湖南省衡阳市2018_2019学年高一数学上学期六科联赛试题

衡阳市第一中学2018～2019年上学期高一六科联赛数学试题命题人: 审核人：考试时量：120分钟 考试总分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1.设集合{}{}1,2,3,42,P Q x x x R ==≤∈，则PQ 等于A. {}1,2B. {}3,4C. {}1D. {}2,1,0,1,2-- 2.下列四个说法正确的是A.两两相交的三条直线必在同一平面内B.若四点不共面，则其中任意三点都不共线.C.在空间中，四边相等的四边形是菱形D.在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形3.已知a 、b 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面.下列选项中说法正确的是( ).①若,a b b α⊂，则a α ②若,a b αα⊥⊥，则b α ③若,a b αβ⊥⊥，则αβ ④若αβ，,a b αβ⊂⊂，则a b A. ①② B.③④ C. ②③ D.③ 4..函数2()ln(1)f x x =+的图像大致是A B C D5设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()3x f x e x =+-，则()f x 的零点个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 6.若27x =，26y =，则4x y -等于( )A.3649 B. 76 C. 67 D. 49367.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD ，正方体的六个面所在的平面与直线ED 、EF 相交的平面个数分别记为m, n ，那么m+n=( )A. 8B. 9C. 10D. 118.如图，L 、M 、N 分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN 与平面PQR 的位置关系是（ ）A.垂直B.相交不垂直C.平行D.重合9. 如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是( )A. 1C.2D. 1210.将半径为3，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积 为( )43π D. 2π11.若三棱锥P-ABC 中，PA⊥平面ABC ，AB⊥BC,，PA =AB=2，AC=三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为A. 12πB. 16πC. 20πD. 24π 12.定文在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23(),()12,4x x x f x g x ax x x x x⎧-+≤≤⎪==+⎨+<≤⎪⎩，对任意1[2,0]x ∈-，存在2[2,1]x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A. 11(,)[,)88-∞-+∞ B. 11[,0)(0,]48- C. (0,8] D. 11(,][,)48-∞-+∞二、填空题(每小题5分，井20分)13.函数()ln(21)f x x =-的定义城为_________.14.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=3，AD=2,，CC 1=1，一条绳子从点A 沿表面拉到点 C 1，则绳子的最短的长度_______.15.正方体AC 1棱长是1，点E 、F 是线段DD 1，BC 1上的动点，则三棱锥E 一AA 1F 体积为___. 16.已知函数()f x 对任意的实数满足：(6)()f x f x +=，且当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =，则()y f x =象与1lg y x=的图象的交 点个数为___________。

三、解答题(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17. (10分)已知集合{}{}23,9A x x B x m x m =-<<=<<+. (1)若A B B =，求实数m 的取值范围: (2)若A B φ≠，求实数m 的取值范围.18.在四面体ABCD 中，过棱AB 的上一点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H（1）求证：截面EFGH 为平行四边形（2）若P 、Q 在线段BD 、AC 上，14DP AQ BD AC ==，且P 、F 不重合，证明：PQ ∥截面EFGH19.如图,在四棱锥P −ABCD 中,底面ABCD 是菱形,∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD ，PD=AD=1，点E ，F 分别为AB 和PD 中点。

(1)求证：直线AF 与EC 所成角的正弦值； (3)求PE 与平面PDB 所成角的正弦值。

20.已知函数2()()log ax x af x -=.（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）()f x 若在区间[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范围.21. 如图,多面体ABCDE 中，四边形ABED 是直角梯形，∠BAD=90°，DE∥AB，△ACD 是的正三角形，CD=AB=12DE=1，（1）求证：△CDE 是直角三角形（2） F 是CE 的中点，证明：BF ⊥平面CDE22.已知函数2()2x x af x b+=+.(1)当4,2a b ==-时，求满足()2x f x =的x 的值；(2)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数()g x 满足()[()2]22x x f x g x -⋅+=-，若对任意x R ∈且x ≠0,不等式()()10g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值。

参考答案一、选择题二、填空题13. 1[2,)2- 14. 1216. 10 三、解答题 17.解答：(1)∵集合{}{}23,9A x x B x m x m =-<<=<<+，A ∪B=B ， ∴A ⊆B ， ∴293m m ≤-⎧⎨+≥⎩，解得−6m ≤≤−2，∴实数m 的取值范围是[−6,−2].(2)∵集合{}{}23,9A x x B x m x m =-<<=<<+， ∴当A ∩B=∅时，3m ≤或者m+9≤−2， 解得m ≥3或m ≤−11， ∴A ∩B ≠∅时，−11<m<3， ∴实数m 的取值范围是(−11,3).18.（1）证明：， ∵AD ∥平面EFGH ，平面ADB 平面EHGH=EF ，AD ⊂平面ABD ，∴AD ∥EF∵AD ∥平面EHGH ，平面ADC 平面EHGH=GH ，AD ⊂平面ADC ， . ∴AD ∥GH由平行公理可得EF ∥GH 同理可得EH ∥FG∴四边形EFGH 为平行四边形.（2）如图在CD 上取点M ，使14DP DM BD DC ==，连接MQ 则PM ∥BC ∥FG ，14AQ DM AC DC ==，则QM ∥AD ∥HGPM QM=M ∴平面PMQ ∥平面EHGH∵PQ ⊂平面PMQ ∴PQ ∥截面EFGH19. 证明：作FM∥CD 交PC 于M. ∵点F 为PD 中点,∴FM=12CD. ∴AE=12AB=FM ， ∴AEMF 为平行四边形,∴AF∥EM， ∠MEC 为直线AF 与EC 所成角或其补角。

MC=2，ΔMEC 为Rt ΔMEC sin∠MEC=MC EC == (2)连接AC ，BD 交于O ，连接EG ∵点E ，O 分别为AB 和AC 中点。

∴AO∥EG， ∵AC⊥平面PBD ， ∴EG⊥平面PBD ，根据直线与平面所成角的定义可得：∠EPG 为PE 与平面PDB 所成角， Rt△EGP 中,AO=2，EG=4，，=，=，20.解 答：（1）当12a =时，21()212()log x x f x -=，要使函数有意义需：2102x x ->，即220x x ->，解得：2x >或0x <，所以函数定义域为或(,0)(2,)-∞+∞，设函数212u x x =-，函数开口向上，所以函数在(,0)-∞上单调递减，在上(2,)+∞单调递增，因为12log u 为单调递减函数，所以函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞， 函数的单调递减区间为(2,)+∞.综上所述，结论是：函数的单调递减区间为(2,)+∞，单调递增区间为(,0)-∞。

（2）由题意可知：0a >且1a ≠，设2u ax x =-，函数对称轴为：12x a=，函数开口向上，当1a >时，因为log ua y =为关于变量u 的递增函数，所以要使函数()f x 在[2,4]上是增函数，需要：122x a =≤且20ax x ->在[2,4]上恒成立，由122x a =≤可得：14a ≥，由20ax x ->在[2,4]上恒成立可得： 2220a ⨯->，即12a >时20ax x ->在[2,4]上恒成立，即1a >，当01a <<时，因为log ua y =为关于变量u 的递减函数，所以要使函数()f x 在[2,4]上单调递增，需要142x a =≥且20ax x ->在[2,4]上恒成立，由142x a =≥可得：18a ≤，由20ax x ->在[2,4]上恒成立可得：2220a ⨯->即14a >时2220a ⨯->在[2,4]上恒成立，不存在综上所述，结论是：(1,)a ∈+∞21.证明（1）∵∠BAD=90°∴AB ⊥AD△ACD 是的正三角形，CD=AB=1，∴△ABC 是直角三角形，AB ⊥AC ∴AB ⊥平面ACD ∵DE ∥AB∴DE ⊥平面ACD ∴△CDE 是直角三角形证明：（2）取CD 中点M ，连接AM 、MF. ∵F 是CE 的中点 ∴AMFB 是平行四边形 ∴MF ∥AB ，AM ∥BF ∴MF ⊥平面ACD ∵MF 在平面ECD 内 ∴平面CDE ⊥平面ACD∵△ACD 是的正三角形，M 是CD 中点 ∴AM ⊥CD平面CED ∩平面ACD=CD,∴AM ⊥面CDE ， ∵AM ∥BF ， ∴BF ⊥⊥平面CDE22. 解答：(1)当4,2a b ==-时，24()222x x x f x +==-.即2(2)3240x x -⋅-=， 解得：24x =或2x =−1(舍去)， ∴x =2；(2)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，即2222x x x xa ab b--++=-++， 即()(22)220x x a b ab -++++=， 解得：1,1a b ==-，或1,1a b =-= 经检验1,1a b =-=满足函数的定义域为R ，∴21()21x x f x -=+.当x ≠0时,函数()g x 满足()[()2]22x x f x g x -⋅+=-， ∴()[()2]22x x f x g x -⋅+=-,(x ≠0)， 则()22x x g x -=+，不等式(2)()10g x m g x ≥⋅-恒成立， 即2(22)2(22)10x x x x m --+-≥⋅+-恒成立，即8(22)22x xx xm --≤+++恒成立，设22x x t -=+，则2t >， 即8m t t≤+，2t >恒成立，由对勾函数的图象和性质可得：当t =时, 8t t+取最小值故m 的最大值为。