正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用_李亚兰
正项级数比较判别法
正项级数比较判别法概述正项级数比较判别法是微积分中用于判定无穷级数收敛或发散的一种方法。
通过将待判定的级数与已知的收敛或发散级数进行比较，可以推断待判定级数的收敛性。
前提条件正项级数比较判别法只适用于正项级数，即级数的每一项都是非负数。
基本思路正项级数比较判别法的基本思路是将待判定级数与已知的收敛或发散级数进行比较，通过比较判断待判定级数的收敛性。
具体步骤如下：1.首先，找到一个已知的收敛级数（记作级数A）。
2.然后比较待判定级数与级数A的每一项，判断待判定级数的每一项是否都小于等于级数A的每一项。
3.如果待判定级数的每一项都小于等于级数A的每一项，那么可以推断待判定级数收敛。
4.如果待判定级数的每一项都大于等于级数A的每一项，那么可以推断待判定级数发散。
5.如果待判定级数无法与已知的收敛或发散级数进行比较，那么无法通过正项级数比较判别法判断其收敛性。
比较级数的常用方法比较法比较法是正项级数比较判别法中最常用的方法之一。
比较法的基本思路是通过比较待判定级数与已知的收敛或发散级数的每一项，来判断待判定级数的收敛性。
比较法又可分为以下两种常用的具体方法：1. 大于法如果存在一个已知的收敛级数级数A，且对于所有的n，都有待判定级数的每一项大于等于级数A的对应项，那么可以推断待判定级数发散。
2. 小于法如果存在一个已知的发散级数级数A，且对于所有的n，都有待判定级数的每一项小于等于级数A的对应项，那么可以推断待判定级数收敛。
极限比值法极限比值法利用级数项的极限比值与已知级数的极限比值比较来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：1.首先计算待判定级数的每一项的绝对值与前一项绝对值的比值的极限值。
2.然后与已知的级数的极限比值进行比较。
根据比较结果，可以得出以下推断：•如果待判定级数的极限比值小于已知级数的极限比值，那么待判定级数收敛；•如果待判定级数的极限比值大于已知级数的极限比值，那么待判定级数发散；•如果待判定级数的极限比值等于已知级数的极限比值，该方法无法判定级数的收敛性。
一个比较精细的正项级数判别法
一个比较精细的正项级数判别法摘要：本文用级数∑∞=3ln1n pnn 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。
关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。
以下本文就以级数∑∞=3ln 1n pnn 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。
我们先看级数∑∞=3ln1n pnn 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。
这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。
先考虑发散的情况。
由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有nn n n u u n n ln )1ln()1(1++<+成立，则∑∞=1n n u 发散。
为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”：nn n n u u n n ln )1ln()1(1++<+nnn u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+<-+⇔+，由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 nn n ξ1ln )1ln(=-+,故n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1<-+⇔+n n n u n nu n ξ，要使n 足够大时有1]1)1([ln 1<-++n n n u n nu n ξ成立，只需1]1)1([ln lim 1<-++∞→n n n n u n nu n ξ，而显然 1lim=∞→nnn ξ，故当 1]1)1([ln lim 1<-++∞→n nn u n nu n n 时，∑∞=1n n u 发散。
收敛的情况可类似讨论：设数列}{n u 是正项数列，若存在1>p 使得n 足够大时，有ppn n n n n n u u )(ln )]1)[ln(1(1++>+成立，则∑∞=1n n u 收敛。
正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用
Ｉ Ｎ 一（ ｎ甜 一 ＋ ）ｎ （ 一 １ 十 一卢 ｉ Ｎ ） ．
所 以
“ ｋ（ ｃ Ｎ －
ｗ 一（ ） Ｎ
．
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１４ ９
大 学 数 学
第 ２ 卷 ７
（ ） 一，
由（ ） ， 对于 任给正 数 ｅ， 在充分 大 的 Ｎ ， ３得 故 存 使
第 ２ ７卷 第 ４期
２１ ０ １年 ８ 月
大 学 数 学
ＣＯ ＩＬＥＧＥ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ１ ２ № ． ． ７， ４
Ａ ｕｇ ０ １ ．２ １
正 项 级数 拉 阿伯 判别 法 等 价形 式 及 其 应 用 项
李 亚 兰
（ 恺 农 业 工 程 学 院 计算 科 学 系 ， 州 ５ ０ ２ ） 仲 广 １２ ５
１ — ００
“ ＋１
一户， 则有
（ 当 ＞１ 级数 ∑ “收敛； ｉ ） 时， （） ＜１ 级数 ∑ 发散． ｉ当 ｉ 时，
判别 法 Ⅱ 一 Ｐ ， 有 则
（ 当Ｐ 时， ∑ “ 收敛； ｉ ） ＞１ 级数 （） ＜１ 级数 ∑ “发散． ｉ当 ｉ 时，
探讨 在 以上 的判 别法 中的极 限 Ｐ的意义 ， 利用 该 意义来 判 别正 项级 数 的敛 散性 ． 并
一
∑
２ 本 文 结 论 及 证 明
Ｎ
下 面讨 论 以上 判别 法 中极 限 Ｐ的 意义 ， 引入 施 笃兹 （ ｔｌ） Ｓ ｏｚ 定理 ．
引 理 （ ｔｌ Ｅ 若 数 列 ｛ ，｛ ｝满 足 Ｓｏｚ ｓ ）］ ３｝ ２
（ ）．计１＞ Ｙ ｉ ｙ （ 一 １， … ） ； ２， （ｉ ｉ ｙ ｉ）ｌｍ 一 ＋ ∞
正项级数及其审敛法(IV)
如果对于任意一项，其相邻两项 的比值都小于1，则级数收敛； 反之，如果存在某一项，其相邻 两项的比值大于1，则级数发散。
柯西审敛法适用于判断具有连续 项的正项级数的收敛性，但对于 具有跳跃项的正项级数，需要采 用其他审敛法。
狄利克雷审敛法
狄利克雷审敛法是一种基于极限思想的判断正项级数收敛性的方法。
例如
$1+1/2+1/3+1/4+cdots$， $2+4+6+8+cdots$ 等。
正项级数的性质
性质1
正项级数的每一项都是非负的，因此其和总是大于或等于其任意 一部分的和。
性质2
如果一个正项级数收敛，则其部分和的极限存在且有限。
性质3
如果一个正项级数发散，则其部分和的极限不存在或趋于无穷。
正项级数的应用
正项级数及其审敛法 (iv)
CONTENTS 目录
• 正项级数 • 正项级数的审敛法 • 无穷级数与正项级数 • 幂级数与正项级数 • 正项级数的收敛性与发散性
CHAPTER 01
正项级数
正项级数的定义
正项级数
由正数组成的无限序列，可以表示为 $sum_{n=1}^{infty} a_n$，其中 $a_n > 0$。
如热传导、波动等。
在工程学中，幂级数被用于信号处理、图像处理等领域，如傅
03
里叶变换和小波变换等。
CHAPTER 05
正项级数的收敛性与发散性
正项级数的收敛性
定义
正项级数是指每一项都是非负的级数。如果一个正项级数 的部分和有界，则该级数收敛。
01
举例
几何级数、调和级数等都是正项级数的 例子。
02
正项级数判别 法
1 n
5 4
,则
v
n 1 n n 1
1 5 n4
收敛
un ln n 4 ln x lim 1 lim lim lim 0 1 1 n x n v n x n 4 x 4 x 4
ln n 收敛。 由比较判别法的极限形式知， un 3 n 1 n 1 n 2
解: 1) 若 p 1,
1 因调和级数 发散 , 所以p 级数 n 1 n
1 由比较审敛法可知： n
发散 .
2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n 1 1 1 n 1 p 1 d x p 1 p 1 (n 1) n n 1 x p
1 1 1 1 1 2 3 4 n 2 2 2 2
即
1 1 n 1 n 2 n
而级数
1 2
n 1
n 1
收敛，
1 故级数 n 收敛。 n 1 n
定理3.(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
0, 收敛 un lim l (0 l ), 和 n v n 发散 ,
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
（3）当 = 1 时，不能用此法判定级数的敛散性。
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, u 1 n
收敛 ,由比较审敛法可知 un 收敛 .
证: (1) 当 1 时,
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N 时 从而
un vn sn n (n 1, 2, )
浅谈正项级数收敛性的几种判别方法
浅谈正项级数收敛性的几种判定方法摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，正项级数的收敛性更是级数理论的核心问题。
正项级数收敛性的判别方法很多，但是用起来需要有一定的技巧。
本论文从四个方面（1）、比较原则；（2）、达朗贝尔判别法，或称为比式判别法；（3）、柯西判别法，或称为根式判别法；（4）、积分判别法归纳了正项级数收敛性。
关键词：正项级数、收敛、判别法、判断引言关于正项级数收敛性的问题，本文首先分析题目的要求，然后再来选择最合适的判别方法来判断正项级数的收敛性。
下面用（1）比较原则，（2）比式判别法，（3）根式判别法，（4）积分判别法四种判别方法对正项级数的收敛性进行判别。
（1）比较原则比较原则是一种常用的极限形式，也是一种常用的判别正项级数收敛性的方法。
根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性。
比较原则：设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n >N 都有n u ≤n v（i ）若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。
推论 设++++n u u u 21 ， （1） ++++n v v v 21 （）是两个正项级数，若l v u nn n =∞→lim， （3）则（ⅰ）当+∞<<l 0时，级数（1）、（2）同时收敛或同时发散； （ⅱ）当0=l 且级数（2）收敛时，级数（1）也收敛； （ⅲ）当+∞=l 且级数（2）发散时，级数（1）也发散。
例1、 考察∑+-112n n 的收敛性。
解 由于当2≥n 时，有nn n n -≤+-22111=2)1(1)1(1-=-n n n因为正项级数∑∞=-22)1(1n n 收敛，通过比较原则可得级数∑+-112n n 也收敛。
以上例题，用比较原则判断该正项级数，结果是收敛的。
正项级数
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
例如级数
1 n2
和
1, n
它们的比式极限都是
un1
un
1n
,
但
1 n2
收敛，而
1 n
却是发散的.
若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极
限来判别收敛性.
*推论2
设 un 为正项级数.
(i) 若 lim un1 q 1, 则级数收敛; u n
数学分析 第 十二章 数项级数
§2 正项级数
收敛性是级数研 究中最基本的问题, 本 节将对最简单的正项 级数建立收敛性判别 法则.
一、正项级数收敛性的一 般判别原则
二、比式判别法和根式判 别法
三、积分判别法
*四、拉贝判别法
*点击以上标题可直接前往对应内容
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
界, 由定理12.5级数 un 收敛, 这就证明了(i).
(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.
un vn
(1)
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
例1
考察
n2
1 n
1
的收敛性.
积分判 别法
*拉贝判别法
解 由于当 n 2 时, 有
若q , 则存在N , 当n N时有
所以这时级数 un 是发散的.
un1 1, un
q un1 q
un
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
Dalangb’er判别法失效时教学点滴
a h
拼
n
一l
一二
n
一二
,
拼
n
+
l
~ 、
拼
n
~
,
则当
;
,
<
则当
,
<
时 要
`
,
级数 收敛 当
,>
时 冬
乙
,
时 粤
; 级数收 敛 当
,
>
时 鲁
,
,
级 数发
级数
散
。
发散
。
证
2
,
:
( 1) 当 , <
,
为证 定 理
引理
(2 )
,
先 给 出 两 个 引理
。
1
.
给 定 两个 正 项 级 数 艺 林 (
,
,
1 )
, 。
发散
,
由 引理 知
1
艺拌
。
发散
。
证 不妨 设 成立 于是
拜2
2
,
:
n
从 第一 项 起 就 有 不 等 式 ( 3 )
,
例
Zn + l
判 别级 数
。
1 +
艺
( Zn 一 1 ) ! ! ( Zn ) ! !
的敛 散性
:
溉 — —尧 — — 拜 拜
Ul 2 UZ
,
/
UZ
之
拼3
/之
U3
拼 拜
n
。
之
/
镇 簇
,
,
淤 赞
n
、
蕊
与 l兰竺
阿贝尔判别法
1 2x
22 t
法条件, 是收敛的；
而 dx 发散，因此
1 2x
1
sin x xp
dx
发散.
总之,
当 0
p
1时,
sin x 1 xp
dx
条件收敛;
当 1
p
时， 1
sin x xp
dx
绝对收敛.
类似可证:
性质1
若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
k2
为任意常数,则
也收敛 ,且
a
k1
f1(
x)
k2
f2
(
x)dx
a
k1
f1(
x)
k2
f2
(
x)
dx
k1 a f1( x)dx k2 a f2( x)dx.
性质2 若 f 在任何有限区间 [a, u] 上可积,则
u a,
u
f ( x)dx
u f ( x) dx, 于是
a
a
u
f ( x)dx lim f ( x)dx f ( x) dx.
a
u a
a
例5 判别 sin x dx (a 0) 的收敛性. 1 x(a x)
解 由于
sin x
x(a x)
1 ,而 xx
1
1 x3
2
dx
存在 G 满足a, f ( x) g( x), x [G,),
则当 g( x)dx 收敛时, f ( x)dx 亦收敛;
a
a
当 f ( x)dx 发散时, g( x)dx 亦发散.
拉阿贝判别法的推广及应用
㊀㊀㊀㊀㊀１４２数学学习与研究㊀２０２１ ２拉阿贝判别法的推广及应用拉阿贝判别法的推广及应用Һ张㊀文∗㊀沈㊀启㊀邱淑芳㊀（东华理工大学理学院，江西㊀南昌㊀３３００１３）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文对正项级数的拉阿贝判别法进行了推广，并通过例题说明该方法具有更广的适用性．ʌ关键词ɔ级数；敛散性；拉阿贝判别法ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金（１１８６１００７，１１７６１００７），江西省教育厅科技项目（ＧＪＪ１６０５６４），江西省教学研究项目（ＪＸＪＧ－１８－６－４）．一㊁引言级数的学习在理科‘数学分析“或工科‘高等数学“课程中都占据重要地位，判断正项级数ðɕｎ＝１ａｎ的敛散性方法则为重中之重．常用的敛散性判别法为比较判别法㊁比式判别法㊁根式判别法㊁积分判别法和拉阿贝（Ｒａａｂｅ）判别法等，由于比式判别法㊁根式判别法和拉阿贝判别法均有在临界情况下失效的情形，于是我们想到在拉阿贝判别法的基础上做出一些改进．二㊁正项级数的比式判别法㊁根式判别法和拉阿贝判别法定理１㊀（比式判别法和根式判别法）对于正项级数ðɕｎ＝１ａｎ（ａｎ＞０），若ｌｉｍｎңɕａｎ＋１ａｎ＝ｒ或者ｌｉｍｎңɕｎａｎ＝ｒ，则：（１）当ｒ＜１时，级数ðɕｎ＝１ａｎ收敛；（２）当ｒ＞１时，级数ðɕｎ＝１ａｎ发散．问题：当ｒ＝１时，比式判别法和根式判别法均不能得出确切的敛散性结论，此时应该如何判断正项级数的敛散性？我们再选用拉阿贝判别法进行判别．定理２㊀（拉阿贝判别法）对于正项级数ðɕｎ＝１ａｎ（ａｎ＞０），若ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｐ，则：（１）当ｐ＞１时，级数ðɕｎ＝１ａｎ收敛；（２）当ｐ＜１时，级数ðɕｎ＝１ａｎ发散．我们列举经典例题进行讨论．例１㊀讨论正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()ｓ，ｓɪＮ的敛散性．解㊀由于该级数的敛散性受到参数ｓɪＮ的影响，所以我们令ａｎ＝（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()ｓ，试着找出ａｎ＋１ａｎ与ｓ的关系．易知ａｎ＋１ａｎ＝２ｎ＋１２ｎ＋２()ｓ＝１－１２ｎ＋２()ｓ，（１）于是ｌｉｍｎңɕａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎңɕ１－１２ｎ＋２()ｓ＝１，（２）即正项级数的比式判别法失效．根据拉阿贝判别法有ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｌｉｍｎңɕｎ１－１－１２ｎ＋２()ｓ()，（３）上式为ɕ㊃０型的极限形式，转化为００型后利用洛必达法则有ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｌｉｍｎңɕ１－１－１２ｎ＋２()ｓ１ｎ＝ｌｉｍｎңɕ－ｓ１－１２ｎ＋２()ｓ－１１２（ｎ＋１）２－１ｎ２＝ｓ２，（４）于是，根据拉阿贝判别法知：当ｓ＝１时，ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｓ２＜１，正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()ｓ发散；当ｓȡ３时，ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｓ２＞１，正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()ｓ收敛．但是，当ｓ＝２时，ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｓ２＝１，拉阿贝判别法也失效了．于是我们寻求推广的拉阿贝判别法来判断正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()２的敛散性．三㊁拉阿贝判别法的推广我们将拉阿贝判别法的适用范围由正项级数推广到一般项情形．定理３㊀若ｌｉｍｎңɕｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＝ｐ（ａｎʂ０），则级数ðɕｎ＝１ａｎ：（１）当ｐ＞１时绝对收敛；（２）当０ɤｐ＜１时条件收敛或发散；（３）当ｐ＜０时发散．证明㊀（１）当ｐ＞１时，∃ＮɪＮ＋∀ｎ＞Ｎ满足ｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＞ｐ＋１２＞１，（５）即（ｎ－１）｜ａｎ｜－ｎ｜ａｎ＋１｜＞ｐ＋１２－１()｜ａｎ｜＞０，（６）于是正项数列｛ｎ｜ａｎ＋１｜｝ɕｎ＝Ｎ严格单调递减，由单调有界定理知数列｛ｎ｜ａｎ＋１｜｝ɕｎ＝１收敛，进一步便知正项级数ðɕｎ＝２（ｎ－１）｜ａｎ｜－ｎ｜ａｎ＋１｜[]＝｜ａ２｜－ｌｉｍｎңɕｎ｜ａｎ＋１｜（７）也收敛，根据不等式（６）及比较判别法知：当ｐ＞１时，级数. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１４３㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２ðɕｎ＝１ａｎ绝对收敛．（２）当０ɤｐ＜１时，∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ满足ｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＜ｐ＋１２＜１，（８）即（ｎ－１）｜ａｎ｜－ｎ｜ａｎ＋１｜＜ｐ＋１２－１()｜ａｎ｜＜０，（９）于是｜ａｎ＋１｜ȡ（Ｎ－１）｜ａＮ｜ｎ．（１０）由比较判别法知：当０ɤｐ＜１时，级数ðɕｎ＝１ａｎ条件收敛或发散．（３）当ｐ＜０时，∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ满足ｎ１－ａｎ＋１ａｎæèçöø÷＜ｐ２＜０，（１１）即０＜｜ａＮ｜＜｜ａｎ｜＜｜ａｎ＋１｜，（１２）于是ｌｉｍｎңɕａｎʂ０，由收敛级数必要条件知：当ｐ＜０时，级数ðɕｎ＝１ａｎ发散．注：针对ｐ＝１的情形，定理１㊁定理２㊁定理３均不能给出确切的结论，即上述判别法均失效．下面的定理４为Ｋｕｍｍｅｒ判别法的变形形式，可作为上述判别法的补充，为拉阿贝判别法的另一种推广．定理４㊀设Ｔｎ＝ｕｎ－ｕｎ＋１ａｎ＋１ａｎ（ａｎ＞０，ｕｎ＞０），则有：（１）若∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ，有Ｔｎȡｐ＞０，则正项级数ðɕｎ＝１ａｎ收敛；（２）若∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ，有Ｔｎɤ０且级数ðɕｎ＝１１ｕｎ发散，则正项级数ðɕｎ＝１ａｎ发散．证明㊀（１）若∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ，有Ｔｎȡｐ＞０，即ｕｎａｎ－ｕｎ＋１ａｎ＋１ȡｐａｎ＞０，（１３）于是正项数列｛ｕｎａｎ｝ɕｎ＝Ｎ严格单调递减，由单调有界定理知数列｛ｕｎａｎ｝ɕｎ＝１收敛，进一步便知正项级数ðɕｎ＝１（ｕｎａｎ－ｕｎ＋１ａｎ＋１）＝ｕ１ａ１－ｌｉｍｎңɕｕｎ＋１ａｎ＋１（１４）也收敛，由比较判别法知：正项级数ðɕｎ＝１ａｎ收敛．（２）若∃ＮɪＮ＋，∀ｎ＞Ｎ，有Ｔｎɤ０，即ｕｎａｎｕｎ＋１ɤａｎ＋１，（１５）已知级数ðɕｎ＝１１ｕｎ发散，由比较判别法知：正项级数ðɕｎ＝１ａｎ发散，ðɕｎ＝１（ｕｎａｎ－ｕｎ＋１ａｎ＋１）＝ｕ１ａ１－ｌｉｍｎңɕｕｎ＋１ａｎ＋１（１６）也收敛，由比较判别法知：正项级数ðɕｎ＝１ａｎ收敛．例２㊀讨论正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()２，即例１中ｓ＝２时的敛散性．解㊀令ａｎ＝（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()２，选取ｕｎ＝ｎ，则有（∀ｎȡ１）Ｔｎ＝ｕｎ－ｕｎ＋１ａｎ＋１ａｎ＝ｎ－（ｎ＋１）（２ｎ＋１）２（２ｎ＋２）２＝－１４（ｎ＋１）＜０，（１７）已知调和级数ðɕｎ＝１１ｎ发散，由定理４知：正项级数ðɕｎ＝１（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！()２发散．四㊁关于双阶乘（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！的注记由于进行级数敛散性的讨论时常涉及双阶乘（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！＝１ˑ３ˑ５ˑ ˑ（２ｎ－１）２ˑ４ˑ６ˑ ˑ（２ｎ）的分析，因此我们将一些重要性质列举如下，供读者参考．性质１㊀１２ｎɤ（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！＜１２ｎ＋１．证明㊀由于∀ｂ＞ａ＞０，ａｂ＜ａ＋１ｂ＋１，一方面，令ｘｎ＝（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！，则有ｘｎ＝１ˑ３ˑ５ˑ ˑ（２ｎ－１）２ˑ４ˑ６ˑ ˑ（２ｎ）＜２ˑ４ˑ６ˑ ˑ（２ｎ）３ˑ５ˑ７ˑ ˑ（２ｎ＋１）＝１（２ｎ＋１）ｘｎ，得出ｘｎ＜１２ｎ＋１，另一方面，ｘｎ＝１ˑ３ˑ５ˑ ˑ（２ｎ－１）２ˑ４ˑ６ˑ ˑ（２ｎ）＝３ˑ５ˑ７ˑ ˑ（２ｎ－１）２ˑ４ˑ６ˑ ˑ（２ｎ－２）ˑ１２ｎ㊀ȡ１２ｎ，于是得出１２ｎɤ（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！＜１２ｎ＋１．性质２㊀ｌｉｍｎңɕ（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！＝０．证明㊀０＜（２ｎ－１）！！（２ｎ）！！＜１２ｎ＋１，由两边夹准则便得出上述极限是成立的．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学科学学院．数学分析：第五版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９．［２］ＧｅｏｒｇｅＢ．Ａｒｆｋｅｎ，ＨａｎｓＪ．Ｗｅｂｅｒ，ＦｒａｎｋＥ．Ｈａｒｒｉｓ，ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｆｏｒＰｈｙｓｉｃｉｓｔｓ（７ｔｈＥｄｉｔｉｏｎ）［Ｍ］．ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，２０１３．. All Rights Reserved.。
正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用_李亚兰
（ ）
（ ） ４
烄 烌－ Ｎ －１ 烆
（ ） ｐ＋ β－βＮ ．
（ ） ５
１ ９ ４ 又
大 学 数 学 第 ２ ７卷
Ｎ 烎 ） ， ， 由（ 得 故对于任给正数 存在充分大的 使 ３ Ｎ， ε
∞ ∞
解 当 ｘ ＝０ 时 ， 级数为
∑ｎ
ｎ＝１
１， 所以 ｐ ＞ １ 时收敛 ， ｐ ≤ １ 时发散 ； ｐ
ｎ ｌ ｎ ｎ １ ｘ ｌ ｎ ｎ） 当ｘ ≠０时， 由于ｌ 故ｕ 而 ｉ ｍ １－ ＝０， ｎ＝ ｐ （ ＞ ０． ｎ→ ∞ ｎ ｎ ｎ
烄 烌ｎ 烄 烌烌 烄 烌烌 烄 烄 ｘ ｌ ｎ ｎ ｘ ｌ ｎ ｎ －ｘ １－ ｌ ｎｎ 烍＝ｅ 烅 烅 烍 ｌ ｉ ｍ １－ ｘ ｌ ｉ ｍ ｎ· ｌ ｎ ｘ ｌ ｉ ｍｎ· ＝ｅ ｐ ｐ ｎ→ ∞烆 ｎ→ ∞ ｎ→＋∞ ｎ 烎 ｎ 烆 烎烎 烆 ｎ 烎烎 烆 烆
） 下面讨论以上判别法中极限 ｐ 的意义 ， 引入施笃兹 （ 定理 ． Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ
［ ５］ ） 引理 （ ｛ Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ ｘ 若数列 ｛ ｙ ｎ｝ ， ｎ ｝ 满足 （ ） （ …）； ｉ ｎ＝１， ２， ｙ ｎ １ ＞ｙ ｎ ＋
（ ） ｉ ｉ ｌ ｉ ｍ ｙ ｎ ＝＋ ∞ ，
ｎ→ ∞
１ ）， ｕ ε ＞ ０． ｎ ＝ Ｏ（ ｐ ε ｎ－
ｕ ｕ ｎ ｎ 证 由条件ｌ 可得 ｎ 其中ｌ 即 ｉ ｍ ｎ ｌ ｎ ｌ ｎ ｉ ｍ ０， ＝ｐ ， ＝ｐ ＋α α ｎ ， ｎ＝ ｎ→ ∞ ｎ→ ∞ ｕ ｕ ｎ １ ｎ １ ＋ ＋ ｕ １ ｎ ｌ ｎ ． ＝ （ ｐ ＋α ｎ） ｕ ｎ ｎ １ ＋ ） …， 在（ 式中令 ｎ＝１， 有 １ ２， Ｎ －１，并求和 ， ｕ １ ｎ ｌ ｎ ＝∑ （ ｐ ＋α ｎ ）， ∑ ｕ ｎ １ ＋ ｎ＝１ ｎ＝１ ｎ
正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用
正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用李亚兰【摘要】利用Stolz定理得出了与拉阿伯（Rabbe）判别法等价的几个判别法中p的意义,即p为正项级数中通项un单调减少的阶,并利用它来判别正项级数的敛散性.%With Stolz theorem,this paper discovered the meaning of p in several criterions of equivalent forms of Rabbe＇s,that p is the infinitesimal order of general term un in positive series,with the result it＇s applied to discriminate convergence and divergence of positive series.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2011(027)004【总页数】4页(P192-195)【关键词】正项级数;敛散性;Stolz定理;无穷小的阶【作者】李亚兰【作者单位】仲恺农业工程学院计算科学系,广州510225【正文语种】中文【中图分类】O173在文［1］中，证明了如下新比值判别法：它们都是利用p-级数作为比较标准而建立的，那么，其中的极限p与p-级数中的p有何联系？本文将探讨在以上的判别法中的极限p的意义，并利用该意义来判别正项级数的敛散性.下面讨论以上判别法中极限p的意义，引入施笃兹（Stolz）定理.故当p＋x＞1时，即x＞1-p时级数收敛；当p＋x＜1时，级数发散.【相关文献】［1］李亚兰，郑镇汉.基于p级数判敛的正项级数比值判别法的比较［J］.仲恺农业技术学院学报，2006，19（4）：28-32.［2］宋文青，腾厚山.基于p级数判敛的正项级数敛散性判别方法［J］.高等数学研究，2005，8（3）：18—20.［3］何国良.正项级数敛散性的两个判别法［J］.青海师专学报，2005，25（4）：34-35.［4］华东师范大学数学系.数学分析［M］.3版.北京：高等教育出版社，2001：15.［5］吉米多维奇.数学分析习题集题解［M］.济南：山东科学技术出版社，1980：94.。
(整理)正项级数的收敛判别法及其推广
引言数项级数又称无穷级数,简称级数.若数项级数的各项都由正数组成,则称为正项级数.级数理论是数学中一个非常重要的理论,正项级数又是级数中的基础部分,具有很强的实用价值和广泛的应用.作为一种常用的研究工具广泛的应用于其他数学科学和科学技术领域,因此它的收敛判定问题一直被人们所研究.正项级数的收敛判别法中,常用的且比较典型的判别法有比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法等.为了比较方便、简单的判别正项级数是否收敛,首先,可以根据其特点选择适当的方法,如：柯西判别法、达朗贝尔判别法或拉贝判别法,使正项级数收敛的判别变得更加简便.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法、对数判别法、次数差审敛法等.一般是,当无法使用柯西判别法时,通常可以选用达朗贝尔判别法,当达朗贝尔判别法也无法使用时,使用比较判别法,若比较判别法还是无法判别时,再使用正项级数收敛的充要条件进行判定.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断.根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,并给出了不同通项特点的正项级数选用的不同的判别法.1关于正项级数的一些基础知识定义1.1.1[1] 给定一个数列{}n u ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式12n u u u ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ （1）称为数项级数或无穷级数（也简称级数）,其中n u 称为数项级数的通项. 数项级数（1）也常写作：1n n u ∞=∑或简单写作n u ∑.数项级数（1）的前n 项之和记为12...n S u u u =+++ （2）称它为数项级数（1）的第n 个部分和,也简称部分和.若数项级数的各项符号都相同,则称它为同号级数.对于同号级数,只需研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数.定义1.1.2[1] 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S,则称数项级数（1）收敛,称S 为数项级数（1）的和,记作12......n S u u u =++++或1n n S u ∞==∑.若{}n S 是发散数列,则称数项级数（1）发散.2 正项级数常用的收敛判别法定理2.1 [1] （基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例1 判定正项级数()()()112111nn n a a a a ∞=+++∑的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断.解 记()()()12111nn n a u a a a =+++,则()()()()()()()()()121211211111111111nn n n n a u a a a a a a a a a -==-+++++++++级数的前n 项和()()()112111111n n k k n S u a a a ===-<+++∑所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛. 定理2.2[2](级数收敛的柯西准则) 级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε,总存在N ,使得当n N >时,对于任意的正整数1,2,3,p =,都成立着12.n n n p u u u ε++++++<对于正项级数1n n u ∞=∑,由于0n u >,因此,只要12n n n p u u u ε++++++<即可.注：当级数的通项为等差或等比数列,或通项为含二项以上根式的四则运算,且通项极限无法求出时,可以选用定义和柯西收敛原理进行判断.例2 111123n+++++解 取010,2n ε<<∀,若令p n =,则01111112222n p n S S n n n n n ε+-=+++>⋅=>++因此,由柯西收敛原理知级数11n n ∞=∑发散.例3 ()1221n n n n ∞=+-++∑解()()()()322142325243221n S n n n=-++-++-++++-++ =1221n n -++-+=11221n n -++++则lim 12n n S S →∞==-.所以,由级数收敛的定义知原级数收敛.定理2.3[1]若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数111()nn n n n n n cudv c u d v ∞∞∞===+=+∑∑∑也收敛.定理2.4[1] 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. 定理2.5[1] 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.定理2.6[2]（比较审敛法）设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n N >都有n n u v ≤则（i ）若级数1n n v ∞=∑收敛,则级数1n n u ∞=∑也收敛；（ii ）若级数1n n u ∞=∑发散,则级数1n n v ∞=∑也发散.比较审敛法的极限式设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数.若有limnn nu l v →∞=,则 （1）当0l <<+∞时,级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑同时收敛或同时发散；（2）当0l =时,若级数1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞=∑也收敛；（3）当l =+∞时,若级数1n n v ∞=∑发散,则1n n u ∞=∑也发散.注：当级数的通项型如1nu 或含有sin ,cos θθ等三角函数的因子时,可以通过对其进行适当的放缩,然后再与几何级数、P 级数等常见的已知其敛散性的级数进行比较,选用比较判别法进行判定.例4 判别正项级数()11,11nn a a ∞=>+∑[6]收敛. 解 因为1101nn a a ⎛⎫<≤ ⎪+⎝⎭,101a <<,而级数11nn a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛,所以由比较判别法知级数111nn a∞=+∑收敛. 例5 判别正项级数()ln 21ln nn n ∞=∑的敛散性.解 因为存在正整数N ,当n N >时,有()ln ln lnln 2ln 21111ln nn nne e n n =≤=,而正项级数211n n ∞=∑是收敛的,所以由比较判别法知级数()ln 21ln nn n ∞=∑收敛. 定理2.7[2]柯西判别法（根式判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数.且存在某正数0N 及正常数l ,则（i ）若对一切0n N >,成立不等式nn u l ≤＜1,则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若对一切0n N >,成立不等式1n n u ≥,则级数n u ∑发散. 柯西判别法的极限形式：对于正项级数1n n u ∞=∑,设lim ,nn n r u →∞=那么,当1r <时,级数1n n u ∞=∑收敛;当1r >时,级数1n n u ∞=∑发散;当1r =时,级数1n n u ∞=∑的收敛性需要进一步判定.例6 判定正项级数()1212nnn ∞=+-∑的敛散性. 分析：本题级数的通项中含有()1n-,这种类型是柯西判别法的典型类型,只要取上极限进行判断即可.解 记()212nn nu +-=,则()________211lim lim122nnn n n n u →∞→∞+-==<. 所以,由达朗贝尔判别法的极限形式得级数()1212nnn ∞=+-∑收敛. 定理2.8[2]比式判别法设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数q（01q <<）.(i)若对一切0n N >,成立不等式1n n u q u +≤,则级数1n n u ∞=∑收敛;(ii) 若对一切0n N >,成立不等式11n n u u +≥,则级数1n n u ∞=∑发散.达朗贝尔判别法的极限形式：对于正项级数1n n u ∞=∑,当1lim1nn n u r u →∞-=<时,级数1n n u ∞=∑收敛； 当1lim 1n nn u r u →∞-=>时,级数1n n u ∞=∑发散； 当1r =时,级数1n n u ∞=∑的收敛性需要进一步判定.注：当级数的通项含有型如!n 或n a ,或分子、分母含多个因子连乘时,选用达朗贝尔判别法.例7 判别正项级数()11321!n n n ∞=⋅⋅⋅-∑的敛散性.解 由于,121limlim 211n n n nu n u n +→∞→∞+==>+,所以级数()11321!n n n ∞=⋅⋅⋅-∑发散.例8 判别正项级数()()()()21,0111nnn x x x x x ∞=>+++∑的敛散性.解 由于11,011limlim,1120,1n n n n nx x u xx u x x ++→∞→∞<<⎧⎪⎪===⎨+⎪>⎪⎩ 所以,1lim 1n n nu u +→∞<.故正项级数()()()()21,0111nnn x x x x x ∞=>+++∑收敛.定理2.9 [1] （积分判别法） 设()f x 为[)1,+∞上非负减函数,那么正项级数()f n ∑与反常积分()1f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散.注：当级数的通项含有型如1n u ,n u 为含有ln n 的表达式或1nu 可以找到原函数,或函数()f x 为[)1,+∞上非负单调递减函数且()n u f n =时,可以选用积分判别法.例9 判别正项级数31ln ln ln n n n n∞=∑的敛散性.解 由于()()3333ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln lnd x d x dx x x x x x x x +∞+∞+∞+∞====+∞⎰⎰⎰,则广义积分3ln ln ln dxx x x+∞⎰发散,所以由柯西积分判别法知原级数发散.定理2.10 [1]（拉贝判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数r ,(i) 若对一切0n N >,成立不等式111n n u n r u +⎛⎫-≥> ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑收敛;(ii) 若对一切0n N >,成立不等式111n n u n u +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑发散.拉贝判别法的极限形式设1n n u ∞=∑为正项级数,且极限1lim 1n n n u n r u +→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭存在,则(i)当1r >时,级数1n n u ∞=∑收敛；(ii)当1r <时,级数1n n u ∞=∑发散.注：当级数的通项含有阶乘与n 次幂,型如!n 与n a 时,而使用柯西判别法、达朗贝尔判别法时极限等于1等无法判断其敛散性的时候,可选用拉贝判别法.例10 讨论级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑当1,2,3s =时的敛散性. 解 无论1,2,3s =哪一值,对级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑的比式极限,都有1lim 1n n nuu +→∞=,所以用比式判别法无法判别级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑的敛散性.现在应用拉贝判别法来讨论,当1s =时,由于12111122222n n u n n n n u n n +⎛⎫+⎛⎫-=-=→ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ （n →∞）,所以级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑是发散的. 当2s =时,由于()()21243211112222n n n n u n n n u n n +⎡⎤+⎛⎫+⎛⎫-=-=<⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （n →∞）, 由拉贝判别法可知级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑发散. 当3s =时,由于()()2313121872131122222n n n n n u n n n u n n +++⎡⎤⎛⎫+⎛⎫-=-=→⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦（n →∞）,所以级数13(21)24(2)sn n ⎡⎤⋅⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⎣⎦∑收敛. 定理2.11[1]（对数判别法） 对于正项级数1n n u ∞=∑,若从某一项起,有1ln1ln n u p n ≥>,则级数1n n u ∞=∑收敛；若从某一项起,有1ln 1ln nu n <,则级数1n n u ∞=∑发散.对数判别法的极限形式：对于正项级数1n n u ∞=∑,如果1lnlimln nn u r n →∞=,那么,当1r >时级数收敛；1r <时级数发散；1r =时级数的收敛性需要进一步判定.注：当级数的通项ln n u n n =或()()ln ln g n n u f n =时,可以选用对数判别法.例11 判别级数()ln 21ln ln nn n ∞=∑[8]的敛散性.解 因为()1lnln ln ln ln nu n n=,对0α>,N ∃,当n N >时,有()ln lnln 11n α≥+>,所以原级数收敛.使用上面定理时，通常要根据通项的特点来使用相应的判别法,一般情况下有个使用的先后顺序,顺序是：柯西判别法,达朗贝尔判别法,比较判别法,基本判别法.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断.3．正项级数收敛判别法的推广前面我们介绍了判别正项级数敛散性的一些常用判别法,但是有些题目用那些常用方法判别时可能会经过特别麻烦的过程才能得到结果或者得不到结果.为了解决这个问题,我们将一些常用的判别法进行推广,就使得对某些级数的敛散性判别变得更加容易了.3.1[5]D-C 判别法对于级数1n n n u v =∞∑,其中0,0n n u v >>,若11limn n nu L u +→∞=,2lim n n n v L →∞=,那么（i ）当1201L L ≤<时,级数1n n n u v =∞∑收敛；（ii ）当121L L >（含12L L =+∞的情形）时,级数1n n n u v =∞∑发散；（iii ）当121L L =或120L L =⎧⎨=+∞⎩或120L L =+∞⎧⎨=⎩时,级数1n n n u v =∞∑的收敛性待确定.例12判别级数()21121ln 1!n n n n n n ∞=⎛⎫⋅+⋅+ ⎪⎝⎭∑的收敛性.解 令()ln 1!n n u n +=,2121n n n v n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则有()()11ln 21lim lim 01ln 1n n n nn u L u n n +→∞→∞+==⋅=++,21lim lim 212nn n n n L v e n →∞→∞⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.从而,1201L L =<,由D-C 判别法知,原级数收敛.3.2[3]越项比值判别法设正项级数1n n u ∞=∑的通项n u 是递减的,如果2limnn nu u λ→∞=,则（1）当12λ<时,级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当12λ>时,级数1n n u ∞=∑发散.3.3[7]次数差审敛法若正项级数1n n u ∞=∑的一般项n u 为关于项数n 的分式形式（若为整式则分母视为1）,设分子的最高次数为k ,分母的最高次数为m .（1）若1m k -≤,则级数发散； （2）若1m k ->,则级数收敛.证明 （1）当1m k -≤时,分四种情况讨论.①若0m k -<,则其部分和数列一定是一个单调增加无解数列,故部分和数列的极限不存在,由级数发散的定义,级数发散.②若0m k -=,则一般项的极限为分子、分母的最高次数的系数比,即一般项的极限不可能为0,根据级数收敛的必要条件,级数发散.③若01m k <-<,此时n nu 的分子的次数高于分母的次数,则有lim =+n n nu →∞∞,根据极限审敛法,级数发散.④若1m k -=,此时n nu 的分子、分母的最高次数相同,则有lim 0n n nu l →∞=≠,根据极限审敛法,级数发散.综上,若1m k -≤,级数1n n u ∞=∑发散.（2）若1m k ->,设p m k =-,则存在p ＞1使得lim 1p n n n u →∞=,根据极限审敛法,级数收敛.例13判定级数31ln n nn∞=∑的敛散性. 分析：这里我们把ln n 认为n 的最高次数为1,此时3121m k -=-=>,猜想级数收敛.启示我们找一个收敛级数与该级数比较.解 因为ln n n <得332ln 1n n n n n <=,因为级数211n n∞=∑收敛,,由比较审敛法知31ln n nn ∞=∑收敛. 例14 判定级数211n nn ∞=+∑的敛散性 解 由次数差审敛法,2111,222m k -=-=<所以此级数发散. 3.4[8]柯西判别法的推广设1n n a ∞=∑为正项级数,若存在正定数a ,使得1lim ann n a r →∞=,则（i ）当01r ≤<时,级数1n n a ∞=∑收敛；（ii ）当1r <≤+∞时,级数1n n a ∞=∑发散.例15考察正项级数3/21()21n n n n ∞=+∑的敛散性.解 由于321lim lim1212n nn n n an →∞→∞==<+,故由柯西判别法的推广知此级数收敛.且容易看出这样判别较运用柯西判别法来判定,显得更加简便快捷.3.5[8]达朗贝尔判别法的推广 设1n n a ∞=∑为正项级数,且1lim lnn n na n q a +→∞=,则 （i ）当-∞≤q ＜-1时,级数1n n a ∞=∑收敛；（ii ）当-1＜q ≤+∞时,级数1n n a ∞=∑发散.例16考察正项级数31135(21)()2462n n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅∑的敛散性.解 由于3121limlim()122n n n na n a n +→∞→∞+==+,故达朗贝尔判别法失效,但由于3221213213lim lnlim ln()lim ln()12222222n n n n n n a n n n n n a n n n ++→∞→∞→∞++===-<-+++, 故由达朗贝尔判别法的推广知此级数收敛.3.6[12]比较判别法的推广（1）若正项级数1n n u ∞=∑收敛,则级数1kn n u ∞=∑也收敛（k N +∈）；（2）若正项级数1n n v ∞=∑发散,且lim n n v →∞=+∞,则级数1k n n v ∞=∑发散.证明 用数学归纳法和比较判别法来证明.（1）当2k =时,因为级数1n n u ∞=∑收敛,所以lim 0n n u →∞=,从而2lim lim 0nn n n nu u u →∞→∞==,即21n n u ∞=∑收敛. 假设k m =时1knn u ∞=∑收敛,则1k m =+时,由1lim lim 0m n n m n n nu u u +→∞→∞==得11m n n u ∞+=∑收敛,所以结论成立.（2）当2k =时,2lim lim n n n n nv v v →∞→∞==+∞,由比较判别法知21n n v ∞=∑发散.假设k m =时1knn v ∞=∑发散,则1k m =+时,因为1li m li m m nn m n n nv v v +→∞→∞==+∞,所以11m nn v∞+=∑发散,因此结论成立.例17 判别级数10021213n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑的敛散性.解 由级数123n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑和级数211n n ∞=∑收敛,可得级数2213n n ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦收敛.再由比较判别法的推广得级数10021213n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑收敛.3.7[6]拉贝判别法的推广 引理[6]设正项级数1nn n a =∑发散,则级数1nan na s ∞=∑当1a >时是收敛的,当1a ≤时是发散的.其中,1nn k k s a ==∑.证明 先证明1a =时级数发散.因为正项级数1nnn a=∑发散,所以()n s n →∞→∞,并且n s 单调递增.于是11111.nnk k k k n n m k m k mk n n n s s s s s s ss s s s ----==--->==-∑∑ 对任意m ,存在n 使得112m n s s -<,从而11.2n k k k m k s s s -=->∑于是,级数1nn n a =∑发散. 当1a <时,由比较判别法知级数1nn n a =∑发散.当1a >时,同样因为正项级数1nn n a =∑发散,所以()n s n →∞→∞,并且n s 单调递增.故对任意k ,存在k n ,使得122k k k n s +>>,这说明()()()()11211112112212112222k k k k k k k n n n aaaka k a n n n a a a a a a a a a a a a ++++--+++-++⋅⋅⋅+<=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+所以对正项级数1nn n a =∑适当的加括号后所得的级数是收敛的,从而,原级数收敛.定理 设正项级数1nn a∞=∑（0,1,2,...n a n ≠=）发散.若正项级数1nn u∞=∑（0,1,2,...n u n ≠=）满足1211 (i)n n n n n n n a a a u a R a u a →∞+++++⎛⎫-= ⎪⎝⎭（3）则（i ）当1R >（包括R =∞）时级数1n n u ∞=∑收敛（ii ）当1R <时级数1n n u ∞=∑发散（iii ）当R=1时级数1n n u ∞=∑的敛散性不定.证明 由1R >,可以找到a 满足1R a >>,记1n n k k S a ==∑.因为级数1nn k a =∑发散,所以()n s n →∞→∞,由引理知级数1nan na s ∞=∑是收敛的.这时,若记n n a n a b s =,则2112111(1)(1)(1)2a n n n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b s a s s a +++++⋅-=+=++⋅+⋅⋅⋅ 11()n n n n na a a o a s s +⋅=++ 又由（3）知,当n 充分大,R 是常数时1211(),0()n n n n n n a a a u a R n a u a εε++++⋅⋅⋅+-=+→→∞11()n n n n n nu a R a u a s ε+++=+ 11()1()n n n n n n nu b R a a o u b s s ε+++--++, 其中nn n a b s =,当n 充分大时可以保证上式右端大于0,从而由引理知级数1nn u ∞=∑收敛.当R =∞时,与上面的证明相似.当1R <时,由（1）得111n n n nn n n n u a a b u a s b +++<+=,由引理知1n n u ∞=∑发散.3.8[4]厄尔马可夫判别法设()f x 为递减的正值连续函数,又设()()lim x x x e f e f x λ→∞=,那么（1）当1λ<时,级数()1n f n ∞=∑收敛；（2）当1λ>时,级数()1n f n ∞=∑发散.厄尔马可夫判别法的推广设()f x 为递减的正值连续函数,()x φ为递增可导函数,并满足()x x φ>,如果()()()()/limx x f x f x φφλ→∞=,那么（1）当1λ<时,级数()1n f n ∞=∑收敛；（2）当1λ>时,级数()1n f n ∞=∑发散.证明 （1）设1λ<,由于()()()()/limx x f x f x φφλ→∞=,0ε∴∀>,有0N >,使当x N >时,有()()()/()()x f x f x φφλε<+.取ε使1p ελ+=<,则()()()/()x f x pf x φφ<.于是当b N >时,有()()()/()bb NNx f x dx p f x dx φφ<⎰⎰,()()()()b bN Nf x dx p f x dx φφ<⎰⎰,()()()()()()0(1)()b b b N NN p f x dx p f x dx f x dx φφφφ<-<-⎰⎰⎰=()()()()N b Nbp f x dx f x dx φφ-⎰⎰.由于N 充分大且b N >,故()b b φ<,又因()0f x >,故()()0b bf x dx φ>⎰,从而,()()()()(1)()b N N Np f x dx p f x dx φφφ-<⎰⎰,()()()()()(1)b N N Npf x dx f x dx p φφφ<-⎰⎰固定N ,让b →+∞,取极限得()()()()(1)N N N pf x dx f x dx p φφ+∞≤-⎰⎰.于是由柯西积分判别法知级数()1n f n ∞=∑收敛.（2）当1λ>时,则取N 充分大,可得当x N >时,()()()/()()()x f x f x f x φφλε>->.从而()()()/()bb NNx f x dx f x dx φφ>⎰⎰,()()()()b bN Nf x dx f x dx φφ>⎰⎰,()()()()b N bNf x dx f x dx φφ>=⎰⎰常数, ()b N >上式表明,无论b 多大,总有()b b φ>使()()b b f x dx φ>⎰某常数,从而积分()Nf x dx +∞⎰发散.再由柯西判别法知级数()1n f n ∞=∑发散.小 结正项级数是级数理论的重要组成部分,而它的敛散性的判定又是级数理论的核心问题.因此,正项级数敛散性的判定在理论和实际中都有广泛的应用.但敛散性的判别方法却不尽相同.一、介绍了正项级数常用的收敛判别法. 常用的收敛判别法有： ●基本判别法如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛. ●级数收敛的柯西准则级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε,总存在N ,使得当n N>时,对于任意的正整数1,2,3,p =,都成立着12.n n n p u u u ε++++++<对于正项级数1n n u ∞=∑,由于0n u >,因此,只要12n n n p u u u ε++++++<即可.●比较审敛法设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n N >都有n n u v ≤则（i ）若级数1n n v ∞=∑收敛,则级数1n n u ∞=∑也收敛；（ii ）若级数1n n u ∞=∑发散,则级数1n n v ∞=∑也发散.●柯西判别法（根式判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数.且存在某正数0N 及正常数l ,则（i ）若对一切0n N >,成立不等式nn u l ≤＜1,则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若对一切0n N >,成立不等式1n n u ≥,则级数n u ∑发散. ●达朗贝尔判别法（或称比式判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数q （01q <<）.(i)若对一切0n N >,成立不等式1n n u q u +≤,则级数1n n u ∞=∑收敛;(ii) 若对一切0n N >,成立不等式11n n u u +≥,则级数1n n u ∞=∑发散.●积分判别法设()f x 为[)1,+∞上非负减函数,那么正项级数()f n ∑与反常积分()1f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散.●拉贝判别法设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数r ,(i) 若对一切0n N >,成立不等式111n n u n r u +⎛⎫-≥> ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑收敛;(ii) 若对一切0n N >,成立不等式111n n u n u +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑发散.●对数判别法对于正项级数1n n u ∞=∑,若从某一项起,有1ln1ln nu p n ≥>,则级数1n n u ∞=∑收敛；若从某一项起,有1ln1ln nu n <,则级数1n n u ∞=∑发散. 二、介绍了推广后的正项级数收敛判别法 ●D-C 判别法对于级数1n n n u v =∞∑,其中0,0n n u v >>,若11limn n nu L u +→∞=,2lim n n n v L →∞=,那么（i ）当1201L L ≤<时,级数1n n n u v =∞∑收敛；（ii ）当121L L >（含12L L =+∞的情形）时,级数1n n n u v =∞∑发散；（iii ）当121L L =或120L L =⎧⎨=+∞⎩或120L L =+∞⎧⎨=⎩时,级数1n n n u v =∞∑的收敛性待确定.●越项比值判别法设正项级数1n n u ∞=∑的通项n u 是递减的,如果2limnn nu u λ→∞=,则（1）当12λ<时,级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当12λ>时,级数1n n u ∞=∑发散.●次数差审敛法若正项级数1n n u ∞=∑的一般项n u 为关于项数n 的分式形式（若为整式则分母视为1）,设分子的最高次数为k ,分母的最高次数为m .（1）若1m k -≤,则级数发散； （2）若1m k ->,则级数收敛. ●柯西判别法的推广设1n n a ∞=∑为正项级数,若存在正定数a ,使得1lim ann n a r →∞=,则（i ）当01r ≤<时,级数1n n a ∞=∑收敛；（ii ）当1r <≤+∞时,级数1n n a ∞=∑发散.●达朗贝尔判别法的推广 设1n n a ∞=∑为正项级数,且1lim lnn n na n q a +→∞=,则 （i ）当-∞≤q ＜-1时,级数1n n a ∞=∑收敛；（ii ）当-1＜q ≤+∞时,级数1n n a ∞=∑发散.●比较判别法的推广（1）若正项级数1n n u ∞=∑收敛,则级数1kn n u ∞=∑也收敛（k N +∈）；（2）若正项级数1n n v ∞=∑发散,且lim n n v →∞=+∞,则级数1k n n v ∞=∑发散.●拉贝判别法的推广 设正项级数1nn a∞=∑（0,1,2,...n a n ≠=）发散.若正项级数1nn u∞=∑（0,1,2,...n u n ≠=）满足1211 (i)n n n n n n n a a a u a R a u a →∞+++++⎛⎫-= ⎪⎝⎭则（i ）当1R >（包括R =∞）时级数1n n u ∞=∑收敛（ii ）当1R <时级数1n n u ∞=∑发散（iii ）当R=1时级数1n n u ∞=∑的敛散性不定.●]厄尔马可夫判别法设()f x 为递减的正值连续函数,又设()()lim x x x e f e f x λ→∞=,那么（1）当1λ<时,级数()1n f n ∞=∑收敛；（2）当1λ>时,级数()1n f n ∞=∑发散.厄尔马可夫判别法的推广：设()f x 为递减的正值连续函数,()x φ为递增可导函数,并满足()x x φ>,如果()()()()/limx x f x f x φφλ→∞=,那么（1）当1λ<时,级数()1n f n ∞=∑收敛；（2）当1λ>时,级数()1n f n ∞=∑发散.当然,这只是正项级数收敛判别法及其推广的一小部分,除了这些之外,还有好多其他判别法有待于我们进行更深刻的研究.致谢随着这篇本科毕业论文的最后落笔,四年河北北方学院的学习生活也即将划上一个圆满的句号.这四年也注定将成为我人生中的一段重要旅程回忆.四年来,我的师长、我的领导、我的同学给予我的关心和帮助,使我终身收益,倍感珍惜.在本文的撰写过程中,韩振芳老师作为我的指导老师,她治学严谨,学识渊博,视野广阔,为我营造了一种良好的学术氛围.置身其间,耳濡目染,潜移默化,使我不仅接受了全新的思想观念,树立了明确的学术目标,领会了基本的思考方式,掌握了通用的研究方法,而且还明白了许多待人接物与为人处世的道理.其严以律己、宽以待人的崇高风范,朴实无华、平易近人的人格魅力,与无微不至、感人至深的人文关怀,令人如沐春风,倍感温馨.正是由于她在百忙之中多次审阅全文,对细节进行修改,并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见,本文才得以成型.在此特向韩振芳老师致以衷心的谢意！同时感谢所有教导过我的老师们四年来对我的栽培和教育,感谢同学朋友们对我的关心帮助.同时也感谢学院为我提供良好的做毕业论文的环境.最后再一次感谢所有在毕业论文中曾经帮助过我的良师益友和同学,以及在论文中被我引用或参考的论著的作者.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M]. 北京:高等教育出版社(第三版),2001:1-23.[2] 欧阳光中,朱学炎等.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2007:90-112.[3] 斯琴.正项级数的敛散性判别法[J]. 河套大学学报,2009.6(2): 18-22.[4] 杨钟玄.关于正项级数敛散性判别法及其联系[J].天水师专学报,1999,19(3):80-83.[5] 张永明.正项级数的D-C判别法[J].工科数学,2002, 18(2):95-96.[6] 唐翠娥.级数敛散性的拉阿贝判别法的推广[J].大学数学,2005,22(2):132-134.[7] 李智军.判定正项级数敛散性的一种简便方法[J].科技咨询,2008,6(29):249-250.[8] 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拉阿伯判别法
拉阿伯判别法在数学专业用的微积分教科书中，关于正项级数敛散性判别法，除常用的柯西判别法(即根值判别法)和达朗贝尔判别法(即比值判别法)外，还有其他的判别法。
下面的拉阿伯(J.L.Raabe)判别法就是其中之一。
拉阿伯判别法 设有正项级数1(0)n n n u u ∞=>∑. 若有1lim 1()n n n u n l l u →∞+⎛⎫-=-∞≤≤+∞ ⎪⎝⎭则当1l >(包括+∞=l )时，级数收敛；而当1l <(包括∞-=l )时，级数发散。
【像比值判别法那样，当1=l 时，不能由此得出级数的敛散性】证 当1l >(包括+∞=l )时，取r 满足1l r >>. 根据数列极限的定义，则有正整数N 使11n n u n r u +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭)(N n ≥ 从而 （※）11n n u r u n+≥+)(N n ≥ 另一方面，再取正数满足p 1r p >>，因为有()()10x 01110lim lim 01p p x x p x p r x -→→+-+⎛⎫==< ⎪⎝⎭ 所以有正整数N N ≥1，使当1N n ≥时有1111pn r n⎛⎫+- ⎪⎝⎭<，即111p r n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ 因此，当1N n ≥时，根据式（※），则有 1111p n n u r u n n +⎛⎫≥+>+ ⎪⎝⎭ 或 11(1)(1)11p p n npu n n p u n n ++⎛⎫<=> ⎪+⎝⎭ 根据p –级数的收敛性，所以级数1(0)n n n u u ∞=>∑也是收敛的【比较判别法的推论】。
其次，当1<l 时，对于足够大的n 有111n n u n u +⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 即11111n n u n n u n n++>=+【注】比值判别法是同等比级数做比较，而拉阿伯判别法是同p -级数做比较。
正项级数的拉阿贝对数判别法
定理１（第二对数判别法）
设∑口ｎ为正项级数（口ｎ＞ｏ），Ｊ；［。ｌ—ｉｍ。耐ｎ未２ ｚ：则
推广Raabe判别法是新近提出的关于正项级数敛散性问题一种普遍性方法.通过对它的进一步探讨,推出了几种常用判别法,同时得到了推广Raade判别 法与经典的Kummer判别法的关系.
5.期刊论文 杨钟玄.YANG Zhong-xuan 正项级数收敛性的又一新判别法 -贵州师范大学学报（自然科学版）
2005,23(4)
ｎ＿．∞
口ｎ＋１
ｏｎ＋１
ｌｎ去ｏｎ＋１＝上／７，＋鲁ｎ，（ｓ。一ｏ，ｎ一∞），ｊ口丢ｎ＋ １＝ｅｘｐ（÷＋ｎ鲁），ｎ（占。－＋ｏ，ｎ＿＋∞），
。１．．ｉｒａ。ｎ（未一ｌ’）＝。ｌｉｍ。［ｅｘｐ（÷＋鲁）一１］／÷＝。１．．ｉｒａ。［（／ｎ＋鲁）／÷］＝ｚ，
ｊｎ（旦口ｒｔ＋ｌ—１）＝ｚ＋占。，（８ｎ枷，ｎ一∞），；砉＝１＋÷＋鲁＝ｌ＋寺＋。（÷），
近年来,关于正项级数收敛性判别法又有一些新的研究,其中主要是得到了一些关于收敛性的新判别法以及对有关判别法的强弱进行了讨论.本文建立 了正项级数收敛性的又一个新判别法,它适用判别与级数∑∞n=2(1)/(n(lnn)s)敛散速度相当的正项级数的敛散性,因而新判别法比传统的Raabe判别法等 更为精细.此外,通过与Gauss判别法进行比较,得出了新判别法强于Gauss判别法的结论.
二对数判别法，并且证明了Ｒａａｂｅ判别法和第二对数判别法的等价性．
关键词
正项级数 Ｒａａｂｅ判别法 对数判别法 等价性 中图分类号０１７３．１
关于某正项级数敛散性的判别法
关于正项级数敛散性的判别法作者: 学号： 单位： 指导老师摘要：级数是数学分析中的主要容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化.关键词：正项级数；敛散性；判别法1引言设数项级数121...++...nn n aa a a ∞+==+∑的n 项部分和为：121......nn n i i S a a a a ==++++=∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数S ，使lim n x S S →∞=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞是否存在，从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数1nn a∞=∑收敛⇔0,,,N N n N p N ε++∀>∃∈∀>∀∈对，有+1+2++...+<n n n p a a a ε.当p=1时，可得推论：若级数收敛，则.其逆否命题为：若，则级数发散.2 正项级数敛散性判别法设数项级数1nn a∞=∑为正项级数()0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S单调递增，由数列的单调有界定理，有定理2.1：正项级数n 1u n ∞=∑收敛⇔它部分和数列{}n S 有上界.证明：由于所以{}是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）：设两个正项级数n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑，且有，c 是正常数，则1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，则级数n 1u n ∞=∑也收敛;2）若级数n 1u n ∞=∑发散，则级数n 1n v ∞=∑也发散.证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1u n ∞=∑的有限项，，则不改变级数n1u n ∞=∑的敛散性.因此，不妨设有，c 是正常.设级数n 1n v ∞=∑与n 1u n ∞=∑的n 项部分和分部是，有上述不等式有，n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n .1)若级数n 1n v ∞=∑收敛，根据定理1，数列{}有上届，从而数列{}也有上届，再根据定理1，级数n 1u n ∞=∑收敛;2)若级数n 1u n ∞=∑发散，根据定理1，数列{}无上届，从而数列{}也无上届，在根据定理1，级数n 1u n ∞=∑发散.其极限形式：定理2.2.1(比较判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑（）是两个正项级数且有lim=nx nu v λ→∞，， 1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，且，则级数n 1u n ∞=∑也收敛；2）若级数n 1n v ∞=∑发散，且，则级数n 1u n ∞=∑也发散.证明:1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，且，，由已知条件，,有，即，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)若级数n 1n v ∞=∑发散，且，由已知条件，,u ,,,00nn v N n N N <-≥∀∈∃+∞<<∃+ελλε有：根据柯西收敛准则推论的逆否命题知，则级数n 1u n ∞=∑也发散.若级数n 1n v ∞=∑发散，且，有已知条件，即根据’柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑也发散.例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201n n n =,原级数也接近于级数∑∞=121n n,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n,至多差一个系数.解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛.例2 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n n n 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数.解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n n n n （分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的.由比较判别法可推得：定理2.3（比值判别法——达朗贝尔判别法）：设n 1u n ∞=∑()为正项级数，且存在正常数q,则有1) 若则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若，有1nn u v ≥，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1）不妨设,n=1， ; n=2, n=3, ...... n=k, ......已知几何级数收敛，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑收敛.2)已知即正项级数{}从N 项以后单调增加，不去近乎0，则级数n 1u n ∞=∑发散.定理2.3.1（比值判别法的极限形式）：设n 1u n ∞=∑()为正项级数，且，有，1) 若，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1)由数列极限定义，l q l N N N l nn -<->∀∈∃>=∃++u u ,n ,,0-q 10有ε即，根据达朗贝尔判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2）已知，根据数列极限的保号性，，达朗贝尔判别法，级数n 1u n ∞=∑发散.例3 判别级数∑∞=1!n n n n 的敛散性. 解: 由于11])11(1[lim )1(lim ]!)1()!1([lim lim11<=+=+=++=∞→∞→+∞→+∞→en n n nn n n u u n n n n nn n n n n ,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=1!n nnn 收敛. 例4 判别级数∑∞=155n nn的敛散性.解: 由于15)1(5lim ]5)1(5[lim lim55511>=+=+=∞→+∞→+∞→n n nn u u n n n n n n n ,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=155n nn发散.当正项级数的一般项n u 具有积、商、幂的形式,且n u 中含有!n 、!!n 、n a 以及形如)()2)((nb a b a b a +++Λ的因子时,用达朗贝尔判别法比较简便.定理2.4（根式判别法——柯西判别法）：设n 1u n ∞=∑为正项级数，存在常数q ，则有1) 若有，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若存在自然数列的子列{}i n ，使得，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1）已知有，有已知几何级数收敛，于是级数收敛; 2)已知存在无限个n,有，即趋近于0（），于是级数n 1u n ∞=∑发散.定理2.4.1(根式判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑为正项级数，若1) 若时，级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若时，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1),由数列极限定义，11,n ,,01q n 0<<--≥∀∈∃>-=∃+q u q l u N N N n n n 即有ε，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)已知，根据数列极限的保号性，，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对=1r 的形式都为论及.实际上，当+1lim=1n x n u u →∞或+1lim =1n x nuu →∞时，无法使用这两个法判别来判断敛散性，如级数=11n n ∞∑和2=11n n∞∑，都有1+1lim =lim =11+1x x n n n n→∞→∞，()2221+1lim =lim =11+1x x n n n n →∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，lim x →∞，lim x →∞但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中，关于收敛条件+1q<1n nu u ≤和<1q ≤也不能放宽到+1<1n n u u，.例如对调和级数=11n n∞∑，有+1=<1+1n n u nu n，，但级数却是发散的. 例1 判别级数nn n n )12(1∑∞=+的敛散性. 分析: 该级数的通项nn n )12(+是一个n 次方的形式,于是联想到柯西判别法,对通项开n 次方根,看其结果与1的大小关系.解: 由于12112lim )12(lim lim <=+=+=∞→∞→∞→n n n n u n n n n n n n ,根据柯西判别法的推论,可得级数nn n n )12(1∑∞=+收敛. 例2 判别级数∑∞=1ln 32n n n的敛散性.解: 由于123232lim 32lim lim 0ln ln >====∞→∞→∞→nn n n n n n n n n u ,所以根据柯西判别法的推论知,级数∑∞=1ln 32n n n发散.我们知道，广义调和级数（P-级数）11np n n =∑当1q >时收敛，而当1q ≤时发散，因此，取P-级数作为比较的标准，可得到比比式判别法更为精细而又应用方便的判别法.即定理2.5（拉阿贝判别法）：设1nn n u =∑是正项级数且有，则存在常数q ，1) 若，则级数1nn n u =∑收敛；2）若，则级数1nn n u =∑发散.证明：1）由可得，选p 使1<p<q.由()()()11lim11lim 111lim 100<=-=--=---→→∞→qpqx p qx x nq np x px pn ，因此，存在正数N ，是对任意n>N,,这样，于是，当n>N 时就有()Np PN PppN N N n n u n N u N N n n n n u u u u u .1.1...121.......u u u 11n 1n 1n -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=++++,当p>1时，级数收敛，故级数 则级数1nn n u =∑收敛；2）由于是222231-n n n 1n 1n .1u .21...12.1.u u .....u u .u u u u nn n n n u =--->=++，因为发散，故级数1nn n u =∑发散.定理2.5.1（拉阿贝判别法的极限形式）： 设正项级数∑∞=1n n u )0(>n u ,且极限存在,若.)1(lim 1l u u n nn n =-+∞→ 1)当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛;2) 当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31ΛΛ当3,2,1=s 时的敛散性.分析: 无论3,2,1=s 哪一值,对级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31ΛΛ的比式极限,都有1lim1=+∞→nn n u u .所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性.现在用拉贝判别法来讨论.解: 当1=s 时,由于)(12122)22121()1(1∞→<→+=++-=-+n n n n n n u u n n n , 所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当2=s 时,由于)(1)22()34()2212(1)1(221∞→<++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n u u n n n , 所以原级数是发散的.当3=s 时,∵)(23)22()71812()2212(1)1(3231∞→→+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n n u u n n n , 所以原级数收敛.考虑到级数与无穷积分的关系，可得 定理2.6（积分判别法）：设函数()f x 在区间(]1,∞上非负且递减，()n u f n =，n=1,2，……，则级数1nnn u=∑收敛的充分必要条件是极限()1lim xx f x dt →∞⎰存在.证明： Q ()0f x ≥，知()F x =1()xf t dt ⎰单调递增.1lim ()lim ()xx x F x f t dt →∞→∞∴=⎰存在⇔()F x 在(]1,∞有界.（充分性）设1lim ()x x f t dt →∞⎰存在，则存在0M >,使得(]11,,()xx f t dt M ∀∈∞≤⎰级数1n n u ∞=∑的部分和12...n n S u u u =+++()()()12...f f f n =+++()()()()231211...n n f f t dt f t dt f t dt -≤+++⎰⎰⎰()()()111nf f t dt f M =+≤+⎰即部分和数列有上界.所以级数1n n u ∞=∑收敛.（必要性）设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则它的部分和有上界，即存在0,,M n N ≥∀∈有,n S M ≤从而对(]1,,x ∀∈∞令[]1n x =+ 则()()2311121()()...()xnn n f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt -≤=++⎰⎰⎰⎰⎰()()()112...1n f f f n S M -≤+++-=≤.故极限1()x f t dt ⎰存在.由此我们得到两个重要结论： (1)p 级数11pn n∞=∑收敛1p ⇔>； (2)级数11ln pn n n∞=∑收敛1p ⇔>. 证明：1)在p 级数一般项中，把n 换位x ，得到函数1()(1)pf x x x =≥.我们知道，这个函数的广义积分收敛1p ⇔>，因此根据正项级数的广义积分判定法，结论成立.2）证法同（1）. 例1 判别级数∑∞=131n n 的敛散性. 分析:因为将n 换成连续变量x ,即是31x ，显然函数31x在),1[+∞是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数∑∞=131n n 换成积分形式dx x ⎰+∞131,由于21210)21()21(lim 21121213=+=---=-=+∞→+∞∞+⎰px dx x p ,即dx x ⎰+∞131收敛,根据积分判别法可知,级数∑∞=131n n 也收敛. 例2 证明调和级数∑∞=11n n发散.把n 换成连续变量x 得函数x1,显然这是一个在),1[+∞单调减少的正值函数,符合积分判别法的条件.解:将原级数∑∞=11n n 换成积分形式dx x ⎰+∞11,由于+∞=-+∞==∞++∞⎰0ln 111x dx x ,即dx x ⎰+∞11发散,根据积分判别法可知,调和级数∑∞=11n n 发散. 3 正项级数敛散性其他两种判别法定理2.7（阶的估计法）：设1n n u ∞=∑为正项级数1()()n p u O n n=→∞，即n u 与1p n 当()n →∞是同阶无穷小，则1) 当1p >时，级数1n n u ∞=∑收敛；2) 当1p ≤是，级数1n n u ∞=∑发散.把比较判别法和比式判别法结合，又可得定理2.8（比值比较判别法）：设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是正项级数且存在自然数N ，使当n N ≥时有11n n n nu v u v ++≤，则1) 若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛；2) 若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑也发散.证明：当n N ≥时，由已知得12121111.......n N N n N N n n N N N n N N n Nu u u u v v v v u u u u v v v v +++++-+-=≤=由此可得,N N n n n n N Nu v u v u v v u ≤≤.再由比较判别法即知定理结论成立. 主要参考文献：[1]玉琏、傅沛仁等，数学分析讲义（第三版）.高等教育，2003[2]罗仕乐，数学分析绪论.学院数学系选修课程，2003.8[3]成章、黄玉民，数学分析（上册）.科学，1999.5[4]邓东皋、晓玲，数学分析简明教程.高等教育，2000.6[5]筑生，数学分析新讲.大学，2002.6[6]丁晓庆，工科数学分析（下册）.科学，2002.9[7]R.柯朗、F.约翰，微积分与数学分析引论.科学，2002.5。
拉阿伯判别法
拉阿伯判别法
拉阿伯判别法是一种用于判断二次方程是否有实数根的方法。
对于形如ax²+bx+c=0的二次方程，如果其判别式Δ=b²-4ac大于等于0，则该方程有实数根；如果Δ小于0，则该方程无实数根。
拉阿伯判别法的名字来源于9世纪的波斯数学家穆罕默德·本·穆萨·拉阿伯。
他在其著作《代数学》中首次提出了这种方法。
拉阿伯判别法的思想是将二次方程的解表示为两个实数之和或差的形式，然后通过判断这两个实数是否存在来判断方程是否有实数根。
具体来说，对于形如ax²+bx+c=0的二次方程，其解可以表示为x=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b²-4ac为判别式。
如果Δ大于等于0，则存在实数根，此时Δ的平方根√Δ也是实数；如果Δ小于0，则不存在实数根，此时Δ的平方根√Δ是虚数。
拉阿伯判别法不仅可以用于判断二次方程是否有实数根，还可以用于求解二次方程的根。
如果Δ大于等于0，则方程的两个实数根分别为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a；如果Δ小于0，则方程的两个复数根分别为x1=(-b+√-Δi)/2a和x2=(-b-√-Δi)/2a。
拉阿伯判别法是一种简单而实用的方法，可以帮助我们快速判断二次方程是否有实数根，并求解二次方程的根。
在数学学习和实际应用中，它都有着广泛的应用价值。
正项级数收敛及其应用公式版
公式为正常公式,不是图片版正项级数收敛性判别法的比较及其应用一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n∀，有n S<M。
2、几种不同的判别法2.1 比较判别法设∑∞=1nnu和∑∞=1nnv是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有nnvu≤，那么（1）若级数∑∞=1nnv收敛，则级数∑∞=1nnu也收敛；（2）若级数∑∞=1nnu发散，则级数∑∞=1nnv也发散；即∑∞=1nnu和∑∞=1nnv同时收敛或同时发散。
比较判别法的极限形式：设∑∞=1nnu和∑∞=1nnv是两个正项级数。
若lvunnn=+∞→lim，则（1）当时，∑∞=1nnu与∑∞=1nnv同时收敛或同时发散；（2）当0=l 且级数∑∞=1n n v 收敛时，∑∞=1n n u 也收敛；（3）当∞→l 且∑∞=1n n v 发散时，∑∞=1n n u 也发散。
2.2 比值判别法设∑∞=1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着11<q u u n n≤-，0N ∃，有 （1）若对一切0N n >，成立不等式q u u n n ≤+1，则级数∑∞=1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11≥+n n u u ，则级数∑∞=1i n u 发散。
比值判别法的极限形式： 若∑∞=1n n u 为正项级数，则（1） 当1lim<nnn v u +∞→时，级数∑∞=1i n u 收敛； （2） 当1lim≥+∞→nnn v u 时，级数∑∞=1i n u 发散。
正项级数两种判别法的比较
正项级数两种判别法的比较
张亚敏
【期刊名称】《黑龙江科技信息》
【年(卷),期】2007(000)021
【摘要】讨论了正项级数的两种判别法:比值判别法和根值判别法,以及两者的关系,得出凡是可用比值判别法的正项级数必能用根值判别法,逆命题不成立,根据具体问题的特点采用不同的方法,解题得难以程度不同.
【总页数】1页(P179)
【作者】张亚敏
【作者单位】宝鸡文理学院,数学系,陕西,宝鸡,721013
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.基于p级数判敛的正项级数比值判别法的比较 [J], 李亚兰;郑镇汉
2.正项级数敛散性的两种判别法之间关系的讨论 [J], 袁智伟;秦艳珊;樊孝菊
3.正项级数敛散性两种基本判别法补充教学的一些探讨 [J], 农秀丽;黄秀南
4.正项级数比较判别法中"参照级数"的碎片化 [J], 闻道君;陈义安
5.正项级数两种判别法的比较 [J], 张亚敏
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06第六讲 正项级数的比式判别法
数学分析第十二章数项级数正项级数的比式判别法第六讲数学分析第十二章数项级数比式判别法和根式判别法本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的,特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较.但在使用时只要根据级数一般项本身的数学分析第十二章数项级数定理12.7（达朗贝尔判别法，或比式判别法）则级数n u ∑收敛;>0(ii),n N 若对一切成立不等式11,(6)n nu u +≥.n u ∑则级数发散1,(5)n n u q u +≤>0(i),n N 若对一切成立不等式0n u N ∑设为正项级数，且存在某正整数及常数01.q q <<（）数学分析第十二章数项级数把前n -1个不等式按项相乘后,得到--⋅⋅⋅≤132121,n n n u u u q u u u 或者由于当0 < q < 1时,-∑1,n q 等比级数收敛根据比较原则及上述不等式可得.n u ∑级数收敛证+≤≥1(i)1n n u q n u 不妨设不等式对一切成立,于是有21,u q u ≤32u q u ≤，, 1,.n n u q u -≤ 11.n n u u q -≤数学分析第十二章数项级数0n N ≥因为当时,(ii )1n n u u +≥1n u -≥00,N u ≥≥> 从而因此所以级数发散.00lim ,n N n u u →∞≥>数学分析第十二章数项级数推论1（比式判别法的极限形式）若nu ∑为正项级数，且1lim ,(7)n n n u q u +→∞=则(i)1,;n q u <∑当时级数收敛(ii)1,.n q q u >=+∞∑当或时级数发散证由(7)式, 对任意取定的正数<-(1),q ε存在正数当n > N 时, 有+-<<+1.n nu q q u εεN ,数学分析第十二章数项级数1n nu q q u εε+-<<+1,1,q q εε<+<当时根据的取法,有由上述不等式的右半部分及比式判别法的(i),得正项级数n u ∑是收敛的.1,1,q q ε>->若则有根据上述不等式的左半部分及比式判别法的(ii), 可得级数n u ∑是发散的.+>11,n nu u .n u ∑所以这时级数是发散的,+∞=q 若,N 则存在时有当N n ><-(1),q ε数学分析第十二章数项级数例6 级数225258258[23(1)],115159159[14(1)]n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- 由于根据推论1，级数收敛.123lim lim 14n n n nu n u n +→∞→∞+=+34=,1<数学分析第十二章数项级数例7 讨论级数1(0)n nxx ->∑的敛散性.解因为根据推论1,当0 < x <1时级数收敛;,n ∑而当x = 1时, 所考察的级数是它显然也是发散的.作出判断.()111n n n n n x u u nx +-+=1n x n +=⋅(),x n →→∞当x >1时级数发散;若(7)中q = 1, 这时用比式判别法不能对级数的敛散性数学分析第十二章数项级数*推论2∑∑211,n n 和例如级数它们的比式极限都是∑1n而却是发散的.若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极限来判别收敛性.设n u ∑为正项级数.+→∞=<1(i)lim 1,;n n n u q u 若则级数收敛1(ii)lim 1,n n nu q u 若则级数发散.+→∞=>()11,n n u n u +→→∞21n ∑但收敛，数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2 正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别积分判别法*拉贝判别法解由于1,,,n n b n u u c n +⎧=⎨⎩为奇数,为偶数故有于是当c < 1时, 级数(8)收敛; 但当b < 1< c 时,比式判别法无法判断级数的敛散性. 的敛散性, 其中0 < b < c.22211(8)n n n n b bc b c b c b c b c -++++++++*例8 研究级数1lim ,n n nu c u +→∞=1lim ,n n n u b u +→∞=当b >1时,级数发散; 法。
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解 当 ｘ １， 所以 ｐ ＞ １ 时收敛 ， ｐ ≤ １ 时发散 ； ｐ
ｎ ｌ ｎ ｎ １ ｘ ｌ ｎ ｎ） 当ｘ ≠０时， 由于ｌ 故ｕ 而 ｉ ｍ １－ ＝０， ｎ＝ ｐ （ ＞ ０． ｎ→ ∞ ｎ ｎ ｎ
烄 烌ｎ 烄 烌烌 烄 烌烌 烄 烄 ｘ ｌ ｎ ｎ ｘ ｌ ｎ ｎ －ｘ １－ ｌ ｎｎ 烍＝ｅ 烅 烅 烍 ｌ ｉ ｍ １－ ｘ ｌ ｉ ｍ ｎ· ｌ ｎ ｘ ｌ ｉ ｍｎ· ＝ｅ ｐ ｐ ｎ→ ∞烆 ｎ→ ∞ ｎ→＋∞ ｎ 烎 ｎ 烆 烎烎 烆 ｎ 烎烎 烆 烆
２ ｐ 烄１ 烌 π烌 ｐ １ （ ２ π） １烄 ａ ｎ ． ＝Ｏ ２ ～ ｐｎ ｐ ｔ ｎ ｐ烎 ｎ ２ ２烆 烎 烆
当２ 即ｐ ＞ １ 时， 级数收敛 ． ｐ ＞１时， ２ 当２ 即ｐ ＜ １ 时， 级数收敛 ． ｐ ＜１时， ２ 例 ２ 判别级数
烌ｎ ｘ ｌ ｎ ｎ １烄 （ ）的敛散性 ． １ － ｐ ＞０ ｐ ∑ ｎ 烎 ｎ＝１ ｎ 烆
∞
∞
∑ｕ
ｎ＝１
ｎ
的敛散性 ．
例 １ 判别级数
ｎ（ ｓ ｅ ｃ ）的敛散性 ． ∑ｌ ｎ
ｐ ｎ＝３
π
）， 解 由于 ｕ 当ｎ → ∞ 时 ， ｎ ≥３ ｎ ＞０ （
ｕ ｎ＝
～ 所以
烄 燄ｐ 烄 １ ｐ ２ π烌 ２ π烌 １＋ｔ ａ ｎ ａ ｎ ｌ ｎ ｎ １＋ｔ ＝ ｐｌ ｎ烎燅 ｎ烎 ２ 烆 ２ 烆 燀 熿 １
第 ４ 期 李亚兰 ： 正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用
１ ９ ３
它们都是利用 ｐ －级数作为比较标准而建立的 ， 那么 ， 其中的极限 ｐ 与ｐ －级数中的ｐ 有何联系？本文将 并利用该意义来判别正项级数的敛散性 ． 探讨在以上的判别法中的极限 ｐ 的意义 ，
２ 本文结论及证明
第２ ７ 卷第 ４ 期 ２ ０ １ １年８月
大 学 数 学
Ｃ Ｏ Ｌ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ ＭＡＴＨＥＭＡＴ Ｉ Ｃ Ｓ
Ｖ ｏ ｌ ． ２ ７， №． ４ Ａ ｕ ． ２ ０ １ １ ｇ
正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用
李亚兰
（ ） 仲恺农业工程学院 计算科学系 ， 广州 ５ １ ０ ２ ２ ５ ） 摘 要 ］ 利用 Ｓ 判别法等价的几个判别法中 ｐ 的 意 义 ， 即ｐ 为正项级 ｔ ｏ ｌ ｚ定理得出了与拉阿伯 （ Ｒ ａ ｂ ｂ ｅ ［ 数中通项ｕ 并利用它来判别正项级数的敛散性 ． ｎ 单调减少的阶 ， ［ 关键词 ］ 正项级数 ；敛散性 ； Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ定理 ；无穷小的阶 ［ （ ） 中图分类号 ］Ｏ 文献标识码 ］Ｃ ［ 文章编号 ］１ １ ７ ３ ［ ６ ７ ２ １ ４ ５ ４ ２ ０ １ １ ０ ４ ０ １ ９ ２ ０ ４ － － －
１ 引 言
］ 在文 ［ 中， 证明了如下新比值判别法 ： １
∞ ２］ 判别法 Ⅰ ［ 设正项级数 ∞
∑ｕ
ｎ＝１ ｎ
ｎ
ｕ ｎ 满足ｌ 则有 ｉ ｍ ｎ ｌ ｎ ＝ｐ ， ｎ→ ∞ ｕ ｎ １ ＋
（ ）当 ｐ ＞１ 时 ， 级数 ｉ （ ）当 ｐ ＜１ 时 ， 级数 ｉ ｉ
∑ｕ
ｎ＝１
∞
收敛 ； 发散 ．
ｋ－ ′ － ｐ＋ ｋ－ ′ β β β Ｎ （ Ｎ ＝ Ｎ ） ｕＮ ＝ ｅ Ｎ －１ ｅ
（ ）
（ ） ４
烄 烌－ Ｎ －１ 烆
（ ） ｐ＋ β Ｎ
Ｎ
烎
Ｎ －ｐＮ －βＮ ．
（ ） ５
１ ９ ４ 又
大 学 数 学 第 ２ ７卷
Ｎ 烎 ） ， ， 由（ 得 故对于任给正数 存在充分大的 使 ３ Ｎ， ε
’ Ａ ｎ Ａ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｅ ｕ ｉ ｖ ａ ｌ ｅ ｎ ｔ Ｆ ｏ ｒ ｍ ｓ ｏ ｆ Ｒ ａ ｂ ｂ ｅ ｓ ｐ ｐ ｑ Ｃ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ Ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ Ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ
Ｌ Ｉ Ｙ ａ－ ｌ ａ ｎ
Ｎ → ∞烆
ｌ ｉ ｍ
β Ｎ 烄 烌－ ｐ＋ Ｎ －１
（
）
＝１ ，
－ 所以
β Ｎ Ｎ－ ＝
ε ε ． ＜ Ｎ ＜ ２ β ２
烄 １烌－２
ε
烄 １烌βＮ
Ｎ烎 烆
＜ Ｎ 烆 烎
＝Ｎ ２ ．
ε
） 故当 Ｎ 充分大时 ， 由（ 式， 有 ５ ０ ＜ ｕＮ ≤ ｋ ′·Ｎ－ｐ ·Ｎ ２ ＝ Ｏ 其中 ｋ ′ 为某个正常数 ．所以
１ ｘ － ｛ ｝ ｘ ｌ ｉ ｍ（ ｌ ｎｎ） ｌ ｉ ｍ ｎ ｌ ｉ ｍ ｘ， ＝ｅ －ｘ ＝ ＝ ｐ ｎ→＋∞ ｎ→ ∞ ｎ→ ∞ ｎ 所以 １烌 ． ｘ ＋ ｐ ｎ 烆 烎
烄
ｕ ｎ ＝Ｏ
故当 ｐ ＋ｘ ＞ １ 时 ， 即 ｘ ＞ １－ｐ 时级数收敛 ； 当 ｐ ＋ｘ ＜ １ 时 ， 级数发散 ．
１ ）， ｕ ε ＞ ０． ｎ ＝ Ｏ（ ｐ ε ｎ－
ｕ ｕ ｎ ｎ 证 由条件ｌ 可得 ｎ 其中ｌ 即 ｉ ｍ ｎ ｌ ｎ ｌ ｎ ｉ ｍ ０， ＝ｐ ， ＝ｐ ＋α α ｎ ， ｎ＝ ｎ→ ∞ ｎ→ ∞ ｕ ｕ ｎ １ ｎ １ ＋ ＋ ｕ １ ｎ ｌ ｎ ． ＝ （ ｐ ＋α ｎ） ｕ ｎ ｎ １ ＋ ） …， 在（ 式中令 ｎ＝１， 有 １ ２， Ｎ －１，并求和 ， ｕ １ ｎ ｌ ｎ ＝∑ （ ｐ ＋α ｎ ）， ∑ ｕ ｎ １ ＋ ｎ＝１ ｎ＝１ ｎ
） 由施笃兹 （ 定理得 Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ
ｘＮ Ｎ→∞） ． Ｎ ＝ →０ （ β ｙＮ
） 将欧拉 （ 公式 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ
Ｎ－ １
（ ） ３
） ｎ（ Ｎ －１ ＋ε ∑ ｎ ＝Ｃ ＋ｌ
ｎ＝１
１
Ｎ
其中 Ｃ 为欧拉常数 ， 且ｌ ｉ ｍ ０） （ ε Ｎ ＝
Ｎ→ ∞
） 代入 （ 式， 得 ２ ［ ） ｎ ｕ ｌ ｎ ｕＮ ＝ （ Ｃ ＋ｌ ｎ（ Ｎ －１ ＋ε ｌ ｐ ＋β １－ Ｎ） Ｎ］ ） ＝（ ｌ ｎ（ Ｎ －１ ＋Ｃ ε ｐ ＋β ｐ ＋Ｃ ｐ ＋β Ｎ） Ｎ） Ｎ ． βＮ ＋ （ 记β 则 ′ Ｃ ｋ＝ ｌ ｎ ｕ Ｃ ε ｐ＋ ｐ， Ｎ＝ Ｎ ＋（ Ｎ） Ｎ， １－ β β ， ′ ０， Ｎ→ ∞） （ Ｎ→ β 且 ） ｌ ｎ ｕＮ ＝－ （ ｌ ｎ（ Ｎ －１ ＋ ｋ－ ′ ｐ＋ Ｎ） Ｎ． β β 所以
ｘ ｎ １ －ｘ ｎ ＋ （ ） ， 存在 （ 或＋∞ ） ｉ ｉ ｉ ｌ ｉ ｍ ｎ→ ∞ ｙ ｎ １ －ｙ ｎ ＋
则有
ｘ ｘ ｎ ｎ １ －ｘ ｎ ＋ （ 或＋∞ ） ｌ ｉ ｍ ｌ ｉ ｍ ． ＝ ｎ→ ∞ ｙ ｎ→ ∞ ｙ － ｙ ｎ ｎ １ ｎ ＋ ｕ ｎ …）， 定理 若 ｕ 且ｌ 则有 ｎ＝１， ２， ｉ ｍ ｎ ｌ ｎ ＝ｐ ， ｎ ＞０ （ ｎ→ ∞ ｕ ｎ １ ＋
ε
１ 烌 ， ε －２ ｐ Ｎ 烆 烎
烄
ｕ ｎ ＝Ｏ
） 结论 拉阿伯 （ 判别法中极限 ｐ 为级数 Ｒ ａ ｂ ｂ ｅ
烄１ 烌
ｎ 烆
－ ε ｐ
烎
． 中通项ｕ ｎ 单调减少的阶 ．
∞
∑ｕ
ｎ＝１
ｎ
３ 应用举例
由结论知可以求出通项 ｕ 级数 ｎ 单调减少的阶与ｐ －
∞
１ 比较 ， 从而判断级数 ｐ ∑ ｎ ｎ＝１
∑ｕ
ｎ＝１
ｎ
判别法 Ⅱ
［ ３］
１ １ ｌ ｎ ｎ －ｌ ｕ ｕ ｎ １ ｎ ＋ 则有 ｉ ｍ ＝ｐ ， 设正项级数 ∑ｕ ｎ 满足ｌ ） ｎ→ ∞ ｌ ｎ（ ｎ＋１ ｎ ｎ －ｌ ｎ＝１
∞ ∞
（ ）当 ｐ ＞１ 时 ， 级数 ｉ （ ）当 ｐ ＜１ 时 ， 级数 ｉ ｉ
∑ｕ
ｎ＝１
∞
ｎ
收敛 ； 发散 ．
第 ４ 期 李亚兰 ： 正项级数拉阿伯判别法等价形式及其应用
１ ９ ５
［ 参 考 文 献］
［ ］ ］ （ ） ： 郑镇汉 ． 基于 ｐ 级数判敛的正项级数比值判别法的比较 ［ 仲恺农业技术学院学报 ， １ Ｊ ． ２ ０ ０ ６， １ ９ ４ ２ ８－３ ２． 李亚兰 ， ［ ］ ］ （ ） ： 腾厚山 ． 基于 ｐ 级数判敛的正项级数敛散性判别方法 ［ 高等数学研究 ， ２ Ｊ ． ２ ０ ０ ５， ８ ３ １ ８—２ ０． 宋文青 ， ［ ］ ］ （ ） ： 正项级数敛散性的两个判别法 ［ 青海师专学报 ， ３ Ｊ ． ２ ０ ０ ５， ２ ５ ４ ３ ４－３ ５． 何国良 ． ［ ］ 数学分析 ［ 高等教育出版社 ， ４ Ｍ］ ． ３ 版 ．北京 ： ２ ０ ０ １： １ ５． 华东师范大学数学系 ． ［ ］ 数学分析习题集题解 ［ 济南 ： 山东科学技术出版社 ， ５ Ｍ］ ． １ ９ ８ ０： ９ ４． 吉米多维奇 ．
） 下面讨论以上判别法中极限 ｐ 的意义 ， 引入施笃兹 （ 定理 ． Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ
［ ５］ ） 引理 （ ｛ Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ ｘ 若数列 ｛ ｙ ｎ｝ ， ｎ ｝ 满足 （ ） （ …）； ｉ ｎ＝１， ２， ｙ ｎ １ ＞ｙ ｎ ＋
（ ） ｉ ｉ ｌ ｉ ｍ ｙ ｎ ＝＋ ∞ ，
ｎ→ ∞
［ ４］ ） 判别法 （ Ｒ ａ ｂ ｂ ｅ 设正项级数 ∞
∑ｕ
ｎ＝１
ｎ
ｕ ｎ ｝ 满足ｌ 则有 ｉ ｍ ｎ｛ －１ ＝ｐ ， ｎ→ ∞ ｕ ｎ １ ＋
（ ）当 ｐ ＞１ 时 ， 级数 ｉ （ ）当 ｐ ＜１ 时 ， 级数 ｉ ｉ
∑ｕ
ｎ＝１
∞
ｎ
收敛 ； 发散 ．
∑ｕ
ｎ＝１
ｎ
； 收稿日期 ］２ 修改日期 ］２ ０ ０ ９ ０ ４ ２ ９ ０ ０ ９ １ ０ １ ３ ［ － － ［ － － ） 基金项目 ］ 仲恺农业工程学院教研资助项目 （ Ｇ ２ ０ ８ ７ ０ ５ ０ ［
（ ， ， ） Ｄ ｅ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｃ ｏ ｍ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｚ ｈ ｏ ｎ ｋ ａ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｏ ｆ Ａ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ｅ ａ ｎ ｄ Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ Ｇ ｕ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ １ ０ ２ ２ ５， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｐ ｐ ｇ ｙ ｇ ｇ ｇ ｇ ：Ｗ Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｔ ｈ Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ， ｔ ｈ ｉ ｓ ａ ｅ ｒ ｄ ｉ ｓ ｃ ｏ ｖ ｅ ｒ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｍ ｅ ａ ｎ ｉ ｎ ｏ ｆ ｎ ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ａ ｌ ｃ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｅ ｕ ｉ ｖ ａ ｌ ｅ ｎ ｔ ｆ ｏ ｒ ｍ ｓ ｏ ｆ ｐ ｐ ｇ ｑ ｐｉ ’ ， ’ ｓ， ｔ ｈ ａ ｔ ｓ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｓ ｉ ｍ ａ ｌ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｏ ｆ ｔ ｅ ｒ ｍｕ ｎ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｉ ｔ ｓ ａ ｌ ｉ ｅ ｄ ｔ ｏ ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｉ ｍ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ Ｒ ａ ｂ ｂ ｅ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｐ ｐ ｇ ｐ ｎｉ ｐｉ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ ｄ ｉ ｖ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ ． ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｇ ｇ ｐ ： ； ； Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ ｄ ｉ ｖ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｓ ｔ ｏ ｌ ｚ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ； ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｏ ｆ ｉ ｎ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｓ ｉ ｍ ａ ｌ ｓ ｐ ｇ ｇ ｙ