘密！
总之，通过这些典型例题，我发现只要认真思考，等腰三角形也没那么难嘛！。

等腰三角形

等腰三角形◆等腰三角形的性质等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成：等边对等角）几何符号语言：在ABC ∆中， ∵AC AB = ∴C B ∠=∠注：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、中线相互重合（简写成：三线合一）几何符号语言：∵AC AB = BC AD ⊥∴DC BD = C A D BAD ∠=∠或；或 .【典型例题】例1．如图，ABC ∆中，AC AB =，D 为BC 上一点，且CE BD =，DC BF =.猜想FDE ∠与A ∠的关系并证明．例2．已知：如图，ABC ∆中，AC AB =，D 为边BC 的中点，AC DE ⊥于E ，AB DF ⊥于F . 求证：DF DE =例3．等腰三角形的一个角等于︒100，则另两个角的度数为（）A ．︒40，︒40B ．︒100，︒20C ．︒50，︒50D ．︒40，︒40或︒100，︒20例4．等腰三角形的顶角是底角的3倍，则底角的度数为（）A ．︒36B ．︒52C ．︒60D ．︒72例5．已知：如图，设P 是等腰直角ABC ∆的直角边AC 的中点，BP AD ⊥于E ，AD 交BC 于D .求证：CPD APB ∠=∠【随堂练习】6-1．如图，ABC ∆中，AC AB =，BD BC =，EB DE AD ==，则A ∠的度数为．6-2．若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（）A ．11cmB ．7.5cmC ．11cm 或7.5cmD ．以上都不对6-3．如图：︒=∠15EAF ，EF DE CD BC AB ====，则DEF ∠等于（）A ．90°B ．75°C ．70°D ．60°6-4．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A ．50°或80°B ． 80°C ．50°D ．20°或80°6-5．如图，ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 中点，下列结论中不正确．．．的是( ) A. C B ∠=∠ B.BC AD ⊥ C.AD 平分BAC ∠ D. BD AB 2=6-6．在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠60CDA ，AC AD ⊥，则BAD ∠的度数为（）A ．︒18B ．︒30C ．︒36D ．︒606-7．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，且AC AE =，BC EF //交AC 于F .求证：CE 平分DEF ∠6-8．如图，在ABC ∆中，BD AD =，CE AE =，且︒=∠110A .求DAE ∠的度数.6-9．五边形ABCDE 中AE AB =，DE BC =，AED ABC ∠=∠，点F 是CD 的中点．•求证：CD AF ⊥◆等腰三角形的判定等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形叫做等腰三角形（等角对等边）几何符号语言：∵C B ∠=∠ ∴AC AB =【典型例题】例6．如图，ABC ∆中，A C ABC ∠=∠=∠2，BD 为ABC ∠的平分线，BC DE //，交AB 于E ，则图中的等腰三角形的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5例7．如图，在四边形ABDC 中，AC AB =，C B ∠=∠.求证：CD BD =例8．如图，ABC ∆中，C B ∠=∠2，AD 是BAC ∠的平分线.求证：BD AB AC +=例9．如图，OA 平分BAC ∠，21∠=∠.求证：ABC ∆为等腰三角形。

专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)

专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【答案】13.5【解析】【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．【详解】如图，连接MA、AD∵EF垂直平分线段AC∴MA=MC∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD∵点D为DC边的中点，BC=3∴1 1.52CD BC==∵AB=AC ∴AD⊥BC∴118 2BC AD⨯=即1318 2AD⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△MCD的周长的最小值为13.5故答案为：13.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．【答案】【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，∴BD=DA=12AB=3，∵∠ABC=30°，∴BP=2PD，即12BP=PD，∵BP2-PD2=BD2，∴BP2-14BP2=32，解得：BP=∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，∴t的值为故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【解析】【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=13 2AB=，∴运动时间t=3311AC==秒，当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=212AB=，∴运动时间t=121211AC==秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______【答案】【解析】【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．【详解】解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，BD Q 平分∠BAC ，△ABC 为等边三角形，BM MC∴=∴BM +MN MC MN =+，当CN AB ⊥时，=MC MN CN +最小等边△ABC 面积为6，CN ∴故答案为：【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝30cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____________秒时，PA 与△ABC 的腰垂直．【答案】5或10【解析】【分析】根据等腰三角形性质求出∠B =∠C =30°，分PA ⊥AC 和PA ⊥AB 两种情况分类讨论，得到BP =10cm 或BP =20cm ，即可求出点P 移动的时间．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B =∠C =30°．如图①，当PA ⊥AC 时，∵∠C =30°．∴PC =2AP ，∠APC =60°，∴∠B =∠BAP =30°，∴AP =BP ，∴PC =2BP ，∴BP =13BC =13×30=10cm ，∴P 点移动了10÷2=5（秒）；如图②当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=23BC=23×30=20cm，∴P点移动了20÷2=10（秒）．故答案为：5或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．【答案】423【解析】【分析】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．【详解】过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，设AP交MN于点D，则PQ MQ =，PR RN =，∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥，当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图∵30BAC ∠=︒，∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒，∴15M N ∠=∠=︒，∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，∴MN BC ∥，2PQ PB ==，同理2PR PC ==，∵⊥AP BC ，∴AP MN ⊥．DP MN∴⊥PQ PR =DQ DR∴=∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，∴Rt PDQ 中，112QD PQ ==∴==2QR DQ =⨯=，∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+．故答案为：4+【点睛】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．【答案】2或2【解析】【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=【详解】解：如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，∵∠ABC =30°，∠ACB =90°，∴2AB AC ==∴BC =，∵D 是BC 的中点，∴1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，∵DF ⊥AB ，∴∠DGB =∠FGB =90°，∴1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，∴4BG ==，∴2332BE BG ==，∴AE AB BE =-=如图2所示，延长FD 与AB 交于点G ，同理可求出1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，∴22BE BG GE BG =+==，∴2AE AB BE =-=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？【答案】(1)PC 52(2)出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形【解析】【分析】（1）勾股定理求得AB 的长，进而根据速度求得出发2秒后BP 的长，Rt BCP △中勾股定理求解即可；（2）由于CP 恰好平分ABC 的周长，则P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，④当P 在AB 上时，若PC ＝PB 时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B →A →C →B ，且速度为2，∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6，∵∠B ＝90°，∴在Rt BCP △中，由勾股定理得PC 22226452BP BC +=+=；(2)P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD AC ⊥，则68 4.810AB BC BD AB ⨯⨯===在Rt BDP △中，22226 4.8 3.6PD PD BD =-=-=在Rt ADB 中，22228 4.8 6.4AD AB BD =-=-=8 6.4 3.610.8BA AP BA AD PD ∴+=+-=+-=即210.8t =解得 5.4t =③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，810612BA PA BA AC PC +=+-=+-=即212t =解得6t =④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，15PA AB ==8513BA AP ∴+=+=得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC的AB边上高为；(2)求BP的长（用含t的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP≌△BCD；(4)当BP：BD=1：2时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0＜t≤3时，PB=6-2t；当t＞3时，PB=2t-6；(3)见解析(4)t的值为2或6．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；（4）利用全等三角形的性质解得即可．(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，∴△ABC的AB边上高=12AB=3，故答案为：3；(2)解：∵AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为62=3（秒），当0＜t≤3时，PB=6-2t，当t＞3时，PB=2t-6；(3)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵∠PCD=90°，CP=CD，∴∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB+∠BCD=90°，∴∠ACP=∠BCD，在△ACP与△CBD中，AC BC ACP BCD CP CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CBD （SAS ）；(4)解：∵△ACP ≌△CBD ，∴AP =BD ，当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当0＜t ≤3时，2t =2(6-2t )，解得：t =2；当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当t ＞3时，2t =2(2t -6)，解得：t =6，综上所述，t 的值为2或6．【点睛】本题是三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD 的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC ∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE PAD AEQ PDA AQ AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE ∴AE =PD ；AD =QE∴DE =BP又∵AD =BD∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDF EFQ DFB EQ DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF∴BP =2DF当点P 在DB 的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD∴DF =27AD∴PB =2×27BD =47BD ∴PB BD =47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 的正度．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△ABC 边上的动点（D 与A ，B ，C 不重合）．（1）若∠A ＝90°，则△ABC 的正度为；（2）在图1，当点D 在腰AB 上（D 与A 、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD ，保留作图痕迹；若△ACD的正度是2，求∠A 的度数．（3）若∠A 是钝角，如图2，△ABC 的正度为35，△ABC 的周长为22，是否存在点D ，使△ACD 具有正度？若存在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）图见解析，∠A =45°（335．【解析】【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是22，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为35，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC∴△ABC2故答案为：2 2；（2）∵△ACD1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为3 5，∴ABBC＝35，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝5，∵CD ＝6，∴DE ＝CD −CE ＝1，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE =在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD =∴△ACD 的正度＝AC AD =②当AD ＝CD 时，如图由①可知：BE ＝5，AE ，∵AD ＝CD ，∴DE ＝CE −CD ＝5−AD ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2−DE 2＝AE 2，即：AD 2−（5−AD ）2＝11，解得：AD ＝185，∴△ACD 的正度＝185365AD AC ==．综上所述存在两个点D ，使△ABD 具有正度．△ABD 35．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF=-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒，∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒，∴AD AF =，在Rt ADB 中，30B ∠=︒，∴22AB AD AF ==；（2）AB AF AE =+，证明如下：如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，∵60BAC ∠=︒，∴AEG △是等边三角形，∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EA BGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示：在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEN △是等边三角形，∴60AEN FNE ∠=∠=︒，∵60CEF AEN ∠=∠=︒∴NEF AEC ∠=∠，在NEF 与AEC △中，60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，=，∴BN AF=-=-，∴AB AN BN AE AF∴AB AE AF=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。

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等腰三角形
1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q．
（1）求证：．
（2）求的度数．
（3）求证：．
【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度
数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要
，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到．
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
即．
在和中，
≌，
．
（2）由（1）知，≌，．
，
即
．（3）在和中，
≌，
，
．
又，
，
即，
．
【点拨】
（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等．
（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等．
2．如图，在中,，，的平分线AM的长15，求BC的长．
【分析】由AM平分，，可得，，则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长．
解：在中，，，
．
AM平分，
，
，
．
在中，，
．
【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法．
3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明．
证明：延长CE、BA交于点F．
，
．
在和中，
≌，
，即．
，
．
在和中，
≌，
，
．
【点拨】
（1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系．
（2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线．
4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G．
求证：DG=GE．
【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论．
证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）．
∴∠DFB=∠ACB．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∴∠B=∠DFB．
∴DB=DF．
∵CE=BD(已知)，
∴DF=CE．
又∠DGF=∠CGE，∠GDF=∠E，
∴△DFG≌△ECG（AAS）．
∴DG=GE．
证法2：过E作EM∥AB交BC延长线于M．
∴∠B=∠M．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∠ACB=∠ECM，
∴∠M=∠ECM．
∴EC=EM．
∵CE=BD(已知)，
∴EM=BD．
在△BDG与△MEG中，
∴△BDG≌△MEG（AAS）．
∴DG=GE．
【点拨】
（1）本题的证明方法很多，其思路是通过利用等腰三角形ABC的底角相等并借助BD=CE条件，构造新的
等腰三角形来寻求结论．
（2）本题在推证含DG、GE为对应边的两个三角形全等时，寻找等边是一个难点，也是本题最易出错的
地方，主要表现为把BD=CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边．
5．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你再设计两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（如图（1））．
（2）图(2)（3）供画图用，作图工具不限，不要求写画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）．
【分析】由于所给三角形是一个含36°的等腰三角形，因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以36°，72°，108°等为内角的等腰三角形即可．
解：本题显然应有多种结果，现提供3种，以供同学们参考，如图中（2）、（3）、（4）；
【点拨】像本例这种图形的分割问题的求解，一方面应把握原图形的特征，借助经验予以解决，另一方面还应大胆尝试，在操作中获得结果．
6．如图，在一个宽度为的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点．将梯子的顶端放于一堵墙上Q点时，Q点离地面的高度为c，此时梯子与地面的夹角为．将梯子顶端放于对面一堵墙上R点，离开地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角
为．可知，为什么？
【分析】由，，可知，又，可知为等边三角形，则，可推得．
证明：连接RQ、RB．
，，
．
又，
为等边三角形，
．
在中，，
，
，
，
在线段PQ的垂直平分线上，
．
在中，，
．
在中，，
，
，即。