6a一元线性回归分析
一元线性回归
12．9 一元线性回归以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。
通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。
一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。
如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。
一元线性回归问题主要分以下三个方面：（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。
（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。
（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。
12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。
通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。
例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100解 将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。
从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。
于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。
设这条直线的方程为yˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。
图12.11下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。
2．最小二乘法与回归方程在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。
我们所要求的直线应该是使所有︱y i －yˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。
由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q=21)ˆ(i ni iyy-∑=最小。
一元线性回归模型案例分析
一元线性回归模型案例分析一、研究的目的要求居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用。
居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。
改革开放以来随着中国经济的快速发展，人民生活水平不断提高，居民的消费水平也不断增长。
但是在看到这个整体趋势的同时，还应看到全国各地区经济发展速度不同，居民消费水平也有明显差异。
例如，2002年全国城市居民家庭平均每人每年消费支出为6029.88元, 最低的黑龙江省仅为人均4462.08元，最高的上海市达人均10464元，上海是黑龙江的2.35倍。
为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。
影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，居民的收入水平、就业状况、零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。
为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。
二、模型设定我们研究的对象是各地区居民消费的差异。
居民消费可分为城市居民消费和农村居民消费，由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。
而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城市居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。
所以模型的被解释变量Y 选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”。
因为研究的目的是各地区城市居民消费的差异，并不是城市居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城市居民的消费支出来建立模型。
因此建立的是2002年截面数据模型。
影响各地区城市居民人均消费支出有明显差异的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入，其他因素虽然对居民消费也有影响，但有的不易取得数据，如“居民财产”和“购物环境”；有的与居民收入可能高度相关，如“就业状况”、“居民财产”；还有的因素在运用截面数据时在地区间的差异并不大，如“零售物价指数”、“利率”。
一元线性回归分析
总体回归函数
·y i4
y01x
样本回归
·y i 3
yˆ0ˆ1x 函数
yi0
· y i0 0 1 x i E y x x i
·y ·y
i i
2 1
0
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xi 朱晋
x
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• 回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态
（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。
第2章 一元线性回归分析
• §2.1 ：回归分析及回归模型 • §2.2 ：一元线性模型的参数估计 • §2.3 ：参数估计值的性质及统计推断 • §2.4 ：一元线性模型的统计检验 • §2.5 ：一元线性模型的预测
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朱晋
1
§2.1 ：回归分析及回归模型
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 和总体回归模型的基本假设 四、样本回归函数
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朱晋
24
该样本的散点图（scatter diagram)：
1700 1500 1300 Y 1100
900 700 500
0
500
1000
1500 X
2000
2500
3000
样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽可能好地拟
合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回 归线。该线称为样本回归线（sample regression lines），其函 数形式记为：
• 函数形式可以是线性或非线性的。
例2.1中：E(Y|Xi)01Xi 为 一线 性 函数 。 其中，1与 2 为未知然而固定的参数，称为回归系数 （regressioncoefficients） 。
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用于探究两个变量之间线性关系的统计方法。
它的作用是根据给定的自变量和因变量数据，建立一个线性回归模型，以预测未来的因变量值或者对自变量进行解释。
以下是一元线性回归分析的方法步骤：1. 收集数据：收集自变量（x）和因变量（y）的数据。
确保数据具有代表性，容量足够大，并且是可靠的。
2. 绘制散点图：根据所收集的数据，绘制自变量（x）和因变量（y）的散点图，以查看它们之间的大致关系。
3. 计算相关系数：计算自变量（x）和因变量（y）的相关系数，以评估它们之间的线性相关性。
通常使用皮尔逊相关系数来进行衡量。
4. 建立模型：使用最小二乘法来建立一元线性回归模型。
该模型的方程可表示为y = β₀+ β₁x，其中β₀是截距，β₁是斜率。
最小二乘法通过最小化残差平方和来确定最佳拟合的直线。
5. 评估模型：评估回归模型的拟合程度。
可以使用多种统计指标，如可决系数（R²）和均方根误差（RMSE），来评估模型的精度和稳定性。
6. 预测和推断：使用建立的回归模型进行预测和推断。
可以利用模型来预测因变量的值，或者对自变量进行解释和推断。
7. 检验假设：对回归系数进行假设检验，以判断自变量对因变量是否具有统计上显著的影响。
常见的方法是计算回归系数的t值和p值，并根据显著性水平来确定是否拒绝或接受假设。
8. 验证和诊断：验证回归模型的有效性和适用性。
可以使用残差分析、正态概率图和残差图等方法来检查模型的假设前提和模型的良好性。
以上是一元线性回归分析的一般方法步骤。
实际分析中，可能会根据具体问题进行调整和扩展。
一元线性回归分析法
一元线性回归分析法一元线性回归分析法是根据过去若干时期的产量和成本资料，利用最小二乘法“偏差平方和最小”的原理确定回归直线方程，从而推算出a(截距)和b(斜率)，再通过y ＝a+bx 这个数学模型来预测计划产量下的产品总成本及单位成本的方法。
方程y ＝a+bx 中，参数a 与b 的计算如下：y b x a y bx n-==-∑∑ 222n xy x yxy x y b n x (x)x x x --==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 上式中，x 与y 分别是i x 与i y 的算术平均值，即x =n x ∑ y =ny ∑ 为了保证预测模型的可靠性，必须对所建立的模型进行统计检验，以检查自变量与因变量之间线性关系的强弱程度。
检验是通过计算方程的相关系数r 进行的。
计算公式为：xy-x y当r 的绝对值越接近于1时，表明自变量与因变量之间的线性关系越强，所建立的预测模型越可靠；当r ＝l 时，说明自变量与因变量成正相关，二者之间存在正比例关系；当r ＝—1时，说明白变量与因变量成负相关，二者之间存在反比例关系。
反之，如果r 的绝对值越接近于0，情况刚好相反。
[例]以表1中的数据为例来具体说明一元线性回归分析法的运用。
表1：根据表1计算出有关数据，如表2所示：表2：将表2中的有关数据代入公式计算可得：1256750x ==（件） 22561350y ==（元） 17509500613507501705006b 2=-⨯⨯-⨯=（元/件） 100675011350a =⨯-=（元/件） 所建立的预测模型为：y ＝100+X相关系数为：9.01163810500])1350(3059006[])750(955006[1350750-1705006r 22==-⨯⨯-⨯⨯⨯= 计算表明，相关系数r 接近于l ，说明产量与成本有较显著的线性关系，所建立的回归预测方程较为可靠。
如果计划期预计产量为200件，则预计产品总成本为：y ＝100+1×200＝300(元)。
一元线性回归分析
2 )
nSxx
Sxx
x2
(4)cov(a,b)
Sxx
例1 K.Pearson收集了大量父亲身高与儿子 身高的资料。其中十对如下：
父亲身 60 62 6 65 66 67 68 70 72 74
高x（
4
吋）
儿子身 63. 65. 6 65. 66. 67. 67. 68. 70. 70 高y 6 2 6 5 9 1 4 3 1
也可写成 yˆ yb(xˆ x)
显然，回归直线通过散点图的几何中心
参数a, b估计的性质
(1)a,b分别是a,b的线性估计量，即a,b都是yi(i 1,2,..,n)的线性组合
(2)：aˆ,b分ˆ 别是a,b的无偏估计，从而E(Y) abx。ˆ
n
(3)a ~ N(a,
x
2 i
i1 2),b ~ N(b,
Q(a,b) minQ(a,b)
满足上式的 a, b 称为回归参数 a,b 的最小
二乘估计。
Q a,b n yia bx
2 i
i1
求估计aˆ,b，ˆ
使Q aˆ,bˆ mina,bQa,b。
Q
a
n
2 (yi
i1
a bx
i) 0,
n
abx )
n
n
y a ˆ ˆbx
x1 x2 x3
正态假设：i ~N 0，2 ,相互独i 立， 1,2,...,n.
截距
斜率，反映了当x改 变1个单位，那末y 改变b个单位
一元线性回归要解决的问题：
(1) a,b的估计； (2) 2的估计；
(3)线性假设的显著性检验； (4)回归系数b的置信区间；
(5)回归函数(x) abx的点估计和置信区间；
一元线性回归分析的具体应用
实例演示
同期利润费用对应表
时期 1 2 3 4 5 6 7 利润额（万元） 430 335 520 490 470 210 195 业务费用（万元） 30 21 35 42 37 20 8
100 利润额 400 600 500
利润费用散点图
300 系列1 200 线性 (系列1)
8
9 10
270
400 480
模型检验
• （一）标准误差：回归直线即估计值与因变量值 间的平均平方误差。 数学表达式：
SE
2 ˆ ( y y )
n2
实例中的标准误ห้องสมุดไป่ตู้为：
SE ˆ) ( y y n2
2
33897 65(万元） 10 2
模型检验
• （二）可决系数：可决系数是衡量因变量与自变量关系密切程度的指 标，表示自变量解释因变量变动的百分比，它取值于0与1之间，并取 决于回归模型所解释的y方差的百分比，即
一元线性回归分析的具体应用
计划财务部 朱明铭
一元线性回归分析的概念
一元线性回归分析是一种预测未来数据的方法。
针对的是两个变量之间的关联性而推导出的特定经验公式。 简单来说一元线性回归模型就是一个一元一次方程。 根据方程中的自变量的变化来预测因变量发展变化情况。
建模方法
• 一元线性回归模型可具体表述为：
17
35 25
0 0 10 20 30 40 50 业务费用
实例演示
• 根据上表，可求得：
9855 b 1 9.74 1012
b0 y b1 x 380 9.74 27 117
• 那么关于营业利润与业务费用间的回归模型期望 等式即为：
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
第三章一元线性回归分析
第三章 一元线性回归一元线性回归分析的对象是两个变量的单向因果关系，模型的核心是两变量线性函数，分析方法是回归分析。
一元线性回归是经典计量经济分析的基础。
第一节一元线性回归模型一、变量间的统计关系社会经济现象之间的相互联系和制约是社会经济的普遍规律。
在一定的条件下，一些因素推动或制约另外一些与之联系的因素发生变化。
这种状况表明在经济现象的内部和外部联系中存在着一定的因果关系，人们往往利用这种因果关系来制定有关的经济政策，以指导、控制社会经济活动的发展。
而认识和掌握客观经济规律就要探求经济现象间经济变量的变化规律。
互有联系的经济变量之间的紧密程度各不相同，一种极端的情况是一个变量能完全决 定另一个变量的变化。
比如：工业企业的原材料消耗金额用y 表示，生产量用1x 表示，单位产量消耗用2x 表示，原材料价格用3x 表示，则有：123y x x x =。
这里，y 与123,,x x x ，是一种确定的函数关系。
然而，现实世界中，还有不少情况是两个变量之间有着密切的联系，但它们并没有密切到由一个可以完全确定另一个的程度。
例如：某种高档费品的销售量与城镇居民的收入；粮食产量与施肥量之间的关系；储蓄额与居民的收入密切相关。
从图示上可以大致看出这两种关系的区别：一种是对应点完全落到一条函数曲线上；另一种是并不完全落在曲线上，而有的点在曲线上，有的点在曲线的两边。
对于后者这种不能用精确的函数关系来描述的关系正是计量经济学研究的重要内容。
二、一元线性回归模型 1.模型的建立一个例子，见教材66页：总体回归模型：01i i i Y X ββε=++ 理解：（1）误差的随机性使得Y 和X 之间呈现一种随机的因果关系；（2）Y i 的取值由两部分组成，一类是系统内影响，一类是系统外影响。
样本回归直线：01i i Y X ββ=+样本回归模型：01i i i Y X e ββ=++2.模型的假设（1） 误差项i ε的数学期望无论I 取什么值都是零。
高考数学知识点解析一元线性回归分析与预测
高考数学知识点解析一元线性回归分析与预测高考数学知识点解析：一元线性回归分析与预测在高考数学中，一元线性回归分析与预测是一个重要的知识点，它不仅在数学学科中具有重要地位，还在实际生活中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解这个知识点。
一元线性回归分析是一种用于研究两个变量之间线性关系的统计方法。
简单来说，就是通过一组数据，找到一条直线，使得这些数据点尽可能地靠近这条直线。
我们先来看一个简单的例子。
假设我们想研究学生的学习时间和考试成绩之间的关系。
我们收集了一些学生的学习时间（自变量 x）和对应的考试成绩（因变量 y）的数据。
那么，如何找到它们之间的线性关系呢？这就需要用到一元线性回归方程：y ＝ a ＋ bx 。
其中，a 是截距，b 是斜率。
b 表示 x 每增加一个单位，y 的平均变化量；a 则表示当 x 为 0 时，y 的值。
那么，如何确定 a 和 b 的值呢？这就要用到最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是使得实际数据点与回归直线上的对应点的纵坐标之差的平方和最小。
通过一系列的计算，可以得到 a 和 b 的计算公式。
在实际计算中，我们通常会先计算出一些中间量，比如 x 的平均值x，y 的平均值ȳ ，以及 x 和 y 的乘积的总和、x 的平方的总和等等。
然后，代入公式就可以求出 a 和 b 的值。
求出回归方程后，我们就可以用它来进行预测了。
比如，已知一个学生的学习时间，就可以通过回归方程预测他可能的考试成绩。
但需要注意的是，这种预测是基于统计规律的，并不是绝对准确的。
一元线性回归分析在实际生活中有很多应用。
比如，经济学家可以用它来研究物价和消费之间的关系，企业可以用它来预测销售额和广告投入之间的关系，医学家可以用它来分析药物剂量和治疗效果之间的关系等等。
然而，在使用一元线性回归分析时，也需要注意一些问题。
首先，变量之间的线性关系必须是合理的。
如果两个变量之间的关系不是线性的，强行使用一元线性回归分析可能会得到错误的结果。
一元线性回归分析的原理
一元线性回归分析的原理
一元线性回归分析是一种用于研究变量之间相互关系的统计分析方法。
它旨在
在一组数据中，以一个线性方程的式子去拟合变量之间的关系。
借此，分析一个独立变量（即自变量）和一个取决变量（即因变量）之间的关系，求出最合适的回归系数。
一元线性回归分析可以用来发现和描述变量之间的复杂方程式，用来估计参数，以及构建预测模型。
具体而言，一元线性回归分析指的是自变量和因变量之间有线性关系的回归分析。
也就是说，自变量和因变量均遵从一元线性方程，也就是y=βx+α，其中y
为因变量，x为自变量，β为系数，α为常数。
通过一元线性回归分析可以精确
的定义出变量之间的关系，从而可以得出最佳的回归系数和常数，并估计每个参数。
一元线性回归分析用于研究很多方面，例如决策科学、经济学和政治学等领域。
例如，在政治学研究中，可以使用一元线性回归分析来分析政府的软性政策是否能够促进社会发展，以及社会福利是否会影响民众的投票行为。
在经济学研究中，则可以使用一元线性回归分析来检验价格是否会影响消费水平，或检验工资水平是否会影响经济增长率等。
总结而言，一元线性回归分析是一种有效的研究变量之间关系的统计分析方法，精确地检验独立变量和取决变量之间的关系，从而求得最合适的回归系数和常数，并用该回归方程式构建预测模型，为决策提供参考。
一元线性回归分析
一、最小二乘估计量的抽样分布
0 ~ N( 0 , D( 0 )) 1 ~ N( 1 , D( 1 ))
D( 1 )
^
^
^
^
^
（x
u2
i 2 x）
2 x i2 x 2 1 2 D（ 0 ） u u 2 2 n （ x x ） n （ x x ） i i ^
二、最小二乘估计量的统计性质
1.线性 2.无偏性 3.最佳性
最佳性
var （ 1 ）
^
^ 2 （ x x ） i 2 u
2 2 x 1 x i 2 2 var （ 0 ） u u 2 2 n （x i x） （x i x） n
i i
i i i
2
2
i
i
i
2
i
2
yi
i
ki yi
( xi x ) 记 =k i 2 ( xi x)
1 ki yi
^
1 ki yi ki (0 1xi ui )
0 ki 1 ki xi
( xi x) ki ( x x ) 2 i ( xi x) xi ki xi ( x x)2 i
不存在序 列相关、 解释变量 是固定非 随机的 与其他线性无偏估计 量相比，且仅仅利用 样本信息
第一章 一元线性回归分析
★§1.1 ★§1.2 ★§1.3 ★§1.4
§1.5 §1.6 §1.7 §1.8
一元线性回归模型 模型参数的最小平方估计（板书） 参数估计量的统计性质 随机干扰项u的方差估计 一元线性回归参数的t检验与置信区间 拟合优度和相关系数 一元线性回归方程应用于预测 一元线性回归模型的建模步骤与实例
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用来探究两个变量之间关系的统计方法。
它基于一个假设，即两个变量之间存在线性关系。
以下是一元线性回归分析的一般步骤：1. 数据收集：首先，需要收集所需的数据。
需要考虑收集的数据是否与研究目的相关，并确保数据的准确性和完整性。
2. 变量定义：定义自变量和因变量。
自变量是用来预测因变量的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
3. 数据探索：进行数据探索，包括数据的描述性统计和绘图。
这一步可以帮助我们了解数据的分布、异常值和离群点。
4. 模型选择：选择适当的线性模型。
这可以通过查看散点图、相关性分析和领域知识来完成。
通常，一个线性模型可以用以下方程表示：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
5. 模型估计：使用最小二乘法来估计回归系数。
最小二乘法的目标是找到最佳拟合直线，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
6. 模型评估：评估模型的拟合优度。
常用的指标包括R平方值和调整R平方值。
R平方值介于0和1之间，表示因变量变异性的百分比可以由自变量解释。
调整R平方值是对R平方值的修正，考虑了自变量的数量和样本量。
7. 模型解释：根据回归系数的估计值，解释自变量对因变量的影响。
根据回归系数的正负和大小，可以确定变量之间的关系是正向还是负向，并量化这种关系的强度。
8. 结果验证：验证模型的有效性和稳健性。
这可以通过对新数据集的预测进行测试，或使用交叉验证的方法来完成。
9. 结果解释：对模型结果进行解释，提供有关回归系数的结论，并解释模型对现实世界问题的意义。
总结来说，一元线性回归分析的方法步骤包括数据收集、变量定义、数据探索、模型选择、模型估计、模型评估、模型解释、结果验证和结果解释。
它们相互关联，构成了一元线性回归分析的完整过程。
第二节一元线性回归分析
第二节一元线性回归分析本节主要内容：回归是分析变量之间关系类型的方法，按照变量之间的关系，回归分析分为：线性回归分析和非线性回归分析。
本节研究的是线性回归，即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系.回归分析的主要内容:1.从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；2.估计回归模型参数；3.对确定的关系式进行各种统计检验,并从影响某一特定变量的诸多变量中找出影响显著的变量。
一、一元线性回归模型:一元线性模型是指两个变量x、y之间的直线因果关系。
理论回归模型:理论回归模型中的参数是未知的,但是在观察中我们通常用样本观察值估计参数值，通常用分别表示的估计值，即称回归估计模型：回归估计模型：二、模型参数估计：用最小二乘法估计：【例3】实测某地四周岁至十一岁女孩的七个年龄组的平均身高（单位：厘米）如下表所示某地女孩身高的实测数据建立身高与年龄的线性回归方程。
根据上面公式求出b0=80。
84，b1=4。
68。
三．回归系数的含义（2）回归方程中的两个回归系数，其中b0为回归直线的启动值，在相关图上变现为x=0时，纵轴上的一个点,称为y截距；b1是回归直线的斜率，它是自变量(x）每变动一个单位量时，因变量（y）的平均变化量。
（3）回归系数b1的取值有正负号。
如果b1为正值，则表示两个变量为正相关关系,如果b1为负值，则表示两个变量为负相关关系。
[例题·判断题］回归系数b的符号与相关系数r的符号，可以相同也可以不同.（ )答案：错误解析：回归系数b的符号与相关系数r的符号是相同的=a+bx，b<0，则x与y之间的相关系数（ )［例题·判断题]在回归直线yca。
r=0 b.r=1 c。
0<r〈1 d.—1<r〈0答案:d解析：b〈0,则x与y之间的相关系数为负即—1〈r〈0［例题·单选题］回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象( ）a。
线性相关还是非线性相关 b.正相关还是负相关c。
一元线性回归分析和多元线性回归分析
一元线性回归分析和多元线性回归分析一元线性回归分析1.简单介绍当只有一个自变量时，称为一元回归分析（研究因变量y 和自变量x 之间的相关关系）；当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析（研究因变量y 和自变量1x ，2x ，…，n x 之间的相关关系）。
如果回归分析所得到的回归方程关于未知参数是线性的，则称为线性回归分析；否则，称为非线性回归分析。
在实际预测中，某些非线性关系也可以通过一定形式的变换转化为线性关系，所以，线性回归分析法成为最基本的、应用最广的方法。
这里讨论线性回归分析法。
2.回归分析法的基本步骤回归分析法的基本步骤如下： （1） 搜集数据。
根据研究课题的要求，系统搜集研究对象有关特征量的大量历史数据。
由于回归分析是建立在大量的数据基础之上的定量分析方法，历史数据的数量及其准确性都直接影响到回归分析的结果。
（2） 设定回归方程。
以大量的历史数据为基础，分析其间的关系，根据自变量与因变量之间所表现出来的规律，选择适当的数学模型，设定回归方程。
设定回归方程是回归分析法的关键，选择最优模型进行回归方程的设定是运用回归分析法进行预测的基础。
（3） 确定回归系数。
将已知数据代入设定的回归方程，并用最小二乘法原则计算出回归系数，确定回归方程。
这一步的工作量较大。
（4） 进行相关性检验。
相关性检验是指对已确定的回归方程能够代表自变量与因变量之间相关关系的可靠性进行检验。
一般有R 检验、t 检验和F 检验三种方法。
（5） 进行预测，并确定置信区间。
通过相关性检验后，我们就可以利用已确定的回归方程进行预测。
因为回归方程本质上是对实际数据的一种近似描述，所以在进行单点预测的同时，我们也需要给出该单点预测值的置信区间，使预测结果更加完善。
3. 一元线性回归分析的数学模型用一元线性回归方程来描述i x 和i y 之间的关系，即i i i x a a y ∆++=10 （i =1，2，…，n ）（2-1）式中，i x 和i y 分别是自变量x 和因变量y 的第i 观测值，0a 和1a 是回归系数，n 是观测点的个数，i ∆为对应于y 的第i 观测值i y 的随机误差。
第一节一元线性回归分析-
一元线性回归模型
x的线性函数 随机误差
二、未知参数的估计
Y x , ～ N (0 ,2 ).
对 于 样 本 ( x 1 , Y 1 ) , ( x 2 , Y 2 ) ,, ( x n , Y n ) , 它 满 足
n
x2
] 2
(xi x)2
i 1
则ˆ ~N(,[1
n
n
x2
]2)
(xi x)2
i1
3 .对 x x 0 , 回 归 方 程 Y ˆ 0 = ˆ ˆ x 0 的 分 布
n
Y ˆ0ˆˆx0i n1(n 1n (x(ixi x)xx)2)Yi in 1((xxiixx))x20Yi
(
n i 1
xi
n
( xi
i 1
)ˆ (
) ˆ
n i 1
xi2
n i 1
)ˆ
yi
n i 1
xi
yi
12ˆ 800ˆ 811 800ˆ 53418ˆ 54107
求解得
ˆ＝ 35.82 ˆ0.476
则 Y 关 于 x 的 线 性 回 归 方 程 为
i 1
i 1
2. (,)的最大似然估 根 计 Y 据 1,Y2, ,Yn的独立性可度 得函 到数 联
Li n 11 2πexp 2 12(yixi)2
(1 2π)nexp 2 12i n 1(yixi)2 .
观 察 散 点 图 ,( x ) 具 有 线 性 函 数 x 的 形 式 .
2.建立回归模型
(x)x一元线性回归问题
一元线性回归总结分析
第十一章 一元线性回归本章主要介绍数值型自变量和数值型因变量之间关系的分析方法，这就是相关与回归分析。
如果研究的是两个变量之间的关系，称为简单相关与简单回归分析；如果研究的是两个以上变量之间的关系，称为多元相关与多元回归分析。
本章主要讨论简单线性相关和简单线性回归的基本方法。
本章知识结构如下：主要知识点：变量间关系的度量变量之间的关系可分为两种类型，即函数关系和相关关系。
变量之间存在的不确定的数量关系，称为相关关系。
相关关系的特点：一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定，当变量y 的取值可能有几个。
对这种关系不确定的变量显然不能用函数关系来描述，但也不是无规律可循。
相关与回归分析正是描述与探索这类变量之间关系及其规律的统计方法。
判断相关性的方法：方法一：散点图法1、判断变量间的相关性2、相关关系的显著性检验 r 的显著性检验 步骤：○1提出假设○2计算检验的统计量t ○3进行决策（即比较t 与t 2α）3、一元线性回归4、回归方程拟合优度的判断主要方法 5、回归方程的显著性检验6、利用回归方程进行预测7、残差分析残差、残差图及标准化残差 一元 线 性 回 归主要方法 a)散点图法b)相关系数法方法及步骤 1、建立模型εββ++=x y 112、写出回归方程()x y E 110ββ+=3、利用最小二乘法对参数进行估计 a) 判定系数法R2b) 估计标准误差Se 主要方法a) 线性关系的检验——模型的检验，即F 检验 b) 回归系数的检验，即t 检验 类型 a) 点估计b) 区间估计散点图是描述变量之间关系的一种直观方法，从中可以大体上看出变量之间的关系形态及关系强度。
方法二：相关系数法()()∑∑∑∑∑∑∑-*--=2222y n x n yx xy n r y x利用相关系数可以准确度量两个变量之间的关系强度。
利用Excel 软件计算相关系数：“工具” → “数据分析”→“相关系数” → “选入数据” → “确定”即可。
一元线性回归分析预测法模型分析
一元线性回归分析预测法模型分析一元线性回归分析预测法，是根据自变量x和因变量Y的相关关系，建立x与Y的线性回归方程进行预测的方法。
由于市场现象一般是受多种因素的影响，而并不是仅仅受一个因素的影响。
所以应用一元线性回归分析预测法，必须对影响市场现象的多种因素做全面分析。
只有当诸多的影响因素中，确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因素的变量，才能将它作为自变量，应用一元相关回归分析市场预测法进行预测。
一元线性回归分析法的预测模型为：
（1）
式中，x t代表t期自变量的值；
代表t期因变量的值；
a、b代表一元线性回归方程的参数。
a、b参数由下列公式求得（用代表）：
为简便计算，我们作以下定义：
(2)
式中：
这样定义a、b后，参数由下列公式求得：
(3)
将a、b代入一元线性回归方程Y t = a + bx t，就可以建立预测模型，那么，只要给定x t值，即可求出预测值。
在回归分析预测法中，需要对Ｘ、Ｙ之间相关程度作出判断，这就要计算相关系数Ｙ，其公式如下：
相关系数r的特征有：
①相关系数取值范围为：-1≤r≤1 。
②r与b符合相同。
当r>0，称正线性相关，X i上升，Y i呈线性增加。
当r<0，称负线性相关，X i上升，Y i呈线性减少。
③|r|=0，X与Y无线性相关关系；|r|=1，完全确定的线性相关关系；0<|r|<1，X与Y存在一定的线性相关关系；|r|>0.7，为高度线性相关；0.3<|r|≤0.7，为中度线性相关；|r|≤0.3，为低度线性相关。
(4)。
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i 1 n i 1
所以
ˆ) 2 S Qe S yy (b xx
18
1.3 线性假设的显著性检验
1) T检验法 对线性假设y=a+bx+进行检验，线性系 数b不应当为0 原假设 H0：b=0 备择假设 H1：b0
19
T检验法
ˆ2 (n 2)
* * ** * * * **
Y ( x1 , x2 ,..., x p ) Y 0 1 X1 2 X 2 p X p f 称 Y ( x1 , x2 ,..., x p ) f
本章主要讨论线性回归模型
7
为回归方程
§1 一元线性回归分析
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 一元线性回归模型 模型的参数估计 线性关系的显著性检验 预测 控制问题
i 1 i 1
2
可以证明
Qe
2
~ (n 2)
2
16
则
2
Qe Qe 2 E 2 n2, E n2
Qe ˆ n2
是2的无偏估计
Qe的简单计算公式
ˆ ˆi S yy (b) 2 S xx Qe yi y
i 1 n i 1
n
S xx ( xi x ) 2 xi2 nx 2
i 1 i 1
n
则
ˆ S xy , a y xb ˆ ˆ b S xx
14
回归直线通过样本散点图的几何中心
将
ˆ ˆ a y xb ˆ ˆ ˆ y a bx
代入线性回归方程
i 1
2
Syy自由度为n-1， Qe自由度为n-2， Sr自由度为1
24
方差分析
Sr
2
~ (1),
2
Qe
2
~ (n 2)
2
Qe
2
Sr
2
Sr ~ F (1, n 2) Qe (n 2) (n 2)
1
25
方差分析表
方差来源
平方和 Sr Qe Qyy
自由度
均方
F比
ˆ ˆ ˆ ˆ t (n 2) (b, b ) b , b t (n 2) 2 2 S xx S xx
22
1.3 线性假设的显著性检验(F检验法)
2）F检验法:方差分析法
S yy yi y
i 1 n
n
2
ˆ ˆ ( yi y ) ( yi yi )
9
模型及其假设 假设对于x的某个区间内的每一个值有 Y~N(a+bx,2) Y= a+bx+ ， ~N(0,2) 称为一元正态线性回归模型。
10
1.2 模型参数的估计
1）回归参数的估计：最小二乘估计
对样本(x1, y1), (x2, y2),, (xn, yn)，有
yi a bxi i , i 1, 2, , n i ~ N (0, 2 ) , 各 i 相互独立
8
武汉理工大学应用数学系模式分析研究室王展青
1.1 一元线性回归模型
对于x的一组值x1, x2, , xn作 独立 试验，对Y 得出n个观察结果 y1, y2,, yn，得到容量为n的样本 (x1, y1), (x2, y2),, (xn, yn)。利用样本估计f(x) 。首先 从散点图看出y与x的关系, 从而推测出f(x) 的形式。若(x) 为线性函数，设f(x) =a+bx，估计f(x) 的问题称为一元线性回 归问题。
i 1 n 2 n
2
ˆ ˆ yi y yi yi
i 1 i 1
2
S r Qe
23
方差分析
总离差平方和 回归平方和
S yy yi y ˆ Sr yi y
i 1 n i 1 n
n
2
2
残差平方和
ˆ Qe yi yi
ˆ b t 2 S xx t (n 2) 2 ˆ 计算出|t|的值，查出 t (n 2)
2
21
T检验法
若 t t 2 (n 2)，则拒绝H0；否则就接受 H0 。拒绝H0，意味着回归效果是显著的。 在回归效果显著的情况下，对回归系数 作区间估计，可得出b的置信度为1-的 置信区间为
得正规方程组
a xb y n n 2 nxa xi b xi yi i 1 i 1
13
方程组有唯一解
ˆ b
x y nx y
i 1 n i i
n
xi2 nx 2
i 1
ˆ ˆ , a y xb
n
记
S xy ( xi x )( yi y ) xi yi nx y
7930
9240 10500 11840 13260
9
10
180
190 1450
85
89 673
32400
36100 218500
7225
7921 47225
15300
16910 101570
31
1 x 1450 145, 10
n i 1 n
1 y 673 67.3 10
2 i 1
n
17
证明
ˆ ˆ Qe yi yi ( yi y ) ( yi y )
2
n
n
2
ˆ ( yi y ) b( xi x ) i 1
n n 2 i 1
i 1 n
i 1
2
ˆ ( yi y ) 2b ( yi y )( xi x ) ˆ) 2 ( x x ) 2 (b i ˆ ˆ S yy 2bS xy (b) 2 S xx
29
解 (1)先画出散点图，从图看出，(x)大致是线 性函数，设(x) =a+bx
Ã Ê µ  100 80 60 40 20 0 0 50 100 150 200
Ã Ê µ Â
这里n=10，为求线性回归方程，对所需要的计 算列表：
30
i 1 2 3
xi 100 110 120
yi 45 51 54
32
所以得回归直线方程为
ˆ y 2.735 0.483x
写成另一种形式 (2)
n i 1 2 i
ˆ y 67.3 0.483( x 145)
2 2
S yy y ny 47225 10 67.3 1932.1 ˆ S xx 8250 , b 0.483 ˆ) 2 S 1932.1 0.4832 8250 7.466 Q S (b
回归 残差 总和
1 n-2 n-1
Sr/1 Se/(n-1)
Sr Qe ( n 2)
26
F检验法
原假设H0：b=0，备择假设 H1：b0 选统计量
Sr F ~ F (1, n 2) Qe (n 2)
27
F检验法
对检验水平，查表得F(1,n-2)， 计算出F值。 若F>F(1,n-2) ，则拒绝H0 ，说明回归效果 显著； 若F<F(1,n-2) ，则接受H0 ，说明回归效果 不显著。
x i2 10000 12100 14400
y i2 2025 2601 2916
xiyi 4500 5610 6480
4
5 6 7 8
130
140 150 160 170
61
66 70 74 78
16900
19600 22500 25600 28900
3721
4356 4900 5476 6084
4
后代的身高有向身高平均值靠拢的趋向. 离开均值 越远，所受到回归的压力也越大。“回归”这个词 就由此而来。
5
输入 X1 X2 … xp
系 统
输出 y
理论模型
Y f ( x1 , x2 ,..., x p )
Y f ( x1 , x2 ,..., x p )
6
观测模型
* * * * * * * * * * *
28
例 为研究某一化学反应过程中温度x对产品得 率Y的影响，测得数据如下：
温度x C 得率Y %
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
45
51
54Leabharlann 616670
74
78
85
89
(1)求Y关于x的回归方程; (2)求2的无偏估计量的值; (3)取 =0.05,问回归效果是否显著？若显著,求 出b的置信度为0.95的置信区间； (4)作方差分析，检验回归效果( =0.01)。
3
Galton一生写了9部书，发表了近200 篇论文。1860年当选英国皇家学会会 员，1909年被封为爵士，1910年获得 英国皇家学会Copley奖。 Galton在研究父子身高（1078对数据）关系时发 现：虽然高个子会有高个子的后代，但后代的平 均身高并不及其父代；如果父代身材矮小，则子 代的平均身高超过父代.也就是说不可能无限制 的一代比一代高，或一代比一代矮。
考虑a、b的函数
Q ( a, b)
(y
i 1
n
i
a bxi )
2
用最小二乘法估计a、b，使
ˆ ˆ Q(a, b) min Q(a, b)