2021届全国新高考数学备考复习 外接球的几种常见求法

2021届全国新高考数学备考复习
外接球几种常见求法
一、由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt △用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r 可根据正弦定理求得）．
二、球体公式
1.球表面积S=4π2
R 2.球体积公式V=3
3
4
R
π
三、球体几个结论：
（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长 （2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 （3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角） （4）正三棱锥对棱互相垂直
四、外接球几个常见模型 1.长方体（正方体）模型
O
例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）
答案：14
练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
（ ） 答案：12π
2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）
球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上
半径公式：222)(r R h R +-=（R 为外接球半径，
r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理
r A
a
2sin = （一边一对角)
例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为
，体积为，则这个球的表面积是____
. 【解析】
正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为．
正四棱锥
的外接球的球心在它的高
上，记为，
，
，
，在中，
，由勾股定理
得
．所以，球的表面积
.
练习2．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该
三棱锥的外接球体积等于 .
解析：ABC ∆外接圆的半径为 ，三棱锥ABC S -的直径为3
4
60sin 22==
R ，外接球半径3
2=
R ，
或1)3(2
2+-=R R ，3
2=
R ，外接球体积27
33233834343π
ππ=
⋅==
R V 3. 侧棱与底面垂直锥体（直棱柱，圆柱）
(1) 侧棱与底面垂直：
球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面交汇处（高的一半处）
半径公式：222)2
(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可
根据正弦定理
r A
a
2sin = （一边一对角)
(2) 直棱柱(圆柱)
球心位置：上下底面外心连线中点处
公式公式：222)2
(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r A
a
2sin = （一边一对角)
例3.在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC
则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.
C π3
40
.D 解析：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=
BC AB AB AC BC ，
7=BC ，ABC ∆的外接球直径为3
722
37sin 2=
=∠=
BAC BC r ， ∴310
,)2(
2222=+=R SA r R ，3
40π=S ，选D 练习3（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,
，则此球的表面积等于 。

解析：32=BC ，4120
sin 3
22==
r ，2=r ，5=R ，π20=S S ABC -111ABC A B C -12AB AC AA ===120BAC ∠=︒
（2）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球面上，则该圆柱的体
积为 。

答案：
π4
3 4.侧面与底面垂直的锥体
例4
三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△
ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .
解析：3460sin 22221==
= r r ，3221==r r ，3
1
2
=H O ， 3
5
343121222=+=+=r H O R ，315=R ；
练习4（1）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，
︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积
为 。

π16
解析：折叠型，法一：EAB ∆的外接圆半径为31=r ，11=OO ，
231=+=R ；法二：
231=M O ，2
13
22==D O r ，44
13
432=+=
R ，2=R ，π16=S
（2）（2017新课标）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。

若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________
答案：π36（提示;直径所对的球周角为直角）
5.补形法：将不规则几何体外接球问题转化为长方体或正方体模型，实现锥，柱转化 适合条件;
（1）墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图2
图3
B
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2
2
2
2
)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R
例5（2019新课标Ⅰ）已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△
ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为
A
． B
． C
．
D
（2）对棱相等模型（补形为长方体）
条件：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，
BD AC =）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+2
222
22222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=
++=， 补充：abc abc abc V BCD A 3
1
461=⨯-
=- 第三步：根据墙角模型，2
22
222
22z y x c b a R ++=
++=，
8
2
222z y x R ++=，8
2
22z y x R ++=
，求出R
练习5.
在三棱锥
BCD
A -中，
,4,3,2======BD AC BC AD CD AB 则三棱锥
BCD A -外接球的表面积为 。

π2
29 解析：设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则
922=+b a ， 4
22=+c b ，
16
22=+a c ∴
29
1649)(2222=++=++c b a ，
291649)(2222=++=++c b a ，
229222=
++c b a ，22942
=R ，π2
29=S。