【精选】高中数学第一章三角函数课时作业161.5函数y=Asinωx+φ的图像第2课时新人教A版必修4
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象一训练含解析新人教A版必修4
第一章 三角函数1．5 函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象(一)[A 组 学业达标]1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要把函数y ＝sin x 的图象 ( )A ．向上平移π3个单位长度B ．向下平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：由题意，只要把函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度即可．答案：D2．为了得到y ＝cos x4的图象，只需把y ＝cos x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的14，横坐标不变解析：由图象的周期变换可知，A 正确． 答案：A3．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象 ( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，故只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位长度．故选B.答案：B4．把函数y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标伸长到原来的2倍，最后把图象向左平移π4个单位长度，则所得图象表示的函数的解析式为( )A ．y ＝2sin 2xB ．y ＝－2sin 2xC ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4解析：把函数y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，所得图象的函数解析式为y ＝cos 2x ，再把纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式为y ＝2cos 2x ，最后把图象向左平移π4个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－2sin 2x . 答案：B5．把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g (x )的图象．若g (x )的图象关于y 轴对称，则φ的值为 ( )A.5π12 B.7π12 C.5π6或π6D.5π12或11π12解析：由题意，得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－π3. ∵g (x )的图象关于y 轴对称，∴g (x )为偶函数， ∴2φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．当k ＝0时，φ＝5π12；当k ＝1时，φ＝11π12，故选D.答案：D6．将函数y ＝12sin 2x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的12，则所得图象的函数解析式为________． 解析：y ＝12sin 2x 的图象――――――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝12sin 2⎝⎛⎭⎫12x ＝12sin x 的图象――――――――→纵坐标缩短为原来的12y ＝14sin x 的图象，即所得图象的解析式为y ＝14sin x . 答案：y ＝14sin x7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝2sin(x ＋π4)的图象，只需将y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标变为原来的________倍，横坐标变为原来的________倍．解析：由条件知ω＝2，所以只需将y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍，即可得到y ＝g (x )的图象，且两个变换没有先后顺序． 答案：2 28．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________．解析：因为φ∈[0，2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象．因为sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，所以φ＝11π6. 答案：11π69．函数f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？ 解析：先把函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3的图象(答案不唯一)． 10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)列表并画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？解析：(1)函数f (x )的周期T ＝2π12＝4π.由12x －π4＝0，π2，π，3π2，2π， 解得x ＝π2，3π2，5π2，7π2，9π2.列表如下：x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 12x －π4 0 π2 π 3π2 2π 3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π43－3描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图，图象如下：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，得到f (x )的图象．[B 组 能力提升]11．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ( ) A.13B ．3C ．6D ．9解析：将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3，所得图象与原图象重合，所以cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3ω＝cos ωx ，则－π3ω＝2k π(k ∈Z )，得ω＝－6k (k ∈Z )．又因为ω>0，所以ω的最小值为6，故选C. 答案：C12．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为 ( )A.π6 B.π3 C.π4D.π12解析：由题意得，将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得函数y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象．因为它是偶函数，所以2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π2，k ∈Z ，所以φ的最小值是π4，故选C.答案：C13．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________．解析：将y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋13π12的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋13π12－1. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋13π12－1 14．将函数f (x )＝3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π3＝________．解析：f (x )＝3cos 2x 纵坐标伸长到原来的2倍，得到g (x )＝23cos 2x ，向左平移π6个单位，得到g (x )＝23cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝23cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴g ⎝⎛⎭⎫π3＝23cos ⎝⎛⎭⎫23π＋π3＝－2 3. 答案：－2 315．使函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解析：(正向变换)y ＝f (x )――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝f (2x )―――――――→沿x 轴向左平移π6个单位长度y ＝f ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3， 即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 16．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解析：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。
(全国通用版)2018-2019高中数学-第一章-三角函数-1.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图
(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－ωφ ，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图 象的升降情况找准第一个点的位置．
依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π；
[解析] ∵T＝2ωπ＝2ππ＝6，又图象过(0,1)点， 3
(1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间及最值； (3)画出函数 y＝f(x)在区间[0，π]上的图象． [思路分析] 本题关键是对图象的对称轴为 x＝π8这一条件的利用，由图象一 对称轴为 x＝π8得：当 x＝π8时 2x＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)进而可求 φ 值．
[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2， 令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋π4，k∈Z． ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)． 由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2(k∈Z)
解法二：由图象知振幅 A＝3，又图象过点(π3，0)和(56π，0)，根据“五点法” 作图原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，
得5π36π·ω·ω＋＋φφ＝＝π2，π.
ω＝2， 解得φ＝π3.
解法三：由图象可得 A＝3，又 T＝56π－(－π6)＝π，图象过点(－π6，0)，可知 图象由 y＝3sin2x 向左平移π6个单位长度而得，
『规律总结』 1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程由 ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 求得，即 x＝kπ＋ωπ2－φ，k∈Z；对称中心由 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 求得，即得(kπω－φ， 0)，k∈Z．
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4．要得到函数 y＝cos2x 的图象，只需将 y＝cos(2x＋π4)的图象
A．向左平移π8个单位长度
B．向右平移π8个单位长度
C．向左平移π4个单位长度
D．向右平移π4个单位长度
( B)
[解析] 平移问题遵循“左加右减，只针对 x 而言”的原则．则 y＝cos2x 只 需向左平移π8个单位即可．而 y＝cos(2x＋π4)需右移π8个单位，得到 y＝cos2x．
( C)
A．y＝sin(4x＋38π)
B．y＝sin(4x＋π8)
C．y＝sin4x
D．y＝sinx
[解析] 分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平移是对 x 变化，并 且是对单个的 x 进行变化，把 y＝sin(2x＋π4)的图象向右平移π8个单位长度，用(x －π8)代换原解析式中的 x，即得函数式 y＝sin[2(x－π8)＋π4]，即 y＝sin2x，再把 y＝ sin2x 的图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，就得到解析式 y＝sin2(2x)，即 y ＝sin4x 的图象．
[知识点拨]函数 y＝f(ωx)(ω>0)的图象，可以看作是把函数 y＝f(x)的图象上 的点的横坐标缩短(当 ω>1 时)或伸长(当 0<ω<1 时)到原来的ω1 倍(纵坐标不变)而得 到的．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象 上的所有点的______纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的_____A_倍 (横坐标不变)而得到的．
高中数学第一章三角函数1_5函数y=Asinωx φ的图象1课时提升作业2新人教A版必修4
函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·南昌高一检测)下列说法正确的是( )A.y=cosx的图象向左平移个单位长度得到y=sinx的图象B.y=sinx的图象向左平移个单位长度得到y=cosx的图象C.y=sinx的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y=sin2xD.y=sinx的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y=sinx【解析】选B.y=sinx y=sin=cosx.2.(2014·天水高一检测)要得到函数y=3sin2x+的图象，只需将y=3sin2x的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.y=3sin=3sin2，所以只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位长度即可.【变式训练】函数y=sin的图象可看成是把函数y=sin2x的图象做以下平移得到( )A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选B.因为y=sin=sin2，因此只要把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin的图象.3.(2013·瑞安高一检测)要得到函数y=cos2x的图象，可由函数y=cos的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选C.y=cosy=cos=cos=cos2x.【误区警示】本题易将平移对象搞错而误选A.4.要得到y=cos(2x+1)的图象，只要将函数y=cos2x的图象( )A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解题指南】先将函数y=cos(2x+1)中的x的系数化为1，再确定平移的方向和大小.【解析】选C.y=cos2x y=cos2=cos(2x+1)，所以选C.5.要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos x-的图象( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选A.y=sinx=cos=cos=cos，所以将函数y=cos的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sinx的图象.【拓展提升】正弦与余弦异名函数图象的平移技巧一般地，正弦与余弦异名函数图象平移时，由cosx为偶函数知，将正弦函数利用sinx=cos化余弦后，结合cosx为偶函数可调整x系数的符号，再考虑平移单位长度数较简便.本题也可以先作变形y=cos=sin再平移，但此解法不具有一般性.6.(2014·安庆高一检测)要得到函数y=sin2x-的图象，只需将函数y=-cos(2x-π)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向左平移π个单位长度C.向右平移π个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选C.由于y=-cos(2x-π)=cos2x=sin=sin2，y=sin=sin2=sin2.故只需将函数y=-cos(2x-π)的图象向右平移π个单位长度得到函数y=sin的图象.二、填空题(每小题4分，共12分)7.将y=cos2x的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为.【解析】y=cos2xy=cos2=cos.答案：y=cos【变式训练】函数y=sin x的图象向右平移个单位长度，所得的图象对应的函数解析式是.【解析】将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin=sin x-的图象.答案：y=sin8.将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度得到y=sin的图象，则φ等于 .【解析】y=sinx y=sin(x+φ)，由题意知y=sin(x+φ)可化为y=sin=sin，又0≤φ<2π，所以φ=π.答案：π【举一反三】若将本题改为向右平移φ(0≤φ<π)个单位长度得到y=sin的图象，则φ等于.【解析】将函数y=sinx的图象向右平移φ(0≤φ<π)个单位长度得到y=sin(x-φ)=sin，故φ=.答案：9.(2014·重庆高考)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f= .【解题指南】先根据三角函数图象变换求出ω，φ的值，然后求出f的值.【解析】函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，则函数变为y=sin(2ωx+φ)，再向右平移个单位长度得到的函数为y=sin=sin=sinx，所以又因为ω>0，-≤φ<，可求得ω=，φ=，所以f(x)=sin，所以f=sin=sin=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·成都高一检测)已知函数f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y=sinx的图象相同，求函数f(x)的解析式.【解析】反过来想，y=sinxy=siny=sin.故函数f(x)的解析式为f(x)=sin=-cos2x.11.由y=sinx怎样变换得到y=-2sin的图象？【解析】方法一：y=sinx向右平移个单位长度得到y=sin，横坐标缩短为原来的得到y=sin，纵坐标再伸长为原来的2倍得到y=2sin，再关于x轴对称，即得到y=-2sin.方法二：y=-2sin=2sin=2sin.①y=sinx向左平移π个单位长度得到y=sin；②y=sin横坐标缩短为原来的得到y=sin；③纵坐标伸长为原来的2倍得到y=2sin即y=-2sin.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·南平高一检测)函数y=3sin3x的图象可看作是由y=sinx的图象按下列哪种变换得到的( )A.横坐标不变，纵坐标变为原来的倍B.横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的3倍C.横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍D.横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍【解析】选B.y=sinx y=sin3x y=3sin3x.2.(2014·湖南师大附中高一检测)为得到函数y=cos的图象，只需将函数y=sinx的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.y=sinxy=sin=sin=cos.3.(2014·营口高一检测)把y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，再把图象向左平移个单位长度，这时对应于这个图象的解析式为( )A.y=cos2xB.y=-sin2xC.y=sinD.y=sin【解析】选A.y=sinx y=sin2xy=sin2=cos2x.【变式训练】若将某正弦函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的图象的函数解析式是y=sin，则原来的函数解析式为( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin-【解析】选A.y=sin向左平移个单位长度后，得到原函数y=sin.4.设函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A. B.3 C.6 D.9【解题指南】解答此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了是此函数周期的整数倍.【解析】选C.由题=·k(k∈Z)，解得w=6k，令k=1，即得w min=6.二、填空题(每小题5分，共10分)5.将函数y=sin(-2x)的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为.【解析】y=sin(-2x)y=sin=sin.答案：y=sin【误区警示】本题极易出现y=sin(-2x)y=sin的错误.6.(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，则a7= .【解析】由题意可得a1=2，a2=2×sin45°=，a3=a2×sin45°=1，a4=a3×sin45°=，a5=a4×sin45°=，a6=a5×sin45°=，a7=a6×sin45°=×=.答案：三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·烟台高一检测)怎样由y=cos的图象变换得到函数y=sinx的图象？【解析】因为cos=cos=cos=sinx，所以将函数y=cos的图象向右平移个单位长度即可得y=sinx，然后横坐标不变，将纵坐标扩大2倍，即可得y=sinx的图象.【变式训练】函数y=sin的图象，可由函数y=sinx的图象怎样变换得到？【解析】答案不唯一，将y=sinx的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标缩小到原来的一半而得到.8.将函数y=lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y=cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象.(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象.(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.【解题指南】解答本题(1)利用平移变换法画出两个函数的图象.(2)根据弦函数的“有界性”及lg10=1确定两个函数图象的交点个数，即为方程f(x)=g(x)解的个数.【解析】函数y=lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)=lg(x+1)的图象，即图象C1；函数y=cos的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)=cos=cos2x的图象，即图象C2.(1)画出图象C1和C2的图象如图.(2)由图象可知：两个图象共有5个交点.即方程f(x)=g(x)解的个数为5.。
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课
关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上
下伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原 来的A倍(横坐标不变)而得到的.
1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换 法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象 间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移 后伸缩,也可以先伸缩后平移.
2.填空:(1)五点法:①列表 ωx+φ 通常取 0,π2,π,32π,2π 这五个值 ;②描点;③连线.
数( )的图象.
A.y=sin
������
+
π 5
C.y=sin
π 5
-������
B.y=sin
������-
π 5
D.y=sin
5������-
π 5
解析将函数 y=sin x 的图象向右平移π5个单位,可以得到函数
y=sin
������-
π 5
的图象.
答案B
一
二
三
四
思维辨析
二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωx φ)的图象(1)课件3新人教A版必修4
个单位长度得
3
y2=sin[(2x+ )- ]=sin(2x+ )=cos 2x的图象.
36
2
【补偿训练】将y=sin x的图象怎样变换可得到函数y=2sin(2x+ )
3
23
6
12
只需将函数y=cos 2x的图象向左平移 个单位长度，可得到此函数
12
的图象.
答案：左
12
【延伸探究】若把本例2中的“ -2x”改为“ +2x”，其他条件不
3
3
变，应如何变换？
【解析】因为 y cos 2x sin( 2x) sin[2(x ) ]
A.向左平行移动 1 个单位长度
2
B.向右平行移动 1 个单位长度
2
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
2.(2015·苏州高一检测)要得到函数y=sin( -2x)，只需将函数 y=cos 2x的图象向______平移_______个单位3长度.
【解题探究】1.典例1中，为确定平移方向和平移量，需对
26
f(x)=sin( 1)x，所 以
f ( ) sin(1 ) sin 2 .
26
6
26 6
42
答案： 2
2
【方法技巧】三角函数图象伸缩变换的方法
【变式训练】(2015·温州高一检测)将函数y=sin(x-
6
)的图象上所有
点的横坐标缩短为原来的 1(纵坐标不变)，再将所得函数的图象向左
-x)=cos(x- )=cos[(x-
2
)-
6
]，
3
所以将函数y=cos(x- )的图象向右平移 个 单位长度可得到函数
高中数学必修四课时作业3：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
必修四第一章 三角函数 1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1、把函数x =y 的图象F 按)4,0(a =，平移到F /，则F /的函数式为（ ） A ．4-y x =B ．2y +=x C ．x -4y =D ．4y +=x2、把函数)25sin(y π-=x 的图象向右平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的21，所得图象的函数[解析]式为（ ）． A ．)4310sin(y π-=x B ．)2710sin(y π-=xC ．)2310sin(y π-=xD ．)4710sin(y π-=x3、 将函数)22)(2sin()(f πθπθ<<-+=x x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点），（23,0P ，则φ的值可以是( )． A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 4、 将函数)0(sin )(f >=w wx x 的图象向右平移4π个单位长度，所得图象经过点），（043，则ω的最小值是( )． A.31 B ．1 C ．35D ．2 5．已知：某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f(t)。
下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y=f(t)的曲线可近似看成是函数 b t A y +=)cos(ω，根据以上数据，函数的[解析]式是 。
6．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A B ，两点间的距离(cm)d 表示成(s)t 的函数，则d =_____，其中[]060t ∈，．7．如图，一个大风车的半径是8米，每12分钟旋转一周，最低点离地面2米，若风车翼片从最低点按逆时针方开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h （米）与时间t （分钟）之间的函数关系是（ ）A 10)6cos(8+=t h πB 10)3cos(8+-=t h πC 10)6sin(8+-=t h πD 10)6cos(8+-=t h π8由函数x sin y =或x cos y =的图象怎样得到)32cos(3y π+=x 的图象?9说明)6-2(sin 2y πx =的图象是由x sin y =的图象经过怎样变换得到的．[答案]：1.D.2.D3.B4.D5.x sin y =6.2cm7.A8.横坐标缩小21倍，再向左平移6π的单位，纵坐标扩大三倍 9.横坐标缩小21倍，再向左平移12π个单位，纵坐标缩小二倍。
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象(1)课时提升作业1新人教A版必修4
函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A.y=cos2xB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选D.y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y=sin.2.(2015·张掖高一检测)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选A.由已知得=π，故ω=2，所以f(x)=sin=sin2，所以函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度可以得到函数f(x)的图象.3.要得到函数y=2cos的图象，只要将函数y=2cos2x的图象( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度【解析】选D.因为y=2cos=2cos2(x-)，所以只要将函数y=2cos2x的图象向右平行移动个单位长度可得y=2cos的图象.【补偿训练】函数y=3sin的图象可看成y=3sin3x的图象( )A.向左平移个单位长度得到B.向右平移个单位长度得到C.向左平移个单位长度得到D.向右平移个单位长度得到【解析】选 A.因为y=3sin=3sin3(x+)，所以y=3sin3x的图象向左平移个单位长度得y=3sin的图象.4.(2015·南昌高一检测)用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5，且x1+x5=，则x2+x4等于( )A. B.π C. D.2π【解析】选C.由五点法作图原理知，x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=，故x1与x5的中点是x3，x2与x4的中点是x3，所以x2+x4=2x3=x1+x5=.5.(2015·海口高一检测)由函数f(x)=sin2x的图象得到g(x)=cos的图象，可将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选D.因为g(x)=cos=sin(+2x-)=sin=sin2，所以将f(x)的图象向左平移个单位长度，可得g(x)的图象.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·南通高一检测)函数y=3sin的图象向右平移个单位长度得到的函数图象的解析式f(x)=________.【解析】y=3sin的图象向右平移个单位长度得y=3sin=3sin2x的图象. 答案：3sin2x【补偿训练】(2015·温州高一检测)将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度，所得函数的解析式为________.【解析】y=sin的图象向左平移个单位长度，得y=sin=sin=cos2x的图象.答案：y=cos2x7.(2015·无锡高一检测)把函数y=2cos的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，所得到的图象的函数解析式为________.【解析】函数y=2cos的图象向右平移个单位长度得y=2cos=2cos的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得y=2cos的图象.答案：y=2cos8.①将函数y=sin(x-2)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的；②将函数y=sin(x-4)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的；③将函数y=sin(2x-5)的图象沿x轴向左平移3个单位；④将函数y=sin(2x+4)的图象沿x轴向右平移3个单位.其中能产生y=sin(2x-2)的图象的变换是________(写出所有符合要求的图象变换的序号).【解析】①可变换为y=sin(2x-2)的图象；②可变换为y=sin(2x-4)的图象；③可变换为y=sin[2(x+3)-5]=sin(2x+1)的图象；④可变换为y=sin[2(x-3)+4]=sin(2x-2)的图象.能产生y=sin(2x-2)的图象的变换是①④.答案：①④三、解答题(每小题10分，共20分)9.函数f(x)=5sin-3的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的？【解析】先把函数y=sinx的图象向右平移个单位，得y=sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y=sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y=5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位，得函数y=5sin-3的图象.10.(2015·荆州高一检测)已知函数f(x)=3sin(x-)，x∈R.(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图.(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式.【解析】(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图.ππππx-π(2)将f(x)=3sin图象上所有点向左平移个单位长度得到f1(x)=3sin[-]=3sin x 的图象.把f1(x)=3sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)=3sin x的图象，把f2(x)=3sin x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到g(x)=sin x的图象.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.要得到函数y=sin(2x-)的图象，只需将函数y=-cos(2x-π)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向左平移π个单位长度C.向右平移π个单位长度D.向右平移个单位长度【解析】选C.由于y=-cos(2x-π)=cos2x=sin=sin2，y=sin=sin2=sin2.故只需将函数y=-cos(2x-π)的图象向右平移π个单位长度得到函数y=sin的图象.2.(2015·北京高一检测)先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再作所得图象关于x轴的对称图形，此时函数的解析式为( )A.y=sinB.y=sinC.y=-sinD.y=-sin【解析】选C.将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度得y=sin2=sin的图象，再作所得图象关于x轴的对称图形，此时函数的解析式为-y=sin，即y=-sin.【延伸探究】将本题中“右”改为“左”，“x轴”改为“y轴”其他条件不变，此时函数解析式是什么？【解析】将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2=sin的图象，再作所得图象关于y轴的对称图形，此时函数解析式为y=sin=-sin.二、填空题(每小题5分，共10分)3.将函数f(x)=2cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为________.【解析】将函数f(x)=2cos的图象向左平移个单位长度，得到f(x)=2cos[+]=2cos的图象，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)=2cos-1的图象，所以g(x)的解析式为g(x)=2cos-1.答案：g(x)=2cos-14.(2015·宣城高一检测)将函数y=cos(2x+φ)(-π<φ<π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y=sin的图象重合，则φ=________.【解析】函数y=sin的图象向左平移个单位长度，得到函数y=sin=-sin=cos=cos，其图象与y=cos(2x+φ)(-π<φ<π)的图象重合，所以φ=.答案：【补偿训练】将函数y=sin2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位长度，向右平移n(n>0)个单位长度，所得到的两个图象都与函数y=sin的图象重合，则m+n的最小值为________.【解析】结合函数图象知m+n的最小值为y=sin(2x+)的周期，即T==π.答案：π三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·合肥高一检测)已知函数y=sin(2x+)+，x∈R.(1)当函数值y取最大值时，求自变量x的集合.(2)该函数图象可由y=sinx，x∈R的图象经过怎样变换得到？【解析】(1)由于函数y=sin+，x∈R，故当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+时，函数y 取得最大值为+=，故要求的自变量x的集合为.(2)把y=sinx的图象向左平移个单位长度，可得y=sin的图象；再把所得图象的各点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin的图象；再把所得图象的各点的纵坐标变为原来的倍，可得y=sin的图象；再把所得图象向上平移个单位，可得y=sin+的图象.6.(2015·莆田高一检测)作图并求值：利用五点作图法画出函数y=2sin，x∈的图象，并写出图象在直线y=1上方所对应的x的取值范围.【解析】因为x∈，所以0≤2x-≤2π，列表如下：2sin描点作图如下：由y=2sin>1得：sin>，又2x-∈[0，2π]，所以<2x-<，解得：<x<.所以当x∈时，图象在直线y=1上方所对应的x的取值范围为.【补偿训练】已知函数y=sin+1.(1)用“五点法”画出函数的草图.(2)函数图象可由y=sinx的图象怎样变换得到？【解析】(1)列表：2x+描点，连线如图所示.将y=sin+1在上的图象向左、向右平移(每次π个单位长度)，即可得到y=sin(2x+)+1的图象.(2)y=sinx y=siny=sin y=sin+1.。
新人教版高中数学第一章三角函数1-5函数y=Asinωx+φ的图象(二)课时作业必修四
高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象（二）课时作业 新人教版必修41.已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A.T ＝6，φ＝π6B.T ＝6，φ＝π3C.T ＝6π，φ＝π6D.T ＝6π，φ＝π3解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0，1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.答案 A2.已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析 当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合，当|a |>1时T <2π，B 符合.排除A 、B 、C ，故选D.答案 D3.y ＝f (x )是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如图所示，则y ＝f (x )的解析式为()A.y ＝3sin(x ＋1)B.y ＝－3sin(x ＋1)C.y ＝3sin(x －1)D.y ＝－3sin(x －1)解析 A ＝3，ω＝2πT ＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，∴f (x )＝3sin[x ＋(π－1)]＝－3sin(x －1).答案 D4.电流强度I (A)随时间t (s)变化的函数I ＝A ·sin ⎝⎛⎭⎫ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图象如图所示，则当t ＝150s 时，电流强度是_________ A.解析 由图象可得函数I ＝A ·sin ⎝⎛⎭⎫ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的振幅是10，周期是T ＝2×⎝⎛⎭⎫4300－1300＝150，所以ω＝2πT ＝100π，所以当时间t ＝150 s 时，电流强度I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100π×150＋π6＝10sin π6＝5(A). 答案 55.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为______. 解析 y ＝3cos(2x ＋φ)图象的对称中心的横坐标应满足2x ＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . ∵⎝⎛⎭⎫4π3，0是y ＝3cos(2x ＋φ)的对称中心， ∴2×4π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴|φ|min ＝π6. 答案π6 6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0，1)，求函数的解析式.解 由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.。
高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (2)课时训练(含解析)新人教A版必修4
§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)课时目标 1.会用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.明确函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)中常数A 、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念.3.了解函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性(如对称轴，对称中心)．1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，______叫做振幅，周期T ＝______，频率f ＝______，相位是______，初相是______．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 定义域 R 值域 __________ 周期性 T ＝____________奇偶性φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是__________函数单调性单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区间可由______________________________得到一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( )A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z )2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π33．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 4．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．函数y ＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π46．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.9．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题 ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题11．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．能力提升13．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变14．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a 等于( )A. 2 B ．－ 2 C ．1 D ．－11．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)答案知识梳理1．A 2πω ω2πωx ＋φ φ2．[－A ，A ] 2π|ω| k π (k ∈Z ) π2＋k π (k ∈Z ) 非奇非偶 2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z ) 2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z ) 作业设计 1．B2．A [T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.]3．D [由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.又x ＝π12时，y ＝1.] 4．D [由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.]5．C [由⎩⎪⎨⎪⎧ω×1＋φ＝π2ω×3＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π4φ＝π4.]6．B [对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立．∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2.∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2.]7．x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.8.9π10解析 由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为2⎝⎛⎭⎪⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.9.5π12解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝56π，∴φ＝512π或作出y ＝sin 2x 的图象观察易知φ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝512π.10．②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π， ∴x ＝k 2π－π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，∴x ＝π12＋k π2.∴④错．11．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 (2)列出x 、y12．解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由图象关于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称可知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34πω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.13．A [由图象可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2.∵图象过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．]14．D [方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0) ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin 0＋a cos 0.∴a ＝－1. 方法二 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋x ， 令x ＝π8，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)，即－1＝a .]。
2021_2022学年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课时作业新人教A版
1.5 函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象选题明细表知识点、方法题号函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图4,9运用图象变换作函数图象2,11求三角函数的解析式1,7,8,10,12综合问题3,5,6根底稳固1.函数y=3sin(x+)的振幅和周期分别为( A )(A)3,4 (B)3,(C),4 (D),3解析:由于函数y=3sin(x+),所以振幅是3,周期是T==4.2.(2021·唐山市高一期末)函数f(x)=3sin(2x+)的最小正周期为T,那么将函数f(x)图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数为( D )(A)y=-3sin(2x+) (B)y=-3cos(2x+)(C)y=3sin(2x+) (D)y=3cos(2x+)解析:函数f(x)=3sin(2x+)的最小正周期为T==π,那么将函数f(x)图象向左平移=个单位后,所得图象对应的函数解析式为y=f(x+)=3sin(2x++)=3cos(2x+).应选D.3.(2021·全国Ⅰ卷)函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,那么ω的最大值为( B )(A)11 (B)9 (C)7 (D)5解析:先根据函数的零点及图象对称轴,求出ω,ϕ满足的关系式,再根据函数f(x)在(,)上单调,那么(,)的区间长度不大于函数f(x)周期的,然后结合|ϕ|≤计算ω的最大值.因为f(x)=sin(ωx+ϕ)的一个零点为x=-,x=为y=f(x)图象的对称轴,所以·k=(k为奇数).又T=,所以ω=k(k为奇数).又函数f(x)在(,)上单调,所以≤×,即ω≤12,所以ω=11,又|ϕ|≤,那么ϕ=-,此时,f(x)=sin(11x-),f(x)在(,)上单调递增,在(,)上单调递减,不满足条件.假设ω=9,又|ϕ|≤,那么ϕ=,此时,f(x)=sin(9x+),满足f(x)在(,)上单调的条件.应选B.4.(2021·长清区高一期末)函数y=cos(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π)为奇函数,该函数的局部图象如下图,A,B分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为,那么该函数的一条对称轴方程为( C )(A)x= (B)x= (C)x= (D)x=2解析:因为函数y=cos(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π)为奇函数,所以ϕ=,所以函数为y=-sin ωx.因为AB==,所以ω=π.函数为y=-sin ππx=kπ+,求得x=k+,k∈Z.令k=1,可得该函数的一条对称轴方程为x=.应选C.5.(2021·邢台市高一期中)假设仅存在一个实数t∈(0,),使得曲线C:y=sin(ωx-)(ω>0)关于直线x=t对称,那么ω的取值范围为.解析:函数y=sin(ωx-),其对称轴方程为ωx-=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z;因为对称轴x=t∈(0,),所以当k=0时,可得<,解得ω>;当k=1时,可得≥,解得ω≤;所以ω的取值范围是(,].答案:(,]6.函数f(x)=3sin(2x-)的图象为C,那么以下结论中正确的选项是.(写出所有正确结论的编号)①图象C关于直线x=对称;②图象C关于点(,0)对称;③函数f(x)在区间(-,)内是增函数;④由y=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.解析:f()=3sin(2×-)=3sin(-)=-,f(π)=3sin(π-)=0,故①错,②正确.令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,故③正确.函数y=3sin 2x的图象向右平移个单位,得到函数 y=3sin 2(x-)=3sin(2x-π)的图象,故④错.答案:②③7.(2021·遂宁市高一期末)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<)的局部图象如下图.(1)求f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图象,求函数y=g(x)在[0,π]上的单调递增区间.解:(1)由图象可知,A=2,周期T=[-(-)]=π,所以=π,ω>0,那么ω=2,从而f(x)=2sin(2x+ϕ),代入点(,2),得sin(+ϕ)=1,那么+ϕ=+2kπ,k∈Z,即ϕ=-+2kπ,k∈Z,又|ϕ|<,那么ϕ=-.所以f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x-).(2)由(1)知f(x)=2sin(2x-),因此g(x)=2sin[2(x+)-]=2sin(2x-),令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,由[kπ-,kπ+]∩[0,π]=[0,]∪[,π],故函数y=g(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,],[,π].能力提升8.(2021·武汉市高一期末)某函数同时具有以下性质:①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在[-,]上是增函数;④一个对称中心为(,0).那么它可以是( B )(A)y=sin(+) (B)y=sin(2x-)(C)y=cos(2x+) (D)y=cos(2x-)解析:由①可排除A;由②图象关于直线x=对称,可得f()=±1,而sin(2×-)=1,cos(2×+)=cos π=-1,cos(2×-)=0,可排除D;由③,当∈[-,]时,2x-∈[-,],函数y=sin(2x-)为增函数,2x+∈[0,π],函数y=cos(2x+)为减函数,排除C.应选B.9.为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,那么ω的最小值是( B )(A)98π (B)π(C)π(D)100π解析:由题意至少出现50次最大值即至少需用49个周期,所以49·T=·≤ω≥π.10.f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|≤)在[0,]上单调,且f()=0,f()=2,那么f(0)= .解析:由题意知·=-,所以ω=.因为f()=0且f(x)在[0,]上单调递增,所以×+ϕ=2kπ,k∈Z,所以ϕ=-+2kπ,k∈Z.又因为|ϕ|≤,所以ϕ=-.f(0)=2sin ϕ=-1.答案:-111.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<)的一段图象如下图.(1)求f(x)的解析式;(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?解:(1)A=3,=(4π-)=5π,ω=.由f(x)=3sin(x+ϕ)过点(,0)得sin(+ϕ)=0,又|ϕ|<,故ϕ=-.所以f(x)=3sin(x-).(2)由f(x+m)=3sin [(x+m)-]=3sin(x+-)为偶函数(m>0),知-=+kπ,即m=+k π,k∈Z.因为m>0,所以m min=.故把f(x)的图象向左至少平移个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.探究创新12.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<)的最小正周期为2,且当x=时,f(x)取得最大值2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在闭区间[,]上是否存在f(x)图象的对称轴?如果存在,求出对称轴方程;如果不存在,说明理由.解:(1)由=2,得ω=π.又A=2,所以f(x)=2sin(πx+ϕ).因为f()=2,所以sin(+ϕ)=1.又|ϕ|<,所以ϕ=.故f(x)=2sin(πx+).(2)令πx+=kπ+,k∈Z.那么x=k+,k∈Z.即函数f(x)的对称轴为x=k+,k∈Z.由≤k+≤,得≤k≤.因为k∈Z,所以k=5.故在区间[,]上存在f(x)图象的对称轴,其方程是x=.。
高中数学第一章三角函数课时121.5函数y=asin(ωx+φ)的图象作业aa高一数学
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14．函数 y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移2π个单位 5π
后，与函数 y＝sin(2x＋π3)的图象重合，则 φ＝ 6 .
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解析：y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到 y＝ cos[2(x－2π)＋φ]的图象，化简得 y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为 y ＝sin(2x＋φ－π2)．由题意可知 φ－π2＝3π＋2kπ(k∈Z)，所以 φ＝56π＋ 2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π 知 φ＝56π.
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三、解答题 10．已知函数 f(x)＝3sin(2x＋φ)φ∈0，π2，其图象向左平移π6 个单位长度后，关于 y 轴对称． (1)求函数 f(x)的解析式． (2)说明其图象是由 y＝sinx 的图象经过怎样的变换得到的．
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课时作业(zuòyè)12 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
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——基础巩固类—— 一、选择题 1．要得到函数 y＝sin4x－3π的图象，只需将函数 y＝sin4x 的
图象( B )
A．向左平移1π2个单位 B．向右平移1π2个单位 C．向左平移π3个单位 D．向右平移π3个单位
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解析：
y＝sin4x－1π2 ＝sin4x－3π.故选 B.
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2．将函数 y＝sin2x 的图象向右平移2π个单位长度，所得图象
高中数学第一章三角函数.5函数y=Asin(ω+φ)的图象一课时作业新人教必修4
【创新设计】〔浙江专用〕2021-2021高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y ＝Asin(ωx＋φ)图象〔一〕课时作业 新人教版必修41.将函数y ＝sin 2x 图象向右平移π2个单位，所得图象对应函数是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析 y ＝sin 2x ―――――→向右平移π2个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π2＝－sin 2x ，所得函数为y ＝－sin 2x ，是奇函数.答案 A2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 图象，只要将y ＝f (x )图象( )A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)最小正周期为π，∴2πω＝π.∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4.又∵g (x )＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π8＋π4，∴只要将y ＝f (x )图象向左平移π8个单位即可得到g (x )＝cos ωx 图象.答案 A3.将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2<θ<π2图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )图象，假设f (x )，g (x )图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32，那么φ值可以是( ) A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析 先求出解析式中字母取值，再利用代入法确定答案.∴P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32在f (x )图象上， ∴f (0)＝sin θ＝32.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2〔x －φ〕＋π3. ∵g (0)＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2φ＝32.验证，φ＝56π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－53π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43π＝32B.答案 B4.将函数y ＝sin x 图象上所有点横坐标缩短到原来14倍(纵坐标不变)得____图象. 答案 y ＝sin 4x5.函数y ＝sin 2x 图象向右平移φ个单位(φ＞0)得到图象恰好关于x ＝π6对称，那么φ最小值是_______. 解析 函数y ＝sin 2x 图象向右平移后得到y ＝sin [2(x －φ)]图象，而x ＝π6是对称轴，即2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝－k π2－π12(k ∈Z ).当k ＝－1时，φ＝512π.答案 512π6.把函数y ＝f (x )图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来2倍，再把纵坐标缩短到原来23倍，所得图象解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π3，求f (x )解析式. y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＝3cos x .∴f (x )＝3cos x .7.函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象重合，求φ值. 解 函数y ＝cos(2x ＋φ)图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x＋φ)图象，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π＋π3 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5π6， 即φ＝5π6.8.使函数y ＝f (x )图象上每一点纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到曲线与y ＝sin 2x图象一样，求f (x )表达式. 解 法一 正向变换y ＝f (x )―――――――→横坐标缩小到原来12y ＝f (2x )―――――――――→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，那么2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3. 法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2x ――――――――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3―――――――――――――→横坐标伸长到原来2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3. 能 力 提 升9.设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )图象向右平移π3个单位长度后，所得图象与原图象重合，那么ω最小值等于( ) A.13解析 由题π3＝2πω·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝6. 答案 C10.把函数y ＝cos 2x ＋1图象上所有点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到图象是( )解析 由题意，y ＝cos 2x ＋1图象上所有点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)为y ＝cos x ＋1，向左平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)，利用特殊点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0变为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－1，0，知选A. 答案 A11.某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 图象；②将y ＝sin x 图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)图象； ③将y ＝sin(－x )图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象是由y ＝sin 2x 图象向左平移π3个单位而得到.其中正确结论是_____(将所有正确结论序号都填上). 答案 ①③12.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)最小正周期是π，要得到函数g (x )＝sin ωx 图象，需将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4图象_______. 解析 由T ＝2πω＝π得ω＝2，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，g (x )＝sin 2x ，只需将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4向右平移π8个单位长度即可得到函数g (x )＝sin 2x 图象.答案 向右平移π8个单位长度13.函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫φ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称. (1)求函数f (x )解析式；(2)说明其图象是由y ＝sin x 图象经过怎样变换得到.解 (1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象函数解析式为y＝3sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋φ. 因为图象平移后关于y 轴对称， 所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z ).因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. (2)将函数y ＝sin x 图象上所有点向左平移π6个单位长度，所得图象函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6，再把所得图象上各点横坐标缩短到原来12倍(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6图象，再把图象上各点纵坐标伸长到原来3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6图象. 探 究 创 新14. 函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)假设y ＝f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件[a ，b ]中，求b －a 最小值.解 (1)因为ω>0，根据题意有ππ,3420.2ππ432ωωω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2〔x ＋π6〕＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin(2x ＋π3)＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )零点相离间隔依次为π3与2π3，故假设y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点， 那么b －a 最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
「精品」高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象一学案含解析新人教A版必修4
第一课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)[提出问题]问题1：由y ＝sin x 的图象能得到y ＝sin x ＋π4的图象吗？提示：能，向左平移π4个单位长度即可．问题2：函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的最小正周期分别是什么？提示：它们的最小正周期分别为2π，π，4π.问题3：y ＝sin 2x 和y ＝sin 12的图象是否可以由y ＝sin x 的图象得到？提示：可以．只要“压缩”或“拉伸”y ＝sin x 的图象即可．问题4：对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x ，y ＝12sin x 的函数值有什么关系？提示：y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的12倍．[导入新知]1．φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．3．A (A >0)对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0且A ≠1)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域为[－A ，A ]．最大值为A ，最小值为－A .[化解疑难]由y ＝sin x 变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的方法 (1)先平移后伸缩：(2)先伸缩后平移：[例1] 作出函数y＝2sin3x－3在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] 列表：[类题通法]1．“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．2．用“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表.第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图象． [活学活用]画出函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图． 解：由T ＝2π2，得T ＝π.(1)列表：2x ＋π3取值为0，π2，π，3π2，2π得到对应的x 与y 的值如下表：(2)描点．(3)用光滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示．[例2] 为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度[答案] C [类题通法]三角函数的平移变换问题的分类及策略(1)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先将解析式化简为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，即确定A ，ω，φ的值，然后确定平移的方向和单位．(2)确定函数y ＝sin x 的图象经过变换后图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向的横纵坐标伸缩的量，确定出A ，ω，φ的值．[活学活用]1．(全国乙卷)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案：D2．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9答案：C[例3] (1)所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin xB ．y ＝12sin xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝sin 12x(2)如何由y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象？ [解] (1)D[类题通法]三角函数图象伸缩变换的两种思路(1)y ＝A 1sin ω1x y ＝A 2sin ω1x y ＝A 2sinω2x .(2)y ＝A 1sin ω1x y ＝A 1sin ω2x y ＝A 2sinω2x .[活学活用]把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y ＝sin x ，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝π12答案：B6.平移变换中的误区[典例] 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得函数的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π12B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋3π4 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π12 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋3π4[解析] 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象向左平移π3个单位长度，可得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4的图象，即函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋3π4的图象．[答案] D [易错防范]1．在解答过程中，若不能正确理解平移的实质，则会出现y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－π4，得到y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π12.从而误选C.2．在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的倍数把握不准，则易出现对x 的系数缩小或扩大的倍数造成失误，会出现y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋3π4等类似的错误答案．3．图象的左右平移是针对x 而言的．图象的伸缩变换即周期变换，在变换中纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍．[成功破障]函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －3π4 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4答案：D[随堂即时演练]1．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数的是 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 答案：A2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )答案：A3．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝________.答案：11π64．把函数y ＝cos x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍，然后将图象沿x 轴负方向平移π4个单位长度，就会得到函数________的图象．答案：y ＝－sin 2x5．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．答案：f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2[课时达标检测]一、选择题1．为了得到y ＝cos 4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：B2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案：B3．若函数y ＝sin 2x 的图象经过适当变换可以得到y ＝cos 2x 的图象，则这种变换可以是( )A ．沿x 轴向左平移π2个单位长度B ．沿x 轴向右平移π2个单位长度C ．沿x 轴向右平移π4个单位长度D ．沿x 轴向左平移π4个单位长度答案：D4．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )答案：A5．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53D ．2答案：D 二、填空题6．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是________． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π12，07．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x 2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．答案：11π38．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z 三、解答题9．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解：(1)列表：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左、向右平移(每次π个单位长度)， 即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．10．已知函数y ＝3sin 2x 的图象C 1，问C 1需要经过怎样的变换得到函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π4的图象C 2，并且平移路程最短？解：法一：∵y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －5π8， ∴可将y ＝3sin 2x 的图象C 1向右平移5π8个单位长度可得C 2.法二：∵y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π4 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π4＋2π＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π8，∴可将y ＝3sin 2x 的图象C 1向左平移3π8个单位长度可得C 2.精品资料 值得拥有- 11 - 综上可知，平移路程最短的方法是向左平移3π8个单位长度．11．将函数y ＝lg x 的图象向左平移1个单位长度，可得函数f (x )的图象；将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )的图象． (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象；(2)判断方程f (x )＝g (x )解的个数．解：函数y ＝lg x 的图象向左平移一个单位长度，可得函数f (x )＝lg(x ＋1)的图象，即图象C 1；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π12个单位长度，可得函数g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π6＝cos 2x 的图象，即图象C 2. (1)画出图象C 1和C 2的图象如图．(2)由图象可知：两个图象共有5个交点．即方程f (x )＝g (x )解的个数为5.。
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx φ的图象2课时提升作业2新人教A版
函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)一、选择题(每小题3分，共18分)1.函数y=3sin的相位和初相是( )A.-x+，B.x-，-C.x+，D.x+，【解析】选C.因为y=3sin=3sin=3sin，所以相位和初相分别为x+，.2.(2014·台州高一检测)最大值为，周期为，初相为的函数解析式是( ) A.y=sin B.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选D.y=sin满足最大值为，周期为，初相为.3.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是( )A.x=-B.x=C.x=-D.x=【解析】选C.由x-=+kπ(k∈Z)得，x=+kπ(k∈Z).当k=-1时，x=-是其一条对称轴.【变式训练】函数y=2sin图象的两相邻对称轴之间的距离是( )A. B.π C. D.【解析】选D.函数图象的两相邻对称轴之间的距离等于，即=×=.4.(2014·大同高一检测)函数y=sin的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x=对称【解析】选B.因为y=sin=-cosx，此函数为偶函数，故其图象关于y轴对称.5.函数y=sin的单调增区间是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选D.y=sin=-sin，令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z.【变式训练】函数y=sin的单调减区间为( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选A.y=sin=-sin，当2kπ-≤-≤2kπ+，k∈Z，即3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z)时，y=sin单调递减.6.已知函数f(x)=sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y=f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是( )A. B. C. D.【解析】选D.因为=π，所以ω=2，则f(x)=sin.其图象向左平移|φ|个单位长度，得g(x)=sin的图象.因为g(x)的图象关于y轴对称，所以2(0+|φ|)+=+kπ，k∈Z，所以|φ|=+，k∈Z，所以φ的一个值为.二、填空题(每小题4分，共12分)7.函数y=sin在区间[0，π]上的单调减区间是.【解析】由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.因为x∈[0，π]，所以令k=0，可得≤x≤.答案：8.(2014·常州高一检测)函数的对称中心在x轴上，且最大值为，周期为，初相为，则函数的解析式为.【解析】设函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)，则A=，φ=，=，所以ω=，所以y=sin.答案：y=sin【变式训练】函数f(x)=Asin A>0，ω>0，|φ|<在一个周期内，当x=时取得最大值2，当x=时，取得最小值-2，则函数解析式为.【解析】由题意，A=2，f(x)的周期为π，所以ω=2，则f(x)=2sin(2x+φ)，又x=时取得最大值为2，则2×+φ=+2kπ，k∈Z，得φ=+2kπ，又因为|φ|<，所以φ=，所以函数解析式为f(x)=2sin.答案：f(x)=2sin9.(2014·牡丹江高一检测)关于函数f(x)=2sin，以下说法：①其最小正周期为；②图象关于点对称；③直线x=-是其一条对称轴.其中正确的序号是.【解析】T==，故①正确；x=时，f(x)=2sin=2sin=0，所以图象关于点对称，故②正确；x=-时，f(x)=2sin=2sin=2，所以直线x=-是其一条对称轴，故③正确.答案：①②③【变式训练】关于函数f(x)=4sin(x∈R)，有下列命题：①y=f(x)的解析式可改写为y=4cos；②y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③y=f(x)的图象关于点对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-对称；其中正确的命题序号是.【解析】因为f(x)=4sin=4sin2x-+=4cos，故①正确.T==π，故②错误.把x=-代入f(x)=4sin中可得y=4sin=0，则y=f(x)的图象关于点对称，故③正确，④错误.答案：①③三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R，的周期为π，且图象上一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式.(2)当x∈时，求f(x)的最值.【解析】(1)由函数f(x)图象上一个最低点为M，得A=2，由周期T=π，得ω===2. 由点M在图象上，得2sin=-2，即sin=-1，所以+φ=2kπ-(k∈Z)，故φ=2kπ-(k∈Z)，又0<φ<，所以k=1，φ=.所以函数的解析式为f(x)=2sin.(2)因为x∈，所以2x+∈，所以当2x+=，即x=0时，函数f(x)取得最小值1；当2x+=，即x=时，函数f(x)取得最大值.11.(2014·沧州高一检测)已知函数f(x)=log a cos(其中a>0，且a≠1).(1)求它的定义域.(2)求它的单调递增区间.【解题指南】(1)要使函数有意义，只需cos2x->0，求解x的范围即可.(2)利用复合函数求单调区间的方法，注意对a分为a>1和0<a<1两种情况讨论求解.【解析】(1)要使f(x)有意义，需满足cos>0，即2kπ-<2x-<2kπ+(k∈Z)，所以kπ-<x<kπ+(k∈Z)，所以f(x)的定义域为x kπ-<x<kπ+，k∈Z.(2)令u=cos>0，当a>1时，f(u)=log a u是单调增函数，令2kπ-<2x-<2kπ，解得kπ-<x<kπ+(k∈Z)，所以当a>1时函数f(x)=log a cos的单调递增区间为(k∈Z).当0<a<1时，f(u)=log a u是单调减函数，令2kπ<2x-<2kπ+，解得kπ+<x<kπ+(k∈Z).所以当0<a<1时，函数f(x)=log a cos2x-的单调递增区间为(k∈Z).综上所述，当a>1时，f(x)的单调递增区间为(k∈Z)；当0<a<1时，f(x)的单调递增区间为(k∈Z).【变式训练】函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图：(1)求其解析式.(2)写出函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.【解析】(1)由图象知，A=2，T=-=π，所以ω=2，又过点，0<φ<，所以-×2+φ=0，得φ=，所以f(x)=2sin.(2)由(1)知f(x)=2sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)可得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)，因为x∈[0，π]，所以令k=0可得，≤x≤，故函数在[0，π]上的单调递减区间为.一、选择题(每小题4分，共16分)1.函数f(x)=2sin，(x∈[0，+∞))的周期、振幅、初相分别是( )A.，2，B.4π，2，C.4π，2，-D.2π，2，-【解析】选C.T=4π，A=2，φ=-.【变式训练】函数f(x)=3sin(x∈(0，+∞))，的周期、振幅、初相分别是( )A.，3，B.4π，3，C.，3，-D.4π，-3，【解析】选B.周期T==4π，A=3，φ=.2.(2014·张掖高一检测)f(x)=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，x=是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是( ) A.y=4sin B.y=4sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2【解析】选 D.由题意知，A==2，m==2，ω==4，所以正确答案在C或D中，又x=时，sin=-1，故选D.【变式训练】函数y=sin的一条对称轴为( )A.x=B.x=0C.x=-D.x=【解析】选D.令2x+=kπ+(k∈Z)，可得x=+(k∈Z)，当k=0时，x=是其中的一条对称轴. 3.(2014·漳州高一检测)下列四个函数中，同时具有(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x=对称的是( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选D.设所求函数为y=sin(ωx+φ).由最小正周期为π，故ω=2，图象关于直线x=对称，所以2×+φ=+k π(k ∈Z)，k=0时，φ=-，故y=sin 具有以上两个条件.4.(2014·聊城高一检测)已知如图是函数y=2sin(ωx+φ)(||)2πϕ＜的图象， 那么( )A.ω=，φ=B.ω=，φ=-C.ω=2，φ=-D.ω=2，φ=【解题指南】函数图象过点和(0，1)，代入函数解析式中，结合“五点法”以及选项判定.【解析】选D.图象过点(0，1)，则2sin φ=1，结合选项知φ=，又函数图象过点，所以ω+=2π，即ω=2.二、填空题(每小题5分，共10分) 5.函数y=6sin图象最高点的坐标是 .【解析】当x-=+2k π，k ∈Z ，即x=+8k π(k ∈Z)时，函数取得最大值.答案：(k ∈Z)【误区警示】写最高点的坐标容易漏掉k ∈Z 这一条件.6.(2014·洛阳高一检测)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的两个相邻最值点为，，则这个函数的解析式为y= .【解析】由函数的两个相邻最值点为，可知：A=2，=-=，所以T=π，故ω==2，把点代入y=2sin(2x+φ)中可得2×+φ=2kπ+(k∈Z)，即φ=2kπ+(k∈Z)，由于0<φ<π，故当k=0时，φ=.故函数的解析式为y=2sin.答案：2sin【变式训练】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)在闭区间[-π，0]上的图象如图所示：则ω= .【解析】由图象知，T=0-=，因为T=，所以ω=3.答案：3三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·安阳高一检测)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，已知它的一条对称轴是直线x=.(1)求φ.(2)求函数f(x)的单调递减区间.【解析】(1)函数的一条对称轴是直线x=，2×+φ=kπ+，k∈Z，因为-π<φ<0，所以φ=-. (2)由(1)知，f(x)=sin，+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).8.函数y=f(x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积.已知函数y=sinnx在上的面积为(n∈N*).(1)求函数y=sin3x在上的面积.(2)求函数y=sin(3x-π)+1在上的面积.【解析】(1)y=sin3x在上的图象如图所示，由函数y=sin3x在上的面积为，可得函数y=sin3x在上的面积为.(2)由图可知阴影部分面积即为所求面积，即S=S四边形ABCD+=π+.【拓展提升】巧解三角函数图象构成的阴影部分的面积(1)利用三角函数的周期性、三角函数图象的对称性及类比推理能力，由类比可得函数y=sin3x在上的面积，由图象平移及数形结合可得本题(2)的解.(2)灵活应用所学的三角函数知识、数学思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，寻求解决问题的思路，创造性地解决问题.。
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课时作业(十六)1.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图像（第2课时）
1．已知简谐运动f(x)＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π
2)的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的周
期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π
6
B ．T ＝6，φ＝π
3
C ．T ＝6π，φ＝π
6
D ．T ＝6π，φ＝π
3
答案 A
2．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A≠0，ω≠0)，则f(x)( ) A ．是非奇非偶函数 B ．奇偶性与φ有关 C ．奇偶性与ω有关 D ．奇偶性与A 有关 答案 B
解析 当φ＝k π，k ∈Z 时，f(x)是奇函数；当φ＝k π＋π
2，k ∈Z 时，f(x)为偶函数．
3．如图的函数的解析式为( )
A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π8
B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8
C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 答案 C
解析 A ＝2，T ＝7π8－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π8＝π，ω＝2，当x ＝－π
8时，y ＝0.
4．如图是周期为2π的三角函数y ＝f(x)的图像，那么f(x)可以写成( )
A ．sin(1＋x)
B ．sin(－1－x)
C ．sin(x －1)
D ．sin(1－x) 答案 D
解析 设y ＝sin(x ＋φ)，点(1，0)为五点法作图的第三点，∴由sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y ＝sin(x ＋π－1)＝sin(1－x)．
5.将函数y ＝sin ωx(ω>0)的图像向左平移π
6个单位，平移后的图像
如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式为( ) A ．y ＝sin(x ＋π
6)
B ．y ＝sin(x －
π6
) C ．y ＝sin(2x ＋π
3)
D ．y ＝sin(2x －π
3)
答案 C
6．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)在一个周期上的图像如图所示，则函数的解析式是( )
A ．y ＝2sin(x 2－2
3π)
B ．y ＝2sin(x 2＋4
3π)
C ．y ＝2sin(x 2＋2
3π)
D ．y ＝2sin(x 2－π
3
)
答案 C
7．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π；②图像关于x ＝π
3对称的是( )
A ．y ＝sin(x 2＋π
6)
B ．y ＝sin(2x ＋π
6)
C ．y ＝sin(2x －π
3)
D ．y ＝sin(2x －π
6)
答案 D
8．已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图像如图所示，f(π2)＝－2
3
，则f(0)＝( )
A ．－23
B ．－1
2
C.23
D.12
答案 C
解析 由图像可知所求函数的周期为23π，故ω＝3，将(11π12，0)代入解析式得11
4
π＋φ＝
π2＋2k π，所以φ＝－9π4＋2k π，令φ＝－π4代入解析式得f(x)＝Acos(3x －π
4)． 又因为f(π2)＝－Asin π4＝－23，所以f(0)＝Acos(－π4)＝Acos π4＝2
3，故选C.
9.右图是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(x∈R )在区间[－π6，5π
6]上的图像，
为了得到这个函数的图像，需要将y ＝sin x (x∈R )的图像上所有的点( )
A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
B ．向左平移π
3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
D ．向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
答案 A
解析 观察图像可知，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)中A ＝1，2πω＝π，故ω＝2，ω×(－π
6)＋
φ＝0，得φ＝π3，所以函数y ＝sin(2x ＋π3)，故只要把y ＝sin x 的图像向左平移π
3个单
位，再把各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍即可．
10．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像关于直线x ＝π3对称，且f(π
12)＝0，则ω
的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
答案 A
解析 函数f(x)的周期T≤4(π3－π12)＝π，则2π
ω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
11．已知f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0≤φ≤π)是偶函数，f(x)相邻两个最值点间的距离为π2＋4，则f(x)＝________． 答案 cosx
12．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期为
π
2
，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，若A>0，ω>0，0<φ<π
2
，则函数解析式为________．
答案 y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 13．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，3π2<φ<2π)的最小值是－3，周期为π
3，且它的
图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，则这个函数的解析式是________．
答案 y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫6x ＋116π 14．图为函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图像，试求出y 的解析式．
分析观察图像易找到“五点法”中的五个关键点，从而确定相关参数．
解析 从图中可知，五个关键点分别为(－1，0)，(x 1，2)，(3，0)，(x 2，－2)，(7，0)． ∵最大值为2，最小值为－2，又A>0，∴A ＝2.
又∵两个相邻的P 、Q 平衡点(图像与x 轴的交点)相差半个周期， ∴T 2＝3－(－1)＝4，T ＝8，又ω>0，ω＝2πT ＝2π8＝π
4
. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4
x ＋φ
. 最高点的横坐标x ＝－1＋3
2＝1.
将最高点(1，2)代入上式，得2＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1，取φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4
x ＋π4.
如图所示，点A(x 1，2)，B(x 2，－2)是函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π
2
)的图像上两点，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f(－1)＝( )
A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．以上答案均不正确
答案 A
解析 |AB|＝（x1－x2）2＋（2＋2）2＝5，∴(x 1－x 2)2＋16＝25，得(x 1－x 2)2
＝9，故|x 1－x 2|＝3，即T 2＝|x 1－x 2|＝3，则T ＝6，∵T ＝2πω＝6，∴ω＝π3，即f(x)＝2sin(π
3x ＋φ)，
由f(0)＝1，得2sin φ＝1，即sin φ＝12，∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6，即f(x)＝2sin(π3x ＋π
6)，
则f(－1)＝2sin(－π3＋π6)＝2sin(－π6)＝2×(－1
2
)＝－1.故选A.。