例说用数学方法求解物理“最值”问题
例析数学方法求物理中的最值
例 ５ 如 图 ４所 示 ， 、 Ｍ Ｎ
为两个 等 量 同种 电荷 ， 间 的 其
距离 已知 ， 其 连 线 的 中垂 线 在 上有一 点 Ｐ， Ｍ 与 ＭＮ 的夹 Ｐ 最 大值．
Ｍ
图４
床， 碰到 了墙 后被 弹 回， 终 因重力 而 落到 了地 上． 最 我
Ｎ
想去捡 ， 大势不妙 ， 可 被子 总是 能够 从 我 的指尖 滑 落 ，
图３
０ ｂ ０当＆ ，＞ ； 一ｂ时取 等 号 ， 不 等 式 的左 边 有 最 小 对
零 的匀 加速 运动 ， 加速度 为 ａ 试 求 ａ应 该满 足什 么条 ． 件才能使 两 物体相 遇？
曹 学《 蜀中广记 ・ 上川南道 彭山县》
， 析 设 过 间ｔ 物 相 相 时 物 位 Ｑ 经 时 两 体 遇， 遇 两 体 解
的判别 式 Ａ—ｂ 一 ４ ｃ 确定 各 物理 量之 间 的相互 关 。 ａ来 系进行求 解．
例 ４ 如 图 ３所 示 ，速 度
一
ｑ Ｅ
、 ／＂ ｇ 一— ａ一 ， 广 ￡ 一
丽 ・ ｖ ｏ
，以 ＞
处 于平 直 轨 道 上 的 甲 、 乙
时 ， ＋Ｒ 有 最 小 值 ２ ，这 时 Ｐ 为 最 大 值 Ｐｎ ，即 ｒ 豫 ｘ 中学物理 中经常 涉及 一些 求 最值 的 问题 ， 的 同 有 学对此类 问题 感 到十 分 棘 手． 原 因是 ， 其 此类 问题 的 综合性 强 、 活 性 大． 文对 运 用 数 学 知识 求解 最 值 灵 本 问题 的方法归 纳如下 ， 以供 参考．
设 物体 的运动 时 问 为 ￡ ， 直 向上 的速 度 时 竖 为 ２ 水平匀 加速运 动 的速度 为 。则有 ２ １ ，
物理竞赛极值问题解法例谈
物理竞赛极值问题解法例谈极值问题，是物理竞赛中较为常见的一类问题。
解答这类问题，除了用到相关的物理知识，一般都要借助一定的数学知识才能完成。
现将初中物理竞赛中，常见的几类极值问题的解答方法，举例介绍如下。
一．利用“三角形两边之和大于第三边”求解例1．某中学举办了一次别开生面的“物理体育比赛”。
比赛中有个项目：运动员从如图1（a）所示的A点起跑，到MN槽线上抱起一个实心球，然后跑到B点。
比赛时，谁用的时间最少谁胜。
试问运动员比赛时，应沿着什么路线跑最好？图1（a）图1（b）析与解：假设某运动员在槽线上抱起一个实心球所用的时间、运动员跑步的速度是一定的，那么，他跑过的路程如果最短，则他所用的时间最少。
因此，本题实际上是一道路程极值问题。
如图1（b）所示，作B关于槽线MN的对称点B′，图中、、等，都是可能的路线。
显然，、路线，分别与、、等长，而由“三角形两边之和大于第三边”的结论可知，图中的（直线段）最短，即路线最短。
故，运动员比赛时，应沿着路线跑最好。
二．利用“正弦函数sinθ的最大值为1”求解例2．如图2（a）所示，某人站在离平直公路垂直距离为60m的A处，发现公路上有一汽车，从B处以v0＝10m/s的速度沿公路匀速行驶，B与人相距100m。
问此人最少要以多大的速度，沿什么方向奔跑才能与汽车相遇？析与解：设人以速度v，沿与AB成θ角的方向奔跑，如图2（b）所示，并在C处与汽车相遇，所用的时间为t。
则有BC＝v0t，AC＝vt。
作BE⊥AC，由三角形AOC与三角形BEC相似得：又：，故：BE＝AB sinθ，所以：整理得：代入数值计算得：上式中，要使v最小，应使sinθ最大，即sinθ＝1，θ＝90°时，v最小为v min＝6m/s。
故，此人最少要以6m/s的速度，沿与AB成90°的方向向公路奔跑，才能与汽车相遇。
三．利用“”求解例3．如图3所示，一根均匀杠杆，每米长重λ＝30N，现以杆的A端为支点，在杆的B端施一竖直向上的力F，在距杆的A端a＝0.2m处挂一个重G＝300N的重物，要使杠杆在水平位置平衡，求：杠杆为多长时，加在B端的力F有最小值？最小力F是多大?图3析与解：如不考虑杆重，则杠杆越长，力F就越小。
生活中的最值问题
生活中的最值问题在实际生活中，经常会遇到怎样才能使所用材料最省、费用最少、利润最高等问题。
这类问题，有时可以归结为二次函数的最值问题，中考中，利用二次函数解决实际问题也是重点之一。
一、最值问题在物理方面的应用1、弹簧弹性最值问题例题：质量为2m的木板，静止放在光滑的水平面上，木板左端固定着一根劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的自由端到小车右端的距离为L，一质量为m的小木块从板的右端以速度v0开始沿木板向左滑行，最终回到木块右端刚好不从木板滑出.设木板与小车间的动摩擦因数为μ.求：在木块压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能.E求解：弹簧被压缩至最短时，具有最大弹性势能pm设m在M上运动时，摩擦力做的总功转化为内能为2E从初状态到末状态，系统动量守恒，由初状态到有最大弹性势能动量亦守恒均满足mv0=(m+2m)v……①由初始状态到弹簧具有最大弹性势能，对系统依能量守恒定律1/2mv0^2=1/2*3m*v^2+EPm+E……②由初状态到末状态，依能量守恒定律1/2mv0^2=1/2*3mv^2+2E……③由①②③求出 EPm=1/6mv0^22、物理运动学追及问题中的最值问题例题：追及问题中，为什么速度相等时，两物体间距离取得最大或最小值？为什么加速度为0时，速度取得最值？求解：追及过程中两物体间距离不是在增大就是在减小（不含反超情况），当速度相等时距离s0不是最大值就是最小值，从速度相等时计时，两物体间距离：s=s0+v1t-v2t=s0为恒定值，而s0不是最大值就是最小值。
二、在加速度不小于零或不大于零的情况下，速度只增或只减。
当加速度为零时，速度增到最大值或减到最小值，因加速度为零，所以速度不再变化。
3、物理电路最大值问题例题：有两电阻R1上标有200欧母，0.5瓦，R2标有150欧，0.54瓦。
1)若并联，求最大总电流；2)若串联，求最大总电压.求解：已得出并联时I1=0.05A,I2=0.06A 串联U1=10V,U2=9V（1）.串联电路电流相等，为了不使额定电流小的电阻烧坏，串联电路中的最大电流就不能超过额定电流小的电阻的额定电流；（2）.并联电路电压相等，为了不使额定电压小的电阻烧坏，并联电路两端的最大电压就不能超过额定电压小的电阻的额定电压。
巧用数学方法解物理最值问题
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巧用数学方法解物理最值问题
作者：田逢启
来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2009年第05期
数学知识是解答物理题的工具,其思想、方法和知识始终贯穿于整个物理学习和研究的过
程中,中学物理教学大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确的要求。
对诸如
解方程、二次函数求极值、不等式的应用等知识必须熟练掌握。
其中,借用数学方法解物理最
值问题能较好的考查学生应用数学工具解答物理物理问题的能力。
一、极值法
例1 甲、乙两辆小车同时从同一地点,沿同一方向运动,甲以8m/s的速度匀速前进,乙以
2m/s的加速度从静止开始做匀加速直线运动,求甲乙再次相遇前两车间的最大距离。
分析:此题可用多种物理方法解题,如相对运动法、物理分析法、图象法,也可用数学方法中的求极值法,并且用数学方法过程更简单。
甲、乙两物的位移随时间变化的规律分别是。
应用数学方式求物理极值问题
应用数学方式求物理极值问题宁夏中卫市第一中学 闫保臻在物理和数学的关系中，很多时侯都把物理比喻成皇帝，数学比喻成皇后，不能分开。
一个物理学家他第一是一个数学家。
数学是科学的语言，它能简练、准确地表达物理概念和推导证明物理规律，是物理学的重要工具，物理是数学的灵魂。
运用数学方式解决物理问题的能力是新课程改革高中物理教学的目标之一，同时也是新高考能力考查目标之一，数学掌握的好能够帮忙咱们加倍简捷的解决物理问题。
下面，笔者就运用数学方式在物理极值求解中的常常利用方式总结如下。
一、用一元二次方程判别式求解极值一元二次方程，当它的判别式B 2-4AC≥0时，此方程有实数解。
若咱们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。
使其成为一个一元二次方程，巧妙地利用判别式可解决极值问题。
例题1：一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3m 的墙外，从喷口算起，墙高4m ，若空气阻力不计，取2/10s m g =。
求：所需的最小初速度及对应的喷射仰角。
分析：本题的解题思路是按照题目描述的物理情景，写出喷射速度的的数学表达式，再用数学工具进行求解。
解答：设喷射速度为v ，喷射仰角为θ，按照题意得：在水平方向：3=vcos θ·t ①竖直方向：4=vsin θ·t －221gt ② 联立①、②消去时刻t ，能够取得喷射出的水的轨迹方程为4=3tan θ－θ22cos 45v ，该式中含有两个未知量θ和v,现以tan θ为变量，以v 参量，化简该式得：θ2tan － 01454tan 1522=++v v θ ③ 要使③式有解，必需要使其判别式大于等于零，即：b 2-4ac 0≥，在上述方程中，a=一、b=152v -、c=14542+v ，所以b 2－4ac=（152v -）2－4×1×（14542+v ）0≥ ④ 该不等式只含有一个未知量v ，解 ④式能够取得v 的有效解为：90≥v m/s ，所以喷射的最小速度为：90min =v m/s 。
高中物理极值问题求解的数学和物理方法例析(1)
求解高中物理极值问题的数学和物理方法例析高中物理思想方法之一物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。
物理极值问题是物理计算中的基本问题之一。
为了迅速的求出不同情况下的物理量的最大值和最小值，不仅要弄清物理基本概念，掌握基本的物理规律，还要熟悉解决物理极值的各种方法。
中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法具解决物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”．高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题．因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，所以极值的计算在教学中频繁出现。
应该得到足够重视。
求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考， 数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1、利用一元二次方程配方法求极值对于典型的一元二次函数y=ax 2+bx+c,若a>0,函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：则当x=A=-ab2时,y 有极小值，为y min =a b ac 442-；若a<0,者函数解析式经配方可变为y = －( x －A )2+常数。
则当x=A=-ab2时,y 有极大值，为y max =a b ac 442-；例题1、在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中。
设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节（取）。
求：（1）运动员到达B 点的速度与高度h 的关系；（2）运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离为多少？（3）若图中H ＝4m ，L ＝5m ，动摩擦因数，则水平运动距离要达到7m ，h 值应为多少？答案详解（1）由A 到B 过程中，①（2）平抛运动过程②解得当时，x有最大值，（3）=2③可得到④求出解析:过程分析：运动员在AB段做匀加速运动，重力做正功，摩擦力做负功。
高中物理中的极值问题及求解方法
高中物理中的极值问题及求解方法随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，它对培养学生的理解能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合分析能力都有很高要求，所以研究极值问题的规律和探究解决解决极值问题的方法，对于培养学生创造性思维能力和掌握科学研究的方法均有重要的意义。
一、 利用数学方法求极值1．配方法： 2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++当a ＞0时，当2bx a=-时，y 有最小值为：2min 44ac b y a -=当a ＜0时，当2bx a=- 时，y 有最大值为：2max 44ac b y a -=例1.如图所示摩托车做腾跃特技表演，以速度v 0=10m ／s 冲上顶部水平的高台试分析：当台高h 多大时飞出，求跳板高度h 多大时，飞出的水平距离最远？且最大值是多少?(一切摩擦不计，取g=10 m ／s 2)。
解析:设摩托车从高台飞出的水平速度为v ，根据机械能守恒定律有：2201122mv mgh mv =+ ① 摩托车飞出后做平抛运动，飞出的水平距离：2hs vt vg== ② 由①和②有：222002224h v s v gh h h g g=-=-g③ 因为40a =-<，所以s 有最大值的条件为：22002/ 2.522(4)4b v g v h m a g=-=-==⨯- ④且最大距离为; 2max 52v s m g== ⑤ 例2甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 m/s 的速度匀速行驶，乙以2 m/s 2的加速度由静止启动，求：(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？ (2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为x 1，乙车位移为x 2，则x 1＝x 2，即211a 2v t t 11＝，解得12110 s 20 m /s t v at ＝，＝＝，因此212v v ＝.(2)设追上前二者之间的距离为x ∆，则22221 2x x x v t at t t 12122Δ10＝－＝－＝－由数学知识知：当10s 521t s =⨯2＝时，两者相距最远，此时21v v '＝. 例3、.(2017新课标II)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。
物理中求极值的常用方法
[方法四]用均值定理法求解
考虑R＝ ，设a＝2+x；b＝8-x。
当a＝b时，即2+x＝8-x，
即x＝3Ω时，Rmax(3)＝ ＝Ω。
也可以用上面公式(a+b)max＝ ＝25，
Rmax＝ ＝ ＝Ω。
以上用四种方法求出Rmax＝Ω，下边求伏特计的最大读数。
Imin＝ ＝ ＝4(A)。Umax＝ε- Iminr＝ ＝10(V)。即变阻器的滑动头P滑到R3的中点Ω处，伏特计有最大值，最大值为10伏。
1、利用顶点坐标法求极值
对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,
若a>0,则当x=- 时,y有极小值，为ymin= ；
若a<0,则当x=- 时,y有极大值，为ymax= ；
2、利用一元二次函数判别式求极值
对于二次函数y=ax2+bx+c，用判别式法
利用Δ＝b2-4ac≥0。(式中含y)
若y≥A，则ymin＝A。
考虑本题分母：μsinθ+cosθ与a sinθ+b cosθ用比较法，得：a＝μ；b＝1。
于是tgф＝ ，则ф＝arc tg 。所以，μsinθ+cosθ＝ sin(θ+arctg )。
要使F最小，则分母μsinθ+cosθ需最大，因此，θ+arc tg ＝ 。
所以有：θ＝ -arc tg ＝ -arcctgμ=arctgμ。
mgsinθ—μmgcosθ— =0②
②解式得：Vmax＝ 。
综上所述，求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法。针对有些习题所给的条件的“有界性”，运用求极值的方法时要特别注意，求出的极值不能“出界”，要注意定义域和值域的对应关系。
数学方法在求解物理最值问题中的妙用
数学方法在求解物理最值问题中的妙用作者：华兴恒来源：《试题与研究·高考理综物理》2015年第02期在学习物理知识的过程中，我们经常会遇到一些求解物理量的最值问题。
有些同学看到此类问题就发怵，不知从何下手。
为此，下面向大家介绍几种我们很熟悉的数学方法在求解物理最值问题中的妙用，希望对提升同学们的解题能力和技巧有所帮助。
一、利用和为定值巧求最值若两个数的和为定值，则当这两个数相等时，它们的积最大。
图1【例1】如图1所示，有粗细均匀的细金属棒MN、PQ组成水平平行导轨，其长度MN=PQ=1m，间距为0.3m，MN、PQ导轨每米长的电阻为1Ω。
在导轨两端分别接有阻值均为1Ω的电阻R，另有阻值为0.5Ω的直金属导体ab放置在导轨上，且与导轨接触良好，无摩擦。
导体ab从MP端开始以速度v=1m/s向NQ端匀速运动，整个装置在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.1T。
求杆ab运动多长时间时，整个电路中释放的电功率最小？其最小值是多少？图2【解析】画出相应的等效电路图如图2所示。
设ab杆运动t时间电路中功率最小，因为ab杆做匀速运动，所以t时间运动的位移s=vt，则aMPb分支总电阻为：R1=ρ2s+R=2s+1；aNQb分支总电阻为：R2=2（L-s）ρ+R=3-2s。
故总电阻R总=r+R1R2R1+R2=0.5+（2s+1）（3-2s）4=5+4s-4s24。
因R1+R2=（2s+1）+（3-2s）=4Ω是定值，所以当R1=R2时，R1R2R1+R2有最大值，R 总也有最大值，即R1=R2=2Ω时，R总=r+R1R2R1+R2=0.5Ω+2×22+2Ω=1.5Ω，可得s=0.5m，所以t=sv=0.51s=0.5s，此时电功率P的最小值为：Pmin=E2R总=（BLv）2R总=（0.1×0.3×1）21.5=6×10-4W。
二、利用积为定值巧求最值若两个数的积为定值，则当这两个数相等时，它们的和最小。
中考最值问题归类例析
中考最值问题归类例析初中物理中的最值（最小值、最大值）及其相关的问题，需要综合运用所学的物理知识和数学知识分析解答，是中考的常考点，也是失分率较高的中考题。
其类型如下：一、求最值（一）临界情况下的最值有些物理量的最值（最小值或最大值），是由临界情况决定的。
求某一物理量的最值，关键要找出相关的边界。
1.镜子的最小宽度例1.一人正对竖直平面镜站立，人的脸宽为20cm，两眼的距离为10cm，欲使自己无论闭上左眼还是右眼，都能使另一只眼睛从镜中看到自己的整个脸，则镜子的宽度至少为cm。
分析：“至少”表示最小的限度，“镜子的宽度至少为多少”意为镜子的最小宽度。
先画光路图――利用平面镜成像原理（光的反射定律）作出身体的像，如图1所示。
如果用左眼看完整的像，其边界光线为PD和RD，则需用PR之间的平面镜；如果用右眼看完整的像，其边界光线为QC和SC，则需用QS之间的平面镜。
故无论闭上左眼或右眼都能看到完整的像，需用PS之间的平面镜。
镜子的最小宽度即PS的长度，刚好是两只眼睛与身体像的边界相连组成的梯形的中位线。
解：人的脸宽为AB，两眼为C、D。
因PS是梯形CDB'A'的中位线，则PS=12（A'B'+CD）。
因AB=A'B'=20cm，CD=10cm所以镜子的宽度至少为PS=12（20cm+10cm）=15cm。
2.原油自喷的最大高度与油口施加的最小压力例2.某地下油层的压强为2.1×107Pa，从地面向此油层钻一口油井，自油层顶部向上计算，原油自喷时可能达到的最大高度为多少？若油层距地面2000m，油井直径为10cm，要阻止原油喷出地面，至少要向油口施加多大的压力？（原油密度为0.9×103kg/m3）分析：（1）原油自喷时可能达到的最大高度，是在不考虑大气压强及原油自喷时受到的阻力等因素影响的情况下，原油在地下油层压强的作用下自喷的高度，此时最大高度的油柱对油层顶部产生的压强等于油层的压强。
求解物理极值的几种数学方法
求解物理极值的几种数学方法作者：郑金来源：《理科考试研究·高中》2012年第02期一、利用二次函数或判别式求极值一元二次函数y=Ax2+Bx+C的图象为抛物线，顶点坐标为x=-B2A，y=4ac-b24a.若A>0，开口向上，则存在最小值；若A0，则方程有两个实数解，抛物线与x轴有两个交点；若x例1将小球从水平地面上方高度为h处以速率v0抛出，求水平位移的最大值及抛射角.解析小球以初速度v0从原点向各个方向做匀速运动，同时向下做自由落体运动，把小球向下做自由落体运动视为地平面以加速度a=g向上运动，如图2所示，小球经过时间t的轨迹方程为x2+y2=(v0t)2.地平面经过时间t的轨迹方程为y=12gt2-h.两个运动方程的交点即为小球的落地点，此时x的值即为小球的水平射程.联立方程得x2+y2=2v20g(y+h)，即x2=-y2+2v20gy+2v20gh.这是关于变量y的一元二次函数，当y=v20g时，x的最大值为xmax=v0v20+2ghg.例2如图3所示.用细绳悬挂一质量为M的光滑大圆环，在大圆环上套着两个质量均为m 的小球，若两小球同时从最高点A释放，试求：m至少为M的多少倍才能把大圆环抬起来? 此时每个小球绕大环的圆心转过的角度为多少？解析设小球滑到某一位置所对应大环的半径跟竖直方向的夹角为θ时的速度为v，大环半径为R，小球受到大环的压力斜向下，如图3所示.对小球由牛顿第二定律有N=mgcosθ=mv2R①对小球由机械能守恒定律有mgR(1-cosθ)=12mv2②分析大环受力如图4所示.要使其上升，即大环对细绳无拉力，应有2Ncosθ=Mg③联立以上三式得2mg(2-3cosθ)cosθ=Mg④变形为一元二次方程的形式6mcos2θ-4mcosθ+M=0⑤因cosθ是实数，则判别式Δ=b2-4ac≥0，可得m≥32M，即m最小值为m=32M.由④式得cosθ=13，则θ=arccos13.二、利用异形双曲线求极值对于函数y=ax+bx(a>0,b>0)，在区间(-∞,+∞)上的图象是如图5所示的异形双曲线，其渐近线方程为y=ax和y=bx.由均值不等式c+d2≥cd可知，当且仅当ax=bx，即x=±ba时，函数y取极值±2ab.由图象可知函数在第一象限的单调性为：在区间(0,b[]a］上是减函数；在区间［ba,+∞)上是增函数.例3某列车允许的最大加速度为am，最大速度为vm，设在水平直线上的甲乙两站相距为s，试求列车从甲站出发到乙站停止，所用的最短时间是多少？解析设列车加速过程的加速度为a1，匀速运动过程的速度为v，减速运动过程的加速度大小为a2，加速运动过程的时间为t1=va1，位移为s1=v22a1；减速运动过程的时间t2=va2，位移s2=v22a2；则匀速运动过程的时间t3=s-s1-s2v=sv-v2a1-v2a2.所以总时间t3=sv+12(va1+va2).可知，当a1=a2=am时t有最小值，则t3=vam+sv，t-v图象如图6所示.(1)若vm≥sam，则曲线顶点为最小值，tmin=2ab=2sam，此时v=sam;(2)若vm＜sam时，则曲线端点为最小值，此时v=vm,tmin=vmam+svm.三、利用均值不等式求极值两正个数的算术平均数不小于几何平均数，即x+y2≥xy.例4一艘帆船在静水中由于风力的推动顺风而行，帆面的面积为S，风速为v0，船速为v，空气流的密度为ρ，设风垂直吹向帆面，且吹在帆面后的速度与帆面相同，求帆船匀速前进时帆面受到的平均力为多大？船航行的速度为多大时，风力对船做功的功率最大？若空气柱与帆弹性碰撞，如何？解析设在一小段时间Δt内，空气流相对于帆的速度为v0-v，则空气流的质量Δm=ρS(v0-v)Δt.以地面为参考系，则这些空气经Δt时间速度由v0变为v，对空气柱由动量定理有F·Δt=m·Δv=ρS(v0-v)Δt·(v0-v)，得F=ρS(v0-v)2.若以帆船为参考系，则空气柱的速度由(v0-v)变为零.这时空气柱受到帆的作用力，根据牛顿第三定律可知，空气柱对帆的作用力大小为F.因此风的功率为P=Fv=ρS(v0-v)2v.由于(v0-v)+(v0-v)+2v=2v0为恒量，由均值不等式可知，当(v0-v)=2v时，即当v=v03时，风力的功率最大.Pm=427ρSv30.四、利用三角函数求极值可根据三角函数的值域求极值；有时利用公式y=asinθ+bcosθ=a2+b2sin(θ+).例5如图7所示.一倾角为θ的传送带上方P点为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P点与传送带之间建立一光滑轨道，使原料从P点沿管道能以最短时间到达传送带上，则管道与竖直方向的夹角β应等于多少？解设点P到传送带的垂直距离为d，OB与垂线夹角为α，则β=θ-α.粉尘沿光滑轨道做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a=gcosβ.由运动学公式s=12at2可知，管道的长度即粉尘的位移为s=PB=12gcosβ·t2.而s=dcosα，则t2=2dgcos(θ-α)cosα.利用积化和差公式得t2=4dg［cosθ-cos(2α-θ)］.当2α-θ=0时，cos(2α-θ)取最大值1，则时间取最小值，可知α=θ2.因此β=θ-α=θ2.最短时间为t=2hcosθg(cosθ+1).五、利用矢量图解法求极值例6如图8所示.质量为m的带电小球，用细线悬挂于水平方向的匀强电场中，平衡后细线偏离竖直方向一个角度θ，当电场方向改变时，可使细线与竖直方向的夹角增大，问该角度达到最大时，电场强度方向与水平方向夹角为多大？解析利用矢量图解法分析，受力如图9所示.重力大小方向都不变，电场力大小不变，方向改变，画出矢量三角形如图12所示.旋转电场力F矢量，矢量末端轨迹为圆弧，当细线拉力与电场力垂直时，拉力与圆弧相切，此时细线偏转角最大，可知此时电场强度方向与水平方向夹角即细线与竖直方向夹角为βm=arcsinFmg=arcsin(tanθ).六、利用图象法求极值例7如图10所示.两平行金属板上下正对水平放置，并接到电源上，O1、O2分别为两个金属板的中点，现将两极板在极短时间内都分别绕过O1、O2的水平轴逆时针方向转动一个小角度θ，试定量分析两极板上的带电量将如何变化？解析根据电容公式C=εrS4πkd，设极板长度为a，宽度为b，开始正对面积为S=ab；后来两极板不正对了，或者说正对面积变小了，此时两极板的正对面积为S′=ab-bdsinθ，间距为d′=dcosθ，则此时电容为C′=εr(ab-bdsinθ)4πkdcosθ.所以带电量为q=C′U=εrUb(a-dsinθ)4πkdcosθ=εrUb(ad-sinθ)4πkcosθ.由于εrUb4πk是常数，只需研究f(θ)=ad-sinθcosθ，可变形为f(θ)=ad-sinθ0-(-cosθ)，表示定点A(0，ad)与动点B(-cosθ,sinθ)连线的斜率.而动点B(-cosθ,sinθ)的轨迹是单位圆在第二象限内的14圆周，如图11所示.可知直线与单位圆相切时斜率有最小值，此时sinθ=da，则θ=arcsinda.f(θ)有最小值，即随着θ的增大，f(θ)先减小，后增大.也就是说，当0七、利用导数法求极值例8对于例题4，若认为空气柱与帆弹性碰撞，那么风力的最大功率是多少呢？解析空气反弹速度为2(v0-v)，对空气柱由动量定理有F·Δt=m·Δv=ρS(v0-v)Δt·3(v0-v)，即F=3ρS(v0-v)2.这是空气柱受到帆的作用力，根据牛顿第三定律可知，空气柱对帆的作用力大小为F.因此风的功率为P=Fv=3ρS(v0-v)2v=3ρS(v20v-2v0v2+v3).取导数有P′=3ρS(v20-4v0v+3v2)，令P′=0得v20-4v0v+3v2=0，由此得v=16(4v0±2v0)，即v=v03，或v=v0(舍去)，所以，当v=v03时，风力的功率最大Pm=427ρSv30.。
求解物理极值问题数学方法小结
高考物理中求解极值问题数学方法几例摘 要：高考物理中经常需要通过对物理极值问题的探索和求解总结出物理学的基本规律。
本文通过几个物理题目作为例子，介绍求解高考物理中极值问题的数学方法。
关键词：高考物理 极值问题 数学方法正 文：一．引言物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。
物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。
在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。
如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。
二．数学知识求解物理极值问题的几个例子 （一）利用求导的方法求极值通过高等数学知识可知，如果当Δx →0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x 0)的导数。
它正是曲线在该点处切线的斜率tan α。
如果f '(x 0) =0, 则在x 0处函数有极值。
例1：如图1所示，相距2L 的A 、B 两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q 。
在它们的中垂线上的C 点，由静止释放一电量为q ，质量为m 的正检验电荷（不计重力） 。
试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？解：由于对称性，在AB 的中点受力为零，在AB 中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。
当q 运动到中垂线上的D 点时，由图可知θθθsin )cos /(2sin 221L kQqF F ==合 故其加速度为：)sin (sin 2cos sin 23222θθθθ-===mLkQq mL kQq mF a 合 发现加速度是一个关于θ的函数，令θθθ3sin sin )(-=fθθθθθcos sin 3cos )('(2-=f ）f 的导数为则 0cos sin 3cos ,0)('2=-=θθθθ即令f33sin =θ：解得，（不合题意有极值,900=θ） 即3923333)(33arcsin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=有极大值为时θθ，f 所以当33arcsin=θ时，加速度有最大值为：3942mLKQq（二）用图像法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。
物理极值的数学方法
物理极值问题的数学方法重庆市万州第二高级中学张廷志物理学是一门精确科学，与数学有密切的关系，数学为物理学的发展提供了强有力的工具，也为应用物理规律解决具体问题开通了道路。
用数学知识解决物理极值问题，不仅易为中学生所接受，而且能培养学生应用数学知识解决物理问题的能力。
为此，本文介绍求解物理量极值的几种数学方法，供大家教学参考。
一、二次函数的性质求解物理量极值1、数学依据将二次函数y=ax2+bx+c 配方可得：y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2) /4a，当x=-b/2a时，y=(4ac2-b2)/4a有极值。
2、应用举例甲、乙两物体同时、同地出发，向同一方向运动，它们位移随时间t的变化规律分别为S甲=20t，S乙=4t+t2，试问在什么时刻，甲在前时，两物体相距最远？解析：甲在前两物体相距的距离为:△S=S甲-S=20t-(4t+t2)=-t2+16t据二次函数的性质有：当t=-b/2a 时, △Smax=(4ac2-b2)/4a即当t=8s时，△Smax=64米。
二、用一元二次方程判别式求解物理量极值1、数学依据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若在实数范围内有解，则其判别式△＝b2－4ac≥0；一元二次不等式ax2+bx+c≥0(a＞0)，若x取任何实数时均成立，则其判别式△＝b2－4ac≤0。
2、应用举例一列车以速度v1向前行驶，司机突然发现在同一轨道上前方距车头S处有另一辆列车正在沿着相同方向以较小的速度v2做匀速运动，于是他立即使列车以加速度a做匀减速运动，要使两列车不相撞，a 必须满足什么条件？解析：设经任意时间t后，后车与前车都不相撞，则后车与前车的距离△S≥0。
△S=S+v2t－(v1t－at2/2)= at2/2－(v1－v2)t+S≥0。
这个关于t的一元二次不等式的二次项系数a/2>0，且t取任何值不等式都要成立，∴△＝[－(v1－v2)]2－4×aS/2≤0得：a≥(v1－v2)2/2S三、用不等式性质求解物理量极值1、数学依据若时取等号。
高考物理用数学知识求解物理极值问题
避躲市安闲阳光实验学校用数学知识求解物理极值问题摘要：物理极值问题，就是求某物理量在某物理过程中的极大值或极小值。
物理极值问题是中学物理教学的一个重要内容，在高中物理的力学、热学、电学等部分均出现，涉及的知识面广，综合性强，加之学生数理结合能力差，物理极值问题已成为高中学生学习物理的难点。
随着高考的深入及素质教育的全面推进，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，如果能与数学知识灵活结合，将会拓展解决物理极值问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。
本文拟就本人在教学过程中遇到的一些极值问题作以探讨。
物理极值问题数理结合求解一、用二次函数求极值在解物理问题时，若列出的物理方程满足二次函形式，则可由求二次函数极值的方法求解物理极值。
主要有以下几种类型：（二）用二次函数极值公式求极值。
对于典型的一元二次函数y = ax2 + bx + c,(a ≠0)若a > 0, 则当时 ,y 有极小值，为 y min =；若 a < 0, 则当时 ,y 有极大值，为 y max =。
例 1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 3m/s 2 的加速度开始行驶。
恰在这时一辆自行车以 6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。
汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？分析：根据题意，自行车做匀速运动，汽车做匀加速运动。
汽车与自行车的位移之差是一个关于时间的二次函数，所以可以用二次函数极值公式求极值。
解：经过时间 t后，自行车做匀速运动，其位移为S1=V t，汽车做匀加速运动，其位移为：两车相距为：这是一个关于 t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。
当 =2（s)时ΔS有最大值。
（二）利用一元二次方程判别式求极值对于二次函数y = ax2 + bx + c，(a ≠0)可变形为一元二次方程ax2 + bx + c - y=0用判别式法即：则由不等式可知 y的极值为：对于例题 1，我们可以转化为二次方程求解。
例说用数学方法求解物理“最值”问题
正确。
｝Ｉ器 ＝２≤… …② ＵＲ 面０ ３ … … Ｉ￣ ＝＝ １
（ 案 ３ Ｑ≤Ｒ ≤９Ｑ ） 答 ０ ： ０
通 过 以上 解 法 的 比较 ． 数 学 知 识解 决 物 理 问题 既 简 利用 单 又 明 了 。 分体 现 了教 学 要 以 学生 为 中 心 。 学 生 实 际 水 充 从
Ｄ错 。
序 。 发 学生 的求 知欲 和 参与 感 ， 激 取得 了事 半功 倍 的 效果 。
【 任 编辑 ： 责 陈 勇）
差专 ｇ ２１ 年第９ ， ００ － 期
一
５７ 一
定律易得从小孑射 出的水流初速度为 、 ２ 。 Ｌ ＝ ／
Ｒ ＥＲ ＝ ２
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从 孔 出 水 空 运 时 为： ２ｇ ｈ ， 小 喷 的 在 中 动 间 ｆＹ （ ） ￣ Ｈ ． ／ －
提 示 ：根 据 题 意 列
流 表 示 数 变 大 ， 因 为 串 联 电路 电压 与 电 阻 成 正 比 ， 压 表 出不 等式 组 为 又 电 测 滑 动 变 阻 器 两 端 的 电压 ， Ｒ ｊ 小 ， 以 电 压 表 的示 数 而 减 Ｉ ｜ 所
减 小 ． 以选 项 Ｂ错 。 所
２用 基本 不 等 式 求 解 。 ．
点处 ， 从这 里向下游 １０ ／ ０ 、 ３处有危险区域 ， 当时水 流速度
为 ４ ／， ｍ ｓ 为使 小 船 避 开 危 险 区 域 沿 直 线 到 达 对 岸 ， 船 在 小 静 水 中的 速 度 至少 应 该 是 （ ）
Ｂ
Ａ Ｂ ． 竽 ． 竽
三角函数求物理最值问题
三角函数求物理最值问题三角函数在物理学中有着重要的应用，它们可以用来描述波动、振动、周期性运动等现象。
在求解物理问题时，我们常常需要利用三角函数来求解最值，比如求解振动的最大位移、波峰和波谷、最大速度和加速度等。
本文将围绕三角函数求物理最值问题展开讨论，并举例说明其应用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们都是周期函数，具有一定的周期性。
在物理学中，最常见的应用是描述振动和波动。
我们知道，振动和波动都具有周期性，因此可以用三角函数来描述它们的变化规律。
比如，描述物体的简谐振动可以用正弦函数来表示，描述机械波的传播可以用正弦或余弦函数来表示。
在求解最值问题时，我们常常需要利用三角函数的性质和图像来求解。
以简谐振动为例，当一个物体进行简谐振动时，它的位移随时间的变化可以用正弦函数来描述：\[y = A\sin(\omega t + \phi)\]其中，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位差。
在求解简谐振动的最大位移时，我们需要考虑正弦函数的最大值和最小值。
根据正弦函数的性质，它的最大值为1，最小值为-1，因此简谐振动的最大位移为A，最小位移为-A。
这个结论对于描述振动的最大振幅和最小振幅具有重要的意义。
另外，三角函数还可以用来描述波动的最值。
比如，当一根绳子上传播的波动可以用正弦函数来描述时，我们可以利用正弦函数的图像和性质来求解波峰和波谷的位置。
在正弦函数的图像中，波峰和波谷分别对应函数的最大值和最小值，因此可以直接通过函数的图像来求解波峰和波谷的位置。
这对于分析波动的特性和传播规律有着重要的意义。
除了描述振动和波动外，三角函数还可以用来描述周期性运动的最值。
比如，当一个物体做匀速圆周运动时，它的位移和速度可以用三角函数来描述。
在求解匀速圆周运动的最大位移和最大速度时，我们可以利用三角函数的周期性和性质来求解。
根据正弦函数和余弦函数的周期性，我们可以得到匀速圆周运动的最大位移和最大速度分别对应振幅和角频率的乘积，这对于分析圆周运动的特性和规律具有重要的意义。
八年级物理最值问题
八年级物理最值问题引言物理中的最值问题是我们在研究中经常会遇到的一种问题。
最值问题是指在给定条件下，寻找某个特定量在所有可能取值中的最大值或最小值。
本文将讨论一些八年级物理最值问题的例子。
问题一：速度最大值问题描述：一辆汽车以匀加速度运动，其加速度值为 1.5 m/s²。
汽车在0秒时的速度为0 m/s，求汽车在4秒时的速度的最大值。
解决方法：根据匀加速度运动的公式 $v = u + at$，其中 $v$ 是速度，$u$ 是初速度，$a$ 是加速度，$t$ 是时间。
我们可以把问题转化为求 $v$ 的最大值的问题。
因此，我们需要求出速度随时间的变化情况。
从上表中可以看出，随着时间的增加，速度也在增加，但增速逐渐减小。
根据观察可以得出，速度的变化遵循一个抛物线形状。
所以，汽车在4秒时的速度的最大值是6 m/s。
问题二：力最小值问题描述：一个物体在水平桌面上受到水平力和重力的作用，水平力的大小恒定为10 N。
物体在何时受到的重力最小？解决方法：在水平桌面上，物体受到的重力始终垂直向下，大小为 $mg$，其中 $m$ 是物体的质量，$g$ 是重力加速度。
我们可以看出，重力的大小与物体的质量有关。
根据观察我们可以得出，物体的质量越大，受到的重力越大。
所以，当物体的质量最小时，受到的重力最小。
即在此条件下，物体受到的重力最小。
问题三：功率最大值问题描述：一辆汽车以匀速行驶，所受到的合外力的大小与速度的平方成正比。
求汽车行驶时的功率的最大值发生在何时。
解决方法：先来看一下功率的公式 $P = Fv$，其中 $P$ 是功率，$F$ 是合外力的大小，$v$ 是速度。
根据问题描述，我们可以假设$F$ 与 $v^2$ 成正比，即 $F = kv^2$，其中 $k$ 是一个常数。
将这个关系代入到功率的公式中，$P = kv^3$。
我们可以看出，功率与速度的立方成正比。
所以，汽车行驶时的功率的最大值发生在速度最大时。
例析数学方法求物理中的最值
图4
用双肘紧压在床沿两侧, 努力让自己下床 . 终于我因床沿凹凸不平而顺利地静止在床下了, 但当我准备去卫生间洗漱时, 却发现自己 动弹不得. 好不容易借助墙的推动力 , 使自己开始做匀速直线滑 动 , 并且通过不时撞击房间内的物品而改变自己的运 动方向 , 但房间内的物体也因为没有摩擦力开始做匀 速直线运动 . 房间里所有物品都开始运动起来 , 并不 是相撞 , 于是房间里变得一片混乱 + + 我成功逃离了卧室 , 并滑到了卫生间中 . 因为没 有摩擦 , 我不能够握住杯子, 只能托着, 并用吸管吸水 开始洗漱, 并托着浸湿的毛巾在脸上滑动 , 却没丝毫 水滴留在脸上. 很不舒服地洗漱完后 , 我便托着早饭 、 提着书包 去上学 . 路上没车 , 因为车都无法启动, 就算被某运动 物体撞到后开始运动也和碰碰车没什么区别 , 还是人 滑行安全点 . 四环上不见往日群车争抢挤 拉的局面, 许多人以不同的初速度在做匀速直线运动, 且不时会 有撞上路旁铁栏杆被反弹回来的, 撞上他人的 , 每个 人只有不断被撞才能找到正确方向. 于是乎 , 我就这 样鼻青脸肿地撞进了学校 . 教室在一楼 , 我进了教室, 教室 里糟糕的状况也 没有什么改变 . 笔在纸上写不出字 , 老师在黑板上亦 3 时 3 是无法书写 , 且随时有被撞的危险 ; 哪个同学如果不 小心碰掉了哪本书, 这本书就很可能一直运动下去而 致使周围的东西开始缓缓移动起来, 于是 互相碰撞. 越来越 多的东西开始 运动起来 , 教室里又是 一片混 乱 ++ 这样的混乱是没有结束的尽头的. 我于是在这个 没有摩擦的世界中开始怀念起堵车来 + + 45
2
r2 + R 有最小 值 2r , 这时 P 为最大值 P m ax , 即 R E2 P max = . 4r = a 2 + b 2 sin( ) = & 1 时, ) 求解 此方法主要根据三角函数 sin ( + asin + b cos 有最值 , 且 t an = b . a
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面 做 匀 速 直 线 运 －７—— ７７
解析 ： 欲使小船以最小的静水速度避开危
险区， 小船应沿直线 Ａ Ｂ到达对岸 ， 图 １ 如 。以 有 向线段 Ｃ表示 Ｂ
水速 ， 根据几 何 学 中点 到 直 线 之 间垂 线 最 短 的 原
理 ，过 Ｃ点做 Ａ Ｂ 的垂 线 Ｃ Ｄ。有 向
Ｂ ． 竽
Ｄ．４ ｓ ｍ／
——— 一 ： 出 了最 值 ， 求 是一种 很有效 的求解 最值 问题 动 ，所用的最小拉 ． ：的方 法 。 力 Ｆ为多大？ 图３ ： 五、 用一元二次方程根的判别式求解 解析 ： 设拉力 Ｆ 与水平方向的夹角为 ， ： 根 例 ５ 一半径为 尺的光 滑绝缘半球 面开 口 ． 据题意可列平衡方程式 ： 向下 ， 固定在水平面上 。整个空 间存在匀强磁 ＦｏＯ ＝ ① ｃｓ ｆＯ － Ｎ Ｆｉ ＝ ② ＝ ｓ ＃Ｇ ｎ ｆｚ ③ －Ｎ － 由联立①②③解得 ・ ， 磁感应强度方 向竖直 向下。一电荷置为 ｑ 场 ，（ ＞ ）质量为 ｍ的小球 Ｐ在球 面上做水平 的 ： ｇｏ 、 ： 匀速 圆周运动 ， 圆心为 ０。 球心 ０到该圆周上 ： 任一点 的连线与竖 直方向 的夹 角为 （ ＜ Ｄ ）为了使小球能够在该圆周上运动 ， 。 求磁感
圈４
从 小孔 喷 出 的水在 空 中运动 时 间为 ｌ ＝
．
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ｇ一 一 ’
解析 ：１ 由闭合 电路欧姆定律 （）
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所 以水 的 水 平 射 程 为 －ｔ Ｖ—— × ＇ ＝ ２ｈ ｖ ｇ
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① ②
带电小球做匀速 圆周运 动的速率为
例１ ． 一条小船位于 ２０ ０ ｍ宽 的小河正 中Ａ 为ｐ 物 ， 体重为 Ｇ 。 ， 欲使物体沿水平地 ，
。
１
． ： ，
点评 ：本题解 答 中应用 配方法巧妙 地把
亡 ＝（ 』 ２
： 置 和的平 方 转 化为 两个 量 差 的平方 而 两个
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运动 。该圆周 的圆心为 ０ ， 受到向下的重力 Ｐ ： ｒ ．球面对它沿 Ｏ ａ ｇ Ｐ方向的支持力Ⅳ和磁场的 ：
Ｖｉ￣ — （＋） Ｔ ｓ Ｏ ’ ｉ ／ ｎ
． ．
。Leabharlann Ｖ ⑥ 为 ＝
。
可见 ，为了使小球能够在该 圆周上运动 ， 磁感应强度大小 的最小值为
一
ＥＲ ２
④
由④式知，＝＝ Ｒ ｒｌ ＝Ｑ时 Ｐ 有最大值
蹄 ＝ Ｗ ９
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用几何方法求解
之间的动摩擦因数
． Ⅳ
：
点处 ，从这里 向下游 １０ ／ ｍ处 有危险 区 ０ 、丁 域， 当时水流速度为 ４ ／ 为使小船避开危险 ｍｓ ， 区域沿直线到达对岸 。 小船在静 水中的速度至 少应该是 （ ）
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（ｉ融 伽 ｓ ｎ
： 洛仑兹力 小船 的最小速度 Ｖ－ ｓ Ｓ２ ／ 故选项 Ｃ ｓ ｎ＝ｍｓ ＂ － ｉ ￣ ， 向 ｔ ① ， 曰 正确。 ‘ ； 式 小 运 中 为 球 点评：这种方法灵活运用了几何知识 把 点评： 这种方法构造了一个辅助角 。 ： 利 动的速率 洛仑兹力， 较为复杂 的物理 问题转化 为简单的几何问题 用两角和的正 弦公式顺利解决了极值 问题 ， ： 方 的方向指 向 ０ｏ ＇ 根据牛 而应用几何方法求解 ， 有效降低 了问题难度。 法独特易懂。 ：顿第二定律 二、 用基本不等式求解 ． Ⅳ ０ ，＝ ② ｃ８ ０ ， 四、 用配方法求解 ： 例 ２ 在一个盛水容器的侧壁上开一个 小 ． 例４ ． Ｒ为电阻箱 ， 为理想 电压表 。当电 ： 批ｉ Ｉ ｌ ｍ ③ 孔．试问 阻箱读数为 Ｒ＝１时 ，电压表读数为 Ｕ－Ｖ 。 ３ ２ ： ；： ４ 孔应开在 由①②③式得 当电阻箱读数为 Ｒ＝ｆ时， ￣５ ｌ 电压表读数为 Ｕ＝： ２ 水 面 多 ５ 。求 ： Ｖ ： ｑ ｓ 衅 ＝ ④ Ｂｉ Ｒｎ Ｏ ｏ 处 。才能 （） １ 电源的电动势 和内阻 ｒ ； ： 得从小孔 这是一个关于 的一元二次方程，由于 ｌ ， （） ２当电阻箱 Ｒ读数为多少时 ， 电源 的输 ・ 喷出的水 是实数 ， 必须满足 出功率最大？最大值 Ｐ 为多少？ ｍ ： 程 最远 ？ 图２ （ Ｂ ｓ Ｏ ） ．Ｒ ｓ ￣ ＝ ⑤ ＿ｑ Ｒ ｉ ＝． Ｋｉ ０ ０ ｎ ＿４ ｎ 解析： 从小孔 中喷 出的水做平抛运动 ， 设容器中 由此得 水面离桌面高日， 小孔离水面为 ｜如图 ２ 由机 Ｉ ｌ ， 。 械能守 恒定 律易得从小孔射 出的水流初速度
圈ｌ
Ｆ． ｍ ＝ Ｇ 令 ｔ ａ ｌ
④
， 应用三角函数辅助角公式④式可 ： 应强度大小的最小值及小球 Ｐ 相应的速率。 重
力加速度 为 ・ 解析 ： 小球 Ｐ在球面上做水平的匀速 圆周
一 一 ：
以变形为
：
线段’ Ｃ Ｄ就表示船的最小静水速度 。 ：
’
：
《 新课程 》
２１年６ ８ ００ 月２ 日
例 说 用 数 学方 法 求 解物 理 值 ，ｎ题 “ 最 ＂］ ｆ －
◎甘肃省临泽县第一 中学 孙光荣
最值问题是常见的物理题型 ， 求解这类问 广 泛应用 ， 如果能熟练掌握 这种 方法 ， 能在很 ： 题。 需要弄清楚物理 量之 间的关系 ， 活运 大程度上提高求解物理最值闯题的能力 并灵 ・ 用物理解题方法和数学工具， 最值问题能很好 三、 用三角 函数辅助角公式求解 ： 地考查学生物理学科的综合素质。 例３ ． 物体放置在水平地面上 ， 物体与地面 ：