数学人教版(2017年必修)高一向量数乘运算及其几何意义第一课时课件
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人教版2017高中数学(必修四)2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 PPT课件
的数乘运算的概念 向量 ． (1)定义：实数λ与向量a的积是一个________
(2)运算律：
(λμ)a ； ①λ(μa)＝________ λa＋μa ； ②(λ＋μ)a＝________ λa＋λb ． ③λ(a＋b)＝________
λa )＝λ(________) －a ，λ(a－b)＝ 特别地，(－λ)a＝－(________ λa－λb ． ________ 2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa ． _________
共线向量定理的应用
→ 如图，已知任意两个非零向量 a、b，试作OA＝ a＋ b， → → OB＝ a＋ 2b，OC＝a＋3b.你能判断 A、B、C 三点之间的位置 关系吗？为什么？ (链接教材 P89 例 6)
→ → → [解 ] 分别作向量OA、OB、OC，过点 A、 C 作直线 AC(如 图 )．由图猜想 A、B、C 三点共线． → → → 因为AB＝OB－OA
向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数．
(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； 1 (2) [2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 6 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. 1 1 (2)原式＝ (4a＋16b－16a＋8b)＝ (－12a＋24b) 6 6
用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了
要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用
平面几何的一些定理、性质，如三角形中的中位线定理， 相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量 有直接关系的向量进行求解．
(2)运算律：
(λμ)a ； ①λ(μa)＝________ λa＋μa ； ②(λ＋μ)a＝________ λa＋λb ． ③λ(a＋b)＝________
λa )＝λ(________) －a ，λ(a－b)＝ 特别地，(－λ)a＝－(________ λa－λb ． ________ 2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa ． _________
共线向量定理的应用
→ 如图，已知任意两个非零向量 a、b，试作OA＝ a＋ b， → → OB＝ a＋ 2b，OC＝a＋3b.你能判断 A、B、C 三点之间的位置 关系吗？为什么？ (链接教材 P89 例 6)
→ → → [解 ] 分别作向量OA、OB、OC，过点 A、 C 作直线 AC(如 图 )．由图猜想 A、B、C 三点共线． → → → 因为AB＝OB－OA
向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数．
(2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； 1 (2) [2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 6 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. 1 1 (2)原式＝ (4a＋16b－16a＋8b)＝ (－12a＋24b) 6 6
用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了
要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用
平面几何的一些定理、性质，如三角形中的中位线定理， 相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量 有直接关系的向量进行求解．
向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的向量，向量数乘运算有助于理解它们的几何意义。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的向量。通过向量数乘运算，可以方便地表示出速度 和加速度在不同方向上的分量，以及它们之间的变化关系。例如，在匀变速直线运动中，加速度的大 小和方向可以通过向量数乘运算来表示。
题目二
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1, - 1,2)$，$overset{longrightarrow}{b} = (3,0, - 1)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的模。
04
向量数乘运算的实例
力的合成与分解实例
总结词
力的合成与分解是向量数乘运算在实际问题中的重要应用。
详细描述
在物理学中，力的合成与分解是常见的操作。通过向量数乘运算，可以方便地表示出合力与分力之间的关系，以 及它们在不同方向上的分量。例如，当有两个力同时作用于一个物体时，可以通过向量数乘运算来计算它们的合 成效果。
THANK YOU
感谢聆听
也是通过向量数乘运算来建立的。
05
向量数乘运算的练习题及答案
向量数乘运算的练习题
题目一
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2, - 4, - 6)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的坐标。
数学人教A版高中必修42.2.3 向量的数乘及几何意义(第一课时)
第一章 集合与函数的概念
概念解析
一、向量的数乘运算
新课标A版·数学·必修1
1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量 a 的积是
一个_向__量___，这种运算叫做_向__量__的__数__乘___，记作___a_.
2．规定：
(1)长度：|λa|＝ | || a |
(2)方向：
①当______0_时，λa 的方向与 a 的方向_同__向___；
第一章 集合与函数的概念
合作通关
新课标A版·数学·必修1
类型一：数乘向量的定义及其几何意义
例 1、 (1)若两个非零向量
a
与(2x－1)a
方向相同，则
x
的取值范围为__x____12__．
(2)已知点 C 在线段 AB 的延长线上(在 B 点右侧)，且 AB∶AC＝2∶3.
①用B→C表示A→B；
②用C→B表示A→C.
14e
7
8e
7
a
4
4
（4）b
2
e
8
(
3
e)
8
a
39 4 9
第一章 集合与函数的概念
新课标A版·数学·必修1
(1)3a 2b
(2)
11
a
1
b
12 3
(3) 2ya
第一章 集合与函数的概念
课堂 小结
新课标A版·数学·必修1
第一章 集合与函数的概念
新课标A版·数学·必修1
第一章 集合与函数的概念
第一章 集合与函数的概念
1.向量加法法则:
b
a
2.向量减法法则:
b
a
知识回顾
新课标A版·数学·必修1
人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||
,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
高一数学人教A版必修4课件2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
3.解读运算律 λ(a+b)=λa+λb 的几何意义 (1)当 a,b 中有一个等于 0,或 λ=0 或 1 时,等式显然成立. (2)当 a,b 都不等于 0,且 λ≠1,λ≠0, 当 λ>0,且 λ≠1 时,如图, ������������=a,������������ =b,������������1 =λa,������1 ������1 =λb,������������=a+b,������������1 =λa+λb, 由作法知������������ ∥ ������1 ������1 , 所以|������1 ������1 |=λ|������������ |, 所以|������������1 |=λ|������������|,且������������1 与������������方向也相同, 故有 λ(a+b)=λa+λb 成立. 当 λ<0 时,同理可证. 综上,λ(a+b)=λa+λb 成立.
一
二
三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 1】 计算:(1)3(6a+b)-9 ������ + ������ ; (2) (3������ + 2������)- ������ + ������ -2 ������ + ������ ; 2 2 2 8 (3)2(5a- 4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 思路分析 :可综合运用向量数乘的运算律求解 . 解:(1)原式=18a+3b- 9a- 3b=9a; (2)原式 =
1 2 1 1 1 3 3
1
2������ + ������ -a- b=a+ b-a- b=0;
《向量数乘运算及其几何意义课件(人教A版必修)》课件
解：如图 → → ∵AD＝2DB， → → → → 2→ ∴CD＝CA＋AD＝CA＋ AB 3 → 2 → → 1→ 2→ ＝CA＋ (CB－CA)＝ CA＋ CB. 3 3 3 → 1→ → 又∵CD＝ CA＋λCB， 3 2 ∴λ＝ . 3
共线向量定理的应用
→ → BC 例3 (本题满分 9 分)已知向量AB＝a＋5b， → ＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D
③|λa|＝|λ|a；④|λa|＝λ|a|. 解析：实数λ与向量a的积λa也是一个向量,所 以①错,②正确;|λa|＝|λ||a|,所以③④错. 想一想 向量与实数可以求积，那么向量和实数可以 进行加减运算吗？ 提示：不可以．向量与实数不能进行加减运 算，如1＋a和λ－a无法运算．
2.共线向量定理 向量 a(a≠0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个 b＝λa 实数λ，使____________ ． 做一做 已知向量 a ， b 不共线，则 c ＝ a － 2b 与 d ＝－ 2a＋4b的位置关系是什么？ 提示：d＝－2c，故c＝ AB ＋ BM ＝ a＋ BC ＝ a＋ (b－ a)＝ (a 2 2 2 ＋b)． → 2→ ∵△ADN∽△ABM，AD＝ AB， 3 → 2→ 1 ∴AN＝ AM＝ (a＋b)． 3 3
变式训练
→ 2.在△ABC 中， 已知 D 是 AB 边上一点， 若AD → → 1→ → ＝2DB，CD＝ CA＋λ CB，求 λ 的值． 3
→ → 证明：∵CB＝2a－8b，CD＝3a－3b， → → → 又∵AC＝AB＋BC＝－a＋13b， → ∴CA＝a－13b.
→ → → 设CA＝xCB＋yCD＝2xa－8xb＋3ya－3yb ＝(2x＋3y)a－(8x＋3y)b＝a－13b，
新课标高中数学人教A版必修一全册课件2.3向量数乘运算及其几何意义(一) 公开课一等奖课件
讲授新课
结 论：
向
量b与
非
零
向 量a共
线,当
且
仅当
有
唯一
一
个 实 数 ， 使
得b
a
.
讲授新课
例
3.
向 量a
e1
e2
,
b
2e1
2e2
是否共线？
讲授新课
例 4. 如图，平行四边形ABCD的两条对
角线
相
交于点M
,
且
AB
a,
AD
b,
你
能用 a、b表示MA、MB、MC和 MD吗？
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
高一数学人必修课件向量数乘运算及其几何意义
空间向量基本定理的应用范围广泛，包括空 间几何、物理、工程等领域。
空间向量共面定理
空间向量共面定理指出，如果两个向 量共面，那么它们的数乘结果也一定 共面。
空间向量共面定理的应用包括空间几 何中的平面方程、直线方程等问题。
该定理说明了向量数乘运算在判断空 间向量共面时的应用，可以通过数乘 运算来验证两个向量是否共面。
。
速度、加速度的合成与分解
速度的合成与分解
物体在平面内运动时，其速度可以分解为两个互相垂直的分速度，分别沿x轴和y轴方向。通过向量数乘运算， 可以求出物体在任意方向上的速度分量。
加速度的合成与分解
物体在平面内运动时，其加速度也可以分解为两个互相垂直的分加速度，分别沿x轴和y轴方向。通过向量数乘 运算，可以求出物体在任意方向上的加速度分量。
向量与数乘定义
01
向量：既有大小又有方向的量，记作$vec{a}$或 $mathbf{a}$。
02
数乘：实数$lambda$与向量$vec{a}$的积是一个向量， 记作$lambdavec{a}$，它的长度与方向规定如下
03
$|lambdavec{a}| = |lambda| cdot |vec{a}|$
性质
满足交换律、分配律和结 合律；当两向量垂直时， 数量积为零；当两向量共 线时，数量积最大。
应用
可用于计算向量的模长、 夹角以及判断两向量是否 垂直等。
向量的应用问题
平面向量的基本定理
平面内任意向量可由两个不共线的向量线性 表示。
向量在物理中的应用
利用向量表示力、速度、加速度等物理量， 并进行相应的计算和分析。
数因子提取律
对于任意实数$lambda$和向量$vec{a}, vec{b}vec{a} = lambdavec{b}$。
高中数学高一必修第二章《向量数乘运算及其几何意义》教育教学课件
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
摸索2 已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你 能说明它们与向量a之间的关系吗？ 答
O→C＝O→A＋A→B＋B→C＝a＋a＋a＝3a；
O——′—C→′＝ O——′—A→′＋ — A—′—B→′＋ — B— ′—C→′
＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
λk－1＝0，
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
探究点四 三点共线的判定
→→ 思考 1 若存在实数 λ，使AB＝λBC，则 A、B、C 三点的位置关 系如何？ 答 由共线向量定理可得，A，B，C 三点共线⇔存在 λ∈R，使 A→B＝λB→C.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
(2)13122a＋8b－4a－2b. 解 原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)] ＝13(－3a＋6b)＝2b－a.
学习探究
2.如图，A→M＝13A→B，A→N＝13A→C. 求证：M→N＝13B→C. 证明 ∵A→M＝13A→B，A→N＝13A→C， ∴M→N＝A→N－A→M＝13A→C－13A→B＝13(A→C－A→B)＝13B→C.
线 AC(如图). 视察发觉，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线 AC上，料想A、B、C三点共线.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
因为A→B＝O→B－O→A＝(a＋2b)－(a＋b)＝b， →→→ AC＝OC－OA＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b， 故有A→C＝2A→B.因为A→C∥A→B，且有公共点 A，所以 A、B、C 三点 共线.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
摸索3 一样地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有 什么关系？ 答 λa仍旧是一个向量. (1)|λa|＝|λ||a|； (2)λ>0时，λa与a方向相同； λ<0时，λa与a方向相反； λ＝0时，λa ＝0.方向任意.
高一数学向量数乘运算及其几何意义
这是一座水上的家园林，风景奢华，这是梦境的复制。有了水才有着诗情画境，有了水才会有了那份雍容、那几分的秀色。水能载舟，亦能覆舟。水怎么能倾覆得了这梦境里的江山呢。所谓水火 不容，皇帝们当然也想到了火，有着这样多的水，火又何惧。然而一八五六年的那场罪恶之火，这样多的水，竟然是无能为力的，皇帝们在水边沉迷得太久了。
（一九三七年）
圆明园那个地方，我只去过一次。其实，一次也就足够了。游戏辅助 /yxfz/ 圆明园被侵略者点燃了，焚毁了。有人说只剩了石头，其实圆明园留下的最大一宗遗产是水。
我简略看过一张圆明园的平面图，蓬岛瑶台，上下天光，山高水长，海岳开襟，居然还有三潭印月，平明秋月。最大的一片水面叫作福海，还有后湖，大多的景物都是在水一方。处处临水，无水不 成风景，那些风景，想象力极其丰富，极其富有诗意，说是把大江南北所有出名的风景，能复制的都拷贝到那座园林之中了，背后的象征意义是深远的，也是真诚的。这不就是一座水上的江山吗？一座 江山浮在了水上，皇帝们看着它，天天想着它，看到了圆明园就想到了无限的江山。
走在空旷的圆明园遗址公园之内，我以为可以看见一些东西的。然而真的是空空荡荡，柳色清疏，树木也还郁郁葱葱。但风景已然消散，梦境不再。我站在圆明园之中，想象着当年的奢华，当年的 绮丽，当年的雍容。只有清风过耳，水色凄迷。又流淌了一百五十年的沧桑之水，苍凉之感油然而生。
（一九三七年）
圆明园那个地方，我只去过一次。其实，一次也就足够了。游戏辅助 /yxfz/ 圆明园被侵略者点燃了，焚毁了。有人说只剩了石头，其实圆明园留下的最大一宗遗产是水。
我简略看过一张圆明园的平面图，蓬岛瑶台，上下天光，山高水长，海岳开襟，居然还有三潭印月，平明秋月。最大的一片水面叫作福海，还有后湖，大多的景物都是在水一方。处处临水，无水不 成风景，那些风景，想象力极其丰富，极其富有诗意，说是把大江南北所有出名的风景，能复制的都拷贝到那座园林之中了，背后的象征意义是深远的，也是真诚的。这不就是一座水上的江山吗？一座 江山浮在了水上，皇帝们看着它，天天想着它，看到了圆明园就想到了无限的江山。
走在空旷的圆明园遗址公园之内，我以为可以看见一些东西的。然而真的是空空荡荡，柳色清疏，树木也还郁郁葱葱。但风景已然消散，梦境不再。我站在圆明园之中，想象着当年的奢华，当年的 绮丽，当年的雍容。只有清风过耳，水色凄迷。又流淌了一百五十年的沧桑之水，苍凉之感油然而生。
人教版高一数学课件-向量数乘运算及其几何意义
2.2.3 向量數乘運算及其幾何意義
問題提出
1.如何求作兩個非零向量的和向量、差
向量？
a
a
a
b
a+b b
b
a- b
2.相同的幾個數相加可以轉化為數乘運 算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那麼相 等的幾個向量相加是否也能轉化為數乘 運算呢？這需要從理論上進行探究.
探究一：向量的數乘運算及其幾何意義
思考7：如圖，若P為AB的中點，則 OP與 OA、OB 的關係如何？
O
OP 1 (OA OB) 2
A PB
思考8：向量的加、減、數乘運算統稱為 向量的線性運算，對於任意向量a、b， 以及任意實數λ、x、y，λ(xa±yb）可 轉化為什麼運算？
λ(xa±yb）=λxa±λyb.
理論遷移
例1 計算 （1）（－3）×4a；
思考4：若向量a（a≠0）與b共線，則 一定存在實數λ，使b=λa成立嗎？
思考5：綜上可得向量共線定理：向量a （a≠0）與b共線，當且僅當有唯一一 個實數λ，使b=λa. 若a＝0，上述定 理成立嗎？
思考6：若存在實數λ，使 AB BC， 則A、B、C三點的位置關係如何？
AB BC A、B、C 共线
-2× (5a)= -10a ；
2a ＋ 2b = 2(a+b)；
(3＋ 2 )a =3a＋ 2 a.
思考2：一般地，設λ，μ為實數，則 λ(μa)，(λ＋μ) a，λ(a＋b)分別 等於什麼？
λ(μa)=(λμ) a ； (λ＋μ) a =λa ＋μa； λ(a＋ b)=λa＋λb.
思考3：對於向量a（a≠0）和b，若 存在實數λ，使b=λa，則向量a與b 的方向有什麼關係？
（1）|λa|=|λ||a|；
問題提出
1.如何求作兩個非零向量的和向量、差
向量？
a
a
a
b
a+b b
b
a- b
2.相同的幾個數相加可以轉化為數乘運 算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那麼相 等的幾個向量相加是否也能轉化為數乘 運算呢？這需要從理論上進行探究.
探究一：向量的數乘運算及其幾何意義
思考7：如圖，若P為AB的中點，則 OP與 OA、OB 的關係如何？
O
OP 1 (OA OB) 2
A PB
思考8：向量的加、減、數乘運算統稱為 向量的線性運算，對於任意向量a、b， 以及任意實數λ、x、y，λ(xa±yb）可 轉化為什麼運算？
λ(xa±yb）=λxa±λyb.
理論遷移
例1 計算 （1）（－3）×4a；
思考4：若向量a（a≠0）與b共線，則 一定存在實數λ，使b=λa成立嗎？
思考5：綜上可得向量共線定理：向量a （a≠0）與b共線，當且僅當有唯一一 個實數λ，使b=λa. 若a＝0，上述定 理成立嗎？
思考6：若存在實數λ，使 AB BC， 則A、B、C三點的位置關係如何？
AB BC A、B、C 共线
-2× (5a)= -10a ；
2a ＋ 2b = 2(a+b)；
(3＋ 2 )a =3a＋ 2 a.
思考2：一般地，設λ，μ為實數，則 λ(μa)，(λ＋μ) a，λ(a＋b)分別 等於什麼？
λ(μa)=(λμ) a ； (λ＋μ) a =λa ＋μa； λ(a＋ b)=λa＋λb.
思考3：對於向量a（a≠0）和b，若 存在實數λ，使b=λa，則向量a與b 的方向有什麼關係？
（1）|λa|=|λ||a|；
人教版高一数学课件-向量数乘运算及其几何意义
ab
2b
結論: 2a+2b=2(a+b)
2a
三、向量的數乘運算滿足如下運算律：
，是实数，
（1）（ a) ( )a;
(2)( )a a a;
(3) (a b) a b.
特别地:（ ）a a a b a b
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算
例1.计算： （1）（ 3） 4a (2) 3(a b) 2(a b) a
問題: 如果把3都換成k( 不為0),結論會有什麼變化?
回饋演練：
1. 在ABC中,設D為邊ＢＣ的中點,求證:
(1)AD 1 (AB AC) (2)3AB 2BC CA 2AD
2
解：因為 AD AB BD
Ａ AB 1 BC
2
AB
1 2
(AC
AB)
1 2
(AB
BC)
（２）原式左边 AB 2AB 2BC CA
其中位移、速度，力、加速度都是向量， 而時間、品質都是數量
a 3a = a + a + a
A
B
CD
a
-3a ＝(- a
)+ (-
a
)+ (-
a)
A
B
CD
練習1:
如圖,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)..
a
Oa
a
-a B -a -a
a A OA= a+a+a =3a
第二章 平面向量 2.2 平面向量的線性運算
2.2.3 向量數乘運算及其幾何意義
復習1:向量的加法
如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.
高中数学《向量数乘运算及其几何意义(第1课时)》课件
平面向量的线性运算
——向量数乘运算
已知非零向量a , 作出a a a和( a ) ( a ) ( a ), 你能说明它们的几何意义吗？
a a O A a B a C -a
OC OA AB BC a a a 记作 3a
PN PQ QM MN ( a ) ( a ) ( a ) 记作 3a
5、完成课本91页练习11-13
(1) ( a ) ( )a; ( 2)( )a a a; (3) ( a b ) a b.
1.如何证明？ 2.如何解释运算 律的几何意义， 尤其是(3)？
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
对于任意向量a , b，以及任意实数 , 1 , 2， 恒有（1 a 2 b) 1 a 2 b
概念辨析 1.已知a, b是两个非零向量 , 下列说法正确的有_____.
2 (1) 2a的方向与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的 ； 5 (2)a b与 （b a）是一对相反向量； (3)若a, b不共线，则 a( 0)与b不共线； 2.下列说法正确的个数是 _______ (1)若 a 0，则 0； (2)若 0，则 a 0； (3)若非零向量a, b满足 a b a b , 0, 则 a与 b同向； (4)对于实数m和向量a, b，若ma mb, 则a b； (5)对于实数m, n和向量a，若ma na, 则m n; (6) a a; (7) ( a) a.
3a与a的方向相同 3a 3 a
3a与a的方向相反 3a 3 a
向量的数乘运算的定义
实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘. 记作 a，它的长度和方向规定如下： (1) a a ;
——向量数乘运算
已知非零向量a , 作出a a a和( a ) ( a ) ( a ), 你能说明它们的几何意义吗？
a a O A a B a C -a
OC OA AB BC a a a 记作 3a
PN PQ QM MN ( a ) ( a ) ( a ) 记作 3a
5、完成课本91页练习11-13
(1) ( a ) ( )a; ( 2)( )a a a; (3) ( a b ) a b.
1.如何证明？ 2.如何解释运算 律的几何意义， 尤其是(3)？
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
对于任意向量a , b，以及任意实数 , 1 , 2， 恒有（1 a 2 b) 1 a 2 b
概念辨析 1.已知a, b是两个非零向量 , 下列说法正确的有_____.
2 (1) 2a的方向与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的 ； 5 (2)a b与 （b a）是一对相反向量； (3)若a, b不共线，则 a( 0)与b不共线； 2.下列说法正确的个数是 _______ (1)若 a 0，则 0； (2)若 0，则 a 0； (3)若非零向量a, b满足 a b a b , 0, 则 a与 b同向； (4)对于实数m和向量a, b，若ma mb, 则a b； (5)对于实数m, n和向量a，若ma na, 则m n; (6) a a; (7) ( a) a.
3a与a的方向相同 3a 3 a
3a与a的方向相反 3a 3 a
向量的数乘运算的定义
实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘. 记作 a，它的长度和方向规定如下： (1) a a ;
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练习2. 教材P.90练习第5题.
讲授新课
思考
a与 a有 何 关 系 ？ (a 0)
讲授新课
思考
a与 a有 何 关 系 ？ (a 0)
结 论：
如果b a , 那么a ， b 是共线向量 .
讲授新课
思考
反过来，如果a 与 b 是 共线向量， 那么b a ？
设a , b 为任意向量， 、为任 意实数，则有： (1) ( a ) ( )a (2) ( )a a a (3) (a b ) a b
讲授新课
例 1.
讲授新课
例 2.
讲授新课
练习1.
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
O
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
O A B C
如 图：OC OA AB BC a a a 记作3a , OC与 a 的方向相同， 且 3a 3 a
讲授新课
讲授新课
P
讲授新课
D P
讲授新课
E D P
讲授新课
F E D P
讲授新课
F E D P
讲授新课
F E D P
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
2a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
2a
3( 2a )
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
2a
3( 2a )
6a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
讲授新课
F E D P
讲授新课
实数与向量的积的定义：
讲授新课
实数与向量的积的定义：
讲授新课
实数与向量的积的定义：
讲授新课
实数与向量的积的定义：
讲授新课
实数与向量的积的定义：
讲授新课
注意：
实数 与向量a，可以作积， 但不可以作加减法，即 ＋a， －a是 无 意 义 的
实数与向量的积的运算律：
a
5a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
5a
2a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
5a
2a
3a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
5a
2a
3a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
实数与向量的积的运算律：
b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
b
2b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
b
2(a b )
2b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
2.2.3向量数乘运算 及其几何意义
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
b
2(a b )
2( a b ) 2a 2b
2b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
b
2(a b )
2( a b ) 2a 2b
2b
(a b ) a b
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
O A B C
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
O A B C
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
a
2a
3( 2a )
6a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
2a
3( 2a )
6a 3( 2 a ) 6 a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
2a
3( 2a )
6a 3( 2 a ) 6 a
( a ) ( )a
讲授新课
思考
反过来，如果a 与 b 是 共线向量， 那么b a ？
结 论： 如果a ， b 是共线向量， 那么b a .
讲授新课
结 论：
向量b 与非零向量a共线, 当且仅当 有唯一一个实数 ，使得b a .
讲授新课
例 3. 向量a e1 e 2 , b 2e1 2e 2 是否共线？
讲授新课
平行四边形ABCD的两条对 例 4. 如图， 角线相交于点M , 且 AB a , AD b , 你 能用 a、b 表示 MA、MB、MC 和 MD吗？
D
b
A
M
C B
a
讲授新课
平行四边形ABCD的两条对 例 4. 如图， 角线相交于点M , 且 AB a , AD b , 你 能用 a、b 表示 MA、MB、MC 和 MD吗？
a
5a
2a
3a
( 2 3 )a 2 a 3 a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
5a
2a
3a
( 2 3 )a 2 a 3 a
( )a a a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
b
讲授新课
D
b
A
M
C B
a
练习3. 教材P.90练习第1、2、3、4题.
课堂小结
1. 实数与向量积的定义与运算； 2. 向量共线的判断：
b a 向量a 与 b 共线 ( a 0).
O A
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？
O A B
复习回顾
请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和 的长度和方向有 什么变化？