力学第十四章 压杆稳定

§14－3 压杆的稳定性计算
例14-3 空气压缩机的活塞杆由45钢制成σs=350MPa，σs=280MPa， E=210GPa。长度l=-703mm，直径d=45mm。最大压力Fmax=41.6kN， 规定的安全系数为[nW] = 8～10。试校核其稳定性 解 (1)确定压杆类型。
活塞杆可简化为两端铰支压杆，μ=1。截面为圆形，i=d/4，柔度为 λ= μ l i =62.5 λ <λp
压杆2为中柔度杆，对于Q235钢，a=310MPa,b=1.24MPa，临界应力为
临界力为
σcr
Fcr


cr
A


cr
d 4
2
414 KN
压杆3为小柔度杆，因为Q235钢为塑性材料，故其临界应力为
临界力为
σcr
Fcr
sA s
d 2 4
461KN
§14－2 临界力和临界应力
例14-2 如图所示,一长度l=750mm的压杆,两端固定,横 截面为矩形,尺寸如图。压杆的材料为Q235钢,其弹性 模量E=200GPa，计算压杆的临界应力和临界力
§14－2 临界力和临界应力
临界应力的欧拉公式
cr

2E 2
i——压杆横截面的惯性半径，单位为mm； λ——压杆的柔度,无量纲，柔度越大,则临界应力越小,压 杆越容易失稳。
压杆越细长、支承情况越不牢固、横截 面尺寸越小则柔度越大,临界应力越小
§14－2 临界力和临界应力
欧拉公式的适用范围
§14－1 压杆稳定的概念及失稳分析
压杆失稳分析
对于细长压杆,其直线平 衡状态是否稳定,与轴向 压力F的大小有关。当压 力为某一数值FQ时,压杆 处于稳定的直线平衡状 态和不稳定的直线平衡 状态之间，这一状态称 为临界状态
压杆的失稳过程
压杆处于临界状态的压力值，称为压杆的临界压力，简称临界力， 用符号F1j表示
λp为临界应力等于材料比例极限时的柔度，是允许应用欧拉公式 的最小柔度值 例如：Q235钢，其弹性模量E=200GPa，比例极限σp =200MPa， 则λp值为
对于Q235钢制成的压杆,当其柔度λ≥100时，才能应用欧拉公式。 λ ≥ λp的压杆称为大柔度杆或细长杆,其临界力或临界应力可用欧拉 公式计算。
例14-1 如图所示,用Q235钢制成的三根压杆,两端均为铰链支承, 横截面为圆形，直径d=50mm，长度分别为l1=2m， l2=1m， l3=0.5m，材料的弹性模量E=200GPa，屈服点σs=235MPa，求三 根压杆的临界应力和临界力。
§14－2 临界力和临界应力
解 (1)计算各压杆的柔度 因压杆两端为铰链支承,查表得长度系数μ=1。圆形截 面对y轴和z轴的惯性矩相等,均为
压杆的临界力越大，稳定性越强
§14－2 临界力和临界应力
临界力的欧拉公式
2EI
Fcr l2
EI ——压杆的抗弯刚度。 μ——与支承情况有关的长度系数 l ——压杆的长度，单位为mm。 欧拉公式表明： 1）压杆的临界力与其抗弯刚度成正比 2）压杆的临界力与压杆长度的平方成正比 3）压杆的临界力与压杆的支承情况有关，压杆两端的支 承越牢固，压杆抵抗弯曲变形的能力越强,临界力越大。
Fcr—压杆的临界压力 F —压杆的工作压力 N —压杆工作安全系数 σcr —压杆的临界应力 σ —压杆的工作压应力 [nW] —规定的稳定安全系数,它表示要求受 压杆件必须达到的稳定储备程度。
§14－3 压杆的稳定性计算
几种常用零件稳定安全系数的参考值
压杆的临界压力取决于整个杆件的弯曲刚度。 但在工程实际中, 压杆局部有截面削弱的情况, 在确定临界压力 或临界应力时，此时可以不考虑杆件局部截面削弱的影响, 仍按 未削弱的截面面积、最小惯性矩和惯性半径等进行计算。但对这 类杆件,还需对削弱的截面进行强度校核。
第十四章 压杆稳定
主要内容：
压杆稳定的概念及失稳分析 临界力和临界应力 压杆的稳定性计算 提高压杆稳定性的措施
§14－1 压杆稳定的概念及失稳分析
压杆稳定的概念
压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称为压杆的稳定性；反之， 压杆丧失其原有直线平衡状态而破坏的现象，称为压杆的失稳。
条形钢板的失稳
机械中的细长压杆
所以，此压杆为中柔度杆，使用经验公式算临界应力。
故圆形截面的惯性半径为
各压杆的柔度分别为
§14－2 临界力和临界应力
(2) 计算各压杆的临界应力和临界力
对于Q235钢λ p=100， λ s=60。对于压杆1,其柔度λ 1=160> λ p，所以压杆 1为大柔度杆，临界应力用欧拉公式计算。
临界力为
Fccrr21c2Er A77c.r1Md4P2a 151KN
cr a b
§14－2 临界力和临界应力
归纳：
（1）对于大柔度杆（ λ≥λp ），用欧拉公式计算
cr

2E 2
cr a b
（3）对于小柔度杆（ λ≤λp ）， 材料为塑性材料时，σcr= σs 材料为脆性材料时， σcr= σby
§14－2 临界力和临界应力
§14－2 临界力和临界应力
中、小柔度杆临界应力的计算
λ ≤ λp的压杆称为小柔度杆或短Байду номын сангаас杆
小柔度杆的临界应力按其制作材料不同分为两种情况：
对塑性材料
cr s
对脆性材料 cr by
λs ≤ λ ≤ λp的压杆称为中柔度杆
中柔度杆临界应力的计算，通常采用建立在实验基础上的经验公式
(2)计算临界应力和临界力 对于Q235钢λ p=100，则λ > λ p，故临界应力用欧拉公式计算。 σcr
临界力为 Fcr cr A 40.3KN
§14－3 压杆的稳定性计算
压杆稳定计算，通常采用安全系数法。为了保证压杆不失
稳，并具有一定的稳定储备，压杆的稳定条件可表示为
n=Fcr/F=σcr/σ≥[nW]
解 (1)计算压杆的柔度 压杆两端固定，查表得长度系 数μ= 0.5。矩形截面对y轴和z轴 的惯性矩分别为
I y hb3 12 2880mm4 Iz hb3 12 8000mm4
Iy<Iz,所以压杆的横截面必定绕着y轴转动而失稳
§14－2 临界力和临界应力
截面对y轴的惯性半径为
得压杆的柔度为