(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第十三章 坐标系与参数方程 理(全国通用)

【大高考】（三年模拟一年创新）2016届高考数学复习 第十三章 坐
标系与参数方程 理（全国通用）
A 组 专项基础测试 三年模拟精选
一、选择题
1．(2015·四川成都模拟)在极坐标系中，过点⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )
A ．ρ＝2
B ．θ＝π
2
C ．ρcos θ＝2
D ．ρsin θ＝2
解析 先将极坐标化成直角坐标表示，⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2化为(0，2)，过(0，2)且平行于x 轴的直
线为y ＝2，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D. 答案 D 二、填空题
2．(2015·湖南十三校模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝ t ，
y ＝2t
(t 为参
数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0.则l 与C 的交点直角坐标为________．
解析 曲线C 的普通方程为y ＝2x 2
(x ≥0)，直线l 的直角坐标方程是y ＝x ＋1，二者联立，求出交点坐标． 答案 (1，2)
3．(2014·黄冈中学、孝感模拟)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a 的值为________． 解析 将极坐标方程化为普通方程，得
C 1：2x ＋y －1＝0， C 2：x 2＋y 2＝a 2.
在C 1中，令y ＝0，得x ＝
22，再将⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22，0代入C 2， 得a ＝22. 答案
22
4．(2014·揭阳一模)已知曲线C 1：ρ＝22和曲线C 2：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，则C 1上到C 2的距离等于2的点的个数为________．
解析 将方程ρ＝22与ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝(22)2
与x
－y －2＝0，知C 1为以坐标原点为圆心，半径为22的圆，C 2为直线，因圆心到直线x －y －2＝0的距离为2，故满足条件的点的个数为3. 答案 3
5．(2014·临川二中模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，
y ＝1＋sin α(α为参
数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C 1与C 2的交点个数为________．
解析 ∵曲线C 1参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，
∴x 2
＋(y －1)2
＝1，是以(0，1)为圆心，1为半径的圆． ∵曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0， ∴x －y ＋1＝0.
在坐标系中画出圆和直线的图形，观察可知有2个交点． 答案 2
6．(2014·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝
⎛⎭⎪⎫4，π6到圆
心C 的距离是________．
解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－4y ＝0，圆心坐标为
(0，2)．又易知点A ⎝
⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标系为(23，2)，故点A 到圆心的距离为
（0－23）2
＋（2－2）2
＝2 3. 答案 2 3
一年创新演练
7．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．
解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2，23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|
12＋（3）
2
＝2.
答案 2
8．在平面直角坐标系下，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a ，
y ＝－t (t 为参数)，
曲线C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，
y ＝1＋2cos θ(θ为参数)，若曲线
C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围是
________．
解析 曲线C 1的直角坐标方程为x ＋2y －2a ＝0，
曲线C 2的直角坐标方程为x 2
＋(y －1)2
＝4，圆心为(0，1)，半径为2， 若曲线C 1，C 2有公共点，
则有圆心到直线的距离|2－2a |
1＋22
≤2， 即|a －1|≤5， ∴1－5≤a ≤1＋5，
即实数a 的取值范围是[1－5，1＋5]． 答案 [1－5，1＋5]
B 组 专项提升测试 三年模拟精选
一、填空题
9．(2015·湖北孝感模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，
y ＝2sin t
(t 为参数)，曲线C 在
点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．
解析 ⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ，
两边平方相加得x 2＋y 2
＝2，
∴曲线C 是以(0，0)为圆心，半径等于2的圆．
C 在点(1，1)处的切线l 的方程为x ＋y ＝2，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
代入x ＋y ＝2，并整理得ρcos θ＋ρsin θ＝2. 答案 ρcos θ＋ρsin θ＝2
10．(2014·陕西西安八校联考)已知点P (x ，y )在曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，
y ＝sin θ(θ
为参数，θ
∈R )上，则y
x
的取值范围是________．
解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x ＋2)2
＋y 2
＝1， 圆心为(－2，0)，半径为1.
设y x
＝k ，则直线y ＝kx ，
即kx －y ＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|－2k |
k 2＋1
＝1，
即|2k |＝k 2
＋1，平方得
4k 2＝k 2＋1，k 2
＝13，解得k ＝±33，
由图形知k 的取值范围是－33≤k ≤33
， 即y
x
的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－33，33. 答案 ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－33，33 二、解答题
11．(2014·厦门二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数)．
(1)将C 1的方程化为普通方程；
(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C 2的极坐标方程是θ＝π
3，
求曲线C 1与C 2的交点的极坐标． 解 (1)C 1的普通方程为(x －2)2
＋y 2
＝4. (2)设C 1的圆心为A ，∵原点O 在圆上， 设C 1与C 2相交于O ，B ，取线段OB 的中点C ， ∵直线OB 倾斜角为π
3，OA ＝2，
∴OC ＝1，从而OB ＝2，
∴O ，B 的极坐标分别为O (0，0)，B ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3.
12．(2014·郑州质检)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．
(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π
4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |的值．
解 (1)C 1：(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝1，C 2：x 216＋y 2
9
＝1.
曲线C 1为圆心是(－2，1)、半径是1的圆．
曲线C 2为中心是坐标原点、焦点在x 轴上、长轴长是8、短轴长是6的椭圆．
(2)曲线C 2
的左顶点为(－4，0)，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋2
2
s ，y ＝22s
(s 为参数)，
将其代入曲线C 1整理可得：s 2
－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.
所以|AB |＝|s 1－s 2|2
＝（s 1＋s 2）2
－4s 1s 2＝ 2.
一年创新演练
13．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2
θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2
2
t ，y ＝－4＋2
2t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． (1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；
(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 解 (1)y 2＝2ax ，y ＝x －2.
(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2
2
t ，y ＝－4＋2
2
t (t 为参数)，
代入y 2
＝2ax ，得到t 2
－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0，则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )，
∵|MN |2＝|PM |·|PN |，
∴(t 1－t 2)2
＝(t 1＋t 2)2
－4t 1·t 2＝t 1·t 2， 即a 2
＋3a －4＝0.解得a ＝1或a ＝－4(舍去)．。