概率统计作业第一章自测题
概率论与数理统计01-第一章作业及答案
习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ).(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ).(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = ,本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色;(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数.解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }.3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件：(1) 仅有A 发生；(2) A , B , C 中至少有一个发生;(3) A , B , C 中恰有一个发生;(4) A , B , C 中最多有一个发生;(5) A , B , C 都不发生;(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生.解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C .4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：(1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)23A A ； (6)12A A .解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题(1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ .(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0.解 本题答案应选(C).2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= ,故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-3. 已知()0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 知()0.3P AB =. 于是()()()0.1.P AB P A P AB =-=4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB .解 由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.解 因为ABC AB ⊂,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0.由概率一般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是5()()1()12P ABC P A B C P A B C ==-=.习题1-41. 选择题 在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为113225C C C ⨯, 没有一等品的概率为023225C C C ⨯, 将两者加起即为0.7.答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C . 3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有29C 种，两个球都是白球的取法有24C 种，一黑一白的取法有1154C C 种，由古典概率的公式知道 (1) 两球都是白球的概率是2924C C ; (2) 两球中一黑一白的概率是115429C C C ; (3) 至少有一个黑球的概率是12924C C -. 习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件.(C) AB B =. (D)()()P AB P B =.解 由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.(B) 若()1P B A =, 则()0P AB =.(C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件.(D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解 由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}.解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813. 3. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表示“恰有i 发击中目标”. i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中目标概率为0()0.60.50.30.09P B =⨯⨯=,恰有一发击中目标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,恰有两发击中目标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,恰有三发击中目标概率为3()0.40.50.70.14P B =⨯⨯=.又已知 0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到30()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑4. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.解 (1)以A 表示“取得球是白球”，i H 表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A == 5. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.20.0384.=⨯+⨯+⨯=. (2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ⨯===, 222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ⨯===, 333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ⨯===. 习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件.解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).(3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0<P (B )<1, 则下列说法错误的是( ).(A) (|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.(C) A 与B 一定互斥. (D)()()()()()P A B P A P B P A P B =+- .解 因事件A 与B 独立, 故A B 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C = , 求()P A .解 根据一般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+ . 由题设可知 A , B 和C 两两相互独立, ,ABC =∅ 1()()()2P A P B P C ==<, 因此有 2()()()[()],()()0,P A B P A C P B C P A P A B C P ====∅= 从而 29()3()3[()]16P A B C P A P A =-=, 于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =. 3. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率；(3) 目标被命中的概率.解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==⨯= (2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=⨯+⨯=(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=总 习 题 一1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)A B 与C . (B)AC 与C .(C) A B -与C . (D) AB 与C .解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为9551910099396⨯=⨯. (1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为95559519.10099198⨯+⨯=⨯ 3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有21的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产41. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设 A ={取到的产品是次品}, B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =∅(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41, P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004, 由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221⨯+⨯+⨯=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ⨯====. 5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02, 而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====. 由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。
概率复习题自测题解答
概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答第一章 复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。
解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。
解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n nn n----+--=⋅+⋅=--当n 为偶数时：1122222()112(1)nnn nn P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。
解： 21411136xS dx dy --==⎰⎰13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。
考研数学概率论与数理统计第一章测试题(含答案)
考研数学概率论与数理统计第一章测试题（含答案）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.对于任意二事件A 和B ，与B B A = 不等价．．．的是 （ ） (A)B A ⊂ (B)A B ⊂ (C)φ=B A (D)φ=B A2.设事件A 与事件B 互不相容，则 （ ） (A)0)(=B A P (B))()()(B P A P AB P = (C))(1)(B P A P -= (D)1)(=B A P3.对于任意二事件A 和B ，则以下选项必然成立的是 （ ）(A)若φ≠AB ，则B A ,一定独立 (B)若φ≠AB ，则B A ,有可能独立(C)若φ=AB ，则B A ,一定独立 (D)若φ=AB ，则B A ,一定不独立4.设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 （ ） (A)A 与B 互不相容 (B)A 与B 相容 (C))()()(B P A P AB P = (D))()(A P B A P =-5.设B A ,为任意两个事件，且B A ⊂，0)(>B P ，则下列选项必然成立的是 （ ）(A))|()(B A P A P < (B))|()(B A P A P ≤ (C))|()(B A P A P > (D))|()(B A P A P ≥6.设B A ,为两个随机事件，且0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有 （ ）(A))()(A P B A P > (B))()(B P B A P >(C))()(A P B A P = (D))()(B P B A P =7.已知1)(0<<B P ，且)|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P += ，则下列选项成立的是（ ） (A))|()|(]|)[(2121B A P B A P B A A P += (B))()()(2121B A P B A P B A B AP += (C))|()|()(2121B A P B A P A A P += (D))|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=8.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=1A {掷第一次出现正面}，=2A {掷第二次出现正面}，=3A {正、反面各出现一次}，=4A {正面出现两次}，则事件 （ ）(A)321,,A A A 相互独立 (B)432,,A A A 相互独立(C)321,,A A A 两两独立 (D)432,,A A A 两两独立9.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p （10<<p ），则此人第4射击恰好第2次命中目标的概率为 （ ）(A)2)1(3p p - (B)2)1(6p p - (C)22)1(3p p - (D)22)1(6p p -10.设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)()(0<<<C P AC P ，则在下列给定的四对事件中不．相互独立的是 （ ） (A)B A 与C (B)AC 与C (C)B A -与C (D)AB 与C二、填空题（每小题2分，共14分）1.“C B A ,,三个事件中至少有两个发生”，这一事件可以表示为___2.若事件B A ，满足()()1>+B P A P ，则A 与B 一定____________3.在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于21的概率为 4.在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
概率论与数理统计自测题
概率论与数理统计自测题（第一章）一、选择题（毎小题3分,共15分）：1. 在某学校学生中任选一名学生，设事件A 表示“选出的学生是男生”，B 表示“选出的学生是三年级学生”，C 表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC 的含义是（ ）.（A ）选出的学生是三年级男生；（B ）选出的学生是三年级男子篮球运动员； （C ）选出的学生是男子篮球运动员； （D ）选出的学生是三年级篮球运动员；2. 在随机事件C B A ,,中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为（ ）.（A ）C B C A（B ）C AB （C ）BC A C B A C AB（D ）C B A3．甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，设A 为甲胜，B 为乙胜，则甲胜乙输的概率为（ ）.（A ）6.06.0⨯ （B ）4.06.06.0⨯- （C ）4.06.0- （D ）0.6 4．下列正确的是（ ）.（A ）若)()(B P A P ≥，则A B ⊆ （B ）若B A ⊂，则)()(B P A P ≥（C ）若)()(AB P A P =，则B A ⊆ （D ）若10次试验中A 发生了2次，则2.0)(=A P 5．设A 、B 互为对立事件，且0)(,0)(>>B P A P ，则下列各式中错误的是（ ）.（A ）0)|(=A B P （B ）0)|(=B A P （C ）0)(=AB P（D ）1)(=B A P二、填空题（毎小题3分, 共15分）：1．A 、B 、C 代表三件事，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 ． 2．已知)()(),()()(,161)(B A P B A P B P A P AB P B A P ===，则)(A P = ． 3．A 、B 二个事件互不相容，1.0)(,8.0)(==B P A P ，则=-)(B A P ． 4．对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为7.0,5.0,4.0，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 ．5．设A 、B 、C 两两相互独立，满足21)()()(,<==Φ=C P B P A P ABC ，且已知169)(=++C B A P ，则=)(A P ． 三、判断题（正确的打“√”，错误的打“⨯”，毎小题2分,共10分）:1. 设A 、B 为任意两个互不相容事件，则对任何事件AC C ,和BC 也互不相容． [ ]2．概率为零的事件是不可能事件．[ ]3. 设A 、B 为任意两个事件，则)()()(AB P A P AB A P -=- ． [ ]4. 设A 表示事件“男足球运动员”，则对立事件A 表示“女足球运动员” ．[ ]5. 设0)(=A P ，且B 为任一事件，则A 与B 互不相容，且相互独立 ．[ ] 四、（6分）从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概率．五、（6分）3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为41,31,51若让他们共同破译的概率是多少？六、（10分）已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率．七、（10分）假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率． 八、（10分）设21)(,31)(==B P A P ． 1. 若Φ=AB ，求)(A B P ；2. 若B A ⊂，求)(A B P ；3. 若81)(=AB P ，求)(A B P ． 九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂．两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05，一件不合格品被认为合格的概率为0.01，已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率．十、（8分）设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P ，试证事件A 与B 相互独立．概率论与数理统计自测题 （第二章）一、选择题（每小题3分, 共15分）:1．设随机变量X 的分布律为),2,1(}{ ===k b k X P k λ，则（）.（A ）10<<λ，且11--=λb （B ）10<<λ，且1-=λb （C ）10<<λ，且11-=-λb（D ）10<<λ，且11-+=λb2．设随机变量X 的密度函数为xx Ae x f 22)(+-=，则（ ）.（A ）πe（B ）πe 1 （C ）πe 1（D ）πe 23．设随机变量X 的概率密度和分布函数分别是)(x f 和)(x F ，且)()(x f x f -=，则对任意实数a ，有=-)(a F （）.（A ）)(21a F - （B ）)(21a F + （C ）1)(2-a F （D ）)(1a F -4．设相互独立的随机变量Y X ,具有同一分布，且都服从区间[0，1]上的均匀分布，则在区间或区域上服从均匀分布的随机变量是（）.（A ）（Y X ,）（B ）Y X +（C ）Y X -（D ）2X5．设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF x F -=是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）.（A ）52,53-==b a （B ）32,32==b a （C ）23,21=-=b a（D ）23,21-==b a二、填空题（每小题3分, 共15分）: 1．二维随机变量（Y X ,）的联合分布律为:则α与β应满足的条件是 ，当Y X ,相互独立时，α= ．2．二维随机变量（Y X ,）的联合密度为：])()[(212122221121),(σμσμσπσ-+--=y x ey x f ，则X的边缘概率密度为 ．3．连续型随机变量X 的概率密度为其它10,0,)(2<<⎩⎨⎧=x kx x f ，则常数=k ．4．设)02.0,10(~2N X ，已知Φ(2.5)=0.9938，则=<≤}05.1095.9{X P ． 5．设Y X ,是相互独立的随机变量，),3(~),,2(~22σσ-N Y N X ，且95.0}7654.8|12{|=≤-+Y X P ，则σ= ．三、（12分）随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=4||,04||,cos )(ππx x x A x f ，试求（1）系数A ；（2）X 的分布函数；（3）X 落在⎪⎭⎫⎝⎛6,0π内的概率． 四、（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为5=θ的指数分布．设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h 便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数．五、（10分）随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00)(,x x e x f x ；求2X Y =的概率密度．六、（12分）随机变量X 和Y 均服从区间[0，1]上的均匀分布且相互独立．七、（12分）已知随机变量Y X 与的分布律为:且已知1}0{==XY P ．（1）求（Y X ,）的联合分布律；（2）Y X 与是否相互独立？为什么？八、（12分）设Y X ,是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为:⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f x ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(y y e y f y Y求随机变量Y X Z +=的概率密度函数．概率论与数理统计自测题（第三章）一、选择题（毎小题3分, 共6分）:1. 对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（ ）.（A ）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.42．若)()(Y X D Y X D +=-，则（ ）.（A ）X 与Y 独立（B ）)()(Y D X D = （C ）0)(=+Y X D（D ）X 与Y 不相关二、判断题（每小题3分, 共12分）: 1．设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞+=x x x f ,)1(1)(2π，则)(X E =0．（ ） 2．设),0(~2σN X ，则对任何实数a 均有：),(~22a a N a X ++σ．（）3．设),(~2σμN X ，Y 从参数为λ的指数分布，则2222)(σμ+=+Y X E ．（ ） 4．设)()()(Y E X E XY E =，则X 与Y 独立．（ ）三、填空题（每空2分, 共22分）:1则)(X E = ，)(X D = ，)(Y E = ，)(Y D = ，),cov(Y X = ，=XY ρ ．2．设连续型随机变量X 概率密度为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,2)(x ax x f ，且31)(=X E ，则常数=a ．3．设随机变量X 的数学期望5)(,.75)(==X D X E ，且05.0}|75{|≤≥-k X P ，则≥k ．4．对圆的直径作近似测量，测量近似值X 均匀分布于区间],0[a 内，则圆面积的数学期望是 ．5．设随机变量X 与Y 相互独立，且)1,0(~),,2,1(~N Y N X ．令32++-=X Y Z ，则=)(Z D ．6．设随机变量（Y X ,）在区域}||,10|),{(x y x y x D <<<=内服从均匀分布，则=++)253(Y X E ．四、（10分）设随机变量（Y X ,）的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它,010,20),(31),(y x y x y x f求数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X 及相关系数XY ρ．五、（10分）设有甲、乙两种投资证券，其收益分别为随机变量21,X X ，已知均值分别为21,μμ，风险分别为21,σσ，相关系数为ρ，现有资金总额为C （设为1个单位）．怎样组合资金才可使风险最小？六、（10分）设随机变量X 的分布密度为⎩⎨⎧≤≤-=其它,010),1()(x x ax x f ，求)(),(,X D X E a 和})(2|)({|X D X E X P <-．七、（10分）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从密度为⎩⎨⎧≤>=-0)(x x e x f x，的分布，求（1）X +Y 的分布密度；（2）求)(XY E ．八、（10分）设随机变量X 服从泊松分布，6)(=X E ，证明：31}93{≥<<X P ．九、（10分）X 为连续型随机变量，概率密度满足：当],[b a x ∉时，0)(=x f ，证明：2)2()(,)(a b X D b X E a -≤≤≤．《概率论与数理统计》试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。
概率论与数理统计第一章自测题及答案
第一章 自测题一、填空题（每小题2分，共计10分）1.概率()P A 是刻划____________________ ___的指标.2.实际推断原理的内容是 .3.设,,A B C 分别代表甲，乙，丙命中目标，则ABC 表示 .4.将红、黄、蓝3个球随机的放入4个盒子中，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球的概率是 .5.设,A B 为随机事件，已知().,().().0705, 03P A P B P A B ==-=，则()P AB = ；()P B A -= .二、是非题（每小题2分，共计20分）1.（ ）从一批产品中随机抽取100件，发现5件次品，则该批产品的次品率为5%.2.（ ）若事件,A B 为对立事件，则A 与B 互斥，反之不真.3.（ ）对于事件,A B ，若()0P AB =，则A 与B 互斥.4.（ ）在古典概型的随机试验中，()0P A =当且仅当A 是不可能事件.5.（ ）若0()1P B <<且()(|)P A P A B =，则()(|)P A P A B =.6.（ ）设A 与B 是两个概率不为零的互不相容事件，则()()()P AB P A P B =.7.（ ）对于事件,,A B C ，若()()()()P ABC P A P B P C =，则()()()P AB P A P B =.8.（ ）设随机事件A 分别与随机事件B 、C 独立，则A 也与事件B C 独立.9.（ ）设随机事件,,A B C 相互独立，则A 与B C 相互独立.10.（ ）设()0P C >且()()()P AB C P A C P B C =，则()()()P AB P A P B =.三、选择题（每小题2分，共计10分）1.某学生参加两门外语考试，设事件i A ={第i 门外语考试通过} (i =1,2)，则事件{两门外语考试至少有一门没通过}可以表示为( ). (A) 12A A ； （B ）1212A A A A ； （C ）12A A ； （D ）12A A2.设事件,,A B C 满足关系式ABC A =，则关系式的意义是( ).（A ）当A 发生时，B 或C 至少有一个不发生； （B ）当A 发生时，B 和C 必定都不发生；（C ）当B 和C 都不发生时，A 必定发生； （D ）当B 或C 至少有一个不发生时，A 必定发生.3.设事件,A B 满足()1P A B =，则（ ）.（A ）A B ⊃；（B ）B A ⊃；（C ）()0P B A =；（D ）()()P AB P B =.4.设0()1,0()1P A P B <<<<，且()()1P A B P A B +=，则（ ）.（A ）A 、B 互斥； （B ）A 、B 独立； （C ）A 、B 不独立； （D ）A 与B 互逆.5.设,,A B C 是三个相互独立的事件，且0()1P C <<，则下列四对事件中，不独立的是（ ）.（A ）A B 与C ；（B ）AC 与C ；（C ）A B -与C ；（D ）AB 与C .四、计算1. （10分）设事件,A B 满足()0.6,()0.5,()0.2P A P B P AB ===，求(),()P A B P B A .2. （5分）已知事件,A B 满足()()P AB P AB =，且()P A p =，求()P B .3. （5分）10个运动队平均分成两组预赛，计算最强的两个队被分在同一组内的概率.4. （10分）某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中34的病人服此药，14的病人不服此药，五天后有70%的病人痊愈.已知不服药的病人五天后有10%可以自愈.（1）求该药的治愈率；（2）若某病人五天后痊愈，求他是服此药而痊愈的概率.5. （10分）甲袋中有两个白球，四个黑球，乙袋中有四个白球，两个黑球.现在掷一均匀硬币，若得正面就从甲袋中连续摸n 次球（取后放回），若得反面就从乙袋中摸n 次.若已知摸到的n 个球全是白球.求这些球是从甲袋中取出的概率.6. （10分）12个乒乓球中3个旧的，9个新的.第一次比赛时取出三个用完后放回，第二次比赛时又取出三个.求第二次取出的三个中有两个新球的概率.五、（10分）几何概型的样本空间S 与随机事件,A B 如图所示，试证,A B 相互独立.第一章 自测题参考答案一、填空题（每小题2分，共计10分）1.概率()P A 是刻划 一次试验随机事件A 发生的可能性很小 ___的指标.2.实际推断原理的内容是 一次试验小概率事件一般不会发生 .3.设,,A B C 分别代表甲，乙，丙命中目标，则ABC 表示 甲、乙、丙至少一人没命中目标 .4.将红、黄、蓝3个球随机的放入4个盒子中，若每个盒子的容球数不限，则有三个盒子各放一个球的概率是3433!4C .5.设,A B 为随机事件，已知().,().().0705, 03P A P B P A B ==-=，则()P AB = 0.4 ；()P B A -= 0.1 .二、是非题（每小题2分，共计20分）1.（ ⨯ ）从一批产品中随机抽取100件，发现5件次品，则该批产品的次品率为5%.2.（ √ ）若事件,A B 为对立事件，则A 与B 互斥，反之不真.3.（ ⨯ ）对于事件,A B ，若()0P AB =，则A 与B 互斥.4.（ √ ）在古典概型的随机试验中，()0P A =当且仅当A 是不可能事件.5.（ √ ）若0()1P B <<且()(|)P A P A B =，则()(|)P A P A B =.6.（ ⨯ ）设A 与B 是两个概率不为零的互不相容事件，则()()()P AB P A P B =.7.（ ⨯ ）对于事件,,A B C ，若()()()()P ABC P A P B P C =，则()()()P AB P A P B =.8.（ ⨯ ）设随机事件A 分别与随机事件B 、C 独立，则A 也与事件B C 独立.9.（ √ ）设随机事件,,A B C 相互独立，则A 与B C 相互独立.10.（ ⨯ ）设()0P C >且()()()P AB C P A C P B C =，则()()()P AB P A P B =.三、选择题（每小题2分，共计10分）1.某学生参加两门外语考试，设事件i A ={第i 门外语考试通过} (i =1,2)，则事件{两门外语考试至少有一门没通过}可以表示为( D ).(A) 12A A ； （B ）1212A A A A ； （C ）12A A ； （D ）12A A 2.设事件,,A B C 满足关系式ABC A =，则关系式的意义是( A ).（A ）当A 发生时，B 或C 至少有一个不发生； （B ）当A 发生时，B 和C 必定都不发生；（C ）当B 和C 都不发生时，A 必定发生； （D ）当B 或C 至少有一个不发生时，A 必定发生.3.设事件,A B 满足()1P A B =，则（ D ）.（A ）A B ⊃；（B ）B A ⊃；（C ）()0P B A =；（D ）()()P AB P B =.4.设0()1,0()1P A P B <<<<，且()()1P A B P A B +=，则（ B ）.（A ）A 、B 互斥； （B ）A 、B 独立； （C ）A 、B 不独立； （D ）A 与B 互逆.5.设,,A B C 是三个相互独立的事件，且0()1P C <<，则下列四对事件中，不独立的是（ B ）.（A ）A B 与C ；（B ）AC 与C ；（C ）A B -与C ；（D ）AB 与C .四、计算1. （10分）设事件,A B 满足()0.6,()0.5,()0.2P A P B P AB ===，求(),()P A B P B A . 解 ()()()0.3P AB P B P AB =-=，()()()()0.60.50.30.8P A B P A P B P AB =+-=+-= .()()()0.2P AB P A P AB =-=， ()()0.5()P BA P B A P A ==. (另法:通过()()0.2,()0.8,()()()()0.3P AB P A B P A B P AB P A P B P A B =⋃=∴⋃=∴=+-⋃= 也可计算. )2. （5分）已知事件,A B 满足()()P AB P AB =，且()P A p =，求()P B .解 ()()1()P AB P A B P A B ==- 1()()()()P A P B P AB P AB =--+=()1P B p =-.3. （5分）10个运动队平均分成两组预赛，计算最强的两个队被分在同一组内的概率.解 385102C p C =(分成的两组是可区分的, 如A 组和B 组). 4. （10分）某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中34的病人服此药，14的病人不服此药，五天后有70%的病人痊愈.已知不服药的病人五天后有10%可以自愈.（1）求该药的治愈率；（2）若某病人五天后痊愈，求他是服此药而痊愈的概率.解 （1）设 A =（服药），B =（痊愈）. ()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+31()0.10.744P B A =⨯+⨯=， ()0.9P B A =. （2）27()28P A B =. 5. （10分）甲袋中有两个白球，四个黑球，乙袋中有四个白球，两个黑球.现在掷一均匀硬币，若得正面就从甲袋中连续摸n 次球（取后放回），若得反面就从乙袋中摸n 次.若已知摸到的n 个球全是白球.求这些球是从甲袋中取出的概率.解 设A =（硬币掷得正面）=（甲袋中连续摸n 次球），B =（摸到的n 个球全是白球）. 11()()()()123()1112()()()()()12()()2323n nn n P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ⨯====++⨯+⨯. 6. （10分）12个乒乓球中3个旧的，9个新的.第一次比赛时取出三个用完后放回，第二次比赛时又取出三个.求第二次取出的三个中有两个新球的概率.解 设i A =（第一次取出i 个新球） (0,1,2,3)i =,B =(第二次取出的三个中有两个新球).3330003212121122132139339843975966333333331212121212121212()()()()()0.455i i i i i i i P B P A B P A B P A P B A C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =======⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑(本题设i A =（第一次取出i 个旧球） (0,1,2,3)i =也可以.)五、（10分）几何概型的样本空间S 与随机事件,A B 如图所示，试证,A B 相互独立.证明 只要证()()P A P A B =(本题利用独立性的定义式也可证明). ()()()()a b c c P A a b c d c d +⨯==+⨯++，()()()()P AB a c c P A B P B a c d c d⨯===⨯++， 所以,A B 相互独立.。
《概率论与数理统计》单元自测题及答案.doc
第一章随机事件与概率专业__________ 班级__________ 姓名__________ 学号_________一、填空题：1.设A, B 是随机事件，P(A) = 0.7 , P(B) = 0.5 , P(A - B) = 0.3 ,贝ij P(AB)=___________ , P(BA) = ______________ ；2•设A, B 是随机事件,P(A) = 0.4 , P(B) = 0.3, P(AB) = 0.1, M P(AB)=3.在区间(0,1)中随机地取两个数，则两数之和小于1的概率为 ____________ ；4.三台机器相互独立运转，设第一、第二、第三台机器发生故障的概率依次为0. 1, 0.2,0. 3,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为_______________ ；19 5.设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于亍，27则事件A在每次试验屮出现的概率P(A)为_____________ 。
二、选择题：1.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则对立事件方为( )(A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销”；(B) “甲、乙产品均畅销”；(C) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”；(D) “甲种产品滞销”。
2.设A, B为两个事件，则下面四个选项中正确的是( )(A) P( A u B) = P( A) + P(B)；(B) P(AB) = P(A)P(B)；(C) P(B-A) = P(B)-P(A) ；(D) P(AuB) = l-(P(AB)。
3.对于任意两事件A与B,与AuB=B不等价的是( )(A)AuB；(B)BuA；(C) AB =(/＞；(D) AB =(/)O4.设P(A) = 0.6 , P(B) = 0.8 , P(B|A) = 0.8,则有( )(A)事件A与3互不相容；(B)事件A与B互逆；(C)事件4与B相互独立；(D) Bu A。
概率统计第一章习题
第一章 概率论的基本概念基础训练I一、选择题1、以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ ）A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销；B ）甲乙产品均畅销；C ）甲种产品滞销；D ）甲产品滞销或乙种产品畅销。
2、设事件B A ,是两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论正确的是（ ）A ）,AB 互不相容； B ）A 与B 相容；C ）)()()(B P A P AB P =；D ）)()(A P B A P =-。
3、对于任意事件B A ,，有=-)(B A P （ ）A ）)()(B P A P -； B ）)()()(AB P B P A P +-；C ）)()(AB P A P -；D ）)()()(AB P B P A P -+。
4、已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( )A ）53；B ）43；C ）42；D ）103. 5、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ ）A ）B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容；C ）A B ⊃；D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。
二、填空题1、设C B A ,,是随机事件，则事件“A 、B 都不发生，C 发生”表示为 , “C B A ,,至少有两个发生”表示成 。
2、设A 、B 互不相容，4.0)(=A P ，7.0)(=⋃B A P ，则=)(B P ；3、某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种的住户百分比是： ；4、设4/1)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ，则C B A 、、三件事至少有一个发生的概率为 ；5、若A 、B 互不相容，且,0)(>A P 则=)|(A B P ；若A 、B 相互独立，且,0)(>A P 则=)|(A B P 。
概率统计小测验1-3章(带答案)
概率统计1-3章小测（100分钟共120分） 姓名___________学号______________________ 一、填空题，每题4分，共60分。
(1)已知 则=0.7(2)一批产品共有10个正品和2个次品,随机抽取,每次抽一个,抽出后不再放回,则第三次抽出的是次品的概率为__1/6__________.（抽签问题）(3)从数1,2,3,4中任取一个数,记为,再从1到X 中任取一个数,记为,则=13/48 (4)在区间内任取两个数,则事件”两数之和小于”的概率为___17/25________. (5)设~(0,2)X U ,则42Y X =+的概率密度1210()8Y y f y other ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩(6)设~(0,2)X U ,则在内的概率密度()Y f y =(7)设X 的分布函数为(),14,F x Y X =-则Y 的分布函数1()1()4Y yF y F -=-. (8)设(),max(,2),X e Y X λ~=则Y 的分布函数02()12Y yy F y ey λ-<⎧=⎨-≥⎩ (9)设X 与Y 相互独立，~(1,0.5),X B Y 有密度(),Y f y 令2,Z X Y =+则11()()(2)22Z Y f z f z f z =+- (10)设X 有密度函数53(),0,xf x Ax ex -=> 则635!A =.(11)设X 服从均匀分布(0,1)U ，且当1~(0,),X x Y U x=时，则(1)1/2P Y <= (12)设X 有密度函数2()3,01,f x x x =<<Y 表示对X 的三次独立观察中1{}2X ≥发生的次数，则147(2)512P Y ==.(13)设(2,)X B p ~, (3,)Y B p ~，已知63(Y 1)64P ≥=，则31(1)()84P X p ===. (14)设(,)X Y 的分布函数22(1e )(1e ),0,0(,),0,others x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩则210()0xX e x F x x -⎧->=⎨≤⎩()0.5,P A =()0.6P B =(|)0.8,P B A =()P A B X Y }2{=Y P (0,1)652Y X =(0,4)(15) 设X 与Y 独立同分布于指数分布()e λ，min(,),Z X Y =则~()Z e λ 二、计算题1(10分)现有同类型设备200台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.02.假设在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理,问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01。
概率统计作业第一章自测题
第一章 自测题
1．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投 信的概率为 1 。
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2．一间宿舍内住有6个同学，则他们之中恰好有4个人的生日在 同一个月份的概率为 0.0073 ；没有任何人的生日在同一个月
份的概率为 0.2228 。
3．有γ个球，随机地放在n个盒子中 ( n)，则某指定的γ个
(D)
p r (1 p)nr
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皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉 、心、肺、肾等多脏器严重损害 的，全身性疾病，而且不少患者 同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表 现如下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
P(B) 5 7
5．若事件A与B相互独立，且 P(A) 0.5 ，P(B) 0.25，则
P(A B) __0_.3_7_5____；P(A B) ___0_._6_2_5____。
P( A B) P( AB) P( A)P(B)
2
6．已知P( A) 0.92，P(B) 0.9，3 P(B | A) 0.，85则 P( A | B ) 0.829 。 P( A B) 0.988。
P(C) (1 p1 )(1 p2 )(1 p3 ) p1(1 p2 )(1 p3 ) (1 p1 ) p2(1 p3 ) (1 p1 )(1 p2 ) p3 1 p1 p2 p1 p3 p2 p3 2 p1 p2 p3
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2、根据以往的临床记录，知道癌症患者对某种试验呈阳性反应 的概率为0.95，非癌症患者对这试验呈阳性反应的概率为0.01. 设被试验者患有癌症的概率为0.005，若某人对试验呈阳性反应， 求此人患有癌症的概率.
经济数学《概率论与数理统计》习题库(第 1 章)
第 一 章 练习题（A ）一．单项选择题 1．设事件A 与B 互斥,P (A )p ,P (B )q ,则)(B A P 等于( ).(A)(1p )q ;(B)pq ;(C)q ;(D)p .==答 C 2.一批产品的废品率为0.01,从中随机抽取10件,则10是2件的概率为( ).(A)2210)0.01(C (B)28210)0.99()(C (C)82810)()(C (D)28810)()(C 件中废品数0.010.010.990.990.01;.;;答 C3.如果A ,B 为任意事件,下列命题正确的是 ( ). (A)如果A ,B 互不相容,则B A ,也互不相容;(C)如果相容,则B A ,也相容;(D)B A AB .(B)如果A ,B 相互独立,则B A ,也相互独立;A ,B答 B4..;;;( ).,3,2,1,,,310必有一发击中恰好击中一发至多击中一发至少击中一发表示那么事件发击中表示事件发打靶(D)(C)(B)(A)A A i i A i “”答 B 5..;;)(;,(B AB A A B P A A B P B A 是必然事件则正确的是满足和假设事件(A)(B)(C)(D)( ).答 D 6．.)1(;)1(;)1(;)1(4),10(63395449643964410p p C p p C p p C p p C p p 次成功地概率为才取得进行重复试验每次试验成功率为(A)(B)(C)(D)( ).直到第十次试验,答 B7．设有10个人抓阄抽取两张戏票,则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( ).(A)0;(B)41;(C)81;(D)51.答 D 8．).()()();()()();|()|();|()|(( ).),|()|(,0)(,1)(0,B P A P AB P (D)B P A P AB P (C)B A P B A P (B)B A P B A P (A)A B P A B P B P A P B A 则下列各式中成立的是满足设事件答 C 9..1;1);1)(1)(1(;1( ).,,,,321321321321321321p p p p p p (D)p p p (C)p p p (B)p p p (A)p p p 则加工该种零件的成品率为各道工序的废品率分别为加工一种零件需经过三道独立工序答 B 10.).()()((D));|()|(|})(|{(C));()()((B);(A)( ).),|()|(|){(,0)()()(21212121212121212121B A P B A P B A BA P AB P A B P A A B P A P A P A A P A A B A P B A P B A A P A P A P B P 则已知答 D二．填空题 1．E 0,1,2,3,4,5,E ______________.若随机试验是:在六张卡片上分别中任意依次取出两张,取后不放回,组成一个二位数,空间中基本事件个数是标有数字则从的样本251515C C .答2.将3个球随机地放入4个盒子中,记事件A 表示:一盒中”P (A )等于________________.“三个球恰在同.则答161.3.设A , B 是两个互不相容的随机事件,且知)(,)(B P A P ,则)(B AP _______________.答43.4..____2,5,7.0次的概率为则恰好命中次现独立地重复射击设某人打靶的命中率为1323.0答.5..________5,5,,1010,,2,1个数字全不相同的事件的概率等于则所得数字个先后取出然后放回个数字中任取一个共从.3024.0106789105答6..____|,41)(,31)(,B (A P B P A P B A 则条件概率且互不相容与设事件).94答7.设A , B , C 表示3个随机事件, 试以A , B , C 的运算来表示下列事件:(1)C B A ,,恰有1个发生}表示为___________.(2)C B A ,,不多于1个发生}表示为_________.{{(2)填.C B A CB A CB A A (1)C B A ,,恰有1个发生}是一个较复杂的事件, 它可{A 发生, 而B , C 不发生}, {B 发生, 而A , C 不发生},C 发生, 而A , B 不发生}, 它们可以分别表示为C B A C B A BC A ,,.这3它们的和事件即为所要表(2) 所述事件可以分解为{A 发生, B , C 不发生}, {B 发生, A , C 不发生}, {C 发生, A , B 不发生}, {C B A ,,都不发生}.它们分别表示为C B A C B A C B A ,,与C B A ,它们的和事件为C B A C B A C B A CB A .{, 以分解为解(1)填C B A A ;个事件是互不相容的{示的事件.8.设321,,A A A 是随机试验E 的三个相互独立的事件,且知,)()(,)(321A P A P A P 则事件1A 发生且32,A A 至少有一个发生”_________.“的概率是答)].1)(1(1[)(或9.甲,乙,丙三人中恰好有两人出生在同一月份的概率是________.答4811.10. .________概率的可列可加性是指.)(,,,,,:,.)(,,,,,121121n nn n nn A P A A A A A P A PA A A 则是两两互不相容的随机事件设可知概率的可列可加性是指由概率的定义则是两两互不相容的随机事件设答,三．计算题 1.随机试验E 是连续检验某种产品但检查总次数不超过5次, ( 即检验到第五次品也停止检验).试写出E 的样本空间就停止检验,如果出两个废品,,即使未查出两个废,.解若把检出正品记为0,检出废品记为1,则).0,0,0,0,0(),0,0,0,0,1(),0,0,0,1,0(),0,0,1,0,0(),0,1,0,0,0(),1,0,0,0,0(),1,0,0,0,1(),1,0,0,1,0(),1,0,1,0,0()1,1,0,0,0(),1,0,0,1(),1,0,1,0(),1,1,0,0(),1,0,1(),1,1,0(),1,1U , 2.设随机试验为A 为“三颗骰子中最小的点数为3”;随机事件B 为;“点数之和为n ”,如果A 和B 不相容n 应满足怎样的条件?若随机事件,掷三颗骰子:互则,答如果事件A 出现3,故点数之和至少为9,因此A 与B 不同时出现9即"n8".即每一点数至少为,要使,点数之和应小于,,3.任取一自然数m ,设事件A ={m 为偶数},B ={m 为5的倍},C ={m 20},D ={m10},具体写出下列各式表示的集合:(1)B A;(2)C B ;D A ;C A .数(3)(4)答(1)N nn BA10,30,20,10.(2)20,15,10,5C B .(3)9,7,5,3,1DAD A .(4)11,2,26,24,22nN nn CA.4.某人向一目标连续射击直到击中两次为止,k A 表示事件k 击中目标”(k =),试用k A 表示下列事件:(1)“射击次数为3”记为B (2)“射击次数超过3”记为C .1, 2, 3,;次“第解(1)321321A A A A A B .(2)323121A A A A A A C.5..,,",54321B A i A B i i 表示事件请用个开关闭合表示第的事件电路接通表示用表示电路开关、、、、如果12345"答4325315421A A A A A A A A A A B.6..(2);(1):)5432(,"","",5B B i A B i A i i 表示、、、、用的事件次品不多于三件表示件次品发现有表示用件从一批产品中任意取解(1) A 0A 1A 2A 3(2)3210A A A A 或3210A A A A B或54A A B;.7.).()(,0.3(,0.4)(,0.5)(B A P B A P B A P B P A P 和求若解法一因为3.0)(B A P )()(B P A P ,1.0又),()(A P B A P ,,B A 又无包含关系既不互斥与这说明.而是一般的相容关系).()()()(AB P B P A P B A P 又由)()(AB A P B A P ),()(AB P A P 故得)()()(B A P A P AB P 3.05.0.2.0所以2.04.05.0)(B A P .7.0而)()(B A P B A P )(AB P 2.0.8.0解法二,B A 相容与由于B A 可写为因此,)(),(B A B B A B 互斥与从而))(()(B A B P B A P )()(B A P B P 3.04.0.7.0)(B B A A ,B A AB )()()(B A P AB P A P ),()(B A P AB P 所以)()()(B A P A P AB P 3.05.0,2.0于是)()(B A P B A P )(AB P 2.0.8.0,,由加法公式因此有8.某城市中发行2种报纸A, B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, A 报的有45%, 订阅B 报的有35%, 同时订阅2种报纸A,的有10%. 求:(1)只订A 报的概率;(2)只订1种报纸的概率.订阅B解(1)记事件订阅A 报}, B 订阅B 报}, 则{只订阅A 报}可表示为AB A BA . 因,A AB故.0.350.10.45)()()()(AB P A P AB A P B A P (2)只订1种报,)()(A B A B B A 要把AB B A ,分别表示为.,AB BAB A 又这2个事件是互不相容的, 由概率加法公式, 有.0.60.10.350.10.45)()()()()()(AB P B P AB P A P AB B P AB A P p {9.52,个男兵和个女兵排成一列?如两头都是男兵共有多少种排法解2025P 种,5,有5!2400!520.两头一定是男兵的排法为剩下个兵排在中间种排法所求共有种排法10.从103,:(1).(2).(3),.名队员中选出名参加比赛试求共有多少种选法如队长必须被选上有多少种选法如某运动员甲不被考虑选上有多少种选法;1203218910(1)310C 解;362189(2)29C .84321789(3)39C11．1204,,5件,?件产品中有件次品在抽样检查时从中任取有且仅有一件次品的抽法共有多少种其中解5,4!112!4!1164116C ,414C 种,4,1).28640980(11319115!112!3!116144116或C C 抽取件产品其中有件正品的抽法有另一件是次品的抽法有故抽取件正品件次品的抽法共有12.在房间里有10人,分别佩戴着1~10号的纪念章,任意选4录其纪念章的号码,求最大的号码为5的概率.人记解A 表示事件“最大的号码为5”基本事件总数410C A 的基本事件数34C ,P (A )10524.,所包含13.20名运动员中有2名优秀选手,现将运动员平分成两组,2秀选手分在同一组的概率是多少？名优问解A 表事件“2名优秀选手分在同一组”.基本事件总数n1020C .A 所包含的基本事件数r8182C ,P (A )1993892.14.圆形靶由三个环形区域I,和III 组成,在射击一次中,命中第环形区域的概率依次为0.15, 0.23, 0.17 ,试求没有命中靶II I,和III II 子的概率. 解设A 为没有命中靶子事件,A 即为命中事件,321,,A A A 为命中I, II, III 区域的事件,于是.321A A A 55.0.023.015.0()()()(321A P A P A P A P 由此得出45.0)(1)(A P A P ..各15.,,5,4,5每次取一个次球从中取个红球个黑球箱中放了..求黑球和红球都取到至少两次的概率取后放回,,},},3},2BCC B A A C B 且则少取到两次黑球数为黑球数为设解.61.0)()()(55C C C P B P A P 由此可得黑球和红球至16.,4,3,,10卷另一套卷一套其中有两套书本书放在书架上任意将:求事件.两套中至少有一套放在一起的概率解,这是一古典概型概率问题,”3“A 卷一套的放在一表示设,4“B 卷一套的放在一起表示”,”“C 起表示两套各自放在一”“D 两套按卷次顺序排好表示.)()()()(AB P B P A P B A P 212.起17.,11名教师某教研室共有,7人其中男教师,3个为优秀教师现该教研室中要任选.13个女教师的概率个教师中至少有问解法一设;”3“A名优秀教师中有女教师,3,2,1,”3“i i A i名女教师名优秀教师中恰有则,321A A A A,,,321A A A 两两互斥由加法公式有)()()()(321A P A P A P A P 311073431117243112714C C C C C C C C C 0.788.),(1)(A P A P ,”3“A个优秀教师全是男的1)(31137C C A P .0.788解法二18.任意取两个正的真分数,记事件E 是两个分数的和介于21与23之间,求事件E 的概率.解设此二真分数分别为x ,y 则(x ,y )OACB .事件E 对应着图中阴影部分G 的面积.故)(OACB G E P 3181811.方形B y 的一切可能值对应着正19.已知.2.0)|(,3.0)(,1.0)(B A P B P A P 求(1)P (AB );(2)P ( AB );(3)P (B A );(4));(B A P (5)).|(B A P |解06.0B A P B P ABP .34.0AB P B P AP B AP .6.0AB P .04.0AB P A P AB A P B A P .66.01B A P BAP BA P .35337.066.0BA P .20.甲,乙两个盒子里各装有10只螺钉,是次品,其余均为正品,现从甲盒中任取二只螺钉放入乙盒中,从乙盒中取出两只,的概率是多少？每个盒子的螺钉中各有一只再一只次品问从乙盒中取出的恰好是一只正品,答)2,(i A i “放入乙盒的螺钉中有i 只正品”.B :“乙盒中出的二只螺钉是一只次品,一只正品”.511019111A P ,3310212110121C C C A B P .4210292C C A P ,61212111112C C C A B P .由全概率公式i i A B P A P BP 2194.03216522106154331051.21.,1,2,5求第三次才打开房门的概率.开房门从中随机地取把可以打开房门其中有把钥匙某人有把试 2.0324253)()()()(,).3,2,1(""213121321A A A P A A P A P A A A P i i A i 所求概率为于是次能打开房门第设解.22..(2);(1),3.0,.2.0,1.0.,,当乙河流泛滥是甲河流泛滥的概率该时期内这个地区遭受水灾的概率求乙河流泛滥的概率为当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概设某时期内甲河流泛滥地区即遭受水灾当任一河流泛滥时假设某地区位于甲、乙二河流的汇合处率为该15.02.0.01.0)()()()((2)27.03.01.02.01.0)()()()()()()()(,,,(1),B P A B P A P B A P A B P A P B P A P AB P B P A P B AP B A B A 所求概率为于是该地区遭受水灾可表示为由题意乙河流泛滥甲河流泛滥设解..“”“”.23.)？每个字母的工作是相互独立的的概率是多少(问输入的是已知输出为其输入概率分别为之一输入信道，今将字母串输出为其他一字母的概率都是输出原字母的概率为，三个字母之一输入信道将AAAA ABCA p p p p p p CCCC BBBB AAAA aa C B A ,),(,,,,.21,,,21321而设信道传输ap a ap ap B P B A P B P B A P B P B A P B P B A P A B P ABCA A CCCC BBBB AAAA B B B 1)13(22)()|()()|()()|()()|()|(,,,11321133221111131的事件，由页贝斯公式为输出的事件，，分别为输入解 2设事件24.在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的,7盒是乙厂生产的,4盒是丙厂生产的,其余是丁厂生产的,0.8,0.7,0.6,0.5,现任意从某一盒中任取一个元件,现是不合格品,次为该四厂的产品合格品率依经测试发试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大？答)4,3,2,(i A i “所取一盒产品属于甲,乙,丙,丁厂生产”B :“所取一个元件为不合格品”,则1851A P ,1872A P ,1843A P ,1824A P .2.1A B P ,3.2A B P ,4.A B P ,5.A B P .由全概率公式ii A B P A P BP 418057.由贝叶斯公式5710,5716,5721,57104321B A P BA PB A P B A P 故该盒产品由乙厂生产的可能性最大.,.25..,)2(;)1(.一半,,%25.0%5求该人是男人的概率若已知此人不是色盲求此人是色盲的概率现随机挑选一人假设男人和女人各占女人是色盲患者的男人和已知21)(,21)()1(,,A P A P B A A 由题知出的是色盲选出的是女人则选出的是男人设解4878.097375.021)05.01()()2(02625.0)(0025.(,05.)(B A P B P A B P A B P 由逆概率公式知由全概率公式知)(A P )(A B P )(A P )(A B P )(A B P )(A P )(B P .“”“”“”.选,26.?,,.6,6,4的为要我们在随机地选出一名学生时名二年级女名一年级女生名一年级男生一个教室里有教室里还应有多少名二年级男生生性别与年级是相互独立.4,4.164104),()|(,,.1041610)|()()(.164)(,1610)(}.},{.名二年级男生即还应有解之得即必有独立欲则任选一名学生为男生任选一名学生为一年级个二年级男生设还应有解NNNB P A B P B A N A B P A P AB P NNB P N A P B A N .4,4.164104),()|(,,.104)|()()(.164)(,1610)(}.},{.名二年级男生即还应有解之得即必有独立欲则任选一名学生为男生任选一名学生为一年级个二年级男生设还应有解NNNB P A B P B A A B P A P AB P NNB P N A P B A N27.(0.70.9,,只要有一架飞机投中目标即完成使使完成使命有较大的概率、、同时投弹员驾驶员必须要找到目标轰炸机要完成它的使命.必须要投中目标设驾驶员甲、乙找到目标的概率分别为;0.8投弹员丙、丁在找到目标的条件下投中的概率分别为,.0.6问甲现在要配备两组轰炸人员丁怎样配合才能、丙乙、、.?)求此概率是多少命解,1为甲找到目标设A ,1为丙投中目标B ,2为乙找到目标A (1),甲丙搭配乙丁搭配)(W P )()()(两机均命中乙丁机命中甲丙机命中P P P )()()()()()()()(222111222111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P ||||6.08.07.09.06.08.07.09.08076.0:注意,”,标丙投中目标而且乙找到目.丁投中目标(2),乙丙搭配甲丁搭配)(W P )()()(两机均命中乙丙机命中甲丁机命中P P P 7.08.06.09.07.08.06.09.07976.0,所以甲丙搭配,乙丁搭配好.8076.0此时命中率为,2为丁投中目标B .为完成任务W .两机均命中“指甲找到目标.28.设有二类各三个相同的元件A 和把成一组,再把这三组并联成一个系统,p ,又各元件损坏与否是相互独立的,求此系统能正常工作的概率.,A ,A B ,B ,B ,B A ,0.8)B (p ,0.7)A (两两串联设每个元件正常工作的概率解)]()(1[B p A p P 3)8.07.01()915.0(44.013.29..,5.0,6.0,试求敌机被射中的概率乙炮的命中率为已知甲炮的命中率为甲乙二门炮同时独立地向一敌机开炮、)(,:5.06.0)(()(,:}.P P C P B A P A P B AP C P B A B A C得相互独立和由第二种方法相互独立和由第一种方法被击中甲炮射中敌机令事件解.8.02.05.04.)()()()(,.8.03.01.5.06.0)()()()()()(),},},B P A P B A P C B A B P A P B AB P B P A P C B 则有也相互独立和则有乙炮射中敌机敌机30.实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌的机会是相同的,若某次发现产生了20个细菌,求甲,乙二类细菌各占一半的概率.解PC 2021!10!!20)1762.0(21113171918.31.甲、,投篮命中率分别为0.8和0.7,每人投篮3次,求两人进球相等的概率.乙两篮球运动员解甲投篮命中概率p 不中概率q 0.2乙投篮命中概率p 10.7,不中概率q 1甲在 3次中m 次概率mm mq p C m P 31133)(mm mq p C m P 32233)(则P )3()3()2()2()1()1()0()0(33333333P P P P P P P P 22333.07.032.08.033.02.033227.08.03.07.032.08.03 0.363乙在n 3次中m 次概率;,.32.,,,,.4,3,2,144321它们的可靠性分别为个独立工作的元件设有p p p p 将它们按右图的方式连接),(称为并串.试求这个系统的可靠性1234联系统解,5,4,3,2,1,,,,工作正常分别表示元件设事件E D C B A }.系统工作正常G .对图中的串联系统AD ABC G)()(AD ABC P G P )()()(ABCD P AD P ABC P )()()()()()()()()(D P C P B P A P D P A P C P B P A P .432141321p p p p p p p p p33.一袋中装有1N 个黑球及1个白球. 每次从袋中随机地摸出1球, 并换入1个黑球, 如此进行下去. 求:(1)第k 次摸球时, 摸到白球的概率;(2)第k 次摸球时, 摸到黑球的概率.解(1)因为袋中只有1只白球, 而每次摸球总是换入黑球, 故k 次摸球摸到白球, 则前面)1(k 次一定不能摸到白球, 也就, 前)1(k 次都摸到黑球.在前)1(k 次摸到黑球时, 皆放, )1(k 次中, 摸到黑球的概率皆为.111NN N 试验是独立的, 故.1111Np (2)它为(1)中事件的对立事件, 故故在这.112Np 1第是说入黑球解(1)因为袋中只有1只白球, 而每次摸球总是换入黑球, 故k 次摸球摸到白球, 则前面)1(k 次一定不能摸到白球, 也就, 前)1(k 次都摸到黑球.在前)1(k 次摸到黑球时, 皆放, )1(k 次中, 摸到黑球的概率皆为.111NN N 试验是独立的,故.1111Np (2)它为(1)中事件的对立事件, 故故在这.112Np 1第是说入黑球34..,2.0,2.0,3.0,,.2C B A C B A 求电路发生间断的概率损坏的概率分别是设电池串联而成及个并联的电池与电路由电池 328.0.02.03.02.02.03.0)()()()()()()]([)()(.,,,3,,C P B P A P C P B P A P BC AD P BC A D C B A C B A 于是则生间断损坏个电池分别表示设解.表示电路发,35.,,85.0,8.0,9.0,.1,3因无人照管而停工的概率.求在这段时间内不需要照管的概率依次是某段时间个人照管由部机床独立地工作甲、乙、丙它们机床 059.0)15.02.01.0(215.02.015.01.02.01.0)()()(2)()()()()()()(2)()()()(,.,,,,C P B P A P C P B P C P A P B P A P ABC P BC P AC P AB P BC ACABP BC AC AB C B A 所求概率为于是事件可表示为因无人照管而停工即有两台或两台以上机床需要照管照管分别表示在这段时间内机床甲、乙、丙需要工人设解.此36..,..1.0,8.0,.3.0,4.0,3.0.,,,的概率求被传送的字符为字母为若接收到的假定前后字母是否被歪曲互不影响的概率为而接收到其他两个字母每个字母被正确接收的概率为扰由于通道噪声的干定传送这三组字符的概率分别为三者之一传送的字符为某通信渠道中BBBB ABBC CCCC BBBB AAAA 假 .842.0)()|()()|(.00304.0)|()()(.0008.0)|(,0064.0)|(,0008.0)|(,3.0)(,4.0)(,3.0)(,.,,,,2223321321321A P B A P B P A B P B A P B P A P B A P B A P B A P B P B P B P ABBC A CCCC BBBB AAAA B B Bi i 于是由全概率公式则的事件表示接收到的字符为事件分别表示传送的字符为设解的37..,,,出现偶数次的概率事件次独立实验中求在出现的概率为事件在伯努利实验中A n p A 解事件A 出现偶数次的概率为a22222200mqp C q p C q p C a mnm m n n n n n 12121233311qp qp C pq C b m n m m n nn nn 而a b p q )a b (q p )n 2p )n解得n p a)21(2121事件A 出现奇数次的概率为b (1,.,.38..(2);(1),3,8.07.02甲比乙进球数多的概率两人进球数相等的概率求次每人投篮和人投篮命中率分别为甲、乙343.0)7.0()(411.0.07.0)(189.03.07.0)(027.03.0)(,,,,3,3332232213130A P C A P C A P A P C i B i A i i 甲比乙进球数多甲、乙进球数相等个球乙投中个球投中甲设重伯努利概型分别为次设甲、乙个投篮解21476.0)()()()()()()()()()()()()()((2)36332.0)()()()()()()()()()()()(()1(512.0)(;384.0)(096.0)(;008.0)(23130312020123130312020133221100332211003210B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B A B A B A B A B A B A P D P B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P B A P C P B P B P B P B P 同理可得.“”“”“”“”.,,,.;.;39.某车间中, 一位工人操作甲、乙2台没有联系的自动车床. 由积累的数据知道, 这2台车床在某段时间里停车的概率分别为0.15及0.20. 求这段时间里至少有1台车床不停车的概率.解法一设A 甲车床不停车}, B {乙车床不停车}.则A , B 独立, 且.0.8)(,0.85)(B P A P 所求概率为.0.970.80.850.80.85)()()()()()()()(B P A P B P A P AB P B P A P B A P p解法二{2台都停车}.B A 因为B A ,相互独立, 因此2台车床都停车的概率为.0.030.200.15)()()(B P A P B A P 从而,至少有1台不停车的概率为.0.970.03p 40..,:不相互独立但两两独立,举例说明C B A C B A ,,,解,一个均匀正四面体,其第一面染成白色,第二面染成蓝色.白、蓝色,一次四面体.蓝色分别表示出现红、、、以C B A 白、,有两个面有红色故;)(A P 同理)()(C P B P .1/2,因为只有一个面含有两种颜色所以)()(AC P AB P )(BC P ,1/4因而),()()(B P A P AB P ),()()(C P A P AC P ),()()(C P B P BC P .两两独立、、故C B A 但是)(ABC P )()()(C P B P A P ,1/8.不是相互独立、、故C B A ,第三面染成红色,3块第四面分成分别染成红、投因四面体四．综合与证明题 1.设E 、F 、G 是三个随机事件各式(1));()(F E F E (2));()()(F E F E F E (3)).()(G F F E试利用事件的运算性质化简下列,:解(1)原式E F F F E F E E E .(2)原式.E F FE F F E F E F E (3)原式.G EF FFGEFE2.,,,21A A A 发生则同时发生已知事件.1)()()(21A P A P AP 证明:1)()()(1)()()()()()()()(,21212121212121A P A P A P A P A P A A P A P A P A A P A A P A P A A A 所以又于是由题意证,3.).()(),3,2,1(,3321321A A A A A A i i A i 次射击击中靶子”表示“第用次设某人向靶子射击试用语言描述事件解.)()(321321表示恰好连续两次击中靶子A A A A A A4..2)()()()(),3,2,(,,3321321A P A P A P A P i A A A A A i证明:都满足个事件已知2)()()()(1)()()()()()(1)()()()()()()(,,,),3,2,(32121212121321321321321321A P A P A P A P A P A P A A P A P A P A A P A P A A PA AA P A P A A P A A A P A P A A A A i A A i 所以又于是所以因为证.5.盒中有9个白球,1个红球,从盒中一个一个地取球(取出的球不再放回),证明:第k 次取得红球的概率为101.证k A “第k 次取得红球”(1k 10)由题设条件知k kkA A A A A 121kkk A A A A P 12111kk A A A P A P P 291298109k 101..,6.设0P (C )试证对任意的随机事件A ,恒有:P (A C ).1)|(C A P 1,|证)()()()|()|(C P C A P AC P C A P C A P )()(C P C A AC P .1)()(C P C P7.)()((,,,1)(0212121B A P B A P B A A P A A B P 证明互不相容若事件设.)()()()()()()()()(212121B P B A P B P B A P B P B A B A B P B A B A P 有因为证)(21B A A P )()(21B A P B A P ).()(21B A P B A8．.,独立与证明独立与设事件B A B A .)()()()()()(1)()()()(1)](1)][(1[)()()(也独立与因此得由证B A B A P B AP B AP AB P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P AB P )()(B P A P9..,:,,,独立肯定与证明三个事件相互独立设C AB B A C B A 相互证(1))(])[(BC AC P C B A P )()()(ABC P BC P AC P )()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P )]()()()[(AB P B P A P C P )()(B A P C P .相互独立与故C B A (2))(])[(ABC P C AB P )()()(C P B P A P )()]()(C P B P A P )()(C P AB P .相互独立与故C AB10．设P (A )P (B )研究事件A ,B 相互独立与A ,B 同时成立.0,0,互斥能否解A ,B 相互独立,则P (AB )P (A )P (B ).若A ,B 互斥,则0.由于假设故两者不能同时成立.P (AB )P (A )P (B )0,0,练习题（B ）一．单项选择题 1．设A ,B 为两个不同事件,下列等式中有哪个是正确的( ).(A)B A B A ;(B)B A B A ;(C) B ABA;(D)AB BABA.答(B).2..3(D);(C);(B);(A)( ).,3,2,1,0,,3321发击中必然击中至少有一发击中全部击中表示那么事件发击中表示事件发打靶A A A Aii A i “”答(B).3.设c B P b A P a B A P )(,)(,)(,则)(B A P 等于( ).(A);)(c c a (B);a c b (C);c b a (D).)1(c b答(B).设A ,B 相互独立,P (A ),P (B ,则( ).)(B AP (A)0.45;(B)0.95;(C)0.6;(D)0.55.0.8答(B).5.).()();()(;;( ).,1)(,0)(A P AB P (D)B p AB p (C)A B (B)A (A)A B P A P 为必然事件则有设答(D).6.).()()();()();()();()(( ).)(,AB P B P A P (D)B P A P (C)AB P A P (B)B P A P (A)B A P B A 、对于任意两个事件答(B).7.).()()();()()();()()();()()(,AB P B P A P A P AB P B P AB P B P A P A P B P A B P B A则已知(A)(B)(C)(D)( ).A.答8..)(;)(;0)();()(,0)(,0)(,2,AB P B A P B A P B P A P B P A P B A 成立.则个互不相容的事件是设(A)(B)(C)(D)( )一定答B.9.).()()(;;;,8.(,7.0)(,8.(B P A P B AP A BB A B A B A P B P A P 互斥与独立与则下列结论正确的是设(A)(B)(C)(D)( ).A.答10..)(;)(;0)();()(,0)(,0)(,,B A P B A P B A P B P A P B P A P B A 则下列式子不正确的是( ).是两个对立事件设(A)(B)(C)(D)D.答).()();()((;;,0)(,0)(,A P B A P B P A AB P B A B P A P B A 相容不相容与列结论中肯定正确的是并且是任意两个不相容的事件和设B A 与(A)(B)(C)(D)( ).则下D.答12..)((,)(B P A P AB AB B A AB P B A 或未必是不可能事件;是不可能事件;不相容(相斥);和则同时出现的概率和若两事件(A)(B)(C)(D)( ).答C.13..,,,(D);,,,(C);,,,(B);,,,(A)( ).,,也互为对立则互为对立如果不独立则相容如果相互独立则互不相容如果也互不相容则互不相容如果下列命题中正确的是对事件B A B A B A B A B A B A B A BA B AD.答14.下列结论中,错误的是(A)若P (A 则A 为不可能事件;(B)P (A )P (B )(B A P ;(C)P (B A P (B ) P (A );(D)P (BA P (B ) P (BA ).),( ).A.答15..;;)(;,3,,C B AC AC B A C A B A A C B A 互斥的事件是与事件个事件是设(A)(B)(C)(D)( ).D.答16..])[(;)(;2)(;)(( ).,,2B A B B A A (D)AB A B A A (C)B A BB A (B)A B B A (A)B A 则以下等式正确的是是任意两个随机事件设D.答17.).|()|()|((D));|()()|()()((C));|()|()((B));()())(((A)( ).).|()|()|(,0)(,,,C B P C A P C B A P B C P B P A C P A P C P C B P C A P B A P BC P AC P B A C P C B P C A P C B A P C P C B A 则下列不等式成立的是且若为随机事件设A.答18.相互独立与事件互不对立与事件互相对立与事件互不相容与事件则设B A (D)B A B A (B)B A B A P B A P B P A P (C)(A),|()|(,1)(0,1)(0( ).;;;.D.答19..;;;.()(()((D)(C)(B)(A)B A P A B P B P A P 则设( )A.答20..);1(;;(,)(,)(,(a b b a b c b a B A P c B A P b B P A P 则设(A)(B)(C)(D)答B.21.).|()()|()()();|()|()();()()();|()|(]|)[(),|()|(]|)[(,1)(022112121212121212121A B P A P A B P A B P B A P B A P A A P B A P B A P B A B A P B A P B A P B A A P B A P B A P B A A P B P 则下列选项成立的是且已知(A)(B)(C)(D)( ).答B.22.从1, 2, 3, 4, 5五个数码中, 任取2个不同数码排成2位数, 则所得位数为偶数的概率为( ).(A) 0.4; (B) 0.3; (C) 0.6; (D) 0.5.A.答23.设袋中有4只白球,只黑球. 从袋中任取2只球(不放回抽样), 2只白球的概率是( ).(A)53;51;52;54.2则取得(B)(C)(D)答C.24.甲再能活20年的概率为0.7, 乙再能活20年的概率为0.9. 则二人均无法活20年的概率是( ).(A) 0.63; (B) 0.03; (C) 0.27; (D) 0.07.答B.25.每次试验的成功率为p(0p 1),进行重复独立试验,直到第10次试验才取得4次试验成功的概率为( ).(A)64410)1(p p C ;(B)6439)1(p p C ;(C)6449)1(p p C ;(D)6339)1(p p C .答B.26..1;;1;,)(,)(,p (D)p (C)q (B)q (A)B P q B P p A P B A 则互斥、设随机事件D.答27.在编号为n ,,2,1的n 张赠券中采用不放回方式抽签, 则在第k 次)(n k 抽签时抽到1号赠券的概率是( ).(A)k n 1;11k n ;n 1;11k n .(B)(C)(D) 答C.二．填空题 1．_________.随机试验是对同一目标连续独立射击次,观察中靶的次数,的样本空间E 10E U则{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.答设A 表示事件B 表示事件子出现2点”A 与B 的关系是 ______.“掷一颗骰子出现偶数点”,“掷一颗骰则,答A B .3.如果,A B A 且AB A ,则事件A 与B 满足的关系是_______.答A B .4.._____________,,15A ,i AA A A i i 则表示若用的事件子的点数和大于掷三个骰表示的事件点掷一个骰子恰好出现表示设“”“”答A 4A 6A 6A 5A 6A 6A 6A 6A 6A 5A 5A 6.5.从含有6个红球,4个白球和5个蓝球的盒子里随机地摸取一个球,则取到的是红球的事件的概率等于 _____________.答52.6.一只袋中有4只白球和2只黑球,另一只袋中有3只白球和5黑球,的概率等于___________.只:“两只球都是黑球”则事件如果从每只袋中各摸一只球,答245.7.一个盒中有8只红球,3只白球,9只蓝球,如果随机地无放回地3只球,则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于________.摸答5734.8.设A ,B 为两个随机事件,且P (B )则由乘法公式知P (AB )__________.0,答).|()(B A P B P9.已知P (A )1,41A B P ,则B A P _______________.答83.设n 个事件n A A A ,,,21互相独立,且),,2,(,{n k p A P k ,则这n 个事件恰好有一件不发生的概率是________________.答.)1(1np p n11.某产品的次品率为0.002,现对其进行重复抽样检查,共取200样品,则查得其中有4件次品的概率p 的计算式是.___________件答19644200)998.0()002.0(C .12.独立重复地掷一枚匀质硬币三次,A 事件,则P (A ) ________.表示至少有一次出现正面的答87.13.._______)(,3.0)(,3.0)(,4.0)(:B AP B A P B P A P 则已知答0.6.14.._____1,2,3,2,4个黑球的概率是白球则取得个球从中随机地取出个黑球个白球口袋中有个6.0答.15..________)(,31)(,41)(,,B A P B P A P B A 则且是两个相互独立的随机事件设.61答16..__________50,9,,1,0是的概率或则这三个数中不包含中任取三个数字从 .1514答17.._____,,3.0)(,8.()(都不发生的概率为则已知B A AB P B P A P.5.0答18..__________,,,},.,}},},:,,,321321BB A A A B A A A 则有表示若用目标被摧毁设则该目标被摧毁又若目标至少被击中两次丙击中目标乙击中目标甲击中目标令丙三个各自向同一目标射击一次乙甲..,.321321321321133221321321321321321133221A A A A A A A A A A A A A A A A A A B A A A B A A A A A A A A A A A A A A A A A A 或者因此至少有两发生等价于随机事件可知随机事件由题意或者答个发生,,19.._________)(,3.0)(,4.0)(,,B A P B P A P B A 则且互不相容设两个随机事件.3.03.04.0)(,0(,),()()()()()(.3.0B A P AB P B A AB P B P A P B AP B AP B A P 故所以互不相容与因为答20.从1,2,…,10共十个数字中任取一个5字__________.先后取出然后放回,,个数则所得个数字全不相同的事件的概率等于,答.3024.0106789421.9,,3,2,1,0____________.设由十个数字的任意七个数字都可以组成电话号码,则所有可能组成的电话号码的总数是....107个答22..________,5,至少发生一次的概率是次重复独立试验则在发生的概率为设在一次试验中事件A p A 中答5)1(1p .23.._____)(,,3.0)(,1.0)(则互不相容与且设B P B A B A P A P2.0答.24._________.)(,21)(,41(,31)(则设B AP B A P B P A P1211答.25.B P p A P B A AB P B A __________.(,)(),((,则且两个事件满足已知p 1.答26.______.)(,3.0)(,2.0(,则已知事件A B P B P A P B A1.0答.27..__,则有三个空盒的概率为把四个球随机地投入四个盒子中去.641答28.掷一对骰子, 则2个骰子点数总和是8的概率是________.此题是古典概型, 按古典概率定义求. 掷2个骰子, 情况总,3666即.36N出现点数总和是8的情况为:{2, 6}, {3, 5}, {4, 4}, {5, 3}, {6, 2}而总和是8的情况数,5M故所求概率.365N Mp 解填.365数是29..__________)(,7.0)(,3.0)(,B P B AP A P B A 则是相互独立的随机事件与设.747.04.0)(,),(3.0)(3.07.0,7.0(,3.0())()()()()()()()(.74B P B P B P B A P A P B A B P A P B P A P AB P B P A P B A P 得解方程得代入将是相互独立的随机事件与答(.30.._________)(,)()()(:B P p A P B A P AB P B A 则且适合、设随机事件答p 1.31._______.,,03.0(02.)(,01.0)(,,求他至少有一张奖券中奖的概率为奖是相互独立的且各奖券是否中和次为三种不同种类的奖券各一张某人买了C P B P A P C B A 已知中奖概率依.0589.0答.32.._______)(,5.0)(,4.0(,7.)(,,,,,C AB P AB P C A P A P C B C A C B A 则为三个随机事件设.2.0答33..__________)(72,2,52p 列式的概率数为张不同花且最大点则恰取到张随机抽取张扑克牌中在.171]1[252161224C C C C 答34..__________,5),(15,,2,1则甲取到的数大于乙取到的数的概率为倍数知甲取到的数是不重复的十五个数字中各取一数甲、乙二人从已故且甲取到的数大于乙取到的数的倍数甲取到的数是的倍数甲取到的数是令事件个样本点样本空间答},,5{};5},2101415)}14,15(,),2,5(),1,5(,),3,1(),2,1.149AB A S.1494227)|(,1494227210/42210/27)()()|(}271494},42143A B P A A P AB P A B P AB A 则得作为样本空间或将于是个样本点个样本点,,三．计算题 1.用5,4,3,2,1,0,个六位数?六个数码排成数字不重复的六位数共有多少多少个偶数其中有多少个奇数,解600!55288!443312288600)312!442!5(或六位数总数奇数个数偶数个数;;.2.设D C B A ,,,,(A BC )[(A C B )D ]化简下式为任意集合. 解因(A CB )D (ABC )D A B C 故(A BC )[(A CB )D ]A BC ,.3.E a ,b ,c 1,2,3E U .随机试验是三只球三只球任意放入三只盒子中去的情况的样本空间的三个盒子有编号为,,:将观察放球使每只盒子放一只球,,写出,则U 解用序组表示基本事件第一只盒子放球第三只盒子放入a ,b ,c )(第二只盒子放入球a ,b ,c .球a ,b ,c )(, a ,c ,b )(, b ,a ,c )(, b ,c ,a )(, c ,a ,b )(, c ,b ,a )(}.:4.设随机试验为A 为“三颗骰子中最小的点数为3”;随机事件B 为;“点数之和为n ”,如果A 和B 不相容n 应满足怎样的条件若随机事件,掷三颗骰子:互则,答如果事件A 出现3,故点数之和至少为9,因此A 与B 不同时出现9即"n8".即每一点数至少为,要使,点数之和应小于,,5.从自然数1至10中任取一数,设A 表示事件“取得的数是偶数”B 表示事件“取得的数是奇数”;C 表示事件“取得的数小于5”,试问:(1)B A;AB ;C ;C B 分别表示什么事件？;(2)(3)(4)答(1)A B 表示事件“必然事件”.(2) AB 表示事件“不可能事件”.(3)C 表示事件“取得的数大于或等于5”.(4)C B表示事件“取得的数是6、8、10、”.6..,"","",654321,B B A i A B i i 及表示事件请用个开关闭合第表示电路接通表示用表示开关、、、、、设如果123456解(1) 6543231A A A A A A A B (2) ()()()6543231A A A A A A A B或()[]()654321A A A A A A .7..),3,2,1(,3321A A A i i A i 次射击击中靶子”表示“第用次设某人向靶子射击试用语言描述事件解.3321次射击至少一次没击中靶子表示A A A8.设随机试验E 是从包含两件次品21,a a 和二件正品21,b b 产品中依次取出一件(每次取后放回),连续取2次E 空间和下列事件的集合表示( 1 )“恰好取到k 件正品”记为);2,1(kA k ( 2 )“两次取出的是同一件产品”记为B ;( 3 )“第一次取到的是第一件正品”记为C .写出的四件,的样本:解}.,,,}.,,,{}.,,,,,,,{}.,,,,,,,,,,,,,,,{112111212211122122221121122122111122112221121112312212122221112111b b a b a b b b C b b b b b b b b A a b a b a b a b b a b a b a b a A b b b b a b a b a b a b b b b b b a b a a a a a b a b a a a a a U9..,20,,,,A BC B A y x 事件之差为零”设事件分别表示第一、二两颗骰子出现的点数、同时掷两颗骰子”为“点数之积不超过表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”用样本点的集合表示表示“点数解试验的样本空间}6,,2,;6,,2,),y x y x |S )};5,6(),3,6(),1,6(),6,5(),4,5(),2,5(),5,4(),3,4(),1,4(),6,3(),4,3(),2,3(),5,2(),3,2(),1,2(),6,1(),4,1(),2,1A 事件)};6,6(),5,5(),4,4(),3,3(),2,2(),1,1B 事件)}.3,6(),2,6(),1,6(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(),5,4(,),2,3(),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1C 事件),1,3(,),2,4(),1,4(),6,3( .6,6(),5,5(),4,4(),3,3(),2,2(),1,1{(B AB 从而10.。
概率统计章节作业精编版
概率统计章节作业精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】第一章随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是(). A. AB ={出现奇数点}B.AB ={出现5点} C.B ={出现5点}D.A B =Ω2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是().()A B B A +-=.()A B B A B A AB +-=-=- ()A B B A B -+=+.AB AB A +=3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为().1212A A A A 12A A 12A A 12A A 某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为().123A A A 123A A A ++123A A A 123A A A 设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是().(|)0P A B =(|)0P B A =()0P AB =()1P A B =设事件A 与B 相互独立,P (A )=,P (B )=,则(|)P A B =().A. 0.2B.0.4C.已知事件A 与B 互不相容,P (A )>0,P (B )>0,则().()1P A B =.()()()P AB P A P B = ()0P AB =.()0P AB >8.设P (A )=0,B 为任一事件,则().A =ΦAB ⊂与B 相互独立与B 互不相容9.已知P (A )=,P (B )=,且A B ⊂,则P (A |B )=(). .0.4 C.设A 与B 为两事件,则AB =().A B AB A B A B 设事件A B ⊂,P (A )=,P (B )=,则()P A B =().A. 0.3B.0.2C.设事件A 与B 互不相容,P (A )=,P (B )=,则P (A|B )=().A. 0.08B.0.4C.设A ,B 为随机事件,P (B )>0,P (A |B )=1,则必有().()()P A B P A =.A B ⊂(A )=P (B )(AB )=P (A )14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为().A. 0.4B.0.2C.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为().37.0.4 C..1616.某种动物活20年的概率为，活25年的概率为，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是().A. 0.48B.0.75C.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为().0.25 C 一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为().0.75 C 设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为().7104471047410C C 4710⨯设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为().81038310C C 3381038310C 某人打靶的命中率为，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为().20.430.622350.40.6C 23250.40.6C 随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为().15615()66C 156151()66C -15651()66C 651()6-把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为().19122313从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为().5 184!6!4446AA44!6某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为()..(1-p)2 C.(1-p)二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为.2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为.3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为.4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为.5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是，，，则目标被击中的概率为.6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为.7.设事件A与B互不相容，P(A)=,P(B)=,则()P A B=.8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=,P(A)=,则P(B)=.9.设()0.3,(|)0.6P A P B A==，则P(AB)=.10.设11()()(),()(),()046P A P B P C P AB P AC P BC======，则P(A+B+C)=.11.已知P(A)=,P(A-B)=,则()P AB=.12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为，则4次射击中恰好命中3次的概率为.13.已知P(A)=,P(B)=,P(B|A)=,则P(A|B)=.14.设111(),(|),(|)432P A P B A P A B===，则()P A B=.15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为.16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为，，则飞机至少被击中一炮的概率为.三、计算题1.设P (A )=,P (B )=,(|)0.3P B A =,求P (AB )以及P (A |B ).2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ⊂==求：(1)(),()P A P B ；(2)P (AB )；(3)()P AB ；(4)()P A B ；(5)P (B -A ).3.若事件A 与B 互不相容，P (A )=,P (A+B )=,求：(1)()P AB ；(2)(|)P A B ；(3)()P AB .4.已知事件A 与B 相互独立，且P (A )=,P (A+B )=,求(1)P (B )；(2)()P AB ；(3)P (A|B ). 四、应用题1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1)两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是，，，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.9.已知5%的男人和%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为，和.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为；若有两人击中，飞机被击落的概率为；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为，第二台为，第三台为，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是，，，求此密码被破译的概率.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1； (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8081,求射手射击一次命中目标的概率.20.一射手对一目标独立地射击,每次射击命中率为p ,求射击到第4次时恰好两次命中的概率.五、证明题1.设0<P (B )<1，证明事件A 与B 相互独立的充分必要条件是(|)(|)P A B P A B =.2.证明条件概率的下列性质：(1)若P (B )>0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=；(2)若A 与B 互不相容，()0P C >，则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+； (3)(|)1(|)P A B P A B =-. 第二章随机变量及其概率分布 一、单项选择题1.设随机变量X 的分布律为 则P {X <1}=()..0.2 C. 设随机变量X 的概率分布为 则a =().A. 0.2B.0.3C.设随机变量X 的概率密度为2,1(),0,1cx f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则常数c =().1-1212设随机变量X 的概率密度为3,01(),0,ax x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它则常数a =(). 1412下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是().2100,1000,100x xx ⎧>⎪⎨⎪≤⎩.10,00,0x x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ 1,020,x -≤≤⎧⎨⎩其它.113,2220,x ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0；若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[,]a b 为().[0,]2π[0,]π[,0]2π-3[0,]2π下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是(). 0,00.3,01()0.2,121,2x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩.0.5,0()0.8,011,1x x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩0,00.1,05()0.6,561,6x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩.0,2()sin ,021,0x F x x x x ππ⎧<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩8.设()F x 是随机变量X 的分布函数，则(). A.()F x 一定连续B.()F x 一定右连续 C.()F x 是不增的D.()F x 一定左连续9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是(). A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞→-∞-=()()()P a X b F b F a <≤=-.对一切实数x ，都有0<()F x <110.设随机变量的概率分布为2()(),(1,2,3...)3k P X k a k ===，则常数a =().1212- 已知随机变量X 的分布律为()F x 是X 的分布函数，则F =().A. 0.7B.0.8C.随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，则11{}22P X -≤≤=().14131234已知随机变量X 的分布律为 若随机变量Y =X 2，则P {Y =1}=().A. 0.1B.0.3C.设随机变量X ~B (4,，则P {X >3}=(). A. 0.0016B.0.0272 C.设随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +1，Y ~(). (1,4)(0,1)(3,16)(3,9)16.设2~(,)X N μσ，()x Φ是N (0,1)的分布函数，则()P a X b ≤≤=().()()b a Φ-Φ.()()b a Φ+Φ22()()b a μμσσ--Φ-Φ.()()b a μμσσ--Φ-Φ17.设X ~N (-1，4)，()x Φ是N (0,1)的分布函数，则P (-2<X <0)=().12()12Φ-(0)(2)Φ-Φ-1(2)2Φ-(2)(0)Φ-Φ设X ~N (0，1)，()x ϕ是X 的概率密度函数，则(0)ϕ=().19.设X 服从均匀分布U[0，5]，Y =3X +2，则Y 服从(). [0,5][2,17][2,15][0,17]20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为().A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布21.设X 服从参数2λ=的泊松分布，()F x 是X 的分布函数，则下列正确的选项是().2(1)F e -=.2(0)F e -=(X =0)=P (X =1)D.2(1)2P X e -≤=22.设X 服从参数λ的泊松分布，且2(1)(3)3P X P X ===，则λ=(). .2 C.二、填空题1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1<x 2,则12()P x X x ≤≤=. 设随机变量X 的概率分布为 记Y =X 2,则P (Y =4)=.3.若X 是连续型随机变量,则P (X =1)=.4.设随机变量X 的分布函数为F (x ),已知F (2)=,F (-3)=,则(32)P X -<≤=.5.设随机变量X的分布函数为212()xt F x edt --∞=⎰,则其密度函数为.6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩,其密度函数为()f x ,则()6f π=.7.设随机变量X 的分布函数为1,()0,x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩,则当x >0时,X 的概率密度()f x =. 8.设随机变量X 的分布律为 则(01)P X ≤≤=.X ~N (3,4),则(45)P X <<=.9.设随机变量(其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=)10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布,写出其概率分布律. 11.若随机变量X ~B (4,,则(1)P X ≥=.12.若随机变量X ~U (0,5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时,Y 的概率密度()Y f y =. 13.设随机变量X ~N (0,4)，则(0)P X ≥=.14.设随机变量X ~U (-1,1)，则1(||)2P X ≤=.15.设随机变量X 在[2,4]上服从均匀分布，则(23)P X <<=. 16.设随机变量X ~N (-1,4)，则1~2X Y +=.17.设随机变量X 的分布律为(),0,1,2,...3kaP X k k ===，则a =. 18.设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +<<⎧=⎨⎩其它，则k =.19.若随机变量X ~N (1,16)，Y =2X -1，则Y ~. 20.若随机变量X ~U (1,6)，Y =3X +2，则Y ~. 三、计算题1.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求X 的概率密度函数.2.设X 服从参数p =的0-1分布，求X 的分布函数及P (X <.3.设随机变量X ~U (a ,b )，求X 的密度函数与分布函数.4.设随机变量X ~N (3,4)，求：(1)P (2<X <3)；(2)P (-4<X <10)；(3)P (|X|>2)；(4)P (X >3).5.已知随机变量X 的密度函数为2,01()0,kx x f x ⎧<<=⎨⎩其它，求：(1)常数k ；(2)分布函数；(3)(10.5)P X -<<.6.设随机变量X 的概率密度为,011(),1220,x x f x x <<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其它，求X 的分布函数.7.设随机变量X~,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它，求：(1)1()2P X ≥；(2)13()22P X <<.8.设随机变量X 在[0，5]上服从均匀分布，求方程24420x Xx X +++=有实根的概率. 设随机变量X 的分布律为 求：(1)Y =2X 的分布律；(2)Z =|X |的概率分布；(3)X 2的分布律.10.设X ~U [0，4]，Y =3X +1，求Y 的概率密度.11.已知随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +3，求Y 的概率密度. 12.已知X 服从参数1λ=的指数分布，Y =2X -1，求Y 的概率密度. 四、应用题1.一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X 表示在取得合格品以前已取出的废品的个数，求：(1)随机变量X 的分布律；(2)随机变量X 的分布函数.2.袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取一个球，求所取出的球的号码X 的概率分布及分布函数.3.袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取两个球，X 表示取出的两个球的最大号码，求X 的概率分布.4.设一批产品共1000个，其中40个是次品，随机抽取100个样品，按下列两种方式抽样，分别求样品中次品数X 的概率分布.(1)不放回抽样； (2)有放回抽样.5.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次正面出现的概率为13，连续抛掷10次，以X 表示正面出现的次数，求X 的分布律.6.有一繁忙的交通路口，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率.7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： (1)每分钟恰有4次呼唤的概率； (2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.8.袋中装有8个球，其中3个红球、5个白球，现从袋中任取3个球，求取出红球数的概率分布.9.已知某类电子元件的寿命X （单位：小时）服从指数分布，其概率密度为110001,0()10000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，一台仪器装有3个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设3个电子元件损坏与否相互独立.试求：(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率p 1； (2)一台仪器能正常工作到1000小时以上的概率p 2.10.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在以下来设计的.设男子身高X 服从170μ=（厘米），6σ=（厘米）的正态分布，即2~(170,6)X N .问车门高度应如何确定？五、综合题1.设10件产品中有2件次品，现进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，求： (1)抽样次数X 的概率分布； (2)X 的分布函数F (x )； (3)(2),(13)P X P X >-<<.2.司机通过某高速路收费站等候的时间X （单位：分钟）服从参数15λ=的指数分布.(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p ；(2)若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y 表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y 的分布律，并求(1)P Y ≥.3.甲乙丙三人独立地等1，2，3路公共汽车，他们等车的时间（单位：分钟）都服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率.4.设测量距离时产生的随机误差X ~N (0，102)（单位：米），现作三次独立测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于的次数，已知(1.96)0.975.Φ=(1)求每次测量中误差绝对值大于的概率p ； (2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律；(3)求三次测量中至少有一次误差绝对值大于的概率.5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （单位：分钟）服从参数110λ=的指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数.(1)写出Y 的分布律；(2)求该顾客一个月至少有一次未等到服务而离开窗口的概率. 6.设连续型随机变量X 的分布函数为：20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求：(1)系数A ；(2)X 的概率密度； (3)(0.30.7)P X <≤； (4)Y =X 2的概率密度.7.连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ,()F x A B x x =+-∞<<+∞，求： (1)常数A ，B ； (2)(11)P X -<<； (3)X 的概率密度.8.设X 是连续型随机变量，其概率密度为：2,02()0,Ax x f x ⎧<<=⎨⎩其它， 求：(1)系数A 及分布函数F (x )；(2)(12)P X <<； (3)Y =2X 的概率密度. 9.设X 的分布律为： 求：(1)Y =(X -1)2的分布律；(2)Y 的分布函数； (3)(12)P Y -≤≤.第三章多维随机变量及其概率分布 一、单项选择题1.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为： 则P (X=Y )=().A.0.3B.0.5C.设随机变量X 与Y 相互独立，且13(1),(1)44P X P Y =-===，则P (XY =-1)=().1163161438设二维随机变量(X ,Y )的分布律为：则P (X+Y ≤1)=().A.0.4B.0.3C.设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为F (x ,y )，则(,)F x +∞=().()X F x ()Y F y 设随机变量X 与Y相互独立，且X ~N (3,4),Y ~N (2,9),则Z =3X -Y ~(). (7,12)(7,27)(7,45)(11,45)6.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则Y ~(). 211(,)N μσ212(,)N μσ221(,)N μσ222(,)N μσ二维随机变量(X ,Y )只取如下数组中的值(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)，且相应的概率依次为1115,,,244c c c c，则c 的值为()..3 C 设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为(,)f x y ，则(1)P X >=().1(,)dx f x y dy +∞-∞-∞⎰⎰.(,)f x y dx +∞-∞⎰1(,)dy f x y dx +∞+∞-∞⎰⎰.1(,)dx f x y dy +∞+∞-∞⎰⎰9.设二维连续型随机变量(X ,Y )的概率密度为(2),0,0(,)0,x y ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，则常数c 为()..0.5 C.10.设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为F (x ,y )，其边缘分布函数为()X F x 、()Y F y ，且对某一组11,x y 有1111(,)()()X Y F x y F x F y =，则下列结论正确的是().和Y 相互独立和Y 不独立和Y 可能独立，也可能不独立和Y 在点(11,x y )处独立11.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，且X 与Y 相互独立，则(). 12μμ=0ρ=1212,μμσσ==2212σσ=设随机变量X 与Y 相互独立，且221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，则下列结论正确的是().21212~(,())X Y N μμσσ+++.221212~(,)X Y N μμσσ+++221212~(,)X Y N μμσσ---.221212(,)~(,)X Y N μμσσ++二、填空题1.设二维连续随机变量(X ,Y )在区域G =22{(,)|4}x y x y +≤上服从均匀分布，则其概率密度(,)f x y =.2.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为： 则P {X=3.Y 相互独立，且其分布律则P {X =Y }=.4.设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为：,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，22,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩， 则二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为.5.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为1,01,01(,)0,x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它，则1{}2P X ≤=.6.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，则当0y >时，(X ,Y )关于Y 的边缘概率密度()Y f y =.7.当01,01x y <<<<时，随机变量(X ,Y )的分布函数22(,)F x y x y =，其概率密度为(,)f x y ，则11(,)44f =.8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为1,12,01(,)0,x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它，则31(,)22P X Y ≤>=.9.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为221()21(,)2x y f x y e π-+=，则(X ,Y )关于X 的边缘概率密度()X f x =.10.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为：1(),02,01(,)30,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它， 则(X ,Y )关于X 的边缘概率密度为.三、计算题1.已知二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布为： (1)确定常数C ；(2)求(X ,Y )关于X ，Y 的边缘分布. 2.已知二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布为：求(X ,Y )关于X ，Y 的边缘分布.3.设二维离散型随机变量(X ,Y )的等可能值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).求：(1)(X ,Y )的联合概率分布律； (2)(X ,Y )关于X ,Y 的边缘概率分布. 4.设二维随机变量(X ,Y )只能取下列数组中1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3--，且取的值：次为1115,,,631212.这些值的概率依(1)写出(X ,Y )的分布律；(2)求(X ,Y )关于X ，Y 的边缘分布律. 5.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为：试问：X 与Y 是否相互独立？6.设二维随机变量(X ,Y )求边缘分布律； (2)试问X 与Y 是否相互独立？为什么？7.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为4,01,01(,)0,xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它，求边缘概率密度. 8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为22221,(,)0,x y Rf x y R π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它，求边缘概率密度.9.已知二维随机变量(X ,Y )的概率密度为：222,01,01(,)0,ax xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤=⎨⎩其它， 求：(1)常数a ；(2)(X ,Y )关于X ，Y 的边缘概率密度. 10.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为： 求：(1)1Z X Y =+的分布律；(2)2Z XY =的分布律. 四、综合题1.箱子里装有12件产品,其中2件是次品,每次从箱子里任取一件产品,共取两次,定义随机变量X ,Y 如下：0,1,X ⎧=⎨⎩第一次取出正品第一次取出次品，0,1,Y ⎧=⎨⎩第二次取出正品第二次取出次品. (1)在有放回抽样情况下，求(X ,Y )的分布律和边缘分布律，此时X 与Y 是否独立？ (2)在不放回抽样情况下，求(X ,Y )的分布律和边缘分布律，此时X 与Y 是否独立？ 2.袋中有2个白球，3个黑球，现进行无放回地摸球，定义：1,0,X ⎧=⎨⎩第一次摸出白球第一次摸出黑球，1,0,Y ⎧=⎨⎩第二次摸出白球第二次摸出黑球. 求：(1)(X ,Y )的概率分布；(2)(X ,Y )关于X ，Y 的边缘分布，并问X 与Y 是否相互独立？3.已知(X ,Y )在区域{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤内服从均匀分布，求： (1)(X ,Y )的联合概率密度；(2)(X ,Y )关于X ，Y 的边缘概率密度，并问随机变量X 与Y 是否独立？ (3)(X ,Y )的分布函数.4.已知二维连续型随机变量(X ,Y )的概率密度为：2,01,01(,)0,kxy x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它， 求：(1)常数k ；(2)(X ,Y )关于X ，Y 的边缘概率密度. (3)X 与Y 是否相互独立？为什么？ (4)(1)P X Y +≤.5.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为：(34),0,0(,)0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，求：(1)常数k ；(2)(01,02)P X Y ≤≤≤≤； (3)(X ,Y )的分布函数；(4)随机变量X 与Y 是否相互独立？6.设X 与Y 相互独立，X 服从均匀分布U [0,15]，Y 的概率密度为：55,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩， 求：(1)随机变量(X ,Y )的概率密度； (2)()P Y X ≤.第四章随机变量的数字特征 一、单项选择题随机变量X 的概率分布律为 则期望EX =().A.1.2B.1.3C.随机变量X 的概率分布律为 则方差DX =().B.2.5C.设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是().=,DX =设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ~B (6,，则E (X -Y )=(). 0.5 C 设随机变量X 与Y 相互独立，X ~B (16,，Y 服从参数为9的泊松分布，则D (X -2Y +3)=()..-11 C.6.已知随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，则EX 与DX 分别为().21,31821,3621,36-11,218已知随机变量X 服从均匀分布U [1,5]，则下列各项中正确的是(). =2,DX =43=3,DX =43=3,DX =13=2,DX =138.设X 为随机变量，EX =2，DX =5，则E (X +2)2=()..9 C 已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则X 的期望EX =()..1 C 设X 服从[0,1]上的均匀分布，则D (2X )=().112131416设随机变量X 与Y 相互独立，X ~N (2,42),Y ~N (3,32),则E (X+Y ),D (X-Y )的值分别为().，，25 C.5，，712.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，若0ρ=，则(). 与Y 一定独立与Y 一定不独立与Y 不一定独立与Y 仅不相关，但不独立 13.设X 与Y 为两个随机变量，且,0X Y ρ=，则(). 与Y 一定独立与Y 不相关与Y 独立且不相关与Y 仅不相关，但不独立14设随机变量X ~N (2,4),则D (2X +5)=()..8 C 设随机变量X 的分布函数21,0()0,0x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩，则EX 与DX 为().，4，0.5 C.，，216.已知DX =1，DY =25，,0.4X Y ρ=，则D (X -Y )=()..22 C 已知DX =4，DY =9，,0.5X Y ρ=-，则D (2X -3Y )=(). .61 C 设随机变量X 与Y 的协方差1(,)6Cov X Y =，且DX =4，DY =9，则,X Y ρ=(). 121613616若随机变量X 与Y 满足()E XY EX EY =⋅，则下列结论不正确的是().与Y 不相关与Y 相互独立()D X Y DX DY ±=+.相关系数,X Y ρ=020.已知二维离散型随机变量(X ,Y )的分布律为： 则E (X +Y )与E (XY )分别是().A.2.1，，0.8 C.，，二、填空题1.设随机变量X 的期望EX =2，方差DX =4，则E (X 2)=.2.设随机变量X 与Y 相互独立，且221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，则E (X +Y )= ，D (X +Y )=.3.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N (1,4)，Y ~B (10,，则E (2X -3Y )= ，D (2X -3Y )=.4.随机变量X 服从0-1分布，且EX =，则P (X =0)=.5.设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则D (2X +1)=.6.设随机变量X 的分布律为 则E (X 2)=.7.已知二维离散型随机变量(X ,Y )的分布律为：则E (XY )=.8.设随机变量X 与Y 相互独立，且DX >0,DY >0，则X 与Y的相关系数ρ=.9.设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为： 则E (XY )=，D (X -Y )=.10.设随机变量X ~N (0,1)，(,)0.5Cov X Y =，则Y ~N (0,1)，D (X +Y )=.11.设DX =9，DY =25，相关系数,0.5X Y ρ=，则D (X -Y )=.12.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX =EY =0，E (X 2)=E (Y 2)=1，则E (X+Y )2= ，D (X +Y )=.13.已知二维随机变量1(,)~(1,1,4,9,)2X Y N ，则(,)Cov X Y =.设随机变量X 的分布律为 令Y =2X +1，则EY =.15.设随机变量12,,...,n X X X 独立同分布，且均值为μ,若11ni i Y X n ==∑，则EY =.三、计算题设随机变量X 的分布律为 求：(1)EX ；(2)E (X 2)；(3)E (3X 3+5).设随机变量X 的分布律为 求：期望EX 与方差DX . 3.设随机变量X 的概率密度为6(1),01()0,x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它，求：期望EX 与方差DX . 4.设随机变量X的概率密度为||1()0,||1x f x x <=≥⎩，求：期望EX 与方差DX .5.设随机变量X 的概率密度为,01()2,120,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它，求：期望EX 与方差DX .6.设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从参数2λ=的泊松分布，Y 的概率密度为1,04()40,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求：(1)(2),()E X Y E XY +；(2)(23)D X Y -+. 7.已知二维随机变量(X ,Y )的概率分布为 求：协方差(,)Cov X Y 与相关系数,X Y ρ.8.设(X ,Y )在圆域222{(,)|}G x y x y R =+≤内服从均匀分布，求(,)Cov X Y .四、应用题1.甲、乙两台自动车床，生产同一种标准件，生产1000只所出的次品数分别用X 、Y 来表示，经过一段时间的考察，X 、Y 的分布律分别为： 问哪一台机床加工的产品质量好？ 2.某车间生产的圆盘直径服从均匀分布U [a ，b ]，求圆盘面积的期望.3.有甲、乙两种牌号的手表，它们日走时的误差（单位：秒）分别记作X 、Y ，且日走时误差所服从的分布律如下： 问哪种牌号的手表质量更好？ 4.设市场上每年对某厂生产的29寸彩色电视机的需求量是随机变量X （单位：万台），它均匀分布于[10，20].每出售一万台电视机，厂方获得利润50万元，但如果因销售不出而积压在仓库里，则每一万台需支付库存费10万元，问29寸彩色电视机的年产量应定为多少台，才能使厂方的平均收益最大？五、综合题1.设随机变量X 的概率密度在[0，1]之外为0，在[0，1]上的密度与x 2成正比.求：(1)X 的分布函数；(2)期望EX 和方差DX .2.设X 服从参数为λ的泊松分布，已知(2)(3)P X P X ===， 且(4)(0)P X aP X <==，求：(1)常数a ；(2)[(21)(21)]E X X +-.3.设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率密度分别为：242,04,0(),()0,00,0x y X Y e x e y f x f y x y --⎧⎧>>==⎨⎨≤≤⎩⎩. 求：(1)E (X +Y )，E (XY )；(2)D (X+Y )，D (2X -3Y ).4.设X ~N (5,5)，Y 在[0,]π上服从均匀分布，相关系数,0.5X Y ρ=，求：(2)E X Y -和(2)D X Y -.5.设随机变量12,,...,n X X X 相互独立，且服从同一分布，期望为μ，方差为2σ，令11ni i X X n ==∑，求：,E X D X .6.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为： 求：(1)边缘概率分布；(2)协方差(,)Cov X Y 与相关系数ρ； (3)问随机变量X 与Y 是否独立？是否相关？7.设(X ,Y )的概率密度212,01(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它， 求：(1)边缘概率密度； (2)EX ，EY ；(3)(,)Cov X Y .8.设随机变量X ~,02()20,xx f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，试求：(1)EX ，DX ；(2)D (2-3X )；(3)(01).P X <<9.设连续型随机变量X 的分布函数为：0,0(),0881,8x x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，求：(1)X 的概率密度()f x ；(2)EX ，DX ； (3){||}8DXP X EX -≤. 10.设随机变量X ~,01()0,ax b x f x +≤≤⎧=⎨⎩其它，且712EX =，求：(1)常数a ，b ；(2)DX .11.设随机变量X 1与X 2相互独立，且2212~(,),~(,)X N X N μσμσ.令12X X X =+，12Y X X =-.求：(1)DX ，DY ； (2)X 与Y 的相关系数,X Y ρ.12.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为：2,01,0(,)0,x y xf x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 求：(1)边缘分布密度；(2)E (X +Y )，E (XY )，(,)Cov X Y ； (3)(1)P X Y +≤.第五章大数定律及中心极限定理 一、单项选择题1.设随机变量X 的方差DX =2,则利用切比雪夫不等式估计(||8)P X EX -≥的值为().3132≥132≤132≥3132≤设随机变量X 的期望EX 与方差DX 都存在,则对任意正数ε,有(). 2(||)DX P X EX εε-≥=.2(||)DXP X EX εε-<>2(||)1DXP X EX εε-<≥-.2(||)1DXP X EX εε-≥≤-3.设随机变量Z n ~B (n ,p )，n =1,2,…，其中0<p <1，则lim }n P x →∞≤=().22txdt-⎰.22txdt-⎰22tdt-⎰.22tdt+∞--∞⎰4.设随机变量X1,X2,…,X100独立同分布，0,1,1,2,...,100i iEX DX i===，则由中心极限定理得1001{10}iiP X=≤∑近似于().(1)Φ(10)Φ(100)Φ设X n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的0ε>，lim{||}nnXP pnε→∞-≥=()..1 C.εD.p6.设随机变量X1,X2,…,X n,…相互独立，且X i都服从参数为12的指数分布，则当n充分大时，随机变量11nn iiZ Xn==∑的概率分布近似服从().(2,4)N4(2,)Nn11(,)24Nn(2,4)N n n二、填空题1.设EX=-1，DX=4，则由切比雪夫不等式估计P{-4<X<2}≥.2.已知随机变量X的期望EX=100，方差DX=10，估计X落在(80,120)内的概率.3.设随机变量X1,X2,…,X n,…相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2σ，令11nn iiZ Xn==∑，则对于任意的0ε>，lim{||}nnP Zμε→∞-<=.4.设X1,X2,…,X n,…是独立同分布的随机变量序列，且有,iEXμ=20(1,2,...)iDX iσ=>=，则对于任意实数x，lim}ninX nP xμ→∞-≤=∑.5.设X1,X2,…,X n,…是独立同分布的随机变量序列，且X i都服从参数为的0-1分布，记1001iiZ X==∑，则{30}P Z≥≈.6.在n重独立重复试验中，设P(A)=p，X为A发生的次数，则当n充分大时，X近似服从.。
(完整word版)概率统计作业-第一章(参考解答)
《概率论与数理统计》第一章作业一、一批产品中有合格品也有废品，从中有放回地抽取三件产品，以i A (1,2,3)i =表示第i 次抽到废品，试用i A 的运算表示下列事件：1．第一次和第二次至少抽到一次废品；2．只有第一次抽到废品；3．只有一次抽到废品；4．至少有一次抽到废品；5．三次都抽到废品；6．只有两次抽到废品。
解答：1．12A A U ； 2．123A A A ； 3．123123123()()()A A A A A A A A A U U ；4．123A A A U U ； 5．123A A A ； 6．123123123()()()A A A A A A A A A U U 。
二、计算下列各题：1．已知()0.7P A =，()0.4P A B -=，求()P AB ；解：由0.4()()()P A B P A P AB =-=-，得()()()0.70.40.3P AB P A P A B =--=-=； 所以()1()10.30.7P AB P AB =-=-=2．已知()1/3P A =，(|)1/4P B A =，(|)1/6P A B =，求()P A B U ； 解：111()()(|)3412P AB P A P B A ==⨯=； 又因为11()()(|)()126P AB P B P A B P B ===⨯，得1()2P B =； 所以1113()()()()32124P A B P A P B P AB =+-=+-=U3．已知()()1/3P A P B ==，(|)1/6P A B =，求(|)P A B ；解：因为()()(|)P AB P B P A B ==1113618⨯= ()1()1[()()()](|)()1()1()P AB P A B P A P B P AB P A B P B P B P B --+-===--U 1111[]7331811213-+-==-4．设三个事件1A ,2A ,3A 相互独立，且()2/3i P A =，1,2,3i =。
概率论与数理统计第一章试卷
概率论与数理统计第一章试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 设随机试验E为抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况，则样本空间Ω = （）A. {H}B. {T}C. {H,T}D. {H,T,0}2. 设A,B,C为三个事件，则“A,B,C至少有一个发生”可表示为（）A. A∪ B∪ CB. A∩ B∩ CC. ¯A∪¯B∪¯CD. ¯A∩¯B∩¯C3. 设A,B为两个事件，若AB = varnothing，则称A与B（）A. 相互独立B. 互不相容C. 对立D. 构成完备事件组。
4. 对于任意两个事件A,B，有P(A - B)=（）A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(AB)C. P(A)+P(B)D. P(A)+P(B)-P(AB)5. 设事件A,B满足P(A) = 0.6，P(B) = 0.4，且A⊃ B，则P(A - B)=（）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 1.6. 设A,B为两个随机事件，且P(A)=(1)/(3)，P(B)=(1)/(2)，P(AB)=(1)/(6)，则P(AB)=（）A. (1)/(3)B. (1)/(2)C. (1)/(6)D. (2)/(3)二、填空题（每题5分，共30分）1. 设样本空间Ω={1,2,3,·s,10}，事件A = {2,4,6,8,10}，则A的对立事件¯A=______。
2. 已知P(A)=(1)/(4)，P(B)=(1)/(3)，A,B相互独立，则P(A∪ B)=______。
3. 设A,B为两个事件，P(A) = 0.5，P(B) = 0.3，P(A∪ B)=0.6，则P(AB)=______。
4. 设事件A,B满足P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A∪ B)=0.6，则P(¯A¯B)=______。
5. 若A,B为两个事件，且P(A) = 0.7，P(A - B)=0.3，则P(AB)=______。
概率论与数理统计第一章
分别为质量问题，数量短缺问题，包装问题，则
故，一件索赔事件在争议中经过协商得到解决了，这一事件不属于质量问题的概率是
5. 轰炸机要完成它的使命，驾驶员必须要找到目标，同时投弹员必须要投中目标。设驾驶员甲、乙找到目标的概率分别为、；投弹员丙、丁在找到目标的条件下投中的概率分别、.现在要配备两组轰炸人员，问甲、乙、丙、丁怎样配合才能使完成使命有较大的概率（只要有一架飞机投中目标即完成使命）求此概率是多少
2.有两箱同种类的零件,第一箱内装50只,其中10只一等品,第二箱内装30只,其中18只一等品.今从两箱中任意挑出一箱,然后从该箱中取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样.求
(1)第一次取到的零件是一等品的概率；
(2)已知第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率.
3.设10件产品中有3件次品, 7件正品,现每次从中任取一件,取后不放回.试求下列事件的概率.
5. 轰炸机要完成它的使命，驾驶员必须要找到目标，同时投弹员必须要投中目标。设驾驶员甲、乙找到目标的概率分别为、；投弹员丙、丁在找到目标的条件下投中的概率分别、.现在要配备两组轰炸人员，问甲、乙、丙、丁怎样配合才能使完成使命有较大的概率（只要有一架飞机投中目标即完成使命）求此概率是多少
6. 已知A，B是两个随机事件， 且 ，证明：
第一章测试题
一、选择题
1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A一定互不相容的事件为
（A） （B） （C） （D）
2.对于任意二事件A和B，与 不等价的是
（A） （B） （C） （D）
3．设 、 是任意两个事件， ， ，则下列不等式中成立的是（ ）
4．设 ， ， ，则（ ）
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三、计算题 1．假设雷达站对甲、乙、丙三个独立飞行的目标进行跟踪， 而雷达发现三个目标的概率相应为 p1 , p2 , p3 。记 A ={无一目标被发现}，
B ={至少一个目标被发现}，
C ={最多一个目标被发现}．试求事件A、B、C的概率。
P( A) (1 p1 )(1 p2 )(1 p3 )
8
2、根据以往的临床记录，知道癌症患者对某种试验呈阳性反应 的概率为0.95，非癌症患者对这试验呈阳性反应的概率为0.01. 设被试验者患有癌症的概率为0.005，若某人对试验呈阳性反应， 求此人患有癌症的概率.
解
设A “试验结果呈阳性反应” B “检查者患有癌症”
P B P A B P AB P BA = P A P B P A B P B P A B
(A) 0.125
(B) 0.25 (C) 0.325
(D) 0.375
3. 一批零件10个，其中有8个合格品，2个次品，每次任取一 个零件装配机器，若第2次取到的是合格品的概率为p2 ，第3次 取到的合格品的概率为 p3 ，则（ B ） (A) p2 p3 (B) p2 p3 (C) p2 p3 (D) p2与 p3 的大小不能确定
一、填空题
第一章 自测题
1．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投 1 信的概率为 。
4
2．一间宿舍内住有6个同学，则他们之中恰好有4个人的生日在 同一个月份的概率为 0.0073 ；没有任何人的生日在同一个月 份的概率为 0.2228 。
3．有γ个球，随机地放在n个盒子中 ( n)，则某指定的γ个 r! 。 盒子中各有一球的概率为
P( B) 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 p3 )
P (C ) (1 p1 )(1 p2 )(1 p3 ) p1 (1 p2 )(1 p3 ) (1 p1 ) p2 (1 p3 ) (1 p1 )(1 p2 ) p3
1 p1 p2 p1 p3 p2 p3 2 p1 p2 p3
又因P ( E | D1 ) 0.2 P( E | D2 ) 0.6 P ( E | D3 ) 1
P( E ) P( D1 ) P( E | D1 ) P( D2 ) P( E | D2 ) P( D3 ) P( E | D3 )
0.458
11Biblioteka 5．若事件A与B相互独立，且
P ( A B)
P P ( A) 0.5 ， ( B) 0.25，则
0.375 _________；P ( A B) ___________。 0.625
P( A B) P( AB) P( A) P( B)
2
P 6．已知P( A) 0.92 ， ( B) 0.93 ， ( B | A) 0.85 ，则 P
=0.323129
0.005 0.95
=
0.005 0.95 0.995 0.01
9
3. 考虑一元二次方程 x 2 Bx C 0 ，其中B、C分别是 将一枚色子（骰子）接连掷两次先后出现的点数，求该方程 有实根的概率 p 和有重根的概率 q
6
(C) C n1 p
r 1
r 1
(1 p) nr 1 ； (D) p r (1 p) nr
6. 有10张奖券中含3张中奖的奖券，每人只能购买1张，则前 3个购买者都中奖的概率为（ D ）.
A、 10 0.7 2 0.3 ； C3
B、0.3；
C、
7 ； 40
D、
1 120
19 p 36
1 q 18
10
4.
甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4、
0.5、0.7，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果 有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6。如果三人都击中，则 飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。 解
设A、B、C分别表示甲、乙、丙三 人分别击中飞机，
5
4．10颗骰子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点 的概率是（C）． (A)
5 1 6
10 5
(B)
1 1 1 6 5 1 6
5 10
(C)
7．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那 么以0.7为概率的事件是（ D ）． A．都不是一等品 C．至少有1件一等品 B．恰有1件一等品 D．至多有1件一等品 ）。
8. 设 B A ，则下面正确的等式是（ B
A、P( AB) 1 P( A) ； B、P( B A) P( B) P( A) C、 P( B | A) P( B) ； D、 P( A | B) P( A)
2 2 4 4
n 4 C6 12 1111
r
6 A12
12 6
12 6
1
4．设 P ( A) 0.3 ，P ( A B ) 0.8 ，若A与B互斥，则 2 ；若A与B独立，则 P(B ) P (B) 0.5 7 ；若 ，则 A B
P ( A B)
0.5 。
5 0.3 P( B) 0.3P( B) 0.8 P( B) 7
8. 设随机事件 A , B 互不相容，且 P( A) 0.3 ，P( B ) 0.6 ， 0 则 P( B A) .
4
二、选择题
1. 已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=( B ). (A) 0.15 (B) 0.2 (C) 0.8 (D) 1 2．同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为 ( B )
1 1 1 6
10 5
5 10
(D)
5. 设每次试验成功的概率为 p (0 p 1) ，重复进行
次试验取得 r (1 r n)
r (A) C n1 p r (1 p) nr ； 1
n
.
次成功的概率为
B
(B)
r C n p r (1 p) nr
Di 表示有人击中飞机，（ 1、 3） i i 2、
E表 示飞 机被 击落
则P( A) 0.4，P( B) 0.5，P(C ) 0.7
P( D1 ) P( ABC ) P( ABC ) P( ABC ) 0.36 P( D2 ) P( ABC ) P( ABC ) P( ABC ) 0.41 P( D3 ) P( ABC ) 0.14
P( A | B ) 0.829 。P ( A B )
P( BA) 0.85 P ( A)
0.988。
P( B | A ) 0.85
P( BA) 0.85 0.08 0.068
A
B
P( AB) P( B) P( BA) 0.93 0.068 0.862 P( AB) P( A) P( AB) 0.92 0.862 0.058
P( A | B ) P( AB) 0.058 0.829 0.07 P( B)
3
7．设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为 1 9 ，A发生 且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率 为： 2 . 3
1 (1 x)(1 y ) 9 x(1 y) y(1 x)