特殊三角形综合复习测试
特殊三角形复习
特殊三角形复习一：等腰三角形 例1：如图1，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论中正确的有（ ） ①△ACE ≌△BCD ，②BG=AF ，③△DCG ≌△ECF ，④△ADB ≌△CEA ，⑤DE=DG ，⑥∠AOB=60°．A ． ①②③⑤B ． ①②④⑤C ． ①②③⑥D ．①②③④⑤⑥图1 图3二：等腰三角形的性质 例2：如图2，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连结AE ． （1）求证：AE ∥BC ； （2）当AD=AE 时，求∠BCE 的度数．图2例3： 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是 _________ ．例4：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ABC 的平分线BG ，交AD 于点E ，EF ⊥AB ，垂足为F ．求证：EF=ED ．拓展：如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，BD 为∠ABC 的平分线，若A 点到直线BD 的距离为a ，则BE 的长为 _________ ．三，等腰三角形的判定例5：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．例6：如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有_________ 个．例7：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．四，直角三角形的性质例8：如图，已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足．求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE．例9：已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，求证：∠AMB=∠DMC．四，直角三角形的判定例10：如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C 、D 、E 在同一条直线上，连接BD 、BE ．把以下所有正确结论的序号都填在写在横线上： _________ ．①BD=CE ； ②∠ACE+∠DBC=45°； ③BD ⊥CE ； ④BE 2=2（AB 2+AD 2）．五，直角三角形全等的判定例11： 在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ．（1）求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF 的度数．课后练习一．选择题1．如图1，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，⑤S △CEF =2S △ABE ．其中正确结论有（ ）个．A．2 B． 3 C ． 4 D ． 5图1 图2 图3 图42．如图2，OP 平分∠BOA ，∠BOA=45°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 等于（ ）A 4BCD 2．．．．二．填空题1．如图3，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为_________ ．2．如图4，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= _________ 度．3．如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是_________ 个．4．如图a，P是等边△ABC内任意一点，由P向边BC、AC、AB分别引垂线段PD、PE、PF，AM⊥BC，AM=6cm，则PD+PE+PF= _________ ．图a 图b 图c5．如图b，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC= _________ °．6．如图c，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于_________ ．三．解答题1．已知，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．（1）求证：PE+PF=CH；（2）P为BC延长线上的点时，其它条件不变，求证：PE﹣PF=CH．2．如图：已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点D是AB上任意一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F．（1）试判断△CDE的形状，并说明理由．（2）是否存在点D，使AE=AF？如果存在，求出此时AD的长，如果不存在，请说明理由．3．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，E在AC边上，且AD=AE．（1）若∠BAD=40°，求∠EDC的度数；（2）若∠EDC=15°，求∠BAD的度数；（3）根据上述两小题的答案，试探索∠EDC与∠BAD的关系．4．如图，△ABC是等腰三角形，D、E分别是腰AB及AC延长线上的点，且DG=GE，请证明：BD=CE．5．如图所示，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点F在边BC上，BF=CF．求证：△DEF是等腰三角形．6．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．7．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．求证：DB=DE．8．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_________ 根．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．10.在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE．求证：AD=CE．11．如图，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB．求证：BD=CE．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．求证：AM=AN．13．如图，已知在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点P、Q，且AP=CQ，AQ、BP相交于点O，（1）求证：△ABP≌△ACQ；（2）求∠BOQ的度数．14．如图，P是等边△ABC内一点，∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明．15．已知：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC．求证：DC=AD．16．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．18.如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．19．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．20．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．21．如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC．求证：AF⊥FE．22．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．23．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．。
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案
20．如图，抛物线y＝ x2﹣ x﹣ 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
13．如图，抛物线 经过点A（0，3），B（－1，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
(3)在抛物线上是否存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线 过点 ， ， ．
(3)如图2，在（2）的条件下，点D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)、B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C．
(1)求a、b满足的关系式及c的值；
(2)如果 ，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使 ．
①求点P的坐标；
②若直线PD上是否存在点Q，使 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(4，0)，C(﹣1，0)两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．
(1)点E的坐标为；
浙教版初中数学八年级上册第二章《特殊三角形》单元复习试题精选 (452)
浙教版初中数学试卷2019-2020年八年级数学上册《特殊三角形》测试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2分)三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的（ ） A ． 中线上B ．平分线上C ．高上D ． 中垂线上2．(2分)在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5，则DC 的长度是（ ）A ．85 B ．45C ．165 D ．2253．(2分)如图，在ABC △中，AC BC AB =>，点P 为ABC △所在平面内一点，且点P 与ABC △的任意两个顶点构成PAB PBC PAC △，△，△均是．．等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．74．(2分)下列判断中，正确的是（ ） A ．顶角相等的两个等腰三角形全等 B ．腰相等的两个等腰三角形全等C ．有一边及锐角相等的两个直角三角形全等D ．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等5．(2分)设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形，下图中能表示它们之间关系的是 （ ）A ．B ．C ．D ．6．(2分)下列各组条件中，能判定△ABC 为等腰三角形的是 （ ） A ．∠A=60°，∠B=40°B ．∠A=70°，∠B=50°CB AC．∠A=90°，∠B=45°D．∠A=120°，∠B=15°7．(2分)三角形的三边长a、b、c满足等式（22()2a b c ab+-=，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形8．(2分)如图，为了测出湖两岸A、B间的距离．一个观测者在在C处设桩，使三角形ABC恰为直角三角形，通过测量得到AC的长为160 m，BC长为l28 m，那么从点A穿过湖到点B的距离为（）A．86 m B．90 m C．96 m D．l00 m9．(2分)在一个直角三角形中，有两边长为6和8，下列说法正确的是（）A．第三边一定为10 B．三角形周长为25C．三角形面积为48 D．第三边可能为1010．(2分)如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=14∠BAC，AD⊥AB垂足为A，AD=1，则BD=（）A．1 B C．2 D．311．(2分)将两个完全一样的有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题12．(2分)等腰直角三角形的斜边上的中线长为 1，则它的面积是 .13．(2分)△ABC中，∠A=40°，当∠C= 时，△ABC是等腰三角形．14．(2分)如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C= ．15．(2分)如图，剪四个与图①完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图②所示的图形．(1)大正方形的面积可以表示为．(2)大正方形的面积也可表示为．(3)对比两种方法，你能得出什么结论?16．(2分)如图，小红和弟弟同时从家中出发，小红以4 km／h的速度向正南方向的学校走去，弟弟以3 km／h的速度向正西方向的公园走去，lh后，小红和弟弟相距 km．17．(2分)如图，△ABC是等边三角形，中线BD、CE相交于点0，则∠BOC= ．18．(2分)如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形分别是．19．(2分)如图，已知0C是∠A0B的平分线，直线DE∥OB，交0A于点D，交0C于点EDBAE ，若OD=5 cm ，则DE= cm ．20．(2分) 等腰三角形△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=70°，D 是BC 的中点，则∠ADC= ，∠BAD= ．21．(2分) 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是AC 上的一点，使 BD=BC=AD ，则∠A = ．22．(2分)如图，在△ABC 中，若 ，∠BAD=∠CAD ，则BD=CD.三、解答题23．(7分)已知：如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，︒=∠=∠90DCE ACB ，D 为AB 边上一点.求证：（1）△ACE ≌△BCD ； （2）222DE AE AD =+.24．(7分)如图是斜拉桥的剖面图．BC 是桥面，AD 是桥墩，设计大桥时工程师要求斜拉的钢绳AB= AC ．大桥建成以后，工程技术人员要对大桥质量进行验收，由于桥墩AD 很高，无法直接测量钢绳AB 、AC 的长度．请你用两种方法检验AB 、AC 的长度是否相等，并说明理由．25．(7分)．有一块菜地，地形如图，试求它的面积s(单位：m)．26．(7分)如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，∠ADC的面积为30cm2，DC=12 cm ，AB=3 cm ,BC=4 cm,求△ABC的面积．27．(7分)如果将直角三角形的三条边长同时扩大一倍，得到三角形还是直角三角形吗?扩大n倍呢(n为正整数)?28．(7分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的中线，AD=5 cm，求△ABC的面积．29．(7分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=5∠B．求∠A和∠B的度数．30．(7分)如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边AB，AC的中点，说明BC=2DE的理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B2．C3．C4．D5．A6．C7．B 8．C 9．D 10．C 11．B二、填空题12．113．40°或70° 14．25°15．(1)c 2 ；(2)214()2ab b a ⨯+-；（3）222a b c += 16．5 17．120°18．△ABD ，△CBD,△ABC 19．5 20．90°，35° 21．36°22．AB=AC 或∠B=∠C三、解答题23．证明：（1） ∵ DCE ACB ∠=∠ ∴ ACE ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠ 即 ACE BCD ∠=∠ ∵ EC DC AC BC ==, ∴ △BCD ≌△ACE (2）∵ BC AC ACB =︒=∠,90， ∴ ︒=∠=∠45BAC B ∵ △BCD ≌△ACE∴ ︒=∠=∠45CAE B∴ ︒=︒+︒=∠+∠=∠904545BAC CAE DAE ∴ 222DE AE AD =+24．方法一：测量BD 、ED 的长度，看是否相等；方法二：测量∠B 、∠C 的度数，看是否相等 25．24m 226．6cm 227．均是直角三角形28．25 cm 229．∠A=75°,∠B=15° 30．说明△ADE 是等边三角形。
2020年九年级数学中考专题复习《特殊三角形》过关检测(Word版附答案)
《特殊三角形》过关检测一、选择题(本大题共16小题,共42分.1~10小题各3分,11~16小题各2分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.对于命题“已知:a∥b,b∥c,求证:a∥c”.如果用反证法,应先假设( )A.a不平行bB.b不平行cC.a⊥cD.a不平行c2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是( )A.∠B=∠CB.AD⊥BCC.AD平分∠BACD.AB=2BD第2题图第3题图第4题图3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12 cm,则AB等于( )A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm4.如图,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.无法判断5.给出下列几组数:①6,7,8;②8,15,16;③n2-1,2n,n2+1;④m2-n2,2mn,m2+n2(m>n>0),其中能组成直角三角形的三条边长是( ) A.①③ B.②④ C.①② D.③④6.下列命题中:①两直角边对应相等的两个直角三角形全等;②两锐角对应相等的两个直角三角形全等;③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等;⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的个数有( )A.2B.3C.4D.57.如图,在△ABC中,∠C=45°,点D在AB上,点E在BC上.若AD=DB=DE,AE=1,则AC的长为( ) A.√ B.2 C.√3 D.√2第7题图第8题图第9题图8.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,F为BC的中点,DE=5,BC=8,则△DEF的周长是( )A.13B.15C.18D.219.如图,在△ABC中,过顶点A的直线DE∥BC,∠ABC,∠ACB的平分线分别交DE 于点E,D,若AC=3,AB=4,则DE的长为( ) A.6 B.7 C.8 D.910.如图,沿AC方向开山修建一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=150°,沿BD的方向前进,取∠BDE=60°,测得BD=520 m,BC=80 m,并且AC,BD和DE在同一平面内,那么公路CE段的长度为( )A.(260√3-80) mB.(260√2-80)mC.260√3 mD.180 m11.如图,若AB=AC,下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)12.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=5,BC=3,则CD的长是( )A.2B.52C.2 √2 D.3√22第12题图 第13题图第14题图13.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点F,若∠F=30°,DE=1,则EF 的长是 ( )A.3B.2C.√3D.114.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC 交DE 于点F,点G 为AF 的中点,∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1,则DE 的长为 ( )A.2√3B.√10C.2√2D.√615.如图,正方形ABCD 的边长为1,其面积标记为S 1,以CD 为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S 2……按照此规律继续下去,则S 2 018的值为 ( )A.(12)2 015 B.(12)2 016 C.(12)2 017 D.(12)2 018第15题图 第16题图16.如图,等腰三角形ABC的底边长为8 cm,腰长为5 cm,一动点P在底边上从B 向C以0.25 cm/s的速度移动,则当P点与顶点A的连线PA与腰垂直时,点P 运动的时间为( )A.12 sB.25 sC.7 sD.7 s或25 s二、填空题(本大题共3小题,共10分.17~18小题各3分,19小题有2个空,每空2分)17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=∠BCD,则△ACD的形状为.第17题图第18题图第19题图18.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,D是BC上的一点,AC=20,CD=10√3-6,则AD= .19.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC边上的高AD=6,腰AB上的高CE=8,则BC= ,△ABC的周长等于.三、解答题(本大题共7小题,共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20.(本小题满分8分)在△ABC中,AB=√3,AC=√2,BC=1.求证:∠A≠30°.21.(本小题满分9分)如图,在长方形纸片ABCD中,AB=10 cm,BC=8 cm,E为BC边上的一点,将纸片沿AE翻折,使点B与CD边上的点F重合.求线段EF的长.22.(本小题满分9分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线EF交AB于点E,交BC FC.于点F.求证:BF=1223.(本小题满分9分)如图,把一块等腰直角三角形零件△ABC(其中∠ACB=90°),放置在一凹槽内,A,B,C三个顶点分别落在凹槽内壁上,已知∠ADE=∠BED=90°,测得AD=5 cm,BE=7 cm,求该三角形零件的面积.24.(本小题满分10分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC,且AD与BF交于点E,那么△AEF是等腰三角形吗?请说明理由.25.(本小题满分11分)如图,AB把四边形ACBE分为△ABC和△ABE两部分,如果△ABC中BC边上的高和△ABE中BE边上的高相等,且AC=AE.(1)在原图上画出△ABC中BC边上的高AD与△ABE中BE边上的高AF;(2)请你猜想BC与BE的数量关系并证明.26.(本小题满分12分)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作等边三角形BPM,连接CM.(1)观察并猜想AP与CM之间的数量关系,并说明理由;(2)若PA=PB=PC,则△PMC是三角形;(3)若PA∶PB∶PC=1∶√2∶√3,试判断△PMC的形状,并说明理由.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D C B D C D A题号9 10 11 12 13 14 15 16答案 B A B C B C C D12√17.直角三角形18.2√3419.24√5520. 略21. 5 cm.22.略23. 37cm2.24. △AEF是等腰三角形25. (1)如图所示.(2)BC=BE.26. (1)AP=CM(2)等边(3)△PMC是直角三角形。
初中数学中考复习 3 第17课时 特殊三角形
第四单元三角形第17课时特殊三角形点对点·课时内考点巩固45分钟1.若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为()A. 2 cmB. 4 cmC. 6 cmD. 8 cm2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，且点E在BD 上，则图中的等腰三角形有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个第2题图3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、DE分别是△ABC和△ACD的高，∠B＝2∠CDE，则∠A ＝()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则∠EDC的度数为()A．10° B．12.5° C．15° D．20°第4题图5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF ＝()A. 2B. 4C. 6D. 8第5题图6. (2019陕师大附中模拟)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为()A. 6B. 5C. 4D. 33第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在△ABC中，点D是AB的中点，过点B作BE⊥AC于点E，连接DE，若∠ABE＝30°，∠C＝45°，DE＝2，则BC的长为()A. 2B. 2 3C. 3D. 26第7题图8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，若AB＝10，CD ＝4，则AC的长为()A. 5B. 6C. 2 5D. 7第8题图9.(2019西安高新一中模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点，若BD＝1，则AC的长是()A. 3 3B. 4 3C. 2 3D. 83第9题图10. (2019西安高新一中模拟)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D是边AC的中点，连接BD，点E为AC延长线上的一点，连接BE，∠E＝30°，则CE的长为()A. 26－2 2B. 6－2C. 6D. 2第10题图11.如图，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE.若AB＝2，则DE＝()A. 3B. 2C. 2 3D. 22第11题图12. (2019西安交大附中模拟)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为()A. 4B. 2 3C. 3 3D. 43第12题图13. (2019陕西定心卷)将△ABC和△ACD按照如图所示的位置放置，其中∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC ＝30°，∠DAC＝45°，BC＝43，△ABC的角平分线BE交AC于点E，连接DE，则DE的长为()A. 4 2B. 6C. 4 3D. 210第13题图14. (2019黄石)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝()A. 125°B. 145°C. 175°D. 190°第14题图15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于()A. 1B. 2C. 32 D. 2第15题图16. (2019甘肃省卷)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．17. (2019株洲)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．第17题图18.(2019大连)如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD.若AB＝2，则AD 的长为________．第18题图19. (2019宜宾)如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝________．第19题图20.(2019枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD ＝________．第20题图21. (2019临沂)如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是________．第21题图点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019铜仁)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为()A. 12B. 14C. 24D. 21第1题图2.(2018十堰)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为________．第2题图3. (2019安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．第3题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019天水)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为()第1题图A. (1，1)B. (1，3)C. (3，1)D. (3，3)参考答案第17课时特殊三角形点对点·课时内考点巩固1. A【解析】若2 cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10－2－2＝6(cm)，2＋2＜6，不符合三角形的三边关系；若2 cm为等腰三角形的底边，则腰长为(10－2)÷2＝4(cm)，此时三角形的三边长分别为2 cm，4 cm，4 cm，符合三角形的三边关系．2. A【解析】①∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；②∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴BE ＝CE ，∴△BCE 是等腰三角形；③∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ，∴AD ＝BD ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD 是等腰三角形．故选A .3. C 【解析】设∠CDE ＝x ，∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 、DE 分别是△ABC 和△ACD 的高，∠B ＝2∠CDE , ∴∠B ＝2x ，∠A ＝90°－2x ，∴∠A ＝∠CDE ＝x ，可得：90°－2x ＝x ，解得x ＝30°， ∴∠A ＝90°－2×30°＝30°.4. C 【解析】∵在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，∴∠DAC ＝∠BAD ＝30°.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝75°，∴∠EDC ＝90°－∠ADE ＝15°.5. B 【解析】∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB ·DE ＝AB ·DE ＝2AB .∵S △ABC ＝12AC ·BF ，∴12AC ·BF ＝2AB .∵AC ＝AB ，∴12BF ＝2，∴BF ＝4.6. D 【解析】∵ED 是BC 的垂直平分线，∴DB ＝DC ，∴∠C ＝∠DBC .∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠C ＝∠DBC ＝∠ABD ＝30°，∴BD ＝2AD ＝6，∴CE ＝CD ·cos C ＝3 3.7. D 【解析】∵BE ⊥AC 于点E ，∴△ABE 为直角三角形，∵点D 是AB 的中点，∴AB ＝2DE ＝4.∵∠ABE ＝30°，∴BE ＝AB ·cos30°＝23，∵∠C ＝45°，∴BE ＝EC ＝23，∴BC ＝BE 2＋EC 2＝2 6.8. C 【解析】∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 为AB 边上的中线，AB ＝10，∴AE ＝CE ＝5，∵CD 为AB 边上的高，∴在Rt △CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝3，∴AD ＝AE －DE ＝2.在Rt △ACD 中，AC ＝CD 2＋AD 2＝2 5.9. C 【解析】如解图，连接CD .∵∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ACB ＝60°，∵DE 是AC 的中垂线，∴AD ＝CD ，∴∠DCE ＝∠A ＝30°，∴∠BCD ＝30°.∵BD ＝1，∴BC ＝BD tan30°＝3，∴AC ＝BCsin30°＝2 3.第9题解图10. B 【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，D 是AC 的中点，AB ＝2，∴∠BDC ＝90°，AC ＝22，AD ＝CD ＝BD ＝2，∵∠E ＝30°，∴DE ＝6，∴CE ＝DE －CD ＝6－ 2.11. A 【解析】∵△ABC 为等边三角形，BD 是AC 边上的中线，∴∠DCB ＝60°，AC ＝BC ＝2，∴CD ＝1，∠DBC ＝30°，∴BD ＝BC 2－CD 2＝3，∵CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠CDE ＝30°，又∵∠DBC ＝30°，∴DE ＝BD ＝ 3.12. C 【解析】在Rt △ABF 中，∵∠AFB ＝90°，AD ＝DB ，DF ＝3，∴AB ＝2DF ＝6.∵AD ＝DB ，AE ＝EC ，∴DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝3，∴BF ＝AB 2－AF 2＝62－32＝3 3.13. D 【解析】如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，则DF ＝CF ＝12AC .∵∠ABC ＝90°－∠BAC ＝60°，BE 是△ABC 的角平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ＝30°，又∵BC ＝43，∴CE ＝4，AC ＝12，∴DF ＝CF ＝6，∴EF ＝CF －CE ＝2，∴在Rt △DFE 中，由勾股定理可得DE ＝DF 2＋EF 2＝210.第13题解图14. C 【解析】如解图，连接DF .∵CD ⊥AB ，F 为AC 的中点，∴DF ＝CF ，∵CD ＝CF ，∴△CDF 是等边三角形，∠ACD ＝60° .∵∠B ＝50°，∴∠BCD ＋∠BDC ＝130°，∵CE 平分∠BCD ，DE 平分∠BDC ，∴∠CED ＝180°－(∠DCE ＋∠CDE )＝180°－12(∠BCD ＋∠BDC )＝115°，∴∠ACD ＋∠CED ＝60°＋115°＝175°.第14题解图15. A 【解析】如解图，连接CP 并延长，交AB 于点D .∵点P 是Rt △ABC 的重心，∴CD 是Rt △ABC 的中线．∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴CD ⊥AB ，CD ＝12AB ＝3，∴PD ＝13CD ＝13×3＝1，∴点P 到AB 所在直线的距离等于1.第15题解图16. 85或14 【解析】当∠A 为顶角时，则底角∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝50°，此时的特征值k ＝80°50°＝85；当∠A 为底角时，则顶角(∠B 或∠C )＝180°－2∠A ＝20°，此时的特征值k ＝20°80°＝14.综上所述，它的特征值k 为85或14.17. 4 【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线，∴AB ＝2MC ，∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点，∴EF 是△CMB 的中位线．又∵EF ＝1，∴MC ＝2EF ＝2，∴AB ＝2MC ＝4.18. 23 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∵CD ＝AC ，∴∠CAD ＝∠D ，∵∠ACB ＝∠CAD ＋∠D ＝60°，∴∠CAD ＝∠D ＝30°，∴∠BAD ＝90°，∴AD ＝AB tan30°＝2 3.19.165 【解析】根据勾股定理可知，AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝5，∵S △ABC ＝12×3×4＝6，∵S △ABC ＝12×AB ×CD ＝12×5×CD ＝52CD ＝6，∴CD ＝125，∴AD ＝AC 2－CD 2＝16－（125）2＝165.20. 6－2 【解析】如解图，过A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF .在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴BC ＝22，∴AF ＝BF ＝CF ＝2，∵两个三角尺大小相同，∴AD ＝BC ＝22，在Rt △ADF 中，FD ＝AD 2－AF 2＝（22）2－（2）2＝ 6.∴CD ＝FD －FC ＝6－ 2.第20题解图21. 83 【解析】如解图，取AC 的中点E ，连接ED ，∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ＝12×4＝2.∴∠CDE ＝∠BCD .∵DC ⊥BC ，∴∠CDE ＝∠BCD ＝90°.∵∠ACB ＝120°，∴∠DCE ＝30°，∠CED ＝60°.在Rt △EDC 中，CD ＝ED ·tan ∠CED ＝23，∴S △BCD ＝12BC ·DC ＝12×4×23＝4 3.∵D 为AB 的中点，∴S △ABC＝2S △BCD ＝8 3.第21题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】∵BD ⊥CD ，BD ＝4，CD ＝3，∴由勾股定理得BC ＝BD 2＋CD 2＝5.∵点E 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴EH 是△ABC 的中位线，∴EH ∥BC ，EH ＝12BC ＝52，∵F 、G 分别是BD 、CD 的中点，∴FG 是△BDC 的中位线，∴FG ＝12BC ＝52；同理可得EF ＝GH ＝12AD ＝72，∴四边形EFGH 的周长为EF ＋GH ＋EH ＋FG ＝72＋72＋52＋52＝12.2.163【解析】如解图，作点A 关于BC 的对称点A ′，AA ′交BC 于点O ，过点A ′作A ′E ⊥AC 于点E ，此时A ′E 即为DA ＋DE 的最小值．在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝（62）2＋32＝9，∵12BC ·OA ＝12AB ·AC ，即BC ·OA ＝AB ·AC ，∴9OA ＝3×62，∴OA ＝22，∴AA ′＝42，又易得∠CAA ′＝∠B ，∴sin ∠CAA ′＝sin B ，∴AC BC ＝A ′E AA ′，∴629＝A ′E 42，∴A ′E ＝163，即DA ＋DE 的最小值为163.第2题解图3.125【解析】如解图，连接AD ，∵∠BAC ＝90°，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴四边形AMDN 是矩形，∴对角线MN ＝AD ，因此，当线段AD 最短时，MN 最短．当AD 为BC 边上的高时，AD 最短，在Rt △ABC 中，BC ＝32＋42＝5，S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD ，即12×3×4＝12×5AD ，∴AD ＝125，即MN 的最小值为125.第3题解图点对面·跨板块考点迁移1. B【解析】如解图，过点B作BD⊥OA于点D，∵△OAB为等边三角形，边长为2，∴∠BOA＝60°，OA＝OB＝2.∴OD＝1，BD＝OB· sin60°＝2×32＝ 3.∴点B的坐标为(1，3)．第1题解图。
最新九年级中考数学复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)
2023年九年级中考数学复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．抛物线y＝ax2＋c交x轴于A、B（1，0）两点，且经过（2，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线y＝kx＋3交y轴于点G，交抛物线y＝ax2＋c于点E和F，F在y轴右侧，若△GOF的面积为△GOE面积的2倍，求k值；(3)如图2，点P是第二象限的动点，分别连接P A、PB，并延长交直线y=－2于M、N 两点. 若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．2．如图，已知抛物线2=++与直线y=0.5x＋3相交于A，B两点，交△轴于C，0.5y x bx cD两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（－3，0）.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB一MD|的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点，连接P A，过点P作PQ△P A交y轴于点Q，是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=2，且OA=1，OC=3，连接AC，BC．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？(3)此抛物线的对称轴和以AC为直径的圆是什么位置关系？如果是相切或相交，请直接写出切点或交点的坐标（不必写演推过程）；如果是相离，请简要说明理由．4．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD、CD、AC、BC．(1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)求证：△ACD是直角三角形；(3)判断△ACB和△OAD的数量关系，并说明理由；(4)如图2，点F是线段AD上一个动点，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，请直接写出点F的坐标；若不相似，请说明理由．5．抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)如图△，点P 为直线AC 下方抛物线上的点，连接P A ，PC ，△BAF 的面积记为S 1，△P AC 的面积记为S 2，当S 2＝38S 1时．求点P 的横坐标；(3)如图△，连接CD ，点Q 为平面内直线AE 下方的点，以点Q ，A ，E 为顶点的三角形与△CDF 相似时（AE 与CD 不是对应边），请直接写出符合条件的点Q 的坐标． 6．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．7．如图1，已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．(1)求该二次函数的解析式；(2)设M 为该抛物线上直线BC 下方一点，过点M 作x 轴的垂线，交线段BC 于点N ，线段MN 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；(3)连接CE （如图2），设点P 是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P 作PQ △x 轴，垂足为Q ．连接PE ，请求出当△PQE 与△COE 相似时点P 的横坐标．8．如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y ax bx c =++经过A ，B 两点，点C 的坐标为()1,0-，3AO CO ==，点C 关于点B 的对称点M 刚好落在抛物线上，连接AM ．(1)求点M 的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)过点M 作MD 平行于y 轴交AB 于点D ，若点E 为抛物线上的一点，点F 在x 轴上，连接AE ，AF ，EF ．是否存在点F 使得△ADM 与△AEF 相似？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A ，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴交于另一个点D ．(1)△求点A ，B ，C 的坐标；△求b ，c 的值．(2)若点P 是边BC 上的一个动点，连结AP ，过点P 作PM △AP ，交y 轴于点M （如图2所示）．当点P 在BC 上运动时，点M 也随之运动．设BP ＝m ，CM ＝n ，试用含m 的代数式表示n ，并求出n 的最大值．10．平面直角坐标系中，已知抛物线1C ：()21y x m x m =-++-（m 为常数）与x 轴交于点A ，B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．(1)若4m =，求点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若90DBA ACB ∠∠+=︒，求点D 的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 向左平移n 个单位长度（0n >）与直线AC 交于M ，N （点M 在点N 右边），若2AM CN =，求m ，n 之间的数量关系．11．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．(1)求n 的值及抛物线的解析式；(2)(),0E m 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ．△点E 在线段OA 上运动，若BPD △与ADE 相似，求点E 的坐标；△若抛物线的顶点为Q ，AQ 与CB 的延长线交于点H ，点E 在x 轴的正半轴上运动，若PBD CBO H ∠+∠=∠．请求写出m 的值．12．如图1，平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－12x －2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝14x 2＋bx ＋c 经过点A 、点C ，且与x 轴交于另一点B ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点．△当点P 在直线AC 下方的抛物线上运动时，如图2，连接AP ，CP ．求四边形ABCP 面积的最大值及此时点P 的坐标；△当点P 在x 轴上方的抛物线上运动时，过点P 作PM △x 轴于点M ，连接BP ．是否存在点P ，使△PMB 与△AOC 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y 2b c x ++与x 轴交于点A 、B ，点A 、B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ，BC．(1)求b、c的值；(2)求直线BD的直线解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．14．如图，抛物线23(0)y ax bx a=+-≠的顶点E的横坐标为1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线113y x=-+过点B，与y轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)证明：ABD CBE∠=∠；(3)是否存在点1O，使点1O到A，B，C，D的距离都相等，若存在，求出点1O坐标，若不存在，请说明理由．(4)设抛物线与直线DB另一交点为Q，F为线段BQ上一点（不含端点），连接AF，一动点P从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FQ个单位的速度运动到Q后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？（直接写出答案）15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ＝6OA ＝6，点P 是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC 与OP ，交于点D ，当PD ：OD 的值最大时，求点P 的坐标；(3)点P 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点P 、点N ．使△CPN ＝90°，且△CPN 与△BOC 相似，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．16．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴分别交于点A ，点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点，连接AD 交BC 于点E ，若AE ＝2ED ，求点D 的坐标；(3)直线y ＝kx ﹣2k +1与抛物线交于M ，N 两点，取点P （2，0），连接PM ，PN ，求△PMN 面积的最小值．17．综合与探究如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B ，C ，与x 轴的另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．(2)连接CD，BD，求点D到BC的距离h．(3)P为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使得PDQ与BOC相似？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知直线223y x=-与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线226y x bx=-++经过点A，与x轴的另一个交点为C，交y轴于点D．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)点M是y轴上的点，在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PMD△与BOC相似，且点M与点O为对应点，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y=-2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另点B．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AC 上方的抛物线上有一动点E ，连接BE ，与直线AC 相交于点F ，当EF =12BF 时，求sin△EBA 的值．(3)点N 是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，若点E 位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M ，使以M ，N ，E ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)△求DE 、CE 的值（用含m 的代数式表示）．△当以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求m 的值．(3)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)21y x =- (2)k =(3) 1.-2．(1)215322y x x =++(3)在点P （1，6）3．(1)y =x 2－4x +3(2)点D 的坐标是（0，0）或（73，0） (3)相交，交点的坐标是（2，1）或（2，2）4．(1)抛物线解析式为y =-x 2-2x +3；顶点D 的坐标为（-1，4）；(2)见解析(3)△OAD =△ACB(4)相似，F 点的坐标为（-65，185）或（-2，2）．5．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3(2)P 352(3)Q 点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)6．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)224233y x x =--(2)线段MN 存在最大值，最大值为32(3)点P 的横坐标为5或28．(1)(M(2)2y x x =(3)存在，()()()()()11,0,3,0,,0,5,0,7,0,13,03⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．(1)△A (3，0)，B (3，3)，C (0，3)；△23b c =⎧⎨=⎩ (2)2133324n m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（0≤m ≤3）；3410．(1)A （1，0），B （4，0），C （0，﹣4）(2)D （83，209） (3)93m n =-11．(1)n =3，y =-x 2+2x +3．(2)△（1，0）或（2，0）．△m =5或73．12．(1)211242y x x =+- (2)△四边形ABCP 面积的最大值为8，此时点P 为（－2，－2）；△存在符合条件的点P ，点P 坐标为（－6，4）或（－12，28）或（4，4）13．(1)132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)y=+(3)Q 1（，0）、Q 2（0）、Q 3，0）、Q 4（，0） 14．(1)2 2 3y x x =--(2)见解析(3)存在点()111O -,，使点P 到A ，B ，C ，D 的距离都相等(4)F 的坐标为41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭时，点P 在整个运动过程中用时最少15．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6(2)点P 的坐标为315(,)22(3)存在，点P 的坐标分别为(3，0)或(1，8)或939(,)48或755(,)4816．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)（1，4）或（2，3）17．(1)223y x x =-++，顶点D (1，4)(2)h =(3)Q （0，3）或（2，3）18．(1)2246y x x =-++；(0,6)D(2)存在，点P 的坐标为755,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,8)或(3,0)19．(1)抛物线的解析式为y =-2x 2-4x +6；(2)sin△EBA ； (3)M 的坐标为（2，-10）或（-4，-10）或（0，6）．20．(1)223y x x =-++(2)△23DE m m =-，CE ；△m 的值为32或53(3)存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为(1，0)或(2，0)或(3，0)．。
特殊三角形综合复习
特殊三角形综合复习一．选择题（共10小题）1．（2012•襄阳）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°第1题第2题第3题第4题第5题2．（2012•内江）如图，a∥b，∠1=65°，∠2=140°，则∠3=（）A．100°B．105°C．110°D．115°3．（2011•仙桃天门潜江江汉）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（）A．23°B．16°C．20°D．26°4．（2011•巴彦淖尔）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒5.（2010•株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6B．7C．8D．9第6题第7题第8题第9题第10题6．（2010•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个7．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12 C．32 D．648．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定9．（2010•西宁）矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（）A．5B．C．6D．10．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．121二．填空题（共4小题）11．（2012•丹东）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有_________个．第11题第12题第13题第14题12．（2011•南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作发进行下去，则AC n=_________．13．（2011•南昌）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是_________．14．（2012•鞍山）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于_________．三．解答题（共11小题）15．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P 作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．16．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．17．（2011•烟台）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求证：AB=BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．18．（2011•随州）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．19．（2010•大田县）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．20．（2008•江西）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．26．（2011•宁德）定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．。
2021-2022学年浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》期末综合复习训练2(附答案)
2021-2022学年浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》期末综合复习训练2（附答案）1．等腰△ABC中，∠C＝50°，则∠A的度数不可能是（）A．80°B．50°C．65°D．45°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB 交BD于E，图中等腰三角形的个数是（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个3．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个4．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（）A．80°或50°B．50°或20°C．80°或20°D．50°5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．7或11C．11D．7或106．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则等腰三角形的底角为（）A．67°B．67.5°C．22.5°D．67.5°或22.5°7．如图，把一个含45°的三角板的直角顶点放在直线b上，已知a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°8．下列说法中，正确的是（）A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c，则满足a2﹣b2＝c2C．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形9．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A．10m B．15m C．5m D．20m10．下列四组数：①3、4、5；②、、；③0.3、0.4、0.5；④、、，其中是勾股数的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组11．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．12．王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示﹣1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”．则数轴上点A所表示的数是（）A．﹣1B．﹣+1C．D．﹣13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm214．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c215．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形16．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个17．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（）A．直角三角形中两个锐角都大于45°B．直角三角形中两个锐角都不大于45°C．直角三角形中有一个锐角大于45°D．直角三角形中有一个锐角不大于45°18．若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是．19．如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为．20．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°．21．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（填序号）22．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为厘米/秒．23．已知直角三角形中有两边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长为．24．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．25．已知等腰三角形的周长是13．（1）如果腰长是底边长的，求底边的长；（2）若该三角形其中两边的长为3x和2x+5，求底边的长．26．（1）如图1，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝88°，求∠A的度数；（2）①如图2，∠MAN＝11°，点B在AM上，且AB＝1，按下列要求画图：以点B为圆心，1为半径向右画弧交AN于点B1，得第1条线段BB1；再以点B1为圆心，1为半径向右画弧交AM于点B2，得第2条线段B1B2，…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段，则n为多少？②已知∠MAN按照①思路画图，现在一共最多可以画出6条线段，请你求出∠MAN的度数范围．27．已知如图1：△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？③若△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？28．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝（1）求AD的长；（2）求证：△ABC是直角三角形．29．如图所示，四边形ABDC，BD⊥CD，BD＝6，CD＝8，AB＝24，AC＝26，求该四边形的面积．30．已知a，b，c为三角形的三边，若a＝2，b＝3，当c为何值时，△ABC是：（1）锐角三角形？（2）直角三角形？（3）钝角三角形？31．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．参考答案1．解：当∠C为顶角时，则∠A＝（180°﹣50°）＝65°；当∠A为顶角时，则∠A＝180°﹣2∠C＝80°；当∠A、∠C为底角时，则∠C＝∠A＝50°；∴∠A的度数不可能是45°，故选：D．2．解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形．∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，∴△BDC是等腰三角形．∵∠EBC＝∠ECB＝36°，∴△BCE是等腰三角形，∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝72°＝∠EDC，∴△CDE是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选：C．3．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选：A．4．解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，②当这个角80°是顶角，设等腰三角形的底角是x°，则2x+80°＝180°，解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故选：A．5．解：根据题意，①当AC+AC＝15，解得AC＝10，所以底边长＝12﹣×10＝7；②当AC+AC＝12，解得AC＝8，所以底边长＝15﹣×8＝11．所以底边长等于7或11．故选：B．6．解：有两种情况；（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，已知∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣135°）＝22.5°，综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°．故选：D．7．解：∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝55°，又∵∠4＝90°，∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣55°﹣90°＝35°．故选：A．8．解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2＝b2+c2，即a2﹣b2＝c2”，故不符合题意；C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42＝25＝52，能构成直角三角形，故不符合题意；D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．故选：D．9．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝5，∠A＝30°∴AB＝10，∴大树的高度为10+5＝15m．故选：B．10．解：①3、4、5属于勾股数；②、、不属于勾股数；③0.3、0.4、0.5不属于勾股数；④、、不属于勾股数；∴勾股数只有1组．故选：D．11．解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB＝6，AC＝8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，∴BC＝＝10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C．12．解：由勾股定理得，正方形的对角线的长＝＝，∴数轴上点A所表示的数﹣1，故选：A．13．解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．∵G的面积是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．14．解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误；故选：C．15．解：由a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4＝（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∵a+b＞0，∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．16．解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；故选：C．17．解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设两个锐角都大于45°．故选：A．18．解：由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3．∴周长为6+6+3＝15，故答案为：15．19．解：如图，∵圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°，∠BCA＝90°，∴依题意得△ABC是一个斜边为40cm的等腰直角三角形，∴此三角形中斜边上的高应该为20cm，∴水深至少应为55﹣20＝35cm．20．解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，当P A⊥OA时，∠A＝90°，即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．故答案为：50或90．21．解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当BD＝CM＝6厘米，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，∴点N运动的速度为2厘米/秒．②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，∴点N的速度为：＝3厘米/秒．故点N的速度为2或3厘米/秒．故答案为：2或3．23．解：（1）当边长为4cm的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为4cm；（2）当边长为4cm的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为cm＝5cm，故该直角三角形斜边长为4cm或5cm，故答案为4cm或5cm．24．解：根据勾股定理，另一直角边＝＝3，∴3+4＝7，故应填7．25．解：（1）设底边的长为x，则腰长为x，依题意得2×x+x＝13，解得x＝5，∴底边的长为5；（2）分三种情况讨论：①若两腰长分别为3x和2x+5，则3x＝2x+5，解得x＝5，∴腰长3x＝15（不合题意）；②若腰长为3x，底边长为2x+5，则6x+2x+5＝13，解得x＝1，3x＝3，2x+5＝7（不合题意）；③若底边长为3x，腰长为2x+5，则3x+2（2x+5）＝13，解得x＝，∴底边长＝3x＝；综上所述，底边的长为．26．解：（1）∵AB＝BC＝CD＝DE，∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，根据三角形的外角性质，可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED ＝∠EDM，设∠A＝x°，则∠CBD＝∠CDB＝2x°，∠DCE＝∠CED＝3x°，∠EDM＝4x°又∵∠EDM＝88°，∴4x＝88，x＝22即∠A＝22°；（2）①由题意可知，△ABB1，△BB1B2，△B1B2B3都是等腰三角形，第一个等腰三角形△ABB1的底角为11°，由三角形外角的性质可以得到，第二个等腰三角形△BB1B2的底角为22°，第三个等腰三角形△B1B2B3的底角为33°，于是可得，第n个等腰三角形的底角为（11n）°，而等腰三角形的底角小于90°，所以当n＝8时，底角为88°；当n＝9时，底角为99°，所以n＝8以后就不能再画出符合要求的线段了，故n＝8；②设∠MAN＝n°，同理可知：第一个等腰三角形的底角为n°，第二个等腰三角形的底角为2n°，第三个等腰三角形的底角为3n°，于是可得，第6个等腰三角形的底角为6n°，第7个等腰三角形的底角为7n°，而等腰三角形的底角小于90°，则，∴≤n＜15，即∠MAN的度数范围是：≤n＜15．27．解：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF＝BE+CF＝2BE＝2CF，理由如下：∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，又∠B、∠C的平分线交于O点，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∴∠EOB＝∠OBE，∠FCO＝∠FOC，∴OE＝BE，OF＝CF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EOB＝∠OBE＝∠FCO＝∠FOC，∴EF＝BE+CF＝2BE＝2CF；（2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；第一问中的EF与BE，CF的关系是：EF＝BE+CF．（3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF＝BE﹣CF，理由如下：∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCG（G是BC延长线上的一点），又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线，∴∠EBO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCD，∴∠EOB＝∠EBO，∴BE＝OE，∠FCO＝∠FOC，∴CF＝FO，又∵EO＝EF+FO，∴EF＝BE﹣CF．28．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝；（2）证明：由上题知AD＝，同理可得BD＝，∴AB＝AD+BD＝5，∵32+42＝52，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．29．解：如图，连接BC，∵BD⊥DC，∴∠D＝90°，∴△DBC为直角三角形，∵BC2＝BD2+CD2＝82+62＝102，∴BC＝10，在△ABC中，∵AB2+BC2＝100+576＝676，AC2＝262＝676，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，∴S四边形ABDC＝S△ABC﹣S△BCD＝×10×24﹣×6×8＝96．30．解：（1）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c，当a2+b2＞c2时，△ABC是锐角三角形，即c2＜22+32＝13，∴c＜，∵a＜b＜c∴3＜c＜．∴当3＜c＜时，△ABC是锐角三角形，②a＜c＜b当a2+c2＞b2时，△ABC是锐角三角形，即c2＞b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＞，∵a＜c＜b，∴＜c＜3，∴当＜c＜3，时，△ABC是锐角三角形，③c＜a＜b当c2+a2＞b2时，△ABC是锐角三角形，即c2＞b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＞，∵c＜a＜b，∴＜c＜2（舍去），∴当＜c＜3，或3＜c＜时，△ABC是锐角三角形；（2）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形，即c2＝22+32＝13，∴c＝，∴当c＝时，△ABC是直角三角形，②a＜c＜b当a2+c2＝b2时，△ABC是直角三角形，即c2＝b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＝，∴当c＝时，△ABC是直角三角形，③c＜a＜b当c2+a2＝b2时，△ABC是直角三角形，即c2＝b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＝，∴当c＝时，△ABC是直角三角形，∴当c＝或时，△ABC是直角三角形；（3）分三种情况讨论：①a＜b＜c，②a＜c＜b，③c＜a＜b，①a＜b＜c，当a2+b2＜c2时，△ABC是钝角三角形，即c2＞22+32＝13，∴c＞，∵a＜b＜c∴c＞．∴当c＞时，△ABC是钝角三角形，②a＜c＜b当a2+c2＜b2时，△ABC是钝角三角形，即c2＜b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＜，∵a＜c＜b，∴2＜c＜，∴当2＜c＜，时，△ABC是钝角三角形，③c＜a＜b当c2+a2＜b2时，△ABC是钝角三角形，即c2＜b2﹣a2＝32﹣22＝5，∴c＜，∵c＜a＜b，∴0＜c＜2，∴当0＜c＜2时，△ABC是钝角三角形，∴当c＞或当2＜a＜或0＜c＜2时，△ABC是钝角三角形．31．解：利用图1进行证明：证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，又∵S四边形BCED＝（a+b）2，∴ab+c2+ab＝（a+b）2，∴a2+b2＝c2．利用图2进行证明：证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB ＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．。
中考总复习特殊的三角形与勾股定理专项练习(含解析)
教育选轻轻·家长更放心页 1第105讲 特殊三角形微课 等腰三角形题一：如图，△ABC 中，∠ACB =o 90,∠B =o30，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，连结CE 交AD 于点H ，则图中的等腰三角形有( )A.5个B.4个C.3个D.2个题二：如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于O ，AC =BD ．求证：(1)BC =AD ；(2)△OAB 是等腰三角形．题三：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是__________. 题四：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数.教育选轻轻·家长更放心页 2题五：如图,在△ABC 中，AB =AC ，点D是BC 的中点，点E 在AD 上.求证：(1)△ABD ≌△ACD ；(2)BE =CE题六：如图，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，AD =AE ,求证BE =CD .题七：如图，AB ∥CD ，直线l 交AB 于点E ,交CD 于点F ，FG 平分∠EFD 交直线AB 于点G ,求证：EF =EG .教育选轻轻·家长更放心页 3题八：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F ，求证：AB =AC .第106讲 特殊三角形微课 等边三角形题一：下列三角形中，①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中能判定是等边三角形的个数是___________.题二：如图，等腰直角△ABC 中，CA =CB ，点E 为△ABC 外一点，CE =CA ，且CD 平分∠ACB 交AE 于D ，且∠CDE =60°．求证：△CBE 为等边三角形．教育选轻轻·家长更放心页 4题三：如图，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∠BAD=30°，则C 的度数是______.题四：已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，学习等边三角形时，我们知道，如果∠A =30°，那么AB =2BC ，由此我们猜想，如果AB =2BC ，那么∠A =30°，请你利用轴对称变换，证明这个结论．题五：如图，在Rt △ABC 中，如果∠BCA =90°，∠A =30°，CD 是AB 边上的高.(1)若BD =1，则BC 、AB 各等于多少？教育选轻轻·家长更放心页 5(2)求证：BD =1124BC AB .题六：如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF =2，则PE 的长为( )A ．2B ．23C ．3D ．3题七：如图1，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，AD =BC ，BD 平分∠ABC.(1)求证：AD =DC ；(2)如图2，在上述条件下，若∠A =∠ABC =60°，过点D 作DE ⊥AB ，过点C 作CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，判断△DEF 的形状并证明你的结论.题八：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥BC，交AB边于E，DF⊥AC于F，BE=CD，BD=CF.(1)△ABC是等腰三角形吗？如果是请说明理由；(2)连结EF，若△DEF是等边三角形时，∠A的度数是多少？第107讲特殊三角形微课勾股定理题一：如图，四边形ABCD的面积等于_____．教育选轻轻·家长更放心页6教育选轻轻·家长更放心页 7题二：如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，AB =10，AD =8，AC ⊥BC 于C ，则四边形ABCD 的面积是_____．题三：一个直角三角形两边长分别为10和24，则第三边长的平方为_____．题四：一个直角三角形的两边长分别为9和40，则第三边长的平方是_____．题五：如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，则(a b )(a 2+b 2)的值等于_____．题六：如图是某年召开的国际数学家大会会标，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则a 3+b 3的值为_____．教育选轻轻·家长更放心页 8题七：已知在矩形ABCD 中，AB =4，BC =252，O 为BC 上一点，BO =72，如图所示，以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，M 为线段OC 上的一点．（1）若点M 的坐标为（1，0），如图①，以OM 为一边作等腰△OMP ，使点P 在矩形ABCD 的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；（2）若将（1）中的点M 的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P 的坐标题八：已知A （2，0），B （0，2），试在x 轴上确定点M ，使三角形MAB 是等腰三角形，写出所有满足条件点M 的坐标．教育选轻轻·家长更放心页 9第108讲 特殊三角形微课 勾股定理逆定理题一：如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB =BC =4，CD =6，DA =2．求∠DAB 的度数．教育选轻轻·家长更放心页 10 题二：如图，在四边形ABCD 中，AB、BC 、CD 、DA 的长分别为2、2、23、2，且AB ⊥BC ，则∠BAD 的度数等于_____．题三：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是_____．题四：如图，在4×3的长方形网格中，已知A 、B 两点为格点（网格线的交点称为格点），若C 也为该网格中的格点，且△ABC 为等腰直角三角形，则格点C 的个数为_____．题五：△ABC 中，AB =10，BC 边上的中线AD = 53，BD ＝5，试判断△ABC 的形状?题六：如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为_____．题七：观察下面几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；请你根据规律写出第⑤组勾股数是__________．题八：观察第一个数为偶数的勾股数：4、3、5； 6、8、10； 8、15、17；…，若用2n表示第一个偶数，请分别用n的代数式来表示其他两边，并证明确实是勾股数．第109讲特殊三角形微课勾股定理的应用题一：如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14 B．16 C．20 D．28教育选轻轻·家长更放心页11题二：如图，一个四边形纸片ABCD，AB=4，BC=8，CD=10，∠B=90°，将△ABC沿AC翻转至△AEC，点E落在边AD上，求AD的长．题三：在长，宽，高分别为12cm，4cm，3cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为_____cm．题四：有一个棱长为1m且封闭的正方形体纸箱，一只蚂蚁沿纸箱表面从顶点A爬到顶点B，那么这只蚂蚁爬行的最短路程是_____m．题五：如图，Rt△ABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为_____．教育选轻轻·家长更放心页12教育选轻轻·家长更放心页 13题六：如图，Rt △ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，分别以它的三边为直径作如图所示的三个半圆，则阴影部分面积为_____．题七：一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m ．（1）若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端下滑多少米？（2）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？题八：如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，已知AC=7m，这时梯脚B到墙底端C的距离BC为2m，当梯子的顶端沿墙下滑时，梯脚向外移动，如果梯脚B向外移动到B1的距离为1m 时，那么梯子的顶端沿墙下滑的距离AA1_____1．（用＞、＜、=来填空）教育选轻轻·家长更放心页14第105讲特殊三角形微课等腰三角形题一：B.详解：因为∠ACB=90°,∠B=30°，所以∠BAC=60°，因为AD是角平分线，所以∠CAD=∠BAD=30°，所以AD=BD,所以△ABD是等腰三角形，因为AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，所以CD=ED,AC=AE,所以△CDE、△ACE是等腰三角形，又△CEB也是等腰三角形，所以此图中共有4个等腰三角形.题二：证明见详解详解：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，在△ABC和△BAD中，∵AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°，∴△ABC≌△BAD(HL)，∴BC=AD.(2)∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB.∴△OAB是等腰三角形.题三：30°或150°详解：①当三角形为锐角三角形时，如图所示：教育选轻轻·家长更放心页15教育选轻轻·家长更放心页 16BD ⊥AC ，且∠ABD =60°，由三角形的内角和为180°，所以顶角为30°；②当三角形为钝角三角形时，如图所示：BD ⊥AC ，且∠ABD =60°，所以∠DAB =30°，所以顶角∠BAC =150°.题四：63°或27°详解：若三角形是锐角三角形，如图1所示：因为BD ⊥AC ，所以∠A +∠ABD =90°，因为∠ABD =36°，所以∠A =90°－36°=54°，因为AB =AC ，所以∠ABC =∠C=o o o 1(18054)632-=； 若三角形是钝角三角形时，如图2所示，因为BD ⊥AC ，所以∠BAD +∠ABD =90°所以∠DAB =90°－36°=54°,所以∠BAC =180°－54°=126°,因为AB =AC ，所以∠ABC =∠C =o o o 1(180126)272-=.教育选轻轻·家长更放心页 17题五：见详解详解：(1)∵D 是BC 的中点，∴BD =CD .在△ABD 和△ACD 中，∵BD =CD ，AB =AC ，AD =AD (公共边)，∴△ABD ≌△ACD (SSS).(2)由(1)知△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ，即∠BAE =∠CAE .在△ABE 和△ACE 中，∵AB =AC ，∠BAE =∠CAE ，AE =AE ，∴△ABE ≌△ACE (SAS).∴BE =CE (全等三角形的对应边相等).题六：证明见详解详解：因为BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，所以∠ADB =∠AEC =90°，在△ACE 和△ABD 中，∠A 是公共角，AD =AE ，所以△ACE ≌△ABD ，所以AB =AC ,又因为AD =AE ，所以BE =CD题七：证明见详解详解：因为FG 平分∠EFD 交AB 于点G ，所以∠GFD =∠EFG ,因为AB ∥CD ，所以∠EGF = ∠GFD ,所以∠EFG =∠EGF ，所以△EFG 是等腰三角形，所以EF =EG .题八：证明见详解详解：因为AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，因为角平分线上的点到角两边距离相等，所以DE =DF ，又因为BD =CD ,∠DEB =∠DFC =90°，所以Rt △DEB ≌Rt △DFC ，所以∠B =∠C ，所以AB =AC .教育选轻轻·家长更放心页 18 第106讲 特殊三角形微课 等边三角形题一：3个详解：①两个角为60°，则第三个角也是60°，则三角形为等边三角形，故①正确；②在等腰三角形中，其中有一角等于60°，则该三角形为等边三角形，故②正确；③由等边三角形三线合一的性质可知正确，故答案为：3个.题二：见详解详解：∵CA =CB ，CE =CA ，∴BC =CE ，∴∠CAE =∠CEA ，∵CD 平分∠ACB 交AE 于D ，且∠CDE =60°，∴∠ACD =∠DCB =45°，∠DAC +∠ACD =∠EDC =60°，∴∠DAC =∠CEA =15°，∴∠ACE =150°，∴∠BCE =60°，∴△CBE 为等边三角形题三：30°详解：因为AD ⊥BC ，所以o 90ADB ∠=,因为o 30BAD ∠=，所以o60B ∠=， 因为o 90BAC ∠=，所以o 30C ∠=.题四：∠A =30°.详解：如图，延长BC 至点D ，使CD =BC ，连接AD ，则△ABC 和△ADC 关于直线AC 成轴对称，∴AB =AD ，BD =2BC ，∠BAC =∠DAC ，∵AB =2BC ，∴AB =BD ，∴AB =AD =BD ，∴△ABD 是等边三角形，教育选轻轻·家长更放心页 19∴∠BAD =60°，∴∠BAC =12∠BAD =12×60°=30°．题五：(1) BC =2，AB =4；(2)证明见详解.详解：(1)因为∠BCA =90°，∠A =30°，CD 是AB 边上的高，所以o30BCD ∠=， 于是在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，由∠A =30°，o 30BCD ∠=可得，BC =2BD =2，AB =2BC =4；(2)在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得：BD =12BC ，12BC AB =， 所以1124BD BC AB ==. 题六：C. 详解：∵△ABC 是等边三角形，点P 在∠ABC 的平分线上，∴∠EBP =∠QBF =30°，∵BF =2，FQ ⊥BP ，∴BQ =BF 33. ∵FQ 是BP 的垂直平分线，∴BP =2BQ 3.在Rt △BEP 中，∵∠EBP =30°，∴PE =12BP =3.故选C. 题七：(1)证明见详解；(2) △DEF 为等边三角形，证明见详解.教育选轻轻·家长更放心页 20 详解：(1)证明：因为DC ∥AB ，所以∠CDB =∠ABD ，又因为BD 平分∠ABC ，所以∠CBD =∠ABD ，所以∠CDB =∠CBD ，所以BC =DC ,又因为AD =BC ，所以 AD =DC ；(2)由(1)得， BC =DC ，CF ⊥BD ，所以点F 是BD 的中点，因为∠DEB =o 90， 所以EF =DF =BF ，因为∠ABC =o 60，BD 平分∠ABC ，∠BDE =o60，所以△DEF 为等边三角形. 题八：(1) △ABC 是等腰三角形，理由见详解；(2)o 60.详解：(1)因为DE ⊥BC ，DF ⊥AC 于F ，所以∠BDE =o 90，∠FDC =o 90， 在Rt △BDE 和Rt △CFD 中，BE CD BD CF=⎧⎨=⎩，所以Rt △BDE ≌Rt △CFD ，所以∠B =∠C ，所以AB =AC .(2)如图：因为Rt △BDE ≌Rt △CFD ，所以DE =DF ，当∠EDF =60°时，△DEF 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，教育选轻轻·家长更放心页 21 所以∠CDF =90°－∠EDF =30°，所以∠C =90°－∠CDF =60°，所以∠B =∠C =60°，所以∠A =o o 18060B C -∠-∠=第107讲 特殊三角形微课 勾股定理题一：36．详解：在直角△ABD 中，BD 为斜边，已知AD =3，AB =4，则BD =5，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12AD •AB +12BD •BC =6+30=36． 题二：48．详解：AB =10，AD =8，AC ⊥BC 于C ，由勾股定理可知：AC =6，根据平行四边形的面积公式可得：四边形ABCD 的面积是8×6=48．题三：676或476．详解：设第三边为x（1）若24是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理，得102+242=x 2，所以x 2=676；（2）若24是斜边，则第三边x 为直角边，由勾股定理，得102+x 2=242，所以x 2=476所以第三边长的平方为676或476．题四：1681或1519．详解：设第三边为x（1）若40是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理，得：92+402=x 2，所以x 2=1681．（2）若40是斜边，则第三边x 为直角边，由勾股定理，得：92+x 2=402，所以x 2=1519． 所以第三边的长为1681或1519．题五：13．详解：观察图形，根据勾股定理，知a2+b2即大正方形的面积是13，又根据直角三角形的面积公式，知2ab即其中四个直角三角形的面积和=13-1=12 ∵(a-b)2=a2+b2-2ab=13-12=1 ∵又a＞b∴a-b=1 ∴(a-b)(a2+b2)=13．题六：35．详解：由题意得：大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，即a2+b2=13，a-b=1，解得a=3，b=2，∴a 3+b3=35，故两条直角三角形的两条边的立方和=a3+b3=35．题七：（1）（12，4）；（2）P1（-72，152）、P2（0，4）、P3（2，4）、P4（4，4）．详解：（1）符合条件的等腰△OMP只有1个；点P的坐标为（12，4）；（2）符合条件的等腰△OMP有4个．如图②，在△OP1 M中，OP1=OM=4，在Rt△OBP1中，BO=72，BP1221OP OB-22742⎛⎫- ⎪⎝⎭15，∴P1（-72，152）；在Rt△OMP2中，OP2=OM=4，∴P2（0，4）；在△OMP3中，MP3=OP3，∴点P3在OM的垂直平分线上，∵OM=4，∴P3（2，4）；在Rt△OMP4中，OM=MP4=4，∴P4（4，4）教育选轻轻·家长更放心页22教育选轻轻·家长更放心 页 23题八：（0，0）（-2，0）（2+22，0），（-22+2，0）．详解：如图所示：M 1（0，0），M 4（-2，0），∵A （2，0），B （0，2），∴AB =2222=2 2.+，∵M 2，M 3是以A 为圆心，AB 长为半径交x 轴于两点，∴M 2（2+22，0），M 3（-22+2，0）．故所有满足条件点M 的坐标是：（0，0）（-2，0）（2+22，0），（-22+2，0）．第108讲 特殊三角形微课 勾股定理逆定理题一：135°．详解：连结AC ，∵∠B =90°，AB =BC =4，∴AC 2=32，∠CAB =∠ACB =45°，∵32+22=62，∴AC 2+DA 2=CD 2，∴△ACD是直角三角形，∵∠DAC是CD所对的角，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°．题二：135°．详解：连接AC．∵AB⊥BC于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，又∵AB=CB=2，∴AC=22，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=23，DA=2，∴CD2=12，DA2=4，AC2=8．∴AC2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°．故答案为135°．题三：AB、EF、GH．详解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．因为AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．教育选轻轻·家长更放心页24教育选轻轻·家长更放心页 25题四：6个．详解：根据等腰直角三角形的判定和长方形网格的特点易作出满足条件的C 点．如图：故6个．题五：等边三角形．详解：∵D 为BC 的中点，∴DC =BD =5，∴BC ＝10，∵AB =10，AD =53，BD ＝5，∴AB 2=AD 2+BD 2，∴∠BDA =90°，∴∠ADC =90°，∴AC 2 =AD 2+DC 2，∴AC 2 =(53)2+52＝100，∴AC ＝10，∵AB =BC =AC =10，∴△ABC 是等边三角形．题六：6．教育选轻轻·家长更放心页 26详解：延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE ，∵D 为BC 的中点，∴DC =BD ，∵在△ADC 与△EDB 中，AD ＝ED ，∠ADC ＝∠EDB ，DC ＝BD ，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BE =AC =3，∠CAD =∠E ，又∵AE =2AD =4，AB =5，∴AB 2=AE 2+BE 2，∴∠CAD =∠E =90°，则S △ABC =S △ABD +S △ADC =12AD •BE +12AD •AC =12×2×3+12×2×3=6． 故答案为：6．题七：12，35，37．详解：根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n 组数，则这组数中的第一个数是2(n +1)，第二个是：n (n +2)，第三个数是：(n +1)2+1．根据这个规律即可解答．第⑤组勾股数是12，35，37．题八：2n 表示第一个偶数，那么其它两个数为n 2-1，n 2+1详解：若用2n 表示第一个偶数，那么其它两个数为n 2-1，n 2+1∴(2n )2+(n 2-1)2=n 4+2n 2+1=(n 2+1)2，∴2n 、n 2-1、n 2+1是一组勾股数．第109讲 特殊三角形微课 勾股定理的应用题一：D ．教育选轻轻·家长更放心页 27详解：根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案∵AC =10，BC =8，∴AB =6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．故选D ．题二：AD =10．详解：由题意△ABC 沿AC 翻转至△AEC ，∴△ABC ≌△AEC ，∴AE =AB =4，CE =CB =8，∴∠ABC =∠AEC =90°，∴∠DEC =90°，又∵CD =10，在Rt △EDC 中，DE 2+EC 2 =CD 2 ，∴DE =22EC CD －=22810－=6，又∵AD =AE +ED ，∴AD =4+6=10．题三：13．详解：如图，连结AC 、AD ．在Rt △ABC 中，有AC 2=AB 2+BC 2=160，在Rt △ACD 中，有AD 2=AC 2+CD 2=169，∵AD 169，∴能放进去的木棒的最大长度为13cm ．教育选轻轻·家长更放心页 28 题四：5详解：如图：因为BC =1m ，AC =2m ，所以AB 2212=5 ．题五：30．教育选轻轻·家长更放心 页 29 详解：由勾股定理AB=22512+=13，根据题意得： S 阴影=12π(122)2+12π(52)2-[12π(132)2-12×5×12] =30． 题六：7.625．详解：由题意可知：阴影部分的面积等于分别以3、4、5为直径的半圆的面积与两个Rt △ABC 的面积的差，即S 阴影=12×[3.14×(23)2+3.14×(24)2+3.14×(25)2] -2×12×3×4=7.625． 题七：（1）（8-51）米；（2）2米详解：（1）在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =10米，BC =6米，由勾股定理得AC =8米， △A 1BC 1中，∠C =90°，A 1B 1=10米，B 1C =7米，由勾股定理得A 1C =51米，∴AB 1=AC -B 1C =（8-51）米．答：它的顶端下滑动（8-51）米．（2）设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等为x ，根据题意，10=22(6)(8)x x ++-解得，x =2米，答：滑动的距离为2米．题八：＜．教育选轻轻·家长更放心页 30 详解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得：AB 2272=53+ 在直角三角形A 1B 1C 中，根据勾股定理，得A 1C 539=44-，644＜7，则AA 1＜1．。
第一、二章 全等三角形和特殊三角形期末复习基础题
A F B C
第 13 题
第 10 题 第 11 题 14.下列命题为真命题的是（ ） A． 两边分别平行的两个角相等 B． 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C． 等腰三角形一边上的中线、高线、角平分线互相重合 D． 凡定理都有逆定理
1
D 第 12 题
15.下列条件中，△ ABC 与△ DEF 不一定全等的是（ ） A． ∠A＝∠D＝90°，BC＝EF，AB＝DE B． ∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE C． ∠B＝∠E，AC＝DF，AB＝DE D． BC＝EF，AB＝DE，AC＝DF 16.有下列说法： ①有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形； ②三边长为 14、 5、3 的三角形为直角三角形； ③等腰三角形的两边长为 3、4，则等腰三角形的周长为 10； 2 1 ④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形． 其中正确的个数是（ ） 第 17 题 A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 17.如图所示，一 个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2 的度数为（ ） A．150° B．180° C．240° D．270° 18.如图，∠AOC＝∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，若 OD＝8，OP＝10，则 PE 的长为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 19.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 的中点，若 AB＝8，则 CD 的长是（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 20.如图，△ABC 中，∠C＝90° ，AB 的中垂线 DE 交 AB 于 E，交 BC 于 D，若 AB＝10，AC＝6，则△ACD 的周长为（ ） A． 16 B． 14 C． 20 D． 18 21.如图，△ABC 中，D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且 BE⊥AC．若 DE＝5，AE＝8，则 BE 的长度是（ ） A． 5 B． 5.5 C． 6 D． 6.5
【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 测试卷1(解析版)
【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年八上数学第2章特殊三角形测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．若以下列数组为边长，能构成直角三角形的是()A．4，5，6B．√2，√3，√5C．0.2，0.3 ，0.5D．13，14，15【答案】B【解析】A、42+52≠62，不能构成直角三角形；B、(√2)2+(√3)2=(√5)2，能构成直角三角形；C、0.22+0.32≠0.52，不能构成直角三角形；D、(15)2+(14)2≠(13)2，不能构成直角三角形.故答案为：B.2．下列命题中，逆命题错误的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．对顶角相等C．直角三角形的两个锐角互余D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方【答案】B【解析】A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，符合题意，故本选项不符合题意；B、逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故本选项符合题意；C、逆命题是：若一个三角形两锐角互余，则为直角三角形，符合题意，故本选项不符合题意；D、逆命题是：若一个三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方则为直角三角形，符合题意，故本选项不符合题意．故答案为：B．3．如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是（）A．7根B．8根C．9根D．10根【答案】B【解析】∵添加的钢管长度都与BD相等，∠ABC＝10°，∴∠DBE＝∠DEB＝10°，∴∠EDF＝∠DBE+∠DEB＝20°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝20°，∴∠FEG＝∠ABC+∠EFD＝30°，…由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°（与三角形内角和为180°相矛盾）就不存在了，所以一共有8个，∴添加这样的钢管的根数最多是8根.故答案为：B.4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝8，BC＝4，则CM等于（）A．52B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵∠ACB=90°，M 是BD 的中点，∴CM =12BD ，设CM =x ，则BD =AD =2x ， ∵AC =8，∴CD =AC −AD =8−2x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得， BC 2+CD 2=BD 2，即42+(8−2x)2=(2x)2，解得：x =52故答案为：A. 5．如图，在等边三角形ABC 中，BC=2，D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点F 作EF ⊥BC 于点E ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．54D ．43【答案】C【解析】∵D 是AB 的中点，∴AD =12AB =1， ∵等边三角形ABC 中∠A=∠C=60°， 且DF ⊥AC ，∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，在Rt △ADF 中，AF =12AD =12，∴FC =AC −AF =2−12=32，同理，在Rt △FEC 中，EC =12FC =12×32=34，∴BE =BC −EC =2−34=54．故答案为：C ．6．以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ）A ．6B ．36C ．64D ．8 【答案】A【解析】∵两个正方形的面积分别为8和14，且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方， ∴正方形A 的面积=14-8=6． 故答案为：A ．7．如图， △ABC 中， ∠BAC =90° ， AB =3 ， AC =4 ，点 D 是 BC 的中点，将 △ABC 沿 AD 翻折得到 △AED ，连 CE ，则线段 CE 的长等于（ ）A ．75B ．54C ．53D ．2【答案】A【解析】如图，连接 BE 交 AD 于 O ，作 AH ⊥BC 于 H ．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC=√AC2+AB2=5，∴CD=DB，∴AD=DC= DB=52．又∵12BC⋅AH=12AB⋅AC，∴AH=125．又∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线BE，△BCE是直角三角形．∵12AD⋅BO=12BD⋅AH，∴OB=125，∴BE=2OB=245．在Rt△BCE中，EC=√BC2−BE2=75．故答案为：A．8．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，则△BOD与△AOE的面积之差为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵A（a，0），B（0，a），∴OA=OB.∵△ODC是等腰直角三角形，∴OD=OC，∠D=∠DCO=45°.∵∠DOC=∠BOA=90°，∴∠DOB=∠COA.在△DOB和△COA中，∵OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA（SAS），∴∠D=∠OCA=45°，S△DOB﹣S△AOE=S△EOC.∵OE⊥AC，∴∠OEC=90°，∴△CEO是等腰直角三角形，∴OE=EC=2，∴S△DOB﹣S△AOE=S△EOC=12×2×2=2.故答案为：A.9．如图，在ΔABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在ΔACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC=∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC=BE．其中，正确的结论有（）A．①②③④B．①③④C．②③D．②③④【答案】D【解析】∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BDA=∠ECA=45 °，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即：∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，{AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE=DC，故④正确；∠ADF=∠ABF，∴∠BDC=45 °−∠ADF，∠BEC=45 °−∠AEF，而∠ADF=∠ABF ≠∠AEF，∴∠BDC ≠∠BEC，故①错误；∵∠ADF+∠FDB+∠DBA=90°，∴∠FDB+∠DBA+∠ABF=90°，∴∠DFB=90°，∴CD⊥BE，故③正确；作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，∵△ABE≌△ADC，∴S△ABE=S△ADC，∵BE=DC，∴AP= AQ，∵AP⊥CD，AQ⊥BE，∴FA平分∠DFE，故②正确；综上，②③④正确；故答案为：D．10．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD=4，BC=2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（）A．2√3B．2√7C．√3或√7D．2√3或2√7【答案】D【解析】①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，如下图：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，CD=4，BC=2，∴AE=CE−AC=4−2=2，∠BAC=60°，∴AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=30°，EM=BM，在Rt△ABM中，AM=12AB=1，BM=√3AM=√3，∴BE=2BM=2√3；②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，如下图：在Rt△BCN中，CN=12BC=1，由勾股定理得：BN=√3CN=√3，∴NE=CE+CN=4+1=5，在Rt△BNE中，BE=√BN2+NE2=√(√3)2+52=2√7．综上所述，线段BE的长为2√3或2√7．故答案为：D．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．【答案】3.75【解析】设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，根据题意，得x2+22=(x+0.5)2，解得：x=3.75，∴这个湖的水深是3.75尺．故答案为：3.75．12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD的度数是．【答案】25°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠BEC=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠DBF+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC，在△DBF和△DAC中，{∠BDF=∠ADC ∠DBF=∠DACBF=AC，∴△DBF≅△DAC（AAS），∴AD=BD，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=∠DAB=45°，∵∠ABE=20°，∴∠CAD=∠DBF=∠ABD-∠ABE=45°-20°=25°.故答案为：25°.13．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是.【答案】12【解析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，∴∠D=90°，∴AB2−BD2=AD2=AC2−CD2，∵AB=20，AC=15，BC=7，∴202−（7+CD）2=152−CD2，∴CD=9，∴AD=√152−92=12，∴点A到BC的距离是12；故答案为：12.14．如图，在平面直角坐标系中，长方形AOBC的边OB、OA分别在x轴、y轴上，点D在边BC 上，将该长方形沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的E处.若点A(0，8)，点B(10，0)，则点D 的坐标是.【答案】（10，3）【解析】∵A（0，8），点B（10，0），∴OA=BC=8，OB=AC=10，设BD＝a，则CD＝8﹣a，由题意可得，CD＝DE＝8﹣a，由对折知，AE＝AC＝10，∴OE=√AE2−AO2=√102−82=6，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，∵∠DBE＝90°，∴a2+42＝（8﹣a）2，解得a＝3，∴点D的坐标为（10，3），故答案为：（10，3）.15．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，AB和FE交于点M，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，则下列结论：①△AFB≌△ADC；②BE2＋DC2＝DE2；③AB﹣AD＝ED﹣BE；④只有当∠AME＝90°时，BF＝BE，其中正确的有．【答案】①②④【解析】∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠CAD+∠BAD=∠F AB+∠BAD=90°，∴∠F AB=∠DAC，又∵AB=AC，AF=AD，∴△AFB≌△ADC（SAS），∠C=∠ABC=45°，故①说法符合题意∴AF=AD，BF=CD，∠C=∠ABF=45°，∴∠FBE=90°∵∠EAD=45°，∠F AD=90°，∴∠F AE=∠DAE=45°又∵AE=AE，∴△AFE≌△ADE（SAS），∴DE=FE，2BE2=EF2，∵BF+2BE2=DE2，故②说法符合题意；∴CD+如图所示，过点A作AH⊥BC于H，设AH=BH=x，则AB=√2x，当BE=CD时，即BE=BF，∴ED=EF=√2BE，∵AB=AC，∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD，∴AD=AE，∴EH=DH=12ED∵BH=BE+EH=x，∴BE+√22BE=x ，∴BE=(2−√2)x，∴EH=(√2−1)x∴AD=AE=√AH2+EH2=√4−2√2x，∴AB−AD=√2x−√4−2√2x，ED−BE=(2√2−2)x−(2−√2)x=(3√2−4)x∴此时AB−AD≠ED−BE，故③不符合题意；当∠AME＝90°时，∴∠BMF=∠BME=90°，又∵∠FBM=∠MBE=45°，∴BF=BE，故④符合题意，故答案为：①②④．16．如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6.点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是.【答案】√223【解析】如图，作点N关于OA的对称点N′，则NP=N′P，作点M关于OB的对称点M′，则MQ=M′Q，∴MQ+PQ+NP=M′Q+PQ+N′P≥M′N′，∴当N′，P，Q，M′在同一条直线上时取最小值，连接ON′，OM′，过点N′作N′E⊥OM′交OM′的反向延长线于点E，∵∠AOB=50°，∠OC=30°，则∠N′OA=∠AOC=∠AOB−∠BOC=20°，∠BOM′=∠BOA=50°∴∠N′OM′=2∠N′OA+∠COB+∠BOM′=40°+30°+50°=120°，∴∠EON′=60°∵N′E⊥OM′∴∠EN′O=30°∵ON′=ON=6，OM=OM′=11∴EO=12N′O=3在Rt△EON′中，EN′=√ON′2−OE2=√62−32=3√3在Rt△EM′N′中，EM′=EO+OM′=3+11=14，∴M′N′=√EN′2+EM′2=√(3√3)2+142=√223故答案为：√223.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D是边AB上一点，DE与AC相交，AB＝17．（1）求证：△BCD≌△ACE．（2）若BD＝5，求DE的长．【答案】（1）证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB-∠ACD＝∠ECD-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，∴△BCD≌△ACE；（2）解：∵AC=BC，∠ACB＝90°，∴∠B=∠CAB=45°，∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE=∠B=45°，AE=BD=5，∴∠EAD=90°，∵AB＝17，BD＝5，∴AD=12，∴DE=√AE2+AD2=√122+52=13．18．如图，在等腰△ABC中，点D在AB边上，点E是AC延长线上的点，DE交底边BC于点G，AE＝3AD＝3BD＝3，（1）求CE的长度；（2）求证：AG是△ADE的中线．【答案】（1）解：∵AE＝3AD＝3BD＝3，∴AE=3，AD=1，BD=1，∴AB=AD+BD=1+1=2，∴△ABC为等腰三角形，BC为底边，∴AC=AB=2，∴CE=AE-AC=3-2=1；（2）证明：过点E作EF∥AB交BC延长线于点F，∴∠F=∠ABC，∵△ABC为等腰三角形，∠ACB=∠FCE，∴∠ABC=∠ACB，∴∠FCE=∠F，∴CE=FE=1=BD，在△BDG 和△FEG 中{∠B =∠F∠DGB =∠EGF BD =FE，∴△BDG ≌△FEG （AAS ）， ∴DG=EG ，∴AG 为△ADE 的中线．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，在Rt △ABD 中，∠D =90°，AD 与BC 交于点E ，且∠DBE =∠DAB ．求证：（1）∠CAE =∠DBC ；（2）AC 2+CE 2=4BD 2． 【答案】（1）证明：如下图所示，标出∠1，∠2，∠3．∵∠ACB =90°，∠ADB =90°，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠DBC =90°． ∵∠1和∠2是对顶角， ∴∠1=∠2．∴∠3=∠DBC ，即∠CAE =∠DBC ．（2）证明：在（1）中图延长BD 交AC 延长线于点F ． 由（1）可知∠3=∠DBC ，即∠3=∠DBE ． ∵∠DBE =∠DAB ， ∴∠3=∠DAB ． ∵∠ADB =90°， ∴∠ADF =90°． ∴∠ADF =∠ADB ． 在△ADF 和△ADB 中，∵{∠3=∠DAB ，AD =AD ，∠ADF =∠ADB ，∴△ADF ≌△ADB(ASA)． ∴FD =BD ． ∴BF =2BD ．∵∠ACB =90°，即∠ACE =90°， ∴∠BCF =90°． ∴∠ACE =∠BCF ．由（1）可知∠3=∠DBC ，即∠3=∠CBF ． 在△ACE 和△BCF 中，∵{∠3=∠CBF ，AC =BC ，∠ACE =∠BCF ，∴△ACE ≌△BCF(ASA)．∴AE =BF ．∴AE =2BD∵在Rt △ACE 中，AC 2+CE 2=AE 2，∴AC 2+CE 2=(2BD)2=4BD 2．20．如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到点E ，使CE=12BC ，若D 是AC 的中点，连接ED 并延长交AB 于点F ．（1）若AF=3，求AD 的长；（2）求证：DE=2DF ．【答案】（1）解：∵△ABC 为等边三角形，∴AC=BC ，∠A=∠ACB=60°，∵D 为AC 中点，∴CD=AD=12AC ， ∵CE=12BC ， ∴CD=CE ，∴∠E=∠CDE ，∵∠ACB=∠E+∠CDE ，∴∠E=∠CDE=30°，∴∠ADF=∠CDE=30°，∵∠A=60°，∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90°，∵AF=3，∴AD=2AF=6，（2）解：连接BD ，∵△ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，∴BD 平分∠ABC ，∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=30°， ∵∠BFD=90°，∴BD=2DF ，∵∠DBC=∠E=30°，∴BD=DE ，∴DE=2DF ，21．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上.（1）求证：∠EAC＝∠BAD；（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数.【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.即∠EAC＝∠BAD；（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，∴∠AEC＝∠C＝12×(180°－∠EAC)＝12×(180°－42°)＝69°.∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝69°，∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°.22．如图，在△ABC中，AB＝AC．（1）若P为BC上的中点，求证：AB2−AP2=PB·PC；（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．【答案】（1）证明：连接AP，∵AB＝AC，P是BC中点，∴AP⊥BC，BP＝CP，在Rt△ABP中，AB2−AP2=BP2=PB·PC；（2）解：成立．如图，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，同理，AP2=AD2+DP2，∴AB2−AP2=AD2+BD2−(AD2+DP2)=BD2−DP2又∵BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，∴BP•CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝BD2−DP2，∴AB2−AP2=PB·PC；（3）解：AP2−AB2=PB·PC．如图，P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC 于D，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB 2=AD 2+BD 2，在Rt △ADP 中，AP 2=AD 2+DP 2，∴AP 2−AB 2=(AD 2+DP 2)−(AD 2+DB 2)=PD 2−BD 2 又∵BP ＝BD ＋DP ，CP ＝DP －CD ＝DP －BD ，∴BP•CP ＝（BD ＋DP ）（DP －BD ）＝DP 2−BD 2，∴AP 2−AB 2=BP ·CP ． 23．已知：如图，△ABC 、△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点．（1）求证：AD =BE ；（2）求∠DOE 的度数；（3）求证：△MNC 是等边三角形．【答案】（1）证明：∵△ABC 、△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴AD =BE ．（2）解：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC =∠BEC ，∵等边三角形DCE ，∴∠CED =∠CDE =60°，∴∠ADE +∠BED =∠ADC +∠CDE +∠BED ，=∠ADC +60°+∠BED ，=∠CED +60°，=60°+60°，=120°，∴∠DOE =180°−(∠ADE +∠BED)=60°，答：∠DOE 的度数是60°．（3）证明：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD =∠CBE ，AD =BE ，AC =BC又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，∴AM =12AD ，BN =12BE ， ∴AM =BN ，在△ACM 和△BCN 中{AC =BC ∠CAM =∠CBN AM =BN，∴△ACM≌△BCN(SAS)，∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．24．如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点.如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若PC＞PA，PC＞PB，且PC2＝PA2+PB2，则点P就是△ABC的勾股点.（1）如图2，在3×2的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点（小正方形的顶点）上，格点P是△ABC的勾股点吗？请说明理由；（2）如图3，△ABC为等边三角形，过点A作AB的垂线，点E在该垂线上，以CE为边在其右侧作等边△CDE，连结AD.①求证：点A是△CDE的勾股点；②若AC＝√3，AE＝1，直接写出等边△CDE的边长.【答案】（1）解：格点P是△ABC的勾股点，理由：∵PA2＝22+12＝5，PB2＝22＝4，PC2＝12＝1，∴PA2＝PB2+PC2，∴格点P是△ABC的勾股点；（2）解：①证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，CD＝CE＝DE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴AB∥CE，∵AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC2＝AE2+CE2，∵∠BAC＝60°，∠BAE＝90°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝12AC，∴AE=√AC2−CE2=√AC2−14AC2=√32AC过A作AH⊥BC于H，∴CH＝BH＝12BC＝12AC，∠AHC＝90°，∴DH＝CD+CH＝12AC+12AC＝AC，∴AH2＝AC2﹣CH2＝AC2﹣14AC2＝34AC2，∴AH＝√32AC，∴AH＝AE，∴AD2＝AH2+HD2＝AE2+AC2，∴点A是△CDE的勾股点；②√2.【解析】（2）②解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴AB∥CE，∵AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC2＝AE2+CE2，∵AC＝√3，AE＝1，∴CE＝√AC2−AE2＝√2，∴等边△CDE的边长为√2.。
数学八年级上《特殊三角形》复习测试题(答案)
特殊三角形一、填空题1．等腰三角形一边长为2cm，另一边长为5cm，它的周长是_____cm．2．在△ABC中，到AB、AC距离相等的点在_______上．3．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=3∠B+10°，则∠B=_______．4．△ABC为等腰直角三角形，D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点，则图1中共有_____个等腰直角三角形．(1) (2) (3)5．现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒，则斜边需要用______根．6．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，E是AB的中点，如果AB=10，BC=5，•则CE=_______，∠A=_____，∠B=______，∠DCE=______，DE=_______．7．如图2所示，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm，则∠BDC=________度，S△BCD=_______cm2．8．如图3所示，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC=_______．9．E、F分别是Rt△ABC的斜边AB上的两点，AF=AC，BE=BC，则∠ECF=______．10．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，则CD=________．二、选择:11.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）以上都有可能12．下列图形中，不是轴对称图形的是（）（A）线段（B）角（C）等腰三角形（D）直角三角形13．已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边长都等于第三边的2倍，则这个三角形的最短边为（）（A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）4cm14．具有下列条件的2个三角形，可以证明它们全等的是（ ）（A ）2个角分别相等，且有一边相等;（B ）3个角对应相等;（C ）2边分别相等，且第三边上的中线也相等;（D ）一边相等，且这边上的高也相等15．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于D ，AB=a ，则DB 等于（ ）（A ）2a （B ）3a （C ）4a （D ）以上结果都不对 16．如图4所示，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°，则∠DEF=（ ）（A ）55° （B ）60° （C ）65° （D ）70°(4) (5) (6)17．一个三角形中，一条边是另一条边的2倍，并且有一角是30°，•则这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）钝角三角形（C ）可能是锐角三角形 （D ）以上说法都不对18．如图5所示，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=3：5：10，又△A ′B ′C•′≌△ABC ，•则∠BCA ′：∠BCB ′等于（ ）（A ）1：2 （B ）1：3 （C ）2：3 （D ）1：419．如图6所示，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5，则DC 的长度是（ •）（A ）85 （B ）45 （C ）165 （D ）22520．如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2-MB 2•等于（ ）（A ）9 （B ）35 （C ）45 （D ）无法计算三、解答题B A DC M21．作图题：某地附近有河流L 1，公路L 2和铁路L 3，分布如图所示，现要选一个工厂，使得到L 1，L 2，L 3的距离相等，请你运用数学知识帮助选择一个厂址．22．如图所示，△ABC 中，∠ABC=100°，AM=AN ，CN=CP ，求∠MNP 的度数．23．如果一个长为10m 的梯子，斜靠在墙上，•梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，请猜测梯子底端滑动的距离是否会超过1m ，•并加以说明．24．如图所示，已知：AB=BC=AC ，CD=DE=EC ，求证：AD=BE ．25．如图所示，已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠A 的平分线．求证：AC+CD=AB ．26．如图所示：∠ABC 的平分线BF 及△ABC 中∠ACB•的相邻外角的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，则：①图中有几个等腰三角形？为什么？②BD ，CE ，DE 之间存在着什么关系？请证明．27．已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC3边的AB 、AC 、BC•的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，若点P 在一边BC 上（图1），此时h=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h ，请你探索以下问题：当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3及h•之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由．(1) (2) (3)答案:1．12 2．∠A 的平分线 3．20° 4．5 5．256．5；30°；60°；30°，2．5 • •7．120；2548．18° 9．45° 10．2a 11．C 12．D 13．C 14．C 15．C 16．C 17．C •18．D 19．C 20．C21．提示：角平分线的交点 22．40°23．超过1m ．略 25．略26．①2个等腰三角形；△BDF 和△CEF 略；②BD=DE+CE 略27．•图2：h1+h2+h3=h；图3：h1+h2+h3>h且h1+h2-h3=h．提示：利用面积．。
九年级数学中考复习练习：课时14 特殊三角形
课时14 特殊三角形一、基础知识1.如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数为( )A．2 B．3C．4 D．52.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝_______.3．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC边上的高，DE∥AC．若AE ＝3，则BC的长为( )A．3 B．4C．5 D．64．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为( ) A．34° B．44°C．124° D．134°5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，D是AC上一点，连接BD，∠DBC ＝60°，BC＝4，则AD的长是( )A．4 B．6C．8 D．106．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝45°，AB＝12，那么BC＝_________.7.在△ABC中，AB＝AC．(1)在图①中，若BD是∠ABC的平分线，∠A＝36°，则∠DBC＝______；(2)在图①中，若E是BC延长线上一点，CD＝CE，BD⊥AC于点D，∠ABD＝50°，则∠E＝______；(3)在图②中，若AD是BC边上的中线，BC＝6，AB＝5，则AD＝____；(4)在图②中，若∠C＝60°，AB＝4，AD，BE是△ABC的高，则S△ABC＝_____，∠AOB＝_______，△BOD的周长为________.8在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点．(1)若AC＝2，BC＝4，则AB＝_______，△ABC的周长为_________.(2)连接CD，若AB＝5，则CD＝________；(3)若CE⊥AB，∠B＝30°，AC＝4，则CE＝_____，∠DCE＝________；(3)在(3)的条件下，若DF⊥BC，则S△BCD＝______.9.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为_______.10.如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为。
第17讲中考数学总复习(练习题) 特殊三角形
∴∠EAB=180°－40°－60°－60°=20°.
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2.(2021·广西)如图,☉O的半径OB为4,OC⊥AB于点D,∠BAC
=30°,则OD的长是( C )
A.
C.2
B.
D.3
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解析:如图,连接OA.
∵OC⊥AB,∠BAC=30°,
1
1
∴S△
= AC×PF,S△
= AB×PE,
ACP 2
ABP 2
又∵S△
=1,AB=AC=2,
ABC
1
1
∴1=2AC×PF+2AB×PE,
1
1
即 1= ×2×PF+ ×2×PE,∴PE+PF=1.
2
2
ACP
+S△
,
ABP
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能 力 提 升
8.(2021·温州)如图,BE是△ABC的角平分
线,在AB上取点D,使DB=DE.
∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,
∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.
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7.(2021·娄底)如图,△ABC中,AB=AC=2,P是BC上任意一点,
PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若 △ =1,则PE+PF= 1
.
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解析:如图所示,连接 AP,则S△
ABC
=S△
∵PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F,
∴∠ACO=90°－30°=60°,
∵OA=OC,
∴△AOC为等边三角形,
∵OC⊥AB,
∴OD= OC=2.
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3.(2021·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
期中复习--特殊三角形
E
D
C F 思路：找出不变量，分析问题的数量关系，通过 已知和未知的联系，建构方程，最后解出方程
B
试一试
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 厘米，BC＝8厘米，现将直角边AC沿直线折叠， 使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为 多少?
练一练
1、若a,b,c为△ABC的三边，且(a-b)(a2+b2-c2)=0,则 △ABC是等腰或直角或等腰直角三角形？
第二章 特殊三角形复习
热身练习
1、（1）在三角形ABC中，AB=AC, ∠A＝50°，则
∠B＝
65 °
， ∠C＝ 65 ° 。
变式1：在三角形ABC中，AB=AC, ∠B=50°，则∠
A=
80 °，
∠C=
50° 。
变式2：已知等腰三角形一个内角为50°，求另两个
角度数。
（2）等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则
D C
A
E
B
6、如图，已知AG⊥BD，AC⊥BG ，E是AB的中点，
F是CD的中点，则EF⊥CD，请说明理由。
G
D
F
C
A E
B
7、如图，AC与BD相交于点O，已知AD ⊥ BD，
BC ⊥AC,AC=BD,则OA=OB请说明理由。
C O A
D
B
等腰直角三角 形
性 质
两锐角互余， 边考虑: 直角三角形斜边上的中线等 且都为45度； 于斜边的一半； 两直角边相等， 直角三角形两直角边的平方 且三边之比为： 和等于斜边的平方. 1 :1 : 2 （勾股定理）
角考虑:
判 定 方 法
有一角为直角（或90°）的三角 形是直角三角形；
九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．如图，已知抛物线经过点A (-1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到111A O C △，点A 、O 、C 的对应点分别是点1A 、1O 、1C 、若111A O C △的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点1A 的横坐标．2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值 ．3．如图，抛物线2y ax bx =+过()4,0A ，()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ABC 的面积；(3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当CMN △为等腰直角三角形时，点N 的坐标为______．4．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得⊥ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得⊥P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．7．已知抛物线经过A （－1，0）、B （0、3）、 C （3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD 于点E ，点M 为射线BD 上一动点，连接OM ，交BC 于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：⊥BOF ＝⊥BDF ：(3)是否存在点M 使⊥MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长8．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．9．已知二次函数214y x bx c =-++图像的对称轴与x 轴交于点A （1，0），图像与y 轴交于点B （0，3），C 、D 为该二次函数图像上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且90CAD ∠=．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan⊥CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan⊥CDA 的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，D 是抛物线上的动点，已知A 的坐标为（-3，0），C 的坐标为（0，3）．(1)求该抛物线的函数表达式以及B 点的坐标；(2)在第二象限内是否存在点D 使得⊥ACD 是直角三角形且⊥ADC=90°，若存在请求出D 点的坐标，若不存在请说明理由；(3)如图2，连接AC ，BC ，当⊥ACD=⊥BCO ，求D 点的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ﹣1经过点A (﹣1,﹣2)和点B (﹣2,1)，抛物线C 2：y ＝3x 2＋3x ＋1，动直线x ＝t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．(1)求抛物线C 1的表达式；(2)求线段MN 的长（用含t 的代数式表达）；(3)当⊥BMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值．12．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()30A -,，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E 是线段AC 上一动点，过点E 的直线EF 平行于y 轴并交抛物线于点F ，当线段EF 取得最大值时，在x 轴上是否存在这样的点P ，使得以点E 、B 、P 为顶点的三角形是以EB 为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点，直线1x =是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若,PD m PCD =△的面积为S ．⊥求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；⊥当S 取得最大值时，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB 上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++经过点B （4，0）和点C （0，－2），与x 轴的另一个交点为点A ，其对称轴l 与x 轴交于点E ，过点C 且平行x 轴的直线交抛物线于点D ，连接AD ．(1)求该抛物线的解析式；(2)判断⊥ABD 的形状，并说明理由；(3)P 为线段AD 上一点，连接PE ，若△APE 是直角三角形，求点P 的坐标；(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△APD 是直角三角形，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线22y ax x c =-+与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点A 在点B 的左侧，()1,0A -，()0,3C -，点E 是抛物线的顶点，P 是抛物线对称轴上的点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点P 关于直线BC 的对称点Q 落在抛物线上时，求点Q 的横坐标；(3)若点D 是抛物线上的动点，是否存在以点B ，C ，P ，D 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点D 的坐标__________；若不存在，请说明理由；(4)直线CE 交x 轴于点F ，若点G 是线段EF 上的一个动点，是否存在以点O ，F ，G 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点G 的坐标__________；若不存在，请说明理由．20．如图1，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点P 为x 轴上方抛物线上的动点，点F 为y 轴上的动点，连接PA ，PF ，AF ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图1，当点F 的坐标为()0,4-，求出此时AFP 面积的最大值；(3)如图2，是否存在点F ，使得AFP 是以AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =-++ (2)存在，Q (3，2)或Q (-1，0)(3)两个“和谐点”，1A 的横坐标是1或122．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+ (3)存在，741253．(1)24y x x =-+(2)3(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．4．(1)y =-x 2+4x (2)94(3)存在，点P 的坐标为(3+或(3-或（5，-5）或（4，0）5．(1)2142y x x =+- (2)（-2，-4）(3)P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12--， 6．(1)21262y x x =-++ (2)()2,2(3)()4,2或(27．(1)2y x 2x 3=-++(2)见解析(3)存在，2或28．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)()3,4-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭9．(1)211342y x x =-++(2)1(3)()2,1-，()32，(12--10．(1)y ＝-x 2-2x ＋3，B (1，0)(2)存在，D (－2，3) (3)D (－52，74)或(－4，－5)11．(1)y ＝2x 2+3x ﹣1(2)t 2+2(3)t ＝012．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M13．(1)y ＝14x 2−x −3 (2)（3，−154）或（0，−3） (3)（0，−133）或（0，9）14．(1)223y x x =+-(2)()4,-0，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭15．(1)2y x 2x 3=-++ (2)⊥213(04)42S m m m =-+<≤；⊥S 有最大值为94，此时3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，(6-+-或(42-+16．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．17．(2)()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎝⎭18．(1)213222y x x =-- (2)直角三角形，见解析(3)(1，－1)或(32，－54)(4)存在，( 32，－1＋2 )，( 32，－1－ 2，( 32，5)，( 32，－5) 19．(1)223y x x =-- (2)11(3)存在，()2,3-或()4,5或()2,5-(4)存在，39,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2--20．(1)2y x 2x 3=-++ (2)323(3)存在，12(0,3),(0,1)F F --，32)F。
河北省各地冀教版数学八年级上册期末试题选编第十七章 特殊三角形 综合复习题
第十七章 特殊三角形 综合复习题一、单选题1．（2022·河北张家口·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，△BAD =35°，则△C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°2．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．（2022·河北保定·八年级期末）如图，在ABC 中，点D 、点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且90AFC ∠=︒，若12BC =，8AC =，则DF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，△ABC 是等边三角形，D 为BA 的中点，DE AC ⊥，垂足为点E ，EF △AB ，1AE =，下列结论错误的是( )A．ADEAD=∠=30°B．2C．△ABC的周长为10D．△EFC的周长为95．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，在△ABC中，△B＝30°，△C＝45°，AE△BC于点E，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F，若BD＝，则CE的长为（）A．B．C．D．∆，不是直角三角形的是（）6．（2022·河北廊坊·八年级期末）满足下列条件的ABCA．222a b c=b c a-=B．::5:12:13∠=∠-∠C．::3:4:5∠∠∠=D．C A BA B C7．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52B．42C．76D．728．（2022·河北邢台·八年级期末）如图，已知AB BD⊥，CD BD⊥，若用“HL”判定Rt ABD和Rt CDB全等，则需要添加的条件是（）A ．AD CB = B ．AC ∠=∠ C ．=BD DB D ．AB CD =9．（2022·河北廊坊·八年级期末）老师在画△AOB 的平分线OP 时，设计了△，△两种做法，这两种做法均可由△OMP △△ONP 得知，其全等的依据分别是（ ）△如图1，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，调整角尺，使角尺的顶点到点M ，N 的距离相等，此时，角尺的顶点为P ，画出射线OP ；△如图2，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，再分别过点M ，N ，作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画出射线OP ．A ．SSS ；HLB ．SAS ；HLC ．SSS ；SASD ．SAS ；SSS10．（2022·河北唐山·八年级期末）用反证法证明“在ABC ∆中，AB AC =，则B ∠是锐角”，应先假设（ ） A ．在ABC ∆中，B ∠一定是直角B ．在ABC ∆中，B ∠是直角或钝角 C ．在ABC ∆中，B ∠是钝角D ．在ABC ∆中，B ∠可能是锐角二、填空题11．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC ＝，点D 在AC 上，且BD BC AD ＝＝，则A ∠＝_____度．12．（2022·河北保定·八年级期末）如图：点C 在AB 上，DAC ∆、EBC ∆均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，则下列结论△AE DB = △CM CN = △CMN ∆为等边三角形 △//BC MN 正确的是______（填出所有正确的序号）13．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图，在△ABC 中，△ACB =90°，D 是AB 的中点，连接CD ．若CD =8，则AB =_______．14．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，斜边上的中线BE 的长为4 cm ，高BD 的长为3 cm ，则ABC 的面积是______2cm ．15．（2022·河北承德·八年级期末）如图，点A 、B 、C 分别在边长为1的正方形网格图顶点，则ABC ∠=______．16．（2022·河北张家口·八年级期末）如图，在△ABC 中，CE 平分△ACB ，CF 平分△ACD ，且EF △BC 交AC 于M ，若CM ＝3，则CE 2+CF 2＝_____．17．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，点D在BC上，DE△AB于点E，DF△BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若△AFD＝145°，则△EDF＝_____．三、解答题18．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作△DAC 的平分线AF，若AF△BC．（1）求证：ABC是等腰三角形（2）作△ACE的平分线交AF于点G，若40∠=，求△AGC的度数．B19．（2022·河北石家庄·八年级期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段A与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）当E不是AB的中点时，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF△BC，交AC点F．请你接下来按照这种思路完成全部解答过程．（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为2，AE＝4，则CD的长为．20．（2022·河北保定·八年级期末）将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”．（1）如图1，AD 是等边△ABC 的对垂线，把△ABC 沿直线AD 折叠后，点B 落在点B '处，求△BAD 的度数；（2）如图2．在△ABC 中，△BAC =90°，点D 在边BC 上，且AB =AD ，若△B =2△DAC ，判断直线AD 是否是△ABC 的对垂线，并说明理由．21．（2022·河北张家口·八年级期末）课外兴趣小组活动时，老师出示了如下问题：如图△，已知在四边形ABCD 中，AC 平分△DAB ，△DAB ＝60°，△B 与△D 互补，求证：AB ＋AD．小敏反复探索，不得其解．她想，可先将四边形ABCD 特殊化，再进一步解决该问题．(1)由特殊情况入手，添加条件：“△B ＝△D”，如图△，可证AB ＋AD．请你完成此证明．(2)受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：过C 点分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ，如图△.请你补全证明过程．22．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，DCB ∠的平分线CE 交AB 于点E ．（1）求证：AC AE =；（2）若60A ∠=︒，3AD =，求BD 的长．23．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，BD CD =，延长BC 至E ，使得CE CA =，连接AE ．（1）求证：B ACB ∠=∠；（2）若5AB =，4=AD ，求ABE 的周长和面积．24．（2022·河北邢台·八年级期末）如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即8BC =，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC 的长度）？25．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图，小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处，小红家位于小明家北500米（500AC =米）、东1200米（1200BC =米）点B 处．（1）求小明家离小红家的距离AB ；（2）现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站，使PA PB +最小，请确定点P 的位置，并求PA PB +的最小值．26．（2022·河北沧州·八年级期末）如图，在△ABC 中，△C=90°，AD 平分△BAC ，DE△AB 于点E ，点F 在AC 上，且BD=DF ．（1）求证：△DCF△△DEB ；（2）若DE=5，EB=4，AF=8，求AD 的长．27．（2022·河北唐山·八年级期末）已知：如图，在ABC 中，A ABC CB =∠∠，直线l 经过点A ，过B ，C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，BD AE =．求证：AB AC ⊥．参考答案：1．C【解析】根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD 平分△BAC ，AD △BC ，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得．解：△△ABC 为等腰三角形，△AD 平分△BAC ，AD △BC ，△35DAC BAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，△18055C ADC DAC ∠=︒-∠-∠=︒，故选C ．题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．2．D【解析】先根据等腰三角形的性质得到△B 的度数，再根据平行线的性质得到△BCD. 解：△AB=AC ，△A=40°，△△B=△ACB=70°，△CD△AB ，△△BCD=△B=70°，故选D.本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.3．B【解析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据直角三角形的性质求出FE ，结合图形计算，得到答案．解：△点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，△DE 是△ABC 的中位线，△DE =12BC =6（cm ），在Rt △AFC 中，点E 是AC 的中点，△FE =12AC =4（cm ），△DF =DE -EF =2（cm ），故选：B ．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．C【解析】根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质可判断A；根据30°角的直角三角形的性质可判断B；由B的结论结合D为BA的中点可求出AB的长，进而可判断C；由EF△AB可判断△CEF是等边三角形，再求出CE的长即可判断D.解：△△ABC是等边三角形，△AB=AC=BC，△A=△B=△C=60°，，△∠AED=90°，△DE AC△△ADE=90°－△A=30°，所以A正确；△AE=1，△ADE=30°，△AD=2AE=2，所以B正确；△D为BA的中点，△AB=2AD=4，△△ABC的周长为4×3=12，所以C错误；△EF△AB，△△CEF=△A=60°，△CFE=△B=60°，△△CEF是等边三角形，△AE=1，△CE=AC－AE=3，△△EFC的周长为9，所以D正确.故选C.本题考查了等边三角形的性质和30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键.5．D【解析】根据题意连接AD，由线段的垂直平分线的性质可得AD的长；由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可求得△ADE＝60°，从而可求得△DAE＝30°，解直角三角形ADE，可得AE的长度；由△C＝45°，可得△AEC为等腰直角三角形，从而可得EC的长度．解：连接AD，如图：△AB的垂直平分线交BC于点D，△AD＝BD＝△在△ABC中，△B＝30°，△△BAD＝△B＝30°，△△ADE＝△B+△BAD＝60°．△AE△BC于点E，△△AED＝90°，△△DAE＝30°，AD＝，△DE＝12△AE，△△C＝45°，△△AEC为等腰直角三角形，△EC＝AE＝故选：D．本题考查含30度角的直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．6．C【解析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．A. 222-=,则a2+c2=b2 ,△ABC是直角三角形,故A正确，不符合题意；b c aB. 52+122=132，△ABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；C.△A：△B：△C=3：4：5，设△A、△B、△C分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得，x=15°，则△A 、△B 、△C 分别为45°，60°，75°，△ABC 不是直角三角形；故C 选项错误，符合题意；D. △A -△B=△C ，则△A=△B+△C ，△A=90°，△ABC 是直角三角形，故D 正确，不符合题意；故选C ．本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．7．C解：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2=122+52=169，解得：x =13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选C ．8．A【解析】由图示可知BD 为公共边，若想用“HL ”判定证明Rt ABD 和Rt CDB 全等，必须添加AD =CB ．解：在Rt ABD 和Rt CDB 中BD BD AD CB =⎧⎨=⎩△()Rt ABD Rt CDB HL ≌△△故选A此题主要考查学生对全等三角形判定定理（HL ）的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．9．A【解析】根据作图过程可得MO = NO ，MP = NP ，再利用SSS 可判定△MPO △△PNO ，可得OP 是△AOB 的平分线；根据题意得出Rt △MOP △Rt △NOP (HL )，进而得出射线OP 为△AOB 的角平分线．解：如图△：在△MPO 和△NPO 中OM ON OP OP MP NP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△MPO △△PNO (SSS )△△AOP =△BOP ，即射线OP 为△AOB 的角平分线；如图△，在Rt △MOP 和Rt △NOP 中，OP OP MO NO=⎧⎨=⎩， △Rt△MOP △Rt△NOP (HL )△△MOP =△NOP ，即射线OP 为△AOB 的角平分线；故选：A ．此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法．10．B【解析】假设命题的结论不成立或假设命题的结论的反面成立，然后推出矛盾，说明假设错误，结论成立．解：用反证法证明命题“在ABC ∆中，AB AC =，则B ∠是锐角”时，应先假设在ABC ∆中，B ∠是直角或钝角．故选B ．本题考查反证法，记住反证法的一般步骤是：△假设命题的结论不成立；△从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；△由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 11．36【解析】设△A=x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得答案．设△A=x ．△AD=BD ，△△ABD=△A=x ；△BD=BC ，△△BCD=△BDC=△ABD+△A=2x ；△AB=AC ，△△ABC=△BCD=2x ，△△DBC=x ；△x+2x+2x=180°，△x=36°，△△A=36°，故答案为36.本题考查了等腰三角形的性质，涉及了等边对等角、三角形外角的性质，三角形的内角和定理，通过三角形内角和定理列方程求解是正确解答本题的关键．12．△△△△【解析】利用等边三角形的性质得CA＝CD，△ACD＝60°，CE＝CB，△BCE＝60°，所以△DCE ＝60°，△ACE＝△BCD＝120°，则利用“SAS”可判定△ACE△△DCB，所以AE＝DB，△CAE ＝△CDB，则可对△进行判定；再证明△ACM△△DCN得到CM＝CN，则可对△进行判定；然后证明△CMN为等边三角形得到△CMN＝60°，则可对△△进行判定．解：△△DAC、△EBC均是等边三角形，△CA＝CD，△ACD＝60°，CE＝CB，△BCE＝60°，△△DCE＝60°，△ACE＝△BCD＝120°，在△ACE和△DCB中AC CDACE DCB EC BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，△△ACE△△DCB（SAS），△AE＝DB，所以△正确；△△ACE△△DCB，△△MAC=△NDC，△△ACD=△BCE=60°，△△MCA=△DCN=60°，在△ACM和△DCN中MAC NDC CA CDACM DCN∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，△△ACM△△DCN（ASA），△CM＝CN，所以△正确；△CM＝CN，△MCN＝60°，△△CMN为等边三角形，故△正确，△△CMN＝60°，△△CMN＝△MCA，△MN△BC，所以△正确，故答案为：△△△△．本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，也考查了等边三角形的判定与性质．13．16【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解：△△ACB=90°，D是AB中点，CD=8，△AB=2CD=16，故答案为：16．本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14．12【解析】根据直角三角形的性质求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．解：在Rt△ABC中，BE为斜边上的中线，BE＝4cm，则AC＝2BE＝2×4＝8（cm），△S△ABC＝12AC•BD＝12×8×3＝12（cm2），故答案为：12．本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．15．45°【解析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出△ABC=45°．解：连接AC，根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．△AB2=AC2+BC2，AC=BC，△△ABC为等腰直角三角形，△△ABC=45°．故答案为：45°．本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．16．36【解析】根据角平分线的定义、外角定理推知△ECF＝90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．△CE平分△ACB，CF平分△ACD，△△ACE＝12△ACB，△ACF＝12△ACD，△△ECF＝12(△ACB+△ACD)＝90°，又△EF△BC，CE平分△ACB，CF平分△ACD，△△ECB＝△MEC＝△ECM，△DCF＝△CFM＝△MCF，△CM＝EM＝MF＝3，△EF＝6，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，故答案为36．本题考查了直角三角形的性质-勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出△ECF是直角三角形是解决本题的关键．17．55°##55度【解析】由图示知：△DFC+△AFD=180°，则△DFC=35°．通过全等三角形Rt△BDE△△Rt△CFD （HL）的对应角相等推知△BDE=△CFD．解：△△DFC +△AFD =180°，△AFD =145°，△△CFD =35°．又△DE △AB ，DF △BC ，△△BED =△CDF =90°，在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，BE CD BD CF =⎧⎨=⎩， △Rt △BDE △△Rt △CFD （HL ），△△BDE =△CFD =35°，△△EDF +△BDE =△EDF +△CFD =90°，△△EDF =55°．故答案是：55°．本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．（1）证明见解析；（2）70AGC ∠=【解析】（1）根据角平分线的定义，得到△DAF =△CAF ，又根据//BC AF ，得到△DAF =△ABC ，△CAG =△ACB ，进一步得到△ABC =△ACB ，即可证明ABC 是等腰三角形；（2）在ACG 中，分别求得ACG ∠和CAG ∠的度数，利用三角形内角和求解即可．（1）证明：△AF 是△DAC 的角平分线△△DAF =△CAF又△//BC AF△△DAF =△ABC ，△CAG =△ACB△△ABC =△ACB∠AB=AC△ABC 是等腰三角形（2）△CG 是△ACE 的角平分线△△ACG =△ECG又△40B ∠=，△ACB =△B△40ACB ∠=△△ACG =△ECG =()118040702⨯-= 又△△CAG =△ACB△△AGC =180407070--=本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键．19．（1）=，（2）=，理由见解析，（3）2或6．【解析】（1）根据等边三角形的性质得出∠D ＝∠BED ＝30°，证BD ＝BE 即可．（2）结论：AE ＝BD ．如图2中，作EF ∥BC 交AC 于F ．只要证明△DBE ≌△EFC ，推出BD ＝EF ＝AE ，推出BD ＝AE ．（3）分两种情形讨论，类似（2）得出BD ＝AE ，根据线段和差即可解决问题． 解：（1）如图1中，∵△ABC 是等边三角形，AE ＝EB ，∴∠BCE ＝∠ACE ＝30°，∠ABC ＝60°，∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ＝30°，∵∠EBC ＝∠D +∠BED ，∴∠D ＝∠BED ＝30°，∴BD ＝BE ＝AE ．故答案为：＝．（2）结论：AE ＝BD ．理由如下：如图2中，作EF ∥BC 交AC 于F ．∴∠AEF ＝∠B ＝60°，∠ECB ＝∠CEF ，∵∠A ＝60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE ＝EF ＝AF ，∠AFE ＝60°，∴∠EFC ＝∠DBE ＝120°，∵AB ＝AC ，AE ＝AF ，∴BE ＝CF ，∵ED ＝EC ．∴∠D ＝∠ECD ＝∠CEF ，在△DBE 和△FEC 中，DBE EFC D CEF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EFC ，∴BD ＝EF ＝AE ，∴BD ＝AE ，故答案为：＝．（3）如图，当E 在BA 的延长线上时，作EF ∥BC 交CA 延长线于F ．同理可证△DBE ≌△EFC ，可得BD ＝EF =AE ＝4，CD ＝BD ﹣BC ＝4﹣2＝2．如图，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，同理可证△EBD≌△CFE，可得BD＝EF=AE＝4，CD＝BD+BC＝4+2＝6．综上所述，CD的长为2或6．本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．20．（1）15°；（2）是，理由见解析．【解析】（1）由“对垂线”的定义可得AB'△BC，△ABD△△AB'D，则可得出△BAD=△B'AD，由等边三角形的性质得出△BAB'12=△BAC=30°，则由折叠的性质可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出△B=△BDA，可得出△DAC=△C12=△B，求出△B=60°，证得△AFD=90°，则可得出答案．解：（1）△AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，△AB'△BC，△ABD△△AB'D，△△BAD =△B 'AD ．△△ABC 是等边三角形，△AB =AC ，△BAC =60°．又△AB '△BC ，△△BAB '12=△BAC =30°， △△BAD 12=△BAB '1302=⨯°=15°； （2）直线AD 是△ABC 的对垂线．理由如下：△AB =AD ，△△B =△BDA ．△△B =2△DAC ，△BDA =△DAC +△C ，△△DAC =△C 12=△B ． △△ABC 中，△BAC =90°，△△B +△C =90°，△△B 12+△B =90°， △△B =60°=△BDA ，△DAC =△C =30°．把△ADC 沿直线AD 折叠，设点C 落在C '处，直线AC '交BC 于点F ，则△ACD △△AC 'D ， △△DAC '=△DAC =30°，△△AFD 中，△AFD =180°﹣30°﹣60°=90°，即AC '△BC ，△AD 是△ABC 的对垂线．本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形“对垂线”的概念，折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．21．(1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）如果：“△B=△D”，根据△B 与△D 互补，那么△B=△D=90°，又因为△DAC=△BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC 和ABC 中得出，那么．（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD 和BCD 全等即可得到（1）的条件．根据AAS 可证两三角形全等，DF=BE ．然后按照（1）的解法进行计算即可．(1)证明：△△B ＝△D ＝90°，AC 平分△DAB ，△DAB ＝60°，△CD ＝CB ，△CAB ＝△CAD ＝30°.设CD ＝CB ＝x ，则AC ＝2x.由勾股定理，得AD，AB△AD ＋AB＝，即AB ＋AD(2)解：由(1)知，AE ＋AF△AC 为角平分线，CF△AD ，CE△AB ，△CF ＝CE ，△CFD ＝△CEB ＝90°.△△ABC 与△D 互补，△ABC 与△CBE 也互补，△△D ＝△CBE ，△△CDF△△CBE(AAS )．△DF ＝BE.△AB ＋AD ＝AB ＋(AF ＋FD)＝(AB ＋BE)＋AF ＝AE ＋AF本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．22．（1）证明见解析；（2）9【解析】（1）根据已知条件得到ACD B ∠=∠，再根据角平分线的定义得到BCE DCE ∠=∠，即可得解；（2）根据含30度角的直角三角形的性质计算即可；解：（1）△90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，△90ACD A B A ∠+∠=∠+∠=︒，△ACD B ∠=∠，△CE 平分BCD ∠，△BCE DCE ∠=∠，△B BCE ACD DCE ∠+∠=∠+∠，即AEC ACE ∠=∠，△AC AE =．（2）△90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，△30ACD ∠=︒，30B ∠=︒，△Rt ACD △中，26AC AD ==，△Rt ABC △中，212AB AC ==，△1239BD AB AD =-=-=．本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和含30度角的直角三角形，准确计算是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）周长为16+22．【解析】（1）先根据垂直的定义可得90ADB ADC ∠=∠=︒，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得5AB AC ==，从而可得5CE =，再利用勾股定理可得3CD BD ==，从而可得11,8BE DE ==，然后利用勾股定理可得AE =形的周长公式和面积公式即可得．（1）证明：AD BC ⊥，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在ABD △和ACD 中，AD AD ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACD SAS ∴≅，B ACB ∴∠=∠；（2）ABD ACD ≅，5AB =，5AB AC ∴==，CE CA =，5CE ∴=，5,4,AB AD AD BC ==⊥，3BD ∴=，BD CD =，3CD ∴=，11,8BE BD CD CE DE CD CE ∴=++==+=，AE ∴则ABE 的周长为51116AB BE AE ++=++=+ ABE 的面积为111142222BE AD ⋅=⨯⨯=． 本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．24．这棵树在离地面6米处被折断【解析】设AC x =，利用勾股定理列方程求解即可.解：设AC x =，△在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，△()222816x x +=-，△6x =．答：这棵树在离地面6米处被折断本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．25．（1）1300AB =米；（2）见解析，1500米【解析】（1）如图，连接AB ，根据勾股定理即可得到结论；（2）如图，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A 'B 交MN 于点P ．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接AB ，由题意知AC=500，BC=1200，△ACB=90°，在Rt△ABC中，△△ACB=90°，△AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，△AB＞0△AB=1300米；（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，由题意知AD=200米，A'C△MN，△A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，在Rt△A'BC中，△△ACB=90°，△A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，△A'B＞0，△A'B=1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．26．（1）见解析；（2）AD=13．【解析】（1）先利用角平分线的性质定理得到DC=DE，再利用HL定理即可证得结论．（2）由△DCF△△DEB得CD=DE=5，CF=BE=4，进而有AC=12，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可解得AD 的长．（1）△AD 平分△BAC ，DE△AB ，△C=90°，△DC=DE ，在Rt△DCF 和Rt△DEB 中，DC DE DF DB=⎧⎨=⎩， △Rt△DCF△Rt△DEB(HL)；（2）△△DCF△△DEB ，△CF=EB=4，△AC=AF+CF=8+4=12，又知DC=DE=5，在Rt△ACD 中，13=．本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理和HL 定理证明三角形全等是解答的关键．27．见解析【解析】由ABC =△ACB ，得AB =AC ，再利用HL 证明R t △ABD △Rt △CAE ，得△DAB =△ECA ，由△ECA +△EAC =90°，等量代换即可证．证明：△BD △l ，CE △l△△ABD 和△CAE 为直角三角形△△ABC =△ACB△AB =AC又△BD =AE△Rt △ABD △Rt △CAE （HL ），△△DAB =△ECA△△ECA +△EAC =90°△△DAB +△EAC =90°△△BAC =90°△AB △AC本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是证Rt△ABD△Rt△CAE。
八上单元复习——特殊三角形(jddtqxs)
特殊三角形复习一、选择题：1、如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是 （ ） A 、同位角 B 、内错角 C 、对顶角 D 、同旁内角2、如图，若AB ∥DC ，那么 （ ）A 、∠1=∠3B 、∠2=∠4C 、∠B=∠D D 、∠B=∠3 3、已知∠1和∠2是同旁内角，∠1=40°，∠2等于（ ） A 、160° B 、140° C 、40° D 、无法确定4、如图，已知AB ∥ED ，则∠B+∠C+∠D 的度数是（ ） A 、180° B 、270° C 、360° D 、450°5、一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行，已知第一次向左拐50°，那么第二次向右拐（ ）A 、40°B 、50°C 、130°D 、150°6、等边三角形的对称轴有 （ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条7、等腰三角形的顶角的外角为70°，那么一个底角的度数为（ ） A 、35° B 、55° C 、65° D 、110° 8、以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（ ） A 、3，4，5 B 、4，5，6 C 、5，12，13 D 、6，8，10 9、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线， 则图中与CD 相等的线段有（ ） A 、AD 与BD B 、BD 与BC C 、AD 与BC D 、AD 、BD 与BC10、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=4：5：9，则△ABC 是（ ） A 、直角三角形，且∠A=90° B 、直角三角形，且∠B=90° C 、直角三角形，且∠C=90° D 、锐角三角形11、若△ABC 三边长a,b,c 满足|a+b －7|+|a －b －1| +（c －5）2=0，则△ABC 是（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形12、如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ， 交BC于D ，若AB=10，AC=6，则△ACD 的周长为（ ） A 、16 B 、14 C 、20 D 、18A3 B4CD12 （第2题） DABCE （第4题）BDCAD BACE13、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 （ ）A 两个锐角对应相等B 一条边和一个锐角对应相等C 两条直角边对应相等D 一条直角边和一条斜边对应相等二、填空题：1、如图，若a ∥b ，∠1=40°，则∠2= 度； 2、如图，在长方形ABCD 中，AB=3m ，BC=2cm ， 则AB与CD 之间的距离为 cm ；3、等边三角形的每个内角都等于度； 4、已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为 ；5、已知直角三角形的两直角边长为6cm 和8cm ，则斜边上的中线长是 cm ， 斜边上的高为 cm ；6、如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯 至少要 米长；7、有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为 。
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特殊三角形综合复习测试
一、选择题
1．如果等腰三角形一个底角是30o，那么顶角是（）
（A）60o．（B）150o．（C）120o．（D）75o．
2、已知等腰三角形的周长为40ｃｍ，以一腰为边作等边三角形，其周长为45ｃｍ，则等腰
三角形的底边长是（）
A、5ｃｍ
B、10ｃｍ
C、15ｃｍ
D、20ｃｍ
3．下列说法中，正确的是（）
（A）一个钝角三角形一定不是等腰三角形．（B）一个等腰三角形一定是锐角三角形．（C）一个直角三角形一定不是等腰三角形．（D）一个等边三角形一定不是钝角三角形．
4、若△ABC的三边ａ、ｂ、ｃ满足()()()0
a b b c c a
---=那么△ABC的形状是（）
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等边三角形
D、锐角三角形
5、等腰△ABC中，AC＝AB，两腰中线交于一点O，则AO与BC的关系是（）
A、相等
B、互相垂直
C、AO垂直平分BC
D、AO、BC互相垂直
6.在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（）
（A）20．（B）16．（C）16或20．（D）以上都不对．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为（）（A）60o．（B）120o．（C）60o或150o．（D）60o或120o．
8．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为45o，则这个三角形是（）
（A）锐角三角形．（B）钝角三角形．（C）等边三角形．（D）等腰直角三角形．9．两根木棒的长度分别是5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（）
（A）3种．（B）4种．（C）5种．（D）6种．
10．已知△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（）
（A）α≤45o．（B）0o＜α＜90o．（C）α＝90o．（D）90o＜α＜180o．
11．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于（）
（A）顶角．（B）顶角的一半．（C）顶角的2倍．（D）底角的一半．12、如图∠BCA=90，CD⊥AB，则图中与∠A互余的角有（）个
D
C
B A
A
B C
A ．1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
二、填空
13．(1)等腰三角形 、 、 互相重合． （2）△ABC 中，∠A=∠B=2∠C ，那么∠C= 。
（3）在等腰三角形中，设底角为x °，顶角为y °，则用含x 的代数式表示y ，得y= ；
用含y 的代数式表示x ，得x= 。
14．若一个等腰三角形有一个角为100o ，则另两个角为 ． 15．等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是 ．
16．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 ，
底边长为 ．
17．如果等腰三角形的三边长均为整数且它的周长为10 cm ，那么它的三边为 ． 18．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则
∠GEF 的度数是（ ）
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．108°
E
C
A
H
F
G
三、作图题
20. 已知线段a,h,用直尺和圆规做等腰三角形ABC,底边BC=a,BC 边上的高为h （要求尺规作图，不写作法和证明） └─────┘a └──────┘h
21、如图，已知在△ABC 中，∠A=75º，
∠B=35º，∠C=70º，请将这个三角形分成两个等腰 三角形吗。
（要求标出每个等腰三角形的内角度数）
三、解答题
F
E
D
C
B
A
F E D
C
B
A
F
E
D
C
B A
B
D
C
A 22．已知A
B ＝A
C ，
D 是AB 上一点，D
E ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于
F ，试
说明△ADF 是等腰三角形的理由．
23．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90o ，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线交AC 于D ，过C 作BD
垂线交BD 的延长线于E ，交BA 的延长线于F ，求证：BD ＝2CE ．
24．如图，AB ＝AC ，BD ＝DC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．求证：DE ＝DF ．
25如图，已知△ABC 中，AD ⊥BC ，∠ABC ＝2∠C ，试说明AB ＋BD ＝CD 的理由。
F
E
D
C
B
A
H
E
D C
B A
B
26、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点AD=BD ，AB=AC=CD ，求∠BAC 的度数。
27．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠BAC ＝90o ，D 是BC 上一点，EC ⊥BC ，EC ＝BD ，
DF ＝FE ．求证（1）△ABD ≌△ACE ；（2）AF ⊥DE ．
28．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 和BE 是高，它们相交于点H ，且AE ＝BE ． 求证：AH ＝2BD ．
29．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝DC ，AD 的延长线交BC 于点E ， 求证：AE ⊥BC ，BE ＝EC ． E
D C
B
A
C
O
E
D
B A
C
F
P M
D
A D
A
B
C
P
F
E
A
B
E D
M
C
30．已知：如图，AD ＝AE ，∠ADC ＝∠AEB ，BE 与CD 相交于O 点．（1）在不添辅助线
的情况下，请写出由已知条件可得出的结论（例如，可得出△ABE ≌△ACD ，∠DOB ＝∠EOC ，∠DOE ＝∠BOC 等．你写出的结论中不能含所举之例，只要求写出4个）．① ；② ；③ ；④ ．
（2）就你写出的其中一个结论给出证明．
已知：如图AD ＝AE ，∠ADC ＝∠AEB ，BE 与CD 相交于O 点． 求证： ． 31.在ΔABC 中，AB=AC 。
（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD 是BC 上的高，AD=AE ，则∠EDC=__________
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD 是BC 上的高，AD=AE ，则∠EDC=__________ （3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD 与∠EDC 之间有什么关系？请用式子表示：
____________________
（4） 如图3，如果AD 不是BC 上的高，AD=AE ，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，
并说明理由。
（1） （2） （3） 32．已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3， △ABC 的高为h ．“若点P 在一边BC 上［如图（1）］，此时h 3＝0可得结论：h 1＋h 2＋h 3＝h ．”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内［如图（2）］，以及点P 在△ABC 外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h 1，h 2，h 3与h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．。