2-6 幂函数与函数的图象变换精品解析及答案

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精编(人教版)必修一数学：27《幂函数及图象变换》知识讲解基础版(含答案)

幂函数及图象变换【学习目标】1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。

3．掌握初等函数图象变换的常用方法．【要点梳理】要点一、幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释：幂函数必须是形如()y x R αα=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．要点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()af x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x == （1）平移变换y=f(x)→y=f(x ＋a) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移（2）对称变换y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y 轴对称 y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x 轴对称 y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称y=f(x)→1()y f x -= 图象关于直线y=x 对称（3）翻折变换：y=f(x) →y=f(|x|),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）y=f(x) →y=|f(x)| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象关于x 轴对称要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。

2022高考数学总复习课后强化作业-第二章第六节幂函数与函数的图象变换

2022高考数学总复习课后强化作业-第二章第六节幂函数与函数的图象变换1.(2011·烟台模拟)幂函数y ＝f (x )的图象通过点(27，13)，则f (18)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 设f (x )＝x α，由条件知f (27)＝13， ∴27α＝13，∴α＝－13，∴f (x )＝x -13 ， ∴f (18)＝(18)-13＝2.2．(文)(2011·聊城模拟)若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则函数y ＝f (x )的图象能够是( )[答案] D[解析] 由题意知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，观看所给图象可知，只有D 图存在交点．(理)(2011·陕西文，6)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根 [答案] C[解析] 在同一坐标系中，画出函数y ＝|x |与y ＝cos x 的图象，易知有两个交点，即|x |＝cos x 有两个根．3．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )[答案] B[解析] y ＝x 2为偶函数，对应②；y ＝x 12定义域x ≥0，对应③；y ＝x －1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 3与y ＝x 13均为奇函数，但y ＝x 3比y ＝x 13增长率大，故①对应y ＝x 3.(理)给出以下几个幂函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)，其中f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 12，f 4(x )＝1x .若g i (x )＝f i (x )＋3x (i ＝1,2,3,4)．则能使函数g i (x )有两个零点的幂函数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] B[解析] 函数g i (x )的零点确实是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根，也确实是函数f i (x )与y ＝－3x 的图象的交点，作出函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)的图象，可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i (x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.4．(文)(2011·郑州一检)若0<x <y <1，则( ) A ．3y <3x B ．log x 3<log y 3 C ．log 4x <log 4y D ．(14)x<(14)y [答案] C[解析] ∵0<x <y <1，∴由对数函数的单调性得，log 4x <log 4y ，故选C.(理)(2011·天津理，7)已知a ＝b ＝c ＝则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b [答案] C [解析] a ＝b ＝＝c ＝＝明显有log 23.4>log2103>log 2 3.6，由对数函数、指数函数单调性，有a >c >b ，故选C. 5．(文)幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象通过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，①D ．⑤，① [答案] D[解析] y ＝x 12是增函数，∵12<1，∴其图象向上凸，过点(0,0)，(1,1)，故通过区域①，⑤.(理)幂函数y ＝x α (α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族漂亮的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定 [答案] A[解析] 由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，6．(文)(2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x ＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.(理)(2011·新课标全国文，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 [答案] A[解析] 由y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象(如图)可知，选A.7．若幂函数f (x )的图象通过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在A 点处的切线方程为________．[答案] 4x －4y ＋1＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x 12 ， ∴f ′(x )＝12x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，故切线方程为y －12＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即4x －4y ＋1＝0.8．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f (x )＝x －1，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范畴是________．[答案] (－∞，－1)∪(3,5)[解析]由题意，得⎩⎨⎧a ＋1<010－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>010－2a >0a ＋1>10－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<010－2a <0a ＋1>10－2a∴a <－1或3<a <5.(理)若函数f (x )＝dax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ，d ∈R)，其图象如图所示，则a :b :c :d ＝________.[答案] 1:(－6):5:(－8)[解析] 由图象知，x ≠1且x ≠5，故ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1,5.∴⎩⎨⎧－b a ＝6c a ＝5，∴⎩⎨⎧b ＝－6ac ＝5a，又f (3)＝2，∴d ＝18a ＋6b ＋2c ＝－8a . 故a :b :c :d ＝1:(－6):5:(－8)．9．若f (x )＝ax ＋1x －1在区间(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范畴是________．[答案] a >－1[解析] f (x )＝ax ＋1x －1＝a (x －1)＋a ＋1x －1＝a ＋a ＋1x －1. ∵f (x )在(－∞，1)上为减函数，∴a ＋1>0，∴a >－1.10．如图所示，函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．[解析] 如图，设左侧射线对应的解析式为：y ＝kx ＋b (x ≤1)，将点(1,1)，(0,2)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝1b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝－1b ＝2，因此左侧射线对应的函数解析式是y ＝－x ＋2(x ≤1)；同理，x ≥3时，函数解析式为：y ＝x －2(x ≥3)；再设抛物线段的解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，将(1,1)代入得，a ＋2＝1，∴a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上知，函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)－x 2＋4x －2 (1≤x <3)x －2 (x ≥3).11.(文)(2011·山东济宁一模)函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是( )[答案] C[解析]f (x )＝2|log2x |＝⎩⎨⎧2log2x ，x ≥12－log2x，0<x <1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1.(理)(2011·威海模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(3,4) [答案] C[解析] 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，因此x 0在区间(1,2)内．12．(文)(2011·淮南模拟)函数y ＝lncos x (－π2<x <π2)的图象是( )[答案] A[解析]由已知得0<cos x≤1，∴ln cos x≤0，排除B、C、D.故选A.(理)(2011·青岛模拟)现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时刻t 的函数关系的是()[答案] C[解析]依照球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．13．(文)(2011·安徽省淮南市模拟)已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD()A．相交，且交点在坐标原点B．相交，且交点在第Ⅰ象限C．相交，且交点在第Ⅱ象限D．相交，且交点在第Ⅳ象限[答案] A[解析]易求得两直线方程分别为AB：y＝12x、CD：y＝lg22x，则其交点为坐标原点．如图所示．(理)(2011·山东淄博一模)设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln3)B.13ln3C.13(1－ln3) D ．ln3－1 [答案] A[解析] 设u (x )＝x 3－ln x ，则u ′(x )＝3x 2－1x .令u ′(x )＝0，得x ＝313.当0<x <313时，u ′(x )<0，u (x )单调递减；当x >313时，u ′(x )>0，u (x )单调递增．因此，当x ＝313时，u (x )取到最小值，此极小值即为u (x )在(0，＋∞)上的最小值． ∴|MN |＝|13－13ln 13|＝13(1＋ln3)．14．(文)已知函数f (x )＝2x －x m，且f (4)＝－72. (1)求m 的值；(2)判定f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． [解析] (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72. ∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)． ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减．(理)(2011·山东烟台调研)设函数f (x )＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ，g (x )＝2e x .(p 是实数，e 是自然对数的底数)(1)当p ＝2e 时，求f (x )＋g (x )的单调区间；(2)若直线l 与函数f (x )，g (x )图象都相切，且与函数f (x )的图象相切于点(1,0)，求p 的值．[解析] (1)当p ＝2e 时，f (x )＋g (x )＝2e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ＋2ex ＝2ex －2ln x ，则(f (x )＋g (x ))′＝2e －2e .故当x >1e 时，f (x )＋g (x )是增函数；当0<x <1e 时，f (x )＋g (x )是减函数．综上，f (x )＋g (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，f (x )＋g (x )的单调减区间为(0，1e ]． (2)∵f ′(x )＝p ＋p x 2－2x ，∴f ′(1)＝2(p －1)．设直线l ：y ＝2(p －1)(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(p －1)(x －1)y ＝2e x得(p －1)(x －1)＝ex ，即(p －1)x 2－(p －1)x －e ＝0. 当p ＝1时，方程无解；当p ≠1时，∵l 与g (x )图象相切，∴Δ＝(p －1)2－4(p －1)(－e )＝0，得p ＝1－4e . 综上，p ＝1－4e .15．某机床厂2007年年初用98万元购进一台数控机床，并赶忙投入生产使用，第一年的修理保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需修理保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． [解析] (1)y ＝50x －[12x ＋x (x －1)2×4]－98 ＝－2x 2＋40x －98.(x ∈N *)(2)解不等式－2x 2＋40x －98>0得， 10－51<x <10＋51. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤17.故从第三年起该机床开始盈利．(3)①∵yx ＝－2x ＋40－98x ＝40－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋98x ≤40－22×98＝12，当且仅当2x ＝98x ，即x ＝7时，等号成立．∴到2020年，年平均盈利额达到最大值，机床厂可获利12×7＋30＝114万元．②y ＝－2x 2＋40x －98＝－2(x －10)2＋102，当x ＝10时，y max ＝102.故到2021年，盈利额达到最大值，机床厂可获利102＋12＝114万元．因为两种方案机床厂获利总额相同，而方案①所用时刻较短，故方案①比较合理．1．若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图，则f (x )·g (x )的图象可能是( )[答案] C[解析] 由f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可知f (x )·g (x )为奇函数，x ∈(－3,0)时，f (x )>0，g (x )>0，因此f (x )g (x )>0，故选C.2．(2011·湖北理，2)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞)B ．(0，12)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪[12，＋∞) [答案] A[解析] ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，12)，∴∁U P ＝[12，＋∞)．3．(2011·山东文，10)函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )[答案] C[解析] 利用专门化思想求解；当x ＝0时，y ＝0，排除A ；当x →＋∞时，明显y >0，排除D ；当x ＝2π时，y ＝π<4，排除B ，故选C.4．(2010·浙江宁波十校)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时刻t 变化的图象可能是( )[答案] B[解析] 由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时刻t 的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐步变小，故选B.5．(2011·天津文，8)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范畴是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2]∪(1,2]D ．[－2，－1] [答案] B[解析]由题意得，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2 －1≤x ≤2x －1 x <－1或x >2由y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即方程f (x )＝c 有两个不等的根，即函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点．由图象知：∴－2<c ≤－1或1<c ≤2.6．(2010·东营质检)函数y ＝|x |与y ＝x 2＋1在同一坐标系的图象为( )[答案] A[解析] 由y ＝x 2＋1得，y 2－x 2＝1(y ≥1)，它表示焦点在y 轴上的等轴双曲线的上支，它以y ＝±x 的其渐近线，故选A. 7．若(a ＋1) -13 <(3－2a ) -13，则a 的取值范畴是______．[答案] (23，32)∪(－∞，－1)[解析] 幂函数y ＝x -13 在(0，＋∞)上为减函数，函数值y >0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y <0.∴有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或⎩⎨⎧ a ＋1<03－2a >0，∴23<a <32或a <－1即a 的取值范畴为(23，32)∪(－∞，－1)． 8．(2011·福建质量检查)设a >1，若仅有一个常数c 使得关于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]，满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时a 的取值的集合为________．[答案] {2}[解析] 依题意得y ＝a c x ，当x ∈[a,2a ]时，y ＝a c x ∈[12a c －1，a c －1]⊆[a ，a 2]，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 12a c －1≥a a c －1≤a 2，即2a ≤a c －1≤a 2，又常数c 是唯独的，因此a 2＝2a ，又a >1，因此a ＝2.9．函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数？(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f(8)、g(8)、f(2020)、g(2020)四个数按从小到大的顺序排列．[解析](1)C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x.(2)由于交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，令h(x)＝f(x)－g(x)，明显有h(1)＝f(1)－g(1)＝1>0，h(2)＝f(2)－g(2)＝－4<0，h(9)＝29－93＝－217<0，h(10)＝24>0，∴x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，∴a＝1，b＝9.(3)由幂函数及指数函数增长率可知，f(8)<g(8)<g(2020)<f(2020)．10．已知函数f(x)＝(1)证明f(x)是奇函数，并求其单调区间；(2)分别运算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，并由此概括一个涉及函数f(x)，g(x)的对所有非零实数x都成立的等式，并证明．[解析](1)证明：因为f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f(x)是奇函数，因此f(x)在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)通过运算可得f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：。

高三数学幂函数试题答案及解析

高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．【答案】（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【解析】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，∴函数f(x)的不动点为－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，∴a的取值范围为(0,1)．(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，且A，B在直线y＝x上，∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．∴－＝＋⇒b＝－＝－，利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.3.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝4.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为() A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】当α=-1时函数定义域为{x|x≠0}.当α=时,定义域是[0,+∞),都不符合条件.当α=1,3时,幂函数定义域为R且为奇函数.故选A.5.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数6.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.7.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.8.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（）A．B．C．D．或【答案】【解析】是幂函数或 . 又上是增函数,所以.【考点】幂函数的概念及性质.9.函数由确定，则方程的实数解有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程的根.【考点】幂的运算，分式方程的求解.10.下列对函数的性质描述正确的是（）A．偶函数，先减后增B．偶函数，先增后减C．奇函数，减函数D．偶函数，减函数【答案】B【解析】是偶函数，图象关于y轴对称，而在（0，+∞）是减函数，所以，在（-∞.0）是增函数，故选B。

幂函数的图像专题含答案

幂函数的图像专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 幂函数f(x)=xα的图象必不经过平面直角坐标系中的第几象限( )A.一B.二C.三D.四2. 已知幂函数y=x n，y=x m，y=x p的图象如图，则（）A.m>n>pB.m>p>nC.n>p>mD.p>n>m3. 函数y=|x−1|的图象是（）A. B.C. D.4. 下列图象中幂函数y=x 32的大致形状的是（）A. B.C. D.5. 已知幂函数y=x a，y=x b，y=x c的部分图象如下，则点(ab−b,c2−c)所在象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 幂函数y=x a（α是常数）的图象（）A.一定经过点(0, 0)B.一定经过点(1, 1)C.一定经过点(−1, 1)D.一定经过点(1, −1)7. 在直角坐标系xOy的第一象限内分别画出了函数y=x,y=√x，y=x2，y=x3，y=x−1的部分图象，则函数y=x4的图象通过的阴影区域是（）A. B.C. D.8. 函数y=x 43的图象是（）A. B. C. D.9. 下图为两幂函数y=xα和y=xβ的图象，其中α，β∈{−12, 12, 2, 3}，则不可能的是（）A. B. C. D.10. 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．（）(1)y=x32；(2)y=x13；(3)y=x23；(4)y=x−2；(5)y=x−3；(6)y=x−12．A.(1)↔(A)，(2)↔(F)，(3)↔(E)，(4)↔(C)，(5)↔(D)，(6)↔(B)B.(1)↔(B)，(2)↔(E)，(3)↔(C)，(4)↔(D)，(5)↔(A)，(6)↔(F)C.(1)↔(A)，(2)↔(E)，(3)↔(B)，(4)↔(D)，(5)↔(C)，(6)↔(F)D.(1)↔(B)，(2)↔(F)，(3)↔(A)，(4)↔(C)，(5)↔(D)，(6)↔(E)11. 如图，曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n取2，3，12，−1四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．12. 已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)x−m−1(m∈R)为偶函数．则m=________．13. 若幂函数f(x)=xα的图象经过点(3, 81)，则实数α的值为________.14. 幂函数f(x)图象过点A(2,√2)，则f(4)的值为________．15. 当α∈{12, 1, 3}幂函数y=xα的图象不可能经过的是第________象限（符合条件的要全填）．16. 函数f(x)=(x−1)1m+1的图象恒过定点________．17. 如果幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，则m的值是________．18. 若y=x n的图象在x>1时，位于y=x的上方，则n的取值范围是________．19. 当x∈(1, +∞)时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围________．20. 把函数y=x 12的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标也扩大到原来的3倍，所得图象的函数解析式是________．21. 画出y=x−12的函数图象．22. 画出y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象．23. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称．（1）确定f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象．24. 已知幂函数f(x)=x9−3m(m∈N∗)的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．（1）求f(x)表达式；（2）求满足f(a+1)+f(2a−3)<0的a的取值范围．25. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点(8，m)和(9，3).(1)求实数m的值；(2)若函数g(x)=logaf(x) (a>0,a≠1)在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，求实数a的值.26. 若点(√2, 2)在幂函数f(x)的图象上，点(2, 12)在幂函数g(x)的图象上，定义ℎ(x)={f(x),f(x)≤g(x)g(x),f(x)>g(x)求函数ℎ(x)的最大值及单调区间．27. 已知幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设函数g(x)=q⋅√f(x)+2x(q>0)，若g(x)≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，求实数q的取值范围．28. 已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值．29. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴无公共点且关于y轴对称．（1）求m的值；（2）画出函数y=f(x)的图象（图象上要反映出描点的“痕迹”）．30. a、b、c、m∈R+，a m=b m+c m，若长为a、b、c三线段能构成三角形，求m的取值范围．31. 已知函数f(x)=(m2+3m−3)x m为幂函数，且在区间(0,+∞)上单调递减.(1)求实数m的值；(2)请画出函数f(x)的草图.32. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足(1+a)−2m3<(1−2a)−2m3的a的取值范围．33. 已知函数y=x 2 3，（1）求定义域；（2）判断奇偶性；（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．参考答案与试题解析幂函数的图像专题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数性质，直接求解即可.【解答】解：利用幂函数的性质即可得：当x>0时，xα不可能为负数，所以不经过第四象限.故选D.2.【答案】C【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象特征：在区间(1, +∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴，结合图象即可得到答案．【解答】解：因为在区间(1, +∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴，所以由图象可得：n>p>m，故选：C．3.【答案】A【考点】幂函数的图像【解析】先根据函数的定义域排除B、C，然后根据函数的值域可排除D，从而得到正确的选项．【解答】解：根据函数的定义域为{x|x≠0}可知选项B，选项C不正确；根据函数y=|x−1|的值恒正可知选项D不正确.故选A．4.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数y=x 32性质，即可得出正确的选项．【解答】解：幂函数y=x 32的定义域是[0,+∞)，可以排除CD选项；当x>1时，幂函数y=x 32的函数值大于y=x的函数值，故当x>1时，幂函数y=x 32的图象高于y=x的图象，故排除选项A.故选B.5.【答案】C【考点】幂函数的图像【解析】由幂函数的由幂函数的图像得，a>1,b<0,0<c<1,进而判断得结论.【解答】解：由幂函数的图象得，a>1，b<0，0<c<1，∴ ab−b=(a−1)b<0，c2−c=c(c−1)<0，∴ 点(ab−b,c2−c)在第三象限.故选C.6.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=x a（α是常数）的图象一定经过(1, 1)点．故选B．7.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象和性质判断函数y=x14的单调性和大小关系即可．【解答】解：当0<x<1时，函数y=x n为单调递减函数，所以x4<x3．排除A，D．当x>1时，函数y=x n为单调递增函数，所以x4>x3．排除C．故选B．8.【答案】A幂函数的图像【解析】本题要用函数的性质与图象性质的对应来确定正确的选项，故解题时要先考查函数y= x43性质，单调性奇偶性等，再观察四个选项特征，选出正确答案．【解答】解：研究函数y=x 43知，其是一个偶函数，且在(0, +∞)上增，在(−∞, 0)上减，由此可以排除C，D，又函数的指数43>1，故在(0, +∞)其递增的趋势越来越快，由此排除B，故A正确．故选A．9.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据所给的幂函数的α，β的值，逐个说明函数的图象所经过的象限，最后得到函数的图象情况，从而得出答案．【解答】解：α，β∈{−12, 12, 2, 3}时，幂函数y=xα和y=xβ的图象列举如下：则不可能的是：B．故选B．10.【答案】A【考点】幂函数的图像函数(1)的定义域为[0, +∞)且幂指数大于0故(1)↔(A)函数(2)的定义域为R且为奇函数图象关于原点对称幂指数大于0在第一象限单调递增故(2)↔(F)观察答案知选A．【解答】解：函数(1)的定义域为[0, +∞)且幂指数大于0在第一象限单调递增故：(1)↔(A)函数(2)的定义域为R且为奇函数图象关于原点对称幂指数大于0在第一象限单调递增故：(2)↔(F)函数(3)的定义域为R且为偶函数图象关于y轴对称且幂指数大于0小于1在第一象限单调递增且上凸；故(3)↔(E)函数(4)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)且为偶函数图象关于y轴对称且幂指数小于0在第一象限单调递减故：(4)↔(C)函数(5)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)且为奇函数图象关于原点对称且幂指数小于0在第一象限单调递减故：(5)↔(D)函数(6)的定义域为(0, +∞)且幂指数小于于0在第一象限单调递减故：(6)↔(B)故选A二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】3，2，1，−12【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质即可得出．【解答】解：利用幂函数的图象与性质可得：相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为3，2，1，−1．2，−1．故答案为：3，2，1212.【答案】3【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的定义和函数奇偶性的性质进行求解建立．【解答】解：∵f(x)是幂函数，∴m2−5m+7=1，即m2−5m+6=0，解得m=2或m=3，若m=2，则f(x)=x−2−1=x−3为奇函数，不满足条件．若m=3，则f(x)=x−3−1=x−4为偶函数，满足条件．故m=3，故答案为：3．13.【答案】4【考点】幂函数的图像【解析】将点的坐标代入函数解析式，求出f(x)，将x用100代替，求出值．【解答】解：∵幂函数f(x)=xα的图象经过点(3, 81)，∴81=3α，解得α=4.故答案为：4.14.【答案】2【考点】幂函数的图像【解析】先由已知条件求幂函数的解析式，再求f(4)【解答】解：设幂函数f(x)=x a∵f(x)的图象过点(2, √2)∴2a=√2=212∴a=12∴f(x)=x12∴f(4)=412=2故答案为：215.【答案】二、四【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质即可得出．【解答】解：当α=1时，y=x值经过第一、三象限和原点；时，y=√x值经过第一象限和原点；当α=12当α=3时，y=x3值经过第一、三象限和原点．综上可知：幂函数y=xα的图象不可能经过的是第二、四象限．故答案为：二、四．16.【答案】【解析】根据幂函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵对所有的幂函数都过定点(1, 1)，∴当x−1=1，即x=2时，f(2)=1+1=2，即函数f(x)=(x−1)1m+1的图象恒过定点(2, 2)．故答案为：(2, 2)．17.【答案】1【考点】幂函数的图像【解析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于0，系数为1，求解即可．【解答】解：幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，所以{m 2−m−1≤0m2−3m+3=1解得m=1，符合题意．故答案为：118.【答案】n>1【考点】幂函数的图像【解析】幂函数图象恒过(1, 1)点，结合图象容易推出n的取值范围．【解答】解：由题意画出幂函数图象，如图在第一象限内的图象，显然n>1故答案为：n>119.【答案】【解析】直接利用幂函数的图象，结合已知条件，求出a的范围．【解答】解：根据幂函数的图象的特点，画出函数的图象，当x∈(1, +∞)时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是：(−∞, 1)．故答案为：(−∞, 1)．20.【答案】)12．y=3×(x3【考点】幂函数的图像【解析】，纵坐图象的变换体现在自变量和函数的变化，横坐标扩大到原来的3倍就是将x→x3标也扩大到原来的3倍就是将y→y，从而得解．3【解答】解：∵函数y=lg x图象横坐标扩大到原来的3倍∴得y=(x)123∵纵坐标也扩大到原来的3倍∴得y=3×(x)12．3)12．故填：y=3×(x3三、解答题（本题共计 13 小题，每题 10 分，共计130分）21.【答案】，所以定义域为(0, +∞)，解：将函数化为y=√x<0．根据幂函数的性质可知，图象在第一象限为减函数．且过点(1, 1)．又指数为−12做出图象如下：【考点】幂函数的图像【解析】研究函数的定义域，单调性，根据幂函数的性质判断．【解答】，所以定义域为(0, +∞)，解：将函数化为y=1√x<0．根据幂函数的性质可知，图象在第一象限为减函数．且过点(1, 1)．又指数为−12做出图象如下：22.【答案】解：根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出函数y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象，如图所示；【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出这几个函数的图象即可．【解答】解：根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出函数y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象，如图所示；23.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称∴m2−2m−3≤0且m2−2m−3为偶数解得−1≤m≤3∴m=−1或m=0或m=1或m=2或m=3∴f(x)=x−4或f(x)=x0=1(x≠0)（2）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）有幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0；指数为偶数．列出不等式求出m（2）借助幂函数的解析式画出幂函数的图象．【解答】解：（1）∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于y 轴对称∴ m 2−2m −3≤0且m 2−2m −3为偶数解得−1≤m ≤3∴ m =−1或m =0或m =1或m =2或m =3 ∴ f(x)=x −4或f(x)=x 0=1(x ≠0)（2）24.【答案】解：（1）∵ 函数在(0, +∞)上递增，∴ 9−3m >0，解得m <3．又m ∈N ∗，∴ m =1，2．又函数的图象关于原点对称，∴ 3m −9为奇数，故m =2，故f(x)=x 3．（2）∵ f(a +1)+f(2a −3)<0，∴ f(a +1)<−f(2a −3)．又f(x)为奇函数，∴ f(a +1)<f(3−2a)，又函数在R 上递增，∴ a +1<3−2a ，解得a <23，即a 的范围为(−∞, 23)．【考点】函数单调性的性质函数解析式的求解及常用方法幂函数的图像【解析】（1）函数在(0, +∞)上递增，可得9−3m >0，再由m ∈N ∗，且3m −9为奇数，可得m 的值，从而得到f(x)的解析式．（2）由题意可得不等式即f(a +1)<f(3−2a)，根据函数在R 上递增，可得a +1<3−2a ，由此求得a 的范围．【解答】解：（1）∵ 函数在(0, +∞)上递增，∴ 9−3m >0，解得m <3．又m ∈N ∗，∴ m =1，2．又函数的图象关于原点对称，∴ 3m −9为奇数，故m =2，故f(x)=x 3．又f(x)为奇函数，∴ f(a +1)<f(3−2a)，又函数在R 上递增，∴ a +1<3−2a ，解得a <23，即a 的范围为(−∞, 23)． 25.【答案】解：(1)设f(x)=x a ，依题意可得9a =3. 所以a =12. 所以f(x)=x 12.所以实数m =f(8)=812=2√2. (2)函数g(x)=log a f(x)，即为g(x)=log a √x .又因为√x ∈[4,6]，所以：①当0<a <1时，g(x)min =log a 6,g(x)max =log a 4，由log a 4−log a 6=log a 23=1，解得a =23.②当a >1时，g(x)min =log a 4,g(x)max =log a 6，由log a 6−log a 4=log a 32=1，解得a =32.综上，所求实数a 的值为23或32.【考点】幂函数的性质幂函数的图像对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设f(x)=x a ，依题意可得9a =3. 所以a =12. 所以f(x)=x 12.1(2)函数g(x)=log a f(x)，即为g(x)=log a √x .又因为√x ∈[4,6]，所以：①当0<a <1时，g(x)min =log a 6,g(x)max =log a 4，由log a 4−log a 6=log a 23=1，解得a =23.②当a >1时，g(x)min =log a 4,g(x)max =log a 6，由log a 6−log a 4=log a 32=1，解得a =32.综上，所求实数a 的值为23或32. 26. 【答案】解：设f(x)=x α，因为点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上，所以(√2)α=2，解得α=2，所以f(x)=x 2. 设f(x)=x β，因为点(2,12)在幂函数g(x)的图象上，所以(√2)β=12，解得β=−1，所以g(x)=x −1.在同一坐标系中画出函数f(x)=x 2和g(x)=x −1的图象，由题意及图，可知 ℎ(x)={x −1，x <0或x >1x 2,0<x ≤1.根据函数ℎ(x)的解析式及图象（如图），可知函数ℎ(x)的最大值为1.ℎ(x)的单调递增区间是(0,1]，单调递减区间是(−∞,0)和(1,+∞).【考点】幂函数的图像函数的单调性及单调区间分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】设f(x)=x n，g(x)=x m，代入点的坐标，解方程可得f(x)，g(x)的解析式，再由定义，求得ℎ(x)的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间．【解答】解：设f(x)=xα，因为点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上，所以(√2)α=2，解得α=2，所以f(x)=x2.设f(x)=xβ，因为点(2,12)在幂函数g(x)的图象上，所以(√2)β=12，解得β=−1，所以g(x)=x−1.在同一坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x−1的图象，由题意及图，可知ℎ(x)={x−1，x<0或x>1 x2,0<x≤1.根据函数ℎ(x)的解析式及图象（如图），可知函数ℎ(x)的最大值为1.ℎ(x)的单调递增区间是(0,1]，单调递减区间是(−∞,0)和(1,+∞).27.【答案】解：（1）幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数∴−m2+2m+3>0，∴−1<m<3，又m∈Z，函数f(x)为偶函数，故m=1，∴f(x)=x4；（2）g(x)=q⋅√f(x)+2x =qx2+2x≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2x2对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2，而q>0，∴q>0．【考点】函数恒成立问题幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的图像幂函数图象及其与指数的关系【解析】（1）利用幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数，确定m的值，即可求函数f(x)的解析式；（2）分离参数，求最值，即可求实数q的取值范围．【解答】解：（1）幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数∴−m2+2m+3>0，∴−1<m<3，又m∈Z，函数f(x)为偶函数，故m=1，∴f(x)=x4；（2）g(x)=q⋅√f(x)+2x =qx2+2x≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2x2对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2，而q>0，∴q>0．28.【答案】解：由题意可得：根据题意，幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，则m2−2m−3≤0，①m2−2m−3=0，解可得m=−1或3，此时y=1(x≠0)，符合题意；②m2−2m−3<0解得−1<m<3，∴m2−2m−3是偶数，故m的值为±1或3．【考点】幂函数的实际应用幂函数的图像【解析】幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数或0，而图形关于y轴对称说明函数为偶函数．【解答】解：由题意可得：根据题意，幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，则m2−2m−3≤0，①m2−2m−3=0，解可得m=−1或3，此时y=1(x≠0)，符合题意；②m2−2m−3<0解得−1<m<3，又∵m∈Z，∴m=0，1，2∵图象关于y轴对称∴m2−2m−3是偶数，故m的值为±1或3．29.【答案】解：（1）由于幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，故幂函数是偶函数，且m2−2m−3=(m−3)(m+1)为非正的偶数．由m2−2m−3≤0可得−1≤m≤3，即m=−1、0、1、2，3．再由m2−2m−3为偶数，可得m=−1、1、3．（2）当m=−1或3时，f(x)=x0；当m=1时，f(x)=x−4；图象如图所示．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数，而图形关于y轴对称说明指数数为偶函数，由此求得整数m的值．（2）根据（1）中结论写出幂函数的解析式，画出函数y=f(x)的图象．【解答】解：（1）由于幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，故幂函数是偶函数，且m2−2m−3=(m−3)(m+1)为非正的偶数．由m2−2m−3≤0可得−1≤m≤3，即m=−1、0、1、2，3．再由m2−2m−3为偶数，可得m=−1、1、3．（2）当m=−1或3时，f(x)=x0；当m=1时，f(x)=x−4；图象如图所示．30.【答案】解：根据题意，由a m=b m+c m，可得(ba )m+(ca)m=1，且a>b，a>c；设(ba )m=sin2θ；(ca)m=cos2θ，(0∘<θ<90∘)化简可得：b =a ⋅√sin 2θm，c =a ⋅√cos 2θm；若长为a 、b 、c 三线段能构成三角形，则b +c >a ，即a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；整理可得，√sin 2θm+√cos 2θm>1=sin 2θ+cos 2θ，由幂函数的性质分析可得，当且仅当m >1时，√sin 2θm>sin 2θ与√cos 2θm>cos 2θ同时成立，即b +c >a ，故m 的取值范围为m >1．【考点】同角三角函数基本关系的运用幂函数的图像【解析】根据题意，由a m =b m +c m 变形可得(b a )m +(ca )m =1，由常数1联系同角三角函数的平方关系，可以设(b a )m =sin 2θ；(ca )m =cos 2θ，(0∘<θ<90∘)，又由题意，可得b +c >a ，将b 、c 与a 的关系代入可得，a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；进而整理变形可得，√sin 2θm+√cos 2θm >1=sin 2θ+cos 2θ，结合幂函数的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，由a m =b m +c m ，可得(ba)m +(ca)m =1，且a >b ，a >c ；设(b a )m =sin 2θ；(ca )m =cos 2θ，(0∘<θ<90∘)化简可得：b =a ⋅√sin 2θm，c =a ⋅√cos 2θm；若长为a 、b 、c 三线段能构成三角形，则b +c >a ，即a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；整理可得，√sin 2θm+√cos 2θm>1=sin 2θ+cos 2θ，由幂函数的性质分析可得，当且仅当m >1时，√sin 2θm>sin 2θ与√cos 2θm>cos 2θ同时成立，即b +c >a ，故m 的取值范围为m >1． 31.【答案】解：(1)由m 2+3m −3=1，得m =1或m =−4，①当m =1时，f(x)=x ，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意； ②当m =−4时，f(x)=x −4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m 的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x−4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由m2+3m−3=1，得m=1或m=−4，①当m=1时，f(x)=x，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意；②当m=−4时，f(x)=x−4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x−4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：32.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−2m−3在(0, +∞)上是减函数，∴m2−2m−3<0，解得−1<m<3，∵m∈N∗，∴m=1，或m=2．当m=1时，f(x)=x−4，其图象关于y轴对称，符合题意；当m=2时，f(x)=x−3是奇函数，不符合题意，∴m=1．（2）∵ m =1，∴ 满足(1+a)−2m3<(1−2a)−2m3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23． ∵ y =x −23为偶函数，且定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，在(0, +∞)上单调减， ∴ {|1+a|>|1−2a|1+a ≠01−2a ≠0，即{(1+a)2>(1−2a)2a ≠−1a ≠12，从而0<a <2且a ≠12，故a 的取值范围是(0, 12)∪(12，2)．【考点】其他不等式的解法幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）由幂函数f(x)=x m 2−2m−3在(0, +∞)上是减函数，知m 2−2m −3<0，由此能求出m ．（2）由m =1，知满足(1+a)−2m 3<(1−2a)−2m 3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23．由此能求出a 的取值范围．【解答】解：（1）∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3在(0, +∞)上是减函数， ∴ m 2−2m −3<0，解得−1<m <3，∵ m ∈N ∗，∴ m =1，或m =2．当m =1时，f(x)=x −4，其图象关于y 轴对称，符合题意；当m =2时，f(x)=x −3是奇函数，不符合题意， ∴ m =1．（2）∵ m =1， ∴ 满足(1+a)−2m 3<(1−2a)−2m 3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23．∵ y =x −23为偶函数，且定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，在(0, +∞)上单调减， ∴ {|1+a|>|1−2a|1+a ≠01−2a ≠0，即{(1+a)2>(1−2a)2a ≠−1a ≠12，从而0<a <2且a ≠12，故a 的取值范围是(0, 12)∪(12，2)．33. 【答案】解：（1）∵ 函数y =x 23=√x 23，∴ 函数的定义域为R ．（2）∵ f(−x)=√(−x)23=√x 23=f(x)，∴ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．（3）∵ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．∴ 函数图象关于y 轴对称，且(−∞, 0]为减函数，[0, +∞)为增函数，对应的图象为：【考点】幂函数的性质幂函数的图像【解析】根据幂函数的性质分别求出函数的定义域和奇偶性．【解答】解：（1）∵ 函数y =x 23=√x 23，∴ 函数的定义域为R ．（2）∵ f(−x)=√(−x)23=√x 23=f(x)，∴ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．（3）∵ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．∴ 函数图象关于y 轴对称，且(−∞, 0]为减函数，[0, +∞)为增函数，对应的图象为：。

专题幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)

专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b 1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b 0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a 1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a 0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。

幂函数与指数函数的图像变换解析

幂函数与指数函数的图像变换解析幂函数和指数函数是数学中常见的两类函数，它们在自然科学、工程技术和经济管理等领域中有着广泛的应用。

本文将从图像的角度，对幂函数和指数函数的图像变换进行解析和讨论。

首先，我们来了解一下幂函数的图像变换。

幂函数的一般形式可以表示为 y = ax^b，其中 a 和 b 是实数，且a ≠ 0。

当 b 为正数时，图像呈现上升趋势；当 b 为负数时，图像呈现下降趋势。

1. 幂函数的图像拉伸和压缩：对于 y = ax^b 这样的幂函数，当 a > 1 时，图像会向上拉伸；当 0 < a < 1 时，图像会向上压缩。

这是因为 a 的变化会改变函数值的幅度，即放大或缩小函数的纵坐标。

另外，对于 x 的变化，当 b > 1 时，图像在原点附近的斜率更陡，表示函数在原点的增长速度更快；当 0 < b < 1 时，图像在原点附近的斜率更缓，表示函数在原点的增长速度更慢。

2. 幂函数的图像平移：幂函数的图像平移与一般的函数平移类似。

假设有一个幂函数 y = ax^b，在原函数的基础上，通过改变常数 c 来确定平移的位置。

当 c > 0 时，图像将沿负 x 轴方向平移 c 个单位；当 c < 0 时，图像将沿正 x 轴方向平移 c 个单位。

总结起来，幂函数的图像变换主要包括拉伸和压缩、以及在平面上的平移。

接下来，让我们讨论指数函数的图像变换。

指数函数的一般形式可以表示为 y = a^x，其中 a 是正实数且a ≠ 1。

1. 指数函数的图像拉伸和压缩：对于指数函数 y = a^x，当 a > 1 时，图像会向上拉伸；当 0 < a < 1 时，图像会向上压缩。

与幂函数不同的是，指数函数的 x 坐标的变化不会改变函数的斜率，而会改变函数值的幅度。

2. 指数函数的图像平移：指数函数的图像平移也与一般的函数平移类似。

假设有一个指数函数 y = a^x，在原函数的基础上，通过改变常数 c 来确定平移的位置。

幂函数练习题及答案解析

幂函数练习题及答案解析1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^2.解析：定义域为实数集，f(-x) = (-x)^2 = x^2，因此是偶函数。

2.若 a < 1，则 5a < 0.5a < 5-a。

解析：因为 a < 1，所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a，因此 5a < 0.5a < 5-a。

3.α 可能的取值为 1 和 3，使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。

解析：只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数，因此α 可能的取值为 1 和 3.4.当 n = -1 或 n = 2 时，满足 (-2)^n。

(-3)^n。

解析：因为 (-2)^n。

0 且 (-3)^n < 0，所以 y = x^n 在 (-∞。

+∞) 上为减函数。

因此 n = -1 或 n = 2.1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。

-4)。

解析：函数的开口向上，关于 x = -4 对称，因此在 (-∞。

-4) 上递减。

2.幂函数的图像过点(2.4)，则其单调递增区间是(-∞。

0)。

解析：因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线，过点(2.4)，因此其单调递增区间为 (-∞。

0)。

3.正确的说法有 2 个。

解析：①错误；②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1)；③正确；④正确，因此有 2 个正确的说法。

4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值的个数是 1.解析：因为f(x) = x^α 为奇函数，所以α 为奇数，因此α可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减，所以只有α = -1 满足条件。

因此个数为 1.1.α=-1,1,3.由于f(x)在(，+∞)上为减函数，所以α=-1.2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-3<x<1)。

考点16 高中数学二次函数与幂函数(解析版)

考点16 二次函数与幂函数【命题解读】二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质[常用结论与微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0时恒有f(x)>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0时，恒有f(x)<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.1、幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()【答案】C【解析】(1)设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C 正确.2、已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0【答案】A【解析】由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A3、若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)【答案】A【解析】二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．4、若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0，4]B.⎣⎡⎦⎤32，4C.⎣⎡⎦⎤32，3D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞【答案】C【解析】y ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3，故选C.5、不等式x 2+a |x |+4≥0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[0，+∞）B ．[﹣4，+∞）C ．[﹣4，4]D ．（﹣∞，﹣4]【答案】B【解析】f （x ）＝x 2+a |x |+4为偶函数；当a ≥0，x ＞0时，函数化为f （x ）＝x 2+ax +4，对称轴x ＜0，f （0）＝4＞0，不等式恒成立；当a ＜0时，x ＞0时，函数化为f （x ）＝x 2+ax +4，可得△＝a 2﹣16≤0显然成立解得﹣4≤a ＜0，综上a ∈[﹣4，+∞）．故选：B ．.6、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的(,1)(5,)x ∈-∞+∞，都有22(2)0x a x a --+>，则实数a的取值范围是 ▲ ．【答案】 ]5,1(【解析】当04)2(42<--=∆a a ，即0452<+-a a ，41<<a 时，满足题意；当04)2(42≥--=∆a a ，即0452≥+-a a ，1≤a 或4≥a 时，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+--≥+--<---<0)2(1050)2(2152)2(2122a a a a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<5573a a a ，所以53≤<a ，又因为1≤a 或4≥a ，所以54≤≤a ，综上所述，实数a 的取值范围为]5,1(。

高考数学专题《幂函数》习题含答案解析

专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C: 13y x=-为奇函数，故排除；D: 3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1(42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（）A ．4BC ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1(2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f (x )=x m的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m，c =―log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C练提升【解析】幂函数f (x )=x m 的图象过点(2,4)，∴2m ＝4，m ＝2；∴a =m 12=2>1，b =(13)m =19∈(0,1)，c =―log m 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞―log 23，∴a >b >c ．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若，则D ．若，则.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A 正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B 不正确.当，即，所以C 正确.当若时，=..=.即成立，所以D 正确.()f x x α=1x >()1f x >120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x x α=2=4α1=2α12()f x x =()f x [0,)+∞()f x [0,)+∞()f x 1x >1>()1f x >120x x <<()()122212(()22f x f x x x f ++-22-122x x +-0<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈12,―1,―2,3，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】―2【解析】由题可知，α=―2时，f (x )=x ―2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；α=13,12,―1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=―2．故答案为：―2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，，所以，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D 【解析】2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =a b >33a b >练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。

第八部分幂函数

第八部分幂函数一、基本知识点1．幂函数的概念一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图像与性质由幂函数y＝x、y＝12x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图像，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在________上都有定义；(2)幂函数的图像都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图像都过点________与________，且在(0，＋∞)上是__________；(4)当α<0时，幂函数的图像都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是__________．3．五种幂函数的比较(1)幂函数的图像比较(2)幂函数的性质比较函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域值域奇偶性单调性二、内容扩充1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．三、小练习1．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图像不可能经过第________象限．2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.3．下列函数是幂函数的序号是________． ①y ＝2x ②y ＝2x －1 ③y ＝(x ＋2)2④y ＝3x 2 ⑤y ＝1x4．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值等于( )A ．16B.116C ．2 D.12四、题型分析题型一幂函数的定义及应用例1已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值．探究提高 (1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1.(2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征．练习已知f (x )＝(m 2＋2m )21m m x＋－，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．题型二幂函数的图像及性质的简单应用例2已知幂函数f (x )的图像过点(2，2)，幂函数g (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫2，14. (1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．探究提高求幂函数解析式的步骤： (1)设出幂函数的一般形式y ＝x α (α为常数)； (2)根据已知条件求出α的值； (3)写出幂函数的解析式．练习已知幂函数y ＝243m m x－－(m ∈Z )的图像与y 轴有公共点，且其图像关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图像．题型三利用幂函数的性质比较幂值的大小例3比较下列各组数的大小： (1)13(0.95)和13(0.96)；(2)1-3-8和1319⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)0.20.5和0.40.3.探究提高在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题关键．练习比较下列各组数的大小：(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)122，131.8；(4)254.1，2-33.8和35(1.9). 题型四幂函数的综合应用例4已知幂函数f (x )＝223m m x－－(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m3<-3(32)ma 的a 的取值范围．探究提高本题集幂函数的概念、图像及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图像对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图像求出参数a 的取值范围．练习已知幂函数f (x )＝21()m m x－＋(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．练习若函数f (x )＝3-24(+42)mx x m ++＋(x 2－mx ＋1)0的定义域为R ，求实数m 的取值范围．解设g (x )＝mx 2＋4x ＋m ＋2， ① h (x )＝x 2－mx ＋1，②原题可转化为对一切x ∈R 有g (x )>0且h (x )≠0恒成立．由①得{ m >0，Δ1＝42－4m (m ＋2)<0. [3分] 即{ m >0m 2＋2m －4>0⇒{ m >0，m <－1－5，或m >－1＋5， ∴m >－1＋ 5.[6分] 由②得Δ2＝(－m )2－4<0，即－2<m <2.[10分]综上可得5－1<m <2.[12分]批阅笔记 (1)有关幂函数y ＝x α的定义域的确定，当α为分数时，可转化为根式考虑，当α＝0时，底是非零的，不可忽视．本题将原题转化为对一切x ∈R 有g (x )>0且h (x )≠0恒成立是解题的关键．(2)不等式恒成立问题，可利用数形结合思想，如g (x )>0和h (x )≠0在R 上恒成立作进一步转化．(3)易错分析：第一，不能将问题转化为mx 2＋4x ＋m ＋2>0恒成立问题，也就是缺乏转化的意识；第二，易忽略x 2－mx ＋1≠0的隐含条件，致使范围扩大. 方法与技巧1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y ＝x ＋1，y ＝x 2－2x 等都不是幂函数．2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．3．幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0，曲线下凸．失4．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．5．作幂函数的图像要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图像，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图像．6．利用幂函数的图像和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型的问题．进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法．限时训练A 组(时间：60分钟)一、选择题1．幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f (8)的值为 ( )A ．2 6B ．64C.24D.1642．如图是函数y ＝m nx (m ，n ∈N *，m 、n 互质)的图像，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >13．(2011·陕西)函数y ＝13x 的图像是( )二、填空题4．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·22m m x －－的图像不经过原点，则实数m 的值为________．5．已知a ＝x α，b ＝2ax ，c ＝1ax ，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小顺序是________．6．若(a ＋1)－12<(3－2a )－12，则a 的取值范围是__________．三、解答题7．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点(12，18)．求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．8．已知f (x )＝2123n n x-++(n ＝2k ，k ∈Z )的图像在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x＋3)．限时训练B 组一、选择题1．设a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a2．已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)27325t t x +-(t ∈N )是偶函数，则实数t 的值为 ( )A ．0B ．－1或1C ．1D ．0或1 3．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ， x <0⎝⎛⎭⎫13x ， x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为( )A ．[－1,2)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞D ．(1，3]∪[3，＋∞) 二、填空题 4．函数y ＝(m 2－m －1)223m m x－－是幂函数且在x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为________．5．已知函数f (x )＝x α(0<α<1)，对于下列命题： ①若x >1，则f (x )>1； ②若0<x <1，则0<f (x )<1；③当x >0时，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f (x 1)x 1<f (x 2)x 2.其中正确的命题序号是________．6．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________．7．已知函数f (x )，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在f (x )的定义域内，就有f (a )，f (b )，f (c )也是某个三角形的三边长，则称f (x )为“保三角形函数”．在函数：①f 1(x )＝x ，②f 2(x )＝x ，③f 3(x )＝x 2中，其中________是“保三角形函数”(填上正确的函数序号)．三、解答题 8．已知函数f (x )＝22k k x－＋＋(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．答案要点梳理 1．y ＝x α2．(1)(0，＋∞) (2)(1,1) (3)(0,0) (1,1) 递增的 (4)递减的 3．(2)定义域：R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域：R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性：奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性：增 x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增 x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减基础自测1．二、四 2.32 3.④⑤ 4.D题型分类·深度剖析例1 解 ∵y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)为幂函数．∴m 2＋2m －2＝1且2n －3＝0.∴m ＝－3，m ＝1且n ＝32.又m 2－1≠0，∴m ＝－3且n ＝32.变式训练1 解 (1)若f (x )是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，解得m ＝1.∴当m ＝1时，f (x )为正比例函数． (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1. ∴当m ＝－1时，f (x )为反比例函数．(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.∴当m ＝－1±132时，f (x )为二次函数．(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，解得m ＝－1±2.∴当m ＝－1±2时，f (x )为幂函数．例2 解 (1)设f (x )＝x α，∵其图像过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵其图像过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴14＝2β，解得β＝－2，∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x－2的图像，如图所示．由图像可知：f(x)，g(x)的图像均过点(－1,1)与(1,1)．∴①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．变式训练2解依题意，其图像与y轴有公共点，则4－3m－m2>0，即m2＋3m－4<0，解得－4<m<1.又∵m∈Z，∴m＝－3，－2，－1,0.当m＝－3或m＝0时，函数可化为y＝x4，符合题意，其图像如图①. 当m＝－2或m＝－1时，函数可化为y＝x6，符合题意，其图像如图②.图①图②综上所述，m的值为－3，－2，－1,0.例3解(1)∵函数y＝13x在(0，＋∞)上是递增函数，且0.95<0.96.∴130.95<130.96，∴13(-0.95)>13(-0.96).(2)－1319⎛⎫⎪⎝⎭＝－1-39，由于函数y＝13x-在(0，＋∞)上是减函数，∴1-38>1-39，∴－1-38<－1-39，即－1-38<－1319⎛⎫⎪⎝⎭.(3)由于函数y＝0.2x在R上是减函数，∴0.20.5<0.20.3，又函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，∴0.20.3<0.40.3，故0.20.5<0.40.3.变式训练3解(1)函数y＝3x是增函数，∴30.8>30.7.(2)函数y＝x3是增函数，∴0.213<0.233.(3)∵122>121.8>131.8，∴122>131.8.(4)254.1>251＝1；0<2-33.8<2-31＝1；35(-1.9)<0，∴35(-1.9)<2-33.8<254.1.例4 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图像关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得a <－1或23<a <32.故a 的取值范围为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <－1或23<a <32.变式训练4 解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)， m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数． ∴函数f (x )＝21()m m x－＋(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝21()2m m －＋，即122＝21()2m m －＋.∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．课时规范训练 A 组1．C 2.C 3.B 4.1或25．c <a <b 6.⎝⎛⎭⎫23，327．解设在[－1,1)中，f (x )＝x n ，由点(12，18)在函数图像上，求得n ＝3.令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2， ∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3. 即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．8．解由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3. 又n ＝2k ，k ∈Z ，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13，∴f (x )在R 上是递增的．∴f (x 2－x )>f (x ＋3)转化为x 2－x >x ＋3. 解得x <－1或x >3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． B 组1．A 2.B 3．B4．2 5．①②③ 6．(0，＋∞) 7．①② 8．解 (1)∵f (2)<f (3)， ∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， ∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q)处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.∴存在q ＝2满足题意．。

高考数学总复习2-6幂函数与函数的图象变换但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习 2-6 幂函数与函数的图象变换但因为测试新人教B 版1.(2011·烟台拟)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(27，13)，则f (18)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 设f (x )＝x α，由条件知f (27)＝13，∴27α＝13，∴α＝－13，∴f (x )＝x -13 ，∴f (18)＝(18)-13 ＝2.2．(文)(2011·聊城模拟)若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则函数y ＝f (x )的图象可以是( )[答案] D[解析] 由题意知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，观察所给图象可知，只有D 图存在交点．(理)(2011·陕西文，6)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根[答案] C[解析] 在同一坐标系中，画出函数y ＝|x |与y ＝cos x 的图象，易知有两个交点，即|x |＝cos x 有两个根．3．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )[答案] B[解析] y ＝x 2为偶函数，对应②；y ＝x 12 定义域x ≥0，对应③；y ＝x －1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 3与y ＝x 13 均为奇函数，但y ＝x 3比y ＝x 13 增长率大，故①对应y ＝x 3.(理)给出以下几个幂函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)，其中f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 12 ，f 4(x )＝1x .若g i (x )＝f i (x )＋3x (i ＝1,2,3,4)．则能使函数g i (x )有两个零点的幂函数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] 函数g i (x )的零点就是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根，也就是函数f i (x )与y ＝－3x 的图象的交点，作出函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)的图象，可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i (x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.4．(文)(2011·郑州一检)若0<x <y <1，则( ) A ．3y <3x B ．log x 3<log y 3 C ．log 4x <log 4y D ．(14)x <(14)y[答案] C[解析] ∵0<x <y <1，∴由对数函数的单调性得，log 4x <log 4y ，故选C.(理)(2011·天津理，7)已知a ＝b ＝c ＝则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b[答案] C[解析] a ＝b ＝＝c ＝＝显然有log 23.4>log2103>log 2 3.6，由对数函数、指数函数单调性，有a >c >b ，故选C.5．(文)幂函数y ＝x－1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12 的图象经过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，①D ．⑤，① [答案] D[解析] y ＝x 12 是增函数，∵12<1，∴其图象向上凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域①，⑤.(理)幂函数y ＝x α (α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定 [答案] A[解析] 由条件知，M ⎝⎛⎭⎫13，23、N ⎝⎛⎭⎫23，13，6．(文)(2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x ＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.(理)(2011·新课标全国文，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[答案] A[解析] 由y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象(如图)可知，选A.7．若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14，12，则它在A 点处的切线方程为________． [答案] 4x －4y ＋1＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ， ∴⎝⎛⎭⎫14α＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x 12 ， ∴f ′(x )＝12x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫14＝1，故切线方程为y －12＝1×⎝⎛⎭⎫x －14，即4x －4y ＋1＝0.8．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f (x )＝x －1，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，－1)∪(3,5)[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<010－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>010－2a >0a ＋1>10－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<010－2a <0a ＋1>10－2a∴a <－1或3<a <5.(理)若函数f (x )＝dax 2＋bx ＋c(a 、b 、c ，d ∈R)，其图象如图所示，则a :b :c :d ＝________.[答案] 1:(－6):5:(－8) [解析] 由图象知，x ≠1且x ≠5，故ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1,5.∴⎩⎨⎧－b a＝6c a ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6ac ＝5a ，又f (3)＝2，∴d ＝18a ＋6b ＋2c ＝－8a . 故a :b :c :d ＝1:(－6):5:(－8)．9．若f (x )＝ax ＋1x －1在区间(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] a >－1 [解析] f (x )＝ax ＋1x －1＝ax －1＋a ＋1x －1＝a ＋a ＋1x －1.∵f (x )在(－∞，1)上为减函数， ∴a ＋1>0，∴a >－1.10．如图所示，函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．[解析] 如图，设左侧射线对应的解析式为：y ＝kx ＋b (x ≤1)，将点(1,1)，(0,2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式是y ＝－x ＋2(x ≤1)；同理，x ≥3时，函数解析式为：y ＝x －2(x ≥3)；再设抛物线段的解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，将(1,1)代入得，a ＋2＝1，∴a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上知，函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x <1－x 2＋4x －2 1≤x <3x －2 x ≥3.11.(文)(2011·山东济宁一模)函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是( )[答案] C[解析] f (x )＝2|log2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2log2x ，x ≥12－log2x ，0<x <1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1.(理)(2011·威海模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(3,4)[答案] C[解析] 设f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，所以x 0在区间(1,2)内．12．(文)(2011·淮南模拟)函数y ＝lncos x (－π2<x <π2)的图象是( )[答案] A[解析] 由已知得0<cos x ≤1，∴ln cos x ≤0，排除B 、C 、D.故选A.(理)(2011·青岛模拟)现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 的函数关系的是( )[答案] C[解析] 根据球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．13．(文)(2011·安徽省淮南市模拟)已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD ( )A ．相交，且交点在坐标原点B ．相交，且交点在第Ⅰ象限C ．相交，且交点在第Ⅱ象限D ．相交，且交点在第Ⅳ象限 [答案] A[解析] 易求得两直线方程分别为AB ：y ＝12x 、CD ：y ＝lg22x ，则其交点为坐标原点．如图所示．(理)(2011·山东淄博一模)设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln3) B.13ln3 C.13(1－ln3) D ．ln3－1[答案] A[解析] 设u (x )＝x 3－ln x ，则u ′(x )＝3x 2－1x .令u ′(x )＝0，得x ＝313.当0<x <313时，u ′(x )<0，u (x )单调递减；当x >313时，u ′(x )>0，u (x )单调递增．所以，当x ＝313时，u (x )取到最小值，此极小值即为u (x )在(0，＋∞)上的最小值． ∴|MN |＝|13－13ln 13|＝13(1＋ln3)．14．(文)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． [解析] (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)． ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．(理)(2011·山东烟台调研)设函数f (x )＝p ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x ，g (x )＝2ex .(p 是实数，e 是自然对数的底数)(1)当p ＝2e 时，求f (x )＋g (x )的单调区间；(2)若直线l 与函数f (x )，g (x )图象都相切，且与函数f (x )的图象相切于点(1,0)，求p 的值． [解析] (1)当p ＝2e 时，f (x )＋g (x )＝2e ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x ＋2ex ＝2ex －2ln x ，则(f (x )＋g (x ))′＝2e －2e.故当x >1e 时，f (x )＋g (x )是增函数；当0<x <1e时，f (x )＋g (x )是减函数．综上，f (x )＋g (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，f (x )＋g (x )的单调减区间为(0，1e ]．(2)∵f ′(x )＝p ＋p x 2－2x ，∴f ′(1)＝2(p －1)．设直线l ：y ＝2(p －1)(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2p －1x －1y ＝2e x得(p －1)(x －1)＝ex，即(p －1)x 2－(p －1)x －e ＝0. 当p ＝1时，方程无解；当p ≠1时，∵l 与g (x )图象相切，∴Δ＝(p －1)2－4(p －1)(－e )＝0，得p ＝1－4e . 综上，p ＝1－4e .15．某机床厂2007年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． [解析] (1)y ＝50x －[12x ＋x x －12×4]－98＝－2x 2＋40x －98.(x ∈N *)(2)解不等式－2x 2＋40x －98>0得，10－51<x <10＋51. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤17.故从第三年起该机床开始盈利．(3)①∵y x ＝－2x ＋40－98x ＝40－⎝⎛⎭⎫2x ＋98x ≤40－22×98＝12，当且仅当2x ＝98x ，即x ＝7时，等号成立．∴到2014年，年平均盈利额达到最大值，机床厂可获利12×7＋30＝114万元． ②y ＝－2x 2＋40x －98＝－2(x －10)2＋102，当x ＝10时，y max ＝102.故到2017年，盈利额达到最大值，机床厂可获利102＋12＝114万元．因为两种方案机床厂获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．1．若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图，则f (x )·g (x )的图象可能是( )[答案] C[解析] 由f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可知f (x )·g (x )为奇函数，x ∈(－3,0)时，f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (x )>0，故选C.2．(2011·湖北理，2)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞)B ．(0，12)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪[12，＋∞)[答案] A[解析] ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，12)，∴∁U P ＝[12，＋∞)．3．(2011·山东文，10)函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )[答案] C[解析] 利用特殊化思想求解；当x ＝0时，y ＝0，排除A ；当x →＋∞时，显然y >0，排除D ；当x ＝2π时，y ＝π<4，排除B ，故选C.4．(2010·浙江宁波十校)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是( )[答案] B[解析] 由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t 的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.5．(2011·天津文，8)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2]∪(1,2]D ．[－2，－1][答案] B[解析] 由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2 －1≤x ≤2x －1 x <－1或x >2由y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即方程f (x )＝c 有两个不等的根，即函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点．由图象知：∴－2<c≤－1或1<c≤2.6．(2010·东营质检)函数y＝|x|与y＝x2＋1在同一坐标系的图象为()[答案] A[解析]由y＝x2＋1得，y2－x2＝1(y≥1)，它表示焦点在y轴上的等轴双曲线的上支，它以y＝±x的其渐近线，故选A.7．若(a＋1) -13<(3－2a) -13，则a的取值范围是______．[答案] (23，32)∪(－∞，－1)[解析] 幂函数y ＝x -13 在(0，＋∞)上为减函数，函数值y >0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y <0.∴有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<03－2a >0，∴23<a <32或a <－1即a 的取值范围为(23，32)∪(－∞，－1)．8．(2011·福建质量检查)设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]，满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时a 的取值的集合为________．[答案] {2}[解析] 依题意得y ＝a c x ，当x ∈[a,2a ]时，y ＝a c x ∈[12a c －1，a c －1]⊆[a ，a 2]，因此有⎩⎪⎨⎪⎧12a c －1≥a a c －1≤a 2，即2a ≤a c －1≤a 2，又常数c 是唯一的，因此a 2＝2a ，又a >1，所以a ＝2.9．函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1、C 2分别对应哪一个函数？(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10,11,12}，指出a 、b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f(8)、g(8)、f(2012)、g(2012)四个数按从小到大的顺序排列．[解析](1)C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x.(2)由于交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，令h(x)＝f(x)－g(x)，显然有h(1)＝f(1)－g(1)＝1>0，h(2)＝f(2)－g(2)＝－4<0，h(9)＝29－93＝－217<0，h(10)＝24>0，∴x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，∴a＝1，b＝9.(3)由幂函数及指数函数增长率可知，f(8)<g(8)<g(2012)<f(2012)．10．已知函数f(x)＝(1)证明f(x)是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，并由此概括一个涉及函数f(x)，g(x)的对所有非零实数x都成立的等式，并证明．[解析](1)证明：因为f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：。

高一数学幂函数试题答案及解析

高一数学幂函数试题答案及解析1.若函数是幂函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，得，解得．【考点】幂函数的解析式．2.计算等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】。

故选B。

【考点】指数幂的运算点评：本题运用指数幂的运算公式：，。

3.已知幂函数的图象过点 .【答案】3【解析】幂函数形式为，其过点，则，求得，。

【考点】幂函数点评：幂函数的形式是。

本题需先确定幂函数的解析式。

4.当时，幂函数为减函数，则实数( )A．m＝2B．m＝－1C．m＝2或m＝－1D．【答案】A【解析】因为，当时，幂函数为减函数，所以或，解得，m＝2，故选B。

【考点】本题主要考查幂函数的概念及其性质。

点评：简单题，注意形如为常数）的函数是幂函数。

5.（本小题12分）已知函数是幂函数且在上为减函数，函数在区间上的最大值为2，试求实数的值。

【答案】【解析】解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有，解得，——————————5’①当是的单调递减区间，————————7’②当，解得——————————9’③，解得————————11’综合①②③可知————————12’【考点】幂函数与二次函数点评：解决的关键是对于常见的基本初等函数性质的熟练运用，属于基础题。

6.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。

【考点】本试题主要是考查了幂函数的单调性与幂指数的正负之间的关系的应用，属于基础题。

点评：解决该试题关键是理解幂函数在y轴右侧的单调性是增，说明了幂指数为正，如果在y轴右侧为减，说明幂指数为负数。

同时对数真数大于零是易忽略点。

7.幂函数的图象过点(2, ), 则它的单调递增区间是（）A．(－∞, 0)B．[0, ＋∞）C．(0, ＋∞)D．(－∞, ＋∞)【答案】A【解析】因为幂函数过点(2, ),所以=，即。

2023年新高考数学大一轮复习专题08 幂函数与二次函数(解析版)

专题08 幂函数与二次函数【考点预测】 1.幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质 3.常见的幂函数图像及性质：R RR {|0}x x ≥ （1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 5．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. （1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，；2max 4()4ac b f x a -=.（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 6.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=：（1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a=-=；（4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==. 【方法技巧与总结】1.幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下： ①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出； ②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出； ③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 3.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.n （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像题型二：幂函数性质的综合应用题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【典例例题】题型一：幂函数的定义及其图像例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22121m f x m m x -=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（） A ．2- B ．0或2 C ．0 D ．2【答案】D 【解析】【分析】根据函数为幂函数求出m ，再验证单调性可得. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =，当0m =时，()1f x x -=在()0,∞+上为减函数，不符合题意，当2m =时，()3f x x =在()0,∞+上为增函数，符合题意，所以2m =. 故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数pqy x =（p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0p q> B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q < C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q > D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q< 【答案】D 【解析】【分析】根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p 、q 的取值情况. 【详解】因函数p q y x =的图象关于y 轴对称，于是得函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数，又函数p qy x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞上单调递减，则有pq<0，又因p 、q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确. 故选：D例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12##0.5 【解析】【分析】点A 坐标代入幂函数解析式，求得a ，然后计算函数值．【详解】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故答案为：12．例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数()f x 的图象过点()8,2--，且()()13f a f a +≤--，则a 的取值范围是______．【答案】(],1-∞ 【解析】【分析】先求得幂函数()f x 的解析式，根据函数()f x 的奇偶性、单调性来求得a 的取值范围. 【详解】设()f x x α=，则()1823αα-=-⇒=，所以()13f x x =，()f x 在R 上递增，且为奇函数，所以()()()311313f a f a a a f a a =-+≤--+-⇒≤⇒≤. 故答案为：(],1-∞例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快【解析】【分析】根据幂函数的图象与性质确定结论．【详解】解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方．从上面任取一个即可得出答案．故答案为：α越大函数增长越快．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数223()m m y f x x --==（m ∈Z ）在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.（1）求()y f x =的解析式；（2）讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）4()y f x x -==；（2）当2a =时，为偶函数；当0a =时，为奇函数；当2a ≠且0a ≠时，为非奇非偶函数.理由见解析. 【解析】（1）由题意可得：2230m m --<，解不等式结合m ∈Z 即可求解；（2）由（1）可得4(2)y ax a x -=+-，分别讨论0a =、2a =、0a ≠且2a ≠时奇偶性即可求解. 【详解】（1）因为幂函数223()mm y f x x --==（m Z ∈）在(0,)+∞是严格减函数，所以2230m m --<，即()()310m m -+< ，解得：13x ，因为m Z ∈，所以0,1,2m =，当0m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；当1m =时，4()y f x x -==，此时()y f x =为偶函数，符合题意；当2m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；所以4()y f x x -==，（2）4544(2)(2)y ax a x x ax a x ---=+-⋅=+-，令()4(2)F x ax a x -=+-当0a =时，()2F x x =-，()()()22F x x x F x -=-⨯-==-，此时是奇函数，当2a =时()4422F x x x -==，()()()444222F x x x x --=-==-，此时是偶函数，当0a ≠且2a ≠时，()1(2)22F a a a =+-=-，()1(2)2F a a -=--=，()()11F F ≠-，()()11F F -≠-，此时是非奇非偶函数函数.【方法技巧与总结】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a ，b 满足3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，则a b +=（） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】B 【解析】【分析】由已知构造函数()3e e x xf x x -=+-，利用()1f a =，()1f b =-，及函数的单调性、奇偶性即可得出结果.【详解】构建函数()3e e x xf x x -=+-，则()f x 为奇函数，且在R 上单调递增.由3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，得()1f a =，()()()()1f b f a f b f b a b =-⇒=-=-⇒=-，所以0a b +=. 故选：B.例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（）A ．2，在()2,4上，有22x x <，在()4,+∞上，有22x x >.即可判断A 、B ；对于C：判断出2>, log 1，即可判断；对于D：判断出2>，2=，即可判断.【详解】对于A 、B ：作出2x y =和2yx 在第一象限的图像如图所示：其中2x y =的图像用虚线表示，2yx 的图像用虚线表示.可得，在()0,2上，有22x x >，在()2,4上，有22x x <，在()4,+∞上，有22x x >.因为24<，所以2<，故A 正确；4，所以2>，故B 错误；对于C：2>,而22log log 21<=，所以log >故C 错误；对于D：2>，而2=，所以>.故D 错误.故选：A例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（） A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(]0,1D ．()0,∞+ 【答案】A 【解析】【分析】分析函数()f x 的性质，作出图象，数形结合即可求解作答. 【详解】当2x <时，函数3()(1)f x x =-是增函数，函数值集合是(,1)-∞，当2x ≥时，2()f x x=是减函数，函数值集合是(]0,1，关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，即函数()y f x =的图象与直线y k =有两个交点，在坐标系内作出直线y k =和函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当01k <<时，直线y k =和函数()y f x =的图象有两个交点，即方程()f x k =有两个不同的实根，所以实数k 的取值范围为(0,1). 故选：A例10．（2022·浙江·模拟预测）已知0a >，函数()(0)xa f x x a x =->的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】分类讨论1a =，01a <<与1a >三种情况下函数的单调性情况，从而判断. 【详解】当1a =时，()1(0)=-=>-a xx f x x x a ，此时函数()f x 为一条射线，且函数()1f x x =-在()0,∞+上为增函数，B 选项符合；当01a <<时，函数a y x =在()0,∞+上为增函数，x y a =在()0,∞+上为减函数，所以函数()=-a x f x x a 在()0,∞+上为增函数，此时函数在()0,∞+上只有一个零点，A 选项符合；当1a >时，x →+∞时，函数a y x =的增长速度远小于函数x y a =的增长速度，所以x →+∞时，函数()=-a xf x x a 一定为减函数，选项D 符合，C 不符合. 故选：C例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式()10112200221210x x x -++-≤的解集为：_________．【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】【分析】将不等式化为()()10111011222211x x x x +≤-+-，构造()1011f x x x =+根据其单调性可得221x x ≤-，求解即可.【详解】不等式变形为()()101110112222110x x x x -+-++≤，所以()()10111011222211x x x x +≤-+-，令()1011f x x x =+，则有()()221f x f x ≤-，显然()f x 在R 上单调递增，则221x x ≤-，可得212x ≤，解得x ≤≤故不等式的解集为⎡⎢⎣⎦．故答案为：⎡⎢⎣⎦例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数()()()3,af x m x m a =+∈R 是幂函数，且其图象过点(，则函数()()2log 3ag x xmx =+-的单调递增区间为___________.【答案】(),1-∞- 【解析】【分析】根据幂函数的定义及所过的点求出,a m ，再根据对数型复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为函数()()()3,af x m x m a =+∈R 是幂函数，所以31m +=，解得2m =-，又其图象过点(，所以2a 12a =，则()()212log 23g x x x =--，则2230x x -->，解得3x >或1x <-，令223x x μ=--，则函数223x x μ=--在()3,+∞上递增，在(),1-∞-上递减，又因函数12log y μ=为减函数，所以函数()g x 的单调递增区间为(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-.例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，则实数b 的取值范围是_________________________ ．【答案】(3,-- 【解析】【分析】根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，进而数形结合，将问题转化为方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】解：根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，如图：令()t f x =，因为方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，所以方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，故令()22g t t bt =++，则函数()22g t t bt =++在区间()1,2上有两个不相等的零点.所以()()100220g b g g ⎧>⎪⎪⎛⎫-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，即230204620b b b +>⎧⎪⎪-<⎨⎪+>⎪⎩，解得3b -<<-所以实数b的取值范围是(3,--.故答案为：(3,--例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()224222mm f x m m x-+=--在()0,∞+上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()()()211ag x a x f x =--+在(]0,2上的值域为(]1,11？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =，()1f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出m 的值，将m 的值代入()f x 即可；（2）求出()g x 的解析式，按照1a -与0的大小关系进行分类讨论，利用()g x 的单调性列出方程组，求解即可. 【详解】（1）（1）因为幂函数()2242()22mm f x m m x-+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221420m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-(舍去)，所以1()f x x -=；（2）由（1）可得，1()f x x -=，所以()(21)1(1)1g x a x ax a x =--+=-+，假设存在0a >，使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11，①当01a <<时，10a -<，此时()g x 在(]0,2上单调递减，不符合题意； ②当1a =时，()1g x =，显然不成立；③当1a >时，10a ->，()g x 在和(]0,2上单调递增，故(2)2(1)111g a =-+=，解得6a =.综上所述，存在6a =使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11.【方法技巧与总结】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >，因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数24y x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，则a 的取值范围是（） A ．(),4-∞ B ．()3,+∞C ．()3,4D ．(),3-∞【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a 的不等式，进而求解. 【详解】二次函数24y x x a =-+，对称轴为2x =，开口向上，在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，要使二次函数2()4f x x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，需(1)140(2)480f a f a =-+>⎧⎨=-+<⎩，解得34a << 故实数a 的取值范围是()3,4 故选：C例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax xg x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()24x xg x =-；(2)1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】(1)根据()218f a +=求出a 即可；(2)方程()80xg x m -⋅=参变分离得222x x m --=-，换元法求值域即可.(1)由()218f a +=，可得：2318a +=，解得：32a =，∴()24x xg x =-；(2)由()80xg x m -⋅=，可得222x x m --=-，令12,44xt -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则原问题等价于y ＝m 与y ＝h (t )＝2t t -在1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有交点，数形结合可知m ∈[h (12)，h (4)]＝1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故实数m 的取值范围为：1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数()2sin 1f x x =-，[0,]x π∈． (1)求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的值；(2)设实数a R ∈，求方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根时a 的取值范围．【答案】(1)当0x =，π2，π时， max ()1f x =(2))2a ∈【解析】【分析】（1）去掉绝对值，化为分段函数，求出每一段上的最大值；（2）令()t f x =，问题转化为23210t at -+=在(0,1)t ∈上存在两个相异的实根，进而列出不等式组，求出a 的取值范围.(1)∵()521,66512,066sinx x f x sinx x x πππππ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<<≤⎪⎩或，∴当5[,]66x ππ∈时， ()max 12f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭；∴当5[0,)(,]66x πππ∈时， max ()(0)(π)1f x f f ===．故当02x ππ=，，时， max ()1f x =． (2)令()t f x =，则[0,1]t ∈，使方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根，则方程23210t at -+=在(0,1)t ∈上存在两个相异的实根，令2()321g t t at =-+，则()()()201013210Δ24310012g g a a a ⎧=>⎪=-+>⎪⎪⎨=--⨯⨯>⎪⎪<<⎪⎩2a <<．故所求的a的取值范围是)2．【方法技巧与总结】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题例19．（2022·全国·高三专题练习）已知2()(0)f x ax bx c a =++>，()(())g x f f x =，若()g x 的值域为[2，)+∞，()f x 的值域为[k ，)+∞，则实数k 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】【分析】设()t f x =，即有()()g x f t =，t k ，可得函数2y at bt c =++，t k 的图象为()y f x =的图象的部分，即有()g x 的值域为()f x 的值域的子集，即有k 的范围，可得最大值为2．【详解】解：设()t f x =，由题意可得2()()g x f t at bt c ==++，t k ，函数2y at bt c =++，t k 的图象为()y f x =的图象的部分，即有()g x 的值域为()f x 的值域的子集，即[2，)[k +∞⊆，)+∞，可得2k ，即有k 的最大值为2．故选：C ．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．(1)求()f x 的表达式；(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()22f x x x =+；(2)(],2-∞-. 【解析】【分析】（1）根据(1)(1)f x f x -+=--可以判断函数的对称轴，再根据函数的值域可以确定二次函数的顶点坐标，则可设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知122x x -=进行求解，求出a 的值，即可得出()f x 的表达式；（2）根据题意，可以判断出函数()g x 在区间[2,2]-上的单调性，由()()g x f x kx =-，求得()2(2)g x x k x =+-，进而可知()g x 的对称轴方程为22k x -=，结合二次函数的图象与性质以及单调性，得出222k -≤-，即可求出k 的取值范围. (1)解：由(1)(1)f x f x -+=--，可得()f x 的图象关于直线1x =-对称，函数()f x 的值域为[1,)-+∞，所以二次函数的顶点坐标为(1,1)--，所以设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-，根据根与系数的关系，可得122x x +=-，121a x x a-=，因为方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=则122x x -===，解得：1a =，所以()22f x x x =+.(2)解：由于函数()g x 在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，则函数()g x 在区间[2,2]-上单调递增，又2())2(g x f x kx x x kx =-=+-，即()2(2)g x x k x =+-，所以()g x 的对称轴方程为22k x -=，则222k -≤-，即2k ≤-，故k 的取值范围为(],2-∞-.例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a ==【解析】【分析】（1）代入3a =解不等式组226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x 可得答案；（2）由题意(0)(2)0f f a ==，结合最大值为0最小值是4-分0=t 、22t a +=数形结合可得答案. (1)当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数2()(0,,)f x ax bx c a b c R =++≠∈同时满足下列条件：(0)3f =，()f x 的最大值为4，____？若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，请说明理由.在①(1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立，② 函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称，③ 函数()f x 的单调递减区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.【答案】答案见解析【解析】【分析】由(0)3f =，可求得3c =，由条件可得函数的对称轴，又()f x 的最大值为4，可得关于,a b 的方程组，求解即可. 【详解】解：由(0)3f =，可求得3c =，则2()3f x ax bx =++ 若选择① (1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立可得()f x 的对称轴为1x =，所以2ba-=1，又()f x 的最大值为4，可得0a <且(1)4f =，即34a b ++=，解得1,2a b =-=，此时2()23f x x x =-++；若选择函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称可得()f x 的对称轴为2x =，则2ba-=2，又f （x ）的最大值为4，可得0a <且(2)4f =，即4234a b ++=，解得a 14=-，1b =，此时21()34f x x x =-++若选择③ 函数f （x ）的单调递减区间是1[2+∞，），可得f （x ）关于x 12=对称，则122b a -=，又()f x 的最大值为4，可得0a <且142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即113442a b ++=解得4a b ==-，此时2()434f x x x -=-+例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()f x 满足(1)(3)3,(1)1f f f -===-．（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，求a 的取值范围．【答案】（1）2()2f x x x =-；（2）[1,2]. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式，设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，根据已知条件建立方程组，从而可求出解析式；（2）根据()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，(1)1f =-，从而函数()f x 的对称轴在区间[1,1]a a -+上，1a +离对称轴远，建立关系式，从而求出a 的范围【详解】（1）设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，则 (1)3(3)933(1)1f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩解之得：1,2,0a b c ==-=2()2f x x x ∴=- （2）根据题意：111(1)11(1)a a a a -≤≤+⎧⎨+-≥--⎩解之得：12a ≤≤a ∴的取值范围为[]1,2例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2(1)2f x x x =++ (2)913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据0∆≤，结合(1)0f -=可解；（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得. (1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++，因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++. (2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【方法技巧与总结】“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（） A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x > B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x < C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x = D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >【答案】B 【解析】【分析】根据题目条件，画出函数草图，即可判断. 【详解】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =【答案】D 【解析】【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性. 【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()()222nf x n n x n Z =+-∈在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（） A ．1或3- B ．1 C ．1- D ．3-【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数的定义和单调性求得n 的值. 【详解】依题意()f x 是幂函数，所以22221230n n n n +-=⇒+-=，解得1n =或3n =-. 当1n =时，()f x x =在()0,∞+递增，不符合题意.当3n =-时，()3f x x -=在()0,∞+递减，符合题意.故选：D4．（2022·全国·高三专题练习（理））设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R ，且该函数为奇函数的α值为（） A ．1或3 B ．1-或1C ．1-或3D ．1-、1或3【答案】A 【解析】【分析】由幂函数的相关性质依次验证得解. 【详解】因为定义域为R ，所以0α>，12α≠，又函数为奇函数，所以2α≠，则满足条件的1α=或3. 故选:A5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（） A ．(),0-∞ B ．()(),00,-∞⋃+∞ C ．()0,∞+ D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域. 【详解】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，23(0)f x x ∴==，∴()f x 的值域是[)0,+∞.故选：D.6．（2022·北京·高三专题练习）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．7．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()mn f x x = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（）A ．m ，n 是奇数，且mn<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的图像和性质利用排除法求解【详解】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）已知3,0()3,0x xx f x e x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为（） A ．72(,)2e e-- B ．72](,2e e--C ．72(,)(,)2e e -∞--+∞D ．72(,(,2])e e-∞--+∞【答案】A 【解析】【分析】利用导数研究分段函数()f x 的性质，作出函数图形，数形结合得到124010t t e -<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果. 【详解】因为0x ≥时，()xx f x e =，则1()x xf x e-'=，令()0f x '=，则1x =，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，则()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减；且(0)0f =，1(1)f e=，x →+∞时，()0f x →；0x <时，3()3f x x x =-，则2()33f x x =-'，令()0f x '=，则1x =-，所以()1,0x ∈-时，()0f x '>，则()f x 单调递增；(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；且(0)0f =，(1)4f -=-，x →-∞时，()f x →+∞；作出()f x 在R 上的图象，如图：关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，令()f x t =，则2210t kt --=有两个不同的实根12121,02t t t t =-<，，所以124010t t e-<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，令()221g t t kt =--，则()()280400010k g g g e ⎧∆=+>⎪->⎪⎪<⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得722k e e -<<-，故选：A. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】BC 【解析】【分析】画出函数244y x x =--的图象，结合值域可得实数a 的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确. 故选： BC.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()3232x x f x =-⋅+，定义域为M ，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的是（） A ．[]30,log 2M = B ．(]3,log 2M ⊆-∞ C ．3log 2M ∈ D ．0M ∈【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，令3x t =，则()222g t t t =-+，结合()g t 的值域为[1,2]，求出t 的取值范围，进而区间M 的特征，即可得到正确选项. 【详解】令3x t =(0)t >，则222()323222(1)1()x x f x t t t g t =-⋅+=-+=-+=，由()1g t =，得1t =，即31x =，得0x =；由()2g t =，得0=t （舍）或2，即3log 2x =；根据()g t 的图象特征，知0M ∈，3log 2M ∈，(]3log 2M ⊆-∞，. 故选：BCD ．11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（） A ．e e m n > B ．11n n m m +>+ C ．()ln 0m n -> D ．20212021m n <【答案】AC 【解析】【分析】先判断函数()f x 的奇偶性及单调性结合不等式()()2320f m n f n -+->可得,m n 所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐项判断. 【详解】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，因为()2310f x x '=+>，所以()f x R 上单调递增，由()()2320f m n f n -+->，得()()()2322f m n f n f n ->--=-，所以232m n n ->-，即1m n ->，m n >，因为x y e =在R 上是增函数，所以m n e e >，故A 正确；因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以ln()0m n ->，故C 正确；因为2021y x =在R 上是增函数，所以20212021m n >，故D 错误；令2,0m n ==，可验证B 错误. 故选：AC12．（2022·全国·高三专题练习）设点(),x y 满足()55340x y x x y ++++=．则点(),x y （） A ．只有有限个 B ．有无限多个C ．位于同一条直线上D ．位于同一条抛物线上【答案】BC 【解析】【分析】由已知得()()()()5533x y x y x x +++=-+-，根据5y x x =+的单调性有3x y x +=-，即可知(),x y 的性质.【详解】由题意，可得()()()()5533x y x y x x +++=-+-，又5y x x =+单调递增，得3x y x +=-，则40x y +=，故满足条件的点(),x y 有无穷多个，且都在直线40x y +=上．故选：BC 三、填空题13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______． ①()()f x f x -=；②当()0,x ∞∈+时，()0f x >； ③()()()1212f x x f x f x =⋅；【答案】2x （答案不唯一）；【解析】【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式. 【详解】由所给性质：()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上恒正的偶函数，且()()()1212f x x f x f x =⋅，结合偶数次幂函数的性质，如：2()f x x =满足条件. 故答案为：2x （答案不唯一）14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈112,1,,,1,2,322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.若幂函数f (x )＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 【答案】-1 【解析】【分析】根据幂函数()f x x α=，当α为奇数时，函数为奇函数，0α<时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【详解】解：∵幂函数f (x )＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f (x )＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1. 故答案为：-1.15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数21()2f x x ax =++，()lng x x =-，用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,2⎛- ⎝【解析】【分析】分析函数21()2f x x ax =++的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.【详解】函数21()2f x x ax =++恒过点1(0,)2，且其图象开口向上，()ln g x x =-的零点为1，当21()2f x x ax =++的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>的零点至多有两个，不符合题意，故要使()h x 恰有3个零点，则函数()f x 在区间(0,1)上存在两个零点，如图示，故20121(1)1021Δ402a f a a ⎧<-<⎪⎪⎪=++>⎨⎪⎪=-⨯>⎪⎩解得32a -<<故答案为：3,2⎛- ⎝16．（2022·全国·高三专题练习）93,42M ⎛⎫⎪⎝⎭是幂函数()a f x x 图象上的点，将()f x 的图象向上平移32个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若点(,)n T n m （*n ∈N ，且2n ）在()g x 的图象上，则239MT MT MT +++=______. 【答案】30 【解析】【分析】先求出函数()y g x =的解析式，得到23()2m n -=，从而得到()724n MT n n =-≥，对239MT MT MT +++利用分组求和法求和即可. 【详解】由39()24α=，得12α=，()12f x x =，123()2g x x =+.因为点(,)n m 在函数()g x 上，所以1232m n -=，即23()2m n -=.所以n MT ==7(2)4n n =-≥，所以239777(2)(3)(9)444MT MT MT +++=-+-+⋯+-7(239)84=+++-⨯811142⨯=- 30=.故答案为：30. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式3381050(1)1x x x x +-->++．【答案】()()211-∞--，，．【解析】【分析】不等式变形为33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，将21x +视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函数()35f x x x =+，然后由函数的单调性解不等式．【详解】令()35f x x x =+，易知()f x 在R 上单调递增．原不等式变形为33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，即()21f f x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭．由()f x 在R 上单调递增得21x x >+，解得2x <-或11x -<<．所以原不等式的解集为()()211-∞--，，． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减. 【答案】（1）()2f x x =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由幂函数的系数为1得2441+-=m m ，再根据函数为0,增函数得1m =；（2）由（1）得()216g x x x=+，再根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）解：由题可知：2441+-=m m ，解得1m =或5m =-. 若1m =，则()2f x x =在区间0,上单调递增，符合条件；若5m =-，则()4f x x -=在区间0,上单调递减，不符合条件.故()2f x x =.（2）证明：由（1）可知，()216g x x x=+. 任取1x ，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()22121212121212161616g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+--=-+-⎢⎥⎣⎦. 因为1202x x <<<，所以120x x -<，124x x +<，12164x x >，所以()()121212160x x x x x x ⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦，即()()12gx g x >，故()g x 在区间()0,2上单调递减.【点睛】。

第二章函数2-6幂函数与函数的图象变换

第2章第6节一、选择题1．(文)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 由f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴α<0y ＝x －2＝1x 2是偶函数，y ＝x －12＝1x ，在定义域(0，＋∞)上是非奇非偶函数，y ＝x －1是奇函数，∴α＝－1，∴选A.(理)幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，①D ．⑤，①[答案] D2．(09·福建)下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x[答案] A [解析] ∵y ＝1x 的定义域为(0，＋∞)．故选A.3．(文)(09·安徽)设a b 时，y >0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿过偶次不穿可知，只有C 正确，故选C.解法二：∵y ＝(x －a )2(x －b )，a b 时，y >0，排除A 、B ；a <x 32时，函数为减函数，当x <32函数为增函数，所以选A.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4 x ≤1x 2－4x ＋3 x >1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 由图象易知有3个交点．器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()[答案] B[解析]由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.(理)(2010·东营质检)函数y＝|x|与y＝x2＋1在同一坐标系的图象为()[答案] A[解析]由y＝x2＋1得，y2－x2＝1(y≥1)，它表示焦点在y轴上的等轴双曲线的上支，它以y＝±x的其渐近线，故选A.6．(2010·山东泰安质检)定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①f (0)＝1；②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>1.其中正确的命题是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④D ．①③[答案] B[解析] 将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象．∵在y ＝f (x ＋1)的图象上，当x <－1时，f (x )>1，∴在y ＝f (x )的图象上，当x <0时，f (x )>1，∵y ＝f (x ＋1)的图象过点(－1,1)，∴f (0)＝1，故选B.7．(2010·温州十校联考)函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( )A ．2 B.23 C.13D ．1[答案] B[解析] 由题可知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[13，1]，所以b －a的最小值为23.故选B.8．(2010·湖南理，8)有min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[答案] D[解析] 如图，要使f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t ＝1.9．若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图，则f (x )·g (x )的图象可能是( )[答案] C[解析] 由f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可知f (x )·g (x )为奇函数，x ∈(－3,0)时，f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (x )>0，故选C.10．(文)(2010·山东济南、芜湖十二中)函数y ＝x |x |·a x (a >1)的图象的基本形状是( )[答案] A[解析] 当x >0时，y ＝a x (a >1)为增函数，当x <0时，y ＝－a x (a >1)，为减函数，故选A.(理)(2010·山东省实验中学)设函数f (x )＝ax ＋bx 2＋c的图象如图，则a 、b 、c 满足( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a[答案] D[解析] f (x )的图象关于y 轴对称，∴a ＝0，∵y ＝x 2＋c 在(0，＋∞)上单增，又f (x )＝bx 2＋c 在(0，＋∞)上单减，且f (x )定义域为R ，∴b >0，c >0，又f (0)＝bc>1，∴b >c ，故选D.二、填空题11．(文)(2010·通州市模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．[答案] 2[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴12＝2α，∴α＝－1， ∴f (x )＝x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2.(理)(2010·芜湖十二中)幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是______．[答案] 13[解析] ∵f (x )＝x α过点⎝⎛⎭⎫－2，－18，∴(－2)α＝－18，∴α＝－3.由f (x )＝27得，x －3＝27，∴x ＝13.12．函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，x 0所在区间是(a ，b )，a 、b 为相邻的整数，则a ＋b ＝______.[答案] 3[解析] ∵y 1＝x 3单调增，y 2＝⎝⎛⎭⎫12x －2单调减，当x ＝1时，y 1＝1，y 2＝2，y 1<y 2；当x ＝2时，y 1＝8，y 2＝1，y 1>y 2，∴两函数图象交点坐标x 0∈(1,2)，故a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3.13．若f (x )＝ax ＋2x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] a >1[解析] f (x )＝ax ＋2x ＋2＝a (x ＋2)＋2(1－a )x ＋2＝2(1－a )x ＋2＋a .∵f (x )在(－2，＋∞)上为增函数， ∴1－a <0，即a >1.14．(2010·常德市调研)设P 表示使幂函数y ＝xc 2－5c ＋6在(0，＋∞)上是增函数的c 的集合；Q 表示不等式|x －1|＋|x －2c |>1对任意x ∈R 恒成立的c 的集合，则P ∩Q ＝________.[答案] (－∞，0)∪(1,2)∪(3，＋∞)[解析] ∵幂函数y ＝xc 2－5c ＋6在(0，＋∞)上是增函数，∴c 2－5c ＋6>0，即P ＝(－∞，2)∪(3，＋∞)，又不等式|x －1|＋|x －2c |>1对任意x ∈R 恒成立， ∴|2c －1|>1，∴c >1或c <0，即Q ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，∴P ∩Q ＝(－∞，0)∪(1,2)∪(3，＋∞)．三、解答题15．已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135.(1)证明f (x )是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，并由此概括一个涉及函数f (x )，g (x )的对所有非零实数x 都成立的不等式，并证明．[解析] (1)证明：因为f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )13－(－x )－135＝－x 13－x －135＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．设x 1<x 2，x 1，x 2∈(0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝x 131－x －1315－x 13－x －1325＝15(x 131－x 131)(1＋1x 131·x 132)，因为x 131－x 132<0,1＋1x 131·x 132>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)g (3)＝0，由此可得对所有非零实数x 都成立的一个等式是f (x 2)－5f (x )g (x )＝0.证明如下：f (x 2)－5f (x )g (x )＝x 23－x －235－5·x 13－x －135·x 13＋x －135＝15(x 23－x －23)－15(x 23－x －23)＝0.16．(文)(北京丰台)已知函数g (x )＝(a －2)x (x >－1)，函数f (x )＝ln(1＋x )＋bx 的图象如图所示．(1)求b 的值；(2)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间． [解析] (1)f ′(x )＝11＋x ＋b ，由题图可知f ′(－0.5)＝0⇒b ＝－2. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－2x －(a －2)x ＝ln(1＋x )－ax .F ′(x )＝11＋x－a .令F ′(x )＝11＋x －a >0，因为x ＋1>0，所以ax <1－a .当a >0时，F ′(x )>0⇒－1<x <1a－1，故函数F (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a－1，单调减区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞. 当a ≤0时，F ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，故函数F (x )的单调增区间是(－1，＋∞)；综上所述：当a >0时，函数F (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1，单调减区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞.当a ≤0时，函数F (x )的单调增区间是(－1，＋∞)．(理)(2010·山东滨州质检)已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)且幂函数g (x )＝xm 2－m －2(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )； ③f (x )<g (x )．[解析] (1)设f (x )＝x α，∵f (x )的图象过点(2，2)， ∴2＝(2)α，∴α＝2，∴f (x )＝x 2；又g (x )＝xm 2－m －2的图象与x 轴、y 轴都无公共点， ∴m 2－m －2≤0，∴－1≤m ≤2.∵m ∈Z ，∴m ＝0或±1或2，当m ＝0或1时，g (x )＝x－2是偶函数，图象关于y 轴对称，当m ＝－1或2时，y ＝x 0也满足，故g (x )＝x －2或g (x )＝x 0.(2)若g (x )＝x 0＝1，则由f (x )>g (x )得，x 2>1，∴x >1或x <－1.故x >1或x <－1时，f (x )>g (x )，x ＝±1时，f (x )＝g (x )，－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )．若g (x )＝x －2，则由f (x )>g (x )得，x 2>1x2，∴x 4>1，∴x >1或x <－1，故当x >1或x <－1时，有f (x )>g (x )；当x ＝±1时，f (x )＝g (x )；当－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )．综上知，x >1或x <－1时，f (x )>g (x )；x ＝±1时，f (x )＝g (x )；－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )． 17．(文)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋122.(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. [解析] (1)对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立，当x ＝1时，f (1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤⎝⎛⎭⎫1＋122＝1， ∴1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1.(2)证明：∵f (1)＝1，f (－1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝1， a －b ＋c ＝0，∴b ＝12∴a ＋c ＝12.∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立， ∴ax 2－12x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎨⎧a >0Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0ac ≥116，∴c >0，故a >0，c >0.(3)证明：∵a ＋c ＝12，ac ≥116，由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤116，∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f (x )＝142＋12x ＋14.∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m x ＋14＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]．∵g (x )在[－1,1]上是单调函数，∴2m －1≤－1或2m －1≥1，∴m ≤0或m ≥1.(理)如图所示，定义在区间D 上的函数f (x )，如果满足：对∀x ∈D ，∃常数A ，都有f (x )≥A 成立，则称函数f (x )在D 上有下界，其中A 称为函数的下界．(1)试判断函数f (x )＝x 3＋48x在(0，＋∞)上是否有下界？并说明理由；(2)已知某质点的运动方程为S (t )＝at －2t ＋1，要使在t ∈[0，＋∞)上的每一时刻，该质点的瞬时速度是以12为下界的函数，求实数a 的取值范围．[分析] 第(1)问可以转化为求函数在指定区间上是否有最小值，若有最小值，此最小值就是下界值；第(2)问转化为不等式恒成立的问题进行解决即可，也就是转化为最值来解决．[解析] (1)由f (x )＝x 3＋48x 得，f ′(x )＝3x 2－48x 2＝3x2x 4－16)，当x ∈(0，＋∞)时，由f ′(x )＝0得，x ＝2是f (x )的极小值点，也是惟一的极小值点，所以x ∈(0，＋∞)时，f min (x )＝f (2)＝32，即函数f (x )＝x 3＋48x在(0，＋∞)上有下界，下界是32.(2)在t ∈[0，＋∞)上的每一时刻，该质点的瞬时速度v ＝S ′(t )＝a －1t ＋1，依题意得对∀t ∈[0，＋∞)有a －1t ＋1≥12，即a ≥1t ＋1＋12对∀t ∈[0，＋∞)恒成立．所以a ≥32。

高中幂函数与二次函数知识点+例题+练习含答案

教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。

专题07 幂函数、函数的应用(重难点突破)原卷版附答案.docx

专题07 幂函数、函数应用（重难点突破）一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理重难点一幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如y＝xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增；③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减.三、重难点题型突破重难点1 求幂函数的解析式幂函数的解析式是一个幂的形式,且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1．已知幂函数()y f x =的图象过点1(,22,则4log (2)f 的值为（） A ．14-B ．14C ．2-D ．2例2.（2020·河北衡水中学调研）幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数,则实数m 的值为（） A ．0B ．1C ．1或2D ．2例3.（2020·陕西省高二期末（文））若函数()223()1m m f x m m x+-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的,则m =（）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．3【变式训练1】.（2020·河南省实验中学模拟）幂函数y ＝f (x )经过点(3,3),则f (x )是( )A ．偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数B ．偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数C ．奇函数,且在(0,＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数【变式训练2】.(2020·四川成都模拟)已知幂函数f(x)＝xα,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞,1)C．(0,＋∞)D．(－∞,0)重难点2 幂函数的图像及其性质的应用 (二) 幂函数的图像及其性质的应用1．幂函数y =x α的图象与性质,由于α值的不同而比较复杂,一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时,图象过原点,在第一象限的图象上升；当α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时,幂函数y =x α在第一象限的图象特征如下：2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较.例4.（2020·山东临沂一中质检）幂函数y ＝x (m ∈Z)的图象如图所示,则m 的值为( )2-2-3m mA ．－1B ．0C ．1D ．2例5．有四个幂函数：①()1f x x -=；②()2f x x -=；③()3f x x =；④()13f x x =.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y y ∈R ,且}0y ≠；（3）在(),0-∞上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是（） A ．① B ．② C ．③D ．④【变式训练1】．已知点(2,8)在幂函数()nf x x =的图象上,设,(ln ),2a f b f c f π⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c < ⎪⎝⎭(3)当x∈(－3,4]时,求函数g(x)＝log2f(x)＋x2－6的值域．例7．（2017·全国高一课时练习）已知函数f(x)=x2−x＋k,且log2f(a)=2,f(log2a)=k,a＞0,且a≠1.（1）求a,k的值；（2）当x为何值时,f(log a x)有最小值？求出该最小值．【变式训练1】．（2019·江苏省金陵中学高一期中）若函数满足.（1）求的值及的解析式；（2）试判断是否存在正数,使函数在区间上的取值范围为区间 ?若存在,求出正数的值；若不存在,请说明理由.()()22kk f x x k N -++=∈()()23f f <k ()f x q ()()()121g x qf x q x =-+-[]1,2-174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦q四、课堂定时训练（45分钟）1．若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭,则该函数的图像（） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称 2．幂函数()y f x =图象过点11(,)42,则[(9)]f f =（）AB ．3C ．13D3．幂函数()y f x =的图象经过点,则()f x 是（） A ．偶函数,且在(0,)+∞上是增函数B ．偶函数,且在(0,)+∞上是减函数C ．奇函数,且在(0,)+∞上是减函数D ．非奇非偶函数,且在(0,)+∞上是增函数4．已知函数是幂函数且是上的增函数,则的值为( ) A ．2B ．－1C ．－1或2D ．05．满足的实数m 的取值范围是（）.A ．B ．C ．D ．6．若幂函数的图像过点,则不等式的解集为（）A ．B ．()253()1m f x m m x --=--(0,)+∞m 1133(1)(32)m m --+<-23,32⎛⎫⎪⎝⎭23,1,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭()f x (4,2)()2()f x f x <(,0)(1,)-∞⋃+∞(0,1)C ．D ．7．（2020·黑龙江省鹤岗一中高二期末（文））幂函数()2f x x -=的单调增区间为______.8．（2020·上海高一课时练习）函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为__________．9．（2020·浙江省高二期中）幂函数()f x 的图像经过点(4,2)P ,则(9)f =_______.10．（2020·上海高一课时练习）函数()f x 既是幂函数又是二次函数,则()f x =_________；函数()g x 既是幂函数又是反比例函数,则()g x =_________．11．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--⋅,求此幂函数的解析式,并指出其定义域.专题07 幂函数、函数应用（重难点突破）五、知识结构思维导图(,0)-∞(1,)+∞六、学法指导与考点梳理重难点一幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如y＝xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增；③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减.七、重难点题型突破重难点1 求幂函数的解析式幂函数的解析式是一个幂的形式,且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,则4log (2)f 的值为（） A ．14-B ．14C ．2-D ．2【参考答案】B【解析】设幂函数的表达式为()nf x x =,则12n⎛⎫=⎪⎝⎭,解得12n =, 所以()12f x x=,则()11224421111log 2log 2log 22224f ===⨯=.故参考答案为B.【点睛】本题考查了幂函数,以及对数的运算,属于基础题．例2.（2020·河北衡水中学调研）幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数,则实数m 的值为（） A ．0B ．1C ．1或2D ．2【参考答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数,所以2211m m -+=,解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数,所以210m ->,即12m >,所以2m =. 故选D.例3.（2020·陕西省高二期末（文））若函数()223()1m m f x m m x+-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的,则m =（）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．3【参考答案】A 【解析】函数()223()1m m f x m m x+-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的,则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩,解得1m =-．故选：A ．【变式训练1】.（2020·河南省实验中学模拟）幂函数y ＝f (x )经过点(3,3),则f (x )是( )A ．偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数B ．偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数C ．奇函数,且在(0,＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数【参考答案】D【解析】设幂函数的解析式为y ＝x α,将(3,3)代入解析式得3α＝3,解得α＝12,∴y ＝x 12,其是非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数．故选D ．【变式训练2】.(2020·四川成都模拟)已知幂函数f (x )＝x α,当x >1时,恒有f (x )<x ,则α的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞,1)C ．(0,＋∞)D ．(－∞,0)【参考答案】B【解析】当x >1时,恒有f (x )<x ,即当x >1时,函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方,作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象,由图象可知(图略)α<1时满足题意．故选B重难点2 幂函数的图像及其性质的应用 (二) 幂函数的图像及其性质的应用1．幂函数y =x α的图象与性质,由于α值的不同而比较复杂,一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时,图象过原点,在第一象限的图象上升；当α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时,幂函数y =x α在第一象限的图象特征如下：2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较.例4.（2020·山东临沂一中质检）幂函数y ＝x (m ∈Z)的图象如图所示,则m 的值为( )2-2-3m mA ．－1B ．0C ．1D ．2【参考答案】C【解析】从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m 2－2m －3＜0,即－1＜m ＜3；又从图象看,函数是偶函数,故m 2－2m －3为负偶数,将m ＝0,1,2分别代入,可知当m ＝1时,m 2－2m －3＝－4,满足要求．例5．有四个幂函数：①()1f x x -=；②()2f x x -=；③()3f x x =；④()13f x x =.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y y ∈R ,且}0y ≠；（3）在(),0-∞上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是（） A ．① B ．② C ．③ D ．④【参考答案】B【解析】①()1f x x -=只满足值域是{y y ∈R ,且}0y ≠；③()3f x x =只满足在(),0-∞上是增函数；④()13f x x =只满足在(),0-∞上是增函数；②()2f x x -=是偶函数,在(),0-∞上是增函数,但其值域是{}0y y >.故选：B.【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性、值域和奇偶性,考查分析与推理的能力,属于基础题.【变式训练1】．已知点(2,8)在幂函数()nf x x =的图象上,设,(ln ),2a f b f c f π⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <=,02-==<,ln 2π<< 由3()f x x =在R 上递增,可得：(ln )f f f π<<⎝⎭⎝⎭,所以a c b <<.、ln π三个数的大小时,引入中间变量1,这是比较大小的常用方法.重难点3 复合函数例6．（2018·全国高一课时练习）已知函数f (x )＝a ＋b x (b ＞0,b ≠1)的图像过点(1,4)和点(2,16)．(1)求f (x )的表达式．(2)解不等式231()2x f x -⎛⎫>⎪⎝⎭(3)当x ∈(－3,4]时,求函数g (x )＝log 2f (x )＋x 2－6的值域．【参考答案】（1）f (x )＝4x .（2）(－1,3)．(3)[－7,18]．【解析】解：(1)由题知24,16,a b a b =+⎧⎨=+⎩所以0,4,a b =⎧⎨=⎩或7,3,a b =⎧⎨=-⎩(舍去)．所以f (x )＝4x .(2)因为4x＞12⎛⎫⎪⎝⎭3－x2,所以22x＞2x2－3.所以2x＞x2－3.所以x2－2x－3＜0.所以－1＜x＜3.所以不等式的解集为(－1,3)．(3)g(x)＝log24x＋x2－6＝log222x＋x2－6＝2x＋x2－6＝(x＋1)2－7.因为－1∈(－3,4],所以g(x)min＝－7,当x＝4时,g(x)max＝18.所以值域为[－7,18]．例7．（2017·全国高一课时练习）已知函数f(x)=x2−x＋k,且log2f(a)=2,f(log2a)=k,a＞0,且a≠1.（1）求a,k的值；（2）当x为何值时,f(log a x)有最小值？求出该最小值．【参考答案】（1）；（2）时,f(log a x)有最小值.【解析】（1）因为,所以,又a＞0,且a≠1,所以.（2）f(log a x)=f(log2x)=(log2x)2−log2x＋2=(log2x−)2＋.所以当log 2x=,即时,f(log a x)有最小值.【变式训练1】．（2019·江苏省金陵中学高一期中）若函数满足.（1）求的值及的解析式；（2）试判断是否存在正数,使函数在区间上的取值范围为区间 ?若存在,求出正数的值；若不存在,请说明理由.【参考答案】（1）或,；（2）存在.【解析】(1)∵,∴．故,解得. 又∵,∴或.当或时,,∴.(2) 存在,求解如下：假设存在满足题设,由(1)知,,∵,∴两个最值点只能在和处取得, ()()22kk f x x k N -++=∈()()23f f <k ()f x q ()()()121g x qf x q x =-+-[]1,2-174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦q 0k =1k =()2f x x =2q()()23f f <22213k k -++⎛⎫<⎪⎝⎭220k k -++>12k -<<k Z ∈0k =1k =0k =1k =222k k -++=()2f x x =2q 0q >()()[]2211,1,2g x qx q x x =-+-+∈-()21g =-1x =-212q x q-=,, 而, ∴,即,此时,故符合题意．()123g q -=-2214124q q g q q ⎛⎫-+=⎪⎝⎭()()224121411230244q q q g g q q q q -⎛⎫-+--=-+=≥ ⎪⎝⎭()()min 1234g x g q =-=-=-2q()2max411748q g x q +==2q八、课堂定时训练（45分钟）1．若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭,则该函数的图像（） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称【参考答案】B【解析】设()f x x α=,依题意可得1()42α=,解得2α=-,所以2()f x x -=,因为22()()()f x x x f x ---=-==,所以()f x 为偶函数,其图象关于y 轴对称.故选：B.2．幂函数()y f x =图象过点11(,)42,则[(9)]f f =（）A B ．3 C ．13D 【参考答案】A【解析】设()y f x x α==,因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42,所以有11()24α=,解得12α=,所以12()y f x x ===,因为(9)3f ==,所以[(9)](3)f f f ==故选：A3．幂函数()y f x =的图象经过点,则()f x 是（） A ．偶函数,且在(0,)+∞上是增函数B ．偶函数,且在(0,)+∞上是减函数C ．奇函数,且在(0,)+∞上是减函数D ．非奇非偶函数,且在(0,)+∞上是增函数【参考答案】D【解析】设幂函数()af x x =,因为图象经过点,所以3a =,12a =. 故()12f x x=,因为0x ≥,所以()f x 为非奇非偶函数,且在(0,)+∞上是增函数.故选：D4．已知函数是幂函数且是上的增函数,则的值为( ) A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0【参考答案】B 【解析】由题意得, 故选：B.5．满足的实数m 的取值范围是（）.A ．B ．C ．D ．【参考答案】D 【解析】幂函数在为减函数,且函数值为正,在为减函数,且函数值为负,等价于,()253()1m f x m m x --=--(0,)+∞m 211,530,1m m m m --=-->∴=-1133(1)(32)m m --+<-23,32⎛⎫⎪⎝⎭23,1,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭13y x-=(0,)+∞(,0)-∞1133(1)(32)m m --+<-或或, 解得或或, 所以不等式的解集为. 故选：D.6．若幂函数的图像过点,则不等式的解集为（） A ． B ．C ．D ．【参考答案】D【解析】设幂函数的解析式为, ∵幂函数的图象过点,∴,∴,∴,∴的定义域为,且单调递增, ∵等价于,解得, ∴的解集为. 故选：D .7．（2020·黑龙江省鹤岗一中高二期末（文））幂函数()2f x x -=的单调增区间为______. 320132m m m ->⎧⎨+>-⎩10132m m m +<⎧⎨+>-⎩32010m m ->⎧⎨+<⎩2332m <<m ∈∅1m <-23(,1),32⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭()f x (4,2)()2()f x f x <(,0)(1,)-∞⋃+∞(0,1)(,0)-∞(1,)+∞()f x x α=()f x (4,2)24α=12α=12()f x x =()f x [0,)+∞()2()f x f x <20x x x ≥⎧⎨>⎩1x >()2()f x f x <(1,)+∞【参考答案】(),0-∞【解析】因为幂函数()2f x x -=在()0,∞+是减函数,又因为函数()221f x x x-==是偶函数,所以函数在(),0-∞是增函数.故参考答案为：(),0-∞8．（2020·上海高一课时练习）函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为__________．【参考答案】1(,]8-∞-【解析】因为幂函数3y x -=在区间[2,0)-上为减函数,所以当2x =-时,函数取得最大值18-,又当0x →时,y →-∞,所以函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为1(,]8-∞-. 故参考答案为：1(,]8-∞-.9．（2020·浙江省高二期中）幂函数()f x 的图像经过点(4,2)P ,则(9)f =_______.【参考答案】3【解析】设幂函数()f x x α=,()f x 图像经过点(4,2)P ,42α∴=,12α∴=, ()12f x x ∴=,()12993f ∴==.故参考答案为：310．（2020·上海高一课时练习）函数()f x 既是幂函数又是二次函数,则()f x =_________；函数()g x 既是幂函数又是反比例函数,则()g x =_________．【参考答案】2x 1x -【解析】因为()f x 是幂函数,所以设()f x x α=（α为常数）,又因为()f x 又是二次函数,所以2α=,即2()f x x =因为()g x 是幂函数,所以设()g x x β=（β为常数）,又因为()g x 又是反比例函数,所以1β=-,即1()g x x -=故参考答案为：2x ；1x -11．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅,求此幂函数的解析式,并指出其定义域.【参考答案】3y x -=或0y x =,{|0}x x ≠.【解析】2223(1)m m y m m x --=--为函数,211m m ∴--=,解得2m =或1m =-.当2m =时,2233m m --=-,则3y x -=,且有0x ≠；当1m =-时,2230m m --=,则0y x =,且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =,它们的定义域都是{|0}x x ≠.知识改变命运。

高考数学总复习 26 幂函数与函数的图象变换新人教B版

2-6 幂函数与函数的图象变换基础巩固强化1.已知点(33，3)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 [答案] A[解析] 设f (x )＝x α，则(33)α＝3，即3－12 α＝312 ，故α＝－1，因此f (x )＝x －1，所以f (x )是奇函数．故选A.2．(文)函数y ＝x 35在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数[答案] A[解析] ∵35的分子分母都是奇数，∴f (－x )＝(－x ) 35 ＝－x 35 ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又35>0，∴f (x )在第一象限内是增函数，又f (x )为奇函数，∴f (x )在[－1,1]上是增函数．(理)设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且该函数为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3[答案] A[解析] 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1或3.3．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[分析] a 、b 的指数相同，可以构建幂函数，使用幂函数的单调性比较大小，再构造对数函数以确定c 与1的大小关系，然后综合作出判断．[解析] 根据幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上单调递减，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .故选C.4．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x 、y ＝1、x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 32的图象经过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，②D ．⑤，①[答案] C[解析] y ＝x 32是增函数，∵32>1，∴其图象向下凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域②，⑥.5．给出以下几个幂函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)，其中f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 12 ，f 4(x )＝1x.若g i (x )＝f i (x )＋3x (i ＝1,2,3,4)．则能使函数g i (x )有两个零点的幂函数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] 函数g i (x )的零点就是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根，也就是函数f i (x )与y＝－3x 的图象的交点，作出函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)的图象，可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i (x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.6．(·青岛一中模拟)函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] A[解析] 由题意知m 2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，又由题意知m 2－2m －3<0，得m ＝2.故选A.7．(文)幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f ′(8)的值为________．[答案] －264[解析] 设f (x )＝x α，由条件知12＝4α，∴α＝－12，∴f (x )＝x －12 ，∴f ′(x )＝－12x －32 ，∴f ′(8)＝－264.(理)若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，设它在A 点处的切线为l ，则过点A 与l 垂直的直线方程为________．[答案] 4x ＋4y －3＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x 12 ，∴f ′(x )＝12x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，故切线的斜率为1，从而与l 垂直的直线斜率为－1，故过A 与l 垂直的直线方程为y －12＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即4x ＋4y －3＝0.8．已知函数f (x )＝x 1－a3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a ＝________.[答案] 3[解析] ∵f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}， ∴1－a3<0，∴a >1. 又∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴f (x )为偶函数，∵a ∈N ，∴a 的最小值为3.9．(文)(·淮北模拟)已知函数f (x )＝x －1，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________． [答案] (－∞，－1)∪(3,5)[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，10－2a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，10－2a <0，a ＋1>10－2a ，∴a <－1或3<a <5. (理)若函数f (x )＝dax 2＋bx ＋c(a 、b 、c ，d ∈R )，其图象如图所示，则a :b :c :d ＝________.[答案] 1:(－6):5:(－8) [解析] 由图象知，x ≠1且x ≠5，故ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1,5.∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝6，c a ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6a ，c ＝5a ，又f (3)＝2，∴d ＝18a ＋6b ＋2c ＝－8a . 故a :b :c :d ＝1:(－6):5:(－8)．10．函数f (x )＝2x和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1、C 2分别对应哪一个函数？(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a 、b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a 、b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f (8)、g (8)、f ()、g ()四个数按从小到大的顺序排列．[解析] (1)C 1对应函数g (x )＝x 3，C 2对应函数f (x )＝2x.(2)由于交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )，显然有h (1)＝f (1)－g (1)＝1>0，h (2)＝f (2)－g (2)＝－4<0，h (9)＝29－93＝－217<0，h (10)＝24>0，∴x 1∈[1,2]，x 2∈[9,10]，∴a ＝1，b ＝9.(3)由幂函数及指数函数增长率可知，f (8)<g (8)<g ()<f (). 能力拓展提升11.(文)y ＝|x －13|的图象为( )[答案] A[解析] y ＝|x －13|为偶函数，故选A.(理)(·潍坊市高三模拟)定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b ，b a <b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y＝f (x ＋1)的大致图象是( )[答案] B[解析] 如图．在同一坐标系内分别作出y ＝2x与y ＝3－x 的图象，据已知函数f (x )的定义知，相同x 对应的上方图象即为函数f (x )的图象(如实线部分所示)，然后将其图象左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象，故选B.12．(文)幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定 [答案] A[解析] 由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，∴13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α，23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13β，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13αβ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13βα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＝13，∴αβ＝1.故选A. (理)函数y ＝a x＋b 的图象如图所示，则函数y ＝b ＋1x ＋a的大致图象为( )[答案] C[解析] 由函数y ＝a x＋b 的图象知0<a <1，b <－1， ∵函数y ＝b ＋1x ＋a 的图象可视作函数y ＝1x的图象，向左平移a 个单位，向下平移－b 个单位得到的图象，即其中心(－a ，b )应位于第三象限，故选C.13．(·湖北重点中学联考)已知a ＝ln 1－1，b ＝ln 1－1，c ＝ln 1－1，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a[答案] A[解析] 记f (x )＝ln x －x ，则 f ′(x )＝1x －1＝1－xx ，当0<x <1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,1)上是增函数． ∵1>1>1>1>0，∴a >b >c ，选A.14．(文)函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1x ≤0，x 12x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________．[答案] x 0<－1或x 0>1[解析] 当x 0≤0时，不等式可化为2－x 0－1>1，即2－x 0>2，解得x 0<－1；当x 0>0时，不等式可化为x 120>1，解得x 0>1，故x 0的取值范围是x 0<－1或x 0>1.(理)在y ＝(12)x ，y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝x 23四个函数中，当0<x 1<x 2<1时，使f (x 1＋x 22)>f x 1＋f x 22恒成立的函数个数是________．[答案] 2个[解析] 当0<x 1<x 2<1时，使f (x 1＋x 22)>f x 1＋f x 22恒成立，说明函数图形是向上凸的，而所考查函数图象只有y ＝log 2x ，y ＝x 23两个符合要求．15．已知f (x )＝x α(其中α＝1－n 2＋2n ＋3，n 是偶数)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．[解析] 由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3.又n 是偶数，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13.∴f (x )在R 上单调递增． ∴f (x 2－x )>f (x ＋3)转化为x 2－x >x ＋3，解得x <－1或x >3，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 16．(文)已知函数f (x )＝x 13 －x -13 5，g (x )＝x 13 +x -135.(1)证明f (x )是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，并由此概括一个涉及函数f (x )、g (x )的对所有非零实数x 都成立的等式，并证明．[解析] (1)证明：因为f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝＝－x 13 －x -13 5＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．设x 1<x 2，x 1，x 2∈(0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝，∵，∴f (x 1)－f (x 2)<0.故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)g (3)＝0，由此可得对所有非零实数x 都成立的一个等式是f (x 2)－5f (x )g (x )＝0.证明如下：(理)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122.(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. [解析] (1)对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立，当x ＝1时，f (1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝1，∴1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1.(2)证明：∵f (1)＝1，f (－1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝0，∴b ＝12.∴a ＋c ＝12.∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立， ∴ax 2－12x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac ≥116.∴c >0，故a >0，c >0.(3)证明：∵a ＋c ＝12，ac ≥116，由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤116，∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f (x )＝14x 2＋12x ＋14.∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m x ＋14＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]．∵g (x )在[－1,1]上是单调函数，∴2m －1≤－1或2m －1≥1，∴m ≤0或m ≥1.1．(·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1[答案] B[解析] y ＝x 2为偶函数，对应②；y ＝x 12 定义域x ≥0，对应③；y ＝x －1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 3与y ＝x 13 均为奇函数，但y ＝x 3比y ＝x 13 增长率大，故①对应y ＝x 3.2．有min{a ，b }表示a 、b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[答案] D[解析] 如图，要使f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t ＝1.3．(·新课标全国文，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[答案] A[解析] 由y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象(如图)可知，选A.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1x ≤0，f x －1x >0.若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．[答案] (－∞，1)[解析]在同一直角坐标系内画出函数y＝f(x)和y＝x＋a的图象如图可知a <1.5．(·浙江余姚中学模拟)已知实数a、b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b.其中可能的关系式是________．[答案] ②④⑤[解析]由已知log2a＝log3b，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝log3x的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能成立．6．已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)且幂函数g(x)＝xm2－m－2(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称．(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)当x为何值时①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．[解析](1)设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(2，2)，∴2＝(2)α，∴α＝2，∴f(x)＝x2；又g(x)＝xm2－m－2的图象与x轴、y轴都无公共点，∴m2－m－2≤0，∴－1≤m≤2.∵m∈Z，∴m＝0或±1或2，当m＝0或1时，g(x)＝x－2是偶函数，图象关于y轴对称，当m＝－1或2时，y＝x0也满足，故g(x)＝x－2或g(x)＝x0.(2)若g(x)＝x0＝1，则由f(x)>g(x)得，x2>1，∴x>1或x<－1.故x>1或x<－1时，f(x)>g(x)，x＝±1时，f(x)＝g(x)，－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．若g(x)＝x－2，则由f(x)>g(x)得，x2>1x2，∴x4>1，∴x>1或x<－1，故当x>1或x<－1时，有f(x)>g(x)；当x＝±1时，f(x)＝g(x)；当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．综上知，x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；x＝±1时，f(x)＝g(x)；－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．。

幂函数的图像及其与指数关系专题含答案

幂函数的图像及其与指数关系专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 设a =log 314，b =(13)0.3，c =log 2(log 2√2)，则( )A.b <c <aB.a <b <cC.c <a <bD.a <c <b2. 函数y =(m 2+2m −2)x 1m−1是幂函数，则m =( )A.1B.−3C.−3或1D.23. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(3, √3)，则f(9)=( )A.3B.−3C.−√3D.√34. 若幂函数y =(m 2+3m +3)x m2+2m−3的图像不过原点,且关于原点对称,则m 的取值是（）A.m =−2B.m =−1C.m =−2或m =−1D.−3≤m ≤−15. 已知函数f(x)=(m 2−m −1)x −5m−3是幂函数，且在区间(0, +∞)上是增函数，则m 的值为（）A.−1B.2C.2或−1D.0或−16. 如图的曲线是幂函数y =x a 在第一象限内的图象．则a 1，a 2，a 3的大小关系是（）A.a 1>a 2>a 3B.a 1>a 3>a 2C.a 2>a 1>a 3D.a 2>a 3>a 17. 函数y =(13)−x 2+2x 的单调递增区间是（）A.(−∞, 1)B.(0, 1)C.(1, 2)D.(1, +∞)8. 已知幂函数f (x )=x a 的图象过点(3,13)，则函数g (x )=(2x −1)f (x )在区间[12,2]上的最小值是( )A.−1B.0C.−2D.329. 幂函数y =x m 2+2m−3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A.−2或0B.−1C.0D.−210. 已知函数y =log a (x −b )的大致图象如下图，则幂函数y =x b a 在第一象限的图象可能是( )A. B.C.D.11. 函数g (x )=2x 2n−1+10x 2−2x −2(n ≥3,n ∈N )在实数范围内的零点个数为( )A.0B.1C.2D.312. 已知幂函数f(x)=x a的图象经过函数g(x)=a x−2−12(a>0且a≠1)的图象所过的定点，则幂函数f(x)不具有的特性是（）A.在定义域内有单调递减区间B.图象过定点(1,1)C.是奇函数D.其定义域是R13. 已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(9, 3)，则a=________．14. 设幂函数f(x)=x−m2+2m+3为偶函数，且在区间(0, +∞)为增函数则m________．15. 幂函数f(x)的图象经过点(2, 12)，则f(x)在(0, +∞)上是________函数．16. 若(3−2a)−13>(a−1)−13，实数a的取值范围为________．17. 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)f(2)=3，则f(2)=________，函数g(x)=f(x)−ax+2a过定点________.18. 若幂函数y=(m2−m−1)⋅x m的函数图象经过原点则m=________.19. 若幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−1在(0, +∞)上是增函数，则m=________．20. 关于函数y=xα（α为常数），下列说法：①当α=√2时，y=xα不是幂函数；②幂函数y=xα的图象都经过点(1, 1)；③当α=0或α=1时，幂函数y=xα图象都是直线；④存在幂函数的图象经过第四象限．其中正确的是________．（把你认为正确的序号都填上）21. 函数f(x)=x n+1恒过一个定点，这个定点坐标是________．22. 幂函数y=x(−1)k nm（m，n，k∈N∗，m，n互质）图象在一、二象限，不过原点，则k，m，n的奇偶性为________．23. 已知幂函数y=x4−3m−m2(m∈Z)的图象与y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象．24. 在同一个坐标系中，请画出函数f(x)=xα，g(x)=αx的图象．25. 已知幂函数f(x)=x m2−1(m∈Z)图象与x，y轴无交点且关于原点对称，求：（1）函数的解析式；的奇偶性．（2）判断函数F(x)=a√f2(x)−bf(x)26. 已知函数ℎ(x)=(m2−5m+1)⋅x m+1为幂函数，且为奇函数．(1)求实数m的值；]的值域．(2)求函数g(x)=ℎ(x)+√1−2ℎ(x)在x∈[0, 1227. 已知函数f(x)=(m2+2m) x m2+m−1，求实数m的值，使得f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.28. 已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数．(1)求m的值；(2)求满足(a+1)−m3<(3−2a)−m3的a的取值范围．参考答案与试题解析幂函数的图像及其与指数关系专题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】D【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ a =log 314<log 313=−1，0<b =(13)0.3<(13)0=1， c =log 2(log 2√2)=log 212=−1 ∴ a <c <b .故选D .2.【答案】B【考点】幂函数的性质幂函数图象及其与指数的关系幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由函数y =(m 2+2m −2)x1m−1是幂函数，可得m 2+2m −2=1，m −1≠0，解出即可．【解答】解：∵ 函数y =(m 2+2m −2)x 1m−1是幂函数，∴ m 2+2m −2=1，m −1≠0，解得m =−3．故选：B ．3.【答案】A【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．【解答】解：设幂函数f(x)=xα（α为常数），∵幂函数y=f(x)的图象过点(3, √3)，∴√3=3α，∴α=1，2∴f(x)=x12，∴f(9)=√9=3故选：A4.【答案】A【考点】幂函数的性质幂函数图象及其与指数的关系【解析】解决该试题的关键是准确运用幂函数的定义，保证x的系数为1，得到m的值，进而分类讨论得到参数m的值．【解答】因为幂函数y=(m2+3m+3)x2+1n−图像不过原点，故m2+3m+3=1∴ m=−2,m=−1当m=−2时，则y=x−，显然过原点，不符合题意舍去．当m=−1y=x−，图像不过原点且关于原点对称，故符合题意，选A．5.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数图象及其与指数的关系【解析】根据幂函数的定义与性质，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵函数f(x)=(m2−m−1)x−5m−3是幂函数，∴m2−m−1=1，即m2−m−2=0，解得m=2或m=−1；又f(x)在区间(0, +∞)上是增函数，∴−5m−3>0，∴应取m=−1．故选：A．6.【答案】A【解析】由幂函数y=x a在第一象限内的图象的变化趋势从而得到参数的变化．【解答】解：a1对应的幂函数y=x a在第一象限内的图象上升，且上升速度在变快，故a1>1；a2对应的幂函数y=x a在第一象限内的图象上升，且上升速度在变慢，故0<a2<1；a3对应的幂函数y=x a在第一象限内的图象上升，且上升速度在变快，故a3<0．故答案为：A．7.【答案】D【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】根据复合函数的单调性，同增异减，得到答案．【解答】解：设u=−x2−2x，在(−∞, 1)上为增函数，在(1, +∞)为减函数，因为函数y=(13)x为减函数，所以f(x)的单调递增区间(1, +∞,)，故选：D8.【答案】B【考点】函数单调性的性质幂函数图象及其与指数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：将点(3,13)代入幂函数f(x)=x a，得3a=13，解得a=−1，∴f(x)=1x，∴g(x)=2x−1x =2−1x在区间[12,2]上单调递增，则g(x)min=g(12)=0 . 故选B.9.【答案】A【解析】根据幂函数的图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减，根据幂函数的性质解不等式即可．【解答】解：由幂函数在第一象限的单调性可得，m2+2m−3<0，解得−3<m<1，再由m∈Z可得，m=−2或−1或0.又从图象可知该函数是奇函数，若m=−2，m2+2m−3=−3符合题意；若m=−1，m2+2m−3=−4不合题意；若m=0，m2+2m−3=−3符合题意，综上，m=−2或0.故选A.10.【答案】B【考点】幂函数图象及其与指数的关系幂函数的图像【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知a>1，0<b<1，则0<ba<1，故幂函数y=x ba在第一象限内随自变量的增大而增大，故排除C，D；若ba =12，图象大致为：故选B.11.【答案】D【考点】幂函数图象及其与指数的关系函数的零点【解析】无【解答】解：g (x )=2x 2n−1+10x 2−2x −2（n ≥3，n ∈N ），利用特殊值法，取n =6，g (x )=2x 11+10x 2−2x −2，判断零点，令g(x)=0可得：x 11=−5x 2+x +1，作出等式两边函数图象如下：结合图象得，函数g(x)有三个根．当n ∈N ，x =−1时，必然有如上图奇函数x 2n−1=−1大于−5x 2+x +1=−5，所以函数g(x)必然三个根.故选D ．12.【答案】D【考点】幂函数的性质指数函数的图象与性质幂函数图象及其与指数的关系【解析】由指数函数的性质求出其过定点的坐标，从而求出a 的值，再结合幂函数的性质判断．【解答】函数g (x )=a x−2−12过定点(2,12)，故f (2)=2a =12⇒a =−1．故f (x )=1x．故函数是(−∞,0)(0,+∞)上的减函数，A 正确．B 过点（11），正确．是奇函数，故C 是正确的．D 定义域中无x =0这个值，故定义域不是R ．函数不符合这一特点．故答案为：D ．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）13.【答案】12【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】直接利用点满足函数的解析式求出a 即可．【解答】解：幂函数f(x)=x a 的图象经过点(9, 3)，所以3=9a ，a =12．故答案为：12． 14.【答案】1【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】由于幂函数f(x)=x −m 2+2m+3为偶函数，且在区间(0, +∞)为增函数，可得−m 2+2m +3>0，只有在幂次方为偶数的条件下满足偶函数，所以且为偶数．【解答】解：∵ 幂函数f(x)=x −m 2+2m+3为偶函数，且在区间(0, +∞)为增函数， ∴ −m 2+2m +3>0，且为偶数．解得−1<m <3，∴ m =1．故答案为：1．15.【答案】减【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】利用幂函数的定义和单调性即可得出．【解答】解：设幂函数的解析式为y =x α（α为常数）．∵ 此幂函数的图象经过点(2, 12)，∴ 12=2α，解得α=−1，∴ y =1x ，于是该函数在(0, +∞)上是减函数，故答案为：减．16.【答案】{a|a <1或43<a <32} 【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】把原不等式化为分式不等式，求出它的解集即可．【解答】解：∵ (3−2a)−13>(a −1)−13， ∴ (3−2a)−1>(a −1)−1，即13−2a >1a−1，移项得13−2a −1a−1>0，通分得3a−4(2a−3)(a−1)<0，解得a<1或43<a<32；∴实数a的取值范围是{a|a<1或43<a<32}．故答案为：{a|a<1或43<a<32}．17.【答案】3,(2,3)【考点】幂函数的性质幂函数图象及其与指数的关系【解析】可设f(x)=xα，由f(4)f(2)=3可求得α，从而可求得f(12)的值．【解答】解析：设f(x)=xα，则有4α2α=3，解得2α=3，α=log23，∴f(2)=2α=2log23=3，∴g(x)=xα−a(x−2)，则当x=2时，g(2)=2α=3，所用g(x)过定点(2,3).故答案为：3；(2,3).18.【答案】2【考点】幂函数图象及其与指数的关系幂函数的图像【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得：m2−m−1=1，解得：m=−1或m=2，而函数图象过原点，则m=2.故答案为：2.19.【答案】−1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数图象及其与指数的关系【解析】利用幂函数的定义和单调性即可得出．【解答】解：∵幂函数y=(m2−m−1)x m2−2m−1在(0, +∞)上是增函数，∴{m2−m−1=1，解得m=−1．m2−2m−1>0故答案为−1．20.【答案】②【考点】幂函数的性质幂函数图象及其与指数的关系【解析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论．【解答】解：①当α=√2时，函数y=xα是幂函数，故①不正确；②所有幂函数y=xα的图象都经过点(1, 1)，故②正确；③当α=0，幂函数y=xα图象都是直线y=1上去掉了点(0, 1)，故③不正确；④对于所有的幂函数y=xα，由于当x>0时，xα>0，故它们的图象都不会经过第四象限，故④不正确．故答案为②．21.【答案】(1, 2)【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】根据幂函数y=x n恒过一个定点(1, 1)，可得函数f(x)=x n+1恒过一个定点(1, 2)．【解答】解：由于函数y=x n恒过一个定点(1, 1)，故函数f(x)=x n+1恒过一个定点(1, 2)，故答案为(1, 2)．22.【答案】m，k为奇数，n为偶数【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】由于图象不过原点，可得x的指数必须是负数，故k为奇数．正整数m、n两个数中一个奇数，一个偶数，或两个都是奇数．若两个都为奇数，不合题意．经过检验，指数的分子n为偶数，分母m为奇数满足条件，从而得到结论．【解答】解：由于图象不过原点，故x的指数必须是负数，故k为奇数．正整数m、n互质，则m、n两个数中一个奇数，一个偶数，或两个都是奇数．若两个都为奇数，那该函数为奇函数，图象应该在一三象限，不合题意．故只能一个偶数，一个奇数若分母是偶数，分子是奇数，则x<0是无意义的，第二象限无图象，也不合题意．故指数的分子n为偶数，分母m为奇数，故答案为n为m、k为奇数，n为偶数．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）23.【答案】解：由题意得4−3m−m2>0即有(m+4)(m−1)<0解得−4<m<1，又因为图象关于y轴对称，所以4−3m−m2必须为偶数，所以m=0，−1，−2，−3，m=−3，y=x4m=−2，y=x6m=−1，y=x6m=0，y=x4其图象如下：【考点】幂函数的性质幂函数图象及其与指数的关系【解析】由题意得4−3m−m2>0解得−4<m<1，又因为图象关于y轴对称，所以4−3m−m2必须为偶数，故m=0，−1，−2，−3，即可画出图象．【解答】解：由题意得4−3m−m2>0即有(m+4)(m−1)<0解得−4<m<1，又因为图象关于y轴对称，所以4−3m−m2必须为偶数，所以m=0，−1，−2，−3，m=−3，y=x4m=−2，y=x6m=−1，y=x6m=0，y=x4其图象如下：24.【答案】解：当α>1（如α=2）时，）时，当0<α<1（如α=12【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】利用指数函数与幂函数的图象与性质即可画出．【解答】解：当α>1（如α=2）时，当0<α<1（如α=12）时，25.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−1(m∈Z)图象与x，y轴无交点，∴m2−1<0，解得−1<m<1∵图象关于原点对称，∴x m−1为奇函数，∴m=0，∴f(x)=x−1．（2）∵f(x)=x−1，∴F(x)=a√f2(x)−bf(x)=a√x−2−b x−1=a|1x|−bx，∴F(−x)=a|1−x |−b(−x)=a|1x|+bx≠±F(x)，∴函数F(x)=a√f2(x)−bf(x)是非奇非偶函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数图象及其与指数的关系【解析】（1）由已知条件推导出m2−1<0，且m2−1为奇函数，由此能求出m，从而能求出函数的解析式．（2）由f(x)的解析式求出F(x)，再求出F(−x)与F(x)相比较，能判断函数F(x)= a√f2(x)−bf(x)的奇偶性．【解答】解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−1(m∈Z)图象与x，y轴无交点，∴m2−1<0，解得−1<m<1∵图象关于原点对称，∴x m−1为奇函数，∴m=0，∴f(x)=x−1．（2）∵f(x)=x−1，∴F(x)=a√f2(x)−bf(x)=a√x−2−b x−1=a|1x|−bx，∴F(−x)=a|1−x |−b(−x)=a|1x|+bx≠±F(x)，∴函数F(x)=a√f2(x)−bf(x)是非奇非偶函数．26.【答案】解：(1)∵函数ℎ(x)=(m2−5m+1)x m+1为幂函数，∴m2−5m+1=1，解得m=5或m=0，又ℎ(x)为奇函数，∴m=0.(2)由(1)可知ℎ(x)=x，g(x)=x+√1−2x，令√1−2x=t，则当x∈[0,12]时，t∈[0,1]，∴ g(x)=−12t2+t+12=−12(t−1)2+1.∵ 函数g(x)=−12(t−1)2+1在[0,1]上单调递增，∴12≤g(x)≤1，∴ g(x)=ℎ(x)+√1−2ℎ(x)在[0,12]的值域为[12,1].【考点】幂函数的性质幂函数图象及其与指数的关系函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵函数ℎ(x)=(m2−5m+1)x m+1为幂函数，∴m2−5m+1=1，解得m=5或m=0，又ℎ(x)为奇函数，∴m=0.(2)由(1)可知ℎ(x)=x，g(x)=x+√1−2x，令√1−2x=t，则当x∈[0,12]时，t∈[0,1]，∴ g(x)=−12t2+t+12=−12(t−1)2+1.∵ 函数g(x)=−12(t−1)2+1在[0,1]上单调递增，∴12≤g(x)≤1，∴ g(x)=ℎ(x)+√1−2ℎ(x)在[0,12]的值域为[12,1].27.【答案】解：(1)若f(x)是正比例函数，则{m2+2m≠0m2+m−1=1，解得m=1.(2)若f(x)是反比例函数，则{m2+2m≠0m2+m−1=−1，解得m=−1.(3)若f(x)是二次函数，则{m2+2m≠0m2+m−1=2，解得m=−1±√132.(4)若f(x)是幂函数，则m2+2m=1，解得m=−1±√2.【考点】幂函数图象及其与指数的关系函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)若f(x)是正比例函数，则{m2+2m≠0m2+m−1=1，解得m=1.(2)若f(x)是反比例函数，则{m2+2m≠0m2+m−1=−1，解得m=−1.(3)若f(x)是二次函数，则{m2+2m≠0m2+m−1=2，解得m=−1±√132.(4)若f(x)是幂函数，则m2+2m=1，解得m=−1±√2.28.【答案】解：(1)∵函数在(0, +∞)上递减，∴m2−2m−3<0即−1<m<3，又m∈N∗∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，∴m2−2m−3为偶数，故m=1为所求．(2)函数y=x−13在(−∞, 0)，(0, +∞)上均为减函数∴(a+1)−13<(3−2a)−13等价于a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得a<−1或23<a<32故a的取值范围为(−∞,−1)∪(23，32)【考点】其他不等式的解法幂函数图象及其与指数的关系幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】(1)幂函数y=xα的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数．则必须满足α为偶数且α<0，则易得m的值．(2)再根据幂函数y=xα的单调性，求满足(a+1)−m3<(3−2a)−m3的a的取值范围．【解答】解：(1)∵函数在(0, +∞)上递减，∴m2−2m−3<0即−1<m<3，又m∈N∗∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，∴m2−2m−3为偶数，故m=1为所求．(2)函数y=x−13在(−∞, 0)，(0, +∞)上均为减函数∴(a+1)−13<(3−2a)−13等价于a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得a<−1或23<a<32故a的取值范围为(−∞,−1)∪(23，32)。

高考数学复习、高中数学幂函数与二次函数附答案解析

第4节幂函数与二次函数课标要求1.掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间． 2．了解幂函数的概念．3．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12 的图象，了解它们的变化情况.知识衍化体验知识梳理1．幂函数一般地，形如_________的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．五个常用幂函数的图象与性质R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} (1)一般式：f (x )＝_________． (2)顶点式：f (x )＝_________． (3)零点式：f (x )＝_________． 4．二次函数的图象与性质RR[1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当a ＞0且△＜0时恒有f (x )＞0，当a ＜0且△＜0时恒有f (x )＜0．基础自测疑误辨析1．判断下列结论的正误(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2) 当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3) 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) 教材衍化2．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数的解析式为____________．3．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[－1，2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．考题体验 4．若a ＝2－32，b ＝⎝⎛⎭⎫253，c ＝⎝⎛⎭⎫123，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c5．若存在非零的实数a ，使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立，则函数f (x )可能是( )A ．f (x )＝x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝2x ＋16．已知幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上是增函数，则m 的值为________．考点聚焦突破考点一幂函数的图象和性质【例1】(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)已知幂函数f (x )满足f (8)＝4，则f (12)__________f (－13) (填＞，＝或＜)．规律方法 1．幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 3．若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.【训练1】（1）已知点(a ，12)在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图像上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数（2）已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}．若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝__________．考点二求二次函数的解析式【例2】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式．规律方法求二次函数的解析式一般用待定系数法，其关键是根据已知条件确定二次函数解析式，，方法如下：【训练2】已知二次函数f (x)的图像经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (2＋x)，则f (x)＝__________．考点三二次函数的图象及应用【例3】(1)已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(2)设函数f (x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f (m)＜0，则()A．f (m＋1)≥0B．f (m＋1)≤0C．f (m＋1)＞0D．f (m＋1)＜0规律方法1．研究二次函数图像应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个是顶点，另两个是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”指的是对称轴这条线；“一开口”指的是抛物线的开口方向．2．求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图像特征，分析不等式成立的条件．【训练3】(2019·襄阳五中期中)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2019－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d考点四二次函数的性质角度1 二次函数的单调性与最值【例4－1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．角度2 二次函数的恒成立问题【例4－2】设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于任意x∈[1，3]，f(x)＜－m2＋5恒成立，求实数m的取值范围．规律方法1．对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含a≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．2．二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．3．由不等式恒成立求参数的取值范围，一般的有两种思路：一是分离参数法；二是不分离参数．至于哪一种关键是看参数能否分离．两种思路的依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a ≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．4．要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．【训练4】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，x∈R)．(1) 若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．[思维升华]1．幂函数y＝xα的性质和图像，由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三个方面考查：（1）α的正负：α＞0时图像经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α＜0时图像不过(0，0)点，经过(1，1)点，在第一象限的部分“下降”；（2）曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时曲线下凹，0＜α＜1时曲线上凸，α＜0时曲线下凸；（3）函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性的定义判断其奇偶性．2．求二次函数的解析式就是确定函数式f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值，应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值．3．二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图像和性质，可直观地解决与不等式有关的问题．4．二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图像以及所给定区间与对称轴的关系确定．[易错防范]1．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．对于函数f (x)＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．第4节幂函数与二次函数知识衍化体验知识梳理 1．y ＝x α2．奇，偶，奇，非奇非偶，奇 3．(1)ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)a (x －h )2＋k (a ≠0)． (3)a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．基础自测1． (1)× (2)√ (3)× (4)×2． f (x )＝x 123．k ≤－8或k ≥16. 4． C ． 5． A ． 6． 1．考点聚焦突破【例1】 (1) C (2)＞(1)因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，所以f (x )＝x 12.故选C ．(2)设f (x )＝x α(α为常数)，又f (8)＝4，所以4＝8α，所以α＝23.于是f (x )＝x 23 ，显然该函数是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．所以f (－13)＝f (13)<f (12).【训练1】 (1) A (2)－1【例2】解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，所以所求二次函数的式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【训练2】 x 2－4x ＋3．【例3】（1）D （2）C (1) A 项，因为a <0，－b2a<0，所以b <0，又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 项错误；B 项，因为a <0，－b2a >0，所以b >0，又因为abc >0，所以c ＜0，而f (0)＝c >0，故B 项错误；C 项，因为a >0，－b2a<0，所以b >0，又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，。

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C．(0，＋∞)D．(－∞，0]∪[，＋∞)
[答案]A
[解析]∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝(0，＋∞)，P＝{y|y＝，x>2}＝(0，)，
∴∁UP＝[，＋∞)．
3．(2011·山东文，10)函数y＝－2sinx的图象大致是()
[答案]C
[解析]利用特殊化思想求解；当x＝0时，y＝0，排除A；当x→＋∞时，显然y>0，排除D；当x＝2π时，y＝π<4，排除B，故选C.
A．1B．2C．3D．无法确定
[答案]A
[解析]由条件知，M、N，
6．(文)(2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()
[答案]A
[解析]∵f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点为a和b且a>b，由图象知0<a<1，b<－1，∴g(x)＝ax＋b单调减，且g(0)＝1＋b<0，故选A.
＝(－x1)－(－x2)＝(x2－x1)(＋1)．
∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．
(理)(2011·山东烟台调研)设函数f(x)＝p－2lnx，g(x)＝.(p是实数，e是自然对数的底数)
(理)(2011·青岛模拟)现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t的函数关系的是()
[答案]C
[解析]根据球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．
13．(文)(2011·安徽省淮南市模拟)已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD()
C．a>c>bD．c>a>b
[答案]C
[解析]a＝ b＝＝ c＝＝显然有log23.4>log2>log2，由对数函数、指数函数单调性，有a>c>b，故选C.
5．(文)幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的“区域”是()
3．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()
[答案]B
[解析]y＝x2为偶函数，对应②；y＝定义域x≥0，对应③；y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝均为奇函数，但y＝x3比y＝增长率大，故①对应y＝x3.
(理)给出以下几个幂函数fi(x)(i＝1,2,3,4)，其中f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝，f4(x)＝.若gi(x)＝fi(x)＋3x(i＝1,2,3,4)．则能使函数gi(x)有两个零点的幂函数有()
当p≠1时，∵l与g(x)图象相切，
∴Δ＝(p－1)2－4(p－1)(－e)＝0，得p＝1－4e.
综上，p＝1－4e.
15．某机床厂2007年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．
4．(2010·浙江宁波十校)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()
[答案]B
[解析]由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.
5．(2011·天津文，8)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()
[答案](－∞，－1)∪(3,5)
[解析]由题意，得
或或
∴a<－1或3<a<5.
(理)若函数f(x)＝(a、b、c，d∈R)，其图象如图所示，则a:b:c:d＝________.
[答案]1:(－6):5:(－8)
[解析]由图象知，x≠1且x≠5，
故ax2＋bx＋c＝0的两根为1,5.
∴，∴，
又f(3)＝2，∴d＝18a＋6b＋2c＝－8a.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；
(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．
问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
[解析](1)y＝50x－[12x＋×4]－98
(理)(2011·新课标全国文，12)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()
A．10个B．9个
C．8个D．1个
[答案]A
[解析]由y＝f(x)与y＝|lgx|图象(如图)可知，选A.
7．若幂函数f(x)的图象经过点A，则它在A点处的切线方程为________．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[答案]B
[解析]函数gi(x)的零点就是方程gi(x)＝0的根，亦即方程fi(x)＋3x＝0的根，也就是函数fi(x)与y＝－3x的图象的交点，作出函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，可知只有f2(x)的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x)，选B.
当0<x<时，f(x)＋g(x)是减函数．
综上，f(x)＋g(x)的单调增区间为[，＋∞)，
f(x)＋g(x)的单调减区间为(0，]．
(2)∵f′(x)＝p＋－，∴f′(1)＝2(p－1)．
设直线l：y＝2(p－1)(x－1)，
由得(p－1)(x－1)＝，
即(p－1)x2－(p－1)x－e＝0.
当p＝1时，方程无解；
[解析]如图，设左侧射线对应的解析式为：y＝kx＋b(x≤1)，将点(1,1)，(0,2)代入得，解得，所以左侧射线对应的函数解析式是y＝－x＋2(x≤1)；同理，x≥3时，函数解析式为：y＝x－2(x≥3)；再设抛物线段的解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)，将(1,1)代入得，a＋2＝1，∴a＝－1，
(1)当p＝2e时，求f(x)＋g(x)的单调区间；
(2)若直线l与函数f(x)，g(x)图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点(1,0)，求p的值．
[解析](1)当p＝2e时，
f(x)＋g(x)＝2e－2lnx＋＝2ex－2lnx，
则(f(x)＋g(x))′＝2e－.
故当x>时，f(x)＋g(x)是增函数；
A．(0,1)B．(2,3)
C．(1,2)D．(3,4)
[答案]C
[解析]设f(x)＝x3－x－2，则f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以x0在区间(1, 2)内．
12．(文)(2011·淮南模拟)函数y＝lncosx(－<x<)的图象是()
[答案]A
[解析]由已知得0<cosx≤1，∴ln cosx≤0，排除B、C、D.故选A.
4．(文)(2011·郑州一检)若0<x<y<1，则()
A．3y<3xB．logx3<logy3
C．log4x<log4yD．()x<()y
[答案]C
[解析]∵0<x<y<1，∴由对数函数的单调性得，log4x<log4 y，故选C.
(理)(2011·天津理，7)已知a＝ b＝ c＝则()
A．a>b>cB．b>a>c
A．⑧，③B．⑦，③
C．⑥，①D．⑤，①
[答案]D
[解析]y＝是增函数，∵<1，∴其图象向上凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域①，⑤.
(理)幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝()
A．相交，且交点在坐标原点
B．相交，且交点在第Ⅰ象限
C．相交，且交点在第Ⅱ象限
D．相交，且交点在第Ⅳ象限
[答案]A
[解析]易求得两直线方程分别为AB：y＝x、CD：y＝x，则其交点为坐标原点．如图所示．
(理)(2011·山东淄博一模)设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为()
[答案]D
[解析]由题意知函数y＝f(x)的图象与直线y＝2在(－∞，0)内有交点，观察所给图象可知，只有D图存在交点．
(理)(2011·陕西文，6)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()
A．没有根B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根D．有无穷多个根
[答案]C
[解析]在同一坐标系中，画出函数y＝|x|与y＝cosx的图象，易知有两个交点，即|x|＝cosx有两个根．
[答案]4x－4y＋1＝0
[解析]设f(x)＝xα，∵f(x)图象过点A，
∴α＝，∴α＝.∴f(x)＝，
∴f′(x)＝，∴f′＝1，
故切线方程为y－＝1×，
即4x－4y＋1＝0.
8．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．