新的五维自治混沌系统及其电路仿真

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一个新五维超混沌系统的动力学分析

信进入人类社会生活方方面面的今天，息安全的重要性已信
通过对已有文献的分析发现，大多数超混沌系统都属
于在已有混沌系统中，入线性或非线性控制器的方法来引构造的。但是在新构造系统中，统处于超混沌时参数的系
．
ｓｓｅｉｙｅｃａｓｓａｅｉｘｅｅｎｔｃｎｂｓｄｔｅｕｅｏｙｔｍｎｈｐｒｈｏｔｔｓｅｔｎｄｄａｄｉａｅｕｅＯｓｃｒｄｃｍｍｕｉａｉｎｎｃｔｏ
．
Ｋｅｏｒｈｐｅｃａｔｃｓｓｅ，ｐａｅｄａａ，ｂｆｒａｉｎｄａｒｍ，ＬｙｐｎｖｅｐｎｎｓｙＷｄｓｙｒｈｏｉｙｔｍｈｓｉｇｒｍｉｕｃｔｏｉｇａａｕｏｘｏｅｔ
化呈现周期、混沌及超混沌等动力学行为，并且扩大了系统处于超混沌状态的参数范围，可用于混沌保密通信
中图分类号Ｏ４５４１．
ＤｙａｃａｙｉｆａＮｏｅｖ — ｉｅｓｏａｐｒｈｏｉｙｔｍｎｍｉｓＡｎｌｓｓｏｖｌＦｉｅｄｍｎｉｎｌＨｙｅｃａｔｃＳｓｅ
范围较小，如文献［，１，至混沌超混沌交替出现，２１３甚这不
仅降低了超混沌系统的实用性，时削弱了其应用于保密同
通信领域的优势。为了克服以上缺点，本文构造了一个新
ＡｂｓｒｃＡｅｆｅｄｍｅｓｏａｙｅｃａｔｃｓｓｅｉｃｎｔｕｔｄｂｄｉｇａｌｎａｅｄａｋｃｎｒｌｒｔｈｒｎｙｒｈｏｉｔａｔｎｗｉ — ｉｎｉｎｌｈｐｒｈｏｉｙｔｍｓｏｓｒｃｅｙａｄｎｉｅｒｆｅｂｃｏｔｏｌＯｔｅＬｏｅｚｈｐｅｃａｔｃｖｅ

一个新五维超混沌电路及其在保密通讯中应用

Open Journal of Circuits and Systems 电路与系统, 2016, 5(1), 10-20Published Online March 2016 in Hans. /journal/ojcs/10.12677/ojcs.2016.51002A New Five Dimensional Hyper-ChaoticCircuit and Its Application in SecureCommunicationZhichao Long, Dazhu MaSchool of Science, Hubei University for Nationalities, Enshi HubeiReceived: Feb. 29th, 2016; accepted: Mar. 15th, 2016; published: Mar. 18th, 2016Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY)./licenses/by/4.0/AbstractThe dynamic behavior of a hyper-chaotic system is much more difficult to be predicted than that ofa normal chaos system. Therefore, it becomes very useful in the secure communication. This paperconstructed a new five dimensional hyper-chaotic circuit based on Chen system when the two state variables and an inverse controller are introduced. First, the stability of the fixed points and dynamic behavior of the phase space of the new system are discussed, and three positive Lyapu-nov exponents are found. Modular circuit of the system is designed. The results of circuit simula-tion are in agreement with the numerical simulation. Then chaos synchronism of the system is achieved with drive-response synchronization method. Numerical simulation of the secure com-munication process for the square wave signal is given, and chaotic masking method is used to realize the secure communication circuit with square wave voltage signal of the system. Finally, two ways to deal with secure communication are discussed; one is the chaotic signal mixed with the image, and the other is chaotic signal added to the digital image. It is shown that the latter is better than the former in the effect on secure communication, and is more suitable for information reversion.KeywordsChaotic Circuit, Hyperchaos, Lyapunov Exponent, Secure Communication一个新五维超混沌电路及其在保密通讯中应用龙志超，马大柱龙志超，马大柱湖北民族学院理学院，湖北恩施收稿日期：2016年2月29日；录用日期：2016年3月15日；发布日期：2016年3月18日摘要超混沌系统比普通混沌系统的动态行为更加难以预测，因此在保密通讯中具有更重要的应用价值。

非现场答辩_Lorenz混沌系统的电路仿真

南昌校区2011年毕业设计（论文）工作中期检查评价表毕业设计（论文）成绩评审表1（理工科类）备注：其他学科门类可参照制定评分标准指导教师签字：年月日毕业设计（论文）成绩评审表2（理工科类）评阅人意见及评分备注：其他学科门类可参照制定评分标准，此表可自主延伸。

评阅人签字：年月日江西理工大学南昌校区毕业答辩记录及成绩表信息工程系电气自动化专业08级（2011届）08自动化2班学生题目：Lorenz混沌系统的电路仿真(此表可自主延伸)详细答辩记录信息工程系电气自动化专业08级（2011届）08自动化2班学生题目：Lorenz混沌系统的电路仿真论文自述：本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。

用实验室实验来研究混沌问题，上述混沌的特性均能在实验中加以验证，虽然从充实混沌概念这个角度来看，实验室实验的作用在目前似乎不如数值实验，然而，实验室实验毕竟证实了混沌是广泛存在的自然现象，是一种新认识到的运动形态。

计算机仿真结果表明:在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。

这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。

答辩问题与解答：1、请说明你论文标题中与专业相关的内容是什么？文中论述的是关于混沌学的相关知识，与我们所学的专业当中自动控制方面的内容是相连在一起的。

它是基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。

混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象2、你论文中用到了所学的那些课程？我论文的设计是与所学课程是联系在一起的，它的论述是建立在混沌控制及其优化应用、Lorenz系统族的动力学分析、自动控制、系统仿真分析与设计等所学过课程的基础上，没有这些相关知识点的累积我是不可能完成这一设计的。

一个新五阶超混沌系统分析与电路仿真 (1)

一个新五阶超混沌系统分析与电路仿真-机电论文一个新五阶超混沌系统分析与电路仿真周小勇韩晓新（江苏理工学院电气信息工程学院，江苏常州213001）摘要：提出了一个新的五阶自治超混沌系统，通过系统的理论分析、数值仿真、Lyapunov指数和维数证明该超混沌系统的存在性，还利用Lyapunov指数谱和分岔图说明随着系统参数的改变，系统呈现复杂周期、混沌和超混沌状态，具有丰富的动力学特性。

最后，运用Multisim软件设计了系统的电路并进行了仿真实验，数值仿真和电路仿真证实了该超混沌系统与以往发现的混沌系统并不拓扑等价，是一个新的超混沌系统。

关键词：超混沌系统；Lyapunov指数谱；分岔图；超混沌电路项目名称：江苏省产学研前瞻性联合研究项目，项目编号：BY201302503 0引言现今，在混沌加密的保密通信研究中发现，低维混沌系统用作密钥时容易被破译，而高维的超混沌系统却难以破译［12］。

主要原因是低维系统产生的混沌信号频带较窄，容易被数字滤波器分离，失去加密保护作用，但对于高维混沌系统或超混沌系统来说，其混沌动力学特性较为复杂，产生的混沌序列信号具有比较宽的频率范围，难以被滤波器滤除［35］，这对于信息加密具有非常重要的应用价值，因此，围绕超混沌系统产生与应用的研究成为混沌理论的研究热点之一。

本文在一个三维混沌系统的基础上通过变量拓展与状态反馈构造了一个五阶自治超混沌系统。

通过理论推导、数值仿真、Lyapunov指数与维数、Lyapunov指数谱和分岔图等研究了该超混沌系统的动力学特性，验证了系统的超混沌特性。

最后，采用模块化电路设计方法，根据系统数学模型设计了系统的硬件电路原理图，并进行了电路的EWB 仿真实验，验证了系统的物理可实现性。

1新五阶超混沌系统的基本分析1.1新五阶超混沌系统模型本文提出的新五阶自治超混沌系统是在文献［6］的三维混沌系统的基础上，通过拓展系统变量并实施反馈控制来实现的，其数学模型描述为：式中的a、b、c、d是实常数，当a=25、b=35、c=30、d=35时，系统存在一个典型的混沌吸引子如图1所示，由图可见，吸引子的轨线在其吸引域中具有遍历性。

一个新的五阶超混沌电路及其研究 !

［)—#’］
# 8 电路的构造及工作原理
我们提出的一个新的五阶超混沌电路如图 ! 所示 + 该电路由三个线性电感 ! ! ，两个线性 !# 和 !) ，一个线性负电阻 A #" ，以及二个非线电容 "% 和 " ，性元件 BC! 和 BC# 等元件组成 + 其中 BC! 为电流控制电压饱和函数型非线性电阻，其伏安特性关系如图 # 所示 + BC# 为电压控制电流分段线性型非线性电阻，其伏安特性关系如图 ) 所示 + 图 ! 所示电路的构造方法是由线性电容 "% 、线性电感 ! ) 和非线性电阻 BC# 三个元件组成并联谐振型子电路 + 由线性电容 " 、线性负电阻 A #" 、线性电感 ! # 和非线性电阻 BC! 四个元件组成混联型子电路 + 这两个子电路分别构成了图 ! 所示 ! 形超混沌电路的两个臂，再通过线性电感 ! ! 将这两个子电路联接起来，最后构建出一个具有 !形结构的五阶超混沌电路 + 图 ! 所示电路的主要特点：首先，通过非线性元件作用切换电路中的时间常数，这种非线性切换作
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新五维超混沌Lorenz系统

Ｒｓｌ系统、ｏｓｒｅ混沌Ｃｕｈａ电路系统、沌Ｃｅ混ｈｎ系统、沌 ¨ 系统和混沌Ｌｕ系统等著名的三维混ｉ自治混沌系统，并且将这些系统广泛应用于保密
通信、制工程、物工程等领域．而，些三控生然这
维自治混沌系统只有一个正的Ｌａｎｖ指数，ｙｐｏ其动力学行为不足够复杂，吸引子结构比较简单．随着计算机的高速发展，期预报、经网络预短神
沌信号，不容易区分所得到的信号是混 Nhomakorabea 的还而
测等攻击方法的进步，维混沌系统在信息安三全、密通信等工程中的应用，优势越来越遭保其
到削弱．年来，多研究者把目光集中在能产近许
生两个正的Ｌａｕｏ指数的四维超混沌系统研ｙｐｎｖ
２１０１年１０月第３０卷第５期
重庆文理学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｈｎｑｎｎｖｒｔｏｔａｄＳｉｃｓ（ｔｒｌｃｎｅＥｉｏ）ｏｒａｆｏｇｉｇＵｉｅｓｙｆｓｎｃｅｅＮａａＳｉｃｄｔｎＣｉＡｒｎｕｅｉ
［关键词］混沌系统；超周期轨道；周期轨道；岔图；拟分李雅普诺夫指数［图分类号］Ｐ７［中Ｔ２３文献标志码］［Ａ文章编号］６３— ０２２１）５— ０５— ５１７８１（０１００７０

一个新的混沌系统及其电路仿真

一个新的混沌系统及其电路仿真高智中;韩新风;章毛连【摘要】构造了一个新的三维自治混沌系统,该系统含有两个参数、两个非线性项.通过理论分析、数值仿真、Lyapunov指数谱和分岔图等非线性动力学分析方法分析了系统的丰富的动力学行为.结果表明系统是耗散的,系统存在两个不稳定平衡点,系统的轨线是有界的,当参数满足一定条件时,系统是混沌的.最后根据新混沌系统的数学模型设计具体的实际电子电路,给出系统处于混沌状态时的电路实验相图,与数值仿真结果是一致的.%A new three-dimensional autonomous chaotic system is constructed in this paper. The new system contains two parameters and two quadratic cross-product terms. The rich dynamics characteristics of the new system are analyzed by means of theoretical a-nalysis and nonlinear techniques, such as numerical simulations, bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum. Results show this system is dissipative and it has two unstable equilibrium points. The trajectory is bounded and the new system is chaotic when its parameters satisfy certain conditions. Finally, specific practical electronic circuit is designed according to mathematical model of the new chaotic system and the phase diagrams of the circuit under the chaotic state are given, which agree with the simulation results.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)002【总页数】5页(P288-292)【关键词】新混沌系统;理论分析;数值仿真;Lyapunov指数谱;分岔图;电路实验【作者】高智中;韩新风;章毛连【作者单位】安徽科技学院理学院,安徽凤阳233100;;安徽科技学院理学院,安徽凤阳233100;;安徽科技学院理学院,安徽凤阳233100;中国科学院等离子体物理研究所,安徽合肥230031【正文语种】中文【中图分类】O545由于混沌信号具有类随机、宽带功率谱和对初值敏感等特性，近40年来，混沌在非线性科学、工程和数学等领域中获得了广泛研究和应用.自从E.N.Lorenz［1］在分析气候数据时发现第一个混沌吸引子以来，G.Chen等［2］利用混沌反控制方法成功实现了一个与Lorenz相似但不拓扑等价的新混沌系统，即Chen系统，由此大大激发了人们对混沌生成的研究兴趣.除偶然遇到混沌系统外，有目的地产生混沌有2种办法：一是Sprott的计算机穷举搜索法［3］，二是Chen的混沌反控制法.近年来，人们不断地发现新的混沌系统［4-17］.本文构造了一个新的三维连续自治混沌系统，该系统含有2个参数，2个非线性项.通过理论推导、数值仿真、Lyapunov指数谱和分岔图分析了改变系统参数时系统动力学行为的变化，验证了系统的混沌特性.最后根据新混沌系统的数学模型设计具体的实际的电子电路，并给出系统处于混沌状态时的电路实验相图，与数值仿真结果是一致的.1 新混沌系统及其分析1.1 新混沌系统及其典型混沌吸引子本文构造的混沌系统的动力学方程为其中，x、y、z为系统的状态变量，a、b为系统的参数.当参数a=0.2，b=5时，利用Wolf方法数值计算系统的3个Lyapunov指数为LE1=0.303 9，LE2=0，LE3=-1.501 5，其分数维数为2.202 3，进一步说明此时系统处于混沌状态.由于系统的散度只要a＞-1，系统始终是耗散的，并以指数形式e-(a+1)收敛.也就是一个初始体积为V(0)的体积元在时刻t时收缩为体积元V(0)e-(a+1)t.这意味着，当t→∞时，包含系统轨线的每个小体积元以指数速率(-a-1)收缩到零，所有线最终会被限制在一个体积为零的极限子集上，其渐进运动将被固定在一个吸引子上，这就说明了吸引子的存在性.图1给出了在该参数下的混沌吸引子相图.从三维空间中的相图(图1(a))及在不同平面上的投影(图1(b)～(d))可以看出系统的混沌吸引子具有复杂的几何形状，具有很强的吸引性，具有复杂的折叠和拉伸轨线，系统的轨线是有界的.1.2 平衡点及其稳定性令系统右端为零，得系统的两个平衡点M(-2.236 1，-2.236 1，0.219 6)和N(2.236 1，2.236 1，0.183 6).首先分析平衡点M(-2.236 1，-2.236 1，0.219 6)，将系统在此点进行线性化，其线性化矩阵即Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0，得其特征根为λ1=-1.695 0，λ2=-6.666 2，λ3=7.161 2，显然平衡点M是一个鞍结点，不稳定.将系统在平衡点N进行线性化，其线性化矩阵即Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0，得其特征根为λ1=-1.716 0，λ2=-7.261 5，λ3=7.777 5，显然平衡点N也是一鞍结点，不稳定，所以这两个平衡点都不稳定.1.3 混沌吸引子的形成机制为了深入研究新系统的混沌吸引子结构的形成机制［18］，给系统的第二个方程右端加上一个常数控制器e，则受控系统为在受控系统中，控制器e的取值可以在一定范围内变化，随着e的变化，受控系统的混沌行为可以得到有效控制，在不同的e取值区间具有不同的动力学行为.在e由0逐渐增大过程中，当e=3.5时，受控系统对应的右半吸引子相图如图2(a)所示;当e=-3.5时，受控系统对应的左半吸引子相图如图2(b)所示.可见，新系统的混沌吸引子是由两个简单的混沌吸引子通过一个镜像映射相互融合而成.1.4 系统参数的影响随着系统参数的改变，系统平衡点的稳定性将会发生变化，从而系统也将处于不同的状态.系统的分岔图和Lyapunov指数谱图都可以较直观地反映非线性动力系统随系统参数变化的动态特性.当固定参数b=5，改变a，图3(a)和(b)给出了系统随参数a在a∈［-0.5， 1.5］上变化的分岔图和Lyapunov 指数谱图.由图3可知系统由倍周期分岔进入混沌状态，最后阵发性的离开混沌进入了大范围的周期运动.当系统的最大Lyapunov指数小于零时，对应系统处于周期运动.当最大Lyapunov指数大于零时，必将导致分岔图中的混沌区域.当固定参数a=0.2，改变b，图4(a)和(b)给出了系统随参数b在b∈［1，10］上变化的分岔图和Lyapunov指数谱图.由图4可知系统由混沌态经历倒倍周期分岔进入稳定的三周期态.由图3和图4知系统的分岔图和Lyapunov指数谱图是吻合的.1.5 时间相应图、功率谱图以及Poincaré截面图系统混沌运动的时间相应图具有非周期性，解的流对初值极为敏感，其时间相应图如图5(a)，混沌系统的功率谱是连续谱，如图5(b)，混沌系统的Poincaré截面上是沿一条直线段或一条曲线弧分布着的点的集合，如图5(c).由这些图都可以说明该新系统的确是一个混沌系统.2 电路仿真由于许多数值仿真能够得出的模拟结果并不一定能够在物理上实现，为了验证这个新混沌系统的性质以及前面所作的数值仿真结果，采用以下电路来实现这个新的混沌系统的吸引子，用电路软件Multisim设计实现该电路的原理图如图6所示.电路采用线性电阻、电容器、运算放大器(LM741)、模拟乘法器来设计实现.其中模拟乘法器用于实现系统中的非线性项，电容器用于实现积分运算，运算放大器及其相关电阻用于实现加、减运算.本电路设计中采取了优化设计，并且把电路优化到最简形式，采用更少的器件，以降低设计成本，便于工程上的实现.电路中各元件的具体参数见图6，利用软件中的示波器可以观察到混沌吸引子的相图如图7所示，结果与数值仿真图基本相同.3 结语本文构造了一个新的三维自治混沌系统，研究了新系统的耗散性和平衡点稳定性等相关问题，分析了系统参数变化时对整个系统的影响，给出了系统关于随参数变化的分岔图和Lyapunov指数谱图.结果表明，它具有一切混沌系统的共有特征：耗散性、有界性、对初值的极端敏感性、正的最大Lyapunov指数、一定频率范围内的连续谱等.该系统的电路实验结果和数值仿真结果是一致的，可作为混沌信号源应用于混沌通信和混沌信息加密之中.致谢安徽科技学院校自然科学基金(ZRC2010260)对本文给予了资助，谨致谢意. 参考文献［1］Lorenz E N.Deterministic non-periodic flow［J］.Atmo Sci，1963，20(2)：130-141.［2］Chen G R，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.Inter J Bifur Chaos，1999，9(7)：1465-1466.［3］Sprott J C.Some simple chaotic flows［J］.Physics Rev，1994，E50(2)：647-650.［4］Lü J，Chen G R.A new chaotic attractor cioned［J］.Inter J Bifur Chaos，2002，12(3)：659-661.［5］刘文波，陈关荣.4-涡卷(Four-scrolls)混沌系统的复合结构［J］.南京航空航天大学学报：英文版，2003，11(2)：192-195.［6］Liu C X，Liu T，Liu L，et al.A new chaotic attractor［J］.Chaos，Solitions and Fractals，2004，22(5)：1031-1038.［7］Qi G Y，Chen G R，Du S Z，et al.Analysis of a new chaotic system ［J］.Phys Lett，2005，A352(2/3/4)：295-308.［8］蔡国梁，谭振梅，周维怀，等.一个新的混沌系统的动力学分析及混沌控制［J］.物理学报，2007，56(11)：6230-6236.［9］禹思敏.四阶Colpitts混沌振荡器［J］.物理学报，2008，57(6)：3374-3379.［10］吴然超，郭玉祥.含一个非线性项混沌系统的线性控制及反控制［J］.物理学报，2010，59(8)：5293-5298.［11］许喆，刘崇新，杨韬.一种新型混沌系统的分析及电路实现［J］.物理学报，2010，59(1)：131-139.［12］乔晓华，包伯成.新三维分段线性混沌系统［J］.电子科技大学学报，2009，38(4)：564-568.［13］王杰智，陈增强，袁著祉.一个新的混沌系统及其性质研究［J］.物理学报，2006，55(8)：3956-3963.［14］谢国波，禹思敏，周武杰.一个新的三维二次混沌系统及其研究［J］.通讯技术，2009，42(1)：267-270.［15］刘凌，苏燕辰，刘崇新.新三维混沌系统及其电路仿真［J］.物理学报，2007，56(4)：1966-1971.［16］张建雄，唐万生，徐勇.一个新的三维混沌系统［J］.物理学报，2008，57(11)：6799-6809.［17］王光义，丘水生，许志益.一个新的三维二次混沌系统及其电路实现［J］.物理学报，2006，55(7)：3295-3301.［18］陈关荣，吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步［M］.北京：科学出版社，2003.。

新五模态类Lorenz系统的混沌行为及其数值仿真

收稿日期：２１５００卜０－９基金项目：辽宁省教育厅科研基金资助（２１１８Ｌ００７）
作者简介：刘晓峰（９４）１６～，男，河北抚宁人，副教授。
第３期
刘晓峰等：新五模态类Ｌｒｚ系统的混沌行为及其数值仿真ｏｅｎ
１５９
Ｋｅｒ：Ｎａｅ－ｏｋｓｅｕａｉｓｂｉｕｃｔｏｙｗｏｄｓｖｉｒＳｔｅｑｔｏｎ；ｆｒａｉｎ；ｃａｓｓｒｎｔａｔｒｈｏ；ｔａｇｅａｔｃｏｒＡｂｓｒｃ：Ｔｈａｎｏｒｓｉｌｖｅ — ｔｋｅｑａｉｎｓｏｏｕｓｆｒｔｉｎｉｎｓｗａｔａｔｅｐｌｎｅｉｃｍｐｅｓｂｅＮａｉｒＳｏｓｅｕｔｏｎａｔｒｏｗｏｄｍｅｓｏｓｅｐａｅｎＦｏｒｅｅｉｓｔｎａｆｖ — ｏｅＬｏｅ —ｉｅｅａｉｎｓｗａｂａｎｅＤｙｍｉｓｂｈｖｏｓｘｎｄｄｉｕｉｒｓｒｅ，ｈｅｅｍｄｒｎｚｌｋｑｕｔｏｓｏｔｉｄ．ｎａｃｅａｉｒｉ０ｅｓｓｅｗｅｅｄｓｕｓｄａｉｌｔｄｎｕｒｃｌｃｏｒｉｏｔｅｃｎｇｎｆＲｅｎｏｄｕｆｔｙｔｍｒｉｃｓｅｎｄｓｍｕａｅｍｅｉａｌａｃｄｎｇｔｈｈａｉｇｏｙｌｓｎｍｂｅ．ｈｙｒ
第３卷第３１期２０１１年６月
版辽宁工业大学学报（自然科学）
ｉＪｕｎｌｆｉｎｎｉｅｓｙｏｅｈｏｏｙＮａｒｌｃｅｃｄｔｎｏｒａａｉｇｏＬｏＵｎｖｒｔｆｃｎｌｇ（ｔａＳｉｎｅＥｉｏ）ｉＴｕ

一个新五维超混沌系统的分析与电路设计

关键词
超混沌，新五维超混沌系统，电路设计
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
Received: Mar. 9th, 2019; accepted: Mar. 20th, 2019; published: Apr. 2nd, 2019
Abstract
A novel five-dimensional (5D) autonomous hyperchaotic system is studied in this paper. The dynamics are analyzed, including the symmetry, dissipation, equilibrium point characteristics and initial value sensitivity. The Lyapunov exponents of the novel 5D hyperchaotic system, as well as the phase portraits of the numerical simulation, are shown to prove the existence of the hyperchaotic attractors. The analog circuit model is designed via the modified module-based approach to hyperchaotic circuit design. The hyperchaotic phase portraits of the analog circuit model are also given to illustrate the good qualitative agreement between the numerical simulation results of the mathematic model and the circuit simulation results of the analog circuit model, which would demonstrate the correctness of the analog circuit model.

新五维超混沌Lorenz系统

新五维超混沌Lorenz系统柳妮【摘要】A new five-dimensional hyperchaotic Lorenz system has been constructed by adding a linear feedback controller and a nonlinear feedback controller to the three-dimensional chaotic Lorenz system.The dynamic behaviors including the stability of equilibriums,the bifurcation diagram,strange attractors and Lyapunov exponents are studied when the system parameter ris varied in detail.The results of this study show the new five-dimensional hyperchaotic Lorenz system has a wide parameter range which makes the system in hyperchaos state and has very a narrow range that make the system in chaos state.The system also has a wide parameter range that make system in periodic orbit and quasi-periodic orbit.The process of the new system＇s behaviors is very obvious.%通过加入线性和非线性状态反馈控制器的方法到三维Lorenz系统中,构造出了五维新超混沌Lorenz 系统,详细研究了其动力学行为,包括平衡点的稳定性、随参数变化的分岔图、奇怪吸引子和李雅普诺夫指数谱等随参数范围变化关系.结果表明,新五维超混沌Lorenz 系统具有较大的使系统处于超混沌状态的参数范围,且使系统处于混沌状态的参数范围极小,同时系统具有较宽的周期轨道和拟周期状态范围,动力学演化过程清晰明了.【期刊名称】《重庆文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(030)005【总页数】5页(P75-79)【关键词】超混沌系统;周期轨道;拟周期轨道;分岔图;李雅普诺夫指数【作者】柳妮【作者单位】四川文理学院物理与工程技术系,四川达州635000【正文语种】中文【中图分类】TP2731963年，美国气象学家Lorenz构造了著名的混沌Lorenz系统模型，开创了科学家研究混沌的先河.继 Lorenz后，研究者构造出了混沌Rossler系统、混沌Chua电路系统、混沌Chen系统、混沌Lü系统和混沌Liu系统等著名的三维自治混沌系统，并且将这些系统广泛应用于保密通信、控制工程、生物工程等领域.然而，这些三维自治混沌系统只有一个正的Lyapnov指数，其动力学行为不足够复杂，吸引子结构比较简单.随着计算机的高速发展，短期预报、神经网络预测等攻击方法的进步，三维混沌系统在信息安全、保密通信等工程中的应用，其优势越来越遭到削弱.近年来，许多研究者把目光集中在能产生两个正的Lyapunov指数的四维超混沌系统研究上，出现一大批新的超混沌系统，例如超混沌Lorenz系统、超混Rossler系统、超混沌 Chen系统、超混沌 Liu系统和超混沌 Qi系统［1－15］及其电路实现等.从现有文献看，四维超混沌系统主要是在原有三维混沌系统基础上添加线性或非线性控制项来构造不同的超混沌系统.这些四维超混沌系统中，许多系统的特征参数使系统处于混沌状态范围远远大于使之处于超混沌状态的范围，且可能出现混沌和超混沌区域交替的现象.而在判断系统是否处于混沌状态的诸多方法中，只有李雅普诺夫指数法可以区分系统是处于混沌状态还是超混沌状态，其它的方法如功率谱法、庞加莱截面法等不能区分系统是处于混沌状态还是超混沌状态.如果一个系统处于超混沌状态的参数范围过小，那么它在外界影响下，较容易得到混沌信号，而不容易区分所得到的信号是混沌的还是超混沌的.因此，最近研究的主要目标是扩大系统处于超混沌状态的参数范围［11－12］，研究方法是改变三维系统到四维系统中加入的控制器的类型和调整不同参数，这些方法局限于四维系统，由于系统参数甚多，要得到超混沌状态范围广的参数十分不易.本文针对已有方法的不足，通过增加维数的方法，尝试构造出五维超混沌Lorenz系统，力求达到:1)扩大系统处于超混沌状态的特征参数范围;2)尽量减小或者除去系统处于混沌状态的参数范围，避免混沌与超混沌交替出现;3)从分岔图看，力求完美呈现出系统从稳定到周期、拟周期、混沌和超混沌状态的演化过程.1 新超混沌Lorenz系统描述文献［16］给出了一个三维超混沌Lorenz系统，系统方程为:当固定系统参数28时，系统处于混沌状态.文献［15］通过加入一个非线性反馈控制器构造出四维系统，通过调整参数可以使系统处于平衡点、混沌状态和超混沌状态.但是文献［15］所构造的系统处于超混沌状态的参数范围较小，系统的动力学行为从平衡点到超混沌状态的演变过程中，周期状态介于混沌与超混沌状态之间，缺少周期向拟周期再到混沌、超混沌的过渡过程;其它超混沌系统如超混沌Chen ［17］、超混沌Rossler［18］等系统均存在以上问题.我们在系统(1)上加入一个非线性反馈控制器w到第一个方程，再加入一个线性状态控制器u到第二个方程，构成一个新的五维自治系统，以期扩大系统处于超混沌状态的范围，突显系统从平衡点到周期轨道再到拟周期、混沌和超混沌的过程.具体动力学系统方程为:选择系统参数，c=28和d=-1，仅调节参数r系统将会出现超混沌状态、混沌状态、拟周期状态、周期状态和平衡点.2 系统耗散性分析和系统平衡点分析2.1 系统耗散性分析对系统(2)，有所以系统(2)是耗散系统，并且以指数速率收敛，当t→∞ 时，包含系统轨线的每个小体积元以指数速率收缩到0，最终系统所有的轨线将被限制在一个体积为0的极限点集上，并且它的渐近动力学行为会被固定在一个吸引子上，这说明混沌和超混沌吸引子存在.2.2 系统平衡点分析系统(2)的平衡状态方程为解方程组(4)可得系统唯一平衡点 S0(0，0，0，0，0)与系统的参数 a，b，c，d，r都无关.系统在平衡点S0处线性化系统(2)得到对应的Jaccobi矩阵为其特征值方程为(λ +b)(d- λ)［λ3+(a+1)λ2+(a-ac+r)λ +ar］ =0由Routh－Hurwitz定理可知:当r＞2970时，系统将稳定于S0点;当r＜2970时，S0点是不稳定平衡点，系统可能产生混沌、超混沌吸引子、拟周期运动状态或周期运动状态.3 系统分岔分析众所周知，在已有混沌方法中只有Lyapunov指数方法可以准确判定系统是处于混沌还是超混沌，因此假设系统(2)的Lyapunov指数分别为λLi(i=1，2，3，4，5)且满足λL1 ＞λL2 ＞λL3 ＞λL4＞λL5，由稳定性理论可知:λL5＜λL4＜λL3＜λL2＜λL1＜0时，系统处于稳定点;当λL5＜λL4＜λL3＜λL2＜λL1=0时，系统处于周期状态;当λL5＜λL4＜λL3＜0和λL2=λL1=0时，系统处于拟周期状态;当λL5＜λL4＜λL3＜0，λL2=0，λL1＞0和λL5+λL4+λL3+λL2+λL1＜0时，系统处于混沌状态;当λL5＜λL4＜0，λL3=0，λL2＞0，λL1＞0和λL5+λL4+λL3+λL2+λL1＜0时，系统处于超混沌状态.我们采用Wolf相空间重构法和四阶龙格－库塔法计算系统(2)的5个lyapunov指数，取系统初始值为(1，1，1，1，1)，固定系统参数 a=10，b=，c=28，d=-1，调整参数r的范围为0＜r≤35，系统随着参数r变化的lyapunov指数谱和状态x对应的分岔图如图1(a)所示.根据图1(b)和图1(c)所示，可以得出系统(2)随参数r变化的动力学行为如下:当0＜r＜28时，系统具有2个正的Lyapunov指数，即λL1，λL2＞0，系统处于超混沌运动状态;当28＜r＜50时，系统处于拟周期运动状态;当50≤r＜2970时，系统处于周期轨道;当r＞2970时，系统处于平衡点.图1 当 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，0 ＜r＜35时，系统(2)的分岔图和Lyapunov指数谱固定 a=10，b=，c=28，d=-1时，取r=10时，系统(2)的4个Lyapunov指数分别为λL1 = 0.3572，λL2 = 0.1573，λL3 = 0，λL4 =-0.2564和λL5=-14.9245，系统处于超混沌状态，其相位图如图2所示;当r=30时，系统Lyapunov指数分别为λL1=0，λL2=0，λL3=-0.07354，λL4=-0.7564和λL5=-14.9245，系统处于拟周期状态，相位图如图3所示;当r=52时，系统Lyapunov指数分别为λL1=0，λL2=-0.0357，λL3=-0.2743，λL4=-0.7564 和λL5=-15.2448，系统处于周期状态，其相轨迹图如图4所示.图2 当 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，r=10 时系统(2)处于超混沌状态时的相轨迹图图3 当 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，r=30 时系统(2)处于拟周期状态时的相轨迹图图4 当 a=10，b=8/3，c=28，d= －1，r=52 时系统(2)处于周期状态时的相轨迹图4 结语本文在四维自治动力学系统中加入线性反馈控制器构造出五维自治超混沌动力学系统，通过对系统的动力学耗散性、平衡点性质和分岔行为等分析发现:1)五维超混沌系统具有很宽的使系统处于超混沌状态的特征参数范围，仅有很小的参数范围使系统处于混沌状态，在实际应用中可以避免系统误差产生的混沌信号和超混沌信号而难以区分的困难;2)系统从平衡点到周期状态、拟周期状态、混沌状态，进而到超混沌状态，过程十分明显，没有出现互相交替的现象，是一个完美的动力学演变过程，处于拟周期状态的参数范围较大;3)这种方法对其它要产生较宽超混沌范围和较小的混沌范围的系统具有一定的借鉴意义.［参考文献］［1］QiGuoyuan，Michael Antonie van Wyk.On a new hyperchaotic system ［J］.Physics Letters A，2008，372(1):124－136.［2］Qi Guoyuan，Du Shengzhi，Chen Guanrong，etal.On a four－dimensional chaotic system［J］.Chaos Solitons ＆Fractals，2005，23(10):1671 －1682.［3］Hu Guosi.A hyperchaotic system with a four－ wing attractor ［J］.International of Modern Physics C，2009，20(2):323－335.［4］Yang Qigui，Zhang Kangming，Chen Guanrong.Hyperchaoticattractors from a linearly controlled Lorenz system［J］.Nonlinear Analysis，2009，10(12):1601 －1617.［5］Wang Guangyi，Zhang Xun，Zheng Yan，et al.A new modified hyperchaotic Lü system［J］.Physica A，2006，371(2):260－272.［6］Dong Enzeng，Chen Zaiping，Chen Zengqiang，et al.A novel four－wing chaotic attractor generated from a three－dimensional quadratic autonomous system［J］.Chinese Physics，2009，18(7):2680 －2689.［7］Wang Faqiang，Liu Chongxin.Hyperchaos evolved from the Liu chaotic system［J］.Chinese Physics，2006，15(5):963－969.［8］Wang Jiezhi，Chen Zengqiang，Yuan Zhuzhi.The generation of a hyperchaotic system based on a three－dimensional autonomous chaotic system ［J］.Chinese Physics，2006，15(6):1216 －1225.［9］周平，危丽佳，程雪峰.只有一个非线性项的超混沌系统［J］.物理学报，2009，58(8):5201 －5208.［10］王繁珍，齐国元，陈增强.一个四翼混沌吸引子［J］.物理学报，2007，56(6):3137 －3144.［11］刘明华，冯久超.一个新的超混沌系统［J］.物理学报，2009，58(7):4457 －4463.［12］贾红艳，陈增强，袁著祉.一个大范围超混沌系统的生成和电路实现［J］.物理学报，2009，58(7):4469－4476.［13］唐良瑞，李静，樊冰.一个新四维自治超混沌系统及其电路实现［J］.物理学报，2009，58(3):1446－1455.［14］Zhou Ping，Cao Yuxia，Chen Xuefeng.A new hyperchaos system and its circuit simulation by EWB［J］.Chinese Physics，2009，18(4):1394－1398.［15］王兴元，王明军.超混沌Lorenz系统［J］.物理学报，2009，56(9):5136 －5141.［16］Lorenz E N.Chaotic Lorenz system ［J］.Atmos.Sci，1963，20(1):130 －137.［17］Yan ZY.Hyperchaotic Chen systems［J］p.，2005，168(6):1239.［18］Rossler O E.A new hyperchaotic systems［J］.Phys.Lett.A，1978，7(2):155.。

一个新混沌系统及其电路仿真

一个新混沌系统及其电路仿真周小勇【摘要】提出了一个新的三维自治混沌系统,并对系统的基本动力学特性进行了深入研究,得到系统的Lyapunov指数和维数,给出了系统数值仿真图、Poincare映射图、Lyapunov指数谱和分岔图,重点分析了不同参数变化对系统动力学行为的影响.最后,设计了该混沌系统的硬件电路并运用Multisim软件对该电路进行仿真实现,数值仿真和电路仿真证实了该混沌系统与以往发现的混沌系统并不拓朴等价,是一个新的混沌系统.【期刊名称】《物理学报》【年(卷),期】2012(061)003【总页数】9页(P71-79)【关键词】混沌系统;Lyapunov指数谱;Poincare截面图;电路实现【作者】周小勇【作者单位】江苏技术师范学院电气信息工程学院,常州213001【正文语种】中文【中图分类】其他物理学报ActaPhys.Sin.VoL 61, No.3 (2012) 030504一个新混沌系统及其电路仿真周小勇十（}l一苏技术帅范学院电‘i信息 1．程学院，常州 213001 ）（ 2011 年 5 门 3 口收到；2011 年 5 』 J24rI 收到修改稿）提出了一个新的三维自治混沌系统，并对系统的基本动力学特性进行了深入研究，得到系统的Lyapunov 指数和维数，给出了系统数值仿真图、 Poincare 映射图、Lyapunov 指数谱和分岔图，重点分析了不同参数变化对系统动力学行为的影响，最后，设计了该混沌系统的硬件电路并运用 Multisim 软件对该电路进行仿真实现，数值仿真和电路仿真证实了该混沌系统与以往发现的混沌系统并不拓朴等价，是一个新的混沌系统．关键词：混沌系统， Lyapunov 指数谱，Poincare 截面图，电路实现 PACS: 05.45.-a 自从 Lorenz 于20世纪 60 年代在实验中发现第一个混沌吸引子以来，混沌理论的研究和应用在许多领域中得到了极大的关注， Lorenz 系统成为后人研究混沌理论的出发点和基石【 l ，2】，在其基础上，一些混沌系统相继被发现和提出，1999 年 Chen 在混沌系统控制中发现了一个与 Lorenz 系统类似但拓扑不等价的新混沌吸引子 Chen 系统[3,4l.2002 年 Lu等人相继发现了 Lu 系统及连接上述三个系统的统一混沌系统[s-7]． 2004 年，Liu 等发现了一类含有平方非线性项的 Liu 混沌系统 [8l.2005 年， Qi 等人发现了 Qi 混沌系统【 9]_另外，近年来，各种新混沌系统不断被发现和提出，如分数阶系统 [10] ，多翼混沌系统 [11] ，超混沌系统 [12]及恒 Lyapunov 指数系统等 [13,14] ．新的混沌系统不断被发现和提出，促进了人们对混沌现象更深入的研究和认识，进一步丰富和完善了混沌理论，从而也为混沌理论在信息加密、保密通信、故障诊断、信号发生器设计、信号检测与处理中的应用奠定了基础 [7 ，l 5] ．本文提出了一个新的三维自治混沌系统，系统含有四个参数，其中每一个方程中都含一个非十E-mail:zhouxy99@⑥ 2012 中国物理学会 ChinesePhysicalSociety线性乘积项，另外有一个方程还同时含有一个平办项．通过理论推导、数值仿真、 Poincare 截面图、Lyapunov维数、 Lyapunov 指数谱和分岔图，研究和分析了系统的基本动力学特性，验证了系统的混沌特性．同时还设计了该混沌系统的硬件电路原理图，并进行了电路仿真实验，证实了该系统的可实现性．研究结果表明在相同的混沌行为预期下，仿真实验与理论分析结论十分吻合． 2新混沌系统的基本分析 2.1新混沌系统模型本文提出的新三维自治混沌系统，其数学模型描述为圣=-ax+by 一xz ，雪=cy+xz ，(1) 2=-20xy-dz+2y2 ，式中， n ， 6， c ， d 是实常数．当 o-18 ， 6-20， c-12， d -14 时，系统存在一个典型的混沌吸引子如图 l所示．物理学报 Acta Phys.Sin. VoL2011年5门3口收到；2011 年 5 』 J24rI 收到修改稿）提出了一个新的三维自治混沌系统，并对系统的基本动力学特性进行了深入研究，得到系统的 Lyapunov 指数和维数，给出了系统数值仿真图、 Poincare 映射图、 Lyapunov 指数谱和分岔图，重点分析了不同参数变化对系统动力学行为的影响，最后，设计了该混沌系统的硬件电路并运用 Multisim 软件对该电路进行仿真实现，数值仿真和电路仿真证实了该混沌系统与以往发现的混沌系统并不拓朴等价，是一个新的混沌系统． 05.45.-a自从 Lorenz于第一个混沌吸引子以来，混沌理论的研究和应用在许多领域中得到了极大的关注， Lorenz 系统成为后人研究混沌理论的出发点和基石【 l ，2】，在其基础上，一些混沌系统相继被发现和提出，1999 年Chen 在混沌系统控制中发现了一个与 Lorenz 系统类似但拓扑不等价的新混沌吸引子 Chen 系统 [3,4l.2002年 Lu等人相继发现了 Lu 系统及连接上述三个系统的统一混沌系统 [s-7]． 2004 年，Liu 等发现了一类含有平方非线性项的 Liu 混沌系统 [8l.2005 年， Qi 等人发现了 Qi 混沌系统【 9]_另外，近年来，各种新混沌系统不断被发现和提出，如分数阶系统 [10]，混沌系统 [11] ，超混沌系统 [12]及恒 Lyapunov 指数系统等 [13,14] ．新的混沌系统不断被发现和提出，促进了人们对混沌现象更深入的研究和认识，进一步丰富和完善了混沌理论，从而也为混沌理论在信息加密、保密通信、故障诊断、信号发生器设计、信号检测与处理中的应用奠定了基础 [7 ，l 5] ．本文提出了一个新的三维自治混沌系统，系统含有四个参数，其中每一个方程中都含一个非十E-mail:zhouxy99@⑥2012中国物理学会 ChinesePhysicalSociety线性乘积项，另外有一个方程还同时含有一个平办项．通过理论推导、数值仿真、 Poincare 截面图、维数、指数谱和分岔图，研究和分析了系统的基本动力学特性，验证了系统的混沌特性．同时还设计了该混沌系统的硬件电路原理图，并进行了电路仿真实验，证实了该系统的可实现性．研究结果表明在相同的混沌行为预期下，仿真实验与理论分析结论十分吻合．圣 = -ax+by一xz雪= cy+xz (1) 2= -20xy - dz+2y2式中， n ， 6， c ， d 是实常数．当 o-18 ， 6-20， c-12， d - 14时，系统存在一个典型的混沌吸引子如图l物理学报ActaPhys.Sin. Vol.61, No.3 (2012) 0图 l 系统 (I) 的典型混沌吸引子图 (a) x-y-z 相图：(b) x-y 相图：(c) x-z 年 1l 罔：(d) y-z 相图由图 l 可发现系统(1) 的混沌吸引子轨线在特定的吸引域内具有遍历性．这个系统的混沌吸引子与 Lorenz系统的吸引子形状不相同，与 Chen 系统、 Lu 系统、 Liu 系统以及 Qi 系统的吸引子形状均不相同．2.2 动力学特性理论分析 1) 对称性和不变性因为系统 (l) 在（ z ，剪， z ）一(-x， -y ， z) 变换下具有不变性，系统的图像关于 z 轴对称，并且这种对称对系统所有参数均成立． 2)耗散性和吸引子的存在性由于Vy= 筹 + 雳 + 笔 = 一o+c — d ，(2 ， (6+c)、／ cd S1- 了弦百巧了 i 万 z-2a(b+c)因为 a+d-c >0 ，所以系统 (1) 是耗散的，且以如下的指数形式收敛： d 祟 =e 一(Ⅱ+dc) ，(3)即体积元 Vo 在 t 时刻收缩为体积元圪e一 (o+d —cH ．这意味着，当￡一。

一个新四维自治超混沌系统及其电路实现[1]

一个新四维自治超混沌系统及其电路实现唐良瑞　李　静　樊　冰(华北电力大学电气与电子工程学院,北京　102206)(2008年8月5日收到;2008年11月11日收到修改稿) 提出了一个新的四维超混沌系统,并对该系统的基本动力学特性进行了深入研究,得到该系统的LE ,LE 维数,给出了P oincare 映射图、LE 谱、分岔图以及时域图和相图.利用Mutisim 软件设计了该新混沌系统的振荡电路并进行了仿真实验.经过数值仿真和电路系统仿真证实该系统与以往发现的混沌吸引子并不拓扑等价,属于新的混沌系统.关键词:超混沌系统,Lyapunov 指数,P oincare 截面图,电路实现PACC :0545E 2mail :tangliangrui @11引言自Lorenz 于1963年在数值实验中偶然发现第一个混沌吸引子以来,Lorenz 系统作为第一个混沌的物理和数学模型,成为后人研究混沌理论的出发点和基石[1,2].近年来,国内外许多学者对混沌的特性进行了深入地分析和研究,发现了许多新的混沌系统,较为知名的系统如Chen 系统[3]、L ü系统[4,5]、Liu 系统[6]和Qi 系统[7].现在混沌动力学正由数学和物理的基础理论研究逐步过渡到实际的工程应用领域,并得到了很大发展.例如混沌理论可用在保密通信、图像加密等数字信息领域[8—10],因而混沌动力学具有广泛的应用前景.三维混沌系统都有个共同点就是结构较为简单,在物理上实现容易.但是这样的混沌系统用于数字信息加密工程领域的效果不是很好,这主要是由于三维混沌系统的带宽相对较窄,容易导致混沌序列被数字滤波器给滤掉,失去加密的意义.而对于一个超混沌系统或者高频混沌系统而言,其产生的混沌序列信号有比较宽的带宽,不容易被数字滤波器过滤,这对于数字加密领域有非常重要的研究意义.因此,超混沌系统是非线性动力学一个重要的研究方向.本文提出了一个新的四维混沌系统.该系统含有8个参数,其中三个方程中各含有一个非线性乘积项.通过理论分析、数值仿真、LE (Lyapunov 指数)、LE 维数、P oincare 映射图、LE 谱以及分岔图研究了该系统的基本动力学特性,设计了该混沌系统的硬件电路,并进行了仿真实现,证实了该系统的可实现性.21新超混沌系统的基本分析2111新超混沌系统模型本文提出的新超混沌系统的数学模型为x ・=-ax +by ;y ・=cx -xz -dy -u ;z ・=xy -ez -f x +gu ;u ・=h (yz -u ).(1)式中,a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h 是实常数.当参数a =2015,b =6818,c =42,d =016,e =4,f =415,g =5,h =018时,系统存在一个典型的混沌吸引子.2121理论分析212111耗散性和吸引子的存在性由于ΔV =9x ・9x +9y ・9z +9z ・9z +9u ・9u=-a -d -e -h ,(2)当a +d +e +h >0时,则系统(1)是耗散的,且以指第58卷第3期2009年3月100023290Π2009Π58(03)Π1446210物　理　学　报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.58,N o.3,March ,2009ν2009Chin.Phys.S oc.数形式收敛:d Vd t=e-(a+d+e+h),(3)即体积元V0在时刻t时收缩为体积元V0e-(a+d+e+h)t,这意味着,当t→∞时,包含系统轨迹的每个体积元以指数率-(a+d+e+h)收缩到零.因此,所有系统轨迹线最终会被限制在一个体积为零的集合上,且它渐进运动固定在一个吸引子上. 212121平衡点及稳定性系统(1)存在三个非线性项,状态变量分别为x,y,z,u.为了求解系统(1)的平衡点,令参数为a =2015,b=6818,c=42,d=016,e=4,f=415,g= 5,h=018,并且方程组为-ax+by=0;cx-xz-dy-u=0;xy-ez-fx+gu=0;h(yz-u)=0.(4)求解(4)式可得到系统三个平衡点为s0(0,0,0,0);s1(219,0186,32122,27188);s2(-148190,-44137,32122,-1429158). 在平衡点s(0,0,0,0),对系统(1)进行线性化得其Jacobian矩阵为J0=-a b00 c-z d-x-1 y-f x-e g 0hz hy-h=-201568180042-0160-1-4150-45 000-018. 为了求平衡点s(0,0,0,0)相应的特征根,令det(J0-λI)=0,得到相应的特征根λ1=-410,λ2=4411181,λ3= -6512181,λ4=-018.这里四个特征根都是实根,但是不全为负实根.根据R outh2Hurwitz条件[11],可得平衡点s0是不稳定的鞍点.在平衡点s1(219,0186,32122,27188),采用同样的方法可求得相应的特征根λ1=-3815266,λ2= 1711337,λ3=-212535+311427i,λ4=-212535-311427i.其中λ1为负实根,λ2为正实根,λ3与λ4是负实部的共轭复根.因此,平衡点s1是一个不稳定的鞍点.通过同样的计算方法可得在平衡点s2(-148190,-44137,32122,-1429158)相应的特征根为λ′1=15814476,λ′2=-13914219,λ′3=4410970,λ′4= -018287.这里四个特征根都为实根,但是不全为负实根,所以根据R outh2Hurwitz条件知,平衡点s2是不稳定的鞍点.从上述分析可知,系统(1)的三个平衡点都是不稳定的鞍点.从理论上证明了该系统有存在超混沌特性的可能性.2131混沌吸引子系统(1)参数为a=2015,b=6818,c=42,d= 016,e=4,f=415,g=5,h=018时,存在一个典型的混沌吸引子.本文采用了四阶龙格2库塔离散化算法,得到混沌吸引子相图如图1所示.相图中其轨线在特定的吸引域内具有遍历性.这个混沌的奇怪吸引子与Lorenz系统形状完全不同,并且与Qi系统[12] (该系统有九个平衡点)吸引子不同.本文提出的这个新系统仅存在三个平衡点,因此其拓扑结构与其他系统的拓扑结构完全不同.系统(1)的时域波形具有非周期性,解的流对初始值极为敏感,它的时域波形如图2所示.而它的频谱都是连续谱,其频谱图如图3所示.计算的频谱均被单位标准化,大于单位谱的1Π10频谱范围作为该信号的频谱带宽,这是由于幅值相对较低的频谱的信号对加密意义很小,可以通过滤波等简单方法提取信息.从图3可以看出,Lorenz系统x变量的频谱带宽大约在0—3H z,本文提出的新系统x变量的频谱带宽大约在0—32H z,是Lorenz系统信号带宽的11倍左右.所以新混沌系统的混沌吸引子具有非常宽的频谱,对保密通信、流体混合等基于混沌的实际应用具有重要价值.2141Lyapunov指数和Lyapunov维数混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出彼此排斥的趋势,并以指数速率相互分离,而Lyapunov指数(LE)是定量描述轨线彼此排斥和吸引的量.特别是系统的最大LE,是判断混沌系统的重要特征.计算最大LE的方法很多,如最小数据量法,W olf法, Jacobian法等.本文利用奇异值分解[13]的方法计算出系统(1)的四个LE为LE1=418444,LE2=112642, LE3=-111176,LE4=-2212627,其最大LE比Qi系统的最大LE要大(LE1=313152)[12],说明系统(1)比74413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图1　新混沌系统的奇怪吸引子图　(a )x 2y 2z 平面奇怪吸引子;(b )x 2y 平面奇怪吸引子;(c )x 2z 平面奇怪吸引子;(d )y 2u 平面奇怪吸引子图2　新系统的四个序列时域波形图8441物理学报58卷图3　新系统的功率谱图　(a)x序列的功率谱图;(b)y序列的功率谱图Qi系统运动轨迹更加复杂.并且该系统具有两个正的LE,具有超混沌的特征,系统的动态行为更加难以预测.新混沌系统的LE维数为D L=j+1|LE j+1|6ji=1LE i=3+(LE1+LE2+LE3)|LE4|=3+(418444+112642-111176)|-2212627|=312242.(5) 由此可见,这个新系统的LE维数是分数维数,从而验证了该系统为混沌系统.2151Poincare截面图为了利于观察系统的动力学行为,P oincare截面的选取要恰当,此截面不能包含系统的轨线,也不能与轨线相切.在给定的某组参数下,本文选取了相空间中穿过某一个平衡点的平面作为P oincare截面,然后观察P oincare截面上截点的情况,由此判断这组固定参数下系统的运动是否为混沌[14].在固定参数a=2015,b=6818,c=42,d=016, e=4,f=415,g=5,h=018时,系统存在两个大于零的LE指数,可知系统处于超混沌状态,图4是此时系统在几个截面上的P oincare映像图.由图4可以看出,P oincare截面上有一些成片的具有分形结构的密集点,吸引子的叶片清晰可见,进一步说明了此时系统的运动是混沌的.2161系统参数的影响随着系统参数的改变,系统平衡点的稳定性将会发生变化,从而系统也将处于不同的状态.从系统的LE谱和分岔图可很直观的分析出各个参数变化时,系统的变化情况.利用LE谱分析时,对于平衡点系统有LE4< LE3<LE2<LE1<0;对于周期轨有LE1=0,LE4<LE3 <LE2<0;对于拟周期轨有LE1=LE2=0,LE4<LE3 <0;对于混沌状态有LE1>0,LE2≤0,LE4<LE3<0, LE1+LE3+LE4<0;对于超混沌状态则有LE1>LE2 >0,LE3≤0,LE4<0,LE1+LE2+LE3+LE4<0.1)固定参数b=6818,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变a,a∈[0,22].当a∈[0,22]变化时,系统的LE谱以及关于x 的分岔图如图5所示.由图5(a)可见,随着a的变化,系统的LE在变化,系统状态也在发生改变.当a ∈[0,2]时,系统的LE都小于0,系统中都是平衡点,当a∈[2,12],系统只有一个正的LE,表明随着a的增加系统由平衡态演化到混沌状态;当a∈[12,22]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态,表明系统随着a的变化由混沌状态演化到超混沌状态.2)固定参数a=2015,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变b,b∈[30,70].当b∈[30,70]时,系统的LE谱以及关于x的分岔图如图6所示.从图6(a)中可知,当b∈[30, 48]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态;当b∈[48,50]时,系统仅存在一个正的LE,系统由超混沌状态演化为混沌状态;当b∈[50,70],系统存在两个正的LE,系统又由混沌状态演变为超混沌状态.由此可见当b∈[30,70]时,系统的状态在混沌状态与超混沌状态之间相互转变.3)固定参数a=2015,b=6818,d=016,e=4,f94413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现=415,g =5,h =8,改变c ,c ∈[0,45].当c ∈[0,45]时,系统的LE 谱以及关于x 的分岔图如图7所示.从图7(a )中可知,当c ∈[0,3],系统的所有的LE 都小于0,所以此时系统中都是平衡点;当c ∈[3,12]和c ∈[15,25]时,系统仅有一个正的LE ,系统处于混沌状态;当c ∈[12,15]和c ∈[25,45]时,系统存在两个正的LE ,系统由混沌态演化为超混沌状态.由于本系统参数比较多,鉴于篇幅有限在文中只详细分析其中的三个参数变化时,系统状态的变化情况,其他参数只给出结论,如表1所示.图4　新系统的P oincare 映射图　(a )x =0;(b )y =0;(c )z =80;(d )u =图5　a 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图0541物理学报58卷图6　b 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x的分岔图图7　c 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图表1　新系统的状态变化情况参数变化范围平衡点周期态拟周期态混沌状态超混沌状态d [0,1]无无无无[0,1]e [0,5]无无无[0,113](113,5]f [0,5]无无无f =017,f ∈[1127,113][0,017)(017,1127)(113,5]g [0,6]无无无[0,213](213,6]h[0,1]无无无无[0,1]31新系统的振荡电路设计与实现混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的,许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到了验证[15].同样这个四维混沌系统也可以通过电路来实现.由于直接根据系统微分方程设计的电路很难正常运行,为此有必要对原方程作一些适当地变换,这样做的目的有两方面:一是通过线性缩放,使得状态变量的变化范围在集成电路允许的工作的电压范围内;二是简化电路设计,尽量减少元件和集成电路.本文采用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633)来设计实现系统(1)的电路.利用Multisim 软件设计的电路如图8所示,其中运算放大器是用来进行电路的加减运算,模拟乘法器则用来实现系统中的非线性项.为了有效的进行电路实验,把混沌信号的输出电平调小为原来15413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现的1Π200,设m =200x ,v =200y ,w =200z ,n =200u .(6) 又由于系统变量的变换,不影响系统的状态及性能,从而在令x =m ,y =v ,z =w ,u =n ,(7)则(1)式可变为x ・=-ax +by ;y ・=cx -200xz -dy -u ;z ・=200xy -ez -f x -gu ;u ・=h (200yz -u ).(8)图8　电路原理图根据电路理论以及各个元件的特性,得其电路方程为x ・=-R 2R 21R 1C 1x +R 2R 3R 2C 1y ;y ・=R 7R 22R 6C 2x -R 7R 8R 6C 2200xz-R 7R 23R 6C 2y -R 7R 24R 6C 2u ;z ・=R 12R 13R 11C 3200xy -R 12R 26R 11C 3z-R 12R 25R 11C 3x -R 12R 27R 11C 3u ;u ・=R 17R 18R 16C 4200yz -R 17R 28R 16C 4u .(9)2541物理学报58卷(11)式与(12)式相比较,可得a =R 2R 21R 1C 1;b =R 2R 3R 1C 1;c =R 7R 22R 6C 2;d =R 7R 23R 6C 2;e =R 12R 26R 11C 3;f =R 12R 25R 11C 3;g =R 12R 27R 11C 3;h =R 12R 18R 16C 4=R 12R 28R 16C 4. 当电路中的各元器件值如图8中所示时,利用示波器得到系统(1)各序列的时域图,如图9.利用示波器也可以看到混沌吸引子的相图,如图10所示.与数值仿真图基本相同,但有一定的区别,这是因为电路实验所的相图是从时间t =0开始绘制的,而数值仿真是截取了混沌序列后14000个数据绘制而成,取消了最开始的1000个数据.所以该混沌系统的仿真实验和实际电路实验应该是基本符合的.从而说明该混沌系统可以通过电路产生,具有很大的实用性.通过上述理论分析和仿真实验证实,本文提出的非线性系统是一个新的混沌系统,它具有一切混沌系统的共有特征:确定性、有界性、对初值的极端敏感性、长期不可预测性、正的最大Lyapunov 指数、一定频率范围内的连续谱和遍历性等.图9　系统(1)部分序列的时序图;(a )x 时序图;(b )y 时序图35413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图10　系统(1)的电路实验相图　(a)x2y平面;(b)x2z平面;(c)y2z平面;(d)x2u平面4541物理学报58卷41结论通过以上理论分析和计算机仿真,可以得出以下结论:11本文提出的超混沌系统的数学模型拓扑结构简单,仅具有三个平衡点.21这个新的混沌系统存在着复杂的混沌动力学行为,它具有一切混沌系统的共有特征.31这个新的超混沌系统可以用电子振荡电路来实现.它在电子测量、保密通信、数字图像加密等领域中具有潜在的应用价值.如何控制这个系统以及深入研究系统的动力学行为是作者今后将要进行的工作.[1]Lorenz E N 1963J .Atmos .Sci .20130[2]Lorenz E N 1993The E ssence o f Chaos (W ashington :University of W ashington Press )[3]Celikovsky S ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 121789[4]Lu J H ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 12659[5]Chen G R ,Lu J H 2003Dynamics o f the Lorenz System Family :Analysis ,Control ,and Synchronization (Beijing :Science Press )(inChinese )[陈关荣、吕金虎2003Lorenz 系统族的动力学分、控制与同步(北京:科学出版社)][6]Liu C X ,Liu L ,Liu K 2004Chaos Solitons Frac .221031[7]Qi G Y,Du S ,Chen G R ,Chen Z ,Y uan Z 2005Chaos SolitonsFrac .231671[8]Li W ,Hao J H ,Qi B 2008Acta .Phys .Sin .571398(in Chinese )[李　伟、郝建红、祁　兵2008物理学报571398][9]X ie K,Lei M ,Feng Zh J 2005Acta Phys .Sin .541267(in Chinese )[谢　鲲、雷　敏、冯正进2005物理学报541267][10]Hua C C ,G uan X P 2004Chin .Phys .131441[11]Liu Z H 2006Fundamentals and Applications o f Chaotic Dynamics (Beijing :High Education Press )p18(in Chinese )[刘宗华2006混沌动力学基础及其应用(北京:高等教育出版社)第18页][12]Zhang Y H ,Qi G Y,Liu W L ,Y an Y 2006Acta Phys .Sin .553307(in Chinese )[张宇辉、齐国元、刘文良、阎　彦2006物理学报553307][13]Zhang X D ,Li Z P ,Zhang L L 2005Beijing Technology Univer sitySinica 27371(in Chinese )[张效丹、李志萍、张丽丽2005北京科技大学学报27371][14]Lu J H ,Lu J A ,Chen S H 2002Analysis and Application o f ChaoticTime Sequences (Wu Han :Wu Han University Press )p51(inChiense )[吕金虎、陆君安、陈士华2002混沌时间序列分析及其应用(武汉:武汉大学出版社)第51页][15]W ang F Q ,Liu C X 2006Acta Phys .Sin .553295(in Chinese )[王发强、刘崇新2006物理学报553295]A new four 2dimensional hyperchaotic system andits circuit simulationT ang Liang 2Rui Li Jing Fan Bing(School o f Electric and Electronic Engineering ,North China Electric Power Univer sity ,Beijing 102206,China )(Received 5August 2008;revised manuscript received 11N ovember 2008)AbstractA new four 2dimensional chaotic system is reported in this paper.Basic dynam ic properties of the new system are investigated via theoretical analysis ,numerical simulation ,Lyapunov exponent ,Lyapunov dimension and P oincare diagrams.Finally the chaotic circuit is designed and realized by the Multisim software.It con firms that the chaotic system is different from the exisiting chaotic systems and is a new hyperchaotic system.K eyw ords :hyperchaotic system ,Lyapunov exponent ,P oincare diagrams ,circuit realization PACC :0545E 2mail :tangliangrui @55413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现。

一种改进型Bao混沌系统的Multisim电路仿真

一种改进型Bao混沌系统的Multisim电路仿真尹社会;刘斌【摘要】By analyzing structure and dynamics behavioral characteristic of Bao system,a new three-dimen-sional continuous self-government chaotic system with absolute value and constant term is built.New sys-tem basic dynamic characteristic is analyzed by stability theory of chaotic system and calculating numerical value,and then module artificial circuit is built with Multisim software,the result is in accordance with nu-merical value.%通过对Bao系统的结构分析和动力学行为特性的研究,新构造了一类含绝对值项和常数项的新三维连续自治混沌系统.通过混沌系统的稳定性理论及数值计算等手段分析了新系统的基本动力学特性,运用Multisim软件搭建了模块化模拟电路.结果与数值仿真一致.【期刊名称】《甘肃科学学报》【年(卷),期】2017(029)003【总页数】4页(P33-36)【关键词】新混沌系统;Poincare截面;Lyapunov指数;电路模拟【作者】尹社会;刘斌【作者单位】河南工业职业技术学院,河南南阳 473000;河南工业职业技术学院,河南南阳 473000【正文语种】中文【中图分类】TN911;O241.82Navier-Stokes方程的不同模式截断得到了不同维的混沌系统，其中最著名的有Lorenz63[1-2]，Lorenz84[3]混沌系统，随后高维类Lorenz系统[4]的研究成为混沌理论发展中的一类重要混沌系统族。

一个新超混沌系统的电路仿真与设计_张坦通

・ 73・一个新超混沌系统的电路仿真与设计河南牧业经济学院信息与电子工程系张坦通【摘要】本文在Lorenz混沌系统的基础上构造了一个新超混沌系统，对其进行了动力学性能分析，最后设计了一个与其对应的超混沌系统电路，利用Mulsitim软件进行了仿真与实验分析，验证了系统超混沌行为的存在。

【关键词】Lorenz混沌系统；动力学性能分析；Mulsitim软件1 引言混沌系统具有类随机性、对初始条件敏感性以及长期不可预测性等优越的性能，使其在保密通信、工程科学、社会经济学等领域有着广泛的应用前景，然而超混沌系统是一种尤为特殊的混沌系统，其动力学行为更加复杂，随机性更强，提高了低维混沌系统的通信保密性，为混沌理论应用提供了一个新的研究方向。

目前，还没有一套完整的理论来构造出超混沌系统，只是通过对系统动力学性能的分析，来判断系统的超混沌行为，本文是基于Lorenz混沌系统的动力学方程，通过引入反馈控制项，构造出一个新的超混沌系统，分析了系统的基本动力学特性，利用Mulsitim软件对其进行了电路仿真与设计。

2 一个新的超混沌系统Lorenz混沌系统：（1）其中当为系统为混沌状态。

在Lorenz混沌系统的基础上，引入了一个新的反馈控制量，并对其中的状态变量进行函数变换，构造了一个新的四维自治系统：（2）其中x，y，z，w是状态变量；a，c，r的取值与系统（1）相同，即，系统的动力学特性由参数b决定。

判定系统是否存在超混沌现象，需满足三个条件：（1）至少是四维的；（2）具有耗散性；（3）至少存在两个正的Lyapunov 指数，且所有Lyapunov指数之和小于零；首先系统满足条件（1）；其次检验系统的耗散性可通过观察相空间中的一个小体积元变分，而小体积元 V的变分又可以通过流的散度来决定，即：（3）由此可知系统满足条件（2）；最后为了研究参数变化对系统动力学性能的影响，可以通过观察随参数b变化的x变量的分岔图如图1所示，固定a，r，c的值（即），使参数b在（0 35]之间变化。

混沌电路系统的模型仿真与电路实现_林若波

2009 年 6月 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS June ， 2009 文章编号：1007-0249 (2009) 03-0121-05混沌电路系统的模型仿真与电路实现*林若波1,2（1. 揭阳职业技术学院，广东揭阳 522051；2. 湖南大学电气信息工程学院，湖南长沙 410082）摘要：通过对混沌电路系统的分析方法的介绍，指出模型仿真和电路实现的重要性；以二个典型混沌系统为例，阐述了基于Matlab/Simulink 环境下的仿真方法，同时介绍基于Multisim 8平台的电路仿真和实现过程；最后指出混沌电路的发展前景和研究方向。

关键词：混沌；仿真；Lorenz；Simulink；Multisim 8中图分类号：N945.1 文献标识码：A1 引言非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，而混沌理论是非线性科学最重要的成就之一。

“混沌”的发现冲破了传统的决定性观念，著名物理学家福特（J. Ford ）认为混沌的发现是继相对论、量子力学之后，20世纪物理学的第三次革命。

目前混沌系统理论有三个主要的发展方向：应用、综合、和引入比较复杂的数学工具，以求机理研究、分类与构造理论等的进一步发展；寻求数学与物理模型的新范例，研究混沌的应用及其工程系统实现。

2 混沌电路系统的分析方法[1]混沌系统模型的研究一般包括以下几个基本步骤：问题描述、模型建立、仿真实验、结果分析、电路实现，其流程如图1所示。

（1）建立数学模型数学模型是指描述系统的输入、输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。

混沌系统中最常用、最基本的数学模型是微分方程与差分方程。

（2）建立仿真模型仿真模型是借助计算机对数学模型进行数值分析计算的模型。

仿真模型的建立是最重要的，它是混沌系统分析的关键点。

有些混沌模型不能直接用于数值计算的，如微分方程，必须进行相应的转换。

（3）仿真与实验变量之间的联系必须通过编制程序来实现，常用的数值仿真编程语言有MATLAB 、C 、FORTRAN 等。

一个新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟

一个新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟
褚衍东;李险峰;张建刚;常迎香
【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(044)003
【摘要】提出了一个新的三维自治混沌系统.理论分析了该系统的动力学特性,并通过数值计算分析了系统在平衡点处不稳定的参数范围.对该混沌系统的一个混沌吸引子进行了实际电路的设计与实验验证.
【总页数】7页(P596-602)
【作者】褚衍东;李险峰;张建刚;常迎香
【作者单位】兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州,730070;兰州交通大学非线性研究中心,兰州,730070;兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州,730070;兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州,730070;兰州交通大学非线性研究中心,兰
州,730070;兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州,730070
【正文语种】中文
【中图分类】O322
【相关文献】
1.一个新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟 [J], 褚衍东;李险峰;张建刚;常迎香
2.一个新自治混沌系统的混沌同步控制 [J], 刘晓君;李险峰;张建刚
3.一个新三维自治系统的混沌分析及电路模拟 [J], 杨留猛;俞建宁;安新磊;张文娟;宫兴荣
4.一个新三维自治系统的混沌分析及电路模拟 [J], 杨留猛;俞建宁;安新磊;张文娟;宫兴荣;
5.一个新自治混沌系统的混沌控制 [J], 崔俊峰;祝泽华
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（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＳｏｆｔｗａｒｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０，Ｃｈｉｎａ）
１混沌系统的基本分析
１．１混沌系统模型
１１］构造了一个仅有一个非线性项的四维系统周平等［
收稿日期：２０１２－０３－２３．基金项目：甘肃省自然科学基金（１０１０ＲＪＺＡ０６６；１０１０ＲＪＺＡ０６７）．作者简介：杨留猛（１９８８－），男，硕士研究生．主要研究方向：非线性系统分岔与控制理论．
ＮｅｗＦｉｖｅ－ＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＣｈａｏｔｉｃＳｙｓｔｅｍａｎｄＩｔｓＣｉｒｃｕｉｔＳｉｍｕｌａｔｉｏｎ
ＹＡＮＧＬｉｕｍｅｎｇ，ＹＵＪｉａｎｎｉｎｇ，ＡＮＸｉｎｌｅｉ，ＺＨＡＮＧＪｉａｎｇａｎｇ，ＺＨＡＮＧＷｅｎｊｕａｎ
４４８
云南民族大学学报（自然科学版）第２１卷
７６２９６２１０３９１３１３０１２ｋｙｚａ＋ｋｚｙｚ＋ｋｚ－ａ＋，ｐａ＋ｋ４＝５２５１０５０５０５００ｐ５＝４１０１２２１０１２３０３ｚｚ＋．ｋｙｚａ＋ｋｙｚ－ｋａ－ｋ５０１００１２５５５ｐ１０１＞０， Δ ３＝ｐ３ｐ２ｐ１ｐ５ｐ４ｐ３１０００ｐ１１０ｐ３ｐ２ｐ１＞０， Δ ５＝ｐ５ｐ４ｐ３ｐ２ｐ１００ｐ５ｐ４ｐ３００００ｐ５＞０＞０，
ｈｔｔｐ：／／ｘｂｙｎｎｉｅｄｕｃｎ
新的五维自治混沌系统及其电路仿真
杨留猛，俞建宁，安新磊，张建刚，张文娟
（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：通过引入非线性控制器，得出一个新的只含有一个非线性项的五维动力系统，通过对系统的平衡点、李雅普诺夫指数和李雅普诺夫维数、庞加莱截面等的研究，分析得出系统处于混沌状态的参数及ｂ数值仿真．通过构造符合该混沌系统的电路，运用Ｍｕｌｔｉｓｉｍ软件进行电路仿真实验，将结果与数值仿真结果对比，验证系统特征．关键词：混沌；Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数；Ｍｕｌｔｉｓｉｍ仿真；电路仿真中图分类号：ＴＮ７１０文献标志码：Ａ文章编号：１６７２－８５１３（２０１２）０６－０４４６－０６
第６期杨留猛，俞建宁，安新磊，等：新的五维自治混沌系统及其电路仿真
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ｘ－１．２ｙ；ｘ＝ａ · ２．１ｙｚ；ｙ＝ｘ－０ · ｚ＝－ｙ－１．２ｚ－５ｗ； · ｗ＝ｚ＋０．８ｗ．沌状态．
·
（１）
云南民族大学学报：自然科学版，２０１２，２１（６）：４４６～４５１ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－８５１３．２０１２．０６．０１４
ＣＮ５３－１１９２／ＮＩＳＳＮ１６７２－８５１３
１２］描述轨线彼此排斥和吸引的量．特别是系统的最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数，是判断混沌系统的重要指标［．计算１０］Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的方法很多，这里我们利用定义法［计算出系统（２）在ａ＝０．４，ｋ＝１时的５个Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数
１］［２］行为［．自从Ｌｏｒｅｎｚ发现第１个经典的三维自治混沌系统以来，就引起众多混沌研究者的关注，并在此基３］通过反控制的方法找到了一个础上进行了不同形式的改进，发现了许多新的混沌系统．１９９９年，陈关荣等［４］发现了Ｌ ü系统，实现了从Ｌｏｒｅｎｚ系统向与Ｌｏｒｅｎｚ系统不同的系统，称之为Ｃｈｅｎ系统．２００２年，吕金虎等［５］又提出了Ｌｉｕ系统，即一个含有非线性平方项的新的三维自治混沌系Ｃｈｅｎ系统的过渡．２００４年刘崇新等［
５４３２ λ ＋ｐ λ ＋ｐ λ ＋ｐ λ＋ｐ λ ＋ｐ１２３４５＝０． · ·
（２）
０．２５００－５０．０．８００－０．５
０
则各项系数为５１９９９２９２２ｐｐ＝ｋｚ－２ｚ－ａ＋，ｋｙｚ－ｋｚａ－ａ＋，１＝ｋ１０２１０１０１００ｐ３＝３３９９２９２１０６ｚ－ｋｚ，ｋｙｚ＋ｋａ＋２ｋｙｚａ－ａ＋３１００１０２５５
统．这些典型混沌系统的出现极大地推动了非线性科学的发展．
６－１０］最近几年，研究者对一些经典混沌系统进行改造得到了许多新的系统［，但是对于只含有一个非线
性项的混沌系统的研究比较少．本文构造了一个非线性五维系统，研究了这个系统的动力学特征，并用硬件电路进行仿真实验，实验结果与数值仿真相符．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｅｗｆｉｖｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ－ｔｉｍｅａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｏｎｌｙｏｎｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｔｅｒｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｈｉｃｈｉｓｂｕｉｌｔｂｙａｄｄｉｎｇａｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｔｏａｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ－ｔｉｍｅａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅｓｙｓｔｅｍｉｓａｎａｌｙｚｅｄｂｙｓｔｕｄｙｉｎｇｔｈｅｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｐｏｉｎｔｓ，Ｌｙａｐｕｎｏｖｅｘｐｏｎｅｎｔｓ，ＬｙａｐｕｎｏｖｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｎｄＰｏｉｎｃａｒｅｓｅｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｃｉｒｃｕｉｔｏｆｔｈｅｎｅｗｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｉｓａｌｓｏｇｉｖｅｎｔｈｒｏｕｇｈｃｏｎｖｅｒｔｉｎｇｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｔｏｔｈｅｃｉｒｃｕｉｔｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｃｏｎｆｉｒｍｓｔｈａｔｔｈｅｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｉｓｉｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅｗｉｔｈｔｈｅｓｏｆｔｗａｒｅｏｆＭｕｌｔｉｓｉｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｈａｏｓ；Ｌｙａｐｕｎｏｖｅｘｐｏｎｅｎｔ；Ｍｕｌｔｉｓｉｍｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；ｃｉｒｃｕｉｔｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的
显然系统（１）仅包含一个非线性项，ａ为系统参数．当系统参数为０４５＜ａ５９时，系统（１）处于混 ≤０－０５ｖ，并把非线性控制器ｖ我们在系统（１）的基础上通过引入非线性控制器ｖ，令ｖ的变化速率为ｖ＝ｘ反馈到系统（１）的第１个方程中，从而构造出一个可产生混沌现象的五维系统．其系统方程表示为ｘ－１．２ｙ＋０．２５ｖ；ｘ＝ａ · ２ｙ＝ｘ－ｋｙｚ； · ．２ｚ－５ｗ；ｚ＝－ｙ－１ · ｗ＝ｚ＋０．８ｗ； · ｖ＝ｘ－０．５ｖ．式中ａ，ｋ是实常数．１．２理论分析１．２．１平衡点及稳定性系统（２）存在一个非线性项，状态变量分别为ｘ，ｙ，ｚ，ｗ，ｖ．显然，系统（２）在（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ，ｖ）→ （－ｘ，－ｙ，－ｚ，－ｗ，－ｖ）变换下能保持不变，即系统关于原点对称．为了求解系统（２）的平衡点，令参数ａ＝０．４，ｋ＝１，得非线性方程组．４ｘ－１．２ｙ＋０．２５ｖ＝０；０２ｘ－ｙｚ＝０；．２ｚ－５ｗ＝０；－ｙ－１ｚ．８ｗ＝０；＋０ｘ－０．５ｖ＝０．求解这个非线性方程组可得到系统的３个平衡点为Ｓ（０，０，０，０，０）；００１２５４０４２０２１，，，－，）；（Ｓ１１５３１０３３２３１５３槡槡槡槡槡１０１２５４０４２０２，－，－，，－）．Ｓ（－２１５３１０３３２３１５３槡槡槡槡槡下面对系统（２）线性化得其Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵．２０ａ－１２１－ｋｚ－２ｋｙｚＪ＝０－１－１．２０１０１００ｉａｎ矩阵Ｊ的特征多项式为设Ｊａｃｏｂ