八年级数学培优第1讲 梯形蝴蝶定理
蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题
蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题特级教师吴乃华梯形的两条对角线，把梯形分割为“上”、“下”、“左”、“右”四个部分，这四个三角形的面积以及相应边长的比例关系，都是由梯形上、下底的长短或者比例关系所决定的。
由于这四个部分形状有点像蝴蝶，揭示梯形上、下底与“上”、“下”、“左”、“右”四个部分的关系，以及这四个部分相互之间规律的理论，就叫做“梯形蝴蝶定理”。
它的奇妙之处在于，运用这种理论解答图形问题，轻松便捷，化难为易。
下面以几道小学竞赛题的解答，就定理的部分内容作浅显的解读，敬请校正。
一、紧盯翅膀求答案梯形的左右两个三角形，就像蝴蝶的一对翅膀，它们的面积是相等的，这是因为它们分属于同底同高的两个三角形，并且共有一个“上”（或者“下”）三角形。
简记为：“左＝右”。
在有关梯形的图形里，关注这一部分的情况，有时能得到答案，有时为解答提供思路。
例1、如图的梯形ABCD中，三角形ABP的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，求四边形MPNQ的面积。
解：连接MN，这样把梯形ABCD分成ABNM和MNCD两个小梯形。
由“左＝右”知道：S△MNQ＝S△CDQ＝35；S△MNP＝S△ABP＝20。
所以，四边形MPNQ的面积是：20＋35＝55（平方厘米）。
例2、如图所示, 四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形, 若三角形DFP 与三角形AEF 的面积分别是22 和36, 则三角形BNE 的面积是多少？（第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛小学组决赛试题)解：连接AM。
把四边形CPMN以外的部分，分成了AMND和ABGM两个梯形。
由“左＝右”知道：S△AFM＝22；S△AEM＝36－22＝14。
所以，三角形BNE 的面积是14。
二、上底下底藏玄机梯形上、下底的长度，决定了对角线交叉所成的角度。
上、下底的比，决定了对角线上、下段的比，也决定了这些线段所围成的三角形面积的比。
所以相应边长的比，等于边长所在的三角形面积的比，反之，三角形面积的比，等于三角形相应边长的比。
八年级数学培优第1讲 梯形蝴蝶定理
八年级数学培优第一讲梯形蝴蝶定理如图，在梯形中，存在以下关系：1.S3=S42.S1×S2=S3×S43.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)例1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例2、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？例3、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例4、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
例5、四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。
如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO=，3DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。
例6、左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。
例7、E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？259ODCBADAOC B【精选习题】1、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于F，设S四边形EADF=S1，S△BDF=S2，S△BCF=S3，S△CEF=S4。
则下列正确的是（）A．S1S3＜S2S4B．S1S3=S2S4C．S1S3＞S2S4D．不能确定2、如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是cm2。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们解开许多几何谜题。
蝴蝶定理的名字听起来是不是很有趣？就好像一只美丽的蝴蝶在几何图形中翩翩起舞。
那到底什么是蝴蝶定理呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。
想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
在这个四边形中，相对的两个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。
比如说，我们有一个四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
那么根据蝴蝶定理，三角形 AOB 和三角形 DOC 的面积之积等于三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积之积。
可能你会觉得有点抽象，那我们通过一个具体的例子来感受一下。
假设四边形 ABCD 是一个平行四边形，AB 平行于 CD，AD 平行于BC。
AC 和 BD 相交于点 O。
因为平行四边形的对边相等且平行，所以三角形 ABC 和三角形 ADC 的面积相等。
又因为三角形 AOB 和三角形BOC 分别以 AO 和 OC 为底边时，它们的高相同，所以三角形 AOB 和三角形 BOC 的面积之比就等于 AO 与 OC 的长度之比。
同样的道理，三角形 AOD 和三角形 DOC 的面积之比也等于 AO 与OC 的长度之比。
这就意味着三角形 AOB 和三角形 BOC 的面积之积等于三角形 AOD 和三角形 DOC 的面积之积，这正是蝴蝶定理的体现。
蝴蝶定理在解决一些几何问题时非常有用。
比如，当我们已知四边形中某些部分的面积，要求其他部分的面积时，就可以运用蝴蝶定理来找到答案。
再比如，如果我们知道了两个三角形的面积关系，以及对角线的交点位置，也可以通过蝴蝶定理求出整个四边形的面积。
那小朋友们在学习蝴蝶定理的时候，可能会遇到一些困难。
这是很正常的，因为几何需要我们有一定的空间想象力和逻辑思维能力。
不过别担心，我们可以通过多做一些练习题，多画一些图形来帮助自己理解。
几何中的蝴蝶定理
几何中的蝴蝶定理1. 哎呀，今天咱们来聊一个特别有意思的几何定理，叫蝴蝶定理！说实话，光听这名字就觉得美滋滋的，像是在数学花园里看见了一只翩翩起舞的蝴蝶。
2. 这个定理说的是啥呢？想象一下，在一个圆里面，画了两条相交的弦，就像蝴蝶的两个翅膀一样交叉在一起。
这时候就神奇了！3. 这两条弦交叉的那个点，把每条弦都分成了两段。
要是把这四段线段相乘，你猜怎么着？两组乘积居然完全相等！这就跟变魔术一样神奇。
4. 打个比方啊，假如咱们画了两条弦，一条被分成3厘米和5厘米两段，另一条被分成4厘米和3.75厘米两段。
你用计算器算算：3×5=15，4×3.75=15，这不就神了吗？5. 有的同学可能要问了：这定理咋这么像蝴蝶呢？你仔细看啊，两条相交的弦就像蝴蝶的翅膀，交点就像蝴蝶的身体，这不是活脱脱一只几何蝴蝶嘛！6. 这个定理还有个特别实用的地方。
要是你在做几何题时遇到圆里面有两条相交的弦，立马就能用上这个定理，分分钟解出来！7. 说到证明过程，其实也不难。
就像是把蝴蝶的翅膀折来折去，用相似三角形就能证明。
不过今天咱们主要是理解这个定理的妙处，就不钻牛角尖啦！8. 这个定理还告诉我们一个道理：看似不相关的东西，其实暗藏玄机。
就像蝴蝶翅膀上看似随意的花纹，背后却藏着严谨的数学规律。
9. 在实际应用中，蝴蝶定理经常和其他定理一起使用。
比如说和圆幂定理搭配，简直就是几何题的双保险！解题的时候，就像蝴蝶飞舞一样轻松自如。
10. 有意思的是，这个定理还能推广到更复杂的情况。
要是在圆里面画更多的弦，它们相交的点也会形成一些有趣的规律，就像一群蝴蝶在跳舞。
11. 学习数学最重要的就是找到乐趣。
蝴蝶定理就是个很好的例子，它把枯燥的几何变成了生动的图画，让人感受到数学之美。
12. 所以啊，下次你看到蝴蝶，别光顾着欣赏它的美丽，也想想它身上藏着的数学奥秘。
这不就是数学最迷人的地方吗？它把大自然的美和严谨的逻辑完美地结合在了一起！。
利用初中数学知识证明蝴蝶定理
利用初中数学知识证明蝴蝶定理
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2BC·sinA。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种利用初中数学知识证明蝴蝶定理的方法。
过O作OE，OF垂直AD，BC于点E，F，连接ME，MF，OX，OY，OM。
∵∠OEX=∠OMX=90°
∴O，E,X,M四点共圆
∴∠XOM=∠XEM
同理可证∠YOM=∠YFM
∵∠A=∠C,∠D=∠B
∴△ADM∽△CBM
∵ME,MF是对应边上的中线
∴△MED∽△MFB
∴∠XEM=∠YMF
∴∠XOM=∠YOM
又∵∠OMX=∠OMY=90°，OM是公共边∴△OMX≌△OMY
∴M为XY之中点。
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理，那就是蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
让我们先来直观地感受一下蝴蝶定理是什么。
想象一下有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
然后分别从这个交点向四边形的四个顶点连线，这样就把四边形分成了四个三角形。
奇妙的是，这四个三角形的面积之间存在着一种特殊的关系，这就是蝴蝶定理所描述的内容。
蝴蝶定理的基本形式是：在一个梯形中，两条对角线相交，位于对角线交点两侧的三角形面积相等。
比如说，有一个梯形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。
那么三角形 AOD 的面积就等于三角形 BOC 的面积。
为什么会有这样神奇的结论呢？我们来试着证明一下。
假设梯形的上底是 a，下底是 b，高是 h。
那么三角形 ABD 的面积可以用公式“底×高÷2”来计算，也就是（a ＋ b)×h÷2。
而三角形 AOD 和三角形 AOB 分别以 AO 和 BO 为底边，它们的高是相同的，都等于梯形的高 h。
假设三角形 AOD 的面积是 S1，三角形 AOB 的面积是 S2，那么根据三角形面积公式，我们可以得到：S1 ： S2 ＝ AO ： BO同样地，三角形 BOC 和三角形 DOC 的面积比也是 BO ： AO。
因为三角形 ABD 和三角形 ABC 的面积是固定的，所以：S1 ＋ S2 ＝三角形 ABD 的面积三角形 BOC 的面积S2 ＋ S1 ＝三角形 ABC 的面积三角形 AOD 的面积这就说明三角形 AOD 的面积等于三角形 BOC 的面积，也就是蝴蝶定理的结论。
蝴蝶定理在解决实际问题中非常有用。
比如说，有一道题：在一个梯形中，已知上底是 6 厘米，下底是 10 厘米，其中一条对角线把梯形分成了两个三角形，其中一个三角形的面积是 18 平方厘米，求另一个三角形的面积。
我们就可以利用蝴蝶定理，先求出梯形的高，然后再计算另一个三角形的面积。
几何里的蝴蝶定理
几何里的蝴蝶定理一、蝴蝶定理的内容1. 定理表述- 设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ 于点X和Y，则M是XY的中点。
2. 图形示例- 画出一个圆，圆内有弦PQ，M为PQ中点。
然后画出弦AB和CD，连接AD与PQ交于X点，连接BC与PQ交于Y点。
从图上直观地看，似乎XM = MY。
二、蝴蝶定理的证明方法（以初中几何知识为例）1. 利用相似三角形证明（一种常见方法）- 连接AC、BD。
- 因为∠AXM = ∠DYM（对顶角相等），∠AMX=∠DMY（对顶角相等），且由圆内接四边形的性质可知∠CAB = ∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠ACD = ∠ABD（同弧所对的圆周角相等）。
- 所以△AXM∽△DYM，△AMC∽△DMB。
- 根据相似三角形的性质，在△AXM和△DYM中，有(XM)/(YM)=(AM)/(DM)；在△AMC和△DMB中，有(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。
- 又因为在圆中，由相交弦定理可得AM× BM = CM× DM，即(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。
- 所以(XM)/(YM) = 1，即XM = YM，从而证明了蝴蝶定理。
2. 面积法证明（另一种思路）- 设∠ AXM=α，∠ DYM = β。
- 根据三角形面积公式S=(1)/(2)absin C。
- 对于 AXM和 DYM，frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(frac{1)/(2)AX· XM·sin α}{(1)/(2)DY· YM·sinβ}。
- 因为α=β（对顶角相等），所以frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(AX· XM)/(DY· YM)。
- 同理，通过连接其他线段，利用圆内的角关系和面积关系，经过一系列的等量代换，可以得出XM = YM的结论。
三、蝴蝶定理的拓展与应用1. 在椭圆中的推广- 在椭圆中也有类似蝴蝶定理的结论。
梯形蝴蝶定理在面积计算中的妙用
梯形蝴蝶定理在面积计算中的妙用作者：蔡梁斌来源：《广东教育·综合》2010年第06期一、蝴蝶定理的起源在圆O内,有一条弦MN,其弦中点为P,过P任意作两条相交弦AB和CD(如图1),连结BC、AD,分别交弦MN于E、F,则PE=PF.从这个几何图形上看,它就像是一只翩翩起舞的蝴蝶,因此称之为蝴蝶定理.这是一只在圆中飞舞的蝴蝶.而在梯形中,也存在着一只美丽的蝴蝶(如图2).在梯形ABCD中,AB//CD,对角线AC、BD 相交于点O,则:①S△AOD =S△BOC;②S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC.这是梯形中飞舞的蝴蝶,故称之为梯形蝴蝶定理.二、梯形蝴蝶定理的证明①根据等底等高的两个三角形的面积相等,可知S△ADC=S△BCD,即S△AOD+S△DOC=S△BOC+S△DOC,所以S△AOD=S△BOC .②分别过点A、C作AE⊥BD于E,CF⊥BD于F(如图3),则S△AOD=DO•AE,S△BOC =BO•CF,S△AOB=BO•AE,S△DOC=DO•CF故S△AOD•S△BOC =S△AOB•S△DOC .利用梯形蝴蝶定理中的这两个结论,解决某些面积计算或等积(面积相等)变形问题,可起到事半功倍的效果.三、梯形蝴蝶定理的应用例1如图4所示,B、C、F三点在同一条直线上,线段AF与平行四边形ABCD的CD边交于点E,如果△DEF的面积为6平方厘米,求△BCE的面积.解:连接AC.∵AD//CF,由梯形蝴蝶定理可得S△ACE = S△DEF =6∵AB//CE,则有S△BCE = S△ACE =6.例2如图5所示,EF为△ABC边上的点,CE与BF交于点P,已知△PBC的面积为12,并且△BEP、△CFP、四边形AEPF的面积相等.求△BEP的面积.解:连接EF.∵S△BPE =S△CFP∴△BEF与△CFE的高相等,则有EF//BC设△BEP的面积为S,由梯形蝴蝶定理,可得:S△EFP=,则S△AEF =S-由△AEF∽△ABC,△EFP∽△CBP可知:=()2 ,=()2∴=, 即=,解得:S=4.例3如图6所示,矩形ABCD中,AB=3cm,AD=3cm,AD=6cm,点E为AB边上的任意一点,四边形EFGB也是矩形,且EF=2BE,求S△AFC .解:连接FE,由 tan∠FBG=,tan∠ACB=,可知:∠FBG=∠ACB,∴FB//AC,令FC与AB相交于点O,则:S△AFO = S△BCO ,S△AFC= S△ABC =×3×6=9.例4 如图7所示,P是边长为8的正方形ABCD形外一点,PB=PC,△PBD的面积等于48.求△PBC的面积.解:如图7所示,设PD与BC交点为O,取BC中点E,连接PE 、DE,则S△CEP = S△BEP由PE//DC,则有S△COP = S△DOE由于 S△PBD =S△DBE +S△DOE + S△POE + S△BEP = S△DBE +S△COP +S△POE+S△BEP=S△DBE +S△PBC而S△PBD =48,所以S△DBE =BE•CD=×4×8=16故48=16+S△PBC,所以 S△PBC =32.本栏责任编辑罗峰。
几何中的蝴蝶定理
一、基本知识点
模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系：
即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S1︰S2=a︰b ；
模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED占三角形ABC面积的 × =
模型二：任意四边形中的比例关系（我们把它称作蝴蝶定理）
①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4
例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形 的对角线 与 交于点 （如图）所示。
如果三角形 的面积等于三角形 的面积的 ，且
， ，那么 的长度是 的长度的_________倍。
例10、左下图所示的 ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CE、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且 的面积比 的面积大6平方厘米。
3、如右图BE= BC，CD= AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.
5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE:ED=CF:FD=1:2，三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理——蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
蝴蝶定理的名字听起来很有趣，是不是让你联想到了一只美丽的蝴蝶在几何图形中翩翩起舞？其实，这个定理之所以叫这个名字，是因为它的图形看起来有点像一只蝴蝶。
那蝴蝶定理到底说的是什么呢？咱们先来看看它的基本形式。
假设有一个梯形，两条对角线相交于一点。
在这个梯形中，通过对角线相交点作两条平行于梯形底边的直线，分别与梯形的两条腰相交。
那么，位于梯形上下两个部分的三角形面积相等。
比如说，有一个梯形 ABCD，上底是 AD，下底是 BC，对角线 AC和 BD 相交于点 O。
过点 O 作 EF 平行于 AD 和 BC，分别交 AB 于点E，交 CD 于点 F。
那么三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积是相等的。
可能有的同学会问，为什么会这样呢？我们来试着解释一下。
为了更好地理解，我们可以把梯形的面积看作是由多个部分组成的。
首先，三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积是相等的，因为它们都以AD 为底边，并且顶点 B 和 C 到 AD 的距离是相等的，也就是这两个三角形的高相等。
那么，三角形 ABD 的面积减去三角形 AOD 的面积，就等于三角形AOB 的面积；三角形 ACD 的面积减去三角形 AOD 的面积，就等于三角形 DOC 的面积。
因为三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积相等，所以三角形 AOB 的面积就等于三角形 DOC 的面积。
蝴蝶定理在解决实际问题中非常有用。
比如，当我们已知梯形中某些部分的面积，要求其他部分的面积时，就可以运用这个定理来快速找到答案。
再举个例子，假如梯形 ABCD 中，三角形 AOD 的面积是 6 平方厘米，三角形 BOC 的面积是 9 平方厘米，那么三角形 AOB 的面积是多少呢？根据蝴蝶定理，我们知道三角形 AOB 的面积乘以三角形 DOC的面积等于三角形 AOD 的面积乘以三角形 BOC 的面积。
小学几何之蝴蝶定理
小学几何之蝴蝶定理在小学几何的奇妙世界里，有一个充满趣味和智慧的定理——蝴蝶定理。
它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松解开许多几何难题。
那什么是蝴蝶定理呢？咱们先来看一个简单的图形。
想象有一个四边形，它的两条对角线相交于一点。
然后，分别从这个交点向四边形的四条边作垂线。
这时，你会发现一个有趣的现象：在两条对角线上相对的两个三角形的面积乘积相等。
比如说，有一个四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，过点 O 分别作 AB、BC、CD、DA 的垂线，垂足分别为 E、F、G、H。
那么，三角形 AOB 和三角形 COD 的面积乘积就等于三角形 AOD 和三角形 BOC 的面积乘积。
这就是蝴蝶定理的基本内容。
可能有的小朋友会问了，为什么会有这样神奇的定理呢？咱们来试着证明一下。
假设三角形 AOB 的面积为 S₁，三角形 BOC 的面积为 S₂，三角形COD 的面积为 S₃，三角形 AOD 的面积为 S₄。
因为三角形的面积等于底乘以高除以 2，而三角形 AOB 和三角形BOC 都以 BO 为底边，它们的高分别是 AE 和 CF。
所以，S₁/S₂＝（AE×BO/2) ／（CF×BO/2) ＝ AE/CF。
同理，三角形 AOD 和三角形 COD 都以 DO 为底边，它们的高分别是 AH 和 CG。
所以，S₄/S₃＝（AH×DO/2) ／（CG×DO/2) ＝AH/CG。
又因为三角形 AEO 和三角形 CGO 相似（因为对顶角相等，直角相等），所以 AE/CF ＝ AH/CG。
从而得出 S₁×S₃＝ S₂×S₄，这就证明了蝴蝶定理。
蝴蝶定理在解决实际问题中可有大用处啦！比如，有一道这样的题目：在一个四边形中，两条对角线相交，其中一条对角线被交点分成 3 厘米和 5 厘米两段，另一条对角线被交点分成 2 厘米和 4 厘米两段。
求这个四边形中相对的两个三角形的面积比。
奥数专题：蝴蝶定理和风筝定理
蝴蝶定理和风筝定理引入1、蝴蝶定理在梯形 ABCD 中，由对角线 AC 与 BD 分成的左右两个三角形（△ ADO 和△ BCO ）形状有 点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图） ， 蝴蝶三角形的面积相等。
2、风筝定理在任意四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 分成了四个三角形 这四个三角形的面积分别记为： S 1 、S 2 、S 3 、 S 4。
则它们的关系是：S 1× S 4 =S 2× S 3 即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
新授课【例 1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△ 米，△ DOC 的面积是 9 平方厘米，梯形 ABCD练习1、如图， 2BO=DO ，且阴影部分的面积是 4cm 2，那么梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？2、如图，阴影部分面积是 4cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。
CBAS 1 S 2O S 3 S 4CAOD 的面积是 3 平方厘例 2】如图， BD ，CF 将长方形 ABCD 分成四块，红色三角形的面积是 4平方厘米，黄色三角形的面积是 8 平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？练习1、如图， BD ，CF 将长方形 ABCD 分成 4块，红色三角形面积是 面积是 6 平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形 ABCD 的面积是 36平方厘米，对角线 AC 、BD 交于 O 点，E 为 CD 上一点，已知四边形 EFOG 的面积是 3 平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？例 3】如图， 四边形 ABCD 是边长为 18 厘米的正方形， 已知 CE 的长是 ED 的 2 倍。
求： 1）三角形 CEF 的面积，（ 2）DF 的长度练习 正方形 ABCD 的边长是 12 厘米，已知 DE 是 EC 长度的 2 倍。
三角形 DEF 的面积是多少平 方厘米？ CF 长多少厘米？4 平方厘米，黄色三角形DDFC【例 4】正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，且正方形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？2、三个正方形 ABCD 、BEFG 、FHKP 如图排列，正方形 BEFG 的边长是 3 厘米，求三角形 DEK 的面积。
奥数专题：蝴蝶定理和风筝定理
蝴蝶定理和风筝定理引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线 AC 与BD 分成的左右两个三角形（厶 ADO 和厶BCO ）形状有 点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。
2、风筝定理在任意四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 分成了四个三角形 这四个三角形的面积分别记为： S i 、S 2、S 3、S 4。
则它们的关系是：S i x S 4 =S 2 X S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△ 米，△ DOC 的面积是9平方厘米，梯形 ABCD练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是 4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?2、如图，阴影部分面积是 4cm 2, OC=2AO ，求梯形的面积。
CBAS i S 2O S 3S 4CAOD 的面积是3平方厘【例2】如图，BD , CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是 8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米?练习1如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是 面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形 ABCD 的面积是36平方厘米，对角线 AC 、BD 交于0点，E 为CD 上一点，已知四边形 EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。
求:(1)三角形CEF 的面积，(2)DF 的长度练习 正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。
三角形DEF 的面积是多少平 方厘米？ CF 长多少厘米?4平方厘米，黄色三角形DDFC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形 ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？2、三个正方形 ABCD 、BEFG 、FHKP 如图排列，正方形 BEFG 的边长是3厘米，求三角形 DEK 的面积。
蝴蝶定理的运用
蝴蝶定理的运用
如图两个正方形的边长分别是8和6，求阴影部分的面积。
解法一：
两个正方形的面积和减去空白部分的3个三角形的面积和即可
解法二：
做辅助线如下图，类似于解法一
解法三：运用'蝴蝶定理'
祝贺' '，' '
图中阴影部分的面积S1+S2可以转换成小正方形面积的一半S2+S3
则阴影部分的面积为6×6÷2=18
在这里未尚不明白蝴蝶定理的朋友简单做个说明（已经知道的朋友请直接跳过）
如图：在一组对边平行的四边形中（梯形），由同底等高的三角形面积相等可知
S1+S3=S2+S3 S1+S3（组成的三角形）=S2+S3（组成的三角形）
所以S1=S2。
梯形蝴蝶模型基本公式小学
梯形蝴蝶模型基本公式小学
梯形是只有一组对边平行的四边形。
平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
两腰相等的梯形叫等腰梯形。
梯形蝴蝶定理是一个平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形状奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。
在梯形中，相似图形，梯形蝴蝶定理是数学的概念，而数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
S1：S2=S3：S4或者S1*S3=S2*S4；
AO：0C=(S1+S2)：(S3+S4)
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的而积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形蝴蝶模型：
1、梯形属于任意四边形，任意四边形的公式同样适用于梯形蝴
蝶模型。
2、梯形两翅膀的面积相等。
3、头尾两三角形属于沙漏模型，相似模型同样适用于梯形蝴蝶模型中头尾两三角形。
六年级梯形蝴蝶定理
六年级梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理是指平面几何中的重要定理，由于该定理的几何图形形象奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。
计算公式有S3：S4=ab：cd。
在梯形中：1、相似图形，梯形蝴蝶定理是数学的概念，而数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
几何五大模型分别是什么1、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
⑶夹在一组平行线之间的等积变形;⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;2、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
3、蝴蝶定理模型蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
4、相似模型相似三角形性质：金字塔模型、沙漏模型⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
5、燕尾定理模型在梯形中，存在以下关系：1、相似图形，面积比等于对边比的平方也就是S1：S2=a^2/b^2;2、S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab;3、S3=S4;4、S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出);5、AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)。
蝴蝶模型面积公式1、蝴蝶模型：两边三角之积等于上下三角之积，并且两边三角面积相等。
2、燕尾模型：左右两三角形等于底三角形两底边之比。
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八年级数学培优第一讲梯形蝴蝶定理
如图，在梯形中，存在以下关系：
1.S3=S4
2.S1×S2=S3×S4
3.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)
例1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
例2、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方
厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
例3、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成
四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD
的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是
多少平方千米？
例4、 如图：在梯形ABCD 中，三角形AOD 的面积为9平方厘米，三角形BOC 的面积为25平方厘米，求梯形ABCD 的面积。
例5、 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图）所示。
如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的
1
3
，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。
例6、 左下图所示的ABCD 的边BC 长10cm ，直角三角形BCE 的直角边EC 长8cm ，已知两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10cm 2，求CF 的长。
例7、 E 是平行四边形ABCD 的CD 边上的一点，BD 、AE 相交于点F ，已知三角形AFD 的面积是6，三角形DEF 的面积是4，求四边形BCEF 的面积为多少？
25
9O D
C
B
A
【精选习题】
1、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于F，设S四
边形EADF
=S1，S△BDF=S2，S△BCF=S3，S△CEF=S4。
则下列正确的是（）A．S1S3＜S2S4B．S1S3=S2S4C．S1S3＞S2S4D．不能确定
2、如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和
△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是cm2。
3、如图3，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中
点。
连接AO并延长交BC于D，连接CO并延长交AB于F，求四
边形BDOF的面积。
4、如图，D是BE的中点，EC=2EF，AF=2FD，若S△DEF=2，求S△ABC.
5、如图在四边形ABCD中点M为AD的中点，点N为BC的中
点，若S四边形ABCD=1。
求四边形BMDN的面积？
6、 如图 已知AD=
31AB ， BE=31BC ，CF=31AC 。
求证： S∆DEF=3
1S∆ABC 。
7、 已知, △ABC 中,AB=AC=10,且S △ABC =75,且P 为底边BC 上一动点，
PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ． 求证：PD+PE 的值
8、 已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的
高AM 为h 。
（1）“若点P 在边BC 上（如图1），此时h 3=0，可得结论：h 1+h 2+h 3=h”。
请说明理由。
（2）当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请说明理由；若
不成立，h 1、h 2、h 3与h 之间怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明。