人教版高中数学必修一《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件3
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《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第2课时均值不等式的应用)
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 ab 的最大值为( )
A．1
B．2 2
C．2
D．4
A [由均值不等式得，ab≤a＋2 b2＝1.]
3．已知 0<x<1，则 x(3－3x)取最大值时 x 的值为( )
1
3
A.2
B.4
C.23
D.25
A [∵0<x<1，∴1－x>0，
当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立，
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
利用均值不等式解决实际问题 【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网 材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最 大？
[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104＝10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋10 x800＝560＋48x＋22x5. 当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
5、双眼视力相近的，两眼可同时远眺；双眼视 力相差大的、将左右眼轮流遮盖，单眼远眺，视 力差的一只眼睛，其远眺时间要延长。
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 ab 的最大值为( )
A．1
B．2 2
C．2
D．4
A [由均值不等式得，ab≤a＋2 b2＝1.]
3．已知 0<x<1，则 x(3－3x)取最大值时 x 的值为( )
1
3
A.2
B.4
C.23
D.25
A [∵0<x<1，∴1－x>0，
当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立，
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
利用均值不等式解决实际问题 【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网 材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最 大？
[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104＝10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋10 x800＝560＋48x＋22x5. 当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4均值不等式及其应用(第1课时)均值不等式课件新人教B版必修第一册
【解】 (1)依题意得，y＝t＋1t －4≥2 t·1t －4＝－2，等号成 立时 t＝1，即函数 y＝t2－4tt＋1(t>0)的最小值是－2. (2)因为实数 x，y 满足 2x＋y＝1， 所以 y＝1－2x， 所以 xy＝x(1－2x)＝－2x2＋x＝－2x－142＋18≤18， 当 x＝14，y＝12时取等号，最大值是18.
应用均值不等式时的三个关注点
给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，
b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使ba＋ab≥2 成立的条件有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：选 C.当ba，ab均为正数时，ba＋ab≥2，故只需 a，b 同号即 可，所以①③④均可以．故选 C.
利用均值不等式直接求最值 (1)已知 t＞0，求 y＝t2－4tt＋1的最小值； (2)若实数 x，y 满足 2x＋y＝1，求 xy 的最大值．
以 x－2y>0，即 x>2y，故选 B.
已知 0＜x＜1，则 x(1－x)的最大值为________，此时 x＝ ________．
解 析 ： 因 为 0 ＜ x ＜ 1 ， 所 以 1 － x ＞ 0 ， 所 以 x(1 －
x)≤x＋（21－x）2＝122＝14，当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时
“＝”成立，即当 x＝12时，x(1－x)取得最大值14.
答案：14
1 2
对均值不等式的理解 下列结论正确的是( ) A．若 x∈R，且 x≠0，则4x＋x≥4 B．当 x>0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值为 2 D．当 0<x≤2 时，x－1x无最大值
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对 于选项 B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定， 三相等”；对于选项 C，忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x， 则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选项 D，x－1x在 0<x≤2 的范 围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
人教B版高中数学必修第一册第2章2-2-4第1课时均值不等式课件
3．“x＞0，y＞0”是“yx＋xy≥2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [若x＞0，y＞0，则xy＞0，yx＞0，此时yx＋xy≥2 分性成立．
yx·xy＝2，充
若
y x
＋
x y
≥2，易知x＝y＝－1时满足不等式，但不满足x＞0，y＞
点)
01
必备知识·情境导学探新知
知识点1 知识点2 知识点3
如图，是第 24 届国际数学家大会的会标．它依 据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦 图”进行设计，颜色的明？
知识点一 重要不等式 对任意实数 a，b，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号 成立．
9 8
[因为a＞0，b＞0，所以2a＋
1 b
＝3≥2
1b，即a＝34，b＝23时，等号成立，所以ab≤98.]
2a b
，当且仅当2a＝
回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试比较不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab的区别与联系． [提示] (1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是 不同的．前者要求 a，b 是实数即可，而后者要求 a，b 都是正实数(实 际上后者只要 a＞0，b＞0 即可)．
1.若 x2＋y2＝4，则 xy 的最大值是( )
A．12
B．1
C．2
D．4
C [xy≤x2＋2 y2＝2，当且仅当 x＝y 时取“＝”．]
知识点二 算术平均值与几何平均值
a＋b
给定两个正数 a，b，数 2 称为 a，b 的算术平均值；数 ab 称 为 a，b 的几何平均值．
知识点三 均值不等式 1．均值不等式：如果 a，b 都是正数，那么a＋2 b≥ ab，当且仅 当 a＝b 时，等号成立． 2．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形 的面积最大．
均值不等式及其应用ppt课件
2
2
2
ab
即 2
0，
ab ．
而且，等号成立时，当且仅当 ( a b ) 2 0 ，即a＝b．
值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正
实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比
67
如
2
42 一定是正确的．
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还
可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它
4
y 4x
y 4x
y
4 ，当且仅当 y 4 x ，即 x 2 ， y 8 时等号成立，所以 x 4 .
4 min
又x
y
m2 3m 有解，所以 m2 3m 4 ，解得 m 1 或 m 4 .故选 D.
4
6.某批救灾物资随 41 辆汽车从某市以 v km / h 的速度匀速直达灾区，已知两地公
用来展示校友的书画作品.它的左、右两侧及顶部和底部都留有宽为 2 米的自由
C)
活动区域，如图所示，则整个书画展区域（大矩形）的最小面积是(
A.360 平方米
B.384 平方米
C.361 平方米
D.400 平方米
解析：设小矩形的一边长为 x 米，其邻边长为 y 米，整个书画展区域（大矩形）
的面积为 S 平方米.由 x 0 ， y 0 及 xy 225 ，得 S ( x 4)( y 4) xy 4 y 4 x
1
4
B.4
C.
1
2
D).
D.2
解析： a 0 ，b 0 ， 4 2a b 2 2ab （当且仅当 2a b ，即 a 1 ，b 2 时
人教高中数学必修一B版《均值不等式及其应用》等式与不等式说课教学课件复习(第2课时均值不等式的应用)
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2
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利用均值不等式求条件最值 【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1， ∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y ≥10＋2 xy·16xy＝18，
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当且仅当8x＋1y＝1， xy＝16xy，
(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
算能力.
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自
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主
预习
探新知
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《均值不等式及其应用》等式与不等式精美版课件
例 1 (1)已知 x,y∈(0,+∞),且
1
1 1
2x+y=1,求 + 的最小值;
(2)已知 0<x<2,求函数 y=x(1-2x)的最大值.
1
1
分析:(1)利用“1”的代换,即将 + 等价转化为
2+ 2+
+
即可.
1
2
1 1
+
×1 或
(2)将“x(1-2x)”变形为“ ×2x(1-2x)”,利用 2x+(1-2x)=1 为定值即
中,a,b>0. 3+2 2.
∴ + 的最小值为
已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
反思感悟利用均值不等式比较大小的关注点利用均值不等式比较大小,其实质也是不等式的证明问题,但要注意对所求对象进行适用条件
1
的验证及等号成立条件的探求.
(2)∵0<x< ,∴1-2x>0.
2
应用上述两个结论时,要注意哪些事项?
课前篇
自主预习
一
二
三
知识点二、均值不等式
1.填空
+
(1)给定两个正实数 a,b,数 称为 a,b 的算术平均值,数 称为
2
a,b 的几何平均值.
(2)均值不等式:如果
+
a,b 都是正数,那么 2
≥ ,当且仅当 a=b
时,等号成立.均值不等式也称为基本不等式,其实质是:两个正实数
的算术平均值不小于它们的几何平均值.
知识点一、重要不等式
1.填空:
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最
小值．( )
(2)若 a>0，b>0 且 a＋b＝4，则 ab≤4.( )
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值
是2
x x－1.(
)
栏目导航Biblioteka [提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2
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在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最 小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．
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3．某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一 栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560＋48x(单位：元)．为 了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注： 平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝ 购地总费用 建筑总面积
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1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变 形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会 观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补 项．常见形式有y＝ax＋bx型和y＝ax(b－ax)型．
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2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值． [解] 法一：1a＋1b＝1a＋1b·1
即xy＝ ＝132， 时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
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若把“8x＋1y＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求8x＋1y的 最小值．
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[解] ∵x，y∈R＋， ∴8x＋1y＝(x＋2y)8x＋1y ＝8＋1x6y＋xy＋2＝10＋1x6y＋xy≥10＋2 16＝18. 当且仅当1x6y＝xy时取等号， 结合x＋2y＝1，得x＝23，y＝16， ∴当x＝23，y＝16时，8x＋1y取到最小值18.
合作探究 提素养
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利用均值不等式求最值
【例1】 (1)已知x<54，求y＝4x－2＋4x－1 5的最大值；
(2)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x)的最大值．
[思路点拨]
(1)看到求y＝4x－2＋
1 4x－5
的最值，想到如何才能
出现乘积定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
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利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条 件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运 用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式 的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方 向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数 的基本性质的知识解决.
＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2，
当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立，
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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利用均值不等式解决实际问题 【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网 材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最 大？
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法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y. ∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y9－32y＝32y(6－y)． ∵0<y<6，∴6－y>0. ∴S≤326－2y＋y2＝227. 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
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利用均值不等式求条件最值 【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1， ∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y ≥10＋2 xy·16xy＝18，
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当且仅当8x＋1y＝1， xy＝16xy，
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课时分层 作 业
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(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
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自主预习 探新知
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已知x，y都是正数． (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最 大 值S42. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最 小 值2 p. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
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1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( )
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2．若x>0，则x＋2x的最小值是________． 2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当且仅当x＝ 2时，等号成立．]
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3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________． 100 [∵x，y∈N*， ∴20＝x＋y≥2 xy， ∴xy≤100.]
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D.25
A [∵0<x<1，∴1－x>0，
则 x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×x＋12－x2＝34， 当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时取等号．]
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4．已知 x>0，求 y＝x22＋x 1的最大值． [解] y＝x22＋x 1＝x＋2 1x. ∵x>0，∴x＋1x≥2 x·1x＝2， ∴y≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时等号成立．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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2．若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 ab 的最大值为( )
A．1
B．2 2
C．2
D．4
A [由均值不等式得，ab≤a＋2 b2＝1.]
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3．已知 0<x<1，则 x(3－3x)取最大值时 x 的值为( )
1
3
A.2
B.4
C.23
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[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104＝10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋10 x800＝560＋48x＋22x5. 当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
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[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1.
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(2)∵0<x<12， ∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14×14＝116. ∴当且仅当2x＝1－2x0<x<12，即x＝14时，ymax＝116.
第二章 等式与不等式
2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用
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学习目标
核心素养
1.熟练掌握利用均值不等式 1.通过均值不等式求最值，提升
求函数的最值问题．(重点) 数学运算素养．
2．会用均值不等式求解实际 2．借助均值不等式在实际问题
应用题．(难点)
中的应用，培养数学建模素养.
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[解] 设每间虎笼长x m，宽y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
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法一：由于2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以2 6xy≤18，得xy≤227， 即Smax＝227，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
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1．(1)已知x>0，求函数y＝x2＋5xx＋4的最小值； (2)已知0<x<13，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
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[解] (1)∵y＝x2＋5xx＋4＝x＋4x＋5≥2 4＋5＝9， 当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立． 故y＝x2＋5xx＋4(x>0)的最小值为9.
当堂达标 固双基
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1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最
小值．( )
(2)若 a>0，b>0 且 a＋b＝4，则 ab≤4.( )
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值
是2
x x－1.(
)
栏目导航Biblioteka [提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2
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在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最 小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．
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3．某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一 栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560＋48x(单位：元)．为 了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注： 平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝ 购地总费用 建筑总面积
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1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变 形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会 观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补 项．常见形式有y＝ax＋bx型和y＝ax(b－ax)型．
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2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值． [解] 法一：1a＋1b＝1a＋1b·1
即xy＝ ＝132， 时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
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若把“8x＋1y＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求8x＋1y的 最小值．
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[解] ∵x，y∈R＋， ∴8x＋1y＝(x＋2y)8x＋1y ＝8＋1x6y＋xy＋2＝10＋1x6y＋xy≥10＋2 16＝18. 当且仅当1x6y＝xy时取等号， 结合x＋2y＝1，得x＝23，y＝16， ∴当x＝23，y＝16时，8x＋1y取到最小值18.
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利用均值不等式求最值
【例1】 (1)已知x<54，求y＝4x－2＋4x－1 5的最大值；
(2)已知0<x<12，求y＝12x(1－2x)的最大值．
[思路点拨]
(1)看到求y＝4x－2＋
1 4x－5
的最值，想到如何才能
出现乘积定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
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利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条 件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运 用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式 的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方 向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数 的基本性质的知识解决.
＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2，
当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立，
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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利用均值不等式解决实际问题 【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网 材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最 大？
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法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y. ∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y9－32y＝32y(6－y)． ∵0<y<6，∴6－y>0. ∴S≤326－2y＋y2＝227. 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
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利用均值不等式求条件最值 【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1， ∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y ≥10＋2 xy·16xy＝18，
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当且仅当8x＋1y＝1， xy＝16xy，
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(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
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自主预习 探新知
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已知x，y都是正数． (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最 大 值S42. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最 小 值2 p. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
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1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是( )
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2．若x>0，则x＋2x的最小值是________． 2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当且仅当x＝ 2时，等号成立．]
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3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________． 100 [∵x，y∈N*， ∴20＝x＋y≥2 xy， ∴xy≤100.]
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D.25
A [∵0<x<1，∴1－x>0，
则 x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×x＋12－x2＝34， 当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时取等号．]
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4．已知 x>0，求 y＝x22＋x 1的最大值． [解] y＝x22＋x 1＝x＋2 1x. ∵x>0，∴x＋1x≥2 x·1x＝2， ∴y≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时等号成立．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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2．若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 ab 的最大值为( )
A．1
B．2 2
C．2
D．4
A [由均值不等式得，ab≤a＋2 b2＝1.]
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3．已知 0<x<1，则 x(3－3x)取最大值时 x 的值为( )
1
3
A.2
B.4
C.23
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[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104＝10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋10 x800＝560＋48x＋22x5. 当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
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[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1.
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(2)∵0<x<12， ∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14×14＝116. ∴当且仅当2x＝1－2x0<x<12，即x＝14时，ymax＝116.
第二章 等式与不等式
2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用
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学习目标
核心素养
1.熟练掌握利用均值不等式 1.通过均值不等式求最值，提升
求函数的最值问题．(重点) 数学运算素养．
2．会用均值不等式求解实际 2．借助均值不等式在实际问题
应用题．(难点)
中的应用，培养数学建模素养.
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[解] 设每间虎笼长x m，宽y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
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法一：由于2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以2 6xy≤18，得xy≤227， 即Smax＝227，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
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1．(1)已知x>0，求函数y＝x2＋5xx＋4的最小值； (2)已知0<x<13，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
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[解] (1)∵y＝x2＋5xx＋4＝x＋4x＋5≥2 4＋5＝9， 当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立． 故y＝x2＋5xx＋4(x>0)的最小值为9.