2.求根课件

第2章非线性方程的求根方法本章探讨函数方程求根的常用数值方法的构造和原理，主要介绍非线性方程求根方法的有关知识和方法.重点论述二分法、简单迭代法、牛顿迭代法及其变形的原理、构造、收敛性等内容。

2.1 实际案例如下关于角度α的方程1.4cos (10.5tan )0.320αα⋅--=来自某种门的气压控制问题，工程师要求出满足如上方程的α的值以设计出一种自动控制装置。

2.2问题的描述与基本概念定义2.1 设f(x)为一元连续函数，称f(x)=0 （2.1）为函数方程；当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。

非线性方程中，当函数f(x)是多项式函数时，称为代数方程，否则称为超越方程。

n 次代数方程00111=++⋅⋅⋅++--a x a xa x a n n n n在非线性方程中，绝大部分是没有求根公式的，因此寻找求近似根的方法是非常重要!。

●求根问题的本质根的存在性、根的范围和根的精确化根的精确化是方程求根问题的核心。

●数值分析中求根方法分类两类：区间法,迭代法方法共同点是构造收敛根的数列{}k x。

定义2.2 设数列{}x收敛于x*，若存在正k数p和C，满足则称{}x的收敛阶为p或方法具有p阶敛速。

k●当p＝1时，称方法线性收敛；●当p＝2时，称方法平方收敛；●p>1时称方法超线性收敛。

收敛阶越大，收敛越快，方法越好！2.3 二分法二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。

基本思想利用连续函数零点定理，将含根区间逐次减半缩小，构造点列{}k x来逼近根x*。

1. 构造原理假设()0f x =在区间[,]a b 中只有一个根，且满足()()0f a f b <，则二分法求根数列{}k x 的构造过程为：① 记0[,]I a b =，取0I 的中点00.5()x a b =+，计算0()f x ； ② 判别0()f x 的值若0()0f x =，则*0x x =，终止；若0()()0f x f a <，则*0[,]x a x ∈，取10[,]I a x =；若0()()0f x f a >，则*0[,]x x b ∈，取10[,]I x b =;③ 记111[,]I a b =，取1I 的中点1110.5()x a b =+④ 判别10x x ε∣-∣<是否成立（ε为给定的精度） 若成立，取x *≈x 1，终止； 否则用1I 代替0I ，转①。

按上述步骤求根的方法称为二分法。

（过程一般是重复的，其描述要写出其重复体）求根数列{}k x 描述若记第k 次二分区间处理得到的含根区间为[,]k k k I a b =，则有二分法对应的求根数列算式为0.5()k k k x a b =+，0,1,2,k = 。

2.分析因为*,0,1,k x I k ∈= ，且012I I I ⊃⊃⊃⋯，所以有k x 的误差满足*1121111()()()222k k k k k k x x b a b a b a --+-≤-=-=⋯=- （2.2）于是当k →∞时，由11()02k b a +-→得到*kx x →说明由二分法产生的数列{}k x 总是收敛于根x *的。

计算次数控制给定精度0>ε后，要*k x x ε-<成立，取k 满足11()2k b a ε+-<即可，解出k ，有（2.3）（事先估计）这样就可以保证进行k 次二分计算得到的 x k 就是满足精度要求的近似根。

式（2.3）确定的k 往往偏大，主要用于理论估计。

由二分法的构造，有12k k k k b a x x --=-故总成立有（2.4）（事后估计）因而当1k k x x ε--≤时就有*k x x ε-≤，此时x k 是满足精度的近似根。

式（2.4）确定的k 往往较小，主要用于实际控制。

例2.1用二分法求方程32510x x --=在区间[1，2]内的根，绝对误差210ε-≤。

解 令3()251f x x x =--，则2'()65f x x =-， 因为(1)0f <，(2)0f >，且'()f x 在[1，2]内不变号。

可知方程()0f x =在[1，2]内有唯一根。

由二分法算法有0[1,2]I =，00.5(12) 1.5x =+= 由0()(1)0f x f >，得10[,2][1.5,2]I x ==，10.5(1.52) 1.75x =+=由01()()0f x f x <，得21[1.5,][1.5,1.75]I x ==，20.5(1.5 1.75) 1.625x =+=类似计算，可得4[1.625,1.6875]I =，4 1.65625x =；5[1.6525,1.6875]I =，5 1.671875x =，2540.01562510x x --=>；6[1.671875,1.6875]I =，6 1.679688x =，22650.0078130.78131010x x ---==⨯<得近似解 *6 1.679688x x ≈=例2.2 写出二分法求根的算法。

解 二分法算法可以由计算过程和误差控制给出，设非线性方程为()0f x =，0ε>为给定的精度。

因为()f x 是实数，为描述其为零的情况，引入充分小的数10ε>表示()0k f x =。

此外，借助计算机的存贮特点，将二分法中的数列a k 都存在变量a 中，b k 都存在变量b 中，用变量x 记录x k ，由此得二分法算法二分法算法输入 a ，b ，()f x ，ε，1ε输出 根x 步骤： ①0.5()x a b ⇐+② 若1()f x ε∣∣<, 则输出根x ，停止 ③ 若()()0f a f x <，做b x ⇐否则做 a x ⇐④ 若 b a ε-≤ 则输出根x ，停止 否则转①注：数值实验的编程二分法程序：Clear[x]f[x_]=Input[“键入函数f(x)=”];a= Input[“键入左端点a=”];b=Input[“键入右端点b=”];Print[“a=”,a, “b=”,b, “ f(x)=”,f[x]]e1=10^(-10);eps=Input[“键入根的误差限eps=”];n=0;While[b-a>eps,x=(a+b)/2;n=n+1;w=f[x];If[Abs[w]<e1,Print[“n=”,n, “x=”,x, “ f[x]=”,w];Break[]];p=f[a]*w//N;If[p<0,b=x,a=x];Print[“n=”,n, “x=”,x//N, “eps=”,b-a//N]]说明：本程序用于求非线性方程f(x)=0在区间[a,b]内的根，这里要求f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)f(b)<0。

程序执行后，先通过键盘输入函数f(x)和区间左端点a和右端点b及根的精度要求e，程序即可给出每次二分的次数和对应的点列x k，其中最后输出的结果即为所求的根。

程序中变量说明：x：存放初值x 0和二分法中的x ka: 存放含根区间的左端点akb: 存放含根区间的右端点bke1:描述f(xk)=0的微小值,这里用|f(xk)|<e1表示f(xk)=0n: 存放二分次数注：语句If[p<0,b=x,a=x]中p的一定要是算出的数值，否则会出现错误。

本程序中用“p=f[a]*w//N”而不用“p=f[a]*w”就是这个原因。

2.4 简单迭代法基本思想利用对方程做等价变换根不发生变化的特点，将方程()0f x =等价变形为()x x ϕ=，获得迭代计算公式1()k k x x ϕ+=由它算出逼近根x *的数列{}k x 。

1. 构造原理① 将()0f x =改写成一等价形式()x x ϕ=； ② 构造迭代公式1()k k x x ϕ+=； ③ 取定一个初值x 0，由迭代公式算出数列()() ,,1201x x x x ϕϕ==。

由上述得出{}k x 称为迭代数列， 函数()x ϕ为迭代函数。

如上方法称为简单迭代法。

就迭代格式而言，一般情况下，迭代函数ϕ把点k x 变为1()k k x x ϕ+=后，有1k k x x +≠，此两点是不同；但对根*x ，有**()x x ϕ=，ϕ变不动它，点*x 形象的称为()x ϕ的不动点， 称方程()x x ϕ=为不动点方程。

非线性方程求根问题就是求对应的迭代函数不动点的问题。

2.简单迭代法的几何意义方程()x x ϕ=的根，在几何上就是直线y x =与曲线()y x ϕ=交点的横坐标*x ,如图2-4所示。

3.分析 按简单迭代法计算产生的数列{}k x 能收敛到根x * 吗？先假设{}k x 是收敛的，不妨设lim k k x x →∞=。

函数()x ϕ一般是连续的，有说明迭代数列k x 的极限就是所求的根，故用简单迭代法求根是可行的。

但：由方程()0f x =，可以得到很多的不动点方程，例如方程510x x --=，它的不动点方程可以有51x x =-，43x x x --=+，x = 是否这些方程的每个迭代格式产生的迭代数列都是收敛的呢？考虑方程1020x x -+=，其在1x =附近有一个根。

若选择迭代不动点方程l g (2)x x =+建立迭代格式()2lg 1+=+k k x x取10=x 进行迭代计算得10.477121x =，20.393947x =，…，130.375812x =，140.375812x =此数列是收敛的，得近似根0.375812。

但如果选择不动点方程102xx =-建立迭代格式2101-=+k xk x也取10=x 进行计算，就有18x =，299999998x =，999999983102x =-，… 显然这个数列肯定不收敛。

判别收敛的充分条件。

定理2.1 设迭代函数()x ϕ满足两个条件1.当[,]x a b ∈时，有()[,]x a b ϕ∈；2.任取12,[,]x x a b ∈，存在常数1L <满足1212()()x x L x x ϕϕ∣-∣≤∣-∣则有1.()x ϕ在[,]a b 中有唯一的不动点*x ;2.迭代公式1()k k x x ϕ+=对任取0[,]x a b ∈，产生的数列{}k x 都收敛于*x 。

证明存在性易证迭代函数 ()[,]x C a b ϕ∈。

作辅助函数()()x x x ψϕ=-显然()[,]x C a b ψ∈。

由条件1知()()0a b ψψ≤由中值定理，至少存在一个[,]a b ξ∈，使()0ψξ=，即()ξϕξ=，这说明()x ϕ在[,]a b 上有不动点ξ。