电路的等效变换

N
NS
(a) 无源一端口网络
(b) 有源一端口网络
对外只有两个端钮的电路称为一端口网络或二端 网络。依据内部是否含有独立电源，分为有源或无源 网络。
如果两个一端口网络的内部电路、元件参数并不 完全相同，但端口的伏安特性完全相同，则两个网络 互为等效。可以互相替代，即等效变换。
等效是指对外等效，对内显然不等效。
第二章 电路的等效变换
2-1 等效一端口网络的概念 2-2 无源一端口网络的等效变换 2-3 电阻三角形和星形网络的等效变换 2-4 实际电源的两种模型及其等效变换 2-5 受控源及含受控源简单电路的分析 2-6 等效电阻、输入电阻
2-1 等效一端口网络的概念 等效是一个非常重要的概念。 等效变换是一种常用的分析方法。
1
i1
u31 R1
u12
i3
3
R3 u23
R2 i2 2
1i1
i12
u31
u12
R31 R12
i31
R23
3
i
3
i23
i
2
2
u23
(a)
(b)
变换前后，两个三端网络对应点之间的电压不
变；流入对应点的电流不变。
(a)
i1 i2 i3 0
R1i1 R2i2 u12
联立求出各电流
R2i2 R3i3 u23
令 R R1 R2 Rn R为总电阻
u Ri
(b)
(2 1) (2 2)
串联电路中第k各电 阻上的电压为：
uk
Rk i
Rk R
u
分压公式
i R1 R2
Rn
u1 u2 ... un
u
串联电路在任一时刻吸收的功率
p ui (u1 u2 un )i (R1 R2 Rn )i2 Ri2
1 R31
u31
i
2
i23
i12
Fra Baidu bibliotek
1 R23
u23
1 R12
u12
(2 9)
i
3
i31
i23
1 R31
u31
1 R23
u23
3
两组式子的对应系数应相等
1i1
i12
u31
u12
R31 R12
i31
R23
i
3
i23
i
2
2
u23
整理后得到两种网络的变换公式
R12
R1R2
R2R3 R3
R3R1
⑴ S1、S5闭合； ⑵ S2、 S3 和S5闭合； ⑶ S1、 S3 和S4闭合。
S4
S2 S5
a
R1
R2
R3
R4
b
S3
S1
⑴ S1、S5闭合 ⑵ S2、 S3 和S5闭合 ⑶ S1、 S3 和S4闭合
Rab R1 R2 R3 3 Rab R1 R2∥R3∥R4 1.333 Rab R1∥R4 0.5
2.电容、电感的串并联
i u1 u2 un
u
C1
C2 Cn
i
i1
i2
u C1
C2
in
Cn
对串联电路由元件的VCR及KVL（KCL）
u
u1
u2
un
1 C1
idt 1 C2
idt 1 Cn
idt 1 C
idt
1 1 1 1
对并联电路
C C1 C2
Cn
i
i1
i2
在电阻串联电路中，任一时刻电路吸收的总功率 等于各电阻吸收的功率之和。
⑵ 并联 并联电路的特点是：各电阻上为同一个电压。
i
i1
u R1
i2
R2
in Rn
i
u
R
(a)
(b)
i
i1
i2
in
(1 R1
1 R1
1 Rn
)u
i 1u R
1 1 1 1
R R1 R2
Rn
G G1 G2 Gn
(2 4) (2 5) (2 6) (2 7)
in
C1
du dt
C2
du dt
Cn
du dt
C
du dt
C C1 C2 Cn
i u1 u2 un
L1
L2 Ln
u
i
i1
i2
in
u
L1
L2 Ln
对串联电路由元件的VCR及KVL可以导出
L L1 L 2 Ln
对并联电路由元件的VCR及KCL可以导出
1 1 1 1
L L1 L2
Ln
2-3 电阻三角形和星形网络的等效变换
R1、R2、R5 和 R3、R4、R5 是三角形（Δ）接法；
R1、R3、R5 和 R2、R4、R5 是星形（Y）接法。
R1 R5
R3
R2
R4
a
b
电路分析过程中，有时需要进行两种连接形式的 等效变换。如欲求等效电阻Rab，需要将一组Δ（Y） 形接法变换成Y（Δ）形接法。
如果Y形或Δ形网络的三个电阻相等，则
R12 R23 R31 R 3RY
RY
1 3
R
【例2-3】 求a、b之间的总电阻Rab。 解 方法一 将①②③点的Y形转换成Δ形，用式 (2 计10算) 。
①③和③②之间两两并联，再与3.4Ω并联，求出总电阻。
研究一端口网络等效变换的目的，是使一个复杂 电路在一步步的等效变换中，逐渐简单化，最终等效 变换成一个简单电路。
2-2 无源一端口网络的等效变换
1.电阻的串并联
⑴ 串联
i R1 R2
Rn
u1 u2 ... un
u
i
u
R
(a)
u u1 u2 un R1i R2i Rni (R1 R2 Rn )i
i1
R1R2
R3 R2 R3
R3 R1
u12
R1R2
R2 R2 R3
R3 R1
u31
i2
R1R2
R1 R2 R3
R3 R1
u23
R1R2
R3 R2 R3
R3 R1
u12
i3
R1R2
R2 R2 R3
R3 R1
u31
R1R2
R1 R2 R3
R3 R1
u23
(2 8)
i
1
i12
i31
1 R12
u12
分流公式
ik
u Rk
Gku
Gk G
i
i
i1
u R1
i2
R2
总功率
p
ui
u(i1
i2
in )
u2(
1 R1
1 R2
1 Rn
)
u2 R
in Rn
电路吸收的总功率等于各个电阻吸收的功率之和。
两个电阻并联，等效电阻为
11 1 R R1 R2
得 R R1R2
R1 R2
有时记为
R
R1∥R2
R1R2 R1 R2
R1
R2
R1R2 R3
R23
R1R2
R2R3 R1
R3R1
R2
R3
R2 R3 R1
R31
R1R2
R2R3 R2
R3R1
R3
R1
R3 R1 R2
R1
R12
R12 R31 R23
R31
R3
R12
R31R23 R23
R31
R2
R12
R23 R12 R23
R31
(2 10) (2 11)
i
i1
u R1
i2 R2
n个相同的电阻并联时，其等效电阻Req为
Req =
R n
混联电路的等效电阻为
R1
R2
Req R1 R5∥(R2+ R3∥R4 )
R5
R3 R4
【例2-1】 求电阻网络的等效电阻（电阻值单位 Ω）
a
4
b
4
4
4
4 4
2
a
4
b
2
4 2 2
a
2
4 2
b
R eq 2
【例2-2】 四个电阻均为1Ω，求a、b之间的电阻值。