【配套K12】2018年秋九年级数学上册第23章图形的相似23.1成比例线段23.1.1成比例线段同

第23章 图形的相似
23.1.1 成比例线段
知识点 1 线段的比
1．已知线段a ＝20 cm ，b ＝30 cm ，则a ∶b ＝________，b ∶a ＝________．
2．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 的比为( )
A ．3∶4
B ．2∶3
C ．3∶5
D ．1∶2
3．如图23－1－1，C 是线段AB 的中点，点D 在BC 上，AB ＝24 cm ，BD ＝5 cm.
(1)AC ∶CB ＝________，AC ∶AB ＝________；
(2)BC BD ＝______，CD AB ＝________，AD CD
＝______．
图23－1－1
知识点 2 成比例线段的概念
4．线段a ＝8 cm ，b ＝30 cm ，c ＝10 cm ，d ＝24 cm 中，最短两条线段的比a ∶c ＝________，最长两条线段的比d ∶b ＝________，所以这四条线段________成比例线段(填“是”或“不是”)．
5．下列各组中的四条线段，是成比例线段的是( )
A ．3 cm ，6 cm ，12 cm ，18 cm
B ．2 cm ，3 cm ，4 cm ，5 cm C. 2 cm ，10 cm ， 5 cm ，5 cm
D ．5 cm ，2 cm ，3 cm ，6 cm
6．判断下列线段是不是成比例线段，若是，请写出比例式．
(1)a ＝7 cm ，b ＝4 cm ，c ＝d ＝2 7 cm ；
(2)a ＝20 mm ，b ＝8 m ，c ＝28 m ，d ＝7 cm.
知识点 3 比例的基本性质
7．已知a b ＝c d ，若其中a ＝5 cm ，b ＝3 cm ，c ＝2 cm ，则可列比例式（ ）（ ）＝（ ）（ ）
，根据比例的基本性质，可得________，所以线段d ＝________ cm.
8．已知x y ＝79
，那么下列等式一定成立的是( ) A ．x ＝97
y B ．7y ＝9x C ．7x ＝9y D ．xy ＝63
9．若2x ＝5y ，则下列式子中错误的是( )
A. y x ＝25
B. x －y y ＝32
C. x ＋y x －y ＝73
D. y －x x ＝35
10. 画在图纸上的某一零件长 3.2 cm ，若比例尺是1∶20，则该零件的实际长度是__________．
11．已知c 4＝b 5＝a 6≠0，则b ＋c a
的值为________． 12．已知a b ＝43，求a ＋b b 和a －b a
的值．
13. 等腰直角三角形斜边上的高与腰的长度之比是( ) A.2∶1 B．1∶2
C ．2∶ 2
D ．1∶ 2
14．已知三个数2，2，4.若再添加一个数，就得到这四个数成比例，则添加的数是( )
A ．2 2
B ．2 2或
22 C ．2 2，4 2或8 2 D ．2 2，22或4 2 15．若a b ＝c d ，则下列各式一定成立的有( )
①
a ＋
b b ＝
c ＋
d d ；②a －b b ＝c －d d ； ③a a ＋b ＝c c ＋d ；④a a －b ＝c c －d .
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
16．［教材练习第2题变式］若a 5＝b 3＝c 2
，且a －b ＋c ＝8，则a ＝________． 17．已知
AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′
＝2，且△ABC 的周长为18 cm ，求△A ′B ′C ′的周长．
18．如图23－1－2，若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝32
.求线段PQ 的长．
图23－1－2
19．已知线段a ＝0.3 m ，b ＝60 cm ，c ＝12 dm.
(1)求线段a 与线段b 的比；
(2)如果a ∶b ＝c ∶d ，求线段d 的长．
20．已知
x －y x ＋y ＝911，求下列各式的值： (1)
x x ＋y ； (2)2x ＋y y －x .
21．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足关系式
a ＋43＝
b ＋32＝
c ＋84，且a ＋b ＋c ＝12，则这个三
角形的面积是多少？
22．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知x a －b ＝y b －c ＝z c －a (a ，b ，c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值．
解：设
x
a－b
＝
y
b－c
＝
z
c－a
＝k(k≠0)，则x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)，
∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝k·0＝0，∴x＋y＋z＝0.
依照上述方法解答下面的问题：
已知a，b，c为非零实数，且a＋b＋c≠0，当a＋b－c
c
＝
a－b＋c
b
＝
－a＋b＋c
a
时，求
（a＋b）（b＋c）（c＋a）
abc
的值．
1．2∶3 3∶2
2. A
3．(1)1∶1 1∶2 (2)125 724 197
4．4∶5 4∶5 是
5．C [解析] 只有C 中2
10＝55
，为成比例线段． 6．[解析] 判断四条线段是不是成比例线段，可根据线段长度的大小关系，从小到大排列，判断较短的两条线段的比是否等于较长的两条线段的比，若比值相等则这四条线段是成比例线段． 解：(1)因为b c ＝42 7＝4×72 7×7＝2 77，d a ＝2 77
，所以这四条线段是成比例线段，比例式为b c ＝d a .
(2)将线段从小到大排列，得a ＝20 mm ＝0.02 m ，d ＝7 cm ＝0.07 m ，b ＝8 m ，c ＝28 m ．因为a d ＝0.020.07＝27，b c ＝828＝27，所以这四条线段是成比例线段，比例式为a d ＝b c
. 7．5 3 2 d 5d ＝6 65
8. B
9. D
10. 64 cm
11. 32 [解析] 设c 4＝b 5＝a 6＝k ，则c ＝4k ，b ＝5k ，a ＝6k ，所以b ＋c a ＝5k ＋4k 6k ＝32
. 12．解：由已知可设a ＝4k ，b ＝3k (k ≠0)，
∴a ＋b b ＝4k ＋3k 3k ＝7k 3k ＝73
， a －b a ＝4k －3k 4k ＝k 4k ＝14
. 13． D 14． D [解析] 设这个数是x ，由题意，得 当2∶2＝4∶x 时，则2x ＝4 2，解得x ＝2 2；
当2∶4＝x ∶2时，则4x ＝2 2，解得x ＝22
； 当2∶2＝x ∶4时，则2x ＝8，解得x ＝4 2. 故选D.
15． A
16．10 [解析] 由a 5＝b 3＝c 2，得b ＝3a 5，c ＝2a 5，由a －b ＋c ＝8，得a －3a 5＋2a 5
＝8， 解得a ＝10.
17．解：∵AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′
＝2， ∴AB ＝2A ′B ′，BC ＝2B ′C ′，AC ＝2A ′C ′.
∵AB ＋BC ＋AC ＝18，
∴2A ′B ′＋2B ′C ′＋2A ′C ′＝18，
∴2(A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′)＝18，
∴A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′＝9，
∴△A ′B ′C ′的周长为9 cm.
18．[解析] 根据AP BP ＝AQ BQ ＝32
，分别求出BP ，BQ 的长，两者相加即可求出PQ 的长． 解：∵AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝32
， ∴BP ＝4，BQ ＝20，
∴PQ ＝BP ＋BQ ＝24.
答：线段PQ 的长为24.
19．解：a ＝0.3 m ＝3 dm ，b ＝60 cm ＝6 dm ，c ＝12 dm.
(1)a ∶b ＝3∶6＝1∶2.
(2)∵a ∶b ＝c ∶d ，
∴1∶2＝12∶d ，
解得d ＝24(dm)．
故线段d 的长是24 dm.
20．解：由已知可得9(x ＋y )＝11(x －y )，整理得x ＝10y .
(1)x
x ＋y ＝10y 10y ＋y ＝10y 11y ＝1011. (2)2x ＋y y －x ＝20y ＋y y －10y ＝21y －9y ＝－73
. 21．令a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k ，则a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8，
代入a ＋b ＋c ＝12，可得k ＝3，
∴这个三角形的三边长为a ＝5，b ＝3，c ＝4.
∵a 2＝b 2＋c 2，∴这个三角形为直角三角形，
∴S ＝12bc ＝12
×3×4＝6. 22．设a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c a
＝k (k ≠0)， 则a ＋b －c ＝kc ①，a －b ＋c ＝kb ②，－a ＋b ＋c ＝ka ③，
由①＋②＋③，得a ＋b ＋c ＝k (a ＋b ＋c )．
∵a ＋b ＋c ≠0，∴k ＝1，
∴a ＋b ＝2c ，b ＋c ＝2a ，c ＋a ＝2b ，
∴
（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ＝2c ·2a ·2b abc
＝8.。