数学4.14.2《垂线》(二)课件(北京课改版七年级上)

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初一数学《垂线》PPT课件

A
1
2
D
E
例2：如图，已知AB. CD相交于 O, OE⊥CD于O,∠AOC=36 ° ，求∠BOE
D
A
O
B
E C
4.找出图中互相垂直的线段：
D
D
A
.
.
.C .
B B
A
C O
E
O
2．判断以下两条直线是否垂直: ①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角; ②两条直线相交所成的四个角相等; ③两条直线相交,有一组邻补角相等; ④两条直线相交,对顶角互补.
自主探索：
如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE 为射线，若∠1＝35° ，∠2＝55°，求证：OE ⊥ AB
C O B
问题1：如右图，（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？
问题2：两条直线相交，共形成——对对顶角，————对邻补角。
问题2：如下图，当∠AOC＝90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？直线AB、CD 的位置关系怎样？
结论：当两条直线相交时，一个角是直角等同与任意两个，三个，四个角是直角。
垂直的记法、读法
直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或 “CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图）
．
垂直的定义的应用格式
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD. 这个推理过程可以写成： ∵∠AOC=90°（已知）， ∴ AB⊥CD （垂直的定义）．如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:

初一数学《垂线》课件

过一点作已知直线的平行线
总结词
通过给定的一个点，使用直尺和三角板，可以作出与给定直线平行的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将三角板的一条边放在该点上，另一条边与给定直线重合，沿着这条边画一条线段，即为所求的平行线。
作平行四边形的垂线
总结词
在平行四边形中，可以通过连接对角线上的两个端点来作出垂线。
在地球科学中，垂线被用来测量地壳的倾斜度和地震的震源深度，对于研究地球的运动和地震预测具有重要意义。
03 垂线的作法
过一点作已知直线的垂线
总结词
通过给定的一个点，使用直角三角板或量角器，可以作出与给定直线垂直的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将直角三角板的一条直角边放在该点上，另一条直角边与给定直线重合，沿着这条直角边画一条线段，即为所求的垂线。
01
如果一条线段与另一条直线相交形成的角为直角，则该线段垂直于另一条直线。
02
如果一条线段与另一条直线相交，且经过另一条直线上的一点，则该线段垂直于另一条直线。
垂线定理的推论
垂线的斜率互为相反数
如果一条直线的斜率为k，则其垂线的斜率为-1/k。
垂线与原直线平行
如果一条直线平行于x轴，则其垂线与x轴垂直。
题目2
已知两条直线互相垂直，其中一条直线的方程为y=2x+1，求另一条直线的方程。
题目3
在直角坐标系中，点A的坐标为 (1,2)，点B的坐标为(3,4)，求线
段AB的垂直平分线的方程。
答案及解析
01 02
题目1答案及解析
垂线是两条直线相交成直角时，所形成的线段。生活中常见的例子有窗户的边框、墙角等。解析：此题考察垂线的定义，理解垂线的概念是解题的关键。

华东师大版七年级数学上册精品教学课件垂线——垂线的定义与性质课件

例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE， OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF. 如果∠BOE＝ 50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角，且∠BOD与∠BOE互余，即可求出∠AOC的度数；根据OD平分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋2∠BOD即可求出 ∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得 ∠AOF的度数．
2.推理格式：因为∠AOC＝90°(已知)，所以AB⊥CD(垂直定义)．反过来：因为AB⊥CD(已知)，所以∠AOC＝90°(垂直定义)．
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
导引：要判断OE，OF是什么位置关系，其实质是说明OE，OF是否垂直，即要看∠EOF是否为 90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝ ∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
知识点 3 垂线的基本事实
关于垂线的基本事实： (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直． (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短，简单说成：垂线段最短．(过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫这点到已知直线的垂线段)
例4 如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为点 E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？(忽略河流的宽度)
1 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是___ 时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的________，它们的交点叫做______．

人教版初中七年级数学课精品PPT教学课件-垂线

所以∠EOF=∠EOB+∠BOF=90°+40°=130°
所以∠COF=∠COD-∠DOF=180°-80°=100°（邻补
角定义）
练一练
如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB， ∠1=125°，求∠COE的度数．
35°
CE
A
1
B O
Байду номын сангаас
D
垂线的定义
定义
图示文字语言几何语言两层含义
当两条直线所成的四个角中有一个角是直
┛
将尺子拉直与踏板边所在直线垂直，取最近的脚印后跟与踏板边沿之间的距离就是跳远成绩．
理由是：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
课堂小结
斜交
两直线相交
垂直两线段垂直两射线垂直线段与射线垂直线段与直线垂直射线与直线垂直
定义过一点有且只有一条
性质直线与已知直线垂直垂线段最短
角时，我们 C
就说这两条直线互相垂直．
A
AB⊥CD，含义1：
直线AB垂直 O为垂足． ∵AB⊥CD
于直线CD，
∴∠1=90°
┓1 O为垂足．
OD
（垂直用符号 “⊥” 来表示，
含义2： ∵∠1=90°
B
读作“垂 ∴AB⊥CD
直于” ）
练一练
如图,CD ⊥EF，∠1=∠2,则AB⊥EF．请说明
新课导入生活中的垂线
生活中的
垂线
垂线
C
当∠BOD=90°时．
∠AOD=___9_0°___； A ∠AOC=___9_0°___；
B O
∠BOC=___9_0°___； D

华东师大版数学七年级上册2.垂线PPT

【根据最新版数学教材编写】 11
点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
如上图中垂线段DB的长度，就是点D到直线 AC的距离。
点拨：要注意“垂线”“垂线段” 的区别，垂线是直线，垂线段是线段
【根据最新版数学教材编写】 12
练习
一、下列叙述中不正确的是（ C ）（A）经过直外一点只能画一条已知道直线的垂线（B）如果两条直线相交所构成的四个角中有三个角度相等，那么这两条直线一定垂直（C）直线l上有三点A、B、C，在直线l个外有一点P，若PB<PA、PB<PC，则BP垂直于直线l （D）两条线段垂直是指这两条线段所在的直线垂直
点在直线外
【根据最新版数学教材编写】 8
垂线的性质1 经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 “有且只有”的含义： “有”代表“存在”； “只有”代表“唯一”
【根据最新版数学教材编写】 9
试一试
1．如图， ∠ABD=90°，则
（1）直线（ AC ）⊥直线（ BD ），垂足为点（ B ）；
2. 垂线
【根据最新版数学教材编写】 1
学习目标
1、理解垂线的概念，会用三角板、量角器过一点画一条直线的垂线。
2、理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
3.逐步对学生进行一些数学语言的训练，使学生能用一些简单的数学语言叙述图形的某些位置关系。
【根据最新版数学教材编写】 2
C
【根据最新版数学教材编写】 13
二、一辆汽车在直线型公路AB 上由A向B 行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到P位置时离村庄M最近；行驶到Q位置时离村庄N最近，请在图中公路AB上分别画出P、Q两点的位置

人教版七年级下册数学课件垂线第二课时

C
A
B
D
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB 的哪一段路上距离C、D两加油站都越来越近？在哪一段路上距离加油站D越来越近，而离加油站C 却越来越远？
解：（1）如图.
C
AM
N B
D
（2）在公路 AB 的 AM 段距离 C、D 两加油站都越来越近，在 MN 段距离加油站 D 越来越近，而加油站 C 却越来越远.
H
（2）过 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G . H
G
“过直线外一点与直线各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．
（5）如果图中的比例尺为1:100 000，水渠大概要挖多长？
（6）你能列举生活中类似的实例吗？
即学即练
如图，三角形ABC中，∠C＝90°. （1）分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长？ AC BC （2）三条边AB、AC、 BC中哪条边最长？为什么？ AB 理由：连接线段外一点与线段上各点的
垂足为 O ，若 C 为直线 AB 上任意一点，则线段
PC 与线段 PO 的大小关系是（ C ）
A. PC ＞ PO
B. PC ＜ PO
C. PC ≥ PO
D. PC ≤ PO
3.一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶， C、D 是分别位于公路AB两侧的加油站.
（1）设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中分别画出点M、N的位置；

4.1.2垂线-2024-2025学年初中数学七年级上册(华师版)上课课件

垂线的判定
如图，当直线AB与CD相交于O点，
∠AOD=90°时，
A
D
那么AB⊥CD.
O
符号语言：
因为∠AOD=90°（已知） ,
C
B
所以AB⊥CD（垂直的定义）
垂线的性质
若直线AB与CD垂直,垂足为O，
则∠AOD=90°
A
D
符号语言：因为 AB⊥CD （已知） , 所以 ∠AOD=90°（垂直的定义） (或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
第四章相交线和平行线
4.1.2 垂线
华师版七年级上册
学习目标
重点
➢ 理解垂线的有关概念、性质、及画法 ➢ 理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离 ➢ 掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
难点
➢ 知道垂线段和点到直线的距离概念，并会应用其解决问题
情景引入
观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短简述：垂线段最短. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
规定：线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？
牛刀小试
1.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
（4）过点 D 有且只有_一____条直线与直线 AC 垂直.
2. 如图所示的各个三角形中，分别过点 C 画出直线 AB 的垂线，并量出三角形顶点 C 到直线 AB 的距离.（精确到 1mm）【教材P176 练习第2题】
A A D
D A
B
C

北师大版数学七年级下册课件：2.垂线

B
因为S△ABC= 1/2 AB×CD= 1/2 AC×BC所以CD=2.4cm
议一议
体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说说其中的道理吗？与同伴交流.
线段PO的长度即为所求.
PO
随堂练习
1. 下列条件中，可以判断两条直线互相垂直的是
（D）
①两直线相交所成的四个角都相等 ②两直线相交，对顶角互补 ③两直线相交所成的四个角中有一个角是直角 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
到河边取水时沿垂线段BC走最近．理由:垂线段最短．到净化水厂沿线段AB走最近．理由:两点之间线段最短．
4. 如图所示，直线AB、CD相交于点O，过O点画射线OE、OF，若∠DOF＝40°，∠DOF＝ ∠AOC，∠BOE∶∠COE＝5∶9，请你猜想OE 与CD的位置关系并说明理由．
解:OE⊥CD．理由如下: 因为∠BOD＝∠AOC，∠DOF＝∠AOC，所以∠BOD＝∠DOF＝40°．所以∠BOE＋∠COE＝∠BOC＝180°－∠BOD＝ 180°－40°＝140°．
AB
O
l C
练一练
如图：已知 ∠ ACB ＝ 90° 若 BC ＝ 4cm ， AC ＝
3cm，AB＝5cm，
1.点B到直线AC的距离等于__4_c_3_c_m__.
3.A、B两点间的距离等于__5_c_m__.
4.你能求出点C到AB的距离吗? A D
2. 如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重
合，理由是（ B ）
A．两点确定一条直线 B．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过一点只能作一直线 D．垂线段最短
3.如图所示，在小河l的同侧有一个净化水厂A 和村庄B，B村的生活用水要到小河l中去提，饮用净化水要到净化水厂A去取．B村的村民怎样走到河边最近? 怎样走到净化水厂最近? 请画出图形并说明理由．

七年级上册数学垂线课件2

B．两点之间，线段最短 C．过两点能作一条垂线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
知识点三：点到直线的距离
5．如图，下列说法不正确的是( C )
A．点B到AC的距离是线段AB的长 B．点C到AB的距离是线段AC的长
C．线段AD的长是点D到BC的距离
D．线段BD的长是点B到AD的距离
5．1 相交线
5.1.2 垂线
直角时，我们 1．当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为________
Байду номын сангаас
互相垂直，它们的交点叫做__________ 说这两条直线_____________ 垂足，其中的
一条直线叫做另一条直线的________ 垂线．一条直线与已知直线垂直． 2．过一点有且只有____
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P是BC边上的动点，则 AP的长不可能是( A ) A．2.5 B．3 C．4 D．5 7．点P为直线l外一点，且A，B，C在直线上，若PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝6 cm，则点P到直线l的距离是( C ) A．4 cm B．小于4 cm C．不大于4 cm D．5 cm
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠AOD. (1)判断OE与OF的位置关系，并说明理由； (2)若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，求∠COE的度数．
解：(1)OE⊥OF (2)∠COE＝165°
知识点二：垂线的性质 3．如图，如果想把河流中的水引到池塘C中，可过点C作直线AB的垂线段CD，然后沿CD开挖水渠，则能使所开挖的水渠最短，这种设计的数学依据是____________________ ．垂线段最短
4．如图，已知ON⊥a，OM⊥a，则OM与ON重合的理由是( D )

七年级数学垂线

பைடு நூலகம்
听婆母说得如此轻描淡写，我以为婆婆的痒病没啥，直到有一次见识了婆婆的痒病发作的情形之后，才知婆婆这些年是遭了多大的罪。透视真人游戏
那天晚上我失眠，听见院子里的门关了又开，开了又关，是谁拉肚子吗？我起床走到后面阳台上向下一望，发现是婆婆端了一盆水，正在院子里擦洗身体。我轻轻下楼，拉开院子里的门，叫了声，婆婆，你怎么深更半夜还洗澡呀？婆婆见是我，说，你没睡呀？是不是我吵醒你了？我身上痒，起来用盐水洗洗。
婆婆很少流汗，即使大热天她在地里干活儿，脸上也不见汗水，婆母说，你婆婆不是一般人，这么热的天，哪有干活不流汗的？婆母说这话的时候还有些引以为豪。直到婆婆病逝后，我听一些做美容养生的朋友们说起排毒之类的话，才猛然想起婆婆身上的怪病，她的痒病应该与她流不出汗有关系吧？可这个答案永远找不到了，希望在那边，婆婆不再受此病的折磨。
我凑近看，婆婆的身上并没见许多疙瘩，哪里痒？我问。婆婆说是从骨子里痒出来的，想抓都没处抓，只好拼命地擦洗，身体痒得厉害了，婆婆抓起一把盐往身上抹。
我看得难受，第二天对婆母说，婆婆身上这么痒，带她去看看医生吧。婆母回我，又不是没带她看过，给她弄的药膏还有呢，抹抹看再说吧，她这是顽疾。
过了些天，婆婆身上的痒病终于好些了。那时我年轻，没有意识到婆婆身上可能有很重的湿毒，仅靠抹些药膏怎么能根治呢？婆婆从来不舍得为自己花一分钱，我也从来没有见过她用过钱，这么些年，她身上有病，能扛就扛，实在扛不动了，她才会对婆母说。

七年级数学垂线(PPT)3-2

这种史前巨鸟如大多数陆地禽类一样，体形太大，没法进行动力飞行。但可以进行高效地滑翔，在条件好的情况下，速度可达每小时英里。像如今的秃鹫那样，阿根廷巨鸟依靠安第斯山山脚的上升气流，或者广阔的潘帕斯草原上的上升暖气流获得上升的动力 [] 。最新的研究显示，尽管阿根廷巨鸟拥有强劲的飞行肌肉和宽达英尺（约合.米）的翼展，但这种巨型鸟类在平面地形上却可能无法制造出足够的升力将其脱离地面。来自位于鲁伯克的德克萨斯州科技大学的科学家桑科尔·查特里说：“这就像人类操纵滑翔机的原理一样，阿根廷巨鸟通过沿着山坡滑跑并借助顺风而起飞。” 查特里博士解释说，鸟类原地起飞的能力是制约鸟类个体体型大小的重要限制因素，然而阿根廷巨鸟显然已经越过警戒线了。而一些体重更为夸张的鸟类，例如鸵鸟，最终决定完全放弃了飞行的能力，成为了一种纯陆生的善于奔跑的鸟类 [] 。但是一旦飞起来，阿根廷巨鸟就不是和鸵鸟一样笨了，虽然它的体重抵得上十六只秃鹰，但它无愧为一个高超的滑翔手，简直就和专业侦查滑翔机飞的一样好。查特里博士如是说 [] 。这一关于阿根廷巨鸟的最新科学发现还带有一些传奇色彩，它是古生物学家和一名已经退休了的空气动力学工程师密切合作的产物。科学家们测量了阿根廷巨鸟的化石数据，并输入电脑，通过一个设计用来研究直升机飞行原理的软件处理和分析了这些数据，最终得出了现今的结论。查特里博士说：“人们常常把鸟类的飞行过程与普通固定翼飞机的飞行过程作类比，然而事实上直升飞机的起飞原理与鸟类的起飞原理更为相近”。它们可能会利用一些技巧起飞，如像滑翔机飞行员那样，借助在斜坡上奔跑或者逆风奔跑获得升力。阿根廷巨鸟的着陆方式也一直困惑着研究者，它们可能努力放低巨大的双足来减速，然后展开双翅像降落伞一样落地 [] 。恐龙（英文名：Dinosaur），是指三角龙，现代鸟类和梁龙

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知识结构图
两一般条情况
对顶角相等
直
邻补角互补
线相
垂线的存
交
特殊情况
垂直
在唯一性垂线段点到直
Hale Waihona Puke 最短线的距离0m 10m 20m 30m
例2：如图,
量出村庄A与货场B的距离, 货场B到铁道的距离。
A 25m
8m C B
例3 如图，
1)画出线段BC的中点M，
连结AM；
2)比较点B与点C到直线AM的
距离。
A
9cm
∴BP=CQ
Q
B
0cm
P 10Mcm
9cm
C
20cm 30cm
练习：如图，点M、N分别在直线 AB、CD上，用三角板画图， 1)过M点画CD的垂线交CD于F点, 2)M点N点的距离是线段_M__N_的长， 3)M点到CD的距离是线段_M__F_的长。
AM
B ∴直线MF即
CN
为所求垂线。
FD
如图，∠ABC=90。,∠1=60。,过B作
AC的垂线BO,垂足是O，过O作BC
的垂线，垂足是D，若∠1= ∠2,
求∠ABO, ∠BOD.
A
答案：
O
∠ABO = ∠B。OD
2 1
= 30
BD
C
小结：
1. 垂线段最短
2. 点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
4.14 相交线、平行线
垂线（二）
皮尺 40m 30m 20m
垂线的性质：垂线段最短
直线外一垂线段
点与直线上各
点连结的所有 A
线段中，垂线
D
段最短.
C
B
从直线外一点到这条直线
的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 P
注：与点到点的距离对比
Om
例1. 如图：AC⊥BC于C,
CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,
试比较四条线段AC,DC,
DE和AB的大小。
C C
CE E
E
A
DA
AD
B DB
B
解：∵ AC⊥BC于C(已知） C E ∴ AC＜AB
（垂线段最短） A 又∵ CD⊥AD于D(已知）
D
B
∴ CD＜AC
（垂线段最短）
∵ DE⊥BC于E(已知）
∴ DE＜CD（垂线段最短） ∴ AB＞AC＞CD＞DE
（不等量的传递性）