5.2弧度制(1)
高教版中职数学5.2.1弧度制
180o
57.30o
57o18Fra bibliotek度 解: （1）
3
5
=
3
5
180
o
108o；
制 （2）
2.1=2.1
180
o
378
o
12019；
（3）3.5
3.5
180
o
630
o
20032
采用弧度制以后，每一个角都对应唯一的一个实数；
反之，每一个实数都对应唯一的一个角．于是，在角
的集合与实数集之间，建立起了一一对应的关系．
巩固知识 典型例题
弧
例1 把下列各角度换算为弧度(精确到0．001)： ⑴ 15°； ⑵ 8°30′； ⑶ －100°．
度 角度制换算为弧度制利用公式 1o 0.01745 180 解: （1）15=15 = 0.262； 180 12
⑴ 75°；⑵ -240°；⑶ 105°；⑷ 67°30′．
4． 把下列各角从弧度化为角度：
⑴ π ；⑵ 2π ；⑶ 4π ；⑷ 6π ．
15
5
3
利用两个公式解题： 1rad 180o
1o 180
自我探索 使用工具
弧 度 制
观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书， 小组完成计算器弧度与角度转换的方法.
是否有其它的单位制使得表示更为方便简单？
1、弧度制
动脑思考 探索新知
用度做单位来度量角的单位制叫做角度制.
5.2 弧度制(一)
5.2 弧度制（一）教学目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系. 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的. 教学过程：一、复习引入： 1．角度制的定义初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？角度制呢？规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
2．什么叫圆心角？什么叫做圆周角？二、新课讲解： 1． 弧度制定义：（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读作弧度。
这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．ABO（2）也可以这样理解：圆心角的弧度数的绝对值等于圆心角所对圆弧长l 与半径的比值rl=α（l为弧长，r 为半径）所以注：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02. 角度制与弧度制的互化： （1） 公式：180︒=π rad （2） 角度化弧度：1︒=πrad 0.01745rad 180≈ （3） 弧度化角度： 公式一： π rad=180︒公式二：1801rad 57.305718'π⎛⎫=≈= ⎪⎝⎭注：今后“弧度”二字或“rad”可省去不写。
三、例题讲解：例1 角度制与弧度制的互化：.1,:.1,:=αα就简记为习惯地注意弧度的角就是对的圆心角所弧的长等于半径弧如图AB r AB _____(rad).=_____(rad).α=090=0180πrad =03602πrad=πrad217(1)π12=5(2)π8=01801217⨯0255=018085⨯05.112=031120'=例2 填表：（课件上表格未列入的酌情提问）例3 写出满足下列条件的角的集合（用弧度制表示）： 1．终边与x 轴正半轴重合：{}2π,k k ∈Z 2．终边与x 轴负半轴重合： {}2π+π,k k ∈Z 3．终边与x 轴重合：{}π,k k ∈Z4．终边与y 轴正半轴重合：π2π+,2k k ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z5．终边与y 轴负半轴重合：3π2π+,2k k ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z6．终边与y 轴重合：ππ+,2k k ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z7．与α角终边相同的角的集合：{}2π,k k α+∈Z 四、练习：1．时间经过了4小时，时针转了120度，等于2π3弧度；分针转过了1440度，等于8π弧度。
弧度制
B B` A` O O r R
n°
L l
A
一、知识回顾
• 1、角度制的定义 • 规定周角的1/360为1度的角这种用度做单位来 度量角的制度叫角度制。
60°
90°
2、弧长公式
nπR l= ——— 180
3、扇形的面积公式：
n°
l
R
S 扇形
n 2 R 360
B B` L l A
B
2弧度
l=2r O r A
3r
3rad
r
O
r
A
B
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且 它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度 l 数的绝对值是 = 3，
r
l = －3弧度 即∠AOB=－ r
一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为 负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的 弧度数的绝对值： l ︱α︱= r
3 （2）、把 —π 弧度化成度。 5
3 3 rad 180 108 解： 5 5
注意：
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
360° 度 0° 30 °45 ° 60 ° 90 ° 180 270° 弧 0 度
6
4
3
2
°
3 2
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二 字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能 省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形 式。如无特别要求，不用将π化成小数。
搬救兵！她本身,只是壹名先天中期境界の修行者,比陈兵还要差壹个境界.连陈兵都被鞠言壹剑击杀了,那她更不可能是鞠言对手.呐壹点,她也很清晋.
5.2.1《弧度制》ppt课件
零角
正实数
零 负实数
负角
课堂作业
课本P108
3 , 4.
例1. 把下列角化成弧度
(1)15° , (2)-100 ° (3)8°30′ ,
练习P108.3
把下列各角化成弧度
(1)75° , (2)-240°, (3)105 °(4)67 °30 ′
例2: 把下列各弧度化成度.
(1)3π/5 , (2)-2π/3,(3)-3.5
P108.4
把下列各弧度化成度. (1)π/15 , (2)2π/5 , (3)-4π/3 , (4)-6π
（2）-315º =-7 π /4=-2 π + π /4
（3）23π/6=12 π /6+11 π /6=2 π+ 11π /6 （4）-1500º = -1800º+300º =-10 π +5/3 π
1、弧度的意义；
2、弧度与角度的换算；
小 结
3.角度是一个量,弧度数表示弧长与半 径的比,是一个实数,这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系.
2、角度制与弧度制的换算:
圆周角用 角度表示
圆周角用 弧度表示
360º = 2π 180º = π π 1º= 180 弧度
180
1弧度 = (
0
6 .特殊角的度数与弧度数的对应表:
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
π )º
π/6 π/4 π/3 π/2
π
3π/2 2π
3、弧度制：
用弧度做单位来度量角的制度叫做 弧度制
等于半径长的圆弧所对的圆心角
1弧度的角
正角的弧度数 负角的弧度数
5.2弧度制
值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制
律，循序渐进，获得
王新敞
奎屯 新疆
知识。 二、新知讲解（12 分钟） 1．弧度制的定义：当角用弧度制表示时，其绝对值
等于圆弧长 l 与半径 r 的比值,即:
l r
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角， 记作 1rad，或 1 弧度，或 1． 2．算一算，填一填
分析：此题较难，改写时，关键是分离出整数个 2π . （法一）
19 19 19 6， 与 的终边相同，故 解： （1） 3 3 3 3 3
是第一象限角. (2)
31 5 31 5 6， 与 的终边相同，故 6 6 6 6
31 是第二象限角. 6
的比值：
l r ；也可写成： l r ；
（2）换算公式：180°=π
2．熟记常用角的弧度与角度换算。
课 题 名 称
5.2 弧度制
授 课 班 级 授 课 时 间 授 课 课 时 第 到
13 机电 1
课 题 序 号 使 用 教 具
授 课 形 式
启发式，探究式，讲练结合
教 学 目 的
（1）使学生理解弧度制的概念，能进行角度和弧度的转化，熟记特殊角的弧度数。 （2）使学生掌握弧度制下的弧长及扇形面积计算公式，能用弧度制解决一些简单的实际 问题。 （3）培养学生由计算、观察、分析、发现等过程得出一般规律的科学思维方式。 （4）培养学生“转化”的思想。
3．角度制与弧度制的换算 （1）记住公式： ∵周角所对的弧是整个圆周， 是 2π r， 所以周角的弧度数 是 2π ，但周角又等于 360° ∴360°=2π rad ∴180°=π rad
职高高一数学——弧度制
例6. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
扇形面积是 ( 1)R2
五、总结提升
（1）理解弧度制的定义 （2）掌握弧度制和角度制的换算方法 （3）掌握弧长公式和扇形面积公式
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
§5.2 弧 度 制
翡翠竹林 2018年2
目标：
❖1、理解并掌握弧度制的定义， ❖2、能进行角度与弧度之间的换算。 ❖3、能用弧度制解决简单的问题
身高：2.26米 体重：125千克
1米=3.28043英尺 1千克=0.4536磅
演示： 分别以“英尺”和“磅”为单位,测量姚明的身高和体重.
(3)特殊角的弧度数与角度数对应表：
角 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
度
弧 度
0
π 12
π 6
π 4
π 5π π 2π 3π 5π
3 12 2
346
角 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
度
弧 π
度
7π 5π 64
4π 3
3π 2
5π 3
7π 4
11π 6
2π
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集 合与实数集R之间建立了一一对应关系
一一对应
正实
正角
数
零角
0
负角
负实
数
任意角的集合 实数集R
第一象限角的集合为 A={|0º+k·360º＜＜90º+k·360º,k∈Z}
5.1.2.弧度制
类型二 利用弧度表示角
【典例】1.将-1125°表示成α +2kπ ,0≤α <2π ,
k∈Z的形式为__8_____74_.
2.用弧度表示终边落在阴影部分
内(不包括边界)的角的集合.
{ | 2k 2k 5 ,k Z}
6
12
【习练·破】
1.下列与 9 的终边相同的角的表达式中,正确的是
2.已知α =15°,β = 10 ,γ =1,θ =105°,试比较α ,β ,
γ ,θ 的大小. 15°<18°<57.30°<105°
α<β<γ<θ
【习练·破】
将下列角度与弧度进行互化:
(1) 511
6
=_1_5_3_3_0_°__.
Hale Waihona Puke (2)10°=____1_8___.
(3)-855°=_－__1_94____.
R
形的面积是S= 1 lR=(π -1)R2.
2
√)
( √)
2.(1) 7 化为角度是__2_5_2_°___.
5
43
(2)215°的弧度数是___3_6____.
3.半径为2,圆心角为 的扇形的面积是___3_____.
6
类型一 弧度与角度的互化 【典例】1.(1)将112°30'化为弧度为___5_____.
8
(2)将－512 rad化为角度为___-_7_5_°__.
则(1)弧长公式:l=α R. (2)扇形面积公式:_S___12_l_R___12__R_2_. __
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
5.1.2弧度制
3600 3600 900 ( )
1800 1800 450 ( )
2
10当为偶数时,令 2n (n ), 得
n 3600 n 3600 450 (n )
这
表 明
是
第
2
一象限
的 角;
2
20当为奇数时,令 2n 1 (n ), 得
n 3600 1800 n 3600 1800 450
16
（1） 3
；（2） 315 ；（3） 11 ．
7
例题讲解 扇形的弧长及面积公式
例3 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) l R； (2) S 1 R2； (3)S 1 lR.
2
2
其中R是半径，l是弧长， (0 2 )
为圆心角，S是扇形的面积。
用弧度表示终边在轴线上的角的集合
（3）第三象限角构成的集合
|180 o k 360 o 270 o k 360 o, k Z
（4）第四象限角构成的集合
| 270 o k 360 o 360 o k 360 o , k Z
例 若角 是第一象限内的角，问 2, 是第几象限的角? 2 (2) 是第一象限的角,
l 3.
= |α| r (弧长计算公式)
4、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=
2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
L=2 π r
（B）
OrA
180°= π 弧度
180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
1°=
π ——
弧度
≈
0．01745弧度
180
5.1.2 弧度制-(新教材人教版必修第一册)(41张PPT)
心角
任意角的弧度 正角的弧度数是一个_正__数__，负角的弧度数是一
数与实数的对 个_负__数__，零角的弧度数是__0_
应关系
计算公式
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l， l
那么，角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝__r_
2．角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角与弧度制的对应关系
集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部
分)是( C )
类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用
典例示范
探究题 1 若扇形的中心角为 120°，半径为 3，则此扇形的面 积是多少？
解：因为 120°＝23π，所以由扇形的面积公式可得此扇形的面积 是 S＝12αR2＝12×23π×3＝π.
数学（人教版）
必修第一册
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
第一 阶段
பைடு நூலகம்课前自学质疑
必备知识 深化预习
1．弧度制的定义
角度制
①定义：用_度__作为单位来度量角的单位制． 1
②1 度的角：周角的__3_6_0___作为一个单位
①定义：以_弧__度__作为单位来度量角的单位制．
弧度制 ②1 弧度的角：长度等于_半__径__长__的圆弧所对的圆
课堂检测 基础达标
1．已知扇形的周长为 4，面积为 1，则该扇形的圆心角是( )
A．1
B．2
C．π2
D．π
B 解析：设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l＋2r＝4，①
S＝21lr＝1，即 lr＝2，②
得 r＝1，l＝2，则扇形圆心角的弧度数为rl＝21＝2.故选 B.
高数数学必修一《5.1.2弧度制》教学课件
π
π
解析：(1)20°＝20×180＝ 9 ；
π
π
(2)－15°＝－15×180＝－12；
7π
7π
180°
＝105°；
π
11π
11π
180°
(4)－ 5 ＝－ 5 × π ＝－396°.
(3) 12 ＝ 12 ×
5
学霸笔记：角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180 °是关键，由
4
解析：时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的弧度为－2π rad，则时针经过四个小时，转过了12·(－2π) rad
2π
＝－ 3 rad.故选B.
3．若角α＝3 rad，则角α是(
)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
π
2
解析：因为 <3<π，所以3 rad是第二象限角．故选B.
(3)一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少
弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
1
提示：(1)周角的360为1度的角
(2)能
π
180
(3)360°
2π 度数×180＝弧度，弧度数×( π )°＝度数
例1 将下列角度与弧度进行互化．
7π
11π
(1)20°；(2)－15°；(3) ；(4)－ .
3
3
(2) 若 扇 形 圆 心 角 为 135° ， 扇 形 面 积 为 3π ， 则 扇 形 半 径 为
2 2
________．
3π
4
1
2
解析：依题意可知，圆心角的弧度数为 ，设扇形半径为r，则S＝ ×
5.2.2弧度制
已知扇形周长是8，求扇形的面积的最大值．
解：设扇形的面积为S，半径为r， 1 1 则S lr 8 2r r r 2 4r 2 2 2 (r 2) 4 故扇形的面积的最大值为4.
你试试 已知扇形周长是4，求扇形的面积的最大值．
弧长计件的角的集合： ①终边与x轴正半轴重合； ②第二象限内的角； 解： { | 2k (k Z )} ① ② { | 2k 2k (k Z )} 2
你试试 ③终边与y轴负半轴重合； ④第三象限内的角.
指出下列各角是第几象限角. 7 19 ① ; ② . 6 3 19 19 解： ① 6 , 与 都是第一象限角. 3 3 3 3 7 5 7 5 ② 2 , 与 都是第二象限角. 6 6 6 6 你试试 16 ③ . 3
1 S lr 2
1 2 S r 2
8 . ④ 3
在弧度制下，弧长和扇形计算公式怎样？
l
α r
l ∵ , r
∴ l r
2
2 1 另外 S扇 lr 2
2 ∵ S圆 r ∴ S扇 r 2 1 2 即 S扇 r
在半径为5cm的扇形中，圆心角为60，求 扇形的弧长及面积． 5 解： l r ∴ l 5 ∵ 3 3 25 1 5 ∵ S 1 lr ∴S 5 6 2 3 2 5 25 2 答：扇形的弧长为 面积为 cm, cm . 3 6 你试试 你有其他 在半径为30cm的扇形中，圆心角为120，求 方法吗？ 扇形的弧长及面积．
扇形的面积是4cm2 ，周长是8cm，求扇形 的半径和圆心角的值． 解：设扇形的弧长为l，半径为r，则
r2 答：扇形的半径为2cm，圆心角为2.
5.1.2 弧 度 制
5．1.2弧度制知识点一角度制与弧度制(一)教材梳理填空(1)度量角的两种制度①角度制：定义：用度作为单位来度量角的单位制；1度的角等于周角的1360.②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制；1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．(2)弧度数正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝l r .(3)角度与弧度的换算(二)1．判断正误(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()(3)1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π.()(4)1rad的角比1°的角要大．() 2．下列转化结果错误的是()A．60°化成弧度是π3B．－103π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－76π D.π12化成度是15°3．与角－π6终边相同的角是()A.5π6B.π3C.11π6D.2π3知识点二扇形的弧长和面积公式(一)教材梳理填空设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝α·R .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.(二)基本知能小试1．判断正误(1)扇形的半径为1cm ，圆心角为30°，则扇形的弧长l ＝r |α|＝1×30＝30(cm)．()(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，扇形的面积不变．()2．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．题型一角度制与弧度制的互化[学透用活](1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．[典例1](1)①将112°30′化为弧度为________；②将－5π12rad 化为度为________．(2)将下列各角化成0到2π的角加上2k π(k ∈Z )的形式．①193π；②－315°.[对点练清]设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．题型二用弧度表示有关的角[学透用活]1．用弧度表示与α终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )的注意点(1)2k π是2π(一周角的大小)的整数倍，而不是π的整数倍；(2)角度制与弧度制不能混用，如60°＋2k π(k ∈Z )是错误的．2．象限角的表示|2k π＜α＜2k π＋π2，k ∈.3．轴线角的表示|α＝k π2，k ∈.[典例2]用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)．[对点练清]1．与9π4角的终边相同的角的表达式中，正确的是()A ．2k π＋45°，k ∈Z B ．k ·360°＋9π4，k ∈Z C ．k ·360°－315°，k ∈ZD ．k π＋5π4，k ∈Z 2．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是()C.2π3，7π6 D.2k π＋2π3，2k π＋7π6(k ∈Z )题型三扇形的弧长与面积公式[学透用活](1)灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程(组)求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．(2)公式的变形①|α|＝lr⇔l＝r|α|，r＝l |α|；②S＝12lr⇒r＝2Sl，l＝2Sr；S＝12|α|r2⇒|α|＝2Sr2，r＝2S|α|.[典例3]已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大？[对点练清]1．[利用公式求圆心角的弧度数]已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为________．2．[利用公式求扇形的半径]若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．3．[利用公式求扇形面积的最值及弧长]已知扇形AOB的周长为10cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时的弧长．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知α＝6π7，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列各对角中，终边相同的是()A.3π2和2kπ－3π2(k∈Z)B．－π5和22π5C．－7π9和11π9D.20π3和122π93．某扇形的半径为1cm，它的周长为4cm，那么该扇形的圆心角为________．4．－135°化为弧度为________，11π3________．二、创新应用题5．已知集合A ＝{α|2k π<α<(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－5≤α≤5}，求A ∩B .[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．下列命题中，正确的是()A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径长的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角2．半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积为()A.π3B.2π3C ．πD.4π33．(2018·湖南师大附中高一期中)在区间(0,2π)内与－34π5终边相同的角是()A.π5B.2π5C.4π5D.6π54．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是()A.5π11 B.44π5C.5π22D.22π55．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度为()A.143πB ．－143π C.718πD ．－718π6．若角α的终边与π6角的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.7．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．8．地球赤道的半径约是6370km ，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是________km(精确到0.01km)．9．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．10．一个扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .B 级——高考水平高分练1α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中角的终边所在的范围(阴影部分)是()2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3半径为4m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m 2.3．已知α＝1690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．4．已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？。
课件8：5.1.2 弧度制
类型二 角度制与弧度制的互化 命题视角 1：角度制与弧度制的换算 [例 2] 将下列角度与弧度进行互化： (1)36°；(2)－112°30′；(3)172π；(4)－115π. [解] (1)36°＝36×18π0 rad＝5π rad； (2)－112°30′＝－112.5°＝－112.5×1π80 rad＝－58π rad； (3)71π2＝172π×18π0°＝172×180°＝105°； (4)－115π＝－115π×18π0°＝－151×180°＝－396°.
5.1.2 弧度制
【学习目标】
[目标] 1.知道弧度制；2.记住 1 弧度的角的概念及弧长公式、 扇形的面积公式；3.能进行弧度与角度的互化． [重点] 弧度与角度的互化． [难点] 1 弧度角的概念的理解．
【要点整合】
知识点一 角的单位制 [填一填]
(1)角度制1度的角：规定周角的3160为1度的角. 定义：用度作为单位来度量角的单位制.
【典例讲练】
类型一
弧度制的概念
[例 1] 有关角的度量给出以下说法：
①1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π；
②1 rad 的角等于 1 度的角；
③180°的角一定等于 π rad 的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．
其中正确的说法是_①__③__④___．
[解析] 由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；
类型三 弧长公式与扇形面积公式
[例 4] (1)已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心
角所对的弧长是( C )
A．2
B．sin2
2 C.sin1
D．2sin1
(2)①已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的
课件2：5.1.2 弧度制
本课结束
更多为 30π，则扇形半径为________．
解析：216°＝216×18π0＝65π，l＝α·r＝65πr＝30π，∴r＝25. 答案：25
【课堂探究】
题型一 角度与弧度的换算 例 1 按照下列要求，把 67°30′化成弧度： (1)精确值； (2)精确到 0.001 的近似值．
解：(1)因为 67°30′＝1235°， 所以 67°30′＝1325×18π0rad＝38π rad. (2)利用计算器有
1．178 097 245.因此，67°30′≈1.178 rad.
状元随笔
角度与弧度的换算只要记住一个公式：18π0
该角的弧度数 °＝该角的角度数.
据此可推出 n °＝n·18π0rad，α rad＝α·1π80 °.
跟踪训练 2 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影 部分内(不包括边界)的角的集合．
解：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边， 化为弧度，即－34π，60°角的终边即3π的终边， ∴所求集合为α2kπ－34π<α<2kπ＋3π，k∈Z . 对于题图(2)，同理可得，所求集合为 α2kπ＋π6<α≤2kπ＋2π，k∈Z∪α2kπ＋π＋π6<α≤2kπ＋π＋2π，k∈Z ＝αkπ＋π6<α≤kπ＋2π，k∈Z .
[教材解难]
弧长公式、扇形的面积公式的应用． ①运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度 制下的公式简单，但要注意它的前提是 α 为弧度制； ②在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用： l＝|α|R，|α|＝Rl ，R＝|αl |.S＝12|α|R2，|α|＝2RS2.
【基础自测】
状元随笔
(1)用弧度数表示与角 α 终边相同的角连同角 α 在内的集合为 {β|β＝2kπ＋α，k∈Z}． (2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与 区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角 的集合，对于能合并的应当合并.
2020学年新教材人教A版数学必修第1册讲义：5-1-2弧度制
5．1.2弧度制1．了解弧度制．2．能进行角度与弧度的互化．3．能利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式进行求解．1．角的单位制(1)角度制规定1度的角等于周角的1360，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝lr.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2．角度与弧度的换算3．扇形的弧长公式及面积公式温馨提示：(1)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l ＝|α|·r ，|α|＝l r ，r ＝l |α|；②S ＝12|α|r 2，|α|＝2Sr 2.1．在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？ [答案] 不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同2．扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？[答案] 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一个曲边三角形，弧是底，半径是底上的高3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°.( )(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．( )(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( ) (4)与45°终边相同的角可以写成α＝2k π＋45°，k ∈Z .( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×题型一 角度与弧度的互化【典例1】 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[思路导引] 角度与弧度的互化关键抓住1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. [解] (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12. (3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.角度制与弧度制互化的原则牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．[针对训练]1．－630°化为弧度为________． [详细分析] －630°＝－630×π180＝－72π. [答案] －72π2．α＝－3 rad ，它是第________象限角．[详细分析] 根据角度制与弧度制的换算，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，则α＝－3 rad ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫540π°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．[答案] 三题型二 用弧度制表示终边相同的角 【典例2】 已知角α＝2010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [思路导引] 利用终边相同的角的集合表示． [解] (1)2010°＝2010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6， 又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成 γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ<0， ∴当k ＝－3时，γ＝－296π； 当k ＝－2时，γ＝－176π； 当k ＝－1时，γ＝－56π.用弧度制表示终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数．[针对训练] 3．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π， ∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z ，又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9. 题型三 扇形的弧长公式及面积公式的应用【典例3】 已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数．[思路导引] 利用扇形的弧长公式l ＝|α|·r 及面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2求解．[解] 设扇形的圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，所在圆的半径为r .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12lr ＝4，消去l ，得r 2－5r ＋4＝0，解得r ＝1或r ＝4.当r ＝1时，l ＝8，此时θ＝8 rad>2π rad ，故舍去； 当r ＝4时，l ＝2，此时θ＝24＝12 rad ，满足题意． 故θ＝12 rad.[变式] 若本例条件改为：“已知扇形AOB 的周长为10 cm ”，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，由l ＋2r ＝10得l ＝10－2r ，S ＝12lr ＝12(10－2r )·r ＝5r －r 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫r －522＋254，0<r <5.当r ＝52时，S 取得最大值254， 这时l ＝10－2×52＝5，∴θ＝l r ＝552＝2.故该扇形的面积的最大值为254cm 2，取得最大值时圆心角为2 rad ，弧长为5 cm.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．[针对训练]4．已知扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm ，求扇形的弧长和面积．[解] ∵108°＝108×π180＝3π5，所以扇形的弧长为3π5×10＝6π(cm)， 扇形的面积为12×3π5×302＝270π(cm 2)．课堂归纳小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180° ＝π rad ”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π C ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[详细分析] “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确.1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π，所以B正确．因为1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°>1°，所以C 正确．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，所以D 错误．[答案] D2．2100°化成弧度是( ) A.35π3 B ．10π C.28π3D.25π3[详细分析] 2100°＝2100×π180＝35π3. [答案] A3．角－2912π的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[详细分析] －2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限，故选D.[答案] D4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad.[详细分析] 根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.[答案] 25．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________ cm 2.[详细分析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为2 rad ，依据弧长公式可得l ＝2r ，从而扇形的周长为l ＋2r ＝4r ＝8，解得r ＝2，则l ＝4.故扇形的面积S ＝12lr ＝12×4×2＝4 cm 2. [答案] 4课后作业(三十八)复习巩固一、选择题1．－10π3转化为角度是( ) A ．－300° B ．－600° C ．－900°D ．－1200°[详细分析] 由于－10π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3×180π°＝－600°，所以选B.[答案] B2．与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B.{}α|α＝2k π＋30°，k ∈Z C.{}α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z [详细分析] ∵与30°角终边相同的角表示为α＝k ·360°＋30°，k ∈Z ，化为弧度为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，∴选D.[答案] D3．下列说法正确的是( )A ．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B ．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C ．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D ．－120°的弧度数是2π3[详细分析] A 项中，零角的弧度数为0，故A 项错误；B 项是正确的；C 项中，用角度制和弧度制度量零角时，单位不同，但数量相同(都是0)，故C 项错误；－120°对应的弧度数是－2π3，故D 项错误．故选B.[答案] B4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[详细分析] 设扇形所在圆的半径为R ，则2＝12×4×R 2，∴R 2＝1，∴R ＝1.∴扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.[答案] C5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )[详细分析] 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z .故选C.[答案] C 二、填空题6．将－1485°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是_________． [详细分析] ∵－1485°＝－5×360°＋315°，而315°＝74π，∴应填－10π＋74π. [答案] －10π＋74π7．若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为________． [详细分析] 由于扇形面积S ＝12αr 2＝12×3×12＝32，故扇形的面积为32.[答案] 328．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________________________．[详细分析] 设两个角的弧度数分别为x ，y .因为1°＝π180 rad ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝π180.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋π360y ＝12－π360，所以所求两角的弧度数分别为12＋π360，12－π360.[答案] 12＋π360，12－π360 三、解答题 9．已知α＝1690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． [解] (1)1690°＝1440°＋250° ＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z )．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π， ∴－9736<k <4736(k ∈Z )．∴k ＝－2，－1,0,1. ∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3.求： (1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积．[解] (1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3，所以半径r ＝1sin π3＝233，所以这个圆心角所对的弧长l ＝233×2π3＝43π9. (2)由(1)得扇形的面积S ＝12×233×43π9＝4π9.综合运用11．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4D.3π4[详细分析] ∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．[答案] A12．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}[详细分析] A 集合中满足B 集合范围的只有k ＝0或k ＝－1的一部分，即只有D 选项满足．故选D.[答案] D13．若角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，且α＝π6，则在0～4π内满足要求的β＝________.[详细分析] 由角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，及α＝π6，可得β＝－α＋π2＋2k π＝π3＋2k π，令k ＝0,1可得结果．[答案] π3，7π314．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．[详细分析] 设原来圆的半径为r ，弧长为l ，弧所对的圆心角为α，则现在的圆的半径为3r 弧长为l ，设弧所对的圆心角为β，于是l ＝αr ＝β·3r ，∴β＝13α.[答案] 1315．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．[解] 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.解得t ＝4.所以第一次相遇时所用的时间是4秒．第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝4π3的终边与圆交点的位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为4π3×4＝16π3，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝2π3×4＝8π3.。
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5.2 弧度制（1）
班级 姓名 使用日期
【学习目标】
能熟练进行弧度与角度的换算。
【导学过程】
1、规定：周角 为1度的角； 叫做1弧度的角.
2、角度制与弧度制相互换算：
1弧度= （度）； 1度= （弧度）
注意：
（1）用“弧度”为单位度量角，当弧度数用π来表示时，如无特别要求，不必把π写成小数，例如
454π= 弧度，不必写成450.875≈ 弧度。
（2）角度制与弧度角制不能混用。
3、把下列各角从弧度化为角度： 7_______;6π= 4_______.3π-=
4、把下列各角从角度化为弧度：
0315________;= 072_________.-=
5、变式训练
180rad π= 360 rad
2π =
1、下列命题中，假命题的是（ ）
A 、“角度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
B 、1度的角是周角的1
360，1弧度的角是周角的12π；
C 、根据弧度的定义，一定有0180π=成立；
D 、不论是用角度制还是用弧度制量角，它们与圆的半径长短有关. 2、把下列各角从弧度化为角度：
（1）π27 rad （2）π5
4 rad
3、把下列各角从角度化为弧度:
（1）0252 （2）0'1115 （3）
【当堂训练】
1．把下列各角从弧度化为角度：
（1）12π （2）25
π （3）43π- （4）12π-
2．把下列各角从角度化为弧度：
（1）075 （2）0210- （3）0135 （4）0'2230
'6730。