斯托克斯公式及题目

斯托克斯公式

170第七节斯托克斯公式一、斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。

格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面 ∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线的曲线积分联系起来，这个联系可陈述如下；定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑ 是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数P （x,y,z ）、Q （x,y,z ）、R （x,y,z ）在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx (1)公式（1）叫做斯托克斯公式。

为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式（1）写成⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,Rdz Qdy Pdx RQ P z y x dxdy dzdx dydz把其中的行列式按第一行展开，并把y ∂∂ 与R 的积理解成为 zy R ∂∂∂∂, 与Q 的“积” 理解成为zQ∂∂ 等等，于是这个行列式就“等于“ dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ 这恰好是公式（1）左端的被积表达式。

利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,cos cos cos Rdz Qdy Pdx dS RQ P z y x γβα 其中n=（ γβαcos ,cos ,cos ）为有向曲面∑在点(x,y,z) 处的单位法向量。

171如果是xOy 面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。

因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。

例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分⎰Γ++ydz xdy zdx ，其中Γ为平面x+y+z=1 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则(图10-13)解按斯托克斯公式，有⎰⎰⎰Γ∑++=++dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于 ∑的法向量的三个方向余弦都为正，又由于对称性，上式右端等于⎰⎰xyD d ,3σ其中 xy D 为xOy 面上由直线x+y=1及两条坐标轴围成的三角形区域，因此⎰Γ=++23ydz xdy zdx 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分()()(),222222dz y x dy x z dx z y I -+-+-=⎰Γ其中Γ是用平面x+y+z=23截立方体 (){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤z y x z y x的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向。

斯托克斯公式公式

斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。

这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。

斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。

注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。

例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。

高等数学：斯托克斯公式环流量与旋度

练习题答案
一, 20 π . 三, rotA = i + j . 五,12π .
π 3 二, a . 4
四,0. 六,0.
�
D xy
y
1
3 ∫Γ zdx + xdy + ydz = 2
Dxy
o
1
x
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
z )dx + ( z x )dy + ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表面所得的截痕,
向场A沿向曲 Γ 的流量有闭线环量等向场于量 A的旋场通 Γ 所张曲面通量.(Γ 的正通量.( 度过的的侧合手则向 ∑的符右法 ) 与
四,小结
斯托克斯公式
cosα cos β cosγ ∫∫ x y z dS = ∑ P Q R
Γ
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z ∑ P Q R
Γ
解
按斯托克斯公式, 有按斯托克斯公式,
1
n y
∫
Γ
zdx + xdy + ydz
x
0
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
∑
D xy
1
1
由于∑ 弦都为正, 由于∑的法向量的三个方向余弦都为正, 再由对称性知: 再由对称性知:
∫∫ dydz + dzdx + dxdy ∑
Dxy 如图

高斯公式与斯托克斯公式——习题

证：因为 cos(r, n) = cos(r, x) cos(n, x) + cos(r, y) cos(n, y) + cos(r, z) cos(n, z) ，而
cos(r, x) = x , cos(r, y) = y , cos(r, z) = z ，则由第一、二型曲面积分的关系及奥高公式可得
S
S
由于曲面 S : x = y( y 2 + z 2 ≤ 1) 上任一点 (x, y, z) 处的法向量 n = (cosα , cos β , cosγ ) 中的
∫∫ cosγ = 0 ，从而由定义知 x 2 y 2dxdy = 0 ，因此，原式=0. S (3) ∫L (z − y)dx + (x − z)dy + ( y − x)dz = ∫∫ (1 + 1)dydz + (1 + 1)dzdx + (1 + 1)dxdy S
3S
其中 cosα , cos β , cosγ 为曲面 S 的外法线方向余弦
证：因为 ∫∫ (x cosα + y cos β + z cosγ )dS = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy
S
S
=
∫∫∫ V
(
∂ ∂x
x
+
∂ ∂y
y
+
∂ ∂z
z)dxdydz
=
3∫∫∫d V
xdydz
1 1− y
dy ( y − z)dz =
1
[
y(1
−
y)
−
1
(1 −
y
2
)]dy
S

8.7斯托克斯公式与旋度

rotlim在场内处处为零如果在场内处处为零如果与调和函数有着密切联类重要的场调和场是物理学中的一取得最大环量密度的方向在此方向上最大环量密度为设空间区域g如果g内任一闭曲面所围成的区域全属于g则称g是空间二维单连通域
第七节斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式二、物理意义 -- 环流量与旋度
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k
y z z x x y
思考与练习设 r x2 y2 z2, 则
div(grad r)
2 r
;
rot(grad r) 0
.
提示: grad r x , y , z
rrr
x
(
x r
)
r xxr
r2
z
(
z r
)
r2z2 r3
r 2 x2 r3
,
y
( y) r
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线：
设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定的正向如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿行走时，邻近处的始终位于他的左方.
带有正向的边界曲线称作定向曲面的正向边界曲线，记作 + .
例如当是上半球面z= 1 x2 y2的上侧,则＋是 xoy面上的逆时针走向的单位圆周.
则沿场 FF中某dr一封 P闭dx的定Q向dy曲线Rdz 上的曲线积分
称
为向量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
场
F
沿曲
线
按所取方向的环流量 .
i jk
环流量
F
dr
dS
x y z
PQR
r 例1 求下列向量场F沿闭曲线（依逆时针方向）

10-7斯托克斯公式与旋度

Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z L x z R R L R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式。
定理1 目录上页下页返回结束
情形2：
曲面与平行 z 轴的直线交点多于一个，则可通过作辅助曲线把分成与 z 轴只交于一点的几部分，在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相加，由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消，所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立。证毕
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
L
——斯托克斯公式
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n

右手法则
L是有向曲面的正向边界曲线
z
L
证明：情形1：如右图
第七节
第十章
斯托克斯公与旋度
一、斯托克斯公式二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度
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一、斯托克斯(stokes)公式
定理 1：设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线，是以 L 为边界的分片光滑的有向曲面， L 的正向与的侧符合右手规则，函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式：
( 4 ) (1 ) 由斯托克斯公式可知结论成立.
定理2 目录
证毕
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说明：同平面曲线一样，当曲线积分

6. 纳斯—斯托克斯方程(N—S方程)在所有的惯性系都成立

6 纳斯—斯托克斯方程（N —S 方程）在所有的惯性系都成立首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N S -方程：任取一体积为τ的流体如图1所示，设其边界面为S ，根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和.以F 表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而n p 表示作用于单位面积上的面力分布函数.则作用在τ上和S 上的总质量力和面力为ρδτ⎰F及sS δ⎰n p其次，体积τ内的动量是τρδτ⎰v于是，动量定理可写成下列表达式：s dS dt ττρδτρδτδ=+⎰⎰⎰n v F p（1）利用公式d d dt dtττρδτρδτ=⎰⎰aa ，得： d d dt dtττρδτρδτ=⎰⎰vv (2)再利用的是高斯公式得：div sss P s P τδδδτ==⎰⎰⎰n p n（3）其中P 是应力张量.将（2）和（3）式代入（1）式，整理得：(div )0d P dtτρρδτ--=⎰vF 因τ任意，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，即div d P dtρρ=+vF（4）（4）式就是微分形式的动量方程，易见，它与坐标系的选取无关，下面将写出它在曲线坐标下的形式.因为123(,,,)q q q t =v v故312123dq dq dq d dt t q dt q dt q dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v 图1112233112233111()/H dq H dq H dq dt t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v 312123()ds ds ds t s dt s dt s dt ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v（5）上式中利用到等式：111ds H dq =，222ds H dq =，333ds H dq =现在进一步处理（5）式右端的第二项112233v e v e v e =++v ，根据定义有312123,,ds ds ds v v v dtdtdt===故123123()d v v v dt t s s s ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v （6）又1111223311()v v v e v e v e s s ∂∂=++∂∂v 111223311()v v e v e v e H q ∂=++∂ 33112121231231111111()v e v v v e ee e e v v v H q q q q q q ∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂（7）考虑到：11123122332111223111331111e H H e e q H q H q e H e q H q e H e q H q ⎧∂∂∂=--⎪∂∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪⎪∂∂=⎪∂∂⎩ （8） 12221122231233113222331111e H e q H q e H H e e q H q H q e H e q H q ⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂∂=--⎨∂∂∂⎪⎪∂∂=⎪∂∂⎩ （9）31331132332233312311221111H e e q H q H e e q H q e H H e e q H q H q ⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪⎪∂∂∂=--⎪∂∂∂⎩ （10）将上面的（8）式代入（7）中，整理得，331121112111111123111223311221133()()()v v v v v H H v v v H v v H v e e e s H q H q H q H q H q H q H q ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++-+-∂∂∂∂∂∂∂∂v同理332122221222222123222112211332333()()()v v v v v H v v v H H v v H v e e e s H q H q H q H q H q H q H q ∂∂∂∂∂∂∂∂=-++++-∂∂∂∂∂∂∂∂v将11v s ∂∂v ，22v s ∂∂v ，33v s ∂∂v表达式代入（6）式，得 311211112233[()v v v v v v d dt t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v 2213331211221122133121131]v v v H v v H H v H e H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂ 312222112233[()v v v v v v H q H q H q ∂∂∂+++∂∂∂2223332122112211233122232]v v v H v v H H v H e H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂ 333312112233[()v v v v v v H q H q H q ∂∂∂+++∂∂∂2213323311223131232133233]v v H v v H v H v H e H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂ （11）因为112233v e v e v e =++v 所以312123v v v e e e t t t t∂∂∂∂=++∂∂∂∂v 速度1v 的随体导数31111121123ds dv v v ds v ds v dt t s dt s dt s dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂3111211112233v v v v v v v t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 同理可得32221222123ds dv v v ds v ds v dt t s dt s dt s dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 3212222112233v v v v v v v t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 33333312123dv v v v v ds ds ds dt t s dt s dt s dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 3333312112233v v v v v v v t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 所以（11）式可简化为22133311211221122133121131()v v v H dv v v H H v H d e dt dt H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂=++--∂∂∂∂v22233322122112211233212232()v v v H dv v v H H v H e dt H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂+++--∂∂∂∂ 22331332311223311322313323()dv v v H v v H v H v H e dt H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂+++--∂∂∂∂ 至此，我们将d dtv表示成曲线坐标系下的形式了. F 在曲线坐标系下表示成: 112233F e F e F e =++F最后，我们将div P 表示成曲线坐标系下的形式. 应力张量P ：111213212223313233p p p P p p p p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，共九个量可以证明应力张量P 是对称张量，所以也可以将P 写成111231122223312333p p p P p p p p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其在曲线坐标面上表示为111112231321212222333311232333P p e p e p e P p e p e p e P p e p e p e=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 由()()()1232313121231231a H H a H H a H H div H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦a 式得：()()()1232313121231231PH H P H H P H H div P H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦ （12）其中()()()12323123111122313111PH H H H P H H p e p e p e q q q ∂∂∂=+++∂∂∂ ()233111121231231111H H p p p P H H e e e q q q q ∂⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 31223111231111e e eH H p p p q q q ⎛⎫∂∂∂+++ ⎪∂∂∂⎝⎭同样把11e q ∂∂、21e q ∂∂、31e q ∂∂用（8）式代替得 ()()123233111121112311112233PH H H H p p p H H P H H e q q q H q H q ∂∂⎛⎫∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂∂⎝⎭3112111111232233122133p p p H p H H H e H H e q H q q H q ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-+-⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ （13）考虑到()()()()2323232311111223131111H H H H H H H H P p e p e p e q q q q ∂∂∂∂=++∂∂∂∂()()231123111112311111H H p H H p p e H H e e q q q ∂∂∂+=∂∂∂()()231223121222322111H H p H H pp e H H e e q q q ∂∂∂+=∂∂∂()()233123313132333111H H p H H pp e H H e e q q q ∂∂∂+=∂∂∂因此可将（13）式化为：()()1231123311211231122331PH H p H H p p H H H H e q H q H q q ⎡⎤∂∂⎛⎫∂∂=++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦()1223111232122p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦()3123111233133p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦同理：()()23112312223112211P H H p H H p H H H e q q H q ∂∂⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂∂⎣⎦()223123312231211332p H H p H p H H H e H q H q q ⎡⎤∂⎛⎫∂∂+++⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦()2331222313233p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦()()31231123331213311P H H p H H p H H H e q q H q ∂∂⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂∂⎣⎦()2312333122322p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦()331231323312311223p H H p H p H H H e H q H q q ⎡⎤∂⎛⎫∂∂+++⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦将以上三式代入（12）式，得()()()1123123131121231231div p H H p H H p H H P H H H q q q ⎧∂∂∂⎡⎤⎪=++⎨⎢⎥∂∂∂⎪⎣⎦⎩3133312112221122133121131p p H p H H p H e H H q H H q H H q H H q ⎫∂∂∂∂++--⎬∂∂∂∂⎭()()()1223223123121231231p H H p H H p H H H H H q q q ⎧∂∂∂⎡⎤⎪+++⎨⎢⎥∂∂∂⎪⎣⎦⎩2333312221112121233122232p p H p H H p H e H H q H H q H H q H H q ⎫∂∂∂∂++--⎬∂∂∂∂⎭()()()3123233133121231231p H H p H H p H H H H H q q q ⎧∂∂∂⎡⎤⎪+++⎨⎢⎥∂∂∂⎪⎣⎦⎩3132331112223131232133233p H p H p H p H e H H q H H q H H q H H q ⎫∂∂∂∂++--⎬∂∂∂∂⎭（14）至此，已将d dtv、F 、div P 全部表示成曲线坐标系下的形式，将其都代入（4）式，并考虑对应项相等原则，有2213331121122122133121311v v v H dv v v H H v H dt H H q H H q H H q H H q ρ⎛⎫∂∂∂∂++-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭()()()12311311212311231231F H H p H H p H H p H H H q q q ρ⎡⎤∂∂∂=+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦313331211222122133121311p p H p H H p H H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂()15a2223332212211211233212232v v v H dv v v H H v H dt H H q H H q H H q H H q ρ⎛⎫∂∂∂∂++-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()()12232231231221231231p H H p H H p H H F H H H q q q ρ∂∂∂⎡⎤=+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦233331222111121233122232p p H p H H p H H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂（15b ）2233133231122311322313323dv v v H v v H v H v H dt H H q H H q H H q H H q ρ⎛⎫∂∂∂∂++-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()()31232331331231231231p H H p H H p H H F H H H q q q ρ∂∂∂⎡⎤=+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦313233111222131232133233p H p H p H p H H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂（15c ）（15）式就是曲线坐标系下的N S -方程的具体形式.。

斯托克斯公式

z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录上页下页返回结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
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同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
定理1 目录上页下页返回结束
情形2 曲面与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
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令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y

高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式

Pdx Qdy Rdz

P P dzdx dxdy y z
P P f y ) cos dS P161 ( y z
P P f y )dxdy ( z y z
n
P P 即 dzdx dxdy z y
有一阶连续偏导数, 则有公式 Q P R Q P R )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 R Q P R Q P ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy ( y z z x x y Pdx Qdy Rdz 斯托克斯公式

cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 其中n {cos , cos , cos }

一、斯托克斯公式
R Q P R Q P )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( y z z x x y
:
f ( x, y )

R R o D dydz dzdx R ( x , y , z ) dz C x y x R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz

思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)

斯托克斯公式及题目

i 旋度 rotF x P
j y Q
k z R
R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y
Stokes公式的物理解释:
向量场 F 沿有向闭曲线的环流量等于向量场 F 的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正向与的侧符合右手法则)
xyxycx思路曲面积分二重积分曲线积分12?p?p?p?p?dzdxdxdy?cos?cosds????????z?y??z?y又?cos??fycos?代入上式得?p?p?p?pdzdx?dxdy?f?dscos????z?y???y?zy??????pppp即dzdx?dxdy??fdxdy????y??z?y??y?z??p?ppxyfxy??fy?y??zy?p?p???zdzdx??ydxdy???1pxyfxydxdy??d?yxy根椐格林公式?????ypxyfxydxdy??pxyfxydxdcxy?p?p即??dzdx?dxdy??pxyfxydx2??z?yc平面有向曲线?p?pdzdx?dxdypxyzdx???z?y????空间有向曲线同理可证?q?q???xdxdy??zdydz??qxyzdy???r?rdydz?dzdxrxyzdz???y?x?????r?p?r??p?qq???dydz??dzdx??dxdyzxy??y?z??x????pdx??qdy?rdz
解法１将曲线 C 化成参数方程
令x cos , y sin , z 2 x y 2 cos sin : 2 0
( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz
C
[2(cos sin ) 3cos 2 sin 2 ] d 2

10-7斯托克斯(stokes)公式

r r r i j k r ∂ ∂ ∂ 旋度 rotA = ∂x ∂y ∂z P Q R
∂R ∂Q r ∂P ∂R r ∂Q ∂P r = ( − )i + ( − ) j + ( − )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
斯托克斯公式的又一种形式
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∫∫[( ∂y − ∂z )cosα + ( ∂z − ∂x )cos β + ( ∂x − ∂y )cosγ ]dS Σ
x0 z y0
x
y
+ ∫ R( x , y , z )dz
z0
z
o
x
•
M ( x, y, z )
其中 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 为G 内某一点，内某一点，点 M ( x , y , z ) ∈ G
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
⋅
M 2 ( x , y , z0 ) M 1 ( x , y0 , z 0 )
设区域G是空间一维单连通区域是空间一维单连通区域，定理 3 设区域是空间一维单连通区域，函数 P ( x , y , z ) 、 ( x , y , z ) 、R( x , y , z ) 在G内具有一阶连 Q 内具有一阶连续偏导数，续偏导数，则表达式 Pdx + Qdy + Rdz 在G内成为内成为某一函数 u( x , y , z ) 的全微分的充分必要条件是等式（5）在G内恒成立；当条件（5）满足时，这函内恒成立；）内恒成立当条件（）满足时，不计一常数之差）数（不计一常数之差）可用下式求出
Σ Σ
其中 r r r ( rotA)n = rotA ⋅ n ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ) cosα + ( − ) cos β + ( =( − − ) cos γ ∂y ∂z ∂z ∂ x ∂x ∂y

高斯公式和斯托克斯（stokes）公式

设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数, 则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Q x P )(高斯公式dSR Q P dvz Ry Q x P )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰∑Ωγ+β+α=∂∂+∂∂+∂∂或这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦.xyzo例计算曲面积分ds z y x )cos cos cos (222γβα++⎰⎰∑,其中Σ为锥面 222z y x=+介于平面0=z 及)0(>=h h z之间的部分的下侧,γβαcos ,cos ,cos 是Σ在),,(z y x 处的法向量的方向余弦.h⋅xyD xyzoh⋅1∑解空间曲面在面上的投影域为 xoy xy D )(:2221h y x h z ≤+=∑补充曲面∑不是封闭曲面, 为利用高斯公式取上侧，1∑∑构成封闭曲面，1∑+∑.1Ω∑+∑围成空间区域,上使用高斯公式在Ω⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++dv z y x dSz y x)(2)cos cos cos (1222γβα⎰⎰⎰+++=xyD h y x dz z y x dxdy 22,)(2}.|),{(222h y x y x D xy ≤+=其中⎰⎰⎰+=+xyDhy x dz y x dxdy 22,0)(⎰⎰⎰⎰--=++∴∑+∑xyD dxdy y x h dSz y x)()cos cos cos (2222221γβα.214h π=⎰⎰⎰⎰∑∑=γ+β+α112222)cos cos cos (dSz dS z y x⎰⎰=xyDdxdy h 2.4h π=故所求积分为⎰⎰∑γ+β+αdSz y x)cos cos cos (222421h π=4h π-.214h π-=定理设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与∑的侧符合右手规则, 函数),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式一、斯托克斯(stokes)公式dxdyy Px Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑⎰Γ++=RdzQdy Pdx 斯托克斯公式nΓ∑是有向曲面的正向边界曲线Γ∑右手法则⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdydzdx dydz ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx ds RQ P z y x γβαcos cos cos 另一种形式}cos ,cos ,{cos γβα=n其中便于记忆形式Stokes 公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形(当Σ是xoy 面的平面闭区域时)例1. Γ 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z轴正向看为顺时针, 计算o z2Γyx解: 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得SI d ⎰⎰∑=0=则其法线方向余弦γβαcos cos cos zy x ∂∂∂∂∂∂zx y x y2∑例2 计算曲线积分dzy x dy x z dx z y)()()(222222-+-+-⎰Γ其中Γ是平面23=++z y x 截立方体:10≤≤x ,10≤≤y ,10≤≤z 的表面所得的截痕,若从 ox轴的正向看去,取逆时针方向.解取Σ为平面23=++z y x 的上侧被Γ所围成的部分.则 }1,1,1{31=n zxyo∑nΓ即 ,31cos cos cos ===γβαdsy x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=∴222222313131⎰⎰∑++-=ds z y x )(34⎰⎰∑⋅-=ds 2334⎰⎰-=xyD dxdy 332.29-=)23(=++∑z y x 上在 xyD 23=+y x 21=+y xz R y Q x P u d d d d ++=空间曲线积分与路径无关的条件定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 内在函数G R Q P ,,具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G 内任一分段光滑闭曲线 Γ, 有d d d =++⎰Γz R y Q x P (2) 对G 内任一分段光滑曲线 Γ, ⎰Γ++zR y Q x P d d d 与路径无关(3) 在G 内存在某一函数 u , 使 (4) 在G 内处处有zP x R y R zQ x Q yP∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===,,z y x y x z x z y d )(d )(d )(+++++⎰Γ与路径无关, 并求函数z y x y x z x z y z y x u z y x d )(d )(d )(),,(),,()0,0,0(+++++=⎰解: 令 yx R x z Q z y P +=+=+=,,,1xQ y P ∂∂==∂∂,1yR z Q ∂∂==∂∂yPx R ∂∂==∂∂1∴ 积分与路径无关, zy x xy )(++=y x y d 0⎰+zy x z d )(0⎰++zxyz xy ++=xzyo),,(z y x )0,,(y x )0,0,(x 因此例3. 验证曲线积分 z y x y x z x z y d )(d )(d )(+++++⎰Γ与路径无关, 并求函数z y x y x z x z y z y x u z y x d )(d )(d )(),,(),,()0,0,0(+++++=⎰解: 令 yx R x z Q z y P +=+=+=,,,1xQy P ∂∂==∂∂ ,1yR z Q ∂∂==∂∂yPx R ∂∂==∂∂1∴ 积分与路径无关, z y x xy )(++=y x y d 0⎰+zy x z d )(0⎰++zxyz xy ++=xzyo ),,(z y x )0,,(y x )0,0,(x 因此例3. 验证曲线积分三、环流量与旋度斯托克斯公式⎰Γ++=zR y Q x P d d d 设曲面 ∑ 的法向量为曲线 Γ的单位切向量为则斯托克斯公式可写为⎰Γ++=sR Q P d )cos cos cos (νμλ)cos ,cos ,(cos γβα=n )cos ,cos ,(cos νμλτ=令 , 引进一个向量),,(R Q P A =Arot 记作向量 rot A 称为向量场 A 的 RQ P kj i zy x ∂∂∂∂∂∂=称为向量场A 定义: s A z R y Q x P d d d d ⎰⎰ΓΓ=++τ沿有向闭曲线 Γ的环流量. s A S n A d d rot ⎰⎰⎰Γ∑⋅=⋅τ或sA S A n d d )(rot ⎰⎰⎰Γ∑=τ①于是得斯托克斯公式的向量形式 :旋度 .z yxkjiA ∂∂∂∂∂∂=rot 的外法向量, 计算解: )1,0,0(=SI d cos ⎰⎰∑=∴γπ8=232zx y 例4. 设.d rot S n A I ⋅=⎰⎰∑∑为n。

数学分析22.3高斯公式与斯托克斯公式(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分 3 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式定理22.5：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P , Q, R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有(高斯公式)dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz , S 取外侧.证：设V 是xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面S 2:z=z 2(x,y),(x,y)∈D xy , S 1:z=z 1(x,y),(x,y)∈D xy 及以垂直于D xy 的边界柱面S 3组成,z 1(x,y)≤z 2(x,y). ∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ),(),(21=⎰⎰-xy D dxdyy x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(2-⎰⎰xyD dxdyy x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R -⎰⎰1),,(S dxdy z y x R =⎰⎰2),,(S dxdy z y x R +⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R .其中S 1,S 2取上侧，又⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0,∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰2S Rdxdy +⎰⎰-1S Rdxdy +⎰⎰3S Rdxdy =⎰⎰SRdxdy . 同理，⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz ; ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz y Q=⎰⎰SQdydz . ∴dxdydz z R y Q x P V⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz .注：对于不是xy 型区域的情形，可用有限个光滑曲面将其分割成若干个xy 型区域来讨论.例1：计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体表面并取外侧. 解：x ∂∂y(x-z)=y, y ∂∂x 2=0, z∂∂(y 2+xz)=x, 应用高斯公式，该曲面积分为：dxdydz x y V⎰⎰⎰+)(=⎰⎰⎰+aaadz x y dy dx 0)(=a 4.注：若高斯公式中P=x, Q=y, R=z, 则有dxdydz V⎰⎰⎰++)111(=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz , 即有应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式：△V=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、斯托克斯公式右手法则：设人站在曲面S 上指定的一侧，沿S 的边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向.定理22.6：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数P ,Q,R 在S(连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数，则有(斯托克斯公式)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++LRdz Qdy Pdx ，其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.证：曲面S 由方程z=z(x,y)确定, 其正侧法线方向数为(-z x ,-z y ,1), 方向余弦为(cos α,cos β,cos γ), ∴xz ∂∂=-γαcos cos , y z ∂∂=-γβcos cos .若S 在xy 平面上投影区域为D xy , L 在xy 平面上的投影曲线记为Г. 由第二型曲线积分定义及格林公式有⎰Ldx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-. ∵dxdy y x z y x P y )),(,,(∂∂=y P ∂∂+yzz P ∂∂∂∂, ∴⎰L dx z y x P ),,(=dxdy y x z y x P y xy D )),(,,(⎰⎰∂∂-=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =⎰⎰∂∂-∂∂Sdxdy y P dzdx z P ; 同理，对于曲面S 表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，分别可证得⎰LQdy =⎰⎰∂∂-∂∂Sdydz z Q dxdy x Q 和⎰L Rdz =⎰⎰∂∂-∂∂Sdzdx x Rdydz y R . ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Sdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++L Rdz Qdy Pdx .注：1、若曲面S 不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示.2、斯托克斯公式也写为：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SRQ P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2：计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中L 为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解：(2y+z)y =2, (2y+z)z =1, (x-z)z =-1, (x-z)x =1, (y-x)x =-1, (y-x)y =1,∴⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰-+--+--Sdxdydzdx dydz )21()]1(1[)]1(1[=⎰⎰-+Sdxdy dzdx dydz 22=1+1-21=23.概念：若V 内任一封闭曲线皆可不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点，则称区域V 为单连通区域, 否则称为复连通区域. 如球体属于单连通区域，而环状区域属于复连通区域.定理22.7：设Ω∈R 3为空间单连通区域. 若函数P , Q, R 在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L 有⎰++L Rdz Qdy Pdx =0. (2)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L, 曲线积分⎰++L Rdz Qdy Pdx 与路线无关.(3)Pdx+Qdy+Rdz 是Ω内某一函数u 的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz. (4)x Q y P ∂∂=∂∂, y R z Q ∂∂=∂∂, zPx R ∂∂=∂∂. 在Ω内处处成立.例3：验证曲线积分⎰+++++L dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z). 解：P=y+z, Q=z+x, R=x+y, ∵x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=1, ∴曲线积分与路线无关.取空间折线M 0(x 0,y 0,z 0)→(x,y 0,z 0)→(x,y,z 0)→(x,y,z), 则u(x,y,z)=⎰+++++M M dzy x dy x z dx z y 0)()()(=⎰⎰⎰+++++zz x x y y dry x dt x z ds z y 0)()()(000=(y 0+z 0)(x-x 0)+(z 0+x)(y-y 0)+(x+y)(z-z 0)=xy+xz+yz+C. 其中C=-x 0y 0-x 0z 0-y 0z 0. 若取M 0为原点，则u(x,y,z)=xy+xz+yz.习题1、应用高斯公式计算下列曲面积分：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域的表面，方向取外侧；(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面z=222y x a --的外侧.解：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Vdxdydz 0=0.(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 000)(=3a 4.(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++hr h rdz z r r dr d )sin cos (020θθθπ=24h π.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(222=3⎰⎰⎰104200sin dr r d d ϕθϕππ=512π.(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz =3⎰⎰⎰Vdxdydz =2πa 3.2、应用高斯公式计算三重积分：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(, 其中V 是由x ≥0, y ≥0, 0≤z ≤1与x 2+y 2≤1所确定的空间区域. 解：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(=⎰⎰++Sxdxdy z zdzdx y ydydz x 22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dxdy x zdzdx x ydydz y xyzx yz D D D )1()1(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-210101021010210)1()1(21x xdy dx zdx x dz ydz y dy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⎰⎰⎰1021021021)1(21)1(21dx x x dx x ydy y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++31314121=2411.3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)⎰+++++L dz y x dy z x dx x y )()()(222222，其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； (2)⎰++L dz dy dx y x 32，其中L 为y 2+z 2=1, x=y 所交的椭圆的正向； (3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中S 是以A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 解：(1)⎰+++++L dzy x dy z x dx x y )()()(222222 =2⎰⎰-+-+-Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(. 其中⎰⎰-Sdydz z y )(=⎰⎰--ydz z y dy 1010)(=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10221232dy y y =0，同理，⎰⎰-Sdzdx x z )(=⎰⎰-Sdxdy y x )(=0. ∴原积分=0.(2)⎰++L dz dy dx y x 32=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=0. (注：D xy 的面积为0)(3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(=2⎰⎰++Sdxdy dzdx dydz =3a 2.4、求下列全微分的原函数：(1)yzdx+xzdy+xydz ；(2)(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz. 解：(1)∵d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz, ∴原函数为：u(x,y,z)=xyz+C. (2)∵d(31(x 3+y 3+z 3)-2xyz)=(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz, ∴原函数为：u(x,y,z)=31(x 3+y 3+z 3)-2xyz+C.5、验证下列线积分与路线无关，并计算其值； (1)⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx ； (2)⎰++++),,(),,(222222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx , 其中(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)在球面x 2+y 2+z 2=a 2上.解：(1)P=x, Q=y 2, R=z 3, 有x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=0, ∴原积分与路线无关.⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx =⎰⎰⎰-++41331221dz z dy y xdx =425532623-++=-53127(2)∵d(222z y x ++)=222zy x zdz ydy xdx ++++, ∴原积分与路线无关.原式=⎰++),,(),,(222222111z y x z y x z y x d =212121222222z y x z y x ++-++=0.6、证明：由曲面S 所围的立体V 的体积 △V=⎰⎰++SdS z y x )cos cos cos (31γβα,其中cos α, cos β, cos γ为曲面S 的外法线方向余弦. 证：⎰⎰++S dS z y x )cos cos cos (31γβα=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31=dxdydz z z y y x x V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂31=⎰⎰⎰Vdxdydz =V.7、证明：若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则⎰⎰∧SdS l n ),cos(=0,其中n 为曲面S 的外法线方向.证：设n 和l 的方向余弦分别是cos α, cos β, cos γ和cos α’, cos β’, cos γ’. 由第一、二型曲面积分之间的关系可得：⎰⎰∧SdS l n ),cos(=⎰⎰'+'+'Sds)cos cos cos cos cos (cos γγββαα=⎰⎰'+'+'Sdxdy dzdx dydz γβαcos cos cos . 由L 的方向固定知,P=cos α’, Q=cos β’, R=cos γ’都是常数，∴zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=0. 由奥高公式得： ⎰⎰∧S dS l n ),cos(=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z R y Q x P =0.8、证明公式：⎰⎰⎰Vr dxdydz =⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=0, 其中S 是包围V 的曲面，n 为曲面S 的外法线方向, |r|=222z y x ++, r=(x,y,z).证：∵),cos(∧n r =),cos(),cos(∧∧x n x r +),cos(),cos(∧∧y n y r +),cos(),cos(∧∧z n z r ,且),cos(∧x r =r x , ),cos(∧y r =ry, ),cos(∧z r =r z ,由第一, 二型曲面积分的关系及奥高公式可得：⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=⎰⎰∧∧∧++S dS z n z y n y x n x r )],cos(),cos(),cos([121 =⎰⎰++S dxdy r z dzdx r y dydz r x 21=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz r z z r y y r x x 21=⎰⎰⎰Vrdxdydz.9、若L 是平面xcos α+ycos β+zcos γ-p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求⎰L zyxdz dy dx γβαcos cos cos , 其中L 依正向进行. 解：∵P=zcos β-ycos γ, Q=xcos γ-zcos α, R=ycos α-xcos β, 由斯托克斯公式及第一, 二型曲面积分之间的关系得：原式=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Sx y z x y z z yxdxdy dzdx dydz βααγγβcos cos cos cos cos cos =2⎰⎰++Ddxdy dzdx dydz γβαcos cos cos =2⎰⎰++Dds )cos cos (cos 222γβα=2s.。

斯托克斯公式及其应用

第十一章
第七节斯托克斯公式及其应用
一、斯托克斯公式二、典型例题三、场
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一、斯托克斯公式 (stokes)
1.定向曲面边界曲线的方向设是具有边界曲线的定向曲面, 规定其边界曲线的正向为: 这个方向与定向曲面的法向量符合右手法则,即当右手除拇指外的四指依边界的绕行方向时,竖起的拇指的指向与上法向量的指向相同. 按照这种方式规定了方向的边界曲线称为定向曲面的正向边界曲线.
所以
P z
dzdx
P dxdy y
P z
fy
P cosdS
y
P z
fy
P dxdy. y
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因为
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y
P z
fy,
z
所以
P z
fy
P dxdy y
P[x, y, z( x, y)]dxdy Dxy y
O x
n
Dxy
y
C
P[ x, y, f ( x, y)]dx (依据格林公式)
其中是用平面x y z 3 截立方体[0,1][0,1][0,1] 2
的表面所得的截痕, 若从z轴正向看去, 取逆时针方向.
z n
O
y
x
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解 : x y z 3的 2
上侧被所围的部分.
n (1,1,1),en
(
1, 3
1, 3
1 ), 3
类似地
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x,

数学分析22.3高斯公式与斯托克斯公式(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分 3 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式定理22.5：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P , Q, R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有(高斯公式)dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz , S 取外侧.证：设V 是xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面S 2:z=z 2(x,y),(x,y)∈D xy , S 1:z=z 1(x,y),(x,y)∈D xy 及以垂直于D xy 的边界柱面S 3组成,z 1(x,y)≤z 2(x,y). ∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ),(),(21=⎰⎰-xy D dxdyy x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(2-⎰⎰xyD dxdyy x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R -⎰⎰1),,(S dxdy z y x R =⎰⎰2),,(S dxdy z y x R +⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R .其中S 1,S 2取上侧，又⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0,∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰2S Rdxdy +⎰⎰-1S Rdxdy +⎰⎰3S Rdxdy =⎰⎰SRdxdy . 同理，⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz ; ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz y Q=⎰⎰SQdydz . ∴dxdydz z R y Q x P V⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz .注：对于不是xy 型区域的情形，可用有限个光滑曲面将其分割成若干个xy 型区域来讨论.例1：计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体表面并取外侧. 解：x ∂∂y(x-z)=y, y ∂∂x 2=0, z∂∂(y 2+xz)=x, 应用高斯公式，该曲面积分为：dxdydz x y V⎰⎰⎰+)(=⎰⎰⎰+aaadz x y dy dx 0)(=a 4.注：若高斯公式中P=x, Q=y, R=z, 则有dxdydz V⎰⎰⎰++)111(=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz , 即有应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式：△V=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、斯托克斯公式右手法则：设人站在曲面S 上指定的一侧，沿S 的边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向.定理22.6：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数P ,Q,R 在S(连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数，则有(斯托克斯公式)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++LRdz Qdy Pdx ，其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.证：曲面S 由方程z=z(x,y)确定, 其正侧法线方向数为(-z x ,-z y ,1), 方向余弦为(cos α,cos β,cos γ), ∴xz ∂∂=-γαcos cos , y z ∂∂=-γβcos cos .若S 在xy 平面上投影区域为D xy , L 在xy 平面上的投影曲线记为Г. 由第二型曲线积分定义及格林公式有⎰Ldx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-. ∵dxdy y x z y x P y )),(,,(∂∂=y P ∂∂+yzz P ∂∂∂∂, ∴⎰L dx z y x P ),,(=dxdy y x z y x P y xy D )),(,,(⎰⎰∂∂-=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =⎰⎰∂∂-∂∂Sdxdy y P dzdx z P ; 同理，对于曲面S 表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，分别可证得⎰LQdy =⎰⎰∂∂-∂∂Sdydz z Q dxdy x Q 和⎰L Rdz =⎰⎰∂∂-∂∂Sdzdx x Rdydz y R . ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Sdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++L Rdz Qdy Pdx .注：1、若曲面S 不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示.2、斯托克斯公式也写为：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SRQ P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2：计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中L 为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解：(2y+z)y =2, (2y+z)z =1, (x-z)z =-1, (x-z)x =1, (y-x)x =-1, (y-x)y =1,∴⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰-+--+--Sdxdydzdx dydz )21()]1(1[)]1(1[=⎰⎰-+Sdxdy dzdx dydz 22=1+1-21=23.概念：若V 内任一封闭曲线皆可不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点，则称区域V 为单连通区域, 否则称为复连通区域. 如球体属于单连通区域，而环状区域属于复连通区域.定理22.7：设Ω∈R 3为空间单连通区域. 若函数P , Q, R 在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L 有⎰++L Rdz Qdy Pdx =0. (2)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L, 曲线积分⎰++L Rdz Qdy Pdx 与路线无关.(3)Pdx+Qdy+Rdz 是Ω内某一函数u 的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz. (4)x Q y P ∂∂=∂∂, y R z Q ∂∂=∂∂, zPx R ∂∂=∂∂. 在Ω内处处成立.例3：验证曲线积分⎰+++++L dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z). 解：P=y+z, Q=z+x, R=x+y, ∵x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=1, ∴曲线积分与路线无关.取空间折线M 0(x 0,y 0,z 0)→(x,y 0,z 0)→(x,y,z 0)→(x,y,z), 则u(x,y,z)=⎰+++++M M dzy x dy x z dx z y 0)()()(=⎰⎰⎰+++++zz x x y y dry x dt x z ds z y 0)()()(000=(y 0+z 0)(x-x 0)+(z 0+x)(y-y 0)+(x+y)(z-z 0)=xy+xz+yz+C. 其中C=-x 0y 0-x 0z 0-y 0z 0. 若取M 0为原点，则u(x,y,z)=xy+xz+yz.习题1、应用高斯公式计算下列曲面积分：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域的表面，方向取外侧；(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面z=222y x a --的外侧.解：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Vdxdydz 0=0.(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 000)(=3a 4.(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++hr h rdz z r r dr d )sin cos (020θθθπ=24h π.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(222=3⎰⎰⎰104200sin dr r d d ϕθϕππ=512π.(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz =3⎰⎰⎰Vdxdydz =2πa 3.2、应用高斯公式计算三重积分：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(, 其中V 是由x ≥0, y ≥0, 0≤z ≤1与x 2+y 2≤1所确定的空间区域. 解：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(=⎰⎰++Sxdxdy z zdzdx y ydydz x 22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dxdy x zdzdx x ydydz y xyzx yz D D D )1()1(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-210101021010210)1()1(21x xdy dx zdx x dz ydz y dy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⎰⎰⎰1021021021)1(21)1(21dx x x dx x ydy y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++31314121=2411.3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)⎰+++++L dz y x dy z x dx x y )()()(222222，其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； (2)⎰++L dz dy dx y x 32，其中L 为y 2+z 2=1, x=y 所交的椭圆的正向； (3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中S 是以A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 解：(1)⎰+++++L dzy x dy z x dx x y )()()(222222 =2⎰⎰-+-+-Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(. 其中⎰⎰-Sdydz z y )(=⎰⎰--ydz z y dy 1010)(=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10221232dy y y =0，同理，⎰⎰-Sdzdx x z )(=⎰⎰-Sdxdy y x )(=0. ∴原积分=0.(2)⎰++L dz dy dx y x 32=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=0. (注：D xy 的面积为0)(3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(=2⎰⎰++Sdxdy dzdx dydz =3a 2.4、求下列全微分的原函数：(1)yzdx+xzdy+xydz ；(2)(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz. 解：(1)∵d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz, ∴原函数为：u(x,y,z)=xyz+C. (2)∵d(31(x 3+y 3+z 3)-2xyz)=(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz, ∴原函数为：u(x,y,z)=31(x 3+y 3+z 3)-2xyz+C.5、验证下列线积分与路线无关，并计算其值； (1)⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx ； (2)⎰++++),,(),,(222222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx , 其中(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)在球面x 2+y 2+z 2=a 2上.解：(1)P=x, Q=y 2, R=z 3, 有x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=0, ∴原积分与路线无关.⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx =⎰⎰⎰-++41331221dz z dy y xdx =425532623-++=-53127(2)∵d(222z y x ++)=222zy x zdz ydy xdx ++++, ∴原积分与路线无关.原式=⎰++),,(),,(222222111z y x z y x z y x d =212121222222z y x z y x ++-++=0.6、证明：由曲面S 所围的立体V 的体积 △V=⎰⎰++SdS z y x )cos cos cos (31γβα,其中cos α, cos β, cos γ为曲面S 的外法线方向余弦. 证：⎰⎰++S dS z y x )cos cos cos (31γβα=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31=dxdydz z z y y x x V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂31=⎰⎰⎰Vdxdydz =V.7、证明：若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则⎰⎰∧SdS l n ),cos(=0,其中n 为曲面S 的外法线方向.证：设n 和l 的方向余弦分别是cos α, cos β, cos γ和cos α’, cos β’, cos γ’. 由第一、二型曲面积分之间的关系可得：⎰⎰∧SdS l n ),cos(=⎰⎰'+'+'Sds)cos cos cos cos cos (cos γγββαα=⎰⎰'+'+'Sdxdy dzdx dydz γβαcos cos cos . 由L 的方向固定知,P=cos α’, Q=cos β’, R=cos γ’都是常数，∴zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=0. 由奥高公式得： ⎰⎰∧S dS l n ),cos(=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z R y Q x P =0.8、证明公式：⎰⎰⎰Vr dxdydz =⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=0, 其中S 是包围V 的曲面，n 为曲面S 的外法线方向, |r|=222z y x ++, r=(x,y,z).证：∵),cos(∧n r =),cos(),cos(∧∧x n x r +),cos(),cos(∧∧y n y r +),cos(),cos(∧∧z n z r ,且),cos(∧x r =r x , ),cos(∧y r =ry, ),cos(∧z r =r z ,由第一, 二型曲面积分的关系及奥高公式可得：⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=⎰⎰∧∧∧++S dS z n z y n y x n x r )],cos(),cos(),cos([121 =⎰⎰++S dxdy r z dzdx r y dydz r x 21=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz r z z r y y r x x 21=⎰⎰⎰Vrdxdydz.9、若L 是平面xcos α+ycos β+zcos γ-p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求⎰L zyxdz dy dx γβαcos cos cos , 其中L 依正向进行. 解：∵P=zcos β-ycos γ, Q=xcos γ-zcos α, R=ycos α-xcos β, 由斯托克斯公式及第一, 二型曲面积分之间的关系得：原式=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Sx y z x y z z yxdxdy dzdx dydz βααγγβcos cos cos cos cos cos =2⎰⎰++Ddxdy dzdx dydz γβαcos cos cos =2⎰⎰++Dds )cos cos (cos 222γβα=2s.。