2019版高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标50椭圆
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何85椭圆课后作业理.doc
8・5椭E课后作业孕谀［重点保分两级优选练］A级一、选择题2 1・（2018 •江西五市八校模拟）已知正数/〃是2和8的等比中项，则圆锥曲线/+~=1 m的焦点坐标为（）A.（土0）B. （0, 土羽）C. （±萌，0）或仕0）D. （0, 土羽）或仕0）答案B解析因为正数/〃是2和8的等比中项，所以駢=16,则〃尸4,所以圆锥曲线/+-= m2 _1即为椭圆%+f=l,易知其焦点坐标为（0, 土寸5）,故选B.32.（2017 •湖北荆门一模）已知〃是△肋C的一个内角，且sin 〃+cos 0 =-,则方稈/sin 0 —ycos〃 = 1 表示（）A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在％轴上的椭圆D.焦点在y轴上的椭圆答案D9 7解析因为（sin 0 +cos 〃）'=l+2sin 〃cos 0 =77,所以sin 〃cos 0 = —~<0,结合3〃w(0, JI ),知sin 〃>0, cos 〃〈0,又sin 〃+cos 〃 =[>(),所以sin 〃>—cos 0>O,] 1 2 2故---- >—-7>0,因为Ain ^-/cos 0 = \可化为V=1,所以方程— cos u sm u ] ]cos & sin 0xsin 〃一ycos 〃 = 1表示焦点在y轴上的椭圆.故选D.3.（2018 •湖北八校联考）设凡用为椭圆1的两个焦点，点戶在椭圆上，若线\PFA 段〃的中点在y轴上，则=的值为（5A•肓)5B-B5D-9答案B解析 由题意知自=3, b=弟,c=2.设线段〃的中点为必则有如〃/雄，V OMA_F^, ・•・％丄F\F?.,E 5/. I PFi I =一=孑又・・•丨朋丨+丨朋I =2^=6,a o・・・|〃|=2日一|处|=¥，扌X^=鲁，故选B.x y _4. （2017 •全国卷III ）已知椭圆a -+4=l （a>Z7>0）的左、右顶点分别为几 血 且以a b线段畀/2为直径的圆与直线bx-ay+2ab= 0相切，则C 的离心率为（）1 D -3答案A解析 由题意知以昇必2为直径的圆的圆心为（0, 0）,半径为日. 又直线bx — ay+2ab=^与圆相切，•••圆心到直线的距离d=~F==a,y/a + b1 D -I 答案# / X V因为椭圆飞+〒=1 （日〉力>0）与双曲线飞一==1 （刃>0, 〃>0）有相同的焦点（一G 0）和 a bm n （c, 0）,所以 C=a —li=m +因为c 是日，/〃的等比中项，/是2〃,与d 的等差中项，所以c=am, 2n=2m + c ,所以殳 9 c cc 1 c 1 卜刁所以—+y=c,化为7=了所以尸一=孑故选C.Z d Z d T 3 Z6. （2017 •荔湾区期末）某宇宙飞船运行的轨道是以地球屮心为一焦点的椭圆，测得近地 点距地面刃千米，远地点距地面/7千米，地球半径为厂千米，则该飞船运行轨道的短轴长为解得 a=yfib,b 1 訂乔c J 孑 e=——=a ax y 5.已知椭圆~+y?= 1（臼〉方＞0）与双|tt|线厂汗iS>o,讪有相同的焦点（-小和（。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第五节 椭圆学案 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册
第五节 椭 圆2019考纲考题考情1．椭圆的概念平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数}。
(1)若a ＞c ，则M 点的轨迹为椭圆。
(2)若a ＝c ，则M 点的轨迹为线段F 1F 2。
(3)若a ＜c ，则M 点不存在。
2．椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a－b ≤x ≤b1．椭圆方程中的a ，b ，c (1)a ，b ，c 关系：a 2＝b 2＋c 2。
(2)e 与b a ：因为e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，所以离心率e 越大，则b a越小，椭圆就越扁；离心率e 越小，则ba越大，椭圆就越圆。
2．在求焦点在x 轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用以下不等关系：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1。
3．焦点三角形椭圆上的点P 与焦点F 1，F 2若构成三角形，则称△PF 1F 2为焦点三角形，焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系。
一、走进教材1．(选修2－1P 40例1改编)若F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( )A ．x 225＋y 216＝1B ．x 2100＋y 29＝1 C ．y 225＋x 216＝1 D ．x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 解析 设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1。
故选A 。
2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第5讲 椭圆讲义 文 新人教版
[解析] 由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线
y＝x＋2
相切，得
b＝
2＝ 2
2.
又离心率为 33，所以 a2＝3c2＝3(a2－2)，得 a＝ 3，
故椭圆的标准方程为x32＋y22＝1. [答案] x32＋y22＝1
考向二 利用方程研究性质
2．已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆 x2＋y2－6x＋8
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合
待定系 已知条件求出 a，b；若焦点位置不明确，则需要
数法
分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭 圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)
【针对补偿】
1．(2018·奉贤调研)设椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别
ay22＋bx22＝1(a＞b＞ 0)
图形
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴： 坐标 轴 对称中心： 原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
性
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
质
轴
长轴 A1A2 的长为 2a ；短轴 B1B2 的长为 2b
[解析] 由条件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆． [答案] A
(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭 →→
圆 C 上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________. [解析] 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则rr121＋＋rr222＝＝42ca2，， ∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2， 又∵S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，∴b＝3. [答案] 3
2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何第50讲椭圆课件理20180713485
������ 2 4
考查方向 焦点三角形 待定系数法求方程 求椭圆的离心率
考例
考查热度 ★☆☆
2016全国卷Ⅰ20,2014全国卷 Ⅱ20,2013全国卷Ⅱ20 2017全国卷Ⅲ10,2016全国卷 Ⅲ11,2014全国卷Ⅱ20(1) 2016全国卷Ⅰ20,2016全国卷 Ⅱ20,2015全国卷Ⅱ20,2014全国 卷Ⅰ20,2013全国卷Ⅱ20
又由(1)知 m +n =2,故 3+3m-tn=0,
2 2
所以������������· ������������ =0,即������������⊥������������ .又过点 P 存在唯 一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
教学参考
4.[2014· 全国卷Ⅰ] 已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,F 是
1 3 ������ 2 ������ 2
[答案]
A
[解析] 设 M(-c,y0),则 AM 所在直线方程为 y=-������ +������ (x+a),令 x=0,得 E 0,-������ +������ .BM 所在直线 方程为 y=
-������������ 0 1 ������ 0 -������ -������ ������ 0 ������ ������ 0
椭圆
第50讲 PART 8
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
2019版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第
.
[小题体验]
1．若直线 3x＋ y＋ a＝ 0过圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y＝ 0的圆心，则 a 的值为 A．－ 1 C． 3 B． 1 D．－ 3 ( )
解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5， ∵直线经过圆的圆心(－1,2)， ∴3×(－1)＋2＋a＝0，得a＝1.
答案：B
2． (2018· 浙江五校联考)若点(2a， a＋ 1)在圆 x2＋ (y－ 1)2＝ 5的 内部，则实数 a的取值范围是 A． (－ 1,1)
答案：B
2． (2018· 永康模拟 )设 a∈ R，则 “a>1”是“方程 x2＋ 2ax＋ y2＋ 1 ＝ 0的曲线是圆”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ( )
解析：因为方程是圆，所以可转化为(x＋a)2＋y2＝a2－1， 即a2－1>0，解得a>1或a<－1.所以当“a>1”时，有a2－1>0， 得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的方程时，有a>1 或a<－1，不一定得到a>1.所以是充分不必要条件．
1 C．－ 1， 5
(
)
B． (0,1)
1 D．－ ， 1 5
解析：因为点在圆内，所以(2a)2＋(a＋1－1)2<5，解得－ 1<a<1.故实数a的取值范围是(－1,1)．
答案：A
3．(2018· 湖州调研 )若圆 C与圆 x2＋y2＋ 2x＝0关于直线 x＋ y－1 ＝ 0对称，则圆心 C的坐标为 ________；圆 C的一般方程是 ________．
2.点与圆的位置关系 点 M(x0， y0)与圆 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2 的位置关系：
2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课时作业201807203226
第五节 椭圆课时作业 A 组——基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9 解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. 答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <4解析：方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D. 答案：D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B ．x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D ．x 24＋y 2＝1解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 答案：A4．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) A.12 B ．55C.14D ．5－2解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12.答案：A5．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12 B ．22C ．1D ． 2解析：如图，假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥2 2－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k>2，解得0<k <1.答案：(0,1)7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或88．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C的值等于________．解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3.答案：39．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝36c . (1)求椭圆C 的离心率；(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →|＝4，求椭圆C 的方程．解析：(1)∵点A 的横坐标为c ，代入椭圆，得c 2a 2＋y 2b2＝1.解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝36c ，∴a 2－c 2＝36ac . ∴e 2＋36e －1＝0，解得e ＝32. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y ＝y 0－bx 0x ＋b . 令y ＝0，得点R 的横坐标为bx 0b －y 0. 直线NP 的方程为y ＝y 0＋bx 0x －b . 令y ＝0，得点Q 的横坐标为bx 0b ＋y 0. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2b 2－a 2y 20b 2－y 20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →＝λMB →.(1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意． 则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4，x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47， 可得k 2＝18，将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0.则x 1＝4－627，x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →，所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.B 组——能力提升练1．(2018·合肥市质检)已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6) B ．(1,5) C ．(3,6)D ．(3,5)解析：由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0x a2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 答案：D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．(22，1) C ．(0，22) D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c.① 又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是该椭圆的焦点，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a2a ＋c .显然，|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0， ∴e 2＋2e －1>0， 解得e >2－1，又e <1， ∴2－1<e <1，故选D. 答案：D3．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)． 答案：[2,22)5．(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程．(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．解析：(1)因为e ＝32＝c a ， 所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，①把①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k 2k ＋122k ＋12－22k －12＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第5节椭圆课件新人教A版
，B2
轴
长轴 A1A2 的长为 短轴 B1B2 的长为
2a 2b
焦距 离心率 a，b，c 的 关系
|F1F2|＝2c c e＝a∈ (0,1) a2＝ b2＋c2
椭圆的常用性质 x2 y2 (1)设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时， |OP|有最小值 b，P 点在短轴端点处；当 x＝± a 时，|OP|有最大值 a， P 点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形， 其中 a 为斜边，a2＝b2＋c2. (3)已知过焦点 F1 的弦 AB，则△ABF2 的周长为 4a.
y2 x2 a2＋b2＝1(a＞b＞0)
范围
－a －b
≤x≤ ≤y≤ b
a
－b －a 坐标轴 原点 A1
≤x≤ ≤y≤
b a
对称性 性 质 顶点 A1 B1 (－a,0) (0，－b)
对称轴： 对称中心：
(0，－a) A2 (0，a)
，
，A2 ，B2
(a,0) (0，b) B1
(－b,0) (b,0)
解析：设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1， 所以 c＝1，则 F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距 x2 y2 15 离为 1，所以 y＝± 1，把 y＝± 1 代入 5 ＋ 4 ＝1，得 x＝± 2 ，又 x＞0， 15 所以 x＝ 2 ， ∴P
解析：C
[因为已知实数 4，m,9 构成一个等比数列，所以可得
m2＝36，解得 m＝6 或 m＝－6. x2 2 x2 2 当圆锥曲线为椭圆时，即m ＋y ＝1 的方程为 6 ＋y ＝1. 所以 a2＝6，b2＝1，则 c2＝a2－b2＝5. c 所以离心率 e＝a＝ 5 30 6＝ 6 .
2019版高考数学一轮复习第八章解析几何第50讲椭圆学案20180507294
第50讲 椭 圆1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做__椭圆__．这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若__a ＞c __，则集合P 为椭圆；(2)若__a ＝c __，则集合P 为线段； (3)若__a ＜c __，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1 F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ )解析 (1)错误．由椭圆的定义知，当该常数大于||F 1F 2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于||F 1F 2时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于||F 1F 2时，不存在图形．(2)正确．由椭圆的定义得，||PF 1＋||PF 2＝2a ，又||F 1F 2＝2c ，所以||PF 1＋||PF 2＋||F 1F 2＝2a ＋2c .(3)错误．因为e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，所以e 越大，则b a越小，椭圆就越扁．(4)正确．由椭圆的对称性知，其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称．2．(2017·浙江卷)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( B )A ．133B ．53C ．23 D ．59解析 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53，故选B ．3．设P 是椭圆x 24＋y 29＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则||PF 1＋||PF 2＝( C )A ．4B ．8C ．6D ．18解析 依定义知||PF 1＋||PF 2＝2a ＝6.4．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( C )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3) 解析 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.5．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足||PF 1＝2||PF 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为3解析 在△PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设||PF 2＝1，则||PF 1＝2，||F 2F 1＝3，所以离心率e ＝2c 2a ＝33.一 椭圆的定义椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定。
2019版高考数学理一轮课时达标50椭圆 含解析 精品
课时达标 第50讲[解密考纲]对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( A ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析 x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 22k ＝1，∵x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆， ∴2k>2，解得0<k <1.故选A . ∴实数k 的取值范围是(0,1)．故选A ．2．(2018·山东济南质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( A )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 24＋y 2＝1D ．x 216＋y 24＝1解析 由x 2＋y 2－2x －15＝0， 知r ＝4＝2a ，所以a ＝2.又e ＝c a ＝12，所以c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 因此椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.3．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( C )A ．12B ．23C ．34D ．45解析 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ， 所以3a ＝4c ，所以e ＝34.4．(2018·福建厦门模拟)椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的右焦点为F ，直线y ＝x ＋m 与椭圆E交于A ，B 两点，若△F AB 的周长的最大值是8，则m ＝( B )A ．0B ．1C ．3D ．2解析 设椭圆的左焦点为F ′，则△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ＝8，所以a ＝2，当直线AB 过焦点F ′(－1,0)时，△F AB 的周长取得最大值，所以0＝－1＋m ，所以m ＝1.故选B ．5．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( B )A ．32B ．332C ．94D ．154解析 设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ.由条件知|AF 2|＝b 2a ＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332.故选B ．6．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C )A ．24 B ．12C ．22D ．32解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a ，把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1，即⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.故选C ．二、填空题7．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__x 2＋3y 22＝1__.解析 设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.8．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是__x ＋2y －3＝0__.解析 设过点M (1,1)的方程为y ＝kx ＋(1－k )， 代入x 2＋2y 2－4＝0得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0， 所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12， 故所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.9．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为__⎭⎪⎫2，1__.解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角，即B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，∴(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋ca －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1. 三、解答题10．(2018·河南洛阳一模)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析 (1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．将y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，∴x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65. 11．(2018·广州五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P ，Q ，当∠PMQ ＝60°，求直线PQ 的方程．解析 (1)∵c a ＝22，∴a 2＝2c 2，a 2＝2b 2，又椭圆E 经过点(6，1)，∴6a 2＋1b 2＝1，解得a ＝22，b ＝2，∴椭圆E 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)连接OM ，OP ，OQ ，OM 与PQ 交于点A ， 依题意可设M (－4，m )(m >0)．由圆的切线性质及∠PMQ ＝60°，可知△OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°， ∵|OP |＝22，∴|OM |＝42， ∴(－4)2＋m 2＝42，又m >0，解得m ＝4，∴M (－4,4)，∴直线OM 的斜率k OM ＝－1， 由|MP |＝|MQ |，|OP |＝|OQ |可得OM ⊥PQ ，∴直线PQ 的斜率k PQ ＝1，设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ， ∵∠OMP ＝30°，∴∠POM ＝60°，∴∠OP A ＝30°，由|OP |＝22知|OA |＝2，即点O 到直线PQ 的距离为2，∴|n |12＋(－1)2＝2，解得n ＝±2(舍去负值)，∴直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝3 2.(1)求椭圆的方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围．解析 (1)由题意知，e ＝c a ＝22，则a ＝2c ，b ＝c .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝2a ＋2b 2a ＝22c ＋2c ＝32，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线AB 与直线CD 中有一条与x 轴垂直时，另一条与x 轴重合． 由题意知S 四边形＝12|AB |·|CD |＝12×22×2＝2.②当AB ，CD 都不垂直于坐标轴时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．代入x 2＋2y 2－2＝0中得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，∴|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·22k 2＋11＋2k 2＝22(k 2＋1)1＋2k 2.同理，|CD |＝22⎝⎛⎭⎫1k 2＋11＋2k 2＝22(k 2＋1)k 2＋2.∴S 四边形＝12·|AB |·|CD |＝12·22(k 2＋1)1＋2k 2·22(k 2＋1)k 2＋2＝4(k 2＋1)22k 4＋2＋5k 2＝4⎝⎛⎭⎫k ＋1k 22⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋1＝2－22⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋1. ∵2⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋1≥2⎝⎛⎭⎫2k ·1k 2＋1＝9， 当且仅当k ＝±1时取等号，∴S 四边形∈⎣⎡⎭⎫169，2. 综合①与②可知，S 四边形∈⎣⎡⎦⎤169，2.。
2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第5节椭圆练习新人教A版练习
2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第5节椭圆练习新人教A版练习 椭圆[基础对点组]1．(导学号14577739)(2018·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：A [∵椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．(导学号14577740)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：C [若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.]3．(导学号14577741)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32解析：B [如图，连接MF 2，已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10， ∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8.由题意知|ON |＝12|MF 2|＝4.故选B.]4．(导学号14577742)(2018·一模)如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计)，一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.15B.154C.265D.14解析：B [不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝20－4b ＝2，解得a ＝8，b ＝2，∴c ＝64－4＝215，∴该椭圆的离心率为e ＝c a ＝2158＝154.故选B.]5．(导学号14577743)(2018·三模)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M 、N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655 C.855D.455解析：C [设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.∵|MF ′|＋|NF ′|≥|MN |，∴当直线x ＝a 过右焦点时，△FMN 的周长最大．由椭圆的定义可得△FMN 的周长的最大值＝4a ＝45，c ＝5－4＝1.把c ＝1代入椭圆标准方程得15＋y 24＝1，解得y ＝±45，∴此时△FMN 的面积S ＝12×2×2×45＝855.故选C.] 6．(导学号14577744)(2018·二模)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上任意一点M 到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C 的标准方程是 ________ .解析：椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上任意一点M 到两个焦点的距离和是4，焦距是2，则有2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．(导学号14577745)(2018·一模)已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B＝ ________ .解析：由椭圆x 225＋y 216＝1，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝8，焦距2c ＝6，则顶点A ，B为椭圆的两个焦点．三角形ABC 中，a ＝|BC |，b ＝|AC |，c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，则sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R，sin C ＝c 2R ，5sin C sin A ＋sin B ＝5c a ＋b ＝5×610＝3.答案：38．(导学号14577746)(2018·诊断)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为 ________ .解析：点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12，故最小值为6. 答案：69．(导学号14577747)(2018·兰州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2＋k 2＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 10．(导学号14577748)(2018·一模)已成椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2，左右焦点分别为F 1、F 2，其中长轴长为4，且圆O ：x 2＋y 2＝127为菱形A 1B 1A 2B 2的内切圆． (1)求椭圆C 的方程；(2)点N (n,0)为x 轴正半轴上一点，过点N 作椭圆C 的切线l ，记右焦点F 2在l 上的射影为H ，若△F 1HN 的面积不小于316n 2，求n 的取值范围．解：(1)由题意知2a ＝4，所以a ＝2，所以A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )， 则直线A 2B 2的方程为x 2＋yb ＝1，即bx ＋2y －2b ＝0，所以|－2b |4＋b2＝127，解得b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，m ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n 3x 2＋4y 2＝12，消去x 得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3(n 2－4)＝0.由直线l 与椭圆C 相切，得Δ＝(6mn )2－4×3×(3m 2＋4)(n 2－4)＝0， 化简得3m 2－n 2＋4＝0.设点H (mt ＋n ，t )，由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则t －0mt ＋n －1·1m＝－1，解得t ＝－m n －1＋m2，所以△F 1HN 的面积S △F 1HN ＝12(n ＋1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m n －1＋m 2＝12|m n 2－1＋m 2，代入3m 2－n 2＋4＝0，消去n 化简得S △F 1HN ＝32|m |，所以32|m |≥316n 2＝316(3m 2＋4)，解得23≤|m |≤2，即49≤m 2≤4，从而49≤n 2－43≤4，又n＞0，所以433≤n ≤4，故n 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤433，4.[能力提升组]11．(导学号14577749)(2018·四模)神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了人的航天梦想，某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，如图所示，假设航天员到地球最近距离为d 1，到地球最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号需要飞行中的航天员中转后，地球人才能接收到，则神秘信号传导的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2解析：D [设椭圆的方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 1，运行中的航天员为P ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －cd 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，神秘信号传导的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.故选D.]12．(导学号14577750)(文科)(2018·一模)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：A [设P (x 0，y 0)，则|x 0|＜a ，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，且∠F 1PF 2为钝角，当且仅当PF 1→·PF 2→＜0有解，即(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝(－c －x 0)(c －x 0)＋y 20＜0，即有c 2＞x 20＋y 20有解，即c 2＞(x 20＋y 20)min .又y 2＝b 2－b 2a 2x 20，∴x 20＋y 20＝b 2＋c 2a2，x 20∈[b 2，a 2)，即(x 20＋y 20)min ＝b 2，∴c 2＞b 2，c 2＞a 2－c 2，∴c 2a 2＞12，即e ＞22.又0＜e ＜1，∴22＜e ＜1.故选A.]12．(导学号14577751)(理科)(2018·模拟)已知点F ，A 是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的左焦点和上顶点，若点P 是椭圆C 上一动点，则△PAF 周长的最大值为 ________ .解析：椭圆C ：x 216＋y 212＝1，a ＝4，b ＝22，c ＝2，则其左焦点F (－2,0)，右焦点F 2(－2,0)和上顶点A (0,22)．由椭圆的定义|PF |＋|PF 2|＝2a ＝8，|AF |＋|AF 2|＝2a ＝8，∴△PAF 周长l ＝|AF |＋|PF |＋|PA |≤|AF |＋|PF |＋|PF 2|＋|AF 2|＝4a ＝16，当且仅当AP 过F 2时△PAF 周长取最大值，∴△PAF 周长的最大值16.答案：1613．(导学号14577752)(2018·一模)已知A 、B 、F 分别是椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF 的外接圆的圆心坐标为(p ，q )．若p ＋q ＞0，则椭圆的离心率的取值范围为 ________ .解析：如图所示，线段FA 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22，线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2.∵k AB ＝－b ，∴线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b，∴线段AB 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎪⎫x －12.把x ＝1－1－b 22＝p 代入上述方程可得y ＝b 2－1－b22b ＝q .∵p ＋q ＞0，∴1－1－b 22＋b 2－1－b 22b ＞0，化为b ＞1－b 2.又0＜b ＜1，解得22＜b ＜1. ∴e ＝c ac ＝1－b 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 14．(导学号14577753)(理科)(2018·二模)已知双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数． (1)求椭圆C 的方程；(2)设动点M 在椭圆C 上，且|MN |＝433，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值．解：(1)∵双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，∴a ＝6，e 双曲线＝65，e 椭圆＝56＝ca， ∴c ＝5，b ＝6－5＝1， ∴椭圆C 的方程为x 26＋y 2＝1. (2)当直线MN 的斜率为0时，由|MN |＝433，得M ⎝⎛⎭⎪⎫233，y ，所以y ＝73，所以直线MN 在y 轴上的截距为73. 当直线MN 的斜率不存时，与y 轴无焦点． 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 26＋y 2＝1，得(1＋6k 2)x 2＋12kmx ＋6m 2－6＝0，x 1＋x 2＝－12km 1＋6k 2，x 1x 2＝6m 2－61＋6k2Δ＝(12km )2－4(1＋6k 2)(6m 2－6)＞0，Δ＝144k 2－24m 2＋24＞0，∴m 2＜6k 2＋1， |MN |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝433，∴ ＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－4×6m 2－61＋6k 2＝433，整理，得m 2＝39k 2－18k 4＋79k 2＋9， ∴m 2＝39k 2－18k 4＋79k 2＋9＜6k 2＋1， 整理，得36k 4＋12k 2＋1＞0，即6k 2＋1＞0，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则m 2＝39k 2－18k 4＋79k 2＋9＝－k 2＋2＋k 2＋－50k 2＋.令k 2＋1＝t ，t ＞1，则f (t )＝－2t －509t ＋253，t ＞1，求导f ′(t )＝－2＋509t2.令f ′(t )＞0，解得1＜t ＜53；令f ′(t )＜0，解得t ＞53，则f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞单调递减， ∴当t ＝53时，f (t )取最大值，最大值为53，∴m 的最大值为53，综上可知：m 的最大值为53.14．(导学号14577754)(文科)(2018·一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33.其右顶点与上顶点的距离为5，过点P (0,2)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是AB 中点，且Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，当QM ⊥AB 时，求直线l 的方程． 解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，其右顶点与上顶点的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝33a 2＋b 2＝5a 2＝b 2＋c2，解得a ＝3，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM ⊥AB ，∴方程为x ＝0. ②若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 23＋y22＝1，得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，Δ＝72k 2－48＞0，x 1＋x 2＝－12k 2＋3k2.11 / 11设M (x 0，y 0)，则x 0＝－6k 2＋3k 2，y 0＝k ·－6k 2＋3k 2＋2＝42＋3k 2. 由QM ⊥AB ，知y 0x 0－25·k ＝－1，化简得3k 2＋5k ＋2＝0， 解得k ＝－1或k ＝－23，将结果代入Δ＝72k 2－48＞0验证，舍掉k ＝－23， 此时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或x ＋y －2＝0.。
2019版高考数学一轮复习第八章解析几何第50讲椭圆学案
第50讲 椭 圆
1．椭圆的定义
椭圆
__的点的轨迹叫做)||F1F2大于(的距离之和等于常数2F ，1F 定点平面内与两个．
__焦距__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦点__．这两个定点叫做椭圆的__
集合P ＝{M |||MF1＋||MF2＝2a }，||F1F2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数．
为椭圆；P ，则集合
__c ＞a __若(1) 为线段；P ，则集合__c ＝a __若(2) 为空集．P ，则集合__c ＜a __若(3)
2．椭圆的标准方程和几何性质
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，
c 为椭圆的半焦距)．( √ )
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )
(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ )
解析 (1)错误．由椭圆的定义知，当该常数大于||F1F2时，其轨迹才是椭圆，而常数等
于||F1F2时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于||F1F2时，不存在图形．
(2)正确．由椭圆的定义得，||PF1＋||PF2＝2a ，又||F1F2＝2c ，所以||PF1＋||
PF2＋||F1F2＝2a ＋2c .
(3)错误．因为e ＝c a ＝a2－b2a
＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2，所以e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁．
(4)正确．由椭圆的对称性知，其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称．。
2019届高三数学一轮复习：第50讲 椭圆
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则
2(-������-������1 )
=
������,即
������1
=
-
3 2
������,
-2������1 = 2,
������1 = -1.
代入 C 的方程,得49������������22+���1���2=1.②
10
教学参考
5.[2014·全国卷Ⅱ] 设 F1,F2 分别是椭圆
C:������
������
22+������������
2
2=1(a>b>0)的左、右焦点,M
是
C
上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与
C 的另一个交点为 N.
(1)若直线 MN 的斜率为3,求 C 的离心率;
4
(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且
|MN|=5|F1N|, 求 a,b.
解:(1)根据 c= ������2-������2及题设知
M
������,
������ 2 ������
,2b2=3ac.
将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,
解得������������ =12 或������������ =-2(舍去). 故 C 的离心率为12.
(2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y
轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段
MF1
的中点,故������ 2
������
=4,即
b2=4a.①
2019年8月10日
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第50讲 椭圆[解密考纲]对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( A ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析 x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 22k＝1，∵x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆， ∴2k>2，解得0<k <1.故选A .∴实数k 的取值范围是(0,1)．故选A ．2．(2018·山东济南质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( A )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 212＝1 C ．x 24＋y 2＝1D ．x 216＋y 24＝1 解析 由x 2＋y 2－2x －15＝0， 知r ＝4＝2a ，所以a ＝2.又e ＝c a ＝12，所以c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 因此椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.3．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( C )A ．12 B ．23 C ．34D ．45解析 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34.4．(2018·福建厦门模拟)椭圆E ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的右焦点为F ，直线y ＝x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，若△FAB 的周长的最大值是8，则m ＝( B )A ．0B ．1C ． 3D ．2解析 设椭圆的左焦点为F ′，则△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ＝8，所以a ＝2，当直线AB 过焦点F ′(－1,0)时，△FAB 的周长取得最大值，所以0＝－1＋m ，所以m ＝1.故选B ．5．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( B )A ．32B ．332C ．94D ．154解析 设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ.由条件知|AF 2|＝b 2a ＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332.故选B ．6．从椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C )A ．24 B ．12 C ．22D ．32解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c＝－b a ，y 0＝bc a，把P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，bc a代入椭圆方程得－c2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.故选C ．二、填空题7．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__x 2＋3y22＝1__.解析 设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝x 0＋c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得－b 29＋19b 2＝1，解得b 2＝23， 故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.8．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线方程是__x ＋2y －3＝0__.解析 设过点M (1,1)的方程为y ＝kx ＋(1－k )， 代入x 2＋2y 2－4＝0得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0，所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，故所求直线方程为y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.9．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为__⎭⎪⎫2，1__.解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角，即B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，∴(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1.三、解答题10．(2018·河南洛阳一模)设椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析 (1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 将y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0，∴x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.11．(2018·广州五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P ，Q ，当∠PMQ ＝60°，求直线PQ 的方程．解析 (1)∵ca ＝22，∴a 2＝2c 2，a 2＝2b 2， 又椭圆E 经过点(6，1)，∴6a 2＋1b2＝1，解得a ＝22，b ＝2，∴椭圆E 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)连接OM ，OP ，OQ ，OM 与PQ 交于点A ， 依题意可设M (－4，m )(m >0)．由圆的切线性质及∠PMQ ＝60°，可知△OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°，∵|OP |＝22，∴|OM |＝42， ∴－2＋m 2＝42，又m >0，解得m ＝4，∴M (－4,4)，∴直线OM 的斜率k OM ＝－1， 由|MP |＝|MQ |，|OP |＝|OQ |可得OM ⊥PQ ，∴直线PQ 的斜率k PQ ＝1，设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ， ∵∠OMP ＝30°，∴∠POM ＝60°，∴∠OPA ＝30°，由|OP |＝22知|OA |＝2，即点O 到直线PQ 的距离为2，∴|n |12＋－2＝2，解得n ＝±2(舍去负值)，∴直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝3 2.(1)求椭圆的方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围．解析 (1)由题意知，e ＝ca ＝22，则a ＝2c ，b ＝c . 当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝2a ＋2b2a＝22c ＋2c ＝32，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线AB 与直线CD 中有一条与x 轴垂直时，另一条与x 轴重合． 由题意知S 四边形＝12|AB |·|CD |＝12×22×2＝2.②当AB ，CD 都不垂直于坐标轴时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．代入x 2＋2y 2－2＝0中得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，∴|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·22k 2＋11＋2k 2＝22k 2＋1＋2k2.同理，|CD |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋11＋2k2＝22k 2＋k 2＋2.∴S 四边形＝12·|AB |·|CD |＝12·22k 2＋1＋2k2·22k 2＋k 2＋2＝k 2＋22k 4＋2＋5k2＝4⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k 22⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1. ∵2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1≥2⎝⎛⎭⎪⎫2k ·1k 2＋1＝9， 当且仅当k ＝±1时取等号，∴S 四边形∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫169，2. 综合①与②可知，S 四边形∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤169，2.。